ALGEBRA LINEALRamiro Saltos

084413449

ALGEBRA LINEALRamiro Saltos

084413449

{

}WpHhphvVvWH

+==+

,/

VH dim

dim

=

22 0

0,1111,0

0 11,0

0 01gen

W

>

=

0/3 xR

zy

x

V

1

Ramiro Saltos

Espacios Vectoriales Definicin: Sea V un conjunto no vaco. Sean y dos operaciones sobre V llamadas suma y multiplicacin por escalar respectivamente. Se dice que la estructura algebraica ,,V es un espacio vectorial si cumple con las siguientes condiciones:

1. Vwv , Vwv + 2. Vwv , vwwv +=+ 3. Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()( 4. VOV Vv vOv V =+ 5. Vv Vv ' VOvv =+ ' 6. R Vv Vv 7. R , Vv )()( vv = 8. R , Vv vvv +=+ )( 9. R Vwv , wvwv +=+ )( 10. Vv vv =1

Teorema

Sea ,,V un espacio vectorial. Se cumple que:

1. El elemento neutro o nulo es nico 2. Todo elemento de V tiene un nico inverso 3. Vv VOv =0 4. R VV OO = 5. Vv '1 vv = 6. R Vv [ ] [ ]VV OvOv === ()0(

2

Ramiro Saltos

Tema 1 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique apropiadamente su respuesta.

a) Sean u y v son dos vectores del espacio vectorial V . Si uvvu +=+ 23 entonces v es el vector nulo de V (Verdadero)

VOvuuvuu

uvu

uvvvvu

uvvu

=

=+

=+

+=+

+=+

222323

b) Sean y R . Sea Vv . Si vv = entonces = (Falso) Sea VOv = . Sea 2= y 3=

VV

VV

OOOO

vv

=

=

=

32

32 =

c) Sean u y v son dos vectores del espacio vectorial V , sea R . Si vu = entonces vu = (Falso)

Sea 0= . Sea Vvu

=

=

43

,

21

VV OO

vu

=

=

=

43

021

0

=

43

21

vu

Tema 2 Sea { }2)0(1/: == fRRfV . Sea R el campo considerado y se definen las operaciones:

1)()())(( += xgxfxgf )())(( xfxf =

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

Primero vamos a simplificar la condicin del conjunto

1)0(21)0(2)0(1

=

=

=

ff

f

3

Ramiro Saltos

A1) Vwv , Vwv + Sean las funciones Vxgxf )(),(

1)()())(( +=+ xgxfxgf Una vez realizada la suma, se procede al anlisis de la condicin del conjunto

311111

1)0()0()0)((

=

=

+=+ gfgf

Y como podemos darnos cuenta la suma no pertenece a V

,,V no es un espacio vectorial. Ser fcil notar la conclusin anterior con el siguiente ejemplo prctico

Sea Vxxf = 1)( . Sea Vxxg = 1)( 2 . Las dos funciones evaluadas en cero dan como resultado -1.

Vxgf + ))(( ?

3))((1)1()1())((

1)()())((

2

2

+=+

+=+

+=+

xxxgfxxxgfxgxfxgf

Ahora evaluamos la funcin en cero

3)0)((30)0()0)(( 2

=+

+=+

gfgf

Y como vemos el resultado es diferente al de la condicin del conjunto.

Tema 3 En 2RV = se definen las siguientes operaciones:

+

+=

+

byax

ba

yx

=

yx

yx

Es un espacio vectorial? En caso de no serlo, indique cules propiedades se cumplen y cuales no.

A1) Vwv , Vwv +

Sean Vba

wyx

v

=

= ,

+

+=+

+

=+

byax

wv

ba

yx

wv

4

Ramiro Saltos

Ahora analizamos el resultado y si recordamos un poco los vectores de 2R cumplen con la condicin de que sus componentes son nmeros reales, y esto se cumple con las componentes del vector suma.

Entonces la suma es cerrada en 2R M1) R Vv Vv

Sea R . Sea Vyx

v

=

=

=

yx

v

yx

v

Ahora realizamos el mismo anlisis que en A1 y podemos concluir que la multiplicacin es cerrada

en 2R Para la demostracin de los dems axiomas tenemos que:

Vfe

zdc

wba

v

=

=

= ,,

R , A2) Vwv , vwwv +=+

+

+=

+

+

+

=

+

bdac

dbca

ba

dc

dc

ba

Y por tanto si se cumple el axioma. A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

++

++=

++

++

+

+

+=

+

++

+

+

=

+

+

fdbeca

fdbeca

fe

dbca

fdec

ba

fe

dc

ba

fe

dc

ba

Y por tanto si se cumple el axioma.

5

Ramiro Saltos

A4) VOV Vv vOv V =+

Sea

=

yx

OV

Antes de empezar con el desarrollo deben notar que las letras x y y son variables las cuales debemos encontrar y posteriormente comprobar si el VO pertenece a V

=

+

+

=

+

ba

ybxa

ba

yx

ba

Cundo dos vectores son iguales? Cuando sus respectivas componentes son iguales. Por lo que tenemos las siguientes ecuaciones

0==

=+

x

aax

axa

0==

=+

ybbybyb

=

00

VO

Y como sus componentes son nmeros reales, el vector nulo pertenece a 2R y con ello se cumple el axioma. A5) Vv Vv ' VOvv =+ '

Sea

=

qp

v'

Igual que en el axioma anterior, las letras p y q son variables.

=

+

+

=

+

00

00

qbpa

qp

ba

Ahora planteando las ecuaciones

appa=

=+ 0

bqqb=

=+ 0

=ba

v'

Y este inverso pertenece a 2R porque sus componentes son nmeros reales. Recordar que

=

ba

v

pertenece a 2R por lo que obviamente sus componentes son reales. Entonces si se cumple el axioma.

6

Ramiro Saltos

M2) R , Vv )()( vv =

=

=

=

ba

ba

ba

ba

ba

ba

)()(

)(

)(

Y por tanto se cumple el axioma. M3) R Vwv , wvwv +=+ )(

+

+=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

dbca

dbca

dc

ba

dbca

dc

ba

dc

ba

)()(

Entonces se cumple el axioma. M4) R , Vv vvv +=+ )(

+=

+

+

=

+

+

=

+

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

2)()(

)(

)(

Entonces no se cumple el axioma. M5) Vv vv =1

=

=

=

ba

ba

ba

ba

ba

ba

1

1

Entonces si se cumple el axioma.

,,2R no es un espacio vectorial.

7

Ramiro Saltos

Tema 4

Sea

=+

= 10101/2 yxyxR

yx

V junto con las operaciones:

+

+

=

+

2

2by

ax

ba

yx

=

yx

yx

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

A1) Vwv , Vwv +

Sean Vdc

wba

v

=

= ,

+

+

=+

+

=+

2

2db

ca

wv

dc

ba

wv

Ahora procederemos con el anlisis de la condicin.

22211

2)()(2

122

=

=+

=+++

=+++

=

++

+

dcbadbca

dbca

Entonces la suma es cerrada en V M1) R Vv Vv

Sea .R Sea Vba

v

=

=

=

ba

v

ba

v

8

Ramiro Saltos

Analizando la condicin tenemos que:

111

1)(1

=

=

=+

=+

baba

Entonces esto nos dice que la multiplicacin slo va a ser cerrada en V cuando 1= , pero por hiptesis R lo que significa que puede tomar cualquier valor, no solamente 1. Por tanto la multiplicacin no es cerrada en V

,,V no es un espacio vectorial.

