Algebra Homo Logic A

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 8

Algebra homologica

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

18 de abril de 2011

ii

Cuaderno dedicado a Patricia, mi hermana.

Contenido

Prologo v

1. Elementos basicos de algebra homologica 11.1. Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Modulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Anillos y modulos de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5. Modulos inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6. Modulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.7. Anillos hereditarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.8. Anillos y modulos graduados y filtrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2. Ext 712.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. Tor 893.1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3. Tor y modulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4. Tor y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5. Torsion de un modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4. Dimensiones de modulos y anillos 1194.1. Dimensiones proyectiva, inyectiva y plana de un modulo . . . . . . . . 1194.2. Dimensiones global y global debil de un anillo . . . . . . . . . . . . . 1214.3. Dimension global de anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

iii

iv CONTENIDO

4.5. Dimension global y extensiones de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.6. Teorema de sicigias de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7. Anillos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.8. Dimension de Krull: caso conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.9. Dimension de Krull: caso no conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.10. Dimension uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5. Modulos proyectivos sobre anillos de polinomios 1445.1. Teorema de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2. Teorema de Quillen-Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6. Extensiones de Ore 145

Bibliografıa 147

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos, categorıas, algebra homologi-ca, algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clasesdictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 25 anos,y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas en cada uno de ellos, comotambien en el libro Anillos, Modulos y Categorıas, publicado por la Facultad deCiencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edicion esta totalmenteagotada (vease [10]). Un material similar al presentado en estas diez publicacioneses el libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicadapor Springer en el 2004 (vease [9]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de alge-bra sea su presentacion mas ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchaspruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Loscuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra conmutativa5. Cuerpos 10. Geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de algebra homologica . Este cuaderno consta de tres partes: laprimera presenta los instrumentos elementales del algebra homologica tales como loscomplejos y las sucesiones exactas, los modulos de presentacion finita, los modulosproyectivos e inyectivos, el producto tensorial de bimodulos, la localizacion de anillos

v

vi PROLOGO

y modulos en el caso no conmutativo, los modulos planos sobre anillos conmutativos,la tecnica particular de localizacion-globalizacion del algebra conmutativa, la nocionde rango de un modulo y el teorema de Kaplansky sobre modulos proyectivos fini-tamente generados sobre anillos conmutativos locales. La segunda parte permiteconocer y aplicar las tecnicas centrales del algebra homologica, a saber: el Hom, elproducto tensorial, el Ext y el Tor. Ademas, se presenta un estudio introductorio ala teorıa de la dimension de anillos y modulos. La tercera parte estudia los modulosproyectivos sobre anillos de polinomios y los anillos regulares. Con estos elementosse construyen las herramientas homologicas necesarias para el estudio del teoremade Quillen-Suslin y la conjetura de Bass-Quillen. Los instrumentos entregados eneste cuaderno permiten emprender estudios mas profundos en algebra conmutativay geometrıa algebraica.

Para una buena compresion del presente cuaderno se recomienda al lector consul-tar los cuadernos 2, 3 y 6 (veanse [12], [13] y [15]) ya que usaremos los resultados y lanotacion consignados en ellos. En particular, A denotara un anillo no ncesariamenteconmutativo y con unidad 1. A∗ denota el grupo multiplicativo de los elementosinvertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f(1) = 1.Salvo que se advierta lo contrario, los modulos seran considerados a derecha. Si Mes un A-modulo a derecha lo denotaremos tambien por MA. Si N es un submodulode M escribiremos N ≤ M . Para n ≥ 1, Mn(A) es el anillo de matrices cuadradasde tamano n × n con componentes en A, GLn(A) denota el grupo lineal generalde orden n sobre A, es decir, GLn(A) = Mn(A)∗. La matriz identica de tamanon× n se denota por En. A

n denota el A-modulo libre derecho de vectores columnade longitud n con entradas en A.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Elementos basicos de algebrahomologica

Presentamos en este primer capıtulo las construcciones basicas del algebra homologi-ca como son los complejos y las sucesiones exactas, el producto tensorial de bimodu-los, los anillos y los modulos de fracciones no conmutativos. Haremos ademas unaintroduccion a los modulos proyectivos, inyectivos y planos, y daremos la nocionde rango de un modulo. Finalmente, estudiaremos una tecnica muy potente parala investigacion de propiedades homologicas como es la filtracion y graduacion deanillos y modulos.

1.1. Sucesiones exactas

Definicion 1.1.1. Una sucesion o cadena de homomorfismos de A-modulos de laforma

C : · · · −→ M−1f−1−→ M0

f0−→ M1f1−→ M2 −→ · · ·

es un complejo si Im(fi) ⊆ ker(fi+1) para cada i ∈ Z. La sucesion se dice exactasi Im(fi) = ker(fi+1) para cada i ∈ Z. El modulo cociente

ker(fi+1)/Im(fi)

se denomina el i-esimo modulo de homologıa del complejo C.

Son particularmente importantes las sucesiones exactas finitas. Por ejemplo,

notese que la sucesion M1f−→ M2

g−→ M3 −→ 0 es exacta si, y solo si, Im(f) =

ker(g) y g es sobreyectivo. Similarmente, la sucesion 0 −→ M1f−→ M2

g−→ M3 esexacta si, y solo si, f es inyectivo e Im(f) = ker(g).

Otros criterios para determinar la exactitud de las sucesiones anteriores estandados en el siguiente teorema.

1

2 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS DE ALGEBRA HOMOLOGICA

Teorema 1.1.2. Sean M1,M2 y M3 A-modulos. Entonces,

(i) La sucesion M1f−→ M2

g−→ M3 −→ 0 es exacta si, y solo si, para todoA-modulo N la sucesion de Z-modulos

0 −→ HomA (M3, N)g∗−→ HomA (M2, N)

f∗−→ HomA (M1, N)

es exacta.

(ii) La sucesion 0 −→ M1f−→ M2

g−→ M3 es exacta si, y solo si, para todoA-modulo P la sucesion de Z-modulos

0 −→ HomA (P,M1)f∗−→ HomA (P,M2)

g∗−→ HomA (P,M3)

es exacta.

Demostracion. Presentamos la prueba de la parte (i). La demostracion de (ii) essimilar.

⇒): en primer lugar notese que si M1f−→ M2 es un A-homomorfismo y N es un

A-modulo, entonces se tiene el homomorfismo de grupos abelianos

HomA(M2, N)f∗−→ HomA(M1, N)

definido porf ∗ (h) := hf, (1.1.1)

donde h ∈ HomA(M2, N). Observese que f ∗ invirtio el sentido de la flecha f (en laprueba de (ii) el homomorfismo f∗ se define por

f ∗ (h) := fh, (1.1.2)

donde h ∈ HomA(N,M1). Notemos que en este caso f∗ no invirtio el sentido de laflecha f).

Veamos que g∗ es inyectivo: si g∗ (h) = hg = 0, debemos probar que h = 0. Seax ∈ M3 entonces como g es sobreyectiva existe z ∈ M2 tal que g(z) = x, luegoh (g(z)) = h (x) = 0. Esto prueba que h se anula en cada punto de su dominio, esdecir, h es nula.

Ahora probemos que Im (g∗) = ker (f ∗): sea u ∈ Im (g∗) entonces u = g∗ (h) =hg, aplicamos f ∗ y obtenemos f ∗ (u) = uf = h (gf), pero como Im(f) = ker(g),entonces gf = 0 y f ∗ (u) = 0, de modo que u ∈ ker (f ∗) . Resta ver que ker (f ∗) ⊆Im (g∗): sea t ∈ ker (f ∗) entonces f ∗ (t) = 0 = tf . Buscamos un homomorfismoh : M3 → N de tal forma g∗(h) = t = hg. Sea x ∈M3, como g es sobre existe z ∈M2

tal que g (z) = x luego h (g (z)) = h (x); podemos entonces definir h(x) := t(z). hes un A-homomorfismo bien definido: si z1, z2 son tales que g (z1) = x = g (z2)

1.1. SUCESIONES EXACTAS 3

entonces deberıamos tener que t (z1) = t (z2). En efecto, g (z1 − z2) = 0, es decir,z1 − z2 ∈ ker(g) = Im(f), por tanto existe r ∈ M1 tal que z1 − z2 = f (r), yası t (f (r)) = t (z1 − z2) = 0, de donde t (z1) = t (z2). Es facil ver que h es aditivoy permite sacar los escalares de A. h definido de esta manera es por supuesto elhomomorfismo deseado.

⇐): supongamos que la sucesion

0 → HomA(M3, N)g∗−→ HomA(M2, N)

f∗−→ HomA(M1, N)

es exacta para cada A-modulo N . Veamos entonces que g es sobreyectivo: en calidadde N escogemos a M3/Im(g) y sea j : M3 →M3/Im(g) el homomorfismo canonico.Entonces, g∗(j) = jg = 0 (en efecto, jg(x) = g(x) = 0); pero como g∗ es inyectivaentonces j = 0, es decir, para cada x ∈ M3 se tiene que x = 0, es decir, x ∈ Im(g),y de esta forma M3 = Im(g).

Para terminar probemos que Im(f) = ker(g): notese en primer lugar que f ∗g∗ =0, es decir, para cada h ∈ HomA(M3, N) se tiene que hgf = 0, hagamos entoncesN = M3 y h = iM3 la identica de M3, entonces gf = 0, con lo cual Im(f) ⊆ ker(g).Ahora tomemos N = M2/Im(f) y sea j : M2 → M2/Im(f) la canonica. Entonces,f ∗ (j) = jf = 0, es decir, j ∈ ker (f ∗) = Im(g∗), luego existe un homomorfismot ∈ HomA(M3, N) tal que j = g∗ (t) = tg. Por tanto, Im(f) = ker(j) ⊇ ker(g).

Definicion 1.1.3. Una sucesion exacta finita de la forma

0 −→M1f−→ M2

g−→M3 −→ 0

se dice que es una sucesion exacta corta. Dos sucesiones exactas cortas

0 −→M1f−→ M2

g−→M3 −→ 0

y

0 −→ N1a−→ N2

b−→ N3 −→ 0

se dicen equivalentes si existen A-isomorfismos h, k, l tales que el siguiente dia-grama conmuta:

0 → M1f−→ M2

g−→ M3 → 0↓ h ↓ k ↓ l

0 → N1a−→ N2

b−→ N3 → 0

Proposicion 1.1.4. Sea 0 −→ M1f−→ M2

g−→ M3 −→ 0 una sucesion exactacorta. Entonces, esta sucesion es equivalente a la sucesion

0 −→ ker(g)ι−→ M2

j−→M2/ ker(g) −→ 0


donde ι es la inclusion y j es el homomorfismo canonico.

Demostracion. Debemos definir A-homomorfismos h : M1 → ker(g), k : M2 → M2

y l : M3 → M2/ ker(g). En calidad de k tomamos la identica iM2 ; para l sea z ∈M3 y sea x ∈ M2 tal que g(x) = z, definimos l(z) := j(x) = x. Notese que lesta correctamente definida y es ademas un A-isomorfismo que satisface l (g(x)) =x = j(iM2(x)), es decir, lg = jiM2 . Definamos ahora el A-homomorfismo h; seav ∈M1, entonces f(v) ∈ Im(f) = ker(g), de donde g(f(v)) = 0. Definimos entoncesh(v) := f(v), notese que h es claramente un A-isomorfismo que satisface ιh =iM2f .

Definicion 1.1.5. Sea M un A-modulo; se dice que M es de presentacion finita(o tambien, finitamente presentado) si existe una sucesion exacta en la forma

Anf−→ Am

g−→M → 0, (1.1.3)

donde An y Am son A-modulos libres de bases finitas n y m, respectivamente.

Notese que el modulo nulo es de presentacion finita con n = m ≥ 1 cualquiera,g = 0 y f = iAn . Otras formas de expresar que un modulo tiene una presentacionfinita son las siguientes.

Proposicion 1.1.6. Sea M un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) M es de presentacion finita.

(ii) Existe una sucesion excacta en la forma

0 → Kι−→ Am

g−→M → 0,

donde K es un A-modulo finitamente generado.

(iii) Existen un entero m ≥ 1 y un A-submodulo finitamente generado K de Am

tales que M ∼= Am/K.

Demostracion. (i) ⇒ (ii): tomando K := ker(g) = Im(f) en (1.1.3) se obtiene lasucesion exacta corta deseada, con K generado por n elementos.

(ii) ⇒ (i): sea K generado por n elementos, entonces se tiene el homomorfismo

natural sobreyectivo Anf ′−→ K que envia la base canonica de An en los generadores

de K; tomando f := ιf ′ resulta la exactitud de (1.1.3).(ii) ⇒ (iii): tenemos que M ∼= Am/ ker(g) = Am/Im(ι) ∼= Am/K.(iii) ⇒ (ii): sea α : M → Am/K un isomorfismo, entonces esta implicacion

resulta evidente tomamdo como ι a la inclusion de K en Am y g := αj, dondej : Am → Am/K es el homomorfismo canonico.


Observemos que todo modulo de presentacion finita es finitamente generado. Elrecıproco es valido para anillos noetherianos.

Proposicion 1.1.7. Sea AA noetheriano. Entonces, cada A-modulo finitamentegenerado M es de presentacion finita.

Demostracion. Para M = 0 la afirmacion es trivial. Sea M = {x1, . . . , xm〉 no nulo;definimos g : Am →M por g(ei) := xi, 1 ≤ i ≤ m, donde {ei}mi=1 es la base canonicade Am. Como Am es un modulo noetheriano, K := ker(g) es finitamente generado

y se tiene entonces la sucecion exacta 0 → Kι−→ Am

g−→ M → 0, donde ι es lainclusion.

Notemos que si M tiene la presentacion finita (1.1.3), entonces podemos calcularla matriz de f en las bases canonicas de An y Am: en efecto, sea X := {e′j}nj=1 labase canonica de An y sea Y := {ei}mi=1 la base canonica de Am, entonces

f(e′j) = e1 · f1j + · · ·+ em · fmj, 1 ≤ j ≤ n,

y la matriz de f en las bases X y Y se define por mX,Y (f) := F := [fij] ∈Mm×n(A)(vease [14]). Se dice que F es una matriz de presentacion de M . Es claro quela matriz de presentacion de un modulo M no es unica ya que los sistemas degeneradores de M son diversos. Veremos enseguida como estan relacionadas dos deestas matrices.

Proposicion 1.1.8. Sean

Anf−→ Am

g−→M → 0

Asf ′−→ Ar

g′−→M → 0

dos presentaciones finitas de M con matrices F y F ′, respectivamente. Entoncesexisten matrices P ∈Mr×m(A) y Q ∈Ms×n(A) tales que PF = F ′Q.

Demostracion. Sea {ei}mi=1 la base canonica de Am y sea xi := g(ei) ∈ M . Comog′ es sobreyectivo, existen z1, . . . , zm ∈ Ar tales que g′(zi) = xi. Definimos el A-homomorfismo p : Am → Ar por p(ei) := zi, 1 ≤ i ≤ m. Notemos entonces queiMg = g′p, luego Im(pf) ⊆ ker(g′) = Im(f ′). Sea {e′j}nj=1 la base canonica de An,definimos entonces el A-homorfismo q : An → As por q(e′j) := yj, con yj ∈ As tal quepf(e′j) = f ′(yj). Resulta, pf = f ′q. Calculando las matrices de los homomorfismosp, f, f ′, q en las bases canonicas se obtiene el resultado.

Definicion 1.1.9. Sea M un A-modulo; una resolucion libre de M es una suce-sion exacta en la forma

R : · · · fn+1−−→Mnfn−→Mn−1

fn−1−−→ · · · f2−→M1f1−→M0

f0−→M −→ 0,


donde Mi es libre para cada i ∈ N.

Proposicion 1.1.10. Cada A-modulo M tiene una resolucion libre.

Demostracion. Existe un modulo libre M0 y un homomorfismo sobreyectivo M0f0−→

M (en calidad de M0 podemos tomar el A-modulo libre A(M) con una base decardinalidad igual a la de M , y como f0 elegimos la funcion que envia la basecanonica de A(M) en los elementos de M , vease [13]). Sea K0 := ker(f0), entonces

para K0 podemos repetir este mismo razonamiento en econtrar M1f1−→ K0 con M1

libre. Resulta entonces la sucesion exacta M1f1−→ M0

f0−→ M −→ 0. Por recurrenciase completa la prueba.

Concluimos esta seccion con dos lemas famosos relativos a sucesiones exactasfinitas.

Lema 1.1.11 (Lema de los cinco). Si el siguiente diagrama de A-modulos yhomomorfismos es conmutativo y las filas son exactas

M1f1−−−→ M2

f2−−−→ M3f3−−−→ M4

f4−−−→ M5yt1

yt2

yt3

yt4

yt5

N1h1−−−→ N2

h2−−−→ N3h3−−−→ N4

h4−−−→ N5

entonces,

(i) Si t2 y t4 son sobreyectivos y t5 es inyectivo, entonces t3 es sobreyectivo.

(ii) Si t2 y t4 son inyectivos y t1 es sobreyectivo, entonces t3 es inyectivo.

(iii) Si t1, t2, t4, t5 son isomorfismos, entonces t3 es un isomorfismo.

Demostracion. (i) Sea n3 ∈ N3, entonces existe m4 ∈ M4 tal que t4(m4) = h3(n3),luego h4(t4(m4)) = h4(h3(n3)) = 0 = t5f4(m4), de donde m4 ∈ ker(f4) = Im(f3).Por tanto, existe m3 ∈ M3 tal que f3(m3) = m4, de donde t4(f3(m3)) = t4(m4) =h3(n3), y en consecuencia h3(t3(m3)) = h3(n3). Esto ultimo indica que n3− t3(m3) ∈ker(h3) = Im(h2), luego existe n2 ∈ N2 tal que n3 − t3(m3) = h2(n2), es decir, n3 =t3(m3) + h2(n2). Pero existe m2 ∈M2 tal que t2(m2) = n2, de donde n3 = t3(m3) +h2(t2(m2)) = t3(m3) + t3(f2(m2)) = t3(m3 + f2(m2)), es decir, t3 es sobreyectivo.

(ii) Seam3 ∈M3 tal que t3(m3) = 0, entonces h3(t3(m3)) = 0 = t4(f3(m3)), y portanto, m3 ∈ ker(f3) = Im(f2). Existe entonces m2 ∈ M2 tal que f2(m2) = m3, dedonde t3(f2(m2)) = 0 = h2(t2(m2)), y de esta manera t2(m2) ∈ ker(h2) = Im(h1),luego t2(m2) = h1(n1), con n1 ∈ N1. Existe m1 ∈ M1 tal que t1(m1) = n1, ypor tanto t2(m2) = h1(t1(m1)) = t2(f1(m1)), es decir, m2 = f1(m1), con lo cual,m3 = f2(f1(m1)) = 0. Esto significa que t3 es inyectivo.

(iii) Esta parte es consecuencia directa de las dos anteriores.


Corolario 1.1.12. Si el siguiente diagrama de A-modulos y homomorfismos es con-mutativo y las filas son exactas

0 −−−→ M1f1−−−→ M2

f2−−−→ M3 −−−→ 0yf

yh

yg

0 −−−→ N1f1−−−→ N2

f2−−−→ N3 −−−→ 0

entonces,

(i) Si f y g son sobreyectivos, entonces h es sobreyectivo.

(ii) Si f y g son inyectivos , entonces h es inyectivo.

(iii) Si f, g son isomorfismos, entonces h es un isomorfismo.

Demostracion. Consecuencia directa del lema anterior.

Lema 1.1.13 (Lema de la serpiente). Supongase que el siguiente diagrama deA-modulos y homomorfismos es conmutativo y las filas son exactas

M1f1−−−→ M2

f2−−−→ M3 −−−→ 0yt1

yt2

yt3

0 −−−→ N1h1−−−→ N2

h2−−−→ N3

Entonces existe una sucesion exacta en la forma

ker(t1) −→ ker(t2) −→ ker(t3)d−→ coker(t1) −→ coker(t2) −→ coker(t3),

donde d(k3) := h−11 t2f

−12 (k3) + Im(t1), con k3 ∈ ker(t3). Ademas, si f1 es inyectivo,

entonces ker(t1) −→ ker(t2) es inyectivo, y si h2 es sobreyectivo, entonces coker(t2) −→coker(t3) es sobreyectivo.

Demostracion. En el siguiente diagrama los homomorfismos li son las inyecciones,los ji son los homomorfismos canonicos y coker(ti) = Ni/Im(ti), i = 1, 2, 3:

ker(t1)g1−−−→ ker(t2)

g2−−−→ ker(t3)d−−−→ · · ·yl1

yl2

yl3

M1f1−−−→ M2

f2−−−→ M3 −−−→ 0yt1

yt2

yt3

0 −−−→ N1h1−−−→ N2

h2−−−→ N3yj1

yj2

yj3

· · · d−−−→ coker(t1)p1−−−→ coker(t2)

p2−−−→ coker(t3)


Notemos que las tres columnas del diagrama anterior son exactas. Debemos definirlos homomorfismos gi, ki, i = 1, 2, y probar que la sucesion

ker(t1)g1−→ ker(t2)

g2−→ ker(t3)d−→ coker(t1)

p1−→ coker(t2)p2−→ coker(t3),

es exacta. Dividiremos la prueba en varios pasos.Paso 1. Sea k1 ∈ ker(t1), entonces t1(k1) = 0 y h1t1(k1) = 0 = t2f1(k1), luego

f1(k1) ∈ ker(t2). De igual manera, sea k2 ∈ ker(t2), entonces t2(k2) = 0 y h2t2(k2) =0 = t3f2(k2), es decir, f2(k2) ∈ ker(t3). Esto permite definir g1 y g2 en la siguienteforma

g1(k1) := f1(k1), g2(k2) := f2(k2).

Notemos entonces que gi es la restriccion de fi a ker(ti), i = 1, 2; ademas, f1l1 = l2g1

y f2l2 = l3g2. Es claro que si f1 es inyectivo, entonces g1 es inyectivo.Paso 2. Los homomorfismos p1, p2 se definen en forma natural, es decir,

p1(n1) := h1(n1), p2(n2) := h2(n2),

con ni := ni + Im(ti), ni ∈ Ni, hi(ni) := h(ni) + Im(ti+1), i = 1, 2. Observemosque p1j1 = j2h1 y p2j2 = j3h2. Es claro que si h2 es sobreyectivo, entonces p2 essobreyectivo.

Paso 3. d esta bien definida: sea k3 ∈ ker(t3) ⊆ M3, entonces existe m2 ∈ M2

tal que f2(m2) = k3, de donde t3f2(m2) = t3(k3) = 0 = h2t2(m2), lo cual indicaque t2(m2) ∈ ker(h2) = Im(h1). Por tanto, existe n1 ∈ N1 tal que t2(m2) = h1(n1);entonces definimos

d(k3) := n1 = n1 + Im(t1), con h1(n1) = t2(m2) y f2(m2) = k3.

Esta definicion puede escribirse tambien en la forma d(k3) := h−11 t2f

−12 (k3)+Im(t1).

Si m′2 ∈M2 es tal que f2(m

′2) = k3 = f2(m2), entonces m2−m′

2 ∈ ker(f2) = Im(f1),luego m2 −m′

2 = f1(m1), con m1 ∈M1; ademas, t3f2(m′2) = t3(k3) = 0 = h2t2(m

′2),

de donde t2(m′2) ∈ ker(h2) = Im(h1), y en consecuencia existe n′1 ∈ N1 tal que

t2(m′2) = h1(n

′1). Restando resulta t2(m2) − t2(m

′2) = h1(n1) − h1(n

′1), es decir,

t2(m2 − m′2) = h1(n1 − n′1) = t2(f1(m1)) = h1t1(m1), pero como h1 es inyectiva,

entonces n1 − n′1 = t1(m1) ∈ Im(t1). Esto demuestra que d esta bien definida.Paso 4. Im(g1) = ker(g2): sea g1(k1) ∈ Im(g1), con k1 ∈ ker(t1), entonces

g2g1(k1) = g2(f1(k1)) = f2(f1(k1)) = 0, es decir, Im(g1) ⊆ ker(g2). Sea ahorak2 ∈ ker(g2), con k2 ∈ ker(t2), entonces g2(k2) = 0 = f2(k2), luego k2 ∈ ker(f2) =Im(f1), de donde k2 = f1(k1), con k1 ∈M1. Si mostramos que k1 ∈ ker(t1), entoncesk2 = g1(k1) ∈ Im(g1), con lo cual ker(g2) ⊆ Im(g1). Tenemos, h1t1(k1) = t2f1(k1) =t2(k2) = 0, pero como h1 es inyectiva, entonces t1(k1) = 0.

Paso 5. Im(g2) = ker(d) : sea k3 = g2(k2) ∈ Im(g2), con k2 ∈ ker(t2) ⊆ M2;segun vimos arriba g2(k2) = f2(k2), luego en la difinicion de d podemos tomarm2 := k2, y entonces t2(m2) = 0 = h1(n1), pero como h1 es inyectivo entonces

1.2. MODULOS PROYECTIVOS 9

n1 = 0 y de esta manera d(k3) = 0, y por tanto Im(g2) ⊆ ker(d). Recıprocamente,sea k3 ∈ ker(d) ⊆ ker(t3), entonces n1 ∈ Im(t1), digamos n1 = t1(m1), con m1 ∈M1,luego h1t1(m1) = t2(m2), con f2(m2) = k3. Resulta, t2(m2) = t2f1(m1), con lo cualk2 := m2−f1(m1) ∈ ker(t2). De aqui obtenemos que f2(k2) = f2(m2)−f2(f1(m1)) =f2(m2) = k3, de lo cual resulta k3 = g2(k2) ∈ Im(g2).

Paso 6. Im(d) = ker(p1): sea n1 = d(k3) ∈ Im(d), entonces p1(n1) = h1(n1) =t2(m2) = 0 ya que t2(m2) ∈ Im(t2). Esto demuestra que Im(d) ⊆ ker(p1). Seaahora n1 ∈ ker(p1), con n1 ∈ N1, entonces h1(n1) = 0, es decir, h1(n1) ∈ Im(t2),de donde h1(n1) = t2(m2), con m2 ∈ M2. Sea k3 := f2(m2), pero notemos quet3(k3) = t3f2(m2) = h2t2(m2) = h2h1(n1) = 0, es decir, k3 ∈ ker(t3). Con estod(k3) = n1, y entonces ker(p1) ⊆ Im(d).

Paso 7. Im(p1) = ker(p2): sea p1(n1) ∈ Im(p1), con n1 ∈ N1, entonces p2p1(n1) =p2(h1(n1)) = h2h1(n1) = 0, es decir, Im(p1) ⊆ ker(p2). Recıprocamente, sea n2 ∈ker(p2), con n2 ∈ N2, entonces h2(n2) ∈ Im(t3) y existe m3 ∈ M3 tal que h2(n2) =t3(m3); como f2 es sobreyectivo existe m2 ∈M2 tal que f2(m2) = m3, luego h2(n2) =t3f2(m2) = h2t2(m − 2). Esto indica que n2 − t2(m2) ∈ ker(h2) = Im(h1), con locual n2 − t2(m2) = h1(n1), con n1 ∈ N1. Resulta, n2 − h1(n1) = t2(m2) ∈ Im(t2),por tanto n2 = h1(n1) = p1(n1) ∈ Im(p1). En consecuencia, ker(p2) ⊆ Im(p1). Conesto completamos la prueba del teorema.

1.2. Modulos proyectivos

El teorema 1.1.2 indica que los operadores HomA(P,−) y HomA(−, N) preservanla exactitud de sucesiones por la izquierda, cualesquiera que sean los modulos P yN . Consideremos ahora la sucesion exacta

0 −→ 2Z −→ Z −→ Z2 −→ 0,

al aplicar el “operador” HomZ (Z2,−) resulta la sucesion

HomZ(Z2, 0) −→ HomZ (Z2, 2Z) −→ HomZ (Z2, Z) −→ HomZ (Z2, Z2) −→ HomZ (Z2, 0),

es decir, resulta la sucesion

0 −→ 0 −→ 0 −→ Z2 −→ 0

la cual no es exacta en Z2. Ası pues, en general, si P es un A-modulo, el opera-dor HomA(P,−) no preserva la exactitud a derecha. En forma similar, aplicandoHomZ (−,Z2) a

0 −→ 2Z −→ Z −→ Z2 −→ 0

obtenemos


HomZ(0, Z2) −→ HomZ (Z2, Z2) −→ HomZ (Z, Z2) −→ HomZ (2Z, Z2) −→ HomZ (0, Z2),

es decir,

0 −→ Z2iZ−→ Z2

0−→ Z2 −→ 0

la cual no es exacta en el ultimo Z2. Entonces, en general, si N es un A-modulo, eloperador HomA(−, N) no preserva la exactitud a derecha.

Definicion 1.2.1. Un A-modulo P es proyectivo si HomA(P,−) preserva la exac-titud a derecha. Se dice que un A-modulo N es inyectivo si HomA(−, N) preservala exactitud a derecha.

Ası pues, P es proyectivo si, y solo si, HomA(P,−) envia sucesiones exactascortas en sucesiones exactas cortas, y de igual manera, N es inyectivo si, y solosi, HomA(−, N) envia sucesiones exactas cortas en sucesiones exactas cortas. Acontinuacion estudiaremos algunas propiedades de los modulos proyectivos. En laseccion 1.5 consideraremos los modulos inyectivos.

Teorema 1.2.2. Sea P un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) P es proyectivo.

(ii) Para cada homomorfismo sobreyectivo f y cada homomorfismo g, existe unhomomorfismo h tal que el siguiente diagrama conmuta:

P

M N

pppppppph

?

g

-f

(iii) Cada homomorfismo sobreyectivo Mf−→ P es hendido.

Demostracion. (i)=⇒ (ii): consideremos la sucesion exacta 0 −→ ker(f)ι−→M

f−→N −→ 0, como P es proyectivo, entonces se tiene la siguiente sucesion exacta

0 −→ HomR(P, ker(f))ι∗−→ HomR(P,M)

f∗−→ HomR(P,N) −→ 0

con lo cual f∗ es sobreyectivo y entonces (ii) se cumple.

(ii)=⇒ (i): sea 0 −→ Lg−→ M

f−→ N −→ 0 una sucesion exacta. Teniendo encuenta (ii) y que HomR(P, ) es exacto a izquierda, resulta entonces que


0 −→ HomR(P,L)g∗−→ HomR(P,M)

f∗−→ HomR(P,N) −→ 0

es exacta y P es entonces proyectivo.

(ii)=⇒ (iii): sea Mf−→ P un homomorfismo sobreyectivo, y consideremos el

homomorfismo identico iP : P −→ P , segun (ii) existe un homomorfismo h : P −→M tal que fh = iP . Esto garantiza que f es hendido.

(iii)=⇒ (ii): sea L := {(m, p) ∈ M × P | f(m) = g(p)} y consideremos lasfunciones πM : L → M , πM(m, p) := m, πP : L → P , πP (m, p) := p. Noteseque πP es sobreyectivo y ademas gπP = fπM . Por la condicion (iii), existe unhomomorfismo t : P −→ L tal que πP t = iP . Definimos h := πM t, y entoncesfh = fπM t = gπP t = g.

Corolario 1.2.3. Todo modulo libre es proyectivo.

Demostracion. Consecuencia directa de la parte (iii) del teorema anterior.

Proposicion 1.2.4. Sea {Pi}i∈C una familia de A-modulos. Entonces,⊕i∈C Pi es proyectivo ⇐⇒ ∀i ∈ C , Pi es proyectivo.

Demostracion. ⇒): sea i ∈ C, veamos que Pi es proyectivo. Consideremos los homo-morfismos f y g del siguiente diagrama, con f sobreyectivo:

Pi

M N?

g

-f

Buscamos un homomorfismo h : Pi →M tal que fh = g. Para esto consideremos ellas proyecciones πi : ⊕Pi → Pi, se tiene entonces el siguiente diagrama

⊕Pi

Pi

M N

?

πi

?

g

-f

Puesto que ⊕Pi es proyectivo existe un homomorfismo t : ⊕Pi → M tal que ft =gπi. Ahora consideremos la inyeccion canonica µi : Pi → ⊕Pi. Entonces la funcion


buscada es h := tµi : Pi →M .

⊕Pi

Pi

M N

��

��

��

��

t?

πi

?

g�

��

h

6µi

-f

En efecto, fh = ftµi = gπiµi = g.⇐) Tengamos en cuenta ahora en el siguiente diagrama:

⊕Pi

M N?

g

-f

y consideremos para cada i la inyeccion canonica,

Pi

⊕Pi

M N

?

µi

?

g

-f

Por la proyectividad de Pi existe un homomorfismo hi : Pi →M tal que fhi = gµi.Por la propiedad universal de ⊕Pi, existe un homomorfismo h : ⊕Pi → M tal quehµi = hi:

Pi

⊕Pi

M N

��

��

��

��

hi

?

µi

?

g�

��

h

-f


Entonces que para cada i se tiene que (fh)µi = gµi, y por la unicidad en la propiedaduniversal se tiene que fh = g. Esto muestra que ⊕Pi es proyectivo.

Corolario 1.2.5. P es proyectivo si, y solo si, P es sumando directo de un modulolibre.

Demostracion. ⇒): existe F libre y un homomorfismo sobreyectivo f : F → P ,basta entonces aplicar el teorema 1.2.2.

⇐): esto es consecuencia directa de la proposicion anterior y del corolario 1.2.3.

Ejemplo 1.2.6. No todo modulo proyectivo es libre: sea e2 = e ∈ A, un idempon-tente no trivial de un anillo A. Entonces, A = eA ⊕ (1− e)A. En particular, seaA = Z6, e = 3, entonces Z6 = 3Z6 ⊕ 4Z6 y 3Z6 = {0, 3} no es libre.

Una caracterizacion adicional de los modulos proyectivos es dada por el siguienteteorema.

Teorema 1.2.7 (Teorema de la base proyectiva). Sean A un anillo y M unA-modulo. M es proyectivo si, y solo si, existe una coleccion {xi}i∈C de elementosde M y una coleccion {φi : M → A}i∈C de A-homomorfismos tales que:

(i) Para cada x ∈M se tiene que φi(x) = 0, para casi todo i ∈ C.

(ii) Dado x ∈M, x =∑

i∈C xi · φi(x).

Demostracion. ⇒): sea ψ : F →M un homomorfismo sobreyectivo, donde F es unR-modulo libre, entonces existe φ : M → F tal que ψφ = iM , sea {fi}i∈C una basede F ; dado x ∈M, φ(x) =

∑i∈C fi ·ai, donde ai = 0 para casi todo i ∈ C. Definimos

xi := ψ(fi) y los homomorfismos

φi : M → A

x 7→ φi(x) := ai.

Notese que x = (ψφ)(x) =∑

i∈C ψ(fi · ai) =∑

i∈I xi · ai =∑

i∈I xi · φi(x).⇐): sea F = R(C) el modulo libre cuya base tiene cardinalidad igual a la del

conjunto C, y sea {fi}i∈C una base de F ; definimos ψ : F → M por ψ(fi) := xi,entonces ψ es sobre. Sea φ : M → F definido por φ(x) :=

∑i∈C fi·φi(x), φ es entonces

un A-homomorfismo y se tiene que (ψφ)(x) =∑

i∈C ψ(fi·φi(x)) =∑

i∈C xi·φi(x) = x,es decir, ψφ = iM .

Un resultado clasico del algebra homologica es el lema de Schanuel que pro-baremos enseguida. Para la demostracion necesitamos una definicion y un resultadopreliminar.


Definicion 1.2.8. Una sucesion exacta corta 0 → M1f−→ M2

g−→ M3 → 0 es hen-dida si g es un homomorfismo hendido.

Proposicion 1.2.9. La sucesion exacta 0 →M1f−→M2

g−→M3 → 0 es hendida si, ysolo si, f es hendido.

Demostracion. ⇒): supongamos que g es un homomorfismo hendido, es decir, existeun homomorfismo g′ : M3 →M2 tal que gg′ = iM3 , resulta M2 = ker(g)⊕ Im(g′) =Im(f) ⊕ Im(g′) (vease [13]). Definimos f ′ : M2 → M1 por f ′(m2) := m1, dondem2 = f(m1)+g

′(m3), con m1 ∈M1 y m3 ∈M3. Como f y g′ son inyectivos entoncesf ′ esta bien definido. Es claro que f ′ es un homomorfismo y ademas f ′f = iM1 .

⇐): supongamos que f es hendido, entonces existe un homomorfismo f ′ : M2 →M1 tal que f ′f = iM1 , se tiene ademas que M2 = Im(f) ⊕ ker(f ′); sea m3 ∈ M3,existe m2 ∈M2 tal que g(m2) = m3, m2 tiene una representacion unica en la formam2 = f(m1) + k2, con m1 ∈ M1 y k2 ∈ ker(f ′). Definimos g′ : M3 → M2 porg′(m3) := k2. Veamos que g′ esta bien definido: sea m′

2 ∈ M2 tal que g(m′2) = m3 y

m′2 = f(m′

1) + k′2, con m′1 ∈ M1 y k′2 ∈ ker(f ′). Se tiene que m2 −m′

2 ∈ ker(g) =Im(f), luego k2− k′2 ∈ ker(f ′)∩ Im(f) = 0, es decir, k2 = k′2. Es obvio que g′ es unhomomorfismo, ademas gg′ = iM3 .

Corolario 1.2.10. Si 0 → M1f−→ M2

g−→ M3 → 0 es una sucesion exacta hendida,

entonces M2∼= M1 ⊕M3 y se tiene la sucesion exacta 0 → M3

g′−→ M2f ′−→ M1 → 0,

donde g′, f ′ son tales que gg′ = iM3 y f ′f = iM1.

Demostracion. En la demostracion de la proposicion 1.2.9 vimos que si la sucesion

exacta 0 → M1f−→ M2

g−→ M3 → 0 es hendida, entonces M2 = Im(f) ⊕ Im(g′),luego M2

∼= M1 ⊕M3 ya que f y g′ son inyectivos. Ademas la prueba mencionada

muestra tambien que se tiene la sucesion 0 → M3g′−→ M2

f ′−→ M1 → 0 con gg′ = iM3

y f ′f = iM1 . Luego, g′ es inyectivo y f ′ es sobreyectivo. Resta ver que Im(g′) =ker(f ′). Con la notacion de la demostracion de la proposicion 1.2.9 tenemos quef ′g′(m3) = f ′(k2) = 0, es decir, Im(g′) ⊆ ker(f ′). Finalmente, sea k2 ∈ ker(f ′),entonces k2 = 0 + k2 ∈ Im(f) ⊕ ker(f ′), luego m3 := g(k2) es tal que g′(m3) = k2,es decir, ker(f ′) ⊆ Im(g′).

Lema 1.2.11 (Lema de Schanuel). Dadas dos sucesiones exactas 0 → K1 →P1 → M → 0 y 0 → K2 → P2 → M → 0, donde P1, P2 son proyectivos. Entonces,K1 ⊕ P2

∼= K2 ⊕ P1.

Demostracion. Puesto que P1 es proyectivo se induce el siguiente diagrama conmu-tativo

0 −−−→ K1f1−−−→ P1

g1−−−→ M −−−→ 0yq

yp

yiM

0 −−−→ K2f2−−−→ P2

g2−−−→ M −−−→ 0

1.3. PRODUCTO TENSORIAL 15

donde el homomorfismo q se define de la siguiente manera: tenemos que Im(pf1) ⊆ker(g2) = Im(f2), luego dado k1 ∈ K1, pf1(k1) = f2(k2), con k2 ∈ K2; entoncesdefinimos q(k1) := k2. q esta bien definida ya que f2 es inyectiva; es claro que q esun homomorfismo.

Notese que la sucesion 0 → K1θ−→ K2 ⊕ P1

δ−→ P2 → 0 es exacta, con θ(k1) :=(q(k1), f1(k1)) y δ(k2, p1) := p(p1) − f2(k2). En efecto, θ es inyectivo ya que f1

es inyectivo. Sea p2 ∈ P2, entonces g2(p2) = g1(p1), para algun p1 ∈ P1, luegog2p(p1) = g1(p1) = g2(p2), de donde p(p1)− p2 ∈ ker(g2) = Im(f2), de esto se tieneque p(p1) − p2 = f2(k2), y por lo tanto, p2 = p(p1) − f2(k2) = δ(k2, p1), es decir,δ es sobreyectivo. Im(θ) ⊆ ker(δ) ya que δ(q(k1), f1(k1)) = p(f1(k1)) − f2(q(k1)) =f2(q(k1))− f2(q(k1)) = 0. Por ultimo, sea (k2, p1) ∈ ker(δ), entonces δ(k2, p1) = 0 =p(p1)− f2(k2), es decir, p(p1) = f2(k2), luego g2p(p1) = g2f2(k2) = 0 = g1(p1), peroesto dice que p1 ∈ ker(g1) = Im(f1), es decir, existe k1 ∈ K1 tal que p1 = f1(k1).Resulta, θ(k1) = (q(k1), f1(k1)) = (k2, p1) ya que f2(q(k1)) = pf1(k1) = p(p1) =f2(k2) y f2 es inyectivo.

Como P2 es proyectivo, entonces la sucesion anterior es hendida, luego K2⊕P1∼=

K1 ⊕ P2.

1.3. Producto tensorial

En esta seccion construiremos a partir de dos bimodulos un nuevo bimodulo de dosargumentos que tenga propiedades de bilinealidad; esta construccion es similar a larealizada para el Hom en [12]. El caso particular de producto tensorial de modulossobre anillos conmutativos, y el estudio correspondiente de funciones multilinelaesy tensores, se puede consultar en [14].

Sea A un anillo y sean M,N A-modulos a derecha e izquierda, respectivamente.Consideremos el Z-modulo libre F := Z(M×N) , con base X := {µx(1)}x∈M×N ,donde µx es la inyeccion canonica de la suma directa externa. Por simplicidad en lanotacion identificaremos la base X de F con el conjunto M × N . Consideremos elZ-submodulo S ≤ F , S := 〈S1 ∪ S2 ∪ S3〉, donde

S1 := {(m+m′, n)− (m,n)− (m′, n) |m,m′ ∈M,n ∈ N},S2 := {(m,n+ n′)− (m,n)− (m,n′) |m ∈M,n, n′ ∈ N},S3 := {(m · a, n)− (m, a · n) |m ∈M,n ∈ N, a ∈ A}.

Sea M ⊗A N := F/S el Z-modulo cociente correspondiente. Este objeto se conocecomo el producto tensorial de M por N . La clase (m,n) del elemento (m,n) de Fse denota por m⊗ n.

Algunas propiedades del Z-modulo construido son las siguientes:

(1) La funcion t : M ×N −→M ⊗A N definida por t(m,n) := m⊗ n es bilinealy balanceada , es decir,


(i) t(m+m′, n) = t(m,n) + t(m′, n).

(ii) t(m,n+ n′) = t(m,n) + t(m,n′).

(iii) t(m.a, n) = t(m, a.n).

Las propiedades anteriores de la funcion t son equivalentes a las siguientes:

(m+m′)⊗ n = m⊗ n+m′ ⊗ n,

m⊗ (n+ n′) = m⊗ n+m⊗ n′,

m · a⊗ n = m⊗ a · n.

(2) 0⊗ n = 0, m⊗ 0 = 0,(−m)⊗ n = − (m⊗ n), m⊗ (−n) = −(m⊗ n).

(3) Cada elemento f de M ⊗A N se puede representar en la forma m1 ⊗ n1 +· · · + mr ⊗ nr. Esta representacion no es unica: en Z2 ⊗Z Z3 se tiene que1⊗ 2 = 2⊗ 1 = 0.

El producto tensorial se caracteriza con la siguiente propiedad universal.

Teorema 1.3.1. Para cada Z-modulo L y cada funcion bilineal y balanceada h′ :M ×N −→ L existe un unico Z-homomorfismo h : M ⊗A N −→ L tal que ht = t′:

M ×N M ⊗N

L?

h′

-t ppppppppppppp+ h

El homomorfismo h viene dado por:

h(m⊗ n) := h′(m,n).

Demostracion. Usaremos la notacion que precede al enunciado del teorema. Puestoque F es libre con base M × N , la funcion h′ induce un unico Z-homomorfismoh′′ : F → L tal que h′′(m,n) := h′(m,n). Definimos entonces la funcion h : F/S → Lpor h (z) := h′′(z), con z ∈ F . En particular, si z = (m,n) es basico, entoncesh(m ⊗ n) = h′(m,n). Probemos que h esta bien definida: sean z1, z2 ∈ F tales quez1 = z2, debemos demostrar que h′′(z1) = h′′(z2). Se tiene que z1 − z2 ∈ S, entoncesz1−z2 es una combinacion lineal con coeficientes enteros de elementos de S1∪S2∪S3;como h′′ es un Z-homomorfismo, entonces basta mostrar que para cada sumando wde z1 − z2 se cumple que h′′(w) = 0. Entonces para w se presentan 3 posiblidades:w ∈ S1 o w ∈ S2 o w ∈ S3. En el primer caso w = (m+m′, n)− (m,n)− (m′, n), dedonde h′′(w) = h′′(m+m′, n)− h′′ (m,n)− h′′ (m′, n) = h′(m+m′, n)− h′ (m,n)−h′ (m′, n) = 0. De igual forma se establece en los otros dos casos.


De otra parte, notese que h es un Z-homomorfismo ya que h′′ lo es. Ademas,ht(m,n) = h(m ⊗ n) = h′(m,n). Resta demostrar que h es unico con la condicionht = h′. Sea l otro Z-homomorfismo tal que lt = h′, entonces lt(m,n) = h′(m,n), esdecir, l(m⊗ n) = h(m⊗ n). Esto muestra que l = h.

Corolario 1.3.2. Si L es un Z-modulo y h′ : M ×N −→ L es una funcion bilinealy balanceada tal que L satisface la propiedad universal precedente, entonces L ∼=M ⊗A N (isomorfismo de grupos abelianos).

Demostracion. Ejercicio para el lector.

La construccion realizada anteriormente puede ser ampliada a bimodulos: sean

BMA y ANC bimodulos, entonces el grupo M ⊗A N tiene estructura de B − C-bimodulo con las siguientes operaciones:

b · (m⊗ n) = (b ·m)⊗ n,(m⊗ n) · c = m⊗ (n · c).

La demostracion de que estas operaciones dotan al producto tensorial de estructurade bimodulo se apoya en el siguiente razonamiento: la funcion h′ : M × N −→M ⊗ N definida por h′(m,n) := (b · m) ⊗ n es bilineal y balanceada, y por tantoinduce un homomorfismo de grupos abelianos b : M ⊗ N −→ M ⊗ N definido porb(m ⊗ n) := (b ·m)⊗ n. Para concluir que M ⊗N es un B-modulo basta observarque (b1 + b2) · (m⊗n) = b1 · (m⊗n)+ b2 · (m⊗n), b1 · (b2 · (m⊗n)) = (b1b2) · (m⊗n)y que 1 · (m⊗ n) = m⊗ n. La prueba para el caso del anillo C es similar y ademases claro que (b · (m⊗ n)) · c = b · ((m⊗ n) · c).

Con un razonamiento similar al anterior se puede construir el producto tensorial

de homomorfismos de bimodulos: sean Mf−→ M ′, N

g−→ N ′, B − A y A − C-

homomorfismos, respectivamente. Entonces, M ⊗Nf⊗g−→ M ′ ⊗N ′ definido por

(f ⊗ g) (m⊗ n) := f(m)⊗ g(n)

es un B − C-homomorfismo. Se tienen las siguientes propiedades:

(a) iM ⊗ iN = iM⊗N .

(b) (f1f2)⊗ (g1g2) = (f1 ⊗ g1) (f2 ⊗ g2).

(c) Si f, g son sobreyectivos, entonces f ⊗ g es sobreyectivo.

(d) Si f, g son sobreyectivos, entonces ker (f ⊗ g) = ker(f)⊗N +M ⊗ ker(g).

(e) Si f y g son isomorfismos, entonces f ⊗ g es un isomorfismo y (f ⊗ g)−1 =f−1 ⊗ g−1.


(f) Los “operadores”M ⊗ − y − ⊗ N son aditivos y exactos a derecha: iM ⊗(g1 + g2) = iM ⊗ g1 + iM ⊗ g2, (f1 + f2)⊗ iN = f1 ⊗ iN + f2 ⊗ iN . De maneramas general, f⊗(g1+g2) = f⊗g1+f⊗g2 y tambien (f1+f2)⊗g = f1⊗g+f2⊗g.

Si N1g1−→ N2

g2−→ N3 −→ 0 es exacta, entonces

M ⊗N1iM⊗g1−→ M ⊗N2

iM⊗g2−→ M ⊗N3 −→ 0 es exacta.

Si M1f1−→ M2

f2−→M3 −→ 0 es exacta, entonces

M1 ⊗Nf1⊗iN−→ M2 ⊗N

f2⊗iN−→ M3 ⊗N −→ 0 es exacta.

