9. mostraxe

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS

E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

MOSTRAXE

UNIDADE 9UNIDADE 9

ÍNDICEÍNDICE

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

ConceptosConceptos

1. Introdución á Inferencia Estatística.2. Poboación e mostra3. Mostraxe probabilística. Tipos de

mostraxe4. Teorema central do límite5. Distribución da media mostral

dunha poboación normal.6. Distribución da proporción


1. Introdución á Inferencia Estatística1. Introdución á Inferencia Estatística

As tres finalidades da Estatística son:A descripción: ordenar, agrupar e representar a información. Desta parte ocúpase a Estatística DescriptivaA predición: anticipación dos feitos analizando previamente a súa frecuencia. Disto ocúpase a ProbabilidadeA análise: búsqueda de teorías que expliquen os fenómenos observados. Nisto traballa a Inferencia Estatística



A Inferencia Estatística é a rama da Estatística mediante a cal se trata de obter conclusións dunha poboación en estudo, apoiándose no Cálculo de Probabilidades, a partir da información que proporciona unha mostra representativa da mesma.

Tamén se denomina Estatística Indutiva ou Inferencia Indutiva.



Estatística Descritiva Probabilidade

Século XIXGalton, Pearson, Fisher

Inferencia

http://nitcsyestadistica.blogspot.es/



A unión entre o Cálculo de Probabilidades e a Estatística xorde polos problemas teóricos e metodolóxicos que suscita o contraste empírico da teoría de Darwin.



F. Galton , primo de Darwin propugna un novo enfoque estatístico na súa obra “Natural Inheritance” para o estudo dos problemas da evolución que é aceptado con entusiasmo por W Weldon, quen busca colaboración no matemático K.Pearson para a resolución de novos problemas.



O laboratorio de K. Pearson convértese a principios do século XX no centro de investigación de análise empírica de datos. Entre outros acode W.S. Gasset, que propón a nova distribución t (coñecida como t de Student).Pearson, Galton e Weldon fundan a revista Biométrica, que aínda hoxe é unha das publicacións máis prestixiosas de estatística



Os fundamentos da Estatística actual débense a R.A. Fisher (1890-1962) quen escribe no seu libro “Statistical Methods for Research Workers” os principios da Inferencia Estatística.En 1930 aparece a teoría xeral sobre o contraste de hipóteses elaborada por J. Neyman (1894-1981) e E.S. Pearson.



A partir de 1950 comeza unha nova etapa no desenvolvemento da Estatística co uso das computadoras e a posibilidade de tratar grandes cantidades de datos



Diferenzas entre a Inferencia e a Probabilidade

Aínda que a Inferencia Estatística se apoia no Cálculo de Probabilidades, os fins de ámbalas dúas disciplinas son ben distintos.Vexamos uns exemplos:



ExperimentoTirar unha moeda

Teoría de ProbabilidadeSupón que a moeda non

está trucada e deduce que aprobabilidade de obter cara

ou cruz é 1/2

Inferencia Analizamos se a moeda está trucada

comprobando se o modelo experimental obtido tirando a moeda un certo

número de veces concorda co modelo probabilístico



Probabilidade:Sabendo o contido da caixa, intentar saber o que teño na man (probabilidade de ter unha certa cor)



Inferencia:Sabendo o contido da man, tratar de saber o que hai na caixa (proporcións de globos de cada cor)



Podemos concluír que:A Inferencia Estatística é unha ciencia indutiva, é dicir, xeneraliza unhas propiedades observadas nun conxunto de datos a outro conxunto maior.

O proceso indutivo é un proceso “arriscado", xa que toda inferencia indutiva exacta é imposible.

Trátase de conseguir técnicas que midan o grao de incerteza producida. Tal medida faise mediante o Cálculo de Probabilidades.



EXEMPLO:Supoñamos que temos nun almacén 10 millóns desementes; sabemos que producen flores brancas ou vermellas.O que desexamos saber é cantos destes 10 millónsproducirán flores brancas



O único xeito de dar unha resposta correcta a esapregunta é sementar todas as sementes e observar cantas saen brancas.



A forma normal de proceder é seleccionar unhas poucas sementes, as plantamos e observamos o número das que producen flores brancas e,baseándonos nestes datos, facemos unha predición.



Os procedementos da Inferencia Estatística pódense clasificar en:

procedementos de inferencia paramétrica

procedementos de inferencia non paramétrica.



A Inferencia Paramétrica supón que a distribución de probabilidade da poboación obxecto de estudo é coñecida, agás os valores que toman certos parámetros.Neste contexto, o obxectivo é estimar, dar intervalos de confianza ou contrastar hipóteses sobre ditos parámetros.



Exemplo

No caso das sementes, podemos supoñer que unha determinada característica (a cor da flor) dunha poboación (10 millóns de sementes) segue unha distribución de probabilidade cun parámetro descoñecido (binomial con parámetro descoñecido p: probabilidade de que a flor sexa branca) e tomamos unha mostra. Calculamos o valor de dita característica neste subconxunto de elementos poboacionais para facer inferencias sobre p.



Poboación 10 millóns de sementes

Característica Cor da flor

Distribución de probabilidades

Binomial con parámetro p descoñecido (probabilidade de que a flor sexa branca)

Mostra Valor da característica nesta mostra e inferimos p



A Inferencia non Paramétrica trata problemas semellantes cando se ten unha distribución poboacional totalmente descoñecida, sobre a cal só se realizan suposicións moi xerais (é simétrica, continua, etc.)


2. Poboación e Mostra2. Poboación e Mostra

Poboación e

Mostra



Poboación: Colectivo: Universo: conxunto de elementos obxecto do estudo.Exemplos: Pacientes que chegan a urxencias dun hospital nun determinado ano, pezas producidas por unha máquina durante un certo período de tempo…


2. 2. PoboaciónPoboación e Mostra e Mostra

Poboación



NotaA poboación definirase sen ambigüidade, de forma que sempre se poida clasificar un elemento como pertencente ou non a ela.

Se podemos analizar toda a poboación teremos un censo, e poderanse sacar conclusións mediante técnicas descritivas dos datos.



Individuo: Unidade Estatística: cada un dos elementos da poboación.



Individuo



Xeralmente non é doado estudar toda a poboación por:

o custo económico que suporía

o estudo pode implicar a destrución dun elemento (estudar a temperatura máxima que pode soportar un cristal)

o tempo que se necesitaría.



Mostra: subconxunto extraído da poboación cuxo estudo serve para inferir características da poboación. Debe ser representativa e suficiente numericamente.

Vexamos algúns exemplos no portal educativo do Instituto Galego de Estatística

http://www.ige.eu/estatico/educacion/Matematicas/Descritiva/Teoria.htm






Mostra



A mostra debe ser o máis representativa posible da poboación da que proceda, para que a información que subministra poida usarse con exito á hora de obter conclusións sobre a poboación.

É importante que, cando existan diferenzas coñecidas de antemán nos elementos da poboación, a mostra as conteña tamén.




Mostraxe:Proceso de tomar mostras dunha poboación.Tamaño mostral:Número de elementos da mostra




Mostra nesgada:

Unha mostra non representativa da poboación

Os nesgos nos que adoitamos incorrer son :

Nesgo de selección: algúns membros da poboación teñen unha probabilidade máis alta que outros de estar representados na mostra.

Nesgo por no resposta: unha parte da poboación nonestá representada porque non proporciona resposta.



ExemploSupoñamos que no campus universitario da Coruña proponse a eliminación da circulación de vehículos nalgunhas zonas. Quérese incluír un estudo sobre a opinión das persoas vinculadas á universidade.



¿Canta xente está a favor de prohibir a entrada de coches no campus?



Definición da poboación

Consideraranse elementos da poboación:

Todos os estudantes matriculados durante este curso nos tres ciclos ou nun postgrao oficial. Todo o persoal de administración e servizos. Todos os profesores a tempo completo.



Podemos estudar a opinión de toda a poboación?

SI facemos un CENSO estudo exhaustivo de todos os elementos da poboación.

NON collemos unha MOSTRA estudo nun conxunto representativo da poboación.



Nesgos que poden aparecer na mostra: Nesgo de selección: Por exemplo, se só

preguntamos ás persoas que veñen en bus urbano a primeira hora.SOLUCIÓN: Deseñar a mostra cun procedemento obxectivo que garanta a representación de todos os individuos da poboación.

