Actividades, Evaluaciones, Juegos de Ingenio. Hiptertextos Santillana. Matemáticas 9º

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 9 Evaluación por compEtEncias

1 de 5

Evaluación por competencias

fisión nuclEarLa fisión nuclear es una reacción que tiene lugar cuando un núcleo muy pesado como el del uranio 235, es bombardeado por un neutrón a una determinada velocidad, produciendo una gran inestabilidad que hace que el núcleo se separe en dos núcleos y libere dos o tres neutrones. Los neutrones que escapan de la fisión, al bajar su energía cinética, se encuentran en condiciones de fisionar otros núcleos produciendo nuevas rupturas de núcleos en dos nuevos núcleos y liberando dos o tres nuevos neutrones, que a su vez hacen el mismo proceso, esto se conoce como reacción nuclear en cadena.

En algunos casos, el uranio 235 puede ser fisionado, al ser bombardeado por un neutrón, liberando tres neutrones como lo muestra el siguiente esquema y en otros casos, puede ser fisionado liberando dos neutrones.

Etapa 11 neutrón

Etapa 23 neutrones

Etapa 39 neutrones

Al ser fisionado el uranio, los neutrones liberados salen a una velocidad de 15.000 km/s y recorren algunos centímetros en uranio 235 puro antes de iniciar una nueva fisión, por lo que la reacción en cadena se desarrolla a enorme velocidad. Sin embargo, este tipo de reacciones se pueden crear en forma controlada como en el caso de los reactores nucleares.

Nombre: _________________________________________________ Curso: _________ Fecha: ____________

La gran energía liberada en el proceso de fisión, permite el funcionamiento de las plantas de energía nuclear en las cuales, el calor producido en el reactor nuclear, se usa para poner agua en ebullición y producir vapor que impulsa unos turbogeneradores y estos a su vez producen energía eléctrica.


2 de 5

competencia interpretativa

1 Explica qué es una reacción nuclear en cadena.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

2 Escribe la velocidad con la que salen los neutrones liberados por el uranio durante la fi sión, en no-tación científi ca.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

3 Explica en qué se puede aplicar la reacción nuclear en cadena.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

4 El número de etapas en una reacción nuclear en cadena pertenece al conjunto de números

a. enteros negativosb. naturalesc. realesd. racionales

competencia propositiva

5 Expresa la velocidad con la que salen los neutrones liberados por el uranio durante la fi sión en m/s. Luego, escríbelo en notación científi ca.

6 De acuerdo con la gráfi ca dada, completa la siguiente tabla:

Etapa 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidad deneutrones 1 3


3 de 5

7 Determina el valor de r en la progresión que describe una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la cual se liberen tres neutrones cada vez.

8 Determina el término n-ésimo de la progresión que describe una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la cual se liberen tres neutrones cada vez.

9 Elabora un esquema en el que representes las primeras tres etapas de una reacción en cadena del uranio 235, en la cual se liberen dos neutrones cada vez.

10 Completa la siguiente tabla con los datos de una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la cual se liberan dos neutrones cada vez.

Etapa 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidad deneutrones 1 3


4 de 5

11 Determina el término n-ésimo de la progresión que describe una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la cual se liberan dos neutrones cada vez.

12 Determina el término 11° y 12° de la progresión que describe una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la cual se liberan dos neutrones cada vez.

13 Determina en cuál etapa de una reacción nuclear en cadena de uranio 235, en la que se liberen 2 neutrones cada vez, se liberarán 512 neutrones.

14 Elabora en el mismo plano cartesiano, una gráfi ca que represente una reacción nuclear en cadena del uranio, liberando tres neutrones cada vez y otra que represente una reacción nuclear en cade-na, liberando dos neutrones cada vez.


5 de 5

competencia argumentativa

15 Determina qué tipo de progresión representa el número de neutrones en una reacción nuclear en cadena y explica por qué.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

16 Explica por qué se puede afi rmar que una progresión es una función.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

17 Determina qué tipo de función representa la reacción nuclear en cadena del uranio 235 y explica por qué.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

18 Explica qué representa la suma de los términos en la progresión que describe una reacción nuclear en cadena del uranio 235.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________


1 de 5

El skatEboardingEl skateboarding es un deporte extremo que se practica con una patineta o skater, sobre el asfalto en rampas especialmente diseñadas para su práctica. El objetivo de un skater es mostrar con destreza, habilidad y belleza, un manejo acorde de la patineta.

Actualmente la mayoría de las patinetas usadas para el skateboarding están hechas de 7 láminas de madera, generalmente de arce canadiense y constan de:

• Ejes:son2yvanacopladosaloslados,sinllegaralosextremos.

• Ruedas:son4yvanenlosextremosdelosejes.Estánhechasdeunmaterialllamadouretano.Sondediferentediámetro,lasmásnormalesmiden52mm,paraelestilocallejeroseusanruedasdemenosde 53 mm de diámetro y en rampa, se usan ruedas grandes para la velocidad, mayores a 56 mm.

• Rodamientos:sonunpardeanillosmetálicoscon6,7u8bolasensuinterior.

• Lija:vapegadaalatablaysirveparaproporcionaragarre.

Entre las rampas diseñadas para este deporte, está el half pipe que en español significa “medio tubo”, recibe este nombre porque los primeros skaters usaban grandes tubos que encontraban por ahí, pero posteriormente se añadió una parte plana en el centro para dar tiempo a preparar la siguiente acrobacia. Lassiguientesgráficasmuestraneldiseñoyalgunasmedidasdeunhalf pipe.

200 cm

200 cm

200 cm

200 cm

300 cm

radio

45 dam de largomínimo

2 cm de grosorde la madera

Plancha de madera

120 cm

A B

Se puede apreciarque la forma del borde de la sección curva, es un arco de circunferencia:

Evaluación por competenciasNombre: _________________________________________________ Curso: _________ Fecha: ____________


2 de 5

competencia interpretativa

1 ¿En qué consiste el skateboarding?

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

2 ¿Qué es un skater?

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

3 ¿Cuál es el radio de las ruedas más normales usadas en el skateboarding?

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

4 Describe geométricamente, la forma de la trayectoria que sigue un skater del punto A al punto B del half pipe.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

5 Expresa el radio del half pipe en metros. ______________________________________________

Selecciona la respuesta correcta:

6 Se puede afi rmar que la sección curva del half pipe corresponde a un cilindro de radio:

a. 200cmb. 300cmc. 120cmd. 450cm

7 Se puede afi rmar que la sección curva del half pipe corresponde a un cilindro de altura:

a. 450cmb. 300cmc. 120cmd. 200cm


3 de 5

8 Con respecto a la superfi cie lateral del cilindro completo, la superfi cie de cada sección curva del half pipe corresponde a:

a. 14

b. 12

c. 13

d. 28

9 La distancia que recorre un skater al recorrer una de las secciones curvas del half pipe, se puede hallar mediante la expresión:

a. 2

b. r2

c. 12

r

d. 14

r

10 La superfi cie plana de la base del half pipe, que une las secciones curvas, tiene forma de

a. cuadradob. rectánguloc. cilindrod. cubo

competencia propositiva

11 Halla la longitud de la circunferencia de las ruedas de 52 mm, 53 mm y 56 mm.


4 de 5

12 Si una de las primeras half pipe que se usaron, corresponde a la mitad de un tubo de 5,56 m3 de volumen, calcula su radio.

13 Calcula el volumen del cilindro de 200 cm de radio, al cual corresponde la sección curva del half pipe.

14 Calcula el área de la superfi cie de cada una de las secciones curvas del half pipe.

15 Calcula el área de la superfi cie plana de la base del half pipe.


5 de 5

16 Si toda la rampa, incluyendo los dos decks o terrazas, están elaborados en láminas de madera, determina la cantidad de madera que se necesitó para construirla.

17 Calcula la distancia que recorre un skater, al pasar del punto A al punto B en el half pipe.

18 Explica por qué se puede afi rmar que las secciones curvas del half pipe, corresponden a secciones de un cilindro.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

19 ¿Se puede afi rmar que una rampa half pipe tiene forma de parábola? Explica tu razonamiento.

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________


HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 9 EVALUACIÓN

1 Resuelve las operaciones indicadas.

a. 918 3

210 242 2

x x x x

b. mm

mm m

11

11

412

c. 15

510 25

5252 2w

ww w

ww

d. 279

9 33 3 4

2 2

3 2 3m nmx nx

xm n

x n mnx

x nm n

3 2

23( )

279

9 33 3 4

2 2

3 2 3m nmx nx

xm n

x n mnx

x nm n

3 2

23( )

2 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. x2 5x 15 x(x 3) 15 5(x 2)

3(13 2x) x

b. 23

69 1

23 1

2

2

xx x

c. 23 3

14 4

112 12x x x

d. 2 33 2

2 13 2

tt

tt

e. (x 1)(2x 5) (2x 3)(x 4) 5

f. 3(x 4) 5(x 2) 5 3(x 6) 8

g. a(x b) x(b a) 2b(2a x)

3 Aplica productos notables o factorización y completa el espacio según corresponda.

a. (x y)2 ______________________

b. (x y)2 ______________________

c. (x y)(x y) ______________________

d. (x y)3 ______________________

e. (x 3)(x 5) ______________________

f. (2x 1)(2x 3) ______________________

g. x3 8 ______________________

h. x2 16 ______________________

i. x2 7x 12 ______________________

j. 15x2 11x 2 ______________________

UNIDAD 1

4 Calcula el perímetro de la siguiente � gura.

5 Si el área de un rectángulo está representada por la expresión x2 4x 3. Calcula las expre-siones que representarían la medida de los la-dos.

6 Si el volumen de un prisma es w 3 y dos de

sus aristas miden ww

2 11

– + y w

w ++

32

, halla la

expresión que representa la tercera arista. (El

volumen de un prisma se halla multiplicando

la medida de sus tres aristas).

1 de 2

Números reales y expresiones algebraicas

x

x

3x x72

A B

D C

2 de 2

x xx2 11

7


7 Halla el valor de ? para que la expresión sea fac-torizable.

a. 25m2 ? 4n2

b. x2 20x ?

c. x2 ?

d. x3 ?

e. a2 6a ?

8 Factoriza completamente las siguientes expre-siones.

a. 5y(y2 2) 3(2 y2)

b. x6 1

c. 4y2 28y 48

d. 4x3y xy3

e. 4y3 12y2 9y 27

f. x8 1

g. c2(c2 9) 25(c2 9)

h. 4x2 4x 3

9 Resuelve aplicando productos notables.

a. (x y)2 b. (x y)2 c. (x y)(x y) d. (x y)(x z) e. (x y)3 f. (x y)3

10 Si el área del rectángulo dado es

A x xx

– – =

3

2121

49 .

Halla la expresión que representa la base del

rectángulo.

UNIDAD 1

11 Al frente de cada uno de los siguientes pasos escribe la expresión que los justi� ca.

(x 2)2 (3 x)2 1

(x2 4x 4) (9 6x x 2) 1 ___________

x2 4x 4 9 6x x2 1 ___________

2x 5 1 ___________

2x 1 5 ___________

2x 6 ___________

x 62

3 ___________

12 Escribe falso o verdadero según corresponda. Si la expresión es falsa, remplaza la palabra su-brayada por una palabra que haga verdadera la oración.

( ) En toda expresión algebraica podemos reducir los términos semejantes.

( ) La jerarquía de las operaciones nos dice que primero debemos resolver sumas y restas.

( ) Las expresiones algebraicas separadas por signos de o reciben el nombre de factores.

( ) La expresión en símbolos de la proposi-ción “dos números consecutivos” es a 1 y b 2.

( ) Un número racional es una expresión no periódica con infi nitas cifras decimales.

13 Halla el perímetro de la � gura. _____________

2x�8

x�105x�4

3x�6

4x�6

A B

D C



1 Simpli� ca las siguientes expresiones:

a. 2516

5 1

3 5

12x y

x y

b. x y zx y z

8 10 4

4 5 83

c. 3 24 4 81 3753 3 3

d. x y

x y

8

2

( )( )

2 Racionaliza las siguientes expresiones.

a. 5 2 34 3

b. 152 2 43

abcab c

c. 3xx y

3 Si z a b 2 , w a b 3 6 . Halla:

a. w z d. w z

b. wz e. z2

c. w z f. a z

4 Completa los espacios según corresponda.

a. (xn)m _________________________.

b. (x1 y1)0 ___________________.

c. La única condición para poder multiplicar radicales es: _____________________.

d. 13 ________________________.

e. La expresión en forma de potencia de x 24

es _________________.

f. La racionalización de 13 2 es ________.

UNIDAD 2

g. 3 92 3 _______________________.

h. Si ? 7223 26 a a entonces ? _____.

5 Determina el valor de verdad de las siguientes expresiones.

a. ( ) 130.000 1,3 105

b. ( ) 9,4 104 940.000c. ( ) 6.321 6,321 103

d. ( ) 0,0021 2,1 103

6 El volumen de la � gura dada es 6x2y2; si el largo mide 32 4 26 x y y el ancho mide 3xy, ¿cuánto mide su altura?

7 Halla el área de las siguientes � guras.

a.

b.

