Activity 3 2 linear inequalitites

Actividad 3.2

Inecuaciones Lineales G. Edgar Mata Ortiz

Desigualdades o inecuaciones

lineales con una incógnita.

Desigualdades Lineales con una Incógnita.

http://licmata-math.blogspot.mx/ 2

Estamos acostumbrados a estudiar las ecuaciones; desde nuestros estudios básicos hemos visto que la relación

de igualdad entre dos cantidades es sumamente útil para resolver numerosos problemas. Sin embargo, en el

mundo real, las relaciones existentes entre las magnitudes, no siempre son de igualdad. Es muy común que

alguna sea cantidad sea diferente, mayor o menor que otra. Este tipo de expresiones también pueden

traducirse al lenguaje algebraico, reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones.

En el presente material se aborda el tema de las desigualdades lineales con una incógnita; sus aplicaciones,

cómo resolverlas, y su representación gráfica.

Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3

Modelos matemáticos en las desigualdades. .......................................................................................................4

Resolución de desigualdades. ..................................................................................................................................4

Reglas empíricas y propiedades de la igualdad. ...................................................................................................4

Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades. ........................................................................................5

Representación gráfica de las desigualdades. ......................................................................................................6

Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos. ............................................................7

Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales. .............................................................................8

Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita. ..................................................................9

Pensamiento crítico. .......................................................................................................................................... 10

Observaciones. .................................................................................................................................................. 10



Introducción. Como vimos en el ejercicio 3.1, existen numerosas situaciones en las que

podemos representar la realidad y resolver problemas mediante

ecuaciones lineales con una incógnita.

En esta ocasión veremos cómo utilizar otro tipo de modelos matemáticos:

las desigualdades lineales con una incógnita.

Veamos un ejemplo:

En cierta planta metalúrgica las temperaturas y el ambiente

corrosivo hacen necesario emplear aleaciones especiales,

además es necesario que resistan una tensión de 105,000±5000

psi.

Un proveedor ofrece una solución: La súper-aleación tipo C,

llamada Hastelloy, puede resistir una tensión máxima de

110,600 psi incluso bajo condiciones de alta temperatura y

ambientes corrosivos.

Vamos cómo se traduce algebraicamente esta información:

Los requerimientos de la planta están indicados como un valor deseado

de 105,000 psi y una tolerancia de ±5000 psi, es decir, el metal debe

resistir, al menos, 105,000 – 5,000 psi = 100,000 psi; y la máxima tensión

a la que será sometido es 105,000 + 5,000 psi = 110,000 psi.

Si expresamos la tensión a la que será sometido el material como x, ya

que es desconocida, entonces:

La resistencia del material debe ser: x >100,000 y x <110,000

Que se expresa:

100,000 < x <110,000

En cuanto a las especificaciones del material, sólo indica una resistencia

máxima a la tensión:

x <110,600

Explica si el material es adecuado para la necesidad:

____________________________________________________________

____________________________________________________________

Programación

Lineal.

Una de las áreas de mayor

interés para la ingeniería de

procesos es la optimización

de los mismos, es decir,

cómo obtener el máximo

beneficio a partir de

recursos limitados o cómo

minimizar los costos de una

operación o proceso.

Los fundamentos teóricos

de esta técnica son las

desigualdades lineales,

aunque posteriormente se

emplean métodos

algebraicos que no permiten

visualizar la forma en que se

utilizan las desigualdades.

Un ejemplo de

programación lineal se

encuentra en:

http://licmata-

math.blogspot.mx/2014/06/mathe

matical-models-linear-

programming.html

Como puedes observar en el

problema planteado, en

lugar de ecuaciones

tenemos desigualdades:

Una vez planteado el

problema, se aplica el

método simplex que va de

solución factible en solución

factible buscando el punto

óptimo.

http://licmata-math.blogspot.mx/2014/06/mathematical-models-linear-programming.html






Modelos matemáticos en las desigualdades. Las dos expresiones algebraicas generadas en el ejemplo son el modelo matemático que podemos utilizar para

decidir si el material es adecuado para la necesidad.

Requerimientos: 100,000 < x <110,000

Especificaciones: x <110,600

Con base en el método de solución de problemas ahora debemos resolver las desigualdades y responder a la

pregunta que plantea el problema. En el resto del material veremos cómo se resuelven las desigualdades.

Resolución de desigualdades. El proceso de solución de las desigualdades es similar al de las ecuaciones, ya que tiene propiedades análogas.

Sin embargo, debemos recordar que el procedimiento correcto para resolver ecuaciones son las propiedades

de la igualdad, y las reglas empíricas son solamente una forma de facilitar el proceso.

