9 Divina Proporcion 33

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Diciembre 2008 2008ko Abendua 131

SIGMA

33LA DIVINA PROPORCIN EN EL INSTITUTO "CARDENAL

LPEZ DE MENDOZA". UN ANLISIS DE LAS

PROPORCIONES DEL ANTIGUO COLEGIO DE SAN NICOLS

Constantino de la Fuente Martnez (*)

A ti, maravillosa disciplina,media, extrema razn de la hermosura,que claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.

A ti, crcel feliz de la retina,

urea seccin, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesuraque el Universo armnico origina.

A ti, mar de los sueos angulares,flor de las cinco formas regulares,dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un comps ardiente.Tu canto es una esfera transparente.A ti, divina proporcin de oro.

Rafael Alberti

NDICE

1. Introduccin

2. La Proporcin urea

3. Divisiones armnicas de un polgono

4. Rectngulos ureos en el antiguo Colegio de S. Nicols

5. Proporciones y nmero de oro en el Instituto

6. El modelo ureo de crecimiento en el Instituto

7. Algunas conclusiones

8. Bibliografa

(*) Profesor de Matemticas del Instituto "Cardenal Lpez de Mendoza". Miembro de la Sociedad Castellana y Leonesa de

Educacin Matemtica "Miguel de Guzmn".


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La Divina Proporcin en el Instituto "Cardenal Lpez de Mendoza"Un anlisis de las proporciones del antiguo Colegio de San Nicols

En cuanto a su otro amigo, el pintor Jacopo di Barbari, recordaremos que es el autor de lafamosa pintura en la que aparece nuestro Frate Luca impartiendo enseanzas de matemticasa un discpulo suyo de la nobleza italiana, utilizando cuerpos geomtricos, figuras, e instru -

mentos de dibujo.

Centrndonos en el tratado de Luca Pacioli, podemos decir que constituye la primera presenta-cin pblica de la divina proporcin y de sus propiedades ms notables. Estos conocimientos,mantenidos en secreto muchos de ellos desde la antigedad, pasan a ser del dominio pblicoy a ser considerados como unos ms del acervo cultural y cientfico de las matemticas.

Por ltimo, no debemos finalizar esta introduccin sin mencionar la influencia que la obratuvo en otras facetas artsticas como, por ejemplo, en las magistrales elaboraciones de tara-ceado en madera, del artista Fray Giovanni Giocondo (Verona, 1445-Venecia?, 1525) que

se pueden contemplar en el Monasterio de Monte Oliveto Maggiore (cerca de Siena) y enla Iglesia de Sta. Mara in Organo (en Verona). Son unos ejemplos inmejorables en el uso de la perspectiva para el trazado bidimensional de cuerpos tridimensionales y objetos en general.Pueden admirarse unos ejemplos de las mismas a continuacin.


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Constantino de la Fuente Martnez

SIGMA N 33 SIGMA 33 zk.

2. LA PROPORCIN UREA

Histricamente, una de las primeras referencias a la proporcin urea (aunque sin hacer

mencin de esa denominacin) aparece en el libro sexto de los Elementos de Euclides: en laDefinicin 3 y en el Problema 10, Proposicin 30. Presentamos los enunciados rescatados dela traduccin de Rodrigo Zamorano(5):

Definicin 3. "Dize fe fer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quandofuere que como fe ha toda a la mayor parte, affi la mayor a la menor"(6).

Problema 10, Proposicin 30. "Diuidir una linea recta dada terminada con extrema ymedia razon"(7).

Este problema, con este amorfo(8)ttulo, lo resuelve Euclides mediante una construccin conregla y comps. Vamos a hacerlo nosotros tambin, y para ello vamos a situarnos en la actua-lidad, usando la terminologa y notacin adecuadas. Se trata de dividir un segmento en dospartes desiguales, de manera que la parte menor sea a la mayor como la mayor sea a la longi -tud total de segmento. Grficamente se puede observar en la siguiente figura.

Se trata de encontrar el punto C, de manera que se cumpla la proporcin entre las longitudesde los segmentos AB, AC y BC:

, o tambin

Permtasenos un inciso para comentar el simbolismo de la proporcin en matemticas.

Habitualmente, la mayora de las proporciones matemticas estn compuestas pro cuatro trminos distintos a, b, c, d, verificndose

.En el caso en que c = b, tenemos la

proporcin de tres trminos distintos ,

donde b es media proporcional entre a y d.

La peculiaridad de la proporcin

es que se obtiene a partir de dos trminos

diferentes ay bpor divisin asimtrica del todo (o unidad), representado por a+ b.

Volviendo a la proporcin, quitando los denominadores obtenemos:

a(a+ b) = b2 , a2+ ab= b2

que, considerando bcomo incgnita, podemos ordenar para llegar a la ecuacin de segundogrado:

b2 ab a2= 0 (1)

Resolvindola obtenemos:

Interpretando las soluciones obtenidas, y teniendo en cuenta que ay bson longitudes de segmen-tos, por tanto cantidades positivas, nos quedamos con la solucin mayor que cero, es decir:


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Tenemos, por tanto, que la longitud del segmento b es igual a la longitud del segmento a

multiplicada por el nmero .

Es decir, que la razn (cociente) existente entre la longitud

de los segmentos ay bes el nmero .

Hemos llegado a la solucin del problema inicial,la

divisin del segmento en dos partes desiguales, y es el momento de dar nombres a los resultados

obtenidos: el nmero(9)

= 1,61803398875 se denomina nmero de oro o nmero ureo y

se designa por la letra del alfabeto griego f. A la proporcin se le denomina proporcin urea,proporcin divina(10), seccin urea(11)o seccin divina(12). Este nmero decimal pertenece alconjunto de los nmeros irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales y no es peridico;es decir, no tiene un grupo de cifras decimales que se repita peridicamente y de manera inde -finida. Por tanto, nunca podremos conocer todas sus cifras decimales y nunca lo conoceremosen su totalidad (como le pasa a cualquier otro nmero irracional: p, 2, 3, 5, etc). Esta ltima

de las caractersticas de los nmeros irracionales, la inconmensurabilidad o imposibilidad deser medido con exactitud, es la que desat en la poca griega una de las crisis de la escuelapitagrica.

