Unidad 3

NOTA: Leer muy bien las consignas antes de resolver los ejercicios. Leer comprensivamente todas las notas y observaciones del material de estudio. Si pensás que no se entiende, podés consultar otros libros (siempre teniendo en cuenta los conceptos que en este curso se consideran válidos, ya que según la posición del autor puede haber diferencias). Por último, no sólo deben preocuparse por resolver los ejercicios, sino tratar de obtener conclusiones de ellos.

1) La temperatura aumentó durante todo el período de registro para las sustancias 1, 2, 5, 9 y 10.

La temperatura descendió durante todo el período de registro para las sustancias 3, 4 y 7.

Esto no lo piden: Para la sustancia 8 la temperatura se mantuvo constante (no aumentó ni descendió) y para la 6 disminuyó hasta la tercera hora, y a partir de ahí aumentó durante las dos horas siguientes.

2)

Sustancia T. inicial T. final T. 1ra hora T. 2da hora T. 3ra hora1 0°c 10°c 2°c 4°c 6°c2 0°c 10°c 0,4°c 1,6°c 3,6°c2.3) La sustancia 1 aumentó su temperatura a velocidad constante (Por cada hora que transcurre aumenta 2°c) En cambio, en la sustancia 2 la velocidad con la que aumenta la temperatura no es siempre la misma (En la 1ra hora aumentó 0,4°c, en una hora más aumentó 1,2°c y a la hora siguiente aumentó 2°c)

3)

Sustancia T. inicial T. final T. 1ra hora T. 2da hora T. 3ra hora3 6°c -4°c 5,6°c 4,4°c 2,4°c4 6°c -4°c 4°c 2°c 0°c3.3) La sustancia 4 disminuyó su temperatura a velocidad constante (Por cada hora que transcurre disminuye 2°c) En cambio, en la sustancia 3 la velocidad con la que disminuye la temperatura no es siempre la misma (En la 1ra hora disminuyó 0,4°c, en una hora más disminuyó 1,2°c y a la hora siguiente disminuyó 2°c)

4) Las sustancias 1, 5 y 9 aumentaron su temperatura en forma constante. Las sustancias 4 y 7 disminuyeron su temperatura en forma constante. Sus gráficos son líneas rectas inclinadas (eso es lo que tienen en común)

5) Observando la sustancia 5:

5.1) Temperatura inicial: 1°C

5.2) Temperatura 1 hora después: 1,5°C

Temperatura 2 horas después: 2°C

5.3)

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

1 1,5 2 2,5 3 3,5

5.4) Su temperatura se modificó a ½ grado centígrado (0,5°C ) por cada hora transcurrida

5.5) T = ½ . t + 1 (La temperatura aumentó ½ grado por hora (1/2 .h), y a ese aumento se le suma 1°C que tenía al comenzar el registro) (T es temperatura y t es tiempo)

6) Observando la sustancia 7:

6.1) Temperatura inicial: 5°C

6.2)

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

5 4 3 2 1 0

6.3) Su temperatura se modificó a – 1 grado centígrado por cada hora transcurrida. (-1 porque la temperatura disminuye)

6.4) T = -1. T +5 (es lo mismo que T = - t+5)

7) Observando la sustancia 8:

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

3 3 3 3 3 3

La temperatura inicial es 3°c. La fórmula es T = 0.t +3 (es lo mismo que T = 3) (No depende del tiempo, la temperatura es constante, siempre es 3°c)

Observando la sustancia 9:

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

-4 -1 2 5 8 11

La temperatura inicial es -4°c. La fórmula es T = 3.t – 4

8) 8.1) El valor de la velocidad con la que varió la temperatura aparece, en cada fórmula, en el término que contiene la variable t.