Tema 5

Sea

=

+ RbRaRubau

V ,,/3 2

junto con las operaciones:

++

+=

+

2333

2121

21

22

2

11

1

bbaauu

bau

bau

+=

2233

ba

u

bau

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

Para todo el ejercicio, sean:

Vbau

zbau

wbau

v

=

=

=

33

3

22

2

11

1 3,

3,

3

R , A1) Vwv , Vwv +

++

+=+

+

=+

23

33

2121

21

22

2

11

1

bbaauu

wv

bau

bau

wv

Ahora hay que analizar que el resultado de la suma de los dos vectores de V cumplan con la condicin y la forma de todo vector de V 1. Hay que notar que la primera componente de la matriz es el nmero 3 y por tanto todos los vectores de V debern tener en su primera componente el nmero 3

2. La segunda componente debe ser un vector de 2R y la suma de dos vectores de 2R da como resultado otro vector de 2R , en pocas palabras:

221

22

21 , RuuRuRu +

9

Ramiro Saltos

3. La tercera componente debe ser un nmero real positivo, es decir, mayor que cero. Como ya sabemos, el producto de dos nmeros reales positivos es otro real positivo, as:

+++ RaaRaRa 2121 , 4. La ltima componente de nuestra matriz debe ser un nmero real cualquiera, lo cual es fcil notar que si se da puesto que estamos sumando dos variables reales con una constante real y este resultado siempre ser un nmero real. Por lo tanto la suma es cerrada en V M1) R Vv Vv

+=

=

223

3

bau

v

bau

v

Entonces, debemos repetir el mismo anlisis que se realiz para el primer axioma pero esta vez solo prestaremos atencin a la tercera componente de la matriz ya que se necesita un razonamiento extra. Como ya sabemos, esta componente debe ser un nmero real positivo y observando un poco el resultado de la multiplicacin notamos que existe una potenciacin, la cual presentara conflictos si la base fuese un nmero negativo y el escalar un nmero fraccionario. Pero por la condicin del conjunto estos problemas no se presentan y por tanto la potenciacin con una base positiva siempre va ser positiva. Concluyendo que la multiplicacin es cerrada en V . A2) Vwv , vwwv +=+

++

+=

++

+

+

=

+

23

23

3333

1212

12

2121

21

11

1

22

2

22

2

11

1

bbaauu

bbaauu

bau

bau

bau

bau

Se cumple A2

10

Ramiro Saltos

A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

+++

++=

+++

++

++++

++=

++++

++

+

++

+=

++

++

+

+

=

+

+

43

43

2)2(3

2)2(3

32

32

33

333333

321321

321

321321

321

321321

321

321321

321

33

3

2121

21

3232

32

11

1

33

3

22

2

11

1

33

3

22

2

11

1

bbbaaauuu

bbbaaauuu

bbbaaauuu

bbbaaauuu

bau

bbaauu

bbaauu

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

Se cumple A3 A4) VOV Vv vOv V =+

Sea

=

qpnm

OV

Para hallar el elemento neutro primero escogemos cualquier vector del conjunto y lo sumamos nuestro vector incgnita que en este caso es el VO

=

++

+

=

+

bau

qbapnu

bau

qpnm

bau

32

3

33

Una vez realizada la suma igualamos componente con componente, y hay que recordar que en las ecuaciones las variables o incgnitas a encontrar son las componentes del VO , as

333

=

=

m

2ROn

uun

unu

=

=

=+

1=

=

=

pa

ap

aap

22

2

=

=

=++

qbbq

bqb

=21

3 2RV

OO

Finalmente debemos comprobar si el nulo encontrado pertenece a V , y como podemos visualizar fcilmente, todas sus componentes cumplen con las condiciones del conjunto. Se cumple A4

11

Ramiro Saltos

A5) Vv Vv ' VOvv =+ '

Sea

=

qpnm

v'

El procedimiento es muy similar al axioma anterior, entonces realizando la suma tenemos:

=

++

+

=

+

213

23

2133

2

2

R

R

Oqbap

nu

Oqpnm

bau

Igual que el paso anterior sacamos nuestras ecuaciones recordando que las variables a encontrar son las componentes del vector inverso

333

=

=

m

un

OnuR

=

=+ 2

ap

ap11

=

=

bqbq

qb

=

=

=++

422

22

= ba

uv 41

3'

Y finalmente debemos verificar que el vector inverso encontrado pertenezca a V , y la nica componente que podra ocasionar problemas es

a1 cuando 0=a pero como la condicin del

conjunto que + Ra , entonces no hay problemas porque a siempre ser diferente de cero. Se cumple A5 M2) R , Vv )()( vv =

+=

+

++=

+

++=

+

+=

+

=

2)(2)()(3

2)(2)()(3

222)(2)()(3

2)(2)()(3

22)22()()(3

2)(2)()(3

223

2)(2)()(3

33)(

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

Se cumple M2

12

Ramiro Saltos

M3) R Vwv , wvwv +=+ )(

++

+=

++

+

++

+=

+++

+

++++

+=

+++

+

++

+=

++

+

+

=

+

24)()()(3

24)()()(3

24)()()(3

222)()()(3

2)22()22()()(3

22)2()()(3

22)(3

22)(3

23

3333

2121

21

2121

21

2121

21

2121

21

2121

21

2121

21

22

2

11

1

2121

21

22

2

11

1

22

2

11

1

bbaauu

bbaauu

bbaauu

bbaauu

bbaauu

bbaauu

bau

bau

bbaauu

bau

bau

bau

bau

Se cumple M3 M4) R , Vv vvv +=+ )(

+++

+=

+++

+

++++

+=

+++

+

++

+=

+++

+

+

=

+

++

++

+

2)(2)()(3

2)(2)()(3

2)2()22()(3

2)(2)()(3

23

223

2)(2)()(3

333)(

)()(

)()(

)(

bau

bau

bbau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

bau

Se cumple M4 M5) Vv vv =1

=

=

+

=

bau

bau

bau

bau

bau

bau

33

32)1(21

13

331

1

Se cumple M5

,,V es un espacio vectorial.

13

Ramiro Saltos

Tema 6

Sea

=

+ RyRxRyx

V /2 junto con las operaciones:

=

+=

yx

yx

byxa

ba

yx

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

A1) Vwv , Vwv +

Sean

=

yx

v y

=

ba

w V

+=+

+

=+

byxa

wv

ba

yx

wv

Como x es positiva y a es positiva entonces ax tiene que ser positivo. Con la segunda componente del vector no hay inconvenientes por ser operacin usual. Se cumple A1 A2) Vwv , vwwv +=+

Sean

=

yx

v y

=

ba

w V

+=

+

+

=

+

ybax

byxa

yx

ba

ba

yx

Se cumple A2

14

Ramiro Saltos

A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

Sean

=

yx

v ,

=

ba

w y

=

dc

z V

++=

++

+

+=

++

+

+

=

+

+

dbyxac

dbyxac

dc

byxa

dbac

yx

dc

ba

yx

dc

ba

yx

Se cumple A3 A4) VOVv V vOv V =+

Sea

=

yx

v V . Sea

=

n

mOV

=

+

=

+

yx

nyxm

yx

n

m

yx

Ahora se procede a igualar componente con componente

1=

=

=

m

x

xm

xxm

0==

=+

n

yynyny

Entonces el vector nulo es:

=

01

VO

Y pertenece a V porque su primera componente es un real positivo y la segunda es un nmero real cualquiera. Se cumple A4

15

Ramiro Saltos

A5) VvVv ' VOvv =+ '

Sea

=

yx

v V . Sea

=

ba

v'

=

+

=

+

01

01

byxa

ba

yx

Ahora se procede a igualar componente con componente

xa

xa

11

=

=

yb

by=

=+ 0

Como x siempre va ser un nmero positivo, es decir, mayor que cero, pero nunca ser cero, no se va a presentar ni una divisin indefinida ni una fraccin negativa. Por tanto el vector inverso es:

Vyxv

=

1'

Se cumple A5 M1) VvR Vv

Sea

=

yx

v V . Sea R .

=

=

yx

v

yx

v

Por hiptesis x es positiva, y cualquier potencia de base positiva da una respuesta positiva. Se cumple M1

16

Ramiro Saltos

M2) VvR , )()( vv = Sea

=

yx

v V . Sean R , .

=

=

=

=

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

)()(

)(

Se cumple M2 M3) VvR , vvv +=+ )( Sea

=

yx

v V . Sean R , .

+=

+

+=

+

+

=

+

+

=

+

++

+

+

yx

yx

yyxx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

)()(

.

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

Se cumple M3

17

Ramiro Saltos

M4) Vwv , R wvwv +=+ )(

Sean

=

yx

v y

=

ba

w V . Sea R .

+=

+

+=

+

+

=

+

+

=

+

)()(

)()(

.

