Algebra borel.

Capıtulo 20

Conjuntos de Borel

Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contienea todos los abiertos de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamosformar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a comple-mentarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntosconstituiran la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiaren este capıtulo. Veremos que la relacion entre estos conjuntos y los con-juntos medibles es mucho mas estrecha que la de una simple relacion decontenido.

σ-Algebras

En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referidoanteriormente, el de σ-algebra.

Definicion 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos deX diremos que forman una σ-algebra si satisface las condiciones siguientes:

1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A .

2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entoncesBc ∈ A .

3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k =1, . . . entonces ∪Bk ∈ A .

Procediendo como para la σ-algebra M , se deduce que si A es una σ-algebraentonces A es cerrada tambien respecto a las intersecciones numerables yrespecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar

197

198 Conjuntos de Borel 20.1

que cualquier interseccion de σ-algebras es tambien una σ-algebra. Estopermite dar la siguiente definicion.

Definicion 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X,llamaremos σ-algebra generada por F, a la menor σ-algebra que contiene aF. Denotaremos a veces a esta σ-algebra por σ(F).

Es claro que σ(F) esta siempre bien definida. De hecho, σ(F) es la intersec-cion de todas la σ-algebras que contienen a F. (Notese que al menos hayuna σ-algebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntosde X).

La σ-algebra de Borel

Si X es un espacio topologico, a la σ-algebra generada por los abiertos de Xse le denomina σ-algebra de Borel. Sabemos que en Rn la σ-algebra de Borel,B, esta contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contenciones estricta) y a ella pertenecen ademas de los abiertos, los cerrados, losconjuntos Fσ y los Gδ ası como los semintervalos etc. Ha sido precisamentela familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definirla medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuacion, que estatambien puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, comola de los abiertos, la de los Gδ, compactos etc.

Proposicion 20.3 Para cada conjunto A ⊂ Rn se tiene:

(a) m∗(A) = inf{m(U) : U abierto ⊂ A}.(b) Existe un conjunto Gδ, G, que contiene a A y tal que m(G) = m∗(A).

Demostracion. (a) Por la monotonıa de la medida exterior, m∗(A) es menoro igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego solo harafalta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan proximaa la de A como se desee. Sea ε > 0 y (Ij) una coleccion numerable desemintervalos tales que

A ⊂ ∪ Ij ,∑

m(Ij) ≤ m∗(A) + ε.

Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que

Ij ⊂o

Kj , m(Kj) ≤ m(Ij) +ε

2j.

20.4 Conjuntos de Borel 199

Obviamente A esta contenido en el abierto U = ∪o

Kj y

m(U) ≤∑

m(Kj) ≤∑

m(Ij) + ε ≤ m∗(A) + 2ε.

(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk ⊃ A tal que m(Uk) ≤m∗(A) + 1/k, entonces la medida del conjunto Gδ, G = ∩Uk ⊃ A, coincidecon la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa queel conjunto G \ A sea de medida nula. De hecho, esto ultimo solo va sercierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver enel siguiente teorema).

Teorema 20.4 Para un conjuto B de Rn, las condiciones siguientes sonequivalentes

(i) B es medible.

(ii) Para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗(U \B) < ε.

(iii) Para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗(B \ F ) < ε.

(iv) Existe un conjunto Gδ, G ⊃ B, tal que m∗(G \B) = 0.

(v) Existe un conjunto Fσ, H ⊂ B, tal que m∗(B \H) = 0.

Demostracion. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es unconjunto abierto que contiene a B con m(U) < m(B) + ε, entonces

m(U \B) = m(U)−m(B) < ε.

Si, por el contrario, m(B) = ∞, sea {Ck} una particion numerable de Rn

por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamandoBk = B ∩Ck y considerando un abierto Uk ⊃ Bk con m(Uk \Bk) < ε/2k, setiene

U = ∪Uk ⊃ B y m(U \B) ≤ m(∪(Uk \Bk)) ≤∑

m(Uk \Bk) < ε.

Esto demuestra que i) implica ii).ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto Up ⊃ B tal que

m∗(Up \B) < ε/p.

Entonces el conjunto G = ∩Up satisface la condicion iv), pues

m∗(G \B) ≤ m∗(Up \B) < 1/p, ∀p ⇒ m∗(G \B) = 0.


iv) implica i) En efecto, escribamos B = G \ Z con Z = G \ B. Enton-ces, por la condicion iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible.Resulta ası que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es,por tanto, tambien un conjunto medible.

Para probar que la condicion ii) es tambien equivalente a las ya vistas,procedemos ası: B es medible si y solo si Bc es medible si y solo si paracada ε > 0 existe un abierto U ⊃ Bc tal que m∗(U \Bc) < ε. Como

U \Bc = B \ U c,

denotando por F al cerrado U c, se deduce de lo anterior que B es mediblesi y solo si para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗(B \F ) < ε.

De forma analoga se demuestra que la condicion v) es tambien equiva-lente a las otras.

Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y solo si es de la forma L =B ∪Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel Nde medida nula.

