Elementos Logic A
-
Upload
luis-alberto-botero-gallego -
Category
Documents
-
view
224 -
download
0
description
Transcript of Elementos Logic A
Elementos de logica
Instituto de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
17 de septiembre de 2015
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Introduccion
“En matematicas, una de las actividades mas importantes consisteen demostrar, es decir, a partir de unas afirmaciones iniciales enlas que nos ponemos de acuerdo como punto de arranque,deducimos, mediante reglas de razonamiento aceptadas,proposiciones mas complejas. Y para ponernos de acuerdo,necesitamos de la maxima precision en dichas afirmacionesiniciales, para que cualquier matematico de cualquier lugar delmundo entienda perfectamente y sin ambiguedad que se pretendedemostrar.” [de Guzman-Ozamiz, 2004, p. 11]
Introduccion
¿Que es la logica?
La logica es la disciplina que estudia la forma y la validez de lasdeducciones o inferencias.
Hace mas de dos mil anos, Aristoteles y los filosofos estoicos descubrieronque la validez de una deduccion depende de su estructura o forma y no desu contenido, con esto fundaron las bases de la logica formal.
Desde la segunda mitad del siglo XIX y gracias en buena parte a lostrabajos de George Boole y Gottlob Frege, la logica formal tomo pormodelo pautas metodologicas del simbolismo matematico, y comenzo allamarse Logica Simbolica o Logica Matematica, alcanzando un desarrollocomparable al que experimento la fısica en el siglo XVII, gracias a larevolucion cientıfica protagonizada por Galileo Galilei.
Introduccion
¿Que es la logica?
La logica es la disciplina que estudia la forma y la validez de lasdeducciones o inferencias.
Hace mas de dos mil anos, Aristoteles y los filosofos estoicos descubrieronque la validez de una deduccion depende de su estructura o forma y no desu contenido, con esto fundaron las bases de la logica formal.
Desde la segunda mitad del siglo XIX y gracias en buena parte a lostrabajos de George Boole y Gottlob Frege, la logica formal tomo pormodelo pautas metodologicas del simbolismo matematico, y comenzo allamarse Logica Simbolica o Logica Matematica, alcanzando un desarrollocomparable al que experimento la fısica en el siglo XVII, gracias a larevolucion cientıfica protagonizada por Galileo Galilei.
Introduccion
¿Que es la logica?
La logica es la disciplina que estudia la forma y la validez de lasdeducciones o inferencias.
Hace mas de dos mil anos, Aristoteles y los filosofos estoicos descubrieronque la validez de una deduccion depende de su estructura o forma y no desu contenido, con esto fundaron las bases de la logica formal.
Desde la segunda mitad del siglo XIX y gracias en buena parte a lostrabajos de George Boole y Gottlob Frege, la logica formal tomo pormodelo pautas metodologicas del simbolismo matematico, y comenzo allamarse Logica Simbolica o Logica Matematica, alcanzando un desarrollocomparable al que experimento la fısica en el siglo XVII, gracias a larevolucion cientıfica protagonizada por Galileo Galilei.
Introduccion
¿Que es la logica?
La logica es la disciplina que estudia la forma y la validez de lasdeducciones o inferencias.
Hace mas de dos mil anos, Aristoteles y los filosofos estoicos descubrieronque la validez de una deduccion depende de su estructura o forma y no desu contenido, con esto fundaron las bases de la logica formal.
Desde la segunda mitad del siglo XIX y gracias en buena parte a lostrabajos de George Boole y Gottlob Frege, la logica formal tomo pormodelo pautas metodologicas del simbolismo matematico, y comenzo allamarse Logica Simbolica o Logica Matematica, alcanzando un desarrollocomparable al que experimento la fısica en el siglo XVII, gracias a larevolucion cientıfica protagonizada por Galileo Galilei.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.
√2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:
Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).
Ejemplos de proposiciones:
Esta lloviendo.
Las vacas vuelan.
Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√
2 es irracional.
Existen numeros reales que no son racionales.
Todo triangulo equilatero e isosceles.
Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.√
2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.√
2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.
√2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.√
2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.√
2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:
¿Esta lloviendo?
Hazme un favor.
5 + 7.√
2.
x+ 3 = 5.
N ∪ R.
Proposiciones y conectivos logicos
A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones.
Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).
La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.
Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.
Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.
Proposiciones y conectivos logicos
A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones. Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).
La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.
Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.
Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.
Proposiciones y conectivos logicos
A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones. Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).
La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.
Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.
Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.
Proposiciones y conectivos logicos
A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones. Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).
La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.
Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.
Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.
Proposiciones y conectivos logicos
A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones. Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).
La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.
Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.
Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P .
En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV
F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F
V
Proposiciones y conectivos logicos
La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.
Ejemplos:√
2 no es racional.
5 no es primo.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?
P ¬PV F
F V
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje ordinario, en particular en el espanol, algunas veces se usa ladoble negacion de manera retorica para dar mayor enfasis a una afirmacion.
Ejemplo: se dice
‘no ire nunca a Estados Unidos’
para afirmar
‘nunca ire a Estados Unidos’.
En el lenguaje matematico, la doble negacion de una proposicion siempreequivale a la afirmacion de la proposicion.
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje ordinario, en particular en el espanol, algunas veces se usa ladoble negacion de manera retorica para dar mayor enfasis a una afirmacion.
Ejemplo: se dice
‘no ire nunca a Estados Unidos’
para afirmar
‘nunca ire a Estados Unidos’.
En el lenguaje matematico, la doble negacion de una proposicion siempreequivale a la afirmacion de la proposicion.
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje ordinario, en particular en el espanol, algunas veces se usa ladoble negacion de manera retorica para dar mayor enfasis a una afirmacion.
