Algebra Julio

Del colegio a la Mes: Julio 2013

Lideres en Educación 2do Grado de 1

“Innova Schools”

Al empezar nuestra "Historia Matemática", desde

muy pequeños vimos las primeras cifras: 1; 2; 3; etc.,

y luego de eso, tratábamos de relacionarlas

mediantes las operaciones aritméticas

fundamentales: suma, resta, multiplicación y división.

Y es aquí donde, quizás para mucha gente, empieza

el "GRAN DOLOR DE CABEZA" con respecto a las

Matemáticas, al tratar de resolver ejercicios un tanto

más complejos. Sin embargo, esto no tiene

necesariamente que ser así, pues la Matemática

puede ser disfrutada a plenitud aplicándola a hechos

reales vividos día a día.

Debemos recordar que la primera operación vista

fue: LA SUMA (+), con ejercicios clásicos como los

son: 2 + 2; 5 + 2; etc. Posteriormente vimos una

operación opuesta a la anterior: LA DIFERENCIA (-); y

resolvimos ejercicios como: 7 - 2; 5 - 1; etc.

Luego conocimos lo que se denominaba "suma

abreviada". o sea: LA MULTIPLICACIÓN (×), y

calculamos productos como: 3 × 2; 5 × 4; etc.

Y finalmente llegamos a una operación opuesta a la

multiplicación: LA DIVISIÓN (¸). Aquí, distinguimos los

siguientes elementos:

2 12 0

1

54

D I V I SO RCO CI EN T E

D I V I D EN D O

R E S I D U O

Bueno, pero a lo mejor te preguntas: "¿Y qué tiene

que ver esto con el Álgebra?", pues la respuesta es

muy sencilla.

Toda nuestra "Historia Matemática" vivida de manera

aritmética, (es decir, utilizando únicamente números)

será repetida, pero ahora de manera algebraica (es

decir, utilizando polinomios).

PARTE TEÓRICA

División de polinomios

La división es un proceso en el cual, conocidos dos polinomios llamados: DIVIDENDO y DIVISOR, se obtienen otros dos llamados COCIENTE y RESIDUO.

P(x)

R(x)

S(x)

Q (x)

DI VI DENDO DI VI SO R

CO CI ENT ERESI DUO

OBSERVACIÓN: Para poder dividir dos polinomios éstos deben encontrarse completos y ordenados.

Ejemplos:1. Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x2 + x3

ORD ENANDO P(x) = x + 2x + 5x + 323

2. Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x - 1

CO M PLETAND O Q(x) = 3x + 0x + 5x - 123

3. Sea el polinomio: J(x) = 2x - x2 + 3x4 + 5

ORD ENANDOY

CO M PLETANDOJ (x) = 3x + 0x - x + 2x + 534 2

• REGLA DE PAOLO RUFFINISe aplicará cuando el divisor sea un polinomio lineal.

Es decir: d(x) = ax + b ; a 0

Aquí, se hará uso del siguiente diagrama.

CO EF I CI EN T ES DELD I V I DENDO

CO EF I CI EN T ES DELCO CI ENT E

R ESI DU O

Aquí va elcoeficienteindependientedel d ivisor,pero con signoopuesto.

O J O -a

d(x) = x + a

Las operaciones a realizar con los coeficientes son:

ÁLGEBRANIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 SEGUNDO GRADO

DIVISIÓN ALGEBRAICA III




SUMA

M ULT I PLI CACI Ó N

CO LOCANDO ELPROD UCTO

Ejemplo: Dividir:

1x

1xx5x2x3 234

; x 1

Solución:Completamos el diagrama con los coeficientes, teniendo mucho cuidado con los signos.

Luego procedemos con las operaciones.

0

+ 1

3

3

2

3

5

-5

5

0

1

0

1

1

1

2

El resultado será completado con las variables obteniéndose:

Cociente Q(x) = 3x3 + 5x2 + 0x + 1 = 3x3 + 5x2 + 1

Residuo R(x) = 2

1. Dividir:

3x

12x7x2

; x - 3

Resolución:

x + 3 = 0

x = -3

1

1

7

-3

4

12

-12

0

Cociente: Q(x) = 1x + 4 = x + 4Residuo: R(x) = 0

2. Dividir:

3x

27x3

; x - 3

Resolución:Completando y ordenando el dividendo:

3x

27x0x0x 23

; x - 3

0x + 3 = 0

x = - 3

1

1

0

-3

-3

0

9

9

27

-27

0

Cociente: Q(x) = 1x2 - 3x + 9 = x2 - 3x + 9Residuo : R(x) = 0

3. Dividir:

1x

1x3x3x 23

; x 1

Resolución:

0x - 1 = 0

x = 1

1

1

-3

1

-2

3

-2

1

-1

1

0

Q(x) = 1x2 - 2x + 1 = x2 - 2x + 1

R(x) = 0

4. Dividir:

4x

8x4xx 23

; x 4Resolución:

Ordenando el polinomio dividendo:

4x

8xx4x 23

0x - 4 = 0

x = 4

1

1

-4

4

0

1

0

1

-8

4

-4

Cociente: Q(x) = 1x2 + 0x + 1 = x2 + 1

Residuo: R(x) = -4

1. Hallar el resto en la siguiente división:

2x30xxx 35

; x 2

PROBLEMAS RESUELTOS

TALLER DE APRENDIZAJE




2. Hallar "n", si el resto de la división:

1xnxx2x3x 234

Es 15; x 1

3. Dividir: 1x1xxxx 234

e indicar el término independiente de su cociente. ; x 1

4. Calcular el residuo al efectuar la división:

3xx3

; x 3

5. Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente en la división de:

2x2xxxxx 2345

; x 2

6. Si la división: 2xnx5xx2 23

tiene residuo nulo, hallar el valor de "n”; x 2

7. Calcular el resto en la siguiente división:

1x1x2 5

; x - 1

8. Calcular el polinomio cociente en la división:

3x12xx4x 23

; x - 3

1. Dividir:

1x

3x3x5x4 23

, e indicar su residuo; x 1a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 0

2. Al dividir, su cociente es:

3x

3x2xx6 43

; x - 3

a) 2x2 + 1 b) 2x4 + 1 c) 2x3 + 1d) 2x3 - 1 e) 2x4 – 1

3. Dividir:

1x

2x2xx 23

; x 1e indicar el término independiente de su cociente.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4. Dividir:

2x2x5x2x 32

; x - 2

PROBLEMAS PARA LA CLASE



“Innova Schools”e indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 0

5. Indicar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

9x

63x52x32x3 23

; x 9

a) 5 b) 10 c) -5d) -10 e) 0

6. Completar el siguiente diagrama de Ruffini:

0

-3

2

2

3

-3

-5

9

0

-12

-2

6

6

12Luego, indicar la suma de valores hallados.

a) 0 b) 20 c) 8d) 14 e) 12

7. Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de los valores hallados:

0

-2

0

2

+ 1

-4

-3

6

3

0

-6

-4

-8

8

a) -12 b) 12 c) 1d) 16 e) 0

8. Hallar "a", para que la división:

1x

ax2x5x2 23

; sea exacta; x 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Determinar el valor de "n", si la división: x - 2

2x

)7n(x5xx2 23

; tiene residuo nulo.

a) 9 b) 2 c) 5d) 8 e) 7

10. Sabiendo que la división:

1x

)3n2(x5xx3 24

; es exacta, x - 1Determinar el valor de "n".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Si en la división:

3x2

mx3xx4 24

; x

32

el residuo es numéricamente igual a la suma de coeficientes del cociente, hallar "m"

a) 33 b) 32 c) 3

d) 34 e) 35

12. Hallar el valor de "m", si al dividir:

3mx)1m4(x)m3m3(x3x 223

; x m + 3la suma de coeficientes tanto del cociente como la del residuo resultan iguales.

1. Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir:

1x32x10xx4x6 234

; x -1/3a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar el resto en:

1x51x7x9x8x15 234

; x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Efectuar:

2x3

19x10x3x7x3 234

; x Calcular la suma de coeficientes del cociente.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. Hallar el resto en:

1x2

1x6xx3x6 234

; x

a) 1 b) -2 c) -3d) -4 e) -8

5. Calcular el cociente que se obtiene al dividir:

TAREA DOMICILIARIA Nº 01



TEOREMA DEL RESTO


21

x

5x4xx6 23

; x

a) 3x2 + 2x - 1 b) -3x2 - 2x - 1c) 3x2 - 2x + 1 d) 6x2 + 4x - 2e) 3x2 - 2x - 1

6. Calcular el cociente en:

1x2

8x2x40x128 34

; x a) 128x3 - 24x2 + 12x - 8b) 64x3 - 12x2 + 6x - 4c) 128x3 + 24x2 + 12x + 8d) 64x3 + 4x2 + 6x - 1e) 12