Demostracion. El teorema anterior establece que L es medible si y solo siexisten dos conjuntos H,G (Fσ y Gδ respectivamente), tales que

H ⊂ L ⊂ G y m(G \ L) = m(L \H) = 0.

Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L \ H y N =B2 \B1.

Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados apartir de los conjuntos de la σ-algebra de Borel. Este hecho suele expresarsediciendo que la σ-algebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la com-plecion respecto a la medida de Lebesgue de la σ-algebra B de los conjuntosBorel.

Transformaciones de medibles

En esta seccion vamos a considerar un tipo particular de transformacionesde Rn que mantiene el caracter medible de los conjuntos, dentro del quese encuentran las aplicaciones de clase C1. Nosotros usaremos este hechoposteriormente en el Capıtulo 27, dedicado al cambio de variables en laintegral. Debemos senalar que el caracter medible no es una propiedadtopologica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio20C).


Lema 20.6 Sea T : U ⊂ Rn → Rn una aplicacion lipschitziana, de cons-tante k respecto de la norma ‖ · ‖∞. Entonces,

(a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m∗(T (Q)) ≤ kn m(Q).

(b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula.

Demostracion. (a) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Puesto que T eslipschitziana,

‖T (u)− T (u0)‖∞ ≤ k‖u− u0‖∞ ≤ k l/2 , ∀u ∈ Q

lo que nos indica que T (Q) esta contenido en un cubo centrado en T (u0) yde lado k l. Por tanto

m∗(T (Q)) ≤ (k l)n = kn m(Q)

(b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que

Z ⊂ V ; m(V ) < ε

Escribamos V = ∪Ck, como union numerable de semicubos disjuntos. En-tonces

m∗(T (Z)) ≤ m∗(T (V )) ≤∑

m∗(T (Ck))

≤∑

knm(Ck) = knm(V ) < knε.

Del caracter arbitrario de ε se deduce ya que m∗(T (Z)) = 0.

Proposicion 20.7 Si T : U ⊂ Rn → Rn una aplicacion localmente lipschit-ziana en el abierto U , entonces la imagen por T de cada conjunto mediblees medible.

Demostracion. Sea B ⊂ U un conjunto medible. Por tanto B = H∪Z dondeH es un Fσ y Z un conjunto de medida nula. Es facil comprobar que H puedeescribirse como union numerable de conjuntos compactos y por tanto T (H)(debido a la continuidad de T ) es tambien un conjunto Fσ. Para que T (B)sea medible solo habra que ver que T (Z) es un conjunto de medida cero. Enefecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida enU , donde T sea una aplicacion lipschitziana. Entonces, teniendo en cuentaque cada subconjunto de Rn tiene la propiedad de Lindelof, podemos escribir

U =∞∪i=1

B(ui, ri).


Si denotamos entonces por Zi = Z ∩ B(ui, ri), para que el conjunto T (Z)sea de medida nula bastara con que cada uno de los conjuntos T (Zi) losea. Pero esto ultimo es consecuencia directa del lema anterior, ya que T eslipschitziana sobre B(ui, ri).

Corolario 20.8 Toda transformacion de Rn que sea lineal o de clase C1

lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles.

Demostracion. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas.

Otras propiedades de m∗

Vamos a considerar en esta seccion dos nuevas propiedades de la medidaexterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al pasoal lımite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles)y tambien respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos.Ambas propiedades las usaremos en el capıtulo siguiente para obtener elteorema caracterizacion de las funciones medibles.

Proposicion 20.9 Si A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., es una sucesion no decreciente deconjuntos entonces

m∗(∪Ak) = limk→∞

m∗(Ak)

Demostracion. Sean Gk, k = 1, . . ., conjuntos Gδ tales que Gk ⊃ Ak ym(Gk) = m∗(Ak). Si la sucesion {Gk} fuese tambien creciente, se tratarıade aplicar el resultado, ya probado, de identica formulacion que el que busca-mos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamosa construir la sucesion

B1 =∞∩

j=1Gj , B2 =

∞∩j=2

Gj , . . . ,

Los conjuntos {Bk} son tambien medibles y constituyen una sucesion cre-ciente. Ademas

Bk ⊃ Ak y m∗(Ak) ≤ m(Bk) ≤ m(Gk) = m∗(Ak),

luego

m∗(∪Ak) ≤ m(∪Bk) = limk→∞

m(Bk) = limk→∞

m∗(Ak) ≤ m∗(∪Ak).


Vamos a obtener ahora un caso particular de la formula m∗(A × B) =m∗(A) ·m∗(B), concretamente aquel en que B es un intervalo. Ver [24] parauna demostracion en el caso general.

Proposicion 20.10 Para todo conjunto A de Rn y para todo semintervaloJ de Rp se tiene que m∗(A× J) = m∗(A) ·m(J).

Demostracion. Vamos a considerar varias etapas:

(1) Es inmediato que la formula se verifica si A es un semintervalo o unconjunto abierto.