Ejemplo: se dice
‘no ire nunca a Estados Unidos’
para afirmar
‘nunca ire a Estados Unidos’.
En el lenguaje matematico, la doble negacion de una proposicion siempreequivale a la afirmacion de la proposicion.
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones.
En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V
V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F
F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V
F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F
F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.
Ejemplos:
π es mayor que 2 y es racional.
2 es primo y es par.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?
P Q P ∧QV V V
V F F
F V F
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P
P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A
A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P
A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A
A
Proposiciones y conectivos logicos
La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.
I II Resultado
P P P
P A A
A P A
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘y’ se usa algunas veces con unaconnotacion temporal implıcita.
Ejemplo: la proposicion
‘me bane y fui al cine’
tiene un significado diferente a
‘fui al cine y me bane’.
En matematicas las proposiciones son atemporales, y el valor de verdad deuna conjuncion es independiente del orden de las proposiciones.
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘y’ se usa algunas veces con unaconnotacion temporal implıcita.
Ejemplo: la proposicion
‘me bane y fui al cine’
tiene un significado diferente a
‘fui al cine y me bane’.
En matematicas las proposiciones son atemporales, y el valor de verdad deuna conjuncion es independiente del orden de las proposiciones.
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘y’ se usa algunas veces con unaconnotacion temporal implıcita.
Ejemplo: la proposicion
‘me bane y fui al cine’
tiene un significado diferente a
‘fui al cine y me bane’.
En matematicas las proposiciones son atemporales, y el valor de verdad deuna conjuncion es independiente del orden de las proposiciones.
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera.
En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V
V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F
V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V
V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F
F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.
Ejemplos:
7 es multiplo de 3 o de 5.
Un triangulo A es escaleno o isosceles.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?
P Q P ∨QV V V
V F V
F V V
F F F
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P
P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A
P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P
P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A
A
Proposiciones y conectivos logicos
La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.
I II Resultado
P P P
P A P
A P P
A A A
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘o’ se usa algunas veces de maneraexcluyente.
Ejemplo: la proposicion
‘ire a jugar futbol o a nadar’
quiere decir que la persona que hizo la afirmacion ira a realizar alguno delos dos deportes, pero no ambos.
Por convencion, en el lenguaje matematico la disyuncion siempre tiene unsignificado inclusivo. Si se quiere hacer una afirmacion excluyente se debehacer de manera explıcita (adicionar ‘pero no ambos’, o algo similar).
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘o’ se usa algunas veces de maneraexcluyente.
Ejemplo: la proposicion
‘ire a jugar futbol o a nadar’
quiere decir que la persona que hizo la afirmacion ira a realizar alguno delos dos deportes, pero no ambos.
Por convencion, en el lenguaje matematico la disyuncion siempre tiene unsignificado inclusivo. Si se quiere hacer una afirmacion excluyente se debehacer de manera explıcita (adicionar ‘pero no ambos’, o algo similar).
Proposiciones y conectivos logicos
En el lenguaje natural, el conectivo ‘o’ se usa algunas veces de maneraexcluyente.
Ejemplo: la proposicion
‘ire a jugar futbol o a nadar’
quiere decir que la persona que hizo la afirmacion ira a realizar alguno delos dos deportes, pero no ambos.
Por convencion, en el lenguaje matematico la disyuncion siempre tiene unsignificado inclusivo. Si se quiere hacer una afirmacion excluyente se debehacer de manera explıcita (adicionar ‘pero no ambos’, o algo similar).
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q).
En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente.
En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.
Ejemplos:
Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.
Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.
Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.
Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V
V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F
F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V
V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F
V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:
‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.
‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.
Proposiciones y conectivos logicos
Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:
‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.
‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.
Proposiciones y conectivos logicos
Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:
‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.
‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.
Proposiciones y conectivos logicos
Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:
‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.
‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.
Proposiciones y conectivos logicos
Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:
‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.
‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’
Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).
P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).
Ejemplos:
Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.
Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.
Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.
Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.
Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.
Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.
Proposiciones y conectivos logicos
En logica, una implicacion no necesariamente afirma una relacion decausa-efecto (y se llama implicacion material), pues para que P → Q seaverdadera no importan los significados de P y Q, ni la relacion entre estos,sino sus valores de verdad. Pero en matematicas, en las proposicionesimplicativas normalmente hay una relacion entre el significado delantecedente y el del consecuente.
Ejemplos: proposiciones verdaderas logicamente, pero sin ‘relevancia’matematica.
Si 2 divide a 4, entonces√
2 es irracional.
Si 1 = 2, entonces 8 es primo.
Proposiciones y conectivos logicos
En logica, una implicacion no necesariamente afirma una relacion decausa-efecto (y se llama implicacion material), pues para que P → Q seaverdadera no importan los significados de P y Q, ni la relacion entre estos,sino sus valores de verdad. Pero en matematicas, en las proposicionesimplicativas normalmente hay una relacion entre el significado delantecedente y el del consecuente.
Ejemplos: proposiciones verdaderas logicamente, pero sin ‘relevancia’matematica.
Si 2 divide a 4, entonces√
2 es irracional.
Si 1 = 2, entonces 8 es primo.
Proposiciones y conectivos logicos
En logica, una implicacion no necesariamente afirma una relacion decausa-efecto (y se llama implicacion material), pues para que P → Q seaverdadera no importan los significados de P y Q, ni la relacion entre estos,sino sus valores de verdad. Pero en matematicas, en las proposicionesimplicativas normalmente hay una relacion entre el significado delantecedente y el del consecuente.
Ejemplos: proposiciones verdaderas logicamente, pero sin ‘relevancia’matematica.
Si 2 divide a 4, entonces√
2 es irracional.
Si 1 = 2, entonces 8 es primo.
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:
Su recıproca es la proposicion Q→ P .
Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .
Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.
Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.
Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q).
En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.
Ejemplos:
El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.
Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.
25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.
¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V
V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F
F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V
F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F
V
Proposiciones y conectivos logicos
Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de representacion simbolica de una proposicion compuesta:
Proposicion: ‘1238 es multiplo de 3 y no es multiplo de 6, si es impar y esmultiplo de 3’.
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘1238 es multiplo de 3’.
Q: ‘1238 es multiplo de 6’.
R: ‘1238 es impar’.
La proposicion anterior se representa por (R ∧ P )→ (P ∧ ¬Q).
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de representacion simbolica de una proposicion compuesta:
Proposicion: ‘1238 es multiplo de 3 y no es multiplo de 6, si es impar y esmultiplo de 3’.
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘1238 es multiplo de 3’.
Q: ‘1238 es multiplo de 6’.
R: ‘1238 es impar’.
La proposicion anterior se representa por (R ∧ P )→ (P ∧ ¬Q).
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de representacion simbolica de una proposicion compuesta:
Proposicion: ‘1238 es multiplo de 3 y no es multiplo de 6, si es impar y esmultiplo de 3’.
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘1238 es multiplo de 3’.
Q: ‘1238 es multiplo de 6’.
R: ‘1238 es impar’.
La proposicion anterior se representa por (R ∧ P )→ (P ∧ ¬Q).
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de representacion simbolica de una proposicion compuesta:
Proposicion: ‘1238 es multiplo de 3 y no es multiplo de 6, si es impar y esmultiplo de 3’.
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘1238 es multiplo de 3’.
Q: ‘1238 es multiplo de 6’.
R: ‘1238 es impar’.
La proposicion anterior se representa por (R ∧ P )→ (P ∧ ¬Q).
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa
‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa
‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Proposiciones y conectivos logicos
Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:
Representacion simbolica: bajo las convenciones:
P : ‘soy paisa’.
Q: ‘me gustan los frijoles’.
R: ‘me gusta la arepa’.
S: ‘me gusta el ajiaco’.
Proposiciones:
P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.
(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.
¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?
1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).
2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.
3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.
¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?
1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).
2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.
3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.
¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?
1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).
2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.
3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.
¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?
1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).
2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.
3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.
¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?
1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).
2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.
3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V
F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V V
V F F F F VF V V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F
F F F VF V V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F V
F V V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V
V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V V
F F V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F
V V V V
Tablas de verdad
Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):
P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.
Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.
Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.
Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Tablas de verdad
Una proposicion es:
Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:
¬¬P ↔ P (doble negacion).
P ∨ ¬P (tercer excluido).
((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).
Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:
P ∧ ¬P .
P ↔ ¬P .
Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:
P → ¬P .
¬P ∨ (P ∧Q).
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘2 es primo y es par’
es equivalente a
‘2 no es primo o no es par’.
Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a ¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘2 es primo y es par’
es equivalente a
‘2 no es primo o no es par’.
Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a ¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘2 es primo y es par’
es equivalente a
‘2 no es primo o no es par’.
Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a
¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘2 es primo y es par’
es equivalente a
‘2 no es primo o no es par’.
Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a ¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘7 es multiplo de 3 o de 5’
es equivalente a
‘7 no es multiplo de 3 y no es multiplo de 5’.
Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a ¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘7 es multiplo de 3 o de 5’
es equivalente a
‘7 no es multiplo de 3 y no es multiplo de 5’.
Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a ¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘7 es multiplo de 3 o de 5’
es equivalente a
‘7 no es multiplo de 3 y no es multiplo de 5’.
Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a
¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘7 es multiplo de 3 o de 5’
es equivalente a
‘7 no es multiplo de 3 y no es multiplo de 5’.
Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a ¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano’
es equivalente a
‘Juan es antioqueno y no es colombiano’.
Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a P ∧ ¬Q.
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano’
es equivalente a
‘Juan es antioqueno y no es colombiano’.
Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a P ∧ ¬Q.
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano’
es equivalente a
‘Juan es antioqueno y no es colombiano’.
Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a
P ∧ ¬Q.
Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones
La negacion de
‘Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano’
es equivalente a
‘Juan es antioqueno y no es colombiano’.
Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a P ∧ ¬Q.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Cuantificadores
Para representar adecuadamente afirmaciones mas complejas esnecesario el uso de variables, funciones proposicionales ycuantificadores.
Las variables son letras que representan objetos indeterminados sobreun cierto universo de discurso (o dominio de interpretacion).
Las funciones proposicionales son expresiones cuyos valores de verdaddependen de los valores asignados a ciertas variables.
En logica y matematica se trabaja basicamente con doscuantificadores, el cuantificador universal (que en logica se denota ∀, yque significa “para todo”) y el cuantificador existencial (que en logicase denota ∃, y que significa “existe al menos un”).
Cuantificadores
Para representar adecuadamente afirmaciones mas complejas esnecesario el uso de variables, funciones proposicionales ycuantificadores.
Las variables son letras que representan objetos indeterminados sobreun cierto universo de discurso (o dominio de interpretacion).
Las funciones proposicionales son expresiones cuyos valores de verdaddependen de los valores asignados a ciertas variables.
En logica y matematica se trabaja basicamente con doscuantificadores, el cuantificador universal (que en logica se denota ∀, yque significa “para todo”) y el cuantificador existencial (que en logicase denota ∃, y que significa “existe al menos un”).
Cuantificadores
Para representar adecuadamente afirmaciones mas complejas esnecesario el uso de variables, funciones proposicionales ycuantificadores.
Las variables son letras que representan objetos indeterminados sobreun cierto universo de discurso (o dominio de interpretacion).
Las funciones proposicionales son expresiones cuyos valores de verdaddependen de los valores asignados a ciertas variables.