(g) M ⊗− y −⊗N no son, en general, exactos a izquierda:

0 −→ Z f−→ Z j−→ Z2 , f(k) := 2k, y j es el canonico. Entonces,

0 −→ Z⊗ Z2

f⊗iZ2−→ Z⊗ Z2

j⊗iZ2−→ Z2 ⊗ Z2, es decir,

0 −→ Z20−→ Z2

iZ2−→ Z2 no es exacta.

(h) BMA⊗A ∼= BMA,(B−A-isomorfismo). El isomorfismo viene dado por m⊗a 7→m · a. Similarmente, A ⊗ ANC

∼= ANC (A − C-isomorfismo). El isomorfismose define por a⊗ n 7→ a · n.

(i) (BMA ⊗A NC)⊗C LD ∼= BMA ⊗ (ANC ⊗C LD) (B −D-isomorfismo).

(i) Sea R un anillo conmutativo y sean M,N , R-modulos. Entonces, M ⊗ N ∼=N ⊗M (R-isomorfismo).

(j) Sea {Mi}i∈C una familia de B−A-bimodulos y {Nj}j∈D una familia de A−C-bimodulos. Entonces se tiene el B − C-isomorfismo

(⊕

Mi)⊗ (⊕

Nj) ∼=⊕

i,j (Mi ⊗Nj).

Demostracion. Paso 1. Sean M :=⊕i∈C

Mi y N :=⊕j∈D

Nj. Consideremos las

inyecciones canonicas

µi : Mi →M

µj : Nj → N

y su producto tensorial

µi⊗µj : Mi

⊗Nj →M ⊗N ;


entonces el siguiente diagrama es conmutativo

M ⊗N

Mi ⊗Nj

⊕(i,j)∈C×D

(Mi

⊗Nj)

��

��

��

��3

µi⊗µj

-µij

6

β

donde µij es la inyeccion canonica y β se define por

β(z) :=∑

(i,j)∈sop(z)(µi

⊗µj) (zij) ,

con z := (zij) ∈⊕

(i,j)∈C×D(Mi

⊗Mj), zij ∈ Mi

⊗Mj y sop(z) el soporte de

z, vease [12] para la nocion de soporte de un elemento de una suma directaexterna. Para z = 0 se tiene que β(0) := 0.

Paso 2. En el siguiente diagrama conmutativo t es la canonica del prodcutotensorial, α′ es bilineal y balancedada y α se define por la propiedad universaldel producto tensorial:

M ×N M ⊗N

⊕(i,j)∈C×D

(Mi

⊗Nj)

?

α′

-t pppppppppppp+ α

con α′((mi) , (nj)) := (mi

⊗nj) y α ((mi)

⊗(nj)) := (mi

⊗nj). Notese que el

soporte de (mi

⊗nj) es finito ya que esta inculido en el producto cartesiano

de los soprtes de (mi) y (nj). Es facil probar que α′ es bilineal y balanceada.Ademas, α claramente es un B − C−homomorfismo.

Paso 3. Veamos que βα = iM⊗N . Sea w ∈ M ⊗ N , puesto que α es unhomomorfismo se puede asumir que w = (mi)

⊗(nj). Entonces,

βα (w) = βα ((mi)⊗

(nj)) = β ((mi

⊗nj))

=∑

(i,j)∈sop(mi

⊗nj

) (µi⊗µj) (mi

⊗nj)

=∑

(i,j)∈sop(mi

⊗nj

)µi (mi)⊗µj (nj)

=∑

i∈sop(mi)

µi (mi)⊗ ∑

j∈sop(nj)

µj (nj)

= (mi)⊗

(nj) = w.


Paso 4. αβ tambien es la identica: sea z = (zij) ∈⊕

(i,j)∈I×J(Mi⊗Mj), zij ∈

Mi⊗Mj. Si z = 0, entonces αβ(0) = 0. Sea z 6= 0, entonces z es una sumafinita de la forma z =

∑(i,j)∈sop(z)

µij(zij); puesto que β y µij son homomorfismos

se puede asumir que z = µij(mi⊗nj). Entonces,

αβ (µij(mi⊗nj)) = α (µi (mi)⊗µj (nj))

= α ((. . . ,mi, . . . )⊗ (. . . , nj, . . . ))

= (. . . ,mi⊗nj, . . . )= µij(mi⊗nj).

(k) Sea A→ B un homomorfismo de anillos y X un conjunto no vacıo. Entonces,A(X)⊗B ∼= B(X) (A−B − isomorfismo). En consecuencia, siMA es proyectivo,entonces M ⊗A B es un B-modulo proyectivo.

(l) Se tiene el siguiente D −B-isomorfismo:

HomC (BMA ⊗A NC ,DLC) ∼= HomA (BMA, HomC (ANC ,DLC)) . (1.3.1)

Demostracion. Definimos la aplicacion

α : HomA (M,HomC (N,L)) → HomC (M ⊗A N,L) , f 7→ α(f) := αf ,

αf : M ⊗A N → L, αf (m⊗ n) := fm(n),

fm : N → L, fm := f(m), m ∈M, f ∈ HomA (M,HomC (N,L)) .

En [10] se prueba en forma detallada que αf es un C-homomorfismo biendefinido y α es un D−B-homomorfismo. Sea f tal que α(f) = 0, entonces paracada m ∈ M y cada n ∈ n resulta fm(n) = 0, es decir, fm = 0 para cada m,luego f = 0. Esto demuestra que α es inyectiva. Sea t ∈ HomC (M ⊗A N,L),definimos f : M → HomC(N,L) por f(m) := fm, con fm : N → L dada porfm(n) := t(m⊗ n). Se puede demostrar que fm es un C-homomorfismo y quef es un A-homomorfismo (vease [10]); ademas es claro que α(f) = t, es decir,α es sobreyectiva. Esto completa la demostracion.

(m) Se tiene el siguiente C −D-isomorfismo:

HomB (BMA ⊗A NC ,BLD) ∼= HomA (ANC , HomC (BMA,BLD)).

La prueba es similar a la del literal (l), vease tambien [25], teorema 2.11.


(n) Sea P un A-modulo proyectivo y Q un A−B-bimodulo el cual es B-proyectivo.Entonces, P ⊗Q es B-proyectivo. En particular, si R es un anillo conmutativoy P,Q son R-modulos proyectivos, entonces P ⊗Q es R-proyectivo.

Demostracion. Sea M → N → 0 una sucesion exacta de B-modulos derechos,entonces se tiene la sucesion exacta de A-modulos derechos HomA(Q,M) →HomA(Q,N) → 0, y como P es A-proyectivo resulta la sucesion exacta degrupos abelianos HomA(P,HomB(Q,M)) → HomA(P,HomB(Q,N)) → 0.Segun (l), resulta la sucesion exacta de grupos abelianos HomB(P⊗AQ,M) →HomB(P ⊗A Q,N)) → 0, es decir, P ⊗A Q es B-proyectivo.

(o) Sea L un B-modulo proyectivo f.g. Entonces se tiene el C-isomorfismo

HomA(BMA,C NA)⊗B LD ∼= HomA(HomB(BLD,BMA),C NA).

Demostracion. Notemos en primer lugar que la funcion h′ : HomA(M,N) ×L→ HomA(HomB(L,M), N) definida por

h′(f, l) := h′(f,l), con h′(f,l) : HomB(L,M) → N , h′(f,l)(g) := f(g(l)),

donde f ∈ HomA(M,N), g ∈ HomB(L,M), cumple las siguientes condi-ciones: h′(f,l) es un A-homomorfismo y h′ es bilineal y B-balanceada. En efecto,

h′(f,l)(g1+g2) = f [(g1+g2)(l)] = f [g1(l)+g2(l)] = f(1(l))+f(g2(l)) = h′(f,l)(g1)+

h′(f,l)(g2); h′(f,l)(g · a) = f [(g · a)(l)] = f [g(l) · a] = f [g(l)] · a = h′(f,l)(g) · a;

h′(f1 + f2, l) = h′(f1+f2,l), h′(f1+f2,l)

(g) = (f1 + f2)(g(l)) = f1(g(l)) + f2(g(l)) =

h′(f1,l)(g) + h′(f2,l)(g), es decir, h′(f1 + f2, l) = h′(f1, l) + h′(f2, l); h′(f, l1 + l2) =

h′(f,l1+l2), h′(f,l1+l2)(g) = f [g(l1+ l2)] = f(g(l1))+f(g(l2)) = h′(f,l1)(g)+h

′(f,l2)(g),

es decir, h′(f, l1 + l2) = h′(f, l1) + h′(f, l2). Finalmente, h′(f · b, l) = h′(f ·b,l),

h′(f ·b,l)(g) = (f · b)[g(l)] = f [b · g(l)] = f [g(b · l)] = h′(f,b·l)(g), es decir,

h′(f · b, l) = h′(f, b · l).

Por la propiedad del producto tensorial, h′ induce un homomorfismo de gruposabelianos h′ : HomA(M,N) ⊗ L → HomA(HomB(L,M), N) definido por

h′(f ⊗ l) := h′(f,l). Observemos que h′ es un C-homomorfismo. En efecto, h′[c ·(f ⊗ l)] = h′[(c · f) ⊗ l] = h′(c·f,l), h

′(c·f,l)(g) = (c · f)[g(l)] = c · f [g(l)] =

c[·h′(f,l)(g)] = [c ·h′(f,l)](g) = [c · h′(f⊗ l)](g), es decir, h′[c ·(f⊗ l)] = c · h′(f⊗ l).

Un caso particular es cuando L = B, en esta situacion claramente h′ es unisomorfismo; y en consecuencia, si L es un B-modulo libre de dimension finita,entonces h′ es tambien un isomorfismo.


Para concluir la prueba sea L proyectivo f.g. sobre B, entonces existe F libresobre B de dimension finita y L′ un B-modulo tales que F = L⊕ L′. Se tieneentonces un C-isomorfismo

h : HomA(M,N)⊗B (L⊕ L′) → HomA(HomB(L⊕ L′,M), N),

pero

HomA(HomB(L⊕ L′,M), N) ∼= HomA(HomB(L,M)⊕HomB(L′,M), N) ∼=HomA(HomB(L,M), N)⊕HomA(HomB(L′,M), N)

h′⊕h′′−−−→(HomA(M,N)⊗B L)⊕ (HomA(M,N)⊗B L

′),

es decir, el isomorfismo h del caso libre F es suma directa de los homomorfismosh′ y h′′ correspondientes a los modulos L y L′, respectivamente; pero h es unisomorfismo si, y solo si, h′ y h′′ son isomorfismos. Esto completa la prueba.

(p) Producto tensorial de modulos libres: sean X, Y conjuntos no vacıos, entoncesse tiene el A-isomorfismo

A(X) ⊗ A(Y ) ∼= A(X×Y ).

En particular, sea R un anillo conmutativo y sean M y N dos R-modulos libresde dimension finita n y m con bases X = {x1, . . . , xn} y Y = {y1, . . . , ym},respectivamente. Entonces, X ⊗ Y := {xi ⊗ yj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es unabase de M ⊗N , y en consecuencia, dimR (M ⊗N) = nm.

(q) Sea R un dominio de integridad y sean M,N,X, Y como en el literal anterior.Para cualesquiera elementos m ∈M y n ∈ N se tiene que

m⊗ n = 0 ⇔ m = 0 o n = 0.

1.4. Anillos y modulos de fracciones

En esta seccion discutiremos la existencia, construccion y unicidad de los anillos ymodulos de fracciones en el caso general no conmutativo.

Definicion 1.4.1. Sea A un anillo y S un subconjunto multiplicativo de A,es decir, S es cerrado para el producto, 1 ∈ S y 0 /∈ S. Se dice que un anillo Bes un anillo de fracciones a derecha de A respecto de S si se cumplen lassiguientes condiciones:

(i) Existe un homomorfismo de anillos ψ : A→ B tal que

1.4. ANILLOS Y MODULOS DE FRACCIONES 23

(ii) ψ(S) ⊆ B∗

(iii) ψ(a) = 0 ⇔ au = 0, para algun u ∈ S

(iv) Cada elemento de B se puede representar en la forma

ψ(a)ψ(s)−1, con a ∈ A, s ∈ S.

Resulta conveniente preguntar bajo que condicion un anillo A se puede sumergiren un anillo de fracciones (en caso de que este ultimo exista). La respuesta a estapregunta y su prueba son como en el caso conmutativo (vease [12]).

Proposicion 1.4.2. Sean A un anillo, S un subconjunto multiplicativo de A y Bun anillo de fracciones a derecha de A respecto de S. Entonces,

(i) ψ es inyectivo si, y solo si, S no posee divisores de cero a derecha.

(ii) ψ es biyectivo si, y solo si, S ⊆ A∗.


A diferencia del caso conmutativo, la existencia de un anillo derecho de fraccionesesta supeditada al cumplimiento de dos condiciones.

Teorema 1.4.3. Sean A un anillo y S sun subconjunto multiplicativo de A. En-tonces, A posee un anillo de fracciones a derecha respecto de S si, y solo si, Ssatisface las siguientes condiciones:

(i) Si a ∈ A y s ∈ S son tales que sa = 0, entonces existe u ∈ S tal que au = 0.

(ii) Condicion de Ore a derecha: dados a ∈ A y s ∈ S existen t ∈ S y b ∈ Atales que at = sb.

Demostracion. Notemos que en la condicion de Ore si a ∈ S, es decir, si los doselementos dados a y s son de S, entonces at = sb ∈ S.

⇒) Sea B un anillo de fracciones a derecha de A respecto de S con funcion ψ quecumple las condiciones (i)-(iv) de la definicion 1.4.1. Si sa = 0 con s ∈ S y a ∈ A,entonces ψ(s)ψ(a) = 0, de donde ψ(a) = 0. Existe pues u ∈ S tal que au = 0, yhemos probado (i). De otra parte, sean a ∈ A y s ∈ S, entonces ψ(s)−1ψ(a) ∈ B.Existen b0 ∈ A y t0 ∈ S tales que ψ(s)−1ψ(a) = ψ(b0)ψ(t0)

−1, luego ψ(sb0) = ψ(at0)y existe u ∈ S tal que (at0 − sb0)u = 0, tomando t := t0u y b := b0u se obtiene (ii).

⇐) La idea ahora es construir un anillo de fracciones a derecha. Dividiremos lademostracion en varios pasos.

Paso 1. En el conjunto A× S definimos la relacion ≡ de la siguiente manera:

(a, s) ≡ (b, t) si, y solo si, existen c, d ∈ A tales que ac = bd y sc = td ∈ S.


Notese que al aplicar la condicion de Ore a los elementos s, t se encuentran loselementos c, d ∈ A tales que sc = td ∈ S.

Probemos que la relacion ≡ es de equivalencia: (a, s) ≡ (a, s) ya que a1 = a1 ys1 = s1 ∈ S; la simetrıa es consecuencia de la simetrıa de la relacion de igualdad; porultimo, si (a, s) ≡ (b, t) y (b, t) ≡ (e, r), entonces existen elementos c, d, c1, d1 ∈ Atales que

ac = bd, sc = td ∈ S, bc1 = ed1, tc1 = rd1 ∈ S.

Aplicamos la condicion de Ore a los elementos sc y rd1, con lo cual existen x, y ∈ Atales que scx = rd1y ∈ S. Resulta

acx = bdx, scx = tdx, bc1y = ed1y, tc1y = rd1y,

luego tdx = tc1y y entonces t(dx−c1y) = 0. Por la condicion (i) existe u ∈ S tal que(dx− c1y)u = 0, es decir, dxu = c1yu, luego bdxu = bc1yu, de donde acxu = ed1yuy tambien scxu = rd1yu ∈ S. Esto prueba que (a, s) ≡ (e, r).

Paso 2. Denotemos por as

la clase de equivalencia que contiene al par (a, s) ymediante AS−1 al conjunto de todas las clases ası determinadas. Sean a

s, bt∈ AS−1,

definimos

as

+ bt

:= ac+bdu

,

donde u ∈ S es el elemento determinado por la condicion de Ore aplicada a loselementos s, t ∈ S: u := sc = td. Se puede demostrar que la suma anterior esta bi-en definida, es decir, no depende de u ni de los representantes elegidos para lasfracciones, la prueba completa se puede consultar en [10]. El producto se define por

asbt

:= actu

,

donde c ∈ A y u ∈ S estan definidos por la condicion de Ore aplicada a los elementosb y s: bu = sc. En [10] se demuestra en forma detallada que el producto anterioresta bien definido.

Paso 3. Las operaciones anteriores dotan a AS−1 de una estructura de anillo. Laprueba completa de esta afirmacion se puede consultar en [10]. Notemos que 0

1= 0

s,

s ∈ S, es el cero de este anillo; 11

= ss, s ∈ S, es el uno; y que el opuesto de a

ses −a

s.

En efecto, veamos primero que 01

= 0s

y 11

= ss: 0s = 01, 1s = s1; 1s = s1, 1s = s1.

Ahora, as+ 0

1= a1+0s

s= a

sya que s1 = 1s; a

s11

= a11s

= as

ya que 1s = s1, 11as

= 1as1

= as

ya que a1 = 1a; as

+ −as

= a1+(−a)1s

= 0s

ya que s1 = s1.Paso 4. AS−1 es un anillo de fracciones a derecha de A respecto de S. En efecto,

definimosA

ψ−→ AS−1, a 7→ a

1. (1.4.1)

ψ es un homomorfismo de anillos ya que ψ(a + b) = a+b1

= a1

+ b1

= ψ(a) + ψ(b),ψ(ab) = ab

1= a

1b1

= ψ(a)ψ(b), ψ(1) = 11; sea s ∈ S, entonces ψ(s) = s

1y s

11s

= 11,

es decir, ψ(S) ⊆ (AS−1)∗; sea a ∈ S tal que ψ(a) = 01, entonces a

1= 0

1y existen


c, d ∈ A tales que ac = 0d = 0 y 1c = 1d = c ∈ S, de otra parte, si a ∈ A y u ∈ Sson tales que au = 0, entonces 0 = ψ(au) = ψ(a)ψ(u), de donde ψ(a) = 0; porultimo, es claro que dado a

s∈ AS−1, a

s= a

11s

= ψ(a)ψ(s)−1.

Pasamos ahora a considerar la unicidad del anillo de fracciones a derecha, encaso de que este ultimo exista.

Proposicion 1.4.4 (Propiedad universal). Sean A un anillo y S un subconjuntomultiplicativo de A tales que AS−1 existe, es decir, las dos condiciones del teorema1.4.3 se cumplen. Sea g : A → A0 un homomorfismo de anillos tal que g(S) ⊆A∗0. Entonces, existe un unico homomorfismo h : AS−1 → A0 tal que el siguientediagrama conmuta:

A AS−1

A0

?

g

-ψ ppppppppp h

h es definido por h(as) := g(a)g(s)−1. Ademas, si g es inyectivo, entonces h es

tambien inyectivo.

Demostracion. La prueba se puede consultar en [10].

Corolario 1.4.5. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha respectodel sistema multiplicativo S. Si A se puede sumergir en AS−1, es decir, si ψ esinyectivo, entonces AS−1 es el menor anillo que contiene a A en el cual todos loselementos de S son invertibles.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion anterior.

Corolario 1.4.6. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha respectodel sistema multiplicativo S. Si A0 es un anillo con homomorfismo g : A → A0 talque g(S) ⊆ A∗0 y A0 tambien cumple la propiedad universal, entonces A0

∼= AS−1.

Demostracion. Basta aplicar dos veces la propiedad universal tanto a A0 como aAS−1 para construir homomorfismos h : AS−1 → A0 y h′ : A0 → AS−1 tales quesus compuestas dan las aplicaciones identicas.

Teorema 1.4.7. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha respectodel sistema multiplicativo S. Si A0 es un anillo con homomorfismo g : A → A0

que satisface las condiciones (i)-(iv) de la definicion 1.4.1. Entonces existe un unicoisomorfismo h : AS−1 → A0 tal que hψ = g.


Demostracion. Segun la proposicion 1.4.4, existe un unico homomorfismo de anillosh que cumple hψ = g. Resta ver que h es un isomorfismo: si h(a

s) = 0, entonces

g(a) = 0 y existe u ∈ S tal que au = 0, es decir, as

= 01, esto muestra que h es

inyectivo. Sea x ∈ A0, entonces x se puede representar en la forma x = g(a)g(s)−1,a ∈ A, s ∈ S. Entonces, x = h(a

s) y h es pues sobreyectivo.

Observacion 1.4.8. (i) Es claro a partir de las definiciones y resultados de lapresente seccion como definir y caracterizar un anillo de fracciones a izquierda .Se tiene la siguiente propiedad interesante: sean A un anillo y S un subconjuntomultiplicativo de A tales que AS−1 y S−1A existen. Entonces, AS−1 ∼= S−1A. Enefecto, sean ψ : A→ AS−1 y ψ′ : A→ S−1A los homomorfismos canonicos, entoncessegun la proposicion 1.4.4 (y la correspondiente afirmacion para el caso a izquierda)existen homomorfismos h : AS−1 → S−1A y h′ : S−1A → AS−1 tales que hψ = ψ′

y h′ψ′ = ψ, es decir, (hh′)ψ′ = ψ′, (h′h)ψ = ψ, por unicidad en la proposicionmencionada (y su correspondiente afirmacion a izquierda), hh′ = iS−1A y h′h =iAS−1 .

(ii) Queremos ahora mostrar como la construccion del anillo AS−1 generalizael caso conmutativo: en primer lugar las condiciones (i) y (ii) del teorema 1.4.3se cumplen trivialmente en el caso de un anillo conmutativo R y un subconjuntomultiplicativo S. Consideremos tambien la relacion de equivalencia que define lasfracciones de RS−1, es decir, (a, s) ∼ (b, t) si, y solo si, existe u ∈ S tal que atu = bsu,luego si hacemos c := tu y d := su se obtiene que (a, s) ≡ (b, t). Recıprocamente,si (a, s) ≡ (b, t), entonces existen c, d ∈ R tales que ac = bd y sc = td ∈ S, luegoat(dt) = at(sc) = acts = bdts = bs(dt), con dt ∈ S, es decir, (a, s) ≡ (b, t). Conrespecto a las operaciones tenemos lo siguiente: puesto que st = ts ∈ S, entoncesas+ b

t= at+bs

st, lo cual corresponde al caso conmutativo. Analogamente, como bs = sb,

entonces asbt

= abts

= abst

.Un caso particular muy importante de localizacion conmutativa es cuando S :=

R−P , con P un ideal primo de R; en esta situacion el anillo de fracciones se denotapor RP y es un anillo local (vease [12]).

Ejemplo 1.4.9. Anillo total de fracciones. Sean A un anillo y

S0 := {a ∈ A|a no es divisor de cero}.

Notemos que la condicion (i) del teorema 1.4.3 en este caso se cumple trivialmente.Si se satisface la condicion de Ore a derecha, entonces el anillo de fracciones AS−1

0

existe y se denomina el anillo total de fracciones a derecha de A (tambien sele conoce como el anillo clasico de fracciones a derecha de A). Se acostumbraa denotar por Qr(A). Ası pues, si Qr(A) existe, entonces A se puede sumergir enQr(A) y este ultimo es el menor anillo que contiene a A en el cual todos los elementosde S0 son invertibles. En forma analoga se define el anillo total de fraccionesa izquierda de A y se denota por Ql(A). Si tanto Qr(A) como Ql(A) existen,


entonces Qr(A) ∼= Ql(A) y este anillo se denota simplemente por Q(A), y se leconoce como el anillo total de fracciones de A.

Ejemplo 1.4.10. Sea A un anillo sin divisores de cero, entonces S0 = A − {0}. SiS0 satisface la condicion de Ore a derecha, entonces se dice que A es un dominiode Ore a derecha , y en tal caso, Qr(A) es un anillo de division, denominado elanillo de division a derecha de A: sea a

s6= 0 en Qr(A), entonces a 6= 0 y por lo

tanto a ∈ S0. Se tiene entonces que assa

= aa

= 11

= ss

= saas, es decir, a

ses invertible

en Qr(A). De manera analoga se definen los dominios de Ore a izquierda yel anillo de division a izquierda de A. Notemos que si A = R es un dominiode integridad (DI), entonces Q(R) es un cuerpo, el cuerpo de fracciones de R(vease tambien [12]).

El ejemplo 1.4.10 plantea la siguiente pregunta: ¿bajo que condicion un anillosin divisores de cero satisface la condicion derecha (izquierda) de Ore?

Proposicion 1.4.11. Sea A un anillo noetheriano a derecha (izquierda) sin divisoresde cero. Entonces, A es un dominio de Ore a derecha (izquierda), y por tanto, elanillo de division a derecha (izquierda) Qr(A) (Ql(A)) existe.

Demostracion. Sean a ∈ A y s 6= 0, debemos encontrar t 6= 0 y b ∈ A talesque at = sb. Si a = 0, podemos tomar t = 1 y b = 0. Sea entonces a 6= 0; siaA ∩ sA 6= 0, entonces hemos terminado ya que entonces existen t, b ∈ A tales queat = sb 6= 0, donde necesariamente t 6= 0 (tambien b 6= 0). Vamos a asumir queaA ∩ sA = 0, lo cual implica que la suma

∑k≥0 s

kaA es directa. En efecto, seaaa0 + saa1 + · · · + snaan = 0, con ai ∈ A, 0 ≤ i ≤ n. Entonces aa0 ∈ sA, de dondea0 = 0 y tambien aa1 + · · ·+sn−1aan = 0. Nuevamente a1 = 0, y podemos continuarde la misma forma encontrando que ai = 0 para cada i.

Resulta entonces la cadena ascendente infinita de ideales derechos

aA ( aA⊕ saA ( aA⊕ saA⊕ s2aA ( · · · ,

lo cual es una contradiccion ya que A es noetheriano a derecha.

Pasamos ahora a estudiar los modulos de fracciones en el caso general no con-mutativo que nos ocupa. Sea A un anillo y sea S un subconjunto multiplicativode A tal que AS−1 existe, sea M un A-modulo a derecha, entonces el modulo defracciones a derecha de M respecto de S puede ser definido y construido enforma analoga a como vimos para los anillos. Veamos las ideas generales, los detallesde las pruebas los dejamos al lector. En M × S definimos la relacion ≈ por

(m, s) ≈ (n, t) si, y solo si, existen c, d ∈ A tales que m · c = n · d y sc = td ∈ S.

Se puede verificar que ≈ es una relacion de equivalencia, la clase de (m, s) se denotapor m

sy el conjunto de todas las clases por MS−1. Este ultimo tiene estructura de

AS−1-modulo a derecha respecto de las siguientes operaciones:


ms

+ nt

:= m·c+n·du

, con u := sc = td ∈ S

ms· at

:= m·ctu

, con au = sc, c ∈ A, u ∈ S.

El homomorfismo canonico ψ : A → AS−1 dota a MS−1 de estructura natural deA-modulo derecho y la funcion canonica

Mφ−→MS−1

m 7→ m

1.

es un homomorfismo de A-modulos derechos con nucleo

ker(φ) = {m ∈M |m · u = 0, para algun u ∈ S}.

Notese que ms

= 0 si, y solo si, m ∈ ker(φ): en efecto, si ms

= 01, entonces m

s· s

1= 0

1s1,

es decir, m1

= 01, luego existen c, d ∈ A tales que m · c = 0 · d y 1c = 1d ∈ S. Resulta,

m · c = 0, con c ∈ S, es decir, m ∈ ker(f). La afirmacion recıproca se prueba enforma analoga.

Proposicion 1.4.12 (Propiedad universal). Sea A un anillo que posee anillo defracciones a derecha respecto del sistema multiplicativo S. Para cada AS−1-modulo aderecha N y cada A-homomorfismo g : M → N existe un unico AS−1-homomorfismoh : MS−1 → N tal que el siguiente diagrama conmuta:

M MS−1

N?

g

-φ pppppppppp h

h es definido por h(ms) := g(m) · 1

s. Ademas, si g es inyectivo, entonces h es tambien

inyectivo.

Demostracion. La demostracion es un sencillo ejercicio que se deja al lector.

Corolario 1.4.13. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha re-specto del sistema multiplicativo S. Si N es un AS−1-modulo a derecha con A-homomorfismo g : M → N que tambien cumple la propiedad universal, entoncesN ∼= MS−1.

Demostracion. La demostracion es como la del corolario 1.4.6.


A partir de la proposicion 1.4.12 y de la propiedad universal del producto ten-sorial se puede demostrar el AS−1-isomorfismo de modulos derechos

MS−1 ∼= M ⊗A AS−1, (1.4.2)

donde la estructura natural de A-modulo a izquierda de AS−1 esta dada por ψ.Observemos que cada elemento x ∈ M ⊗A AS

−1 se puede representar en la formam⊗ 1

s, con m ∈M y s ∈ S. En efecto, si x =

∑ki=1mi ⊗ ai

si, entonces

x =k∑i=1

mi · ai ⊗1

si

x · s1

1= m1 · a1 ⊗

1

s1

s1

1+m2 · a2 ⊗

1

s2

s1

1+ · · ·+mk · ak ⊗

1

sk

s1

1

= m1 · a1 ⊗1

1+m2 · a2 ⊗

a′2s′2

+ · · ·+mk · ak ⊗a′ks′k

= m1 · a1 ⊗1

1+m2 · a′′2 ⊗

1

s′′2+ · · ·+mk · a′′k ⊗

1

s′′k,

si continuamos de esta manera encontramos s ∈ S y m ∈M tales que x · s1

= m⊗ 11,

es decir, x = m⊗ 1s. El isomorfismo (1.4.2) identifica precisamente x con m⊗ 1

s.

Otras propiedades relacionadas con los modulos de fracciones son las siguientes.

Proposicion 1.4.14. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha res-pecto del sistema multiplicativo S. Entonces,

(i) Si la siguiente sucesion de A-modulos derechos es exacta

0 −→M1f1−→ M2

f2−→M3 −→ 0,

entonces la sucesion de AS−1-modulos derechos

0 −→M1S−1 f1⊗i−→ M2S

−1 f2⊗i−→M3S−1 −→ 0,

es tambien exacta, con i := iAS−1.

(ii) Sea M un A-modulo a derecha y N un submodulo de M . Entonces se tiene elAS−1-isomorfismo (M/N)S−1 ∼= MS−1/NS−1.

(iii) Si M es un AS−1-modulo a derecha, entonces M ∼= MS−1.

(iv) Sea M un A-modulo a derecha. Entonces, M es un AS−1-modulo a derechasi, y solo si, M es sin torsion respecto de S, es decir, ker(φ) = 0 y M esS-divisible, es decir, para cada s ∈ S se tiene que M = M · s.


(v) Sea M un A-modulo derecho. M es de torsion respecto de S si, y solo si,M ⊗A AS

−1 = 0.

Demostracion. (i) Teniendo en cuenta el isomorfismo (1.4.2) y que el producto tenso-

rial preserva exactitud a derecha, basta probar que si Mf−→ N es un monomorfismo,

entonces M ⊗ AS−1 f⊗i−−→ N ⊗ NS−1 es tambien un monomorfismo, con i = iAS−1 .Cada elemento x de M ⊗ AS−1 es de la forma x = m ⊗ 1

s, con m ∈ M y s ∈ S;

supongamos que (f ⊗ i)(x) = 0, es decir, f(m)⊗ 1s

= 0, entonces f(m)s

= 0 en NS−1,luego existe t ∈ S tal que f(m) · t = 0, para algun t ∈ S, es decir, f(m · t) = 0, dedonde m · t = 0. Esto quiere decir que m

s= 0 y ası m⊗ 1

s= 0.

(ii) es consecuencia directa de (i).(iii) Si M es un AS−1-modulo, entonces el homomorfismo canonico φ es un AS−1-

isomorfismo. En efecto, si φ(m) = 0, entonces m · u = 0 para algun u ∈ S, luego(m · u

1) · 1

u= 0 = m, lo cual muestra que φ es inyectivo; sea m

s∈ MS−1, entonces

φ(m· 1s) = m

spuesto que si m· 1

s:= m′ ∈M , entonces m = m′ ·s y φ(m· 1

s) = m′

1= m

s.

Esto prueba que φ es sobreyectivo.(iv) ⇒) sean m ∈ M y s ∈ S tales que m · s = 0, entonces al aplicar φ resulta

m·s1

= 0, luego m1

= 0 = φ(m) = 0, pero segun la prueba de (iii) φ es inyectivo, con locual m = 0, y ası M es sin torsion respecto de S. Tambien, φ(m) = m

1= m

1· (1

ss1) =

(m1· 1s) · s

1= (m

1· 1s) · s = (φ(m) · 1

s) · s = φ(m ∗ 1

s) · s = φ((m ∗ 1

s) · s), donde ∗ es el

producto a traves del cual M es un AS−1-modulo. Resulta, m = (m ∗ 1s) · s y M es

S-divisible.⇐) Sean m ∈ M y a

s∈ AS−1, debemos definir un producto m ∗ a

s. Puesto que

M es S-divisible, existe m0 ∈M tal que m ·a = m0 · s, luego definimos m∗ as

:= m0.Seam m0,m

′0 ∈ M tales que m · a = m′

0 · s, por tanto (m −m0) · s = 0, de dondem = m′

0 ya que M sin torsion respecto de S. Es facil probar que ∗ esta bien definidoy dota a M de estructura de AS−1-modulo a derecha.

(v) Esto es consecuencia directa de (1.4.2).

El modulo de fracciones a izquierda de M respecto de S se define yconstruye en forma completamente analoga a como acabamos de ver, y se denotapor S−1M .

Proposicion 1.4.15. Sean A un anillo, R un anillo conmutativo contenido en Ay S un subconjunto multiplicativo de R tal que AS−1 existe. Entonces se tiene elisomorfismo de anillos y de A-modulos izquierdos

A⊗R RS−1 ∼= AS−1.

Demostracion. A ⊗R RS−1 como anillo corresponde al producto tensorial de las

R-algebras A y RS−1 (vease [14]). La funcion g : A → A ⊗R RS−1 definida por

g(a) := a ⊗ 1 es un homomorfismo de anillos y satisface g(S) ⊆ (A ⊗R RS−1)∗.


La proposicion 1.4.4 induce un homomorfismo de anillos h : AS−1 → A ⊗R RS−1

dado por h(as) := g(a)g(s)−1 = (a ⊗ 1)(1 ⊗ 1

s) = a ⊗ 1

s. Por otro lado, la funcion

f ′ : A×RS−1 → AS−1 definida por f ′(a, rs) := ar

ses bilineal y R-balanceada, luego

existe un homomorfismo de grupos abelianos f : A ⊗R RS−1 → AS−1 definido por

f(a⊗ rs) := ar

s. Notese que hf = iA⊗RS−1 y fh = iAS−1 , luego h es un isomomorfismo

de anillos.

Veamos que ademas h es un homomorfismo de A-modulos izquierdos: h(a′ · as) =

h(a′

1as) = h(a

′as

) = a′a⊗ 1s

= a′ · (a⊗ 1s) = a′ · h(a

s).

Observacion 1.4.16. En forma similar a como anotamos en la observacion 1.4.8,los modulos de fracciones sobre anillos conmutativos siempre existen y su estructurase puede simplificar: en efecto, la relacion ≈ en este caso toma la forma

(m, s) ≈ (n, t) si, y solo si, existe u ∈ S tale que m · tu = n · su, para algun u ∈ S.

Las operaciones se definen por

ms

+ nt

:= m·t+n·sst

, ms· at

:= m·ast

.

En el caso particular en que S := R−P , con P un primo de R, el modulo localizadose denota por MP .

Incluimos a continuacion otras propiedades adicionales de los modulos de frac-ciones sobre anillos conmutativos.

Proposicion 1.4.17. Sean R un anillo conmutativo, S un sistema multiplicativode R y M,N modulos sobre R. Entonces,

(M ⊗R N)S−1 ∼= MS−1 ⊗RS−1 NS−1.

Demostracion. En el siguiente diagrama conmutativo

MS−1 ×NS−1 MS−1 ⊗RS−1 NS−1

(M ⊗R N)S−1

?

h′

-t pppppppppppppppppppp� h

t(ms, nr) := m

s⊗ n

r, h′(m

s, nr) := m⊗n

sr, h(m

s⊗ n

r) := m⊗n

sr, t y h′ son bilineales y RS−1-

balanceadas, luego por la propiedad universal del producto tensorial, h queda biendefinida y es un RS−1-homomorfismo.


De otra parte, se tiene el siguiente diagrama conmutativo

M ×N M ⊗R N

MS−1 ⊗RS−1 NS−1

?

g′′

-t′ pppppppppppppppp+ g′

con t′(m,n) := m⊗n, g′′(m,n) := m1⊗ n

1, g′(m⊗n) := m

1⊗ n

1, t′ y g′′ bilineales y R-

balanceadas, luego g′(m⊗ n) := m1⊗ n

1esta bien definida y es un R-homomorfismo.

Segun la proposicion 1.4.12, existe un RS−1-homomorfismo g : (M ⊗R N)S−1 →MS−1⊗RS−1 NS−1 definido por g( z

s) := g′(z) · 1

s, con z ∈M ⊗RN . Se puede probar

facilmente que hg = i(M⊗N)S−1 , gh = iMS−1⊗NS−1 .

Sea q una propiedad de un anilo R (o de un R-modulo M). Se dice que q esuna propiedad local-global para R (para M) si se cumple la siguiente condicion:R (respectivamente M) tiene la porpiedad q si, y solo si, para todo primo P , RP

(respectivamente MP ) tiene la propiedad q.

Proposicion 1.4.18. Sean R un anillo conmutativo y M un R-modulo. Entonceslas siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M = 0.

(ii) MP = 0 para cada ideal primo P .

(iii) MP = 0 para cada ideal maximal de P .

Demostracion. (i)⇒(i)⇒(iii) son evidentes.(iii)⇒(i): supongamos que M 6= 0, entonces existe 0 6= m ∈ M y Ann(x) 6= R,

por lo tanto, existe un ideal maximal P de R tal que Ann(x) ⊆ P . Pero comoMP = 0, entonces m

1= 0

1, con lo cual existe s /∈ P tal que m · s = 0, pero esto es

contradictorio ya que s ∈ Ann(x).

Proposicion 1.4.19. Sean R un anillo conmutativo y f : M → N un homomorfis-mo de R-modulos. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) f es inyectivo (sobreyectivo, biyectivo).

(ii) fP es inyectivo (sobreyectivo, biyectivo) para cada primo P .

(iii) fP es inyectivo (sobreyectivo, biyectivo) para cada ideal maximal P .

Demostracion. La prueba de estas afirmaciones es un sencillo ejercicio que resultade aplicar la proposicion anterior.


Teorema 1.4.20 (Kaplansky). Sea R un anillo conmutativo local. Entonces, cadaR-modulo proyectivo finitamente generado es libre de dimension finita.

Demostracion. Si M = 0 no hay nada que demostrar. Sea pues 0 6= M un R-modulo proyectivo finitamente generado con sistema minimal de generadores nonulos {x1, . . . , xn}, entonces existe un R-modulo N tal que Rn = M ⊕N . Sea P elideal maximal de R, entonces al tensorizar por R/P se tiene el R/P -isomorfismo

(R/P )n = (M ⊗R R/P )⊕ (N ⊗R R/P ).

Pero notese que M ⊗ R/P ∼= M/PM (isomorfismo de R/P -espacios vectoriales) yademas {x1, . . . , xn} es un sistema minimal de generadores del espacio M/PM , esdecir, es una base de el. De esto se obtiene que

(R/P )n = (M/PM)⊕ (N/PN),

luego N/PN = 0, de donde N = PN . Pero como P = Rad(R), entonces por elLema de Nakayama se tiene que N = 0. Esto implica entonces que Rn = M .

Corolario 1.4.21. Sea M un R-modulo proyectivo finitamente generado. Entonces,para cada ideal primo P de R, MP es un RP -modulo libre de dimension finita.

Demostracion. Segun la propiedad (k) de la seccion 1.3, MP es un RP -moduloproyectivo f.g., luego por el teorema de Kaplansky, MP es RP -libre de dimensionfinita.

SeanR un anillo conmutativo yM unR-modulo proyectivo finitamente generado,se dice que M es de rango constante n si dimRP

(MP ) = n, para cada ideal primoP de R. Se escribe entonces rankP (M) = n.

Vimos en la demostracion del teorema de Kaplansky que M/PM es un espaciovectorial sobre el cuerpo R/P , donde P es un maximal de R. Si M es proyectivo derango constante n, entonces se tiene la siguiente relacion entre n y la dimension delespacio M/PM .

Proposicion 1.4.22. Sean R un anillo conmutativo, P un ideal maximal de R yM un R-modulo. Entonces,

(i) MP/PRPMP es un R/P -espacio vectorial.

(ii) M/PM ∼= MP/PRPMP (R/P -isomorfismo).

(iii) Si M es proyectivo de rango constante n, entonces dimR/P (M/PM) = n.


Demostracion. (i) Recordemos que la estructura de R/P -espacio para M/PM vienedada por m · r := m · r. De manera similar, MP/PRPMP es un espacio vectorialsobre el cuerpo RP/PRP con el producto m

s· ar

:= m·asr

. Sin embargo, se tiene el

siguiente isomorfismo de cuerpos R/P ∼= RP/PRP dado por a 7→ a1. Esto convierte

a MP/PRPMP en un R/P -espacio con el producto dado por ms· a := m

s· a

1:= m·a

s.

(ii) Se tiene el R/P -isomomorfismo

M/PM ∼= MP/PRPMP , m 7→ m1.

(iii) Puesto que M es proyectivo de rango constante n respecto de R, entoncesMP es libre de dimension n respecto de RP ; notese que si {z1, . . . , zn} es una basede MP respecto de RP , entonces {z1, . . . , zn} es una base de MP/PRPMP respec-to de RP/PRP , luego n = dimRP /PRP

(MP/PRPMP ) = dimR/P (MP/PRPMP ) =dimR/P (M/PM).

Proposicion 1.4.23. Sean R un anillo conmutativo y M y N R-modulos proyec-tivos de rango constante m y n, respectivamente. Entonces,

(i) rankP (M⊕

N) = rankP (M) + rankP (N).

(ii) rankP (M ⊗N) = rankP (M) rankP (N).

Demostracion. Estas afirmaciones son evidentes si se consideran las localizacionesde una suma directa y el producto tensorial.

1.5. Modulos inyectivos

Esta seccion es en cierto sentido dual de la seccion 1.2. Recordemos que un A-moduloN es inyectivo si HomA(−, N) preserva la exactitud a derecha.

Teorema 1.5.1. Sea N un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) N es inyectivo.

(ii) Para cada homomorfismo inyectivo f y cada homomorfismo g, existe un ho-momorfismo h tal que el siguiente diagrama conmuta:

N

M L

6g

-f

ppppppppI h

1.5. MODULOS INYECTIVOS 35

(iii) Cada homomorfismo inyectivo Nf−→M es hendido.

Demostracion. (i)⇒(ii): se tiene la sucesion exacta

HomA(L,N)f∗−→ HomA(M,N) → 0,

es decir, f ∗ es sobreyectivo y (ii) esta probado.(ii)⇒(i): (ii) significa que f ∗ es sobreyectivo, con lo cual N es inyectivo.(ii)⇒(iii): se tiene el diagrama conmutativo

N

N M

6iN

-f

ppppppppI h

luego hf = iN , es decir, f es hendido.(iii)⇒(ii): consideremos los homomorfismos

N

M L

6g

-f

con f inyectivo; sea J := (N ⊕ L)/K, donde K := {(g(m),−f(m))|m ∈ M}.Definimos la funcion u : N → J , u(n) := (n, 0); notemos que u es un homomorfismoinyectivo, luego por hipotesis existe un homomorfismo v : J → N tal que vu = iN .Sea entonces h := vw, con w : L→ J definido por w(l) := (0, l). Resulta, hf = g. Enefecto, hf(m) = vwf(m) = v[(0, f(m))] = v[(g(m), 0)] = vu(g(m)) = iN(g(m)) =g(m).

Proposicion 1.5.2. Cada sumando directo de un modulo inyectivo es inyectivo.

Demostracion. Sea N un modulo inyectivo y sea N ′ un sumando directo de N ,N = N ′ ⊕N ′′; consideremos los homomorfismos

N ′ ⊕N ′′

N ′

M L

?

π6µ

6g

-f

pppppppppp

ppppppppppK

h


donde f es inyectivo, π es la proyeccion canonica y µ es la inyeccion canonica;tenemos que hf = µg, luego (πh)f = πµg = g. Esto demuestra que N ′ es inyectivo.

Proposicion 1.5.3. Sea {Ni}i∈C una familia de A-modulos. Si Ni es inyectivo paracada i, entonces

∏i∈C Ni es inyectivo.

Demostracion. Consideremos los homomorfismos

Ni

∏Ni

M L

6πi

6g

-f

pppppppI t ppppp

pppppppppp

ppppppK

ti

donde f es inyectivo y πi es la proyeccion canonica; tenemos que tif = πig y πit = ti,luego πi(tf) = πig para cada i, de donde tf = g. Esto demuestra que

∏Ni es

inyectivo.

Teorema 1.5.4 (Teorema de Baer). Un A-modulo N es inyectivo si, y solo si,para cada ideal derecho I de A, cada A-homomorfismo g : I → N se puede extenderhasta A.

Demostracion. ⇒): sea I un ideal derecho de A; consideremos el diagrama

N

I A

6g

-ι

y la sucesion exacta 0 → Iι−→ A

j−→ A/I → 0, donde ι es la inclusion y j esel homomorfismo canonico en el cociente; como N es inyectivo resulta la sucesion

exacta → HomA(A/I,N)Ij∗−→ HomA(A,N)

ι∗−→ HomA(I,N) → 0, luego para gexiste h : A → N tal que ι∗(h) = g, es decir, se obtiene el siguiente diagramaconmutativo

N

I A

6g

-ι

pppppppI h


⇐): supongamos ahora que tenemos el siguiente diagrama

N

M L

6g

-f

donde f es inyectivo; la idea es definir un homomorfismo h : L→ N tal que hf = g.Sea S la coleccion de parejas de la forma (Lα, gα), donde Im(f) ≤ Lα ≤ L ygα : Lα → N es un homomorfismo tal que gαf = g. S no es vacıo ya que f(M) ∼= M ,es decir, existe f−1 : f(M) → M tal que f(M) ≤ L y (gf−1)f = g; notemostambien que (S,≥) es parcialmente ordenado, donde (Lα, gα) ≥ (Lβ, gβ) si, y solo si,Lα ≥ Lβ y gα|Lβ

= gβ. Consideremos en S un subconjunto S ′ totalmente ordenadoy sea L′ :=

⋃Lα∈S′ Lα; notemos que Im(f) ≤ L′ ≤ L, ademas, sea h′ : L′ → N ,

h′(l′) := gα(l′) si l′ ∈ Lα. Notemos que l′ es un homomorfismo y satisface h′f = g,

(L′, h′) ≥ (Lα, gα) para cada (Lα, gα) ∈ S ′; por el Lema de Zorn existe una parejamaximal (L0, g0) ∈ S de tal forma que Im(f) ≤ L0 ≤ L y g0 : L0 → N es unhomomorfismo que satisface g0f = g.

Supongamos que L0 6= L, veamos que esto conduce a una contradiccion. Seax ∈ L, x /∈ L0, definimos I := {a ∈ A|x · a ∈ L0}, I es un ideal derecho de A y lafuncion ϕ : I → N definida por ϕ(a) := g0(x · a) es un homomorfismo; por hipotesisϕ se puede extender a un homomorfimso ϕ′ : A→ N ; sea ϕ′(1) := n0 ∈ N . Notemosque si a ∈ I, entonces ϕ(a) = g0(x · a) = ϕ′(a) = ϕ′(1) · a = n0 · a, es decir,

g0(x · a) = n0 · a, para cada a ∈ I.

Sea L′′ := L0 + {x〉; notemos que Im(f) ≤ L′′ ≤ L, ademas, la aplicacion h′′ : L′′ →N definida por h′′(l0+x·a) := g0(l0)+n0 ·a, l0 ∈ L0, a ∈ A, es un homomorfismo biendefinido: en efecto, si l0+x·a = l′0+x·a′, entonces l0−l′0 = x·a′−x·a = x·(a′−a) ∈ L0

y podemos aplicar g0 de tal forma que g0(l0)−g0(l′0) = n0 · (a′−a) ya que a′−a ∈ I,

es decir, g0(l0)+n0 ·a = g0(l′0)+n0 ·a′. El homomorfismo h′′ satisface h′′f = g ya que

si z ∈M , entonces f(z) ∈ L0, de donde h′′(f(z)) = h′′(f(z) + 0) = g0(f(z)) = g(z).Hemos entonces encontrado (L′′, h′′) ∈ S tal que L0 � L′′ y h′′|L0 = g0, luego(L0, g0) � (L′′, h′′), pero esto contradice la escogencia de (L0, g0).

Corolario 1.5.5. Si D es un dominio de Ore a derecha, entonces Qr(D) es unD-modulo derecho inyectivo.