(2) Si A,B son dos conjuntos de medida finita, entonces

m∗(A×B) ≤ m∗(A) ·m∗(B).

Para cada ε > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables desemintervalos {Ik}, {Js} tales que

A ⊂ ∪ Ik, B ⊂ ∪ Js y∑

m(Ik) ≤ m∗(A) + ε,∑

m(Js) ≤ m∗(B) + ε

resulta entonces que A×B ⊂ ⋃Ik × Js y

∑

k,s

m(Ik × Js) =∑

k,s

m(Ik) ·m(Js) =∑

k

m(Ik)(∑

s

m(Js)) ≤

∑

k

m(Ik)(m∗(B) + ε) ≤ (m∗(A) + ε) · (m∗(B) + ε) =

m∗(A) ·m∗(B) + εm∗(A) + εm∗(B) + ε2.

Puesto que ε es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita , de lo anteriorse deduce finalmente que m∗(A×B) ≤ m∗(A) ·m∗(B).

(3) Si m∗(A) = 0, entonces m∗(A×B) = 0 cualquiera que sea el conjunto B.

Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto Bes de medida finita. En el caso de que m∗(B) = ∞, descomponiendo elconjunto B como union numerable de conjuntos Bp de medida finita, setendrıa

A×B = ∪A×Bp

es decir A×B es una union numerable de conjuntos de medida nula, luegoel tambien es de medida nula.


Nota. Para que la desigualdad m∗(A × B) ≤ m∗(A) ·m∗(B) tenga validezen todo caso, solo habrıa que convenir en tomar en este contexto 0 · ∞ = 0y α · ∞ = ∞ si α 6= 0.

Lema 20.11 Si A × K ⊂ U , donde K es un compacto y U un abierto,entonces existe un abierto O tal que

A×K ⊂ O ×K ⊂ U.

(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J , se verifica la siguienteformula m∗(A× J) = m∗(A) ·m(J).

Sea U un abierto tal que

A× J ⊂ U, y m(U) ≤ m∗(A× J) + ε

y sea O un abierto tal que A× J ⊂ O × J ⊂ U . Entonces

m∗(A) ·m(J) ≤ m(O) ·m(J) = m(O) ·m(J) =

m(O × J) ≤ m(O × J) ≤ m(U) ≤ m∗(A× J) + ε.

Por el caracter arbitrario de ε, se deduce que m∗(A) · m(J) ≤ m∗(A × J)y, por tanto, tambien se da la igualdad ya que la desigualdad contraria lahemos demostrado antes.

Que tambien, m∗(A × J) = m∗(A) ·m(J), se obtiene del hecho de queZ = J \ J es un conjunto de medida nula, se tiene que

m∗(A× J) ≤ m∗(A) ·m(J) = m∗(A) ·m(J)(20.1)

= m∗(A× J) ≤ m∗(A× J) + m∗(A× Z) = m∗(A× J).

Observemos que para la demostracion de 20.1 solo se ha necesitado queel conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la formula es valida para Jun intervalo de cualquier tipo.

Corolario 20.12 Si L1 ⊂ Rn y L2 ⊂ Rp son conjuntos medibles entoncesel conjunto L1 × L2 es medible.

Demostracion. Escribiendo Li = Bi∪Zi, i = 1, 2, con Bi Borel y Zi demedida nula, podemos descomponer L1 × L2 como union de medibles de lasiguiente forma (ver Ejercicio 20A)

L1 × L2 = B1 ×B2∪B1 × Z2∪Z1 ×B2∪Z1 × Z2.

20G Conjuntos de Borel 205

Ejercicios

20A Demostrar que la σ-algebra de Borel en Rn esta generada por las siguientesfamilias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntosdel tipo {(x1, . . . , xn) : x1 ≤ b1, . . . , xn ≤ bn}.

20B Sean X, Y espacios topologicos

(a) Probar que si h es una aplicacion continua de X en Y entonces la contraimagenpor h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y .

(b) Utilizar que las proyecciones en un producto topologico son continuas paraprobar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjuntode Borel de Y es un conjunto de Borel en X × Y .

20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0).

(a) Demostrar que la aplicacion

ϕ(x) =m(B ∩ [0, x])

m(B)

es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C).(b) Probar que m(ϕ(B)) = 1.(c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que ϕ(V ) es

un conjunto medible que no es un conjunto de Borel.(d) Observar que ϕ no mantiene el caracter medible de los conjuntos, a pesar de

ser un homeomorfismo.

20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces

m(B) = sup{m(K) : K compacto ⊂ B}.Recıprocamente, si la formula anterior es cierta y B es de medida finita, entoncesB es medible.

20E Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn es un conjunto de medidanula de Rn.

20F Probar que la grafica de toda funcion continua f : U ⊂ Rn → Rp, donde Ues un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar quetoda variedad diferenciable de Rk de dimension n < k es un conjunto de medidanula de Rk.

20G Probar que para un conjunto B ⊂ Rn son equivalentes:

(a) B es medible.(b) B × Rp es medible.(c) Si J es un semintervalo, B × J es medible.

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