1 de 2

Potenciación y radicación

A

B C

5 2

A D

B C

9

2 de 2


8 Simpli� ca las expresiones dadas.

a. 1624

5 4 3

3 4 5

w y zw y z

b. 23

2 3

2 1

2x yx y

c. (21 31)2

d. 53 3 0

4

x y a b

x y

( ) ( )( )( )

e. x y x yy x

1 2 2 1

2 2

f. 96 25 125 x y

g. m n w10 24 163

h. 8 9

7 63 b

c z


a. La simplifi cación de 82 4 2x y

es ________.

b. a12

3 expresado como potencia es ______.

c. La simplifi cación de (x1 y1)1 es _____________.

d. ab

--

11

1+ ( ) en exponentes positivos es ____.

e. El resultado de 11 9

es ____________.

f. La expresión ab

racionalizada es ______.

g. El resultado de 812

43( )

es ____________.

h. Un trillón expresado en notación científi ca es ____________.

i. El número promedio de cabellos de una persona es 1,3 105, que expresado como número real es ______.

j. (a b)2 ___________________.

UNIDAD 2

10 Cuando un cuerpo se deja caer libremente, el tiempo t que emplea en recorrer cierta distan-cia d, se puede calcular con la expresión:

t dg = 2

Un cuerpo se deja caer del punto más alto de la Estatua de la Libertad cuya altura es de 93 m.

a. ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo en llegar al suelo?

b. Escribe la expresión que permite encontrar la distancia que ha recorrido un cuerpo.

c. ¿Cuál es la altura de la torre Colpatria, si un cuerpo lanzado desde lo más alto, tarda en llegar al suelo 39 segundos?

11 Completa el según corresponda.

a. 3 12 7 75 13 3

b. 27 3 95 93 2 3 3x y x y x

c. 2 24 73 x y xy

d. 39

7 2 2 2x y x y

e. (x2n1 x3n7) x10n12

12 Completa la tabla.

a b a b a b

18 3a 12 3a

2 3 5 4 3

8 27 4 2 2 3

43 m 16 54 m

10 16 7 43 m n



Número Forma binomial Conjugado Norma

81

5 8

27 18

1 Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes a� rmaciones. Si la a� rmación es FALSA escribe la verdadera correspondiente.

( ) El número 5 3 es complejo _______.

( ) es el conjunto más pequeño al que

pertenece el número 259

___________.

( ) El número 5 es una cantidad imaginaria pura ______________.

( ) i126 1 ______________________.

( ) 36 = 6 i __________________.

( ) El conjugado de 2 3i es 13 ________.

( ) 3 4i 5 ________________________.

( ) El inverso aditivo de 9 2i es 9 2i ____.

( ) Al número complejo 2 3i le asociamos la pareja (2, 3) _____________.

( ) El número 2 2 i es real ___________.

2 Si z 3 i, w 10 5i, x 1 2i. Halla.

a. w z

b. wx

c. x zd. x we. x2 2x 3

f. w2

3 Escribe los signos , o según corres-ponda.

a. 7i 6i 45

b. 3i 5i 10

c. (2i 5i)(3i) 21

d. i6 i4 1

e. ii

10

6 1

UNIDAD 3

4 Escribe dos números complejos tales que el re-sultado de la operación indicada sea el número complejo representado en cada plano.

a. Suma

b. Multiplicación

5 Encuentra los números x y y que cumplan cada igualdad.

a. (y 2)i (x 3) 9i 5b. 9x 2yi 3 8ic. (5 x) yi id. (x 3) (y 2)i 3e. (2x 3y) (5y x) 8 9i

6 Completa la tabla.

1 de 2

Números complejos

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5Eje imaginario

Eje real

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5Eje imaginario

Eje real

(�2,4)

2 de 2


En cada uno de los siguientes ejercicios, señala la respuesta correcta.

7 El valor de i27 es:

a. 1b. 1c. id. i

e. Otra _____________.

8 Al multiplicar los complejos 2 5 i por

2 5 i se obtiene.

a. 9b. 8 ic. 27d. 4 25i

e. 4 5i

9 Al dividir los complejos 8 5i entre 7 6i obtenemos:

a. 40 8ib. 4 i

c. 26 8385 i

d. 26 30ie. Otra ___________________.

10 El valor de x e y en la expresión

8 32 6i x yi i + = +– es:

a. x = 1 y y 2

b. x 32

y y 14

c. x 32

y y 2

d. x 32

y y 14

e. Otra ___________________.

11 La simpli� cación de la expresión

10 36 5 4 16 25 5 ( ) es:

a. 84b. 64

UNIDAD 3

c. 5 79id. 5 69ie. Otra ___________________

12 La norma del número complejo 3 2i es:

a. 1b. 5

c. 13

d. 5e. Otra _________________________

13 El valor de i ii

– –4 4

22 es:

a. 12 2i

b. 12 14i

c. 0

d. 12

e. Otra _________________________


a. Un ejemplo de un número complejo es ___.

b. Un ejemplo de un número imaginario puro es ______.

c. i98 ___________________.

d. 25 _________________.

e. 273 ____________________.

f. Si a b c di, entonces se debe cumplir que ______________ y ________________.

g. El conjugado de a bi es ____________.

h. 2 2i = ____________________.

i. Al número complejo 12

2 i le corresponde

la pareja ordenada __________.

j. El inverso aditivo de 2 2i es ___________.

15 Representa grá� camente en el mismo plano cartesiano los siguientes números complejos.

a. 4i d. 5b. 2 3i e. 3 ic. 1 2i f. 3i



En cada uno de los siguientes ejercicios, señala la respuesta correcta. Estas deben ser sustentadas por los procedimientos correspondientes, en los ejercicios que así lo requieran.

1 Las rectas y 2x 1 0 y y 2x 4 0 son paralelas porque:

a. El producto de sus pendientes es 1.b. Tienen la misma pendiente.c. El producto de sus pendientes es 1. d. Las rectas dadas no son paralelas.

2 La solución del sistema x y zz x yy x y

–

+ =+ =

+ =

–

–

137

es:

a. (2, 4, 5) b. (4, 5, 2)c. (2, 5, 4)

d. (5, 4, 2)

3 La edad de María es el triple de la de Yolanda más 15 años y ambas edades suman 59 años. La edad de María es:

a. 15 años c. 48 añosb. 11 años d. 45 años

4 El punto de corte de las rectas x 6y 27 y 7x 3y 9 es:

a. (2, 3) c. (4, 5)b. (3, 4) d. (3, 2)

5 La solución del sistema 3

35 6

3 27 9

xy

y x

– –

– –

=

=

es:

a. (2, 1) b. (1, 3)c. (1, 1) d. (3, 2)

6 La diferencia de dos números es 40 y 18

de su suma es 11. El número mayor es:

a. 24 c. 84b. 60 d. 64

UNIDAD 4

7 El yintersecto de la recta 23

16

12

x y – = es:

a. 3 c. 23

b. 12

d. 16

8 La pendiente de la recta perpendicular a la rec-

ta con ecuación 23

14

512x y – = es:

a. 32

c. 83

b. 23

d. 38

9 La ecuación de la recta con pendiente m = 25

y que pasa por el punto (1, 2) es:

a. 2x 5y 8 0 c. 2x 5y 1 0

b. y x25

8 d. 5x 2y 1 0

10 Cuando nos subimos a un taxi, el taxímetro co-mienza a marcar 25 unidades y 800 metros más adelante marca 33 unidades. La ecuación que determina las unidades al � nal del recorrido es:

a. y 25x 0,001 c. y 25x 0,001

b. y 0,01x 25 d. y 0,01x 25

11 Los puntos de corte de la grá� ca y 2x 1 con los ejes coordenados son:

a. 12

, 0( ) y (1, 0) c. (2, 0) y (1, 0)

b. 0, 12( ) y (1, 0) d. (0, 2) y (1, 0)

12 La pendiente de la recta que pasa por los pun-

tos 12

13, ( ) y 1

412, ( ).

a. 23

c. 23

b. 32

d. 32

1 de 2

Sistemas de ecuaciones lineales

2 de 2


13 Relaciona cada grá� ca con la expresión corres-pondiente.

a. b.

( ) ( )c. d.

( ) ( )

1. y 3 3. x 22. 2x y 1 4. 4x 3y 12

14 Halla la ecuación de la recta en cada caso.

a. Pasa por los puntos (3, 2) y (5, 8).b. Pasa por el punto (1, 2) y es paralela a la

recta 3y 2x 6.c. Pasa por el punto (2, 4) y es perpendicular a la

recta x 5y 10 0.

d. Pasa por el punto 12

, 13( ) y tiene pendiente

m 5.

15 Luis Fernández tiene un depósito de 20 millo-nes en dos bancos. Uno paga un interés del 8% y el otro 6%. Si el señor Fernández ganó un total de $144.000 de interés. ¿Cuánto depositó en cada banco?

16 Calcula el valor de x, y y la medida de los ángu-los dados en la � gura.

UNIDAD 4

17 Si la suma de las esquinas de cada triángulo es igual al valor que se encuentra en la mitad de la estrella, encuentra el valor de x y y.

18 Si la suma de las esquinas da como resultado la expresión de la mitad de cada lado, encuentra el valor de x, y y z.

19 Resuelve los siguientes sistemas.

a. 3 2 11

2 2 8

x y

x y

b.

3 2 2

4 6

2 5 7

a b c

a b c

a b c

9

20 Determina si las siguientes ecuaciones corres-ponden a una función lineal o a una función afín.

a. La ecuación w 3,51L 192 que relaciona la longitud (L) y el peso (w) entre las ballenas azules.

b. La altura de una persona y su edad.c. La ganancia que obtiene una persona que

invierte su dinero al 3% mensual.d. La relación que hay entre el dólar y el peso.e. La relación que hay entre el peso y la masa de

un cuerpo.

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4�5�6 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4�5�6 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

3x�3y

4x�3yx

A

B C

x�4y

x�2y

x�3y

x�y

x�1

3

�x�6y

x�2y2z

3�z

6�2z

x�y

6




1 La edad de Alberto hace 6 años era la raíz cua-drada de la edad que tendrá dentro de 6 años. La edad actual de Alberto es:

a. 36 c. 20b. 12 d. 10

2 Una de las raíces de x x2

5 23

10 – = es:

a. 12

c. 3

b. 4 d. 2

3 Las raíces de 3 2 1ax

xa – = son:

a. a y 32a

c. 23a

y a

b. 32a

y a d. a y 23a

4 Uno de los factores de la ecuación 2x2 4ax bx 2ab es:

a. x b c. x 2bb. 2x a d. 2x b

5 La solución de la ecuación x2 12x 45 0 es:

a. 3 6i c. 6 3ib. 1 2i d. 2 i

6 La solución de la ecuación xx

xx

–

++

++ =4

523

124 es:

a. 11 y 3 c. 3 y 11b. 3 y 11 d. 3 y 11

7 Soluciona cada caso teniendo en cuenta las condiciones dadas.

a. Encuentra las me-didas de los lados del triángulo, sa-biendo que ABC es un triángulo rec tángulo.

UNIDAD 5

b. Calcula las medidas de los lados del rectán-gulo dado, si su perímetro es igual a 220 cm.

x2 9x

x2 3x

8 Relaciona cada grá� ca con una de las funcio-nes dadas, traza su eje de simetría y encuentra su ecuación.

a. b.

( ) ( )

c. d.

( ) ( )

1. x2 1 3. 12

2x

2. 3(x 2)2 2 4. (x 2)2

9 Se dispara un proyectil desde un globo de tal manera que la altura alcanzada en metros cuando transcurre un tiempo en segundos vie-ne dada por la fórmula h 1,6t2 96t 256. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el pro-yectil y cuántos segundos han transcurrido al llegar a esa altura?