)()(

byxa

byxa

byax

byxa

ba

yx

byxa

ba

yx

ba

yx

Se cumple M4 M5) Vv vv =1

Sea

=

yx

v V .

=

=

=

yx

yx

yx

yx

yx

yx

1

1

1

Se cumple M5

,,V es un espacio vectorial

18

Ramiro Saltos

Subespacios Vectoriales Definicin: Sea V un espacio vectorial. Sea W un subconjunto no vaco de V . Si W es en s mismo un espacio vectorial, entonces W es un subespacio de V

Teorema

Sea ,,V un espacio vectorial. Sea W un subconjunto no vaco de V . W es un subespacio de V si cumple con las siguientes condiciones:

1. Wwv , Wwv + 2. R Wv Wv

Donde y son las operaciones suma y multiplicacin por escalar definidas en V

Tema 1

Sea ,,V un espacio vectorial tal que

= RzyxRz

yx

V ,,/3 junto con las

operaciones:

+

+

++

=

+

1

2

21

21

21

2

2

2

1

1

1

zz

yyxx

z

yx

z

yx

+

+

=

1

22

z

yx

z

yx

Determine si

=++

= 1/3 zyxRz

yx

W es un subespacio de ,,V

1. Wwv , Wwv +

Sea Wz

yx

w

z

yx

v

=

=

2

2

2

1

1

1

,

+

+

++

=+

+

=+

1

2

21

21

21

2

2

2

1

1

1

zz

yyxx

wv

z

yx

z

yx

wv

Una vez realizada la suma se debe realizar el anlisis de la condicin del conjunto, tenemos que

19

Ramiro Saltos

1)1()()2( 212121 =++++++ zzyyxx Ahora se agrupa en un parntesis todos los trminos que tengan subndice 1 y en otro parntesis los que tengan subndice 2

112)()( 222111 =++++++ zyxzyx Ahora lo que se encuentran en cada parntesis es la condicin de los sus respectivos vectores por lo que 1111 =++ zyx y 1222 =++ zyx , reemplazando tenemos

1111211

=

=+

Y como podemos darnos cuenta la igualdad se cumple, entonces la suma es cerrada en W

2. R Wv Wv

Sea R . Sea Wz

yx

v

=

+

+

=

=

1

22

z

yx

v

z

yx

v

Y una vez realizada la multiplicacin analizamos la condicin aplicando el mismo procedimiento que se llev a cabo en el axioma anterior

000

0)1(0)(

112)2()(1)1()()22(

=

=+

=+

=+++

=++++

=++++

zyxzyx

zyx

Y por tanto la multiplicacin es cerrada en W W es un subespacio

20

Ramiro Saltos

Tema 2

Determine si

===

= dcbdaM

dcba

W x 20/22 es un subespacio del espacio

vectorial 22xMV =

1. Wwv , Wwv +

Sean Wdcba

wdcba

v

=

=

22

22

11

11,

++

++=+

+

=+

2121

2121

22

22

11

11

ddccbbaa

wv

dcba

dcba

wv

Ahora que ya tenemos realizada la suma debemos analizar la condicin del conjunto, pero en este caso tenemos ms de una condicin por lo que ser necesario analizar a cada una por separado. La suma la hemos realizado con operaciones usuales puesto que el ejercicio no define ninguna operacin especial. Primero debemos simplificar un poco las condiciones para facilitar el anlisis

0==

dada

0=b 02

2=

=

dcdc

Ahora con estas condiciones equivalentes a las originales obtenemos que:

0)(2)(0

0)()(

2121

21

2121

=++

=+

=++

ddccbb

ddaa

Igual que en el ejercicio anterior procedemos a agrupar en parntesis todos los trminos con subndices iguales, as

0)2()2(0)()(

0)()(

2211

21

2211

=+

=+

=+

dcdcbb

dada

Y finalmente reemplazamos con su valor numrico dado en el conjunto

00000

=

=+

00000

=

=+

00000

=

=+

Y como las tres igualdades se cumple, concluimos que la suma es cerrada en W

21

Ramiro Saltos

2. R Wv Wv

Sea R . Sea Wdcba

v

=

=

=

dcba

v

dcba

v

Y realizando el mismo anlisis que se llev a cabo en el axioma anterior tenemos

0000

0)(0

=

=

=

=

dada

0000

0

=

=

=

b

0000

0)2(02

=

=

=

=

dcdc

Y como se satisfacen las tres igualdades concluimos que la multiplicacin por escalar es cerrada en

W W es un subespacio

Tema 3

Sea

=

=

dcba

dcba

Mdcba

W x 1121

1121

/22

Mostrar que W es un subespacio vectorial de 22xM

Para resolver el ejercicio primero debemos notar que la condicin del conjunto es muy compleja para analizarla rpidamente, por eso debemos simplificarla

++=

+

+

=

bdacdbca

dcdcbaba

dcba

dcba

2222

1121

1121

Una vez realizada esta multiplicacin procedemos a igualar componente con componente:

0202

022

=+

=

=

+=

cbcb

cbaacaba

00)(2

02222

=

=

=+

+=+

dada

dbbadbba

00

=

=+

=

daadscacdc

0202

2

=+

=++

=+

cbbddcbddc

Ahora tenemos cuatro ecuaciones que representan las condiciones del conjunto, pero como dos de ellas se repiten, solo escogemos una de cada par, y reescribiendo el conjunto nos queda:

=+=

= 020/22 cbdaMdc

baW x

Una vez simplificadas las condiciones pasamos a demostrar los axiomas

22

Ramiro Saltos

1. Wwv , Wwv +

Sea Wdcba

wdcba

v

=

=

22

22

11

11,

++

++=+

+

=+

2121

2121

22

22

11

11

ddccbbaa

wv

dcba

dcba

wv

Y analizamos las condiciones con un procedimiento similar a los ejercicios anteriores

00000

0)()(0)()(

2211

2121

=

=+

=+

=++

dadaddaa

00000

0)2()2(0)(2)(

2211

2121

=

=+

=+++

=+++

cbcbccbb

Dado que se ambas igualdades son verdaderas podemos concluir que la suma es cerrada en W 2. R Wv Wv

Sea R . Sea Wdcba

v

=

=

=

dcba

v

dcba

v

Analizando las condiciones tenemos:

0000

0)(0)(

=

=

=

=

dada

0000

0)2(02

=

=

=+

=+

cbcb

Y por lo tanto la multiplicacin por escalar es cerrada en W W es un subespacio

23

Ramiro Saltos

Tema 4 Sea ),( baCfV = y sea { }0/),( = fbaCfH . Determine si H es un subespacio vectorial. Primero vamos a reescribir la condicin en forma equivalente de tal modo que sea ms fcil de analizar. Sea c un punto cualquiera perteneciente a ),( ba , entonces 0)( cf Luego procedemos a analizar los axiomas: 1. Hwv , Hwv + Sea Hxgwxfv == )(),(

))(()()(

xgfwvxgxfwv

+=+

+=+

Analizamos la condicin, y para ello evaluamos las funciones en c

0)()(0)()(

0))((

++

+

cgcfxgxf

xgf

Y como ya sabemos 0)( cf y 0)( cg debido a que ambas funciones pertenecen a H , y sumamos dos valores mayores o iguales que cero, el resultado ser mayor o igual a cero. Concluyendo que la suma es cerrada en H 2. R Hv Hv Sea Hxfv = )( . Sea R

))(()(

xfvxfv

=

=

Volvemos a evaluar en c

0)(0)(

0))((

cfxf

xf

Por hiptesis 0)( cf pero si el escalar es un nmero negativo y al multiplicarse por un nmero mayor o igual a cero, el resultado nos quedar un real menor o igual acero. Por tanto la multiplicacin por escalar no es cerrada en H

H no es un subespacio

24

Ramiro Saltos

Tema 5

Sea

>

= 0/3 xRz

yx

V un espacio vectorial, junto con las operaciones:

+

++=

+

21

21

21

2

2

2

1

1

1

1zz

yyxx

z

yx

z

yx

+=

z

yx

z

yx

1

Sea

==>

= NnyzxxVz

yx

W n ;220/ . Determine si W es un subespacio de V

Cuando se presentan este tipo de ejercicios no hay que sorprenderse por tener unas condiciones algo extraas, fuera de lo que uno est acostumbrado a ver. Simplemente es de realizar el procedimiento y el anlisis ya visto en ejercicios anteriores. 1. Wwv , Wwv + Hay que averiguar si la suma es cerrada en W y para ello necesitamos dos vectores tpicos del mencionado conjunto.

Sea Wz

yx

w

z

yx

v

=

=

2

2

2

1

1

1

,

Pero qu significa que v y w pertenezcan a W ? Simplemente que v y w cumplen con las condiciones del conjunto dado. Es decir:

nx 21 = nx 22 =

11 2yz = 22 2yz = Ahora analicemos la suma de ambos vectores. Por la definicin del enunciado del problema tenemos que:

+

++=+

21

21

21

1zz

yyxx

wv

Procedemos a demostrar si la condicin se cumple o no

nxx 221 = )1(2 2121 ++=+ yyzz

25

Ramiro Saltos

Entonces reemplazamos con las igualdades arriba enunciadas:

nn

nnn

22222

2=

=

2022222 2121

=

++=+ yyyy

Y como vemos no se satisfacen las igualdades

W no es un subespacio

Combinacin Lineal Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean nvvvv ,...,,, 321 vectores de V . Se dice que el vector

Vv es una combinacin lineal de nvvvv ,...,,, 321 si existen escalares n ,...,,, 321 , tales que:

nnvvvvv ++++= ...332211

Conjunto Generador y Espacio Generado

Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . Se dice que S es un conjunto generador de V s y slo si todo vector de V se puede escribir como combinacin lineal de los n vectores de S . Adicionalmente al conjunto V generado por S se le llama espacio generado

Independencia Lineal Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . Se dice que

{ }nvvvvS ,...,,, 321= es un conjunto linealmente independiente en V s y slo si: [ ] [ ]0...... 321332211 ======++++ nVnn Ovvvv

Teorema 1

Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . S es linealmente dependiente en V , s y slo si, al menos, uno de los vectores de S se puede escribir como combinacin lineal de los 1n vectores de S

Teorema 2 Sea V un espacio vectorial y sean { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto linealmente independiente en V . Supngase que { }Sgenu . Entonces { }uS es un conjunto linealmente independiente en V

Teorema 3 Sea V un espacio vectorial. El conjunto { }21 ,vv es linealmente independiente en V s y slo si 1v y 2v no son mltiplos escalares.

Teorema 4 Sea V un espacio vectorial. Si el conjunto { }nvvvvS ,...,,, 321= es linealmente independiente en V, entonces cualquier subconjunto de S es linealmente independiente en V

26

Ramiro Saltos

Bases y Dimensin Base: Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= un conjunto de vectores en el espacio vectorial V . Se dice que B es una base de V si:

1. { }nvvvvB ,...,,, 321= es linealmente independiente 2. { }nvvvvB ,...,,, 321= genera a V

Dimensin: Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es igual al nmero de vectores que contiene la baseB . Es decir:

)(dim BNV = Donde B es una base de V

Teorema 1 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. El conjunto { }nvvvvB ,...,,, 321= es una base de V , s y slo si, todo vector Vv se expresa de forma nica como combinacin lineal de los vectores de B

Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base de V y

{ }muuuuS ,...,,, 321= un conjunto de vectores de V . Si nm > , entonces S es linealmente dependiente en V

Teorema 3 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sean 1B y 2B dos bases de V . Entonces:

)()( 21 BNBN =

Lema 1 Sea { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto de vectores que generan un espacio vectorial V . Supngase que uno de los vectores ),...,3,2,1,( nivS i = se puede escribir como combinacin lineal de los 1n vectores restantes, entonces:

{ } { }{ }ivSgenSgenV ==

Teorema 4 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, entonces se cumple que:

1. Cualquier conjunto linealmente independiente en V se puede completar hasta formar una base de V

2. Cualquier conjunto generador de V contiene una base de V

Colorario Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, tal que nV =dim , entonces se cumple que:

1. Todo conjunto que genera a V con n vectores es una base de V 2. Todo conjunto linealmente independiente en V con n vectores es una base de V

27

Ramiro Saltos

Teorema 5

Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces H es de dimensin finita y

VH dimdim

Teorema 6 Si { }nvvvv ,...,,, 321 es un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial V , entonces:

nV dim

Teorema 7 Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base de un espacio vectorial V . Entonces a cada vector perteneciente a V se lo puede expresar de manera nica como combinacin lineal de los vectores de B

Teorema 8 Si V es un espacio vectorial y { }nvvvvgenV ,...,,, 321= entonces nV dim

Teorema 9 Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Si 0dim V entonces existe al menos una base de H y una base de V , tal que:

VH BB

Teorema 10 Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Si VH dimdim = entonces

VH =

Operaciones con Subespacios

Interseccin de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

{ }WvHvVvWH = / Unin de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

{ }WvHvVvWH = / Suma de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

{ }WpHhphvVvWH +==+ ,/

Teorema 1 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces se cumple que:

1. WH es un subespacio de V 2. WH + es un subespacio de V

28

Ramiro Saltos

Teorema 2 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces se cumple que:

)()( WHWH +

Teorema 3 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V .Sea 1S un conjunto generador de H y sea

2S un conjunto generador de W .Entonces se cumple que:

{ }21 SSgenWH =+

Teorema 4 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . La suma WH + es directa s y slo si:

{ }VOWH =

Teorema 5 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . WH es un subespacio s y slo si:

HWWH

Teorema 6 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sean H y W dos subespacios de V . Entonces:

WHWHWH +=+ dimdimdimdim

Tema 1 Sea el espacio vectorial 22xMV = . Sean los subespacios de V :

==

= dcbM

dcba

H x 22/22

=

2200

,

1111

,

0011

,

0001

genW

a) Encuentre una base y determine la dimensin de WH b) Encuentre una base y determine la dimensin de WH + c) Es WH un subespacio de V ? Es directa la suma WH + ? Justifique sus

repuestas.

El primer paso a realizar ser el de simplificar la condicin del conjunto H

2

2bc

cb

=

=

2

2bd

db

=

=

Una vez simplificada la condicin se procede con:

Sea Hdcba

29

Ramiro Saltos

+

=

=

21

21

100001

22babb

badcba

=

1120

,

0001

HB

Tambin podemos simplificar el conjunto generador de W ya que uno de sus vectores se puede escribir como combinacin lineal de los otros tres, y nos queda que:

=

1111

,

0011

,

0001

WB

a) WH

Sea WHdcba

v

=

El hecho de que v pertenezca a la interseccin de los dos subespacios implica que este se puede escribir como combinacin lineal de los vectores de las bases de ambos subespacios, as:

=

+

=

22

2121

21120

0001

dcba

+++=

+

+

=

33

32321321 11

110011

0001

dcba

Y luego procedemos a igualar las matrices donde se encuentran los escalares

=

+++

22

21

33

32321 2

Consiguiendo con ello el siguiente sistema de ecuaciones:

=

=+

=++

23

232

1321

2

Aqu hay que tener en cuenta que las van a ser nuestras variables y los las constantes, la idea principal ser expresar las en trminos de . Planteando la matriz aumentada tenemos:

2

2

21

32

2

2

21

21

2

2

1

100010

2001)1(

1002110

2001)1(

1002110

111

AA

Con lo que tenemos:

211 2 = 22 = 23 = Luego procedemos a reemplazar estas igualdades en la combinacin lineal inicial

+

+

=

1111

0011

0001)2( 2221 dc

ba

30

Ramiro Saltos

Realizando las operaciones y factorizando

+

=

+

=

+

+

=

1120

0001

20000

220002

000

21

22

21

22

2221

dcbadcbadcba

= 11

20,

0001

WHB

2dim =WH b) WH + Por teorema sabemos que:

{ }WH BBgenWH =+

=+

1120

,

1111

,

0011

,

0001

genWH

Ahora procedemos a escribir a todo vector de WH + como combinacin lineal del conjunto generador. Este procedimiento es general y siempre ser una opcin vlida a emplear en este tipo de ejercicios:

Sea WHdcba

+

++

++++=

+

+

+

=

4343

432321

4321

21120

1111

0011

0001

dcbadcba

=+

=+

=++

=++

dc

ba

42

42

432

321

2

Planteando el sistema en la matriz y simplificando tenemos:

ddc

ba

A

dc

ba

1100000021100111

)1(

1100110021100111

43

Luego caracterizamos el subespacio tal que:

=

=+ dcM

dcba

WH x /22

Para hallar la base de WH + proseguimos con:

31

Ramiro Saltos

Sea WHdcba

+

+

+

=

=

1100

0010

0001

cbacc

badcba

= + 11

00,

0010

,

0001

WHB

3dim =+ WH c)

WH si es un subespacio de V debido a que H se encuentra incluido en W . Si observamos un poco el resultado de la interseccin podr notarse que la base de H es la misma que la base de la interseccin.

