Geometría y

Trigonometría

Actividad 1.3

Funciones Trigonométricas

G. Edgar Mata Ortiz

Geometría y Trigonometría El Teorema de Pitágoras

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Introducción La palabra trigonometría proviene de dos raíces griegas: “trígono”, que significa

triángulo, y “metron”, medida; entonces la trigonometría es, simplemente, la

medida de triángulos.

En este material vamos a estudiar las medidas de los triángulos, comenzando

por los triángulos rectángulos, complementando así el Teorema de Pitágoras.

Semejanza de triángulos. En dos triángulos cualesquiera, si sus ángulos son iguales, sus lados serán

proporcionales, es decir, al dividir sus lados se obtendrán los mismos resultados.

Veamos un ejemplo:

Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas

sean 5 cm, 6 cm y 8 cm; y el otro de 7.5 cm, 9 cm y 12 cm. Ahora mide sus

ángulos y notarás que son iguales. Verifica esta igualdad trazando los mismos

triángulos en AutoCAD.

Ahora que sabemos que sus ángulos son iguales, divide el lado mayor entre el

menor del triángulo más pequeño y luego realiza la misma operación con el

triángulo más grande:

𝟖

𝟓=

𝟏𝟐

𝟕. 𝟓=

Ahora efectúa las siguientes divisiones:

𝟖

𝟔=

𝟏𝟐

𝟗=

𝟔

𝟓=

𝟗

𝟕. 𝟓=

Cuando ocurre algo como lo anterior, se dice que los lados de los triángulos son

proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos. En los triángulos rectángulos sucede exactamente lo mismo; si los ángulos son

iguales, los lados son proporcionales.

Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas

sean 10 cm, 10.5 cm y 14.5 cm; y el otro de 20 cm, 21 cm y 29 cm. Mide sus

ángulos y realiza las divisiones señaladas en el ejemplo anterior y anota tus

conclusiones al reverso de esta hoja. Verifica tus conclusiones trazando los

mismos triángulos en AutoCAD.

La Geometría

Breve introducción

a la Historia de la

Trigonometría

Se dispone de evidencias,

como el papiro Rhind, en las

que se demuestra que el

estudio de los triángulos data

de más de 2000 años antes de

Cristo.

Sin embargo, el estudio

sistemático de las relaciones

entre los lados y ángulos del

triángulo comenzó con los

matemáticos griegos, creando

lo que ahora entendemos por

Trigonometría.

Se cree que Hiparco (190-120

b. C), fue el primero en

construir una tabla de valores

de las funciones

trigonométricas, ya que

escribió un libro de astrología

en el que se observa el uso de

dichas funciones, aunque no se

dispone de dichas tablas de

valores.

Después de Hiparco, el

siguiente matemático griego

que realizó aportaciones a la

trigonometría fue Menelao,

quien escribió un tratado, en 6

libros, acerca de las cuerdas en

una circunferencia. Este

tratado se ha perdido y

solamente se conoce por las

referencias que otros

matemáticos hacen acerca de

él.

En cualquier caso, el

“Almagesto” de Ptolomeo, es

nuestra mejor fuente de

información acerca de la

Hiparco y la trigonometría de

Alejandría. Este enciclopédico

trabajo contiene una tabla de

cuerdas comparable con

nuestras modernas tablas de

funciones trigonométricas.

Las funciones Trigonométricas

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El triángulo rectángulo Los nombres que emplearemos en trigonometría difieren de los empleados en el Teorema de Pitágoras.

Como muestra la figura, los nombres de los catetos; opuesto y adyacente, hacen referencia a la posición del

ángulo (theta), el cateto opuesto a dicho ángulo es el que se encuentra “frente” a , y el adyacente es uno de

los lados del ángulo .

Si el ángulo de interés cambia, también los nombres de los catetos cambiarán. Completa la información:

Cuando en dos triángulos rectángulos, el ángulo es igual, los triángulos son semejantes, explica por qué:

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Las funciones trigonométricas. Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales, consulta y completa la

información faltante:

Seno () =

Coseno () =

Tangente () =

Además de estas funciones, existen muchas más, entre ellas, las funciones inversas. Anótalas en seguida con

sus fórmulas:

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Anota otras 4 funciones, poco conocidas, con sus fórmulas:

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Estas fórmulas se emplean para determinar medidas faltantes en triángulos rectángulos, la estrategia es muy sencilla; debe identificarse cuáles medidas se conocen y cuáles se están buscando, posteriormente, sólo es necesario identificar la función o trigonométrica que relaciona unas cantidades con otras.

Si se dispone de la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, puede determinarse cualquiera de los catetos, mediante la función seno o coseno, aunque también es posible determinar primero el ángulo agudo faltante y elegir una función trigonométrica diferente.

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Ejercicios. Resuelve los siguientes problemas empleando tu número de lista (NL) y/o número de equipo (NE) según se indica. Construye el triángulo rectángulo que representa el problema, primero al reverso de estas hojas, y posteriormente, en AutoCAD.

1. Determina la longitud de una escalera cuya parte superior se encuentra apoyada sobre una pared a una altura de 5.NL metros y forma un ángulo de 65.NE° con el piso. ¿Cuál es la longitud de la escalera?

2. Un cable sujeta un poste mediante una abrazadera que se encuentra, en el poste, a una altura de 7.NE metros y tiene una longitud de 12.NL metros. ¿Qué ángulo forma el poste con el cable que lo sujeta?

3. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 6.16×NL, 6.63×NL y 9.05×NL cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

4. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 5.4×NE, 6.29×NE y 8.29×NE cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

5. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 11.13×NL, 11.84×NL y 16.25×NL cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.

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Bibliografía.