Antes de continuar, debemos aclarar que hemos denominado nmero de oro fal cociente:

. Si consideramos la proporcin inicial

, el cociente

ser igual al nmero

, inverso de f. Haciendo operaciones podemos llegar a que el valor del inverso del

nmero de oro es igual a:

Como, por otra parte, el nmero de oro es solucin de la ecuacin b2

ab a2

= 0 cuandoa= 1, podemos escribir que f2 f 1 = 0, o lo que es lo mismo f2= f+ 1. Esta relacin esla que caracteriza al nmero ureo y expresa una de las caractersticas de la sucesin numricade las potencias de f:

1, f, f2,, fn,

Esta sucesin tiene propiedades multiplicativas ya que es una progresin geomtrica de raznf, por lo tanto expresa un crecimiento exponencial, y tambin tiene propiedades aditivas, yaque cada trmino (desde el tercero en adelante) es igual a la suma de los dos anteriores. Estaspropiedades las podemos escribir como:

fn+ f n+1= f n+2, n N fn+1= f. fn, n N

Anlogamente, si tomamos la relacin f2

= f+ 1 y dividimos a los dos lados del signo igual por

f, obtenemos

. Si volvemos a dividir esta relacin por f, resulta que

, y en

general, podemos comprobar que se cumple la igualdad:

. Por tanto,

la sucesin numrica(13)

tiene las mismas propiedades

aditivas y multiplicativas que la sucesin 1, f, f2,, fn,

Estas sucesiones estn relacionadas con la conocida sucesin de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an, an+1, ...


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Esta ltima tiene propiedades aditivas, pues si nes un nmero natural, entonces an + an+1= an+2,y tambin desarrolla un crecimiento que, asintticamente(14), est relacionado con el nmero f.

Esto lo podemos expresar matemticamente como:

. Es decir, si nes muy grande,

entonces los trminos de la sucesin de Fibonacci se obtienen, aproximadamente, de multiplicarel trmino anterior por el nmero de oro. Estas propiedades, que la sucesin 1, f, f2,, fn,cumple en todos sus trminos, hacen que se la considere como la sucesin que representa elcrecimiento armonioso por excelencia, ya que todos sus elementos se pueden obtener indis-tintamente mediante crecimiento aritmtico (aditivo) o geomtrico (multiplicativo) y esto haceque la evolucin de los trminos de la sucesin sea de aumento, pero manteniendo la mismaforma en el resultado final. Esta caracterstica es la que dirige habitualmente el crecimiento enla naturaleza y es la que produce las simetras dinmicas, el equilibrio y la armona esttica.

Si ms arriba nos hemos acercado al nmero de oro mediante la particin de un segmento enmedia y extrema razn, lo vamos a hacer ahora por medio de los denominados rectngulosureos. Para los lectores no conocedores de este concepto, vamos a comenzar definindolo:

Un rectngulo de lados ay b (con a


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El mtodo de las diagonales presenta muchas ms posibilidades de dividir armoniosamenteun rectngulo ureo. Vamos a presentar dos de ellas, que nos van a ser muy tiles en nuestroestudio posterior del edificio del Instituto.

La primera, que est representada en la figura 3.3, consiste en construir los dos rectngulosrecprocos contenidos en el rectngulo ureo inicial,ABCDy EFGH, y escoger varios puntospara formar polgonos de inters. Por ejemplo, el cuadrado OPQRy los rectngulos ureosPIGQyJORD. Esta descomposicin tendr mucho inters, cuando nos centremos en el edi-ficio del Instituto, debido a que el cuadrado OPQR juega un papel muy importante en lasdimensiones y proporciones de algunos elementos arquitectnicos del edificio.

Figura 3.3

La segunda descomposicin (figura 3.4) utiliza tambin los dos rectngulos recprocos junto

con sus diagonales, los dos cuadrados sobrantes, que son los gnomons(19)de los rectngulosrecprocos, con los que podemos conseguir el rectngulo inicial y sus diagonales. Uniendopuntos escogidos de los cortes entre las diagonales, obtenemos varios cuadrados C1, C2, ...,C8y varios rectngulos R1, R2, ..., R7. Todos ellos tienen un papel importante en el prximoapartado de nuestro estudio.

Figura 3.4

Una vez dividido el rectngulo de forma grfica, nos surgen varias cuestiones relacionadascon las proporciones existentes entre las figura inicial y las que vamos obteniendo; este ser

el contenido de lo que sigue.


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Partiendo de la figura 3.5, que representa en forma esquemtica la divisin armnica de lafigura 3.3, vamos a considerar el tringulo ABC; en l podemos calcular los valores de lasrazones trigonomtricas del ngulo a, a partir de las longitudes de los lados del rectngulo

inicial, a y :

Comenzaremos por una de ellas, por ejemplo .

Figura 3.5

Del valor de la tga podemos deducir fcilmente(20) los valores de

y

Si ahora nos fijamos en el tringulo AEC, podemos calcular d1, puesto que d1 = a.cosa, y

sustituyendo el valor de cosacalculado anteriormente, tenemos

.

Por otra parte, en el tringulo AED, podemos calcular c1, ya que c1= d1 sena, y sustituyendo

d1 y sena obtenemos

. Este resultado nos

proporciona la medida del lado del cuadradoOPQRde la figura 3.3. Por si hubiera alguna duda sobrela afirmacin de queOPQRes un cuadrado, tambin podemos calcular (en la figura 3.3) otro de sus

lados llamando a la longitud OP=xy calculandoxa partir de la relacin . Despejando

xnos vuelve a resultar

, con lo que queda demostrado que OPQRes un cuadrado(21).

Una vez determinados c1y d1, vamos a calcular las longitudes anlogas, c2, d2, c3y d3, corres-pondientes a los rectngulos ureos que se van obteniendo en la divisin armnica:

En el tringulo CDE tenemos que

, por tanto

.

Como

, podemos poner

, y sustituyendo c1 y d2 por sus

valores obtenemos


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. Realizando clculos semejantes obtenemos

y

Recopilando los resultados, podemos considerar las sucesiones numricas:

La primera de ellas, que corresponde a la medida del lado de los cuadrados interiores a los

rectngulos ureos que se van obteniendo, es el resultado de multiplicar el nmero

por

la sucesin cannica del crecimiento armonioso,

. Por tanto, tiene

propiedades aritmtico-sumativas y geomtrico-multiplicativas, lo que conlleva que la evolu-

cin de esas medidas tiene como base el patrn ureo.

La sucesin de los valores d1, que es la sucesin de los segmentos en que el polo de la espi -ral urea divide a las diagonales de los rectngulos ureos, es el resultado de multiplicar el

nmero

por la sucesin

, mencionada anteriormente, por lo

que tambin goza de las mismas propiedades que la sucesin c1.

Como hemos visto,

es el lado del cuadrado oculto en el rectngulo inicial

de lados a y

. Si ahora consideramos el rectngulo ureo CDEF de la figura 3.5,

y lo representamos separadamente (figura 3.6), sus lados miden y .

Realizando los clculos oportunos tenemos que

, mientras que sabamos que

. Cada uno de ellos es igual al lado mayor del rectngulo ureo que los con-

tiene multiplicado por

. Por lo tanto, los lados de los cuadrados inmersos en los rec-

tngulos ureos forman una progresin geomtrica c1, c'1, c''1 , c'''1 ,, de razn

.