En logica y matematica se trabaja basicamente con doscuantificadores, el cuantificador universal (que en logica se denota ∀, yque significa “para todo”) y el cuantificador existencial (que en logicase denota ∃, y que significa “existe al menos un”).
Cuantificadores
Para representar adecuadamente afirmaciones mas complejas esnecesario el uso de variables, funciones proposicionales ycuantificadores.
Las variables son letras que representan objetos indeterminados sobreun cierto universo de discurso (o dominio de interpretacion).
Las funciones proposicionales son expresiones cuyos valores de verdaddependen de los valores asignados a ciertas variables.
En logica y matematica se trabaja basicamente con doscuantificadores, el cuantificador universal (que en logica se denota ∀, yque significa “para todo”) y el cuantificador existencial (que en logicase denota ∃, y que significa “existe al menos un”).
Cuantificadores
Ejemplos de funciones proposicionales:
‘x+ 5 = 0’.
‘x2 ≥ 0’.
Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).
Ejemplo de sentencias con cuantificadores:
‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.
‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.
Cuantificadores
Ejemplos de funciones proposicionales:
‘x+ 5 = 0’.
‘x2 ≥ 0’.
Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).
Ejemplo de sentencias con cuantificadores:
‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.
‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.
Cuantificadores
Ejemplos de funciones proposicionales:
‘x+ 5 = 0’.
‘x2 ≥ 0’.
Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).
Ejemplo de sentencias con cuantificadores:
‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.
‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.
Cuantificadores
Ejemplos de funciones proposicionales:
‘x+ 5 = 0’.
‘x2 ≥ 0’.
Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).
Ejemplo de sentencias con cuantificadores:
‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.
‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.
Cuantificadores
Ejemplos de funciones proposicionales:
‘x+ 5 = 0’.
‘x2 ≥ 0’.
Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).
Ejemplo de sentencias con cuantificadores:
‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.
‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.
Cuantificadores
Se usa la notacion P (x1, . . . , xn) para representar funciones proposicionalesP cuyo valor de verdad depende de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplos:
P (x): ‘x es primo’.
Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.
Cuantificadores
Se usa la notacion P (x1, . . . , xn) para representar funciones proposicionalesP cuyo valor de verdad depende de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplos:
P (x): ‘x es primo’.
Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.
Cuantificadores
Se usa la notacion P (x1, . . . , xn) para representar funciones proposicionalesP cuyo valor de verdad depende de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplos:
P (x): ‘x es primo’.
Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.
Cuantificadores
Si P (x) es una funcion proposicional que depende de x:
∀x(P (x)) representa ‘para todo x, P (x)’, y es verdadera en un universode discurso U si P (c) es verdadera para todos los objetos c quepertenecen a U .
∃x(P (x)) representa ‘existe (al menos un) x tal que P (x)’, y esverdadera en un universo de discurso U si existe un objeto c quepertenece a U tal que P (c).
Cuantificadores
Si P (x) es una funcion proposicional que depende de x:
∀x(P (x)) representa ‘para todo x, P (x)’, y es verdadera en un universode discurso U si P (c) es verdadera para todos los objetos c quepertenecen a U .
∃x(P (x)) representa ‘existe (al menos un) x tal que P (x)’, y esverdadera en un universo de discurso U si existe un objeto c quepertenece a U tal que P (c).
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:
Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.
Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).
Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:
Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√
5 como −√
5satisfacen la ecuacion x2 = 5.
Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.
Cuantificadores
Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.
Ejemplos:
‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.
‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.
La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.
La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.
Cuantificadores
Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.
Ejemplos:
‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.
‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.
La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.
La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.
Cuantificadores
Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.
Ejemplos:
‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.
‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.
La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.
La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.
Cuantificadores
Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.
Ejemplos:
‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.
‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.
La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.
La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.
Cuantificadores
Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.
Ejemplos:
‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.
‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.
La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.
La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a
∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a
∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘todos los gatos son negros’
es equivalente a
‘existen gatos que no son negros’.
Negacion de un cuantificador universal:
¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).
¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a
∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a
∀x ∈ U(¬P (x)).
Negacion de cuantificadores
La negacion de
‘existen vacas que vuelan’
es equivalente a
‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).
Negacion de un cuantificador existencial:
¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).
¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?:
A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?:
cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.
Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.
¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).
¿A = [0, 1) tiene cota superior?.
¿A = N tiene cota superior?.
¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).
Combinacion de cuantificadores
¿El orden en los cuantificadores es importante?
Ejemplos:
¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?
¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?
¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?
Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.
Combinacion de cuantificadores
¿El orden en los cuantificadores es importante?
Ejemplos:
¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?
¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?
¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?
Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.
Combinacion de cuantificadores
¿El orden en los cuantificadores es importante?
Ejemplos:
¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?
¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?
¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?
Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.
Combinacion de cuantificadores
¿El orden en los cuantificadores es importante?
Ejemplos:
¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?
¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?
¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?
Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.
Combinacion de cuantificadores
¿El orden en los cuantificadores es importante?
Ejemplos:
¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?
¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?
¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?
Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Existencia unica
Se usa ∃!x(P (x)) para representar ‘existe exactamente un x tal que P (x)’, yesta sentencia es verdadera en un universo de discurso U si existeexactamente un elemento c en U tal que P (c).
Ejemplo: sea P (x): ‘x es primo’ y Q(x): ‘x es par’. La sentencia ‘existe ununico primo par’ se representa por:
∃!x(P (x) ∧Q(x)).
¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).
Existencia unica
Se usa ∃!x(P (x)) para representar ‘existe exactamente un x tal que P (x)’, yesta sentencia es verdadera en un universo de discurso U si existeexactamente un elemento c en U tal que P (c).
