LGEBRA.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 01 CUARTO GRADO

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Mes: Abril 2013

15Lideres en Educacin4to Grado de Secundaria

NMEROS COMPLEJOS II

Nmeros Complejos

Sea: z = a + bi

Entonces:

1. Mdulo de un Complejo.Ejemplo:Sea: z = 3 + 2iEntonces: Sea: z1 = 5 + 3iEntonces: Propiedades del Mdulo.

Sea z; z1: z2 nmeros complejos.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

2. Operaciones con Complejos.

Divisin: Para dividir dos nmeros complejos se multiplica por la conjugada del divisor al dividendo y divisor.

Ejemplo:

Sea: z1 = a + bi ^ c + diEntonces: Potenciacin: Para elevar un nmero complejo en la forma binomial se efecta por productos notables.

Ejm:

TALLER N 01

1.Determinar el mdulo:z = 6 + 8i

2.Determinar el mdulo:z = (3 + 4i) (1 + i)

3.Resolver:(1 + 3i)2 =

(2 - 4i)2 =

4.Resolver:

5.Calcular:

6.Sea: z = 2 + iHallar:

7.Determinar el mdulo:

8.Calcular "n"

[ (1 + i)4 + (1 - i)4 ]n = 64

9.Hallar "n", para que al dividir: el resultado sea un imaginario puro.

10. Hallar "a", para que al dividir: ; sea un nmero real.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.Si: Adems: i2 = 1Calcular: a) 3ib) 1c)-1d) 3ie) 3

2.Si z y v son nmeros complejos.Calcular: a) 3b)1 c) 1d) 3e) 0

3. Sean: z1; z2 C reducir:

a) 1b) 1/2 c) 2d) 3e)1/3

4.Calcular:

a) 1b) ic) d)e)i + 1

5.Efectuar:

a) 1b) 2c) 3d) e) i6.Siendo "z" un nmero complejo, calcular:

M = 1 + z 2 - 1 - z 2

Si: Re(z) = 7a)25b)26c)27d)28e)29

7.Efectuar:

a) 1b) ic) 2id) 2ie) 0

8.Sabiendo que: z1 y z2 representan un nmero real puro e imaginario puro respectivamente.Hallar el valor de: R = a - b; ab 0Donde: ab IR

a) 30b) 3c)60 d) 10e) 24

9.Si el complejo: Es un imaginario puro; entonces:

a)a = 1 b)b = 1 c)a = 1 d)a = 0 e)b = 0 a = 0

10.El valor de la expresin: es:a) 1b) c) 1d) e) 1 + i

1.Si "k" es un entero no negativo, calcular:

a)- ikb)- 1c)(-1)kid)(-1)k+1ie)2i

2.Calcular:

a)- 1b)1c)1/2d)- 1/2e)

TAREA DOMICILIARIA N 01

1. Determinar el mdulo de: Z = (2 + 3i)(4 + i) 10i

a) b)c)d)41e)50

2. Sea: z = 3 + 2i ^ w = 1 + i

Hallar: z2 + w3 3

a) 3ib)6i c)14i d)9i e)15i

3. Sea: z1 = 2 + 3i ^ z2 = 4 iDeterminar: 17

a)5 14ib)5 + 14i c)5 + 14i d)5 14i e) 14i

4. Sea: Determinar: a) 5/3b) 4/3 c) 1 d)2/3 e) 1/3

5. Determinar el valor de "m", si el complejo:a)10b)10/3c)5/3d)1/3e)2/3

6. Hallar el valor de "a", si el complejo:

a)6b)-2c)-1d)e)2

7.Calcular el valor de:

a)1 + ib)1 ic)1 id)1 + ie)a c

8.Halle el modulo del complejo z, si al dividirlo entre3 2i y al cociente sumarle 4 se obtuvo 5 + 3i.

a)b)c)d)e)

9. Determinar el mdulo de:

a) 10b) 40c) 20d) 60e) 80

10. Sea: z = 3 + 2iHallar: a) 120ib)10i c)120 d) 120e)100

11. Si i es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operacin: 2(1 + i)16 (1 i)16; se obtiene:a)0b)1c)256d)512e)256

