Act. 14 - Trabajo Colaborativo Unidad 2 - Algebra Lineal

TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales, rectas y planos en el espacio

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TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2

(Sistemas de Ecuaciones Lineales, rectas y planos en el espacio)

JEANELLYS TORRES CASTRO - COD. 32851423

CLARA ESPERANZA JORDAN - COD. 35515484

GRUPO 208046-6

TUTORA: VIVIAN YANETH ALVAREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

ALGEBRA LINEAL

2014


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INTRODUCCION

Gracias a los innumerables aportes que el Algebra lineal como ciencia matemtica realiza en el mbito

computacional, hoy da, son significativos e incontables sus aplicaciones en el campo de la tecnologa;

lo que hace necesario el estudio y comprensin de los Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas y planos

en el espacio, que fundamentan la unidad dos de este curso, para potenciar el proceso de aprendizaje

del estudiante en formacin.

Para la resolucin de los ejercicios propuestos se requiere de mtodos como la eliminacin de Gauss

Jordn, la inversa, la ecuacin general del plano y los puntos de interseccin de los planos, adems de

herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.


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Objetivos

Objetivo General

Comprender los fundamentos tericos de los sistemas lineales, rectas y planos en el espacio, a travs de

procesos de pensamiento que faciliten la aplicacin adecuada del conocimiento en la solucin de los

ejercicios propuestos.

Objetivos Especficos

Lograr la transferencia de conocimientos y competencias relativas a los conceptos bsicos

terico-prcticos de sistemas de ecuaciones lineales, las rectas en y planos a travs del

estudio, anlisis y solucin de problemas y ejercicios propuestos.

Interactuar con los integrantes del grupo colaborativo a fin de logar un verdadero trabajo en

equipo y el desarrollo de la gua de actividades propuesta para el presente trabajo.

Reconocer la importancia del dominio bsico del algebra lineal, como disciplina fundamental

en el proceso del estudiante en formacin en cualquier rea cientfica.


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Desarrollo de las Actividades

Ejercicio 1.1.

1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordn, para encontrar todas las soluciones de los

siguientes sistemas lineales:

1.1. -2x - 4y z = -5

3x + 2y -2z = 0

-5x y + 5z = 4

Solucin

La matriz de coeficientes A de este sistema es:

A =

Cuyo determinante es:

Det A =

-2 -4 -1

3 2 -2

-5 -1 5

-2 -4 -1

3 2 -2

= (-2) (2) (5) + (3) (-1) (-1) + (-5) (-4) (-2)

-(-5) (2) (-1) - (-2) (-1) (-2) - (3) (- 4) (5)

= -20 + 3 - 40 - 10 + 4 + 60

= -3


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Como det A 0, el sistema tiene solucin nica; para hallar esta solucin es necesario encontrar la

inversa de A, es decir A-1

empleando de acuerdo al enunciado, el mtodo de Gauss Jordn, entonces:

-

f1

F2 - 3f1 F3 + 5f1

-1/4 f2

F1-2f2 F3 -9f2

-8/3f3

F1 + 5/4 f3 F2 -7/8f3

A-1

=

De aqu que la solucin del sistema es:

X = A-1

.b =

x1 = (-8/3) (-5) + (-7) (0) + (-10/3) (4) = 0

x2 = (5/3) (-5) + (5) (0) + (7/3) (4) = 1

x3 = (-7/3) (-5) + (-6) (0) + (-8/3) (4) = 1

Luego la solucin del sistema dado es:

X =

=


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Prueba: Remplazando estos valores, digamos en la ecuacin 3 dada en el enunciado, se tiene:

-5 (0) -1 + 5(1) = 4

0 - 1 + 5 = 4

4 = 4

Ejercicio 1.2

Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan para encontrar todas las soluciones (si existen) del

sistema lineal

-5x + 2y -3z + 4w = - 2

x3 - 10y -z + w = - 8

En el ejercicio 1.1 se emple para representar el sistema lineal la matriz de coeficientes y los vectores

de incgnitas y de trminos independientes, en esta ocasin se emplea la matriz aumentada sobre la

cual se realizan las operaciones elementales de fila:

(-1/5) f1

f2 3f1

(-5/44) f2

F1 + (2/5) f2


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Esta ltima matriz se encuentra en su forma escalonada reducida, y por tanto el proceso matricial se

detiene.

Ahora, de esta ltima matriz se obtiene el sistema resultante, esto es:

X1 + (8/11) x3 - (21/22) x4 = 9/11

X2 + (7/22) x3 (17/44)x4 = 23/22

Nota: A las variables x3 y x4, por estar en ambas ecuaciones, se les denomina variables libres.

Despejando las variables x1 y x2 de las ecuaciones anteriores y asignando a x3 y x4 sus mismos valores

respectivamente (por ser variables libres), se tiene:

x1 = (9/11) (8 / 11 ) x3 + (21/22)x4

x2 = (23/22) - (7/22) x3 + (17/44) x4

x3 = x3

x4 = x4

Que reemplazando en el vector fila buscado, que es de la forma [x1, x2, x3, x4], resulta:

[(9/11) - (8/11)x3 + (21/22)x4, (23/22) - (7/22)x3 + (17/44) x4, x3, x4]

Conclusin: Puesto que a las variables libres x3 y x4, se les puede asignar cualquier valor arbitrario, por

tanto el sistema de ecuaciones dado tiene infinitas soluciones.


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Ejercicio 2.

Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el mtodo que prefiera para

halla A-1

).

3x + y - 7z = -3

2x - y - 3z = -2

-x + y - z = -1

Solucin:

A =

X =

B =

A.X = B

X = A-1

B, siendo A-1

= Matriz inversa de A = (1/det A) Adj A

Hallar el determinante de A

Det A =

3 1 -7

2 -1 - 3

-1 1 -1

3 1 -7

2 -1 -3

= 3 (-1) (-1) +2(1) (-7)+ (-1) (1) (-3) (-1) (-1) (-7) -3 (1) (-3)-2(1) (-1)

= 3 - 14 + 3 + 7 + 9 + 2

= 10

Ahora se halla la matriz C de cofactores de la matriz A:

C =

1 (-3) - [-2 -3] 2 - 1

-[-1 (-7)] -3 -7 -[3 (-1)]

-3 - 7 -[-9 (-14)] -3 -2


9

=

4 5 1

-6 -10 -4

-10 -5 -5

Ct =

4 -6 -10

5 -10 -5

1 -4 -5

= adj A

Ahora se halla la inversa de la matriz A:

A-1 = (1/det A) adj A

A-1 =

1/10

4 -6 -10

5 -10 - 5

1 - 4 - 5

=

2/5 -3/5 -1

-1 -1/2

1/10 -2/5 -1/2


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Ahora se despeja el vector de variables

X = A-1 . B

X =

x y = z

X = =

Es decir:

x = 1; y = 1; z = 1

Comprobacin: Remplazando estos valores en el sistema de ecuaciones dado se tiene:

3(1) + (1) - 7 (1) = -3

2(1) - (1) - 3(1) = -2

-(1) + (1) - (1) = -1

Conclusin: Efectivamente cumple las ecuaciones dadas.


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3. Encontrar las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta L que:

3.1 Contiene a los puntos:

P = (x1, y1, z1) = (-1, -8, -6) y

Q = (x2, y2, z2) = (-7, 5, -6)

Solucin:

Ya que el vector director v de L est dado por v = PQ, entonces:

v = PQ

= (x2 x1, y2 y1, z2 z1)

= (-7 (-1)) i + (5 (-8))j + ( -6 (-6))k

= -6i + 13j + 0k

Por tanto:

a = -6; b = 13; c = 0

Es decir que el vector director es:

v = (-6, 13, 0)

Puesto que tercera componente es cero (0), esto indica que la recta L es paralela al plano xy.

3.1.a) Las ecuaciones simtrica de la recta L son de la forma:

[(x x1) / a] = [(y y1) / b];

z = z1 por ser la recta L paralela al plano xy, entonces:

[(x (-1)) / -6 ] = [(y (-8)) / 13]; z = -6

3.1.b. Las ecuaciones paramtricas de la recta L son de la forma:


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x = x1 + ta x = -1 -6t

y = y1 + tb entonces y = -8 + 13t

z = z1 + tc z = -6

3.2 Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta L que contiene a:

P = (x0, y0, z0) = (3, 7, 3) y es paralela a la recta M: [(x+5) / -5] = [(y 7) / -1] = [(7-8) / 8]

Solucin: Puesto que la ecuacin de la recta M dada, est en forma simtrica, y ya que lo

denominadores de dicha ecuacin corresponden a los nmero directores que son los componentes

de su vector director v, esto es:

v = (-5, -1, 8), que a su vez es el vector director de la recta L por ser paralela a M, entonces se tiene

que:

P = (x0, y0, z0) = (3, 7, 3)

v = (a, b, c) = (-5, -1, 8)

Luego:

