Algebra de Boole y Simplificación Lógica

Nombre del curso: Sistemas Digitales

Nombre del docente: Hctor Vargas

EIE 446 - SISTEMAS DIGITALES

Tema 4: Algebra de Boole y Simplificacin Lgica

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Aplicar las leyes y reglas bsicas del lgebra de Boole.

Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones booleanas.

Describir redes de puertas mediante expresiones booleanas.

Evaluar las expresiones booleanas.

Simplificar expresiones mediante las leyes y reglas del lgebra booleana.

Convertir cualquier expresin booleana en una suma de productos o producto de sumas (SOP o POS).

Utilizar los mapas de Karnaugh para simplificar expresiones booleanas, tablas de verdad.

Utilizar condiciones indiferentes para simplificar funciones booleanas.

OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS

El algebra de Boole son las matemticas de los sistemas digitales. Es indispensable tener unos conocimientos bsicos del lgebra booleana para

estudiar y analizar los circuitos lgicos.

En el tema previo hemos estudiado las operaciones y expresiones booleanas para las puertas NOT, AND, OR, NAND y NOR.

Definiciones Los trminos variable, complemento y literal son trminos utilizados en el

lgebra booleana:

Una variable es un smbolo que se utiliza para representar magnitudes lgicas. Una variable puede tener el valor 0 o 1.

El complemento es el inverso de una variable y se indica mediante una barra encima de la misma. As, el complemento de A es A.

Un literal es una variable o el complemento de una variable.

Suma booleana

Como hemos visto en el tema anterior, la suma booleana es equivalente a la operacin OR. El trmino suma es 1 si al menos uno de sus literales son 1. El

trmino suma es cero solamente si cada literal es 0.

Determinar los valores de A, B, y C Qu hacen la

suma de la expresin A + B + C = 0 ?

Cada literal debe ser = 0; por lo tanto A = 1, B = 0 y C = 1.

En el lgebra de Boole, el trmino suma es una suma de literales. En los circuitos lgicos, un trmino suma se obtiene con la operacin OR, sin que

exista ninguna operacin AND. Ejemplos: A+B, A+B, A+B+C, A+B+C+D.

0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 1

Multiplicacin booleana

Igualmente, ya hemos visto que la multiplicacin booleana es equivalente a la operacin AND. El producto de literales forma un trmino producto. El

trmino producto ser 1 solamente si todos literales son 1.

Cada literal debe ser = 1; por lo tanto A = 1, B = 0 y C = 0.

0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1

Cules son los valores de A, B y C si el trmino producto

de A.B.C = 1 ?

En el lgebra de Boole, el trmino producto es un producto de literales. En los circuitos lgicos, un trmino producto se obtiene con la operacin AND,

sin que exista ninguna operacin OR. Ejemplos: AB, AB, ABC, ABCD.

LEYES Y REGLAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

Al igual que en otras reas de las matemticas, existen en el lgebra de Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse

para aplicarla correctamente.

Leyes del lgebra de Boole

Las leyes del lgebra de Boole son las mismas que en el lgebra ordinaria.

Cada una de las leyes se explicar con dos o tres variables, aunque el nmero de variables no est limitado a esta cantidad.

Leyes conmutativas Las leyes conmutativas se aplican a la suma y la multiplicacin.

Para la suma la ley conmutativa declara: En trminos del resultado, el orden en el cual se suman (OR) las variables es indiferente.

Para la multiplicacin la ley conmutativa declara: En trminos del resultado, el orden en el cual se multiplican (AND) las variables es

indiferente.

A + B = B + A

AB = BA

B

A A + B

A

B B + A

B

A A B

A

B B A

Leyes asociativas

Las leyes asociativas se aplican tambin a la suma y la multiplicacin.

Para la suma la ley asociativa declara: Cuando de suman (OR) ms de dos variables, el resultado es el mismo a pesar del agrupamiento de las

variables.

Para la multiplicacin la ley asociativa declara: Cuando se multiplican (AND) ms de dos variables, el resultado es el mismo a pesar del

agrupamiento.

