Álgebra Superior. AG Kurosch

7/24/2019 Álgebra Superior. AG Kurosch

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ITOR IAL M H



r

KYPOIU

RYP C

BbiCUJER AJll EBPbi

f a ucnaiiCt<OM H

u•·•



A G

KUROSCH

CURSO

de

LGEBR SUPERIOR

Traducido del ruso por

E M I L ~ N O ~ P R I

C I O

D E i l N ~ R O O

Candidado a

o

c

tor e

imclas Físico-Mat emálicas

Catcdrá/l

co

de Matemáticas Superiores.

F DITORIAL MIR • fOSCU 1968



DU512.8 075.8)

=

60

Impreso en la U

S

S

erechos reservados



N

D I

CE

Palabras do proseo t.oción

Capítulo

l .

S istemas de ecuaciones

lineale

s . Determinantes

t Método de eliminación consecutiva de las incógnitas

2. Doterminantos de segundo

y

torcer o•·doo . . . . .

3 Permutaciones

y

sus

tit

uciooos . . . . . .

4

Dotermioantos

de

n-ésimo orden . . . . . .

5. Los menores

y

sus

complementos

algebraicos

G

Cá lcu lo

de

determinantes . . . . . . . .

7.

llegla

de

Cramer

. . . . . . . . . . . .

Capílulo Sis temas de ecuaciones linea les l

eerí

a general )

§ 8. Espacio vectori

al

de n dimensiones . . .

§ l. Dependencia lineal de vectores . . . . . .

§ 10. 1\augo de una matriz . . . . . . . . . .

§ 11. Sistemas

de

ecuaciones lineales .

§ 12. Sistemas do

ec

uaciones lineales ltomogúneas

Capftulo 111. Algcbra de l

as

m ot ri ces

§ 13.

Mu

l

tipli

cación do

matric

es ,

§

H

lnlri

z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 15. Suma do matrices

y

multiplicación do

una matriz

por un número

§ 16. Co strucc ión

axiomática

de In tCOI' Í a de los determinantes

Capitulo

IV

Nínneros

complejos

§ 17. El s is tema

de

los

núme

ros complejos

§

18.

Eslodio

po

sterior

de

l

os

nútuor

os

cnmplojos .

§ 1\l. Extracción de lu raíz do los números complejos

Capitulo V Los polinomios y sus rnícca

§ 20. Operaciones con los polinomios

§ 21. Divisores. Máximo común divisor

§

22.

t as ra i

ces

do

los polinomios

§ 3 Tooroma fundamental . . . . . .

§

2/o.

Consecuencias dol

teorema fundam

enta l

§ 2;¡. Fracciones racionales . . . . . . . . .

Capítulo VI. Formns eundráticas

§ 26.

1\

oducción de u

na

forma cuadrát ica

n

In forma canónir.n

§ 27. Ley do iuercin . . . . .

§ 28. o r m a ~ dofinidas pos it ivas

Capítu lo V

II

. p a c i o s l

in

ea les

§

2

1.

Ocfiuicióu

del

espacio

lin

eal. Isomorfismo

§ :10. Esrmcios do dimensiones fin iln

s

Bases

§ 31. Trunslormaciooes lineales . . . . .

§ 32. Su

lo

espacios lineales . . . . . . . .

§ 3.3.

nnlces

ca

ra

clerblicas

y

valores Jlropios

7

g

17

22'

32

39

43

50

57

6t

68

7

82

88

95

102

tOO

t

116

i 25

1

32

137

145

149

158

163

1

69

177

183

187

191

197

205

21 )



dice

Cnp

rtulo

\ '

111. Espa

c ios

c u c

f t l e o

§ 31 . Vefinición clcl c,;pucio cuclíclr.o. nusc•s o

rlonorncn

l

cs

§ :lf\. Alntriccs Ml.ogonnlcs ,

trau"funnaci

o 11cs (U'lu¡,:oualcs

§

.

Trarcsformacionc

s

i m ó t r i c

: a s

. . . . . . . . . . . .

§ 37. 1\cducciórc VtJ IIU I formn

cunurúlica

11 pl'ircc ipaJes .

do

formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap

ulo IX. Cúlcu l o de l ns

rníccs

ele

los

¡to l

inomín

s

§ 38. Ecuaciones de ~ c g u n d o . terc

ero

y

cu

arto g

ra

do

§ 39 .

Acotnción

do lns ral ees . . . . . . . . . .

§ 40. Teorema do Slurru . . . . . . . . . . .

§[lot.

Otros teoremas sob

ro el número

de raíce

s

r ~ a l c s

§ /o2. Cíolcnlo

aproximado

do las raíces . . . . .

Cap[t

ul

o X. Campos y

po

li nomios

Anillos y campos numéricos • . •

An illo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cnrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P; tr

§

1 3.

§

1¡1¡,

§'15.

§ '·6.

§ 1 1

§ t 8.

§

t,9.

§ 50.

lsomorli' ttn

do

los

a n i l l o ~

(de l e ~

c < • u t p ~ > ~ .

l uiciclad del

cnmro de lo

s númer

os complejos

. . . . . . . . . . .

Algc

bra

lineal y ú l

gcbra de

los p

olino

mi

os sob

ro un campo

nrhilrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Descomposición

clo

los pol inom ios en fnclMcs irreducibles

Teorema tlo existencia do la raíz . .

Cnmro de fracciones rocion¡clcs

Cap

ítu

lo

X

I.

Pol i n

omios en

•·n r

ins

i n

determinndns

§ 51. Anillo do los

po

lircomios

en

varins ind otc

nninntlas

.

§'52.

Polinomios

~ i m ó

c o s

. . . . . . .

§ 53.

Observaciones complementarias sobre l o ~

politH1tnios simétricos

§ 5'•· Resultante. Eliminación do una indclt>rminoda . Oiscriminanlc

§ 55. Segunda d e m o s ~ r n c i m dol teorema

fundam

ental del álgebra de

los

números

complejos . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capít

u

lo

XH.

J'oli

nomios

de c o e l i ~ i e n t e s

r

acion

a l

es

§ 56. Heducibilidad do

los

polin

om

ios sobro e l ca

mp

o do los núme

ros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§;57. Ralees racio

na

le

s

do los

polinomi

os

do coo

ficiontes

enteros

i .58.

Los

números algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . .

Ca

prtu

lo XIII. Formo oormol de un a matr iz

§ 59. Equivalencia

do

las A-matrices

§ 60. ).-matrices unimodulnros. Relación entro In semejanza de

las

matrices

numéricas y la

e(¡uivalencia

ele sus matrices

carac

terísticas . . . . . . . .

f 61.

Forma norm

al do J ordan

§ 62. Polinomio mlnimo

Cap itulo XIV. Grupos

§ 63.

Definición

y e jemplos

do

gruros . . . . . . . . .

§ 64. Subgrupos . . . . . . . . . . . - . . . . - .

§ 65. Divisores normo los, g rupo cociente, h o m o m o r f i ~ m o s

§ 66. Sum

as

directos

da grupos aho

li nnos

i,.67.

Crupos

abelinnos finí l

os

b u Ice lf béticq . . . . . . . . . . . . . .

2 ;

2;¿ 1

:l21i

230

237

v.r;

25t

257

2Gio

:m

27 i

282

288

292

297

:IOG

313

320

32 1

3:16

31o:S

354

3 '>9

3Gt.

367

373

380

389

398

40

3

410

1,(6

lo22

lt29

1 38



P L BR S DE PRESENT CION

La

ver

swn caste

llana de

la obra

del profe

so

r A.

G Kurosch

•Curso de

álgebra superior• que

ofrecemos al lector, es el primer

libro

d el

autor que

se traduce a l español.

E l

conocimiento

del

it

lge

bra

s uperior es indispensable

para

la

formac

ión

matemáti

ca del es

tudiante

que

ha decidido consagrarse

al esLudio de

las

maLem

út

i

cas

. El

present

e

libro

marca

un c11mino

rel

ali

va

mentc corto para pa:>a

r

del álgebra

eleme

nt

al a l

estudio ele

los

métodos

abstractos del ;Í lge

bra

modern

a.

E n los primeros

capí

l ulos

se

estudian do l

nlla

damente los

deter-

minantes y

sis

temas do ecuaciones

lin

eales, so

inlroduceo

los números

comple

jos y las operaci ones sobre las matrices, y se

hace

una exposi-

ción rle la teoría de polinomios y formas cuadráticas.

En

los

caplt\llos VII

y

VIII , el a utor nos

da

una id cn primordial

dd

á lgebra

lin

eal.

En

el

capítu

lo

X

ve mos

que

el

álgebra lin

ea

l

el

álgebra

de los

polinom ios y las fun ciones racionales pueden generalizarse

para

el

callo de

un

c

ampo

fundame

ntal

arbitrario.

Pr

ecis:

un

enLe en

este

ca pi-

tulo

, el a

utor nos

en

se

r

ia

'los

princi

pios

del álgebra

moderna.

Aquí

nos enco

ntramo

s con los

conce

ptos importanLes de anillo y campo.

Esto ; con

ceptos

permiten

expo

ner con mayor gene

ralidad

la teoría

de los polinomios en varias

indeterminadas

suponiendo que los

coeficie

ntes

de estos polinomios

pertenecen

a un campo

fundamental

arbitr

ario. A

continua

ciiln, las

matrices

polinomiales

tambi

én so

estudian sobre

un cam po

fundamental

arbitr

ario y

se aplican

par

a

la ela boración de la teoría de l

as

matrices de J

or

dan.

El

último

capí

-

tu lo es tá dedicado a los g

rupo

s; éste es el

comiem

.o de una rama muy

imp

or tan te del á l

gebra

moderna,

den

ominada teoría de los

grupos.

El

au tor de

este

li

bro

es un

gran

espcci

alisla

en teoría de grupos.

Su

lib

ro «Teoría de los ¡.:rupoSt, desempeñó un pa pel muy

impor

ta nte

en el desarr

ollo

de las investigaciones

sob

re es o lema en la

t :

nión

Soviética. Hace unos aiios, el prof. A. G

Kur

osch

puhlicó

una origi-

na

l

obra titula

da «Lecciones de álgebra general»,

que

fue

fa

vorable-

men te

acogida por los nlgebri

stas soviéti

cos.

El prof. A. G.

Kur

osch es jefe de la

cátedr

a de

álgebra

sup

er

i

or

c e

la

Universidacl de

~ ú

desde el año 1

9119



8

Palabras

e

presentación

l

presente libro es un compendio de álgebra superior que compren-

de los conocimientos de esta ciencia obliga torios para los estudiantes

de matemáticas de la Universidad de

Mo

scú. Desde la aparición

de su primera edición en ruso en el ario 1946 ya ha sido reeditado

ocho veces.

n la Unión Soviética éste es uno de los mejores libros

sobre el tema considerado. Esperamos que tenga buena acogida en los

países de babia hispánica.

Ag radeceremos al lector sus observaciones sobre la presente tra-

ducción que trataremos de tener en cue

nta

en el futuro.

Moscú. Febrero do 1

9G8

/

:

p ricio Bernardo



CA PITU

LO

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEA

LES. DETERMINANTES

§

t

Método de eliminación consecutiva de lus

incógnit

as

Comenzamos el

curso

de álgebra

superior con

el estudio de

los

sistemas de

ecuaciones

de primer grado

con

varias incógnitas

o,

como s

uele

decirse, de

los sistemas de ecuaciones

n

e

a l

es

.

La

teoría de

los

sistemas de ecuac iones lineales origina una am

plia

e importante

rama

del álgebra, el álgebra lineal, a la

que

están

dedicados una

gran

parle

ele los capít.ulos de este libro

y,

en parti

cu-

lar, los

tres

primeros. So

supone que

son reales los coeficien tes

de

las

ecuaciones

que

se consideran en estos

tres

capítulos, los

valores

de l

as

incógnitas

y,

en

general, todos

los

números que aparece

n.

En

reali-

dad,

Lodo el contenido de estos capítulos

se generaliza,

pa l

abra

por

palabra,

al caso

de

flúmcros

complejos arbitrarios, ya

conocidos por

el lector en el cu rso de la escuela

media.

A diferencia del á lgebra elemental, aqui se

estudian

los

sis

temas

con un número arbitrario

de

ec uaciones e in

cógnitas.

Además, supo-

nemo

s

que

el número

de

ecuacioue:s del sistema no eoincide

con

el

número

de

in

cógn

ita

s.

Sea dado

un ·s iste a de

s

ecuaciones

lineales

r.on

n incógnitas.

Convengamos

en

emp

lea

·

las

siguientes notaciones:

1 : ~ s

incógnitas

las

desi

gnaremos con la

letra

x con

subíndices 1, 2

. . . n: x

1

x

2

• • •

Xn

supourlremos que las

ec

uaciones están num

eradas

así:

la primera,

la

seg

unda, la s-ésima; el

coeficiente

de la incógnita x en la

i-ésima ecuación, se se•íalará mediante a;¡ ; finalmente, el tórmino

independ iente

de

la i-ésillla ecuación se

designará con b¡.

• Esta denominación ~ debe ~ qtw , en la g ~ o m c u · í a aoaHtica, una ecua

cióu

de

primer grado con dos incógnitas determina

una

recta en el plano.

l:'nr c

o n ~ i g u i e n t e

se cmplcarím d o ~ suhíndices, el primero do los cuales

inuica•·ítel n(uucrt¡ tlo

la

• ~ u a d ó n y el segundo, el número do la incógnita. Para

a b n ~ v i a r

e ~ t o : ¡

índices oo se scp¡u·aráu con

una

coma; c

l ~ r o que, en

el caso uo

a

no

SI

debe leer «a

o n c t ~ .

sino «a uno uno

•.

y el caso de a

34

no se dl be

l r

• t r ~ i n t a y

c u a t • · o ; ~ ~ i u o « u a t r o ~



10

r:ap. Sl fltcmas de e r . u n f : i ( ) n e ~ l i n t a l t ' ~ . Delerminttn(e

Nuestro

sistema se e ~ e r i b ;thora en );J forma general

sigu

iente:

aux

1

+ n

12

X

2

7 -7· 11w n '

ú. l

::1Xt

-:- a22:l:2 ·1

.

tt2:

1Xn

ú2

.

fl·s1·l:t < l . ~ 2 · ' t -l- · · · -1 ~ m X n

=

(1)

Los eocficicntcs se pueden c.olocar formando

un

cuadro

(

lt

11

tt 1z . a,,

a tn:."2 a2n

flst

l

; :

2 • • • sn

2)

dcnomina<lo matriz

des

filas y n colnmnas; Jos números al se llaman

elementos

de la

mat.riz*.

Si

s = n (o sea, qu1l el

número

de filas es

igual al número

de

columnas), se dice que la mal.riz es cuadrada y de

orden n. La

diagonal de

esta

matriz

que tiiJC 111 ángulo supel ior

izquierdo con ol

úngnlo

inferior derecho (o seil, formada por los ele-

mentos

a

11

•

a

22

,

• • • , a,,),

se 1 ama

diagonal principnl.

Una ma lriz

cuadrada de ordeu

n o;e llamará matriz

unid( (/ de

orden

n,

si todos

lo

s

elemenl.os

de

su

diagonal

p

rincipal

¡;on iguales a

la

uuidad, y todos

los

elementos

que

est<Ín

fuera do

esta

diagonal

son

i

guales

a cero.

e llama solución de un sistema de ecn¡¡ciones J i n o a l e ~ ; ('1) a un

sistema den números k¡, k

2

, k,,, en el que cada

t a

de

las

ecuaciones del sistema ('1) se convict•te en

una

identidad, desp\tés

de

haber

sustituido

en

olla

las incúgnitas :t·

1

por los n ú m e r o ~ corres-

pondientes k

1

i

= 1, 2, n**.

Un

sistema

do ecuaciones linealc:; puede

no

tener

solución

alguna,

y

entonces se

llama

incompatible.

Tal es,

por ejemplo,

el sistema

x x · ~

'1,

x

1

+ 5x

2

= 7;

los primeros

miembros

de

estas

ecuaciones

son iguales, mientras que

los

segundos son distintos.

Por lo

tanto,

ningún

sistema

de

valores

de

las incógnitas puede

satisfacer

simultáneamente a las

dos

ecua-

ciones.

Si

el sistema do ecuaciones lineales

tiene

soluc ión, se llama com-

patible.

Se

dice que

un

sistema compaUble es deterrni.nado, si posee

una solución única

en

el

álgebra

elemental solamente se

estudian

•

Do

este modo, si la matriz

(2)

se examina sin relación con el

s i ~ t c m (1

,

el

primer

subíndice do elemento

a

1

¡ indira

el

níunero

de su

fila,

y el segundo,

el

núm

ero do su

columna.

••

Hay

q11e subrayar, quo los

número k

1

•

k

2

, k, fonnan

uno so

lución

del sistema y no

n

soluciones.



§

1. Método de eliminaci6n

consecu/.iL•a de

las inc6g

nltas H

tales sistemas), e

indeterminado,

si tiene más de una solución. En este

caso, como veremos más adelante, hay una

infinidnd de soluciones.

Así, el sistema

x

1

;

2x2=

7, }

X

+ x

2

=

es determinado y x

1

=

1,

x

2

=

3 es una solución. Por el método

de eliminación de la incógnita, se puede comprobar fácilmente que

esta solución es única. Por otra parte, el sistema

3x

1

x

2

= 1, }

6x

1

x

2

= 2

es indeterminado, puesto que tiene

infinita

s soluciones de la forma

X

=k

Xz=3k-1

3)

donde el número k es arbitrario.

Con.

las soluciones obtenidas por las

fórmulas (3) se agotan todas las soluciones de nuestro sistema.

El problema de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales

consiste en la elaboración de métodos que permitan establecer si es

compatible o no un sistema dado de ecuaciones, y en caso de compa-

tibilidad, indicar

el

número de soluciones

y

seiialar un método para

hallar todas ellas.

Comenzaremos por el método más cómodo para hallar práctica-

mente las soluciones de los sistemas con coeficientes numéricos, es

decir, con el método de eliminación consec¡¿tiva de Las incógnitas o mé-

todo de Gauss•.

Hagamos primero una observación. A continuación, tendremos

que hacer las siguientes transformaciones del sistema de ecuaciones

lineales: ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema,

multiplicados previamente por

un

mismo número, se van a restar

de los miembros correspondientes de otra de las ecuaciones del siste-

ma. Supongamos, por ejemplo, que ambos miembros de la primera

ecuación del sistema (1), multiplicados por el número e, se restan de

los correspondientes miembros de la segunda ecuación. Obtendremos

un nuevo sistema de ecuaciones lineales:

a2tXt í ~ z - -

tt2nXn

= IJi.

a3t.l. ¡

+

a32.1:z

+ ... +

;¡nXn

= lt3,

(4)

• También se llama mt totlo de reducción. Nota del T.)



t2 Cnp. 1 Sistnnas de ecuaclo es lint•(,lt•s. eterminantes

donde

Los

siste

mas

de ¡•cuaciones

1)

y

(-1)

son

equivalentes

es decir, son

simultáneamente incompatibles o son simultáneamente compatibles

y en

d

último

caso, poseen

las

m i s m a ~ : <

soluciones.

En

efecto ,

s e < ~

k

1

, k

2

• • k n una so

l

ució

n

arhiLtaria del

si><tema

1). Es evidente,

que

esto

s núm

eros

satisfacen a todas

las

ecuaciones del sistema

(4),

menos

a la

segunda.

Sin em

bar

go,

también

satisfacen a

la

segund

ecuación del sisLema (4):

e:;

sufic iente recordar que esta

ecuación

se

expresa mediante

la

segttnda y

la primera

de las

ecuaciones

del

sistema 1).

Hecí procamente,

toda solución de\ sistema

(11)

s a t i s f a n ~

también al sistema

('1 .

En

efecto,

h•

segunda

ecuac ión

del

si

ste

ma

1) se obt

.

icm

; r·estando do :lmbos miemhros do la

segunda

ecuac.ión

del sistema

(4) lo::;

mit:mbros corrospondicnles

do

la

primera

ecu1:1ción

de

esto

sistema. multiplicados por el

número - c.

compren:;iltlo que,

si en

et

sistema 1)

s

efectúan unas c

1 1 a n t o ~

veces las transformaciones del tipo considerado, el sistema obtenido

de ecuaciones Si mantendrá equivaft>nte

tll

si:;tema inicial 1).

Puede ocurrir

que

despué

s

de dectuar tales ttansformac iones

athnezca en nue

stro

sis tema una ccuadún, cuyos coeficientes en el

primer

rniembrc) :sean igu;ue::;

a

cer·o.

Si

el

tét•ntino

independiente

de

esla

ecuación es

t.

amhién igua

l a con>,

la

ecuación se

satisf<tce

con

cualesquiera valores de

IM

incógnita,;. P or lo

tanto,

suprimi

endo

estct ecuaci6n, llegamos a lUt sistema. de ecuaciones que es er¡nit•alente

al inicial.

S i

el

t,ércnino independiente

de

la

ecuación

consicleradt\ es

diferente

de

cer·o, la ecuación no pued<.: ser·

satisfec

ha

pot

ningunv

do lo:;

valores dtl

las i ncógn i

las y,

por c::;t.o,

d sistema obtenido de

eczwciont:s, al igual

que

el sistema. inicial equivalente será

incompa

tible.

Expongamos

ahora el método

d e Gau,;><.

Sea dado un

s islorna

arbitrario

de

ecuaciones lineales

(1).

Su¡>oll

gamos

para precisar que

a

=F

O;

claro,

puede

ocurrir

que

a." sea

igual

a cero

y, entonces, tendríamos

que

comenzar por

cualquier

otro

coeficiente

de la primera

(J(:uacióu

del sistema,

diferente

de

cero.

Transformemos ahora el

sist.ema

1),

e

liminando

la

incógnitn

l-.

de

todas

las

ecuaciones, meno

s

de la

primera. Para

esto,

.

mult.ipli

-

quemos ambos

miembros de

la p1•imera ecuación por

021

y

¡·esttí-

n"

moslo

s

de

los

rni

e

mhros

c o r r e s p o n d i e o t ~

de

la

segunda

ecuación.

Despu

és,

mulLipliquemos ambos miembros de la primera ecuación por

431

,

y

rcstémoslos

de

los

mienchtos

<:onespondientos

de

la

tercera

a

u

ecuación,

etc.,

ele.



§ 1. Afétodo de tllminacl6n con•ecullva de ln• lnc6gnltas

13

De esto modo , obtendremos

un

nuevo sistema

lipcales con n in

cógnitas:

a

11

x

+

a

1

:X

2

.:..

a :¡Xs

+

...

+

a .xn

=

b,,

a 2 ~ X z +

LÍJX3

+ ... + a2nXn

= b2

llS

2.:t'z

·1

l ~ 3 X 3 + •• +

CIJnXn

=

b3

de

s ecuaciones

)

1

1

(5)

J

No tenen1os necesidad do esc ribir

explicila

meotc los expresiones

de

los

coeficientes

nuevos aí¡

y de

los té•·miuos

ind

opendjentes

nuevos

bj,

mediante

l

os

coeficientes

y

los

términos ind

ependientes

del

siste-

ma

inicial 1).

Como

ya

sabemos, el

sis

tema de

¡¡

cuaciones (5)

es equivalente

al

s istema 1). Transformemos ahora

el

sistema :i).

Pero

no tocaremos

mcís la

primera

ecuac.ión , y

las trllnsjormacion

e.s

solamente las efec-

tuaremos con la par le del s s h ~ l l l H ~ ) ) formada )lm· todas las ecuacio-

nes. menos la primera .

Se sobrentiende que

entro elltts no hny ecua-

ciones cuyos coefici entes rle los primeros 111icmbros sean iguales

a cero:

tales

ecuaciones las habríamos suprim i•lo, si sus térm inos

indepeudienles fuesen i ~ u a l e s a cero, y en c¡,so c o n ~ r a r i u , quedar

ía

ya demostroda

la iucomput.ibilidad

de

nuestro sistema. l or lo t.unt.o,

huy c.oeficíeu t.es aii diferentes de cero; supongillnus, para c c i ~

r

que

a;

=f =

O

Transformemos 11bora el sistema (fl), restando do

ambos

miembros

do la

tercera ecuación

y de cada una

de

las ~

i g u i c n t

e ~ ecua-

ciones

,

ambos miembro

s do

la

segunda ccu

aci

óu, multiplicados

por

respectivam

enLe. De esto modo, quedar;i climiutHla

x ~

de

todas

las

ecuaciones,

menos

de

la

pr

imera y

de

la

segunda. Obtendremos

el sigu iente sistema de ecuaciones, que es equi valente al ~ t < m a (5),

y por consiguiente, también al sistem¡t t):

tl;: x

2

~ 3 x · - a í , ¡ . r , ~ I . J ~

a:í3

.:r3

¡

·

a 3nXn =

¡ ;

Nuestro si

ste

ma contiene ahora

t

ecuaciones,

t

< s

puesto ( 111',

po:;i-

blementc, a

lgunas de

las ecuaciones hayan sido

su

prim

id

as. Es evi-

dente

que

después

de

eliminar

la in

cógnita .:r, puede disminuir el



14

Cap. 1

Sistemas

de ecllaciones

lin

eales. Determtnantes

número de ec.uacioucs del sisLema. A

continuación,

transformaremos

solamente

aquella

parte

de1

sistema obte

nido qt1c

conticmc

todas

las

ecuaciones, menos las dos prime1·as.

¿Cuiíndo :;e terminará este proceso Je elim inación consecutiva

de las

incógnit<ls

:

Si llegamos a uu sistema tal,

en

el que uua de sus

ecuaciones

teng

a un · término

independient

.c

diferente de

cero,

mientras que

todos

los coeficientes del

primer

miembro sean iguales a cero, enton

ces, como

ya

sai.J( lllOs,

nuestro

sistema

iuicial

será

incompatible.

En caso

cont

rario, obtendt·emos el siguienl.e sistema de ecuaciones,

equivalr.nte al sistema (1 ):

a

11

x

1

+

1t

1

?.x?. ¡ +a 1.1<- ¡x,,

_

+

a,,,xk

-l .

-i-

ct

1

nx,.

=

b¡,

ai zx2 +

. . . u ~ . h

- l x , ,

+

rt2,,x

+

... + aí.,.x,.=b2,

al:

:=-

l: >

-

t· rt

<- 1

+ } : ~ ~ ~ > , , x h + ... + t)¡::t:>nXn = b ~ : : - 1

- l > x .. . a ~ ~ ; - • > x n = b h h - l > .

1

r

Aquí, a

11

=f.: O, a;

2

= = O, a r : ~ / . \ -

o: =

O,

af ,-q . fo O.

Seíialcmos

también

que k

-<

s

y,

evidentemente, k

-<

n.

En

este

wso

el sistema

(1)

es

compatible.

Es

determinado para

k = n, e indetermina.do,

para k

n.

En

c f e c ~ o s i k = n, el sistema (6) tiene la forma

a

11

x

1

+

L12X

2

+

...

+ a

1

n n ::=

h¡,

1

. . í ~ : r 2 ~ · . : :

~ 2 . n ~ n b ~

n ~ ~ ; - x n ú \ ~ - n

(7)

De

la úllima ecuacwn

obtenemos

un valor absolutamente det

ermi

nado

de la incógnita

x,. Suslituyéodolo

eu la penúltima ecuación,

hallaremos un

valor univocamente

determinado de

la in

cóg

nita

Xn-t· Continuando de este modo, hallaremos

que el sis

tema (7), y por

tanto

el sistema (1), poseen solución única, es decir, son conwa

tibles y determinados.

Si

k < n , tomamos valores numéricos a rbitrarios para las in cógni

tas

«independientes» x

,+

1

, . ,

:en,

después

de Lo cua

l,

avan:wndo

por

el

sistema

(6)

de

ahajo

arriba hallar

emos , como

anteriormente,

unos valo

res

unívoca

mente determinados para

las

in c

ógnita

s x,

.,

x

1

_

1

, ••• x

2

x

1

. Corno los

valore

s para

la

s incógnitas

ind

epend i

en

tes se puedeu elc¡.:ir de infinitos modo:;, el sistema (6) y, por

consiguiente, el s istema (1), serán compatibles, pero indetermina

dos.

Es

fácil

comprobar, que con el método indicado eligiendo

de



§ 1. Método de eltminnc¡ón consetutlvn de

los

Incógnitos

15

todos los modos posibles los valores

para

lns incógnitas independien-

tes),

se

hallan todas las soluciones

del s i s ~ e m

1).

A primera

vista

puede

parecer

que con el

método

-de

Gauss

el

sistema de ecuaciones lineales se puede reducir a

otra

forma más:

la que

result-a de

agregar al sistema

7)

unas

cuantas ecuaciones

que

contengan

solamente

a la incógnita

n·

Sin embargo,

lo

que

ocurre

en

realidad

es

que las

t.ransformaciones no

se han llevado hasta

el

fin: como

~

- t= O,

se

puede eliminar la incógnita n de todas las

ecuaciones, comenzando desde la n 1)-ésima.

Se

debe

advertir, que la forma

<<triangular»

del sistema de ecua-

ciones 7),

o

la

forma «trapezoidal»

del sistema ae

ecuaciones

6)

para

k

n , se

obtuvo debido a

la

suposición

de

que

los

coeficien

tes

a

11

,

a; ;

etc., etc,

eran

diferentes

de

cero.

En

el

caso

general,

el

sistema de

ecuaciones a

que

llegaremos

después de

realizar basta

el

fin el proceso

de eliminación de

las incógnitas, tomar:{ una forma

triangular o trapezoidal sólo después

de

un

camb

io debido

de

la

numeración

de

las incógnitas.

Haciendo un

resumen de todo

lo expuesto anteriormente,

llegamos

a

la conclusión

de

que el

método de Gauss

se

puede

aplicar

a cualqui.

er

sistema

de

ecuaciones lineales. Además el sistema será incompati-

ble si en el proc

eso

de las transformaciones obtenemos una ecuación

en

la

que los coeficientes

de

las

incógnitas son iguales

a

cero

mientras

que

el

término

independiente

es

di.ferente de cero; si no nos encontra-

mos

con

tal ec11ación el

sist1:

ma

será compatible.

