Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos

celulares, y el sueldo del vendedor: (función ingreso)

Donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

Podemos observar:

1. Es función creciente

2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.

3. D (f) = R0+

I (f) =

En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales,

Por ejemplo:

Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en

función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)

Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.

Longitud de la circunferencia en función del radio.

Unidad de riego en función de la superficie.

Función cuadrática

Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el

siguiente: se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada

por la pelota en cada segundo contado a partir del momento en que fue lanzada.

La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática

que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento,

de acuerdo a ciertas leyes de la Física.

Si se obtiene, en un caso específico, la función

entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir,

tiene altura igual a cero:

Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso)

de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se

hace y se calcula

y cuando han transcurrido 2 segundos:

Puede hacerse una tabla como la que se muestra a la derecha.

0 0

1 6

2 8

3 6

4 0

De la gráfica de la interactividad anterior pueden inferirse varias cosas acerca del fenómeno en

cuestión, entre ellas:

1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.

2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.

3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de

altura (a los 2 segundos de su lanzamiento). Esto se puede ver al calcular la cantidad de metros que

subió desde el segundo 0 hasta el segundo 1, que es metros, y

compararla con la cantidad de metros que subió entre los segundos 1 y 2:

Luego ocurre algo curioso, entre los segundos 2 y 3, la

pelota comienza a descender y recorre exactamente 2

metros:

Y entre los segundos 3 y 4 vuelve a recorrer la

distancia que recorrió en el primer segundo:

esto se refleja gráficamente en la simetría de la curva

con respecto a la recta vertical .

Decir que esta curva es simétrica respecto a la recta , significa que si se rotara el plano

tomando la recta como eje, de manera que todo lo que está a la izquierda de la recta pase a la

derecha y viceversa, se obtendría una curva idéntica a la original.

En otras palabras, si un observador imaginario, diminuto, se situara en algún punto de la recta, lo

que vería de la curva al mirar hacia la izquierda, sería idéntico a lo que vería a su derecha.

En términos algebraicos, se tiene que la imagen, por medio de la función ,

de dos números que estén a la derecha y a la izquierda de 2 y a la misma distancia de 2, debe ser la

misma.

Por ejemplo, los números y son equidistantes de 2, pues

Y sus imágenes son iguales:

Ejercicio: comprueba algebraicamente la simetría respecto a la recta , de la curva

representada, tomando varias parejas de números equidistantes del 2 y calculando sus imágenes.

La curva obtenida es una parte de una curva llamada parábola; todas las funciones cuadráticas

tienen como representación gráfica en el plano cartesiano, una parábola.

Ejemplos de funciones cuadráticas

1.-

2.-

3.-

4.-

En una parábola se distinguen algunos elementos importantes:

El vértice.

Es el punto de ordenada mínima si la parábola abre hacia arriba, y es el de ordenada máxima si

abre hacia abajo.

En los ejemplos anteriores, los vértices son

1) 2) 3) 4)

en general, si una función cuadrática tiene la expresión

las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente son:

Ejercicio:

Comprueba que los vértices de las cuatro parábolas dadas corresponden a los puntos dados,

haciendo el cálculo de las coordenadas

en cada caso.

Los puntos de corte con los ejes.

Con el eje de las ordenadas hay un solo punto de corte. No puede haber más de uno cuando la

parábola representa a una función cuadrática, puesto que el punto de corte con el eje de las

ordenadas es el punto cuyas coordenadas son . Entre las propiedades de una función

está la que asegura la unicidad de la imagen de cada elemento.

Por ejemplo, en la función (1), , el punto de corte con el eje de las

ordenadas es , donde

es decir, es el punto .

Este punto está muy cerca del vértice, pero no coincide con él.

En la función (2), , el punto de corte con el eje de las ordenadas sí coincide con

el vértice, pues

y por lo tanto el punto es

Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas, hay que observar lo siguiente: puede

haber un sólo punto de corte, dos puntos de corte, o ninguno.

Para reflexionar: observando las gráficas de las funciones cuadráticas propuestas como los

ejemplos 1, 2, 3 y 4, intenta explicar por qué es posible que alguna de esas tres situaciones ocurra,

y por qué no podría haber más de dos cortes con el eje de las abscisas.

Si se busca el punto de corte con el eje de las abscisas de una parábola que representa a la función

en realidad se quiere saber cuál es el (o los) números que satisfacen , pues todo

punto de la parábola tiene coordenadas , y si uno de estos puntos está sobre el eje de

las abscisas, será de la forma .

Pero decir que es lo mismo que decir:

Las soluciones de esta ecuación cuadrática pueden ser 2 distintas, 1 solución doble, o ninguna real. .

Los ejemplos 1 y 3 anteriores muestran parábolas con dos puntos de corte con el eje de las

abscisas.

Los ejemplos 2 y 4 son parábolas sin cortes con el eje de las abscisas.

