Alcalá de Guadaíra, Junio de 2007

Problema nº 1: Los autobuses y la mosca.

Problema nº 2: El pasatiempo de moda.

Problema nº 3: El reloj está que arde.

Problema nº 4: Las tres pastillas.

Problema nº 5: El laberinto.

Problema nº 6: Coloca los números.

Problema nº 7: El dilema del barquero.

Problema nº 8: El lechero.

Problema nº 9: Reparto en cajas.

Problema nº 10: El heptágono.

Problema nº 11: Objetivo: el número 100.

Problema nº 12: Jugando con seis cifras.

P R O B L E M A N º 1P R O B L E M A N º 1

Dos pueblos distan entre sí 60 Km. De cada uno de esos pueblos sale a las cinco en punto de la tarde un autobús con dirección al otro pueblo. Como los autobuses son ya bastante viejos y la carretera está en muy malas condiciones, llevan una velocidad media de 30 Km/h.

A la misma hora una veloz mosca sale de uno de los pueblos en dirección al otro llevando una velocidad de 40 Km/h. Cuando la mosca se encuentra con el autobús contrario, cambia de dirección. Vuelve a encontrar al otro autobús y hace lo mismo. Así sucesivamente hasta que por fin los dos autobuses se cruzan.

En ese momento ¿Sabes cuántos kilómetros habrá recorrido la mosca?

60 km

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Llegaremos fácilmente a la solución haciendo tres sencillos razonamientos:

1) Los pueblos distan entre sí 60 km. Como los autobuses van a la misma velocidad, se encontrarán justo en mitad del camino, es decir, a los 30 km.

2) Si los autobuses llevan una velocidad de 30 km/h, quiere decir que han tardado en recorrer esos 30 km 1 hora.

3) Si la mosca va a 40 km/h, independientemente de que vaya en dirección a un pueblo u otro, en 1 hora habrá recorrido:

40 kilómetrosÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 2P R O B L E M A N º 2

Debes rellenar cada

una de las casillas del

tablero con una cifra del

1 al 9. En cada fila y en cada

columna no puede

repetirse ningún número. Tampoco puede

repetirse ninguna cifra en

cada uno de los nueve

bloques en los que está

dividido el tablero.

3 4 1 6 7

1 5 2 9 4 6

8 9 3 4 1 5 2

3 4 9 6

7 8 1 9 2 3

6 2 7 3 5 1 4

5 4 1 9 8 3 6 7

9 8 2 6 7 3 5 4 1

7 6 3 5 4 2 9 8SOLUCIÓNSOLUCIÓN

22 3 4 1 55 6 7 88 991 5 77 2 9 88 4 33 6

8 9 66 3 4 77 1 5 2

3 11 88 4 22 9 6 77 55

44 7 55 8 66 1 9 2 3

6 2 99 7 3 5 88 1 4

5 4 1 9 8 22 3 6 7

9 8 2 6 7 3 5 4 1

7 6 3 5 11 4 2 9 8ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 3P R O B L E M A N º 3

Durante el descanso del partido de fútbol más importante del

campeonato, se han parado todos los relojes, y el árbitro decide

suspenderlo, ya que no es capaz de medir los 45 minutos que dura la

segunda parte.

El encargado del campo, después de buscar un reloj por

todas partes sin resultado, lo único que ha conseguido encontrar es

un par de cuerdas y una caja de cerillas. Él sabe que cada cuerda

tarda en arder una hora, así que idea una manera de contar los 45

minutos.

Sabiendo únicamente esto, ¿ se te ocurre a ti una manera de

medir el tiempo justo?

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

1. Prendemos la cuerda número 1 por

los dos extremos y la cuerda número 2 por

uno sólo. 2. La cuerda número uno tarda en

consumirse media hora y de la otra cuerda

se ha quemado la mitad.

3. En ese instante prendemos la

media cuerda que queda por el otro

extremo y tarda en consumirse los 15

minutos restantes para completar los 45.ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 4P R O B L E M A N º 4

El señor Pi tiene una extraña enfermedad que hace que deba tomar todos los días dos pastillas: una del tipo A y otra del tipo B. Estas pastillas son exactamente iguales en peso color, sabor... Es imposible distinguirlas externamente y es vital que Pi se tome una de cada tipo cada día. Un día sin darse cuenta, Pi coge por error dos del tipo A y una del tipo B. Tiene las tres pastillas en la mano y no puede diferenciarlas. Sabe que debe tomar una cada día, pero no quiere tirarlas o simplemente coger otras, porque son muy caras. ¿Qué debe hacer para tomar, ese día y los días siguientes, una pastilla de cada tipo sin equivocarse, y sin desperdiciar ninguna?

AB SOLUCIÓNSOLUCIÓN

• Entonces parte las pastillas por la

mitad y toma media de cada una.

• Añades una pastilla del tipo B, y

tendrás dos pastillas de cada tipo en

la mano.

