Algebra. (I. Electronica)-Modelo B-Febrero-2012

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.

Ejercicio 1 Al evaluar con MAXIMA las instruccionesA:genmatrix(lambda([i,j], i-j), 3, 2); B:transpose(A); C:A.B; load(functs); tracematrix(C);se obtiene el valor: A) 7; B) 0; C) 55 ; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 2 Si U = {u1, u2, · · · , un} es un sistema ligado de n vectores del espaciovectorial V de dimension n, es cierto que siempre se obtiene una base de V al hacer en Ula siguiente transformacion: A) Eliminar todos los vectores ui que dependan linealmentede otros vectores de U ; B) Anadir algun vector que no sea de U ; C) Sustituir cualquierui por cualquier vector de V que no sea de U ; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 3 Si A es la matriz de filas (0,−1) y (1,−1), la inversa de (3A)2 es: A)19A; B) (19)A4; C) 1

9A2; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 4 La aplicacion f(x) = k, con x ∈ R, y k un numero real fijo, sera lineal:A) ∀k; B) Solo si k 6= 0; C) Solo si k = 0; D) Nunca.

Ejercicio 5 En el conjunto de polinomios de grado menor que tres, al aplicar elmetodo de ortonormalizacion de Gram-Schimidt a la base {1, x, x2} con el producto es-calar p(x) • q(x) =

∫ 0

−1 p(x)q(x)dx, el segundo vector, e2, obtenido antes de normalizar,es: A) 3x2 − 1; B) x+ 1

2 ; C) 3x2; D) Ninguno de las anteriores.

Ejercicio 6 Si el polinomio caracterıstico de una matriz A es (λ − 4)4(λ + 3)3, losnumeros mınimo y maximo, respectivamente, de bloques de su matriz de Jordan son: A)Dos y siete; B) Tres y cuatro; C) Uno y siete; D) Ninguno de las anteriores.

ProblemaSi x21 + x22 + 2x1x

22 − 4x2 − 1 = 0 representa una conica, se pide:

A)(2ptos.) Descomponer la ecuacion en parte cuadratica, parte lineal y parte constantey dar las expresiones matriciales de dichas componentes.B)(2ptos.) Obtener la ecuacion de la conica referida a una base cuyos vectores seanparalelos a los ejes de la conica dada.

Ejercicio 1 Al ejecutar con MAXIMA las instruccionesA:genmatrix(lambda([i,j], i-j), 3, 2); B:transpose(A); C:A.B; load(functs); tracematrix(C);se obtiene el valor: A) 7; B) 0; C) -5 ; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 1 La solucion correcta es A.Para comprobarlo es suficiente ejecutar las instrucciones dadas. Vease Ejercicio-1-B-feb-12.wxm

Ejercicio 2 Si U = {u1, u2, · · · , ui} es un sistema ligado de n vectores del espaciovectorial V de dimension n, es cierto que siempre se obtiene una base de V al hacer en Ula siguiente transformacion: A) Eliminar todos los vectores ui que dependan linealmentede otros vectores de U ; B) Anadir algun vector que no sea de U ; C) Sustituir cualquierui por cualquier vector de que no sea de U ; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 2 La solucion correcta es D.La opcion A) no es correcta porque U seguira teniendo un numero de vectores indepen-dientes menor que n.La opcion B) tampoco es cierta: U seguira siendo un sistema ligado y ademas tendra masde n vectores.La opcion C) tampoco, porque el sistema obtenido tras la sustitucion puede no ser libreo no tener suficiente numero de vectores independientes.

Ejercicio 3 Si A es la matriz de filas (0,−1) y (1,−1), la inversa de (3A)2 es: A)19A; B) (19)A4; C) 1

9A2; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion Ejercicio 3 La solucion correcta es A.Se verifica de forma facil efectuando las operaciones indicadas.Vease el Ejercicio-3-B-feb-12.wxm.

Ejercicio 4 La aplicacion f(x) = k, con x ∈ R, y k un numero real fijo, sera lineal:A) ∀k; B) Solo si k 6= 0; C) Solo si k = 0; D) Nunca.

Solucion Ejercicio 4 La solucion correcta es C.

Vease el EJEMPLO 3.3 de “Algebra para ingenieros”.

Ejercicio 5 En el conjunto de polinomios de grado menor que tres, al aplicar elmetodo de ortonormalizacion de Gram-Schimidt a la base {1, x, x2} con el producto es-calar p(x) • q(x) =

∫ 0

−1 p(x)q(x)dx, el segundo vector e2, obtenido antes de normalizar,es: A) 3x2 − 1; B) x+ 1

2 ; C) 3x2; D) Ninguno de las anteriores.

Solucion Ejercicio 5La solucion correcta es B.Utilizando el primer paso del algoritmo indicado en la pagina 208 de “Algebra para

ingenieros” se obtiene:e1 = 1.e2 = x− x•1

1•11 = x+ 12 .∫ 0

−1 1 · 1dx = 1.∫ 0

−1 x · 1dx = −12 .

Ejercicio 6 Si el polinomio caracterıstico de una matriz A es (λ − 4)4(λ + 3)3, losnumeros mınimo y maximo, respectivamente, de bloques de su matriz de Jordan son: A)Dos y siete; B) Tres y cuatro; C) Uno y siete; D) Ninguno de las anteriores.

Solucion Ejercicio 6La solucion correcta es A.Corresponde al EJEMPLO 4.22 (pagina 179) de “Algebra para ingenieros”

ProblemaSi x21 + x22 + 2x1x

22 − 4x2 − 1 = 0 representa una conica, se pide:

A)(2ptos.) Descomponer la ecuacion en parte cuadratica, parte lineal y parte constantey dar las expresiones matriciales de dichas componentes.B)(2ptos.) Obtener la ecuacion de la conica referida a una base cuyos vectores seanparalelos a los ejes de la conica dada.

Solucion problema

Veanse las paginas 278, 279, 280 y 281 de “Algebra para ingenieros”.

A)Descomposicion de la conica y expresiones matriciales correspondientes:

Parte cuadratica: f2(x1, x2) = x21 + x22 + 2x1x22 =

(x1 x2

)( 1 11 1

)(x1x2

).

Parte lineal: f1(x1, x2) = −4x2 =(

0 −4)( x1

x2

).

Parte constante: −1.

B)

La matriz diagonal semejante a

(1 11 1

)es

(0 00 2

).

la matriz ortonormal de paso es

(1√2

1√2

−1√2

1√2

).

La ecuacion de la conica en la nueva base es:

2x22 +(

0 −4)( 1√

21√2

−1√2

1√2

)(x1x2

)− 1 = 2x22 − 2

√2x1 + 2

√2x2 − 1 = 0.