12.Hallar el mdulo de:

a) 29b)c)d) e)

13.Determinar el nmero de valores de "2m" para los cuales: G = (m + i)4 IR.Siendo: a) 1b) 2c) 3d) 4e) Infinito

14. Para que valor de "a" real no nulo, positivo z = (a + i)3 resulta un imaginario puro.

a)9b)3c)d)e)27

15.Hallar "z" si cumple:

a)3 4ib)4 3ic)d)e)

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 02 CUARTO GRADO

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FRMULA GENERAL)

Ecuaciones de Segundo Grado

Son aquellas ecuaciones de la forma:

ax2 + bx + c = 0; a 0Donde:

a Coeficiente del Trmino cuadrtico.b Coeficiente del Trmino lineal.c Trmino independiente.Presentando una solucin general que es:

Donde: b2 - 4ac = se denomina: Discriminante

Luego las races son:

Demostracin: Sea la ecuacin cuadrtica.ax2 + bx + c = 0; a 0

Dividimos entre a:

Formamos trinomio cuadrado perfecto sumando: A ambos miembros de la ecuacin

Sacamos raz cuadrada y despejamos el valor de x:

Ejemplo:

1)Resolver: 3x2 + 5x + 1 = 0

Resolucin: Comparando: a = 3, b = 5, c = 1

Luego reemplazando en la solucin general:Las races son:

2)Resolver: 4x2 - 9x + 5 = 0Resolucin: Comparando: a = 4, b = 9, c = 5

Luego reemplazando en la solucin general:

Las races son:

Problema: El producto de tres nmeros enteros consecutivos (no nulos) es 63 veces el intermedio. Hallar el mayor de ellos.Resolucin:

Sea: (x - 1); x ; (x + 1) tres nmeros consecutivos, debemos hallar "x + 1" (piden el mayor)

Del enunciado:

Si: x = 8 el mayor ser x + 1 = 7Si: x = 8 el mayor ser x + 1 = 9

TALLER N 02

1.Resolver:x2 - 4x + 1 = 0

2.Resolver:x2 = 2x + 7

3.Resolver:(x + 1)2 + (x - 2)2 = 6

4.Calcular el discriminante:x2 = 7x - 9

5.Calcular "m", si el discriminante de la ecuacin:

x2 + 5x + m = 2 es igual a 9

6.Resolver:

7.Resolver:(x + 2) (x + 3) = 4

8.Resolver:(x + 2)3 + 4 = x3 + 8

9.Resolver:2x - 13 =

10.Resolver: x2 + x + 1 = 0

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar los catetos de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa tiene 10cm, sabiendo que uno de dichos catetos es igual a la semisuma de la hipotenusa y el otro cateto.

a) 5 y 12b) 6 y 8c) 12 y 18d) 10 y 24e) 18 y 24

2.Un terreno cuadrado se vende en dos lotes, el primero es un rectngulo, uno de los lados mide 30m y el otro 3/5 del lado del cuadrado, el segundo lote se vende en S/. 12400 a razn de S/. 2,50 el m2. Calcular el lado del cuadrado.

a) 70b) 80c) 60d) 65e) 453.Al resolver: x2 + x - 1 = 0Se obtiene como races a x1x2 (x1 > x2) y al resolver: 2x2 - 2x - 5 = 0, se obtiene como races a: x3x4 (x3 > x4)Entonces ordenar las races de menor a mayor.

a)x1; x3; x2; x4b)x1; x2; x3; x4c)x2; x4; x1; x3d)x2; x1; x4; x3e)Ninguna es correcta.

4.El cuadrado de la suma de las dos cifras que componen un nmero es igual a 121. Si a este cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra de las decenas y el doble del producto de las dos cifras, se obtiene 81. Cul es el nmero?

a) 83b) 74c) 92d) 29e) 82

5. La diferencia de dos nmeros es a su producto como 1 es a 24. La suma de estos nmeros es a su diferencia como 5 es a 1. Hallar los nmeros.

a)2 y 24/23b)24 y 18c)12 y 8d)9 y 6e)33 y 6

6.El largo de un rectngulo excede al ancho en 12m. Si cada dimensin se aumenta en 3m su superficie es igual a 133m2. Cul es el rea inicial de la regin rectangular?

a) 60 m2b) 50c) 65d) 64e) 70

7.Resolver:

a) -9/2b) 2/9c) 1/3d)No tiene solucin.8.Dada la ecuacin:

Donde m es una solucin.

Hallar: m4

a) 1b) 2c) -4d) 4e) -2

9.Resolver y dar una solucin:

a) 9/4b)81/4 c)2500d) 5184e) 9/2

5. Resolver la ecuacin: x2 - (2+i)x + 2i = 0, e indicar una de sus races

a)ib)1 + 2ic)i + 2d)-1 + 2ie)-3 - i

10.Dada la ecuacin:

(a + b)x2 (a2 b2)x + (a b) = 0Sabiendo que el discriminante es: a2 b2.Hallar: a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

11.Si "x" es un nmero complejo, la parte imaginaria de una de las soluciones de:

a) b) -1c) d) e)

TAREA DOMICILIARIA N 02

1.Resolver:x2 x 3 = 0

e indicar el valor de la mayor raz.

2.Resolver:x2 5x + 5 = 3

e indicar el simtrico de la menor raz.

3.Hallar ab si al resolver:

2 4x + x2 = 0La menor raz adopta la forma:

4.Resolver:3x2 - 5x + 1 = 0

e indicar el inverso multiplicativo de la menor raz.

5.Resolver:

Indicar la menor raz.

6.Resolver:

e indicar el recproco de la mayor raz

7.Resolver:2(x + 1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) = 2

e indicar la mayor solucin

8.Resolver:100x2 400x + 91 = 9

e indicar el valor de la menor raz.

9.Resolver:mx2 nx p = 0

e indicar la menor raz, siendo "m", "n" y "p" los 3 primeros nmeros primos respectivamente.

10.Resolver:(2x 3)2 + 5(x 1) = 3(x2 1)

e indicar el mayor valor que adopta la incgnita.

11.Resolver: 200x2 300x + 101 = 201

e indicar el doble de la suma de la mayor raz con el simtrico de la menor raz

12.Resolver:

13. Hallar el valor de "x" en:

14.Indicar una raz de la ecuacin:

abcx2 abc a2x = xb2c2 2abc

Siendo: abc 0

15. Resolver: (p - 2)x2 - px + 1 = 0Siendo: ( p * (p * ( p * (p + 1)))) = 17De acuerdo a la operacin arbitraria definida por:a * b = a + b, indicar el inverso aditivo de la menorraz.

16.Resolver:

17.Hallar el menor valor que asume un nmero cuyo cuadrado disminuido en 63 es igual a su doble.

18.Un nmero excede a otro en 6, adems el producto de ambos es 135. Indicar el mnimo valor que adopta la suma de dichos nmeros.

19.El doble del cuadrado de un nmero entero, aumentado en 7, es igual al quntuplo del exceso de 2 sobre dicho nmero. Cul es el nmero?

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 03 CUARTO GRADO

PROPIEDADES DE LAS RAICES

Propiedades de Segundo Grado

Dada la ecuacin:

ax2 + bx + c = ; a

Sabemos que sus races son:

Sumndolas: se anulara quedando:

Multiplicndolas: en el numerador tendramos una diferencia de cuadrados.

Estamos demostrando dos propiedades que nos permiten calcular la suma y el producto de races de la ecuacin, sin necesidad de resolverla.

Suma de races:

Producto de races:

Observacin:

1. Races Simtricas: Llamamos as a las races cuya suma es cero.

2. Races Recprocas: Llamamos as a las races cuyo producto es la unidad.

Ejemplos:

1) Determinar la suma de los valores de k que hacen que la suma de las races de la ecuacin:

x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0 Sea igual al producto de las mismas.

Resolucin: Dando forma a la ecuacin:1x2 + (k + 2)x + (4 k2) = 0

Dato:

Factorizando por aspa simple tenemos:

2)Determinar el valor de p en la ecuacinx2 6x + 4 + p = sabiendo que la diferencia de sus races es 2.