T = ½ . t + 1

T = -1. T +5

T = 0.t +3

T = 3.t – 4

8.2) La temperatura inicial se ve en el término independiente (el que no contiene a t)

T = ½ .t + 1

T = -1. T +5

T = 0.t +3

T = 3.t – 4

9) T = 1/3. t +2

9.1) El 2 indica que al comenzar el registro la temperatura es de 2°c

9.2) 1/3 indica que por cada hora que transcurre, la sustancia aumenta 1/3°C (0.333…)

9.3)

10) Sustancia 12

10.1) T= - 3.t +9

10.2)

10.3) No, no hay dos instantes de tiempo en que la sustancia tenga la misma temperatura. Por lo tanto, la función es inyectiva.

10.4) La imagen de la función es el intervalo (Hallé las temperaturas inicial y final) pero el conjunto de llegada que yo elegí es . Como la imagen no es igual al conjunto de llegada, la función que definí no es sobreyectiva.

11)

Sustancia Función Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva1 Si No No4 Si No No5

Si No No

7 Si No No8 No No No9 Si No No

NOTA: Si como conjunto de llegada ustedes eligieron la imagen de cada función, en ese caso SÍ son sobreyectivas. Por lo tanto todas, excepto la 8, serán biyectivas.

12)

Si

Como C y B son números reales ( quedaría y= constante. Por ejemplo, y= 3. En este caso, el gráfico sería una recta horizontal (Como el de la sustancia 8)

En este caso, la ecuación es x= constante. En este caso, el gráfico sería una recta vertical.

Las rectas horizontales son funciones lineales, pero las rectas verticales no son funciones (ya que un mismo valor de x tiene infinitas imágenes)

13)

Sustancia Fórmula general o explícita Fórmula implícita5 T = ½ . t + 1 ½ t+1-T = 07 T = - t+5 -t+5 – T = 08 T = 3 3-T = 09 T = 3.t – 4 3t-4 –T = 0

(“Pasé” T restando al otro miembro de la igualdad)

14) Sustancia 13 : Para ver la temperatura inicial y la velocidad con la que varía la temperatura la fórmula debe estar en su forma explícita o general. Para ello, despejo “y” de la ecuación implícita que nos dieron:

14.1) La temperatura inicial es ½ .

14.2) Modificó su temperatura a -3/2 (o -1,5) grados por hora.

15) Sustancia 14 : Si aumentó 1/5 por hora, en 5 horas aumentó 5. 1/5= 1°c. Si al finalizar tenía -4c, al comenzar tenía 1 grado menos, es decir -5°c. Por lo tanto, su fórmula es: T= 1/5. t – 5

Sustancia 15: en la hora 2 4°C

en la hora 4 5°C

Podemos ver que en dos horas aumentó 1°C, entonces en una hora aumentó ½ °C (esa es la velocidad). Si aumenta ½ °C por cada hora, en el inicio tenía 1°C menos de la temperatura que tenía en la hora 2. Así que la temperatura inicial es 3°C. Por lo tanto, su fórmula es T= 1/2. t +3

16) Si no se puede calcular la pendiente con la fórmula dada en Notas y observaciones N°27. Esto ocurre porque la recta que resultaría es una recta vertical con ecuación x = k, que ya dijimos antes que NO es función lineal. Esta recta no tiene pendiente.

17) Es conveniente escribir cada fórmula en su forma general o explícita y= mx+b

17.1)

La función es

17.2) . En este caso no nos dan b como dato, pero nos dan un punto que, por pertenecer al gráfico, satisface la ecuación. Podemos reemplazarlo en la fórmula y despejar b ( El par ordenado (- 1; -17) significa que cuando x = -1, y = -17)

Por lo tanto, la fórmula es

Y la función es

17.3) En este caso nos dan dos pares ordenados (es decir dos puntos). Cuando x=0 , y= 1 (El par es (0;1)) y cuando x= 2, y = 5 (El par (2;5))

Podemos usar la pendiente usando la fórmula (Es lo mismo: )

Entonces, . Podemos usar cualquiera de los dos puntos dados para hallar b como hicimos en el caso anterior. Elijo el punto (0;1) porque me facilita las cuentas:

La fórmula es y la función es

17.4) Se hace igual que el anterior, ya que me vuelven a dar dos puntos.

La fórmula es y la función es

17.5) Se hace igual que el anterior, ya que me vuelven a dar dos puntos. En este caso, la pendiente es 0.

