(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DESARROLLO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL EN SERIES DE POTENCIAS

Una “Serie de Potencias en x” se define como:

20 1 2

0

n nn n

na x a a x a x a x

∞

=

= + + + + +∑

la que es evidente que converge si 0x = . Para determinar otros valores de " "x donde se presente la convergencia de estas series de potencias, se emplea con frecuencia la prueba de la razón o criterio de D’Alembert, que ya se demostró y que se enuncia como: Considérese la serie de potencias n

na x∑ con términos no nulos y sea

1lim nn

n

a La

+

→∞=

Entonces: ) 1 absoluta convergenciai L < ⇒ ) 1 divergenciaii L > ⇒

absoluta convergencia) 1 convergencia condicional

divergenciaiii L

⎧⎪= ⇒ ⎨⎪⎩

También se vio que para estas series se cumple una de las siguientes afirmaciones: )i La serie converge sólo si 0x = . )ii La serie es absolutamente convergente para toda " "x . )iii Existe un radio de convergencia " "r tal que la serie es

absolutamente convergente si x r< (intervalo de

convergencia) y divergente si x r> .

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2Además, una “Serie de potencias en x c− ” (c∈ ) está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )20 1 2

0

n nn n

na x c a a x c a x c a x c

∞

=

− = + − + − + + − +∑

y se asume en ella, para simplificar el enésimo término, que

( )0 1x c− = aun si x c= . Y para esta serie, como para la anterior, también una de las afirmaciones siguientes se satisface: )i La serie converge sólo si 0x c− = , esto es, si x c= . )ii La serie es absolutamente convergente para toda " "x . )iii Existe un radio de convergencia " "r tal que la serie es

absolutamente convergente si x c r− < (intervalo de

convergencia) y divergente si x c r− > . También ya se estudió que una serie de potencias

( )nnn na x o a x c−∑ ∑ puede ser utilizada para

representar una cierta función f cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Y que para toda " "x en el intervalo de convergencia de una serie n

na x∑ también son válidas las series correspondientes a su derivada y a su integral, esto es,

( ) 1 2 11 2 3

1' 2 3n n

n nn

f x na x a a x a x na x∞

− −

=

= = + + + + +∑

y

( ) 1 2 3 10 1 20

0

1 1 11 2 3 1

x n nnn

n

af t dt x a x a x a x a xn n

∞+ +

=

= = + + + + ++ +∑∫

En el tema de Series se trataron también las de Taylor y Maclaurin, que son, respectivamente,

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2''

'2! !

nnf c f c

f x f c f c x c x c x cn

= + − + − + + − +

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 00 ' 0

2! !

nnf f

f x f f x x xn

= + + + + +

Como ya se dijo, en estas series es posible también aplicar el criterio de D’Alembert o de la razón para estudiar su naturaleza. Ahora se realizará una serie de ejercicios para ilustrar todo lo aquí expresado, con las funciones logaritmo natural y exponencial. Ejemplo. Verificar que la función ( ) xf x e= se representa con la serie de potencias:

2 3

12! 3! !

nx x x xe x

n= + + + + + +

Solución. Considérese que la función se representa por la serie dada, luego es posible escribir que:

( )2 3

01

! 2! 3! !

n n

n

x x x xf x xn n

∞

=

= = + + + + + +∑

Si se deriva se obtiene:

( ) ( )1 1 2 3

1 1' 1

! 1 ! 2! 3! !

n n n

n n

nx x x x xf x xn n n

− −∞ ∞

= =

= = = + + + + + +−∑ ∑

lo que significa que la derivada de la serie de potencias dada es igual a la función, esto es,

( ) ( )'f x f x=

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4Como se observa, esta serie cuya derivada es igual a ella misma y que representa a la función ( ) xf x e= , que es la única función en Cálculo cuya derivada es igual a la función misma. Hay un teorema que dice que si f es una función diferenciable de " "x tal que 0f x> ∀ ∈ , entonces, si la

derivada de la función es dy cydx

= para una constante

" "c , se cumple que ( ) ( )0 cxf x f e= Si 1c = es posible escribir que:

( ) ( )0 xf x f e=

Como ( )20 00 1 0

2! !

n

fn

= + + + + +

entonces ( ) xf x e=

Esta serie de potencias ya se había analizado con la prueba de la razón, de donde:

( )( )

1

11 ! ! 1lim lim lim 0 011 !