1 de 2

Función cuadrática

A

B C

5x�1

x

�1�1

�2�3�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

6

7

8y

A B

D C

�1�1

�2�3�4�5 1 2 x

1

2

3

4

5

6

7

8y

�1�1

�2�3 1 2 3 x

1

2

3

4

5

6

7

8y

�1�1

�2 1 2 3 4 x

1

2

3

4

5

6

7

8y

2 de 2


10 Completa cada uno de los siguientes enuncia-dos según corresponda.

a. Naturaleza de las raíces de la ecuación es 3x2 2x 5 0 _____________________.

b. El vértice de una parábola es (1, 1), la ecua -ción de dicha parábola podría ser

________________.

c. Valor de k para que las raíces de la ecuación 2x2 2kx 3 0 sean iguales

_________________.

d. Ecuación cuyas raíces son – 13 y 4

9 es _________________.

e. La expresión que completa el trinomio cua-drado perfecto en 3x2 5x es

_______________.


a. 3 24

9 1412

5x xx

b. 2 5 1 0x x

c. (3x 1)2 5(3x 1) 14 0

d. 2x2 3 x

e. x2 ax bx ab

12 El cuadrado de un número positivo disminuido en cuatro equivale a cinco veces el número au-mentado en veinte.

13 Calcula las medidas de los lados de cada una de las � guras dadas si se conocen sus respecti-vas áreas.

a. Área del cuadrado 900 cm2

b. Área del triángulo 30 cm2

UNIDAD 5

14 Las grá� cas representadas son funciones de la forma f(x) ax2 bx c. Completa el cuadro con , o según corresponda.

15 Para cada función determina: vértice, eje de si-metría, elabora una tabla de valores y gra� ca.

a. y 6 x2

b. y 5x2

c. y (x 3)2

d. y 4x2 5e. y x2 2x 1

16 Dada la ecuación 2x2 k 0, cambia k por una expresión tal que la ecuación tenga:

a. Una solución enterab. Dos soluciones realesc. Dos soluciones no negativasd. Dos soluciones complejase. Dos soluciones imaginarias

x�5

2x�5

x�7

Función Discriminante a

b2 4ac ___ 0 a ___ 0

b2 4ac ___ 0 a ___ 0

b2 4ac ___ 0 a ___ 0

�1�1

1 2 3 4 5 6

7

89

x

1

2

3

4

5

6

y

2122

22

23

23

24

25

211 2 3 x

1

2

3

4

5y

�1�2

�2

�3�4�5

�3

�4

�5

�6

�7

�11 x

1

2y



1 Escribe falso o verdadero según corresponda. En caso de ser falso escribe la expresión verda-dera.

( ) LogLogLoga

a

ax y

xy

( )( ) Log

a x y Log

a x Log

a y

( ) Loga 5x 5 Log

a x

( ) La base de la expresión Loga b es ε.

( ) Log2 14 7

2 Realiza las grá� cas de las funciones indicadas y escribe la transformación realizada.

a. f(x) 3x y h(x) 3x2

b. f(x) 3x y i(x) (3x) 1

3 Encuentra el valor de las siguientes expresio-nes sin usar la calculadora.

a. Log2 16 Log

3 81

b. Log 32 Log 745

493

c. Log 1

25Log 1

27

Log 1512

5 3

8

( ) ( )( )

d. Log 8113

Si 2x 3, calcular:

e. 9 (2x)

f. (4)x2

g. Log3 2x

h. 3 Log 213

4 x

UNIDAD 6

4 Si el área de un cuadrado es A unidades cua-dradas, y dentro de él se inscriben cuadrados como lo muestra la � gura.

a. Si el lado del cuadrado ABCD es 8 cm. ¿Cuál es su área?

b. ¿Cuál es el área del cuadrado EFGH?c. ¿Cuál es el área del cuadrado ILJK?d. ¿Cuál es el área del n-ésimo cuadrado?e. ¿Cuál es el área del décimo cuadrado?

5 En un cultivo una bacteria se divide cada me-dia hora para producir dos bacterias. Si empe-zamos con una colonia de 5.000 bacterias, al cabo de t horas tendremos A 5.000 22t bac-terias. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que A sea 5.120.000?

6 Completa cada uno de los siguientes espacios según corresponda.

a. La gráfi ca básica para trasladar la función con ecuación y [Log

5(x 3)] 3 es

__________________.

b. Si la función y 3x se ha trasladado dos uni dades a la derecha y dos unidades hacia abajo, la ecuación de la gráfi ca resultante es ________________.

c. Completa la tabla de valores para la ex-

presión: yx

12( )

1 de 2

Función exponencial y función logarítmica

Transformación

Transformación

A

B C

D

E

F

G

H

I J

KL

N

M O

P

x

y

2 de 2

Ecuación Corte con el eje x

Corte con el eje y

y 2x 1

y 2x 2

y 2x 3

y log2(x 1)

y log2(x 1)

y log2(x 2)


d. Completa la tabla de valores para la expresión: y Log

2 x

e. El x-intersecto de la función y [Log

3(x 27)] 3 es ______________.

f. El x-intersecto de la función y 3x9 9 es __________________.

g. La ecuación de la asíntota de la función y 3x1 1 es ______________________.

h. La ecuación de la asíntota de la función y [Log

3(x 2)] 2 es _______________.

i. Si en una función se cumple que a medida que aumenta el valor de la x también aumenta el valor de su correspondiente imagen (x) entonces, se dice que la función es _______________________.

j. El rango de todas las funciones básicas para la función exponencial es ___________.

7 De acuerdo con la siguiente grá� ca realiza lo que se indica:

a. Completa. Si se analiza los valores que se en cuentran en la gráfi ca, la ecuación de la función básica es ______________.

b. Traslada la anterior gráfi ca una unidad a la izquierda y una unidad hacia arriba.

UNIDAD 6

8 Los registros de salud pública indican que t se-

manas después del brote de una rara forma de

gripe, aproximadamente Pe t - ,= +4

2 0 8 miles

de personas han adquirido la enfermedad.

a. ¿Cuántas personas tenían la enfermedad inicialmente?

b. ¿Cuántos habían adquirido la enfermedad pasadas tres semanas?

9 Un capital de $4.000 se invierte a una tasa de interés compuesto anual del 12%.

a. Calcula su valor después de cuatro años, si se capitaliza semestralmente. C C

0(1 i)t.

b. ¿Responde, cuánto tiempo debe transcurrir para que el capital se triplique?

10 Completa la siguiente tabla según corresponda.


a. 175 Log(x2 8) 0

b. 10 102 6x x

c. 3 127

2 4x x

d. Log(x 9) Log 100x 3

�2�4

�5

�6 2 4 6 x

15

5

10

y

x

y


a1

a1

n d

45 7 2

47 88 3

7 28 8

34

6 12


1 Calcula el valor de las siguientes sumatorias.

a. n n

n

13

1

5 ( )∑ d. 2 2

2

8

nn∑

b.

12

0

6 ( )∑n

n

e. n

n

22

1

5 ( )∑

c. 32

7

nn∑ f.

1

0

5 ( )∑n

nn

2 Escribe cada una de las siguientes sumas en notación de sumatoria.

a. 4 8 12 16 20 24

b. 2 0 4 10 18

c. 12

23

34

45

56

67

d. 14

15

16

17

18

e. 2 3 4 5 6 7

3 Escribe falso o verdadero según corresponda. Si la oración es falsa, remplaza la palabra su-brayada por una expresión que la haga verda-dera.

( ) Los cuatro primeros términos de la sucesión {2n 1} son {1, 3, 7, 9}. _______________

( ) El valor de la sumatoria n nn

2

2

8

3

∑ es

147. ________________

( ) El valor de d en la sucesión 12

, 1, 32

,... es

12

. __________________

( ) Si en una progresión aritmética a1 5

y d 4 entonces el valor de a32

120. _____________

( ) El número de términos de una progresión aritmética en la que a

1 47, a

n 88 y

d 3 es 46. _____________________

UNIDAD 7

( ) La suma de los diez primeros términos de la progresión aritmética 3, 7, 11, … es 210. _____________

( ) El sexto término de la progresión geométrica

12, 4, 32

,... es 227

. ________________

( ) La suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica 0,3; 0,15; 0,075;… es 0,68. ________________________

( ) El valor de 0,3 es 15 . ____________

4 Un banco reduce el pago de los préstamos a sus clientes responsables, de tal manera que

cada mes sólo pagará 110 del mes anterior.

¿Qué fracción del total pagarán el sexto mes?

5 María desea realizar una remodelación en su casa; ella calcula que la obra durará un mes. Para el trabajo se presentan dos obreros y sus condiciones de pago son: uno de ellos cobra diariamente $25.000 y el otro cobra el primer día $10.000, el segundo $20.000 y así sucesi-vamente. ¿Por cuál de los dos se debe decidir María?

6 Completa la siguiente tabla con los términos de cada progresión aritmética.

1 de 2

Sucesiones, series y progresiones

2 de 2


7 Halla el valor de x, de modo que x 2, x 7, x 12, x 17, formen una progresión geomé-trica de cuatro términos en el orden dado. Lue-go, escribe la progresión.


a. Escribe el término general de las siguientes sucesiones:

13

, 45

, 97

, 169

,...{ }

12

, 25

, 310

, 417

,...{ } {2, 4, 6, 8,…}

{1, 3, 9, 37,…}

b. Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

Sn {4n} S

n ______________

Snn 1

2{ } Sn ______________

Snn

n

13

( )

S

n ______________

S nnn

3 1

23

3{ } Sn ______________

Snn

n

1 5

71

1{ } Sn ______________

c. En la sucesión Sn 13

, 15

, 17

, 19

, 111

,...{ } , el

décimoquinto término es: _____________.

9 Halla cinco medios aritméticos entre 34

18 y .

10 Calcula la diferencia de la progresión aritméti-ca cuyo primer término es 1, el último 4 y el número de términos es 10.

11 Halla el número de términos de una progresión aritmética cuyo último término y primer térmi-no son respectivamente 18 y 5, y la diferencia

es 13 .

12 Encuentra el término 19 de la progresión arit-mética 1

378, ,…

UNIDAD 7

13 Escribe cuatro medios geométricos entre 7 y 224.

14 Encuentra la suma de los seis primeros térmi-nos de una progresión geométrica cuyos tér-minos son 4, 8,…

15 Halla el número de términos de una progre-sión geométrica cuyo último término y primer término son respectivamente 729 y 3, y la razón es 3.

16 Encuentra el término 10 de una progresión geométrica si el primero y el quinto término son 2 y 162, respectivamente.

17 Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6 m y en cada segundo posterior avan-za 25 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avan-zó en el octavo segundo y qué distancia habrá recorrido en ocho segundos?

18 Un odontólogo arregló 20 piezas a una per-sona cobrándole 10.000 pesos por la primera, 20.000 por la segunda, 40.000 por la tercera y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honora-rios del odontólogo?

19 Escribe falso o verdadero según corresponda. En caso de ser falso escribe la expresión en for-ma verdadera.

( ) La suma 1 9 2 12 3 15 4 18 también se puede escribir como

3 23

6

n nn

( )∑ .

( ) La expresión n 11

50

( )∑ corresponde a la

suma de los primeros cincuenta términos de la sucesión {2, 4, 6, 8,…}.

( ) El valor de la sumatoria 12

2

5

n∑ es

319420

.

( ) a b a bk k

k

n

k k

k

n

k

n

1 11∑ ∑∑

( ) c a c ak

k

n

k

k

n

1 1∑ ∑



C

A E B

D

1 Completa los espacios en blanco según corres-ponda.

a. Una ________ es el cociente indicado de dos cantidades.

b. Una proporción es la igualdad entre dos _________.

c. En la expresión ab

cd

, “a” y “d” reciben el

nombre de _____________ y “c” y “b” reciben

el nombre de __________.d. Una proporción __________________ es la

que tiene los medios o los extremos iguales.e. Los tres criterios que nos aseguran la

semejanza de dos triángulos son: _________, _________

y _________.

2 En el triángulo ABC, AD es perpendicular a BC y CE es perpendicular a AB. Demuestra que

AB CE BC AD .

Hipótesis: _______Tesis: ___________

UNIDAD 8

3 Si el triángulo ABC es semejante con el triángu-lo PQR entonces.

a. La razón entre los lados correspondientes es: _______ _______ _______

b. El ángulo CAB es congruente con el ángulo ________.

c. El ángulo ABC es congruente con el ángulo ________.

d. El ángulo ACB es congruente con el ángulo ________.

e. Si el perímetro del ABC es 18 cm y la razón

entre los perímetros es 12

, entonces el períme -

tro del PQR es _____________________.

4 Halla el valor del término desconocido.

a. 114

3 23

x c. x3

52

b. xx

13

51

d. 416xx

5 En la siguiente � gura.

AC 5 cm, AE 14 cm BD 2x 6, DF 4x 2

Halla la medida de: BF =

1 de 2

Razonamiento

Proposiciones Justifi caciones

a. D D

b. B B

c. A C

e.

ABBC

ADCE

f. AB CE BC AD

A

C

E

B

D

F

2 de 2


6 Completa los datos que se indican, de forma que los triángulos ΔABC y ΔDEF resulten seme-jantes.

a. AB 8 , AC 5 , A 40° y DE 32 , luego DF ______ y D _________.

b. A 75°, A 60°, luego D ________ E _________ y F _________.

7 Completa el espacio según corresponda y rea-liza el grá� co correspondiente.

a. Un _________ es la por-ción del círculo com-prendida entre dos ra-dios.

b. Un ángulo _____ es el que tiene su vértice en un punto de la circun-ferencia y sus lados son dos cuerdas.

c. Una ________ es una recta que toca a la cir-cunferencia en un pun-to.

d. ______ es la porción de circunferencia com-prendida entre dos pun-tos de esta.

UNIDAD 8

8 Halla el valor de x en cada caso.

a.

b. A x si b

120° y a

70°

9 Halla el valor de x y y de acuerdo con la � gura dada. Si 1 90° y A 60°.

10 La razón de los estudiantes que llegan hasta la escuela en bicicleta, con respecto a los que llegan caminando, es de 3 a 5. De un total de 800 estudiantes en la escuela, ¿cuántos llegan en bicicleta y cuántos caminando?

