9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to...

$: 9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to Paso.-libreriaonline.pe/previews/algebra_np_unidad_09.pdf · 434 Álgebra Und. 9 Inecuaciones 435 9.4.1. Inecuación fraccionaria$
434 Álgebra 435Und. 9 Inecuaciones

9.4.1. Inecuación fraccionaria

9.4.1A. Definición

Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente, tal que Q(x) ≠ 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas.

PQ

PQ

PQ

PQ

( )( )

; ( )( )

; ( )( )

; ( )( )

xx

xx

xx

xx

< ≤ > ≥0 0 0 0

9.4.1B. Resolución de la Inecuación

Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el ítem 9.3.3B, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación. Veamos:

1er Paso.- Al trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente prin-cipal positivo.

2do Paso.- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del numerador y denominador.

3ero Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada punto encontrado.

La razón de activo, RA, de un negocio se defi-ne como el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (prés-tamos a corto plazo e impuestos). En cierto mo-mento del año 2007 la compañía Ace Sports Equipment, solicitó un préstamo de x millones de dólares, para lo cual la entidad financiera planteó que la razón de activo fuera:

RA ACPC

= xx

→ ++ ≥40

82 5, ;

expresión llamada desigualdad fraccionaria.

9.4 Inecuaciones Fraccionariase Irracionales

4to Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en la RN para cada punto encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta (<, >) o doble (≥, ≤) respectivamente.

5to Paso.- Se anotan los signos (+) y (–) de los intervalos definidos por los puntos de corte del numerador y de derecha a izquierda.

6to Paso.- La solución estará dada por las zonas (+) o (–) según la relación de desigualdad sea (>, ≥) o (<, ≤).

Ejemplo.- Resolver: xx x

2

2 21

− −≥

Trasladando al primer miembro: xx x

x x xx x

2

2

2 2

221 0 2

20

− −− ≥ → − + +

− −≥

Reduciendo términos: xx x

+− −

≥22

02

Factorizando cada término: x

x x+

+ − ≥21 2

0( )( )

Los puntos de corte son: x + 2 = 0 ; x + 1 = 0 ; x – 2 = 0

x = -2 ; x x= =- ;extremos abiertos

1 2

En la recta real tenemos:

Elegimos las zonas positivas porque la relación es ≥, luego: CS = [-2; 1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩

9.4.1C. Método de los puntos de referencia

C1. Fundamentos del método

El método de los puntos de referencia permite determinar las raíces de una inecuación de gra-do mayor o igual a 2 y se fundamenta en un algoritmo constituido por un conjunto de pasos lógicamente estructurados y cuya secuencia garantiza la identificación de todas las raíces de una inecuación de 2do grado e incluso de grado superior.

C2. Aplicaciones

Este algoritmo se emplea para resolver inecuaciones fraccionarias, es decir, de la forma P( )Q( )

xx

> 0 (< 0), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como

por ejemplo:

4 13

0 3 12

0 4 3 02

2

2

7 33x

x xx xx x

x x−+

> − ++

< − + >; ( ) ( )( )

;


C3. Descripción del método

El método está constituido de los siguientes pasos:

1er Paso.- Expresar la desigualdad racional P( )Q( )

xx

> 0 (< 0), con los polinomios P(x) y Q(x) fac-torizados.

2do Paso.- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con peque-ños redondeles en la recta numérica real. Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada uno de los factores de P(x) y Q(x).

3er Paso.- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad* impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta.

4to Paso.- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad:

i) P( )Q( )

xx

> 0 , se consideran los intervalos ubicados sobre la recta.

ii) P( )Q( )

xx

< 0 , se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta.

La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada.

* La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto solución. Este número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz.

Ejemplo 1.- Resolver: (x ) (x )x (x )7 3− +

+<3 1

2

20

1er Paso.- En la inecuación dada ya se cumple con la primera condición pues se observa que el numerador y denominador están factorizados.

2do Paso.- Determinamos las raíces:

a) Las raíces reales del numerador son:

a1. (x – 3)2 = 0 → x = 3 (multiplicidad par)

a2. (x + 1) = 0 → x = -1 (multiplicidad impar)

b) Las raíces reales del denominador son:

b1. x7 = 0 → x = 0 (multiplicidad impar)

b2. (x + 2)3 = 0 → x = -2 (multiplicidad impar)

c) Ubicación de las raíces encontradas sobre la recta numérica:

3er Paso.- Trazamos la curva por todos los redondeles:

Observa que 3 es una raíz de multiplicidad par: (x – 3)2, por tal razón, aquí la curva queda del mismo lado («rebota»), en cambio en las demás, la curva cruza la recta.