Nesgo por non resposta. Por exemplo, se enviamos un cuestionario, pode que non contesten os que non teñan coche propio por sentirse pouco afectados.SOLUCIÓN: non sempre se pode evitar, pero débese intentar controlar (incluír preguntas tipo: tes coche propio . . . ?


3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe

Mostraxe probabilística

Tipos de mostraxe



Un método de mostraxe é o procedemento empregado para a obtención da mostra.

A teoría que estuda os métodos axeitados a cada modelo é a teoría de mostraxe ou técnicas de mostraxe.



Unha mostraxe dise probabilística ou aleatoria se todos os individuos da mostra se elixen ao azar, de modo que todos os individuos da poboación teñen, a priori, a mesma probabilidade de ser elixidos



A calidade da mostra é tan importante coma o seu tamaño. Ao substituír o estudo da poboación polo da mostra, cométense erros. Pero con eles xa contamos e poden controlarse.Se a mostra está mal elixida (non é representativa) prodúcense erros adicionais imprevistos e incontrolables nesgos).



Na mostraxe probabilística distínguense dúas modalidades, dependendo do procedemento aleatorio de extracción utilizado:

Mostraxe con substitución.

Mostraxe sen substitución.



Cando eliximos unha mostra de tamaño n nunha poboación, a elección de cada un dos elementos da mostra é unha variable aleatoria.Temos polo tanto X1, X2,...,Xn variables aleatorias, chamadas variables mostrais.



Tanto na mostraxe con substitución como sen ela, as distribucións das variables mostrais son iguais entre si e iguais á distribución de probabilidade da poboación da cal proceden.



Non obstante, na mostraxe sen substitución as variables mostrais non se distribúen independentemente, cousa que sucede cando existe substitución.

Vexamos isto cun exemplo:



Sexa unha urna con 100 bólas, das cales : 20 están marcadas co número 1 30 co 2 50 co 3.

Extráense dúas bólas ao azar e mírase a puntuación que teñen. Imos determinar a distribución das variables mostrais X1 e X2 cando a mostra se extrae con e sen substitución.



A variable poboacional: X=Puntuación da bóla extraída

Ten como distribución de probabilidade:

P(X = 1) = 0, 20P(X = 2) = 0, 30

P(X = 3) = 0, 50



Con substitución:

5 0, 5 0, 5 0, 3 0, 5 0, 2 0, 5 0,

3)X3P(X 2)X3 P(X 1)X3P(X 3)P(X

3 0, 5 0, . 3 0, 3 0, . 3 0, 2 0, . 3 0,

3)X2P(X 2)X2 P(X 1)X2P(X 2)P(X

2 0, 5 0, . 2 0, ,3 0 . 2 0, 2 0, . 2 0,

3)X1P(X 2)X1 P(X 1)X1P(X 1)P(X

2121211

2121211

2121211



X2 distribúese igual a X1 e igual a X.

Ademais as variables son independentes xa que:

)x P(X . )x P(X )x X x P(X 22112211



Sen substitución

0,5 0,5.49/99 0,5.30/99 20/99 0,5.

3)X3P(X 2)X3 P(X 1)X3P(X 3)P(X

0,3 50/99 0,3. 29/99 0,3. 20/99 0,3.

3)X2P(X 2)X2 P(X 1)X2P(X 2)P(X

0,2 50/99 0,2. 0,2.30/99 19/99 . 0,2

3)X1P(X 2)X1 P(X 1)X1P(X 1)P(X

2121211

2121211

2121211



X2 distribúese igual a X1 e igual a X.

As variables non son independentes xa que:

1) P(X 1) P(X 2 0, 0,2

19/99 2 0, 1) X1 P(X

21

21



Tipos de mostraxe

Probabilísticos:Todos os individuos da poboación teñen a mesma probabilidade de formar parte da mostra.

•Aleatorio simple•Aleatorio sistemático simple•Estratificado•Por conglomerados e áreas•Polietápico

Non aleatorio: •Intencional•Por cotas•Opinático •Semialeatorio •De xuízo•Por bóla de neve



Mostraxes probabilísticos ou aleatorios



Mostraxe aleatorio simple

É o tipo de mostraxe máis simple e no que se basean todos os demais. É no que todos os individuos

da poboación teñen a mesma probabilidade de ser escollidos.