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Figura 3.6

Tambin podemos observar que, esta forma de variacin, no sigue pautas ureas, sino quesu patrn est regido por el nmero dinmico 5, que a su vez est relacionado con f, pues

, pero que tiene otras formas de crecimiento.

En la descomposicin armnica que hemos estudiado, juegan un papel muy importantelas diagonales de los rectngulos ureos que van surgiendo del inicial. Vamos a concretar las medidas de estas diagonales y a hacer explcito su patrn de crecimiento. Para ello nosfijaremos en la figura 3.7, donde las diagonales buscadas son d, d'. Utilizando el teorema dePitgoras, podemos poner:

.

Operando tenemos que

, y

. Por otro lado

, luego

. Por tanto las diagonales forman una progresin geomtrica de razn

y de

primer trmino el valor de d:

Figura 3.7


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Al igual que hemos hecho anteriormente, vamos ahora a estudiar algunas relaciones de pro-porcionalidad y de medida en las principales lneas resultantes de la otra divisin armnicadel rectngulo (figura 3.4). Para ello nos vamos a fijar, sucesivamente, en varios elementos de

la figura 3.8.En primer lugar debemos recordar que C1, C2, y C3son cuadrados ya que, por construccin,estn atravesados por diagonales de cuadrados; y R1 y R2 son rectngulos ureos por estarconstruidos segn las diagonales de rectngulos de este tipo.

Figura 3.8

Por otra parte, vamos a calcular la medida de los lados de estos cuadrados, x, y de los

rectngulos,xy

:

Tenemos que

. Operando y despejando el lado del cuadrado obtenemos

.

Como 3f+ 2 = f4,, sustituyendo y simplificando nos queda

. De ah podemos calcular

el valor del otro lado de los rectngulos ureos, que es

.

Si ahora calculamos los lados del rectngulo ureo formado por la unin de los polgonos C1

y R1, o anlogamente C3y R2, tenemos que el lado mayor es

, y el menor es

.

Estos resultados se refuerzan an ms si consideramos otras figuras de la descomposi-

cin como, por ejemplo, la unin de C1, R1, y C2. En este caso el lado mayor mide.

Por otra parte, si consideramos figuras ms pequeas, como por ejemplo C4 y R3, tambin

podemos calcular fcilmente las medidas de sus lados, que son y

Por tanto, los valores que intervienen en esta descomposicin armnica del rectngulo ureo

son trminos consecutivos de la sucesin

, que, como ya hemos visto con

anterioridad, es el resultado de multiplicar por un nmero la sucesin cannica del creci-

miento armnico; en este caso por el nmero a.


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Figura 3.9

Grficamente podemos observar todo lo anterior en la figura 3.9.

A modo de reflexin sobre los ltimos resultados obtenidos, queda patente que, a partir deun rectngulo ureo inicial, casi todas las medidas obtenidas por descomposicin armnicaestn relacionadas con sus dimensiones a travs del nmero de oro. Esto, que en este momentoslo tiene un significado matemtico, cuando pasemos al anlisis del edificio del colegio de S. Nicols adquirir un nuevo significado que afectar a cuestiones fsicas y reales.

Continuando con el anlisis, si alguno de los rectngulos ureos obtenidos en la descomposi-cin anterior lo volvemos a descomponer, podemos obtener ms trminos de la sucesin:

Figura 3.10

Los resultados de las descomposiciones sucesivas, realizadas en la figura 3.10, se encuentranen la tabla siguiente:

Rectngulo Medida de sus lados Trminos de la sucesin

ABCD

AEFD

AEGH


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4. RECTNGULOS UREOS EN EL ANTIGUO COLEGIO DE

SAN NICOLS

No vamos a profundizar en la historia del edificio que ahora alberga las principales dependen-

cias del Instituto de Educacin Secundaria "Cardenal Lpez de Mendoza", para ello recomen -

damos la lectura y consulta de la inmejorable obra de I. Ruiz Vlez y R. Pampliega Pampliega El

Colegio de San Nicols. Instituto Cardenal Lpez de Mendoza(1538-1967)(22). En nuestro caso

nos contentaremos con recordar algunos datos imprescindibles. Su construccin comenz

en 1537 y finaliz en 1579, siendo el maestro de cantera desde 1547 Pedro de Resines (23).

Est relacionado arquitectnicamente con el Colegio de Santa Cruz de Valladolid, este ltimo

construido casi medio siglo antes:

"Siendo las coincidencias evidentes, arquitectnicamente existe una profunda diferenciaentre ambas obras, que permite hablar, no de una copia, sino de una nueva formulacin

nacida a partir de una puesta en marcha del proyecto desde distintos puntos de partida.

El colegio de Santa Cruz de una concepcin gtica, a la que superponen elementos rena -

centistas, mientras que el colegio de San Nicols lo hace de una concepcin renacentista

a la que se le aaden elementos gticos que estructuralmente no tienen justificacin" (24).

Volviendo a nuestro anlisis, vamos a acercarnos al edificio del antiguo Colegio de S. Nicols,

para identificar, en un primer momento, la presencia de algn rectngulo ureo en algunas

partes del mismo. Para ello vamos a utilizar primordialmente la vista y las herramientas tecno-

lgicas que nos aporta la informtica. En esta tarea tambin debemos tener en cuenta algunoscriterios que vamos a enumerar:

1. La inconmensurabilidad del nmero de oro, es decir, su carcter irracional, hace que

la proporcin urea aparezca siempre de forma aproximada en los rectngulos ureos

que descubramos. Esta distincin entre el concepto abstracto y la realidad material en la

que ste se concreta fue tambin tenida en cuenta por Luca Pacioli:

"Y, aunque llamemos punto a ese signo que trazamos con la pluma o a cualquier

otro punto, no es se, sin embargo, el punto matemtico tal y como lo define nuestro

Euclides en las primera palabras de sus Elementos"(25).

2. Nuestro deseo no es llenar las lneas que siguen de datos numricos, intentando concre-

tar las medidas de cada uno de los rectngulos encontrados. Seguiremos, en este caso,

los consejos de Durero:

"No soy de la opinin de que un artista deba constantemente medir sus figuras. Si t

estas instruido en el arte de construir y has adquirido juntas la teora y la prctica ()

no es indispensable que lo midas todo todo el tiempo, porque tu arte adquirido ha

dotado a tu ojo de un justo sentido de la medida" (26).

3. El anlisis va a tener dos fases diferentes: en primer lugar visualizaremos rectngulos en

elementos verticales y, ms tarde, en elementos horizontales.