Resolucin: Para hallar o usar la diferencia de races, recordemos una de las identidades de Legendre: Para nuestro caso: (x1 + x2)2 (x1 x2)2 = 4x1x2Luego: Entonces:

3)Hallar el valor de m para que las races de la ecuacin:

Resolucin: efectuando:

(m + 1)x2 + 3(m + 1)x = 5(m 1)x + 2(m 1)

Reduciendo trminos semejantes.

(m + 1)x2 + (8 - 2m)x 2(m 1) = 0

Como las races son simtricas:

Reconstruccin de una ecuacin de 2do grado conociendo sus races:

Dadas las races "x1" ^ "x2", la ecuacin que posea stas races ser:

Ejemplos:

1.Formar la ecuacin de 2do grado que tenga por races 3/2 y 4.

Resolucin: Sean: x1 = 3/2; x2 = 4

Tendremos que: x1 + x2 = 5/2; x1x2 = 6

La ecuacin ser:

Para que los coeficientes sean enteros multiplico por 2.2x2 - 5x - 12 = 0

2.Formar la ecuacin de 2do grado con coeficientes enteros, si una de sus races es .

Resolucin:

1er Mtodo: como una raz es irracional la otra raz ser: de donde:

La ecuacin ser: x2 6x + 7 = 0

2do Mtodo: buscando que eliminar la . Tenemos:

Elevando al cuadrado:

3.Formar la ecuacin de 2do grado con coeficientesreales, si una de sus races es 2 + 5i.

Resolucin: lo haremos con el 2do mtodo:

Elevando al cuadrado:

TALLER N 03

1.Si: "x1" y "x2" son races de la ecuacin:2x2 - 5x + 9 = 0Calcular: x1 + x2 + x1 . x2

2.Determinar "k" para que la suma de races:(k - 4)x2 - (k - 3)x + 7k2 = 0 ; sea 2

3.Determinar "a" para que el producto de races:(a - 5)x2 + (2a - 3)x + a + 7 = 0 ; sea 4

4.Hallar "a", si:3x2 - (15a - 45)x + 7 = 0posee races simtricas.

5.Hallar "a", si:(a - 4)x2 - (2a - 5)x + 2a - 1 = 0posee races recprocas

6.Si "x1" y "x2" races de la ecuacin:2x (x - 3) = 7Obtener:

7.Si "x1" y "x2" races de la ecuacin:x2 + 2x = 5Calcular: x1 - x2

8.Formar la ecuacin:x1 = - 3 ; x2 = - 7

9.Formar la ecuacin de segundo grado con coeficientes enteros, si una de sus races es: 4 -

10.Formar la ecuacin de segundo grado con coeficientes reales, si una de sus races es: 2 + 3i

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.Sean a y b las races de x2 + 2006x + 1996 = 0.Calcular: M = a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b + 1)a) 90b) 95c) 100d) 110e) 120

2.Siendo "a" ^ "b" races de la ecuacin: x2 + 1 = 5x. Formar la ecuacin cuadrtica que tenga como conjunto solucin: a)x2 + 3x + 5 = 0b)x2 + 5x + 3 = 0c)x2 6x + 1 = 0d)x2 10x + 4 = 0e)x2 + 10x 4 = 0

3.Formar la ecuacin de segundo grado en x cuyas races sean los cuadrados de las races de:

a)x2 + 16 = 0b)x2 2x + 16 = 0c)x2 x + 2 = 0d)x2 2x + 4 = 0e)2x2 + x + 1 = 0

4. En cunto hay que disminuir las races de la ecuacin: para que sean races simtricas?

a)(a + b)-1b)(b - a)-1c)(a - b)-1d)a + be)1

5.Al sumar los cuadrados de los n primeros nmeros enteros positivos se obtuvo como suma once veces la cantidad de sumandos considerados. Hallar el valor de n.a)3b)17c)5d)14e)16

6. Las races de la ecuacin en "x": Son "a" y "b". Indicar el valor de: m(1 - m); si: a + b = ab.

a) 0b) 1c) -1d) -2e) 2

7.Dado: x2 + 3x + 1= 0; cuyas races son "x1", "x2"Hallar: a)32b)43c)51d)83e)123

8.Si: "x1" ^ "x2" son las races de la ecuacin: ax2 bx + c = 0; Calcular: A = (ax1 b)(ax2 b)

a) b/ab)acc) c/ad)a/c e)-a/c 9.Si las ecuaciones:x2 + px + q = 0.........(1)x2 + ax + b = 0 ... ....(2)