Os individuos elixidos en observacións anteriores a unha dada reinsertaranse na poboación, podendo aparecer novamente.

As variables aleatorias que conforman a mostra poden supoñerse independentes e identicamente distribuídas.



A mostra aleatoria simple ten dúas propiedades:

Inesgada: cada unidade ten a mesma probabilidade de saír elixida Independencia: a selección dunha unidade non inflúe na selección das outras



Algunhas das posibles formas de obter unha mostra por este método son: A utilización de táboas de

números aleatorios.

A simulación dunha variable discreta equiprobable.



As táboas de números aleatorios son recopilacións de díxitos obtidos como resultado dalgún procedemento físico que garante a aparición de cada posible valor (entre 0 e 9) coa mesma probabilidade e de xeito que sexan independentes entre si.



Por exemplo, un histórico dos números premiados nos sorteos da Lotería Nacional.



Procedemento:Numéranse os elementos da poboación. Escóllese n como o enteiro máis pequeno que garante que o número de elementos da poboación non sobrepasa 10n.

Cada grupo de n díxitos aleatorios dá lugar a un elemento da poboación, sempre que o número non exceda o tamaño da poboación. Neste último caso, rexéitase o número obtido e continúase ata completar o tamaño da mostra desexado.



Actualmente é moi común que sexan obtidas mediante un xerador de números aleatorios.(Exemplo de xerador en:

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/

geogebra/figuras/azar_aleatorios.htm )

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/azar_aleatorios.htm











ExemploQueremos obter unha mostra aleatoria simple, de tamaño 10, dos días do ano (nun ano non bisesto). Numeramos os días do ano correlativamente, comezando polo 1 dexaneiro (número 1) e terminando polo 31 de decembro (número 365).



3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 47300813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280

6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002

0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232

5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809

2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729

1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501

7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882

8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 22445086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642

0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092

0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921

2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 83837277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664

5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525

6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444

8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137

4094 4957

Agrupamos de 3 en 3 os díxitos

da táboa de números

aleatorios ecompletamos a

mostra.



369 =) NON.024 =) SI. Escollemos o 24 de xaneiro927 =) NON.171 =) SI. Escollemos o 20 de xuño.772 =) NON.065 =) SI. Escollemos o 6 de marzo.097 =) SI. Escollemos o 7 de abril.549 =) NON.233=) SI. Escollemos o 22 de agosto.057 =) SI. Escollemos o 26 de febreiro.334 =) SI. Escollemos o 30 de novembro.



730 =) NON.081 =) SI. Escollemos o 22 de marzo.367 =) NON.906 =) NON.858 =) NON.148 =) SI. Escollemos o 28 de maio.926 =) NON.693 =) NON.743 =) NON.190 =) SI. Escollemos o 9 de xullo.



Mostraxe sistemático Úsase frecuentemente cando os

individuos da poboación están ordenados en listas.

Este tipo de mostraxe é máis sinxelo e máis rápido computacionalmenteque a mostraxe aleatoria simple.



Dende un punto de vista probabilístico, pode ser moi adecuado se os individuos cercanos na lista presentan valores dependentes entre si.

O gran inconveniente é que existan periodicidades na lista que coincidan co salto k.



Procedemento:Temos unha poboación de tamaño N, da que queremos extraer unha mostra de n individuos, a mostraxe sistemática consiste en:1.Achar k, a parte enteira de N/n.2.Elixir aleatoriamente l con equiprobabilidade no conxunto 1, 2, 3, …, k3.Considéranse os individuos nas posicións l , k + l , 2k + l , …, (n - 1)k + l



ExemploConsideramos a poboación: “Recadación dun cine para cada día do ano 2004 (N = 366)”. Decidimos tomar unha mostra de 52 días, entón k=366/52=7, polo tanto os 52 días da mostra corresponderán sempre ao mesmo día da semana.



Así se o valor elixido ao azar entre 1 e 7 é l = 6, a mostra consistirá en todas as recadacións dos sábados do ano 2004. Isto, obviamente producirá un nesgo considerable nas estimacións que se obteñan desta mostra.