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Figura 4.1

Comenzaremos por la fachada principal (figura 4.1): en ella podemos observar que, tomandocomo unidad de medida la altura de la parte frontal (sin tener en cuenta la cubierta) entoncesla longitud de la fachada es 2fveces esa unidad; es decir, que caben dos rectngulos ureosen ella. Puede observarse en la foto que cada rectngulo llega con bastante exactitud hasta lamitad de la puerta principal. Por tanto, la razn entre la longitud de la anchura Lde la fachada

y la altura Hde la fachada tiene el valor:

.

Acercndonos un poco ms, podemos observar, en la figura 4.2, que la parte central de lafachada tambin est diseada segn la proporcin urea, como lo atestigua el rectnguloureo que la enmarca. As mismo, el conjunto formado por la puerta de entrada y los motivosdecorativos situados verticalmente en la parte superior (figura 4.3) conforman una variedad derectngulos ureos que, combinados y enlazados unos con otros, intentan comunicarnos laesttica urea que lo preside. Entre las tres imgenes se pueden contar cerca de 20 rectngulosureos.

Figura 4.2


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Figura 4.3 Figura 4.4

Al observar los rectngulos en cada una de las imgenes, nuestra mente puede visualizar lasimetra de todos ellos respecto de diferentes ejes imaginarios(27). Pero nuestro disfrute estticoser mucho mayor con la apreciacin, en las combinaciones de rectngulos, de la idea desimetra dinmica en su acepcin antigua, como "relacin de razn entre el todo y las partes",o la idea de proporcin en el sentido de Vitrubio: "proporcin significa esa armona de laspartes componentes del todo, de que derivan las leyes de la simetra". Por ejemplo, los rectn-gulos, unos dentro de otros, de la figura 4.4 sirven para resaltar el interior y atraer la atencindel observador a la parte central del motivo: la imagen de S. Nicols de Bari, la cartela, lasfiguras situadas en su parte superior, etc.

Nuestro proceso de acercamiento nos lleva al interior del edificio, en el que podemos observarel claustro cuadrado, formado por seis columnas que dan lugar a cinco arcos en cada uno de suslados. Tambin podemos identificar varios rectngulos ureos de diferentes tamaos, en sentidohorizontal (figura 4.5) y vertical (figura 4.6). En este ltimo caso, se cumple una propiedad muyinteresante: si consideramos como unidad de medida L, la amplitud de un arco o, lo que es igual,la distancia entre dos columnas consecutivas, entonces la altura de las dos plantas del claustro, H,es igual a 1 + f= f2veces L; es decir, la razn entre estas dos longitudes verifica la igualdad:

Figura 4.5


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Figura 4.6

A su vez, la razn

nos permite visualizar, en la figura 4.6, varias secuencias:

1. Un cuadrado en la parte de arriba y un rectngulo ureo en la parte baja.

2. Un rectngulo ureo en la parte alta y un cuadrado en la baja.

3. Dos cuadrados, uno en la parte alta y otro en la baja, ms un rectngulo ureo en medioque los conecta.

Al recorrer los rectngulos de las opciones 1 y 2 con la vista, podemos apreciar simetrasdinmicas, segn nos fijemos sucesivamente en los rectngulos que se inician en la base delas columnas y en los que parten de lo alto del claustro. Este movimiento sinusoidal rompe la

horizontalidad explcita de la imposta y de otras lneas paralelas a ella, y genera un dinamismoque transcurre sucesivamente de una planta a otra del claustro, haciendo que olvidemos lamonotona de lo horizontal.

La opcin 3, aunque resalta la horizontalidad, nos da la oportunidad de observar tres rectn -gulos ureos en cada uno de los cinco arcos que conforman el lado del claustro.

La obtencin de rectngulos ureos siempre est condicionada por el carcter irracional delnmero f, lo que nos lleva a preguntarnos cmo resolveran en esa poca la necesidad deaproximarse suficientemente al verdadero valor del nmero de oro. A este respecto, rescatare-mos aqu las palabras de Matila C. Ghyka:

" un rectngulo aparentemente esttico, pero tal que su mdulo

fuera una

aproximacin de un mdulo dinmico, introducira en un trazado el dinamismo propiodel rectngulo del que es su aproximacin. O an: los rectngulos tericamente estticos

(ya que sus mdulos son nmeros conmensurables) de mdulos

(sucesin fraccionaria de Fibonacci) pueden proporcionar a veces temas ms dinmicosque los rectngulos en verdad dinmicos (pero de simetra cristalina) 2 y 3"(28).

Y es que en el claustro de nuestro edificio tambin podemos observar esto ltimo a propsito

del nmero

. Desvelamos la cuestin a continuacin:


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Figura 5.7

Observando las dimensiones del claustro, vemos que cada lado del cuadrado contiene exac-tamente 6 columnas (equivalentes a 5 arcos), con lo que cualquier rectngulo cuyo ladomayor contenga 6 columnas (5 arcos) y 4 columnas su lado menor (3 arcos)(29), es de mdulo

, lo que constituye una buena aproximacin de f. En la figura 5.7 se pueden con-

templar dos de los seis rectngulos de ese tipo que podemos imaginar. Estamos seguros de queesa idea estaba presente en la mente del constructor al planificar el edificio, ligada adems aotro elemento de dinamismo arquitectnico como es la paridad del nmero de columnas(30)que se proyecten.

Para completar las ideas sobre el uso de rectngulos estticos que se aproximan a rectngulosdinmicos, acudiremos a las palabras de Luis de Rouen (31), uno de los personajes de la novelaEl Nmero de Dios(32), en uno de los momentos en los que transmite a su sobrino, Enrique deRouen(33), algunos conocimientos secretos del gremio de los maestros constructores:

"Lo que me importa es la luz, Enrique, la luz y la armona. Y para ello estoy aplicandolas proporciones ideales, las que los grandes matemticos y gemetras han descubiertodurante siglos. Busco reflejar en este templo la armona de los nmeros que regulan lanaturaleza y cada una de las obras del Creador. En la escuela de Chartres aprend las

proporciones que segn los maestros matemticos rigen la armona celestial[]."[] Por eso, querido sobrino, es tan importante saber determinar la armona en lasproporciones de nuestras obras, porque a travs de ellas vamos a mostrar la armonade Dios, su nmero divino. Ese es el secreto de esta catedral: est construida siguiendolas proporciones del nmero ureo, el que Dios eligi para construir el universo. Slonosotros, los maestros de obra, lo conocemos, y no debemos confiarlo a nadie que nosea capaz de guardar la confianza que en cada uno de nosotros deposita nuestra her-mandad.

"Escucha bien: ese nmero es la unidad y su relacin constante con dos tercios de la uni-dad ms la unidad misma. As ha construido Dios el mundo y as nos ha encargado que

construyamos sus templos. Somos la mano de Dios"(34)

.