7. Hallar el resto de dividir:

2mx

2m2x)m2m2(x2x 223

; x m + 2

a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -1

8. Hallar "a" para que el residuo de la división:

2ax

aaxaxx 223

; x a + 2sea: 5a + 11

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Luego de dividir:

2x3

6x2x4x22x3 234

; x

23

Proporcionar la suma de coeficientes del cociente.

a) 3 + 22 b) 2 + 32 c) 1 + 2d) 2 - 2 e) 4 + 32

10. Hallar el residuo de la división:

1x2

1mxx5x6 23

; x -1/2Sabiendo que su cociente toma el valor numérico de 2 para: x = 1

a) -4 b) -3 c) 0d) 3 e) 4

11. Dividir:

2x

2x5x3 4

; x - 2Hallar el residuo.

12. Dividir:

3x

15xx12x10x3 325

; x 3Hallar el resto.

13. Hallar el término independiente del cociente de dividir:

3y

5y2y14y2 34

; y 3

Teorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa.Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado.

ProcedimientoEjemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

2x2+x+4x−1

Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x – 1 = 0

Paso 2 : Se despeja la variable:x – 1 = 0 x = 1

Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo:Como: D(x) = 2x2 + x + 4 Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4

Resto = 2 . 1 + 1 + 4Resto = R(x) = 7

Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

Puedes comprobar dividiendo por el Método

de Horner o de Ruffini cada uno de los ejemplos y encontraras las mismas

respuestas.

Para aplicar el Teorema del Resto no es necesario que el

polinomio dividiendo sea completo y

ordenado.

RecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerda




3x2+8 x+7x+1

Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x + 1 = 0

Paso 2 : Se despeja la variable:x + 1 = 0 x = -1

Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo:Como: D(x) = 3x2 + 8x + 7 Resto = D(-1) = 3(-1)2 + 8(-1) + 7 R(x) = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7

Resto = R(x) = 2

Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

2x3−4 x2+3 x+4x−2

Paso 1 : x - 2 = 0

Paso 2 : x - 2 = 0 x = 2

Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 4 R(x) = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 + 4

Resto = R(x) = 10

Ejemplo:

Halla el residuo en:

13 x+6 x2−52 x−1

Paso 1 : 2x - 1 = 0

Paso 2 : 2x - 1 = 0 x =

12

Paso 3 : R(x) = D(

12 ) = 13(

12 ) + 6(

12 )2 - 5

R(x) =

132

+6 ( 14)−5

R(x) =

132

+ 64−5

R(x) = 8 – 5 = 3

Ejemplo: Halla el residuo en:

3x2+ x+73 x−2

Paso 1 : 3x - 2 = 0

Paso 2 : x=23

Paso 3 : R(x) = 3( 23)2+ 23+7

El uso de las letras finales del alfabeto (x, y, z, …) para

representar las incógnitas y las primeras para valores

conocidos, fue introducido por Descartes, aunque parece que fue su editor el que eligió estas

CuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidades




R(x) = 3( 49

)+23+7

R(x) =

43+ 23+7

R(x) = 9

En cada caso hallar el residuo:

5x2−16 x+4x−3

Paso 1 : 3x - 2 = 0

Paso 2 : x =

Paso 3 : R(x) = 5( )2 - 16( ) + 4 R(x) =

I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada suma de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

1.

x2+x+5x−1

a) 5 b) -1 c) 7d) 4 e) 5

2.

x2−x+1x−2

a) -4 b) -1 c) 5d) 2 e) 3

3.

2x3+3x−2x2+2x−1

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 9

4.

x2+3 x+11x+1

a) 9 b) 8 c) -1d) 11 e) 3

5.

x2−2 x−4x+2

a) 4 b) 5 c) 6d) -5 e) -6

6.

3x 4+3 x3+x+8x+1

a) -1 b) -3 c) 7d) 1 e) 3

7.

2x2+x2x−1

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0

8.

3x2+2x3 x−1

a) 0 b) -1 c) 3d) 4 e) 1

9. Hallar “b” en la siguiente división:

2x2−x+bx−1

Si el resto que se obtiene es 7.

a) 5 b) 7 c) 6d) 4 e) 1

10. La siguiente división:

3x2+bx−3x−2 tiene resto 5

Hallar: “b”

a) -2 b) -1 c) -4d) -5 e) -7

11. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:





bx3+2x2+4+ xx+1

Si el resto es 3.