!

n

n

n nn n n

xn x n x x

nx x nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+= = = ⋅ =

++

luego es absolutamente convergente para todo valor de " "x . Luego,

( ) xf x e x= ∀ ∈ que es lo que se quería probar. De ahí que el número " "e se puede expresar como:

1 1 11 12! 3! !

en

= + + + + + +

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5 Ejemplo. Dada la siguiente integral definida, aproximar su valor a cinco cifras decimales, mediante una serie de potencias:

20.12

0

xe dx−∫

Solución. Del ejemplo anterior, se sabe que la función exponencial se representa como:

2 3

12! 3! !

nx x x xe x

n= + + + + + +

Si en ella se hace 2x t= − , en esta serie de potencias, se tiene:

( )224 6

2 11

2! 3! !

n nt tt te t

n− −

= − + − + + +

Dado el intervalo de convergencia de la función exponencial, ( ),−∞ ∞ , esta serie representa a la función

( ) 2tf t e−= para todo valor real de " "x . Si se integra, se llega a:

2 20.12 0.123 50.12 0.12 0.12

00 00 03 10

x t t te dx e dt t− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )23 5

0.12

0

0.12 0.120.12

3 10xe dx− = − + −∫

Se consideran los primeros dos términos para aproximar la suma de esta serie alternada convergente y se obtiene:

( )23

0.12

0

0.120.12 0.12 0.000576 0.119424

3xe dx− ≈ − ≈ − ≈∫

El tercer término es:

( )50.120.000002488

10≈

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6Luego, al tomar los dos primeros términos, el error es menor que el tercer término, por lo que se concluye que, con sus primeras cinco cifras decimales, el valor exacto de la integral definida es:

20.12

00.119424xe dx− =∫

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

( ) 2 3xf x x e−= Solución. En la serie de potencias que representa a la función exponencial ( ) xf x e= se sustituye la " "x por " 3 "x− y se tiene que:

2 3

12! 3! !

nx x x xe x

n= + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 33 3 3 3

1 32! 3! !

nx x x x

e xn

− − − −= + − + + + + +

( )2 3

3 2 31 3 3 3 32! 3! !

nnx x x xe x

n− = − + − + + − +

Ahora se multiplican ambos miembros por 2x y de llega a:

( )4 5 2

2 3 2 3 2 33 3 3 32! 3! !

nnx x x xx e x x

n

+− = − + − + + − +

que finalmente se expresa como:

( )2

2 3

03

!

nnx

n

xx en

+∞−

=

= −∑

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función ( ) 22xf x e= y decir en qué intervalo la representa. Hacerlo de dos maneras diferentes, mediante la serie de Maclaurin y a partir de la serie que representa a la función exponencial.

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

7Solución. Si se utiliza la serie de Maclaurin, se tiene que: ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2' 4 '' 16 4x x x xf x e f x xe f x x e e= ⇒ = ⇒ = +

( )( )

2 2 2

2 2

3 2 2 2

3 2 2

''' 64 32 16

''' 64 48

x x x

x x

f x x e xe xe

f x x e xe

= + +

= +

( ) 2 2 2 24 2 2 2 2 2 2256 192 192 48iv x x x xf x x e x e x e e= + + +

( ) 2 2 24 2 2 2 2256 384 48iv x x xf x x e x e e= + +

( ) 2 2 2

2 2

5 2 3 2 3 2

2 2

1024 1024 1536

768 192

v x x x

x x

f x x e x e x e

xe xe

= + +

+ +

( ) 2 2 25 2 3 2 21024 2560 960v x x xf x x e x e xe= + +

( ) 2 2 2

2 2 2

6 2 4 2 4 2

2 2 2 2 2

4096 5120 10240

7680 3840 960

vi x x x

x x x

f x x e x e x e

x e x e e

= + +

+ + +( ) 2 2 2 26 2 4 2 2 2 24096 15360 11520 960vi x x x xf x x e x e x e e= + + +