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Como hemos visto, la concrecin del nmero de oro, se plasma, en el caso de esta novela,

en el nmero

, una aproximacin bastante manejable desde el punto de vista prctico, que

facilita mucho su presencia en el trabajo cotidiano a personas a las que, sobre todo, interesa -

ban las caractersticas funcionales o de utilidad de los nmeros, no sus aspectos formales o la

exactitud, imposible en el caso del nmero que nos ocupa.

5. PROPORCIONES Y NMERO DE ORO EN EL INSTITUTO

En el apartado anterior hemos visto que la razn entre la anchura ay la altura hde la fachada

es

. Este resultado lo obtuvimos en nuestro paseo visual por el edificio, descubriendo

rectngulos ureos exteriores e interiores.

Vamos a proseguir el estudio del edificio, tomando como punto de partida una copia de la

planta y enumerando las tareas que vamos a completar:

Obtencin razonada y lgica de las principales lneas, divisiones y recintos del edificio,

utilizando un criterio prioritario: la descomposicin armnica de las formas y figuras,

estudiada en el punto 3.

Determinacin de las proporciones entre los recintos obtenidos en las descomposiciones

anteriores, y su relacin con la proporcin urea y el nmero de oro f.

Para responder a estas cuestiones vamos a hacer un ejercicio de imaginacin: retrocedamos en el

tiempo y vayamos viviendoun posible proceso de planificacin del edificio y de su construccin.

En un principio, a la hora de planificar la construccin del edificio, estamos condicionados

por las dimensiones de la Huerta del Moral, (finca del barrio de Vega adquirida para tal fin),

las dependencias anexas, (otras dependencias, huerta, jardn, etc.) y, por supuesto, por las

preferencias arquitectnicas y los gustos de la poca, encarnados en este caso por los deseos

de D. Iigo Lpez de Mendoza. Una vez tomadas las decisiones acordes con los condicionan-

tes anteriores, lo ms sencillo es fijar arbitrariamente la medida de la fachada principal, que

denominaremos a, y, a partir de aqu, ir sacando el resto. Adems, en nuestro estudio demos-traremos y comprobaremos que, siguiendo los cnones de la divina proporcin, casi todo nos

vendr dado en funcin del valor afijado inicialmente.

Con el fin de que podamos visualizar los resultados que vayamos obteniendo en nuestras

imgenes, vamos a trabajar sobre una copia de la planta del edificio. Comenzaremos consi-

derando el rectngulo ureo, cuyo lado mayor sea igual al valor a. En la figura 5.1, sobre el

plano, podemos comprobar que el rectngulo llega hasta la tercera columna (tercer arco) del

lado del claustro, y su lado menor medir

.


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Figura 5.1

Si hacemos la descomposicin armnica del rectngulo, como hicimos en la figura 3.3 con

el mtodo de Hambidge, obtenemos la situacin que representamos en la figura 5.2. En ellapodemos ver el cuadradoABCDy los dos rectngulos ureos BEFCyADHG.

Figura 5.2

El cuadradoABCDtiene una singularidad sorprendente por inesperada: sus dimensiones sonlas mismas que las del cuadrado que delimita el jardn del claustro. A este cuadrado lo hemos

denominado cuadrado oculto o cuadrado principal del rectngulo ureo, y est totalmente

determinado en cuanto fijamos el rectngulo ureo que lo contiene. Por tanto, las dimensiones

del cuadrado que conforma el claustro estn determinadas en cuanto fijamos la longitud de

la fachada principal. Si aes la largura de la fachada y cel lado del cuadrado del claustro, se

cumple que

. Adems, si dividimos cen cinco partes iguales, obtenemos la

distancia entre cada dos columnas consecutivas del claustro, que ser

.


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Tambin los rectngulos ureos BECFyADHGnos sorprenden: cubren la anchura del pasillo del

claustro y cada una de las alas opuestas del edificio. Como hemos demostrado anteriormente,

sus dimensiones tambin estn determinadas por a. Concretamente y

.

Si trasladamos el cuadradoABCDy los rectngulos BECFyADHGal centro del edificio, como

en la figura 5.3, y le aadimos el rectngulo ABIJ, podemos seguir el estudio in situ.

Figura 5.3

Tomamos el rectngulo ureo CFEB; resulta que su cuadrado interior KLMN, anlogo al cua-

dradoABCD, nos proporciona la anchura o fondo KL (o tambin MN) de los recintos situados

en ese lado del edificio. De igual forma ocurre en los otros dos lados del claustro, a partir de

los correspondientes rectngulos ureosABIJyADHG. Adems, el lado de estos cuadrados es

, pues en un rectngulo ureo, el lado del cuadrado interior es igual al lado mayor

dividido por 5, y el lado mayor del rectngulo BEFCes .

Como complemento de lo anterior, vamos a calcular la anchura del pasillo del claustro; esto

es, la distancia entre los cuadrados ABCDy KLMN. Si llamamos p aesa longitud, tenemos

, y operando llegamos a

. Como

, obtenemos

que la anchura del pasillo del claustro es

. Por tanto, volvemos a comprobar que la

fijacin arbitraria de anos permite conocer, utilizandoprocedimientos armnicos, una medida,

como es la anchura del pasillo, de la que no es fcil imaginar su relacin armnica con a.


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Figura 5.6

Aplicando el Teorema de Pitgoras, podemos obtener que

, por lo que la longitud

de cada lado de la estrella es

, que no es ms que

veces la longitud del

lado menor del rectngulo ureo contenido en el cuadrado inicial.

Si ahora tomamos como lado mayor del rectngulo ureo la longitud CD, obtendremos otrosdos lados de la estrella, los correspondientes a los vrtices A y B. Por tanto, podemos obtenertoda ella a partir de los cuatro rectngulos ureos contenidos en el cuadrado, como puedeverse en la figura 5.7.

Figura 5.7

Como decamos anteriormente, son muchos los personajes histricos, de cualquier campo delconocimiento, que dedican su atencin a la proporcin urea en algn momento. Recordamosahora a Kepler, que la denominaba sectio divina; sus palabras han pasado a la historia:

"La geometra tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitgoras; el otro es la divi-sin de una lnea en una proporcin extrema y una media. Podemos comparar el primeroa una medida de oro; al segundo lo podemos llamar una joya preciosa" (38).

