1 A. ZAMBRANO

2 A. ZAMBRANO

TEMAS PAG

3.1 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 3

3.2. PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 13

3.3. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL 19

3.4 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 26

3.5 TEOREMAS DE MAXWELL Y BETTI 28

3 A. ZAMBRANO

3.1. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

-Se define como ENERGÍA a la capacidad para realizar un trabajo

Por otra parte, el TRABAJO MECÁNICO es el producto de una fuerza por el

desplazamiento de su punto de aplicación en dirección de dicha fuerza.

En general, el trabajo W está definido por la siguiente expresión

Por la definición de producto escalar se tiene

Donde es el ángulo definido por la fuerza F y el desplazamiento dr. Si ambas

direcciones son paralelas, entonces =0 y nos queda

Existe una equivalencia entre trabajo y energía. Si representamos por U a la

energía, entonces se tiene que

W = U

En esta parte se va a determinar la energía que se almacena en un cuerpo elástico

cuando se deforma por las fuerzas externas.

4 A. ZAMBRANO

Consideremos una barra sujeta a una fuerza externa gradualmente aplicada (fig.

1.1)

L

A

F

Fig. 1.1

En la figura 1.2 se muestra el diagrama Fuerza-Desplazamiento, el cual es lineal

F

Fi

i

Fig. 1.2

De la figura 1.2

Despejando la fuerza, se obtiene

De la definición de trabajo

5 A. ZAMBRANO

Como la fuerza F y el desplazamiento tienen la misma dirección, =0, entonces

Sustituyendo (1.1) en la integral anterior

Como K es una constante

Integrando

De la condición de frontera en =0, W=0 tenemos

C=0

Y el trabajo es

Pero de (1.1) F=K, con lo cual el trabajo queda como

6 A. ZAMBRANO

La expresión (1.2) se conoce como la LEY DE CLAPEYRON y establece que el

trabajo realizado por una fuerza externa gradualmente aplicada es igual a la mitad

del realizado por una fuerza instantáneamente aplicada.

Consideremos un cuerpo elástico sujeto a sistema de cargas P1, P2, …, Pn,

gradualmente aplicadas en equilibrio (Fig. 1.3)

P1 P2

Pi

i

Pn

Fig. 1.3

El trabajo externo realizado por las fuerzas esta dado por

El trabajo interno U se llama ENERGÍA DE DEFORMACIÓN y es realizado por

las fuerzas internas a través de las deformaciones de cuerpo elástico.

En una particula interior del cuerpo se tienen las fuerzas y desplazamientos

indicados en la fig. 1.4

dP=dA

d=dL

Fig. 1.4

Entonces el trabajo interno o energía de deformación en esta partícula es

7 A. ZAMBRANO

pero

dV=dA dL

Entonces

Y la energía de deformación total del cuerpo es

Si el material cumple con la Ley de Hooke, tenemos que

= E

Sustituyendo en (1.3)

8 A. ZAMBRANO

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FUERZA AXIAL

Para fuerza axial, el esfuerzo normal esta dado por

dx A

P P

L

Fig. 1.5

Entonces

Si P y A son constantes

9 A. ZAMBRANO

Consideremos ahora una armadura con n miembros y sujeta a fuerzas externas (ver

fig. 1.6)

i

Fig. 1.6

Para el miembro i-esimo, la energía de deformación está dada por la formula (1.5)

Y la energía total almacenada en la armadura es

Es decir

10 A. ZAMBRANO

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR MOMENTO FLEXIONANTE

INTERNO

Para momento flexionante, el esfuerzo normal esta dado por

P1 P2

M

RA

Fig. 1.7

Entonces

Pero

Entonces

11 A. ZAMBRANO

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FUERZA CORTANTE

Para esfuerzo cortante, la energía de deformación para un material linealmente

elástico es

Por otra parte, el esfuerzo cortante esta dado por

P1 P2

V

RA

Fig. 1.8

Entonces

Pero I = Ar2, entonces

12 A. ZAMBRANO

El termino

Entonces, la energía de deformación es

Tabla 1.1Factores de forma por corte

Forma de la sección Factor k

Rectangular solida 1.2

Circular solida 1.33

Circular hueca 2

Perfil estructural 1

13 A. ZAMBRANO

3.2. PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO

Consideremos un cuerpo elástico sujeto a sistema de cargas P1, P2, …, Pn,

gradualmente aplicadas en equilibrio (fig. 2.1)