Mostraxe estratificadoEstá indicado para aqueles casos nos que

temos información sobre as unidades obxecto de estudo, de tal forma, que podemos dividir a poboación en estratos ou grupos de individuos entre os cales existen importantes diferenzas.

A mostraxe estratificada consiste en obter un número de individuos (denominado afixación) segundo unha mostraxe aleatoria simple dentro de cada estrato



Existen tres formas de proceder:Afixación simple: Tómase o mesmo

número de individuos en cada estrato.

Afixación proporcional: Elíxese o número de individuos en cada estrato proporcionalmente ao tamaño do estrato na poboación.



Afixación óptima: Suponse que se coñece o tamaño de cada estrato dentro da poboación, Ni, a desviación típica da característica obxecto de estudo en cada estrato, i , e o custo da mostraxe de cada unidade para cada estrato, ci .



K

1j j

jj

i

ii

i

c

σN

cσ

N

n

O número de individuos a elixir en cadaestrato é:



Exemplo: para saber o número de persoas que traballan no subsector pesqueiro en Galicia, no IGE realízase unha mostraxe aleatoria estratificada.



Divídese o sector en: marisqueo a flota pesca costeira pesca de altura,

Cada unha destas secciónanse en diferentes estratos segundo o TRB (toneladas de rexistro bruto) dos buques.Desta forma resultan un total de 9 estratos.

Podes atopar máis información na páxina do IGE

(http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met_macro_pesca_2003_2004_2006_05_30.pdf)

http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met_macro_pesca_2003_2004_2006_05_30.pdf

http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met_macro_pesca_2003_2004_2006_05_30.pdf



Mostraxe por conglomerado

Supón que a poboación pode dividirse en conglomerados ou grupos que son homoxéneos entre si.

En lugar de elixir unha mostra en cada conglomerado, elíxesen aleatoriamente algúns conglomerados e tómanse censos ou mostras neles. Isto abarata o procedemento de mostraxe.

Dentro de cada conglomerado, a forma de elixir mostras pode seguir calquera outro procedemento que se considere axeitado.



Exemplo: unha enquisa nos fogares galegos. A enquisa divide a Galicia en seccións censais (conglomerados), aleatoriamente obtén mostras de seccións censais e estuda cada un dos fogares nas seccións censais pertencentes á mostra



Mostraxe polietápica

A mostraxe polietápica fai referencia a plans de mostraxe máis complexos que se levan a cabo en varias etapas.



Exemplo:Supoñamos que se quere analizar a vixencia dos equipos informáticos nun conxunto de empresas dun certo ramo.



Poderiamos facer primeiro unha mostraxe estratificada seleccionando empresas de acordo ao seu tamaño: pequena mediana grande



Dentro de cada estrato da mostra, poderíase facer unha mostraxe por conglomerados, para seleccionar só unhas cantas empresas.En cada empresa, mediante estratos, seleccionaranse os equipos informáticos aanalizar : portátiles, equipos de mesa e

multifuncións.



Empresas dun certo ramo

Empresa pequena

•Portátiles•Equipos de mesa•Multifuncións

Empresa mediana

Empresa grande

•Portátiles•Equipos de mesa•Multifuncións

. Portátiles•Equipos de mesa•Multifuncións



Mostraxes non

aleatorios



En ocasións, as propiedades aleatoriedade desexables para calquera mostra sacrifícanse co fin de gañar rapidez ou de aforrar custo.

Nestes casos a incerteza dos resultados nunca se poderá medir co mesmo rigor que no caso de mostras aleatorias.



Mostraxes non aleatorios:Mostrase opinática: Cada elemento elíxese

subxectivamente, por consideralo representativo dentro da poboación.

Mostraxe por cotas: Limita a subxectividade doentrevistador, obrigándolle a elixir un certo número de individuos da mostra con certa característica.

Mostraxe semialeatoria: Nalgunha fase da mostraxe aleatoria déixase á elección do entrevistador os individuos que deben seleccionarse.



Mostraxes non aleatorias:Mostraxe por rutas: Consiste en especificar as

pautas a seguir nun itinerario para desembocar no individuo enquisado. Utilízase moi frecuentemente en traballo de campo en enquisas de opinión.

Mostraxe por bóla de neve: Consiste en lograr identificar a algún individuo representativo, e este levará a outro e así sucesivamente. Éunha técnica utilizada en estudos de colectivos marxinais, seitas, etc.