11 ¿Cuál es la altura de un edi� cio cuya sombra es de 30 m, al mismo tiempo que un poste de 3 m, proyecta una sombra de 5 m.?

QP

R

96

2x�1

P

B

C

Aa

c

b

B

E

D

C

Ayx 1



1 Completa el siguiente geograma.

HORIZONTALESa. Sólido que se obtiene al rotar, en el espacio,

un rectángulo alrededor de la recta que contiene uno de sus lados.

d. Número no negativo asociado a una su-perfi cie.

e. Número irracional, asociado tanto a la longitud de la circunferencia como al área del círculo.

f. Número no negativo que indica la porción del espacio que ocupa un cuerpo.

g. En la fórmula V B h el signifi cado de h.

VERTICALESb. Número no negativo asociado a un seg-

mento.c. El elemento del cual se necesita su medida

para calcular el área del círculo.

2 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes � guras.

a.

b. r 5 cm

UNIDAD 9

c. R 5 cm

3 Calcula el volumen de la mayor pirámide que cabe en un prisma hexagonal con arista de la base 2 cm y 4,7 cm de alto.

4 Una empresa de luces desea mandar construir para su negocio, re� ectores en forma de esfera, con radio de la circunferencia máxima igual 4 m. ¿Cuál es la cantidad de material que debe conseguir la empresa constructora para elabo-rar cada re� ector?

5 Dibuja el desarrollo de cada cuerpo.

a. c.

b. d.

1 de 2

Cuerpo geométricos

b. c.

a.

d.

e. f.

g.

10 cm

13 cm

r

d

4.3 cm

R

r

2 de 2


6 Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justi� ca las respuestas falsas.

( ) Un cuerpo redondo es una fi gura limi-tada por caras curvas y/o caras planas. ______________.

( ) Una pirámide es una fi gura con dos bases y las caras laterales son paralelogramos _____________.

( ) Si el radio de una esfera se duplica, entonces el volumen se aumenta el doble ________________.

( ) Un cilindro es una fi gura generada de la rotación de un rectángulo _____________.

( ) La apotema de una pirámide es la dis tancia entre la cúspide y la base _____________.

7 Calcula el área total de un tronco de pirámide regular, cuyas bases son cuadrados de 15 cm y 30 cm de lado. Las aristas laterales son de 10 cm.

8 Una empresa especializada en la construcción de baldes, desea construir uno con las siguien-tes medidas: la altura del balde debe ser de50 cm, el radio de la base inferior debe medir 25 cm y el radio de la base superior debe ser de 35 cm. ¿Qué cantidad de material se necesita para la construcción de un balde?

9 La diagonal de un cubo es una recta que une dos vértices situados en caras distintas. Dicha diagonal forma un triángulo rectángulo con una de las aristas del cubo y la diagonal de una de sus caras. Si la diagonal de una de las caras del cubo mide 15 cm. Calcula la diagonal del cubo, el área total y el volumen.

UNIDAD 9

10 Calcula el volumen del mayor cono que cabe en un ortoedro de 6 cm de ancho, 4 cm de lar-go y 7 cm de alto.

11 Calcula la cantidad de agua que se derrama cuando se introduce una bola de 5 cm de diá-metro en un vaso de forma cilíndrica de 6 cm de radio en la base y 10 cm de alto.

12 Calcula el volumen de cada uno de los cuerpos generados, al girar las � guras planas alrededor del eje indicado.

a. Eje AB c. Eje EG

b. Eje AB d. Eje EF

13 Un cm3 equivale a un mL. ¿Cuántos ml de jugo contiene un envase cuyos lados miden 4,8 cm, 3,6 cm y 12 cm? ¿Cuántos ml contiene otro en-vase cuyas medidas son el doble de las anterio-res?

A B

CD

7 cm

3 cm

F

E G4 cm

4 2 cm

A

B

6 cm 4 cm

E

C DF



1 Se aplicó una prueba de aptitud a los 50 aspi-rantes a pruebas o� ciales en el Distrito Capital. Las puntuaciones correspondientes fueron:

77, 44, 49, 33, 38, 38, 76, 55, 68, 39, 44, 59, 36, 55, 47, 61, 53, 32, 65, 51, 29, 41, 32, 45, 83, 58, 73, 47, 40, 26, 59, 43, 66, 44, 41, 25, 39, 72, 37, 55, 34, 47, 66, 53, 55, 58, 49, 45, 61, 41.

a. Agrupa los datos en cinco intervalos y elabora una tabla de frecuencias.

b. ¿Cuál es el promedio de las puntuaciones obtenidas por los aspirantes?

c. ¿Cuál es la mediana de los datos?d. ¿Cuál es la puntuación más frecuente?e. Elabora un histograma para las frecuencias

absolutas.

2 De acuerdo con el siguiente histograma, que muestra el peso de los atletas que participaron en una competencia, completa los espacios se-gún corresponda.

a. La variable y el tipo de variable estudiados son _____.

b. La cantidad de atletas que participó en la competencia es ______________.

c. La mayoría de los alumnos pesan entre ________ kg.

d. La cantidad de atletas cuyo peso es mayor o igual a 75 kg es ______________.

e. El porcentaje de atletas cuyo peso se en cuen-tra entre 65 y 70 kg es ______________.

3 Ana desea formar un código de 6 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas posibilidades tiene Ana para formar el código?

UNIDAD 10

4 En una empresa se quieren contratar 5 agentes de seguridad. Si al proceso de selección se pre-sentan 10 personas, ¿de cuántas formas distin-tas se pueden ocupar las cinco plazas?

5 De acuerdo con la siguiente tabla de frecuen-cias contesta las preguntas según corresponda:

Medio de información f fr %

Televisión 15 0,375 37,5

Radio 13 0,325 32,5

Internet 4 0,1 10

Prensa 8 0,2 20

a. ¿El total de personas encuestadas fue? ____.b. ¿La variable estudiada es? _____.c. ¿El medio por el cual la mayoría de las per so-

nas se informaron de las noticias es? ______.

6 Paola ordenó 60 pizzas para una � esta. Algu-nas de pollo con champiñones, otras de carnes, otras mexicanas y otras vegetarianas. La proba-bilidad de que una caja contenga una pizza de carnes es 4

15 , la probabilidad de que una caja contenga una pizza mexicana es 7

60 y la pro-babilidad de que una caja contenga una pizza vegetariana es 7

30 . ¿Cuál es la probabilidad de que Paola saque una pizza de pollo con champiñones cuando abra una caja?

7 De acuerdo con el siguiente diagrama de árbol.

a. Escribe una situación que pueda modelarse con el diagrama de árbol.

b. Realiza un listado de los elementos que contiene el espacio muestral.

1 de 2

Estadística y probabilidad

0

5

10

15

20

25

30

40 50 60 70 80

F

Peso (kg)

amarillo

azul

rojo

azul

rojo

amarillo

rojo

amarillo

azul

rojo

azul

rojo

amarillo

azul

amarillo

2 de 2


8 La tabla dada a continuación corresponde al resultado de una encuesta realizada sobre la edad de 100 personas asistentes a un espec-táculo de circo. Completa la tabla de distribu-ción de frecuencias.

x f fr

F Fr

% m

[0, 20) 45

[20, 40) 12

[40, 60) 20

[60, 80)

[80, 100) 5

9 El siguiente grá� co muestra las incapacidades de las alumnas del grado noveno de un cole-gio, durante un año escolar.

Responde:a. ¿Cuántos días estuvieron incapacitadas la

mayoría de las alumnas? _______________b. ¿Cuántas alumnas estuvieron incapacitadas?

_______c. ¿Cuál es el porcentaje de las alumnas que

estuvieron incapacitas por 14 días o menos? ___________

d. ¿Cuál es el número de alumnas cuyas incapacidades está por debajo del promedio? _____________

UNIDAD 10

10 De las 75 alumnas de grado once de un colegio se han observado las características de su pelo y los resultados obtenidos están dados en la si-guiente tabla.

Castaño Mono Total

Largo 10 38 48

Corto 12 15 27

Total 22 53 75

Si se elige al azar una alumna del grado once, calcula la probabilidad de que:a. Sea de pelo corto y mono.b. Sea de pelo largo.c. Sea de pelo corto.d. Sea de pelo corto y castaño.

11 De acuerdo con el siguiente diagrama de árbol.

a. Escribe una situación que pueda modelarse con el diagrama de árbol.

b. Realiza un listado de los elementos que contiene el espacio muestral.

12 Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,35. ¿Cuál es la probabilidad de que el su-ceso no ocurra?

13 En un salón de clases hay 40 alumnos de los cuales 22 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un alumno al azar, este sea hombre?

0

2

4

6

8

10

12

4 8 12 16 20 24

F

Incapacidades

cine •

teatro•

•zarzuela

• teatro

• zarzuela

• parque

• zarzuela

• parque

• parque

•

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 9 AMPLIACIÓN Y REFUERZO

1 ¿Por qué número hay que multiplicar el número

12.345.679 para obtener sólo doces?

2 Colorea la � gura diferente.

3 ¿Qué año del siglo XIX aumenta 412

veces si se mira su imagen en el espejo?

4 ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los puntos A, B, C, D, E, F y G como vértices?

5 Dibuja la � gura que continúa en la secuencia.

6 Si se escriben en su orden, comenzando por el 1, los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…,

¿cuál dígito ocupa el lugar 552.715?

(Observar que la cifra 0 del número 10 ocupa

el lugar 11.)

7 Traza dos rectas que dividan la región sombreada en tres trozos, de modo que con ellos se pueda formar un cuadrado.

8 Con doce fósforos, construye seis rectángulos iguales sin quebrar ningún fósforo.

9 Si a * b=3a + b2 calcular 4 *3

10 Escribe las cifras del 1 al 7, de modo que la suma de los valores de los vértices de cada triángulo sea el que se indica en el interior.

11 ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 7 da sólo unos?

12 Ubica los dígitos del 1 al 6 de tal manera que los números situados sobre cada circunferencia sumen lo mismo.

UNIDAD 1

1 de 2

A B C

F

G

D E

?

10

814 9

10

Juegos de ingenio

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 9 AMPLIACIÓN Y REFUERZOUNIDAD 1

15 ¿Cuál es el volumen del cubo si la suma de sus aristas es 60 cm?

16 En una isla deshabitada, salvo por un grupo pequeño de ingleses, funcionan cuatro clubes. Si cada inglés es socio exactamente de dos clubes y cada dos clu-bes tienen exactamente un socio común, ¿cuántos ingleses hay en la isla?

13 Si el área de la � gura es 25 cm2, ¿cuál es su perímetro?

14 El día en que Hugo cumplió 13 años, su tío dijo “qué curioso, si invertimos el orden de las cifras obtenemos exactamente mi edad”. ¿Volverá a pasar esta situación en algún otro cumpleaños de Hugo?

2 de 2


1 Desplaza dos fósforos para formar siete cuadrados, no todos iguales.

2 Los números 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 tienen cuatro divisores comunes. Uno de ellos es el número 1. ¿Cuáles son los otros tres?

3 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la � gura?

4 Escribe el número que ocupa el lugar del interrogan-te.

5 Halla el dígito que corresponde a las unidades en la expresión 1.9791.979

6 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra ORO en el arreglo?

O

R R

O O O

7 Dibuja la � gura que ocupa el lugar del interrogante.

8 ¿Cómo distribuir 24 personas en seis � las, de modo que en cada � la haya cinco personas?

9 ¿Por qué las 28 � chas del dominó pueden ponerse siguiendo las reglas del juego, formando una línea recta?

10 ¿Qué tanto por ciento representa la parte som-breada de la � gura?

11 ¿Cuántos puntos hay que escribir en cada cara en blanco, si se sabe que dos caras opuestas en un dado suman 7?

UNIDAD 2

1 de 1

6

4

4

5

7

9

16

48

?

?

Juegos de ingenio


1 Escribe en cada casilla un número del 1 al 8, de mane-ra que ninguno tenga al lado un número consecutivo con él ni vertical, ni horizontal ni diagonalmente.

2 Escribe sucesivamente los números del 1 al 9 sin al-terar su orden. Poner entre ellos signos más y menos, de modo que el resultado dé exactamente 100.

3 ¿Cuántos cubos hay en este sólido?

4 Construye con ocho fósforos una � gura de super� -cie máxima.

5 Remplaza cada letra por una cifra distinta para que la suma sea correcta en números.

6 Usa sólo curvas para dividir el círculo en cuatro regiones iguales.

UNIDAD 3

1 de 2

?

O N C E 1 N U E V E V E I N T E

7 Escribe los signos +, - , x , ÷ para que la igualdad sea correcta.

12 i 6 3 i 4 i 5 i =- 6 + 8 i

8 Divide el reloj en seis partes con la condición de que en cada parte la suma de los números sea la misma.


10 Forma con los dígitos del 1 al 9 la fracción 12

usando cada dígito una sola vez.