Demostracion. Es claro que ψ : Q → Qr(D) dota a Qr(D) de estructura de D-modulo a derecha. Segun el teorema de Baer, basta demostrar que para cada idealderecho I de D, cada D-homomorfismo f : I → Qr(D) se puede extender a D.Sean a, b dos elementos no nulos de I, por la condicion de Ore a derecha existent, c ∈ D − {0} tales que at = bc, luego f(a)t = f(b)c, con lo cual f(a)

a= f(b)

b. Ası,


sea c ∈ Qr(D) esta fraccion comun asociada a I. Definimos f : D → Qr(D) por

f(d) := cd1, es claro que f es un D-homomorfismo y para cada a ∈ I se tiene que

f(a) = ca1

= f(a)a

a1

= f(a)1

, es decir, f extiende f .

Una propiedad homologica muy importante relacionada con los modulos inyec-tivos dice que todo A-modulo se puede sumergir en un modulo inyectivo. Para lademostracion necesitamos algunos preliminares.

Definicion 1.5.6. Sea M un A-modulo; M es divisible si para cada elementoa ∈ A que no sea divisor de cero se cumple que M · a = M .

Algunas propiedades elementales de los modulos divisibles se presentan a con-tinuacion.

Proposicion 1.5.7. Sea A un anillo. Entonces

(i) Si M es un A-modulo divisible y N es un submodulo de M , entonces M/N esdivisible.

(ii) Cada sumando directo de un modulo divisible es divisible.

(iii) El producto y la suma directa externa de modulos divisibles es divisible.

(iv) Sean A un dominio de Ore a derecha y Qr(A) su anillo de division, entoncesQr(A) es un A-modulo derecho divisible.

(v) Sean A un dominio de Ore a derecha y Qr(A) su anillo de division, entoncescada Qr(A)-espacio vectorial derecho es un A-modulo divisible.

Demostracion. Todas las afirmaciones se prueban facilmente a partir de la defini-cion de modulo divisible; veamos la demostracion de (iv), las otras quedan comoejercicio al lector. Las estructura de A-modulo derecho de Qr(A) viene dada por elhomomorfismo canonico ψ definido en (1.4.1). Sea b

run elemento no nulo de Qr(A) y

0 6= a ∈ A, entonces b 6= 0 y se tiene la igualdad br

= bara1, es decir, Qr(A) = Qr(A)·a.

La afirmacion (v) es consecuencia de (iv) y (iii) ya que un espacio vectorial sobreQr(A) es suma directa externa de copias de Qr(A).

Proposicion 1.5.8. Todo modulo inyectivo es divisible. Para dominios de idealesprincipales se cumple la afirmacion recıproca.

Demostracion. Sean m ∈ M y a ∈ A que no es divisor de cero; la funcion f :{a〉 → M , f(ar) := m · r es un homomorfismo bien definido. En efecto, si ar = as,entonces a(r − s) = 0, luego r = s con lo cual m · r = m · s. Por el toeremade Baer f se puede extender a un homomorfismo f ′ : A → M ; en particular,


f ′(a) = f(a) = f(a1) = m · 1 = m = f ′(1a) = f ′(1) · a = m′ · a, es decir, m esdivisible por a.

Sea R un DIP y sea I un ideal de R, consideremos un homomorfismo f : I →M ;sea I = 〈a〉. Si a = 0, entonces I = 0 y f = 0, luego en este caso f se extiende atodo R. Sea pues a 6= 0; f(a) ∈ M , entonces existe m′ ∈ M tal que f(a) = m′ · a;definimos f ′ : R→ M , f ′(r) := m′ · r. Claramente f ′ es un homomorfismo; si b ∈ Ientonces b = ac, luego f ′(b) = f ′(ac) = m′ ·ac = (m′ ·a) ·c = f(a) ·c = f(ac) = f(b),es decir, f ′ extiende a f .

Proposicion 1.5.9. Cada grupo abeliano se puede sumergir en un grupo abelianoinyectivo.

Demostracion. Sea G un grupo abeliano, entonces G es de la forma G = F/S, dondeF := Z(G) es un grupo abeliano libre y S es un subgrupo de F ; sabemos que Z(G) =⊕g∈GZg, con Zg = Z para cada g. Consideremos la inclusion canonica Zg ↪→ Q,luego ⊕g∈GZg ↪→ Q(G) y S es un subgrupo de Q(G), con lo cual G ↪→ Q(G)/S, peroQ(G)/S es Z-divisible, y por lo tanto, Q(G)/S es inyectivo.

Proposicion 1.5.10. Sean A un anillo y G un grupo abeliano divisible. EntoncesHomZ(A,G) es un A-modulo derecho inyectivo.

Demostracion. HomZ(AAZ,ZGZ) es un Z − A-bimodulo con producto (h · x)(a) :=

h(xa), donde h ∈ HomZ(AAZ,ZGZ), x, a ∈ A. Sea Mf−→ L un A-homomorfismo

inyectivo de modulos derechos, resulta el Z-homomorfismo de modulos derechos

HomA(ZLA, HomZ(AAZ,ZGZ))f∗−→ HomA(ZMA, HomZ(AAZ,ZGZ)); se tiene el dia-

grama

HomA(ZLA, HomZ(AAZ,ZGZ))f∗−−−→ HomA(ZMA, HomZ(AAZ,ZGZ))yθ1

yθ2

HomZ(ZLA ⊗A A,ZGZ) HomZ(ZMA ⊗A A,ZGZ)yα1

yα2

HomZ(ZLA,ZGZ)f ′−−−→ HomZ(ZMA,ZGZ)

donde las flechas verticales son isomorfismos (vease (1.3.1)) y f ′ es sobreyectiva yaque G es inyectivo (proposicion 1.5.8). Si el diagrama resulta conmutativo, entoncesf ∗ es sobreyectivo y la prueba habrıa terminado. Veamos como estan definidos loshomomorfismos del diagrama anterior:

f ∗(h) = hf , con h : L→ HomZ(A,G), h(l) := hl : A→ G;θ1(h) = θh1 , con θh1 : L⊗ A→ G, θh1 (l ⊗ 1) := hl(1);

θ2(g) = θg2, con θg2 : M ⊗ A→ G, θg2(m⊗ 1) := gm(1), donde


g : M → HomZ(A,G), g(m) := gm : A→ G;α1(t) = αt1 : L→ G, con αt1(l) := t(l ⊗ 1), donde t : L⊗ A→ G;

α2(s) = αs2 : M → G, con αs2(m) := s(m⊗ 1), donde s : M ⊗ A→ G;f ′(u) := uf , con u : L→ G.

Con las definiciones anteriores tenemos que

(f ′α1θ1)(h) = f ′α1(θh1 ) = f ′[(α1)

θh1 ] = (α1)

θh1 f ,

luego para m ∈M resulta

(α1)θh1 f(m) = θh1 (f(m)⊗ 1) = hf(m)(1);

por otro lado

(α2θ2f∗)(h) = α2θ2(hf) = α2[θ

hf2 ] = (α2)

θhf2 ,

luego para m ∈M se tiene que

(α2)θhf2 (m) = θhf2 (m⊗ 1) = (hf)m(1), pero (hf)m = (hf)(m) = h(f(m)) = hf(m),

luego (hf)m(1) = hf(m)(1).

Teorema 1.5.11. Todo modulo se puede sumergir en un modulo inyectivo.

Demostracion. Sea M un A-modulo a derecha; consideremos a M como Z-modulo aderecha, entonces existe un grupo abeliano inyectivo G tal que M se puede sumergir

en G, Ml−→ G, y por la proposicion 1.5.8, G es Z-divisible. Para m ∈M , definimos

fm : A→M , a 7→ m · a, fm es un homomorfismo de A-modulos derechos, y en par-ticular, un Z-homomorfismo de modulos derechos; ademas, lfm ∈ HomZ(AAZ,ZGZ).Segun la proposicion 1.5.10, HomZ(AAZ,ZGZ) es un A-modulo derecho inyectivo; setiene la aplicacion

Mf−→ HomZ(AAZ,ZGZ), m 7→ lfm.

Veamos que f es un A-homomorfismo de modulos derechos: claramente f(m+m′) =f(m)+f(m′), ademas para x ∈ A se tiene que f(m ·x) = lfm·x y para a ∈ A resulta(lfm·x)(a) = l((m · x) · a) = l(m · (xa)), pero [(lfm) · x](a) = (lfm)(xa) = l(m · (xa)),y esto demuestra que f(m · x) = f(m) · x.

Por ultimo, probemos que f es inyectivo: si f(m) = 0, entonces lfm = 0, luegol(fm(1)) = 0 = l(m), por lo tanto, m = 0.

La version inyectiva de la propiedad (o) de la seccion 1.3 es el siguiente teorema.

Teorema 1.5.12. Sea L un B−D-bimodulo el cual es finitamente presentado sobreB y sea N un C − A-bimodulo el cual es inyectivo sobre A. Entonces se tiene elsiguiente C −D-isomorfismo:


HomA(BMA,C NA)⊗B LD ∼= HomA(HomB(BLD,BMA),C NA).

Demostracion. Vease [25], lema 3.60.

Concluimos esta seccion con otra caracterizacion de los modulos proyectivos atraves de modulos inyectivos, y de manera dual, de los modulos inyectivos a travesde modulos proyectivos.

Teorema 1.5.13. Sean P y Q modulos. Entonces,

(i) P es proyectivo si, y solo si, para cada homomorfismo sobreyectivo f , conQ inyectivo, y cada homomorfismo g, existe un homomorfismo h tal que elsiguiente diagrama conmuta:

P

Q Q′?

g

ppppppph-

f

(ii) Q es inyectivo si, y solo si, para cada homomorfismo inyectivo f , con P proyec-tivo, y cada homomorfismo g, existe un homomorfismo h tal que el siguientediagrama conmuta:

Q

P ′ P

6g

-f

pppppppI h

Demostracion. Veamos la prueba de (i), la segunda parte queda como ejercicio allector.

⇒): esta parte es siempre cierta sin la condicion de inyectividad sobre Q.⇐): consideremos los homomorfismos

P

M M ′′?

p

-t

con t sobreyectivo; M se puede sumergir en un modulo inyectivo Q, s : M → Q, setiene entonces el siguiente diagrama conmutativo con filas exactas y Q′′ := coker(sι),


donde M ′ := ker(t), ι es la inclusion, j es el homomorfismo canonico y q se definepor q(m′′) := js(m), con m′′ := t(m):

Pyp

0 −−−→ M ′ ι−−−→ Mt−−−→ M ′′ −−−→ 0yiM′

ys

yq

0 −−−→ M ′ sι−−−→ Qj−−−→ Q′′ −−−→ 0

Por hipotesis existe un homomorfismo h : P → Q tal que jh = qp. Veamos queIm(h) ⊆ Im(s): en efecto, sea x ∈ P , entonces jh(x) = qp(x) = j(s(m)), conp(x) = t(m), luego h(x)−s(m) ∈ ker(j) = Im(sι), de donde h(x)−s(m) = (sι)(m′),es decir, h(x) = s(m−m′). Se tiene entonces el siguiente diagrama conmutativo, locual prueba que P es proyectivo:

P

M M ′′?

p

ppppppppps−1h

-t

En efecto, notemos en primer lugar que q es inyectivo (si q(m′′) = 0 = js(m),con t(m) = m′′, entonces s(m) ∈ ker(j), luego s(m) = sι(m′) = s(m′), de dondem = m′, pero como m′ ∈ M ′ = ker(t), entonces t(m) = t(m′) = 0 = m′′). Seaahora x ∈ P , entonces h(x) = s(m), con m ∈ M , de donde m = s−1h(x) y resultat(m) = t(s−1h(x)) := m′′. Se tiene pues que q(m′′) = js(m), es decir, q[t(s−1h(x))] =js[s−1h(x)] = jh(x) = qp(x), pero como q es inyectivo, entonces t(s−1h(x)) =p(x).

1.6. Modulos planos

Hemos visto que −⊗A N y N ⊗A − son siempre exactos a derecha pero no siemprea izquierda. Se tiene entonces la siguiente nueva clase de modulos.

Definicion 1.6.1. Un A-modulo N es plano si N⊗A− preserva exactitud a izquier-da, es decir, para cada sucesion exacta de A-modulos izquierdos 0 → M1 → M2 →M3 → 0, la sucesion de grupos abelianos 0 → N⊗AM1 → N⊗AM2 → N⊗AM3 → 0es tambien exacta.

De manera similar se define la nocion de A-modulo izquierdo plano.

1.6. MODULOS PLANOS 43

Proposicion 1.6.2. Sea A un anillo que posee anillo de fracciones a derecha respec-to del sistema multiplicativo S. Entonces, AS−1 es un A-modulo izquierdo plano. Enparticular, si D es un dominio de Ore a derecha, entonces Qr(D) es un D-moduloizquierdo plano.

Demostracion. Esto es una consecuencia directa de la proposicion 1.4.14.

En forma analoga, si S−1A existe, entonces S−1A es un A-modulo derecho plano.

Teorema 1.6.3. Sea N un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones son equiv-alentes:

(i) N es plano.

(ii) Si f : M1 −→ M2 es inyectivo, entonces 1N ⊗ f : N ⊗A M1 → N ⊗A M2 esinyectivo.

(iii) Si f : M1 −→ M2 es inyectivo y M1,M2 son finitamente generados, entoncesiN ⊗ f es inyectivo.

Demostracion. (i)⇒(ii): sea f : M1 →M2 un homomorfismo inyectivo, y considere-

mos la sucesion exacta 0 →M1f−→M2

j−→M2/f (M1) → 0. Por hipotesis, la sucesion

0 → N ⊗M1iN⊗f−−−→ N ⊗M2

iN⊗j−−−→ N ⊗ (M2/f (M1)) → 0 es exacta, por lo tantoiN ⊗ f es un homomorfismo inyectivo.

(ii)⇒(i): teniendo en cuenta la hipotesis y que N⊗− es siempre exacto a derecha,entonces esta implicacion es evidente.

(ii)⇒(iii): esta implicacion es obvia.

(iii)⇒(ii): seaM1f−→M2 un homomorfismo inyectivo y sea u := n1⊗m1+· · ·+nt⊗

mt ∈ ker(iN ⊗ f), con mi ∈ M1, ni ∈ N, 1 ≤ i ≤ t. Consideremos los submodulos

M ′1 := 〈m1, . . . ,mt} ≤ M1 y M ′

2 := 〈f(m1), . . . , f(mt)} ≤ M2; sea M ′1

f ′−→ M ′2

definido por f ′(m′) := f(m′), con m′ ∈ M ′1. Es claro que f ′ es tambien inyectivo,

entonces por la hipotesis se tiene que N ⊗M ′1

iN⊗f ′−−−→ N ⊗M ′2 es inyectivo, por lo

tanto, (iN ⊗ f ′) (u) = (iN ⊗ f ′) (n1 ⊗m1 + · · ·+ nt ⊗mt) = n1⊗f ′(m1)+ · · ·+nt⊗f ′(mt) = n1 ⊗ f (m1) + · · ·+ nt ⊗ f (mt) = (iN ⊗ f) (n1 ⊗m1 + · · ·+ nt ⊗mt) = 0,luego u = n1 ⊗m1 + · · ·+ nt ⊗mt = 0.

Proposicion 1.6.4. Sea Aα−→ B un homomorfismo de anillos y N un A-modulo

plano. Entonces N ⊗A B es un B-modulo plano.

Demostracion. Si M1f−→ M2 es un homomorfismo inyectivo de modulos a izquierda

sobre B, entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo, donde las flechasverticales son isomorfismos y iN ⊗ f es por hipotesis inyectivo:


(N ⊗A B)⊗B M1

i(N⊗AB)⊗f−−−−−−→ (N ⊗A B)⊗B M2

↓ ↓N ⊗A (B ⊗B M1) N ⊗A (B ⊗B M2)

↓ ↓N ⊗AM1

iN⊗f−−−→ N ⊗AM2

Se tiene entonces que i(N⊗AB)⊗f es inyectivo, y por lo tanto, N⊗AB es B-plano.

Proposicion 1.6.5. Sea {Ni}i∈C una familia de A-modulos. Entonces,⊕i∈C Ni es plano ⇐⇒ ∀i ∈ C , Ni es plano.

Demostracion. ⇒): sea M1f−→ M2 un homomorfismo inyectivo, entonces el homo-

morfismo (⊕

i∈C Ni)⊗M1 → (⊕

i∈C Ni)⊗M2 es inyectivo. Entonces el homomorfismo⊕i∈C(Ni⊗M1)

⊕i∈C(iNi

⊗f)−−−−−−−−→

⊕i∈C(Ni⊗M2) es inyectivo, y en consecuencia cada ho-

momorfismo Ni ⊗M1

iNi⊗f

−−−→ Ni ⊗M2 es inyectivo.

⇐): sea M1f−→ M2 un homomorfismo inyectivo, entonces para cada i ∈ C,

el homomorfismo Ni ⊗ M1

iNi⊗f

−−−→ Ni ⊗ M2 es inyectivo, luego el homomorfismo⊕i∈C(Ni ⊗M1)

⊕i∈C(iNi

⊗f)−−−−−−−−→

⊕i∈C(Ni ⊗M2) es inyectivo, y por lo tanto, el homo-

morfismo (⊕

i∈C Ni)⊗M1 → (⊕

i∈C Ni)⊗M2 es inyectivo.

Corolario 1.6.6. Todo modulo libre es plano.

Demostracion. Segun el teorema 1.6.3 AA es plano, luego, de acuerdo con la propo-sicion anterior, el modulo libre A(X) es plano.

Corolario 1.6.7. Todo modulo proyectivo es plano.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion 1.6.5.

Concluimos esta introduccion a la teorıa de modulos planos mostrando otraspropiedades para el caso particular sobre anillos conmutativos. La primera dice quela condicion “ser plano”es local-global (vease la parte final de la seccion 1.4)

Proposicion 1.6.8. Sean R un anillo conmutativo y N un R-modulo. Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

(i) N es plano.

(ii) NP es RP -plano para cada ideal primo P .

(iii) Np es RP -plano para cada ideal maximal P .

1.6. MODULOS PLANOS 45

Demostracion. (i)→(ii): consecuencia directa de la proposicion 1.6.4.(ii)→(iii): evidente.

(iii)→(i): sea M1f−→ M2 un R-homomomorfismo inyectivo, entonces por la

proposicion 1.6.2, (M1)pfp−→ (M2)p es un RP -homomorfismo inyectivo, y por la

hipotesis, (M1)p ⊗ Np

fp⊗iNP−→ (M2)p ⊗ Np es un RP -homomorfismo inyectivo. Perode acuerdo con la proposicion 1.4.17, se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

(M1)P ⊗NP

fP⊗iNP−−−−−→ (M2)P ⊗NP

h1 ↓ ↓ h2

(M1 ⊗N)Pg−→ (M2 ⊗N)P

donde h1, h2 son isomorfismos definidos por h1(m1

s1⊗ n1

r1) := m1⊗n1

s1r1, h2(

m2

s2⊗ n2

r2) :=

m2⊗n2

s2r2, y g por construccion es definido como g := h2(fP⊗iNP

)h1−1. Notese entonces

que g es un homomorfismo inyectivo y coincide con (f ⊗ iN)P para cada maximalP . Segun la proposicion 1.4.19, f ⊗ iN es inyectivo, luego N es plano.

La version plana de la propiedad (o) de la seccion 1.3 es el siguiente teorema.

Proposicion 1.6.9. Sean R un anillo conmutativo, L un R-modulo plano y M unR-modulo de presentacion finita. Entonces se tiene el R-isomorfismo

HomR(M,N)⊗ L ∼= HomR(M,N ⊗ L).

Demostracion. El siguiente diagrama es conmutativo

HomR(M,N)× L HomR(M,N)⊗R L

HomR(M,N ⊗R L)?

α

-φ pppppppppppppppppppppp� β

donde φ(h, l) := h⊗ l, α(h, l) := αl,h, αl,h(n) := h(n)⊗ l es bilineal y R-balanceada,y β(h ⊗ l) := αl,h es un R-homomorfismo. Notemos que si M es libre de dimen-sion finita, entonces β es un R-isomorfismo. Sea Rr → Rs → M → 0 una pre-sentacion finita de M , se tiene entonces la sucesion exacta 0 → HomR(M,N) →HomR(Rs, N) → HomR(Rr, N), pero como L es plano resulta la sucesion exacta0 → HomR(M,N)⊗R L→ HomR(Rs, N)⊗R L→ HomR(Rr, N)⊗R L y se tiene elsiguiente diagrama conmutativo con filas exactas:

0 −−−−→ HomR(M,N)⊗R L −−−−→ HomR(Rs, N)⊗R L −−−−→ HomR(Rr, N)⊗R L

β

y y y0 −−−−→ HomR(M,N ⊗R L) −−−−→ HomR(Rs, N ⊗ L) −−−−→ HomR(Rr, N ⊗R L)

Puesto que las dos flechas verticales de la derecha son isomorfismos, entonces porel lema de los cicno β es tambien un isomorfismo.


Proposicion 1.6.10. Sean R un anillo conmutativo, A una R-algebra y M unR-modulo de presentacion finita. Entonces, para cada A-modulo N se tiene el A-isomorfismo

HomR(M,N) ∼= HomA(M ⊗R A,N)

Demostracion. Notemos en primer lugar que si M es R-libre de dimension finita,entonces se tiene el isomorfismo pedido: en efecto,

HomR(Rr,RNA) ∼= (RNA)r, HomA(Rr ⊗R A,RNA) ∼= HomA(Ar,RNA) ∼= (RNA)r.

Sea Rr → Rs →M → 0 una presentacion finita de M , se tiene entonces el siguientediagrama conmutativo con filas exactas:

0 −−−−→ HomR(M,N) −−−−→ HomR(Rs, N) −−−−→ HomR(Rr, N)y y y0 −−−−→ HomR(M ⊗R A,N) −−−−→ HomA(As, N) −−−−→ HomA(Ar, N)

Puesto que las dos flechas verticales de la derecha son isomorfismos, entonces laprimera es tambien un isomorfismo.

La siguiente propiedad es dual a la proposicion 1.4.17.

Proposicion 1.6.11. Sean R un anillo conmutativo, S un sistema multiplicativo deR, M un R-modulo de presentacion finita y N un R-modulo arbitrario. Entonces,se tiene el RS−1-isomorfismo

HomR(M,N)S−1 ∼= HomRS−1(MS−1, NS−1).

Demostracion. HomR(M,N)S−1 ∼= HomR(M,N) ⊗R RS−1, pero como RS−1 es

R-plano, por la proposicion 1.6.9 se obtiene el RS−1-isomorfismo HomR(M,N)⊗R

RS−1 ∼= HomR(M,NS−1); podemos ahora aplicar la proposicion 1.6.10 con A :=RS−1 y obtenemos el RS−1-isomorfismo HomR(M,N)S−1 ∼= HomR(MS−1, NS−1).

1.7. Anillos hereditarios

Una tarea clasica en algebra homologica es investigar clases de anillos para los cualeslos modulos proyectivos coinciden con los libres (vease el teorema 1.4.20). Probare-mos que para dominios de ideales principales (DIPs), los modulos proyectivos y loslibres coinciden. Esta tarea puede ser abordada de una manera bastante general atraves de los llamados anillos hereditatrios que estudiaremos en la presente seccion.Iniciamos con el caso conmutativo y estudiaremos al final los anillos hereditarios noconmutativos.

1.7. ANILLOS HEREDITARIOS 47

Proposicion 1.7.1. Sea R un dominio de integridad (DI). Entonces, cada R-modu-lo proyectivo es sin torsion.

Demostracion. En efecto, sea M un modulo proyectivo, entonces M es sumandodirecto de un R-modulo libre, es decir, M es un submodulo de un modulo libre F .Sea X una base de F y supongamos que m ∈M es un elemento de torsion, es decir,existe 0 6= r ∈ R tal que m · r = 0. Existen elementos x1, . . . , xt ∈ X y r1, . . . , rt ∈ Rtales que m = x1 · r1 + · · ·+ xt · rt, luego r1r = · · · = rtr = 0, de donde ri = 0 paracada 1 ≤ i ≤ t, es decir, m = 0.

Corolario 1.7.2. Sean R un DIP y M un R-modulo proyectivo finitamente gene-rado. Entonces M es libre.

Demostracion. En efecto, por la proposicion 1.7.1 sabemos que M es un modulo sintorsion, pero como R es un DIP , M resulta libre (vease [13]).

Corolario 1.7.3. Sean K un cuerpo y M un modulo proyectivo finitamente gene-rado sobre K[x]. Entonces M es libre.

Demostracion. Puesto que K[x] es un DIP , basta aplicar el corolario 1.7.2.

Veremos mas adelante que la finitud es una condicion superflua en los dos coro-larios anteriores (vease el corolario 1.7.16).

Definicion 1.7.4. Sea R un anillo conmutativo, R es hereditario (AH) si cadaideal de R es proyectivo. Si R es ademas un dominio de integridad, entonces se diceque R es un dominio de Dedekind (DD).

Ejemplo 1.7.5. (i) Todo DIP es un DD.(ii) Sean K1, K2 cuerpos. Entonces, K1 ×K2 es un AH pero no es un DD.(iii) Z[

√−5] no es un DIP . En efecto, Z[

√−5] no es un DFU ya que 9 presenta

por lo menos dos factorizaciones distintas en producto de irreducibles: 9 = 3 · 3 =(2 +

√−5

) (2−

√−5

). Esto hace que Z[

√−5] no sea un DIP . En [23] se demuestra

que Z[√−5] es un DD; la prueba completa es algo extensa y utiliza resultados que

se apartan demasiado del tema y los propositos del presente trabajo.

Teorema 1.7.6. Sea R un AH y sea M un R-modulo libre finitamente generado.Entonces, cada submodulo N de M es isomorfo a una suma directa finita de idealesde R, y en consecuencia N es proyectivo.

Demostracion. Si M = 0, entonces N = 0 y la condicion se cumple trivialmente.Sea M 6= 0 y sea X = {x1, . . . , xn} una base de M . Vamos a probar el teorema porinduccion sobre n.

n = 1: sea N ≤ M = 〈x1〉 ∼= R, entonces N es isomorfo a un submodulo de R,es decir, N es isomorfo a un ideal de R.


Supongamos que cada submodulo de un modulo libre de dimension n − 1 esuna suma directa finita de ideales de R, y sea N ≤ M , donde X = {x1, . . . , xn}es una base de M . Cada elemento v ∈ N se representa en forma unica en la formav = x1 · r1 + · · ·+ xn · rn, definimos entonces

φ : N → R

v 7→ rn.

Notese que φ es un homomorfismo, donde I := Im (φ) es un ideal de R, se tieneentonces el homomorfismo sobreyectivo φ : N → I; por hipotesis I es proyectivo yentonces N = ker(φ)⊕N ′, con N ′ ∼= I. Pero ker (φ) = N ∩ (〈x1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈xn−1〉) essubmodulo del modulo libre 〈x1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈xn−1〉. Por induccion, ker (φ) es isomorfoa una suma directa finita de ideales de R, ker (φ) ∼= I1 ⊕ · · · ⊕ It. En total, N ∼=I1 ⊕ · · · ⊕ It ⊕ I, y el teorema esta probado.

Corolario 1.7.7. Sea R un AH y sea M un R-modulo proyectivo finitamente gene-rado. Entonces,

(i) M es suma directa finita de ideales de R.

(ii) Si N un submodulo de M , entonces N es proyectivo.

Demostracion. (i) Sabemos que M es sumando directo de un R-modulo libre F dedimension finita, por tanto, M es submodulo de F . Por el teorema anterior, M essuma directa finita de ideales de R.

(ii) N es un submodulo de F , nuevamente por el teorema anterior, N es proyec-tivo.

Probaremos a continuacion que los dominios de Dedekind son noetherianos.

Definicion 1.7.8. Sea R un dominio de integridad y K su cuerpo de fracciones.Un R-submodulo no nulo I de K es un ideal fraccionario de R si existe 0 6= r ∈ Rtal que Ir ⊆ R. Ademas, se define I−1 := {α ∈ K | Iα ⊆ R}.

Proposicion 1.7.9. Sea R un dominio de integridad y K su cuerpo de fracciones.

(i) Si I es un ideal fraccionario de R, entonces I−1 es un ideal fraccionario de Ry ademas II−1 ⊆ R.

(ii) Sea I ≤ R un ideal no nulo de R, entonces I es un ideal fraccionario de R.

Demostracion. (i) I−1 6= ∅ ya que existe r en R − {0} (y por tanto en K) tal queIr ⊆ R, luego r ∈ I−1. Es claro que I−1 es un R-submodulo no nulo de K. Sea a

r∈ I

no nulo, entonces para cada α ∈ I−1 se tiene que arα ∈ R, es decir, a

rI−1 ⊆ R, luego

aI−1 = I−1a ⊆ R, donde a ∈ R− {0}.(ii) I es un R-submodulo no nulo de K; ademas, I1 ⊆ R.


Definicion 1.7.10. Un ideal fraccionario I de R es invertible si II−1 = R.

Proposicion 1.7.11. Sean R y K como antes.

(i) Sea F(R) la coleccion de ideales fraccionarios de R. Entonces, F(R) es unmonoide conmutativo.

(ii) Sea I(R) la coleccion de ideales invertibles de R. Entonces I(R) es un grupoabeliano.

(iii) Si I es un ideal fraccionario invertible, entonces I es finitamente generado.

Demostracion. (i) Se define un producto en F(R) por

IJ := {n∑i=1

αiβi | αi ∈ I, βi ∈ J, n ≥ 1}.

Esta es una operacion binaria interna en F(R) ya que IJ es un R-submodulo nonulo de K, y ademas IJrs ⊆ R, con r, s no nulos de R tales que Ir ⊆ R, Js ⊆ R.Es claro que esta operacion es asociativa y que IJ = JI; ademas el neutro de esteproducto es R.

(ii) Sea I ∈ I(R), entonces II−1 = R = I−1I, es decir, cada elemento de I(R)tiene inverso.

(iii) Puesto que II−1 = R, entonces 1 =n∑i=1

αiβi, con αi ∈ I, βi ∈ I−1, luego si

α es un elemento cualquiera de I se tiene que α =n∑i=1

αi (αβi), pero cada αβi ∈ R,

entonces I = 〈α1, . . . , αn〉.

Teorema 1.7.12. Sea R un DI e I ≤ R un ideal no nulo de R. I es invertible si,y solo si, I es proyectivo.

Demostracion. ⇒): sea I ≤ R un ideal invertible, entonces 1 =n∑i=1

αiβi, con αi ∈

I, βi ∈ I−1. Definimos ϕi : I → R por ϕi (α) := αβi, con α ∈ I. Notese que

ϕi es un R-homomorfismo; ademas α =n∑i=1

αi (αβi) =n∑i=1

αiϕi (α). Las colecciones

{α1, . . . , αn} y {ϕ1, . . . , ϕn} satisfacen las condiciones del teorema 1.2.7, por lo tanto,I es proyectivo.

⇐): sea I un ideal proyectivo, entonces I posee una base proyectiva {αk}k∈K conR-homomorfismos {ϕk : I → R}k∈K; sea α 6= 0 en I, entonces α = α1ϕ1(α) + · · · +αtϕt(α), con ϕi(α) 6= 0. Se puede tambien escribir

α = α1ϕ1(α)αα+ · · ·+ αt

ϕt(α)αα = α(α1

ϕ1(α)α

+ · · ·+ αtϕt(α)α

)


y definimos βk := ϕk(α)α

∈ K − 0, luego 1 =n∑k=1

αkβk. Notese que 〈β1, . . . , βn〉 es un

ideal fraccionario de R y ademas R ⊆ I〈β1, . . . , βn〉. Veamos que I〈β1, . . . , βn〉 ⊆ R.

Sea r ∈ I, entonces para cada generador βi = ϕi(α)α

se tiene que βi = ϕi(α)α

= ϕi(r)r

ya

que ϕi(αr) = ϕi(α)r = αϕi(r), y en consecuencia rβi = rϕi(r)r

= ϕi(r) ∈ R.

Corolario 1.7.13. Sea R un DD. Entonces R es Noetheriano.

Demostracion. Sea I un ideal de R, si I = 0 entonces I es finitamente generado.Sea I 6= 0, entonces I es proyectivo, y por tanto, invertible. Pero como vimos en laprueba del teorema anterior, un ideal invertible es finitamente generado.

El teorema 1.7.6 es valido removiendo la hipotesis de finitud, es decir, si R esAH, entonces cada submodulo de un R-modulo libre es isomorfo a una suma directade ideales de R. De igual manera, en el corolario 1.7.7, si M es proyectivo, entoncesM es suma directa de ideales de R, y si N es un submodulo de M entonces N estambien proyectivo. Estas propiedades son ciertas aun en el caso no conmutativo,tal como veremos enseguida.

Definicion 1.7.14. Un anillo A es hereditario a derecha (izquierda) si cadaideal derecho (izquierdo) es proyectivo.

Teorema 1.7.15 (Kaplansky). Sea A un anillo hereditario a derecha (izquierda).

(i) Sea M un A-modulo derecho (izquierdo) libre. Entonces, cada submodulo Nde M es isomorfo a una suma directa de ideales derechos (izquierdos) de A, yen consecuencia, N es proyectivo.

(ii) Sea M proyectivo y N ≤M , entonces N es proyectivo.

Demostracion. (i) Si M = 0 el resultado se tiene trivialmente. Sea M 6= 0 y seaX := {xα}α∈K una base de M ; sabemos que M =

∑α∈K ⊕ {xα〉. Puesto que el lema

de Zorn implica el principio de buena ordenacion, podemos suponer que K es unconjunto bien ordenado, es decir, cada subconjunto de K tiene primer elemento, yademas que K es totalmente ordenado. Para cada α ∈ K definimos

Mα :=∑β<α

⊕ {xβ〉,

Mα+1 :=∑β≤α

⊕ {xβ〉 = Mα ⊕ {xα〉,

M0 := 0,

donde 0 el primer elemento de K. Sea N ≤M ; cada elemento z ∈ N∩ Mα+1 admiteuna representacion unica en la forma z = u + xα · a, donde u ∈ Mα. Definimosφα : N∩ Mα+1 → A por φα (z) := a; notese que φα es un A-homomorfismo y su


imagen es un ideal derecho de A, redefinimos entonces φα : N∩ Mα+1 → Im (φα) yeste homomorfismo es sobreyectivo; puesto que Im (φα) es proyectivo entonces N∩Mα+1 = ker (φα)⊕Nα, donde Nα

∼= Im (φα). Pero ker (φα) = N∩ Mα.Probemos que N =

∑α∈K ⊕ Nα. En primer lugar veamos que N =

∑α∈K Nα:

puesto que para cada α ∈ K, Nα ≤ N , entonces∑

α∈K Nα ≤ N ; supongamos queno se alcanza la igualdad. Para cada z ∈ N ≤ M = ∪α∈KMα+1, existe α tal quez ∈ Mα+1; sea αz el menor α tal que z ∈ Mαz+1; suponemos entonces que existenz ∈ N tales que z /∈

∑α∈K Nα , escojamos uno de tales z con la condicion de que αz

sea mınimo. Entonces, z ∈ N ∩Mαz+1, por lo tanto, z = u+ v, donde u ∈ N∩ Mαz

y v ∈ Nαz . Se sigue entonces que u = z−v ∈ N , pero u /∈∑

α∈K Nα (de lo contrarioz ∈

∑α∈K Nα), pero como u ∈Mαz , entonces αu < αz, lo cual es contradictorio. Se

tiene entonces que N =∑

α∈K Nα.Para terminar, veamos que la suma es directa: supongamos que 0 = vα1+· · ·+vαn ,

con vαi∈ Nαi

y podemos asumir que α1 < · · · < αn. Entonces, vα1 + · · · + vαn−1 =−vαn ∈ Nαn ∩ (N ∩Mαn) = 0. De manera recurrente encontramos que cα1 = · · · =0 = cαn .

Ası pues, N es isomorfo a una suma directa de ideales de R. Como cada ideal esproyectivo, entonces N es proyectivo.

(ii) Si M es proyectivo, entonces es un submodulo de un modulo libre, por lotanto N es un submodulo de un modulo libre, y por la parte (i), N es proyectivo.

Corolario 1.7.16. Sea R un DIP .

(i) Sea M un R-modulo libre. Entonces, cada submodulo N de M es libre, ydim(N) ≤ dim(M).

(ii) Si M proyectivo entonces M es libre.

Demostracion. (i) Puesto que cada DIP es un AH (realmente un DD) entoncesdado N ≤ M , N es isomorfo a una suma directa de ideales de R, pero estos sonprincipales, y por lo tanto libres. En total, N es libre. Usando la notacion de lademostracion del teorema anterior se tiene que N =

∑α∈K ⊕ Nα; teniendo en

cuenta que algunos Nα pueden ser nulos, entonces dim (N) ≤ card(K) = dim(M).(ii) Sea M proyectivo, entonces M es un submodulo de un modulo libre, luego

por (i), M es libre.

Ejemplo 1.7.17. Segun la proposicion 1.6.3, QZ es plano, pero no es proyectivo,ya que de lo contrario saldrıa libre por el corolario anterior (vease [13]).

Concluimos esta seccion con otra caracterizacion de los anillos hereditarios noconmutativos, y como corolario, otra caracterizacion de los dominios de Dedekind.

Teorema 1.7.18 (Cartan-Eilenberg). Sea A un anillo. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:


(i) A es hereditario a derecha (izquierda).

(ii) Cada submodulo de un modulo proyectivo es proyectivo.

(iii) Cada cociente de un modulo inyectivo es inyectivo.

Demostracion. (i)⇒(ii): esta es la parte (ii) del teorema 1.7.15.(ii)⇒(i): AA es libre, y por lo tanto, proyectivo; sea I un ideal derecho de A,

entonces I es proyectivo.(iii)⇒(ii): sean P un modulo proyectivo y P ′ un submodulo de P ; debemos

completar el siguiente diagrama con un homomorfismo h′ : P ′ → Q, donde f essobreyectivo y se puede asumir que Q es inyectivo (teorema 1.5.13 (i)):

P ′

Q Q′?

g

-f

Por hipotesis Q′ es inyectivo, entonces se tiene el siguiente diagrama conmutativo

Q′

P ′ P

6g

-ι

pppppppI t

y como P es proyectivo resulta el siguiente diagrama conmutativo:

P

Q Q′?

t

ppppppph-

f

resulta tι = g, fh = t, luego f(hι) = g, el homomorfismo buscado es pues h′ := hι.(ii)⇒(iii): para esta parte se procede en forma dual a como acabamos de ver,

pero utilizando el teorema 1.5.13 (ii).

En relacion con la proposicion 1.5.8 se tiene la siguiente caracterizacion de losdominios de Dedekind.

Corolario 1.7.19. Sea R un DI. R es un DD si, y solo si, cada R-modulo divisibleen inyectivo.

Demostracion. Vermani, pag. 202, teorema 8.2.5.

1.8. ANILLOS Y MODULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 53

1.8. Anillos y modulos graduados y filtrados

Estudiaremos ahora otra tecnica muy poderosa para la investigacion de propiedadesalgebraicas de anillos y modulos. Utilizaremos las presentaciones ofrecidas en [17] y[20]. La teorıa general la desarrollaremos por el lado derecho, pero como anotamosen la introduccion del presente capıtulo, por supuesto todos los resultados se tienentambien por el lado izquierdo.

Definicion 1.8.1. Un anillo A se dice que es Z-graduado si posee una familia desubgrupos {Ap}p∈Z de su grupo aditivo A+ que satisface las siguientes condiciones:

(i) ApAq ⊆ Ap+q, para cualesquiera p, q ∈ Z.

(ii) A =∑

p∈Z⊕Ap.

Para p ∈ Z, Ap se denomina la componente homogenea de grado p y los ele-mentos de Ap se dice que son homogeneos de grado p. La familia {Ap}p∈Z sedenomina una graduacion de A. Si Ap = 0 para p < 0, es decir, A =

∑p∈N⊕Ap,

se dice que A es un anillo graduado positivamente. Sea K cuerpo (anillo con-mutativo), si A es una K-algebra, se dice que A es Z-graduada si ademas de lascondiciones anteriores se tiene Ap es un K-subespacio de A. Finalmente, sean A y Banillos (algebras) graduados con graduaciones {Ap}p∈Z y {Bp}z∈Z, respectivamente.Un homomorfismo de anillos (algebras) f : A → B es graduado si f(Ap) ⊆ Bp

para cada p ∈ Z.

De la defincion anterior se obtiene inmediatamente que 1 ∈ A0 y A0 es unsubanillo (subalgebra) de A. En efecto, sea 1 = a0+a1+· · ·+ap y sea x = b1+b1+· · ·+bq un elemento arbitrario de A, entonces 1bi = bi y resulta a0bi+a1bi+· · ·+apbi = bi,de donde a0bi = bi para cada 1 ≤ i ≤ q, luego a0x = x; de manera similar xa0 = x,con lo cual a0 = 1 ∈ A0 (a1 = · · · = ap = 0). Notemos que el producto de doselementos de A0 esta en A0.

Definicion 1.8.2. Sea A un anillo Z-graduado con graduacion {Ap}p∈Z, y sea Muna A-modulo a derecha, se dice que M es un modulo graduado si posee unafamilia de subgrupos {Mp}p∈Z de su grupo aditivo M+ que satisface las siguientescondiciones:

(i) MpAq ⊆Mp+q, para cualesquiera p, q ∈ Z.

(ii) M =∑

p∈Z⊕Mp.

Para p ∈ Z, Mp se denomina la componente homogenea de grado p y loselementos de Mp se dice que son homogeneos de grado p. La familia {Mp}p∈Z sedenomina una graduacion de M . Si Mp = 0 para p < 0, es decir, M =

∑p∈N⊕Mp,


se dice que M es un modulo graduado positivamente. Sea K cuerpo (anilloconmutativo), si A es una K-algebra, se requiere que Mp sea un K-subespacio de M .Finalmente, sean M y N A-modulos graduados, un A-homomorfismo f : M → Nes graduado si f(Mp) ⊆ Np para cada p ∈ Z.

En adelante, si no hay lugar a confusion, a un anillo Z-graduado lo llamare-mos simplemente anillo graduado. Sea M un A-modulo graduado con graduacion{Mp}p∈Z y sea N un submodulo de M . Notemos que la coleccion {Np}p∈Z, con

Np := Mp ∩N

satisface NpAq ⊆ Np+q para cualesquiera p, q ∈ Z. De igual manera, la coleccion{(M/N)p}p∈Z, con

(M/N)p := (Mp +N)/N

cumple (M/N)pAq ⊆ (M/N)p+q para cualesquiera p, q ∈ Z.

Definicion 1.8.3. Sean A un anillo graduado y M un A-modulo graduado. Un A-submodulo N de M es un submodulo graduado de M si N =

∑p∈Z⊕(Mp ∩N).

Proposicion 1.8.4. Sean A un anillo graduado, M un A-modulo graduado y N unA-submodulo de M . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) N es un submodulo graduado.

(ii) If u ∈ N , entonces todas las componentes homogeneas de u estan en N .

(iii) N es generado por elementos homogeneos.

(iv) El modulo cociente M/N es graduado, es decir,

M/N =∑

p∈Z⊕(M/N)p.


Otra propiedad evidente a partir de la defincion es la siguiente.

Proposicion 1.8.5. Sea M un A-modulo graduado f.g., es decir, M tiene unconjunto finito de generadores homogeneos. Entonces, M es graduado f.g., si, y solosi, M es f.g. como A-modulo.

Demostracion. Evidente.


Notemos que si M es un modulo graduado, M siempre tiene un conjunto degeneradores homogeneos: si 〈mj|j ∈ J〉 = M , entonces expandiendo cada mj ensuma de componentes homogeneas, todas estas conforman un sistema de generadorespara M .

Si en la definicion 1.8.3 y proposicion 1.8.4, N es reemplazado por un ideal Iderecho, izquierdo o bilatero obtenemos la nocion de ideal derecho, izquierdo,bilatero graduado. Un subanillo S de A es graduado si S =

∑p∈Z⊕(Ap∩S). A

partir de estas definiciones se obtienen en forma inmediata las siguientes propiedades.

Proposicion 1.8.6. (i) Sea f : A→ B un homomorfismo graduado de anillos. En-tonces, Im(f) es un subanillo graduado de B y ker(f) es un ideal bilatero graduadode A.

(ii) La composicion de homomorfismos graduados de anillos es un homomorfismograduado.

(iii) Sea I un ideal bilatero propio graduado de A, entonces A/I es un anillograduado.

(iv) Sea f : M → N un A-homomorfismo graduado, entonces Im(f) es unsubmodulo graduado de N y ker(f) es un submodulo graduado de M .

(v) La composicion de homomorfismos graduados de modulos es un homomor-fismo graduado.


Ejemplo 1.8.7. Sean A un anillo, X un conjunto no vacıo, GX el monoide libre enal alfabeto X y A{X} el anillo libre en el alfabeto X. Sea w = x1 · · ·xp una palabrade longuitud p, se define el grado de w por p y se denota deg(w) := p. Para lapalabra vacıa e se define deg(e) := 0. Para p ∈ N, consideremos

A{X}p := {∑

deg(w)=p

cw · w|cw ∈ A,w ∈ GX}.

Notemos que A{X}p es un subgrupo de A{X}+, en realidad es un A-submodulo deA{X}, y si A = K es un anillo conmutativo, entonces K{X}p es un K-subespaciodel algebra libre K{X}. Notemos que A{X} es un anillo graduado positivamenteA{X} =

∑p∈N⊕A{X}p, con A{X}0 = A. Si A = K, entonces K{X} es una K-

algebra graduada positivamente. Si I es un ideal bilatero generado por elementoshomogeneos, entonces el cociente B := A{X}/I es un anillo graduado positivamentecon graduacion dada por Bp = (A{X}p + I)/I.

Ejemplo 1.8.8. Sean R un anillo conmutativo y V un R-modulo. El algebratensorial de V , denotada T (V ), es una R-algebra graduada positivamente congraducion {T p(V )}p≥0, donde T p(V ) := V ⊗ · · · ⊗ V (p factores) para p ≥ 2, yT 1(V ) := V , T 0(V ) := R (vease [14]).

De igual manera, el algebra exterior de V


Λ(V ) := T (V )/J , con J := 〈v2|v ∈ V 〉, v2 = v ⊗ v,

es una R-algebra graduada,

Λ(V ) =∑p≥0

⊕Λp(V ) = R⊕ V ⊕ Λ2(V )⊕ · · ·

con

Λ0(V ) := T 0(V )/J0 = R, Λ1(V ) := T 1(V )/J1 = V , Λp(V ) := T p(V )/Jp, p ≥ 2,

donde

J0 := 0 =: J1, Jp := J ∩ T p(V ) para p ≥ 2.

Notemos que J es un ideal bilatero graduado de Λ(V ): en efecto, J =∑

p≥0⊕Jp(vease [14]).

Definicion 1.8.9. Un anillo A se dice que es Z-filtrado si posee una familia desubgrupos {Fp}p∈Z de su grupo aditivo A+ que satisface las siguientes condiciones:

(i) FpFq ⊆ Fp+q, para cualesquiera p, q ∈ Z.

(ii)⋃p∈Z Fp = A.

(iii) Para p < q, Fp ⊆ Fq.

(iv) 1 ∈ F0.

La familia {Fp}p∈Z se denomina una filtracion de A. La filtracion se dice sepa-rada si ademas

⋂p∈Z Fp = 0. Si F−1 = 0 se dice que A es un anillo filtrado

positivamente. Sea K cuerpo (anillo conmutativo), si A es una K-algebra, se diceque A es Z-filtrada si ademas de las condiciones anteriores se tiene Fp es un K-subespacio de A. Finalmente, sean A y B anillos (algebras) filtrados con filtraciones{Fp(A)}p∈Z y {Fp(B)}z∈Z, respectivamente. Un homomorfismo de anillos (algebras)f : A→ B es filtrado si f(Fp(A)) ⊆ Fp(B) para cada p ∈ Z.

De la defincion anterior se obtiene inmediatamente que F0 es un subanillo (sub-algebra) de A. En efecto, la suma es cerrada ya que F0 es un grupo abeliano, elproducto es cerrado ya que F0F0 ⊆ F0, y ademas, 1 ∈ F0 por la definicion. Tambien,la composicion de homomorfismos filtrados es un homomorfismo filtrado.

Proposicion 1.8.10. Todo anillo graduado es filtrado.

Demostracion. Sea A un anillo graduado con graduacion {Ap}p∈Z; entonces {Fp}p∈Zcon Fp :=

∑n≤p⊕Ap es una filtracion de A.


Proposicion 1.8.11. Si A es un anillo filtrado, entonces existe un anillo graduadoGr(A) asociado a A.

Demostracion. Sea A un anillo filtrado con filtracion {Fp}p∈Z; definimos la coleccionde grupos abelianos

Gr(A)p := Fp/Fp−1, p ∈ Z, (1.8.1)

y sea

Gr(A) :=⊕p∈Z

Gr(A)p. (1.8.2)

Es claro que Gr(A) es un grupo abeliano. El producto en Gr(A) se define mediantedistributividad y la multiplicacion de elementos homogeneos:

Fp/Fp−1 × Fq/Fq−1 → Fp+q/Fp+q−1

(a+ Fp−1, b+ Fq−1) 7→ ab+ Fp+q−1.

