Act. 12 Trabajo Colaborativo 3

7/30/2019 Act. 12 Trabajo Colaborativo 3

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO 3

DESARROLLO DE EJERCICIOS PROPUESTOS Y APLICACIONESLUDICAS

TUTOR: MARCO TULIO PINEDO CORDOBA

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

CODIGO: 100412

NOVIEMBRE 20 DE 2009

COLOMBIA


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INTRODUCCIN

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es lasuma de una sucesin.

Sucesin: {1, 2, 3, 4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el smbolo que significa "smalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros trminos de la sucesin 2n+1"

Que son los cuatro primeros trminos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} =3+5+7+9 = 24

La serie de Taylor, es una funcin F(x), infinitamente derivable real o compleja,

definida en un intervalo abierto(a-r, a+r) y se define como la siguiente suma:

Aqu, n! es el factorial de n y f(n) (a) indica la n-sima derivada de f en el punto a.

Factorial: Para todo nmero natural n, se llama n factorial o factorial de n alproducto detodos los naturales desde 1 hasta n:

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es iguala f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica. Para comprobar si la serie converge af(x), se suele utilizar una estimacin del resto del teorema de Taylor. Una funcin es
http://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Factorial


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analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes deesa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representacin tiene tres ventajas importantes:

La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino,que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.

Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie deTaylor, es la ptima aproximacin posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna

singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serieutilizando potencias negativas de x (vase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La serie de Taylor de una funcin fde nmeros reales ocomplejos que es infinitamentediferenciable en un entorno de nmeros reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera ms compacta como

Donde n! es elfactorial de n y f(n) (a) denota la n-sima derivadade f en el punto a; laderivada cero de f es definida como la propia f y (x a)0 y 0! son ambos definidos comouno
http://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurenthttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurenthttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurenthttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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OBJETIVOS

Conocer el estudio de series y Funciones Especiales, Principalmente las Seriesde Potencia y Series de Taylor.

Identificar las series de potencias en sus conceptos y propiedades.

Solucionar ecuaciones Diferenciales mediante series de Potencias y series deTaylor.


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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Mediante series de potencias resolver la ecuacin diferencial:

1.1.

K=n-2

n=K

n=K


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1.2


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1.3


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1.4


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1.5


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APLICACIN CREATIVA

UNIDAD 1

Ejercicio 1:

En la siguiente sopa de letras conteste las siguientes preguntas:

- Ecuacin diferencial (definicin): ecuacin que contiene derivadas de:

- Clasificacin de ecuaciones diferenciales por su tipo:

- Solucin general de una ecuacin diferencial

- El orden de una ecuacin diferencial, es el de la derivada de mayor- La ecuacin diferencial es lineal si cumple : La potencia de todos los trminos

de la variable_____- Dos aplicaciones de ecuacin diferencial de primer orden- Una funcin f ( x,y ) , es _________de grado n si para un nmero real n satisface

la siguiente identidad= F(tx, ty) = tn f(x, y)- Cuando una ecuacin diferencial no es exacta se puede convertir en exacta

multiplicando por:____- Si en la ecuacin diferencial de la forma M( x, y) dx + N( x, y) dy = 0, el

_______ corresponde a la derivad total de alguna funcin f ( x, y ) la ecuacindiferencial es ______

- Mtodos para resolver ecuaciones homogneas- En que unidad se ven las ecuaciones diferenciales de primer orden- Es una ecuacin muy utilizada en fsica y en general en ciencias naturales:- Si cada curva corta la familia de curva de familia de curvas de la solucin del

problema diferencial se llaman- Cuando toda funcin U(x) que satisfaga una ecuacin diferencial f(x, y, y, ,

yn)= 0 se le llama

- El trmino condiciones inciales proviene de que, con frecuencia, en- problemas donde interviene el_____, se conoce el ____de la variable

dependiente o de alguna de sus derivadas en el _____inicial t = 0


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F A A D E P E N D I E N T E E S U N O F

