APLICACIONES

1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus caractersticas nutricionales y los costos de stos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:

Leche (lt) Niacina Tiamina Vitamina C Costo 3,2 1,12 32 2

Legumbre (1 porcin) 4,9 1,3 0 0,2

Naranjas (unidad) 0,8 0,19 93 0,25

Requerimientos Nutricionales 13 15 45

Variables de Decisin:

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Funcin Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

Compruebe utilizando nuestro Mdulo de Resolucin que la solucin ptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor ptimo V(P)=2,4145.

. Problema de Dimensionamiento de Lotes: (Wagner y Whitin, 1958). Consiste en hallar una poltica ptima de produccin para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de produccin e inventario, considerando la disponibilidad de recursos escasos.

Considere que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificacin y se tiene adicionalmente la siguiente informacin:

Periodos 1 2 3 4

Demandas

Costo Prod.

Costo de Inventario (US$/unidad) 2 1 2.5 3

(unidades) (US$/unidad) 130 80 125 195 6 4 8 9

Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del perodo.

Variables de Decisin:

Xt: Unidades elaboradas en el perodo t (Con t =1,2,3,4) It: Unidades en inventario al final del perodo t (Con t =1,2,3,4)

Funcin Objetivo: (Minimizar los Costos de Produccin e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I3+ 3I4

Restricciones:

Capacidad de Produccin por Perodo: Xt =0, It >=0

Solucin ptima utilizando Solver de MS Excel (Para ver una aplicacin de esta herramienta ingrese AQUI): X1=115, X2=150, X3=100, X4=150, I1=0, I2=70, I3=45, I4=0. Valor ptimo V(P)=3.622,5

1. Problema de Transporte: (Referencia: Hitchcock, 1941; Kantorovich, 1942; Koopmans 1947). El problema consiste en decidir cuntas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (platas, ciudades, etc) a ciertos puntos de destino (centros de distribucin, ciudades, etc) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible. Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribucin con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son: C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Planta 1 Planta 2 21 28 25 13 15 19

Se requiere formular un modelo de Programacin Lineal que permita satisfacer los requerimientos de demanda al mnimo costo. Solucin: Variables de Decisin: Xij : Unidades transportadas desde la planta i (i=1, 2) hasta el centro de distribucin j (j=1, 2, 3) Funcin Objetivo: Minimizar el costo de transporte dado por la funcin: 21X11 + 25X12 + 15X13 + 28X21 + 13X22 + 19X23 Restricciones: Satisfacer los requerimientos de Demanda: X11+ X21 = 200 X12 + X22 = 200 X13 + X23 = 250 Sujeto a la Oferta de las plantas:: X11+ X12 + X13 = 250 X21 + X22+ X23 = 400

No Negatividad: Xij >= 0 El siguiente diagrama permite una visualizacin de la situacin anterior:

Resolucin utilizando el complemento Solver de Microsoft Excel:

1. Abrir una Planilla de Clculo de Excel. Asegurese de tener instalado el complemento Solver (Opcin Herramientas - Complementos) Luego construya una planilla como la de la imagen de referencia. Se han marcado con amarillo las celdas cambiantes (variables de decisin) y funcin objetivo. Para facilitar el seguimiento se ha escrito en rojo las frmulas asociadas a cada celda.

2. Ingrese la funcin objetivo, celdas cambiantes y restricciones en la ventana de "Parmetros de Solver". Si utiliza la mismas celdas de la imagen anterior, usted debera obtener lo siguiente:

3. Ingrese a "Opciones". Luego selecione "Adoptar modelo lineal" y "Asumir no negativos". Finalmente presione "Aceptar". Luego de esto usted volver a la pantalla principal (Parmetros de Solver)

4. Seleccione "Resolver". Obtendr la solucin al problema y podr requerir los Informes de Solver. Finalmente presione "Aceptar".

5. Se actualizarn los valores en la Planilla de Clculo en las celdas marcadas en amarillo desplegando la solucin ptima y valor ptimo. Adicionalmente se verifica el cumplimiento de las restricciones del problema.

6. Finalmente, se obtienen los informes de sensibilidad los cuales entregan informacin relevante en cuanto a los precios sombra asociados a las restricciones, intervalos de variacin de garantizan la validez del precio sombra, intervalo de variacin para los coeficientes de la funcin objetivo, etc.

Problema en Juegos de Azar: La programacin lineal es til para encontrar una combinacin de apuestas ganadora, tales como en juegos de casino tpicos como blackjack.