WH + no es suma directa porque en la interseccin de ambos subespacios se encuentran vectores adicionales al VO

Tema 2 Sea el espacio vectorial 2PV = . Sean los subespacios de V : { }

{ }222

21,23)1(2)1(/)(

xxxxgenWppPxpH

++=

==

a) Encuentre una base y determine la dimensin de WH b) Encuentre una base y determine la dimensin de WH +

Igual que en ejercicios anteriores primero debemos simplificar la condicin del conjunto, para luego encontrar la base de H Sea 2

2 Pcbxax ++

[ ]

baccba

cbacbacbacba

pp

303

222)1()1(2)1()1(

)1(2)1(22

=

=++

++=+

++=++

=

Ahora seguimos con:

Sea Hcbxax ++2

)3()1()3(

22

22

+=++

++=++

xbxacbxaxbabxaxcbxax

{ }2dim

3,12

=

=

HxxBH

Una vez encontrada la base de H procedemos a resolver cada literal a) WH Sea WHcbxax ++2

)3()()()3()1( 212212212 ++=+=++ xxxxcbxax

32

Ramiro Saltos

)3()2()2()12()32( 212122122212 ++++=++=++ xxxxxxcbxax

Y como el vector WHcbxax ++2 entonces ambas combinaciones lineales deben ser iguales, con lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

=+

=

=+

2121

221

121

332

2

Luego planteamos la matriz aumentada y simplificamos por el mtodo de Gauss

( )31670

23021

)3()2(

3131221

31321

12

2

21

21

2

13

12

21

1

2

12

21

2

1

+

MAA

P

+

+

34400

3210

21

)7(670

3210

21

21

21

2

23

21

21

2

A 21

21 044

=

=

Ahora reemplazando la igualdad en la primera combinacin lineal tenemos:

)4()4()()()3()()()3()1(

2111

21

2111

211

21

2

+=++=++

++=+=++

xxxxcbxaxxxxxcbxax

Y finalmente tenemos que una base de WH ser

{ }42 += xxB WH 1dim =WH

b) WH + Primero vamos a calcular la dimensin de WH + utilizando el teorema, esto nos servir para saber cuntos vectores deber tener la base de WH +

3dim122dim

dimdimdimdim

=+

+=+

+=+

WHWH

WHWHWH

Calculando la dimensin de WH + nos damos cuenta que es igual a la dimensin del espacio vectorial 2P , entonces utilizando el teorema podemos concluir que:

2PWH =+ Y por tanto una base sera:

{ }2,,1 xxB WH =+

33

Ramiro Saltos

Tema 3 Sea 22xMV = y los subespacios:

=

1111

,

4321

genH y

==+

= bacdaM

dcba

W x /22

Es WH un subespacio de V ?

Para averiguar si WH es un subespacio realizaremos el siguiente procedimiento: primero caracterizaremos el subespacio H y luego encontraremos una base de W

Sea Hdcba

++

++=

+

=

432

1111

4321

dcba

Planteando el sistema de ecuaciones, la matriz aumentada y simplificando por Gauss:

=+

=+

=+

=+

dc

ba

432

( )( )

++

++

+

+

+

+

3)2(5400

3)2(4300

23011

35

34

450340230

11

)4()3()2(

14131211

24

23

14

13

12

bada

baca

baa

A

A

daca

baa

AAA

dc

ba

Simplificando las condiciones:

cbacba

baac

34034

04893

=

=+

=+

dbadba

bada

3520352

0510312

=

=+

=+

==

= dbacbaM

dcba

H x 35234/22

Luego procedemos a hallar la base de W

Sea Wdcba

+

=

=

1011

0111

dcdc

dcdcdcba

=

1011

,

0111

WB

Por definicin:

====+

= )35234()/(22 dbacbabacdaMdc

baWH x

Para averiguar si es un subespacio cogemos un vector de cada base de los respectivos subespacios y analizamos si cumplen la condicin de la unin. Hay que tomar dos vectores diferentes entre ellos.

34

Ramiro Saltos

Sea H

1111

y W

0111

Luego hay que averiguar si cumple con los axiomas de cerradura de la suma y multiplicacin:

=

+

1222

0111

1111

?1222

WH

[ ]

FFF

FVFVF

dbacbabacda

==

====

====+

====+

)()7422()(

)3104682()2223()1(3)2(5)2(2)2(3)2(42)22212(

)35234()(

WH no es un subespacio

Tema 4

Sea 22xMV = y los subconjuntos

=+

= cba

dcba

H 2/ ,

=

1311

,

0201

genW y

= Rttt

T /11

a) Cules de los subconjuntos dados es un subespacio vectorial de V. b) Encuentre una base y la dimensin del subespacio interseccin de los subespacios

hallados en el literal anterior.

a) Primero debemos encontrar cuales de los tres conjuntos son subespacios, para lo cual debemos analizar a cada conjunto por separado.

Sea Hdcba

wdcba

v

=

=

22

22

11

11, . Sea R

Hwv + ? y Hv ?

++

++=+

+

=+

2121

2121

22

22

11

11

ddccbbaa

wv

dcba

dcba

wv

=

=

dcba

v

dcba

v

Analizando la condicin del conjunto para ambas operaciones tenemos que:

35

Ramiro Saltos

2121

212211

212121

)2()2()()(2

cccc

ccbabaccbbaa

+=+

+=+++

+=+++

cc

cbacba

=

=+

=+

)2(2

H si es un subespacio

Luego tambin sabemos que W es un subespacio debido a que es generado por un conjunto de vectores linealmente independiente y adems esta conjunto es una base de W Ahora slo nos falta averiguar si T es un subespacio.

Sea Ttt

wtt

v

=

=

11,

112211

Twv + ?

+=+

+

=+

22

1111

2121

2211

ttttwv

ttttwv

Ahora hay que darse cuenta que todo elemento de T cumple con la condicin de que su tercera componente es 1 y la cuarta 1 lo cual no cumple el elemento resultante de la suma, por tanto T no es un subespacio. b) WH Aplicando el procedimiento ya visto en otros ejercicios procedemos a extraer una base de H

Sea Hdcba

+

+

=

+=

1000

0110

0201

2dba

dbaba

dcba

=

1000

,

0110

,

0201

HB

Luego tenemos:

Sea WHdcba

+=

+

+

=

321

21321 210

000110

0201

dcba

=

+

=

221

12121 3213

110201

dcba

Planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos usando matrices

=

+=

=

=

32

2121

22

121

232

+

23

2

2

1

23

23

2

2

1

24

13

3

21

2

1

00200

1011

)1(

0010

1011

)1()2(

10232

1011

AAA

36

Ramiro Saltos

De donde obtenemos las siguientes relaciones:

002

2

2

=

=

0

0

3

32

23

=

=

=

Las cuales reemplazamos en la combinacin lineal respectiva

=

=

+=

0201020

2

1

1

1

321

21

dcbadcbadcba

1dim0201

=

=

WH

B WH

Tema 5

Sea 3RV = . Determine el subespacio generado por el conjunto

=

61

0,

211

,

42

1S .

Encuentre una base y la dimensin de { }SgenH =

Para encontrar el subespacio que nos piden debemos tomar un vector tpico o representativo de todos los vectores que se pertenecen al espacio generado por S .

Sea { }Sgenc

ba

Al pertenecer al subespacio generado por S significa que se puede escribir como combinacin lineal de todos los vectores de S .

