Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Límites de funciones

Instrucciones: Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios:

1. Resolver .

Lim 2(3)3 – 3(3)2 – 4(3) + 2 = 2 (27 ) – 3(9) – 12 + 2 = 54 – 27 - 6+ 2 = 216 – 216 – 4 = 0 – 4 = 0 – 4 = 2 2 2 8 4 2 8 4 32 32 -4

2. Resolver .Si sustituimos la función en x = 3 se indetermina en 0 entonces para evitar esto se 0

factoriza tanto el numerador como el denominador quedando de la siguiente manera.Lim 2x 2 – 3x – 9 = lim (2x+3) (x-3) = lim 2X + 3 = lim = 2 (3) + 3 = 6 + 3 = 9 = 3 X2 – 9 x→3 (x+3) (x-3) X→3 X+3 X→3 3 + 3 6 6 2

3. Resolver .Si sustiomos la función en x= 3 se indetermina en 0 entonces para evitar se factoriza 2 0

el numerador y el denominador quedando esta función asi

lim 6x – 7x – 9 = lim (2x – 3) ( 3x + 1) = lim = 3 x + 1 = lim = 3x + 1 = lim = 3(3) + 1x 3 2x2 – 5x – 3 x 3 (2x – 3) (x – 1) x 3 x – 1 x 3 x - 1 x 3 2_____ =

2 2 2 2 2 3 - 1 29 +1 112____ = 2 = 22 = 11 3 - 1 1 22 2

4. Resolver .Diviendo el termino de mayor exponente en la función da 0 todo numero dividido entre un denominador con potencia según el teorema de limites al infinito quedandoLim -6x 2 + 5x + 6 lim = -6x 2 + 5x + 6

x→oo 3x2 + 4x+ 7 x→oo x 2 x 2 x 2 = lim = -6 + 5 + 0

3x 2 + 4x + 7 x→oo ____x____ lim = -6 + 0 + 0 = -6 = -2

x2 x2 x2 3 + 4 + 0 x→oo 3 + 0 + 0 3 x

Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad

5. Demostrar por medio de la definición que .Para un ε > 0 se quiere encontrar un б >tales que siempre que 0< │x-x0│< б→0<│x-2│< б→│f(x)-L│<ε→│(3x-5)-1│<ε donde │(3x-5) -1│= │3x-6│ = │3(x-2)│=│3││x-2│= 3│x-2│< ε→│x-2│<ε escogemos б = ε para que 0< │x-xб│< ε→ 3 3 3

0 < │x-2│< ε 3

6. Definir y .Primero definimos limx→α ƒ(x) = →oo que es para toda m < 0 existe r > 0 tales que 0< │x-α│<r→ƒ(x) < m para finalizar definimos limx→α ƒ(x) = L que es para toda ε > 0Existe m < 0 tales que para todas x< m →ƒ(x) Є (L-ε+ε)

7. Sea , demostrar que si es par, entonces y que si es impar

entonces no existe.Dividimos en dos casosCaso 1 si n es par→n= 2k con k = 0,1… para x ε(0,oo) dada α Є R Sea k ::: sup 1,α →V x > k se tiene xn = (x2)k ≤ x < α puesto que αεR es un valor cualquiera y además α = oo a razón que x < α y por lo tanto limx→0 1 = 00

X

si n es impar → n=2k + 1 con k = 0.1 dada α ε R sea k = inƒ(α,-1) y como (x2) k ≥ paracualquier x < k se tiene xn = (x2)k ≤ x < α puesto que α ε R es un valor arbitrario pero es absurdo que x < α a razón k = inƒ{α,1} llegando a una contradicción por este hecho y por lo tanto limx→ 0 1 = Э no existe xn

8. Supóngase que , demostrar que existen y tales que

, si .

9. Demostrar que si y sólo si .

10. Demostrar por definición que .