1.- NUMEROS COMPLEJOS

Los números reales deben de dar solución a las ecuaciones.Los números enteros positivos (0, 1, 2, 3,…) contienen soluciones para ecuaciones de la forma x – 5 = 0, pero no contienen solución para x + 3 = 0, razón por la que deben de existir los números enteros negativos (– 1, – 2, – 3,…).Si tratamos de resolver la ecuación: 4x – 7 = 0, no nos basta con tener números enteros positivos y negativos, ya que como la solución es x = 7/4, requerimos ahora de los números racionales (surgidos de la división de un entero por otro entero).Sí tenemos la ecuación x2 = 6, los números enteros positivos, los enteros negativos y los racionales no tienen solución para la misma, por lo que necesitamos ahora de los números irracionales, que son los que dan solución a ese tipo de ecuaciones. Existen ecuaciones de la forma x2 = – 9, la cual no tiene una solución entera positiva, entera negativa, racional ni irracional, y requiere de su expresión por medio de un número imaginario. Sí tratamos de resolverla, es obvio que

, lo que se expresa como 3i.

Un número complejo es una expresión de la forma: a + bi, donde “a” y “b” son números reales e , por lo tanto, todo número complejo contiene una parte real (a) y otra imaginaria (bi).De ésta definición, se deduce que sí , entonces , lo que es muy útil para el manejo de números

complejos. De lo anterior, podemos deducir la siguiente tabla para el manejo de cantidades imaginarias:

OPERACIONES BASICAS. Sean los números complejos: a = b + ci y d = e + fi

Suma: a + d (b + d) + (c + f)iDiferencia: a – d (b – d) + (c – f)iProducto: axd be + bfi + cei + cfi2 = be + bfi + cei + cf( – 1) = (be – cf) + (bf + ce)i

Cociente:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Rectangular: Se usa el eje horizontal para graduar la parte real, y el eje vertical para la parte imaginaria, ubicándose un punto en el plano, que representa al número complejo.

Polar: Sí llamamos a la línea que une el origen con el punto de la representación rectangular, y al ángulo que

forma dicha línea con el semieje horizontal positivo lo llamamos , entonces tiene la proyección horizontal:

y la proyección vertical . La longitud de llamada Modulo ó Valor Absoluto la podemos

obtener por . Entonces el numero complejo se puede expresar en la forma polar como:

TEOREMA DE De MOIVRE

Si n es cualquier número entero y positivo, y si y son, respectivamente, el modulo y el argumento o amplitud de cualquier número complejo, entonces:

Las raíces de un número complejo, pueden obtenerse de la siguiente forma:

Donde k = 0, 1, 2, 3,…………, n – 1.Gráficamente estas raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro

en el origen y de radio .

EJERCICIOS PARA RESOLVERDados los siguientes números complejos en la forma rectangular, efectuar cada una de las siguientes operaciones:a = 3 + 2i b = 4 – i c = – 2 – 4i d = – 5 +3i e = 1 – i f = – 3 – i g = 5 + i h = – 4 + 2i

1) 2a – 3b = 2) 4(3c + 2h – g) =

3) 3e – (2f – 4d) = 4) b x e =

5) (2c – 3h) x (a + 4f) = 6) Eleve cada uno al cuadrado.

7) Eleve cada uno al cubo. 8) Eleve a, c, e y g a la cuarta potencia.

9) Eleve b, d, f y h a la quinta potencia. 10) Eleve a, b, c y d a la sexta potencia.

11) Eleve e y f a la séptima potencia. 12) Eleve g y h a la octava potencia.

13) a/b = 14) c/d =

15) e/f = 16) g/h =

17) (3d – 2g)/(2b – a – 2e) = 18) Expréselos todos en la forma polar.

Cambie los siguientes números complejos de la forma polar a la forma rectangular::

19) 5(cos45º + i sen45º) = 20) -6(cos120º - isen120º) =

21)22)

Resolver empleando el Teorema de De Moivre:

Sean: a = 2 – 3i b = – 1 – 2i c = 5 + i y d = – 2 + 4i

1) a2 = 2) b5 =

3) c7 = 4) d9 =

5) Hallar las dos raíces cuadradas de a. Trace la grafica correspondiente.