A + (B + C) = (A + B) + C

A(BC) = (AB)C

A+(B+C) A

C

B B+C (A+B)+C

A

C

B

A+B

A(BC) A

C

B BC (AB)C

A

C

B AB

Ley distributiva

La ley distributiva es la ley de factorizacin. Una expresin que contiene factores comunes se puede factorizar tal como en el algebra ordinaria.

AB + AC = A(B + C)

La ley distributiva se puede ilustrar con circuitos equivalentes:

B + CC

AX

BAB

B

X

A

C

AAC

X = AB + AC X = A(B + C)

Reglas del lgebra booleana

A continuacin, se enumeran las doce reglas bsicas, muy tiles, para la manipulacin y simplificacin de expresiones booleanas.

1. A + 0 = A

2. A + 1 = 1

3. A . 0 = 0

4. A . 1 = A

5. A + A = A

7. A . A = A

6. A + A = 1

8. A . A = 0

9. A = A =

10. A + AB = A

12. (A + B)(A + C) = A + BC

11. A + AB = A + B

Las nueve primeras reglas se vern en trminos de su aplicacin a las puertas lgicas. Las reglas 10 a 12 se obtendrn de las reglas ms sencillas y de las

leyes anteriormente explicadas.


Las Reglas del algebra Booleana se pueden ilustrar con diagramas

de Venn. La variable A se representa como un rea.

La regla A + AB = A se puede ilustrar fcilmente con un diagrama.

Aadir una zona de solapamiento para representar la variable B.

A BAB

La regin de interseccin entre A y B representa AB.

AA BA BAB

Visualmente, el diagrama muestra que A + AB = A. Otras

reglas tambin se pueden ilustrar con estos diagramas.

=


A

A + AB = A + B

Esta vez, A se representa por el rea azul y B de nuevo por el

crculo rojo.

B

La interseccin representa AB.

Observe que A + AB = A + B

AABA

Ilustrar la regla con un diagrama de Venn.


La Regla 12, que declara que (A + B)(A + C) = A + BC, se puede probar al aplicar las leyes y reglas como sigue:

(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC

= A + AC + AB + BC

= A(1 + C + B) + BC

= A . 1 + BC

= A + BC

Esta regla es un poco ms complicada, pero tambin puede ser demostrada con un diagrama de Venn. Homework .

TEOREMAS DE DeMORGAN

DeMorgan propuso dos teoremas que constituyen una parte importante del lgebra de Boole.

Fundamentalmente, los teoremas de DeMorgan proporcionan una verificacin matemtica de la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y las

puertas NOR y negativa-AND.

En lo sucesivo aprenderemos:

Los postulados de los teoremas de DeMorgan. Relacionar los teoremas de DeMorgan con la equivalencia entre puertas

NAND y negativa-OR, y puertas NOR y negativa-AND.

Aplicar los teoremas de DeMorgan para simplificar las expresiones booleanas.


1er Teorema de DeMorgan.

Enunciado: El complemento de un producto de variables es igual a la suma de las variables complementadas.

AB = A + B

Aplicando el primer teorema de DeMorgan a las puertas:

OutputInputs

A B AB A + B

0011

0101

1110

1110

A + BA

BAB

A

B

NAND Negative-OR


2do Teorema de DeMorgan.

Enunciado: El complemento de una suma de variables es igual al producto de las variables complementadas.

Aplicando el segundo teorema de DeMorgan a las puertas:

A + B = A . B

A B A + B AB

OutputInputs

0011

0101

1000

1000

ABA

BA + B

A

B

NOR Negative-AND


Como se ha comentado, los teoremas de DeMorgan se aplican tambin a expresiones en las que existen ms de dos variables. A continuacin veremos

la aplicacin de los teoremas de DeMorgan a expresiones de 3 y 4 variables.

Si analizamos los postulados de DeMorgan, cada variable podra en realidad representar una combinacin de otras variables. A continuacin un ejemplo:

Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones .

Solucin: ZYXXYZ

ZYXyXYZ

ZYXZYX

ZYXWWXYZ

ZYXWZYXW

ZYXWyWXYZ Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones .

Solucin:

TEOREMAS DE DeMORGAN X puede ser igual al trmino AB+C, e Y puede ser igual a A+BC. As, si

aplicamos el primer teorema de DeMorgan para dos variables , a

la expresin obtenemos el siguiente resultado: BAAB

))(( BCACAB

)()()()( BCACABBCACAB

)()())(( BCACABBCACAB

ABBA

BCyAB

BCAyCAB

)()()()( CBACBABCACAB

En el resultado anterior se ve que hay dos trminos, , a los que podemos aplicar otra vez DeMorgan , obteniendo:

De esta manera obtenemos otros dos trminos en la expresin a los que nuevamente podemos aplicar DeMorgan. Estos trminos son . Una

ltima aplicacin del teorema nos da como resultado:

Los teoremas de DeMorgan ya no pueden seguir aplicndose, aunque este resultado puede ser simplificado an ms mediante el uso de reglas y leyes

de Boole.

Aplicacin de los teoremas de DeMorgan

A continuacin se analiza un procedimiento que ilustra la aplicacin de los teoremas de DeMorgan y del lgebra de Boole utilizando como ejemplo la

siguiente expresin:

)( FEDCBA

YFEDyXCBA )(

Paso 1. Identificamos los trminos a los que se pueden aplicar los teoremas de DeMorgan y consideramos cada trmino como una nica variable. De este

modo, nos queda:

Paso 2. Dado que YXYX

))()(())(()( FEDCBAFEDCBA


AA

))()(())()(( FEDCBAFEDCBA

Paso 3. Utilizamos la regla 9 ( ) para eliminar la barra doble sobre el trmino de la izquierda (esto no es parte del teorema de DeMorgan):

Paso 4. Aplicando el primer teorema de DeMorgan al segundo trmino:

))()(())()(( FEDCBAFEDCBA

Paso 5. Empleamos la regla 9 nuevamente para cancelar las barras dobles sobre la parte del trmino.

))(())()(( FEDCBAFEDCBA

FE


Ejercicio 1: Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones:

Ejercicio 2: Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones:

Ejercicio 3: La expresin booleana de una puerta OR-exclusiva es . Tomando esto como punto de partida, desarrollar una expresin para una

puerta NOR-exclusiva, utilizando los teoremas de DeMorgan y aquellas leyes

o reglas que se puedan aplicar.

EFDCBAcDEFABCbDCBAa )()()()(

FEDCBAcCDBAbCBAa )()()()()()(

BABA

ANLISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LGICOS

El lgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar el funcionamiento de un circuito lgico formado por una combinacin de

puertas lgicas, siendo la salida una combinacin de los valores de entrada.

A

C

D

B

Aplicando el teorema de DeMorgan y la ley de distribucin:

C (A + B )

= C (A + B )+ D

(A + B )

X = C (A B) + D = A B C + D

X

Los Circuitos Lgicos Combinacionales se pueden analizar escribiendo la expresin para cada puerta lgica y combinando estas expresiones de

acuerdo a las reglas del lgebra de Boole. A continuacin un ejemplo:

Expresin booleana de un circuito lgico

X = C (A B) + D = A B C + D

Una vez determinada la expresin booleana de un circuito lgico, puede

elaborarse una tabla de verdad que

represente la salida del circuito

lgico para todos los posibles valores

de las variables de entrada.

Para la expresin booleana obtenida en el ejemplo de la diapositiva

anterior, se tiene:

Tabla de verdad para un circuito lgico

A B

Salidas Entradas

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

C D

0 0

0 1

0 1

1 1

A B C + D

0 0

1 0

1 1

0 1

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

0 0

0 1

0 1

1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

SIMPLIFICACIN MEDIANTE EL LGEBRA DE BOOLE

En mltiples ocasiones a la hora de aplicar el lgebra booleana, hay que reducir una expresin a su forma ms simple o cambiarla a una forma ms

conveniente que permita conseguir una implementacin eficiente.

Aqu trataremos el mtodo que utiliza las reglas, leyes y teoremas del lgebra de Boole para manipular y simplificar una expresin.

Una expresin booleana simplificada debera emplear el menor nmero posible de puertas en la implementacin de un circuito lgico.

Mediante algunos ejemplos veremos esto en detalle.