La fórmula es y la función es

18)

(es lo mismo que escribir )

Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva

(Se calcula resolviendo )

Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva

Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva.

)

Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva.

NO es inyectiva ni sobreyectiva (Sería sobreyectiva si hubiese elegido como conjunto de llegada cuando definí la función). Por lo tanto, NO es biyectiva.

NOTA: El conjunto de ceros, para cualquier función, se calcula igualando a cero la función, y despejando x

18.4) Calculo las funciones inversas sólo para aquellas funciones que sean biyectivas (de lo contrario, la inversa no sería función):

Función Función inversa

19) Sustancia 16 : modificó su temperatura a 0,5°C por hora (igual que la 15) y la temperatura inicial es 0°c.

19.1)

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

0 0,5 1 1,5 2 2,5

19.2)

Se observa que, en cada caso, el cociente T/t da 0,5 (es decir, el cociente es constante, porque siempre da lo mismo)

19.3) Fórmula: (es lo mismo que )

19.4) Función:

19.5) Para la sustancia 15, cuya fórmula es

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

3 3,5 4 4,5 5 5,5

; ; ; ;

En este caso, el cociente T:t no es constante, sino que siempre es distinto.

20) Verdadero, Falso, Falso

21) Sí, en la sustancia 1. En ese caso, la constante de proporcionalidad es 2=m.

La función correspondiente es

22) Lo que dicen Jimena y Roberta es FALSO (sólo es verdadero si y simultáneamente, que es lo que nos enseñan en la escuela cuando vemos magnitudes directamente proporcionales)

23) Sustancia 17 :

23.1)

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5Temperatura (°C)

0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5

23.2) . Se puede observar que el cociente es siempre el mismo (es constante)

23.3) Fórmula: . Esta fórmula tiene el formato

23.4) Sí, son directamente proporcionales.

23.5) Si hubiésemos dicho que lo que Jimena y Roberta es verdadero, con este ejemplo vemos que no lo es.

23.6) Le diría que:

Para saber si dos magnitudes son directamente proporcionales (MDP), el cociente y/x debe ser constante (es decir: y/x=k)

Todas las funciones lineales que tengan la forma (con b=0 y ) son funciones de proporcionalidad directa.

En un gráfico, nos damos cuenta de que lo son porque la recta pasa por el origen (es decir, por el punto (0;0))

24)

Si, por ejemplo, se cobrara $2 el minuto, más $20 fijos, la fórmula para calcular el monto a pagar por las llamadas sería: y=2x+20. Por lo tanto, no corresponde a MDP, pues no tiene la forma .

. No es función lineal (es cuadrática), por lo tanto, el área y la medida del lado de un cuadrado no son MDP.

. Sí, el perímetro y la medida del lado de un cuadrado son MDP.

Sí, son MDP, pues

25) 25.1) Estas rectas son paralelas entre sí. Sus pendientes son iguales.

25.2)

25.3) Esta recta es perpendicular a las otras dos. Su pendiente está invertida y con el signo contrario a la de aquellas.

NOTA: Posiciones entre dos rectas:

Paralelas propiamente dichas : son aquellas que nunca se cortan (en el sistema de referencia de la geometría euclideana, que es con la que trabajamos nosotros)

Paralelas coincidentes : Son aquellas que se cortan en infintos puntos (se superponen)

Secantes : Son aquellas que se cortan (o se cruzan) en un solo punto. Las rectas secantes pueden ser perpendiculares, si al cortarse forman un ángulo de 90° entre sí, u oblicuas en los demás casos (es decir, cuando al cortarse no forman un ángulo de 90°)

26) Si dos rectas tuvieran pendientes iguales a cero, serían dos rectas horizontales, y paralelas entre ellas ( Todas las rectas de pendiente cero son horizontales)

27) Si la recta tuviera pendiente , sería una recta horizontal. Una recta que fuera perpendicular a ella debería ser vertical.