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 4

12. Hallar el valor de “b” si el resto de la

siguiente división:

x2+23x−b es 27.

a) 4 b) 2 c) 5d) 3 e) 1

13. Hallar el resto en la siguiente división:

4 x5−8 x4+3 x+1x−2

a) 3 b) 2 c) 7d) 0 e) 1

14. Calcular el resto de:

( x−1 )2004+(2x−1 )2003+x−1x−1

a) 1 b) 2 c) 0d) 2003 e) -1


x4+x2

x2−1

a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

1.

x2+2x+2x−1

a) 4 b) 5 c) 3d) -1 e) 2

2.

x2+3 x−2x−2

a) -2 b) 8 c) -8d) 2 e) 0

3.

5x3−2 x−5 x2+2x−1

a) 3 b) 4 c) -1d) 0 e) 1

4.

x2+6 x+8x+1

a) 3 b) 5 c) -2d) 0 e) -1

5.

x2+x−1x−3

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) -8

6.

8 x4+8x3+2x+2x+1

a) -4 b) 4 c) 0d) 1 e) -1

7.

2x2−3 x2x−1

a) -1 b) 2 c) 0d) -2 e) 1

8.

3x2+5x3 x−1

a) 2 b) -2 c) 0d) 3 e) -3

9. Hallar “b” en la siguiente división:

2x2−3 x+bx−2 si el resto es 3.

a) -3 b) 4 c) 0d) 2 e) 1

10. La siguiente división:

2x2+bx+4x−3 tiene resto

7.Hallar: “b”

a) 8 b) -2 c) 0d) -5 e) 4

11. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

bx3−3 x+3x2+2x+1 si el resto es 5.

a) 0 b) 4 c) 3d) -1 e) -7

12. Hallar el valor de “b” si el resto de:

x2+15x−b

es 40.




COCIENTES NOTABLES I

“Innova Schools”a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5

13. Indicar el resto en la siguiente división:

2x7−4 x6+2 x+3x−2

a) -1 b) 7 c) 0d) 2 e) 5


(3 x−5 )2004+( x−1)2003−2x−2

a) 1 b) 4 c) 8d) -1 e) 0


x4+x6

x2−1

a) 2 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

En la división de polinomios existen algunos cocientes que se escribe directamente sin la necesidad de ser efectuada la división. Veamos los casos especiales:

ax

axy

ax

ax;

ax

ax;

ax

ax nnnnnnnn

Donde "n" es entero positivo mayor que uno.

A. Analizamos el cociente de la división:

ax

ax nn

de x2 - a2 = (x + a) (x - a), se deduce:

axax

ax 22

de x3 - a3 = (x - a) (x2 + xa + a2), se deduce:

2233

axaxax

ax

De los dos ejemplos podemos observar que los exponentes de "x" disminuyen de 1 en 1 mientras que los exponentes de "a" aumentan de 1 en 1, además, todos sus términos tienen signo positivo y el número de términos del cociente es igual al exponente.

Utilizando el criterio anterior podemos escribir:

osmintér4

322344

axaaxxax

ax

osmintér5

43223455

axaaxaxxax

ax

53432332223323425232

6362

)a()a)(x()a()x()a()x()a()x()x(ax

)a()x(

osmintér6

1512294663810 aaxaxaxaxx

En general:




1n23n2n1nnn

a.............axaxxax

ax

B. Analizamos el cociente de la división:

ax

ax nn

Para que genere cociente notable la división debe ser exacta esto ocurre cuando el exponente "n" es impar. Así, tenemos:

osmintér3

2233

axaxax

ax

osmintér5

43223455

axaaxaxxax

ax

osmintér7

654233245677

axaaxaxaxaxxax

ax

Observamos que los signos de los términos del cociente son alternados (+, -, +,.............)

En general:

1n23n2n1nnn

a..........axaxxax

ax

Para exponente pares como: ax

ax;

ax

ax;

ax

ax 664422

; etc. No son cocientes notables, pues las divisiones son inexactas.

C. Analizando el cociente de la división: ax

ax nn

Estos cocientes son exactos únicamente cuando el exponente "n" es par. Así tenemos:

osmintér2

22ax

ax

ax

osmintér4

322344

axaaxxax

ax

osmintér6

5432234566

axaaxaxaxxax

ax

Observa que los signos de los términos del cociente son alternados (+ - + - ...........)

En general:

1n23n2n1nnn

a...........axaxxax

ax

Para impares como: ;

ax

ax;

ax

ax;

ax

ax 775533

etc. No son cocientes notables, porque no son divisiones exactas.

D. Analizamos el cociente de la división: ax

ax nn

Estas divisiones no son exactas para "n" par o impar.




