Algebra
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Álgebra Booleana y
Propiedades
1
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Sea B ={0;1}. Definimos la suma y el producto y
complemento para los elementos de B como
• 0+0 = 0.
• 0+1 = 1+0 = 1+1 = 1.
• 0.0 = 0 = 1.0 = 0.1
• 1.1 = 1
•
•
Una variable x es una variable booleana si x sólo toma
valores de B. en consecuencia x + x = x y x.x = x para
cualquier variable booleana x.
• Si x, y son variables booleanas, entonces
• 1) x+y = 0 si y solo si x = y = 0
• 2) x.y = 1 si y solo si x = y = 1
2
0 1
1 0
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3
LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE
Definición:
Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto B), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b B; a x b y a + b B.
Propiedades del algebra de Boole:
1 Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a B :
• a + 0 = a (elemento neutro)
• a x 1 = a (elemento identidad)
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4
2. Ley de Conmutatividad
Para a y b B :
a + b = b + a
a x b = b x a
3. Ley de Asociatividad
Para a, b y c B :
a + ( b+c ) = ( a + b ) + c
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:
![Page 5: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/5.jpg)
5
4. Ley de Distributividad
Para a, b y c B :
a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c)……..(demostrar)
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)
5. Elemento inverso
Para cada elemento a B existe su elemento inverso tal que :
a a 1
a a 0
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:
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6
Establece que si una expresión es valida en el
álgebra de Boole, entonces su expresión dual
también lo es.
Determinamos la expresión dual remplazando los
operadores “+” por “x” y viceversa y todos los
elemento 0 por 1 y viceversa.
Ejemplo:
a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0
Principio de Dualidad
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7
Teoremas
• Teorema 1: Operaciones con “0” y “1”
• Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”:
• Teorema 3:operaciones superfluas con una variable
a a a
a a a
0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0
A 1 1 A 0 0
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8
Teoremas
• Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de
A es igual a A).
• Teorema 5: teorema de Absorción:
• Teorema 6: teorema de simplificación:
A = A
a a b a
a (a b) a
a a b a b
a (a b) a b
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9
Teoremas
• Teorema 7:
• Teorema 8:
a b a b a
(a b) (a b) a
a b a b c a b a c
(a b) (a b c) (a b) (a c)
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10
Teoremas
• Teorema 9: Teorema de Morgan
• En general:
a b a b
a b a b
a b ... z a b c ... z
a b c ... z a b c ... z
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• Simplifique la siguiente función booleana a un
numero mínimo literal
• A)
• B)
• C)
• D)
• E)
11
x + x.y
x x + y
xyz + xyz + xy
xyz + xyz + xyz + xyz + xyz
xyz + xyz + xyz + xyz
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12
xyz + xyz + xyz + xyz + xyz
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13
xyz + xyz + xyz + xyz
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14
Una compuerta AND recibe entradas a y b, donde a y
b son bits, y produce una salida denotada por a∧b,
donde
COMPUERTA AND
1 si a 1 y b 1a b
0 de otra manera
Una compuerta AND se dibuja como se indica en la
figura 1
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15
COMPUERTA OR
Una compuerta OR recibe entradas a y b, donde a y b
son bits, y produce una salida denotada por a∨b,
donde 1 si a 1 ó b 1
a b0 de otra manera
Una compuerta OR se dibuja como se indica en la
figura 2.
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16
Una compuerta NOT (o inversor) recibe una entrada a,
donde a es un bit, y produce una salida denotada por
, donde a
COMPUERTA NOT
1 si a 0a
0 si a 1
Una compuerta NOT se dibuja como se indica.
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17
Funciones de Conmutación
Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno
representa un 0 o un 1, definiremos:
• Función de conmutación: es una correspondencia que asocia
un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones
de las n variables x1, x2, … , xn.
Ejemplos:
En general una función de conmutación queda definida por una
tabla de verdad.
0000)1,1,0(
),,( 313211321
F
xxxxxxxxxF
n2
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18
Representación de una función de
Conmutación
• Tabla de Verdad:
Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los
colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario
ascendente.
Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b
a b a+b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
a b axb
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
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19
Tabla de Verdad
• Describa una función de conmutación con 3 entradas
a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando
al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1).
a b c f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
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20
cbcbacbacbaf ),,(
1
1
1
0
1
0
0
0
100111
001110
010101
000100
100011
000010
000001
000000
fcbcbacbaabc
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21
Representación de una función de
Conmutación Formas Algebraicas
• Suma de Productos: se construye al sumar (or)
términos productos (and).