28) Vamos a escribir la fórmula general para ver cuál es la pendiente de la recta que nos dan:

Su pendiente es

28.1) Para que las rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de una recta

paralela a L debe ser .

28.2) Una recta paralela a L tendrá una ecuación de forma . Como nos pide una cualquiera,

puedo escribir, por ejemplo, .

28.3) Sabemos que la pendiente debe ser y que debe pasar por el punto (3; -7). Hallo la ecuación igual que

hicimos en el ejercicio 17.2 y queda:

28.4) Para que sean perpendiculares, el producto entre las pendientes debe dar -1:

(Para no hacer este cálculo, basta con invertir la pendiente y cambiar el signo)

28.5) Como nos pide una recta perpendicular cualquiera, el valor de b lo puedo elegir yo. Elijo b=0 y queda:

.

28.6) La recta que piden debe tener pendiente y pasar por el punto (5;4). Resolviendo nuevamente como en el

ejercicio 17.2, queda: .

29) Los problemas los tengo manuscritos. Quien los quiera puede fotocopiarlos.

30) 30.1) Sí, en el instante t=1 tuvieron la misma temperatura. Esa temperatura fue T= 4°c

30.2) Utilizando sólo las fórmulas:

Sé que hay un instante en que la temperatura de la sustancia 4 fue igual a la de la sustancia 7. Lo escribo así:

Pero y . Entonces:

Como habíamos dicho, alcanzan la misma temperatura cuando t=1. Si reemplazamos en cualquiera de las dos fórmulas dadas, hallaremos T=4:

30.3) En este caso no hubo instantes en los que las temperaturas fueran iguales.

30.4) Trato de ver si hubo algún momento en el que las temperaturas fueran iguales, usando las fórmulas:

¡Llegamos a un absurdo! Esto ocurre porque nunca las temperaturas de estas dos sustancias van a ser iguales.

31)

Si el sistema tiene sólo una solución (Es un sistema con dos rectas secantes)

Si el sistema no tiene solución (Es un sistema con dos rectas paralelas propiamente dichas)

Si el sistema tiene infinitas soluciones (Es un sistema con dos rectas paralelas coincidentes)

32) No nos compliquemos mucho, usemos un solo método de resolución (o, a lo sumo, dos). Los más comunes son el de igualación y el de sustitución.

32.1) Lo hago por el método de igualación:

Despejo una misma variable en ambas ecuaciones:

Igualo:

Ahora reemplazo en alguna de las ecuaciones y obtengo el valor de y correspondiente:

Este sistema tiene sólo una solución, el punto (4;-1) (es decir que son dos rectas secantes que se cortan sólo en un punto)

Clasificación: Sistema compatible determinado

32.2) En este caso, al resolver el sistema (lo dejo para ustedes) llegamos a que 8=8. Como esto es cierto, este sistema tiene infinitas soluciones. Es decir que se trata de dos rectas paralelas coincidentes.

Clasificación: Sistema compatible indeterminado

32.3) Lo hago por el método de sustitución:

Reemplazo y=x-1 en la primera ecuación, para que quede todo en función de una sola variable:

¡Absurdo! Significa que se trata de rectas paralelas que nunca se cortan. Este sistema no tiene solución.

Clasificación: Sistema incompatible

33) En este ejercicio no se pueden utilizar los métodos de resolución, por eso nos da la Pista (hay que tener en cuenta el ejercicio 31). Primero despejemos “y” de cada ecuación, de modo que podamos ver la forma explícita o general de la recta, que es donde podemos identificar la pendiente y ordenada al origen.

33.1)

Para que el sistema tenga sólo una solución, las pendientes deben ser distintas.

(En este caso, y )

Entonces:

Para que tenga sólo una solución, puede ser cualquier valor real, excepto 4.

Para que el sistema no tenga solución, las pendientes deben ser iguales, pero las ordenadas al origen no.

cuando .

cuando 2 (Hallé este valor haciendo )

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, tanto las pendientes como las ordenadas al origen deben ser iguales.

cuando .

cuando 2

33.2) Despejamos “y” de cada ecuación:

Para que el sistema tenga sólo una solución, las pendientes deben ser distintas.