Ejemplo: sea P (x): ‘x es primo’ y Q(x): ‘x es par’. La sentencia ‘existe ununico primo par’ se representa por:
∃!x(P (x) ∧Q(x)).
¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).
Existencia unica
Se usa ∃!x(P (x)) para representar ‘existe exactamente un x tal que P (x)’, yesta sentencia es verdadera en un universo de discurso U si existeexactamente un elemento c en U tal que P (c).
Ejemplo: sea P (x): ‘x es primo’ y Q(x): ‘x es par’. La sentencia ‘existe ununico primo par’ se representa por:
∃!x(P (x) ∧Q(x)).
¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:
∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).
Existencia unica
Se usa ∃!x(P (x)) para representar ‘existe exactamente un x tal que P (x)’, yesta sentencia es verdadera en un universo de discurso U si existeexactamente un elemento c en U tal que P (c).
Ejemplo: sea P (x): ‘x es primo’ y Q(x): ‘x es par’. La sentencia ‘existe ununico primo par’ se representa por:
∃!x(P (x) ∧Q(x)).
¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).
Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.
¿Que se puede usar en una demostracion?
Definiciones.
Axiomas.
Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).
Leyes logicas.
Reglas de inferencia.
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.
Ejemplos:
Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.
Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.
Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).
Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.
Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.
¿Cuando una definicion es ‘buena’?:
Cuando es lo suficientemente clara y precisa.
Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.
Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.
Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =
√−1).
Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).
Metodos de demostracion
Axiomas: proposiciones que se aceptan como verdaderas en una teorıa.
Ejemplos: dos axiomas de la geometrıa Euclidiana son:
Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica paralela(axioma equivalente al axioma de las paralelas (o quintopostulado de Euclides)).
Metodos de demostracion
Axiomas: proposiciones que se aceptan como verdaderas en una teorıa.
Ejemplos: dos axiomas de la geometrıa Euclidiana son:
Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica paralela(axioma equivalente al axioma de las paralelas (o quintopostulado de Euclides)).
Metodos de demostracion
Axiomas: proposiciones que se aceptan como verdaderas en una teorıa.
Ejemplos: dos axiomas de la geometrıa Euclidiana son:
Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica paralela(axioma equivalente al axioma de las paralelas (o quintopostulado de Euclides)).
Metodos de demostracion
Axiomas: proposiciones que se aceptan como verdaderas en una teorıa.
Ejemplos: dos axiomas de la geometrıa Euclidiana son:
Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica paralela(axioma equivalente al axioma de las paralelas (o quintopostulado de Euclides)).
Metodos de demostracion
Leyes logicas: proposiciones logicamente validas.
Reglas de inferencias: deduccion valida de proposiciones a partir de otrasproposiciones.
Si de la verdad de un conjunto de sentencias {P1, . . . , Pn} se siguenecesariamente la verdad de la sentencia Q, se tiene la regla deinferencia:
P1
...Pn
Q
Metodos de demostracion
Leyes logicas: proposiciones logicamente validas.
Reglas de inferencias: deduccion valida de proposiciones a partir de otrasproposiciones.
Si de la verdad de un conjunto de sentencias {P1, . . . , Pn} se siguenecesariamente la verdad de la sentencia Q, se tiene la regla deinferencia:
P1
...Pn
Q
Metodos de demostracion
Leyes logicas: proposiciones logicamente validas.
Reglas de inferencias: deduccion valida de proposiciones a partir de otrasproposiciones.
Si de la verdad de un conjunto de sentencias {P1, . . . , Pn} se siguenecesariamente la verdad de la sentencia Q, se tiene la regla deinferencia:
P1
...Pn
Q
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Ejemplos de reglas de inferencia:
Modus ponens
P → QPQ
Modus tollens
P → Q¬Q¬P
Silogismo hipotetico
P → QQ→ R
P → R
Silogismo disyuntivo
P ∨Q¬PQ
Disyuncion de casos
P ∨QP → RQ→ R
R
Metodos de demostracion
Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):
Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.
Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.
Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.
Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.
Metodos de demostracion
Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):
Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.
Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.
Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.
Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.
Metodos de demostracion
Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):
Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.
Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.
Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.
Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.
Metodos de demostracion
Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):
Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.
Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.
Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.
Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.
Metodos de demostracion
Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):
Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.
Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.
Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.
Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Demostracion directa
Demostracion directa: Para demostrar una proposicion (usualmente de laforma P → Q), se parte de las hipotesis (P ) y se van obteniendo nuevasproposiciones (usando leyes logicas, reglas de inferencia, definiciones,axiomas o proposiciones previamente demostradas) hasta obtener laproposicion Q.
Nota: para obtener la secuencia de proposiciones que llevan de P a Q es utiltambien pensar de atras hacia adelante (preguntarse ¿a que proposicion Sdebo llegar para obtener Q? ¿y para obtener S a que debo llegar? yası sucesivamente, hasta que los caminos que se estan construyendo demanera progresiva y regresiva se encuentren).
Demostracion directa
Demostracion directa: Para demostrar una proposicion (usualmente de laforma P → Q), se parte de las hipotesis (P ) y se van obteniendo nuevasproposiciones (usando leyes logicas, reglas de inferencia, definiciones,axiomas o proposiciones previamente demostradas) hasta obtener laproposicion Q.
Nota: para obtener la secuencia de proposiciones que llevan de P a Q es utiltambien pensar de atras hacia adelante (preguntarse ¿a que proposicion Sdebo llegar para obtener Q? ¿y para obtener S a que debo llegar? yası sucesivamente, hasta que los caminos que se estan construyendo demanera progresiva y regresiva se encuentren).
Demostracion directa
Ejemplo de demostracion directa.
Proposicion: Si a, b y c son numeros enteros tales que a|b y b|c, entoncesa|c.
Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.
Demostracion directa
Ejemplo de demostracion directa.