4to. Paso.- Dado que el sentido de la desigualdad de nuestro ejemplo es <, el conjunto solu-ción vendrá dado por la unión de todos los intervalos ubicados debajo de la recta, los cuales hemos señalado como regiones sombreadas:

⟨-∞; -2⟩ y ⟨-1; 0⟩

Luego tenemos que: C.S = ⟨-∞; -2⟩ ∪ ⟨-1; 0⟩

Aclaremos, también, que en caso de desigualdades racionales no estrictas PQ

( )( )xx

≥ 0 ó bien PQ

( )( )xx ≤ 0, las raíces reales del numerador se marcan con redondeles sombreados y se incluyen

en la solución.

Ejemplo 2.- Resolver: ( )( )x x x x x x

2 2

26 6 5

4 3− − − +

− + ³ 0

Con el propósito de esquematizar el procedimiento, te presentamos la resolución así:

Factori-zamos los tér-minos

( )( )( )( )( )( )

x x x x x x

− + − −− − ≥3 2 5 1

3 10

Reducimos la expresión reco-nociendo que:

a) x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3

b) x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1

( - )( )( - )( - )( - ) ( - )

x x x x x x

3 2 5 13 1

0+ ≥

Elabora-mos la gráfica Sombreamos por arriba ya que el

sentido de la desigualdad ≥, es hacia la derecha.

Identi-ficamos

las raíces

→ (x + 2)(x – 5) ≥ 0

x + 2 = 0 → x = -2

x – 5 = 0 → x = 5

Recono-cemos

los inter-valos


De este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada. Por tanto:

C.S = ⟨-∞; 2] ∪ [5; +∞⟩ – {1}

9.4.2. Inecuaciones con radicales

Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m ∈ N | m ≥ 2,

Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas:

F( ) > H( ) ; F( ) < H( ) ; F( ) H( ) F( ) m m m mx x x x x x x≥ ∨ ≤≤ H( )x

9.4.3. Resolución de una inecuación con radicales

Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo radical y al signo de relación.

9.4.3A. Si: F( )2n x > H x( )

La resolución considera dos casos, veamos:

Caso (A): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) ≥ 0 ∧ F(x) > [H (x)]2n

Caso (B): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) < 0

Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos.

9.4.3B. Si : F( ) H2n x < ( )x

La resolución plantea: F(x) ≥ 0 ∧ H(x) > 0 ∧ F(x) < [H(x)]2n

9.4.3C. Si : F( ) H2n 1 x+ > ( )x

La resolución plantea: F(x) > [H(x)]2n + 1

9.4.3D. Si : Fn ( ) ( )x x2 1+ <

La resolución plantea: F(x) < [H(x)]2n + 1

Observación.- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna res-tricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí.

Prob. 01.- Resolver: 2 11

1xx

−+

>

A)⟨-∞;-2⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨1;∞⟩

D)⟨-∞;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩

Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos:

2 11 1 0 2

1 0xx

xx

−+ − > → −

+ >

Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el 2º paso, se procede a determinar los puntos de corte. Veamos:

x – 2 = 0 ; x + 1 = 0 → ptos: 2 y -1

En la recta numérica:

De donde se consigue: x ∈ ⟨–∞; -1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩ Rpta. E

Nota. Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador. Asimismo, 2 es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>).

Prob. 02.-Resolver: 21

31

52x x x− + +

+ <

A)⟨-2;0⟩∪⟨1/3;∞⟩ B)⟨-2;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-3;-2⟩∪⟨1/2;2⟩

D)⟨-2;-1⟩∪⟨-1/3;1⟩ E)⟨-1;1⟩∪⟨2;3⟩

Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: 21

31

52 0x x x− + + − + <

2 1 2 3 1 2 5 1 11 1 2 0( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )x x x x x x

x x x+ + + − + − − +

− + + <

2 3 2 3 2 5 11 1 2 0

2 2 2( ) ( ) ( )( )( )( )

x x x x xx x x

+ + + + − − −− + + <


Efectuando obtenemos: 3 3 11 1 2 0( )

( )( )( )x

x x x+

− + + <

Observar que: 3 > 0, luego: 3 11 1 2 0x

x x x+

− + + <( )( )( )

Los puntos de corte son: -1/3 ; 1 ; -1 ∧ -2

En la recta numérica los intervalos solución están dados por las zonas (–) porque el signo de relación es estricto (<):

De donde obtenemos: x ∈ ⟨-2; -1⟩ ∪ ⟨-1/3; 1⟩ Rpta. D

Prob. 03.- Resolver: x x

x x

2

23 4

2 81+ −

− −≥

paraluegoindicarlasumadelmayorenteronegativo«x»conelmenorenteropositivo«x».