SIMPLIFICACIN MEDIANTE EL LGEBRA DE BOOLE

Ejemplo 1. Simplificar la siguiente expresin utilizando tcnicas del lgebra de Boole.

Ejercicio 2. Simplificar la siguiente expresin:


)()( CBBCBAAB

CBABDCBA ))((

ABCCBACBACBABCA


CBAACAB

FORMAS ESTNDAR DE LAS EXPRESIONES

Todas las expresiones Booleanas pueden ser escritas en la forma suma de productos (SOP, Sum Of Products) o en la forma producto de sumas (POS,

Product of Sums).

Estas formas pueden simplificar la implementacin de expresiones lgicas y hacer el trabajo mucho ms sistemtico y sencillo.

Suma de productos

Cuando dos o ms productos se suman mediante la adicin booleana, la expresin resultante se denomina suma de productos (SOP, Sum Of

Products). A continuacin algunos ejemplos:

A B C + A B A B C + C D C D + E

En una expresin con formato de suma de productos, una barra no puede extenderse sobre ms de una variable. Sin embargo, ms de una variable

puede tener una barra encima. ABCnoperoCBAsidecirEs ,

Dominio de una expresin booleana: El dominio de una expresin booleana es el conjunto de variables contenidas en la expresin ya sea en su forma

complementada o no.

CBABA

DCBEDCCAB

DOMINIO: A, B, C

DOMINIO: A, B, C, D, E

La suma de productos puede ser implementada mediante una combinacin de puertas AND/OR o puertas NAND/NAND.

AB B

X=AB+AC

A

C

A AC

AND/OR

AB B

X=AB+AC

A

C

A AC

NAND/NAND

Producto de sumas

Cuando dos o ms trminos suma se multiplican, la expresin resultante se denomina producto de sumas (POS, Product Of Sums). A continuacin

algunos ejemplos:

En una expresin con formato de suma de productos, una barra no puede extenderse sobre ms de una variable. Sin embargo, ms de una variable

puede tener una barra encima. CBAnoperoCBAsidecirEs ,

))()(())(( DCBEDCCBACBABA

El producto de sumas puede ser implementado mediante una combinacin de puertas OR/AND como ilustra la figura.

A+B B

X=(A+B)(A+C)

A

C

A A+C

OR/AND

FORMA SOP ESTNDAR

En la forma SOP estndar, todas las variables del dominio deben aparecer en cada trmino. Esta forma es til para la construccin de tablas de verdad.

Puedes extender un trmino no-estndar a su forma estndar al multiplicar el trmino por un trmino compuesto por la suma de la variable que falta y

su complemento. Es decir, aplicando la regla 6 .

Convertir X = A B + A B C a su forma estndar.

El primer trmino no incluye la variable C. Por lo tanto,

multiplicarlo por (C + C), que es = 1:

X = A B (C + C) + A B C

= A B C + A B C + A B C

Ejercicio: Convertir la siguiente expresin booleana al formato SOP estndar:

DCABBACBA

1 AA

FORMA POS ESTNDAR

En la forma POS estndar, todas las variables en el dominio deben aparecer en cada trmino suma de la expresin.

Puedes extender una forma de expresin POS no-estndar a su forma estndar al aadir el producto de la variable que falta y su complemento y

aplicando la regla 12, que declara que: (A + B)(A + C) = A + BC.

Convertir X = (A + B)(A + B + C) a su forma estndar.

El primer trmino suma no incluye la variable C. Por lo tanto,

aadir C C y expandir el resultado aplicando la regla 12.

X = (A + B + C C)(A + B + C)

= (A +B + C )(A + B + C)(A + B + C)

Ejercicio: Convertir la siguiente expresin booleana al formato POS estndar:

))()(( DCBADCBCBA

CONVERSIN DE UN SOP ESTNDAR EN UN POS ESTNDAR

Para pasar de la suma de productos estndar al producto de sumas estndar hay que realizar los siguientes pasos:

1. Evaluar cada trmino producto de la expresin suma de productos. Es

decir, determinar los nmeros binarios que representan estos trminos.

2. Determinar todos los nmeros binarios no incluidos al realizar la

evaluacin del paso 1.

3. Escribir los trminos suma equivalente para cada valor binario del paso 2

y expresarlos en forma de producto de sumas.