De modo que: ;

ax

ax;

ax

ax;

ax

ax;

ax

ax 55443322

etc. No son cocientes notables.

1. Dado el cociente notable: 1m1m12

indica el número de términos de su desarrollo

2. ¿Cuántos términos posee el desarrollo del C.N.:

65

5445

ba

ba

?

3. Desarrollar el C.N. yxyx 33

, e indicar el producto de todos sus términos.

4. Desarrollar: yxyx 33

e indicar el término central.

5. Indicar el tercer término del desarrollo del

siguiente C.N.: 1x1x5

6. Dado el C.N.: 32

96

yx

yx

, desarrollar e indicar su término central.

7. Indicar el término de posición 7 en el desarrollo

de: 1a1a9

8. Indicar el exponente de "a" del 4to término en el

desarrollo de: 32

1510

ba

ba

TALLER DE APRENDIZAJE





1. Desarrollar el cociente notable: yx

yx 33

;Indicar el producto de sus términos.

a) xy b) xy3 c) x3y2

d) x3y e) x3y3

2. Desarrollar el cociente notable: yx

yx 55

;Indicar uno de los términos.

a) x4y b) xy3 c) y5d) x + y e) -xy3

3. Indique el cuarto término al desarrollar:

32

4530

yx

yx

a) xy11 b) x9y22 c) x12y9d) x11y9 e) x22y9

4. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de:

yx

yx2

510

?

a) x2y2 b) x3y c) xy3

d) x2y4 e) x4y2

5. Calcular el segundo término al desarrollar:

3x

81x3

12

a) 3 b) 2x4 c) 3x2d) x6 e) 3x6

6. Desarrollar el cociente notable: yxyx 77

e indicar el término central.

a) xy b) x2y2 c) x3y3

d) x4y4 e) x5y5

7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):I.

43223455

yxyyxyxxyx

yx

II.

322344

yxyyxxyx

yx

III.

2233

yxyxyx

yx

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FFF e) FFV

8. Indicar uno de sus términos al desarrollar:

1x2

1x165

20

a) 4x5 b) 2x4 c) 4x15

d) 2x10 e) 8x15

9. Indicar el sexto término de:

yx2

yx2562

816

a) 4x2y5 b) 8x2y5 c) 2x4y5d) 4x4y5 e) 4x4y10

10. Indicar el cuarto término de:

63

2412

ax5

ax625

a) 25x6a6 b) a18 c) 5x3a12d) a6 e) 25x3a6

11. El término de posición "4" es de la forma:

"xm.yn" en el siguiente C.N. 6a

3630

yx

yx

, hallar "m+n".

a) 24 b) 26 c) 28d) 25 e) 23

12. Si se sabe que: . . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . .son tres términos consecutivos de un C.N., Hallar el valor de "a + b"

a) 13 b) 15 c) 12d) 14 e) 10

13. Hallar el término que no corresponde al desarrollo de:

1x2

1x167

28

a) 8x21 b) 2x7 c) 1d) 4x14 e) 16x21





Desarrollar los cocientes notables:

1.

yxyx 77

2.

2x

32x5

3.

1010

3030

yx

yx

4.

33

1515

yx

yx

5.

yx

yx 1010

6. Calcular el 3er. término del desarrollo de:

yxyx 77

7. Calcular el cuarto término del desarrollo de:

1x3

1x81 4

8. Calcular el segundo término del desarrollo de:

3x5

27x125 3

9. Calcular el cuarto término del desarrollo de:

1x2

1x64 6

10. Calcular el tercer término del desarrollo de:

y2x

y128x2

714

11. El cociente notable de:

x10

x1000 3

es:

12. El cociente notable de: 1x

1x4

; es:

13. Desarrollar el cociente notable:




. ba

ba 44

Indicar el producto de sus términos.

14.Desarrollar el cociente notable:

3x

81x3

12

15. Desarrollar el cociente notable:

1a32

1a8116

4

16

Indicar el coeficiente del tercer término.

16. Indicar el tercer término en el desarrollo de:

10 30

2 6

243x y

3x y

17. Si tenemos el cociente notable con su respectivo desarrollo:

{

4 43 2 3

A B C D

1 6 x y8 x 4 x y 2 x y y

2 x y { { {

¿En qué término se presenta el error?

18. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. Al desarrollar 2m16m4

¿Todos sus términos son positivos?

II. Al desarrollar 1x

1x13

¿Todos sus términos tienen signos alternados?

III. El término central del cociente notable:

yx

yx 33

es "xy".

Algebra Julio

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