A)4 B)-1 C)35 D)6 E)2

La inecuación dada es: x xx x

2

23 42 8

1 0+ −− −

− ≥

Efectuando operaciones tenemos: 5 42 8

02x

x x+

− −≥

Factorizando los términos queda: 5 44 2 0x

x x+

− + ≥( )( )

Los puntos de corte son: -4/5 ; 4 y -2

Observar que en la recta los puntos 4 y -2 son los extremos para intervalos abiertos, mien-tras que el punto -4/5 es extremo cerrado.

Notamos que el mayor entero negativo «x» es: xmáx = -1

Asimismo el menor entero positivo «x» es: xmín = 5

\ xmáx + xmín= 4 Rpta. A

Prob. 04.- Resolver: xx

xx

++ ≤ +

+31

24

A)⟨-∞;-1⟩∪[4;∞⟩ B)⟨-∞;-4⟩∪[-5/2;1⟩ C)⟨-∞;-4⟩∪⟨5/2;∞⟩

D)⟨-∞;-10⟩∪[-2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪[3;∞⟩

Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: xx

xx

++

− ++

≤31

24

0

Efectuando tenemos: 2 2 51 4 0( )

( )( )x

x x+

+ + ≤

Dado que: 2 > 0, podemos simplificarlo: 2 51 4 0x

x x+

+ + ≤( )( )Los puntos de corte son: -5/2 ; -1 y -4

Ya que -5/2 es un cero del numerador y la desigualdad es doble, le corresponde un redon-del negro, es decir es un extremo cerrado. Luego, elaborando la gráfica, se tiene:

De donde conseguimos: x ∈ ⟨-∞; -4⟩ ∪ [-5/2; 1⟩ Rpta. B

Prob. 05.-Resolver: x x2

2− − < 2

A)⟨-3;-2⟩∪⟨1;5⟩ B)⟨-3;-1⟩∪⟨2;5⟩ C)⟨-2;-1⟩∪[2;3⟩

D)⟨-3;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-3;-1⟩∪⟨3;5⟩

Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 > , se tiene:

{x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 2 < 22}

Es decir: {x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 6 < 0}

De donde tenemos: {(x – 2)(x + 1) ≥ 0 ∧ 2 > 0 } ∧ {(x – 3)(x + 2) < 0}

Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y 2

Para la 2da condición se determinan los puntos de corte: -2 y 3


Elaborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene al intersectar los intervalos solución de cada condición. Veamos:

Finalmente la intersección viene dada por:

\ x ∈ ⟨-2; -1] ∪ [2; 3⟩ Rpta. C

Prob. 06.- Resolver: x33

1− > −x 1

A)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩ B)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪⟨3;∞⟩

D)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ E)⟨-∞;0⟩∪⟨3;∞⟩

Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 1+ > , se tiene:

La inecuación dada es: x x33 1 1− > −

Elevando al cubo tenemos: x3 – 1 > x3 – 3x2 + 3x – 1

Reduciendo conseguimos: 3x2 – 3x > 0

Factorizando obtenemos: 3x(x – 1) > 0

Observar que: 3 > 0

Luego: x(x – 1) > 0

Los puntos de corte son: 0 y 1


De donde se consigue: x ∈ ⟨-∞; 0⟩ ∪ ⟨1; ∞⟩ Rpta. B

Prob. 07.- Resolver: 2 1 3x − >

A)⟨5;∞⟩ B)⟨-∞;5⟩∪⟨8;∞⟩ C)⟨-∞;-5⟩∪⟨5;∞⟩

D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)⟨3;∞⟩

La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolu-ción se planteará lo siguiente:

Caso (A): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0 ∧ 2x – 1 > 9

x ≥ 1/2 ∧ R ∧ x > 5

De donde intersectando conseguimos: x > 5 ↔ x ∈ ⟨5; ∞⟩

Caso (B): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 < 0

x ≥ 1 ∧ ∅ (Absurdo)