VER EJEMPLO.

Convertir la siguiente suma de productos estndar en su expresin equivalente como producto de sumas:

ABCCBABCACBACBA

Utilizando un procedimiento similar, se puede pasar de POS a SOP estndar.

Desarrollo del ejemplo. Convertir la siguiente suma de productos estndar en su expresin

equivalente como producto de sumas:

ABCCBABCACBACBA

111101011010000

Paso 1. El resultado de la evaluacin es el siguiente:

Paso 2. Dado que son 3 las variables del dominio, existe un total de 23 posibles combinaciones. La expresin suma contiene cinco de estas

combinaciones, luego la expresin producto de sumas debe contener las

otras tres que son: 001, 100 y 110.

))()(( CBACBACBA

Paso 3. Recordar que estos valores binarios (paso 2) son los valores que hacen que cada operacin suma sea igual a cero. El resultado es,

EXPRESIONES BOOLEANAS Y TABLAS DE VERDAD

Todas las expresiones booleanas pueden convertirse fcilmente en tablas de verdad utilizando los valores binarios de cada trmino de la expresin.

Adems, las expresiones SOP y POS pueden determinarse muy fcilmente desde las tablas de verdad.

Conversin de una suma de productos a tabla de verdad

El primer paso para construir una tabla de verdad consiste en enumerar todas las posible combinaciones de los valores de entrada.

El segundo paso consiste en pasar la suma de productos a su forma estndar, si no lo est ya.

Finalmente, se escribe un 1 en la columna de salida de cada valor binario que hace que la suma de productos estndar sea 1, y un 0 en los restantes.

VER EJEMPLO.

Desarrollar una tabla de verdad para la expresin: ABCCBACBA

Conversin de un producto de sumas a tabla de verdad

El primer paso para construir una tabla de verdad consiste en enumerar todas las posible combinaciones de los valores de entrada.

El segundo paso consiste en pasar el producto de sumas a su forma estndar, si no lo est ya.

Finalmente, se escribe un 0 en la columna de salida de cada valor binario que hace que la suma de productos estndar sea 0, y un 1 en los restantes.

Ejercicio.

Desarrollar una tabla de verdad para la expresin:

))()()()(( CBACBACBACBACBA

Expresiones estndar a partir de la tabla de verdad

Para obtener la expresin algebraica de una suma de productos representada por una tabla de verdad se deben enumerar todos los valores

de las variables de entrada para los que la salida es 1.

Luego, cada valor binario se convierte en el correspondiente trmino producto, reemplazando cada 1 por la variable y cada 0 por la variable

complementada. Ejemplo: El valor binario 1010 DCBA

Para obtener la expresin algebraica de un producto de sumas representado por una tabla de verdad se deben enumerar todos los valores de las

variables de entrada para los que la salida es 0.

Luego, cada valor binario se convierte en el correspondiente trmino suma, reemplazando cada 0 por la variable y cada 1 por la variable

complementada. Ejemplo: El valor binario 1010 DCBA

Expresiones estndar a partir de la tabla de verdad

A

Salida Entradas

0

0 0

0

0 0 0 1

1 0 1 1

B C

0 0

0 1

0 1

1 1

X

1

1 1

1

0 0

0 1

0 1

1 1

Ejercicio: A partir de la tabla de verdad de la derecha, determine la expresin suma de

productos y la expresin producto de sumas

estndar equivalente.

Representaciones cannicas SOP y POS

Otra forma de representar las sumas de productos y productos de sumas estndar son las formas cannicas.

Minterms 1: Son los trminos producto de cada fila de la tabla de verdad que hacen que tal trmino producto valga 1.

Expresin para representar en SOP estndar mediante minterms.

Maxterms 0: Son los trminos suma de cada fila de la tabla de verdad que hacen que tal trmino suma valga 0.

Expresin para representar en POS estndar mediante maxterms.

)()( 1 mintermsdendicesdelistavariablesdelistaF

0 maxtermsdendicesdelistavariablesdelistaF )(


Tabla representativa de minterms y maxterms de tres variables.