Entonces:

Para que tenga sólo una solución, puede tomar cualquier valor real, excepto 4 y -4.

Para que el sistema no tenga solución, las pendientes deben ser iguales, pero las ordenadas al origen no.

cuando o cuando .

Vamos a ver cuándo :

Pero hay dos posibles valores de : Uno es 4 y el otro -4:

*Si :

Entonces:

* Si :

Entonces:

Por lo tanto, para que no tenga solución debe ser igual a 4 o a -4.

Si es igual a 4, debe ser distinto de -2.

Si es igual a -4, debe ser distinto de 2.

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, tanto las pendientes como las ordenadas al origen deben ser iguales.

cuando .

cuando 2

34) 34.1) Llamo a la edad del padre e a la edad del hijo.

Lo traduzco a un sistema de dos ecuaciones:

Lo resuelvo (voy a usar sustitución):

Respondo la pregunta: El padre tiene 40 años y el hijo tiene 20.

34.2) = cantidad de billetes de un dólar

= cantidad de billetes de 5 dólares

Al resolver obtengo que , lo que significa que:

Rta: Darío contó mal, ya que = cantidad de billetes de 5 , debe ser un número entero.

34.3) cantidad de empleados de la primera oficina

cantidad de empleados de la segunda oficina

Al resolver obtengo: y .

Rta: Originalmente, había 21 empleados en la primera oficina y 7 en la segunda.

34.4)

Al resolver obtengo que

Rta: Cada una de las partes del capital es de $50000.

35) 35.1) La temperatura de la sustancia 4 fue menor que la de la 7 entre la primera y última hora, es decir en el intervalo . En la representación podemos verlo porque el gráfico de la 4 está por debajo del de la 7.

La temperatura de la sustancia 4 fue mayor que la de la 7 entre la hora 0 y 1, es decir en el intervalo . En la representación podemos verlo porque el gráfico de la 4 está por encima del de la 7.

35.2) Utilizando las fórmulas:

Lo que es lo mismo que escribir:

(Ustedes planteen y resuelvan )

35.3) En todo el período de registro la temperatura de la sustancia 15 es superior a la de la 16 (su gráfica siempre está por encima del de la 16). Nunca fue inferior.

36) 36.1)

Esto es cierto: cero es mayor que -3. Por lo tanto, para cualquier valor de x, siempre x+8 será mayor que x+5 (Si graficáramos estas dos rectas veríamos que son paralelas y que la primera está siempre por encima de la segunda)

Sol.= R

36.2) (ya sabemos que no tiene solución: nunca x+8 estará debajo de x+5)

Esto es falso, entonces esta inecuación no tiene ninguna solución.

Sol.=

36.3)

Sol:

36.4)

Sol:

36.5)

Sol:

36.6)

(escribir esto es lo mismo que lo anterior)

Sol:

37) 37.1) cantidad total de monedas

cantidad de monedas que recibe Eduardo = =

cantidad de monedas que recibe Esteban

cantidad de Raúl =

Pero

Entonces, la inecuación queda:

Rta: Esteban recibe entre 38 y 4º monedas, es decir que recibe 39 monedas.

37.2) Llamo x al número de dos cifras.

Rta: Los números pueden ser 10 u 11.

37.3) edad de Pablo = 11

edad de Juan =

edad de Pedro

La suma de las edades de Juan y Pedro no alcanza la de Pablo:

Rta: Pedro tiene 1 año

38) 38.1) Al comenzar el mes de marzo tenía $1500 (f(0)= -50.0+1500)

38.2) La cantidad de dinero disminuyó a una velocidad de 50 pesos por día a lo largo del mes.

38.3) Sí, en el día 30 se quedó sin dinero. (Planteo la ecuación -50.x+1500= 0, y despejo x)

38.4) En lenguaje matemático, calculé la raíz (o cero) de la función. También podría decir que calculé la preimagen de 0.

38.5) f(30)= -50. 30 + 1500 = 0

En términos de la situación, este valor indica que en el día 30 Ignacio se quedó sin dinero.