A B B E R N O U L L I B E R N O J K L T

C V A R I A B L E S S E P A R A D A S R

T T T I E M P O A F U E R Z O V A R C A

O A A V A R A N U R B O F U E V Z A I Y

R Y C A M P O S D E F U E R Z A C S R E

I L A D C A M P U S V I R T U L O O C C

N O L A E C U C I O N D I F E O N L U T

T U U S I N S T A N T E C O N R S U I O

E N R D D I A I J L D J U L I O Y C T R

G A O E K G R A V E D A D E U N A I O I

R T S U N I D A D U N O P R E C Y O S A

A C O N J U N T O D E F U N C I O N E S

N A A A N Y T A R Y T P D V O L R P L O

T Y N O R D I N A R I A S F I J D A E R

E H O M O G E N E A E R E X A Q E R C T

H I I A D R X F D M X C G R A N N T T O

O Z M S E A A R T A A I D E P E R I R G

M Q O V R N C O G N G A O R I V O C I O

O U U A E D T N H E E L E V O L V U C N

G I M R C E A T B C R E V I O N N L O A

E E E I H U D A U R A S V I E J O A S L

L R L A D O I Z Q U I E R D O A R R F E

I L R B O N D L A L D O R G A G T U I S

N G O L O B U L O T O A D R E L S N Y R

E C R E U N I F I C A R C R I T E R I O


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A V A S D E R E C H O G R U P O D E C I

EJERCICIOS 2:

PALABRAS: ECUACIONES DIFERENCIALES, IDENTIDAD, INGENIERIA,VARIABLE, CURVA, DEPENDIENTE, ORDINARIA, CONSTANTE,INDEPENDIENTE, PARCIALES, EXACTAS, FACTOR, ORDEN, PRIMER,HOMOGE NEAS Y SEPARAR.

E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E SE W A E C N A S I D E N T I D A D B N U I O ER E S R V D V B N M R I O P A S D F W C D H PT D I N G E N I E R I A Q E Y U I O P N Z O AY C D G B P W U I O V A R I A B L E N M A M R U S G T N E C U R V A Q W E A S D F E T U O AI G H H M N Q A S D D E P E N D I E N T E G R O A N J M D D G I P A R C I A L E S E R P E QP V G K N I Q W E A S E S R T Y X N G N R N QW W J L A E Q W E R T Y U A S D A D E E I E WE O R D I N A R I A A S D X D F C V B D M A QR C O N S T A N T E A D C V N A T S D R E S QT W S W S E W E W T Y U E W Q F A C T O R W EG E W S D A S D F G H J K L F A S S D W E A QE R Q X Q Q W R E Y U I O P Z X V W S B F J Q

UNIDAD 2

Ejercicios 3

Diligencia en siguiente Crucigrama

Independiente Significa


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Solucione reales y distintas

Ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden.

Ecuacin diferencial de orden 2

El polinomio en trminos de la primera derivada (D) se llama

Ecuacin de orden superior

Segunda Ley

N

I

N

G a2D2y

U +

N a1Dy

A n +

E > aoy

S 2 =

M y = C1 em2x + c2 em2x F(x)

U

L

T

I

P y + a y + by

= F(x)

L

O

D


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E H

O P E R A D O R D I F E R E N C I A L

T C

R K

A E

EJERCICIO 4:

S E G U N D O O R D E NW C O E F I C I E N T ES U E S O L U C I O N UR A I C E S M E T O D OA C O N J U G A D A S II I R P A R T E R C E R P O L I N O M I O S C F

O N A T S F U N C I O NP W C O M P L E J A S VQ I G U A L E S S A D O

PALABRAS: SEGUNDO ORDEN, COEFICIENTE, SOLUCION, EUCACION.IGUALES, CONJUGADAS, METODO, RAICES, POLINOMIOS, TERCER,FUNCION, COMPLEJAS,

Unida 3

EJECICIOS 5:

Relacione la columna A con la B:

a)

Una serie de potencias en torno al

1)


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punto xo es una

expresin de la forma:

b) Teorema de Abel 2) f(x) en un intervalo de convergencia I, y que

podemos derivar la serie de potenciassucesivamente, para obtener series para f , f, f",f, etc

c) una serie de potenciasrepresenta

3)

d) Teorema de Taylor 4)

e) Regla de la Constante 5) si una funcin f ( x ) posee suficientesderivadas en un punto a, existen un entorno de a yun polinomio Pn(x), del grado n que se desee,tales que la diferencia F(x)- Pn(x) tiende a cero

cuandof) Regla de las potencias 6)

EJERCICIO 6:

SOPA DE LETRAS: UNIDAD 3

R X C F I O P Q A E Y N M K H D R ME S T U D I O D E S E R I E S W E IC U Q N C T T N I P A S D I O R U E

U P Q C W R E Y I E S F U W R O U MR E Q I A R N C H C W U O P J L T B


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R R Q O A U C I E I A S D F G Y M R E I Q N W Y I A N A L I T I C A Y O