A

Salida Entradas

B C MINTERMS MAXTERMS NOTACIN NOTACIN

7

6

5

4

3

2

1

0

m

m

m

m

m

m

m

m

XYZ

ZXY

ZYX

ZYX

YZX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

7

6

5

4

3

2

1

0

M

M

M

M

M

M

M

M

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1


Exprese la funcin booleana F = X+YZ como suma de minterms 1.

YZXXYZZYXZXYZYXXYZF

YZXXZZYYXF

YZXF

)())((

Eliminando los duplicados, de acuerdo con la regla 5, y reordenando los

minterms en orden ascendente, obtenemos finalmente,

)7,6,5,4,3(

76543

mmmmm

XYZZXYZYXZYXYZXF

Ejercicio para la casa: Exprese la funcin booleana como producto de maxterms 0.

XZYXF

MAPAS DE KARNAUGH

Mientras que con las leyes, reglas y teoremas del lgebra de Boole la reduccin de las expresiones dependa de nuestra habilidad para aplicarlas,

los mapas de Karnaugh nos proporcionan un mtodo sistemtico para el

mismo propsito.

Si se aplica correctamente, el mtodo genera las expresiones suma de productos o producto de sumas ms simples posibles, conocidas como

expresiones mnimas.

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todas las posibles combinaciones de entrada y salida resultante para cada

una de ellas.

Los mapas de Karnaugh se pueden utilizar para reducir expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables. Nosotros nos ocuparemos de los casos de tres

y cuatro variables para ilustrar los principios.

Mapa de Karnaugh de tres variables

El mapa de Karnaugh (K-map) es una herramienta para simplificar lgica combinacional con 3 o 4 variables. Para 3 variables, se requieren 8

celdas (23).

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

El mapa que se muestra es para tres variables etiquetadas A, B, y C. Cada celda representa

un posible trmino producto.

Cada celda difiere de una celda adyacente por solo una variable.


Las celdas son usualmente etiquetadas usando 0s y 1s para representar la variable y su complemento.

0 1

00

01

11

10

AB

C

Cod.

Gray Los unos se leen como la variable real y

los ceros se leen como la variable

complementada.

Los nmeros se ingresan en cdigo gray,

para forzar que las celdas adyacentes

difieran por slo una variable.


Alternativamente, las celdas se pueden etiquetar con las letras de variables. Esto hace que sea ms simple de leer, pero toma ms tiempo

preparar el mapa. Observe la adyacencia de las celdas.

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

AB

AB

AB

AB

C C C C

AB

AB

AB

AB

C C

AB

AB

AB

AB ABC

ABC

Leer los trminos para las

celdas amarillas.

Las celdas son ABC y ABC

Mapa de Karnaugh de cuatro variables

En un mapa de Karnaugh de 4 variables las celdas se disponen de manera similar al mapa de 3 variables, es decir, las variables AB estn a la

izquierda y las variables CD estn en la parte superior.

AB

AB

AB

AB

CD CD CD CD Fsicamente, cada celda es adyacente a las

celdas que estn situadas inmediatas a ella por

cualquiera de sus cuatro lados.

Una celda no es adyacente a aquellas celdas

que tocan diagonalmente alguna de las

esquinas.

Adems podemos apreciar la adyacencia

cclica de las celdas ubicadas en los extremos.

MINIMIZACIN DE UNA SOP MEDIANTE KARNAUGH

Como se ha comentado en las diapositivas anteriores, el mapa de Karnaugh se utiliza para reducir expresiones booleanas al mnimo.

Objetivo: Siguiendo el sentido del punto anterior, una suma de productos minimizada est formada por el mnimo nmero de trminos

producto posibles con el mnimo nmero de variables por trmino.

Generalmente, una expresin suma de productos minimizada puede implementarse con un nmero de puertas menor que su expresin

estndar, lo cual constituye la finalidad del proceso de simplificacin.

Mapa de Karnaugh de una suma de productos estndar

Los siguientes pasos describen como completar los mapas de Karnaugh de una suma de productos estndar:

1. Determinar el valor binario de cada trmino producto de la suma de

productos estndar.

2. A medida que evaluamos cada trmino, colocamos un 1 en el mapa de

Karnaugh en la celda que tiene el mismo valor que dicho trmino.