P1 P2

Pi

i

Pn

Fig. 2.1

El trabajo externo es

Ahora, se añade un segundo sistema de cargas consistente en una pequeña

carga dPi en el punto de aplicación y dirección de la carga Pi (ver fig. 2.2)

P1 P2

di

Pi

dPi

Pn

Fig. 2.2

14 A. ZAMBRANO

El trabajo externo adicional es

Entonces, el trabajo externo total es

Ahora invertimos el orden de aplicación de las cargas. Primero se aplica una

carga gradual dPi (ver fig. 2.3)

di

dPi

Fig. 2.3

El trabajo externo es

Ahora, se añade un segundo sistema de cargas P1, P2, …, Pn, gradualmente

aplicadas en equilibrio (fig. 2.4) P1 P2

i

dPi Pi

Pn

Fig. 2.4

15 A. ZAMBRANO

El trabajo externo adicional es

Entonces, el trabajo externo total es

Como el trabajo es independiente del orden de aplicación de las cargas se

igualan las expresiones (2.1) y (2.2)

Eliminando términos, queda

Podemos escribir el lado izquierdo como

Por la conservación de la energía

dWe = dU (2.4)

Sustituyendo (2.4) en (2.3), se obtiene

Despejando el desplazamiento i, nos queda

16 A. ZAMBRANO

La expresión (2.5) es el Primer Teorema de Castigliano y establece que “El

desplazamiento en un punto de un cuerpo elástico en cierta dirección es igual

a la derivada de la energía de deformación con respecto a una carga aplicada

en ese punto y en esa dirección”.

Para determinar un desplazamiento angular i en un punto, se debe aplicar un

momento Mi y luego derivar la energía de deformación respecto a este

momento.

17 A. ZAMBRANO

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS

El desplazamiento lineal en cualquier punto por el primer teorema de Castigliano

está dado por

Para armaduras, la energía de deformación está dada por

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación del primer teorema de Castigliano, se

tiene

18 A. ZAMBRANO

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA VIGAS Y MARCOS

PLANOS

El desplazamiento lineal en cualquier punto por el primer teorema de Castigliano

está dado por

Considerando solamente la flexión, la energía de deformación está dada por

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación del primer teorema de castigliano, se

tiene

19 A. ZAMBRANO

3.3. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Consideremos un cuerpo elástico sujeto a sistema de cargas virtuales P’1, P’2,

…, P’n, gradualmente aplicadas en equilibrio (fig. 3.1)

P’1 P’2

P’i

’i Fig. 3.1

P’n

El trabajo externo es

y el trabajo interno (o energía de deformación) es

Por la conservación de la energía

We = U, es decir

Ahora, se añade un segundo sistema de cargas reales P1, P2, …, Pm

gradualmente aplicadas en equilibrio (fig. 3.2)

20 A. ZAMBRANO

P’1 P1 P’2 P2

P’i

’i f

P’n Pi

Pm i

Fig. 3.2

El trabajo externo adicional es

y el trabajo interno adicional es

Además, por la conservación de la energía

Entonces, el trabajo externo total es

y el trabajo total interno es

21 A. ZAMBRANO

Por la conservación de la energía

Entonces

Sustituyendo (3.1) y (3.2) en (3.3) nos queda

La expresión (3.4) establece que “El trabajo externo efectuado por las cargas

virtuales a través de los desplazamientos producidos por las cargas reales es igual

al trabajo interno realizado por los esfuerzos producidos por las cargas virtuales

a través de las deformaciones producidas por las cargas reales”.

Este principio de conoce como el Principio del Trabajo virtual.

22 A. ZAMBRANO

TEOREMA DE LA CARGA UNITARIA

El principio del trabajo virtual dado por

Supongamos que el sistema de cargas virtuales consiste en una única carga

unitaria, es decir

Entonces

Para materiales que cumplen con la ley de Hooke

Sustituyendo en (3.5) se obtiene

La expresión (3.6) es el Teorema de la carga unitaria y se utiliza para calcular

desplazamientos en estructuras.