La prueba completa de que Gr(A) es un anillo graduado bajo este producto quedaa cargo del lector, veamos solamente que el producto anterior esta bien definido. Sia + Fp−1 = a′ + Fp−1 y b + Fq−1 = b′ + Fq−1, con a, a′ ∈ Fp y b, b′ ∈ Fq, entoncesa− a′ ∈ Fp−1, b− b′ ∈ Fq−1, de donde (a− a′)(b− b′) ∈ Fp−1+q−1 ⊆ Fp+q−1, es decir,ab−ab′−a′b+a′b′ = (ab−a′b′)+a′b′−ab′+a′b+a′b′ = (ab−a′b′)+a′(b′−b)−(a−a′)b′ ∈Fp+q−1, pero notemos que a′(b′− b), (a−a′)b′ ∈ Fp+q−1, luego ab−a′b′ ∈ Fp+q−1.

Corolario 1.8.12. Sea A un anillo graduado, entonces Gr(A) ∼= A.

Demostracion. Sea A con graduacion {Ap}p∈N; por la proposicion 1.8.10, {Fp}p∈Z,con Fp :=

∑n≤p⊕Ap, es una filtracion de A, luego la graduacion asociada es

Gr(A)p = (∑

n≤p⊕Ap)/(∑

n≤p−1⊕Ap) ∼= Ap y Gr(A) :=⊕

p∈ZGr(A)p ∼=⊕

p∈ZAp∼=∑

p∈Z⊕Ap = A, ademas, el producto a traves del isomorfismo corresponde alproducto en A.

Ejemplo 1.8.13. Segun el ejemplo 2.2.7, Gr(R[x1, . . . , xn]) ∼= R[x1, . . . , xn].

Definicion 1.8.14. Sea A un anillo Z-filtrado con filtracion {Fp(A)}p∈Z y sea Mun A-modulo a derecha. Se dice que M es un A-modulo filtrado si existe unafamilia {Fp(M)}p∈Z de subgrupos de M que satisface las siguientes condiciones:

(i) Fp(M)Fq(A) ⊆ Fp+q(M), para cualesquiera p, q ∈ Z.

(ii)⋃p∈Z Fp(M) = M .

(iii) Para p < q, Fp(M) ⊆ Fq(M).


La familia {Fp(M)}p∈Z se denomina una filtracion de M . La filtracion se diceseparada si ademas

⋂p∈Z Fp(M) = 0. Si F−1(M) = 0 se dice que A es un modulo

filtrado positivamente. Sea K cuerpo (anillo conmutativo), si A es una K-alge-bra, se requiere ademas que Fp(M) sea un K-subespacio de M . Sean M y N A-modulos filtrados con filtraciones {Fp(M)}p∈Z y {Fp(N)}p∈Z y sea f : M → N unA-homomorfismo, se dice que f es filtrado si f(Fp(M)) ⊆ Fp(N) para cada p ∈ Z.

Es claro que la composicion de homomorfismos filtrados de modulos es un ho-momorfismo filtrado.

Proposicion 1.8.15. Todo modulo graduado es filtrado.

Demostracion. Sea A un anillo graduado con graduacion {Ap}p∈Z y sea M un A-modulo graduado con graduacion {Mp}p∈Z; notemos que {Fp(M)}p∈Z, con Fp(M) :=∑

q≤p⊕Mq, es una filtracion sobre A de M .

Proposicion 1.8.16. Si M es un modulo filtrado, entonces existe un modulo gra-duado Gr(M) asociado a M .

Demostracion. Sea M un A-modulo filtrado sobre el anillo filtrado A con filtraciones{Fp(M)}p∈Z y {Fp(A)}p∈Z, respectivamente. Sea Gr(A) el anillo graduado de Aasociado a la filtracion de A; definimos la coleccion de grupos abelianos

Gr(M)p := Fp(M)/Fp−1(M), p ∈ Z, (1.8.3)

y sea

Gr(M) :=⊕p∈Z

Gr(M)p. (1.8.4)

Se puede probar que Gr(M) tiene estructura de Gr(A)-modulo graduado a derechacon el producto definido mediante distributividad y la multiplicacion dada por:

Fp(M)/Fp−1(M)× Fq(A)/Fq−1(A) → Fp+q(M)/Fp+q−1(M)

(m+ Fp−1(M), a+ Fq−1(A)) 7→ m · a+ Fp+q−1(M).

La demostracion queda a cargo del lector.

Proposicion 1.8.17. Sea A un anillo filtrado y sea M un A-modulo filtrado confiltracion {Fp(M)}p∈Z. Si N es un submodulo de M entonces N y M/N son filtradoscon filtraciones dadas por:

Fp(N) := Fp(M) ∩N , Fp(M/N) := (Fp(M) +N)/N , p ∈ Z.



Proposicion 1.8.18. Sea A un anillo filtrado con filtracion {Fp(A)}p∈Z y sean My N modulos filtrados sobre A con filtraciones {Fp(M)}p∈Z y {Fp(N)}p∈Z, respecti-

vamente. Sea Mf−→ N es un A-homomorfismo filtrado. Entonces,

(i) f induce un Gr(A)-homomorfismo graduado

Gr(M)Gr(f)−−−→ Gr(N).

(ii) Si f es inyectivo y estricto, es decir, para cada p ∈ Z, f(Fp(M)) = Im(f) ∩Fp(N), entonces Gr(f) es inyectivo. Ademas, si la filtracion es positiva, elrecıproco es valido.

(iii) Si f es sobreyectivo y estricto, entonces Gr(f) es sobreyectivo. Ademas, si lafiltracion es positiva, el recıproco es valido.

(iv) Si Ng−→ P es otro A-homomorfismo filtrado, entonces Gr(gf) = Gr(g)Gr(f).

(v) Sea f sobreyectivo y estricto, y sea K := ker(f) con la filtracion inducida comosubmodulo de M . Entonces, la sucesion exacta

0 → Kι−→M

f−→ N → 0 (1.8.5)

de A-modulos filtrados, con ι la inclusion, induce la sucesion exacta de Gr(A)-modulos graduados

0 → Gr(K)Gr(ι)−−−→ Gr(M)

Gr(f)−−−→ Gr(N) → 0.

Demostracion. (i) Como f es un A-homomorfismo filtrado, entonces f(Fp(M)) ⊆Fp(N) para cada p ∈ Z y se induce la funcion

Gr(M)p = Fp(M)/Fp−1(M)Gr(f)p−−−−→ Fp(N)/Fp−1(N) = Gr(N)p

mp 7→ f(mp),

con mp := mp + Fp−1(M), mp ∈ Fp(M) y f(mp) := f(mp) + Fp−1(N). Notemosque Gr(f)p esta bien definida y es un homomorfismo de grupos abelianos. Reali-zamos entonces la suma directa externa de estos homomorfismos y obtenemos elhomomorfismo de grupos abelianos

Gr(M)Gr(f)−−−→ Gr(N)

(mp)p∈Z 7→ (f(mp))p∈Z.

Resta ver que Gr(f) es un Gr(A)-homomorfismo graduado: Gr(f)(Gr(M)p) =Gr(f)p(Gr(M)p) ⊆ Gr(N)p; ademas,


Gr(f)(mp · aq) = f(mp · aq)= f(mp) · aq = f(mp) · aq = Gr(f)(mp) · aq.

(ii) ⇒): sea 0 6= m ∈ M , entonces existe p mınimo tal que m ∈ Fp(M), luego

m /∈ Fp−1(M) y 0 6= m ∈ Gr(M)p. Como Gr(f) es inyectivo, Gr(f)(m) = f(m) 6=0, de lo cual resulta f(m) 6= 0. Esto muestra que f es inyectivo. Veamos que fes ademas estricto. Sabemos que f(Fp(M)) ⊆ Im(f) ∩ Fp(N); supongamos porinduccion que para q < p se tiene la igualdad f(Fq(M)) = Im(f) ∩ Fq(N). Seanp ∈ Im(f) ∩ Fp(N), si np ∈ Fq(N) para algun q < p, entonces por la induccionnp ∈ f(Fq(M)) ⊆ f(Fp(M)) y no habrıa algo que demostrar. Supongamos entoncesque np /∈ Fq(N) para cada q < p. Tenemos que np = f(m) con m ∈ M . Queremosver que m puede ser elegido en Fp(M). Sea r mınimo tal que m ∈ Fr(M), entoncesnp ∈ Fr(N) y r ≥ p. Basta entonces probar que r = p. Supongamos que r > p,

entonces np = 0 en Gr(N)r, con lo cual Gr(f)(m) = Gr(f)r(m) = f(m) = np = 0,pero como Gr(f) es inyectivo m = 0, es decir, m ∈ Fr−1(M), lo cual es falso.

⇐): sea (mp)p∈Z ∈ Gr(M) tal que Gr(f)((mp)) = 0, entonces f(mp) = 0 para ca-da p, luego f(mp) ∈ Fp−1(N)∩ Im(f) = f(Fp−1(M)), con lo cual f(mp) = f(mp−1),con mp−1 ∈ Fp−1(M), pero como f es inyectivo, entonces mp = mp−1, y de estamanera mp = 0 para cada p. Esto muestra que Gr(f) es inyectivo.

(iii) ⇒): sea n ∈ N , entonces existe p mınimo tal que n ∈ Fp(N), luegon ∈ Gr(N)p; puesto que Gr(f) es sobreyectivo, cada Gr(f)p es sobreyectivo y en

consecuencia existe mp ∈ Gr(M)p tal que f(mp) = n, de esto se obtiene f(mp)−n ∈Fp−1(N) y mediante induccion sobre p, f(mp) − n = f(m), de donde n ∈ Im(f).Esto demuestra que f es sobreyectivo. Veamos ademas que f es estricto. Como fes sobreyectivo, basta demostrar que f(Fp(M)) = Fp(N); sabemos que f(Fp(M)) ⊆Fp(N). Sea np ∈ Fp(N), como acabamos de ver f(mp) − n ∈ Fp−1(N), luego apli-cando nuevamente induccion sobre p, f(mp) − n ∈ f(Fp−1(M)), de lo cual resultan ∈ f(Fp(M)), es decir, Fp(N) ⊆ f(Fp(M)) y entonces f(Fp(M)) = Fp(N).

⇐): sea (np)p∈Z ∈ Gr(N), con np ∈ Fp(N), como f es sobreyectivo existe m ∈Mtal que f(m) = np, ası pues np ∈ Im(f)∩Fp(N) = f(Fp(M)), de donde np = f(mp)con mp ∈ Fp(M). Por lo tanto, (np) = Gr(f)((mp)) y Gr(f) resulta sobreyectivo.

(iv) Evidente.

(v) Notemos en primer lugar que ι es filtrado: ι(Fp(K)) = ι(Fp(M) ∩ K) =Fp(M) ∩ K ⊆ Fp(M); ademas, como f es sobreyectivo, la condicion de estrcito seescribe f(Fp(M)) = Fp(N). Segun (iii), Gr(f) es tambien sobreyectivo. Veamos que

Gr(ι) es inyectivo: sea (kp) ∈ Gr(K) tal que (ι(kp)) = 0, entonces (kp) = 0. Por ulti-mo, probemos que Im(Gr(ι)) = ker(Gr(f)). Sea (mp) ∈ Im(Gr(ι)), entonces existe(kp) ∈ Gr(K) tal que (mp) = Gr(ι)((kp)), luego (mp) = (kp) y entonces para cadap ∈ Z, mp − kp ∈ Fp−1(M). Resulta, f(mp − kp) = f(mp) ∈ Fp−1(N) de tal manera

que Gr(f)((mp)) = (f(mp)) = 0. Hemos demostrado que Im(Gr(ι)) ⊆ ker(Gr(f)).

Recıprocamente, sea (mp) ∈ ker(Gr(f)), entonces Gr(f)((mp)) = (f(mp)) = 0 conlo cual f(mp) ∈ Fp−1(N), podemos ahora usar la condicion de estricto y garantizar


que existe m′p ∈ Fp−1(M) tal que f(mp) = f(m′

p), es decir, mp−m′p ∈ Fp(M)∩K =

Fp(K). Ası pues, mp −m′p = kp ∈ Fp(K), de donde Gr(ι)((kp)) = (ι(kp)) = (kp) =

(mp −m′p) = (mp) ya que en Gr(M)p se tiene que mp −m′

p = mp , y esta ultimaigualdad es debida a que mp − mp + m′

p = m′p ∈ Fp−1(M). Esto demuestra que

ker(Gr(f)) ⊆ Im(Gr(ι)).

Corolario 1.8.19. Sean A y M como en la proposicion anterior y sea K unsubmodulo de M . Con las filtraciones inducidas sobre K y M/K dadas en la proposi-cion 1.8.17 se tiene que

(i) Gr(K) es un submodulo graduado de Gr(M).

(ii) Gr(M/K) ∼= Gr(M)/Gr(K).

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion anterior.

Otras propiedades adicionales de anillos y modulos graduados y filtrados queseran usadas posteriormente se estudian a continuacion. En adelante en la presenteseccion asumiremos que las graduaciones y filtraciones de anillos y modulos sonpositivas

Definicion 1.8.20. Sean A un anillo graduado con graduacion {Ap}p∈N y M unA-modulo graduado.

(i) M es libre-graduado con base-graduada {ej}j∈J si M es A-libre con base{ej}j∈J y cada ej es homogeneo de grado p(j), para algun p(j) ≥ 0.

(ii) M es proyectivo-graduado si es sumando de un A-modulo libre-graduado.

Proposicion 1.8.21. Sean A un anillo graduado con graduacion {Ap}p∈N y M unA-modulo libre-graduado con base graduada X := {ej}j∈J . Entonces,

(i) Para cada p ∈ N, Mp =∑

j∈J ⊕ ejAp−p(j).

(ii) (Propiedad universal) Cada funcion f : X → N , con N un A-modulo

graduado, puede ser extendida a un A-homomorfismo graduado f : M → N .

Demostracion. (i) ejAp−p(j) ∈ Mp(j)Ap−p(j) ⊆ Mp, se tiene entonces la inclusion∑j ejAp−p(j) ⊆ Mp. Sea mp ∈ Mp, entonces existen a1, . . . , ak ∈ A tales que mp =

ej1 ·a1+· · ·+ejk ·ak, de dondemp = ej1 ·(ap11+· · ·+ap1t1 )+· · ·+ejk ·(apk1+· · ·+apk

tk), con

pir ∈ Apir, pero notemos que p(ji) + pir = p para cada i y cada r, luego pir = p− p(ji)

y entonces mp ∈∑

j∈J ejAp−p(j). La suma es directa ya que {ej}j∈J es una base.(ii) Puesto que X es una A-base de M y N es un A-modulo, entonces la funcion

f se extiende de manera unica a un A-homomorfismo de f : M → N ; ademas, segun(i), f(Mp) = f(

∑j ejAp−p(j)) =

∑j f(ej)Ap−p(j) ⊆

∑j Np(j)Ap−p(j) ⊆ Np.


Proposicion 1.8.22. Sean A un anillo graduado y M un A-modulo graduado. En-tonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es proyectivo-graduado.

(ii) MA es proyectivo.

(iii) Si f : N → N ′ es un A-homomorfismo sobreyectivo graduado y g : M → N ′ esun A-homomorfismo graduado, entonces existe un A-homomorfismo graduadoh : M → N tal que el siguiente diagrama es conmutativo:

M

N N ′

pppppppph

?

g

-f

Demostracion. (i)⇒(ii): evidente a partir de la definicion de proyectivo-graduado.(ii)⇒(i): sea 〈mj|j ∈ J〉 un sistema de generadores homogeneos de M , con

mj ∈ Mp(j); sea F :=⊕

j∈J Fj con Fj := AA, sabemos que F es A-libre con basecanonica X := {ej := µj(1)}j∈J , donde µj : Fj → F es la inyeccion canonica.Para cada p ∈ N definimos Fp :=

∑j∈J ⊕ ejAp−p(j), entonces claramente Fp es un

subgrupo de A+ con ej ∈ Fp(j) (recordemos que 1 ∈ A0). {Fp}p∈N es una graduacionde F : sea z = ej1 · a1 + · · · + ejk · ak ∈ F , tal como vimos en la demostracion dela proposicion 1.8.21, z = ej1 · (ap11 + · · · + ap1t1

) + · · · + ejk · (apk1

+ · · · + apktk

), con

apir∈ Api

r, pero notemos que eji ·api

r∈ ejiApi

r+p(ji)−p(ji) ∈ Fpir+p(ji) para cada i y cada

r, de donde, z ∈∑

p Fp. Esto demuestra que F ⊆∑

p Fp ⊆ F . Veamos que la sumaes directa: sea zp1 + · · ·+ zps = 0 con zpi

∈ Fpi=

∑j∈J ⊕ ejApi−p(j), 1 ≤ i ≤ s, y los

grados p1, . . . , ps distintos. Mediante coeficientes nulos podemos asumir sin perdidade generalidad que

zp1 = ej1 · ap1−p(j1)+ · · ·+ ejk · ap1−p(jk)

...

zps = ej1 · aps−p(j1)+ · · ·+ ejk · aps−p(jk),

con subındices j1, . . . , jk distintos. Como X es linealmente independiente, entonces

ap1−p(j1)+ · · ·+ aps−p(j1) = 0

...

ap1−p(jk)+ · · ·+ aps−p(jk) = 0,


luego todos los coeficientes a,s son nulos y cada zpies nulo. Por ultimo observemos

que FpAq =∑

j∈J ejAp−p(j)Aq ⊆∑

j∈J ejAp+q−p(j) = Fp+q.Ası pues, F es libre-graduado con base-graduada {ej}j∈J , ej ∈ Fp(j). Existe

un homomorfismo sobreyectivo graduado π : F → M , π(ej) := mj; como M esA-proyectivo existe h′ : M → F tal que πh′ = iM . El homomorfismo h′ no necesa-riamente es graduado, por lo tanto definimos h : M → F de la siguiente manera:si mp ∈ Mp, entonces h(mp) es la componente homogenea de grado p de h′(mp).Notemos que h es graduado y ademas mp = πh′(mp) = πh(mp), es decir, πh = iM ,de donde π es hendido y M resulta sumando directo de F .

(ii)⇒(iii): como MA es proyectivo existe un A-homomorfismo h′ : M → N talque fh′ = g; h′ no necesariamente es graduado, entonces definimos h : M → N enforma analoga a como vimos antes; h es graduado y satisface fh = g.

(iii)⇒(i): sea 〈mj|j ∈ J〉 un sistema de generadores homogeneos de M , mj ∈Mp(j); existen F libre-graduado con base-graduada {ej}j∈J , ej ∈ Fp(j), y un ho-momorfismo sobreyectivo graduado π : F → M , π(ej) := mj; segun (iii), tomandog := iM , existe h : M → F graduado tal que πh = iM , esto hace que M sea sumandodirecto de F , es decir, M es proyectivo-graduado.

Proposicion 1.8.23. Sea A un anillo filtrado y MA un modulo.

(i) Si M es filtrado y Gr(M) es f.g. como modulo graduado sobre Gr(A), entoncesMA es f.g.

(ii) Si MA es f.g., entonces M tiene una filtracion estandar tal que Gr(M) esfinitamente generado sobre Gr(A).

Demostracion. (i) Como Gr(M) es f.g. como modulo graduado, entonces su sistemafinito de generadores esta conformado por elementos homogeneos, digamos mp1 ∈Gr(M)p1 , . . . ,mpt ∈ Gr(M)pt ; probaremos que {mp1 , . . . ,mpt〉A = M . Sea m ∈ M ,entonces existe p ∈ N tal que m ∈ Fp(M), probaremos por induccion sobre p quem ∈ {mp1 , . . . ,mpt〉A. Se tiene que m = mp1 · g1 + · · · + mpt · gt, con gi ∈ Gr(A),1 ≤ i ≤ t. Cada gi es suma de componentes homogeneas, pero como la suma esdirecta podemos asumir que cada gi es homogeneo, digamos gi = aqi con pi+ qi = p.Resulta, m = mp1 ·aq1 + · · ·+mpt ·aqt , luego m−(mp1aq1 + · · ·+mptaqt) ∈ Fp−1(M) ⊆{mp1 , . . . ,mpt〉A, de donde, m ∈ {mp1 , . . . ,mpt〉A.

(ii) Sea {Fp(A)}p∈N una filtracion de A y sea M = {z1, . . . , zt〉A. DefinimosM0 := {z1, . . . , zt〉F0(A). Notemos que M0A = M : es claro que M0A ⊆ M ; seaz ∈ M , entonces existen a1, . . . , at ∈ A tales que z = z1 · a1 + · · · + zt · at =(z1 · 1) · a1 + · · ·+ (zt · 1) · at ∈M0A. Definimos:

F0(M) := M0, Fp(M) := M0Fp(A), p ≥ 1.

Esto es una filtracion de M : Fp(M)Fq(A) = M0Fp(A)Fq(A) ⊆ M0Fp+q(A) =Fp+q(M); para p < q se tiene que Fp(M) = M0Fp(A) ⊆ M0Fq(A) = Fq(M);


⋃Fp(M) =

⋃M0Fp(A) ⊆ M , sea z ∈ M , entonces tal como vimos arriba, z =

z1 · a1 + · · · + zt · at = (z1 · 1) · a1 + · · · + (zt · 1) · at, con ai ∈ Fpi(A), 1 ≤ i ≤ t,

sea pt := max{pi}ti=1, entonces todos los escalares ai estan en Fpt(A), luego cada(zi · 1) · ai ∈M0Fpt(A) = Fpt(M), con lo cual z ∈ Fpt(M) ⊆

⋃Fp(M).

Veamos ahora que Gr(M) es f.g. como modulo graduado: sea

(mp) = mp1 + · · ·+mps ∈ Gr(M), con mpi= mpi

+ Fpi−1(M), mpi∈ Fpi

(M),

pero como Fpi(M) = M0Fpi

(A) = {z1, . . . , zt〉F0(A)Fpi(A), entonces cada sumando

mpies una Gr(A)-combinacion lineal de los generadores homogeneos z1, . . . , zt ∈

Gr(M)0 = F0(M)/F−1(M) = F0(M) = M0.

Definicion 1.8.24. Sea A un anillo filtrado y M un A-modulo filtrado con filtracion{Fp(M)}p∈N. Se dice que M es libre-filtrado con base-filtrada {ej}j∈J si MA eslibre con base {ej}j∈J , ej ∈ Fp(j)(M), para algun p(j) ≥ 0, y ademas, Fp(M) =∑

j ⊕ ejFp−p(j)(A).

Proposicion 1.8.25. Sea A un anillo filtrado.

(i) Si MA es libre-filtrado, entonces Gr(M) es libre-graduado sobre Gr(A).

(ii) Si M ′ es libre-graduado sobre Gr(A), entonces existe un modulo libre-filtradoMA tal que M ′ ∼= Gr(M).

(iii) Sean MA libre-filtrado, NA filtrado y f : Gr(M) → Gr(N) sobreyectivo gradua-do, entonces f = Gr(g) para algun homomorfismo sobreyectivo filtrado estrictog : M → N .

Demostracion. (i) Probemos que si X := {ej}j∈J es una base-filtrada de M conei ∈ Fp(j)(M), entonces X := {ej}j∈J es una base-graduada de Gr(M): en primerlugar es claro que ej ∈ Gr(M)p(j) y que X es un sistema de generadores de Gr(M).Veamos que X es linealmente independiente: sea 0 = ej1 · g1 + · · · + ejk · gk, congi ∈ Gr(A), 1 ≤ i ≤ k. Cada gi es suma de componentes homogeneas, pero comoGr(M) es suma directa de sus componentes homogeneas, el problema se reduce aconsiderar el caso en el cual cada gi es homogeneo, digamos gi = aqi , con aqi ∈ Fqi(A).Tenemos entonces

0 = ej1 · aq1 + · · ·+ ejk · aqk , con eji · aqi ∈ Gr(M)p(ji)+qi

Nuevamente, teniendo en cuenta la condicion de suma directa, el problema se reducea considerar el caso en el cual todos los sumandos estan en la misma componentehomogenea, es decir, p(ji)+qi := p. Resulta entonces ej1 ·aq1+· · ·+ejk ·aqk ∈ Fp−1(M),luego

ej1 · aq1 + · · ·+ ejk · aqk = ej1 · ap−1−p(j1) + · · ·+ ejk · ap−1−p(jk),


esto indica que aqi = ap−1−p(ji) = aqi−1 ∈ Fqi−1(A), con lo cual gi = aqi = 0.(ii) Sean {M ′

p}p∈N la graduacion de M ′ de tal forma que M ′ =∑

p∈N⊕M ′p,

X ′ := {e′j}j∈J la base-graduada de M ′ con e′j ∈M ′p(j), {Fp(A)}p∈N la filtracion de A

con anillo graduado Gr(A) =⊕

p∈NGr(A)p, Gr(A)p = Fp(A)/Fp−1(A). Definimosel modulo MA de la siguiente manera:

M := A(J) =⊕

j∈J ejA, con base canonica X := {ej := µj(1)}j∈J ,

donde µj : A→ A(J) es la inyeccion canonica. Para cada p ∈ N definimos

Fp(M) :=∑

j∈J ⊕ ejFp−p(j)(A), con p(j) tal que e′j ∈M ′p(j).

Notemos que {Fp(M)}p∈N es una filtracion de M : en efecto, si q < p, entonces paracada j, q − p(j) < p − p(j), luego Fq−p(j)(A) ⊆ Fp−p(j)(A) y entonces Fq(M) ⊆Fp(M); Fp(M)Fq(A) ⊆ Fp+q(M) ya que Fp−p(j)(A)Fq(A) ⊆ Fp+q−p(j)(A); es claroque

⋃p∈N Fp(M) ⊆ M , sea entonces m ∈ M , existen ındices distintos j1, . . . , jt y

elementos a1, . . . , at ∈ A tales que m = ej1 · a1 + · · · + ejt · at, con ai ∈ Fqi(A),observemos que eji · ai ∈ ejiFqi+p(ji)−p(ji)(A), sea p := max{qi + p(ji)}, entonces m ∈Fp(M) y hemos probado la igualdad

⋃p∈N Fp(M) = M . Notemos que ej ∈ Fp(j)(M)

ya que 1 ∈ F0(A). Todo lo anterior demuestra que M es A-libre-filtrado.Solo resta demostrar que Gr(M) ∼= M ′. Consideremos la funcion

Fp(M)αp−→M ′

p =∑j∈J

⊕ e′jGr(A)p−p(j)

ej1 · ap−p(j1) + · · ·+ ejt · ap−p(jt) 7→ e′j1 · ap−p(j1) + · · ·+ e′jt · ap−p(jt)

αp es un homomorfismo sobreyectivo de grupos abelianos y su nucleo es Fp−1(M),

esto demuestra que Gr(M)pαp∼= M ′

p (isomorfismo de grupos abelianos); tomando lasuma directa de todos los αp obtenemos el isomorfismo de grupos abelianosGr(M) ∼=M ′, pero

αp(ej · ap−p(j) · aq) = αp(ej · ap−p(j)aq) = e′j · ap−p(j)aq = (e′j · ap−p(j)) · aq =αp(ej · ap−p(j)) · aq,

lo cual demuestra que Gr(M) ∼= M ′ (Gr(A)-isomorfismo graduado).(iii) Sea X := {ej}j∈J una base-filtrada de M con ei ∈ Fp(j)(M), entonces ej ∈

Gr(M)p(j) y sea f(ej) := xp(j) ∈ Gr(N)p(j), para algun xp(j) ∈ Np(j) que elegimos.Definimos g : M → N por g(ej) := xp(j). Entonces g es un A-homomorfismo biendefinido ya se define sobre la base X; veamos que g es filtrado: sea z ∈ Fp(M),entonces z ∈

∑j ⊕ ejFp−p(j)(A), de donde g(z) ∈ Fp(N). Notemos que Gr(g) = f ya

que Gr(g) coincide con f sobre la base-graduada X := {ej}j∈J . Veamos ahora quese cumple la igualdad g(Fp(M)) = Fp(N): sea x ∈ Fp(N), entonces x ∈ Gr(N)p,pero como f es sobreyectivo existe z ∈ Gr(M)p tal que f(z) = x, con z ∈ Fp(M) =∑

j ⊕ ejFp−p(j)(A), es decir, z = ej1 · ap−p(j1) + · · · + ejs · ap−p(js), luego x = xp(j1) ·


ap−p(j1) + · · ·+xp(js) · ap−p(js), de lo cual obtenemos x− (xp(j1) · ap−p(j1) + · · ·+xp(js) ·ap−p(js)) ∈ Fp−1(N) y, por induccion sobre p, se tiene que x − (xp(j1) · ap−p(j1) +· · · + xp(js) · ap−p(js)) = g(z′), con z′ ∈ Fp−1(M). De esto resulta x = g(z) + g(z′) =g(z + z′) ∈ g(Fp(M)). Esto completa la prueba de la igualdad, y en consecuencia, ges sobreyectivo y estricto.

Lema 1.8.26. Sean A un anillo filtrado y P un A-modulo filtrado tal que Gr(P ) esproyectivo-graduado sobre Gr(A). Entonces, P es A-proyectivo.

Demostracion. Segun vimos en la demostracion de la proposicion 1.8.22, dado unmodulo graduado Gr(P ) existe un modulo libre-graduado F ′ y un homomorfismosobreyectivo graduado sobre Gr(A), f : F ′ → Gr(P ), pero segun la proposicion1.8.25 (ii), F ′ ∼= Gr(F ), para algun modulo A-libre-filtrado F , ası pues tenemosf : Gr(F ) → Gr(P ). Por la parte (iii) de la proposicion 1.8.25, existe un A-homomorfismo sobreyectivo filtrado estricto g : F → P . SeaK := ker(g), filtrado conla filtracion inducida por F , se tiene entonces la sucesion exacta de modulos filtrados0 → K

ι−→ Fg−→ P → 0, y tal como vimos en la proposicion 1.8.18, la correspondidnte

sucesion exacta de modulos graduados 0 → Gr(K)Gr(ι)−−−→ Gr(F )

Gr(g)−−−→ Gr(P ) → 0,pero como Gr(P ) es proyectivo-graduado, esta sucesion es hendida y existe un ho-momorfismo graduado sobreyectivo Gr(F ) → Gr(K) de tal forma que si aplicamosnuevamente la proposicion 1.8.25 (iii) podemos asumir que este homomorfismo es dela forma Gr(h), para algun homomorfismo sobreyectivo filtrado estricto h : F → K.Tenemos pues que Gr(h)Gr(ι) = iGr(K) = Gr(hι). De la proposicion 1.8.18 se ob-tiene que hι es biyectivo, luego ι tiene inversa a izquierda, es decir, la sucesion0 → K

ι−→ Fg−→ P → 0 es hendida y en consecuencia P es proyectivo.

Lema 1.8.27. Sean A un anillo filtrado y M un A-modulo filtrado. Entonces,

(i) Para cada n ≥ 0, existe una sucesion exacta

0 → K ′ → F ′n−1 → · · · → F ′

0 → Gr(M) → 0 (1.8.6)

de Gr(A)-modulos graduados con F ′i libre-graduado, 0 ≤ i ≤ n − 1, y una

sucesion exacta de A-modulos filtrados

0 → K → Fn−1 → · · · → F0 →M → 0, (1.8.7)

donde Fi es libre-filtrado con Gr(Fi) ∼= F ′i .

(ii) Si K ′ es proyectivo-graduado, entonces K es A-proyectivo.

(iii) Si los Gr(A)-modulos graduados de (1.8.6) son f.g., entonces los A-modulosde (1.8.7) son f.g.


Demostracion. (i) Tal como vimos en la prueba de la proposicion 1.8.22, paraGr(M)existe un modulo libre-graduado F ′

0 y un homomorfismo sobreyectivo graduado sobreGr(A), f ′0 : F ′

0 → Gr(M). Por la proposicion 1.8.25 (ii), podemos asumir que F ′0∼=

Gr(F0) con F0 libre-filtrado. Por la parte (iii) de la mencionada proposicion, f ′0 =Gr(f0), con f0 : F0 → M un homomorfismo sobreyectivo filtrado estricto. SeaK0 := ker(f0) con la filtracion inducida por F0. Por la proposicion 1.8.18 (ii), lasucesion exacta de modulos filtrados

0 → K0ι−→ F0

f0−→M → 0.

induce la sucesion exacta de modulos graduados

0 → Gr(K0)Gr(ι)−−−→ Gr(F0)

Gr(f0)−−−−→ Gr(M) → 0.

Podemos repetir el razonamiento anterior para Gr(K0) y obtener las sucesiones(1.8.6) y (1.8.7).

(ii) Esto se obtiene de la proposicion 1.8.26.(iii) Esto es consecuencia de la proposicion 1.8.23 (i).

Como aplicacion de la teorıa de anillos filtrados y graduados se tienen las si-guientes propiedades.

Teorema 1.8.28. Sea A un anillo filtrado con filtracion {Fp(A)}p∈N. Entonces,

(i) Si Gr(A) no tiene divisores de cero, A no tiene divisores de cero.

(ii) Si Gr(A) es un anillo primo, A es un anillo primo.

(iii) Si Gr(A) es noetheriano a derecha (izquierda), entonces A es noetheriano aderecha (izquierda).

Demostracion. (i) Sean a, b elementos de A tales que ab = 0; si a 6= 0 y b 6= 0,existen p, q ≥ 0 mınimos tales que a ∈ Fp(A) pero a /∈ Fp−1(A), b ∈ Fq(A) perob /∈ Fq−1(A). En Gr(A) resulta 0 = a b, pero como Gr(A) no tiene divisores de cero,entonces a = 0 o b = 0, es decir, a ∈ Fp−1(A) o b ∈ Fq−1(A), falso. Por lo tanto,a = 0 o b = 0.

(ii) Recordemos que un anillo A es primo si el ideal nulo es primo. Ası pues,A es un anillo primo si, y solo si, se cumple la siguiente condicion: si a, b ∈ A sontales que aAb = 0, entonces a = 0 o b = 0. Supongamos pues que Gr(A) es unanillo primo y sean a, b ∈ A con aAb = 0; supongamos que a 6= 0 y b 6= 0, entoncesexisten p, q ≥ 0 mınimos tales que a ∈ Fp(A), a /∈ Fp−1(A), b ∈ Fq(A), b /∈ Fq−1(A);tenemos entonces que aGr(A)b = 0, pero como Gr(A) es un anillo primo, entoncesa = 0 o b = 0, es decir, a ∈ Fp−1(A) o b ∈ Fq(A), falso. Esto demuestra que A es unanillo primo.


(iii) Sea I un ideal derecho no nulo de A y consideremos el grupo abelianoFp(I) := Fp(A) ∩ I; segun la proposicion 1.8.17, I es un A-submodulo filtrado deAA, es decir, I es un A-modulo filtrado; con la proposicion 1.8.16 definimos el co-rrespondiente Gr(A)-modulo graduado:

Gr(I) :=⊕

p∈NGr(I)p, con Gr(I)p := (Fp(A) ∩ I)/(Fp−1(A) ∩ I).

Observemos que Gr(I)p se puede considerar como subgrupo de Gr(A)p mediantela asignacion inyectiva x 7→ x, con x ∈ Fp(A) ∩ I, x := x + (Fp−1(A) ∩ I) y x :=x+Fp−1(A). Ademas, Gr(I)pGr(A)q ⊆ Gr(I)p+q luego Gr(I) es un ideal derecho deGr(A). Notemos ademas que mediante la asignacion anterior, Gr(I)p = Gr(A)p ∩Gr(I). Todo esto dice que Gr(I) es un ideal derecho graduado de Gr(A). Por lahipotesis, Gr(I) es finitamente generado, Gr(I) = {x1, . . . , xt〉, con x1 := xp11 +· · · + xp1k1

; . . . ;xt := xpt1 + · · · + xptkt, y xpij

∈ Fpij(A) ∩ I. Veamos que I =

{xp11 , . . . , xp1k1;xpt1 , . . . , xptkt

〉. Denotemos por I ′ el ideal de la derecha de la igualdadanterior. Es claro que I ′ ⊆ I. Supongamos inductivamente que todos los elementos deI que esten en Fq(I), con q < p, estan en I ′, y sea x ∈ I tal que x ∈ Fp(I) = Fp(A)∩I,entonces x ∈ Gr(I)p ⊆ Gr(I), y en consecuencia, existen y1, . . . , yt ∈ Gr(A) talesque x = x1y1 + · · ·+ xtyt. Sean y1 := yq11 + · · ·+ yq1s1

; . . . ; yt := yqt1 + · · ·+ yqtst. Se

tiene entonces que

x = xp11 yq11 + · · ·+ xp11 yq1s1+ · · ·+ xp1k1

yq11 + · · ·+ xp1k1yq1s1

+ · · ·+ xpt1 yqt1 + · · ·+ xpt1 yqtst+ · · ·+ xptkt

yqt1 + · · ·+ xptktyqtst

;

puesto que la suma es directa solo debemos considerar los productos en los cualespij + qrs = p, por tanto, podemos escribir x = xp1 yq1 + · · ·+ xpu yqu , con pi + qi = p,1 ≤ i ≤ u. A partir de esto se obtiene que x− (xp1yq1 + · · ·+xpuyqu) ∈ Fp−1(A)∩I =Fp−1(I), luego por induccion esta resta esta en I ′, de donde x ∈ I ′. Para el casotrivial p = 0 notemos que F−1(A) = 0 y entonces x = 0 ∈ I ′. Esto demuestra queI ⊆ I ′.

La prueba para ideales izquierdos es analoga cambiando AA por AA.

Observacion 1.8.29. La teorıa de anillos y modulos filtrados y graduados la hemospresentado por el lado derecho, sin embargo, como ya hemos advertido antes, todoslos resultados tienen tambien validez por el lado izquierdo.

1.9. Ejercicios

1. Sea M1f−→M2 →M3

g−→M4 exacta. Demuestre que f es sobreyectiva si, y solosi, g es inyectiva.

2. Demuestre la parte (ii) del teorema 1.1.2.

1.9. EJERCICIOS 69

3. Demuestre el corolario 1.3.2.

4. Demuestre las propiedades (a) - (f); (h), (i), (k), (m), (p) y (q) de la seccion1.3.

5. Ilustre con un ejemplo que M ⊗A (∏

j Nj) �∏

j(M ⊗A Nj). Por ejemplo,considere A := Z, M := Q, Nj := Zpj , con p irreducible, j ≥ 1.

6. Sean A un anillo, P un A-modulo proyectivo e I un ideal bilatero propio deA. Demuestre que P/PI es un A/I-modulo proyectivo.

7. Sean A un anillo y M un A-modulo; un recubrimiento proyectivo, tambiendenominado, envolvente proyectiva de M , es un homomorfismo sobreyec-tivo f : P → M , con P proyectivo y ker(f) pequeno en P (un submoduloN de un modulo L es pequeno si para cada submodulo K de L se cumpleN+K = L si, y solo si, K = L). Demuestre que dos recubrimientos proyectivosde M son isomorfos.

8. Demuestre la proposicion 1.4.2.


10. Demuestre el corolario 1.4.13.

11. Demuestre el isomorfismo (1.4.2).


13. Sean R un anillo conmutativo y S1 ⊆ S2 subconjuntos multiplicativos de R.Demuestre que para cada R-modulo M se tiene el isomorfismo (MS−1

1 )S−12∼=

MS−12∼= (MS−1

2 )S−11 .

14. Demuestre la proposicion 1.5.7

15. Demuestre la parte (ii) del toerema 1.5.13.

16. Sean A un anillo y N un A-modulo. Demuestre que N es inyectivo si, y solosi, cada sucesion exacta 0 → N →M → L→ 0, con L cıclico, es hendida.

17. Sean R un anillo conmutativo, N un R-modulo inyectivo y A una R-algebra.Demuestre que HomR(A,N) es un A-modulo inyectivo.

18. Sea P un A-modulo plano y Q un A−B-bimodulo el cual es B-plano. Entonces,P ⊗ Q es B-plano. En particular, si R es un anillo conmutativo y P,Q sonR-modulos planos, entonces P ⊗Q es R-plano.


19. Sea B := K{x, y} el algebra libre en el alfabeto {x, y} sobre el cuerpo K (vease[15]). Sea I el ideal bilatero generado por xy−λyx, con λ ∈ K fijo. Demuestreque el anillo cociente B/I es graduado.

20. Sean A =∑

p∈N⊕Ap un anillo graduado positivamente y M =∑

p∈N⊕Mp

un A-modulo graduado. Sea q ∈ N fijo y sea M(q)p := Mp−q. Demuestre queM(q) =

∑p∈NM(q)p es un A-modulo graduado.

Capıtulo 2

Ext

Este capıtulo esta dedicado al estudio de una tecnica que extiende el Hom (vease[13]) y resulta tambien muy util para el analisis de propiedades homologicas de anillosy modulos. Como siempre, vamos a suponer que A es un anillo no necesariamenteconmutativo y, salvo que se advierta lo contrario, los modulos seran considerados aderecha.

2.1. Definicion

Sean M un A-modulo y F0 el A-modulo libre canonico con una base {em}m∈Mde cardinalidad igual a la de M , entonces existe un homomorfismo sobreyectivof0 : F0 −→ M , definido por f0(em) := m, m ∈ M . Si consideramos el nucleo de f0,entonces podemos construir el modulo libre F1 y el correspondiente homomorfismosobreyectivo f ′1 : F1 −→ ker(f0), de tal forma que obtenemos la sucesion exacta

F1f1−→ F0

f0−→M → 0,

donde f1 := lf ′1 y l es la inclusion de ker(f0) en F0. Podemos repetir esta construccionpara F1 y continuar de esta forma para obtener la sucesion exacta

· · · → Fi+1fi+1−−→ Fi

fi−→ Fi−1 → · · · → F1f1−→ F0

f0−→M → 0. (2.1.1)

Hemos demostrado que todo A-modulo M tiene al menos una sucesion exacta comoen (2.1.1) con modulos libres Fi, i ≥ 0. Esto tambien muestra que M tiene al menosuna sucesion exacta con modulos proyectivos Pi en la siguiente forma

· · · → Pi+1fi+1−−→ Pi

fi−→ Pi−1 → · · · → P1f1−→ P0

f0−→M → 0. (2.1.2)

Sea ahora N un A-modulo cualquiera, entonces se obtiene el complejo

0 → HomA(M,N)f∗0−→ HomA(P0, N)

f∗1−→ HomA(P1, N) → · · · (2.1.3)

71

72 CAPITULO 2. EXT

con f ∗0 inyectivo. En efecto, como HomA( , N) es exacto a izquierda, entonces f ∗0inyectivo y ademas f ∗i+1f

∗i = (fifi+1)

∗ = 0∗ = 0. Esta ultima sucesion induce lasiguiente definicion.

Definicion 2.1.1. Sean M y N dos A-modulos, se definen los grupos abelianos

Ext0A(M,N) := HomA(M,N),

ExtiA(M,N) := ker(f ∗i+1)/Im(f ∗i ), i ≥ 1.(2.1.4)

Notemos que la definicion (2.1.1) parece depender de la resolucion proyectivaelegida. Sin embargo, se tiene la siguiente propiedad.

Teorema 2.1.2. Para cada i ≥ 0, el grupo ExtiA(M,N) es independiente de laresolucion proyectiva (2.1.2).

Demostracion. Dividimos esta prueba en varios pasos.Paso 1. En primer lugar notemos que si M

α−→ M ′ es un A-homomorfismo,entonces construimos para M y para M ′ resoluciones proyectivas

(P ) : · · · −−−−−−→ Pi+1fi+1−−−−−−→ Pi

fi−−−−−−→ · · · −−−−−−→ P1f1−−−−−−→ P0

f0−−−−−−→ M −−−−−−→ 0

α

y(Q) : · · · −−−−−−→ Qi+1

gi+1−−−−−−→ Qigi−−−−−−→ · · · −−−−−−→ Q1

g1−−−−−−→ Q0g0−−−−−−→ M′ −−−−−−→ 0

(2.1.5)

La sobreyectividad de g0 garantiza la existencia de un homomorfismo α0 : P0 →Q0 tal que g0α0 = αf0. Ahora consideremos el homomorfismo compuesto g0α0f1,entonces g0α0f1 = αf0f1 = 0, por lo tanto, Im(α0f1) ⊆ ker(g0) = Im(g1). Laproyectividad de P1 garantiza la existencia de un homomorfismo α1 : P1 → Q1

tal que α0f1 = g1α1. Continuando de esta manera resulta el siguiente diagramaconmutativo con filas exactas:

−−−→ Pi+1fi+1−−−→ Pi

fi−−−→ · · · −−−→ P1f1−−−→ P0

f0−−−→ M −−−→ 0

αi+1

y αi

y α1

y α0

y α

y−−−→ Qi+1

gi+1−−−→ Qigi−−−→ · · · −−−→ Q1

g1−−−→ Q0g0−−−→ M ′ −−−→ 0

Aplicamos HomA( , N) y resulta el siguiente diagrama conmutativo

0 −−−−−−→ HomA(M′, N)g∗0−−−−−−→ HomA(Q0, N)

g∗1−−−−−−→ HomA(Q1, N)g∗2−−−−−−→ HomA(Q2, N) −−−−−−→ · · ·

α∗y α∗0

y α∗1

y α∗2

y0 −−−−−−→ HomA(M, N)

f∗0−−−−−−→ HomA(P0, N)f∗1−−−−−−→ HomA(P1, N)

f∗2−−−−−−→ HomA(P2, N) −−−−−−→ · · ·

donde las filas son complejos. Entonces se inducen los homomorfismos

ExtiA(M ′, N)(Q) = ker(g∗i+1)/Im(g∗i )α∗i−→ ker(f ∗i+1)/Im(f ∗i ) = ExtiA(M,N)(P )

definidos por

2.1. DEFINICION 73

α∗i (h) := α∗i (h) = hαi, i ≥ 1,

donde h ∈ ker(g∗i+1) ⊆ HomA(Qi, L). Notemos que hαi ∈ ker(f ∗i+1); ademas, α∗iesta bien definida y es un homomorfismo de grupos abelianos. Se observa entoncesque ExtiA(M ′, N) parece depender de la resolucion (Q), ExtiA(M,N) de la resolu-cion (P) y α∗i de αi. Debemos mostrar que estos objetos son independientes de lasresoluciones y de los homomorfismos αi.

Paso 2. Fijemos la resolucion (P) para M y la resolucion (Q) para M ′; probemosque el homomorfismo entre ExtiA(M ′, N)(Q) y ExtiA(M,N)(P ) no depende de αi.Para esto vamos a demostrar primero que si α = 0, entonces α∗i = 0 para cadai ≥ 1. En efecto, puesto que g0α0 = 0, entonces Im(α0) ⊆ ker(g0) = Im(g1), y porla proyectividad de P0 existe un homomorfismo d0 : P0 → Q1 tal que g1d0 = α0.Tenemos α1 − d0f1 ∈ HomA(P1, Q1), entonces g1(α1 − d0f1) = g1α1 − g1d0f1 =α0f1 − α0f1 = 0, por lo tanto, Im(α1 − d0f1) ⊆ ker(g1) = Im(g2). Existe entoncesun homomorfismo d1 : P1 → Q2 tal que g2d1 = α1 − d0f1. Se tiene entonces queα1 = g2d1 + d0f1, y podemos continuar de esta misma manera para definir unhomomorfismo di : Pi → Qi+1 tal que

αi = gi+1di + di−1fi, i ≥ 1.

De esta relacion resulta

α∗i = d∗i g∗i+1 + f ∗i d

∗i−1

y para h ∈ ker(g∗i+1) se tiene que

α∗i (h) = (d∗i g∗i+1)(h) + (f ∗i d

∗i−1)(h)

= d∗i (g∗i+1(h)) + f ∗i (d

∗i−1(h))

= 0 + f ∗i (d∗i−1(h))

= f ∗i (d∗i−1(h)),

esto indica que α∗i (h) ∈ Im(f ∗i ), y de esta manera α∗i = 0.Pasamos ahora a considerar el homomorfismo α : M → M ′. Supongamos que

tenemos dos colecciones de homomorfismos αi, α′i tal que el siguiente diagrama con-

muta

−−−→ Pi+1fi+1−−−→ Pi

fi−−−→ · · · −−−→ P1f1−−−→ P0

f0−−−→ M −−−→ 0

αi+1

yα′i+1 αi

yα′i α1

yα′1 α0

yα′0 α

y−−−→ Qi+1

gi+1−−−→ Qigi−−−→ · · · −−−→ Q1

g1−−−→ Q0g0−−−→ M ′ −−−→ 0

es decir, para cada i ≥ 0, αifi+1 = gi+1αi+1 y α′ifi+1 = gi+1α′i+1, ademas, αf0 = g0α0

y αf0 = g0α′0. De estas relaciones se desprende que

g0(α0 − α′0) = 0 = 0f0

(αi − α′i)fi+1 = gi+1(αi+1 − α′i+1).

74 CAPITULO 2. EXT

Estamos entonces en el caso ya probado de un homomorfismo nulo entreM yM ′, conlo cual podemos concluir que (αi − α′i)

∗ = 0, es decir, α∗i = (α′i)∗. Hemos completado

la prueba de lo anunciado en el paso 2.