Las ecuaciones simtricas de la recta L son:

[(x -3) / -5] = ](y -7) / -1] = [(z -3) / 8]

Ejercicio 4.1

Encuentre la ecuacin general del plano que contiene a los puntos P = (-1, -8, -6), Q = (10, 2, -9) y


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R = (5, -8, -6)

Ecuacin vectorial:

DET

= 0

= (0+0 -36y -288) (60z + 360) = -38y -288 +60z +360 = 0

Ecuacin del plano :

Prueba:

Remplazando cualquiera de los puntos dados, digamos el punto P en la ecuacin , se tiene:

0 (-1) - 9 (-8) + 15 (-6) + 18 = 0

0 + 72 - 90 + 18 = 0

0 = 0

Ejercicio 4.2


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Encuentre la ecuacin general del plano que contiene al punto P = (9, -1, -6) y tiene como vector normal

n = i 2j 7k

Solucin:

El punto P, el vector normal n y la ecuacin del plano , estn dados por:

P = (x0, y0, z0) = (9, -1, -6) *1

n = ai + bj + ck

= 1i - 2j - 7k

= (a, b, c)

= (1, -2, -7) *2

: a(x x0) + b(y y0) + c(z - z0) = 0 *3 (Ecuacin general del plano)

Extrayendo la informacin numrica (datos), dados en *1 y *2 y remplazando en *3, se obtiene:

1 (x 9) + (-2) [y-(-1)] + (-7) [z (-6)] = 0

x 9 -2y -2 -7z -42 = 0

x 2y -7z -53 = 0 Ecuacin general del plano pedido.

Prueba:

Remplazando el punto P dado en la ecuacin hallada, se tiene:

9 - 2(-1) - 7(-6) - 53 = 0

9 + 2 + 42 - 53 = 0

0 = 0


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Ejercicio 5

Encuentre todos los puntos de interseccin, es decir, la recta de interseccin de los planos:

1 : -9x + 4y - 5z = 9 y 2: - 6x - y - 7z = -2

Solucin:

Ya que las dos ecuaciones de los planos forman un sistema de ecuaciones, se crear la matriz

aumentada de la misma, y por medio de operaciones llevarlo a la forma escalonada reducida:

(-1/9) f1

F2 + 6f1

(-3/11) f2

F1 + (4/9) f2

Luego el sistema de ecuaciones resultante de esta ltima matriz es:

x + z = -1/33

y + z = 24/11

Despejando x y y, se tiene:

x = (-1/33) - z

y = (24/11) - z

z = z


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Finalmente, para obtener las ecuaciones paramtricas de la recta de interseccin de los planos 1 y

2 dados, se hace z = t, quedando:

x = (-1/33) - t

y = (24/11) - t

z = t

Comprobacin:

Sea t = 0, entonces:

x = (-1/33) - 0 = -1/33

y = (24/11) - 0 = 24/11

z = 0

Se obtiene el punto:

(-1/33, 24/11, 0)

Este punto satisfar las ecuaciones de los planos 1 y 2?

Esto se logra saber remplazando los componentes de este punto en las ecuaciones iniciales dadas, es

decir:

1: -9 (-1/33) + 4(24/11) - 5(0) = 9

9 = 9


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2: -6 (-1/33) - (24/11) - 7(0) = -2

-2 = -2

Conclusin: Las ecuaciones si son satisfechas por el punto hallado.


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Conclusiones

Con la realizacin del presente trabajo, se pueden concluir los siguientes aspectos:

La solucin de cada uno de los ejercicios planteados en la gua de actividades permiti el

reconocimiento de las temticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos en

el espacio, y as dinamizar el aprendizaje a travs de la interaccin en el trabajo en equipo.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la caracterstica que

en todas las ecuaciones estn las mismas variables.

Es de vital importancia, el reconocimiento y adecuada aplicacin de algunos mtodos utilizados para

resolver sistemas de ecuaciones lineales, tal es el caso del mtodo por eliminacin Gaussiana, el

mtodo de Gauss Jordan, empleando la matriz inversa entre otros, que aportan herramientas

cognoscitivas significativas al proceso de formacin profesional del estudiante de la Unad.


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Referencias

Ziga G. Camilo Arturo, Rondn D. Jorge Eliecer (2010). Modulo curso Algebra Lineal. Bogot D.C.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa E Ingeniera

[versin electrnica, PDF]

Gua de Trabajo Colaborativo 2. Algebra Lineal. Escuela de Ciencias Bsicas e Ingeniera.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.

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