Juegos de ingenio


2 de 2

12 Tacha nueve cifras de tal manera que al sumar las columnas de las seis cifras restantes se obtenga el resultado 1111.

1 1 1

3 3 3

5 5 5

7 7 7

9 9 9

13 — Tengo tantos hermanos como hermanas.

La hermana de la persona que acaba de hablar dice:

— Tengo dos veces más hermanos que hermanas.

¿Cuántos hermanos son?

14 Cambia de posición cuatro palillos para que estos tres cuadrados se conviertan en cinco.

15 Completa la relación ‹ es › como es a

16 Ubica los números 3 - i; 2 + 7i; 2 + 2i; -6; -6 - 5i; 11 + 6i, sde tal forma que al sumar las tres horizontales y las tres verticales de 0 + 0i.

-5-6i

4-2i-

-5-i


Juegos de ingenio

1 Retira seis palillos para que los nueve triángulos igua-les se conviertan en cuatro.

2 Una persona dice mirando la foto de una mujer: “ni hermanos ni hermanas tengo, pero la madre de esta es la hija de mi madre”.¿De quién es la foto?

3 ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de H a M sin pasar dos veces por un mismo lado?

4 Escribe la cifra que falta.

3i i 23

5 i2 25

22 i3 2i

4i i4 ?

5 ¿Cuántos números naturales se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, usando cada uno de ellos como máximo una vez, de modo que sean múltiplos de 8?

6 ¿Cuál área sombreada es mayor?

UNIDAD 4

1 de 2

7 ¿Cuál es el primer múltiplo de2007 que no posee ningún dígito igual a cero?

8 ¿Cuál es el área de la � gura, si cada cuadrado se intersecta en los puntos medios de sus lados?


10 En cierta época del año, Bogotá tiene 612

horas de retraso con relación a París.Cuando en París son las 5:15 a.m. del 11 de noviembre, en Bogotá, ¿qué hora es y de cuál día?

11 Si WXYZ es un cuadrado, ¿MNOP es un cuadrado?

H M

24

2

8 8

M

P

O

NW X

YZ

Juegos de ingenio


2 de 2

12 Comprueba, factorizando, que la expresión de la izquierda es equivalente al término de la derecha.

182 + 242 = 62 • 52

13 ¿Cuál es la mitad de 240?

14 Escribe el número que ocupa el lugar del interro-gante.

15 ¿De cuántas formas pueden ordenarse cinco niños para deslizarse por un tobogán, si uno de ellos es miedoso y quiere lanzarse siempre de último?

16 Ubica los números del 1 al 9 de tal manera que la suma de cada lado sea 20.

6

5

2

402

343

1 ?



2 Halla un número cuadrado de tres dígitos cuya suma y cuyo producto digital sean números cuadrados.

3 Desplaza cuatro fósforos para tener diez cuadrados, no todos iguales.

4 ¿Para qué valores de x es posible construir un triángu-lo isósceles si sus lados iguales miden 10 cm cada uno y su base mide x cm?

5 Encuentra los valores que deben tomar las letras A, B y C para que la suma sea correcta.

6 Mide cinco litros con los dos recipientes.

UNIDAD 4

1 de 2

7 ¿Hay más números primos menores que 100 ter-minados en tres o más primos menores que 100 terminados en siete?

8 Si las � guras están relacionadas, ¿cuál es el valor de n?

9 Distribuye los números del 1 al 16 de modo que la suma de los cuatro números de cada lado de los cuadrados sea 34 y la suma de los respectivos vértices de cada cuadrado también sea 34.

10 Si * z =w - zw+z

2 2

hallar 15 * 16

11 ¿Cuántos trapecios hay en la � gura?

12 La suma de tres múltiplos consecutivos de 22 es mayor que 442 y menor que 452 .¿De qué múltiplos se trata? ¿Cuál es la suma?

A B C A B C 1 A B C B B B

7L3L

428

7

1223

11

339

n

1019

9

Juegos de ingenio


2 de 2

13 ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con dos palillos de 10 cm, dos de 17,3 cm, uno de 2 cm y uno de 30 cm?


15 ¿Con cuál de estos patrones se puede construir una pirámide?

?


7 ¿Qué parte del área del cuadrado representa la x?

8 Completa la frase ubicando en cada casilla una sola letra.

Nueve es...

9 Si se duplica el lado de un cuadrado, entonces, ¿su perímetro y su área también se duplican?

10 ¿Cuántas formas hay para ir de A a B sin pasar dos veces por una misma estación?

1 Si se ordenan de mayor a menor todos los números de cuatro dígitos diferentes que se pueden escribir con 2, 4, 6 y 8, ¿cuál ocupa el noveno lugar?


3 Con los dígitos 6, 6, 6, 6, 9, 9 se ha formado un núme-ro palíndromo que también es cuadrado. ¿Cuál es?

4 Divide el hexágono en tres rombos congruentes.

5 Retira tres palillos para que los cinco cuadrados se conviertan en tres.

6 Si letras iguales representan dígitos iguales, averi-guar el valor de D, O, S, C y H.

UNIDAD 6

1 de 2

A

C

B

D

E

D O S D O S D O S 1 D O S O C H O

MAYO

Juegos de ingenio


2 de 2

14 W, Z y T son números enteros positivos.¿Cuál de las dos expresiones siguientes es la mayor,

W - (Z - T) o (W - Z) - T?

15 Dibuja la � gura sin levantar el lápiz del papel y sin repetir la línea.

16 ¿En qué columna aparecerá el número 99?

A B C D E

1 2 3

5 4

6 7 8

10 9

11 12 13

11 . De cuántas formas se puede leer en el arreglo la palabra nuevo.

N

N U E

N U E V O

E V O

O


13 . Forma un triángulo con las cuatro piezas.

?


6 El producto de tres números consecutivos es 10.626.

¿Cuáles son los números?

7 ¿Cuántos triángulos hay en la � gura?

8 Remplazar cada letra por una cifra para que la igualdad sea correcta.

wwx = wxxw

w = ? x = ?

9 Forma con los dígitos del 1 al 9 la fracción 13

, usando los dígitos una sola vez.

10 ¿De cuántas maneras diferentes se pueden asig-nar las letras W, X y Z a los puntos marcados sobre la circunferencia?

11 ¿Cómo se llama el revés del envés de la hoja?


1 Si n=3n+22n

calcular

2 Ubica los números del 1 al 9 de modo que cada línea sume siempre 15.

3 Los siguientes números, excepto uno, son de la forma 3 2n− con n∈ ¿cuál es ese número?

28 1

13 22

0 223


5 ¿Cuál es el área del tangrama si se toma como uni-dad de super� cie el triángulo D?

UNIDAD 7

1 de 1

?

A

B

C

D

E

F

G

Juegos de ingenio


7 La diferencia de los dos cuadrados entre dos números enteros es igual al cuadrado de otro número entero.

¿Qué números enteros cumplen esta condición?

8 ¿Cuántas � guras semejantes a DC’CA hay?

9 El rectángulo tiene una super� cie de 40 cm2. Deducir sin fórmulas, la super� cie del rectángulo punteado.

10 Describe de dos maneras diferentes el siguiente patrón.

2, 6, 12, 20, 30, 42…

11 ¿Qué letra está en la cara opuesta a la que contie-ne la letra A?

1 Construye, con seis fósforos, una � gura que permita contar ocho triángulos.

2 Un día de frío, una persona mayor y un niño están al aire libre. Ambos van vestidos de igual manera ¿Cuál de los dos tiene más frío?

3 Determina el sentido de la polea E.

E gira en sentido…

4 ¿Cuál es la suma de todos los números de tres dígi-tos que se pueden formar con los dígitos 3, 4 y 7?

5 Remplaza cada letra por una cifra para que la igual-dad sea correcta.

wzw xx=

w = ? z = ? x = ?

6 ¿Cuántas rutas comunican M con L sin pasar dos veces por el mismo punto?

UNIDAD 8

1 de 1

A B C

DE

M N

C L

O

A

A�A�

B�

C �D �

E �

B�

C�

D�

E� BE

CD

Juegos de ingenio


7 Llena con 4 L el recipiente A y con 4 L el recipiente B, si se empieza con 8 L de agua en el recipiente A.

8 Remplaza cada letra por una cifra para que la igualdad sea correcta.

WZ + XY = TUV

TUV es divisible entre 25.

9 ¿Cuántos números formados por tres dígitos dife-rentes 3, 7 y 9, son primos?

10 ¿Cuántas cajas pequeñas caben en la caja grande?

11 Si el radio de un círculo aumenta el 100%, ¿cuánto aumenta el área?

12 ¿Qué � gura puede trazarse sin levantar el lápiz ni repetir el trazo dos veces?

1 ¿Cuántas veces es más pesado un gigante de 2m de altura que un enano de 1 m?

2 Dibuja la � gura que continúa la secuencia.

3 ¿Qué pesa más, un vaso lleno de azúcar en polvo o de azúcar en cubos?

4 Construye una estrella con las siete piezas.


6 En una caja hay varias arañasy escarabajos, en total ocho. Si en total hay 54 patas, ¿cuántas arañas y escarabajos hay en la caja?

UNIDAD 9

1 de 1

?

12 6

4

32

2

8L 5L 3L

A B C

Juegos de ingenio


7 ¿De cuántas formas puede leerse la palabra ENTE?

E

E T E

E T N T E

E T N E N T E

E T N T E

E T E

E

8 ¿Cuántas x hay en el diagrama?

9 ¿Cuál es la medida de la diagonal AC?

10 ¿Es posible cubrir el tablero con nueve � chas como la A?

1 Determina el sentido de la polea C.

C gira en sentido…

2 Si el mañana del pasado mañana de ayer es lunes, ¿qué día será el ayer del anteayer de mañana?

3 ¿Cuántos paralelogramos como P hay en la � gura?

4 ¿Cuál es la suma digital del producto

22.000 x 52.001?

5 Quita tres palillos para tener un triángulo y un rom-bo.

6 Completa la � gura de la izquierda para que sea simé-trica a la � gura de la derecha.

UNIDAD 10

1 de 1

A B

C

D

X XX X

X XX X

X XX

XX

X

XXX

XXXX

XX

X XX X

X XX X

X X

A B

C O 4 4

Juegos de ingenio


HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 9 PREPÁRATE PARA TU EVALUACIÓN

1 Completa la siguiente tabla escribiendo en las casillas ó según corresponda.

5,6

81

4,3232…

0

83

2 + 4


a. En una expresión algebraica sólo se pueden sumar o restar __________________.

b. Expresar sólo con sumas o multiplicaciones de letras las siguientes expresiones:

2 a ________ y a2 ________c. De acuerdo con el polinomio

5x2 6x4 3x3 2 5x. • El polinomio ordenado en forma as cen-

dente es __________________. • El grado del polinomio es ____________. • El término independiente es __________. • El signo del segundo término del polinomio

ordenado es _____________________.d. El valor de la expresión a 2a2 si a 2

es _____________________.e. Al simplifi car 5x2 3x 7x2 6x se obtiene:

_______________________.

f. El resultado de 12

14

13

16

2x x x ( ) es ________.

g. Un ejemplo de un binomio de grado tres es _______.

3 Resuelve o simpli� ca según corresponda de-jando todos los procesos indicados.

a. (6x2 8x4 4 4x) (1 2x) b. 3{2x [4x (4x 5) 2] 5x }c. 3(x y z ) 2(y x z ) (x 2y z )d. (2x 3)3 (3x 2)2

e. (3x 5)(3x 1) 3x(2x 5)

UNIDAD 1

4 Resuelve aplicando productos notables.

a. (x2y2 3)(x2y2 3)b. (x2 8)(x2 5)c. (2x2 z)3

d. (3x y)2

5 Despeja la variable indicada.

a. 1 1 1a b c

despeja b

b. m 2n 2p despeja p

c. v dt

despeja t

d. xy

z w

despeja w

6 Encuentra el volumen de las � guras dadas.a.

b.

7 Escribe falso o verdadero según corresponda. Si la oración es falsa, remplaza la palabra subrayada por una expresión que la haga verdadera.

( ) El grado absoluto del polinomio 5x2 3x 2x3 es cinco.

( ) La expresión (x 2)(x 3) (x 1) tiene dos términos.

( ) La expresión 5(x 1)(x 2) tiene dos fac-tores.

( ) 2 es un número real y un número irracional.

1 de 2

Números reales y expresiones algebraicas

2x�1

6x

3x + 3

2 de 2


( ) En la expresión 5ab el coefi ciente es 5.( ) Si x 2 y z 3 y el valor numérico de la

expresión xz2 es 12.( ) Un ejemplo de un monomio que se puede

sumar o restar con el monomio 5x2y es 3x2y.

( ) Los monomios que conforman un polinomio reciben el nombre de factores.

( ) El opuesto del polinomio 7a4 9 es 7a4 9.

( ) El residuo de dividir x2 5x 2 entre x 3 es 22.

( ) El valor de “m” para que el trinomio x2 m 16 sea un trinomio cuadrado perfecto es 8x.