Paso 3. Vamos ahora a demostrar que ExtiA(M,N) no depende de la resolucion(P) usada para definirlo, es decir, probaremos que ExtiA(M,N)(P )

∼= ExtiA(M,N)(Q).Para esto consideremos entonces dos resoluciones (P) y (Q) de M y los siguientesdiagramas conmutativos:

−−−→ Pi+1fi+1−−−→ Pi

fi−−−→ · · · −−−→ P1f1−−−→ P0

f0−−−→ M −−−→ 0

αi+1

y αi

y α1

y α0

y iM

y−−−→ Qi+1

gi+1−−−→ Qigi−−−→ · · · −−−→ Q1

g1−−−→ Q0g0−−−→ M −−−→ 0

βi+1

y βi

y β1

y β0

y iM

y−−−→ Pi+1

fi+1−−−→ Pifi−−−→ · · · −−−→ P1

f1−−−→ P0f0−−−→ M −−−→ 0

αi+1

y αi

y α1

y α0

y iM

y−−−→ Qi+1

gi+1−−−→ Qigi−−−→ · · · −−−→ Q1

g1−−−→ Q0g0−−−→ M −−−→ 0

Tenemos entonces

ExtiA(M,N)(Q)

α∗i−→ ExtiA(M,N)(P )

β∗i−→ ExtiA(M,N)(Q)

ExtiA(M,N)(Q)(αi βi)∗−−−−→ ExtiA(M,N)(Q)

y ademas,

ExtiA(M,N)(Q)

i∗i−→ ExtiA(M,N)(Q),

donde ii : Qi → Qi es la identica de Qi. De acuerdo con el paso 2, i∗i = (αi βi)∗,pero (αi βi)∗ = β∗i α

∗i y i∗i = iExtiA(M,N)(Q)

. De igual manera, (βi αi)∗ = α∗i β∗i y

i∗i = iExtiA(N,L)(P ), esto muestra que ExtiA(M,N)(P )

∼= ExtiA(M,N)(Q), y el teoremaesta probado.

Segun el teorema anterior, para definir y calcular el grupo ExtiA(M,N) podemosutilizar resoluciones libres como en (2.1.1) en lugar de resoluciones proyectivas. Esdecir, una resolucion libre para M basta para calcular ExtiM(M,N). Presentamos acontinuacion una interpretacion de los grupos Ext desde el punto de vista funtorial(vease [16]).

2.1. DEFINICION 75

Corolario 2.1.3. Sea N un A-modulo fijo. Entonces, para cada i ≥ 0

ModAExtiA( ,N)−−−−−−→ Ab

M 7−→ ExtiA(M,N)

Mα−→M ′ 7−→ ExtiA(M ′, N)

α∗i−→ ExtiA(M,N)

es un functor contravariante, donde ModA denota la categorıa de los A-modulos aderecha y Ab la categorıa de los grupos abelianos.

Demostracion. En la prueba del teorema 2.1.2 vimos que ExtiA(M,N) es indepen-diente de la resolucion (P) usada para definirlo, de igual manera, ExtiA(M ′, N) esindependiente de la resolucion (Q). Ademas, vimos que fijando estas resoluciones, elhomomorfismo α∗i : ExtiA(M ′, N) → ExtiA(M,N) es independiente de αi. Ası puestenemos el homomorfismo

ExtiA(M ′, N) = ker(g∗i+1)/Im(g∗i )α∗i−→ ker(f ∗i+1)/Im(f ∗i ) = ExtiA(M,N)

definido por

α∗i (h) = hαi,

donde h ∈ ker(g∗i+1). Notemos que si α = iM , entonces podemos tomar la mismaresolucion proyectiva para M de tal forma que para cada i, αi = iPi

, y entonces

α∗i = iExtiA(M,N). De igual forma, si Mα−→ M ′ β−→ M ′′ es una composicion de homo-

morfismos, entonces es claro que para cada i ≥ 0, (βα)∗i = α∗i β∗i . Esto muestra que

ExtiA( , N) es un functor contravariante.

Observacion 2.1.4. (i) Si M es un B − A bimodulo y N es un C − A bimodulo,entonces ExtiA(M,N) es un C − B-bimodulo, para cada i ≥ 0. En particular, siR es un anillo conmutativo y M,N son R-modulos, entonces ExtiR(M,N) es unR-modulo, para cada i ≥ 0.

(ii) La teorıa covariante de los funtores extiA(M, ) se construye manera similar,en este caso la construccion se realiza por medio de resoluciones inyectivas de unA-modulo N y se puede demostrar que para cada i ≥ 0 y cualesquiera A-modulosM y N se tiene ExtiA(M,N) ∼= extiA(M,N) (isomorfismo de grupos abelianos, o debimodulos, segun sea el caso; vease [30]). Veamos solo la parte correspondiente alpaso 1 de la demostracion del teorema 2.1.2. Sea N un A-modulo, entonces existe un

A-modulo inyectivo L0 y un A-homomofismo inyectivo Nf0−→ L0 (teorema 1.5.11);

consideremos el modulo cociente L0/Im(f0), entonces existe un modulo inyectivo

L1 y un homomorfimso inyectivo L0/Im(f0)l−→ L1; si j : L0 → L0/Im(f0) es el

homomorfismo canonico entonces resulta la sucesion exacta 0 → Nf0−→ L0

f1−→ L1,

76 CAPITULO 2. EXT

donde f1 := lj. Podemos continuar de la misma manera y obtener una resolucioninyectiva para N :

0 → Nf0−→ L0

f1−→ L1 → · · · → Li−1fi−→ Li

fi+1−−→ Li+1 → · · ·

Sea M un A-modulo, aplicamos HomA(M, ) y obtenemos el complejo

0 → HomA(M,N)(f0)∗−−−→ HomA(M,L0)

(f1)∗−−−→ HomA(M,L1) → · · ·

el cual permite definir los grupos abelianos

ext0A(M,N) := HomA(M,N),

extiA(M,N) := ker((fi+1)∗)/Im((fi)∗), i ≥ 1.

Si Nα−→ N ′ es un A-homomorfismo, entonces construimos para N y para N ′ resolu-

ciones inyectivas

(L) : 0 −−−−−−→ Nf0−−−−−−→ L0

f1−−−−−−→ · · · −−−−−−→ Li−1fi−−−−−−→ Li

fi+1−−−−−−→ Li+1 −−−−−−→ · · ·

α

y(K) : 0 −−−−−−→ N′ g0−−−−−−→ K0

g1−−−−−−→ · · · −−−−−−→ Ki−1gi−−−−−−→ Ki

gi+1−−−−−−→ Ki+1 −−−−−−→ · · ·

Por la inyectividad de K0 resulta el diagrama conmutativo

K0

N L0

6g0α

-f0

pppppppI α0

De igual manera, como K1 es inyectivo se tiene el diagrama conmutativo

K1

L0/ ker(f1) L1

6

α0

-f1

pppppppppp

pppIα1

donde f1(x0) := f1(x0); α0(x0) := g1α0(x0), con x0 ∈ L0. Notemos que α0, f1

estan bien definidas y son A-homomorfismos, con f1 inyectivo. Obserevemos queα1f1 = g1α0. Podemos repetir esta construccion y obtenemos el siguiente diagramaconmutativo

(L) : 0 −−−−−−→ Nf0−−−−−−→ L0

f1−−−−−−→ · · · −−−−−−→ Li−1fi−−−−−−→ Li

fi+1−−−−−−→ Li+1 −−−−−−→ · · ·

α

y α0y αi−1

y αi

y αi+1y

(K) : 0 −−−−−−→ N′ g0−−−−−−→ K0g1−−−−−−→ · · · −−−−−−→ Ki−1

gi−−−−−−→ Ki

gi+1−−−−−−→ Ki+1 −−−−−−→ · · ·

2.2. PROPIEDADES BASICAS 77

aplicamos HomA(M, ) y obtenemos el diagrama conmutativo de complejos

(L) : 0 −−−−−−→ HomA(M, N)(f0)∗−−−−−−→ HomA(M, L0)

(f1)∗−−−−−−→ HomA(M, L1)(f2)∗−−−−−−→ HomA(M, L2) −−−−−−→ · · ·

α∗y (α0)∗

y (α1)∗y (α2)∗

y(K) : 0 −−−−−−→ HomA(M, N′)

(g0)∗−−−−−−→ HomA(M, K0)(g1)∗−−−−−−→ HomA(M, K1)

(g2)∗−−−−−−→ HomA(M, K2) −−−−−−→ · · ·

Se induce entonces la aplicacion de grupos abelianos

extiA(M,N)(L) = ker(f ∗i+1)/Im(f ∗i )(αi)∗−−−→ ker((gi+1)∗)/Im((gi)∗) = extiA(M,N ′)(K)

definda por

(αi)∗(h) := (αi)∗(h) = αih, i ≥ 1.

El resto de la construccion de los grupos extiA(M,N) se realiza en forma analoga acomo vimos en la demostracion del teorema 2.1.2.

2.2. Propiedades basicas

Pasamos ahora a demostrar uno de los teoremas centrales y de frecuente aplicacionde la tecnica Ext.

Teorema 2.2.1 (Sucesion exacta larga). La sucesion exacta de A-modulos

0 → Kι−→ N

π−→M → 0 (2.2.1)

induce las siguientes sucesiones exactas de grupos abelianos, donde L es un A-modulofijo cualquiera:

(i)

0 →Ext0A(M,L)π∗−→ Ext0A(N,L)

ι∗−→ Ext0A(K,L)θ1−→

Ext1A(M,L)π1−→ Ext1A(N,L)

ι1−→ Ext1A(K,L)θ2−→

Ext2A(M,L)π2−→ Ext2A(N,L)

ι2−→ Ext2A(K,L)θ3−→ · · ·

ExtiA(M,L)πi−→ ExtiA(N,L)

ιi−→ ExtiA(K,L)θi+1−−→

Exti+1A (M,L)

πi+1−−→ Exti+1A (N,L)

ιi+1−−→ Exti+1A (K,L) → · · ·

(ii)

0 →Ext0A(L,K)ι∗−→ Ext0A(L,N)

π∗−→ Ext0A(L,M)θ1−→

Ext1A(L,K)ι1−→ Ext1A(L,N)

π1−→ Ext1A(L,M)θ2−→

Ext2A(L,K)ι2−→ Ext2A(L,N)

π2−→ Ext2A(L,M)θ3−→ · · ·

ExtiA(L,K)ιi−→ ExtiA(L,N)

πi−→ ExtiA(L,M)θi+1−−→

Exti+1A (L,K)

ιi+1−−→ Exti+1A (L,N)

πi+1−−→ Exti+1A (L,M) → · · ·

78 CAPITULO 2. EXT

Demostracion. Solo presentaremos la prueba de (ii), la demostracion de (i) quedacomo ejercicio para el lector.

Puesto que HomA(L, ) es exacto a izquierda, debemos demostrar que Im(π∗) =ker(θ1), Im(θ1) = ker(ι1) y que para cada i ≥ 1, Im(ιi) = ker(πi), Im(πi) =ker(θi+1), Im(θi+1) = ker(ιi+1)

Paso 0. Para realizar todas las pruebas anteriores, consideremos una resolucionproyectiva de L:

· · · → Pi+1fi+1−−→ Pi

fi−→ Pi−1 → · · · → P1f1−→ P0

f0−→ L→ 0, (2.2.2)

aplicamos HomA( , K), HomA( , N) y HomA( ,M) y obtenemos el siguientediagrama conmutativo de complejos:

0 −−−−−−→ HomA(L, K)fK0−−−−−−→ HomA(P0, K)

fK1−−−−−−→ HomA(P1, K)

fK2−−−−−−→ HomA(P2, K) −−−−−−→ · · ·

ι∗y ι0

y ι1y ι2

y0 −−−−−−→ HomA(L, N)

fN0−−−−−−→ HomA(P0, N)

fN1−−−−−−→ HomA(P1, N)

fN2−−−−−−→ HomA(P2, N) −−−−−−→ · · ·

π∗y π0

y π1y π2

y0 −−−−−−→ HomA(L, M)

fM0−−−−−−→ HomA(P0, M)

fM1−−−−−−→ HomA(P1, M)

fM2−−−−−−→ HomA(P2, M) −−−−−−→ · · ·

Veamos la construccion de θ1:

HomA(L,M) = Ext0A(M,N)θ1−→ Ext1A(L,K) = ker(fK2 )/Im(fK1 ) (2.2.3)

h 7→ θ1(h) := h′ (2.2.4)

donde h′ se define por el siguiente diagrama tal y como vimos en la demostraciondel teorema 2.1.2 al usar que P0 y P1 son proyectivos:

P2f2−−−→ P1

f1−−−→ P0f0−−−→ L −−−→ 0yh′

yh′′

yh

0 −−−→ Kι−−−→ N

π−−−→ M −−−→ 0

(2.2.5)

Notese que efectivamente h′ ∈ ker(fK2 ). Para concluir este paso inicial veamos queθ1 esta bien definida, es decir, no depende de los homomorfismos h′′, h′ que hacen eldiagrama anterior conmmutativo: sean h′′, g′′ : P0 → N tales que πh′′ = hf0 = πg′′,y de la misma manera, sean h′, g′ : P1 → K tales que ιh′ = h′′f1, ιg

′ = g′′f1.Entonces, ι(h′ − g′) = (h′′ − g′′)f1, la idea es demostrar que h′ = g′, es decir, queh′ − g′ ∈ Im(fK1 ). Debemos entonces construir t ∈ HomA(P0, K) tal que h′ − g′ =fK1 (t) = tf1. Como πh′′ = πg′′, entonces Im(h′′ − g′′) ⊆ ker(π) = Im(ι), se tiene


entonces el siguiente diagrama conmutativo

P0

K Im(ι)

ppppppppppt

?

h′′−g′′

-ι

Resulta ιtf1 = (h′′ − g′′)f1 = ι(h′ − g′), luego tf1 = h′ − g′. Es claro que θ1 es unhomomorfismo de grupos abelianos (de bimodulos, en caso de ser esta la situaciongeneral que se este considerando).

Paso 1. Im(π∗) = ker(θ1): tenemos

HomA(L,N)π∗−→ HomA(L,M)

θ1−→ Ext1A(L,K) = ker(fK2 )/Im(fK1 )

sea h ∈ Im(π∗), entonces existe p ∈ HomA(L,N) tal que h = πp, definimos h′′ :=pf0, luego hf0 = πpf0 = πh′′; ademas, h′′f1 = pf0f1 = 0 = ι0. Se tiene entonces queel diagrama (2.2.5) es conmutativo con h′ := 0, de donde θ1(h) = h′ = 0 = 0, esdecir, Im(π∗) ⊆ ker(θ1).

Sea ahora h ∈ ker(θ1), entonces h ∈ HomA(L,M) y θ1(h) = h′ = 0, de donde h′ ∈Im(fK1 ) ⊆ ker(fK2 ) ⊆ HomA(P1, K), existe t ∈ HomA(P0, K) tal que h′ = fK1 (y), esdecir, h′ = tf1; ademas, se tienen las condiciones del diagrama (2.2.5). Necesitamosdefinir un homomorfismo p : L → N tal que πp = h, con lo cual tendrıamosh = π∗(p) ∈ Im(π∗); sea x ∈ L, existe u ∈ P0 tal que f0(u) = x, definimosp(x) := (h′′ − ιt)(u). Se prueba facilmente que p esta bien definida; finalmente,πp(x) := π(h′′ − ιt)(u) = πh′′(u)− πιt(u) = hf0(u) = h(x).

Paso 2. Im(θ1) = ker(ι1): de manera mas general definamos primero los homo-morfismos ιi:

ker(fKi+1)/Im(fKi ) = ExtiA(L,K)ιi−→ ExtiA(L,N) = ker(fNi+1)/Im(fNi )

h′ 7→ ιi(h′) := ιi(h′) = ιh′(2.2.6)

con h′ ∈ ker(fKi+1) ⊆ HomA(Pi, K). Notemos que fNi+1(ιh′) = ιh′fi+1 = ιfKi+1(h

′) = 0,es decir, ιh′ ∈ ker(fNi+1). Se prueba facilmente que ιi esta bien definida.

Sean h, h′ definidas por medio del diagrama (2.2.5) tales que h′ = θ1(h), entoncesι1(h′) = ιh′ pero ιh′ = h′′f1, es decir, ιh′ ∈ Im(fN1 ), luego, ι1(h′) = 0. Hemosprobado que Im(θ1) ⊆ ker(ι1).

Veamos ahora que ker(ι1) ⊆ Im(θ1): sea h′ ∈ ker(ι1), con h′ ∈ ker(fK2 ), en-tonces ι1(h′) = 0 y fK2 (h′) = 0, luego ιh′ ∈ Im(fN1 ) y h′f2 = 0, existe puesh′′ ∈ HomA(P0, N) tal que ιh′ = h′′f1. Estamos pues en la situacion del diagra-ma (2.2.5), pero falta precisamente definir h : L → M ; sea x ∈ L, entonces existe

80 CAPITULO 2. EXT

u ∈ P0 tal que f0(u) = x, definimos h(x) := πh′′(u); es facil probar que h es un ho-momorfismo bien definido, y ademas por el diagrama (2.2.5) se tiene que θ1(h) = h′,es decir, h′ ∈ Im(θ1).

Paso 3. Para cada i ≥ 1, Im(ιi) = ker(πi): los homomorfismos πi se definen enforma analoga a como hicimos en (2.2.6):

ker(fNi+1)/Im(fNi ) = ExtiA(L,N)πi−→ ExtiA(L,M) = ker(fMi+1)/Im(fMi )

g 7→ πi(g) := πi(g) = πg(2.2.7)

con g ∈ ker(fNi+1) ⊆ HomA(Pi, N). Notemos que fMi+1(πg) = πgfi+1 = 0, es decir,πg ∈ ker(fMi+1). Se prueba facilmente que πi esta bien definida. Veamos que Im(ιi) ⊆ker(πi): πi(ιi(h′)) = πιh′ = 0.

ker(πi) ⊆ Im(ιi): sea g ∈ ker(πi), con g ∈ ker(fNi+1) ⊆ HomA(Pi,M); resultaπi(g) = 0 = πg y tambien fNi+1(g) = gfi+1 = 0. Tenemos πg ∈ Im(fMi ), luego existeh ∈ HomA(Pi−1,M) tal que πg = hfi. Buscamos un homomorfismo h′ ∈ ker(fKi+1) ⊆HomA(Pi, K) tal que ιi(h′) = g, es decir, tal que ιh′− g ∈ Im(fNi ) ⊆ HomA(Pi, N).Como Pi−1 es proyectivo existe t ∈ HomA(Pi−1, N) tal que πt = h:

Pi−1

N M

ppppppppt

?

h

-π

Notemos que Im(g−tfi) ⊆ Im(ι): sea (g−tfi)(x) ∈ Im(g−tfi), luego π(g−tfi)(x) =πg(x)− πtfi(x) = hfi(x)− hfi(x) = 0, es decir, π(g − tfi)(x) ∈ ker(π) = Im(ι). Setiene entonces el diagrama conmutativo ya que Pi es proyectivo:

Pi

K N

ppppppph′

?

g−tfi

-ι

Resulta pues que ιh′ − g = −tfi = fNi (−t) ∈ Im(fNi ).

Paso 4. Para cada i ≥ 1, Im(πi) = ker(θi+1): igual que en los pasos precedentes,lo primero es definir el homomofismo θi+1:

ker(fMi+1)/Im(fMi ) = ExtiA(L,M)θi+1−−→ ExtiA(L,K) = ker(fKi+2)/Im(fKi+1)

h 7→ θi+1(h) := h′,(2.2.8)


donde h′ se define de la siguiente manera: h ∈ ker(fMi+1) ⊆ HomA(Pi,M), debemosdefinir un homomorfismo h′ ∈ ker(fKi+2) ⊆ HomA(Pi+1, K); como Pi es proyectivoexiste h′′ que hace el siguiente diagrama conmutativo

Pi

N M

pppppppph′′

?

h

-π

tenemos ademas que hfi+1 = 0 y notemos que Im(h′′fi+1) ⊆ ker(π) = Im(ι); comoPi+1 es proyectivo resulta el siguiente diagrama conmutativo

Pi+1

K Im(ι)

pppppppppph′

?

h′′fi+1

-ι

Notemos que h′ ∈ ker(fKi+2): fKi+2(h

′) = h′fi+2, sea z ∈ Pi+2, entonces ιh′fi+2(z) =h′′fi+1fi+2(z) = 0, pero ι es inyectiva, luego h′fi+2(z) = 0, es decir, h′fi+2 = 0.Ası pues, h′ esta definida con las siguientes condiciones: ιh′ = h′′fi+1 y πh′′ = h.

Para demostrar que θi+1 esta bien definida podemos repetir exactamente la mis-ma prueba que hicimos en el paso 0, a continuacion del diagrama (2.2.5), cuan-do demostramos que θ1 esta bien definida, basta cambiar 1 por i + 1, es decir,tomando i = 0. Veamos que Im(πi) ⊆ ker(θi+1): sea g como en (2.2.7), tenemosθi+1(πi(g)) = θi+1(πg); puesto que πg = πg y ι0 = gfi+1, entonces h′′ := g yh′ := 0 cumplen las dos condiciones para definir θi+1, luego θi+1(πg) = 0, es decir,θi+1πi = 0.

ker(θi+1) ⊆ Im(πi): sea h ∈ ker(θi+1), con h ∈ ker(fMi+1) ⊆ HomA(Pi,M),

entonces θi+1(h) = 0 = h′, donde h′ ∈ ker(fKi+2) ⊆ HomA(Pi+1, K), por lo tanto,h ∈ Im(fKi+1) y existe t ∈ HomA(Pi, K) tal que h′ = fKi+1(t); resulta h′ = tfi+1,ademas, por la defincicion de θi+1, existe h′′ ∈ HomA(Pi, N) tal que πh′′ = h yιh′ = h′′fi+1. Debemos construir un homomorfismo g ∈ ker(fKi+1) ⊆ HomA(Pi, N)

tal que πi(g) = h, luego g debe cumplir las condiciones πg = h y gfi+1 = 0, esdecir, las condiciones πg − h = fMi (u) = ufi con algun u ∈ HomA(Pi−1,M) ygfi+1 = 0. Definimos g := h′′ − ιt y se tiene que πg − h = π(h′′ − ιt) − h =πh′′ − πιt − h = h − 0 − h = 0 = 0h, luego podemos tomar u := 0; ademas,gfi+1 = (h′′ − ιt)fi+1 = h′′fi+1 − ιtfi+1 = ιh′ − ιh′ = 0.

Paso 5. Para cada i ≥ 1, Im(θi+1) = ker(ιi+1): sean h, h′ y h′′ con las condi-ciones del paso 4; entonces, ιi+1(θi+1(h)) = ιh′, pero notemos que ιh′ = fNi+1(h

′′) ∈Im(fNi+1), es decir, ιh′ = 0. Esto demuestra que Im(θi+1) ⊆ ker(ιi+1).

82 CAPITULO 2. EXT

Para concluir la demostracion del teorema veamos que ker(ιi+1) ⊆ Im(θi+1):sea h′ ∈ ker(ιi+1), con h′ ∈ ker(fKi+2) ⊆ HomA(Pi+1, K), entonces ιi+1(h′) = 0, esdecir, ιh′ ∈ Im(fNi+1) y h′fi+2 = 0, luego ιh′ = h′′fi+1, con h′′ ∈ HomA(Pi, N).Necesitamos un homomorfismo h ∈ ker(fMi+1) ⊆ HomA(Pi,M) tal que πh′′ = h; con

esto se cumplirıan las condiciones del paso 4 y tendrıamos que θi+1(h) = h′, es decir,h′ ∈ Im(θi+1). Definimos h := πh′′, se cumple pues en forma trivial la condicionrequerida y ademas fMi+1(πh

′′) = πh′′fi+1 = πιh′ = 0.

Teorema 2.2.2. Sea P un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) P es proyectivo.

(ii) Para cada modulo N y cada i ≥ 1 se tiene que ExtiA(P,N) = 0.

(iii) Para cada modulo N , Ext1A(P,N) = 0.

Demostracion. (i)⇒(ii): si P es proyectivo, entonces se tiene la resolucion proyectiva

· · · → 00−→ P

iP−→ P → 0,

con lo cual para cada A-modulo N resulta el complejo

0 → HomA(P,N)i∗p−→ HomA(P,N)

0∗−→ HomA(0, N) → · · · ,

y de esta forma ExtiA(P,N) = 0, para cada i ≥ 1.(ii)⇒(iii): evidente.(iii)⇒(i): consideremos una sucesion exacta

0 → Kι−→ L

π−→M → 0,

aplicando el teorema 2.2.1 (ii), se tiene la siguiente sucesion exacta

0 → HomA(P,K)ι∗−→ HomA(P,L)

π∗−→ HomA(P,M)θ1−→ Ext1A(P,K) → · · · ,

por lo tanto, la siguiente sucesion es exacta

0 → HomA(P,K)ι∗−→ HomA(P,L)

π∗−→ HomA(P,M) → 0

Esto quiere decir que P es proyectivo.

Teorema 2.2.3. Sea N un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) N es inyectivo.

(ii) Para cada modulo M y cada i ≥ 1 se tiene que ExtiA(M,N) = 0.

(iii) Para cada modulo M , Ext1A(M,N) = 0.


(iv) Para cada modulo cıclico M , Ext1A(M,N) = 0.

Demostracion. (i)⇒(ii): para la prueba podrıamos usar resoluciones inyectivas deN y proceder como en la demostracion del teorema anterior. Sin embargo, hare-mos la prueba mediante resoluciones proyectivas de M . Existen P proyectivo y unepimorfismo π : P → M ; sea K := ker(π), entonces tenemos la sucesion exacta0 → K

ι−→ Pπ−→ M → 0. Aplicamos el teorema 2.2.1 (i) y obtenemos la sucesion

exacta

0 → HomA(M,N)π∗−→ HomA(P,N)

ι∗−→ HomA(K,N)θ1−→ Ext1A(M,N)

π1−→Ext1A(P,N)

ι1−→ Ext1A(K,N)θ2−→ · · ·

pero como N es inyectivo, entonces ι∗ es sobreyectivo y como P es proyectivo en-tonces Ext1A(P,N) = 0. Se tiene entonces la siguiente porcion exacta

0 → HomA(M,N)π∗−→ HomA(P,N)

ι∗−→ HomA(K,N)θ1−→ Ext1A(M,N) → 0,

luego Ext1A(M,N) ∼= HomA(K,N)/ ker(θ1) = HomA(K,N)/HomA(K,N) = 0. Laprueba se completa mediante induccion sobre i: supongamos que ExtjA(M,N) = 0para cada 1 ≤ j ≤ i y cada A-modulo M, entonces

0 = ExtiA(K,N)θi+1=0−−−−→ Exti+1

A (M,N)πi+1−−→ Exti+1

A (P,N) = 0

es decir, Exti+1A (M,N) = 0.

(ii)⇒(iii): evidente.(iii)⇒(iv): evidente.(iv)⇒(i): probaremos que N es inyectivo mediante el teorema de Baer (vease el

teorema 1.5.4). Sea I un ideal derecho de A y sea g : I → N un A-homomorfismo,

resulta entonces la sucesion exacta 0 → Ig−→ A

j−→ A/I, con j el homomorfismocanonico. Se tiene entonces la sucesion exacta larga

0 → HomA(A/I,N)∗−→ HomA(A,N)

ι∗−→ HomA(I,N)θ1−→ Ext1A(A/I,N)

π1−→Ext1A(A,N) → · · · ,

pero como A/I es cıclico, entonces entonces Ext1A(A/I,N) = 0 y se obtiene laporcion exacta

0 → HomA(A/I,N)∗−→ HomA(A,N)

ι∗−→ HomA(I,N) → 0,

luego ι∗ es sobreyectivo y por lo tanto existe g′ : A→ N tal que ι∗(g′) = g, es decir,g se puede extender a todo A.

Teorema 2.2.4. Para cada i ≥ 0 se tiene que

ExtiA(⊕

Mr,∏

Ns) ∼=∏

ExtiA(Mr, Ns).

84 CAPITULO 2. EXT

Demostracion. Dividimos la demostracion en dos pasos.Paso 1. ExtiA(M,

∏sNs) ∼=

∏sExt

iA(M,Ns), para cada i ≥ 0. Para i = 0 esta

propiedad corresponde al HomA (vease [13]). Consideremos entonces que i = 1.Cada modulo Ns se puede sumergir en un modulo inyectivo Es; sea Ls := Es/Ns,resulta entonces las sucesiones exactas

0 → Nsιs−→ Es

πs−→ Ls → 0

0 →∏s

Ns

∏s ιs−−−→

∏s

Es

∏s πs−−−→

∏s

Ls → 0,

puesto que Es y∏

sEs son proyectivos resultan las sucesiones exactas

0 → HomA(M, Ns)(ιs)∗−−−−→ HomA(M, Es)

(πs)∗−−−−→ HomA(M, Ls)θ(s)1−−−→ Ext

1A(M, Ns) → 0

0 → HomA(M,∏s

Ns)(∏

s ιs)∗−−−−−−−→ HomA(M,

∏s

Es)(∏

s πs)∗−−−−−−−→ HomA(M,

∏s

Ls)θ−→ Ext

1A(M,

∏s

Ns) → 0

0 →∏s

HomA(M, Ns)

∏(ιs)∗−−−−−→

∏s

HomA(M, Es)

∏(πs)∗−−−−−−→

∏s

HomA(M, Ls)

∏θ(s)1−−−−−→

∏s

Ext1A(M, Ns) → 0,

se tiene entonces el diagrama conmutativo con filas exactas, f, g los isomorfismosdel Hom y h definido por la sobreyectividad de θ

HomA(M,∏

sEs)(∏πs)∗−−−−→ HomA(M,

∏s Ls)

θ−−−→ Ext1A(M,∏

sNs) −−−→ 0yf

yg

yh∏sHomA(M,Es)

∏(πs)∗−−−−→

∏sHomA(M,Ls)

∏θ(s)1−−−→

∏sExt

1A(M,Ns) −−−→ 0

El lema de los cinco garantiza que h es un isomorfismo. Mediante induccion sobre iy teniendo en cuenta que Es y

∏Es son inyectivos, resulta el diagrama conmutativo

0 −−−→∏

sExti−1A (M,Ls)

α−−−→∏

sExtiA(M,Ns) −−−→ 0yβ

yγ

0 −−−→ Exti−1A (M,

∏Ls)

δ−−−→ ExtiA(M,∏Ns) −−−→ 0,

con γ := δβα−1.Paso 2. ExtiA(

⊕rMr, N) ∼=

∏r Ext

iA(Mr, N), para cada i ≥ 0. Para i = 0

esta es la propiedad correspondiente de HomA. Sea i = 1; para cada Mr existe Prproyectivo y una sucecion exacta en la forma

0 → Kr → Pr →Mr → 0

y a partir de esta resultan las siguientes suceciones exactas:

0 →⊕

rKr →⊕

r Pr →⊕

rMr → 0,

2.3. EJEMPLOS 85

0 → HomA(Mr, N) → HomA(Pr, N) → HomA(Kr, N) → Ext1A(Mr, N) → 0

0 → HomA(⊕

r

Mr, N) → HomA(⊕

r

Pr, N) → HomA(⊕

r

Kr, N) → Ext1A(

⊕r

Mr, N) → 0

0 →∏r

HomA(Mr, N) →∏r

HomA(Pr, N) →∏r

HomA(Kr, N) →∏r

Ext1A(Mr, N) → 0,

como en el paso anterior, se tiene entonces el diagrama conmutativo con filas exactas,f ′, g′ los isomorfismos del Hom y h′ definido por sobreyectividad:

HomA(⊕

r Pr, N) −−−→ HomA(⊕

rKr, N) −−−→ Ext1A(⊕

rMr, N) −−−→ 0yf ′

yg′

yh′∏rHomA(Pr, N) −−−→

∏rHomA(Kr, N) −−−→

∏r Ext

1A(Mr, N) −−−→ 0

El lema de los cinco garantiza que h′ es un isomorfismo. El resto de la demostracionse hace como en el paso anterior mediante induccion.

Concluimos esta seccion de propiedades basicas con el siguiente teorema rela-cionado con la proposicion 1.6.11.

Teorema 2.2.5. Sean R un anillo conmutativo noetheriano y S un sistema multi-plicativo de R. Entonces, para cada i ≥ 0 y cualesquiera R-modulos M,N , con Mf.g., se tiene el RS−1-isomorfismo

ExtiR(M,N)S−1 ∼= ExtiRS−1(MS−1, NS−1).

Demostracion. Vease [25], teorema 9.50.

2.3. Ejemplos

Presentaremos a continuacion algunos casos particulares encaminados a calcularExtiZ(M,N), donde M es un grupo abeliano f.g. y N es un grupo abeliano arbitrario.

Ejemplo 2.3.1. Si F es un A-modulo libre, entonces ExtiA(F,N) = 0 para cadai ≥ 1 y cada A-modulo N . En particular,

ExtiA(A,N) = 0, para cada i ≥ 1 y cada A-modulo N .

Ejemplo 2.3.2. Sea A un anillo hereditario a derecha, entonces ExtiA(M,N) = 0para cada i ≥ 2 y cualesquiera modulos M,N . En efecto, para M existe un A-

modulo proyectivo P y se tiene la resolucion proyectiva 0 → ker(π)f1−→ P

f0−→M → 0 (vease el teorema 1.7.15); aplicamos HomA( , N) y obtenemos 0 →HomA(M,N)

f∗0−→ HomA(P,N)f∗1−→ HomA(ker(π), N) → 0 → · · · , luego f ∗i = 0

para i ≥ 2 y entonces ExtiA(M,N) = 0 para i ≥ 2. Notemos que Ext1A(M,N) =HomA(ker(π), N)/Im(f ∗1 ), pero no podemos conlucir nada especial en el caso i = 1.

En particular,

86 CAPITULO 2. EXT

ExtiZ(M,N) = 0, para i ≥ 2 y cualesquiera grupos abelianos M,N .

por ejemplo,

ExtiZ(Zm,Zn) = 0 para cada i ≥ 2 y cualesquiera m,n ≥ 0,

ExtiZ(R,R) = ExtiZ(R,C) = ExtiZ(C,C) = 0, para i ≥ 2.

De otra parte, puesto que Q es Z-inyectivo (corolario 1.5.5), entonces ExtiZ(M,Q) =0 para i ≥ 1 y cada grupo abeliano M , y de manera particular,

ExtiZ(Q,Q) = ExtiZ(R,Q) = ExtiZ(C,Q) = 0, para i ≥ 1.

Ejemplo 2.3.3. El ejemplo anterior deja planteado el siguiente problema: calcularExt1Z(M,N), conM,N grupos abelianos arbitrarios. Veamos entonces una propiedadque ayudara a resolver parcialmente el problema. Para A un anillo arbitrario, N unA-modulo cualquiera e i ≥ 1, calculemos ExtiA(A/{x〉, N).

Si x = 0, entonces ExtiA(A/{x〉, N) = ExtiA(A,N) = 0; para x = 1 se tiene queExtiA(A/{x〉, N) = Ext1A(0, N) = 0. Sea x 6= 0, 1 tal que x no es divisor de cero;

consideremos la resolucion libre 0 → Af1−→ A

f0−→ A/{x〉 → 0, f0 es el homomor-

fismo canonico y f1(a) := x · a, se obtiene el complejo 0 → HomA(A/{x〉, N)f∗0−→

HomA(A,N)f∗1−→ HomA(A,N) → 0 → · · · , con lo cual ExtiA(A/{x〉, N) = 0 para

i ≥ 2. Veamos el caso i = 1:

Ext1A(A/{x〉, N) = HomA(A,N)/Im(f ∗1 ) ∼= N/(N · x)

ya que HomA(A,N) ∼= N e Im(f ∗1 ) ∼= N · x. Veamos este ultimo isomorfismo:sea g ∈ Im(f ∗1 ), entonces existe h ∈ HomA(A,N) tal que g = hf1, definimosα : Im(f ∗1 ) → N por α(g) := hf1(1). La funcion α esta bien definida ya que sig = hf1 = h′f1, entonces hf1(1) = h′f1(1); α es claramente aditiva; sea a ∈ A,entonces g ·a = (hf1) ·a, luego [(hf1) ·a](1) = (hf1(1)) ·a, es decir, α(g ·a) = α(g) ·a.Ademas, α es inyectiva ya que si α(g) := hf1(1) = 0, entonces g(a) = (hf1)(a) =(hf1)(1 · a) = (hf1)(1) · a = 0 para cada a ∈ A, es decir, g = 0. Por ultimo, notemosque Im(α) = N · x: en efecto, α(g) := hf1(1) = h(x) = h(1 · x) = h(1) · x ∈ N · x;recıprocamente, sea n · x ∈ N · x, entonces h ∈ HomA(A,N) definida por h(1) := nes tal que hf1(1) = n · x, luego g := hf1 es tal que α(g) = n · x.

Del resultado probado obtenemos en particular que para cada grupo abeliano N ,

Ext1Z(Zm, N) ∼= N/(N ·m), m ≥ 2.

Ejemplo 2.3.4. Con los resultados de los ejemplos anteriores podemos ya calcularExt1Z(M,N), con M un grupo abeliano f.g. y N un grupo abeliano arbitrario: enefecto, M es de la forma M = Zr ⊕ Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmt , con n ≥ 0 (el rango de M)y mj ≥ 2, 1 ≤ j ≤ t (sus factores invariantes, vease [13]). Con el teorema 2.2.4podemos concluir que

2.3. EJEMPLOS 87

Ext1Z(Zr ⊕ Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmt , N) ∼= N/(N ·m1)⊕N/(N ·mt), mj ≥ 2, 1 ≤ j ≤ t.

En particular, puesto que Zn/Zn ·m ∼= Zd, con d := m.c.d.(m,n), resulta

Ext1Z(Zm,Zn) =

{0, m = 0, 1;n ≥ 0

Zd, m ≥ 2;n ≥ 0; d := m.c.d.(m,n).

Este ejemplo tambien permite ilustrar que ExtiA(M,N) � ExtiA(N,M). Por ejem-plo, Ext1Z(Z,Zn) = 0 pero Ext1Z(Zn,Z) ∼= Zn.

Otros casos particulares interesantes son los siguientes.

Ejemplo 2.3.5. Sea A un anillo hereditario a derecha y sea P un A-modulo. P esproyectivo si, y solo si, Ext1A(P, F ) = 0 para cada A-modulo libre F . En efecto, si Pes proyectivo, entonces por el teorema 2.2.2, Ext1A(P, F ) = 0 para cada A-modulolibre F . Para demostrar la afirmacion recıproca, consideremos el diagrama

P

M N?

g

-f

con f sobreyectivo; sea F libre y π : F → M sobreyectivo; sea K := ker(fπ). Se

tiene entonces la sucesion exacta 0 → K → Ffπ−→ N → 0, y de aquı, la sucesion

exacta larga

0 → HomA(P,K) → HomA(P, F )(fπ)∗−−−→ HomA(P,N) → Ext1A(P,K) → · · ·

como F es proyectivo y A es hereditario a derecha, entonces K es proyectivo (teore-ma 1.7.15) y existen K ′ y F1 libre tales que K ⊕K ′ = F1, luego 0 = Ext1A(P, F1) =Ext1A(P,K)⊕Ext1A(P,K ′), de donde Ext1A(P,K) = 0. Se obtiene entonces la suce-

sion exacta 0 → HomA(P,K) → HomA(P, F )(fπ)∗−−−→ HomA(P,N) → 0; en conse-

cuencia, existe h′ ∈ HomA(P, F ) tal que fπh′ = g, es decir, el siguiente diagramaes conmutativo, con h := πh′

P

M N

��

��

h

?

g

-f

Esto demuestra que P es proyectivo.

88 CAPITULO 2. EXT

Ejemplo 2.3.6. Sea R un DD y sea Q(R) su cuerpo de fracciones. Sea K :=Q(R)/R. Entonces, un R-modulo N es inyectivo si, y solo si, Ext1R(K,N) = 0. Enefecto, si N es inyectivo, entonces por el teorema 2.2.3, Ext1R(K,N) = 0. Recıpro-camente, consideremos la sucesion exacta 0 → R→ Q(R) → K → 0, entonces de lasucecion exacta larga resulta la sucesion exacta

0 → HomR(K,N) → HomR(Q(R), N) → HomR(R,N) → Ext1R(K,N) = 0,

por lo tanto, N ∼= HomR(Q(R), N)/HomR(K,N) es una imagen homomorfa deHomR(Q(R), N), el cual es R-divisible por ser un Q(R)-espacio vectorial (veasela proposicion 1.5.7), luego N es divisible. El corolario 1.7.19 garantiza que N esinyectivo.

2.4. Ejercicios

1. Realizar la demostracion de la parte (i) del teorema 2.2.1.

2. Demuestre la siguiente generalizacion del teorema 2.2.5. Sean R un anillo con-mutativo noetheriano y B una R-algebra plana. Entonces, para cada i ≥ 0 ycualesquiera R-modulos M y N , con M f.g., se tiene el B-isomorfismo

ExtiR(M,N)⊗R B ∼= ExtiB(M ⊗R B,N ⊗R B).

Capıtulo 3

Tor

Estudiamos ahora el funtor Tor y algunas propiedades basicas similares a las estu-diadas en el capıtulo anterior para el Ext. Recordemos que A representa un anillono necesariamente conmutativo.

3.1. Definicion y propiedades basicas

Sea N un A-modulo a izquierda y consideremos una resolucion proyectiva de N enla siguiente forma

· · · → Pi+1fi+1−−→ Pi

fi−→ Pi−1 → · · · → P1f1−→ P0

f0−→ N → 0; (3.1.1)

sea ahora M un A-modulo derecho, al tensorizar por M se obtiene el complejo

· · · →M ⊗A Pi+11M⊗fi+1−−−−−→M ⊗A Pi → · · · →M ⊗A P1

1M⊗f1−−−−→M ⊗A P0 → 0.

Esta sucesion induce la siguiente definicion.

Definicion 3.1.1. Sea N un A-modulo a izquierda y sea M un A-modulo a derecha.Para cada i ≥ 1 se define

TorAi (M,N) := ker(iM ⊗ fi)/Im(iM ⊗ fi+1), (3.1.2)

y

TorA0 (M,N) := M ⊗N .

La definicion anterior parece depender de la resolucion proyectiva elegida. Sinembargo, se tiene la siguiente propiedad.

Teorema 3.1.2. Para cada i ≥ 0, el grupo TorAi (M,N) es independiente de laresolucion proyectiva (3.1.1).

89

90 CAPITULO 3. TOR

Demostracion. La demostracion es similar a la realizada para el funtor Ext (teorema2.1.2) y la dejamos como ejercicio al lector.

Segun el teorema anterior para definir y calcular los grupos TorAi (M,N) pode-mos utilizar resoluciones libres en lugar de resoluciones proyectivas. Es decir, conuna resolucion libre para N basta para calcular TorAi (M,N) para cada i ≥ 0. Pre-sentamos la interpretacion funtorial del Tor.

Corolario 3.1.3. Sea M un A-modulo derecho. Entonces, para cada i ≥ 0

AModTorA

i (M, )−−−−−−−→ Ab

N 7−→ TorAi (M,N)

Nα−→ N ′ 7−→ TorAi (M,N)

iM⊗αi−−−−→ TorAi (M,N ′)

es un functor covariante, donde AMod denota la categorıa de los A-modulos aizquierda y Ab denota la categorıa de los grupos abelianos.

Demostracion. La prueba completa la dejamos al lector; veamos solamente como sedefine el homomorfismo iM ⊗ αi. Construimos para N y N ′ resoluciones proyectivas,calculamos los homomorfismos αi como en la demostracion del teorema 2.1.2 luegotensorizamos por M y obtenemos el diagrama conmutativo de complejos

(P ) : · · · −−−−−−→ M ⊗ PiiM⊗fi−−−−−−→ · · · −−−−−−→ M ⊗ P1

iM⊗f1−−−−−−→ M ⊗ P0iM⊗f0−−−−−−→ M ⊗N −−−−−−→ 0

iM⊗αi

y iM⊗α1

y iM⊗α0

y iM⊗αy

(Q) : · · · −−−−−−→ M ⊗QiiM⊗gi−−−−−−→ · · · −−−−−−→ M ⊗Q1

iM⊗g1−−−−−−→ M ⊗Q0iM⊗g0−−−−−−→ M ⊗N′ −−−−−−→ 0

Se define entonces

TorAi (M,N) = ker(iM ⊗ fi)/Im(iM ⊗ fi+1)

iM⊗αi−−−−→ TorAi (M,N ′) = ker(iM ⊗ gi)/Im(iM ⊗ gi+1)

z 7→ (iM ⊗ αi)(z)

con z ∈ ker(iM ⊗ fi). Es claro que (iM ⊗ αi)(z) ∈ ker(iM ⊗ gi) y se puede probarfacilmente que iM ⊗ αi esta bien definido.

Observacion 3.1.4. (i) Si M es un B − A bimodulo y N es un A − C bimodulo,entonces TorAi (M,N) es un B − C-bimodulo, para cada i ≥ 0. En particular, siR es un anillo conmutativo y M,N son R-modulos, entonces TorAi (M,N) es unR-modulo, para cada i ≥ 0.

(ii) Si Aop es el opuesto del anillo A (vease [13]), entonces para cada i ≥0, TorAi (M,N) ∼= TorA

op

i (N,M). Si R es un anillo conmutativo, TorRi (M,N) ∼=TorRi (N,M).

(iii) Los grupos Tor se pueden construir tambien por resoluciones proyectivasdel primer argumento, y se puede demostrar que estos grupos resultan isomorfos alos definidos en (3.1.2).

(iv) Para N fijo, TorAi ( , N) es tambien un funtor covariante.

3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS 91

Teorema 3.1.5. (i) Sea L un A-modulo a izquierda, entonces la sucesion exacta deA-modulos a derecha

0 → Kι−→ N

π−→M → 0

induce la sucesion exacta de grupos abelianos

· · · →TorAi+1(K,L)ιi+1⊗iL−−−−→ TorAi+1(N,L)

πi+1⊗iL−−−−−→ TorAi+1(M,L)θi+1−−→

TorAi (K,L)ιi⊗iL−−−→ TorAi (N,L)

πi⊗iL−−−→ TorAi (M,L)θi−→ · · ·

TorA1 (K,L)ι1⊗iL−−−→ TorA1 (N,L)

π1⊗iL−−−→ TorA1 (M,L)θ1−→

TorR0 (K,L)ι⊗iL−−→ TorR0 (N,L)

π⊗iL−−−→ TorR0 (M,L) → 0.

(ii) Sea L un A-modulo a derecha, entonces la sucesion exacta de A-modulos aizquierda

0 → Kι−→ N

π−→M → 0

induce la sucesion exacta de grupos abelianos

· · · →TorAi+1(L,K)iL⊗ιi+1−−−−→ TorAi+1(L,N)

iL⊗πi+1−−−−−→ TorAi+1(L,M)θi+1−−→

TorAi (L,K)iL⊗ιi−−−→ TorAi (L,N)

iL⊗πi−−−→ TorAi (L,M)θi−→ · · ·

TorA1 (L,K)iL⊗ι1−−−→ TorA1 (L,N)

iL⊗π1−−−→ TorA1 (L,M)θ1−→

TorR0 (L,K)iL⊗ι−−→ TorR0 (L,N)

iL⊗π−−−→ TorR0 (L,M) → 0.

Demostracion. La prueba completa la dejamos al lector, veamos solamente como sedefine θi+1 en (i): consideremos una resolucion proyectiva de L

· · · → Pi+1fi+1−−→ Pi

fi−→ Pi−1 → · · · → P1f1−→ P0

f0−→ L→ 0;

tenzorizando por K,N y M se obtiene el siguiente diagrama conmutativo:

0 0y y· · · iK⊗fi+2−−−−−→ K ⊗ Pi+1

iK⊗fi+1−−−−−→ K ⊗ PiiK⊗fi−−−→ · · ·

ι⊗iPi+1

y ι⊗iPi

y· · · iN⊗fi+2−−−−−→ N ⊗ Pi+1

iN⊗fi+1−−−−−→ N ⊗ PiiN⊗fi−−−→ · · ·

π⊗iPi+1

y π⊗iPi

y· · · iM⊗fi+2−−−−−→ M ⊗ Pi+1

iM⊗fi+1−−−−−→ M ⊗ PiiM⊗fi−−−→ · · ·y y

0 0

92 CAPITULO 3. TOR

las filas son complejos y las columnas son exactas ya que cada Pi es plano. Se tieneentonces que

TorAi+1(M,L) = ker(iM ⊗ fi+1)/Im(iM ⊗ fi+2)

θi+1−−−→ TorAi (K, L) = ker(iK ⊗ fi)/Im(iK ⊗ fi+1)

z 7→ z′

con z′ definido de la siguiente manera: como z ∈ ker(iM⊗fi+1) ⊆M⊗Pi+1, entoncesexiste z′′ ∈ N⊗Pi+1 tal que (π⊗iPi+1

)(z′′) = z; tenemos que (iN⊗fi+1)(z′′) ∈ N⊗Pi,

pero (π⊗ iPi)(iN ⊗fi+1)(z

′′) = (iM ⊗fi+1)(π⊗ iPi+1)(z′′) = (iM ⊗fi+1)(z) = 0, luego

(iN ⊗ fi+1)(z′′) ∈ ker(π ⊗ iPi

) = Im(ι ⊗ iPi), por lo tanto, existe z′ ∈ K ⊗ Pi

tal que (iN ⊗ fi+1)(z′′) = (ι ⊗ iPi

)(z′). Notemos que z′ ∈ ker(iK ⊗ fi): en efecto,(ι ⊗ iPi−1

)(iK ⊗ fi)(z′) = (iN ⊗ fi)(ι ⊗ iPi

)(z′) = (iN ⊗ fi)(iN ⊗ fi+1)(z′′) = 0, pero

ι⊗ iPies inyectiva, luego se obtiene lo afirmado. Se puede demostrar que θi+1 queda

bien definida y sujeta entonces a las siguientes condiciones

(π ⊗ iPi+1)(z′′) = z, (iN ⊗ fi+1)(z

′′) = (ι⊗ iPi)(z′).