Reglas empíricas y propiedades de la igualdad. Para resolver la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝟓

El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:

“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟓 − 𝟑

“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖

“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 =−𝟏𝟖

𝟐

“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 = −𝟗

Este procedimiento funciona correctamente, pero debemos recordar que las reglas empíricas, cuando se

intenta generalizarlas, suelen fallar. El procedimiento correcto consiste en la aplicación de las propiedades de

la igualdad:

“Si a cantidades iguales, se restan cantidades iguales, la igualdad no se altera” 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟑 = −𝟏𝟓 − 𝟑

“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖

“Si cantidades iguales, se dividen por cantidades iguales, la igualdad persiste” 𝟐𝒙

𝟐=

−𝟏𝟖

𝟐

“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝒙 = −𝟗

El resultado es el mismo, hasta ahora, las reglas empíricas están

funcionando adecuadamente. Pero no olvidemos que, por muchos casos en

los que una regla empírica funcione, siempre existe la posibilidad de que se

presente alguna situación en la que estas reglas no funcionen

adecuadamente.

Al resolver desigualdades se aplican las propiedades de las desigualdades,

que son similares a las propiedades de la igualdad, con algunas diferencias.



Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades. Como se mencionó anteriormente, para resolver desigualdades se aplican reglas similares a las ecuaciones.

Ejemplo:

Para resolver la desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓

El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:

“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟓 − 𝟑

“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟖

“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 <−𝟏𝟖

𝟐

“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 < −𝟗

El resultado significa que, si se toma cualquier valor de equis menor a menos 9, y se sustituye en la desigualdad

original, obtendremos una afirmación verdadera; y si se toma cualquier valor, que no sea menor a menos

nueve, y se sustituye en la desigualdad, obtendremos una afirmación falsa, por ejemplo:

Si tomamos 𝒙 = −𝟏𝟎, la desigualdad queda:

𝟐(−𝟏𝟎) + 𝟑 < −𝟏𝟓

−𝟐𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓

−𝟏𝟕 < −𝟏𝟓

Como se puede observar, la afirmación es verdadera; menos diecisiete, es menor que menos quince, y esto se

debe a que tomamos un valor de equis que es menor que menos nueve.

Si tomamos 𝒙 = −𝟓, la desigualdad queda:

𝟐(−𝟓) + 𝟑 < −𝟏𝟓

−𝟏𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓

−𝟕 < −𝟏𝟓

Como se puede observar, la afirmación es falsa; menos siete, es mayor que menos quince, y esto se debe a que

tomamos un valor de equis que es mayor que menos nueve.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Consulta las

propiedades de las

desigualdades y, en las

líneas que se encuentran

a un lado de este texto,

resuelve el ejemplo

anterior aplicando

dichas propiedades.



Representación gráfica de las desigualdades. Como sucede en muchos temas de matemáticas, la representación gráfica puede ayudarnos a comprender

mejor el concepto y la solución de las desigualdades. Las desigualdades lineales con una incógnita se

representan sobre la recta numérica. Existen diferentes formas de representación, aquí mostraremos una de

las más usuales.

La desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓, tiene como solución: 𝒙 < −𝟗

La representación gráfica de esta solución es:

El símbolo con forma de paréntesis se coloca en el valor que se obtuvo en la solución, en este caso, −𝟗, con la

abertura hacia la izquierda ya que se trata de una relación “menor que”.

Las líneas inclinadas actúan como un sombreado que identifica la dirección en la que se encuentran los valores

que son la solución de la ecuación, ya que, a diferencia de las ecuaciones, la solución no es un valor único, sino

un conjunto de valores llamado intervalo.

Cuando se trata de una relación “mayor que”, entonces el símbolo similar a un paréntesis aparece con la

abertura hacia la derecha y el sombreado en esa misma dirección:

Una pregunta interesante es: ¿Qué sucede exactamente en el valor de equis que es la solución de la igualdad?

¿Es parte de la solución? ¿O no es parte de la solución? Realiza una investigación y explica, en las siguientes

líneas, qué sucede en estos puntos extremos.

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

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Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos. De acuerdo con la investigación realizada, existen desigualdades que sí incluyen los extremos, en cuyo caso el

paréntesis se sustituye con un paréntesis rectangular como se muestra en los siguientes ejemplos:

Este tipo de desigualdades se expresan verbalmente como: Equis es menor o igual a 2.5

En el otro sentido es: Equis es mayor o igual a 2.5

También es posible que existan desigualdades como la del ejemplo inicial:

Equis es mayor a 100,000 y menor a 110,000

Los paréntesis circulares indican que los extremos no están incluidos, es decir, la solución es cualquier número

mayor a 100,000 (no igual), y menor a 110,000 (no igual).