8 Completa el espacio según corresponda:

a. El común denominador de las frac cio nes 1

( )x a b y 1( )3 4xy a b

es ___________.

b. El máximo común divisor de 2(x 2) y 3(x 2)2 y es _________________.

c. El inverso multiplicativo de a b es _________________.

d. Para que la fracción xx

12

sea equivalente a

una fracción con denominador x2 4 debemos

amplifi car por _________________.

e. La fracción 14 2150 75

x yx y

simplifi cada es igual

a _________________.

9 Resuelve los siguientes polinomios.

a. {[(3x 5) (3x2 x 13)] (x 2)}

b. (x 3)(x 3) (x 5)2 (x 5)(x 8)

c. 6 3

412

15

23

122 2 2 2 2 ab ab ab a b( )

{ }

d. 6x {3y [5x 1 (y x)]} 1

e. 34

12 3 2

14

12

34

x x x x ( )

{{ }

10 Factoriza completamente las siguientes expre-siones.a. 5x4 80x2 c. x4 8x x3 8b. a4 2a2 3 d. 2a2x 14ax 24x

UNIDAD 1


a. 1 12

2 2

3 3a ab aba b

a b ab

b. c dc cd d

c cd dc cd

3 3

2 2

2 2

23 26

2

3 2 22

2 2

2dc cd d

c cd

c d

c cd dc cd d

c cd

3 3

2 2

2 2

23 26

2

3 2 22

2 2

2dc cd d

c cd

12 El producto de las ganancias de María en tres días está dado por la expresión2x4 8x3 6x2.

a. ¿Cuáles polinomios pueden representar las ganancias de cada día?

b. Si el día que menos ganó consiguió 11 dólares, ¿cuál fue la ganancia de los otros días?

13 Halla el área de la región sombreada si:

A 3a2 b2 8 y

A 2a2 3b2 5

14 Si ABC es un triángulo equilátero con

AB BC = , P m m

m = + +2 14 2010

2 y

AB mm = + 2

2 entonces AC

= .

15 El salario que una empresa de ventas paga a sus empleados consta de tres conceptos: una cantidad � ja representada por el polinomio x3 4x2 42x 95; por cada artículo vendi-do le paga cierta cantidad representada por el polinomio 9x 65 y por cada hora extra tra-bajada le paga una cantidad representada por el polinomio 3x2 7x 20. Si un empleado trabaja 2 horas adicionales y vende 5 artículos, ¿cuál es el polinomio que representa el salario total del empleado?




1 Al racionalizar 993 se obtiene:

a. 33

3

d. 39

3

b. 99

3

e. 9 33

c. 3 33

2 Al simpli� car la expresión a b ca b c d

- -

- -

6 3 7

7 2 6 1 se ob-tiene:

a. abcd

d. cda b13

b. cda b12 2 e. Otra _____

c. acb a12 2

3 La expresión 3 663 2

4a a

a- -

- + es idéntica con:

a. a(2 a) b. (a 2a)1

c. a 12

d. a a1 22

( )

e. a(1 2a)

4 Al simpli� car 122

183

3 484

726 – + +

se obtiene:

a. 4 3 d. 3 4 2

b. 3 4 e. 4

c. 3 2

5 La expresión a

x

34

12- es igual a:

a. ax

43 d. a x34

b. a x43 e. a

x

34

c. xa43

UNIDAD 2

6 Al racionalizar el denominador de 5 2 34 3 - +

se obtiene:

a. 1 3 d. 2 3

b. 2 3 e. 3 2

c. 2 3


a. xn xm _________________________b. 32 _________________c. La única condición para poder sumar

radicales es: ___

d. 243 _______________________

e. La expresión radical de 235 es ___________

f. El factor racionalizante de 123 es ______

g. 3 92 3 __________________________

h. Si x 23 3 entonces x ______________

i. x nn ( ) __________________________

j. xn ______________________________

8 Si un satélite da vueltas alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio r 6,70 106 metros, halla su velocidad v si,

v Rgr · =

donde R es el radio de la Tierra y g es la aceleración de caída libre debido a la gravedad, en la super� cie de la Tierra.R 6,40 106 metros y g 9,8 m/s2

9 Halla el perímetro de la siguiente � gura.

1 de 2

Potenciación y radicación

12

27

A B

C

D

235 �

2 de 2


10 Racionaliza las siguientes expresiones.

a. 62x

d. 19 4x

b. 5 25 2

e. 23 43

c. 15 5

f. 16 9

6 53 m

c z

11 Simpli� ca las siguientes expresiones o resuelve las operaciones indicadas.

a. 40 45 135 2 802 3

b. 4 3

6

3 7

2

c cc

( )( )

c. (3xy2)1(2x3y4)2

d. (a1 b1)2

e. 9 273 54y y

f. 2 2a b a b ( )( )g. 2 9 4 53x x x( )h. 27 333 25a a


a. x x 22 3 16 0

b. 2 4 15 12x x

c. x 23 2 2

d. (2x 1)1 (2x 1)

UNIDAD 2


a. a b ( )2

_________________

b. 1212( ) _______________________

c. El factor racionalizante de 14

3x

es _____

d. 273 _________________

e. Si x 23 3 entonces x ______________

f. 3 92 3 _________________________

g. La única condición para poder sumar radicales es: ______________

h. (a b)n _________________________

i. a b _________________________

j. an am ___________________________

k. El conjugado de 3 2 5 es __________

l. El radical por el que hay que multiplicar a

9 23 m n para que la raíz desaparezca es: _____________

14 Calcula el perímetro del triángulo dado.

27a ba 3 2 2

2

343a b3 8 2

a ba 3 25



1 Identi ca, nombrando el conjunto numérico más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números.

a. �325 d. � � �2 4

b. � 34 e. 0,1135

c. 7 f. � 12

2 Escribe falso o verdadero según corresponda. Si la oración es falsa, remplaza la palabra su-brayada por una expresión que la haga verda-dera.

( ) El número �325 es real. _____________

( ) El número �325 es imaginario. _______

( ) � �125

25

10i . ________________

( ) i�85 � �i. ________________________( ) i96 � 1. ___________________________

( ) � �25 5 i . _____________________

( ) � �27 33 i . _______________________

( ) Si W � a � bi, entonces W � �a � bi

( ) Si W � a � bi, entonces W a b � �2 2

( ) El inverso aditivo de 3 � 2i es 3 � 2i


a. � � � � � � �8 2 32 6 2

b. (�2 � 3i) � (�8 � 9i) � (�3 � 12i)

c. (6 � 3i)(2 � 5i)

d. (9 � 8i)(9 � 8i)

e. (4 � i) � (3 � 5i)

UNIDAD 3

4 Escribe en forma binomial el número complejo representado en cada plano.

a. c.

b. d.


a. 3x2 � 9 � 3b. 5a2 � �200c. (x � 3)(x � 3) � �13d. x(x � 4) � 4x � 16

e. 36 62p � �

f. x i� � � �144 (3 7 )

6 Encuentra el conjugado y la norma de los si-guientes números complejos.

a. �5 � i d. 2 � 4i

b. �4i e. �16

c. �7 f. 6 72� �

1 de 2

Números complejos

2 de 2


7 Relaciona la columna de la derecha con la co-lumna de la izquierda.

a. �121 ( ) 3 25i �

b. 24 ( ) 273

c. �3i4 ( ) �25

d. 5i3 ( ) 11i5

e. 15i6 ( ) 8 93i �

8 Completa la siguiente tabla de acuerdo con la información dada.

Número Complejo Opuesto Conjugado Norma

2 � 3i

5 � 3i

1 � i

9 Representa grá camente los siguientes núme-ros complejos.

a. 3i

b. 12 1

4� i

c. �3 � 5i

d. 5

10 Con ayuda de un ejemplo veri ca las siguien-tes a rmaciones.

a. Si el número complejo z tiene únicamente parte real, entonces el conjugado es el mismo número.

b. El conjugado del conjugado del número complejo z, es el mismo número z.

c. La adición entre un número complejo y su conjugado es un número real.

d. La sustracción entre un número complejo y su conjugado es un número complejo.

e. El cuadrado de un número imaginario es un número real.

UNIDAD 3

11 Encuentra el valor del número complejo z que cumple con las igualdades dadas.

a. z i� � � � �2 2 8 2 ( )b. z � (3 � 2i) � �1 � 2i

c. 2 9 10 � � � � � ( ) z i

d. 3 5 134

1134

� � � � i z i( )

e. z i� � �1 758

358

f. z 2 100 36 4� � � � � �

g. z 13� h. z2 � �4


a. (x � 2)2 � 4(�x � 8)b. 5a2 � �500

c. x � � 8

d. � � � �9 16 xe. (x � 2i)(x � 2i) � 12

13 En una prueba escrita de 20 preguntas, se cali- ca con una puntuación de 8i8 cada respuesta acertada y 6i6 cada respuesta no acertada. Las preguntas sin contestar no tienen puntaje.

a. Si Daniela contestó 11 preguntas acertadas, 7 no acertadas y dejó de responder 2; ¿cuál fue su nota � nal?

b. Si la nota � nal de Pedro fue 90, y contestó 15 preguntas bien. ¿Cuántas preguntas tuvo mal y cuántas dejó de contestar?

14 Ubica los símbolos de los conjuntos numéricos I, N, Z, Q, R y C en el siguiente diagrama.




a. Un ejemplo de una función lineal es ________ y de una función no lineal es ____________.

b. La ecuación explícita de la recta 2y 4x 6 0 es ___________________________.

c. La pendiente de la recta con ecuación 3y x 2 0 es _________________.

d. El yintersecto de la recta con ecuación y 2x 5 0 es ____________________.

e. La ecuación general de la recta con m 12

y b 13

es _________________________.

f. La ecuación de la recta con yintersecto 2 y perpendicular a la recta y 3x 1 es ______.

g. La ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto (2, 1) es ________________.

h. La ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (3, 2) es ______________________.

i. Si la pendiente de una recta es cero entonces la recta es _______

(paralela, perpendicular o

secante) respecto al eje x.

j. El xintersecto de la recta con ecuación2y 3x 6 0 es __________________.

2 La diferencia entre la altura del volcán del Chimborazo (Ecuador) y la de San José (Argen-tina) es de 390 metros. Si la suma de sus alturas es de 12.230 m. ¿Cuál es la altura de cada vol-cán?

3 Calcula el valor de x, y y la medida de los ángu-los dados en la � gura.

UNIDAD 4

4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuacio-nes.

a. 3 4 6 2 18

2 3

x y y x

x x

( ) ( )yy 4

b. x y

x y

12

13

1336

13

12

233

c.

xy

x y

27

311

34

52

9

d. x y

y z

x y z

2 0

2 5

8

e. 3 1

3 1

w z

w z

5 La super� cie del desierto del Sahara (África) el más grande del mundo es nueve veces la del desierto de Gobi (Asia). Si la suma de las super-� cies es aproximadamente 10 millones de km2, ¿cuál es la super� cie de cada uno?

6 El peso promedio de un hombre de 170 cm es 72 kg mientras que el de un hombre de 175 cm es 77 kg.

a. Determina una ecuación lineal que relacione los datos.

b. ¿A partir de qué estatura la ecuación tiene sentido?

c. ¿Cuál es la estatura de un hombre de 80 kg y de uno de 85 kg?

d. ¿Cuál es el peso de un hombre de 185 cm?e. Representa gráfi camente la situación.

7 En un teatro diez entradas de adultos y nueve de niños cuestan $81.500; diecisiete entradas de niños y catorce de adultos cuestan $134.500. Halla el precio de una entrada de adulto y una de niño.

1 de 2

Sistemas de ecuaciones lineales

P

N O

70ºx�2y

x�y�10

2 de 2


8 La diferencia entre dos números es cuatro. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es uno y el residuo es cuatro. Halla los números.

9 Se quiere repartir un premio de $500.000 entre tres personas, la primera persona debe recibir el doble de la segunda y la segunda el triple de la tercera. ¿Cuánto dinero recibe cada persona?

10 Identi� ca cuáles de las siguientes grá� cas co-rresponden a funciones y cuáles no. Justi� ca tu respuesta.a. c.

b. d.

11 De acuerdo con la grá� ca completa los espa-cios según corresponda, todas las opciones de-ben ser utilizadas.

a. Recta con pendiente cero ______________.b. Recta creciente ______________________.c. Recta decreciente ____________________.d. Recta con término independiente 2 ______.e. Recta con pendiente 2 ______________.

UNIDAD 4

12 En un parque de diversiones 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan US 512; y 17 de niño y 15 de adulto cuestan US 831. Halla el precio de cada entrada de adulto y de cada entrada de niño.

13 Escribe el sistema de ecuaciones correspon-diente a cada grá� ca y veri� ca su solución.

a. b.

14 Resuelve los siguientes sistemas de ecua-ciones.

a. 3 4 6 2 18

2 3

x y y x

x x

( ) ( )yy 4

b.

x y

x y

12

13

1336

13

12

233

c.

xy

x y

27

311

34

52

9

d.

x y

y z

x y z

2 0

2 5

8

e. 3 1

3 1

w z

w z

15 Una empresa transportadora ha destinado 888 millones para comprar 60 carros. Elegirá autos pequeños de 10 millones, camionetas de 16 millones y camiones de 22 millones. Si se sabe que piensan comprar 6 camiones y el número de camionetas es el doble de los autos. ¿Cuán-tos carros de cada clase van a adquirir?