++

+

=

+

+

=

321

321

21

321

6242

61

0

211

42

1

c

ba

Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad de filas llenas de ceros

++

+

+

cbaba

a

Aac

baa

AA

c

ba

680002110

011)6(

46602110

011

)4()2(

624112

011

2313

12

37

Ramiro Saltos

Una vez reducida la matriz hasta encontrar una fila llena de ceros, lo que queda al otro lado de la raya vertical es la condicin que deben cumplir todos los vectores pertenecientes al subespacio H

=++

= 068/3 cbaRc

ba

H

Y para hallar una base de H hay que tener en cuenta que:

bac 68 = Lo reemplazamos en el vector tpico y sacamos las letras dndoles valores que produzcan clculos sencillos.

+

=

=

610

801

68ba

baba

c

ba

=

610

,

801

HB 2dim =H

Tema 6

Sea

= RcbaRc

ba

V ,,/3 un espacio vectorial junto con las operaciones:

+

+

++

=

+

1

2

21

21

21

2

2

2

1

1

1

cc

bbaa

c

ba

c

ba

+

+

=

1

22

c

ba

c

ba

Determine una base y la dimensin del subespacio

=++

= 1/ cbaVc

ba

H

Antes de encontrar la base debemos reescribir el vector tpico de H slo en funcin de las variables que varan libremente, por eso tenemos que:

11

=

=++

baccba

Y reemplazamos esta igualdad en el vector tpico obteniendo:

38

Ramiro Saltos

=

1baba

c

ba

Tambin necesitamos hallar el vector nulo del espacio vectorial y para ello usamos el teorema

VOv =0

=

+

+

=

102

10)(0)(0

2)0(2)(00

c

ba

c

ba

=

102

VO

Debemos fijarnos en funcin de cuntas variables est el vector tpico de H para determinar cuntos vectores tendr la base. Para este ejemplo las variables son dos y por tanto la base tendr dos vectores. Hallaremos la base en dos pasos: 1) Escogemos cualquier valor para la variable a mientras que a b le asignamos el equivalente en el vector nulo. Tenemos que 1=a y 0=b . Reemplazamos estos valores en el primer vector de la base

=

=

=

201

10101

11

baba

h

=

201

1h

2) Repetimos el mismo procedimiento que en el paso 1 solo que esta vez a la variable a le asignamos el valor equivalente en el vector nulo y a b , cualquier valor arbitrario. Entonces con

2=a y 2=b

=

=

=

122

12222

12

baba

h

=

122

2h

Luego los colocamos en la base y nos queda que:

=

122

,

201

HB 2dim =H

Hay que notar que ambos vectores cumplen con la condicin de que la suma de las tres componentes es igual a 1

39

Ramiro Saltos

Coordenadas de un Vector Definicin: Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base del espacio vectorial de dimensin finita V . Sea

Vv . Las coordenadas de v respecto a la base B , denotadas por [ ]Bv , se definen como:

[ ] n

n

B Rv

=

3

2

1

Donde n ,...,,, 321 son tales que:

nnvvvvv ++++= ...332211

Matriz de Cambio

Definicin: Sean { }nvvvvB ,...,,, 3211 = y { }nuuuuB ,...,,, 3212 = dos bases del espacio vectorial de dimensin finita V . La matriz de cambio de base de 1B a 2B est dada por:

[ ] [ ] [ ] [ ]

=

...

...

...

223222121 BnBBBBB vvvvC

Es decir, que las columnas de la matriz de cambio estn formadas por las coordenadas de los vectores de la base 1B respecto a la base 2B

Teorema 1 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Toda matriz de cambio de base en V es invertible, es decir, 0det A

Teorema 2 Sean 1B y 2B dos bases del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces para todo Vv se cumple que:

[ ] [ ] 1212 BBBB vCv =

Teorema 3

Si A es la matriz de cambio de la base 1B a la base 2B , entonces 1A es la matriz de transicin de

la base 2B a la base 1B

Teorema 4 Sean 1B , 2B y 3B tres bases del espacio vectorial de dimensin finita V . Sea C la matriz de cambio de la base 1B a la base 2B . Sea D la matriz de cambio de la base 2B a la base 3B . Sea E la matriz de cambio de la base 1B a la base 3B . Entonces se cumple que:

CDE =

40

Ramiro Saltos

Teorema 5 Sea B una base del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces se cumple que:

1. Vwv , [ ] [ ] [ ]BBB wvwv +=+ 2. R Vv [ ] [ ]BB vv =

Tema 1

Sean

=

1000

,

2001

1B y

=

3002

,

1001

2B dos bases del espacio vectorial real

22xDV =

a) Determine los vectores coordenadas de

=

5001

1v y

=

4005

2v respecto a 2B

b) Encuentre la matriz 12 BBC de cambio de base de 2B a 1B c) Determine los vectores coordenadas de 1v y 2v respecto a 1B empleando 12 BBC

a) Para hallar las coordenadas de un vector respecto a una base sabemos que hay que escribirlos como combinacin lineal de los vectores de la base en cuestin y luego procedemos a encontrar los escalares que representan las coordenadas buscadas

+

+=

+

=

=

21

21211 30

023002

1001

5001

v

Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por Gauss

=+

=+

5312

21

21

410701)2(

410121)1(

531121

2112 AA 47

2

1

=

=

[ ]

=

47

21 Bv

Usamos el mismo procedimiento para calcular las coordenadas del otro vector

+

+=

+

=

=

30

023002

1001

4005

2v

Planteando el sistema y calculando los escalares

=+

=+

4352

110701)2(

110521)1(

431521

2112 AA 47

=

=

[ ]

=1

722 Bv

b) Para hallar la matriz de cambio de base cabe recordar que sus columnas estn dadas por las coordenadas de los vectores que conforman la base de ida respecto a la base de llegada. En pocas palabras:

41

Ramiro Saltos

=

1112 30

021001

BB

BBC

Para lo cual primero hallaremos las coordenadas antes mencionadas

==+

=

+=

+

=

1121

200

1000

2001

1001

=

11

1001

1B

==+

=

+=

+

=

1322

200

1000

2001

3002

=

12

3002

1B

Y luego ubicamos los vectores coordenadas en las columnas de la matriz de cambio y finalmente nos queda:

= 1121

12 BBC

c) Para hallar las coordenadas de los vectores 1v y 2v respecto a la base 1B usando la matriz de cambio de base, simplemente usamos la ecuacin que se nos da en uno de los teoremas.

[ ] [ ][ ]

[ ]

=

=

=

31

47

1121

11

11

211211

B

B

BBBB

v

v

vCv

[ ] [ ][ ]

[ ]

=

=

=

65

17

1121

12

12

221212

B

B

BBBB

v

v

vCv

42

Ramiro Saltos

Tema 2

Sean { }211 ,vvB = y

=

1003

,

1002

2B dos bases del espacio vectorial 22xDV = . Sea

la matriz de cambio de base de 1B a 2B

= 1314

21 BBC

a) Encuentre los vectores 1v y 2v de la base 1B b) Usando la matriz de cambio de base 21 BBC , determine [ ] 2Bu si se conoce que

=

4007

u

a) Para encontrar la base 1B basta recordar que las columnas de la matriz de cambio representan las coordenadas de los vectores de 1B respecto a la base de llegada.

