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7/17/2019 adasfasfasfsadkjkasd

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CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Las curvas de nivel son aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas

isotermas, mapas topográficos de regiones montañosas que identifican las curvas de altitudde contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las

curvas Isotermas la líneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapastopográficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendría a

la misma altitud.

Ejemplo 1. Trazar algunas curvas de nivel de la función 4),( 22 y x y x f

para c = 4, c = 3, c = 0 y c = – 5.

Solución

a) Para c = 4; ;0;0;44 222222 y x y x y x (1)

la expresión (1) representa un punto cuando f ( x, y) = c = 4

b) Para c = 3; ;1;1;34 222222 y x y x y x (2)

la expresión (2) representa una circunferencia de radio r =1 .

c) Para c = 0; ;4;4;04 222222 y x y x y x (3)

la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2

d ) Para c = – 5; ;9;9;54 222222 y x y x y x (4)

la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3

La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las

curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras1, 2 y 3.

DEFINICIÓN Curva de nivel

El conjunto de puntos ( x, y) en el plano donde una función de dos variables

independientes tiene un valor constante f ( x, y) = c, es una curva de nivel de f.



Fig 3 Mapa de contorno con los valores dados de c

Ejemplo 2. Trazar algunas curvas de nivel de la función 52),( 22 y x y x f , para

4c , c = – 1, c = 1 y c = 4

Solución La función dada representa la superficie de un paraboloide elíptico abierto hacia

arriba. Si ( x, y) = (0, 0) entonces z = – 5. Las curvas de nivel son elipses.

para 4c 452 22 y x 12 22

y x 1

2

11

22

y x

(5)

para 1c 152 22 y x 42 22

y x 124

22

y x

(6)

para 1c 152 22 y x 62 22

y x 136

22

y x

(7)

Fig 1. Las trazas horizontales son curvas de nivelFig 2 Mapa de contorno

3c

1c

0c 0c

5c

0c

4c

0c



Solución: La tercera de las expresiones del conjunto de ecuaciones (5) representa la

ecuación de un elipse con 52 ca y

252

cb . Obtendremos las trazas para valores de

c = – 4, c = – 1, c = 1 y c = 4,

Ejemplo 3. Describir el comportamiento de 22 y x ) y , x( f mediante el bosquejo de

algunas curvas de nivel.

Solución Es conveniente asignarle a c valores en todo el conjunto de los números reales, es

decir c > 0, c < 0 y c = 0.

La curva de nivel cuando c tiene el valor de 0, tiene la ecuación:

022 y x

esta ecuación representa las rectas x = y; x = – y.

Cuando c > 0, la curva de nivel para c = 1, tiene la ecuación: 122

y x

representa una hipérbola cuyo eje es el eje x.

Cuando c < 0, la curva de nivel para c = –1, tiene la ecuación: 122

y x

representa una hipérbola cuyo eje es el eje y.

Fig 3 Las trazas horizontales son curvas de nivel Fig 4 Mapa de contorno

4c

1c

1c

4c

Figura 4. Mapa de contorno con los valores dados de c = – 4, – 1, 1 y 4.



Ejemplo 4. Bosqueje la curva de nivel de 22 y x ) y , x( f que pasa por (1, 1)

Solución: Calculamos f (1, 1) = c

2

2)1,1(

2)1()1()1,1(

22

22

y x

c f

f

Figura 5 Gráfica de 22

y x ) y , x( f

Figura 6. Nueve curvas de nivel de la fig. 5

Figura 7. Curvas de nivel vistas de planta de la figura 6, curvas en región en tono rojo indica trazos sobre el

nivel cero, curvas en tono azul indica trazos bajo el nivel cero.



esta expresión representa la ecuación de la circunferencia 222 r y x de radio 2r

.......................

.....................

SUPERFICIES DE NIVEL

Si f ( x,y,z ) es una función de tres variables y k una constante que debe satisfacer los valores

del rango de la función. La gráfica de la ecuación f(x,y,z) = k es una superficie de nivel.

Por ejemplo, los troncos de los árboles con muchos años de vida contienen en su estructurainterna superficies de nivel donde han quedado registrado los periodos de tiempo que hanvivido.

Gracias a los aparatos científicos que se han construido para la ciencia médica podemos

observar las superficies de nivel del cuerpo humano a diferentes niveles de profundidad desu superficie, permitiendo explorar dentro del mismo.

Ejemplo 1 . Describir las superficies de nivel de la función 222 4),,( z y x z y x f (1)

Solución: Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma k z y x 222 4 (2)

Por la naturaleza de la ecuación (2), k debe ser mayor o igual que cero. La expresión (2) esla ecuación de una familia de elipsoides concéntricos cuya forma estándar es:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Figura 7. Gràfica de22 y x ) z , y( f y curvas de nivel Figura 8. Curva de nivel para c = 2 de la figura 7. (círculo

más interno).



Si k = 1.

1)4/1(

22

2 z

y x

donde

.c , ) / ( b ,a 1 2

141 1

Si k = 4 entonces 44 222 z y x

1

414

222

z y x

donde 2,1,2 cba

Figura 2.

Figura 1



Tenemos que, si dibujamos la figura 1 y la figura 2 sobre un mismo eje de coordenadas la

figura 1 estaría dentro de la figura 2 por ser concéntricas.

Ejemplo 2. Describir las superficies de nivel de la función 222 z y x ) z , y , x( f (1)

Solución: Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma k z y x 222 (2)

donde k es mayor o igual que cero. La expresión (2) es la ecuación de una familia de

esferas concéntricas cuya forma estandar es:

2222 r z y x donde r es el radio de la esfera

Si k = 0, se tiene un punto en el origen.

Si k = 1, la superficie es una esfera de radio 1.Si k = 4, entonces es una esfera de radio 2.

En general, si k > 0 se obtiene una familia de esferas concéntricas, cuyo centro correspondeal punto (0, 0, 0).

y

222 z y x ) z , y , x( f

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