• Las otras mitades las tomas al día

siguiente y cada día estarás tomando

dos medias de la A y dos medias de la

B, es decir, una de la A y una de la B.ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 5P R O B L E M A N º 5

Jaime se ha perdido en el laberinto de un parque de

atracciones y buscando la salida llega a un lugar en el que se

encuentra 2 puertas custodiadas por 2 guardianes y sobre las

que aparece el siguiente letrero:

UNA PUERTA TE LLEVA A LA SALIDA Y LA OTRA A LA MUERTEUNA PUERTA TE LLEVA A LA SALIDA Y LA OTRA A LA MUERTE

¿Qué pregunta habría

que hacer y a quién, para

asegurarse de que tomas el

camino correcto, sin saber cuál

de los 2 guardianes es el que

miente y cuál dice la verdad?

Sólo tienes la opción de

entrar en una de las puertas; para

ello puedes hacer una pregunta a

uno de los guardianes. Pero cuidado,

porque uno de los 2 siempre miente

y el otro siempre dice la verdad,

aunque no sabemos cuál es cada

uno.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Es fácil comprobar que sea cual sea

el guardia al que le preguntemos nos va

a indicar la puerta que lleva a la muerte.

Basta salir por la otra puerta.

Se le puede preguntar a cualquiera

de ellos: “si le pregunto al otro guardián

cuál es la puerta que me lleva a la salida,

¿qué me indicará?”.

ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 6P R O B L E M A N º 6

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 7P R O B L E M A N º 7

Un barquero tiene que pasar un lobo, una cabra y

una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca

en la que solo caben él y uno de los otros tres seres. Si el

lobo se queda solo con la cabra se la come y si la cabra se

queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

El pastor pasa primero la cabra, la deja en la

otra orilla.

Regresa solo a por el lobo.

Al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra.

Deja la cabra y cruza con la lechuga.

Deja la lechuga con el lobo y regresa a por la

cabra.

El pastor pasa primero la cabra, la deja en la

otra orilla.

Regresa solo a por el lobo.

Al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra.

Deja la cabra y cruza con la lechuga.

Deja la lechuga con el lobo y regresa a por la

cabra.

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P R O B L E M A N º 8P R O B L E M A N º 8

Un antiguo lechero tenía un cántaro de 8 litros lleno

de leche, y dos más de 5 y de 3 litros. Un cliente le pidió

exactamente 4 litros. ¿Cómo pudo calcular los cuatro litros y

dárselos en el cántaro de 5 litros?

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

1 l3 l

6 l

3 l

8 l5 l 3 l

5 l

3 l 5 l

0 l3 l

2 l

6 l2 l

2 l

1 l 2 l

4 l

4 l 4 l

Éste es el cántaro pedido.

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P R O B L E M A N º 9P R O B L E M A N º 9

¿Cómo podremos disponer 9 bolas en 4 cajas de forma que

cada una tenga un número impar de bolas y distinto del de

cada una de las otras tres?

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 10P R O B L E M A N º 10

Coloca los números del 1 al 14 en los círculos

de manera que la suma de los tres números de cada

lado del heptágono sea 26.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Hay muchas soluciones. He aquí una de ellas:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 11P R O B L E M A N º 11

a) Obtener el número 100 con los dígitos del 1 al 9 en orden

creciente y sin repetir ninguno, combinando las operaciones de

sumar, restar y multiplicar.

b) Obtener el número 100 con los dígitos del 9 al 1 en orden

decreciente y sin repetir ninguno, combinando las operaciones de

sumar, restar y multiplicar.

c) Obtener el número 100 con los dígitos del 1 al 9, en orden

creciente, y combinando solamente las operaciones de sumar y

restar.

d) Obtener el número 100 con los dígitos del 9 al 1, en orden

decreciente, y combinando solamente las operaciones de sumar y

restar.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Hay muchas soluciones para cada uno de estos apartados:

ÍndiceÍndice

P R O B L E M A N º 12P R O B L E M A N º 12

Encontrar un número de 6 cifras, de manera que

sumando las cifras de su resultado al multiplicarlo por 1,

2, 3, 4, 5 y 6 siempre sea el mismo: 27

     Las 6 cifras del número que se busca deben ser

del 1 al 9, y todas diferentes.

     

   

     

     

     

     

     

     

     

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Como todos los resultados tienen las

mismas cifras que el número buscado,

ordenadas de manera diferente, siempre

tienen que sumar 27:

EL NUMERO BUSCADO ES EL NUMERO BUSCADO ES

EL 142857EL 142857

Como todos los resultados tienen las

mismas cifras que el número buscado,

ordenadas de manera diferente, siempre

tienen que sumar 27:

EL NUMERO BUSCADO ES EL NUMERO BUSCADO ES

EL 142857EL 142857

Ya que:

142857 x 1 =142857

142857 x 2 =285714

142857 x 3 =428571

142857 x 4 =571428

142857 x 5 =714285

142857 x 6 =857142

Ya que:

142857 x 1 =142857

142857 x 2 =285714

142857 x 3 =428571

142857 x 4 =571428

142857 x 5 =714285

142857 x 6 =857142ÍndiceÍndice