4. 4. Teorema central do límiteTeorema central do límite

O teorema central

do límite



O teorema central do límite é un dos teoremas fundamentais da Estatística. Estuda o comportamento da suma de variables aleatorias, cando crece o número de sumandos, asegurando a súa converxencia cara a unha distribución normal en condicións moi xerais.

O teorema central do límite establece o que pasa cando temos a suma dun grande número de variables aleatorias

independentes.



Este teorema ten unha gran aplicación na inferencia estatística, xa que moitos parámetros de diferentes distribucións de probabilidade, como a media, poden expresarse en función dunha suma de variables.

Permite tamén aproximar moitas distribucións de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student, gamma, etc., cando os seus parámetros crecen e o cálculo faise difícil. Vexamos un exemplo www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm)

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm



Teorema Central do Límite:Se nunha poboación con media μ e desviación típica σ, tomamos mostras aleatorias de tamaño n, a distribución de probabilidade da media mostral tende a unha normal de media μ e desviación típica cando n tende a infinito; é dicir: Para n grande, distribúese aproximadamente coma unha

X

n

σ

)n

σN(μ(



256

Exemplo:Supoñamos que a temperatura de Carballo é unha variable aleatoria continua conmedia descoñecida μ e desviación típica

σ =



Fanse 64 observacións aleatorias de temperatura.Cal é a probabilidade de que a temperatura media observada exceda en máis de 1,5 graos á μ ?



Exemplo: Como temos un número suficientemente grande de observacións, podemos asumir que a temperatura media observada, , distribúese coma:

Polo tanto a variable aleatoria

X

μ,2N64

256μ,N

0,22660,773410.75ZP10.75ZP2

μ-1.5)(μ2

μXP

0,1Nunhaé2

μXZ



O obxectivo do noso estudo é poder estender á poboación o que obteñamos dunha mostra.


5. 5. Distribución da media mostralDistribución da media mostral

Distribución da

media mostral



Supón que da poboación formada por todos os alumnos/as do instituto, extraes aleatoriamente unha mostra de 40 alumnos/as, e pregúntaslles pola súa idade, atopando que a idade media obtida é 15,8 anos .



Pero,... Que ocorrería, se extraésemos outra mostra?Coincidirían as medias ? Coincidirían esas medias coa media da poboación?



Parece lóxico pensar que aínda que non teñan porqué coincidir, si deberían estar bastante próximas.

Pero,... canto de próximas? dependería esta proximidade do

tamaño das mostras que eliximos?



Para poder responder a estas cuestións é necesario que estudemos a variabilidade das medias obtidas das mostras que repetidamente se extraian.

O seguinte resultado, responde claramente ás preguntas formuladas.


6. 6. Distribución da media mostral dunha poboación Distribución da media mostral dunha poboación normalnormal

Resultado:Supoñamos que queremos estudar unha variable (lonxitude, peso, idade,..) nunha poboación de tamaño N na que a media da poboación para esa variable é μ e a súa desviación típica é σ



j21 x,....,x,x

Extraemos aleatoriamente todas as posibles mostras de tamaño n.

Obtemos a media de cada unha destas mostras , e as consideramos unha distribución de datos (a distribución mostral de medias)

Verifícase que:a) A media dos datos é a media da poboación μ , é dicir, a media das medias das mostras é igual ca media da poboación.


6. 6. DistribuciónDistribución da media mostral dunha poboación normal da media mostral dunha poboación normal

b) Estas medias distribúense arredor da media da poboación, cunha desviación típica (chamada desviación típica da media, ) igual á da poboación dividida pola raíz de n, é dicir, a desviación da media mostral é:

c) A distribución das medias mostrais é unha distribución de tipo "normal" sempre que a poboación de procedencia o sexa, ou incluso se non o é, sempre que o tamaño das mostras sexa N = 30 ou maior.

n

σ


6. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normalDistribución da media mostral dunha poboación normal

En consecuencia, se unha poboación ten media μ e desviación típica σ, e tomamos mostras de tamaño n (de tamaño cando menos 30, ou calquera tamaño, se a poboación é "normal"), as medias destas mostras seguen aproximadamente a distribución

n

σμ,NX



Canto maior é o valor de n, mellor é a aproximación "normal"

A desviación típica da media é o grao de variabilidade das medias mostrais. Canto menor sexa, máis axustadas á media da poboación serán as medias que obteñamos dunha mostra. Da propia definición desta desviación típica conclúese que canto maior é o tamaño da mostra, menor é este grao de variabilidade e, polo tanto, máis similar á media da poboación será a media obtida da mostra.