6) Hallar las tres raíces cúbicas de b. Trazar la gráfica correspondiente.

7) Hallar las cuatro raíces cuartas de c. Trace la gráfica correspondiente.

8) Hallar las cinco raíces quintas de d. Trazar la gráfica correspondiente.

2.- ECUACIONES RACIONALES ENTERAS

Una expresión de la forma:

En la que n es un número entero y a0, a1, a2, ……………… son constantes, recibe el nombre de Ecuación Racional Entera o Ecuación de Grado Superior a 2. El miembro del lado izquierdo es llamado Función Racional Entera o Polinomio Racional Entero. El grado de éste tipo de ecuaciones, es el mayor exponente que tenga la variable en la ecuación.El Teorema del Residuo es útil para encontrar las raíces de dichas ecuaciones, cuando el miembro de la izquierda no sea factorizable con facilidad.

Halle las raíces y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

3.- VECTORES

Las magnitudes vectoriales poseen modulo (magnitud o longitud), dirección y sentido, y se representan por medio de flechas llamadas vectores; a diferencia de las magnitudes escalares que solo poseen modulo.Las magnitudes escalares se manipulan por medio de la Aritmética, pero las magnitudes vectoriales requieren de una serie de reglas e interpretaciones que están contenidas dentro del Álgebra Lineal o Álgebra Vectorial.

OPERACIONES BASICAS CON VECTORES

Sean los vectores: , , y el escalar .

1) Suma de vectores:

2) Escalar por vector:

3) Resta de vectores:

4) Modulo, magnitud o longitud de un vector:

5) Dirección de un vector en el plano: Con respecto al eje “x” es

6) Dirección de un vector en el espacio: Los cosenos directores con respecto a los ejes “x”, “y” y “z” son

respectivamente:

, y respectivamente.

Dados los vectores: y ,

efectúe las siguientes operaciones y trace las graficas. En cada caso calcule el modulo y la dirección del vector resultante.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Dados los vectores: y

, efectúe las siguientes operaciones y trace las graficas. En cada caso calcule el modulo y la dirección del vector resultante.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar (también conocido como producto punto) entre dos vectores dados, siendo estos:

y , teniendo ambos vectores el mismo numero de elementos o componentes, se

representa: , y genera como resultado una magnitud escalar, la cual se obtiene de la siguiente forma:

Si el producto escalar de dos vectores es igual a cero, entonces los vectores se llaman octogonales, perpendiculares o normales.El producto escalar o punto entre vectores es una operación conmutativa.Dados dos vectores y , el ángulo que forman entre ellos esta dado por:

1. Dados los siguientes vectores: a = ( 2, 8, – 1 ), b = ( – 4, 0, 5 ), c = ( 6, 6, – 4 ) y d = ( 12, – 3, – 7 ). Efectúe los siguientes productos escalares:

a) a·b =b) a·c =c) a·d =d) b·c =e) b·d =f) c·d =g) (a + b)·(c + d) =h) (2a – 5c)·(3b – 2d) =

2. Dados los siguientes vectores: e = (1, – 1 ,4,0, – 6 ), f = (5,14, – 3 ,0, – 3), g = (– 4 ,11,– 1 ,20, – 15) y h = (13, – 5 ,8,0, – 9), Efectúe los siguientes productos escalares:

a) e·f =b) e·g =c) e·h =d) f·g =e) f·h =f) g·h =g) (e + f)·(g + h) =h) (4e – 6g)·(8f – h) =

3. Dados los siguientes vectores: j = (X, 8, – 4 , 1), k = (– 6 , 3X, 0, 3), m = (2X, 5, 4, – 3) y n = (4X – 3,0, – 10 ,2),

Escriba los vectores: a) j y k si su producto escalar es 32. b) j y m si su producto escalar es 39. c) j y n si su producto escalar es 15. d) k y m si su producto escalar es -20. e) k y n si su producto escalar es 0. f) m y n si su producto escalar es -8. g) j y k son perpendiculares. h) k y n son perpendiculares..

