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Sistemas lineales de primer orden y segundo orden.

Una ecuacin deferencial lineal ordinaria tiene la siguiente forma:

an(x )d

ny

d xn+an1 (x )D

n1y (x )++a

1(x )Dy (x )+a

0(x )y (x )=f(x )

Ahora, para que una ecuacin diferencial sea lineal no deben aparecer productos de la

funcin incgnita consigo misma ni con ninguna de sus derivadas.

Sistema lineal de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

y'+p (x )y=q (x)

y (x0 )=y0

Donde p(! " q(! son funciones continuas en un intervalo abierto (a, b! # la solucin de

esta ecuacin viene dada por:

y(x )=e

x0

x

p (s ) ds[y0+x

0

x

q (s )ex

0

s

p ( t)dt

ds ]$i una ecuacin contiene las derivadas o diferenciales de una o m%s variables dependientes

con respecto a una o m%s variables independientes, se dice que es una ecuacin diferencial.

&'emplo

(1+x )dyydx=0

(1+x ) dydx

dy

dx=0

$e observa que ") es la variable dependiente " ) es la variable independiente, al solo

contener una variable dependiente e independiente se les llama ecuaciones diferenciales

ordinarias.

&l orden de una ecuacin diferencial se refiere a la ma"or derivada que aparece en laecuacin diferencial, el grado se refiere al eponente o potencia a la cual este elevada la

ecuacin diferencial, en caso de que no tenga eponente se considera de grado uno.

Una ecuacin diferencial lineal debe cumplir con las siguientes condiciones:

a! La variable dependiente ") " todas sus derivadas son de primer grado.b! *ada coeficiente depende solo de la variable independiente ).

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Una &D es lineal si la funcin " sus derivadas tienen eponente + o , con coeficientes que

dependen de las variables independientes.

Sistema lineal de segundo orden.

Una ecuacin diferencial de segundo orden es una epresin matem%tica en la que se

relaciona una funcin con sus derivadas primera " segunda, es decir del tipo - (, ", ", "!

/ , o tambi0n se puede epresar como:

y''+a y '+by= f(x )

$i f(! / , se llama ecuacin homog0nea, un e'emplo de esto ser1a:

y''+6y '+5y=0

$i f(! 2 , se llama ecuacin no homog0nea, como por e'emplo:

y''+9y '+3y=2 senx

&'emplo:

y''2y+y=0

d2

y

d x2+2

dy

dx+

dx

dy=0

$e observa que ") es la variable dependiente " ) es la variable independiente, al solocontener una variable dependiente e independiente se les llama ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Las variables dependientes son las que dependen del valor que tome una incgnita " las

independientes no lo hacen. 3or e'emplo, cuando quiero derivar la funcin 4" 5 6" con

respecto a , la variable " no cambia, se mantiene constante (sea cual sea el valor de !, en

este caso es la variable dependiente e " es la variable independiente, que para efectos de

la integracin, se puede considerar como un valor constante.

3ara poder identificar cual es la variable dependiente " cu%l es la independiente se debe

conocer con respecto a que se est% derivando.

3ara identificar el orden al que pertenece, se debe buscar la ma"or derivada que aparece en

la ecuacin diferencial, en este caso la ma"or derivada es " por lo que es de segundo

orden. Ahora, para conocer de qu0 grado es se deben observar los eponente que tenga la

ecuacin diferencial, como en este caso no tiene eponentes se considera que es de grado

uno

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