UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y APLICADAS

CARRERA DE INGENIERIA ELECTROMECÁNICA

Tema: Algebra Booleana.

Objetivo General:

Conocer conceptos fundamentales sobre el álgebra Booleana, sus métodos y los complementos que son utilizados en el área de sistemas digitales realizando una tarea de investigación para comprender de mejor manera la materia que se imparte en las aulas de clase.

Objetivos Específicos:

Describir los elementos que contiene el algebra Booleana, como son los teoremas, postulados y propiedades para resolver los problemas sin dificultad.

Considerar todos estos elementos para evitar errores en la ejecución de ejercicios prácticos o proyectos.

Resumir todos los datos e información establecida en este trabajo para poder aprenderlos de mejor manera.

Abstract

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño

de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que

comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Estas funciones,

en la etapa de diseño del hardware, son interpretadas como funciones de Boole.

También es llamada retícula booleana, y es una estructura algebraica que esquematiza  las operaciones  lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como

el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Desarrollo:

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

POSTULADOS

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con

respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Utilizaremos además los siguientes postulados:

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT

P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT

P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.

P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).

P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

TEOREMAS

Teorema 1: A + A = A

Teorema 2: A · A = A

Teorema 3: A + 0 = A

Teorema 4: A · 1 = A

Teorema 5: A · 0 = 0

Teorema 6: A + 1 = 1

Teorema 7: (A + B)' = A' · B'

Teorema 8: (A · B)' = A' + B'

Teorema 9: A + A · B = A

Teorema 10: A · (A + B) = A

Teorema 11: A + A'B = A + B

Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'

Teorema 13: AB + AB' = A

Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'

Teorema 15: A + A' = 1

Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.

PROPIEDADES

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x

Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx

Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)

Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)

Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz 

Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x

Identidad respecto a la segunda función: x1 = x

Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1

Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades Del Álgebra De Boole

Idempotente respecto a la primera función: x + x = xIdempotente respecto a la segunda función: xx = xMaximalidad del 1: x + 1 = 1Minimalidad del 0: x0 = 0Involución: x'' = xInmersión respecto a la primera función: x + (xy) = xInmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = xLey de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

DE BOOLE A LA ELECTRONICA DIGITAL

Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y desafío de su funcionamiento es el Algebra de Boole en su forma bivalente, aunque fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que C.E. Shanon publicó su obra Análisis simbólico de circuitos con relés, estableciendo los primeros conceptos de

la actual teoría de la computación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Algebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez y eficacia.

CIRCUITOS COMBINACIONALES

Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT),

algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleana diferente.

Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada.

Conclusiones:

Los teoremas del algebra de Boole son demostrables, a diferencia de los del algebra convencional, por el método de inducción completa. La inducción completa solo puede darse si se comprueba que la relación entre los elementos que el teorema define se cumple en todos los casos. Para realizar esto, se utilizan las tablas de verdad.

Los postulados y teoremas del algebra han sido listados a pares, parte (a) y parte (b). Una parte puede obtenerse a partir de la otra mediante el intercambio de los elementos unitarios (0 y 1) y los operadores binarios (CI y M). Esto se conoce como el Principio de dualidad, gracias al cual cualquier apartado de los postulados puede obtenerse a partir del otro sin más que intercambiar los operadores binarios y los elementos unitarios.

Recomendaciones:

Se recomienda dictar las clases con más tranquilidad, ya que así se lograría un mejor aprendizaje y mejor entendimiento de la clase dictada.

Bibliografía:

http://zip.rincondelvago.com/algebra-de-boole-y-puertas-logicas http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole