ECUACIONES

197

Ejercicio 5

Resuelve las ecuaciones:

1. 23 4 4x x− =

2. 2 6 2x x x x+ = +

3. 4 8 1x x− = −

5.5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método algebraico

Hasta ahora sólo hemos encontrado la solución de ecuaciones con una sola variable, ¿cuál será la solución de una ecuación lineal con dos o más variables?

Consideremos la ecuación lineal con dos variables de la forma ax + by = c; si despejamos una de las variables, por ejemplo y obtendremos:

ax by ca cy xb b

+ =

= − +

De aquí que para cada valor que demos a la variable x obtendremos uno para y, así tendremos una infinidad de parejas (x, y) donde y es de la forma

a cy xb b−

= + que satisfacen la ecuación ax + by = c

Generalizando podemos decir que una ecuación lineal con dos o más variables puede tener muchas soluciones, así que el conjunto de todas las soluciones de la ecuación se denomina conjunto solución y cuando éste se determina se dice que se ha resuelto la ecuación.

Para describir el conjunto solución de una ecuación lineal con dos o más variables suele utilizarse una representación paramétrica del mismo. Esta técnica consiste en representar las soluciones de la ecuación mediante el uso de variables que llamamos parámetros. Los siguientes ejemplos muestran la manera como se obtiene dicha parametrización.

ÁLGEBRA SUPERIOR

198

Ejemplo 10

a) Obtén el conjunto solución de la ecuación 3x1 – 5x2 = 7Para obtener el conjunto solución se despeja una de las variables en función

de todas las demás. Despejando a x1 se tiene:

21

7 53

xx +=

La variable despejada, x1, dependerá del valor que tenga la variable x2,

llamada libre o independiente. Una variable es libre cuando puede asumir cualquier valor real que es independiente del valor de las otras variables. En este caso x2 es la variable libre, mientras que x1 no lo es.

Para representar al conjunto solución es conveniente introducir otra variable, t, llamada parámetro. El parámetro se iguala a la variable libre y el conjunto solución será:

x2 = t y 17 5

3tx +

= ,

donde t es cualquier número real. Los pares de números que son solución de la ecuación lineal, se pueden

obtener asignándole valores al parámetro t. Por ejemplo, si t = 1, entonces se obtiene los valores

17 5(1) 12 4

3 3x += = = y x2 = 1,

que es solución a la ecuación 3x1 – 5x2 = 7, ya que:3(4) – 5(1) = 12 – 5 = 7

b) Determina el conjunto solución de x1 – x2 + 6x3 = 2Despejando la primera variable, x1, en términos de las otras, se tiene que

x2 y x3 serán las variables libresx1 = 2 + x2 – 6x3

Como se tienen dos variables libres, entonces se utilizarán dos parámetros, s y t, para sendas variables. Por lo tanto, si x2 = s y x3 = t entonces el conjunto solución tiene la representación paramétrica:

ECUACIONES

199

x2 = s, x3 = t y x1 = 2 + s – 6t Donde s y t son números reales cualesquiera. Una solución numérica se

obtiene sustituyendo un valor para s y otro para t en las relaciones anteriores. Por ejemplo, sea s = 2 y t = –1, entonces una solución a la ecuación lineal es:

x2 = 2, x3 = –1 y x1 = 2 + 2 – 6(–1) = 4 + 6 = 10 Verificando que la terna (10, 2, –1) es solución de la ecuación x1 – x2 +

6x3 = 2, se tiene:10 – 2 + 6(–1) = 8 – 6 = 2,

por lo tanto, sí es solución.Pero si en vez de tener una ecuación lineal con más de una variable se tienen

varias y se busca obtener el conjunto solución que satisfaga a todas las ecuaciones simultáneamente, entonces se tiene un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de ecuaciones cuya característica es que cada una de ellas es lineal en las mismas variables

a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2

a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3

..............................................am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=bm

y donde los números amn son números reales.

Al igual que cuando se tenía sólo una ecuación lineal, los sistemas de ecuaciones lineales también tienen soluciones.

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números {α1, α2, α3, ...,αn} que satisfacen cada una de las ecuaciones lineales del sistema.

ÁLGEBRA SUPERIOR

200

Así, el sistema de ecuaciones lineales:3x1 + 4x2 = 2

7x1 + 11x2 = 3,tiene como una solución

x1 = 2 y x2 = –1,ya que al sustituir estos valores en las ecuaciones anteriores se obtiene:

3(2) + 4(–1) = 6 – 4 = 27(2) + 11(–1) = 14 – 11 = 3

Sin embargo, los valores x1 = 1/3 y x2 = 1/4 no son soluciones del sistema de ecuaciones, ya que, aunque satisfacen a la primera ecuación, no cumplen con la segunda.

¿Cómo encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones? Para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables existen varios métodos, por ejemplo:

5.5.1. Método por igualación

Para ilustrar este método resolvamos el siguiente sistema de ecuacionesx1 + 4x2 = 4x1 –7x2 = –18

Se elige y despeja una incógnita en las ecuaciones, por ejemplo si se despeja x1 en ambas ecuaciones:

x1 = 4 – 4x2

x1 = –18 + 7x2

Enseguida se igualan los dos valores de x1 y se obtiene la siguiente ecuación:

4 – 4x2 = –18 + 7x2

Agrupando los términos con x2 de un lado de la ecuación y los términos restantes del otro lado queda de la siguiente manera:

4 + 18 = 4x2 + 7x2

Haciendo las sumas se tiene:22 = 11x2,

Despejando x2 se llega a:x2 = 22/11 = 2

ECUACIONES

201

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones en las que se despejó x1, por ejemplo en la primera, se obtiene:

x1 = 4 – 4(2) = 4 – 8 = –4,por lo que la solución al sistema es:

x1 = –4 y x2 = 2

5.5.2. Método por sustitución

Encontremos la solución del siguiente sistema: x1 + 5x2 = 6

3x1 – 7x2 = –4usando el método de sustitución. Para esto, despejemos la variable x1 de la

primera ecuación y tenemos:x1 = 6 – 5x2

y ahora sustituyamos x1 en la segunda ecuación3(6 – 5x2) – 7x2 = –4

donde sólo tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, x2. Despejando x2 para obtener:

( )2 2

2 2

2 2

2

2

3 6 5 7 418 15 7 4

15 7 4 1822 22

22 122

x xx x

x xx

x

− − = −

− − = −

− − = − −− = −

−= =−

Ahora, para encontrar el valor de la otra variable, sustituimos el valor de x2 en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la primera

x1 + 5(1) = 6Se obtiene:

x1 = 1Por lo que la solución al sistema es:

x1 = 1 y x2 = 1

ÁLGEBRA SUPERIOR

202

5.5.3. Método por reducción

Para ilustrar este método encontremos las soluciones al siguiente sistema:2x1 + 9x2 = 7–x1 + 4x2 = 5

Este método consiste en igualar los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. En este caso elegimos a x1 y, para esto, multiplicamos por 2 la segunda ecuación:

2(–x1 + 4x2) = 2(5)Por lo que obtenemos:

–2x1 + 8x2 = 10Ahora, como los coeficientes de x1 en el sistema de ecuaciones son iguales

con signo contrario:2x1 + 9x2 = 7

–2x1 + 8x2 = 10sumando las dos ecuaciones se obtiene:

0 + 17x2 = 17y despejando x2 se llega a:

x2 = 17/17 = 1y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo

en la primera, se llega a:2x1 + 9(1) = 7

Despejando a x1 se llega a:x1 = –2/(2) = –1,

Por lo que la solución al sistema es:x1 = –1 y x2 = 1

5.5.4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables e infinitas soluciones

Existen sistemas de ecuaciones que tienen más de una solución y cuyo conjunto solución se determina utilizando ecuaciones paramétricas, un ejemplo de éstos es el sistema:

ECUACIONES

203

3x1 + 2x2 = 1–6x1 – 4x2 = –2

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por 2 para obtener el sistema de ecuaciones:

6x1 + 4x2 = 2–6x1 – 4x2 = –2

Ahora, sumando las dos ecuaciones se obtiene:0x1 + 0x2 = 0

La ecuación 0x1 + 0x2 = 0 es la igualdad 0 = 0, esto es, tenemos un sistema de ecuaciones que al multiplicar una de ellas por un número obtenemos la otra; en efecto, si multiplicaramos la primera ecuación por –2 se obtendría:

–2(3x1 + 2x2) = –2(1)–6x1 – 4x2 = –2,

que es la segunda ecuación dada. Cuando se tiene este tipo de sistemas, en los que una ecuación se obtiene multiplicando o sumando las demás, se dice que se tiene un sistema de ecuaciones con una infinidad de soluciones.

En nuestro caso, las soluciones al sistema son las mismas de cualquiera de las dos ecuaciones, por lo tanto obtendremos el conjunto de soluciones de manera paramétrica.

Despejamos x1 de la primera ecuación:

21

1 23

xx −=

y hacemos x2 igual al parámetro t, de lo que el conjunto solución es:

x2 = t y 11 2

3tx −

=

5.5.5. Sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución

También existen sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución, por ejemplo tratemos de encontrar las soluciones del sistema:

x1 – 2x2 = 3–2x1 + 4x2 = 9

ÁLGEBRA SUPERIOR

204

Para esto utilizaremos el método de sustitución; primero despejamos x1 de la primera ecuación:

x1 = 3 + 2x2

Y la sustituimos en la segunda:–2(3 + 2x2) + 4x2 = 9

Realizando las operaciones indicadas:–6 – 4x2 + 4x2 = 9

y sumando los términos semejantes:–6 = 9

que es un absurdo. Recordemos que en el ejemplo anterior se llegó a una igualdad 0 = 0 y

el sistema tenía una infinidad de soluciones. ¿Qué pasa cuando se llega a un absurdo?

La respuesta es que el sistema no tiene solución, cuando esto sucede se dice que son inconsistentes.

Los sistemas de ecuaciones lineales se dividen en:a) Consistentes.

i) Pueden tener sólo una solución.ii) Pueden tener infinidad de soluciones. Las soluciones son

paramétricas.b) Inconsistentes. Sin solución.

A dos o más sistemas de ecuaciones que tienen un mismo conjunto solución, les llamaremos sistemas equivalentes.

Así, en el método de reducción se tenía el sistema original:2x1 + 9x2 = 7–x1 + 4x2 = 5

y al multiplicar la segunda ecuación por 2 se obtuvo el sistema:2x1 + 9x2 = 7

–2x1 + 8x2 = 10

ECUACIONES

205

Los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, ya que ambos tienen como única solución x1 = –1 y x2 = 1, la comprobación es la siguiente:

Sustituyendo los valores en el primer sistema:2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7–(–1) + 4(1) = 1 + 4 = 5

Por lo tanto, sí es solución del primer sistema y en el segundo sistema también es solución, entonces los sistemas son equivalentes.

2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7–2(–1) + 8(1) = 2 + 8 = 10

5.5.6. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Como caso especial de los sistemas de ecuaciones, se va a revisar la situación en donde se tienen 3 ecuaciones con tres incógnitas.

Ejemplo 11

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 5y + 2z = 195……………………(1)4x + 6y + 2z = 200……………………(2)4x + 5y + 3z = 190……………………(3)

Se va a utilizar el método de reducción, por lo que para iniciar se toman las ecuaciones 1 y 2 con la finalidad de eliminar la variable x, por lo que se multiplican los coeficientes invertidos:

–4(5x + 5y + 2z = 195), con lo que se tiene –20x – 20y – 8z = –780 5(4x + 6y + 2z = 200), de la misma manera 20x + 30y + 10z = 1000y realizando la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas tenemos

una nueva ecuación:

10y + 2z = 220……………………………… (4)

ÁLGEBRA SUPERIOR

206

Para continuar con el proceso tomamos ahora las ecuaciones 2 y 3 para eliminar también a x:

–(4x + 6y + 2z = 200), con lo que se tiene –4x – 6y – 2z = –200 4x + 5y + 3z = 190, como ya se tiene el 4 se queda igual 4x + 5y + 3z = 190 Realizando pues la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas

tenemos una nueva ecuación:–y + z = –10 …………………………….. (5)Ahora, juntando las ecuaciones 4 y 5 llevamos a cabo el mismo proceso:10y + 2z = 220 analizando, ésta se queda igual 10y + 2z = 220 10(–y + z = –10) con lo que se tiene –10y + 10z = –100Realizando la última suma tenemos:

12z=12012012

z =

z = 10Sustituyendo este valor en la ecuación 5 se tiene:–y + (10) = –10 y despejando obtenemos que y = 20Finalmente, sustituimos las dos variables obtenidas en la ecuación 1 para

obtener x:5x + 5(20) + 2(10) = 195

Y así obtenemos el valor de la variable que faltaba: x = 15

Ejercicio 6

1. Relaciona correctamente la columna de las soluciones con el sistema al que pertenecen.

Sistemas Soluciones

a) 5 8 1153 5 70x yx y+ =+ =

1. x = −1, y = 3

ECUACIONES

207

b) 3 62 3 7

x yx y− = −+ =

2. El sistema es inconsistente.

c) 2 1 0

3 2 5 0x y

x y+ + =− + =

3. x = 15, y = 5

d) 2 5

2 7 4x y

y x− == +

4. x = t, y = 3t−6

e) 21 7 42

3 6x yx y− =

− + = − 5. x = −1, y =1

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación.

a) 2 6 83 9 12

x yx y+ =− =

b) 8 8 243 9x yx y

− + =+ =

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.

a) 5 1

2 5x y

x y+ =+ =

b) 4 18 142 8 10x y

x y+ =

− + =

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción.

a) 3 2 4

3 6x y

x y+ =+ = −

b) 4 1

2 2 2x yx y+ =+ = −

ÁLGEBRA SUPERIOR

208

5.6. Solución de ecuaciones con una incógnita que contengan números complejos

Para completar el álgebra de los números complejos sólo falta saber si se pueden resolver ecuaciones que contengan números complejos. Una vez conociendo la manera de realizar todas las operaciones básicas con números complejos la tarea es sencilla.

Por ejemplo, veamos la ecuación (3+2i)x+8ix+4=0. Tenemos dos números complejos que acompañan a la variable x. Estos números complejos se pueden sumar, siguiendo el álgebra de los números complejos, y simplificar. Entonces, la ecuación queda como:

[(3+2i)+(0+8i)]x+4=0,

que se puede escribir como:

(3+10i)x+4=0

Por último despejamos x de la siguiente manera: restamos 4 a cada miembro de la ecuación y hacemos las simplificaciones para obtener:

(3+10i)x=–4

luego dividimos el complejo (3+10i) para obtener:

xi

=−+

43 10

Multiplicando por el conjugado del denominador tenemos:

xi

i ii

=− −+ −

=− +4 3 10

3 10 3 1012 40

109( )

( )( ),

que es la solución de la ecuación.Veamos un segundo ejemplo. Tomemos la ecuación:

(2+i)x+(4+2i)x+(2+4i)=(1+3i)

cuya solución se encuentra de la siguiente manera: agrupamos los términos que tienen a la variable x en el primer miembro de la ecuación y a los que no la tienen en el segundo:

ECUACIONES

209

(2+i)x+(4+2i)x=(1+3i)– (2+4i)

factorizamos a la variable x:

x[(2+i)+(4+2i)]=(1+3i)– (2+4i)

sumamos los números complejos:

(6+3i)x=(–1–i)

Ahora despejamos x y hacemos las operaciones para llegar a:

4539

)36)(36()36)(1(

361 i

iiii

iix −−

=−+−−−

=+−−

=

Ejercicio 7

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (1+3i)x=5 b) (1+2i)x+(4+3i)x–(5+2i)=0 c) (1+i)x+(4+6i)=(3+5i)x+(2–5i)

A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos con el fin de examinar la manera como se solucionan, para que la pongas en práctica cuando resuelvas los ejercicios propuestos.

ÁLGEBRA SUPERIOR

210

Problemas resueltos

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de la igualdad.

1. 8 4 3 7 148 3 7 14 43 18

18 63

x x x xx x x xx

x

− + = + ++ − − = + +=

= =

2. 31

4 3 2312 1 12

4 3 23 12 4 183 4 18 12

66

x x

x x

x xx xx

x

− = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = −− = − +

− = −=

3. Resuelve: −5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican los coeficientes cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la variable x de forma descendente. Con esta condición tenemos: a = − 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula general:

213 (13 ) 4( 5)(6)2( 5)

x− ± − −

=−

13 169 120 13 28910 10

x − ± + − ±= =

− −13 17

10x − ±=

−

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo positivo (+) y otra el signo negativo (−). Llámense x

1 y x

2 a las dos soluciones, que serán:

ECUACIONES

211

113 17 4 2

10 10 5x − += = = −

− −

213 17 30 3

10 10x − − −= = =

− −

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3 resulta: −5(3)2 + 13(3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0 tal como se esperaba. Probando x = −2/5 se tiene:

22 2 4 26 30 20 26 305 13 6 5 05 5 5 5 5 5 5 5− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = − − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y −2/5 son las soluciones de −5x2 + 13x + 6 = 0

4. Resuelve 6x − x2 = 9No pueden identificarse los coeficientes directamente, ya que la ecuación

está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: −x2+ 6x − 9 = 0. Ahora se identifican los coeficientes a = −1; b = 6; c = −9 y se aplica la fórmula general:

26 (6 ) 4( 1)( 9) 6 36 36 6 02( 1) 2 2

x− ± − − − − ± − − ±

= = =− − −

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original se verifica que 6(3) − 32 = 18 − 9 = 9, con lo cual se ha comprobado la respuesta.