6. EL MODELO UREO DE CRECIMIENTO EN EL INSTITUTO

Hasta ahora hemos descubierto la presencia de fen muchos de los recintos, considerados

como estancias independientes. En el presente apartado, vamos a hacer un anlisis dinmico


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de las relaciones entre las dimensiones y proporciones de unos recintos y otros. Estas conexio -nes nos van a ser el reflejo de unos patrones y leyes, mediante los cuales el edificio va "cre-ciendo" desde las partes al todo, desde lo unitario a lo mltiple, como un ser vivo, produciendo

con ello sensaciones de armona y belleza.Nuestro principal objetivo es conectar la pautas y patrones de crecimiento de algunos recintoscon el modelo cannico de crecimiento armonioso dado por la sucesin:

Para llevar a cabo el estudio matemtico de todo esto, partiremos de la figura 6.1, y volveremosa analizar, sobre la planta del edificio, el rectngulo ureo principal y una de sus descompo-siciones armnicas, estudiando las principales medidas resultantes.

En la figura podemos reconocer uno de los resultados ms importantes de todo el estudio:el crecimiento de la fachada principal sigue las pautas de la sucesin que representa el cre-

cimiento armonioso ideal o cannico, la sucesin de las potencias del nmero del oro; quecontiene nada menos que seis trminos consecutivos de la sucesin:

,

.

Esta sucesin es el resultado de multiplicar el valor por algunos trminos de la sucesin de lapotencias de f.

Quizs sea bueno recordar en estemomento que, como la unidad de

medida que hemos tomado desdeel principio es la longitud de lafachada principal, a, y las demsdistancias son menores que a,obtenemos potencias de expo-nente negativo de f. Si hubi-ramos tomado como unidad demedida el segmento KL, entonceslas restantes longitudes seran elproducto de GK por potencias deexponente natural de f.

Las proporciones obtenidas, queilustran el modelo de crecimientode la fachada principal, no son nims ni menos que las obtenidaspor Sir Theodore Cook(39)al ana-lizar el modelo de crecimientode la Venus de Boticelli. En laimagen de la figura 6.2 podemos observar que, tomando como unidad de medida el segmentodenotado por 1, vamos obteniendo varias medidas significativas de la imagen por medio delas sucesivas potencias de f, hasta la potencia sexta.

Tenemos, por tanto, dos ejemplos, uno de pintura y otro de arquitectura, hermanados por un

mismo modelo armonioso de crecimiento, el dirigido por las potencias de la proporcin urea,f

.

Figura 6.2


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Desde el punto de vista matemtico no hay ninguna diferencia entre los dos, puesto que ambosestn creados siguiendo las mismas ideas estticas de belleza y transmiten, al que los contempla,idnticas sensaciones de armona.

Despus de esta inmersin urea, nuestro recuerdo vuela otra vez hacia nuestro reconocidoLuca Pacioli; no es de extraar que, despus de experimentar en profundidad todas las relacio-nes que origina, el fratealabara la proporcin con las siguientes palabras:

"Parceme, Excelso Duque(40), que el ttulo conveniente a nuestro tratado ha de ser el de LaDivina Proporcin, y ello por numerosas correspondencias de semejanza que encuentroen nuestra proporcin, de la que tratamos en este nuestro utilsimo discurso, que corres-ponden a Dios mismo. Para nuestro propsito ser suficiente considerar cuatro de ellas,entre otras. La primera es que ella es una sola y no ms, y no es posible asignarle otrasespecies ni diferencias. Y dicha unidad es el supremo epteto de Dios mismo, segn todala escuela teolgica y filosfica. La segunda correspondencia es la de la Santa Trinidad, esdecir, que, as como "in divinis" hay una misma sustancia entre las tres personas Padre,Hijo y Espritu Santo-, de igual modo una misma proporcin se encontrar siempre entre

tres trminos, y nunca de ms o de menos, como se dir. La tercera correspondencia esque, as como Dios no se puede propiamente definir ni puede darse a entender a noso -tros mediante palabras, nuestra proporcin no puede nunca determinarse con un nmerointeligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna, sino que siempre es oculta ysecreta y es llamada irracional por los matemticos. La cuarta correspondencia consisteen que, as como Dios nunca puede cambiar y est todo l en todo y en todas partes, deigual modo nuestra proporcin es siempre, en toda cantidad continua y discreta, grande opequea, la misma y siempre invariable, y de ninguna manera puede cambiar ni de otromodo puede aprehenderla el intelecto, como nuestra explicacin demostrar" (41).

Y es que despus de la contemplacin del crecimiento ureo en la planta y fachada principaldel Instituto, cmo no vamos a pensar en que hay algo divino en todo ello?

Pero an nos quedan algunos momentos ms, en los que podremos seguir admirando lasexcelencias de la proporcin.

Volvamos a una de las descomposiciones armnicas que hemos descrito anteriormente; con-cretamente la que origina el cuadrado principal, que est en el interior del rectngulo ureo(figura 6.3). En ella podemos observar las medidas siguientes:

Los lados del rectngulo ureo miden

. Al hacer su descomposicin armnica

obtenemos el cuadrado principal, que tiene por lado la distancia

y que

delimita el jardn del claustro. Sigue sorprendindonos que el corte de las diagonales de dosrectngulos ureos d lugar a un cuadrado que tiene un papel tan importante en esta obra

arquitectnica.Como el rectngulo CNDMes ureo, sus lados miden

y

.

Por

la misma causa, los lados del rectnguloAMDPson

y

.

Tambin es fcil deducir que

Por otra parte, tomando el rectngulo CNDMy llevando a cabo la descomposicin armnicaanloga a la del rectngulo inicial, obtenemos que:

,

,

,

.


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Ordenando las medidas obtenidas, y situndonos en el punto M, podemos observar lasiguiente sucesin:

, , , .

Anlogamente, desde el punto M podemos obtener:

,

,

,

.

Figura 6.3

Estas secuencias de crecimiento, que son el resultado de multiplicar varios trminos consecutivos

de la sucesin de las potencias de fpor los valores

y

respectivamente, tienen dos pecu-liaridades que no debemos pasar por alto:

Aparecen entrelazadas en el edificio. Concretamente van apareciendo, sucesivamente, un

elemento de cada una de las sucesiones

y

, siendo iun nmero

entero.

El hecho de que, casi todas, representan distancias y medidas reales correspondientes adiferentes elementos de la arquitectura del edificio: DM, (lado del cuadrado del claustro);CM, (distancia desde el cuadrado del claustro al exterior); DM, (anchura de los recintosque rodean el claustro); BM, (anchura del pasillo del claustro).

Por tanto, otra vez encontramos que el modelo de variacin de las medidas del edificio, la

manera en cmo se relacionan entre s y cmo se generan unas a partir de otras, est presidida


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por la proporcin urea. Parece como si el edificio fuera un ser vivo que evoluciona y crecesegn el modelo armonioso de crecimiento dado por la divina proporcin. Cmo no calificara nuestro edificio de obra maestra?