… de donde

( ) ( ) ( ) ( )0 1 ; ' 0 0 ; '' 0 4 ; ''' 0 0f f f f= = = =

( ) ( ) ( )0 48 ; 0 0 ; 0 960iv v vif f f= = = luego, al aplicar la serie de Maclaurin se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 00 ' 0

2! !

nnf f

f x f f x x xn

= + + + + +

22 2 3 4 5 64 0 48 0 9601 02! 3! 4! 5! 6!

xe x x x x x x= + + + + + + +

22 2 4 64 48 9601

2! 4! 6!xe x x x= + + + +

22 2 4 64 48 96012! 4! 6!

xe x x x= + + + +

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

8

( ) ( ) ( )2

2 32 2 22 2

2 2 21 2

2! 3! !

n

xx x x

e xn

= + + + + + +

Se aplica el criterio de la razón y,

( )( )( )

( )( ) ( )

12

12 2

2 2

22 !1 ! 2lim lim lim 0 1

12 2 1 !!

n

n

n nn n n

xx nn x

nx x nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+= = = <

++

Por lo que la serie de potencias obtenida representa a la función dada para todo valor real de " "x . Como se observa, en muchas ocasiones resulta complicado derivar para obtener los términos de la serie. En cambio, mediante la serie que representa a la función exponencial, se cambia en ella a " "x por 2" 2 "x y se llega a:

2 3

12! 3! !

nx x x xe x x

n= + + + + + + ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 4 5 62 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 21 2

2! 3! 4! 5! 6! !

n

xx x x x x x

e xn

x

= + + + + + + + +

∀ ∈ Ejemplo. Determinar series de potencias para representar a las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico, y decir para qué valor de " "x las representan. Solución. Primero se analizará la función seno hiperbólico, que se expresa como:

2

x xe esenhx−−

=

Para representarla por medio de una serie de potencias, se acude a la serie de la función exponencial, esto es,

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

92 3

12! 3! !

nx x x xe x x

n= + + + + + + ∀ ∈

Si se cambia " "x por " "x− se obtiene la serie:

( )2 3 11

2! 3! !

n nx xx xe x x

n− −= − + − + + + ∀ ∈

Ahora se realiza la semiresta de los respectivos términos de ambas series con lo que se obtiene la serie de potencias que representa a la función seno hiperbólico para todo valor real de " "x . Así,

( )3 5 2 1

2 3! 5! 2 1 !

x x ne e x x xsenhx xn

x

− +−= = + + + + +

+

∀ ∈

Y para el coseno hiperbólico, que se expresa como

cos2

x xe ehx−+

=

se efectúa la semisuma de los términos de las dos series y la serie que se obtiene representa a esta función para todo valor de " "x . Luego,

( )2 4 2

cos 12 2! 4! 2 !

x x ne e x x xhxn

x

−+= = + + + + +

∀ ∈

Ejemplo. Determinar una serie de potencias para representar a la función

( ) 11

f xx

=−

y obtener su intervalo de convergencia. Solución. Por la Suma de la serie geométrica cuando es convergente se tiene que:

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

10

1 ; ; 11 1

aS Si a y r xx r

= = =− −

se llega a: 2 3

0

1 1 para 11

n

nx x x x x

x

∞

=

= = + + + + <− ∑

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

( ) 11

f xx

=+

Solución. Si en la serie de potencias obtenida en el ejemplo anterior se cambia la " "x por " "x− se obtiene la serie pedida, que es:

( ) 2 3

0

1 1 1 ; para 11

n n

nx x x x x

x

∞

=

= − = − + − + <+ ∑

Ejemplo. Encontrar la serie de potencias para representar a la función:

( )ln 1 si 1x x+ < Solución. Si se integra la función obtenida en el ejemplo anterior y por lo tanto también su serie de potencias, se obtiene la serie requerida para la función logaritmo natural de este ejercicio. Así,