Admiten una raz comn. La ecuacin de segundo grado cuya raz doble es la raz comn de las 2 ecuaciones anteriores es:a)(a p)2x2 + 2(a p)(b q)x + (b q)2 = 0b)(a p)2x2 2(a p)(b q)x + (b q)2 = 0c)(a b)2x2 2(a p)(b q)x + (b q)2 = 0d)(a b)2x2 + 2(a p)(b q)x + (b q)2 = 0e)(a + b)2x2 2(a + b)(b q)x + (b + q)2 = 0

10. Sean "a", "b" y "c" nmeros reales, tales que las ecuaciones: x2 + ax + 1 = 0 x2 + bx + c = 0 poseen exactamente una raz real comn y las ecuaciones:

x2 + x + a = 0 x2 + cx + b = 0

Tambin poseen exactamente una raz real comn.

Determinar: a - b - c

a) 1b) 2c) 3d) 1e) 2

11.Se tienen las ecuaciones:x2 - 7x + 12 = 0 x2 - 3x + q = 0

Determinar "q", de tal manera que estas dos ecuaciones tengan una raz comn.

a)4b)5c)6d)0e)8

12.Sean las ecuaciones:ax2 + bx + c = 0 a'x2 + b'x + c' = 0Indicar la relacin correcta entre los coeficientes para que estas tengan exactamente una raz comn.

a)(ac' - ca')2 = (ab' - ba') (bc' - cb')b)(ac' - cb')2 = (ab' - bc') (ac' - bc)c)(ac)2 - (bc)2 = a'c'b'd)a' + b' + c' = a + b + ce)a' + b + c' = a + b' + c

TAREA DOMICILIARIA N 03

1.Calcular m, si las races de la ecuacin dada son iguales:

mx2 + (2m 6) x + (m 5) = 0

2.Calcular m, si las races de:

(m 3)x2 + mx + 3 = 0Son iguales.

3.Si las races de:(5m 1)x2 + (m 7)x + (2m 6) = 0

Son iguales pero de signos contrarios, hallar el valor de "m".

4.La ecuacin: (2m 8)x2 + 3(m + 4)x + (m 7) = 0

Tiene races simtricas, calcular "m"

5.Determinar m, si las races de:

(m 1)x2 + (3m 4)x + (2m 10) = 0

Son recprocas.

6.Si las races de la ecuacin dada son inversas multiplicativas, halle "m".

3(m 4)x2 - (5m + 8)x + (58 2m) = 0

7.Hallar k, si la suma de races de:

(k 1)x2 8kx + 4 = 0 es 10

8.Hallar k, si el producto de races de:

3x2 5x + 2k 7 = 0 es 5

9.Calcular m, si la diferencia de races de:

2x2 + 3x m = 0 es 4,5

10.Hallar m, si la diferencia de races de:

3x2 8x + m = 0 es 2/3

11.Si "x1" y "x2" son races de:mx2 + 8(m 1)x 2m = 0

Adems: . 12.La suma de inversas de las races de:(k 1)x2 (2k 8)x + (k + 6) = 0 es 3

Hallar el valor de k.

13.Sean "x1" y "x2" las races de:

3x2 + 7x + 2k = 0

Hallar k, si: (x1 + 3)(x2 + 3) = 0

14. Sea "x1" y "x2" races de:

x2 3mx + 2m = 7

Si: (x1 + 2)(x2 + 2) = 45

Calcular "m".

15. Sean "R" y "S" races de:

2x2 + (m 7)x + m = 8Si: Calcular "m"

16.Sean "x1" y "x2" races de:x2 + 5x + p =3

Si: Calcular "p".

17.Hallar "m", si la suma de cuadrados de las races de:

x2 7x + m = 0 es 33

18.Si la suma de cuadrados de las races de la ecuacin dada es -17, hallar "m".

x2 + 5x + m = 1