4. Dados los siguientes vectores: p = (2, – 3), q = (5, 1), r = (– 3 , 2) y s = (1, – 1) Efectúe las siguientes operaciones:

a) p·( q – r ) =b) ( p + q )·q =c) ( p·q )·s =d) s·( p – r + q ) =e) (p + q) ·(r – s) =f) (p – r) ·(q·s) =g) (2p·5s) ·(3q·4r) =h) (4p + 5s)·(6q – 2r) =i) (3p·4q) – (5s·9r) =

5. Dados los siguientes vectores: t = (– 2, 3, 1), u = (1, – 2, 1) y v = (1, – 1, 1) Halle el vector x tal que:

a) 3t – 2x = u – vb) t – 2u = v – 3xc) 4t – 3u = v – xd) (t·u)x = (u·t)ve) 5t – 6x = 8u – 3vf) 9t – 4u = 2v + 5xg) 2t + 5u = 4v + 2xh) (3t·5u)x = 7v(9u·4t)i) 6u – 4x = 6t – 5v j) 8t – 9u + 7v – 4x = 0

k)

6. Dados los siguientes vectores: a = (3,4,), b = (1,– 4), c = (– 2,5), d = (2,8,3), e = (– 6,1,4) y f = (4,– 5,1). Calcule el ángulo formado por:

a) a y bb) a y cc) b y cd) d y ee) d y ff) e y fg) a y dh) b y ei) c y fj) (a + b) y (c + d)k) (2a – 3c) y (4b + d)

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial (también conocido como producto cruz o producto interno) entre dos vectores dados, siendo

expresados estos por las formas: (es decir: ) y (es decir: ),

estando ambos vectores en el mismo espacio vectorial R3, se representa aXb, y genera como resultado una magnitud vectorial. Los subíndices i, j y k indican las componentes del vector con respecto a los ejes X, Y y Z respectivamente.El producto vectorial es una operación no conmutativa, y se efectúa multiplicando cada elemento del primer vector por cada elemento del segundo vector, teniendo en cuenta el siguiente criterio:

Cualquier producto efectuado en otro orden tiene signo contrario.El resultado del producto vectorial entre dos vectores, es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores factores.

1

Dados los vectores:

, y

Efectúe las siguientes operaciones entre ellos. En cada caso trace la grafica correspondiente:a) a X b =b) a X c =c) b X c =d) b X a =e) c X a =f) c X b =g) (a – b) X c =h) (3a – 2c) X 4b =

2

Dados los siguientes vectores:

, y

Efectúe las siguientes operaciones entre ellos. En cada caso trace la grafica correspondiente.a) d X e =b) d X f =c) e X f =d) e X d =e) f X d =f) f X e =g) (d – f) X e =h) (4e – 8d) X 3f =

3

Sean , y . Calcúlense:a) a X b =b) b X a =c) a X c =d) a X (b + c) =e) (2a) X (3b) =f) a·(b X c) =g) (a X b)·(a X c) =h) a·(a X b) =i) a X (a X b) =j) a X (b X c) =k) (a + b) X (a – c) =l) (2a + 5b) X 9c =m) (4a – 3c) X (a·2b) =

4.- MATRICES y DETERMINANTES

Una matriz es una disposición o arreglo de números en forma de renglones (filas) y columnas encerrados entre corchetes.Normalmente se representan con una letra mayúscula; y cada uno de sus elementos con la misma letra pero en minúscula, con los subíndices i y j, mismos que representan el numero de renglón y de columna respectivamente a que pertenece dicho elemento. Se le llama diagonal principal de la matriz, a la línea diagonal integrada por todos los elementos en los que el subíndice i sea igual al subíndice j. El orden de una matriz se representa “mxn”, siendo “m” el número de renglones o filas que posee, y “n” su número de columnas. En base a un sistema de ecuaciones como el siguiente:

Las matrices pueden ser: de coeficientes: o ampliadas:

Algunos tipos de matrices especiales y mas usuales, representadas en matrices de orden 3, son las siguientes:

Matriz nula: Matriz unidad o identidad: Matriz escalar:

Matriz diagonal: Triangular superior: Triangular inferior:

Simétrica: Renglón o fila: Columna: etc.…

Suma

Si y entonces la suma de ambas matrices se hace

sumando algebraicamente los elementos correspondientes de cada matriz:

La principal condición es que ambas matrices deben de ser del mismo orden.

