Alg electron feb12_a
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´ Algebra. (I. Electr´ onica)-Modelo A-Febrero-2012 Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´ optica. Cada respuesta correcta suma 1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan. Problema: Se corregir´ a s´ olo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos. Ejercicio 1 El m´ etodo de eliminaci´on gaussiana (para resoluci´on de sistemas de ecua- ciones) termina cuando la matriz ampliada A|B: A) Tiene tantos escalones como filas; B) Es escalonada; C) Es escalonada y sus pivotes est´an normalizados; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 2 El conjunto A = 1 0 0 1 , 0 1 1 0 , 1 0 1 1 , 0 1 1 1 verifica: A) No es base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos; B) Las coordenadas de la matriz de filas (5, -2), (-2, 5) respecto a A son (5, -2, 0, 0); C) Las coordenadas de la matriz de filas (5, -2), (-2, 5) respecto a A son (5, -2); D) Ninguna de ellas. Ejercicio 3 Si en MAXIMA se introduce A como la matriz de filas (-1, 3, 0), (0, -1, 0), (0, 2, -1), y al aplicar la instrucci´on ‘‘eigenvectors(A);’’ se obtiene ‘‘[[[-1],[3]],[[[1,0,0],[0,0,1]]]]’’, podemos deducir que: A) La matriz no es diagonalizable; B) Sus autovalores son -1 y 3; C) Que la matriz de Jordan tiene tres bloques; D) Ninguno de los anteriores. Ejercicio 4 La imagen de la aplicaci´ on lineal f : R 3 → R 2 definida por f (1, 0, 0) = (1, 0), f (0, 1, 0) = (1, 1) y f (0, 0, 1) = (3, 2) es: A) h(1, 0)i; B) h(0, 1)i; C) h(1, 0), (0, 1)i; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 5 Al utilizar el m´ etodo de m´ ınimos cuadrados para buscar soluciones apro- ximadas del sistema de ecuaciones x 1 = 1; x 1 = 0; x 2 = -5, se obtiene como soluci´ on aproximada: A) (1, -5); B) ( 1 2 , -5) C) No existe por ser un sistema incompatible; D) Ninguna de ellas. Ejercicio 6 Las matrices asociadas a una forma bilineal en distintas bases son: A) Congruentes; B) Semejantes; C) Ortogonales; D) Ninguna de las anteriores. Problema En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor que tres con el pro- ducto escalar u(x) • v (x)= R 1 0 u(x)v (x)dx, se pide: A)(2ptos.) Si U =< (x 2 ) >, explicar qu´ e significa decir que U ⊥ es un subespacio suple- mentario ortogonal a U . B)(2ptos.) Encontrar una base de U ⊥ .
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Algebra. (I. Electronica)-Modelo A-Febrero-2012
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.
Ejercicio 1 El metodo de eliminacion gaussiana (para resolucion de sistemas de ecua-ciones) termina cuando la matriz ampliada A|B: A) Tiene tantos escalones como filas;B) Es escalonada; C) Es escalonada y sus pivotes estan normalizados; D) Ninguna delas anteriores.
Ejercicio 2 El conjunto A =
{(1 00 1
),
(0 11 0
),
(1 01 1
),
(0 11 1
)}verifica:
A) No es base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos; B) Las coordenadasde la matriz de filas (5,−2), (−2, 5) respecto a A son (5,−2, 0, 0); C) Las coordenadasde la matriz de filas (5,−2), (−2, 5) respecto a A son (5,−2); D) Ninguna de ellas.
Ejercicio 3 Si en MAXIMA se introduce A como la matriz de filas (−1, 3, 0), (0,−1, 0),(0, 2,−1), y al aplicar la instruccion ‘‘eigenvectors(A);’’ se obtiene
‘‘[[[-1],[3]],[[[1,0,0],[0,0,1]]]]’’, podemos deducir que: A) La matriz noes diagonalizable; B) Sus autovalores son −1 y 3; C) Que la matriz de Jordan tiene tresbloques; D) Ninguno de los anteriores.
Ejercicio 4 La imagen de la aplicacion lineal f : R3 → R2 definida por f(1, 0, 0) =(1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) 〈(1, 0)〉; B) 〈(0, 1)〉; C) 〈(1, 0), (0, 1)〉;D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 5 Al utilizar el metodo de mınimos cuadrados para buscar soluciones apro-ximadas del sistema de ecuaciones x1 = 1; x1 = 0; x2 = −5, se obtiene como solucionaproximada: A) (1,−5); B) (12 ,−5) C) No existe por ser un sistema incompatible;D) Ninguna de ellas.
Ejercicio 6 Las matrices asociadas a una forma bilineal en distintas bases son: A)Congruentes; B) Semejantes; C) Ortogonales; D) Ninguna de las anteriores.
ProblemaEn el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor que tres con el pro-ducto escalar u(x) • v(x) =
∫ 1
0 u(x)v(x)dx, se pide:A)(2ptos.) Si U =< (x2) >, explicar que significa decir que U⊥ es un subespacio suple-mentario ortogonal a U .B)(2ptos.) Encontrar una base de U⊥.