De donde intersectando conseguimos: x ∈ ∅

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos (A) y (B), veamos: x ∈ ⟨5; ∞⟩ ∪ ∅ \ x ∈ ⟨5; ∞⟩ Rpta. A

Prob. 08.- Resolver: 2 3 1x x+ > +

A)[-2;5⟩∪⟨6;∞⟩ B)⟨-∞;-3/2⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪[4;∞⟩

D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)[-3/2; 2 ⟩

De acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 9.4.3A. para resolver la inecuación dada se procede de la siguiente manera:

Caso (A): {2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {2x + 3 > x2 + 2x + 1}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {x2 – 2 < 0}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {(x + 2 )(x – 2 ) < 0}


La intersección viene dada por:


De donde se obtiene que: x ∈[- ; 1 2

Caso (B): 2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 < 0

Intersectando en la recta numérica se tiene:

x ∈ [-3/2; -1⟩

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas en los casos (A) y (B), es decir:

x ∈[ ∪[- ; -3/2; -1 2 1 \ x ∈∈-3/2; 2 Rpta. E

Prob. 09.- Resolver: 2 1− ≤ +x x

A)⟨1;5] B)⟨-∞;-3⟩ ∪ ⟨4;∞⟩ C)[-1/2;6⟩ ∪ ⟨7;∞⟩

D)[-1;1/2] E)⟨-1;2]∪ ⟨3;∞⟩

Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación al cuadrado, veamos:

2 1− ≥ +x x → 2 – x ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ x + 1

x – 2 ≤ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2x – 1 ≤ 0

De donde tenemos: x ≤ 2 ∧ x ≥ -1 ∧ x ≤ 1/2

\ x ∈ [–1; 1/2] Rpta. D

Prob. 10.- Determinarelmínimovalorde f ( )x x x= − + +2 2 2 2 ;x ∈R

A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3

Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que:

(x – 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R x2 – 2x + 1 ≥ 0

Sumando 1: x2 – 2x + 2 ≥ 1

Extrayendo raíz cuadrada: x x2 2 2 1− + ≥

Sumando 2 conseguimos: x x2 2 2 2 1 2− + + ≥ +

f(x) ≥ 3

\ f(x) mínimo = 3 Rpta. C

Prob. 11.- Resolver: − − +−

<2

90

2

2x x

x

A)⟨1;3⟩ ∪ ⟨3; 4⟩ B)⟨2;3⟩ C)⟨-3;-1⟩

D)⟨-3;-1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ E)⟨-2;-1⟩ ∪ ⟨2;4⟩

La inecuación dada se puede reescribir así: -2 0 9 02 2− + > ∧ − <x x x

En forma equivalente: –2 – x + x2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0

x2 – x – 2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0

Factorizando cada polinomio del primer miembro:

(x – 2)(x + 1) > 0 ∧ (x + 3)(x – 3) < 0

En la recta real: ∩

de la intersección: -3 < x < -1 ∨ 2 < x < 3 \ CS = ⟨-3; -1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ Rpta. D

Prob. 12.- Resolver xx

−+

>41

015

7,darcomorespuestaelcomplementodesuconjuntosolución.

A)⟨-1;4⟩ B)⟨-4;1⟩ C)[-4;1] D)⟨-∞;-1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩ E)[-1;4]


La inecuación dada es: xx

−+

>41

015

7

Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de x − 415 es el mismo que el de x – 4, asimismo que el signo de x + 17 es el mismo que el de x + 1.

Ahora la inecuación se puede reescribir así: xx

−+ >4

1 0

En la recta real: → CS = ⟨-∞; -1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩

\ (CS)' = [-1; 4] Rpta. E

Prob. 13-Determinarelconjuntosolucióndelainecuación: x xx

< −−

161

A)⟨1;4⟩ B)⟨1;4⟩ C)⟨0;5⟩ D)⟨2;4⟩ E)⟨3;4]

De acuerdo con la teoría, se cumple que: x xx

x xx

≥ ∧ −−

≥ ∧ < −−

0 161

0 161

por -1

x xx

x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ − −−

<0 161

0 161

0

x xx

x x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ − − +−

<0 161

0 161

02

x xx

xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ −−

<0 161

0 161

02

x xx

x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ + −−

<0 161

0 4 41

0( )( )

(x ≥ 0) ∧ (1 < x ≤ 16) ∧ (x < -4 ∨ 1 < x < 4)

De la intersección: 1 < x < 4 \ CS = ⟨1; 4⟩ Rpta. A

Prob. 14.- Determinarlacantidaddevaloresenterosqueasumexenlasiguienteinecuación:

2 9 1− − ≥x

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

La inecuación dada es: 2 9 1− − ≥x

Según la teoría se cumple: 2 9 0 2 9 1− − ≥ ∧ − − ≥x x

En forma equivalente: 9 2 9 1− ≤ ∧ − ≤x x

9 1− ≤x

Ahora se cumple que: 9 – x ≥ 0 ∧ 9 – x ≤ 1

x x≤ ∧ ≥9 8

8 ≤ x ≤ 9

Fácilmente reconoceremos que los valores enteros que asume «x» son 8 y 9.