( ) ( )2 3

0 0

1ln 1 1 11

x x n nx dt t t t tt

⎡ ⎤+ = = − + − + + − +⎣ ⎦+∫ ∫

( ) ( )2 3

0 0 0 0 0ln 1 1 1

x x x x xn nx dt tdt t dt t dt t dt+ = − + − + + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 3 4 1

00 0 0 0

ln 1 12 3 4 1

x x x xnnx t t t tx t

n

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = − + − + + − +⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Finalmente:

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

11

( ) ( )2 3 4 1

ln 1 12 3 4 1

para 1

nnx x x xx x

nx

+

+ = − + − + + − ++

<

Ejemplo. Calcular el valor de ( )ln 1.15 con una exactitud de cuatro cifras decimales. Solución. Si se utiliza la serie de potencias del ejemplo anterior, mediante la sustitución de " "x por " 0.15" se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5

ln 1.15 ln 1 0.15

0.15 0.15 0.15 0.150.15

2 3 4 5

= + =

= − + − + −

( )ln 1.15 0.15 0.01125 0.001125

0.000126562 0.000015187= − +

− + −

Si se toman los primeros cuatro términos de la serie, el error que se comete es menor que el valor absoluto del quinto término, que es 0.000015187 , luego el resultado con cuatro cifras decimales es:

( )ln 1.15 0.1397≈ Ejemplo. Obtener una serie de potencias centrada en 1x = para la siguiente función a partir de la Serie de Taylor y verificar el intervalo de convergencia obtenido mediante el criterio de la razón o de D’Alembert.

( ) lnf x x= Solución. Como la función a representar con la serie de Taylor es ( ) lnf x x= en 1c = , entonces se procede a obtener algunas

de sus derivadas sucesivas y a evaluarlas en 1c = .

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

12

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

ln 1 01' ' 1 1

1'' '' 1 1

f x x f

f x fx

f x fx

= ⇒ =

= ⇒ =

= − ⇒ = −

( ) ( ) ( ) ( )2

4 3 3

0 1 2 2 1 2''' ''' 1 2!x x

f x fx x x− ⋅

= − = = ⇒ =

( )( ) ( ) ( )

3 2

6 4 4

0 2 3 6 1 2 3 1 3!iv ivx x

f x fx x x− ⋅ ⋅

= = − = − ⇒ = −

( )( ) ( ) ( )

4 3

8 5 5

0 6 4 24 1 2 3 4 1 4!v vx x

f x fx x x− ⋅ ⋅ ⋅

= − = = ⇒ =

… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 !

1 1 1 1 !n nn nn

nf x f n

x− −−

= − ⇒ = − −

Ahora se sustituyen estos valores en la serie de Taylor y se llega a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

3

'''

2! !'''3!

nnf c f c

f x f c f c x c x c x cn

f cx c

= + − + − + − +

+ − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 4 5

1

1 1 1 11 1 1 1 12 3 4 5

11

nn

f x x x x x x

xn

−

= − − − + − − − + − −

−+ − +

Por lo tanto

( ) ( ) ( )1

1

11

nn

nf x x

n

−∞

=

−= −∑

Se aplica el criterio de la razón y se tiene:

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

13

( )

( )( )

( ) ( )

1

11

11lim lim lim 1 111 1 1

n

n

n nn n n

xx n nn x x

nx x nn

+

+

→∞ →∞ →∞

−−+ = = − = −

+− − +

1 1 1 1 1 0 2x x x− < ⇒ − < − < ⇒ < <

absoluta convergencia 1 1 1 1 1 1 0 2x x x x x− > ⇒ − < − ∪ − > ⇒ < ∪ >

divergencia

Si 0x = se tiene la serie 1

1n n

∞

=∑ que es la armónica divergente

Si 2x = se tiene la serie ( ) 1

1

1 n

n n

−∞

=

−∑ que es la armónica

convergente Por lo tanto, el intervalo de convergencia en el cual la serie de potencias representa a la función ( ) lnf x x= en 1c = es:

(0,2x∈ ⎤⎦