Cuando hayamos completado el mapa de Karnaugh correspondiente a la suma de productos dada, en dicho mapa habrn tantos unos como trminos

en la expresin.

Generalmente cuando se trabaja con suma de productos los ceros se dejan fuera del mapa.


Un ejemplo de mapa de Karnaugh de 3 variables de una SOP estndar.

1

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

CBACABCBACBA 000 001 110 100


Ejercicio 1. Transformar la siguiente suma de productos estndar en un mapa de Karnaugh.

ABCCABCBACBA

DCBADCBADCABABCDDCABDCBACDBA

Ejercicio 2. Transformar la siguiente suma de productos estndar en un mapa de Karnaugh.

Mapa de Karnaugh de una suma de productos no-estndar Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh, las

expresiones booleanas deben estar en su forma

estndar. Si una expresin no lo est, debera pasarse

a su forma estndar mediante el procedimiento ya

descrito algunas diapositivas atrs.

Otra manera ms rpida es mediante el mtodo del desarrollo numrico de los trminos que no incluyen

todas las variables del dominio.

1

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

1 1

1

CABBAA 000 100 110

001 101

010

011

CDBADCBADCBACABBACB Ejercicio 2. Obtener el K-map de:

Simplificacin de una SOP mediante el mapa de Karnaugh

El proceso de minimizacin de una suma de productos estndar mediante los mapas de Karnaugh (una vez generado el mapa) se divide en dos pasos:

Agrupacin de unos. Se deben agrupar los unos del mapa de Karnaugh de acuerdo con ciertas reglas. La finalidad es maximizar el tamao de los grupos

y minimizar el nmero de estos grupos.

1. Un grupo tiene que contener 1,2,4,8 16 celdas (potencias de 2). En el caso de un

mapa de 3 variables, el grupo mximo puede ser de 8 celdas.

2. Cada celda del grupo debe ser adyacente a una o ms celdas del mismo grupo,

pero no todas las celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre s.

3. Incluir en cada grupo el mayor nmero posible de 1s de acuerdo a la regla 1.

4. Cada 1 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya

pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos

que se solapen contengan unos no comunes.


Ejemplo: Agrupar los 1s en el siguiente mapa de Karnaugh.

Ejercicios: Agrupar los 1s en cada uno de los siguientes mapas de Karnaugh.

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

1

1

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1

1 1 1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1

1

1

1 1


Determinacin de la SOP mnima. Seguir las reglas siguientes:

1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar a un trmino producto compuesto

por todas las variables que aparecen en el grupo en solo una forma (no

complementada o complementada).

2. Determinar la operacin producto mnima para cada grupo.

a) Para un mapa de 3 variables: - Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trmino de 3 variables.

- Un grupo formado por dos celdas da lugar a un trmino de 2 variables.

- Un grupo formado por cuatro celdas da lugar a un trmino de 1 variable.

- Un grupo formado por ocho celdas indica que la expresin vale 1.

b) Para un mapa de 4 variables: - Un grupo formado por una celda da lugar a un trmino producto de 4 variables.

- Un grupo formado por dos celdas da lugar a un trmino producto de 3 variables.

- Un grupo formado por cuatro celdas da lugar a un trmino producto de 2 variables.

- Un grupo formado por ocho celdas da lugar a un trmino producto de 1 variable.

- Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresin vale 1.

3. Sumar todos los productos mnimos obtenidos en el punto 2 para obtener la

expresin suma de productos mnima.


Ejemplo. Determinar los productos para el mapa de Karnaugh siguiente y escribir la expresin suma de productos mnima resultante:

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

DCA

CA

B

DCACAB


Ejercicios. Determinar los productos para cada uno de los mapas de Karnaugh siguientes y escribir la expresin suma de productos mnima resultante:

1

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1

1 1 1

1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1 1

1

1 1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

CBA

AB

BC

CA

AC

B

CA

DBA

BAD

CB CBA


K-maps pueden simplificar la lgica combinacional al agrupar celdas y eliminar las variables que cambian al cruzar una frontera.

1. Agrupar 1s en dos grupos solapados como se indica.

2. Leer cada grupo eliminando

cualquier variable que cambie al

cruzar una frontera.