\ Nº de valores = 2 Rpta. A

Prob. 15.- Resolver: x x− ⋅ − ≥2 9 023

A)[3;∞⟩ B)[2;∞⟩ C)[9;∞⟩ D)[3;9] E)[3;∞⟩ ∪{2}

La inecuación dada es: x x− ⋅ − ≥2 9 023

De acuerdo con el conjunto de valores admisibles (CVA) en R para el radical de índice par debemos plantear:

x – 2 ≥ 0 ↔ x ≥ 2

Ahora la inecuación: x x− ⋅ − ≥2 9 023

Se puede reescribir así: x x23 9 0 2− ≥ ∀ ≥;

Elevando al cubo: x2 – 9 ≥ 0 → (x + 3)(x – 3) ≥ 0

En forma equivalente: x ≤ -3 ∨ x ≥ 3

Pero x ≥ 2, luego: x ≥ 3 ∨ x = 2 \ CS = [3; ∞⟩ ∪ {2} Rpta. E


01.-Resolver: 41

1xx +

>

A)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/3;∞⟩

B)⟨-1;1/3⟩

C)⟨-∞;1⟩∪⟨4/3;∞⟩

D)⟨-∞;-2⟩∪⟨2/3;∞⟩

E)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/2;∞⟩

02.- Resolver: 21

41x x+

≥−

A)⟨-3;1⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩

C)⟨-3;1⟩ D)⟨-3;-1]∪⟨1;2⟩

E)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩

03.- Resolver: 21

3 1x x x− + >

A)⟨0;1/2⟩∪⟨1;∞⟩

B)⟨-∞;0⟩∪⟨1/2;1⟩

C)⟨-∞;1⟩

D)⟨1/2;1⟩∪⟨1;∞⟩

E)⟨0;1/4⟩∪⟨1/2;∞⟩

04.- Resolver: x x

x x

2

22

20− −

+ −≤

luegoindicarlacantidaddenúmerosenteros«x»queverifiquenlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)Infinitos

05.-Resolver: 32

4x −

>

A)⟨2;11/4⟩ B)[2;11/4⟩ C)⟨2;11/4]

D)∅ E)R

06.-Resolver: x x x

x x

5 3

4 23

3 11+ +

+ +≤

A)⟨3;6⟩ B)⟨-∞;1] C)⟨-1;2⟩

D)⟨0;1⟩ E)⟨0;3]

07.- Indicarunintervalosoluciónde:xx

xx

++

> ++

34

12

A)[-4;-2⟩ B)⟨-4;-2⟩ C)[-3;-2⟩

D)⟨-∞;-4⟩ E)⟨-3;-5⟩

08.- Resolver: 4 3 2 7− > −xx x

A)⟨1/2;0⟩ B)∅ C)⟨0;∞⟩

D)R E)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨0;∞⟩

09.- Silaexpresión: xx x x− − + −

−12

18

12

es no negativa, ¿cuál es el intervalo al cualpertenece«x»?

A)⟨-∞;-2⟩∪⟨-1;1⟩∪⟨3;∞⟩

B)⟨-∞;-2]∪⟨-1;1⟩∪[3;∞⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩

D)⟨∞;-2]∪⟨-1;3⟩–{1}

E)[-2;-1⟩∪⟨1;3⟩

9.4. InecuacionesFraccionarias e Irracionales

Práctica10.- Resolver: 2 1 1x − >

A)x≥1/2 B)x>1 C)x≥2

D)x>3 E)x>0

11.-Resolver: x2 1 4− > -

A)⟨-1;1⟩ B)⟨-∞;0⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩ D)⟨1;∞⟩

E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩

12.- Resolver: x x x2 12− − >

A)R B)∅ C)⟨-∞;0]

D)⟨-∞;-3] E)⟨-∞;-3⟩

13.-Resolver: 3 2 2x + <

A)[-2/3;2/3] B)[-2/3;2/3⟩

C)⟨-2/3;2/3⟩ D)⟨-2/3;2/3]

