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ACTIVIDAD N° 02. ONDAS SONORAS ARMÓNICAS. EFECTO DOPPLER

1. Sirena ruidosa: Una ambulancia viaja por una supercarretera con una rapidez de 75 mi/h.

Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un pasajero en un automóvil que viaja a 55 mi/h en la dirección opuesta cuando el automóvil se acerca a la ambulancia y cuando se aleja de ella?

2. Silvato de un tren en movimiento: Un tren que se mueve con una rapidez de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Determine la frecuencia escuchada por un observador en reposo a medida que el tren se aproxima y se aleja del observador.

3. Se radia una onda esférica desde una fuente puntual y está descrita por lo siguiente:

)187025.1(250

),( trsenr

tr −

=ψ donde ψ está en Pa, r en m y t en s . (a) ¿Cuál es la

máxima amplitud de presión a 4 m de la fuente? (b) Determine la rapidez de la onda y por lo tanto el material en el que se mueve. (c) Encuentre la intensidad de la onda en dB a 4 m de la fuente. (d) Encuentre la presión instantánea a 5 m de la fuente en 08.0=t s.

4. (a) Calcular la derivada de la velocidad del sonido respecto a la temperatura absoluta y

demostrar que las diferenciales dv y dT obedecen a la expresión T

dT

v

dv

2

1= . (b) Utilizar esta

expresión para calcular la variación porcentual de la velocidad del sonido cuando la temperatura se modifica de 0 a 27ºC. (c) Si la velocidad del sonido es 331 m/s a 0ºC ¿Cuál es aproximadamente a 27ºC? ¿Cómo es el resultado obtenido mediante esta aproximación, comparado con el que se obtiene mediante cálculo exacto? Observación: La velocidad del

sonido en función de la Temperatura, viene dado por: 273

1331 ct

s

mv +

= , donde: ct , es la

temperatura en ºC)

5. En este problema se ha de obtener una fórmula práctica para determinar la velocidad del sonido en el aire a una temperatura t en grados Celsius. Se empieza escribiendo la Temperatura como TTT ∆+= 0 , en donde KT 2730 = corresponde a los 0ºC y tT =∆ , a la

temperatura Celsius. La velocidad del sonido es una función de T , )(Tv . Con una

aproximación de primer orden podemos escribir TdT

dvTvTv

T

∆

+=

0

)()( 0 , donde 0T

dT

dv

es la

derivada calculada para 0TT = . Calcular esta derivada y demostrar que su resultado lleva a

)606.0331(2

13310

tT

t

s

mv +=

+

= m/s Obs: La velocidad del sonido en función de la

Temperatura, viene dado por: 273

1331 ct

s

mv +

= , donde: ct , es la temperatura en ºC)

6. Un terremoto en el fondo del océano en el Golfo de Alaska induce un tsunami (a veces

llamada una “ola de marea”) que llega a Hilo, Hawai, a una distancia de 4450 km, en un tiempo de 9 h 30 min. Los tsunamis tienen longitudes de onda muy grandes (100 – 200 km) y

para dichas ondas la velocidad de propagación es de dgv ≈ , donde d es la profundidad

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promedio del agua. A partir de la información dada, encuentre la velocidad promedio de la onda y la profundidad promedio entre Alaska y Hawai. (Este procedimiento se utilizó en 1856 para estimar la profundidad promedio del Océano Pacífico mucho antes de hacer sonidos para tener una información directa.)

7. Se detona una carga explosiva a una altura de varios kilómetros en la atmósfera. A una distancia de 400 m la explosión acústica alcanza un máximo de 10 N/m2. Suponiendo que la atmósfera es uniforme en la distancia considerada, ¿cuál será el nivel en la intensidad del sonido (en dB) a 4 km de la explosión? (Las ondas sonoras en el aire se absorben a una rapidez aproximada de 7 dB/km.)