Nesta páxina podes atopar unha aplicación interactiva que o ilustra http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/index2.htm

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/index2.htm

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/index2.htm



ExemploUnha compañía aérea sabe que a bagaxe dos seus pasaxeiros ten como media 25 kg. cunha desviación típica de 6 kg. Un dos seus avións transporta a 50 pasaxeiros, cal é a probabilidade de que o peso medio para estes pasaxeiros sexa superior a 26 kg?



ExemploSe o avión non debe cargar máis de 1300 kg nas súas bodegas para non superar a marxe de seguridade, en que tanto por cen os avións desta compañía superan a marxe de seguridade?



25,0,84N50

625,N

O peso medio das bagaxes de dito grupo estará na distribución mostral de medias

A probabilidade de que o peso medio para estes pasaxeiros sexa superior a 26 kg sería:

11,9%0,1191,18ZP0,84

2526ZP26XP



Se o avión non debe cargar máis de 1300 kg nas súas bodegas, a media do conxunto dos 50 pasaxeiros non debe superar os

Polo tanto nun 11,9% dos casos os avións desta compañía superan a marxe de seguridade.

2650

1300


7. 7. Distribución da proporciónDistribución da proporción

Distribución da

Proporción



A distribución binomial B(n,p), permítenos coñecer como se distribúe o número de éxitos correspondente a un experimento realizado n veces, e no que a probabilidade de éxito en cada experimento é p. Dita distribución ten media e desviación típica:

qpnσ

pnμ



Supoñamos que X é a variable que mide o número de éxitos. Os posibles valores de X son: 0,1,2,...,n.Se definimos unha nova variable,

esta tomaría os valores correspondentes ás proporcións (en tanto por un) de éxito.

nX

Y



Se por exemplo n=200, como teríase:

X=0 , (0 éxitos ) equivale a Y=0 ( é dicir, un 0% de éxitos)X=1 , (1 éxito ) equivale a Y=0,005 ( 0,5% de éxitos)X=2 , Y=0,01 ( é dicir, 2 éxitos equivalen a un 1% de éxitos)....X=n , Y=1 ( n éxitos = 100% de éxitos)

nX

Y



Dividindo por n, obteremos a media e a desviación típica da variable Y que representa a proporción de éxitos:

pnpn

μ

nqp

n

qpnσ



Se np>5, nq>5, utilizando a aproximación normal á binomial, poderemos afirmar que as proporcións de éxito, para un experimento binomial de n probas con probabilidade de éxito p en cada proba, distribúense segundo:

nqp

p,N



Polo tanto, se nunha poboación, unha determinada característica de tipo binomial (a poboación divídese entre os que a teñen e os que non), preséntase nunha proporción p, ao tomar mostras de tamaño n, as proporcións p' obtidas, distribuiranse segundo

(a partir deste momento suporemos sempre que np>5,nq>5).

Esta distribución denomínase distribución da proporción mostral

nqp

p,N



EXEMPLO:Nunha empresa está establecido que unha máquina opera correctamente cando, como máximo un 5% da súa produción é defectuosa. Elíxese aleatoriamente unha mostra de 100 artigos producidos por unha certa máquina e 40 deles son defectuosos.Existe razón para pensar que a máquina está estragada?.



EXEMPLO:As proporcións mostrais para mostras de tamaño 40 nunha máquina normal distribúense segundo

é dicir, distribúense de forma "normal" arredor do 5% cunha desviación típica do 2,18%.

80,05;0,021N100

0,950,050,05;N



40%0,410040

En consecuencia, a probabilidade de valores como o rexistrado

resulta ser:

e podemos asegurar "estatisticamente" que a máquina está estragada.

016,05Zp0,0218

0,050,4ZP0,4YP

9. mostraxe

Economy & Finance

Transcript of 9. mostraxe