Proposicion: Si a, b y c son numeros enteros tales que a|b y b|c, entoncesa|c.
Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.
Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.
Demostracion directa
Ejemplo de demostracion directa.
Proposicion: Si a, b y c son numeros enteros tales que a|b y b|c, entoncesa|c.
Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.
Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.
Demostracion directa
Ejemplo de demostracion directa.
Proposicion: Si a, b y c son numeros enteros tales que a|b y b|c, entoncesa|c.
Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Demostracion por contrarrecıproco
Demostracion por contrarrecıproco: Para demostrar una proposicion de laforma P → Q, se demuestra la proposicion ¬Q→ ¬P .
Justificacion: como P → Q y ¬Q→ ¬P son formulas equivalentes, si sedemuestra ¬Q→ ¬P , por equivalencia logica se tiene P → Q. En algunoscasos puede resultar mas facil demostrar ¬Q→ ¬P que P → Q.
Demostracion por contrarrecıproco
Demostracion por contrarrecıproco: Para demostrar una proposicion de laforma P → Q, se demuestra la proposicion ¬Q→ ¬P .
Justificacion: como P → Q y ¬Q→ ¬P son formulas equivalentes, si sedemuestra ¬Q→ ¬P , por equivalencia logica se tiene P → Q. En algunoscasos puede resultar mas facil demostrar ¬Q→ ¬P que P → Q.
Demostracion por contrarrecıproco
Ejemplo de demostracion por contrarrecıproco.
Proposicion: Sea m un numero entero. Si m2 es impar entonces m esimpar.
Demostracion: Sea m un numero entero. Supongamos que m no es impar,entonces m es par. Luego, m = 2n para algun numero entero n. Se tieneentonces que m2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2). Como 2n2 es un numero entero,entonces m2 es par, y por lo tanto m2 no es impar.
Demostracion por contrarrecıproco
Ejemplo de demostracion por contrarrecıproco.
Proposicion: Sea m un numero entero. Si m2 es impar entonces m esimpar.
Demostracion: Sea m un numero entero. Supongamos que m no es impar,entonces m es par. Luego, m = 2n para algun numero entero n. Se tieneentonces que m2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2). Como 2n2 es un numero entero,entonces m2 es par, y por lo tanto m2 no es impar.
Demostracion por contrarrecıproco
Ejemplo de demostracion por contrarrecıproco.
Proposicion: Sea m un numero entero. Si m2 es impar entonces m esimpar.
Demostracion: Sea m un numero entero. Supongamos que m no es impar,entonces m es par. Luego, m = 2n para algun numero entero n. Se tieneentonces que m2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2). Como 2n2 es un numero entero,entonces m2 es par, y por lo tanto m2 no es impar.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Demostracion por contradiccion
Demostracion por contradiccion (o reduccion al absurdo): Para demostraruna proposicion P , se supone ¬P y se deduce una contradiccion (es decir,se deduce Q ∧ ¬Q para alguna proposicion Q).
Justificacion: Si se supone ¬P y se llega a Q ∧ ¬Q, se ha demostrado¬P → (Q ∧ ¬Q), que es equivalente a (Q ∨ ¬Q)→ P . Por la ley del tercerexcluido y modus ponens se tiene P .
Nota: Si la proposicion P a demostrar es de la forma Q→ R, se supone Q y¬R (que es equivalente a ¬(Q→ R)) y se deduce una contradiccion.
Demostracion por contradiccion
Demostracion por contradiccion (o reduccion al absurdo): Para demostraruna proposicion P , se supone ¬P y se deduce una contradiccion (es decir,se deduce Q ∧ ¬Q para alguna proposicion Q).
Justificacion: Si se supone ¬P y se llega a Q ∧ ¬Q, se ha demostrado¬P → (Q ∧ ¬Q), que es equivalente a (Q ∨ ¬Q)→ P . Por la ley del tercerexcluido y modus ponens se tiene P .
Nota: Si la proposicion P a demostrar es de la forma Q→ R, se supone Q y¬R (que es equivalente a ¬(Q→ R)) y se deduce una contradiccion.
Demostracion por contradiccion
Demostracion por contradiccion (o reduccion al absurdo): Para demostraruna proposicion P , se supone ¬P y se deduce una contradiccion (es decir,se deduce Q ∧ ¬Q para alguna proposicion Q).
Justificacion: Si se supone ¬P y se llega a Q ∧ ¬Q, se ha demostrado¬P → (Q ∧ ¬Q), que es equivalente a (Q ∨ ¬Q)→ P . Por la ley del tercerexcluido y modus ponens se tiene P .
Nota: Si la proposicion P a demostrar es de la forma Q→ R, se supone Q y¬R (que es equivalente a ¬(Q→ R)) y se deduce una contradiccion.
Demostracion por contradiccion
Ejemplo de demostracion por contradiccion.
Proposicion:√
2 es irracional.
Definicion: Un numero real r es racional si existen numeros enteros a, btales que r = a
b, y es irracional en caso contrario.
Demostracion: Suponga que√
2 es racional. Sean a, b numeros enterostales que
√2 = a
b. Se puede suponer que a
bes irreducible (si no lo es, se
puede reducir ab, y se obtienen enteros a′, b′ tales que
√2 = a′
b′ y a′
b′ esirreducible). Se tiene entonces que:
(√
2)2 =(ab
)2
,
2 =a2
b2,
2b2 = a2.
Demostracion por contradiccion
Ejemplo de demostracion por contradiccion.
Proposicion:√
2 es irracional.
Definicion: Un numero real r es racional si existen numeros enteros a, btales que r = a
b, y es irracional en caso contrario.