Un

sistema compa-

tible

de ecuaciones es determinado si

se

reduce

a la

forma

triangu-

lar 7),

e

indeterminado si

se

reduce

a la

formri trapezoidal

li)

siendo

k

n.

Apliquemos lo

expuesto al

caso de un sistema óe ecuaciones line

a-

les

homogéneas

es decil·,

de

eeuaciones,

cuyos

t.órminos independien-

tes soo

iguales

a cero. T;tl

s i ~ t m n siempre

es

compatible, p u e s ~ o

que

posee

la

solución

nula

U,

O,

0). Supongamos

que

en

el

sistema

considerado, el

número

de ccuac.iones es

menor

que el

número de

incógnitas

.Enlonccs, cst.c sisl JJnll no podní

reducirse a la

forma

triangular,

puesto

que

en el proceso do

r a n ~ f o r m a c i o n e s

por el méto

do

de G u u s . . ~

el número tlo ecuaciones del

sistema

s61o puede

di

sm i

nuir

pero uo

aumentar;

por consiguiente.

éste se

reduc

irá

a la forma

ti·apezoidal, es •.lccü, sorá

iudet

.erminado.

En

ot.ras palabras:

si en

un

sistema

dt•

ecuaciones l i n e a l e . ~ homo-

géne¡ts .

d

número de ecuaciones es nwnor que et número de in.cúgnilas.

este

sistema

ad

e

más de In

solución nula. poseerá también soluciones

no

nulas

e;;

doci1·,

soluc

io nes, en

las

qnc los

valores de cicrtas

im:óg

nitas o incluso

cle

todas) ;;crün

i f e r o n ~ e s de

cero;

habrá una infinidad

de solucianes

dt:

éstas.

Para la resohl ;ión prúctic:a

de

un sislenw

de

ecuacioues lin

les

por

el

método de Cau;;:,;,

se

dciJe cscribi1· la matriz

de

los cocficieJi lcs



16

ap 1

Si

sl

tmns

de ecuaciones lintalrs Dtltrmlnantes

del sistema y agregarlo unn r,olumna formada por los términos inde

pendientes,

separada

para mayor comodidad por una raya vertical.

Todas las tra nsformaciones se de b

en

efectuar con las filus do esto

m

at

ri

7.

~ a m p

i a

d

a » .

Eje

mp

los. l. Resolver ol ~ ~ o m a

J

0

-f

: x

2

5r

3

•

-· : ·}

x

1

-

.c

2

1

3.r3 - 2

3 r -

6 z ~ - r

=

2.-•.

Efcc Lucmos

la

s transfo rmncionos ~ n In m

atri

z ampliuola del

sis

Lc111

a:

(

1 : ;¡ 1 - J) ( 2 5 ¡ - 9) ( 1 2 \ ¡-fJ)

- 1 :l 2 --+- o - 3 - 2 11 o_;¡

2

1'1

3 -

li

- 1 2:, O -

12

- 1li

;,:

O O

8

R

Por c g u r . o t c ll

egamo

s a l ~ i g u n . < i ~ t • m a do ecuaciones:

x

1

+

2x

2 :-..c3 - 9 }

:lr

2

- 2z

3

11.

-8.c3 R.

quo p o . · ~ ~

la

so lución ú

ni

ca :

2 .e: 3. J t.

l'

or cun,i_guit•nl<', rl ~ m a

inicial

es

dN

c

rmimul

o.

:l.

B•·•" l

v r

el

sbt.omn

z 5 Y

R r 3 - :3, }

: l . r - - : r

r 7J 2 r . . , . ...-- .,,

r

: W . c - 9 . r ~

=

2.

Transformem

os

la

rnuL r i7. ampliada del s is ll'ma :

(

1 -

5-8

1

3 1 - 3 5

t

o

7

2

O H

20

9

3 ( -58 1 3

--- o · ~ 2•1 8 -

~

-

- J

O

a

1

11-8

2

o

t1

20

9 2

~ ¿ - ~ ~ - ~ -

2;

H ~ D ~ ( ~ - ~ ~ - ~ - 2 1 . ~ )

o ; 1 1 - 8 o \ 1 1 - 8

O 89

o

- 29 G O O O O 2

Hemos

llcJl

ado a

un Si <

ll'mn

quo contiene la ecunc

ión 0 = 2.

Por

cons

iguiente, el lli ltoma inicia l

es

in

com¡mtih

l c.

3. R c ~ o ver el

sistema

lt.r

1

: r: ::Jz

3

r

4

O

2

3 t

- : í r ~ ~ O,

r

1

- 2c

2

- 2.r

3

1 : l x ~ ,

Este

es

un sist ema dt1 ecuaciones homogéneas, donde el número do

l'Cu

acio

nos

es

menor que el número do incógnitas;

por

lo

tant

o. tiene que ser

indetermi

nado. Co

mo

todos

los tónnin

os

independiente

s son igua

le

s a cero, vamos a trans-



§ 2. Determinantes de

••t

undo

y

ter r orden

formar solamente

la

matriz

de

los coofi cicnLes del sistema:

(

'•

f

-3-

1

(o

9 5 -

13

' o 2

o 2

)

2 3 1 - 5 o 7 5 -

11

o 7 5

-11

.

1

- 2 - 2

3 1

- 2

- 2

3 1

- 2

- 2 3

H

emos

o b ~ e n ido el sist.oma do

ecuacio

nes:

2r.

2

- 2.c

4

= 0 , )

7.r

2

+S.r

3

- 11x, =O,

. - 2 r

2

-2 . ra+

3x

4

= 0. J

t7

Cua

lquiera

de

las incógni tas

x

2

y

'•

·

se puede tomar como incógnita independillll

t.o. Sea z

4

= a ; e

nt

onces, de la p r i ~ n o r a ecuación se

ded

uce que zz = a.; de

la

segunda

ecuació

n

obtenemos,

x i

=+a.;

y,

por fin, do

In

t-ercera

ecuación. z

1

=

o )

~

~ a .