En el caso de la función 1, se obtiene la ecuación cuadrática

Esta se puede resolver aplicando la fórmula general:

También se podría, para resolver la ecuación, utilizar la expresión factorizada del trinomio

Si se desean determinar las soluciones de

basta con observar que, para que un producto sea igual a 0, uno de los factores (al menos) debe ser

igual a 0. Así, se obtienen las dos ecuaciones

y

Las parábolas de los ejemplos 2 y 4 no tienen puntos de corte con el eje de las abscisas, porque el

discriminante es negativo en ambos casos:

2

4

Eso nos indica que las ecuaciones

no tienen soluciones reales.

Para terminar, plantearemos un problema práctico cuya solución requiere del uso de una función

cuadrática.

Se quiere determinar las medidas del rectángulo de área máxima, con perímetro de 20 cm.

Sea el lado mayor y el lado menor del rectángulo de área máxima y perímetro igual a 20 cm.

Como el perímetro del rectángulo es

se tiene que

(1)

por otra parte, el área del rectángulo es igual a

(2)

Despejando en la ecuación (1), se obtiene

Sustituyendo esta expresión de en el producto (2), se obtiene, como área del rectángulo, lo

siguiente:

Es decir, para cada rectángulo cuyo lado mayor es igual a y cuyo perímetro es igual a 20 cm., el

área será igual a .

Se tiene, entonces, una función cuadrática, que puede llamarse , y se escribe

Como toda función cuadrática donde el coeficiente del término cuadrático es negativo (en este

caso es ), su gráfica es una parábola que abre hacia abajo, y es sabido que el punto de máxima

ordenada de esa parábola es su vértice.

Las coordenadas del vértice son (¡compruébelo!) y como la función fue definida de tal

manera que la variable independiente representa el lado mayor de un rectángulo de perímetro

20 y representa el área de ese rectángulo, se tiene que el área máxima

corresponde al rectángulo que tiene lado mayor igual a 5.

Como , se tiene que el lado menor es .

se trata, entonces de un cuadrado, pues ambos lados tienen la misma medida.

Se concluye así que el rectángulo de área máxima entre todos los que tienen perímetro igual a 20

cm., es el cuadrado de lado 5, cuya área es .

Aplicación de funciones

3. Aplicaciones de las funciones reales

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en

el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando

subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver

problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de

medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que

relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de

determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos

comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función

"x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función Afín

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda)

los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos

de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor

desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una

relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén

dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es

una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones

requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es

el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.

Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al

origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:

Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al

eje x que pasa por el punto (0,b).

Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de

coordenadas (0,0).

Función Cuadrática

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en

física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al

aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una

cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al

tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto

de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran

suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los

organismos.

Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos

hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación

cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada

verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la

velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva

llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica

La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la

intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está

definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una

constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del

terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos

cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la

magnitud.

En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el

cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10

. Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por

segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral

auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.

Logb a = N si bN = a

Notación logarítmica

Notación exponencial

4. Consecuencias de la definición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1

2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la

potencia: logb am = m, ya que bm = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.

5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si

la base b del logaritmo es b>1.

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si

la base b del logaritmo es b<1.

7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.

8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.

Propiedades de los logaritmo

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de

ellos.

logb(X · Y)= logb X + logb Y

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo

del denominador.

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la

potencia.

loga Xn = n loga X

Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Función Exponencial

Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su

cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento

decrece o decae.

En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde H+ es la

concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7.

Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se

dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto

dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y

plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento

radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función:

m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es

el tiempo en días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una

curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde

N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el

economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el

crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía

de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha

tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de

crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la

cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las

funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0

que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que

se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está

dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de

tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de

tiempo (año, meses, días, etc.).

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función

f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».

Propiedades de la función exponencial y = ax

1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1

2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a

3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da

como resultado un número positivo.

4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Ecuaciones Exponenciales

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la

práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

1. ax = ay x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como

potencias de la misma base.

5. Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo.

Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal

si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un

ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según

el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y

será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a

¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es

evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus

respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por

tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la

tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está

en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180°

tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg

q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser

mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no

depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las

funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si

el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre

la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r =

a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con

facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y

además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c

= a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de

forma aproximada

dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de

ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con

calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los

demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el

siguiente apartado.

Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así

como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.

En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo,

la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta

cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990

un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de

54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo

es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo

de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto

material.

En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y

siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los

mismos.

El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta,

ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Funciones Polinómicas

Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más generalmente

de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable generalmente representada

por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la

que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.

Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la x es

una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al valor 1,

P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas) se pueden

generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, que quedan

entonces definidas como:

Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a + b)xn; así, por ej., (3x2

+ 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.

Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.

Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.

Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los del

otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y se suman los resultantes

División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un polinomio).

P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones sobre

un retículo distributivo complementado.

P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl, donde / es la

matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado a todas las matrices semejantes y es

útil para reducirlas a su forma canónica.

P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar todos

los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo por tanto

un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.

P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las

variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea cuyo

grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado.

P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede

descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k.

P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.

P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.

6. Conclusiones

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy

importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la

química.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo

los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones

matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la

consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en

la practica.