Demostracion: Suponga que√
2 es racional. Sean a, b numeros enterostales que
√2 = a
b. Se puede suponer que a
bes irreducible (si no lo es, se
puede reducir ab, y se obtienen enteros a′, b′ tales que
√2 = a′
b′ y a′
b′ esirreducible). Se tiene entonces que:
(√
2)2 =(ab
)2
,
2 =a2
b2,
2b2 = a2.
Demostracion por contradiccion
Ejemplo de demostracion por contradiccion.
Proposicion:√
2 es irracional.
Definicion: Un numero real r es racional si existen numeros enteros a, btales que r = a
b, y es irracional en caso contrario.
Demostracion: Suponga que√
2 es racional. Sean a, b numeros enterostales que
√2 = a
b. Se puede suponer que a
bes irreducible (si no lo es, se
puede reducir ab, y se obtienen enteros a′, b′ tales que
√2 = a′
b′ y a′
b′ esirreducible). Se tiene entonces que:
(√
2)2 =(ab
)2
,
2 =a2
b2,
2b2 = a2.
Demostracion por contradiccion
Luego, a2 es par, y por lo tanto a es par. Sea a = 2k, donde k es un numeroentero. Entonces:
2b2 = (2k)2,
2b2 = 4k2,
b2 = 2k2.
Luego, b2 es par y b tambien lo es. Entonces ab
es reducible (contradiccion).
Por lo tanto,√
2 es irracional.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Demostracion por casos
Demostracion por casos: Para demostrar una proposicion P → Q, si Ppuede dividirse en casos P1, . . . , Pn (es decir, si P es equivalente aP1 ∨ . . . ∨ Pn), se demuestran las proposiciones P1 → Q, . . . , Pn → Q.
Justificacion: (P1 ∨ . . . ∨ Pn)→ Q es equivalente a(P1 → Q) ∧ . . . ∧ (Pn → Q).
Demostracion por casos
Demostracion por casos: Para demostrar una proposicion P → Q, si Ppuede dividirse en casos P1, . . . , Pn (es decir, si P es equivalente aP1 ∨ . . . ∨ Pn), se demuestran las proposiciones P1 → Q, . . . , Pn → Q.
Justificacion: (P1 ∨ . . . ∨ Pn)→ Q es equivalente a(P1 → Q) ∧ . . . ∧ (Pn → Q).
Demostracion por casos
Ejemplo de demostracion por casos.
Proposicion: Sea n un numero entero, entonces n2 + n es par.
Demostracion: Sea n un numero entero, entonces n es par o n es impar.
Caso 1 (si n es par): existe un entero k tal que n = 2k y se tiene quen2 + n = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k). Como k es entero,2k2 + k tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.
Caso 2 (si n es impar): existe un entero k tal que n = 2k + 1 y se tieneque n2 + n = (2k + 1)2 + 2k + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 =4k2 + 6k + 2 = 2(2k2 + 3k + 1). Como k es entero, 2k2 + 3k + 1tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.
Demostracion por casos
Ejemplo de demostracion por casos.
Proposicion: Sea n un numero entero, entonces n2 + n es par.
Demostracion: Sea n un numero entero, entonces n es par o n es impar.
Caso 1 (si n es par): existe un entero k tal que n = 2k y se tiene quen2 + n = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k). Como k es entero,2k2 + k tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.
Caso 2 (si n es impar): existe un entero k tal que n = 2k + 1 y se tieneque n2 + n = (2k + 1)2 + 2k + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 =4k2 + 6k + 2 = 2(2k2 + 3k + 1). Como k es entero, 2k2 + 3k + 1tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias universales: para demostrar una sentencia de laforma ∀x ∈ U(P (x)), comience por suponer un objeto arbitrario x ∈ U ymuestre que x satisface la propiedad P . Como el objeto elegido al comienzoes arbitrario, la propiedad mostrada vale para todos los objetos en U .
Ejemplo: en el ejemplo anterior, la sentencia ‘Sea n un numero entero,entonces n2 +n es par’ es equivalente a la sentencia ‘∀n ∈ Z(n2 +n es par)’,y la demostracion se hizo suponiendo al comienzo que n es un numeroentero arbitrario, por lo tanto, la demostracion vale para todo n ∈ Z.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias universales: para demostrar una sentencia de laforma ∀x ∈ U(P (x)), comience por suponer un objeto arbitrario x ∈ U ymuestre que x satisface la propiedad P . Como el objeto elegido al comienzoes arbitrario, la propiedad mostrada vale para todos los objetos en U .
Ejemplo: en el ejemplo anterior, la sentencia ‘Sea n un numero entero,entonces n2 +n es par’ es equivalente a la sentencia ‘∀n ∈ Z(n2 +n es par)’,y la demostracion se hizo suponiendo al comienzo que n es un numeroentero arbitrario, por lo tanto, la demostracion vale para todo n ∈ Z.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias existenciales: una forma de demostrar unasentencia de la forma ∃x ∈ U(P (x)) es exhibir o construir un objeto x ∈ Uque satisface la propiedad P .
Ejemplo:
Proposicion: ‘Existen dos numeros primos tales que su suma esnumero primo’.
Demostracion: 2 y 3 son numeros primos y su suma (5) tambien esnumero primo.
¿2 y 3 son los unicos numeros primos cuya suma es primo?
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias existenciales: una forma de demostrar unasentencia de la forma ∃x ∈ U(P (x)) es exhibir o construir un objeto x ∈ Uque satisface la propiedad P .
Ejemplo:
Proposicion: ‘Existen dos numeros primos tales que su suma esnumero primo’.
Demostracion: 2 y 3 son numeros primos y su suma (5) tambien esnumero primo.
¿2 y 3 son los unicos numeros primos cuya suma es primo?
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias existenciales: una forma de demostrar unasentencia de la forma ∃x ∈ U(P (x)) es exhibir o construir un objeto x ∈ Uque satisface la propiedad P .