E)⟨-∞;2/3⟩

14.- Resolver x x2 5 4 2− + < , para luegoindicarlacantidaddenúmerosenterospositi-vos«x»queverificanlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

15.- Resolver: x x2 2 5− − < -

A)⟨-1;2⟩ B)⟨-2;1⟩

C)⟨-∞;-1]∪[2;∞⟩ D)∅

E)⟨-∞;-2]∪[1;∞⟩

16.-Resolver: x x33 8 2+ ≤ +

A)[-2;0] B)[-2;0⟩

C)⟨-∞;-2]∪[0;∞⟩ D)⟨-∞;-2⟩∪⟨0;∞⟩

E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩

17.- ¿Cuántosnúmerosenteros«x»verifican

lasiguienteinecuación: x x33 7 1− < − ?

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

18.- Resolver: x x− ≤ −4 11

A)[4;11] B)[15/2;11] C)[4;15/2]

D)[2;15/2] E)∅

19.- Resolver: xx

−+

>32

0

A)R–[-2;3] B)R–[2;3]

C)R–[-3;2] D)R–[1;5]

E)R–[2;9]

20.- Alresolver: x xx x

2

22 34 3

3− +− +

> - ,seobtiene:

A)R–

B)R–∪⟨2;3⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨3/2;2⟩

D)R–⟨1;3⟩

E)⟨-∞;1⟩∪⟨3/2;2⟩∪⟨3;∞⟩

21.- Resolver: x x x

x

4 6 7

117 1 2

10+( ) +( ) +( )

−( )≤

A)∅ B)R C)[-3;-1⟩

D)[-3;1⟩ E)[-2;1⟩

22.- Unintervalosoluciónde:

xx n

x

x n

nx n

n−

≤−

++

>8 2 02

2 2; es:

A)⟨-n;n⟩ B)⟨n;3n⟩ C)[3n;∞⟩

D)⟨n;3n] E)[3n;∞⟩

450 Álgebra

23.-Resolver: xx

xx

−+ ≤ +

−22

11

A)x ∈⟨-2;0⟩∪⟨1;∞⟩

B)x∈⟨-2;1⟩

C)x∈⟨-1;1⟩∪⟨2;∞⟩

D)x∈⟨-1;0⟩∪⟨1;∞⟩

E)x∈∅

24.-Si:0>b>a,resolver: ax bbx a

++ ≥ -1

A)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪[-1;∞⟩

B)x∈⟨1;a/b⟩

C)x∈⟨-∞;0⟩∪⟨1;a/b⟩

D)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪⟨1;∞⟩

E)R

25.-Dado: M |= ∈ − ≤{ }x x 2 9 4 ,indiqueelcardinalde«M».

A)4 B)2 C)3

D)6 E)8

26.-Al resolver: 2 52− − >x x - indicar elproductodelmenorconelmayorentero«x».

A)-2 B)1 C)3

D)0 E)-3

27.- Resolver: xx

−−

<24

2

A)⟨-∞;4] B)⟨-2;3⟩ C)⟨2;3⟩

D)⟨18/5;4] E)[2;18/5⟩

28.-Resolver:

x x x x

x x x x x

−( ) −( ) +( ) −

−( ) +( ) −( ) −( )≥6 8 3 1

4 4 64 50

3 15 3

9 10 3

A)x∈[-3;0⟩∪⟨2;3⟩

B)x∈[-2;0⟩∪[2;3]

C)x∈[-2;1⟩∪⟨2;3]

D)x∈[-3;0⟩∪[1;2]

E)∅

29.-Resolver: 2 1 3 3 02x x x− > − + ≥

A)x<-1/4∪x>1/3

B)x>1/5∪x<3/4

C)x>-2/3∪x<1

D)x>-5/3∪x<1

E)x>1

30.-Determinarelintervaloformadoporlosvalores de «x» que satisfacen la siguienteinecuación:

2 2 4 22 4

1x x xx x− − −− −

>( )

A)⟨4;∞⟩ B)⟨2;∞⟩ C)⟨-2;4⟩

D)⟨2;4⟩ E)⟨0;∞⟩

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

20E

19A

18C

17B

16C

15D

14B

13B

12D

11E

10B

09B

08E

07D

06B

05A

04B

03A

02B

01A

21E

28D

27E

26A

25D

24A

23A

22D

29E

30A

9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to...

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