Producto por un escalar

Sea la matriz y el escalar cualquier número real. El producto entre ellos se determina

multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz, de la siguiente forma:

Transposición

Dada la matriz su transpuesta es . Nótese que las filas o renglones se

convierten en columnas y viceversa.

Producto entre

matrices

Dadas las matrices y , el producto entre ambas esta dado por la matriz:

.

Las principales características del producto entre matrices son:1. El número de columnas de la 1ª matriz debe ser igual al número de renglones de la 2ª.2. El orden de la matriz resultante es el número de renglones de la 1ª y el número de columnas de

la 2ª.3. Se multiplica cada renglón de la 1ª matriz por cada columna de la 2ª, como un producto escalar.4. No es una operación conmutativa, ya que .

Matriz InversaPara toda matriz cuadrada existe una matriz inversa representada por , del mismo orden, tal que

el producto de ambas (en cualquier orden de factores) sea igual a la unidad (representada por una matriz unidad, identidad o unitaria).

Inversión de una matriz

Dada una matriz cuadrada , su forma ampliada es: , (nótese que la

forma ampliada es la misma matriz A y a su derecha se escribe una matriz unidad o identidad del mismo orden).El proceso de inversión consiste en trasladar la matriz unidad o identidad al sitio que ocupa la matriz A, y la matriz que ocupe el espacio que antes ocupaba la matriz unidad o identidad es la matriz inversa de A.Para hacer dicho cambio, deben aplicarse las siguientes operaciones:

Donde se requiera que exista un 1, debe dividirse todo el renglón o fila entre el numero que se encuentre en la posición donde se requiere el 1.

Donde se requiere que exista un cero, debe multiplicarse el renglón o fila donde exista un 1 en la posición en que se requiera el cero, por el mismo numero pero con signo contrario que este ubicado en la posición en que se requiera el cero; posteriormente se suman algebraicamente los dos renglones o filas, y el resultado se escribe en la fila o renglón donde se requiere el cero.

Determinante

Es la suma algebraica de todos los productos que se obtienen a partir de los elementos de una matriz cuadrada, combinando en cada producto un número de cada renglón o fila y un número de cada columna.

Es el número resultante que se obtiene de dicha suma para una matriz dada.

Dadas las siguientes matrices:

, , , , ,

, , , , ,

, y

Efectúe las siguientes operaciones:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43) Intente otras operaciones.

5.- ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser: Consistente.- Cuando tiene solución numérica. En este caso puede ser:

- Independiente si tiene solución única.- Dependiente si tiene más de una solución.

Inconsistente.- Cuando no hay solución numérica posible.Se presentan los siguientes casos de sistemas de m ecuaciones lineales con n variables cada una:

m < nCuando es mayor el numero de variables que de ecuaciones, el sistema puede ser consistente dependiente o inconsistente; es decir, puede tener mas de una solución o no tener solución.

m = nCuando el numero de ecuaciones y de variables son iguales, puede ser consistente o inconsistente; es decir, puede tener una solución, mas de una solución o ninguna solución.

m > nCuando el numero de ecuaciones es mayor que el de variables, puede ser consistente o inconsistente; es decir, puede tener una solución, mas de una solución o ninguna solución.

Soluciones básicas

Cuando en un sistema de ecuaciones lineales m < n, si hacemos n – m variables iguales a cero, la solución del sistema de ecuaciones se llama solución básica. El numero de soluciones básicas de un sistema de ecuaciones esta dado por:

Ecuaciones lineales

homogéneas

Si en un sistema de ecuaciones lineales, en cada ecuación el termino libre (que no contiene a ninguna variable) es igual a cero, el sistema se llama homogéneo.Una solución evidente para este caso es que todas las variables valgan cero; si esta es la única solución posible, dicha solución recibe el nombre de solución trivial.Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas siempre es consistente.

Si es consistente independiente, la única solución posible es la trivial. Si es consistente dependiente, el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23)

24) 25)

26) 27)

28) 29)

30) 31) 32)

33) 34) 35)

36) 37) 38)

39) 40) 41)

42) 43) 44)

Halle las soluciones básicas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1) 2) 3)

4) 5)

6)