Teorema 3.1.6. Para cada i ≥ 0 se tiene que

TorAi (⊕

Mr,⊕

Ns) ∼=⊕

TorAi (Mr, Ns).

Demostracion. Ideas similares a las de la demostracion del teorema 2.2.4 pueden serusadas en este caso. La prueba se deja al lector (vease tambien [30], teoremas 6.3.8y 6.3.9).

Terminamos esta seccion con la siguiente generalizacion de la proposicion 1.4.17.

Teorema 3.1.7. Sean R un anillo conmutativo y S un sistema multiplicativo deR. Entonces, para cada i ≥ 0 y cualesquiera R-modulos M,N se tiene el RS−1-isomorfismo

TorRi (M,N)S−1 ∼= TorRS−1

i (MS−1, NS−1).

Demostracion. El caso i = 0 fue probado en la proposicion 1.4.17.Sea i ≥ 1, entonces TorAi (M,N) = ker(iM ⊗ fi)/Im(iM ⊗ fi+1), con

M ⊗ Pi+1iM⊗fi+1−−−−−→M ⊗ Pi

iM⊗fi−−−→M ⊗ Pi−1.

Por lo tanto,

TorAi (M,N)S−1 = [ker(iM ⊗ fi)/Im(iM ⊗ fi+1)]S−1

∼= [ker(iM ⊗ fi)]S−1/[Im(iM ⊗ fi+1)]S

−1

= ker[(iM ⊗ fi)S−1]/Im[(iM ⊗ fi+1)S

−1],

3.2. EJEMPLOS 93

pero se tiene el siguiente diagrama conmutativo

(M ⊗ Pi)S−1 (iM⊗fi)S

−1

−−−−−−−→ (M ⊗ Pi−1)S−1y y

MS−1 ⊗ PiS−1

(iMS−1⊗fiS−1)

−−−−−−−−−→ MS−1 ⊗ Pi−1S−1

donde las flechas verticales son isomorfismos (vease la proposicion 1.4.17). En efecto,se tiene que

m⊗ps

−−−→ m⊗fi(p)sy y

ms⊗ p

1−−−→ m

s⊗ fi(p)

1

El diagrama conmutativo implica que ker[(iM ⊗ fi)S−1] ∼= ker[(iMS−1 ⊗ fiS−1)] y deigual manera Im[(iM ⊗fi+1)S

−1] ∼= Im[(iMS−1⊗fi+1S−1)]. Esto completa la prueba

del teorema.

3.2. Ejemplos

Ejemplo 3.2.1. Si F es un A-modulo libre, entonces TorAi (F,N) = 0 para cadai ≥ 1 y cada A-modulo N . En particular,

TorAi (A,N) = 0, para cada i ≥ 1 y cada A-modulo N .

Propiedades analogas se tienen para el segundo argumento.

Ejemplo 3.2.2. Sea A un anillo hereditario a derecha y sean M un A-moduloderecho y N un A-modulo izquierdo. Entonces, TorAi (M,N) = 0 para cada i ≥ 2.

En efecto, consideremos la resolucion proyectiva de N , 0f1−→ K

f0−→ P → N → 0,entonces iM ⊗ fi = 0 para i ≥ 2, luego TorAi (A,N) = 0, para cada i ≥ 1 y cadaA-modulo N .

En particular,

TorZi (M,N) = 0, para i ≥ 2 y cualesquiera grupos abelianos M,N .

Por ejemplo,

TorZi (Zm,Zn) = 0, para i ≥ 2 y cualesquiera m,n ≥ 0,

TorZi (R,R) = TorZ

i (R,C) = TorZi (C,C) = 0, para i ≥ 2.

94 CAPITULO 3. TOR

De otra parte, puesto que Q es Z-plano, entonces TorZi (Q, N) = 0 para i ≥ 1 y cada

grupo abeliano N , y de manera particular,

TorZi (Q,Q) = TorZ

i (Q,R) = TorZi (Q,C) = 0, para i ≥ 1.

Ejemplo 3.2.3. El ejemplo anterior deja planteado el siguiente problema: calcularTorZ

1 (M,N), conM,N grupos abelianos arbitrarios. Veamos entonces una propiedadque ayudara a resolver parcialmente el problema. Para A un anillo arbitrario, Mun A-modulo derecho cualquiera, calculemos TorAi (M,A/〈x}) para i ≥ 0. Si x = 0,TorAi (M,A/〈x}) = TorAi (M,A) = 0 para i ≥ 1, y TorA0 (M,A/〈x}) = M⊗AA ∼= M .Si x = 1, TorAi (M,A/〈x}) = TorAi (M, 0) = 0 para cada i ≥ 0. Sea x 6= 0, 1 tal quex no es divisor de cero; TorA0 (M,A/〈x}) = M ⊗A A/〈x} ∼= M/(M〈x}) = M/Mx.

Para i ≥ 1, consideremos la resolucion proyectiva 0 → Af1−→ A

f0−→ A/〈x} →0, con f1(a) := ax y f0 el homomorfismo canonico en el cociente. Para i ≥ 2,fi = 0, luego TorAi (M,A/〈x}) = 0. Resta pues calcular TorA1 (M,A/〈x}); tenemosTorA1 (M,A/〈x}) = ker(iM⊗f1)/Im(iM⊗f2) = ker(iM⊗f1), pero se tiene el siguientediagrama conmutativo

M ⊗A AiM⊗f1−−−−→ M ⊗A Ay y

Mg−−−→ M

donde las flechas verticales son los isomorfismos naturales y entonces g(m) := m ·x.Resulta, ker(iM ⊗ f1) = ker(g) = {m ∈ M |m · x = 0}, luego TorA1 (M, 〈x}) = {m ∈M |m · x = 0}.

Resultados analogos a los anteriores se tienen por supuesto para TorAi (A/{x〉,M)con i ≥ 0 y M un A-modulo izquierdo arbitrario.

En particular, para cada grupo abeliano M se tiene que

TorZi (M,Zn) =

{M/M · n, i = 0, n ≥ 2

{m ∈M |m · n = 0}, i = 1, n ≥ 2.

Por ejemplo,

TorZ0 (Zm,Zn) = Zm ⊗ Zn = Zm/Zm · n = Zd, m, n ≥ 2, con d := m.c.d.(m,n).

Ejemplo 3.2.4. Sean A un anillo, I un ideal derecho y J un ideal izquierdo de A.Entonces

TorA1 (A/I,A/J) ∼= (I ∩ J)/IJ .

3.2. EJEMPLOS 95

Consideremos la siguiente resolucion libre de A/J : · · · → F2f2−→ F1

f1−→ Aπ−→ A/J →

0, con Fi libre para i ≥ 1 y π el homomorfismo canonico en el cociente; tensorizando

por A/I obtenemos el complejo · · · → A/I⊗AF2

iA/I⊗f2−−−−→ A/I⊗AF1

iA/I⊗f1−−−−→ A/I⊗A

AiA/I⊗π−−−−→ A/I ⊗A A/J → 0, luego TorA1 (A/I,A/J) = ker(iA/I ⊗ f1)/Im(iA/I ⊗ f2).

Se tiene el diagrama conmutativo

A/I ⊗A F2

iA/I⊗f2−−−−→ A/I ⊗A F1

iA/I⊗f1−−−−→ A/I ⊗A Ay y yF2/IF2

g2−−−→ F1/IF1g1−−−→ A/I

donde las flechas verticales son los isomorfismos naturales, luego g2(x) = f2(x),x ∈ F2 y g1(y) := f1(y), y ∈ F1. Se otiene entonces que TorA1 (A/I,A/J) ∼=ker(g1)/Im(g2) y definimos la aplicacion ker(g1)

α−→ (I ∩ J)/IJ por α(y) := f1(y):Notemos que α esta bien definido: en efecto, si y ∈ ker(g1), entonces f1(y) = 0, dedonde f1(y) ∈ Im(f1) = J y f1(y) ∈ I, es decir, f1(y) ∈ I ∩ J ; ademas, si y = 0,entonces y ∈ IF1, luego y = a1 · y1 + · · ·+ at · yt, con ai ∈ I y yi ∈ F1, 1 ≤ i ≤ t, porlo tanto, f1(y) = a1 · f1(y1) + · · ·+ at · f1(yt) ∈ IJ , es decir, fi(y) = 0. Es claro queα es un homomorfismo de grupos, ademas, α es sobreyectivo ya que si z ∈ I ∩ J ,entonces z ∈ J = Im(F1), de donde y = f1(y), con y ∈ F1, luego α(y) = f1(y).Veamos ahora que ker(α) = Im(g2): sea y ∈ Im(g2), entonces y = g2(x), conx ∈ F2, se tiene entonces que α(y) = α(g2(x)) = α(f2(x)) = f1(f2(x)) = 0, esdecir, y ∈ ker(α), hemos pues probado que Im(g2) ⊆ ker(α). Sea ahora y ∈ ker(α),con y ∈ F1, entonces α(y) = f1(y) = 0, de donde f1(y) ∈ IJ ; resulta entoncesf1(y) = a1z1 + · · · + atzt, con ai ∈ I y zi ∈ J = Im(f1), 1 ≤ i ≤ t; de aqui obten-emos que y − (a1 · y1 + · · · + at · yt) ∈ ker(f1) = Im(f2), con yi ∈ F1, luego y =a1 ·y1 + · · ·+at ·yt+f2(x), con x ∈ F2, y esto indica que y = f2(x) = g2(x) ∈ Im(g2).

Por ejemplo,

TorZ1 (Zm,Zn) =

{0, m = 0, 1 o n = 0, 1

Zd, m ≥ 2, n ≥ 2, con d := m.c.d.(m,n).

La ultima igualdad se justifica de la siguiente manera: (〈m〉 ∩ 〈n〉)/(〈m〉〈n〉) =〈m.c.m(m,n)〉/〈mn〉 ∼= Zd.

Ejemplo 3.2.5. Con los resultados de los ejemplos anteriores podemos calcularTorZ

0 (M,N) y TorZ1 (M,N), con M,N grupos abelianos f.g. Por ejemplo,

(Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z10)⊗Z (Z12 ⊕ Z18) ∼= (Z12)2 ⊕ (Z18)

2 ⊕ Z26 ⊕ Z2

2∼= Z6

2 ⊕ Z24 ⊕ Z4

3 ⊕ Z29,

TorZ1 (Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z10,Z12 ⊕ Z18) ∼= Z2

6 ⊕ Z22∼= Z4

2 ⊕ Z23.

96 CAPITULO 3. TOR

3.3. Tor y modulos planos

Presentamos ahora otras caracterizaciones de los modulos planos por medio del Tor.

Teorema 3.3.1. Sea F un A-modulo derecho. Entonces las siguientes condicionesson equivalentes:

(i) F es plano.

(ii) Para cada A-modulo N y cada i ≥ 1, TorAi (F,N) = 0.

(iii) Para cada A-modulo N , TorA1 (F,N) = 0.

(iv) TorA1 (F,A/I) = 0, para cada ideal izquierdo de A.

(v) TorA1 (F,A/I) = 0, para cada ideal izquierdo f.g. de A.

El teorema es tambien valido en el segundo argumento.

Demostracion. (i)⇒(ii): considerando una resolucion proyectiva de N y tensorizan-do por F resulta el complejo

· · · → F ⊗ Pi+1iF⊗fi+1−−−−−→ F ⊗ Pi

iF⊗fi−−−→ Pi−1 → · · · → F ⊗ P0iF⊗f0−−−→ F ⊗N → 0,

y se tiene entonces que TorAi (F,N) = ker(iF ⊗ fi)/Im(iF ⊗ fi+1); como F es plano,

de la sucesion exacta 0 → Im(fi+1)ι−→ Pi

fi−→ Im(fi) → 0 se obtiene la sucesionexacta

0 → F ⊗ Im(fi+1)iF⊗ι−−→ F ⊗ Pi

iF⊗fi−−−→ F ⊗ Im(fi) → 0,

de donde Im(iF ⊗ ι) = ker(iF ⊗ fi). Pero notese que Im(iF ⊗ ι) = Im(iF ⊗ fi+1),luego TorAi (F,N) = 0.

(ii)⇒(iii)⇒(iv)⇒(v): evidentes.(v)⇒(iv): sea I un ideal izquierdo de A; consideremos la sucesion exacta 0 → I

ι−→A

π−→ A/I → 0; aplicamos la sucesion exacta larga y obtenemos la porcion exacta

0 → TorA1 (F,A/I) → F ⊗ IiF⊗ι−−→ F ⊗ A, si probamos que F ⊗ I

iF⊗ι−−→ F ⊗ A esinyectivo, entonces TorA1 (F,A/I) = 0. Sea z := f1 ⊗ a1 + · · ·+ ft ⊗ at ∈ ker(iF ⊗ ι);consideremos el ideal izquierdo 〈a1, . . . , at} y la inclusion I0

ι0−→ A, con ι|I0 = ι0;notemos que z ∈ ker(iF ⊗ ι0) y consideremos la sucesion exacta 0 → I0 → A →A/I0 → 0, resulta entonces la porcion exacta TorA1 (F,A/I0) → F ⊗ I0 → F ⊗ A,

pero por la hipotesis (v), TorA1 (F,A/I0) = 0, luego F ⊗ I0iF⊗ι0−−−→ F ⊗A es inyectivo,

de donde z = 0.(iv)⇒(i): consideremos un homomorfismo inyectivo K

ι−→ L, con K y L f.g.,

queremos demostrar que F ⊗KiF⊗ι−−→ F ⊗ L es inyectivo (vease el teorema 1.6.3).

3.3. TOR Y MODULOS PLANOS 97

Si ι(K) = L, entonces iF ⊗ ι es un isomorfismo, y por lo tanto, inyectivo. Seaι(K) � L = 〈x1, . . . , xt}; sin perder generalidad podemos asumir que x1 /∈ ι(K),luego L0 := ι(K) � L0 + 〈x1} := L1; si L1 = L, entonces tenemos la cadenaL0 � L1 = L. En caso contrario, L1 � L1 + 〈x2} := L2; continuando de esta maneraresulta la cadena finita L0 � L1 � L2 � · · · � Ls = L, y en consecuencia, elhomomorfismo compuesto K

ι−→ L0 ↪→ L1 ↪→ L2 ↪→ · · · ↪→ Ls = L coincide conι; de igual manera, el homomorfismo compuesto F ⊗ K → F ⊗ L0 ↪→ F ⊗ L1 ↪→F⊗L2 ↪→ · · · ↪→ F⊗Ls = F⊗L coincide con F⊗K iF⊗ι−−→ F⊗L. Si para cada i ≥ 0,

F ⊗Li ↪→ F ⊗Li+1 es inyectivo, entonces F ⊗K iF⊗ι−−→ F ⊗L es inyectivo. Notemosque Li+1/Li ∼= 〈xi+1}/(〈xi+1} ∩ Li) es cıclico, luego ahora bastara demostrar que siL′′/L′ es un modulo cıclico, entonces el homomorfismo F⊗L′ → F⊗L′′ es inyectivo.Sea L′′/L′ ∼= A/I, con I un ideal izquierdo de A, consideremos la sucesion exacta0 → L′ → L′′ → L′′/L′ → 0, de la sucesion exacta larga resulta la porcion exactaTorA1 (F,L′′/L′) → F ⊗ L′ → F ⊗ L′′, de donde, por la hipotesis (iv), la funcionF ⊗ L′ → F ⊗ L′′ es inyectiva.

Corolario 3.3.2. Si P es un A-modulo proyectivo, entonces para cada i ≥ 1,TorAi (P,N) = 0 = TorAi (M,P ) para cada A-modulo izquierdo N y cada A-moduloderecho M .

Demostracion. Esto es consecuencia del teorema anterior ya que todo modulo pro-yectivo es plano.

Corolario 3.3.3. Sea F un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) F es plano.

(ii) Para cada ideal izquierdo I de A, la sucesion 0 → F ⊗A I → F ⊗AA es exacta.

(iii) Para cada ideal izquierdo f.g. I de A, la sucesion 0 → F ⊗A I → F ⊗A A esexacta.

Demostracion. (i)⇒)(ii): evidente a partir de la definicion de modulo plano.(ii)⇒)(iii): evidente.(iii)⇒)(i): sea I un ideal izquierdo f.g. del anillo A; aplicamos el teorema 3.1.5

a la sucesion exacta 0 → Iι−→ A → A/I → 0, con ι la inclusion, y obtenemos la

porcion exacta

0 → TorA1 (F,A/I) → F ⊗A IiF⊗ι−−→ F ⊗A A.

Segun la hipotesis y el teorema 3.3.1, F es plano.

Enseguida demostraremos el recıproco del corolario 1.6.7 para modulos de pre-sentacion finita. Algunos resultados preliminares son necesarios antes.

98 CAPITULO 3. TOR

Proposicion 3.3.4. Sea M un A-modulo. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) M es plano.

(ii) Para cada ideal izquierdo I de A la funcion M ⊗A Iα−→MI dada por m⊗ a 7→

m · a es un isomorfismo.

(iii) Para cada ideal izquierdo f.g. I de A la funcion M ⊗A Iα−→ MI dada por

m⊗ a 7→ m · a es un isomorfismo.

Demostracion. (i)⇒(ii): si Iι−→ A es la inclusion, entonces resulta el homomorfismo

compuesto M ⊗A IiM⊗ι−−−→M ⊗A A

θ−→M , donde θ es el isomorfismo natural definidopor θ(m ⊗ a) := m · a. Si M es plano entonces el homomorfismo compuesto α =θ(iM ⊗ ι) es inyectivo y su imagen es MI, luego la funcion M ⊗A I

α−→ MI es unisomorfismo.

(ii)⇒(iii): evidente.(iii)⇒(i): sea z := m1⊗x1 + · · ·+mt⊗xt ∈ ker(iM ⊗ ι), entonces θ(iM ⊗ ι)(z) =

0 = m1 ·x1 + · · ·mt ·xt = α(z), luego z = 0 y por lo tanto iM ⊗ ι es inyectivo. Segunel corolario 3.3.3, M es plano.

Proposicion 3.3.5. Sea F un A-modulo plano y 0 → Kf−→ F

g−→ M → 0 unasucesion exacta de A-modulos. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es plano.

(ii) f(K) ∩ FI = f(K)I para cada ideal izquierdo I de A.

(iii) f(K) ∩ FI = f(K)I para cada ideal izquierdo f.g. I de A.

Demostracion. (i)⇒(ii): tensorizamos la sucesion exacta dada por I y obtenemos la

sucesion exacta K⊗A If⊗iI−−→ F ⊗A I

g⊗iI−−→M⊗A I → 0; segun la proposicion 3.3.4 setiene el isomorfismo θF : F⊗AI → FI, θF (f⊗i) := f ·i; ademas, θK : K⊗AI → KI,θK(k⊗ i) := k · i es sobreyectivo. Se tiene el siguiente diagrama exacto conmutativo:

K ⊗A If⊗iI−−−→ F ⊗A I

g⊗iI−−−→ M ⊗A I −−−→ 0

θK

y θF

y γ

yKI

ι−−−→ FIπ−−−→ FI/f(K)I −−−→ 0

donde γ se construye por sobreyectividad, ι es la restriccion de f a KI y π es elhomomorfismo canonico del cociente. Veamos que γ es un isomorfismo: por con-struccion γ es sobreyectivo; sea z ∈ ker(γ), existe entonces y ∈ F ⊗A I tal que(g ⊗ iI)(y) = z, resulta γ(g ⊗ iI)(y) = 0 = πθF (y), luego θF (y) ∈ ker(π) = Im(ι) y

3.3. TOR Y MODULOS PLANOS 99

entonces existe u ∈ KI tal que ι(u) = θF (y), pero como θK es sobreyectivo, existev ∈ K ⊗A I tal que θK(v) = u; de esto resulta ιθK(v) = θF (f⊗iI)(v) = θF (y), con locual (f⊗iI)(v) = y y finalmente z = (g ⊗ iI)(f⊗iI(v)) = 0.

Notemos que g(FI) = MI y se tiene el isomorfismo δ : FI/(FI ∩ f(K)) =FI/(FI ∩ker(g)) ∼= MI definido por x · i+(FI ∩f(K)) 7→ g(x · i), con x ∈ F , i ∈ I.Consideremos entonces el homomorfismo compuesto σ := δ−1θMγ

−1

FI/f(K)Iγ−1

−−→M ⊗A IθM−−→MI

δ−1

−−→ FI/(FI ∩ f(K));

de manera explıcita, σ(x · i+ f(K)I) := x · i+ (FI ∩ f(K)). Notemos que ker(σ) =(FI ∩ f(K))/f(K)I, por lo tanto, σ es un isomorfismo si, y solo si, FI ∩ f(K) =f(K)I; por otro lado, σ es un isomorfismo si, y solo si, θM es un isomorfismo. Lodemostrado hasta ahora es valido para cualquier ideal izquierdo I.

Si M es plano, entonces θM es un isomorfismo (proposicion 3.3.4), luego FI ∩f(K) = f(K)I.

(ii)⇒(iii) es evidente.(iii)⇒(i): segun lo probado al principio, θM es un isomorfismo, luego por la

proposicion 3.3.4, M es plano.

Lema 3.3.6. Sea 0 → Kf−→ F

g−→M → 0 una sucesion exacta de A-modulos, dondeF es libre con base Z. Sea z ∈ F y

z = z1 · a1 + · · ·+ zm · am, con zi ∈ Z, ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ m.

Sea Iz := 〈a1, . . . , am} el ideal izquierdo generado por las coordenadas de z en labase Z. Entonces, M es plano si, y solo si, KIf(x) = K, para cada x ∈ K.

Demostracion. ⇒): es claro que KIf(x) ⊆ K, para cada x ∈ K. Sea x ∈ K, entoncesf(x) ∈ f(K) ∩ FIf(x) = f(K)If(x) = f(KIf(x)) (aplicamos la proposicion 3.3.5 yaque todo modulo libre es plano), pero como f es inyectivo, entonces x ∈ KIf(x).

⇐): sea I un ideal izquierdo de A, por la proposicion 3.3.5, basta demostrarque f(K) ∩ FI = f(K)I. La inclusion f(K)I ⊆ f(K) ∩ FI es trivial; sea f(x) ∈f(K) ∩ FI con x ∈ K, en particular f(x) ∈ FI, luego If(x) ⊆ I, y en consecuencia,KIf(x) ⊆ KI, y por la hipotesis, K = KI. Resulta, f(K) = f(K)I, pero comof(x) ∈ f(K), entonces f(x) ∈ f(K)I.

Teorema 3.3.7. Cada modulo plano M de presentacion finita es proyectivo.

Demostracion. Sea 0 → Kf−→ Am

g−→ M → 0 una presentacion finita de M ; siprobamos que esta sucesion es hendida, entonces Am ∼= K ⊕ M , es decir, M esproyectivo.

Puesto que K es f.g., entonces basta demostrar por induccion sobre r que dadosx1, . . . , xr ∈ K existe un homomorfismo h : Am → K tal que h[f(xi)] = xi para cada

100 CAPITULO 3. TOR

1 ≤ i ≤ r. Con esto, elegimos un sistema finito de generadores de K y encontramosun homomorfismo h : Am → K tal que hf = iK , es decir, la sucesion de arriba eshendida.

r = 1: sea x ∈ K y sea {ej}mj=1 la base canonica de Am, entonces f(x) =e1 · a1 + · · ·+ em · am. Sea I := 〈a1, . . . , am}; como M es plano, x ∈ KI (lema 3.3.6),y se tiene la representacion x = k1 · s1 + · · · + kt · st, con kl ∈ K, sl ∈ I, 1 ≤ l ≤ t.Pero cada sl es de la forma sl = bl1a1 + · · ·+ blmam, luego

x = k1 · (b11a1 + · · ·+ b1mam) + · · ·+ kt · (bt1a1 + · · ·+ btmam)

= (k1 · b11 + · · ·+ kt · bt1) · a1 + · · ·+ (k1 · b1m + · · · kt · btm) · am.

Definimos

k′j := k1 · b1j + · · ·+ kt · btj; h : Am → K, ej 7→ k′j, 1 ≤ j ≤ m.

Notemos que h(f(x)) = x.

Supongamos que ya hemos probado lo anunciado para r − 1 elementos de K ysean x1, . . . , xr ∈ K; segun el primer paso de la induccion, existe hr : Am → K talque hr[f(xr)] = xr. Definimos

x′i := xi − hr[f(xi)] ∈ K, 1 ≤ i ≤ r − 1.

Por induccion, existe

h′ : Am → K tal que h′[f(x′i)] = x′i para 1 ≤ i ≤ r − 1;

definimos

h : Am → K por h(z) := hr(z) + h′[z − f(hr(z))], z ∈ Am.

Resulta entonces

h[f(xr)] = hr[f(xr)] + h′[f(xr)− f(hr(f(xr)))] = xr + h′[f(xr)− f(xr)] = xr;

h[f(xi)] = hr[f(xi)] + h′[f(xi)− f(hr(f(xi)))] = hr[f(xi)] + h′[f(xi)]−h′[f(hr(f(xi)))] = hr[f(xi)] + h′[f(x′i) + f(hr(f(xi)))]− h′[f(hr(f(xi)))]

= hr[f(xi)] + h′[f(x′i)] = hr[f(xi)] + x′i = xi, para cada i.

Corolario 3.3.8. Si A es un anillo noetheriano a derecha y M es un A-moduloplano f.g., entonces M es proyectivo.

Demostracion. Como A es noetheriano y M es f.g., entonces M es noetheriano, ypor lo tanto, de presentacion finita.

3.4. TOR Y ALGEBRA LINEAL 101

3.4. Tor y algebra lineal

En esta seccion veremos una caracterizacion matricial de los modulos planos en cuyaprueba se usan los teoremas 3.1.5 y 3.3.1.

Proposicion 3.4.1. Sean A un anillo, M un A-modulo derecho, m1, . . . ,mt ∈ My N := 〈n1, . . . , nt} un A-modulo izquierdo f.g. Entonces,

m1 ⊗ n1 + · · ·+mt ⊗ nt = 0 ⇔ existen m′1, . . . ,m

′s ∈M y F = [aij] ∈Mt×s(A)

tales que[m1 · · · mt

]=

[m′

1 · · · m′s

]F T y F T

[n1 · · · nt

]T= 0.

Demostracion. ⇒): consideremos la siguiente presentacion de N ,

Lf1−→ At

f0−→ N → 0, f0(ei) := gi, 1 ≤ i ≤ t y L libre,

resulta entonces la sucesion exacta M ⊗A LiM⊗f1−−−−→M ⊗A A

t iM⊗f0−−−−→M ⊗A N → 0 ym1 ⊗ e1 + · · · +mt ⊗ et ∈ ker(iM ⊗ f0) = Im(iM ⊗ f1); existen entonces elementosm′

1, . . . ,m′s ∈M tales que m1⊗e1 + · · ·+mt⊗et = (iM⊗f1)(m

′1⊗ l1 + · · ·+m′

s⊗ ls),con lj ∈ L, 1 ≤ j ≤ s. En consecuencia, m1⊗ e1 + · · ·+mt⊗ et = m′

1⊗ f1(l1)+ · · ·+m′s ⊗ f1(ls) = m′

1 ⊗ (a11 · e1 + · · · + at1 · et) + · · · +m′s ⊗ (a1s · e1 + · · · + ats · et) =

(m′1 · a11 + · · ·+m′

s · a1s)⊗ e1 + · · ·+ (m′1 · at1 + · · ·+m′

s · ats)⊗ et, pero se tiene elisomorfismo M t ∼= M ⊗A A

t definido por

M t →M ⊗A At M ⊗A A

t →M t

(m1, . . . ,mt) 7→ m1 ⊗ e1 + · · ·+mt ⊗ et m⊗ (a1, . . . , at) 7→ (m · a1, . . . ,m · at)

luego[m1 · · · mt

]=

[m′

1 · · · m′s

]F T con F := [aij] ∈ Mt×s(A); ademas, para

cada j, f1(lj) = (a1j, . . . , atj) ∈ Im(f1) = ker(f0), luego a1j · n1 + · · · + atj · nt = 0,

es decir, F T[n1 · · · nt

]T= 0.

⇐): m1⊗n1 + · · ·+mt⊗nt = (m′1 ·a11 + · · ·+m′

s ·a1s)⊗n1 + · · ·+(m′1 ·at1 + · · ·+

m′s ·ats)⊗nt = m′

1⊗(a11 ·n1+ · · ·+at1 ·nt)+ · · ·+m′s⊗(a1s ·n1+ · · ·+ats ·nt) = 0.

Teorema 3.4.2 (Villamayor). Sean A un anillo y M un A-modulo. Entonces, lassiguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es plano.

(ii) Si m1, . . . ,mt ∈ M y b1, . . . , bt ∈ A son tales que m1 · b1 + · · · + mt · bt = 0,entonces existen m′

1, . . . ,m′s ∈M y F = [aij] ∈Mt×s(A) tales que

[m1 · · · mt

]=

[m′

1 · · · m′s

]F T y F T

[b1 · · · bt

]T= 0.

102 CAPITULO 3. TOR

Demostracion. ⇒): consideremos el ideal izquierdo 〈b1, . . . , bt}; como M es plano

el homomorfismo M ⊗A IiM⊗ι−−−→ M ⊗A A es inyectivo, con ι la inclusion canonica.

Luego, m1 ⊗ b1 + · · ·mt ⊗ bt = 0 en M ⊗A I, aplicamos entonces la proposicionanterior con N := I.

⇐): sea I un ideal izquierdo f.g. del anillo A; segun el corolario 3.3.3, bas-ta entonces probar que iM ⊗ ι es inyectivo. Sean I = 〈b1, . . . , bt} y z = m1 ⊗b1 + · · · + mt ⊗ bt ∈ ker(iM ⊗ ι), entonces m1 · b1 + · · · + mt · bt = 0, y porhipotesis, existen m′

1, . . . ,m′s ∈M y F = [aij] ∈Mt×s(A) tales que

[m1 · · · mt

]=[

m′1 · · · m′

s

]F T y F T

[b1 · · · bt

]T= 0. Resulta, z = (m′

1 · a11 + · · ·+m′s · a1s)⊗

b1 + · · · + (m′1 · at1 + · · · + m′

s · ats) ⊗ bt = m′1 ⊗ (a11b1 + · · · + at1bt) + · · · + m′

s ⊗(a1sb1 + · · ·+ atsbt) = 0.

Corolario 3.4.3. Sea R un DI y M un R-modulo. Si M es plano, entonces M essin torsion. Ademas, si R es un DIP la afirmacion recıproca es valida.

Demostracion. Sean m ∈ M y d ∈ D − {0} tales que m · d = 0, segun el teorema3.4.2, existen m′

1, . . . ,m′s ∈ M y F =

[a1 · · · as

]∈ M1×s(R) tales que m =

m′1 · a1 + · · · +m′

s · as y F T [d] = 0, pero R es un DI, luego a1 = · · · = as = 0, conlo cual m = 0.

Supongamos ahora que R es un DIP , y sea I un ideal f.g. de R, entonces I = 〈d〉y, por el corolario 3.3.3, basta demostrar que M ⊗R I → M ⊗R R es inyectivo; seaz un elemento del nucleo de este homomorfismo, entonces z = m ⊗ d, con m ∈ M ,y por lo tanto, m · d = 0, se tiene entonces que m = 0 o d = 0, es decir, z = 0.

Corolario 3.4.4. Sea R un anillo conmutativo local con ideal maximal J y sea Mun R-modulo plano. Si m1, . . . ,mt ∈ M son tales que m1, . . . ,mt son linealmenteindependientes en el R/J-espacio vectorial M/MJ , entonces m1, . . . ,mt ∈ M sonlinealmente independientes. En consecuencia, para un anillo conmutativo local lassiguientes condiciones son equivalentes para cualquier modulo M f.g.:

(i) M es plano.

(ii) M es libre.

(iii) M es proyectivo.

Demostracion. La prueba de la primera parte se hace mediante induccion sobre t.Para t = 1, sea r ∈ R tal que m · r = 0, segun el teorema 3.4.2, existen m′

1, . . . ,m′s ∈

M y F =[r1 · · · rs

]∈M1×s(R) tales que m = m′

1 · r1 + · · ·+m′s · rs y F T [r] = 0.

Puesto que m 6= 0, entonces m /∈ MJ , con lo cual existe rk /∈ J y en consecuencia,rk ∈ R∗, luego r = 0. Suponemos por induccion que la afirmacion es cierta para t−1elementos, y sean r1, . . . , rt ∈ R tales que m1 · r1 + · · ·mt · rt = 0. Segun el teorema3.4.2, existen m′

1, . . . ,m′s ∈ M y F = [aij] ∈ Mt×s(R) tales que

[m1 · · · mt

]=

3.5. TORSION DE UN MODULO 103

[m′

1 · · · m′s

]F T y F T

[r1 · · · rt

]T= 0. Puesto que mt /∈ MJ , entonces existe

k tal que atk /∈ J , es decir, atk ∈ R∗, y como a1kr1 + · · · + atkrt = 0, entoncesrt = b1r1+· · ·+bt−1rt−1, con bi ∈ R, 1 ≤ i ≤ t−1, luego m1 ·r1+· · ·+mt−1 ·rt−1+mt ·(b1r1+· · ·+bt−1rt−1) = 0 = (m1+mt·b1)·r1+· · ·+(mt−1+mt·bt−1)·rt−1, pero notemosque {m1 +mt · b1, · · · ,mt−1 +mt · bt−1} = {m1 + mt · b1, · · · ,mt−1 + mt · bt−1} eslinealmente independiente en M/MJ , por induccion se tiene entonces que r1 = · · · =rt−1 = 0, de donde rt = 0.

Finalmente, las implicaciones (ii)⇒(iii)⇒(i) son bien conocidas; si M es plano y{m1, . . . ,mt} es un R/J-base de M/MJ , entonces es facil probar mediante el lemade Nakayama (vease [15]) que m1, . . . ,mt es un sistema de generadores de M , ypor la parte ya demostrada, estos vectores son linealmente independientes, es decir,conforman una base de M .

3.5. Torsion de un modulo

Veremos ahora en algebra conmutativa la relacion entre el funtor Tor y el submodulode torsion de un modulo M . Recordemos que si D es un dominio de integridady M es un D-modulo, entonces el submodulo de torsion de M se define port(M) := {m ∈ M |d ·m = 0 para algun d ∈ D − {0} }. Ademas, M es de torsionsi t(M) = M y M es sin torsion si t(M) = 0 (vease [13]).

Teorema 3.5.1. Sean D un DI y Q := Q(D) su cuerpo de fracciones.

(i) Si M es un D-modulo de torsion, entonces

TorD1 (Q/D,M) ∼= M.

(ii) TorDi (Q/D,M) = 0 para i ≥ 2 y cada D-modulo M .

(iii) Si M es un D-modulo sin torsion, entonces

TorD1 (Q/D,M) = 0.

(iv) T define un funtor covariante

DModT−→D Mod

M 7→ T (M)

Mf−→ N 7→ T (f) := f |T (M)

Ademas, TorD1 (Q/D, ) y T son naturalmente equivalentes.

(v) Para cada D-modulo M se tiene la siguiente sucesion exacta

104 CAPITULO 3. TOR

0 → T (M) →M → Q⊗M → Q/D ⊗M → 0.

(vi) Sea M un D-modulo. M es de torsion si, y solo si, Q⊗M = 0.

(vii) Si N es un D-modulo de torsion, entonces TorDi (M,N) es de torsion paracada D-modulo M e i ≥ 0.

(viii) TorDi (M,N) es de torsion para i ≥ 1 y cualesquiera D-modulos M y N .

Demostracion. (1) Consideremos la sucesion exacta

0 D Q Q/D 0- -l -π -

se obtiene entonces la sucesion exacta

· · · TorD1 (Q, M) Tor

D1 (Q/D, M) Tor

D0 (D, M)

TorD0 (Q, M) Tor

D0 (Q/D, M) 0

- -π⊗1M -

θ1

-l⊗1M -

π⊗1M -

es decir,

· · · TorD1 (Q, M) Tor

D1 (Q/D, M) D ⊗M

Q⊗M Q/D ⊗M 0

- -π⊗1M -

θ1

-l⊗1M -

π⊗1M -

Pero Q es D-plano, entonces TorD1 (Q,M) = 0, ademas como M es de torsion,entonces Q ⊗M = 0 (en efecto, dado m ∈ M , existe a ∈ D, a 6= 0 tal queam = 0, entonces ∀p

q∈ Q y ∀m ∈M se tiene que p

q⊗m = pa

qa⊗m = p

qa⊗am =

0). Entonces se tiene la siguiente porcion exacta

0 TorD1 (Q/D,M) D ⊗M 0- -θ1 -

Entonces θ1 es un isomorfismo, entonces

TorD1 (Q/D,M) ∼= M

(2) Consideremos la misma sucesion exacta larga de (1):

· · · TorDi (D, M) Tor

Di (Q, M)

TorDi (Q/D, M) Tor

Di−1(D, M) · · ·

- -

- - -


Pero como D y Q son planos, entonces tenemos la siguiente porcion exacta

0 TorDi (Q/D,M) 0- -

para i ≥ 2, se tiene que TorDi (Q/D,M) = 0, ∀M D-modulo.

Lema 3.5.2. Si M es un D-modulo sin torsion, entonces M se puede sumergir enun Q-espacio vectorial V . Si M es ademas f.g, entonces M puede sumergirse en unD-modulo libre de dimension finita.

(3) Usaremos (3.5.2) para probar esta propiedad. Consideremos la sucesion exactalarga

· · · TorD2 (Q/D, V/M) Tor

D1 (Q/D, M) Tor

D1 (Q/D, V )

0 TorD1 (Q/D, M) 0

- - -

- -

ya que V es D-plano, por ser suma directa de copias de Q, el cual es D-plano.Ası pues TorD1 (Q,D,M) = 0.Ahora veamos la prueba del Lema 3.5.2. Dado que todo modulo puede sumergirse enun modulo inyectivo, existe un D-modulo inyectivo N y un homomorfismo inyectivoφ : M → N ; consideremos la composicion

M N N/T (N)-φ

-j

como M es sin torsion, entonces jφ es inyectiva: en efecto, si jφ(m) = φ(m) = 0,entonces φ(m) ∈ T (N) entonces existe d 6= 0 en D tal que dφ(m) = 0 es decirφ(dm) = 0 de lo que podemos decir que dm = 0, ahora como M es sin torsion, en-tonces m = 0. Notemos que N/T (N) es sin torsion y ademas D-divisible; en efecto,sea n ∈ N y sea d 6= 0 en D, entonces como N es inyectivo, entonces N es divisible.Luego existe n′ ∈ N tal que n = dn′, entonces n = dn. Tenemos entonces queN/T (N) es sin torsion y D-divisible. Veamos que esto implica que N/T (N) es unQ-espacio vectorial (Rotman. pag 70, Ejercicio 3.20); En efecto probemos que si Les un D-modulo sin torsion y divisible, entonces L es un Q-espacio:

p

q· x := p · x′

con x = q ·x′, x′ ∈ L. Si x = qx′ = qx∗ entonces q(x′−x∗) = 0, ası x′ = x∗. Si pq

= p′

q′

con x = qx′ = q′x∗, pero pq’=qp’, entonces px = pqx′ si y solo si pq′x∗ = qp′x∗,entonces px′ = p′x∗ lo que prueba que esta bien definida. Veamos que L con esteproducto tiene estructura de Q-espacio:

106 CAPITULO 3. TOR

(p

q+p′

q′

)x =

(pq′ + qp′

qq′

)x

se tiene que x = qx′ y x′ = q′x∗, entonces x = (qq′)x∗, luego(pq′ + qp′

qq′

)x = (pq′ + qp′)x∗ = p(q′x∗) + qp′x∗ = px′ + p′(qx∗)

pero como x = q′(qx∗), luego (p

q+p′

q′

)x =

p

qx+

p′

q′x

Tambien se tiene que

p

q(x+ y) =

p

qx+

p

qy

ya que si x = qx′, y = qy′, entonces x+ y = q(x′ + y′) y

p

q(x+ y) = p(x′ + y′) = px′ + py′

Ademas, (p

q

r

s

)x =

pr

qsx

Si x = (qs)x′ = q(sx′) = s(qx′), entonces(pr

qs

)x = (pr)x′

y

r

sx = rqx′

luego

p

q

(rsx)

=p

q(rqx′) = p(rx′) = (pr)x′

ya que rqx′ = qrx′. Finalmente, 11x = x ya que x = 1x. Esto completa la prueba

que L es un Q-espacio.Ahora, resta probar la segunda parte del Lema 3.5.2: Sea M = 〈m1, . . . ,mt〉, seaφ : M → V la inyeccion de M en el Q-espacio V , con φ(mi) = zi, 1 ≤ i ≤ t.Ahora, llamemos W := 〈z1, . . . zt〉, que a su vez es un Q-espacio. Sea {ω1, . . . , ωr}una Q-base de Wj, entonces M ↪→ Wj. Expandimos los zi como una combinacion


lıneal de los elementos de la base de W

zi =p

(i)1

s(i)1

ω1 + · · ·+ p(i)r

s(i)r

ωr

Entonces, ∃si 6= 0 tal que sizi ∈ 〈ω1, . . . , ωt〉D, 1 ≤ i ≤ t, luego ∃s 6= 0 tal quesW ⊆ 〈ω1, . . . , ωr〉D; Pero sW = W , ası pues M ↪→ W = sW ⊆ 〈ω1, . . . , ωr〉D.

(4) Para demostrar este punto, necesitamos repasar algunos conceptos en categorıasy functores (Ver Rotman pags, 75, 43, 6; Lezama, pag 301).Sean B, C dos categorıas y F,G : B → C functores covariantes. Una transforma-cion natural α : F : G es una coleccion de morfismos

{αX : F (X) → G(X)}X∈Ob(B)

tal que para cada morfismo f : X → X ′ en B, el siguiente diagrama es conmutativo:

F (X) G(X)

F (X ′) G(X ′)

-αX

?

F (f)

?

G(f)

-αX′

La transformacion natural α se dice que es una equivalencia natural o que F yG son functores naturalmente equivalentes, si para cada X ∈ Ob(B), αX es unaequivalencia. Un morfismo a : C → C ′ en una categorıa C es una equivalencia , siexiste otro morfismo b : C ′ → C tal que ab = 1C′ , ba = 1C .

Las transformaciones naturales para functores contravariantes se definen en formasimilar, invirtiendo el sentido de las flechas verticales.En (4) tenemos entonces que B = C =D Mod, los functores en este caso sonF = T : C → C y G = TorD1 (Q/D,) : C → C. Sea X = M ∈ Ob(C) un D-modulo, entonces{

F (X) = T (M) el submodulo de torsion de M

G(X) = TorD1 (Q/D,M)

Si f : M →M ′ es un D-homomorfismo, entonces

F (f) = T (f) : T (M) → T (M ′); notemos que si l : T (M) →M y l′ : T (M ′) →M ′ son las inclusiones, entonces l′T (f) = fl: en efecto, si m ∈ T (M), entoncesfl(m) = f(l(m)) = f(m); l′T (f)(m) = l′(f(m)) = f(m).

108 CAPITULO 3. TOR

G(f) = TorD1 (Q/D, f) = 1⊗ f1

Debemos entonces encontrar isomorfismos αM y αM ′ tal que el siguiente diagramasea conmutativo

T (M) TorD1 (Q/D,M)

T (M ′) TorD1 (Q/D,M ′)

-αM

?

T (f)

?

1⊗f1

-αM′

De ser ası, entonces en particular tenemos que

TorD1 (Q/D,M) ∼= T (M)

para todo D-modulo M . Se tienen los siguientes diagramas

T (M) TorD1 (Q/D, T (M)) TorD1 (Q/D,M)

T (M ′) TorD1 (Q/D, T (M ′)) TorD1 (Q/D,M ′)

-α

?

T (f)

-1⊗l1

?

1⊗T (f)1

?

1⊗f1

-α′ -1⊗l′1

donde α y α′ son los isomorfismos de la parte (1), es decir, α = εθ1, α′ = ε′θ′1. La

idea es demostrar que 1⊗ l1 y 1⊗ l′1 son isomorfismos y que los dos rectangulosconmutan. De ser ası, entonces αM :=

(1⊗ l1

)α y αM ′ :=

(1⊗ l′1

)α′.

Veamos la forma precisa de los homomorfismos involucrados en el diagrama anterior.Consideremos resoluciones proyectivas de T (M), M , M ′ y T (M ′):

· · · T2 T1 T0 T (M) 0

· · · M2 M1 M0 M 0

· · · M ′2 M ′

1 M ′0 M ′ 0

· · · T ′2 T ′1 T ′0 T (M ′) 0

- -s2

?

l2

-s1

?

l1

-s0

?

l0

-

?

l

- -h2

?

f2

-h1

?

f1

-h0

?

f0

-

?

f

- -h′2 -

h′1 -h′0 -

- -s′2

6l′2

-s′1

6l′1

-s′0

6l′0

-

6

l′


Entonces

· · · Q/D ⊗ T2 Q/D ⊗ T1 Q/D ⊗ T0 0

· · · Q/D ⊗M2 Q/D ⊗M1 Q/D ⊗M0 0

· · · Q/D ⊗M ′2 Q/D ⊗M ′

1 Q/D ⊗M ′0 0

· · · Q/D ⊗ T ′2 Q/D ⊗ T ′1 Q/D ⊗ T ′0 0

- -1⊗s2

?

1⊗l2

-1⊗s1

?

1⊗l1

?

1⊗l0

-

- -1⊗h2

?

1⊗f2

-1⊗h1

?

1⊗f1

?

1⊗f0

-

- -1⊗h′2 -

1⊗h′1 -

- -1⊗s′2

6

1⊗l′2

-1⊗s′1

6

1⊗l′1

6

1⊗l′0

-

TorD1 (Q/D, T (M)) TorD1 (Q/D,M) TorD1 (Q/D,M ′)

Ker(1⊗ s1)

Im(1⊗ s2)

Ker(1⊗ h1)

Im(1⊗ h2)

Ker(1⊗ h′1)

Im(1⊗ h′2)

-1⊗l1

?

-1⊗f1

? ?

- -

donde

Ker(1⊗ s1)

Im(1⊗ s2)

Ker(1⊗ h1)

Im(1⊗ h2)

t (1⊗ l1)(t)

-1⊗l1

-

Ker(1⊗ h1)

Im(1⊗ h2)

Ker(1⊗ h′1)

Im(1⊗ h′2)

m (1⊗ f1)(m)

-1⊗f1

-

110 CAPITULO 3. TOR

Ker(1⊗ s′1)

Im(1⊗ s′2)

Ker(1⊗ h′1)

Im(1⊗ h′2)

u (1⊗ l′1)(u)

-1⊗l′1

-

Tambien

· · · T2 T1 T0 T (M) 0

· · · T ′2 T ′1 T ′0 T (M ′) 0

- -s2

?

T (f)2

-s1

?

T (f)1

-s0

?

T (f)0

-

?

T (f)

- -s′2 -

s′1 -s′0 -

esto implica

· · · Q/D ⊗ T2 Q/D ⊗ T1 Q/D ⊗ T0 0

· · · Q/D ⊗ T ′2 Q/D ⊗ T ′1 Q/D ⊗ T ′0 0

- -1⊗s2

?

1⊗T (f)2

-1⊗s1

?

1⊗T (f)1

?

1⊗T (f)0

-

- -1⊗s′2 -

1⊗s′1 -

luego

TorD1 (Q/D, T (M)) TorD1 (Q/D, T (M ′))

Ker(1⊗ s1)

Im(1⊗ s2)

Ker(1⊗ s′1)

Im(1⊗ s′2)

t (1⊗ T (f)1)(t)

-1⊗T (f)1

? ?