=

+

=

=

70017

3009

4008

1003

31002

4

1

1

1

v

v

v

=

+

=

+

=

0001

1003

1002

1003

11002

1

2

2

2

v

v

v

=

0001

,

70017

1B

b) Para resolver el literal primero necesitamos encontrar las coordenadas de u respecto a la base

1B , y eso lo hacemos escribiendo a u como combinacin lineal de los vectores de la base 1B

+=

+

=

=

70017

0001

70017

4007

u

Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por Gauss

==

=+

7447

717

719197

6849749768

77417

=

=

=

=+

=+

71974

=

=

[ ]

=

719

74

1Bu

43

Ramiro Saltos

Y finalmente usando la ecuacin del teorema:

[ ] [ ][ ]

[ ]

=

=

=

15

719

74

1314

2

2

1212

B

B

BBBB

u

u

uCu

Tema 3

Sean 1S y

=

100

,

011

,

101

2S dos bases de 3R y sea la matriz de cambio de base de 1S a

2S :

=

111120111

21 SSC

a) Determine la base 1S

b) Encuentre [ ] 1Su si

=

321

u

a) Para hallar los vectores de la base 1S aplicamos el mismo procedimiento que en ejercicio anterior

=

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

=

+

=

+

+

=

210

100

)1(011

)1(101

)1(

02

1

100

02

2

101

100

)1(011

)2(101

)1(

201

100

101

100

)1(011

)0(101

)1(

z

w

v

=

210

,

02

1,

201

1S

44

Ramiro Saltos

b) Este literal es fcil, para encontrar las coordenadas de u bastar escribirlo como combinacin lineal de los vectores de la base 1S , encontrar los escalares y plantearlos en un vector coordenada

+

+

+

=

+

+

=

=

31

32

21

321

222

321

210

02

1

201

321

u

( ) )2( )1(122012

1101011

21

122021201011

)2(320221201011

23

21213 A

AMA

( )( )

11002

30102

5001

212

1

110012

11022

101

31

32

A

A [ ]

=

12

32

5

1Su

Tema 4

Sea W un subespacio del espacio euclidiano 3R y sean

=

21

0,

01

1A y

=

45

3,

22

1B dos bases de W . Encuentre la matriz de cambio de base BAC

Ya sabemos que para encontrar la matriz de cambio de base hay que encontrar las coordenadas de los vectores que conforman la base de ida respecto a la base de llegada. Estas coordenadas son las columnas de la matriz en cuestin. Por definicin:

=

BB

BAC21

0

01

1

Hallamos las coordenadas de ambos vectores escribindolos como combinacin lineal de los vectores de la base de llegada.

+

+

=

+

=

4252

3

45

3

22

1

01

1

45

Ramiro Saltos

000110201

)2()3(

220110131

)2()2(

042152

131

23

21

13

12

AA

AA

12

=

=

=

12

01

1

B

Igual procedimiento aplicamos con el vector faltante

+

+

=

+

=

4252

3

45

3

22

1

21

0

000110

301

)2()3(

220110

031

)2()2(

242152

031

23

21

13

12

AA

AA

1

3=

=

=

1

3

21

0

B

1132

BAC

Tema 5 Sea 2PV = . Si { }3211 ,, vvvB = y { }3212 ,, uuuB = son bases ordenadas de V , y se conoce que:

=

102010101

21 BBC

[ ]

=+

111

1 1Bx , [ ]

=

001

1 1Bx y [ ]

=

100

22

Bx

Determine los vectores de las bases 1B y 2B

Para resolver este ejercicio slo hay que aplicar un poco de teora. Hay que recordar que las coordenadas de un vector representan los escalares que resultan de la combinacin lineal de dicho vector con los pertenecientes a la base, entonces:

321

321

1)1()1()1(1

vvvx

vvvx

++=+

++=+

1)0()0()1(1

1

321

=

++=

xv

vvvx

Y utilizando los primeros datos que nos da el ejercicio ya hemos encontrado uno de los vectores de la base, y a este lo reemplazaremos en la primera ecuacin

46

Ramiro Saltos

211

1

32

32

321

=+

++=+

++=+

vv

vvxx

vvvx

Seguimos con el procedimiento anterior

23

3212 )0()0()0(

xu

uuux

=

++=

Ahora ya hemos utilizado la mayora de los datos del problema, pero an hay que recordar que las columnas de la matriz de cambio de base representan las coordenadas de los vectores de la base de partida en la base de llegada, por tanto:

131

3211

2)2()0()1(

uuv

uuuv

=

++=

Pero ya conocemos los vectores 1v y 3u as que remplazamos y:

1221

2

21

12

131

+=

=

=

xxu

uxx

uuv

Proseguimos con el segundo y tercer vector de la base de ida

22

3212 )0()1()0(uv

uuuv

=

++=

133

3213 )1()0()1(uuv

uuuv

=

++=

Pero como ya conocemos los valores de 1u y 3u , simplemente reemplazamos

112

23

223

133

+=

+=

=

xxv

xxxv

uuv

Finalmente debemos encontrar 2v y 2u , pero como ya se demostr arriba estos dos vectores son iguales as que bastar hallar uno de ellos y tendremos ambos, y para ello utilizaremos la ltima ecuacin que falta:

22

2

22

32

321

2

uxxv

xxv

vv

=+=

=+

=+

47

Ramiro Saltos

Entonces las bases son:

{ }1,3,1 221 ++= xxxxxB

{ }2222 ,3,12 xxxxxB ++= Como podr haberse notado el ejercicio se redujo a una simple aplicacin de conceptos y al manejo de ecuaciones

Espacios Asociados a Matrices Sea la matriz:

=

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

Espacio Fila de una Matriz

Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el espacio fila de A , denotado por AF como:

=

mn

m

m

m

nnn

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

genF

3

2

1

3

33

32

31

2

23

22

21

1

13

12

11

,...,,,

Espacio Columna de una Matriz

Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el espacio columna de A , denotado por

AC como:

=

mn

n

n

n

mmm

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

genC

3

2

1

3

33

23

13

2

32

22

12

1

31

21

11

,...,,,

Ncleo de una Matriz

Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el ncleo de A , denotado por )(ANu como:

48

Ramiro Saltos

{ }mRn OAXRXANu == /)(

Recorrido o Imagen de una Matriz Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el recorrido o imagen de A , denotado por )Re(A o )Im(A como:

{ }nm RXYAXRYAA === ;/)Im()Re(

Nulidad y Rango de una Matriz Definicin: Sea A una matriz de mxn .Se define, la nulidad de A , denotada por )(Av , como la dimensin del )(ANu y el rango de A , denotado por )(A , como la dimensin del )Re(A , es decir:

)(dim)( ANuAv = )Re(dim)( AA =

Teorema 1

Sea A una matriz de mxn . Entonces:

1. El ncleo de A es un subespacio de nR 2. El recorrido de A es un subespacio de mR

Teorema 2

Sea A una matriz de mxn . Entonces:

1. ACA =)Re( 2. AA FC dimdim = 3. nAAv =+ )()(

Teorema 3

Sea A una matriz de nxn . Entonces los nueve enunciados que siguen son equivalentes, es decir, cada uno de ellos implica los otros ocho, de tal modo que si uno de ellos es vlido, todos son vlidos.

1. A es invertible 2. La nica solucin del sistema homogneo 0=AX es la solucin trivial 3. El sistema BAX = tiene una solucin que es nica para cada n - vector de B 4. A es equivalente por filas a la matriz identidad nI de nxn 5. A se puede escribir como producto de matrices elementales 6. Las filas y las columnas de A son linealmente independientes 7. 0)det( A 8. 0)( =Av 9. nA =)(

49

Ramiro Saltos

Tema 1 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta

a) Sea mxnMA . Entonces, el ncleo de A es igual al espacio rengln de A (Falso)

Sea 224321

xMA

=

==

00

/)( 2 AXRXANu

Para hallar el ncleo planteamos el sistema homogneo y simplificamos la matriz hasta obtener la mayor cantidad de ceros posibles:

020021)3(

043021

12A 002

=

=

yy

0

02=

=+

x

yx

=

00)(ANu

Una vez encontrado el ncleo debemos hallar el espacio fila. Por definicin:

=

43

,

21

genFA

Como podemos darnos cuenta, el espacio fila es generado por dos vectores linealmente

independientes, por tanto la 2dim =AF que es la misma dimensin del espacio 2R y por teorema concluimos que 2RFA =

b) El rango de la matriz

=

131402311

A es igual a 2 (Verdadero)

Por definicin:

{ }YAXRYA == /)Re( 3 Entonces una manera sencilla de explicar el procedimiento para hallar el recorrido consiste en igualar la matriz A a tres variables y luego trataremos hacer cero cualquier fila de la matriz y as habremos encontrado la condicin para el subespacio Recorrido.