Estas desigualdades que tienen límites en ambos extremos también se presentan con relaciones de “mayor o

igual” y “menor o igual”, por ejemplo:

Equis es mayor o igual a 0.5 y menor o igual a 2.5

Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales. Como hemos visto hasta ahora, el álgebra es una herramienta. Las desigualdades constituyen otro recurso para

modelar matemáticamente la realidad. Lo que en esta ocasión será diferente es la formulación del plan; en

lugar de obtener una ecuación, se elaborará una desigualdad.

Resuelve los siguientes problemas siguiendo un procedimiento similar al que se

utilizó en las ecuaciones. No olvides representar gráficamente la solución.

1. Una máquina tiene un costo fijo de operación de $1420 por turno. Debido a

el largo tiempo que toma para estar en condiciones de operación, una vez

que se enciende, no se apaga hasta el final del turno. El costo variable de

operación de la máquina es de $12.25 por pieza. Debido a problemas

financieros se ha decidido fabricar, por turno, un número de piezas que

mantenga el costo total de operación de la máquina por debajo de $2150.

¿Cuántas piezas es posible fabricar por turno sin exceder el límite indicado?

2. La producción artesanal de joyería es un proceso que sólo permite elaborar unas pocas piezas por

turno. Si un artesano puede fabricar entre 3 y 4 piezas por hora, y trabaja turnos de 8 horas diarias.

¿Cuántas piezas puede fabricar en los 6 turnos que trabaja a la semana? Si su ganancia por pieza es de

$45, ¿Cuántos artesanos deben trabajar, en una semana, para tener un beneficio mínimo de $15,000?



3. Araceli tiene una oferta de empleo como vendedora. Le proponen dos

alternativas de salario: Un salario base de $4000 mensuales y comisiones

sobre sus ventas del 6%, o un salario base de $6000 mensuales con

comisiones del 4%. ¿De cuánto deberían ser sus ventas mensuales mínimas

para que le convenga elegir la primera opción? Justifica tu respuesta.

4. Se desea cercar un terreno triangular de modo que el lado a mida el doble que el lado b. La suma de los tres lados

debe ser, como máximo, de 165 metros. ¿Cuál debe ser la

longitud máxima del lado c? ¿Y la longitud mínima?

5. El cobre tiene propiedades que resultan sumamente útiles,

como la de su resistencia a la corrosión, por ello es

ampliamente usado en aleaciones. Se requiere una aleación

que contenga entre el 46% y el 52% de cobre. Determina la

mínima y la máxima cantidad de aleación de cobre al 60% que

debe mezclarse con otra aleación de cobre al 40% para

preparar 15 libras de una aleación que contenga el porcentaje

de cobre señalado.

Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita. En estas aplicaciones de las desigualdades lineales, es necesario resolver los modelos matemáticos obtenidos,

sin embargo, existen muchos otros casos que debe practicarse para desarrollar las habilidades algebraicas y

aplicar las propiedades adecuadas en cada problema.

Resuelve las siguientes desigualdades y representa gráficamente la solución.

Identifica los casos en los que se aplican propiedades de las desigualdades que son

diferentes a las propiedades de la igualdad.

1. 2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 5

2. 5𝑦 − 1 ≫ 7𝑦 − 9

3. 6𝑎 + 2 <4𝑎−5

−2

4. −2𝑏 + 7 >3𝑏+5

3

5. 6𝑤−5

3<

4𝑤−7

−2



Pensamiento crítico. La resolución de problemas es una forma de mejorar la capacidad de análisis del estudiante, pero existen otras

formas de agudizar las habilidades del pensamiento, como las siguientes preguntas.

Contesta las siguientes preguntas desarrollando las operaciones algebraicas

necesarias para argumentar tu respuesta.

1. ¿Por qué cuando un número negativo “está multiplicando y pasa dividiendo”, la dirección de la

desigualdad cambia?

2. Un estudiante afirma que la solución de la desigualdad: 𝒙𝟐 < 𝟒 es: 𝒙 < 𝟐 ¿Tiene razón?

3. Si tenemos dos números p y q diferentes de cero tales que: 𝒑 < 𝒒, escribe el signo de desigualdad

que corresponde en cada caso:

a. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es positivo

b. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es negativo

c. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es positivo

d. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es negativo

e. 𝑝

𝑟 ______

𝑞

𝑟, si sabemos que r es positivo

f. 𝑝

𝑟 ______

𝑞

𝑟, si sabemos que r es negativo

Observaciones. En este material se ha trabajado solamente con desigualdades lineales con una incógnita, no olvides que

muchos modelos matemáticos requieren de más de una incógnita y, frecuentemente, las relaciones entre las

variables no son lineales, de modo que es posible encontrara sistemas de desigualdades lineales con dos o más

incógnitas, así como desigualdades no lineales.

Lecturas recomendadas.

Activity 3 2 linear inequalitites

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