Por lo tan

to

, la forma general do tns soluciones

tl

ol s is

tema

de

ccu

ocio

OJ

•lado os:

:l

:;-a

a a

et

§ 2. De

tem1inant

cs

de

segu

ndo

y

te

r<·cr

o

rd

en

•

E l

método

d e resolucióu Ú<• l

os

s is temas do eC·lll\Cioucs linea les ,

ex

pu

esto

en el párrafo a nterior. os muy sencil lo y requiere la rea li

zociiln do cálculos d e un mismo tipo. que fáci lmen t e so efec túan en las

máqu

inas

ca lculodoras. Si n em Jargo, su defecto esen

cial cons

i

st

e

en

que no

da

la posibilidad

de

form ul a r las cond ic ione.« de co

mpati

Jil

icl

ad o de dete rmina Jilidad de un sistem11 m

ed

iante s us coefic ien

tes

y

té rminos iudc pend ie

nt

es. Por

otra

part

e,

iuclu

so

e n el caso

d o u u s is tema

úet

crmi

nado, co

n esto

método

no

so

puetlc hu llar

fó

rmu

l

as para

ox ¡>resa r

la

so

lu

c

ión

del

sistema

me

slinnte

s us

coe

fi

cientes y

término

s ind

epen

di c

nl

es. S in em bargo,

estos

sis

lenw

s en

cu

entran apl i

cac

i

ón

en diversas cu

est

iones

teóricas

y,

en

parlindar,

en lns

inve

s

ligadone

s geométri('as. De aqui la llet·esidad de dcsnrro

llur la Leorí>l d e l

os

sistemas do ecua c

iones

lin

ea les con olros método&

111Ús pr

ofun

dos. E l

caso

genera l v;1 a ser es tudiiJdO en el capíLulo

s i

gu

iente. mie

olro

s que el c

ont

e ni do del presoutc cn pílulo c ~ dodi

t·:vlo ni

eslud

io de l

os

s is temas dot.erminados <IIIC tienen

igual

u(nnoro

do ccuadones y do

in

cóg

nita

s. Come nzaremos por los :-;is le rn as con

d os

y

LJ·es

in

cóg

nita

s.

ya estu

di

ados

en el

:

d

ge

hra

e

lemental.

Sea dado

un sistema

de dos ecuaciones liueales

co

n dos iucóg

uila

s

2 2 ~ 2

a

11

x +

= b }

~ x l z x

2

=

b

2

(1)



i8

Cap. l

Sistema.<

de

ecuaciones llnealrs. Determinantes

cuyos coeficientes form an una matriz

cundrada

de seg

un

do ord

en

(2)

Aplicando a l

si

stema 1 ), ol método

de

igualación de l

os

coeficientes

obtenemos:

n n ~ ~ n

12

a

21

) x = b

a

2

z a

12

b

2

,

a

11

a n

-

a ,

2

a 2

1

) Xz =

a

bz - b,a

2

.

Supougamo.s que a

11

n

2 2

a

1

:11

21

fo O. Entonces,

x

~ b,n22 -

t2b2

,

u

o: : s

(3)

Sus

tituyendo en las ecuaciones 1)

Jos valore:;

obtenidos

de

las incóg

nitas, os fácil com¡Jrobar que

(3) es

so lución del sistema

(1);

el proble-

ma de la unicidad de esta solución se estudiurú

en

el § 7.

El

común denominador de l

os

valores de

las

incógnitas 3) está

expres

ado

sencillam

ent

e por los elementos de la ma triz (2), o sea,

es

pr

ecis

amen

te igual

al

producto de los elementos de la diagonal

prin

cipa

l menos el producto de

l o elementos

de

la

segunda diagon<tl.

Este número

se llama

determinante de la matriz 2).

~ e

sue le decir

que es un determinante de segundo orden,

puesto

que la matriz 2)

es de segundo orden.

Para

designar

el

determinante de

la m ~ r i z

2),

se emplea la siguiente

notación:

se escr

ib

e la

matriz

2), pero

en

l ugar

de

lo

s

paréntesis

se ponen unas

barras

verticales; de esto rnodo

4)

Ej

emplos.

1)

1

3

71

4 = 3. 4 - 7. 1 = 5;

2

1

1

2¡

5 = 1 .5-

2). 3 = 11

Es menester subrayar

ot

ra v

ez

más que, mientras la matriz

repre-

senta una tabla de núme•·os, el dete rmin

an

te

es

un número comple

tamente determinado por la matriz cuadrada. S e • i a l e m o s

~

que los

productos a ~ 2 y a

1

2a2

1

,

se llo.man

términos

del

determinante

de

segundo

orden.

Los numeradores de l

as expr

esiones 3) tienen la misma forma

que

el

denominador,

o sen,

tambi

én

son

d

eterminantes de segundo

orden

: el numerador de

la expresión par

a x

es

el determina

nte

de

una

matriz, que

se

obtiene de la matriz 2) sustituy

en

do:i

su primera

columna por la

columna

de lo11 términos inde

pendientes

del sis tema



§ 2 Dtttrm

n

antes de segundo

y

ltrctr orden

19

(1); el numerador de la

exp

resión para z

2

es el determinante de una

matriz, que se obtiene de la matriz (2) por la misma

sustitución

de

su

segunda columna. Las fórmulas (3) se pueden escribir ahora en la

forma siguiente:

5)

Esta regla de resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas (denominada

regla de Cramer)

se expresa del modo

siguiente:

Si

el determinante

4) de

los coeficientes del sistema

de

ecuaciones

1)

es diferente de cero,

la

solución del sistema

1) se

obtiene tomando

por

valores de

las

incógnitas las fracciones, cuyo común denominador

es el determinante

(4)

y

cuyo numerador, para

la

illcógnitax

i

= 1 2)

,

es el determinante que

se

obtiene sus/.ituyendo

en

el determinante

(4)

la columna i-ésima o sea, la columna de los coeficientes

e

la incógnita

buscada)

por la

columna

de

los términos independim.tes del siste

ma (1)*.