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4�5�6 1 2 x

1

2

3

4y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4 1 2 3 4 x

1

2

3

4y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4 1 2 3 4 x

1

2

3

4y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4 1 2 3 4 x

1

2

3

4y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5y

ab

K

M

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5

�6

�7

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5y

p q

rs



1 Escribe falso o verdadero al frente de cada enunciado según corresponda. En caso de ser falso escribe su expresión verdadera corres-pondiente.

( ) Un ejemplo de ecuación cuadrática es la expresión 5x2 3x 2x2.

( ) En la expresión x2 5x [ ] 0, podemos completar el [ ] con el número 7, para que las soluciones de la ecuación sean dos números reales.

( ) La expresión 5x2 2 2x recibe el nombre de ecuación cuadrática incompleta.

( ) El término que falta en la expresión 4x2 3x [ ] para que sea un trinomio cuadrado perfecto es 9

4.

( ) Una raíz o solución de la ecuación x2 64 es 8i.

( ) Los xintersectos de la gráfi ca son dos nú -meros reales.

( ) La fórmula para solucionar una ecuación

cuadrática es b b ac2 42

.

( ) Un método para solucionar ecuaciones cuadráticas es por factorización.

2 Traza la grá� ca de las siguientes funciones cua-dráticas y realiza el respectivo análisis.

a. y x2 2b. y x2 x 2 c. y x2 9xd. y 4x2 2x 2

e. y 3x2 6x

3 Encuentra el valor de k, para que la condición dada se cumpla.

a. x2 kx 64 0, una raíz es el cuadrado de la otra.

b. x2 4x k 0, tiene una raíz igual a 5.c. x2 kx 18 0, el producto de las raíces es

igual al doble de la suma de las raíces.

UNIDAD 5

4 Indica los movimientos realizados a la función f(x) x2, para obtener la grá� ca dada.

a.

b.

c.

5 Soluciona las siguientes ecuaciones.

a. x x 7 2b. x2 3x2 36 0c. x2 2x 12 0d. x2 b2 4ax 4a2

6 Dos números naturales se diferencian en cinco unidades. Si la suma de sus cuadrados es 377. ¿Cuáles son los números?

1 de 2

Función cuadrática

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4

�6

�7

�8

�9

�10

�11

1 2 3 4 x

1y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4

�6

�7

�8

�9

�10

�11

1 2 3 4 x

1y

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4

�6

�7

�5�6�7

�8

�9

�10

�11

1 x

1y

2 de 2


7 Completa cada uno de los siguientes enuncia-dos según corresponda.

a. Si y (x 2)2 1, el vértice de dicha parábola es _______________.

b. Si y 3x2 5x 1, decimos que la parábola es cóncava hacia ___________________.

c. Si y x2 1, los xintersectos son ___________.

d. Si el vértice de una parábola es (2, 2) la ecuación de dicha parábola podría ser ___________.

e. Construir una tabla de valores para la función

y x 12

2( ) _______________.

f. La ecuación cuadrática con raíces x1 5 y

x2 6 es _____________________.

8 Determina la ecuación que modela la grá� ca de cada función.

a. c.

b. d.

UNIDAD 5

9 Al repartir una herencia, la parte que le correspondió a la viuda, en miles de dó-lares, está representada por la ecuación x2 200x 150.000; el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana y esta el triple de lo que recibió su madre. ¿Cuánto recibió cada uno?

10 Halla los ceros y el vértice de las siguientes fun-ciones.

a. y 3x2 27b. y 2x2 4c. y 5x2

d. y 5x2 25xe. y 3x2 7x 2

11 La edad de Ana es el triple que la de Bibiana, y el producto de ambas edades es 675 años. Ha-lla ambas edades.

12 Para cada función dada, dibuja otra función cuadrática con las condiciones dadas y escribe la ecuación correspondiente.

a. Trasladar tres unidades a la derecha.

b. Trasladar dos unidades arriba.

�1�1

�2 1 2 x

1

23

4

5

6y

�1�1

�2 1 2 x

1

23

4

5

6y

�1�1

�2�3 1 x

1

23

4

5

6y

�1�1

�2

�3

�4

�5

�6

�2 1 2 3 x

1

2y

�1�1

�2�3�4�5�6�7 1 x

1

23

4

5

6

7

8y

�1�1

�2

�2

�3�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

6

7

8y

�1�1

�2�3�4 1 2 3 4 x

1

23

4

5

6

7

8y

f(x)�2x 2

�1�1

�2

�2

�3�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

6

7

8y




a. En la expresión Logx 16 4 el valor de x es

________________.

b. La expresión exponencial equivalente a Log10

35 y es _______________.

c. La expresión logarítmica equivalente a

16 6432 es ______________________.

d. Todas las gráfi cas básicas de las funciones logarítmicas tienen como punto común a ________.

e. El resultado de e3.e es _________________.

2 a. Escribe la siguiente expresión con un solo logaritmo.

5 Log 1

2Log 1

3Logx y z

b. Escribe la siguiente expresión con formas logarítmicas más sencillas.

Log 23b x yz

3 A continuación se encuentran representadas cinco funciones, coloca en cada paréntesis la letra según corresponda.

( ) y 2x2 1

( ) yx

12

12( )

( ) y Log2(x 2) 1

( ) y x Log 2 112( ) ( )

a. b.

UNIDAD 6

c. d.

4 Expresa como potencia en la base dada.

a. 0,00015x1 (base 10 )

b. 323x2 (base 2)

c. 0,0132x base 110( )

d. 323x2 (base 2)

e. 864

5( ) x

base 43( )

f. 1253 (base 5)

5 Halla la imagen sin usar la calculadora.

a. x 1 en yx

14

3 3( )b. x 2 en y 232x 1

c. x 12 en y log(x 2) 3

d. y 64 en yx

14

3 3( )e. y 1 en y

x

25

15 2( )

f. y 2 en y (2) x4 2

6 Expresa como un solo logaritmo.

a. 2 Log 3 x Log(x 1) 23

Log x

b. 12

[Log(x 2) 2 Log(x 2) 5 Log x]

c. 34

Log 25

Log 13

Loga b c

d. 12

In 3 5 In(a b) 2 In a In c

e. Log 5

Log 2x ( )

1 de 2

Función exponencial y función logarítmica

�1�1

�2 1 2 3 4 5 6 x

1

2

3

4

5

y

6

7

8

�1�1

�3

�2

�4

�5

�6

�7

�8

�9

�10

1 2 3 4 5 6 7 x

1

2

3y

�1�1

�2�3�4�5 1 2 x

1

2

3

4

5

y

6

7

8

�1�1

�3

�3

�2

�2

�4

�4 1 2 3 4

5

4

6

7

8

x

1

2

3

y

2 de 2


7 Gra� ca y caracteriza (dominio, rango, asíntotas, crecimiento, raíces, intercepto, imágenes de 0 y 1).

a. y 2x1

b. yx

12

23( )

c. y (0,8)x2 3

d. y Log3(x 1) 1

2

e. y Log2(x 1)

f. y x Log 12

( )

8 Expresa como un polinomio de logaritmos.

a. Log(3x 2)(x 1)2

b. In5 2

12

x

x

( )( )

c. Log3 2

23

xx

( )

d. Log22

23x y

x

e. Log 12 x ( )f. Log 2x(3x 1)

9 Soluciona las siguientes ecuaciones:

a. In 31

0xx

b. Log2 x Log

2(3 2x) 1

c. 14

2 03

1( )xx

d. 259

35

2 55

2 1( ) ( )

x x

e. Log Log 3

2 Log Log 56

46

5

6 7

x y

x y

UNIDAD 6

10 Una de las leyes de Newton enuncia que en ciertas condiciones, la temperatura T(en °C) de un objeto en un tiempo t (en horas) está dada por T 75l2t.

a. Completa la siguiente tabla.

Tiempo t (horas) Temperatura T (en °C)

2

3

4

5

b. Representa la temperatura T en un tiempo t.c. Expresa t como función de T.

11 La magnitud de un terremoto se mide con la ecuación M log P donde M es el grado del te-rremoto en la escala Richter y P es la potencia.

a. ¿Cuántas veces es mayor la potencia de un terremoto de grado seis que otro de grado cuatro?

b. Si la potencia de un terremoto fue 50 veces superior a otro terremoto de grado 3,5 en la escala Richter. ¿Cuál fue el grado en la escala Richter del primer terremoto?

12 La presión atmosférica P(en libras por pulgada cuadrada, a x millas sobre el nivel del mar, está dada aproximadamente por: P 14,7l0,21x. ¿A qué altura la presión atmosférica será igual a la mitad de la que existe al nivel del mar?

13 Completa la siguiente tabla.

Expresión logarítmica

Expresión exponencial

y 5x1

y Log2(3x)

y 5 Log2(3x 2)

y 2,2x



1 Identi� ca la clase de sucesión y añade dos tér-minos.

a. 2, 5, 8, 11, ____, ____,…

b. 3, 6, 9, 15, 24, ____, ____,…c. 24, 12, 6, 3, ____, ____,…d. 4, 9, 16, 25, ____, ____,…

e. 3, 103

, 113

, 4, ____, ____,…

2 Identi� ca cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y de aquellas que lo sean halla su diferencia.

a. 5, 10, 15, 20,…

b. 3, 1, 5, 9,…

c. 45

, 25

, 15

, 110

,…

d. 13

, 56

, 43

, 116

,…

e. 13

, 16

, 112

, 124

,…

3 Identi� ca cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y de aquellas que lo sean halla su razón.

a. 3, 7, 11, 15,…

b. 7, 21, 62, 186,…

c. 15

, 13

, 59

, 2527

,…

d. 14

, 34

, 54

, 74

,…

e. 12

, 32

, 52

, 72

,…

4 Calcula los lados de un octágono si estos es-tán en progresión aritmética en la que el ma-yor valor es 23 cm y el perímetro de la � gura es100 cm.

5 Un automóvil se deprecia cada año en un 10% de su valor. ¿Qué precio tendrá un carro que costó $45.000 después de 9 años de haberlo comprado?

UNIDAD 7

6 Un CDT paga anualmente un 7% de interés. ¿Cuál es el monto que se retirará por $100.000, después de ocho años de haberlo depositado y no haber hecho ningún retiro?

7 Un cuerpo en caída libre recorre aproximada-mente 8 metros en el primer segundo y en cada segundo siguiente recorre 5 metros más que el segundo anterior. Si se deja caer un objeto en caída libre desde un edi� cio y se observa que tarda 10 segundos en llegar al suelo, calcula la altura del edi� cio.

8 Un obrero desea comprar una máquina puli-dora de madera, y para ello comienza a realizar un ahorro con un depósito inicial de $10.000. El siguiente bimestre deposita $2.000 más que el primer depósito y así sucesivamente. Si la má-quina tiene un costo de $252.000. ¿Cuánto tiem-po le lleva conseguir el dinero que necesita?

9 Completa la siguiente tabla con las fórmulas pedidas.

Número de términos de una progresión

aritmética

Primer término de una progresión

geométrica

Razón de una progresión geométrica

Suma de los términos de una progresión

aritmética

Suma de los términos de una progresión

geométrica

10 Halla 7 medios aritméticos entre 19 y 5.

11 Calcula la diferencia de la progresión aritmé-tica cuyo primer término es 3, el último 8 y el número de términos es 6.

1 de 2

Sucesiones, series y progresiones

2 de 2


12 Halla el número de términos de una progresión aritmética cuyo último término y primer térmi-no son respectivamente 30 y 4, y la diferencia es 2.

13 Encuentra el término 19 de la progresión arit-mética 2, ____, ____, 23, 30, ____, ____,…

14 Coloca cinco medios geométricos entre 128 y 2.

15 Encuentra la suma de los cinco primeros térmi-nos de una progresión geométrica cuyos tér-minos son 6, 3, …

16 Halla el número de términos de una progresión geométrica cuyo último término y primer tér-mino son respectivamente 162 y 2, y la razón es 3.

17 Encuentra el término 10 de una progresión geométrica si el primer y el sexto términos son 2 y 1

16 , respectivamente.

18 Una deuda puede ser pagada en 15 meses pagando $10.000 el primer mes, $12.000 el segundo mes, $14.000 el tercer mes y así suce-sivamente. Halla el valor de la deuda.

19 El lunes gané $20.000 y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuánto de lunes a sábado?


a. Una sucesión es ______________________.

b. Los cinco primeros términos de la sucesión

1 12

n{ } son: ___________________.

c. El término general de 0, 12

, 23

, 34

,...{ } es: ________.

d. El décimo término de la sucesión {1, 3, 5, 7,…} es __________________________.

UNIDAD 7

21 Escribe los cinco primeros términos de las si-guientes sucesiones:

a. 2 31

nn

{ }

b.