-

-

t ∈ Ker(1⊗ s1) ⊆ Q/D ⊗ T1.Para θ1 y θ′1 las definiciones precisas son:

0 D Q Q/D 0- -i -π -


Por el teorema de la sucesion exacta larga

· · · TorD1 (D, T (M)) Tor

D1 (Q, T (M)) Tor

D1 (Q/D, T (M))

TorD0 (D, T (M)) Tor

D0 (Q, T (M)) Tor

D0 (Q/D, T (M)) 0

- - -

- - - -

Luego por la planitud de Q y como T (M) es de torsion, entonces tenemos la sigu-iente porcion exacta

0 TorD1 (Q/D, T (M)) D ⊗ T (M) 0- -θ1 -

Ahora, tenemos el siguiente diagrama:

0 0 0

· · · D ⊗ T2 D ⊗ T1 D ⊗ T0 0

· · · Q⊗ T2 Q⊗ T1 Q⊗ T0 0

· · · Q/D ⊗ T2 Q/D ⊗ T1 Q/D ⊗ T0 0

0 0 0

? ?

0

?- -

?

i⊗1T2

-

?

i⊗1T1

-

?

i⊗1T0

- -

?

i⊗1T2

-

?

i⊗1T1

-

?

i⊗1T0

- -

?

-

?

-

?

Sea t ∈ Ker(1 ⊗ s1) ⊆ Q/D ⊗ T1, entonces ∃t∗ ∈ Q ⊗ T1 tal que (i ⊗ 1T1)(t∗) = t.

Luego (1⊗ s1)(t∗) ∈ Q⊗ T0, ası

(π ⊗ 1T0)(1⊗ s1)(t∗) = (1⊗ s1)(π ⊗ 1T1)(t

∗) = (1⊗ s1)(t) = 0

De donde (1 ⊗ s1)(t∗) ∈ Ker(π ⊗ 1T0) = Im(i ⊗ 1T0), de lo que tenemos que

(1⊗ s1)(t∗) = (i⊗ 1T0)(t

′) con t′ ∈ D ⊗ T (M). Entonces definimos

θ1(t) := (1D ⊗ s0)(t′) ∈ D ⊗ T (M)

112 CAPITULO 3. TOR

con t = (π ⊗ 1T1)(t∗), t∗ ∈ Q⊗ T1 y (1Q ⊗ s1)(t

∗) = (i⊗ 1T0)(t′) con t′ ∈ D ⊗ T0.

Sean t′ := 1⊗ t0, con t0 ∈ T0, entonces

εT (M)θ1(t) = εT (M)(1⊗ s0(t0)) = s0(t0)

ademas

(i⊗ 1T0)(t′) = (i⊗ 1T0)(1⊗ t0) = 1⊗ t0

entonces (1Q ⊗ s1)(t∗) = 1 ⊗ t0, en particular, i ⊗ 1T0(t

′) = 1 ⊗ t′ con t′ ∈ T0 y(1⊗ s0)(t

′) = s0(t′). Definimos

εT (M)θ1(t) := s0(t0)

con t = (π ⊗ 1T1)(t∗), t∗ ∈ Q ⊗ T1 y (1Q ⊗ s1)(t

∗) = 1 ⊗ t0 con t0 ∈ T0. De formaanaloga,

εT (M ′)θ′1(u) := s′0(u0)

con u = (π ⊗ 1T1)(u∗), u∗ ∈ Q⊗ T ′1 y (1Q ⊗ s1)(u

∗) = 1⊗ u0 con u0 ∈ T ′0.Entonces definimos

α := θ−11 ε−1

T (M)

α′ := θ′−11 ε−1

T (M ′)

Veamos entonces que el rectangulo de la izquierda es conmutativo, es decir, (1⊗ T (f)1)α =α′T (f), es decir, veamos que

εT (M ′)θ′1(1⊗ T (f)1) = T (f)εT (M)θ1

En efecto, sea t ∈ TorD1 (Q/D, T (M)), t ∈ Ker(1 ⊗ s1) ⊂ Q/D ⊗ T1. εT (M)θ1(t) =s0(t0) con t0 ∈ T0, 1⊗ t0 = (1Q ⊗ s1)(t

∗) con t∗ ∈ Q⊗ T1 tal que (π ⊗ 1T1)(t∗) = t.

Entonces

T (f)(θ1(t)) = f(θ1(t)

)= f (s0(t0)) ∈ T (M ′)

De otra parte, (1⊗ T (f)1)(t) = (1⊗ T (f)1)(t) con (1⊗ T (f)1)(t) ∈ Ker(1⊗ s′1) ⊆Q/D ⊗ T ′1. Sea u := (1 ⊗ T (f)1)(t), entonces εT (M ′)θ

′1(u) = s′0(u0) donde u0 ∈ T ′0,

1⊗ u0 = (1Q ⊗ s′1)(u∗) con u∗ ∈ Q⊗ T ′1 tal que (π ⊗ 1T ′1)(u

∗) = u.En calidad de u0 podemos tomar

u0 := T (f)0(t0)


y

u∗ := (1Q ⊗ T (f)1)(t∗) ∈ Q⊗ T ′1

En efecto, u0 = T (f)0(t0) ∈ T ′0

(1Q ⊗ s′1)(u∗) = (1Q ⊗ s′1) [(1Q ⊗ T (f)1)(t

∗)]

= (1Q ⊗ s′1T (f)1)(t∗)

= (1Q ⊗ T (f)0s1)(t∗)

= (1Q ⊗ T (f)0)(1Q ⊗ s1)(t∗)

= (1Q ⊗ T (f)0)(1⊗ t0)

= 1⊗ T (f)0(t0)

= 1⊗ u0

(π ⊗ 1T ′1)(u∗) = (π ⊗ 1T ′1) [(1Q ⊗ T (f)1)(t

∗)]

= (π1Q ⊗ lT ′1T (f)1)(t∗)

= (π ⊗ T (f)1)(t∗)

= (1⊗ π)⊗ (T (f)11T1)(t∗)

= (1⊗ T (f)1)(π ⊗ 1T1)(t∗)

= (1⊗ T (f)1)(t) = u

Ademas,

s′0(u0) = s′0(T (f)0(t0))

= (T (f)s0)(t0)

= T (f)(s0(t0))

= f(s0(t0))

Entonces

εT (M ′)θ′1(1⊗ T (f)1) = T (f)εT (M)θ1

Consideremos ahora el rectangulo de la derecha: para comenzar, repasaremos ladefinicion de 1⊗ l1 y de 1⊗ l′1:

0 T (M) M M/T (M) 0- -l -j

-

114 CAPITULO 3. TOR

Aplicando sucesion exacta larga

· · · TorD2 (Q/D, M/T (M)) Tor

D1 (Q/D, T (M))

TorD1 (Q/D, M) Tor

D1 (Q/D, M/T (M))

- -

-1⊗l1 -

Pero TorD2 (Q/D,M/T (M)) y TorD1 (Q/D,M/T (M)) son nulos, entonces 1⊗ l1 esun isomorfismo. De manera analoga, 1⊗ l′1 es un isomorfismo.

Veamos entonces la conmutatividad del rectangulo: Sea t ∈ TorD1 (Q/D, T (M)) cont ∈ Ker(1⊗ s1) ⊆ Q/D ⊗ T1, entonces (1⊗ l1)(t) = (1⊗ l1)(t). Luego

(1⊗ f1)((1⊗ l1)(t)) = (1⊗ f1)((1⊗ l1)(t))

= (1⊗ f1l1)(t)

por el otro lado tenemos (1⊗ T (f)1)(t) = (1⊗ T (f)1)(t). Luego

(1⊗ l′1)((1⊗ T (f)1)(t)) = (1⊗ l′1)((1⊗ T (f)1)(t))

= (1⊗ l′1T (f)1)(t)

pero como l′T (f) = fl, entonces (l′T (f))i = (fl)i, ∀i ≥ 0, es decir, l′iT (f)i = fili,∀i ≥ 0, en particular, l′1T (f)1 = f1l1, lo que completa la prueba de (4).

(5) Consideremos la sucesion exacta

0 D Q Q/D 0- - - -

y consideremos la sucesion exacta larga para M :

· · · TorD1 (D, M) Tor

D1 (Q, M) Tor

D1 (Q/D, M)

TorD0 (D, M) Tor

D0 (Q, M) Tor

D0 (Q/D, M) 0

- - -

- - - -

ahora, como TorD1 (Q,M) = 0, entonces queda la siguiente porcion exacta

0 T (M) M Q⊗M Q/D ⊗M 0- - - - -

(6) (⇒) Si M es de torsion, entonces dado m ∈M , existe a 6= 0 en D tal que am = 0,entonces ∀p

q∈ Q se tiene que


p

q⊗m =

pa

qa⊗m

=p

qa⊗ am

= 0

(⇐) Segun (5) se tiene la sucesion exacta

0 T (M) M 0- -l -

entonces l es sobre, de donde T (M) ∼= M .

(7) Haremos induccion sobre i.Para i = 0, TorD0 (M,N) = M ⊗N . Dado n ∈ N , existe a 6= 0 en D tal que an = 0,entonces

a(m⊗ n) = am⊗ n

= ma⊗ n

= m⊗ an

= 0

Ası pues, TorD0 (M,N) es de torsion.

i = 1: Para M se tiene siempre una sucesion exacta de la forma

0 L P M 0- - - -

con P proyectivo, entonces aplicamos la sucesion exacta larga con N :

· · · TorD1 (L, N) Tor

D1 (l, P ) Tor

D1 (M, N) Tor

D0 (L, N) · · ·- - - - -

entonces tenemos la siguiente porcion exacta

0 TorD1 (M, N) L⊗N P ⊗N M ⊗N 0- - - - -

Por lo probado en el caso i = 0, tenemos que L⊗N es de torsion, comoTorD1 (M,N) ⊆ L⊗N , entonces TorD1 (M,N) es de torsion.

Supongamos que TorDi (M,N) es de torsion para todo D-modulo M . Considere-mos nuevamente la sucesion exacta larga:

· · · TorDi+1(L, N) Tor

Di+1(L, P ) Tor

Di+1(M, N) Tor

Di (L, N)- - - - -

116 CAPITULO 3. TOR

pero TorDi+1(L, P ) = 0, entonces tenemos la siguiente porcion exacta

0 TorDi+1(M, N) Tor

Di (L, N)- - -

entonces TorDi+1(M,N) ⊆ TorDi (L,N) es de torsion.

(8) Induccion sobre i.

i = 1: Comenzamos asumiendo que N es sin torsion, segun (5) se tiene la sigu-iente sucesion exacta:

0 T (N) N Q⊗N Q/D ⊗N 0- - - - -

es decir,

0 N Q⊗N Q/D ⊗N 0- - - -

es exacta, donde Q⊗N es un Q-espacio; ademas,

Q/D ⊗N = TorD0 (Q/D,N)

es de torsion segun (2), ya que Q/D es de torsion. Por tanto, aplicamos nuevamentela sucesion exacta larga:

· · · TorD2 (M, Q/D ⊗N) Tor

D1 (M, N)

TorD1 (M, Q⊗N) Tor

D1 (M, Q/D ⊗M) · · ·

- -

- - -

Pero TorD2 (M,Q/D⊗N) = 0 pues Q/D⊗N es de torsion segun (7), y TorD1 (M,Q⊗N) = 0 pues Q ⊗ N es D-plano por ser un Q-espacio, es decir, es suma directa decopias de Q.

Entonces TorD1 (M,N) es cociente del modulo de torsion TorD2 (M,Q/D ⊗ N), dedonde, TorD1 (M,N) es de torsion.

Ahora, supongamos que N es arbitrario, consideremos la sucesion

0 T (N) N N/T (N) 0- - - -

entonces, aplicando la sucesion exacta larga:

· · · TorD1 (M, T (N)) Tor

D1 (M, N) Tor

D1 (M, N/T (N)) · · ·- -α -β -


pero TorD1 (M,T (N)) es de torsion dado que T (N) lo es, y TorD1 (M,N/T (N)) esde torsion pues N/T (N) es sin torsion y por lo recien probado.

Pero

Im(β) ∼= TorD1 (M,N)/Ker(β) = TorD1 (M,N)/Im(α)

donde Im(β) e Im(α) son de torsion, esto implica que TorD1 (M,N) es de torsion.En efecto, se tiene en general la siguiente propiedad: si L/P es de torsion y P es detorsion, entonces L es de torsion: l ∈ L, entonces ∃a 6= 0 tal que al = 0, es decir,al ∈ P , entonces ∃b 6= 0 tal que bal = 0.

Para terminar, suponemos que TorDi (M,N) es de torsion ∀M,N . Entonces

· · · TorDi+1(L, N) Tor

Di+1(L, P )

TorDi+1(M, N) Tor

Di (L, N) · · ·

- -

- - -

con la sucesion

0 L P M 0- - - -

como en (7), entonces

TorDi+1(M,N) ⊆ TorDi (L,N)

es de torsion. Esto completa la prueba del teorema.

Veamos ahora la torsion en anillos no conmutativos.

Definicion 3.5.3. Sea D un dominio de Ore a derecha; M es sin torsion si

t(M) := {m ∈M |m · d = 0, para algun d ∈ D − {0}} = 0

M es de torsion si t(M) = M . t(M) es llamado el submodulo de torsion deM y sus elementos los elementos de torsion de M .

El hecho que t(M) es un D-submodulo de M es una consecuencia de la condicionde Ore a derecha. En efecto, param1,m2 ∈ t(M) y d1, d2 ∈ D veamos quem1·d1+m2·d2 ∈ t(M): existen p1, p2 ∈ D−{0} tales quem1·p1 = 0 ym2·p2 = 0; por la condicionde Ore existen r1, r2 ∈ D, s1, s2, t1, t2 ∈ D − {0} tales que p1r1 = d1s1, p2r2 = d2s2,s1t1 = s2t2, resulta entonces que (m1 ·d1+m2 ·d2)·s1t1 = m1 ·(d1s1)t1+m2 ·(d2s2)t2 =(m1 · p1) · r1t1 + ·(m2 · p2) · r2t2 = 0, con s1t1 6= 0.

Teorema 3.5.4. Sean D un dominio de Ore a derecha y M un D-modulo plano.Entonces, M es sin torsion.

118 CAPITULO 3. TOR

Demostracion. Rotman, pag. 129.

Proposicion 3.5.5. If D is a left hereditary ring, then every finitely generatedtorsion-free left D-module is projective.

Demostracion. Veanse [20] y [25].

Proposicion 3.5.6. If D is a left principal ideal domain, then every finitely gener-ated torsion-free left D-module is free.

Demostracion. Veanse [20] y [25].

3.6. Ejercicios

1. Demuestre el teorema 3.1.2.

2. Complete la demostracion del corolario 3.1.3.

3. Complete la demostracion del teorema 3.1.5.

4. Complete la demostracion del teorema 3.1.6.

5. Demuestre la siguiente generalizacion del teorema 3.1.7. Sean R un anillo con-mutativo y B una R-algebra plana. Entonces, para i ≥ 0 y cualesquiera R-modulos M,N se tiene el B-isomorfismo

TorRi (M,N)⊗R B ∼= TorBi (M ⊗R B,N ⊗R B).

6. Sea R un anillo conmutativo, J ⊂ R un ideal propio de R y sea B :=R[x1, . . . , xn]/J . Demuestre que para cada i ≥ 0 y cada R-modulo M se tieneel R[x1, . . . , xn]-isomorfismo

TorRi (M,B) ∼= TorR[x1,...,xn]i (M ⊗R R[x1, . . . , xn], B).

7. Demuestre que si cada submodulo f.g. de un A-modulo M es plano, entoncesM es plano.

Capıtulo 4

Dimensiones de modulos y anillos

4.1. Dimensiones proyectiva, inyectiva y plana de

un modulo

Proposicion 4.1.1. Sean A un anillo, 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 una sucesionexacta de A-modulos y n ≥ 0. Entonces,

(i) pd(M ′′) ≤ max{pd(M ′), pd(M)}+ 1.

(ii) Si M es proyectivo, entonces M ′ y M ′′ son proyectivos o pd(M ′′) = pd(M ′)+1.

(iii) Si pd(M ′) ≤ n y pd(M ′′) ≤ n, entonces pd(M) ≤ n.

(iv) Si pd(M ′) = n y pd(M ′′) ≤ n, entonces pd(M) = n.

(v) Si pd(M ′) > pd(M), entonces pd(M ′′) = pd(M ′) + 1.

(vi) pd(M) ≤ max{pd(M ′), pd(M ′′)}.

(vii) Si fd(M ′) = n y fd(M ′′) ≤ n, entonces fd(M) = n.

Demostracion. (i) Si pd(M) = ∞ o pd(M ′) = ∞, entonces claramente (i) se cumple.Supongamos pues que pd(M), pd(M ′) <∞ y seam := max{pd(M ′), pd(M ′′)}. Paracada A-modulo N y cada k ≥ m+ 1 se tiene que ExtkA(M ′, N) = 0 = ExtkA(M,N),luego en la sucecion exacta larga, aplicada a la sucesion exacta del enunciado de laproposicion, se tiene que

· · · → Extm+1A (M ′, N)

θm+2−−−→ Extm+2A (M ′′, N)

πm+2−−−→ Extm+2A (M,N) → · · ·

con Extm+1A (M ′, N) = 0 = Extm+2

A (M,N), por lo tanto, Extm+2A (M ′′, N) = 0 para

cada N , es decir, pd(M ′′) ≤ m+ 1.

119

120 CAPITULO 4. DIMENSIONES DE MODULOS Y ANILLOS

(ii) Si M ′′ es proyectivo, entonces M ∼= M ′ ⊕M ′′ y ası M ′ es proyectivo. Si M ′′

no es proyectivo, entonces M ′′ 6= 0 y pd(M ′′) ≥ 1; ademas, M ′ 6= 0, de lo contrarioM ′′ ∼= N serıa proyectivo. Consideremos dos casos posibles:

Caso 1. pd(M ′) es finita, digamos pd(M ′) := n ≥ 1. Sea N un A-modulo; con lasucesion exacta larga resulta

· · · → ExtkA(M,N) → ExtkA(M ′, N) → Extk+1A (M ′′, N) → Extk+1

A (M,N) → · · ·

pero como M es proyectivo entonces ExtkA(M ′, N) ∼= Extk+1A (M ′′, N) para cada

k ≥ 1, en particular 0 = Extn+1A (M ′, N) ∼= Extn+2

A (M ′′, N), luego pd(M ′′) ≤ n+ 1.Supongamos que pd(M ′′) ≤ n, entonces ExtnA(M ′, N) ∼= Extn+1

A (M ′′, N) = 0, esdecir, pd(M ′) ≤ n− 1, lo cual es falso. Por lo tanto, pd(M ′′) = n+ 1 = pd(M ′) + 1.

Caso 2. pd(M ′) = ∞, debemos ver que pd(M ′′) = ∞. Supongamos lo con-trario, sea pd(M ′′) = m, entonces Extm+1

A (M ′′, N) = 0 para cada modulo N , luegoExtmA (M ′, N) = 0, es decir, pd(M ′) ≤ m− 1, falso.

(iii) Por hipotesis, Extn+1A (M ′, N) = 0 = Extn+1

A (M ′′, N) para cada modulo N ;de la sucesion exacta larga resulta

· · · → Extn+1A (M ′′, N) → Extn+1

A (M,N) → Extn+1A (M ′, N) → · · · ,

luego Extn+1A (M,N) = 0, es decir, pd(M) ≤ n.

(iv) Segun (iii) se tiene que pd(M) ≤ n; puesto que pd(M ′) = n, exite un A-modulo N0 tal que ExtnA(M ′, N0) 6= 0 (de lo contrario pd(M ′) ≤ n − 1). En lasucesion exacta larga se tiene entonces que

· · · πn−→ ExtnA(M,N0)ιn−→ Extn+1

A (M ′, N0)θn+1−−→ Extn+1

A (M ′′, N0)πn+1−−−→ · · · ,

luego Extn+1A (M ′′, N0) = 0 y entonces ιn es sobreyectivo. Resulta ExtnA(M,N0) 6= 0

(pues ExtnA(M ′, N0) 6= 0), con lo cual pd(M) ≥ n, es decir, pd(M) = n.

(v) Si pd(M ′) > pd(M), entonces pd(M) es finita; sea m := pd(M), segun (i)pd(M ′′) ≤ pd(M ′) + 1. Supongamos que pd(M ′′) < pd(M ′) + 1, entonces pd(M ′′)es finita. Sea m′′ := pd(M ′′), entonces para cada k ≥ m′′ + 1 y cada modulo N setiene que ExtkA(M ′′, N) = 0, luego de la sucecion exacta larga

· · · → ExtkA(M ′′, N) → ExtkA(M,N) → ExtkA(M ′, N) → Extk+1A (M ′′, N) → · · · ,

resulta ExtkA(M,N) ∼= ExtkA(M ′, N) para cada k ≥ m′′ + 1. En particular, si m′ :=max{m,m′′} y k ≥ m′ + 1, entonces ExtkA(M ′, N) = 0 para cada N , luego m =pd(M) < pd(M ′) ≤ m′ = max{m,m′′}, lo cual solo es posible si m′ = m′′, de dondepd(M ′) ≤ pd(M ′′) < pd(M ′) + 1, es decir, pd(M ′) = pd(M ′′) = m′′, y por (iv),pd(M) = m′′, pero esto es falso ya que pd(M) < pd(M ′).

4.2. DIMENSIONES GLOBAL Y GLOBAL DEBIL DE UN ANILLO 121

(vi) Si pd(M ′) = ∞ o pd(M ′′) = ∞, entonces pd(M) ≤ ∞. Supongamos en-tonces que pd(M ′) y pd(M ′′) son ambas finitas y sea m := max{pd(M ′), pd(M ′′)};para cualquier A-modulo N , de la sucesion exacta larga

· · · → Extm+1A (M ′′, N) → Extm+1

A (M,N) → Extm+1A (M ′, N) → · · · ,

resulta Extm+1A (M,N) = 0, y por lo tanto pd(M) ≤ m.

(vii) Por la hipotesis se tiene que TorAn+1(M′′, N) = 0 = TorAn+1(M

′, N) paracada modulo N y existe u A-modulo N0 tal que TorAn (M ′, N0) 6= 0, con la sucesionexacta larga del Tor

0 → TorAn+1(M′, N) → TorAn+1(M,N) → TorAn+1(M

′′, N) → · · · ,

resulta TorAn+1(M,N) = 0, es decir, fd(M) ≤ n. Por otro lado, usando la sucesionexacta larga del Tor, pero con N0, encontramos la sucesion exacta

· · · → TorAn+1(M′′, N0) → TorAn (M ′, N0) → TorAn (M,N0) → · · · ,

con TorAn+1(M′′, N0) = 0, y como TorAn (M ′, N0) 6= 0 entonces TorAn (M,N0) 6= 0.

Esto garantiza que fd(M) ≥ n, luego fd(M) = n.

Proposicion 4.1.2. Sea {Mi}i∈C una familia de A-modulos. Entonces,

pd(⊕

i∈CMi) = sup{pd(Mi)}i∈C.

Demostracion. (i) Si pd(⊕

i∈CMi) = m < ∞, entonces para cada A-modulo N setiene que 0 = Extm+1

A (⊕

i∈CMi, N) ∼=∏

i∈C Extm+1A (Mi, N), luego para cada i ∈ C se

tiene que Extm+1A (Mi, N) = 0, es decir, pd(Mi) ≤ m, de donde sup{pd(Mi)}i∈C ≤ m.

(ii) Si sup{pd(Mi)}i∈C = m <∞, entonces para cada i ∈ C se tiene que pd(Mi) ≤m y en consecuencia Extm+1

A (Mi, N) = 0 para cada A-modulo N . Resulta 0 =∏i∈C Ext

m+1A (Mi, N) = Extm+1

A (⊕

i∈CMi, N), lo cual indica que pd(⊕

i∈CMi) ≤ m.(iii) Si pd(

⊕i∈CMi) = ∞, entonces por (ii) sup{pd(Mi)}i∈C = ∞.

4.2. Dimensiones global y global debil de un anillo

Recordemos que si R es un anillo, la dimension global a derecha de R se denotapor rgld(R), y se define por

rgld(R) := sup{pd(M)|M es un R-modulo a derecha},

donde pd(M) denota la dimension proyectiva de M , la cual se define como elmınimo n de las longitudes de todas las resoluciones proyectivas de M :

0 → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 →M → 0, Pi proyectivo, 1 ≤ i ≤ n.


Se asume que M tiene al menos una resolucion proyectiva finita, de lo contrariopd(M) := ∞, y entonces rgld(R) := ∞. En forma similar se definen la dimensionglobal a izquierda de R (la cual no siempre coincide con la anterior). La dimensionplana de M se define por medio de resoluciones con modulos planos y se denotapor fd(M). Puesto que todo modulo proyectivo es plano, entonces fd(M) ≤ pd(M).La dimension debil a derecha de un anillo, notada rwgld(R), se define por

rwgld(R) := sup{fd(M)|M es un R-modulo a derecha}.

La dimension debil a derecha de R coincide con su dimension debil a izquierda, portanto, la dimension debil de R se denota simplemente por wgld(R). Ademas, es claroque wgld(R) ≤ rgld(R), lgld(R), y las igualdades se tienen en anillos noetherianos aderecha e izquierda, respectivamente (vease [24]).

4.3. Dimension global de anillos noetherianos

4.4. Ejemplos

4.5. Dimension global y extensiones de anillos

Sea ι : R→ A un homomorfismo de anillos, en esta seccion estableceremos la relacionentre las dimensiones de los anillos R y A. Los resultados que probemos podran porlo tanto ser aplicados al caso particular en el cual ι es inyectivo, es decir, cuando Aes una extension de R.

Proposicion 4.5.1. Sea ι : R→ A un homomorfismo de anillos y MA un modulo.Entonces,

(i) pd(MR) ≤ pd(MA) + pd(AR).

(ii) fd(MR) ≤ fd(MA) + fd(AR).

Demostracion. (i) Si pd(MA) = ∞, entonces no hay algo que se deba demostrar. Seapues pd(MA) = n <∞. La pueba entonces se hace por induccion sobre n. Si n = 0,entonces MA es proyectivo y por tanto es sumando directo de un A-modulo libreFA = A(I), digamos MA⊕M ′

A = A(I), con lo cual MR⊕M ′R = A

(I)R . Sabemos que la

dimension proyectiva de una suma directa es el sup de las dimensiones proyectivasde los sumandos, luego pd(MR) ≤ pd(A

(I)R ) = pd(AR) = 0 + pd(AR) = pd(MA) +

pd(AR). Supongamos que n > 0, entonces MA no es proyectivo; existe un modulolibre FA = A(I) y una sucesion exacta 0 → KA → FA → MA → 0. Segun laproposicion 4.1.1 (ii), pd(KA) = n − 1. Por induccion, pd(KR) ≤ n − 1 + pd(AR);

pero pd(AR) = pd(A(I)R ) = pd(FR), entonces podemos aplicar la proposicion 4.1.1 (i)

4.5. DIMENSION GLOBAL Y EXTENSIONES DE ANILLOS 123

y obtenemos que pd(MR) ≤ max{pd(KR), pd(FR)}+ 1 = max{pd(KR), pd(AR)}+1 ≤ max{n − 1 + pd(AR), pd(AR)} + 1 = n − 1 + pd(AR) + 1 = n + pd(AR) =pd(MA) + pd(AR).

(ii) La prueba completa de este punto requiere de varios preliminares que nosapartan demasiado del tema que nos ocupa y se puede consultar en [20].

Proposicion 4.5.2. Sea A un anillo y sean I1, . . . , In ideales bilateros propios de Atales que I1I2 · · · In = 0. Entonces,

rgld(A) ≤ max{rgld(A/Ii) + pd((A/Ii)A)}ni=1.

Demostracion. Dado un modulo MA consideremos los submodulos Mi := MI1 · · · Iiy los cocientes Mi−1/Mi, 1 ≤ i ≤ n, con M0 := M . Notemos que Mi−1/Mi es unA/Ii-modulo y, por la proposicion 4.5.1, se tiene que

pd((Mi−1/Mi)A) ≤ pd((Mi−1/Mi)A/Ii) + pd((A/Ii)A) ≤ rgld(A/Ii) + pd((A/Ii)A).

Entonces,

max{pd((Mi−1/Mi)A)}ni=1 ≤ max{rgld(A/Ii) + pd((A/Ii)A)}ni=1 := k.

Consideremos la siguiente sucesion exacta de A-modulos:

0 →Mn−1 →Mn−2 →Mn−2/Mn−1 → 0;

segun la proposicion 4.1.1 (v), pd(Mn−2) ≤ max{pd(Mn−1), pd(Mn−2/Mn−1)} ≤ k(notese que Mn−1 = Mn−1/Mn). De manera similar, se tiene la sucecion exacta

0 →Mn−2 →Mn−3 →Mn−3/Mn−2 → 0,

y entonces pd(Mn−3) ≤ max{pd(Mn−2), pd(Mn−3/Mn−2)} ≤ k. Continuando de estamanera llegamos a

0 →M1 →M0 →M0/M1 → 0,

con lo cual pd(M) = pd(M0) ≤ max{pd(M1), pd(M0/M1)} ≤ k. Como MA es unmodulo cualquiera, entonces rgld(A) ≤ k.

Corolario 4.5.3. Sea A := A1 × · · · × An un producto finito de anillos. Entonces,rgld(A) ≤ max{rgld(Ai)}ni=1.

Demostracion. Basta demostrar la afirmacion para n = 2. Notemos que I1 :=(A1, 0) := {(a1, 0)|a1 ∈ A1} es un ideal bilatero propio de A; lo mismo se tienepara I2. Ademas, I1I2 = 0; I1, I2 son ideales derechos de A luego son A-submodulosde A y se tiene la descomposicion A = I1 ⊕ I2, por tanto, I1, I2 son A-proyectivos.Ademas, se tienen los A-isomorfismos A/I1 ∼= I2, A/I2 ∼= I1. La afirmacion delcorolario es entonces consecuencia de la proposicion anterior.


Definicion 4.5.4. Un modulo plano RF es fielmente plano si para cada moduloLR se cumple que

L⊗R F = 0 ⇔ L = 0.

Por ejemplo, todo modulo libre no nulo es fielmente plano. Una caracterizacionde los modulos fielmente planos se presenta en la siguiente proposicion.

Proposicion 4.5.5. Sea RF plano. Entonces, las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) RF es fielmente plano

(ii) IF 6= F para cada ideal derecho propio I de R

(iii) JF 6= F para cada ideal maximal derecho J de R.

Demostracion. (i)⇒(ii): Como RF es fielmente plano y R/I es no nulo, entonces(R/I)⊗ F ∼= F/IF es no nulo, luego IF 6= F .

(ii)⇒(i): sean LR 6= 0 y L′ cualquier submodulo cıclico no nulo de L. Entonces,L′ ∼= R/I, con I ideal derecho propio de R. Por hipotesis, IF 6= F , luego (R/I)⊗F 6=0, es decir, L′ ⊗ F 6= 0. Como F es plano y L′ ↪→ L es inyectiva, entonces entoncesL⊗ F 6= 0. Esto demuestra que F es fielmente plano.

(ii)⇒(iii) es evidente.(iii)⇒(ii): sea I ideal derecho propio de R, entonces existe J maximal derecho

tal que I ⊆ J , luego IF ⊆ JF . Si IF = F , entonces F = JF .

Corolario 4.5.6. Sean ι : R→ A un homomorfismo de anillos y RA plano. Si paracada modulo simple MR se tiene que M ⊗R A 6= 0, entonces RA es fielmente plano.

Demostracion. Sea J un ideal derecho maximal de R, entonces R/J es un R-modulosimple, luego (R/J)⊗R A ∼= A/JA 6= 0, es decir, JA 6= A. El resultado es entoncesconsecuancia de la proposicion anterior.

Proposicion 4.5.7. Sean ι : R → A un homomorfismo de anillos, RA fielmenteplano y MR un modulo. Entonces, la funcion canonica M →M ⊗R A, m 7→ m⊗ 1,es inyectiva.

Demostracion. Sea α : M → M ⊗R A la funcion canonica y sea K := ker(α).Consideremos la inclusion canonica ι′ : K →M , como RA es plano entonces ι′⊗ iA :K ⊗R A → M ⊗R A es inyectiva, luego para cada m ∈ K y a ∈ A se tiene que(ι′⊗ iA)(m⊗ a) = ι′(m)⊗ a = m⊗ a = (m⊗ 1)a = α(m)a = 0, es decir, K ⊗A = 0,pero como RA es fielmente plano, entonces K = 0 y α es inyectiva.

Lema 4.5.8. Sean ι : R → A un homomorfismo de anillos, rgld(R) < ∞ y RAfielmente plano.

4.5. DIMENSION GLOBAL Y EXTENSIONES DE ANILLOS 125

(i) Si AR es proyectivo, entonces rgld(R) ≤ rgld(A).

(ii) Si R es noetheriano a derecha y AR es plano, entonces rgld(R) ≤ rgld(A).

Demostracion. (i) Sea n := rgld(R); elegimos un modulo MR tal que pd(MR) = n,segun la proposicion anterior podemos construir la sucesion exacta de R-modulos0 → M → M ⊗R A → C → 0, con C := (M ⊗R A)/M . Para esta sucesion se tieneque pd(M) = n y pd(C) ≤ n ya que C es un R-modulo; podemos entonces aplicar laproposicion 4.1.1 (iii) y concluir que pd((M⊗RA)R) = n, pero de la proposicion 4.5.1(i) se obtiene que n = pd((M ⊗R A)R) ≤ pd((M ⊗R A)A) + pd(AR) = pd((M ⊗R

A)A) + 0 = pd((M ⊗R A)A). Ası pues, al menos un A-modulo tiene dimensionproyectiva mayor o igual a n, esto demuestra que rgld(A) ≥ n = rgld(R).

(ii) Sea n := wgld(R) = pgld(R); elegimos un modulo MR tal que fd(MR) = n.Segun la proposicion anterior podemos construir la sucesion exacta de R-modulos0 → M → M ⊗R A → C → 0, con C := (M ⊗R A)/M . Para esta sucesion setiene que fd(M) = n y fd(C) ≤ n ya que C es un R-modulo; podemos entoncesaplicar la proposicion 4.1.1 (v) y concluir que fd((M ⊗R A)R) = n, pero de laproposicion 4.5.1 (ii) se obtiene que n = fd((M⊗RA)R) ≤ fd((M⊗RA)A)+fd(AR) =fd((M⊗RA)A)+0 = fd((M⊗RA)A). Ası pues, al menos un A-modulo tiene dimensionplana mayor o igual a n, esto demuestra que wgld(A) ≥ n = wgld(R). Se tiene quergld(A) ≥ wgld(A), luego rgld(A) ≥ rgld(R).

Lema 4.5.9. Sean R ⊆ A anillos tales que R es sumando directo de A como R−R-bimodulo. Entonces, rgld(R) ≤ rgld(A)+pd(AR). En particular, si AR es proyectivo,entonces rgld(R) ≤ rgld(A).

Demostracion. Es claro que A y R son R − R-bimodulos; existe I ⊆ A, R − R-bimodulo, tal que A = R⊕ I. Sea MR un modulo, entonces M ⊗R A ∼= (M ⊗R R)⊕(M ⊗R I) ∼= M ⊕ (M ⊗R I), de donde pd(MR) ≤ pd(M ⊗R A)R ≤ pd(M ⊗R A)A +pd(AR) ≤ rgld(A) + pd(AR).

Sea M un R-modulo a derecha y sea Rσ−→ R un automorfismo de R, se define

una nueva estructura de R-modulo a derecha para M en la siguiente forma:

m ◦ r := m · σ(r).

Esta estructura para M la denotaremos por MσR. Notemos que

pd(MσR) = pd(MR). (4.5.1)

En efecto, P σR es R-proyectivo si, y solo si, PR es R-proyectivo ya que F σ

R es R-libresi, y solo si, FR es R-libre.

Lema 4.5.10. Sea A un anillo y sea x ∈ A−A∗ un elemento que no es divisor de cerotal que xA = Ax. Sea I := xA. Si rgld(A/I) <∞, entonces rgld(A) ≥ rgld(A/I)+1.


Demostracion. Notemos en primer lugar que I es un ideal bilatero propio de A.Ademas, como rgld(A/I) <∞, entonces cada modulo no nulo MA/I tiene dimensionproyectiva finita. Por tanto, el lema es consecuencia de la siguiente propiedad queprobaremos por induccion sobre n: si MA/I es un modulo no nulo con pd(MA/I) =n <∞, entonces pd(MA) = n+ 1.

M tiene estructura natural de A-modulo derecho dada por m · a := m · a, cona := a + I, luego M · x = 0, con lo cual MA no es proyectivo y esto implica quepd(MA) 6= 0. Una observacion adicional antes de iniciar la prueba inductiva: comox no es un divisor de cero I = xA ∼= A (isomorfismo de A-modulos derechos), deesto se desprende que pd((A/I)A) = 1: en efecto, se tiene la sucesion exacta deA-modulos 0 → I → A → A/I → 0, con AA proyectivo, IA proyectivo, pero talcomo observamos antes, (A/I)A no es proyectivo. Aplicamos la proposicion 4.1.1 (ii)y obtenemos que pd((A/I)A) = pd(I) + 1 = 0 + 1 = 1.

Para n = 0, MA/I es proyectivo, es decir, es sumando directo de un A/I-modu-lo libre, digamos MA/I ⊕ M ′

A/I∼= (A/I)(X), luego MA ⊕ M ′

A∼= ((A/I)A)(X), con

lo cual pd(MA) = 1 = 0 + 1. Supongamos que n > 0; se tiene una sucesion deA/I-modulos 0 → KA/I → FA/I → MA/I → 0, con FA/I libre; como MA/I no esproyectivo entonces pd(KA/I) = n − 1. Por induccion, pd(KA) = n; consideremosla sucesion exacta anterior pero como A-modulos, entonces la proposicion 4.5.1 diceque pd(FA) ≤ pd(FA/I)+pd((A/I)A) = 0+1 = 1, y se tiene que pd(KA) > pd(FA)(salvo en el caso que n = 1 y pd(FA) = 1, el cual consideraremos enseguida aparte),aplicamos entonces la proposicion 4.1.1 (v) y obtenemos pd(MA) = n+ 1.

Veamos entonces el caso particular n = 1 y pd(FA) = 1, entonces pd(KA) = 1 =pd(FA) y, segun la proposicion 4.1.1 (i), pd(MA) ≤ 2. Para concluir probemos que enrealidad pd(MA) = 2. Ya sabemos que pd(MA) 6= 0. Supongamos que pd(MA) = 1y veamos que esto nos lleva a una contradiccion. Existe una sucesion exacta deA-modulos 0 → Q → P → M → 0 con Q y P modulos A-proyectivos, es decir,pd(QA) = 0 = pd(PA). Puesto que M ·x = 0, entonces P ·x ⊆ Q ya que M ∼= P/Q.Se inducen las siguientes sucesiones exactas de A/I-modulos:

0 → Q/P · x→ P/P · x→M → 0, 0 → P · x/Q · x→ Q/Q · x→ Q/P · x→ 0.

Notemos que P/P · x ∼= P ⊗A A/I es A/I-proyectivo, y, de la misma manera,Q/Q · x ∼= Q⊗A A/I es A/I-proyectivo. M no es A/I-proyectivo ya que suponemosque pd(MA/I) = 1; aplicando la proposicion 4.1.1 (ii) a la primera sucesion anterior seobtiene que pd((Q/P ·x)A/I) = 0, es decir, la segunda sucesion es hendida, de lo cualobtenemos pd((P ·x/Q·x)A/I) = 0. De otra parte, notemos que a partir de la igualdadAx = xA se induce un automorfismo de A. En efecto, puesto que x no es un divisorde cero, dado a ∈ A existe un unico σ(a) ∈ A tal que ax = xσ(a), se define entoncesσ : A→ A de esta manera; es facil ver que σ efectivamente es un automorfismo delanillo A. Se tiene entonces la sucesion exacta de A-modulos derechos 0 → Qσ−1 →P σ−1 → Mσ−1 → 0, de donde Mσ−1 ∼= P σ−1

/Qσ−1(isomorfismo de A-modulos);

4.6. TEOREMA DE SICIGIAS DE HILBERT 127

pero notemos que P σ−1 ∼= P ·x y Qσ−1 ∼= Q ·x (isomorfismo de A-modulos). Veamospor ejemplo el primer isomorfismo, el segundo se establece en forma analoga: α :P σ−1 → P · x, p 7→ p · x, claramente α es aditivo, y si a ∈ A, entonces α(p ◦ a) =α(p · σ−1(a)) = (p · σ−1(a)) · x = p · (xσ(σ−1(a))) = p · (xa) = (p · x) · a = α(p) · a.Se tiene el A-isomorfismo Mσ−1 ∼= P · x/Q · x, pero como este ultimo cocientees un A/I-modulo, entonces Mσ−1

es tambien un A/I-modulo y el isomorfismo estambien de A/I-modulos. Resulta, pd(Mσ−1

A/I ) = 0 = pd(MA/I), en contradiccion conlo supuesto.

4.6. Teorema de sicigias de Hilbert

Uno de los teoremas mas importantes del algebra homologica es el teorema de sicigiasy es debido a Hilbert; este resultado permite calcular la dimension global del anillode polinomios.

Proposicion 4.6.1. Sean A := R[x;σ, δ] y MA un modulo. Entonces

(i) La siguiente sucesion de A-modulos derechos es exacta

0 →Mσ ⊗R Aβ−→M ⊗R A

α−→MA → 0,

con β(m⊗ a) := m · x⊗ a−m⊗ xa y α(m⊗ a) := m · a.

(ii) pd(MA) ≤ pd(MR) + 1.

Demostracion. (i) En el siguiente diagrama

Mσ ×R A Mσ ⊗R A

M ⊗R A?

β′

-ψ pppppppppppppp+ β

ψ(m, a) := m ⊗ a, β′(m, a) := m · x ⊗ a − m ⊗ xa son funciones bilineales y R-balanceadas. En efecto, probemos solamente la propiedad de balanceo: β′(m◦r, a) =β′(m · σ(r), a) = (m · σ(r)) · x⊗ a−m · σ(r)⊗ xa = m · (σ(r)x)⊗ a−m⊗ σ(r)xa =m ·(xr−δ(r))⊗a−m⊗(xr−δ(r))a = m ·x⊗ra−m⊗δ(r)a−m⊗xra+m⊗δ(r)a =β′(m, ra). La propiedad universal del producto tensorial define el homomorfismo degrupos abelianos β(m ⊗ a) = m · x ⊗ a − m ⊗ xa. Notemos ademas que β es unA-homomorfismo de modulos derechos. En forma analoga se construye α, el cual estambien un A-homomorfismo de modulos derechos.


β es inyectivo: sea z ∈ Mσ ⊗R A no nulo, notemos entonces que β(z) 6= 0. Enefecto, cada elemento z de Mσ⊗RA se puede escribir en la forma z =

∑ni=0mi⊗xi,

con mn 6= 0, es decir, como un polinomio en x con coeficientes en M , por lo tanto,β(z) =

∑ni=0(mi·x)⊗xi−mi⊗xi+1 es no nulo ya que su termino principalmn⊗xn+1 es

no nulo. En efecto, notemos que en el isomorfismo Mσ⊗RA ∼= M⊗RR(N) ∼= (Mσ)(N)

al elemento z =∑n

i=0mi ⊗ xi le corresponde (m0, . . . ,mn) y esto muestra porquemn ⊗ xn+1 en β(z) es no nulo.

α es obviamente sobreyectivo y ademas Im(β) ⊆ ker(α). Veamos que ker(α) ⊆Im(β). Supongamos lo contrario, es decir, existe z ∈ ker(α) pero z /∈ Im(β). Detodos los elementos z =

∑ni=0mi ⊗ xi en ker(α) con esta condicion, elegimos uno

con n mınimo; z se puede escribir en la forma

z = −(mnx⊗ 1−mn ⊗ x)xn−1 + (mnx⊗ xn−1 +∑n−1

i=0 mi ⊗ xi),

notemos que el primer sumando es −β(mn ⊗ 1), es decir, pertenece a Im(β) ⊆ker(α), con lo cual el segundo sumando esta en ker(α)− Im(β), y esto contradice laminimalidad de n. En consecuencia, ker(α) = Im(β) y la parte (i) esta demostrada.

(ii) Si pd(MR) = ∞, entonces claramente pd(MA) ≤ pd(MR) + 1. Supongamosentonces que pd(MR) < ∞. Puesto que RA es libre, entonces es proyectivo, y porende plano. En consecuencia, si 0 → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 → M → 0 esuna resolucion R-proyectiva de MR, entonces 0 → Pn ⊗R A→ Pn−1 ⊗R A→ · · · →P1 ⊗R A → P0 ⊗R A → M ⊗R A → 0 es una resolucion A-proyectiva de M ⊗R A,de donde, pd(M ⊗R A) ≤ pd(MR). Por (4.5.1), pd(Mσ

R) = pd(MR), luego pd(MσR)

es finita y podemos razonar igual y decir que pd(Mσ ⊗R A) ≤ pd(MσR) = pd(MR).

Segun la proposicion 4.1.1 (i) e (i), pd(MA) ≤ max{pd(Mσ⊗RA), pd(M⊗RA)}+1,luego pd(MA) ≤ pd(MR) + 1.

Teorema 4.6.2 (Teorema de sicigias de Hilbert). Sea R un anillo. Entonces,

rgld(R[x1, . . . , xn]) = rgld(R) + n.

Demostracion. (i) De la proposicion 4.6.1 resulta rgld(R[x;σ, δ]) ≤ rgld(R) + 1.Ası pues, para la demostracion de esta desigualdad no se usa que la dimensionglobal a derecha de R sea finita.

Para la primera desigualdad necesitamos la hipotesis rgld(R) < ∞ para poderaplicar el lema 4.5.8: notemos que A := R[x;σ, δ] ⊇ R, RA es fielmente plano yaque es R-libre, y ademas, AR es proyectivo. Veamos la prueba de esto ultimo: laestructura de A como R-modulo derecho es la que da el producto en A, es decir,a · r = ar, con a ∈ A y r ∈ R. Veamos que AR es libre con base {xn}n≥0: primeroprobemos que {xn〉R = A. Puesto que cada elemento de A es de la forma a = r0 +r1x+ · · ·+ rnx

n, entonces basta demostrar por induccion sobre k que cada sumandorkx

k pertenece a {1, x, x2, . . . , xk〉R. Para k = 0 el enunciado es evidente; para k = 1tenemos rx = xσ−1(r) − δ(σ−1(r)); rxk+1 = rxkx = (r0 + xr1 + · · · + xkrk)x =

4.6. TEOREMA DE SICIGIAS DE HILBERT 129

r0x + xr1x + · · · + xkrkx, pero rix = xsi + ti para algunos si, ti ∈ R, 0 ≤ i ≤ k,por lo tanto rxk+1 ∈ {1, x, x2, . . . , xk+1〉R. Para terminar veamos que {xn}n≥0 eslinealmente independiente. Sean r0, r1, . . . , rk ∈ R tales que r0 +xr1 + · · ·+xkrk = 0,escribiendo el sumando de la izquierda de la igualdad anterior en forma estandar,es decir, con los coeficientes de R dispuestos a izquierda, entonces el coeficientecorrespondiente a xk es σk(rk), pero como RA es libre con base {xn}n≥0, entoncesσk(rk) = 0, es decir, rk = 0. Por lo tanto, r0 + xr1 + · · · + xk−1rk−1 = 0, y porinduccion, r0 = · · · = rk−1 = 0.

(ii) Segun (i), la desigualdad rgld(R[x; δ]) ≤ rgld(R) + 1 se cumple sin importarsi la dimension global a derecha de R es infinita o finita. Para la demostracion de ladesigualdad rgld(R[x; δ]) ≥ rgld(R) + 1 consideremos por separado dos casos:

(a) rgld(R) = ∞. Como ya hemos visto, R[x;σ]R es proyectivo, ademas, R essumando directo de R[x;σ] como R−R-bimodulo ya que δ = 0. Segun el lema 4.5.9(probado en general, es decir, valido aun en el caso infinito), rgld(R) ≤ rgld(R[x;σ]),por tanto, rgld(R[x;σ]) = ∞ y se cumple en este caso la igualdad rgld(R[x;σ]) =rgld(R) + 1.

(b) rgld(R) < ∞. Como I := δ = 0, xA = Ax es un ideal bilatero y se tiene elisomorfismo de anillos R[x; δ]/I ∼= R; por lo tanto, podemos aplicar el lema 4.5.10.

Para el caso particular del anillo habitual de polinomios σ = iR, luego el resultadose obtiene por recurrencia.

(iii) Esta propiedad es consecuencia directa de (i) ya que un anillo es semisimplesi, y solo si, su dimension global es nula. Luego, 0 ≤ rgld(R[x;σ, δ]) ≤ 1, peroR[x;σ, δ] no es semisimple por no ser artiniano, de donde rgld(R[x;σ, δ]) = 1.

Observacion 4.6.3. A pesar que nosotros hemos definido el anillo de polinomiostorcidos con coeficientes a izquierda, el teorema anterior se demostro en su versionderecha. Hubiera sido mas natural probarlo en su version a izquierda. Sin embargo,como ya hemos insistido en ocasiones anteriores, todos los resultados necesariospara demostrar el teorema son validos por la izquierda. En particular, notemos queR[x;σ, δ] es fielmente plano y proyectivo tanto como R-modulo a derecha como aizquierda. Ası pues, si σ es un automorfismo, entonces:

(i) lgld(R) ≤ lgld(R[x;σ, δ]) ≤ lgld(R) + 1, si lgld(R) <∞.