8. Frecuentemente se utiliza una lámina de cristal de cuarzo para controlar la frecuencia de un circuito eléctrico oscilante. Se originan ondas longitudinales en la lámina con producción de vientres en las caras opuestas. La frecuencia fundamental de vibración viene dada por la expresión: 15

.1087.2−= dxf Hz, donde f es la frecuencia y d el grosor de la lámina

expresado en centímetros. Determinar: (a) el módulo de Young de la placa de cuarzo; (b) El grosor de la lámina necesario para una frecuencia de 1200 kHz (Densidad del cuarzo: 2.66 g/cm3)

9. El período de una estrella variable pulsante puede estimarse suponiendo que realiza pulsaciones longitudinales radiales en el modo fundamental de la onda estacionaria, es decir, el radio varía periódicamente a través del tiempo, con un antitodo de desplazamiento e la superficie. Por analogía con un tubo abierto de órgano se ha determinado que el período de

pulsación T , está dado por: sv

RT

4= , donde R es el radio de equilibrio de la estrella y sv es

la rapidez promedio del sonido. ¿Cuál es el período aproximado de pulsación de una estrella enana blanca común, si se sabe que se compone de una material con un módulo volumétrico de 1.33x1022 Pa y una densidad de 1.0 x1010 kg/m3, además tiene un radio igual a 0.009 radios solares. (Observación: Una unidad de radio solar es igual al radio del sol, que equivale a unos 110 radios terrestres. Radio de la tierra = 6378 km)

10. Un pistón situado en un extremo de un tubo largo de aire a la temperatura ambiente y a la presión normal, oscila con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 0.1mm. El área del pistón es 100 cm2. (a) ¿Cuál es la amplitud de la presión de las ondas sonoras generadas en el tubo? (b) ¿Cuál es la intensidad de las ondas? (c) ¿Qué potencia media se necesita para mantener oscilando el pistón (despreciando el rozamiento)?

11. Una fuente esférica de intensidad 0I irradia sonido uniformemente en todas las direcciones.

Su nivel acústico es 1β a una distancia 1r y 2β a una distancia 2r . Determinar 2

1

ββ

12. Un artículo sobre contaminación acústica señala que el nivel de intensidad sonora en grandes

ciudades ha estado aumentado en 1 dB anualmente. (a) ¿a qué aumento porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable este aumento? (b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad del sonido si se incrementara en 1 dB anualmente?

13. Cierto dispositivo cilíndrico está lleno de aire a 20ºC y a una presión de 1.5x105 N/m2 gas compresible. En uno de sus extremos tiene un pistón con la posibilidad de desplazarse a lo largo de su eje principal, el mismo que opera a una frecuencia de 600 Hz. El diámetro del pistón es de 10 cm y la amplitud de su movimiento es de 0.1 cm. ¿Qué potencia se requiere suministrar para mantener el movimiento del pistón?

14. (a) Hallar la amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia de 500 Hz cuando la amplitud de presión corresponde al umbral del dolor de 29 Pa. (b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma amplitud de presión pero con una frecuencia de 1 kHz.

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15. La intensidad de una onda sonora que vibra a 1000 Hz a una distancia fija de una altavoz es de 0.6 W/m2. (a) Determine la intensidad si la frecuencia se aumenta a 2500 Hz mientras se mantiene un desplazamiento de amplitud constante. (b) Calcule la intensidad si la frecuencia se reduce a 500 Hz y la amplitud del desplazamiento se duplica.

16. La frecuencia de la bocina de un coche parado es 400 Hz. Determinar (a) La longitud de onda del sonido y (b) La frecuencia observada si el coche se mueve con una velocidad =fv 34 m/s

(aproximadamente 122 km/h) a través del aire en reposo hacia un receptor estacionario. Tomar como velocidad del sonido en el aire el valor de 340 m/s. (c) Determinar la frecuencia observada si el coche está parado y un receptor se mueve con velocidad =fv 34 m/s hacia el

coche.

17. Un modelo de aeroplano de alta tecnología equipado con un sonar y un buscador de rapidez vuelo directo hacia una pared de ladrillo con una rapidez constante. En 0=t , emite ráfagas cortas de ondas con una frecuencia de f . En Tt = , recibe el eco; la frecuencia recibida es

rf . Sea v la rapidez del sonido en el aire y pv la rapidez del aeroplano. a) Obtenga una

ecuación para pv en términos de f , rf y v . b) Sea d la distancia entre el modelo y la

pared en 0=t . Obtenga una ecuación para d en términos de v , pv y T , y después utilice el

resultado de la parte a) para obtener una expresión de d en términos de f , rf , pv y T. c)

Utilice los resultados de las partes a) y b) para encontrar rd , la distancia entre el modelo y la

pared en Tt = . Exprese rd en términos de f , rf , v y T . d) Evalúe pv , d y rd para el

siguiente caso: =v 340 m/s, =f 5000 Hz, =rf 5280 Hz y =T 0.275s.