Hasta ahora hemos analizado el crecimiento de diferentes partes del edificio, todas ellasrelacionadas con su planta. Vamos ahora a presentar una situacin que se da en un elementovertical. Nos estamos refiriendo al rectngulo ureo compuesto por varios de los arcos quecomponen el cerramiento acristalado del claustro. Como puede verse en la figura 6.4, la

distancia entre cada par de columnas consecutivas es la quinta parte de

, que es la medidadel lado del cuadrado que delimita el jardn del claustro, por tanto:

.

Como ABCD es un cuadrado y ABCD es un rectngulo ureo, tenemos que

,

y, por tanto, podemos calcular las distancias

Figura 6.4

De manera anloga, comoABCDtambin es un cuadrado, tenemos que

y .

Por tanto, podemos apreciar una secuencia de crecimiento dada por las medidas:

,

,

,

,

que confirman la presencia del modelo cannico de crecimiento ureo, en el que las potencias

del nmero de oro aparecen multiplicadas por el valor ,

distancia entre dos colum-

nas consecutivas. De ah que estos elementos verticales contribuyan, visualmente, a reforzar las

impresiones y sensaciones estticas del crecimiento armonioso dado por la proporcin urea.


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Una vez ms, se nos hacen presentes y podemos disfrutar de los efectos de la proportiohabens mdium et duo extrema(42): inconmensurable, esencial, singular, inefable, admirable,innominable, inestimable, recproco del precedente, excelso, supremo, excelentsimo, casi

incomprensible, dignsimo(43)

,[]"No me parece conveniente, Excelso Duque, extenderme por ahora en sus infinitos efectos,pues no habra papel suficiente para expresarlos todos, sino que hemos elegido esos trece,en honor del grupo de doce y de su jefe, nuestro Santsimo Redentor Cristo Jess" (44).

Por ltimo, nos vamos a fijar en la descomposicin armnica del cuadrado, para analizar eltipo de crecimiento que se da en algunos elementos de la misma. Concretamente nos centra -remos en el recinto del coro, de forma cuadrada, y en su bveda:

Figura 6.5

Tenemos los rectngulos ureos ABCD y EFGH(45), y aprovechando los clculos efectuadosanteriormente en la descomposicin armnica de un cuadrado, tenemos que

, , , ,

y .

Todos estos resultados componen varios trminos de la sucesin del modelo de crecimientodado por las potencias del nmero f.

7. ALGUNAS CONCLUSIONES

Si consideramos que "En arquitectura especialmente, el concepto de proporcin y el de sime-tra, o mejor dicho symmetria(46), derivado de l, no slo dominan la arquitectura griega yromana, sino tambin la arquitectura gtica, cuyos diagramas secretos de proporcionalidadse transmitan directamente de padres a hijos o de maestro a compaero y derivaban de lageometra pitagrica y de sus secretos celosamente guardados[...]

"Son conceptos que aparecen tambin en la arquitectura y en la pintura del Primer

Renacimiento. Y ello es as como resultado de la revolucin por parte de Luca Pacioli,


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el monje ebrio de belleza, de la teora de las proporciones de Platn, del estudio de loscinco cuerpos regulares y de la Seccin Dorada o Divina Proporcin, ttulo de su propiaobra, publicada en Venecia en 1509 e ilustrada con bellsimos dibujos de Leonardo da

Vinci"(47)

.Estos comentarios de Matila C. Ghyca vuelve a resaltar la importancia histrica de LaDivina Proporcin de Pacioli, a la vez que nos permite, como en la ltima fase del pro -ceso de resolucin de problemas(48), adentrarnos en la euritmia, una de las ideas clavede Vitrubio: "cuando cada parte importante del edificio se encuentra adems convenien-temente proporcionada por el acuerdo entre la altura y la anchura, entre la anchura y laprofundidad y cuando todas estas partes tienen tambin su sitio en la simetra total deledificio, obtenemos la euritmia."

Esa euritmia es el resultado final de la simetra que obtenemos al analizar las proporciones dela obra, y est generada por un mdulo(49)o patrn de medida comn para todo el edificio.En nuestro caso, el patrn, que los griegos denominaban posotes (el nmero), es la proporcin

divina, que consigue que visualicemos la armona global o euritmia.En cuanto a los modelos de crecimiento, los griegos, con Aristteles a la cabeza, denominaban"gnmico" a una de las formas de crecimiento ms comn en la naturaleza: el crecimientoacumulativo en el que la forma original est contenida dentro de la nueva, la alteracin enmagnitud y, simultneamente, la permanencia de la forma inicial. En nuestro caso, el hechode que un cuadrado sea el gnomon de un rectngulo ureo, nos ha permitido descubrir elcnon de crecimiento que se presenta en el edificio del antiguo Colegio de San Nicols, queno es ni ms ni menos que el crecimiento gnmico originado por la proporcin urea o divinaproporcin.

Es despus de todo lo anterior, al final de estas pginas, cuando debemos hacernos una delas preguntas que preocuparon a Platn: realmente, qu hay detrs de la geometra, tambin

denominada por Pitgoras histora(50)?"Para el espritu humano, atrapado en un universo en movimiento, en la confusin de unperpetuo flujo de acontecimientos, circunstancias y desconcierto interno, buscar la verdadsiempre ha consistido en buscar lo invariable, llmese ideas, formas arquetipos, nmeros odioses. Entrar en un templo construido en su totalidad conforme a proporciones geomtricasinvariables es entrar en el reino de la verdad eterna"(51).

Las palabras anteriores, de Robert Lawlor en su obra Geometra sagrada, nos amplan la res-puesta de Platn a la cuestin planteada: "El conocimiento al que aspira la geometra no esotro que el conocimiento de lo eterno" (52).

Porque, sin ningn gnero de duda, desde sus inicios y a lo largo de los siglos, la Institucin

que encarna este edificio, dedicada siempre a la educacin de jvenes, ha perseguido, per-sigue y perseguir ese objetivo: la bsqueda de la verdad a travs del conocimiento. Y aquradica el inters de todo lo expuesto.


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8. BIBLIOGRAFA

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Trystan Edwards,1921:A. The Things which are seen. Philip Allan & Co. Londres.

9. NOTAS

(1) As lo atestigua Charles Nicholl en Leonardo. El vuelo de la mente. Santillana, Ediciones Generales, S. L. 2005, Madrid, pg.339.

(2) La Divina Proporcin. Luca Pacioli. Edit. Akal. 1987. Madrid.

(3) Carta de Albert Durero a Pirckheimer (13-X-1506). Tomado de la obra de Alberto Durero De la medida. Ed Akal, 2005, Madrid,pg. 92.

(4) As aparece en LEcole mathematique de Bologne. E. Bartolotti. Ediciones Zanichelli, 1928, Bolonia, pg 28.