(ii) lgld(R[x;σ]) = lgld(R) + 1. En particular, lgld(R[x1, . . . , xn]) = lgld(R) + n.

(iii) Si R es semisimple, entonces lgld(R[x;σ, δ]) = 1.

Presentamos a continuacion otra propiedad complementaria relacionada con elcalculo de la dimension global para localizaciones por polinomios monicos.

Proposicion 4.6.4. Sean R un anillo noetheriano (a derecha e izquierda), σ unautomorfismo y S el conjunto de polinomios monicos de A := R[x;σ, δ]. Si gld(R) :=n <∞, entonces gld(AS−1) = n.


Demostracion. ([20], p. 285).

4.7. Anillos regulares

Definicion 4.7.1. Sea R un anillo; se dice que R es regular a derecha (izquierda)si cada R-modulo derecho (izquierdo) f.g. tiene dimension proyectiva finita.

El siguiente lema lo probamos por derecha, pero desde luego es tambien validoa izquierda (vease la observacion 1.8.29).

Lema 4.7.2. Sea A un anillo filtrado positivamente.

(i) Si MA es filtrado, entonces pd(MA) ≤ pd(Gr(M)).

(ii) rgld(A) ≤ rgld(Gr(A)).

(iii) Si Gr(A) es regular a derecha (izquierda), entonces A es regular a derecha(izquierda).

Demostracion. (i) Si pd(Gr(M)) = ∞, entonces el resultado se cumple. Suponga-mos que pd(Gr(M)) := n < ∞. Se tienen las sucesiones exactas del lema 1.8.27 ypor lo tanto K ′ es proyectivo, de donde, K es tambien proyectivo y pd(M) ≤ n.

(ii) Esta parte es consecuencia directa de la anterior ya que todo modulo sobreun anillo filtrado tiene una filtracion estandar: en efecto, se puede repetir la de-mostracion de la proposicion 1.8.23 (ii) eligiendo cualquier sistema de generadoresde MA (no necesariamente finito).

(iii) Sea MA un modulo f.g.; segun la proposicion 1.8.23, existe una filtracion deM tal que Gr(M) es f.g. sobre Gr(A). Segun (i), pd(MA) ≤ pd(Gr(M)), pero comoGr(A) es regular, entonces pd(Gr(M)) <∞, de donde, pd(MA) <∞.

Teorema 4.7.3. Sea R un anillo regular noetheriano a derecha (izquierda). Si σ esun automorfismo, entonces R[x;σ, δ] es regular noetheriano a derecha (izquierda).

Demostracion. El teorema ?? garantiza que R[x;σ, δ] es noetheriano a derecha(izquierda). La demostracion de la regularidad la haremos en dos pasos y por ellado derecho. La prueba por el lado izquierdo es analoga y se basa en que todos lospreliminares usados en el caso derecho son desde luego validos a izquierda.

Paso 1. Supongamos que el resultado es cierto con δ = 0. Segun el ejemplo?? (ii), A := R[x;σ, δ] es una extension σ − PBW . Segun la demostracion delteorema ?? (ii), A es filtrado con filtracion dada por el grado de los polinomios,y ademas, Gr(A) ∼= R[x]/I, donde I = 〈xr − σ(r)x|r ∈ R〉. Pero notemos queB := R[x]/I ∼= R[x;σ]. En efecto, consideremos el homomorfismo natural de anillosf : R → B, r 7→ r, el cual satisface xf(r) = f(σ(r))x. La propiedad universal

4.7. ANILLOS REGULARES 131

de R[x;σ] garantiza la existencia de un homomorfismo de anillos f : R[x;σ] → Bque satisface f(r) = r y f(x) = x. f es claramente sobreyectivo. Veamos que f esinyectivo:

Ası pues, si Gr(A) ∼= R[x;σ] es regular a derecha, entonces el lema 4.7.2 diceque A es regular a derecha.

Paso 2. Probemos entonces que A := R[x;σ] es regular a derecha. Sea MA f.g.,por la proposicion 4.6.1 (ii), pd(MA) ≤ pd(MR) + 1. Basta entonces demostrar quepd(MR) <∞. No podemos asegurar que MR se f.g. para poder aplicar la hipotesis yconcluir que la dimension proyectiva de MR sea finita. Por lo tanto, debemos razonarde otra manera.

Como MA es f.g., existen z1, . . . , zt ∈M tales que M = {z1, . . . , zt〉A; sea M0 :={z1, . . . , zt〉R. Notese que M0A = M . En efecto, M0A ⊆M , y si z ∈M , entonces z =z1p1 + · · ·+ztpt, con pi ∈ A, 1 ≤ i ≤ t; como cada pi es un polinomio con coefcientesen R a izquierda, entonces es claro que z ∈ M0A. Definimos Mp :=

∑pi=0M0x

i,p ≥ 0; cada M0x

i es f.g. como R-modulo derecho: sea z ∈ M0xi, entonces existen

r1, . . . , rt ∈ R tales que z = (z1 · r1 + · · ·+ zt · rt)xi = z1xiσ−i(r1) + · · ·+ ztx

iσ−i(rt),luego el sistema de R-generadores de M0x

i es z1xi, . . . , ztx

i. Por lo tanto, Mp esf.g. como R-modulo derecho, y de esta manera, Mp/Mp−1 tambien es f.g. como R-modulo derecho. Notemos que Mp+1 = Mpx+Mp: M0x+M0x

2+· · ·+M0xp+1+M0+

M0x+ · · ·+M0xp = Mp+1. Resulta entonces la siguiente sucesion de homomorfismos

sobreyectivos de grupos abelianos:

M0 →M1/M0 →M2/M1 → · · · .

En efecto, si z ∈Mp, entonces la funcionMp/Mp−1βp−→Mp+1/Mp definida por z 7→ zx

es un homomorfismo sobreyectivo de grupos bien definido, pero no necesariamentees un R-homomofismo: βp(z · r) = (z · r)x = zxσ−1(r) = zx · σ−1(r). Resulta el

homomorfismo sobreyectivo de grupos abelianos M0αp−→ Mp/Mp−1 cuyo nucleo de-

notamos por Kp. Observemos que si z ∈M0, entonces αp(z) = zxp, luego si z ∈ Kp

y r ∈ R, entonces αp(z ·r) = z · rxp = zxpσ−p(r) = zxp ·σ−p(r) = αp(z) ·σ−p(r) = 0,es decir, Kp es un R-submodulo de M0. Puesto que αp = βp−1αp−1, resulta la cadenaascendente K0 ⊆ K1 ⊆ · · · de R-submodulos de M0, pero como R es noetherianoa derecha y M0 es f.g., entonces M0 es noetheriano y esta cadena se estabiliza, esdecir, existe p tal que Kp+i = Kp para cada i ≥ 0. En consecuencia, para cada i ≥ 0se tiene el isomorfismo de grupos abelianos

Mp+i+1/Mp+i∼= M0/Kp+i+1 = M0/Kp

∼= Mp/Mp−1,

pero si razonamos como vimos en el caso de βp, resulta el R-isomorfismo

Mp+i+1/Mp+i∼= (Mp/Mp−1)

θ,

con θ := σ−(i+1). Entonces,


pd(Mp+i+1/Mp+i) = pd((Mp/Mp−1)θ) = pd(Mp/Mp−1),

para cada i ≥ 0. Como R es regular a derecha y Mn es f.g. como R-modulo, entoncespd(Mn) < ∞ para cada n ≥ 0; tambien, como Mp/Mp−1 es f.g. como R-modulo,entonces pd(Mp/Mp−1) := m <∞. Sabemos que pd(

⊕∞n=0Mn) = sup{pd(Mn)}∞n=0.

Veamos que este sup es finito. Tenemos la sucesion exacta de R-modulos

0 →M0 →M1 →M1/M0 → 0,

por la proposicion 4.1.1 (v), pd(M1) ≤ max{pd(M0), pd(M1/M0)}; lo mismo pode-mos hacer con

0 →M1 →M2 →M2/M1 → 0,

y obtener que pd(M2) ≤ max{pd(M1), pd(M2/M1)}. Continuando de esta maneraencontramos que para cada i ≥ 0,

pd(Mp+i+1) ≤ max{pd(M0), pd(M1/M0), . . . , pd(Mp/Mp−1)} := m.

Sea w := max{pd(M0), . . . , pd(Mp),m}, por lo tanto, sup{pd(Mn)}∞n=0 ≤ w. Paraconcluir, consideremos la siguiente sucesion exacta de R-modulos:

0 →⊕

Mnι−→

⊕Mn

π−→M → 0,

con ι((mn)) := (mn −mn−1) y π((mn)) :=∑mn. En efecto, ι es obviamente inyec-

tivo; como M0A = M entonces π es sobreyectivo; claramente Im(ι) ⊆ ker(π); sea(mn) ∈ ker(π), existe k con (mn) = (m0,m1, . . . ,mk, 0, . . . ) y m0+m1+· · ·+mk = 0,entonces ι(m0,m1 +m0,m2 +m1 +m0, . . . ,mk +mk−1 + · · ·+m0, 0, . . . ) = (mn).

De la sucesion anterior resulta, pd(M) ≤ w + 1 <∞.

Proposicion 4.7.4. Sean R un anillo regular a derecha (izquierda) y S un subcon-junto multiplicativo de R tales que AS−1 existe (S−1A existe), entonces AS−1 esregular a derecha (izquierda).

Demostracion. Vease [20], proposicion 7.7.3.

4.8. Dimension de Krull: caso conmutativo

4.9. Dimension de Krull: caso no conmutativo

Mostramos a continuacion los principales resultados de la teorıa de dimension deKrull de modulos y anillos. El desarrollo lo haremos para el caso de modulos aderecha, pero desde luego que todos los resultados son tambien validos a izquierda.

Definicion 4.9.1. Sea R un anillo. Para cada ordinal α ≥ −1 se definen las si-guientes clases Kα de R-modulos:

4.9. DIMENSION DE KRULL: CASO NO CONMUTATIVO 133

(i) K−1 := {0}.

(ii) Se asume que la clase Kβ esta definida para cada β < α y se define Kα dela siguiente manera: M ∈ Kα si, y solo si, para cada cadena de submodulosM0 ⊇M1 ⊇ · · · de M se tiene que Mi/Mi+1 ∈

⋃β<αKβ para casi todo i.

(iii) Si M ∼= M ′, entonces M ∈ Kα si, y solo si, M ′ ∈ Kα.

Se dice que la dimension de Krull de M existe, o que esta definida, si existe α talque M ∈ Kα, y en tal caso se escribe Kdim(M) ≤ α. El menor α tal que M ∈ Kα

se denomina la dimension de Krull de M y se escribe Kdim(M) = α. Si paracada α, M /∈ Kα, entonces se dice que M no tiene dimension de Krull.

Proposicion 4.9.2. Sean α ≥ 0 y M un modulo. Entonces, Kdim(M) ≤ α si, ysolo si, para cada cadena descendente M0 ⊇M1 ⊇ · · · de submodulos de M se tieneque Kdim(Mi/Mi+1) < α para casi todo i.

Demostracion. ⇒): sea Kdim(M) ≤ α, entonces para casi todo i, Mi/Mi+1 ∈⋃β<αKβ, y para esos valores de i se tiene que Kdim(Mi/Mi+1) esta definida y

Kdim(Mi/Mi+1) < α.

⇐): la condicion impuesta indica que para casi todo i los cocientes Mi/Mi+1

tienen dimension de Krull, digamos, Kdim(Mi/Mi+1) := αi < α, luego Mi/Mi+1 ∈Kαi

, de donde Mi/Mi+1 ∈⋃β<αKβ, es decir, M ∈ Kα, o en forma equivalente,

Kdim(M) ≤ α.

La siguiente proposicion establece que la dimension de Krull de un modulo Mmide que tan cerca esta M de ser artiniano.

Proposicion 4.9.3. Kdim(M) = 0 si, y solo si, M 6= 0 y M es artiniano.

Demostracion. ⇐): M 6= 0 ya que de lo contrario Kdim(M) = −1; sea M0 ⊇M1 ⊇ · · · una cadena descendente de submodulos de M , entonces para casi todo i,Mi/Mi+1 = 0, es decir, la cadena se estabiliza

⇐): como M 6= 0, M /∈ K−1; puesto que cada cadena descendente de submodulosde M se estabiliza, entonces M ∈ K0, es decir, Kdim(M) = 0.

Ejemplo 4.9.4. (i) Kdim(ZZ) = 1: ya que ZZ no es artiniano, entonces Kdim(ZZ) ≥1. Sea 〈m0〉 ⊇ 〈m1〉 ⊇ · · · una cadena de ideales de Z; para cada i, 〈mi〉/〈mi+1〉 esartiniano, luego 〈mi〉/〈mi+1〉 ∈ K0, y entonces Kdim(ZZ) = 1.

(ii) Si K es un cuerpo entonces Kdim(K[x]) = 1.

(iii) Puesto que Zp∞ es artiniano Kdim(Zp∞) = 0, notemos que Zp∞ no es unZ-modulo noetheriano.


Teorema 4.9.5. Sean R un anillo y N ⊆M modulos sobre R. Entonces, Kdim(M)existe si, y solo si, Kdim(N) y Kdim(M/N) existen. En tal caso,

Kdim(M) = max{Kdim(N),Kdim(M/N)}.

Demostracion. ⇒): sea Kdim(M) ≤ α, veamos que Kdim(N),Kdim(M/N) ≤ α.Para esto probemos que N,M/N ∈ Kα. Sea N0 ⊇ N1 ⊇ · · · una cadena de submodu-los de N , luego es tambien una cadena descendente de submodulos de M y porlo tanto Ni/Ni+1 ∈

⋃β<αKβ, para casi todo i. Esto indica que N ∈ Kα, es de-

cir, Kdim(N) ≤ α. Sea ahora M0/N ⊇ M1/N ⊇ · · · una cadena descendente desubmodulos de M/N , resulta en M la cadena M0 ⊇M1 ⊇ · · · y para casi todo i setiene que Mi/Mi+1 ∈

⋃β<αKβ, pero como (Mi/N)/(Mi+1/N) ∼= Mi/Mi+1, entonces

(Mi/N)/(Mi+1/N) ∈⋃β<αKβ para casi todo i, de donde Kdim(M/N) ≤ α.

Lo probado adicionalmente significa que

Kdim(M) ≥ max{Kdim(N),Kdim(M/N)}.

⇐): supongamos ahora que Kdim(N) y Kdim(M/N) existen, y sea

α := max{Kdim(N),Kdim(M/N)}.

Entonces Kdim(N) ≤ α y Kdim(M/N) ≤ α; probaremos por induccion sobre αque Kdim(M) ≤ α. Si α = −1, entonces N = 0, M/N = 0, de donde M = 0 yKdim(M) = −1 ≤ α. Sea α ≥ 0 y sea M0 ⊇ M1 ⊇ · · · una cadena descendente desubmodulos deM , entonces resulta enM/N la cadena (M0+N)/N ⊇ (M1+N)/N ⊇· · · , luego para casi todo i,

Kdim[(Mi +N/N)/(Mi+1 +N/N)] = Kdim[(Mi +N)/(Mi+1 +N)] < α.

De igual manera resulta en N la cadena de submodulos M0 ∩N ⊇M1 ∩N ⊇ · · · , ypara casi todo i,

Kdim(Mi ∩N/Mi+1 ∩N) < α.

Notemos que para cada i se tiene el R-homomorfismo sobreyectivo

Mi/Mi+1fi−→ (Mi +N)/(Mi+1 +N)

mi 7→ mi

con ker(fi) ∼= (Mi ∩N)/(Mi+1 ∩N). Veamos la prueba de esta ultima afirmacion: simi ∈Mi ∩N , entonces fi(mi) = mi = 0 y definimos

Mi ∩Ngi−→ ker(fi), mi 7→ mi.

gi es claramente un R-homomofismo, ademas es sobreyectivo porque si mi ∈ ker(fi),entonces mi = 0, de donde mi = mi+1 + n, con mi ∈Mi,mi+1 ∈Mi+1, n ∈ N , luegon = mi −mi+1 ∈ Mi ∩ N y desta manera gi(n) = n = mi. Ahora observemos que


ker(gi) = Mi+1 ∩ N pues si mi ∈ ker(gi), entonces mi ∈ N y entonces mi = 0, dedonde mi ∈Mi+1, es decir, mi ∈Mi+1 ∩N .

Con lo probado se tiene que Kdim(ker(fi)) < α para casi todo i y tambienque Kdim[(Mi/Mi+1)/(ker(fi))] = Kdim[(Mi + N)/(Mi+1 + N)] < α. Aplicamosinduccion y encontramos que para casi todo i

Kdim(Mi/Mi+1) ≤ max{Kdim(ker(fi)),Kdim[(Mi +N)/(Mi+1 +N)]} < α,

pero esto significa que Kdim(M) ≤ α. Esto completa la prueba del teorema.

Corolario 4.9.6. Sean M1, . . . ,Mk modulos sobre el anillo R tales que Kdim(Mi)existe para cada 1 ≤ i ≤ k. Entonces,

Kdim(M1 ⊕ · · · ⊕Mk) = max{Kdim(Mi)}ki=1.

Demostracion. Basta probar el corolario para k = 2. Como Kdim(M1),Kdim(M2)existen, entonces Kdim[(M1⊕M2)/M1] existe y se puede aplicar el teorema anterior.

Proposicion 4.9.7. Sean R un anillo y 0 6= M un modulo tales que para cadasubmodulo 0 6= N ⊆M , Kdim(M/N) ≤ α. Entonces, Kdim(M) ≤ α+ 1.

Demostracion. Si α = −1, entonces para cada 0 6= N ⊆ M , N = M , es decir, Mes simple, luego artiniano, de donde Kdim(M) = 0 = α + 1. Sea pues α ≥ 0; seaM0 ⊇ M1 ⊇ · · · una cadena de submodulos de M ; si existe n tal que Mn = 0,entonces para cada i ≥ n se tiene que Kdim(Mi/Mi+1) = −1 < α < α + 1; si cadaMi es no nulo, entonces Kdim(Mi/Mi+1) ≤ Kdim(M/Mi+1) ≤ α < α + 1. Resulta,Kdim(M) ≤ α+ 1.

Corolario 4.9.8. Sean R un anillo y M un R-modulo noetheriano. Entonces,Kdim(M) esta definida.

Demostracion. SiM = 0, entonces Kdim(M) = −1. Supongamos entonces queM esno nulo. Para comenzar veamos que para cada submodulo 0 6= N ⊆M la dimensionde Krull de M/N esta definida. Sea C la coleccion de submodulos no nulos N deM tales que Kdim(M/N) no esta definida y asumamos que C 6= ∅. Como M esnoetheriano, sea N1 un elemento maximal de C. N1 6= M ; si para cada x ∈M −N1

se tiene que {x〉 + N1 = M , entonces N1 es un submodulo maximal de M y enconsecuencia M/N1 es simple, luego artiniano y entonces Kdim(M/N1) = 0, falso.Luego, existe x1 ∈ M tal que x1 /∈ N1 y N1 � {x1〉+N1 � M ; por la maximalidadde N1 se tiene que Kdim(M/({x1〉+N1)) esta definida. Sea N2 := {x1〉+N1; puestoque (M/N1)/(N2/N1) ∼= M/N2, el cociente N2/N1 no tiene dimension de Krull y porlo tanto N2 no tiene dimension de Krull (teorema 4.9.5). Existe x2 ∈M −N2, luegoN3 := {x2〉+N2 satisface N1 � N2 � N3 ⊆M y N3 no tiene dimension de Krull. Si


para cada x ∈M −N2, {x〉+N2 = M , entonces N2 es submodulo maximal de M yKdim(M/N2) = 0. ????

Ası pues, dado 0 6= N ⊆ M , sea αN := Kdim(M/N), segun la proposicion 4.9.7debemos demostrar que sup{αN |0 6= N ⊆M} existe.

Proposicion 4.9.9. Sean R y A anillos con modulos MR, NA tales que Kdim(MR) yKdim(NA) estan definidas. Si existe una funcion g del retıculo L(M) de submodulosde MR en el retıculo L(N ) de submodulos de NA que preserva la inclusion estricta,entonces Kdim(MR) ≤ Kdim(NA).

Demostracion. Dividimos la demostracion en dos pasos.Paso 1. Probemos mediante induccion que para cada ordinal α,

si L′ � L en L(M) con Kdim(L/L′) > α, entonces Kdim(g(L)/g(L′)) > α.

En efecto, sea α = −1, como g(L)/g(L′) 6= 0, entonces Kdim(g(L)/g(L′)) > −1 = α.Sea α = 0, entonces Kdim(L/L′) > 0 y por lo tanto L/L′ no es artiniano. Exis-te una cadena estricta descendente infinita L0/L

′ > L1/L′ > · · · de submodulos

de L/L′ con lo cual se tiene tambien en g(L)/g(L′) la cadena descendente infini-ta g(L0)/g(L

′) > g(L1)/(L′) > · · · , es decir, g(L)/g(L′) no es artiniano, de donde

Kdim(g(L)/g(L′)) > 0. Supongamos que la propiedad se tiene para un ordinal α ≥ 1y supongamos que para cada β < α se cumple la propiedad que estamos demostran-do. Sea Kdim(L/L′) > α; por la proposicion 4.9.2 existe una cadena descendenteL0/L

′ ⊇ L1/L′ ⊇ · · · de submodulos de L/L′ tal que Kdim(Li/L

′/Li+1/L′) =

Kdim(Li/Li+1) ≥ α > 0 para casi todo i, luego, para casi todo i, Li+1 � Li; puestoque Kdim(Li/Li+1) > β podemos aplicar induccion y resulta Kdim(g(Li)/g(Li+1)) >β para casi todo i y todo β < α, es decir, Kdim(g(Li)/g(L

′)/g(Li+1)/g(L′)) ≥ α

para casi todo i, y nuevamente por la proposicion 4.9.2, Kdim(g(L)/g(L′)) > α.Paso 2. Sean α := Kdim(M) y β := Kdim(N). Si α = −1, entonces claramente

β ≥ α; si α = 0, M 6= 0, pero como g preserva la inclusion estricta, entoncesN 6= 0 y β ≥ α. Sea pues α ≥ 1; usando nuevamente el hecho que g preserva lainclusion estricta se tiene que β ≥ 0. Consideremos en M una cadena arbitrariadescendente de submodulos M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ · · · , entonces para casi todo i setiene que Kdim(Mi/Mi+1) < α. Si probamos que para casi todo i se cumple queKdim(Mi/Mi+1) < β, entonces por la proposicion 4.9.2 se debe tener que α ≤ β yla proposicion estarıa demostrada.

Ası pues, sea αi := Kdim(Mi/Mi+1); para los valores de i con αi = −1 claramenteαi < β; sea entonces αi ≥ 0, luego Mi+1 � Mi, y como Kdim(Mi/Mi+1) > αi − 1,por lo probado en el paso 1 resulta βi := Kdim(g(Mi)/g(Mi+1)) > αi − 1. En Ntenemos entonces la cadena de submodulos g(M0) ⊇ g(M1) ⊇ g(M2) ⊇ · · · y paracasi todo i se tiene β > βi = Kdim(g(Mi)/g(Mi+1)), luego β > βi > αi− 1, es decir,β > βi ≥ αi para casi todo i. Esto concluye la demostracion.


Proposicion 4.9.10. Sean R un anillo y M 6= 0 un modulo tal que Kdim(M)existe. Sea f ∈ EndR(M) inyectivo. Entonces, Kdim(M) ≥ Kdim(M/Im(f)) + 1.

Demostracion. Como M 6= 0, Kdim(M) ≥ 0; sabemos que α := Kdim(M/Im(f))existe. Si α = −1 no hay algo que demostrar; sea pues α ≥ 0. Consideremos la cadenaM ⊇ Im(f) ⊇ Im(f 2) ⊇ · · · , se tiene que Im(f i)/Im(f i+1) ∼= M/Im(f) para cadai, es decir, Kdim(Im(f i)/Im(f i+1)) = Kdim(M/Im(f)) = α, luego Kdim(M) > α,es decir, Kdim(M) ≥ α+ 1 = Kdim(M/Im(f)) + 1.

Definicion 4.9.11. Sean R un anillo y M 6= 0 un modulo. Entonces,

(i) Sea α ≥ 0; se dice que M es α-crıtico si Kdim(M) = α y para cada submodulono nulo N de M se tiene que Kdim(M/N) < α.

(ii) Se dice que M es crıtico si es α-crıtico para algun α ≥ 0.

(iii) Una serie de composicion crıtica de M es una cadena finita de submodulos

0 = M0 � M1 � · · · � Mn = M

tal que cada cociente Mi/Mi−1 es crıtico y ademas

Kdim(M1) ≤ Kdim(M2/M1) ≤ · · · ≤ Kdim(Mn−1/Mn−2) ≤ Kdim(M/Mn−1).

Teorema 4.9.12. Sean R un anillo y M un R-modulo noetheriano no nulo. En-tonces M tiene una serie de composicion crıtica.

Demostracion. Dividimos la prueba en tres pasos.Paso 1. Sea R un anillo cualquiera y sea MR 6= 0 un modulo con dimension

de Krull. Entonces M tiene al menos un submodulo crıtico. En efecto, entre to-dos los submodulos no nulos de M elegimos N0 con la menor dimension de Krull,digamos Kdim(N0) := α. Si N0 no es crıtico, entonces existe un submodulo nonulo N1 en N0 tal que Kdim(N0/N1) = α; por el teorema 4.9.5 sabemos queα ≥ Kdim(N1), pero por la minimalidad de α se debe tener que α = Kdim(N1).Continuando de esta forma resulta la cadena N0 ≥ N1 ≥ N2 ≥ · · · de tal forma queKdim(Ni) = Kdim(Ni−1/Ni) = α. Si para cada i,Ni no es crıtico, entonces tedrıamosuna cadena infinita con Kdim(Ni−1/Ni) = α, es decir, Kdim(Ni−1/Ni) ≥ α, perosegun la propsicion 4.9.2 se tendrıa que Kdim(N0) > α, lo cual es falso. Ası pues,algun Ni es α-crıtico.

Paso 2. Sea M un R-modulo noetheriano no nulo, entonces M , al igual quetodos sus submodulos no nulos, tiene dimension de Krull ≥ 0; como en el paso 1, seaα := min{Kdim(N)|0 6= N ⊆ M} ≥ 0. Vimos que M tiene un submodulo α-crıticoN . Veamos queM/N no contiene submodulos no nulos con dimension de Krull menorque α. Supongamos lo contrario, sea M ′/N no nulo tal que Kdim(M ′/N) < α, por el


teorema 4.9.5 es claro que Kdim(M ′) = α; por la escogencia de α, cada submodulono nulo de M ′ debe tener dimension de Krull mayor o igual que α,

Paso 3. Sea α1 el ordinal mınimo definido en el paso 2 y sea M1 un submodulode M α1-crıtico tal que M/M1 no contiene submodulos no nulos con dimension deKrull menor que α1. Si M1 6= M , entonces M/M1 es noetheriano no nulo y podemosaplicar nuevamente el paso 2 a este cociente encontrando un ordinal α2 para elcual obviamente α2 ≥ α1, y existe un submodulo M2/M1 de M/M1 α2-crıtico talque M/M1/M2/M1

∼= M/M2 no tiene submodulos no nulos con dimension de Krullmenor que α2. Notemos que M1 � M2. Si M2 6= M podemos continuar en la mismaforma y puesto que M es noetheriano el proceso termina en una cadena finita dela forma 0 = M0 � M1 � M2 � · · · � Mn = M ; por construccion el cocienteMi/Mi−1 es αi-crıtico y ademas α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αn, es decir, tenemos una serie decomposicion crıtica para M .

Definicion 4.9.13. Sea R un anillo. rKdim(R) := Kdim(RR), si esta ultima existe.

En forma analoga se define la dimension de Krull de R a izquierda.

Ejemplo 4.9.14. Parece ser un problema todavıa abierto si la dimension de Krulla derecha de un anillo R coincide siempre con su dimension de Krull a izquierda,en caso que ambas existan (vease [4]). Mostramos en este ejemplo un anillo condimension de Krull a derecha pero que no tiene dimension de Krull a izquierda: seaR el subanillo de M2(R) definido por

R :=

[Q R0 R

],

notemos que RR es artiniano (y por lo tanto noetheriano), pero RR no es arti-niano (tampoco noetheriano), vease [15]. Luego rKdim(R) = 0 y lKdim(R) 6= 0. Enrealidad notemos que lKdim(R) no existe: RR ⊇

∑∞i=1Rsi, con

si :=

[0 xi0 0

], {xi}i≥1 ⊂ R linealmente independiente sobre Q;

notemos que para cada i, Rsi ∼= Rs1. Resulta entonces en RR la cadena descendenteM1 ) M2 ) M3 ) · · · , con

M1 :=Rs1 ⊕Rs2 ⊕Rs3 ⊕Rs4 ⊕ · · ·M2 :=Rs2 ⊕Rs4 ⊕Rs6 ⊕Rs8 ⊕ · · ·M3 :=Rs4 ⊕Rs8 ⊕Rs12 ⊕Rs16 ⊕ · · ·

...


y que satisface Mi/Mi+1∼= M1 para cada i ≥ 1. Esto implica que la dimension de

Krull de RR no esta definida. En efecto, sea M un modulo que contiene una cadenade submodulos M1 M2 · · · tal que Mi/Mi+1

∼= M1 para cada i. Entonces M notiene dimension de Krull: supongamos que lKdim(M) ≤ α; sea lKdim(M1) := β ≤ α;M1 6= 0 ya que se tiene la cadena de submodulos propios anunciada, luego β ≥ 0 ypor la proposicion 4.9.2, lKdim(Mi/Mi+1) < β para cada casi todo i ≥ 2, lo cual esuna contradiccion ya que Mi/Mi+1

∼= M1 para cada i.

Proposicion 4.9.15. Sean R ⊆ A anillos noetherianos a derecha tales que RA esfielmente plano. Si MR es un modulo f.g., entonces Kdim(M) ≤ Kdim(M ⊗R A).En particular, rKdim(R) ≤ rKdim(A).

Demostracion. En primer lugar observemos que MR y (M ⊗R A)A son modulosnoetherianos, luego las dimensiones Kdim(M) y Kdim(M ⊗R A) existen. Conside-remos los retıculos de submodulos de M y M ⊗R A; sean M1 � M2 submodulosde M , entonces se tiene la inclusion canonica M1 ↪→ M2, y como RA es plano,entonces la aplicacion M1 ⊗ A ↪→ M2 ⊗ A es inyectiva. Pero puede ocurrir queM1 ⊗ A = 0 = M2 ⊗ A y la aplicacion anterior continua siendo inyectiva, perocomo RA es fielmente plano tal situacion no se presenta. Ası pues podemos aplicarla proposicion 4.9.9 y obtenemos el resultado.

Proposicion 4.9.16. Sea R un anillo noetheriano a derecha y M un R-modulo f.g.Entonces,

Kdim(M) ≤ rKdim(R).

Demostracion. Por el corolario 4.9.8, Kdim(M) y rKdim(R) estan definidas. Exis-te t ≥ 1 tal que M ∼= Rt/N , con N un submodulo de Rt, y por el corolario4.9.6, Kdim(Rt) = Kdim(RR) = rKdim(R). Por el teorema 4.9.5, Kdim(M) =Kdim(Rt/N) ≤ Kdim(Rt) = rKdim(R).

Sea rad(R) el nilradical de R, conocido tambien como el radical primo deR, y definido como la interseccion de todos los ideales primos de R. La dimensionde Krull de R y la de su anillo cociente R/rad(R) coniciden en el caso noetheriano.Para demostrarlo debemos probar un par de resultados clasicos.

Proposicion 4.9.17. Sea R un anillo y sea P un ideal primo. Entonces P contieneun ideal primo minimal.

Demostracion. Recordemos que un ideal bilatero propio Q de R es primo si dadosdos ideales bilateros I, I ′ de R con II ′ ⊆ Q se cumple que I ⊆ Q o I ′ ⊆ Q.Veamos que esta definicion es equivalente a la siguiente: si a, b ∈ R son tales queaRb ⊆ Q, entonces a ∈ Q o b ∈ Q. En efecto, supongamos la primera definicion ysea aRb ⊆ Q, entonces 〈a〉〈b〉 ⊆ Q ya que cada elemento de este producto de idealesbilateros es una suma finita de productos en la forma xayx′by′ = x(ayx′b)y′ ∈ Q.


En consecuencia, 〈a〉 ⊆ Q o 〈b〉 ⊆ Q, es decir, a ∈ Q o b ∈ Q. Asumamos ahora lasegunda definicion y sean I, I ′ bilateros de R tales que II ′ ⊆ Q; si I * Q, existex ∈ I, x /∈ Q; sea y ∈ I ′, entonces xy = x1y ∈ xRy ⊆ Q, por la condicion de lasegunda definicion, x ∈ Q o y ∈ Q, es decir, I ′ ⊆ Q.

Sea M la coleccion de primos contenidos en P , como P ∈ M se tiene queM 6= ∅; podemos ordenar M por inclusion y usar el lema de Zorn en su version deacotamiento inferior (version desde luego equivalente a la version usual). Sea C unsubconjunto no vacıo totalmente ordenado de M; sea Q :=

⋂P ′∈C P

′, es claro queQ es un ideal propio de R contenido en P . Veamos que Q es primo: sean x, y ∈ Rtales que xRy ⊆ Q pero x /∈ Q, existe P ′ ∈ C tal que x /∈ P ′. Para cualquier P ′′ ∈ Ccon P ′′ ⊆ P ′ se tiene que x /∈ P ′′ pero xRy ⊆ Q ⊆ P ′′, por lo tanto y ∈ P ′′; enparticular, y ∈ P ′. Ahora bien, si P ′′ ∈ C pero P ′′ * P ′, entonces P ′ ⊆ P ′′, luego denuevo y ∈ P ′′. Esto demuestra que y ∈ Q.

Ası pues, Q es una cota inferior de C en M, luego por el lema de Zorn existe unelemento minimal P ∗ en M, es decir, P ∗ es un ideal primo de R contenido en P yes tal que cada primo contenido en P ∗ pertenence a M, luego por la minimalidadse conluye que P ∗ es un ideal primo minimal.

Proposicion 4.9.18. Sea R un anillo noetheriano a derecha. Entonces

(i) Existe una coleccion finita P1, . . . , Pn de ideales primos minimales (no nece-sariamente distintos) tales que P1 · · ·Pn = 0.

(ii) La coleccion de primos minimales de R es finita.

Demostracion. (i) Probemos primero que existe una coleccion finita de ideales pri-mos P ′

1, . . . , P′n tales que P ′

1 · · ·P ′n = 0. Supongamos contrariamente que cada pro-

ducto finito de ideales primos de R es no nulo (en particular, el ideal nulo no esprimo). Sea C la coleccion de ideales bilateros I de R que no contienen productosfinitos de ideales primos (en particular, I no es primo). C 6= ∅ ya que 0 ∈ C. ComoR es noetheriano a derecha (en realidad basta suponer que la coleccion de bilaterosde R es noetheriana) en C hay elemento maximal I. Ası pues, en R := R/I cadaproducto finito de ideales primos es no nulo, y por la maximalidad de I, en R cadaideal no nulo contiene al menos un producto finito de ideales primos. En particular,0 no es primo, por lo tanto, existen ideales no nulos K := K/I y J := J/I talesque K J = 0 y ademas existen ideales primos P 1, . . . , Pm, Q1, . . . , Qn en R tales queP 1 · · ·Pm ⊆ K y Q1 · · ·Qn ⊆ J . Resulta, P 1 · · ·PmQ1 · · ·Qn = 0, lo cual es unacontradiccion. Ası pues, existen P ′

1, . . . , P′n primos de R tales que P ′

1 · · ·P ′n = 0.

Segun la proposicion anterior, sea Pi ⊆ P ′i minimal. Entonces, P1 . . . Pn ⊆

P ′1 . . . P

′n = 0, luego P1 . . . Pn = 0.

(ii) Sea P un primo minimal de R, entonces 0 = P1 · · ·Pn ⊆ P , de donde Pi = Ppara algun 1 ≤ i ≤ n.


Proposicion 4.9.19. Sea R un anillo noetheriano a derecha. Entonces,

rKdim(R) = rKdim(R/rad(R)) = max{rKdim(R/P )|P es primo minimal de R}

Demostracion. Como R es noetheriano a derecha todas las dimensiones involu-cradas en el enunciado estan definidas. Sea N := rad(R), puesto que los R/N -submodulos de R/N coinciden con sus R-submodulos, se tiene que rKdim(R/N) =Kdim((R/N)R/N) = Kdim[(R/N)R] ≤ Kdim(R) = rKdim(R). Ası pues,

α := rKdim(R) ≥ rKdim(R/N) := β.

Veamos ahora que β ≥ γ, con γ := max{rKdim(R/P)|P es primo minimal de R}.Sea P un ideal primo cualquiera de R, entonces rKdim(R/N) ≥ rKdim(R/P ): enefecto, puesto que R/P ∼= (R/N)/(P/N), entonces

rKdim(R/P ) = Kdim[(R/P )R/P ] = Kdim[((R/N)/(P/N))(R/N)/(P/N)]

= Kdim[((R/N)/(P/N))R/N ] ≤ Kdim[(R/N)R/N ] = rKdim(R/N).

Resta ver que γ ≥ α: como R es noetheriano a derecha existe una coleccion fini-ta de ideales primos minimales, no necesariamente distintos, P1, . . . , Pn tales queP1 · · ·Pn = 0 (en realidad la coleccion de primos minimales de R es finita, vease laproposicion 4.9.18). Por la proposicion 4.9.16, para cada 1 ≤ i ≤ n se tiene que

Kdim[(P1 · · ·Pi−1/P1 · · ·Pi)R] = Kdim[(P1 · · ·Pi−1/P1 · · ·Pi)R/Pi] ≤ rKdim(R/Pi).

Veamos que con esto podemos completar la demostracion de γ ≥ α; con tres casosparticulares que examinemos podremos mas adelante inducir una prueba general ycompletar la demostracion: si n = 1, entonces P1 = 0 y entonces Kdim(R/0)R =rKdim(R/P1), es decir, rKdim(R) = rKdim(R/P1); si n = 2, entonces P1P2 = 0, porlo probado arriba resulta Kdim[(P1/P1P2)R] ≤ rKdim(R/P2), es decir, Kdim(P1)R ≤rKdim(R/P2), ademas Kdim[(R/P1)R] = rKdim(R/P1), luego por el teorema 4.9.5,

rKdim(R) = Kdim(RR) = max{Kdim(P1)R,Kdim(R/P1)R}≤ max{rKdim(R/P2), rKdim(R/P1)}.

Para n = 3 tenemos P1P2P3 = 0 y entonces

Kdim[((P1P2)/(P1P2P3))R] ≤ rKdim(R/P3) ⇒ Kdim[(P1P2)R] ≤ rKdim(R/P3);

Kdim[(P1/P1P2)R] ≤ rKdim(R/P2);

Kdim[(R/P1)R] = rKdim(R/P1),

de donde

rKdim(R) = Kdim(RR) = max{Kdim(P1P2)R,Kdim(R/P1P2)R}= max{Kdim(P1P2)R,

max{Kdim[(P1/P1P2)R],Kdim[((R/P1P2)/P1/P1P2)R]}}≤ max{rKdim(R/P3), rKdim(R/P2), rKdim(R/P1)}.


Ası pues, si P1 · · ·Pn = 0 podemos aplicar induccion:

rKdim(R) = Kdim(RR) = max{Kdim(P1 · · ·Pn−1)R,Kdim(R/P1 · · ·Pn−1)R}≤ max{rKdim(R/Pn), rKdim(R/Pn−1), . . . , rKdim(R/P1)}.

Concluimos esta seccion demostrando que la dimension de Krull de un productofinito de anillos noetherianos a derecha es menor que el maximo de las dimensionesde los factores.

Proposicion 4.9.20. Sea A un anillo noetheriano a derecha y sean I1, . . . , In idealesbilateros propios de A tales que I1I2 · · · In = 0. Entonces,

rKdim(A) ≤ max{rKdim(A/Ii)}ni=1.

Demostracion. Consideremos los productos Pi := I1 · · · Ii y los cocientes Pi−1/Pi,1 ≤ i ≤ n, con P0 := A. Notemos que Pi−1/Pi es un A/Ii-modulo, por la proposicion4.9.16 se tiene que

Kdim((Pi−1/Pi)A) = Kdim((Pi−1/Pi)A/Ii) ≤ rKdim(A/Ii).

Entonces,

max{Kdim((Pi−1/Pi)A)}ni=1 ≤ max{rKdim((A/Ii)}ni=1 := k.

Consideremos la siguiente sucesion exacta de A-modulos:

0 → Pn−1 → Pn−2 → Pn−2/Pn−1 → 0;

segun el teorema 4.9.5, Kdim(Pn−2) = max{Kdim(Pn−1),Kdim(Pn−2/Pn−1)} ≤ k(notese que Pn−1 = Pn−1/Pn). De manera similar, se tiene la sucecion exacta

0 → Pn−2 → Pn−3 → Pn−3/Pn−2 → 0,

y entonces Kdim(Pn−3) = max{Kdim(Pn−2),Kdim(Pn−3/Pn−2)} ≤ k. Continuandode esta manera llegamos a

0 → P1 → P0 → P0/P1 → 0,

con lo cual rKdim(A) = Kdim(P0) = max{Kdim(P1),Kdim(P0/P1)} ≤ k.

Corolario 4.9.21. Sea A := A1×· · ·×An un producto finito de anillos noetherianosa derecha. Entonces, rKdim(A) ≤ max{Kdim(Ai)}ni=1.

Demostracion. Basta demostrar la afirmacion para n = 2. Notemos que I1 :=(A1, 0) := {(a1, 0)|a1 ∈ A1} es un ideal bilatero propio de A; lo mismo se tienepara I2. Ademas, se tienen los isomorfismos de anillo A/I1 ∼= A2, A/I2 ∼= A1. Laafirmacion del corolario es entonces consecuencia de la proposicion anterior.

4.10. DIMENSION UNIFORME 143

4.10. Dimension uniforme

Capıtulo 5

Modulos proyectivos sobre anillosde polinomios

5.1. Teorema de Serre

5.2. Teorema de Quillen-Suslin

144

Capıtulo 6

Extensiones de Ore

Ejemplo 6.0.1. Es posible que para un anillo A y un determinado subconjuntomultiplicativo S, S−1A exista pero no AS−1 (o viceversa). Un ejemplo en este sentidoutiliza los llamados anillos de polinomios torcidos (vease [27] y [11]): sea K uncuerpo y σ : K → K un endomorfismo que no es biyectivo, es decir, σ es inyectivopero no sobreyectivo. Segun la proposicion 1.3.1, el corolario ?? y la proposicionanterior, K[x;σ, δ] es un dominio de Ore a izquierda; veamos que no cumple lacondicion de Ore a derecha respecto del sistema de los elementos no nulos. Enefecto, sea a ∈ K tal que a /∈ Im(σ), entonces los elementos x y ax no cumplenla condicion de Ore por el lado derecho. Supongamos lo contrario, entonces existent(x), b(x) ∈ K[x;σ, δ] con t(x) 6= 0 tales que xt(x) = axb(x); sean tnx

n = lt(t(x)) ybnx

n = lt(b(x)), entonces xtnxn = axbnx

n, de donde σ(tn) = aσ(bn); como bn 6= 0,entonces a = σ(tnb

−1n ) ∈ Im(σ), lo cual es falso.

Ejemplo 6.0.2. Sea S := K[t]− {0} en A1(K). Notemos que S es un subconjuntomultiplicativo de A1(K) y veamos que

S−1(A1(K) ∼= B1(K).

La idea en este caso no es usar el toerema 1.4.3 sino directamente la definicion 1.4.1:la funcion

A1(K)ψ−→ B1(K)

a(x) := a0(t) + a1(t)x+ · · ·+ an(t)xn 7→ a0(t)

1+a1(t)

1x+ · · ·+ an(t)

1xn

es un homomorfismo de anillos: en efecto, ψ es claramente una funcion aditiva,ademas, de la relacion (??) se obtiene que ψ(p(t)xiq(t)xj) = ψ(p(t)xi)ψ(q(t)xj),luego ψ es multiplicativa, y por supuesto ψ(1) = 1. Se tiene obviamente que ψ(S) ⊆B1(K)∗. ψ es inyectivo, luego la condicion (iii) de la defincion 1.4.1 se tiene trivial-

mente. Finalmente, cada elemento a0(t)s0(t)

+ a1(t)s1(t)

x + · · · + an(t)sn(t)

xn ∈ B1(K) se puede

145

146 CAPITULO 6. EXTENSIONES DE ORE

escribir en la forma ψ(a(x))ψ(s(t))−1, donde s(t) := m.c.m.{si(t)}ni=0. Esto demues-tra que B1(K) es el anillo de fracciones a izquierda de A1(K) respecto de S.

Bibliografıa

[1] P.M. Cohn, On the structure of the GL2 of a ring, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ.Math., No. 30, 1966, 265-413.

[2] Faith, C., Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer, 1981.

[3] M. Fontana, J.A. Huckaba and I.J. Papick, Prufer Domains, Marcel Dekker,New York, 1997.

[4] Goodearl, K. and Warfield, R. Jr., An Introduction to NoncommutativeNoetherian Rings, London Mathematical Society, ST 61, 2004.

[5] M.I. Kargapolov and Ju. I. Merzljakov, Fundamentals of the Theory of Groups,2nd ed., translated from the Russian by R. G. Burns, Springer-Verlag, New York,1979.

[6] M. Kong, Euler classes of inner product modules, J. Algebra, 49, 1977, 276-203.

[7] E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry,Birkhauser, Boston, 1991.

[8] T.Y. Lam, Serre’s Problem on Projective Modules , Springer Monographs inMathematics, Springer, ???, 2005.

[9] Lang, S., Algebra, Springer, 2004.

[10] Lezama, O. and Villamarın, G., Anillos, Modulos y Categorıas, Facultadde Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 1994.

[11] Lezama, O. et. al,, Extensiones de Ore, en preparacion.

[12] Lezama, O., Cuadernos de Algebra, No. 2: Anillos, SAC2, Departamen-to de Matematicas, Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogota,www.matematicas.unal.edu.co/sac2

147

148 BIBLIOGRAFIA

[13] Lezama, O., Cuadernos de Algebra, No. 3: Modulos, SAC2, Departamen-to de Matematicas, Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogota,www.matematicas.unal.edu.co/sac2

[14] Lezama, O., Cuadernos de Algebra, No. 4: Algebra lineal, en preparacion.

[15] Lezama, O., Cuadernos de Algebra, No. 6: Anillos y modulos, SAC2, Depar-tamento de Matematicas, Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogota,www.matematicas.unal.edu.co/sac2

[16] Lezama, O., Cuadernos de Algebra, No. 7: Categorıas, en preparacion.

[17] Li, H., Noncommutative Grobner Bases and Filtered-Graded Transfer, LectureNotes in Mathematics, Vol. 1795, Springer, 2002.

[18] R.C. Laubenbacher and C. Woodburn, A new algorithm for the Quillen-Suslintheorem, Contributions to Algebra and Geometry, 41, 2000, 23-31.

[19] R.C. Laubenbacher and C. Woodburn, An algorithm for the Quillen-Suslintheorem for monoid rings, J. Pure Appl. Algebra, 117-118, 1997, 395-429.

[20] McConnell, J. and Robson, J., Noncommutative Noetherian Rings, Grad-uate Studies in Mathematics, AMS, 2001.

[21] H. Park and C. Woodburn, An algorithmic proof of Suslin’s stability theoremfor polynomial rings, J. Algebra 178, 1995, 277-298.

[22] D. Quillen, Proyective modules over polynomial rings, Invent. Math., 36, 1976,167-171.

[23] Rocuts, S., Dominios de Prufer: caracterizaciones, subclases y ejemplos, Tra-bajo de Grado, Universidad Nacional de Colombia, 1999.

[24] Rotman, J., An Introduction to Homological Algebra, Springer, 2009.

[25] Rotman, J.., An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979.

[26] J.-P. Serre, Faisceaux algebriques coherents, Ann. Math., 61, 1955, 191-278.

[27] Stenstrom, B., Rings of Quotients: An Introduction to Methods of Ring The-ory,Springer, 1975.

[28] A.A. Suslin, Proyective modules over polynomial rings are free, Soviet Math.Dokl., 17, 1976, 1160-1164.

[29] A.A. Suslin, On the structure of the special linear group over polynomial rings,Math. USSR-Izv. 11, 1977, 221-238.

BIBLIOGRAFIA 149

[30] Vermani, L.R., An Elementary Approach to Homological Algebra, Chapman& Hall/CRC, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 130,2003.

Algebra Homo Logic A

Documents

Transcript of Algebra Homo Logic A