38.6) El conjunto imagen estará formado por las cantidades de dinero final e inicial. Imagen =

38.7) Debemos ver cuándo f(x)>500

-50x+1500 > 500

x < (500-1500)/-50

(Recordá que en una inecuación, al pasar un número negativo multiplicando o dividiendo se invierte la desigualdad)

x < 20

Entre el día 0 y el día 20 Ignacio tuvo más de $500. Sol:

38.8)

39) 39.1) El que fue tratado con Acelerator inicialmente medía 51mm. El que no fue tratado, 50mm.

39.2) La altura del tulipán tratado con Exatión varió a una velocidad de 5 mm por día. La velocidad de crecimiento del que no fue tratado es de 4mm por día.

39.3) En el punto 39.1 calculé las ordenadas al origen y en el punto 39.2 las pendientes.

39.4) Funciones:

Con Acelerator:

Con Exatión:

Sin fertilizante:

39.5) Transcurrieron tres semanas hasta que el tulipán tratado con Exatión alcanzó una altura de 78mm. En términos matemáticos, calculé la preimagen de 78.

39.6) ¿ ?

En la semana 12 tendrían la misma altura, pero el período de observaciones sólo llegaba hasta la semana 8. Por lo tanto la respuesta es NO, no alcanzaron la misma altura durante el período observado.

39.7)

39.8) Elegiría el fertilizante Acelerator, ya que hace crecer los tulipanes a mayor velocidad.

40) 40.1) Función:

40.2) El conjunto imagen estará formado por los importes a cobrar entre el viaje mínimo y el máximo. Por el mínimo viaje se pagará . Por el viaje máximo: .

Imagen=

40.3)

. Un cliente que hace un viaje de 32 km debe pagar $24,36.

. Un cliente que hace un viaje de 58 km debe pagar $34,80.

En lenguaje de las funciones calculé las imágenes de 32 y de 58.

40.4) Ya vimos en 40.3 que por un viaje de 58 km se paga $34,80

Vamos a ver si hay otro viaje (en el otro tramo) por el que se pague lo mismo:

Como este valor de x pertenece al tramo analizado, entonces sí hay otro viaje por el que se pagan $34,80 (No es única la respuesta). Ese otro viaje es de 50Km.

En términos de la función, calculé la preimagen de 34,8.

40.5) No, la función no es inyectiva, ya que hay dos valores de x que tienen la misma imagen: .

(Otra forma de decirlo es: no es inyectiva porque una misma imagen tiene dos preimágenes distintas)

Situación 10

1) En los cuatro primeros casos la distancia considerada es 45. En los dos últimos, 24.

2) 0-(-45)=45 o 45-0=45

-15-(-60)=45 o 30-(-15)=45

125-101=24 o 149-125=24

3) Este ejercicio está explicado en Notas y observaciones N°34. Sólo falta el 3.2) Si a=b, entonces a-b=b-a=0.

Por lo tanto, d(a;b)=0 si a=b

4)

5)

6) 4, 5 y 6 Están explicados en Notas y observaciones N°35

7) Imagen:

8) 8.1) ; ;

8.2) ;

8.3) Tiene un mínimo absoluto en el punto (0;0)

8.4) es una función par, pues su gráfico es simétrico respecto al eje “y”

8.5) Esta función no es inyectiva ni sobreyectiva. Por lo tanto, no es biyectiva.

9) 9.1) La función expresa la distancia desde cualquier número al 3.

9.2)

x 0 1 2 3 4 5 6g(x) 3 2 1 0 1 2 3

9.3)

9.4.1) Imagen:

9.4.2) ; ; ; ; .

Tiene un mínimo absoluto en el punto (3;0).

9.4.3) Esta función no es par ni impar. Tampoco es inyectiva, ni sobreyectiva. Por lo tanto, no es biyectiva.

10) Para graficar una función con módulo, al armar la tabla de valores dar valores a derecha y a izquierda del punto de simetría (es el valor que hace que “lo de adentro del módulo” sea cero).