11

2

2

( )

n

n

c. {3n}

d. 12n{ }

e. 23

1n

n

{ }22 A Juan le ofrecieron trabajo en dos empre-

sas distintas. Una de las empresas le ofreció $19.000.000 anuales inicialmente y un aumen-to de $250.000 al año. La otra empresa le ofrece $18.000.000 anuales y un aumento al año de $400.000. Si debe pagar una deuda en ocho años, ¿cuál debe ser su elección?

23 Completa la siguiente tabla con los términos de cada progresión geométrica.

a1

an

n r

112 5 12

12 481

13

3 81 4

16 5 14

24 Encuentra el valor de x, de modo que x 5, x 3, x 11, x 19 forma una progresión arit-mética de cuatro términos en el orden dado. Luego, escribe la progresión.



4 En la siguiente � gura, supón que MN CD .

a. Si ME 4 , NE 5 y EC 3 , halla ED .

b. Si ME 4 , DE 2 y NC 9 , halla EC .

5 En la � gura AC AD ⊥ , DE AD ⊥ . Demuestra que AC

DEABBD = .

Hipótesis _____________ Tesis _________________

Proposiciones Justifi caciones

a. A D

b. B B

c. C E

d. Δ _____ ≈ Δ ______

e.

ACDE

ABBD

6 Dado ΔABC, tal que AB 3 cm, BC 5 cm y

AC 4 cm; si ΔABC ≈ ΔMNO y ABMN = 1

4 , halla

las medidas de las longitudes de los lados del

triángulo MNO.

1 Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes a� rmaciones. Justi� ca tus res-puestas.

( ) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes.

( ) Dos polígonos congruentes, siempre son semejantes.

( ) Para que dos rectángulos sean semejantes, es sufi ciente que tengan sus lados co rres-pondientes proporcionales.

( ) Si la razón de semejanza del polígono 1 con relación al polígono 2, es 5

4, esto signifi ca

que el polígono 1 es más pequeño que el polígono 2.

( ) En el ejercicio anterior si uno de los la dos del polígono 1 mide 20 cm, el lado co-rrespondiente del polígono 2, mide 16 cm.

( ) Si un triángulo es isósceles entonces todos sus ángulos miden lo mismo.

( ) Si dos ángulos son suplementarios enton-ces su suma es igual a 180°.

( ) Si dos rectas son secantes entonces en su intersección se forman ángulos rectos.

( ) En la expresión ab

cd

, a y d reciben el

nombre de medios.

2 En la siguiente � gura, supón que DE BC :

a. Si AB 10 , BD 7 , AC 12 . Halla AE .

b. Si AD 7 , BD 4 , BC 6 . Halla DE .

3 Dos pentágonos ABCDE y FGHIJ son semejan-tes. Los lados de ABCDE miden 24 cm, 40 cm, 56 cm, 24 cm y 48 cm respectivamente. El pe-rímetro de FGHIJ es 240 unidades. Encuentra la longitud de los lados del pentágono FGHIJ.

UNIDAD 8

1 de 2

Razonamiento

M

N

E

D

C

A

B C

D E

C

AB D

E

2 de 2


7 A continuación se dan diferentes de� niciones. Completa los espacios escribiendo el nombre del elemento de� nido en cada caso.

a. Conjunto de puntos del plano que se encuentran dentro de una circunferencia ________________.

b. Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios _________________.

c. Ángulo cuyo vértice es un punto fuera de la circunferencia y sus lados dos tangentes ____________.

d. Segmento que une dos puntos de la circunferencia _____________________.

e. Porción del círculo que queda entre una cuer-da y la circunferencia __________________.

8 En la circunferencia de centro C, AB es un diá-

metro, y AB DE ⊥ . Si AB 20, DE 16. Halla EC.

9 De acuerdo con la � gura, halla m E, m F, m G y m H.

UNIDAD 8

10 AB y CD se cortan en M, DM 3; CM 16 y AB 14. Halla MB.

11 Halla el valor de x si BP 8 cm, AP 3 cm, DP x y CP 2 cm.

13 Halla el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 4 cm.

A

D E

C

B

H

G

F

E

50º70º

CAD

C

M

B

A

D

P

CB




a. Un cono se origina de _________________.b. Una esfera se obtiene de _______________.c. Un cilindro se obtiene de ______________.d. Los prismas son poliedros que tienen dos

caras poligonales iguales y paralelas llama-das __________ y sus caras laterales son ____________________.

e. Las ___________ son poliedros en los que una de sus caras, es un polígono, y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

f. El _________________ es un número no negativo que indica la porción del espacio que ocupa un cuerpo.

2 Calcula el área total de un octaedro regular (� -gura formada por ocho triángulos equiláteros congruentes), si una de sus aristas vale 8 cm.

A b h2

( )3 Calcula el área lateral, el área total y el volu-

men de cono dado en la � gura, si g 24 cm y r 7 cm.

(Al r g; At Al r2; V 13

π r2 h).

4 Halla el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 8 cm de lado y 24 cm de altura.

V Ab h Ab

p a13

;2

UNIDAD 9

5 En la siguiente � gura coloca los elementos in-dicados.

6 Dibuja el desarrollo de cada cuerpo geomé-trico.

7 El volumen de un ortoedro es 192 cm3 y dos de sus dimensiones son 8 cm y 6 cm (A rectángulo b h; V Ab h). Halla la otra dimensión y el área lateral de la � gura.

1 de 2

Cuerpos geométricos

Base

Cara lateral

Arista de la base

Vértice

Arista lateral

2 de 2


5 cm4

8 Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justi� ca las respuestas falsas con las correspon-dientes verdaderas.

( ) Un cuerpo redondo es una fi gura limitada por cuatro o más polígonos.

( ) Una pirámide es una fi gura con una sola base y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

( ) Si el radio de una esfera se reduce a la mitad, entonces el volumen se reduce una cuarta parte.

( ) Un cilindro es una fi gura generada de la rotación de un triángulo.

( ) La apotema de una pirámide es la misma altura de una de sus caras laterales.

9 El señor González tenía planeado construir velas como las de la � gura 1, cuya base es un triángulo equilátero, pero después cambió de opinión y decidió construir velas como las de la � gura 2, las cuales tenían la misma base de las originales. ¿Cuánto material más debe comprar para cada una?

� g 1 � g 2

10 Se desean construir joyeros como los de la � -gura y su empaque será cajas de cartón cúbi-cas. Si la apotema de la base mide 3 3 m y la altura debe ser de 8 3 cm . ¿Cuál debe ser la medida del lado de la caja de empaque?

UNIDAD 9

11 El señor Fernández tiene dudas sobre cuál de los dos tanques escoger. Si él desea comprar el de mayor capacidad, ¿cuál debe ser su elec-ción?

12 Se desean elaborar faroles de Navidad con la forma de un dodecaedro. Si la medida de uno de los lados del dodecaedro es de 2 cm. ¿Cuán-to material será necesario comprar para la ela-boración de cada farol?

13 El área lateral de un cono es de 1.884 cm2. Si la generatriz es el triple del radio. Calcula el radio, el área total y el volumen del cono.

13 El envase que contiene un perfume tiene forma de prisma pentagonal. Si el lado y la apotema del pentágono miden respectivamente 6 cm y 4 cm y la altura del envase es 10 cm. ¿Cuántos ml de perfume puede contener el envase?

13 Una pirámide regular tiene por base un cua-drado de 7 cm de lado. Calcula el área total de la pirámide, sabiendo que la razón entre el área lateral y el área de la base es 5

4 .

8 cm

4 3 cm

2.9 m

5.3 m

2.5 m

5.4 m

3r

r



1 A una convocatoria para ser locutor de un pro-grama radial de una prestigiosa emisora se pre -sen taron 36 personas. A continuación se rela cio-nan las edades en un diagrama de tallo y hoja.

tallo hoja.1 4 5 5 6 8 8 9 2 1 5 5 7 7 7 7 8 9 3 0 0 2 2 3 3 4 4 5 7 94 0 1 2 3 3 5 5 1 4 6

Decenas Unidades De acuerdo con el diagrama anterior responde

las siguientes preguntas:a. Siete personas tienen edades entre ___ y __

años.b. Hay _______ que tienen edades entre 40 y

49 años.c. La mayoría de las personas tienen edades

entre ______ y _______ años. d. La moda es __________________________.e. El rango es _______________.f. Si se quiere agrupar los datos en una tabla

de intervalos, el número de intervalos más aconsejable sería _____________________.

g. La amplitud de los intervalos es _________.h. El extremo superior del primer intervalo es

________.i. La mediana de las edades es ____________.

2 Una empresa de productos desechables va a producir un nuevo tipo de envase para líqui-dos. Por tal razón, midió el volumen de los recipientes que se usaron en una prueba de aceptación. Los resultados se registraron en la siguiente tabla. Completa la tabla con los datos que faltan.

Volumen (mm3) f fr

F Fr

% m

1 – 6 4

6 – 11 8

11 – 16 5

16 – 21 11

21 – 26 12

26 – 31 15

UNIDAD 10

De acuerdo con la tabla anterior contesta las siguientes preguntas.

a. Variable estudiada ____________________.b. Número de recipientes a los que se les midió

el volumen _____________________.c. ¿Cuántos recipientes tienen un volumen de

23,5 mm3? ___________________.d. ¿Cuál es el porcentaje de recipientes que

tienen un volumen de 13,5 mm3? ________.e. ¿Cuántos recipientes tienen un volumen ma -

yor de 8,5 mm3? __________________.

3 ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a la meta de un autódromo diez carros depor-tivos enumerados de uno a diez, si llegan a la meta uno tras otro?

4 En un curso de noveno hay un grupo de diez estudiantes catalogados como los mejores académicamente. Si se desean escoger a dos de ellos para ir a participar por una beca para un curso de informática. ¿Cuántas posibilida-des existen para la elección?

5 Una familia está conformada por los padres y cinco hijos menores de edad; de los cuales dos son niños y el resto son niñas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger uno de los miembros, el elegido sea de sexo masculino?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger uno de los miembros, el elegido sea mayor de 18 años?

6 A los 90 alumnos de grado noveno se les reali-zó una encuesta sobre sus preferencias depor-tivas y los resultados obtenidos están dados en la siguiente tabla.

Fútbol Voleibol Total

Niñas 11 31 42

Niños 35 13 48

Total 46 44 90

Si se elige al azar un alumno del grado noveno, calcula la probabilidad de que:

1 de 2

Estadística y probabilidad

2 de 2


a. Sea hombre.b. Sea mujer.c. Sea hombre y practique fútbol.d. Sea mujer y practique voleibol.e. Le guste el voleibol.

7 De un grupo de 40 alumnos se ha confecciona-do una tabla incompleta con su música favori-ta, frecuencias absolutas, relativas y porcentua-les. Completa la tabla.

Música fi

fr

f%

Reggaetón 12

Rock 35

Vallenato 0,15

Salsa

8 Las notas obtenidas por algunos alumnos de grado noveno en una evaluación de matemá-ticas son:

56 67 76 55 45 58 59 43 45 4245 77 76 78 80 82 80 46 68 82

a. Organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas.

b. Halla cada una de las medidas de tendencia central.

9 De acuerdo con el siguiente grá� co que repre-senta el número de automóviles por familia, en un edi� cio de 25 viviendas.

UNIDAD 10

a. Construye una tabla de frecuencias para los datos dados en la gráfi ca.

b. ¿Cuántas familias tienen más de 4 automóvi-les? _______________

c. ¿Cuántas familias tienen menos de 3 auto-móviles? __________________

d. ¿Cuál es la moda? __________________e. ¿Cuál es la media? _______________f. ¿Cuál es la mediana? _______________

10 En una competencia se pide a un niño que usando los números 1, 3, 5 y 7 forme un núme-ro de dos cifras. ¿Cuántos números distintos puede formar el niño?

11 El entrenador de un equipo de patinaje debe seleccionar cinco personas para una compe-tencia, si en el grupo se entrenan ocho perso-nas. ¿Cuántas posibles elecciones puede reali-zar el entrenador?

12 Clasi� ca las siguientes experiencias como ex-perimentos deterministas o experimentos aleatorios.

a. Determina la velocidad de un carro que ha recorrido 5 km en dos horas.

b. Calcula la duración de un día del mes de agosto.

c. Encuentra el residuo de dividir un número entre 3.

d. Extrae una carta de una baraja española.e. Lanza al aire una moneda.

13 Un experimento consiste en lanzar al aire dos dados con forma de tetraedro, cuyas caras es-tán enumeradas de 1 a 4.a. Encuentra el espacio muestral S, por medio

de un diagrama de árbol.b. Determina el número de elementos del es-

pacio muestral.c. Halla la probabilidad de los siguientes even-

tos.

A: Obtener un número par al sumar los va-lores que caen en cada lanzamiento.

B: Obtener dos números iguales en cada lanzamiento.

C: Obtener dos números pares en cada lan-zamiento.

5

10

15

�1 1 2 3

F

Número de automóviles

Actividades, Evaluaciones, Juegos de Ingenio. Hiptertextos Santillana. Matemáticas 9º

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