Ejemplo:
Proposicion: ‘Existen dos numeros primos tales que su suma esnumero primo’.
Demostracion: 2 y 3 son numeros primos y su suma (5) tambien esnumero primo.
¿2 y 3 son los unicos numeros primos cuya suma es primo?
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de sentencias existenciales: una forma de demostrar unasentencia de la forma ∃x ∈ U(P (x)) es exhibir o construir un objeto x ∈ Uque satisface la propiedad P .
Ejemplo:
Proposicion: ‘Existen dos numeros primos tales que su suma esnumero primo’.
Demostracion: 2 y 3 son numeros primos y su suma (5) tambien esnumero primo.
¿2 y 3 son los unicos numeros primos cuya suma es primo?
Demostraciones que involucran cuantificadores
Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.
¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?
‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.
Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:
x =de− bfad− bc , y =
af − cead− bc .
Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf
ad−bcy y = af−ce
ad−bcson numeros reales y satisfacen las
ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .
Demostraciones que involucran cuantificadores
Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.
¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?
‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.
Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:
x =de− bfad− bc , y =
af − cead− bc .
Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf
ad−bcy y = af−ce
ad−bcson numeros reales y satisfacen las
ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .
Demostraciones que involucran cuantificadores
Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.
¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?
‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.
Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:
x =de− bfad− bc , y =
af − cead− bc .
Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf
ad−bcy y = af−ce
ad−bcson numeros reales y satisfacen las
ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .
Demostraciones que involucran cuantificadores
Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.
¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?
‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.
Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:
x =de− bfad− bc , y =
af − cead− bc .
Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf
ad−bcy y = af−ce
ad−bcson numeros reales y satisfacen las
ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .
Demostraciones que involucran cuantificadores
Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.
¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?
‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.
Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:
x =de− bfad− bc , y =
af − cead− bc .
Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf
ad−bcy y = af−ce
ad−bcson numeros reales y satisfacen las
ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .
Demostraciones que involucran cuantificadores
Existen pruebas no constructivas de existencia, en las que se demuestraque un determinado tipo de objeto existe sin exhibir o construir un objetocon esas caracterısticas.
Ejemplo: la existencia de irracionales puede ser deducida de la‘numerabilidad’ de los racionales y la ‘no numerabilidad’ de los reales.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Existen pruebas no constructivas de existencia, en las que se demuestraque un determinado tipo de objeto existe sin exhibir o construir un objetocon esas caracterısticas.
Ejemplo: la existencia de irracionales puede ser deducida de la‘numerabilidad’ de los racionales y la ‘no numerabilidad’ de los reales.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de existencia unica: como una sentencia de la forma∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y), parademostrar ∃!x(P (x)) se debe demostrar primero la existencia (∃x(P (x))) yluego la unicidad (∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y)).
Ejemplo ‘Para todo numero real positivo y, existe un unico numero real xtal que 2x = y.
Demostracion:
Existencia: se prueba como se indico anteriormente.
Unicidad: sean x y z numeros reales tales que 2x = y y 2z = y,entonces:
2x = 2z,
log2(2x) = log2(2z),
x = z.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de existencia unica: como una sentencia de la forma∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y), parademostrar ∃!x(P (x)) se debe demostrar primero la existencia (∃x(P (x))) yluego la unicidad (∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y)).
Ejemplo ‘Para todo numero real positivo y, existe un unico numero real xtal que 2x = y.
Demostracion:
Existencia: se prueba como se indico anteriormente.
Unicidad: sean x y z numeros reales tales que 2x = y y 2z = y,entonces:
2x = 2z,
log2(2x) = log2(2z),
x = z.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de existencia unica: como una sentencia de la forma∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y), parademostrar ∃!x(P (x)) se debe demostrar primero la existencia (∃x(P (x))) yluego la unicidad (∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y)).
Ejemplo ‘Para todo numero real positivo y, existe un unico numero real xtal que 2x = y.
Demostracion:
Existencia: se prueba como se indico anteriormente.
Unicidad: sean x y z numeros reales tales que 2x = y y 2z = y,entonces:
2x = 2z,
log2(2x) = log2(2z),
x = z.
Demostraciones que involucran cuantificadores
Demostracion de existencia unica: como una sentencia de la forma∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y), parademostrar ∃!x(P (x)) se debe demostrar primero la existencia (∃x(P (x))) yluego la unicidad (∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y)).
Ejemplo ‘Para todo numero real positivo y, existe un unico numero real xtal que 2x = y.
Demostracion:
Existencia: se prueba como se indico anteriormente.
Unicidad: sean x y z numeros reales tales que 2x = y y 2z = y,entonces:
2x = 2z,
log2(2x) = log2(2z),
x = z.
Indice
1 Introduccion
2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica
3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos
Refutacion con contraejemplos
Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.
Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.
Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?
Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).
Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.
Refutacion con contraejemplos
Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.
Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.
Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?
Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).
Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.
Refutacion con contraejemplos
Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.
Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.
Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?
Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).
Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.
Refutacion con contraejemplos
Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.
Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.
Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?
Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).
Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.
Refutacion con contraejemplos
Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.
Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.
Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?
Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).
Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.
Referencias bibliograficas
de Guzman-Ozamiz, M. (2004).Como Hablar, Demostrar y Resolver en Matematicas.Base Universitaria. Anaya.
Houston, K. (2009).How to Think Like a Mathematician.A Companion to Undergraduate Mathematics. Cambridge UniversityPress.
Solow, D. (1993).Como Entender y Hacer Demostraciones en Matematicas.Limusa, Noriega Editores.Traduccion del libro How to Read and Do Proofs.
Uzcategui-Aylwin, C. (2011).Logica, Conjuntos y Numeros.Consejo de Publicaciones, Universidad de los Andes, Venezuela.