N O Q E W T A F G L Q W R T U T A SC R W S R U S B U E I K L E I P A SI A S Q E S U C E S I V A M E N T E

A W A S D F G H I O S D G K I I U O

PALABRAS: RECURRENCIA, SUPERIOR, ESTUDIO DE SERIES, POTENCIAS,ESPECIALES, ANALITICA, SUCESIVAMENTE, MIEMBROS, TAYLOR

SOLUCIN DE EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

- Ecuacin diferencial (definicin): ecuacin que contiene: DERIVADAS DE

UNA O MAS VARIABLES

- Clasificacin de ecuaciones diferenciales por su tipo: ORDINARIAS Y

PARCIALES

- Solucin general de una ecuacin diferencial: CONJUNTO DE FUNCIONES

- El orden de una ecuacin diferencial, es el de la derivada de mayor ORDEN- La ecuacin diferencial es lineal si cumple : La potencia de todos los trminos

de la variable DEPENDIENTE ES UNO- Dos aplicaciones de ecuacin diferencial de primer orden CAMPOS DE

FUERZA, CIRCUITOS ELCTRICOS- Una funcin f ( x,y ) , es HOMOGNEA de grado n si para un nmero real n

satisface la siguiente identidad= F(tx, ty) = tn f(x, y)- Cuando una ecuacin diferencial no es exacta se puede convertir en exacta

multiplicando por FACTOR INTEGRANTE- Si en la ecuacin diferencial de la forma M( x, y) dx + N( x, y) dy = 0, el LADO

IZQUIERDO corresponde a la derivad total de alguna funcin f ( x, y ) la

ecuacin diferencial es EXACTA- Mtodos para resolver ecuaciones homogneas: VARIABLES SEPARADAS- En que unidad se ven las ecuaciones diferenciales de primer orden: UNIDAD

UNO- Es una ecuacin muy utilizada en fsica y en general en ciencias naturales:

BERNOULLI- Si cada curva corta la familia de curva de familia de curvas de la solucin del

problema diferencial se llaman TRAYECTORIAS ORTOGONALES- Cuando toda funcin U(x) que satisfaga una ecuacin diferencial f(x, y, y, ,

yn)= 0 se le llama SOLUCIN PARTICULAR- El trmino condiciones inciales proviene de que, con frecuencia, en

problemas donde interviene el TIEMPO se conoce el VALOR de la variabledependiente o de alguna de sus derivadas en el INSTANTE inicial t = 0


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EJERCICIO 3:

Diligencia en siguiente Crucigrama

Independiente Significa: NINGUNA ES MLTIPLO DE OTRA

Soluciones reales y distintas: y = C1 em2x + C2 e m2x

Ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden: y+ a a y+ by = F (x )

Ecuacin diferencial de orden 2 : a2D2y + a1Dy + aoy = F(x)

El polinomio en trminos de la primera derivada (D) se llama: OPERADORDIFERENCIAL

Ecuacin de orden superior: n>2

Segunda Ley: HOCKE

EJERCICIO 5:

Relacione la columna A con la B:

a)

Una serie de potencias en torno alpunto xo es una expresin de laforma:

b 1)

b) Teorema de Abel c 2) a un f(x) en un intervalo de convergencia I, yque podemos derivar la serie de potenciassucesivamente, para obtener series para f , f, f",f, etc

c) una serie de potenciasrepresenta

e 3)

d) Teorema de Taylor f 4)


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e) Regla de la Constante d 5) si una funcin f ( x ) posee suficientesderivadas en un punto a, existen un entorno de a yun polinomio Pn(x), del grado n que se desee,tales que la diferencia F(x)- Pn(x) tiende a cerocuando

f) Regla de las potencias a 6)

CONCLUSIONES

Una serie infinita de potencias de (x-a) en la que el coeficiente de (x-a)k est

dado por la regla anterior, se llama Serie de Taylor de f(x) en a. En el casoespecial a=0, la serie de potencias se llama Serie de Maclaurin.


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Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representacin tiene tres ventajas importantes:

a. La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino atrmino, que resultan operaciones triviales.

b. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.

c. Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a unaserie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen

alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir undesarrollo en serie utilizando potencias negativas de x, para estos caso se utilizala serie de Laurent.

BIBLIOGRAFIA

Buchelli Chaves Carlos Ivn, Modulo Ecuaciones Diferenciales, 2008, UNAD

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial


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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/eDiferenciales.htm.

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/eDiferenciales.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/eDiferenciales.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/eDiferenciales.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/eDiferenciales.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

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