23 A. ZAMBRANO

TEOREMA DE LA CARGA UNITARIA PARA ARMADURAS

El teorema de la carga unitaria esta dado por

Para fuerza interna axial, el esfuerzo por carga unitaria es

Y el esfuerzo por carga real es

dV = A dL

Sustituyendo en la ecuación del desplazamiento, se obtiene

Para un miembro i-esimo de una armadura

Y el desplazamiento total para los n miembros de la armadura es

24 A. ZAMBRANO

Es decir

TEOREMA DE LA CARGA UNITARIA PARA VIGAS Y MARCOS

El teorema de la carga unitaria esta dado por

Considerando solamente la flexión, el esfuerzo normal esta dado por

Sustituyendo en la deflexión, nos queda

25 A. ZAMBRANO

Pero

Entonces

26 A. ZAMBRANO

3.4. SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Consideremos una estructura hiperestática como se muestra en la siguiente figura

sujeta a un conjunto de cargas. Cualquier apoyo redundante puede ser sustituido

por su reacción desconocida Ri.

A

Fig. 4.1

RA

A

Fig. 4.2

Por el primer teorema de Castigliano, la deflexión en el punto A esta dado por

Pero, como A es un apoyo, se tiene que

27 A. ZAMBRANO

Podemos establecer el segundo Teorema de Castigliano como sigue:

“La reacción redundante de una estructura hiperestática es tal que hace la energía

de deformación un mínimo”

El método de análisis de estructuras hiperestáticas derivado del segundo Teorema

de Castigliano se llama Metodo del Mínimo Trabajo.

-Se llama Grado de Indeterminación estática externa (Ie) al número de reacciones

que excede al número de ecuaciones de equilibrio, es decir

Ie = R - E (4.2)

Para estructuras planas, E=3

-Se llama Grado de Indeterminacion estatica interna (Ii) al numero de elementos de

la estructura que excede a los estrictamente necesarios por equilibrio.

Para armaduras

Ii = m + 3 – 2j (4.3)

Para marcos planos

Ii =3(m + 1 – j) (4.4)

Para vigas

Ii = 0 (4.5)

28 A. ZAMBRANO

3.5. TEOREMAS DE MAXWELL Y BETTI

Consideremos un cuerpo elástico al cual se le aplican gradualmente dos sistemas

de carga P y Q como se muestra en las figuras siguientes. Si aplicamos primero

gradualmente la carga P en el punto i y luego aplicamos gradualmente la carga Q

en el punto j, tenemos:

P P

i

i j ij j j

Q

Fig. 5.1

El trabajo externo efectuado sobre el cuerpo elástico esta dado por:

Consideremos ahora que primero se aplica gradualmente la carga Q en el punto j y

luego la carga P en el punto i, Entonces tenemos:

P

i i

i

j j i j ji

Q P

Fig. 5.2

29 A. ZAMBRANO

El trabajo externo es:

Como el trabajo es independiente del orden de aplicación de las cargas, tenemos

WPQ = WQP (5.3)

Sustituyendo (5.1) y (5.2) en (5.3), tenemos

TEOREMA DE BETTI

Al teorema de Betti se le conoce como el TEOREMA DE LOS TRABAJOS

RECÍPROCOS. A continuación, se presenta el enunciado.

“ El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos que en sus

puntos de aplicación le produce un segundo sistema de fuerzas es igual al trabajo

de las fuerzas del segundo sistema debido a los desplazamientos que en sus puntos

de aplicación le produce el primer sistema de fuerzas.”

30 A. ZAMBRANO

Consideremos un cuerpo elástico al cual le aplicamos gradualmente una carga P en

el punto i y en dirección N y luego le aplicamos otra carga P en un punto j y en

dirección M, como se muestra en la siguiente figura

N M

P P

i

i j ij j j

P

Fig. 5.3

El trabajo externo efectuado sobre el cuerpo elástico esta dado por:

Si ahora primero aplicamos gradualmente la carga P en el punto j y en dirección

M y después la carga P en el punto i en dirección N, como se muestra a

continuación:

M N M

P

i i

i

j j i j ji

P P

Fig. 5.4

31 A. ZAMBRANO

Por el Teorema de Betti, ambos trabajos son iguales

Por el Teorema de Betti, ambos trabajos son iguales

ij = ji TEOREMA DE MAXWELL

También se le llama Teorema de Maxwell-Betti. A continuación se presenta el

enunciado de este teorema.

“El desplazamiento de un punto 1 en la dirección N cuando actúa una fuerza en un

punto 2 en la dirección M es igual al desplazamiento del punto 2 en la dirección M

cuando en el punto 1 actúa una fuerza en la dirección N”