Ejemplo:
• Producto de Sumas: se construye con el producto
(and) de términos suma (or).
Ejemplo:
dcadbcbadcbaf ),,,(
)()(),,,( dacbadcbaf
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22
Representación de una función de
Conmutación
• Formas Canónicas:
Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con
características especiales. Existe una única forma canónica
para cada función de conmutación.
Mintérmino: término de una función de conmutación que
corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada
una aparece bien sea complementada o sin complementar.
Ejemplo:
Maxtérmino: término de una función de conmutación que
corresponde al OR de todas las variables, en donde cada
una aparece bien sea complementada o sin complementar.
Ejemplo:
),,( cbaf cbacbacbam ;
),,( cbaf )(),( cbacbaM
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23
Formas Canónicas Suma de Productos
cbacbacbacbaf ),,(
a b c f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
cba
cba
cba
Relación con la tabla de verdad:
Cada mintérmino está asociado con la
línea de la tabla, tal que:
• Las variables no están complementadas
si tienen el valor 1 para la combinación en
la cual la función vale 1.
• Las variables están complementadas si
tienen el valor 0 para la combinación en la
cual la función vale 1.
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24
1100111
0000011
0000101
0000001
0000110
1010010
0000100
1001000
fcbacbacbacba
cbacbacbacbaf ),,(
Formas Canónicas Suma de Productos
![Page 25: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/26.jpg)
• Expresar la operación lógica F; según la tabla:
26
a b c f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
![Page 27: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/27.jpg)
• Expresar la operación lógica F; según la tabla:
27
a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
![Page 28: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/28.jpg)
• Expresar la operación lógica F; según la tabla:
28
a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
![Page 29: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Formas Canónicas Producto de Sumas
)()()(),,( cbacbacbacbaf
a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Relación con la tabla de verdad:
Cada maxtérmino está asociado con
la línea de la tabla, tal que:
• Las variables no están
complementadas si tienen el valor 0
para una combinación en que la
función vale 0
• Las variables están complementadas
si tienen el valor 1 para una
combinación en que la función vale 0
cba
cba
cba
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30
Formas Canónicas Producto de Sumas
)()()(),,( cbacbacbacbaf
1111111
0110011
1111101
1111001
0101110
1111010
1111100
0011000
fcbacbacbacba
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31
Representación de una función de
Conmutación • Especificación decimal:
– Suma de Productos:
– Producto de Sumas:
)7,5,3,1(),,(
),,(
)()()()(),,(
7531
Mcbaf
MMMMcbaf
cbacbacbacbacbaf
)7,6,3,1(),,(
),,(
),,(
7631
mcbaf
mmmmcbaf
cbacbacbacbacbaf
![Page 32: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Relación Mintérminos - Maxtérminos
)5,4,1,0()7,6,3,2(),,( Mmcbaf
mM
Mm
ii
ii
![Page 33: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Deducción de Formas Canónicas
• Teorema de expansión de Shannon:
• Ejemplo:
Si falta se multiplica por la suma es igual a 1
3213221321 ),,( xxxxxxxxxxf
),...,,1(),...,,0(),...,,(
),...,,0(),...,,1(),...,,(
212121
212121
nnn
nnn
xxfxxxfxxxxf
xxfxxxfxxxxf
ix )( ii xx )( ii xx
)7,2,6,4,5(),,(
),,(
)()(),,(
321
321321321321321321
32111323321321
xxxf
xxxxxxxxxxxxxxxxxxF
xxxxxxxxxxxxxxF
![Page 34: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Convertir a Suma de Productos Canónica
)7,6,4,3,1(
)()(
)0,,()1,,(
)()(
),0,(),1,(
)(
),,0(),,1(
),,(
m
cbacbacbacbacba
babacbababac
bacbafc
cbacbacbaba
cacabcaab
cabcafb
cacba
cbfacbfa
cacabacbaf a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
![Page 35: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Convertir a Suma de Productos Canónica
)7,6,4,3,1(),,(
),,(
13
46
67
mcbaf
mmcbacbaca
mmcbacbaca
mmcbacbaba
cacabacbaf
ababa
![Page 36: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Convertir a Producto de Sumas Canónica
)3,2,1,0(
)()())(()()(
)()()()(
))()(())()((
)()(
)(),,(
M
cbacbacbacbacbacba
cbacbaccbaccba
cbabaccbaba
cbbaccbba
caacbaf
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37
xy x y z y
![Page 38: Algebra](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022051821/563db93e550346aa9a9b6df4/html5/thumbnails/38.jpg)
38
x y x y z