18. En un fluido ideal, la velocidad del sonido es ρB

v = , donde B es el módulo del volumen,

que es una medida de la facilidad de compresión del fluido. Las ondas sonoras en un fluido siempre son longitudinales, porque en un fluido ideal no puede tomar su forma original después de la aplicación de fuerzas transversales, a las que suele llamarse fuerzas de corte. Determine el módulo de volumen para el agua.

19. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia un observador estacionario. . (a) Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el observador. (b) Hallar la frecuencia oída por éste último.

20. Respecto del problema anterior a partir del sistema de referencia en que la fuente está en reposo. En este sistema el observador se mueve hacia la fuente con una velocidad de 80 m/s y existe un viento de velocidad 80 m/s que sopla del observador hacia la fuente. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador en el sistema? (b) Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el observador. (c) Hallar la frecuencia percibida por el observador.

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Consideraciones Complementarias:

[A] Rapidez del sonido en un medio compresible, viene dado por: ρB

v = , donde:

B , representa el módulo de compresibilidad y ρ , la densidad del medio. [B] La función de

desplazamiento de una onda sonora armónica es: )cos(),( tkxStxs m ω−= , donde: mS es la amplitud de desplazamiento; k , el número de onda y ω la frecuencia angular. [C] La variación de la onda de presión es: )(),( tkxsenPtxP m ω−∆=∆ , donde: mP∆ es la amplitud de la presión; k , el número de onda y ω la frecuencia angular.[D] La intensidad de una

onda sonora es: v

PvsI m

m ρωρ

22

12

2 ∆== )( . La intensidad de una onda armónica esférica

producida por una fuente puntual es proporcional a la potencia promedio emitida e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. [E] La potencia de

una onda sonora, viene determinado por: vSAt

EP m

2)(2

1ωρ=

∆

∆= , donde: =ρ Densidad;

=A Área; =ω Frecuencia angular; =mS Amplitud de desplazamiento; =v velocidad lineal. [F]

El nivel de Intensidad de una onda sonora armónica es:

=

0

log)10(I

IdBβ , donde:

120 10−=I W/m2, representa el umbral para la audición. [F] El cambio en la frecuencia

escuchada por un observador siempre que exista un movimiento relativo entre la fuente y el observador se llama efecto Doppler. Si el observador se mueve con una rapidez 0v y la

fuente está en reposo, la frecuencia observada 'f es:

±=v

vff 01' , donde el signo positivo

se utiliza cuando el observador se mueve hacia la fuente y el signo negativo cuando se aleja de la fuente. Si la fuente se mueve con una velocidad Sv y el observador está en reposo, la

frecuencia observada es

=

v

vff

Sm1

1' , donde Sv− se refiere al movimiento hacia el

observador y Sv+ se refiere al movimiento alejándose del observador. Cuando tanto el

observador como la fuente están en movimiento, la frecuencia observada es:

±=

Svv

vvff

m

0'

Tabla N° 01

Densidad de algunas sustancias comunes

Sustancia ρ (kg/m3)a Sustancia ρ (kg/m3)a

Hielo 0.917x103 Agua 1.00x103 Aluminio 2.70x103 Glicerina 1.26x103 Acero 7.86x103 Alcohol etílico 0.806x103 Cobre 8.92x103 Benceno 0.879x103 Plata 10.5x103 Mercurio 13.6x103 Plomo 11.3x103 Aire 1.29 Oro 19.3x103 Oxígeno 1.43 Platino 21.4x103 Hidrógeno 8.99x10-2 Helio 1.79x10-1

aTodos los valores son a presión atmosférica y temperaturas normales (STP), es decir, presión atmosférica y 0ºC. Para convertir a gramos por centímetro cúbico, multiplíquese por 10-3