(5) Los Seis Libros Primeros de la Geometra de Euclides: traducidos en lengua espaola por Rodrigo Zamorano, astrlogo ymatemtico y catedrtico de cosmographa por su Majestad en la Casa de Constratacin de Seuilla, dirigidos al ilustre seor

Luciano de Negrn Cannigo de la sancta yglesia de Seuilla, 1576. Pg 118.


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(6) Dcese ser dividida una lnea recta con media y extrema razn cuando fuere que como es toda a la mayor parte, as la mayora la menor.

(7) Dividir una lnea recta dada en media y extrema razn.

(8) Es el calificativo que le da Matila G. Ghyka en su Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Ed. Poseidn,1983, Barcelona, pg 27.

(9) Sera bueno aclarar que originalmente no fue considerado nmero en el sentido tradicional de cantidad, sino que fue conce-bido como una razn entre dos magnitudes o como una relacin o nexo entre dos cantidades, medidas, etc.

(10) Denominacin de Luca Pacioli.

(11) As la denomina Leonardo da Vinci. Tomado de Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Matila G. Ghyka.Ed. Poseidn, 1983, Barcelona, pg 28.

(12) Kepler la denomin as, diciendo adems que es uno de los dos tesoros de la Geometra; el otro es el Teorema de Pitgoras.

(13) Aunque no responde exactamente al concepto matemtico de sucesin, la denominamos de la misma forma.

(14) Es decir, cuando avanzamos mucho en la sucesin y nos fijamos en un trmino an, con nmuy grande.

(15) En su obra Dynamic Symmetry. University Press, 1920, Yale, pg 16-18.

(16) La demostracin es elemental ya que las dos diagonales de los rectngulos son perpendiculares por construccin, los ngulosque stas forman con los lados son iguales y los cocientes de los lados homlogos son iguales

(17) Aristteles denominaba a este polgono sobrantegnomonpues es la figura geomtrica que hay que aadir a un rectngulopara obtener otro semejante.

(18) Es decir, que elgnomonde un rectngulo es un cuadrado si, y slo si, el rectngulo es ureo.

(19) Heron de Alejandra lo defini as: un gnomon es cualquier figura que aadida a una figura original, produce una figurasemejante a la original.

(20) Utilizando las relaciones entre las razones trigonomtricas y teniendo en cuenta que el ngulo aes agudo.

(21) Tiene dos lados iguales c1y OP, y es rectngulo por construccin.

(22) Editado en 2007 por el Instituto Municipal de Cultura del Ayuntamiento de Burgos.

(23) Datos recogidos de: El Colegio de San Nicols. Instituto Cardenal Lpez de Mendoza. (1538-1967). I. Ruiz Vlez y R. PampliegaPampliega. 2007, Burgos, pg. 49.

(24) En El Colegio de San Nicols en Burgos, Reflexiones a su estudio. C. Porras Gil.

(25) De la parte dedicada a la Arquitectura de La Divina Proporcin.

(26) Alberto Durero. Cfr. en De la medida, ob cit, pg. 3.

(27) Lneas rectas, en general verticales.

(28) Cfr. en Esttica de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Pg. 208.

(29) Este juego de nmeros pares e impares es tratado por A. Trystan Edwards (1884-1973) en su obra The Things which areseen (Las cosas que se ven). En ella denomina unresolved duality la inferioridad del dualismo simtrico o del nmero par.Tambin observa que a un nmero par de columnas corresponde un nmero impar de arcos y viceversa. Por tanto, o bien lascolumnas (las separaciones) o bien los arcos (los intervalos o luces) constituyen elementos que nos atraen la vista.

(30) Vase la nota 29.

(31) Es, en la novela, el desconocido maestro constructor que comienza la catedral de Burgos.

(32) De Jos Lus Corral, profesor de Historia Medieval en la Universidad de Zaragoza. Edit. Edhasa, 2004, Barcelona.

(33) Nombre del personaje que ser el constructor de las catedrales de Burgos y de Len.

(34) Pg 134 de El Nmero de Dios.


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(35) Hemos escogido esta planta porque en ella est situado el coro, que es de planta cuadrada, a diferencia de la planta baja,en la que el zagun no lo es. As se visualizan mejor los encajes de unas figuras con otras.

(36) En la planta baja el recinto no es cuadrado debido al grosor del muro que contiene la puerta que da acceso al interior de lacapilla. En el coro, en cambio, el muro equivalente es la barandilla, mucho ms fina, que se asoma desde lo alto a la nave de

la capilla.

(37) Tomado de la correspondencia entre los dos personajes.

(38) En su obra: Mysterium Cosmographicum de admirabili proportione orbium caelestium, 1596.

(39) En su obra The curves of life. Dover books, 1979. Nueva York. Primera edicin en 1921.

(40) Se refiere al Excelentsimo Prncipe Ludovico Mara Sforza, Duque de Miln, al que dedica y dirige lo que l mismo denominaEpstola sobre la Divina Proporcin.

(41) Tomado del Captulo V de La Divina Proporcin, ob. Cit. pg. 3.

(42) Proporcin que tiene el medio y dos extremos. Captulo VII de La Divina Proporcin. Ob. Cit. pg 3.

(43) Captulo VII a XXII de La Divina Proporcin. Ob. Cit. pg 3.

(44) Comienzo del Captulo XXIII de La Divina Proporcin. Ob. Cit. pg 3.

(45) Los mayores rectngulos ureos, con la base menor que la altura, que caben en el interior del cuadradoAFGD. Anlogamente,si giramos 90 el cuadrado AFGDy todos sus polgonos interiores, con centro de giro el punto M, obtendramos los otrosdos rectngulos ureos, con la base mayor que la altura, que hay en su interior; seran el resultado de aplicar el giro a losrectngulosABCDy EFGH.

(46) La symmetria deriva de la proporcin, que los griegos denominaban analoga (consonancia entre las partes y el todo) y es lamedida entre los diferentes elementos de la obra y entre estos elementos separados y el conjunto

(47) Extrado de Matila C. Ghyca: Filosofa y mstica del nmero. Edit. Apstrofe, 1998. Barcelona.

(48) La visin retrospectivadel modelo de Resolucin de Problemas de G. Polya. Puede consultarse en Cmo plantear y resolverproblemas. Edit. Trillas, 1965. Mxico D. F.

(49) Como relacin principal de la proporcin clave, como idea de analoga, no como una divisin de la unidad de medida.

(50) Jmblico. Vida Pitgorica. Edit Etnos S. A., 1991. Torrejn de Ardoz, Madrid. Pg. 67. El significado de Histora es investiga-cin.

(51) Robert Lawlor. Geometra Sagrada. Edit. Debate, 1996. Madrid. Pg. 10.

(52) Guirado, J. Infinitum. Citas matemticas. Edit Eneida, 2007. Fuenlabrada (Madrid).

9 Divina Proporcion 33

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