5. Resuelve: −6x + 13 = − x2 Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 − 6x + 13 = 0

identificando los coeficientes a = 1; b = −6 ; c = 13.

ÁLGEBRA SUPERIOR

212

Aplicando la fórmula general se tiene:26 ( 6 ) 4(1)(13) 6 36 52 6 16

2( 1) 2 2x

− ± − − − ± − − ± −= = =

− − −

El discriminante es negativo por lo que las soluciones son números complejos. Las raíces quedan, entonces de la siguiente forma:

x1 = −3 + 2i; x

2 = −3 − 2i.

6. Determina cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es consistente o inconsistente, y en su caso encuentra la solución.

a) 1 2

1 2

6 4 23 2 6

x xx x+ =+ =

b) 1 2

1 2

2 3 14 6 2

x xx x+ =+ =

c) 1 2

1 2

5 5 32

x xx x+ =+ =

Respuesta

a) Utilizando el método de sustitución despejamos x1 de la segunda ecuación:

1 2

21

3 2 66 2

3

x xxx

+ =−

=

Sustituyendo x1 en la primera ecuación se obtiene 22

6 26 4 23

x x−⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠de donde:

22

2 2

6 26 4 23

12 4 4 212 2,

x x

x x

−⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠− + ==

lo cual es un absurdo, por lo que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución y por lo tanto es inconsistente.

ECUACIONES

213

b) Utilizando el método de reducción se igualan los coeficientes de x1 multiplicando la primera ecuación por 2, con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

1 2 1 2

1 2 1 2

2(2 3 1) 4 6 24 6 2 4 6 2

x x x xx x x x

− + = − − = −⇒

+ = + =

Sumando estas dos ecuaciones se tiene que 0 = 0

Por lo tanto, es un sistema con una infinidad de soluciones y en consecuencia consistente.

Su solución son las ecuaciones paramétricas

1 2

11

22

2 3 1

1 21 23

3

x xx t

xx tx

+ ==

−= ⇒ −

=

c) Utilizando el método de sustitución despejamos x1 de la segunda ecuación:

1 22x x= −

y sustituimos en la primera ecuación 2 25(2 ) 5 3x x− + = de donde:

2 2

2 2

5(2 ) 5 310 5 5 310 3,

x xx x

− + =

− + ==

lo cual es un absurdo, por lo que el sistema no tiene solución, por lo tanto

es inconsistente.

ÁLGEBRA SUPERIOR

214

7. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución

1 2

1 2

3 36 9

x xx x− − =

+ =

Respuesta

Despejando de la segunda ecuación la variable x1:

1 2

1 2

6 99 6 ,

x xx x+ == −

Sustituyendo x1 en la primera ecuación obtenemos:

( )1 2

2 2

3 3

9 6 3 3

x xx x

− − =

− − − =

Haciendo las operaciones se llega a:

2 2

2 2

2

2

9 6 3 36 3 3 93 12

12 43

x xx xx

x

− + − =− = +=

= =

Ahora, sustituyendo x2 en la segunda ecuación y despejando x1 se llega a:

( )1 2

1

1

1

6 96 4 99 24

15,

x xxxx

+ =

+ == −

= −

Por lo que la solución al sistema de ecuaciones es:x1= −15 y x2 = 4

8. Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación

1 2

1 2

2 103 9

x xx x− =− =

ECUACIONES

215

Respuesta

Despejando x1 de ambas ecuaciones:

1 2 1 2

1 2 1 2

2 10 10 23 9 9 3 ,

x x x xx x x x− = = +

⇒− = = +

igualando los dos valores de x1 obtenemos:

2 210 2 9 3x x+ = +

Agrupando términos semejantes se llega a:−x2 = −1

Ahora multiplicando por –1 tenemos:x2 = 1

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones que se despejó x1 se obtiene:

( )1 2

1

1

10 210 2 112,

x xxx

= +

= +=

Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:

x1=12 y x2=1

Problemas propuestos

1. Resuelve la siguiente ecuación:

16 + 7x −5 + x = 11x − 3 − x

2. Encuentra el valor de x.

18 225 5

x x− = +