|u '|=12 (|∆u1|+|∆u2|)=l|∂u∂ y| (8.25)

Físicamente, la longitud de mezcla es la distancia que puede ser cubierta por un grupo de partículas fluidas y que viajan con una velocidad media en una capa inicial, a fin de que la diferencia entre estas velocidades y la velocidad en la nueva capa sea igual a la media de la fluctuación transversal en el flujo turbulento. Esta longitud de mezcla caracteriza la escala de turbulencia, es decir; la medida media de los volúmenes de fluido enlazados que intervienen en la transferencia turbulenta.

Queda abierta la cuestión de que si la partícula de fluido conserva la velocidad de su línea de corriente original o si adquiere la velocidad de la nueva línea de corriente, cuando se mueva transversalmente. Hasta cierto punto, este concepto es similar al concepto del libre camino medio de las moléculas en la teoría cinética de los gases, la diferencia principal radica en que el libre camino está referido a un movimiento microscópico de las moléculas, mientras que el concepto de longitud de mezcla está referido al movimiento macroscópico de grandes aglomeraciones de partículas del fluido.

La fluctuación de la velocidad transversal se puede explicar considerando dos grupos de fluido, uno que se encuentra a una capa ( y+l) y otro en la capa ( y−l) , los cuales se mueven hacia la capa y . En este caso, los grupos chocan con una velocidad 2u ' y se apartarán a un lado. Esto equivale a decir que existe una componente de velocidad transversal en ambas direcciones, respecto a la capa y . Si estos dos grupos aparecen en orden contrario ellos se moverán apartándose a una velocidad 2u ' y el espacio vacío entre ellos será ocupado por otras partículas del fluido circundante, provocando la aparición una nueva componente en la velocidad transversal, a ambos lados de la capa y . Este argumento permite asumir que la fluctuación transversal v ' es del mismo orden de la fluctuación u ', por lo que se puede escribir:

|v '|=const .|u '|=const . l(∂u/∂ y) (8.26)

Para hallar la tensión de rozamiento τ w , es necesario conocer el valor medio de u ' v '. De acuerdo a la propuesta de Prandtl, el grupo de partículas que llega a la capa y con un valor positivo de v ' da origen a una fluctuación negativa de u ' por lo que el producto de ellos es negativo. En caso

contrario, las partículas tienen fluctuación negativa de v ' , generarán una fluctuación positiva u ' , por lo

que nuevamente el producto de las fluctuaciones u ' v ' es negativo. Entonces, bajo estas condiciones:

u ' v '=−c|u '||v '| (8.27)Donde 0<c<1,(c≠0). Se debe indicar que no se conoce nada acerca de la constante c .

Con ayuda de las Ecs. (8.25) y (8.26) se puede escribir:

u ' v '=−const .l2|∂u/∂ y|2 (8.28)

Se debe indicar que la constante en la Ec. (8.28) es diferente a la constante en la Ec. (8.27), ya que también contiene al factor c de la ec. (8.27). Entonces, esta constante puede ser incluida en la longitud de mezcla, la cual aún se desconoce, por lo que se puede escribir:

u ' v '=−l2(∂u/∂ y )2 (8.29)

En consecuencia, la tensión de rozamiento turbulenta aparente puede escribirse como:

τ t=ρl2(∂u/∂ y )2 (8.30)

La ecuación anterior también puede reescribirse como:

τ t=ρl2|∂u∂ y |∂u∂ y (8.31)

La Ec. (8.31) permite obtener una expresión para el coeficiente de turbulencia aparente propuesto por Boussinesq, ya que:

τ t=ρl2|∂u∂ y |∂u∂ y=A t ∂u∂ y → At=ρ l

2|∂u∂ y| (8.32)

De igual manera, se puede obtener la viscosidad cinemática aparente como:

ε t=Atρ

=l2|∂u∂ y| (8.33)

De los diversos experimentos efectuados en flujos turbulentos, se observa que la fuerza de arrastre turbulenta es proporcional al cuadrado de la velocidad. La Ec. (8.31) daría un resultado similar si es que se asume que la longitud de mezcla no depende de la velocidad del flujo. En la ley de Stokes, la viscosidad es una propiedad del fluido, pero en el caso de flujo turbulento, la longitud de mezcla aún no es una propiedad del fluido, pero puede ser interpretada como una función puramente local.

En muchos casos es posible establecer una simple relación entre la longitud de mezcla l y una longitud característica del flujo respectivo. Por ejemplo, en los flujos a lo largo de superficies lisas, l puede desaparecer en la misma pared, debido a que los movimientos transversales son inhibidos por la presencia de la longitud de mezcla. En flujos moviéndose sobre paredes rugosas, cerca de la pared la longitud de mezcla debe tender a un valor del mismo orden de magnitud que las salientes sólidas.

La ecuación de Prandtl (8.31) actualmente tiene una gran aplicación en estudios relacionados al movimiento turbulento a lo largo de paredes (tubos, canales, placas, capa límite), y a los problema de los llamados flujos turbulentos libres. Este término está referido a flujos que fluyen sin paredes sólidas de confinamiento, tales el movimiento de un chorro en un medio circundante.