Ejercicio 1 El metodo de eliminacion gaussiana (para resolucion de sistemas de ecua-ciones) termina cuando la matriz ampliada A|B: A) Tiene tantos escalones como filas;B) Es escalonada; C) Es escalonada y sus pivotes estan normalizados; D) Ninguna delas anteriores.
Solucion Ejercicio 1 La solucion correcta es C.
Vease la pagina 39 de “Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 2 El conjunto A =
{(1 00 1
),
(0 11 0
),
(1 01 1
),
(0 11 1
)}verifica:
A) No es base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos; B) Las coordenadasde la matriz de filas (5,−2), (−2, 5) respecto a A son (5,−2, 0, 0); C) Las coordenadasde la matriz de filas (5,−2), (−2, 5) respecto a A son (5,−2); D) Ninguna de ellas.
Solucion Ejercicio 2 La solucion correcta es B.El conjunto de matrices A es una base del conjunto de matrices cuadradas de orden dosque tiene dimension 4.Cualquier vector de ese espacio tiene 4 coordenadas respecto a cualquier base.En este caso:(
5 −2−2 5
)= 5
(1 00 1
)− 2
(0 11 0
)+ 0
(1 01 1
)+ 0
(0 11 1
).
Con MAXIMA esta resuelto en Ejercicio-2-A-feb-12.wxm.
Ejercicio 3 Si en MAXIMA se introduce A como la matriz de filas (−1, 3, 0), (0,−1, 0),(0, 2,−1), y al aplicar la instruccion ‘‘eigenvectors(A);’’ se obtiene
‘‘[[[-1],[3]],[[[1,0,0],[0,0,1]]]]’’, podemos deducir que: A) La matriz noes diagonalizable; B) Sus autovalores son −1 y 3; C) Que la matriz de Jordan tiene tresbloques; D) Ninguno de los anteriores.
Solucion Ejercicio 3La solucion correcta es A.Tiene un solo valor propio, con multiplicidad algebraica tres, que genera un subespaciopropio de multiplicidad geometrica dos.
El ejercicio, resuelto por la vıa tradicional, es el ejemplo 4.19 de ”Algebra paraingenieros”.Con MAXIMA esta resuelto en Ejercicio-3-A-feb-12.wxm.
Ejercicio 4 La imagen de la aplicacion lineal f : R3 → R2 definida por f(1, 0, 0) =(1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) 〈(1, 0)〉; B) 〈(0, 1)〉; C) 〈(1, 0), (0, 1)〉;D) Ninguna de las anteriores.
Solucion Ejercicio 4 La opcion cierta es C.
Vease el ejemplo 3.10 de“Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 5 Al utilizar el metodo de mınimos cuadrados para buscar soluciones apro-ximadas del sistema de ecuaciones x1 = 1; x1 = 0; x2 = −5, se obtiene como solucionaproximada: A) (1,−5); B) (12 ,−5) C) No existe por ser un sistema incompatible;D) Ninguna de ellas.
Solucion ejercicio 5 La solucion correcta es B.
Vease el ejemplo 5.37 de “Algebra para ingenieros”. En el texto hay una errata enel sistema a resolver, pero es evidente y no induce ningun tipo de error.
Ejercicio 6 Las matrices asociadas a una forma bilineal en distintas bases son: A)Congruentes; B) Semejantes; C) Ortogonales; D) Ninguna de las anteriores.
Solucion Ejercicio 6 La solucion correcta es A.
Vease el teorema 6.1 de “Algebra para Ingenieros”.
ProblemaEn el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor que tres con el pro-ducto escalar u(x) • v(x) =
∫ 1
0 u(x)v(x)dx, se pide:A)(2ptos.) Si U =< x2 >, explicar que significa decir que U⊥ es un subespacio suple-mentario ortogonal a U .B)(2ptos.) Encontrar una base de U⊥.
Solucion problema
A) Vease la definicion 5.10 de “Algebra para ingenieros”.B) Para resolver este ejercicio seguiremos las mismas pautas que en el ejemplo 5.22 de“Algebra para ingenieros”.
Ortogonalidad: Se trata de buscar la relacion entre los coeficientes a, b, c para quese verifique
∫ 1
0 (ax2 + bx + c)x2dx = 0.La relacion obtenida es 12a + 15b + 20c = 0.Los vectores del subespacio generado cuando la relacion entre los coeficientes es12a + 15b + 20c = 0 son de la forma ((−15b−20c12 )x2 + bx + c).Para cada par de valores de los parametros b y c se obtiene un vector del subespacio.Para los pares b = 1, c = 0 y b = 0, c = 1, quitando fracciones, se obtiene la base{(−5x2 + 4x), (−5x2 + 3)}.
Son suplementarios: Falta comprobar que son suplementarios, es decir, que lamatriz formada por los coeficientes de los vectores de una base de U y otra base deU⊥ tiene rango 3.
Esta resuelto utilizando MAXIMA en el fichero problema-A-12.wxm.