Sea )Re(Ac

ba

++

+

cbaab

a

Aca

aba

AA

c

ba

230002220

311)2(

4402220

311

)1()2(

131402311

2313

12

023 =++ cba bac 23 =

50

Ramiro Saltos

+

=

=

210

301

23ba

baba

c

ba

=

210

,

301

)Re( AB 2)Re(dim = A

c) La nulidad de la matriz

=

660134103211

A es igual a 2 (Falso)

Aplicamos la definicin:

==

000

/)( 4 AXRXANu y sea )(ANu

dc

ba

Luego planteamos la matriz aumentada igualada a cero

( )

011000341000001

)6(12

1

01212000341006601

)1()1(

098100341003211

)1(066010341003211

31

3

23

2113 A

MAA

A

0=a dc

dc=

=+ 0

dbddbdcb

=

=+

=++

034034

=

=

11

100

d

dd

d

dc

ba

=

11

10

)( ANuB 1)( = Av

Tema 2 Sea la matriz

=

987654321

A

Encuentre una base y la dimensin de: a) )(ANu b) )Re(A c) AF

a) { }3/)( 3 ROAXRXANu == Sea )(ANu

c

ba

51

Ramiro Saltos

Una vez planteados todos los supuestos, igualamos la matriz A a cero

( )

000002100101

)2(000002100321

)6(3

1

0126006300321

)7()4(

098706540321

2123

2

13

12 AA

MAA

ca

ca

=

= 0

cbcb2

02=

=+

=

=

12

12 cc

c

c

c

ba

=

12

1)(ABNu 1)( =Av

b) Aplicamos el mismo procedimiento que se us para hallar la base del ncleo, slo que esta vez planteamos la matriz aumentada igualada a tres variables

{ }YAXRYA == /)Re( 3 Sea )Re(A

c

ba

+

cbaab

a

Aac

aba

AA

c

ba

20004630

321)2(

712604630

321

)7()4(

987654321

2313

12

cbacba

=

=+

202

+

=

=

101

0122

cbc

bcb

c

ba

=

101

,

012

)Re( AB 2)( =A

c)

=

987

,

654

,

321

genFA

Para hallar el espacio simplemente escribimos la matriz cuyas columnas son los tres vectores del conjunto generador de AF y la igualamos al vector tpico de AF

Sea AFc

ba

+

cbaab

a

Aac

aba

AA

c

ba

20002630

741)2(

312602630

741

)3()2(

963852741

2313

12

52

Ramiro Saltos

cbacba

=

=+

202

+

=

=

101

0122

cbc

bcb

c

ba

=

101

,

012

AFB 2dim =AF

Tema 3 Sea la matriz

=

877426133201

4321

A

Encuentre una base y la dimensin de: a) )(ANu b) )Re(A c) AF

a) { }4/)( 4 ROAXRXANu ==

Sea )(ANu

dc

ba

Planteamos el sistema homogneo y tratamos de obtener la mayor cantidad de ceros posibles

)2()5()2(

0152001015500851004321

)1(

0851001015500152004321

)4()3(

)1(

08774026130320104321

24

23

21

24

4

14

13

12

AA

A

PM

AAA

( )( )

00000031000701009001

)1()5(

)7(

031000310008510012701

5110

1

015500030100008510012701

34

32

31

4

3

AAA

M

M

dada9

09=

=+

dbdb

707

=

=

dc

dc3

03=

=+

53

Ramiro Saltos

=

=

13

79

379

d

dd

dd

dc

ba

=

13

79

)( ANuB 1)( =Av

b) { }YAXRYA == /)Re( 4

Sea )Re(A

dc

ba

Ahora planteamos la matriz aumentada igualada a las variables del vector tpico del )Re(A y tratamos de obtener una fila llena de ceros

24

4

14

13

12 )1(

485103101550

15204321

)4()3(

)1(

877426133201

4321

PM

adac

baa

AAA

dc

ba

+

)2(

2715500517301000

485102712701

)2()5()2(

15203101550

485104321

34

24

23

21

A

dbadca

dada

AA

A

baac

daa

++

+

+

+

++

++

+

dbadcba

dada

2715500230000

485102712701

023

023=++=

=++

cbaddcba

+

+

=

++

=

1100

2010

3001

23

cba

cbac

ba

dc

ba

54

Ramiro Saltos

=

1100

,

2010

,

3001

)Re( AB 3)( =A

nAAv =+ )()(

431 =+ 44 =

c)

=

8774

,

26

13

,

3201

,

4321

genFA . Sea AF

dc

ba

Y realizamos el mismo proceso que en el literal anterior, pero esta vez la matriz es aquella cuyas columnas son los vectores del conjunto generador de AF

)2()5(

)1(

21520351550481010

4311

48101035155021520

4311

)4()3()2(

8234762371024311

24

23

21

24

14

13

12

AAA

abac

ada

P

adac

aba

AAA

dc

ba

( )( ) )1(

15261100

355171100

48101034701

15135

1

26151500517353500

48101034701

344

3

+

+

+

+

+

+

A

dba

dcaadda

M

M

dbadca

adda

+

+

+

+

35517

15260000

355171100

48101034701

dcadba

dcaadda

cbaddcba

dcbadcadba

dcadba

dcadba

3790379

05153545075152557035210

0)517(15)26(350

35517

1526

+=

=++

=++

=++

=++

=

+

+

+

+

=

+

=

3100

7010

9001

379

cba

cbac

ba

dc

ba

55

Ramiro Saltos

=

3100

,

7010

,

9001

AFB 3dim =AF

Tema 4 Sea 43xMA tal que:

=

12154371221431

A

Encuentre una base y la dimensin de: a) AC b) AF c) )(ANu d) )Re(A

a) AC Por definicin sabemos que:

=

132

,

217

14,

513

,

421

genC A

Seleccionamos un vector tpico de AC y lo escribimos como combinacin lineal de los vectores que forman parte del conjunto generador, as

Sea ACc

ba

+++

+++

=

+

+

+

=

4321

4321

4321

4321

2154372

2143

132

217

14

513

421

c

ba

Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros

+

+

+

+

cbaba

a

Aca

baa

AA

c

ba

20000273570

21431)1(

473570273570

21431

)4()2(

12154371221431

2313

12

Caracterizando el subespacio AC nos queda

56

Ramiro Saltos

+=

= cabRc

ba

C A 2/3

Reemplazamos la relacin en el vector tpico y calculamos la base

+

=

+=

110

021

2 cac

ca

a

c

ba

=

110

,

021

ACB 2dim =AC

b) AF Por definicin tenemos que:

=

1215

4

.

3712

,

21431

genFA

Escogemos nuestro vector tpico, lo escribimos como combinacin lineal de los vectores del conjunto generador, planteamos la matriz aumentada y simplificamos hasta hallar la mayor cantidad de filas llenas de ceros.

Sea AF

dc

ba

+

+

+

++

=

+

+

=

321

321

321

321

321

3221714

5342

1215

4

3712

21431

dc

ba

+

+

+

+

+

+

dbacba

baa

AA

daca

baa

AAA

dc

ba

0005000

3770421

)1()5(

277014353503770

421

)2()14()3(

13221714513

421

24

23

14

13

12

57

Ramiro Saltos

Ahora caracterizamos el subespacio AF

+=+=

= badbacR

dc

ba

FA 5/4

Calculamos la base y la dimensin:

+

=

+

+=

1510

1101

5ba

baba

ba

dc

ba

=

1510

,

1101

AFB 2dim =AF

c) )(ANu Sabemos que:

{ }3/)( 4 ROAXRXANu == Realizamos el mismo procedimiento que para hallar los subespacios anteriores, solo que esta vez planteamos un sistema homogneo de ecuaciones.

Sea )(ANu

dc

ba

=

=

000

12154371221431

3

dc

ba

OAXR

Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad posible de ceros en la matriz

( ) )3(0000001510021431

71

)1(

073570073570021431

)4()2(

01215403712021421

212

23

13

12

AMA

AA

58

Ramiro Saltos

000000151001101

dcadca

=

= 0

dcbdcb=

=++

505

Caracterizando el ncleo nos queda:

==

= dcbdcaR

dc

ba

ANu 5/)( 4

Calculamos la base y la dimensin

+

=

=

1011

0151

5dc

dc

dcdc

dc

ba

=

1011

,

0151

)( ANuB 2)( =Av

d) )Re(A Por teorema sabemos que )Re(AC A = por tanto:

=

110

,

021

)Re( AB 2)( =A

folleto.pdfALGEBRALINEAL-RAMIROSALTOS.pdf