3. El grupo vertical se lee AC.

1

1 1

ABC

00

01

11

10

0 1

1

1 1

ABC

00

01

11

10

0 1

Agrupar 1s en el mapa y leer la lgica mnima.

B cambia

al cruzar

esta

frontera

C cambia

al cruzar

esta

frontera

4. El grupo horizontal se lee AB.

X = AC +AB

Mapa de Karnaugh de cuatro variables

X

Agrupar los 1s en el mapa y leer la lgica mnima.

1. Agrupar los 1s en dos grupos separados como se indica.

2. Leer cada grupo eliminando

cualquier variable que cambie al

cruzar la frontera.

3. El grupo superior (amarillo) se

lee como AD. 4. El grupo inferior (verde) se lee

como AD.

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1

X = AD +AD

B cambia

C cambia

B cambia

C cambia al

cruzar el lm ext

Obtencin directa del K-map a partir de la tabla de verdad

Recordar que una tabla de verdad proporciona la salida de una expresin booleana para todas las posibles combinaciones de las variables de entrada.

Los unos de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapa de Karnaugh, a las celdas correspondientes a los

valores asociados de las combinaciones de variables de entrada.

A

Salida Entradas

0

0 0

0

1 0 0 0

1 0 1 1

B C

0 0

0 1

0 1

1 1

X

1

1 1

1

0 0

0 1

0 1

1 1

1

1

AB C

00

01

11

10

0 1

1

1

Condiciones indiferentes

Algunas veces se producen situaciones en las que algunas combinaciones de las variables de entrada no estn permitidas. Por ejemplo, si recordamos el

cdigo BCD, existan seis combinaciones no vlidas: 1010, 1011, 1100, 1101,

1110, 1111.

Dado que estos estados no permitidos no ocurren nunca en una aplicacin que emplee el cdigo BCD, pueden considerarse como trminos

indiferentes con respecto a su efecto de salida.

En la prctica, a estos trminos se les puede asignar tanto un 1 como un 0 en la salida, y no son importantes dado que nunca van a generarse.

En los mapas de Karnaugh los trminos indiferentes pueden ocuparse como unos para agrandar los grupos o como ceros si no obtenemos ninguna

ventaja.

Condiciones indiferentes

Ejemplo: Encontrar la expresin SOP mnima con y sin condiciones indiferentes

para la tabla de verdad siguiente:

A B

Salidas Entradas

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

C D

0 0

0 1

0 1

1 1

Y

0 0

1 0

1 1

0 1

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1 X X X X X X

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1

1 1

1

1

1

1

AB

CD

00

01

11

10

00 01 11 10

X

1

X X X

1 1 X X

Sin

condiciones

indiferentes

Con

condiciones

indiferentes

BCDACBAY esindiferent scondicione Sin BCDA Y esindiferent scondicione Con

PALABRAS CLAVES DE LA UNIDAD

Variable

Complemento

Trmino suma

Trmino

producto

Un smbolo utilizado para representar una cantidad

lgica que puede tener un valor de 1 o 0,

usualmente designado por una letra itlica.

El inverso o opuesto de un nmero. En el lgebra

booleana, la funcin inversa, se expresa con una

barra sobre la variable.

La suma booleana de dos o ms literales

equivalente a una operacin OR.

El producto booleano de dos o ms literales

equivalente a una operacin AND.

PALABRAS CLAVES DE LA UNIDAD

Suma-de-productos (SOP)

Producto de sumas

(POS)

Mapa de Karnaugh

Una forma de expresin booleana que es

bsicamente la aplicacin de la funcin OR a

mltiples expresiones AND.

Una forma de expresin booleana que es

bsicamente la aplicacin de la funcin AND a

mltiples expresiones OR.

Un arreglo de celdas que representan

combinaciones de literales en una expresin

booleana y usado para la simplificacin

sistemtica de una expresin.

BIBLIOGRAFA

Libro base: Fundamentos de Sistemas Digitales. Autor: Tomas L. Floyd. Libro complemento: Principios de Diseo Digital. Autor: Daniel D. Gaski.

Algebra de Boole y Simplificación Lógica

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