Ejemplo. Resolver el sistema

2zl

I·

Zz

= 7 }

x

1

3 x

2

= 2 :

El determinante

de los

coeficientes

es

~

~ -

1=

-7;

es docir, és\e

t-s

lli erento

de

cero, por lo cual,

~ e

p u e ~ aplicar In regla de Cra•

mer

nl s istema.

Los numeradores

para

las incógnitas son los determinantes:

d

=

1 - ~

- ~

1= -19,

:

=l;

~

j,

11.

Por lo tanto la

rolución

de

nuestro sistema

es:

d1 19 d

2

11

:r2=d" = 7 ·

La introducción de los determinantes

rle

segundo orden no aporta

simplificaciones esenciales en

la

resolución de un sistema de dos

ecuaciones

Ji

neales con dos incógnitas. Sin emhargo, los métodos

análogos para el caso de sistemas de tres

ecuacioTles

lineales con

tr

es

• En este

enunciado para abreviar

se ba.bla ll e la ~ u H i t u r i l > n de l11s

columnas •en el dct.erminantet. A r.ontinuación, se va a hablar de un modo 'eflle

jante si resulta conveniente de las fil t f y columnas del determinante. de sus

etamentos, diagonales, etc.



20

Cap.

f

Sistemas de ecutu:lones llneal<S. Determinantes

inc

ógnit

as

r

es

ultan ya prá

ctica

mente útiles. Sea dado

un

sistema

a 11

.r

1

+a

12

x

2

+

a

13

.r

3 =

b¡ }

aux

1

+ +

a

3

.r

3

= ~

a

x

+

anxa

+

a33X3 = b

cun la

ma

tl'iz do los coo[icientcs

(6)

(7)

Fácilmente se comprueba que, si multiplicamos ambos 1niombros

de la primera de las ecuaciones

(6)

por

a

a

33

-

a

3

a3

z

ambos miem

bros de la segunda ecuación por a

3

a

32

-

a

12

a

33

, ambos miembros

+

Fig 1.

de

la

tercera ecuación por a

a

23

- a

3

a

22

,

y después sumamos estas

tres ecuaciones, los coeficientes de ~ y

.r

3

result.arán iguales

a

cero,

es decir, que estas incógnitas

se

eliminarán simultáneamente. De este

modo, obtenemos la igualdad

(alla: .2ass

+

a,zazsaJI

+

allaz an -a J i lzzllJ¡-Il¡zaz,a33 u

iLzJilJz)

x , =

=

b aWJn

+

a¡zllzsbs

+

a,3b2a32-a13azab3-a ,

zbza

33 -

b aa3an.

8)

El coeficiente de

x

1

en esta igualdad se llama determinante de

tercer orden

correspondiente a

la

matriz

(7).

Para escribirlo,

se

emplean los mismos símbolos que en

el

caso de los determinantes de

segundo orden;

por

lo tanto,

1

~ ~ :

/

= auaaaa33+

a,aauaJI

+a

a

21

a

32

as¡ IIJz a33 - a13azall31 - a¡zllz

1

a

33

-

a 3

9)

A pesar de que

la

expresión del determinante de tercer orden es

bast.ante complicada,

la

ley de

su

formación con los elementos de

la

matriz (7)

es

muy senc

ill

a.

En

efecto, uno de los

tr

es términos del

determinante qua

fi

guran en

la

expresión

9)

con el signo más es el

pr

oducto de los elementos de

la

diagonal principal; cada uno de los



§

2 Deltrmlnanle

de

ugundo

y

tercer orden

21

otros

dos, es el produ

cto de los elementos

si

tu

ados en

la paralela

a esta diagonal,

por el

elemento situado

en

el ángulo

opuesto

de la

matriz.

Los térmLnos que

figuran

en (9) con s

igno

menos,

se for

man

del

mismo modo,

pero con

respecto

a

la

segunda diagonal.

De

esto

modo,

obtenemos un método de cálculo

de los

determinantes de

te

r

cer orden, que

conduce

(teniendo

cierta

práctica) a un rápido

resul

tado.

En

la fig. 1, en el esquema

de

la izquierda,

se

señala la regla

para

el

cálcu

lo de

lo

s

términos

posilivos del determinante de

tercer

orden,

y

en el

de la dere

c

ha,

la regla para

el

cálculo de sus

términos

negativos.

Ejemplos.

2 1 2

1)

-4

3 1

2

3

5

1 o

2) - 2

3

2

-2

= 2 ·3·5 + 1·1·2+2

·(

- 4)·3 -

- 2 - 3 - 2 - 1·(

-4) ·5 - 2·

1·

3=

= 3

0 + 2 - 2 4 - 12 +20-G = 10.

- 5

2 = 1

·3 ·0+0·2·

1+ - 5 ) · - 2}- -2 ) -

o - - 5)-3-1-0·( - 2 ) - 0 - 1·2·( -2)

-=

=

- 2 0 +

15

+ 4 =

- 1.

E l

segu

ndo

mien1bro

de

In

igualdad

(8)

es también

un

determinan

le de

tercer

orden:

es

pr

ec is

amente

el

dctonuinnntc de

In

matriz

que

so

obtiene

de

la ma tri?: (7), sust ituyendo su

primera

<:olumna ¡1or

la co lumna

de

los

término

s

independiente

s del <i;;tema li). Si

desig

nam os con la letra

d

el

d('lcrminante

(9)

y

con el . '

ímbolo d¡ j

=

=

1, 2. 3) , el determinante c¡ue

~ e

obtiene do · ~ l e

último,

al sus ti

tuir ~ ~ ~ j-ésima columna

p

or la columna

de lo:; l¡;truinos

iudl'pcndien

te

s

del ~ l c m

(6),

la

i¡ttwldad (8) lo

ma la fo•

ma

d: ·

1

= ds de don

de,

P •ra

d

fo

O,

::;e

de

dur ' que

(10)

Del m i ~ m o

modo,

mulliplicando la

s

ecuacione

s

G)

por los

núme·

ros o

23

a

31

-

a2

1

0 33• o

11

33

a , ~ a 3 a

1

: 0z

1

-

a , ,a23• re1-pectiva·

mente,

ob

tenemos para

:r

2

la siguiente

exprl'sión (. 'i 'ndo

:p O)=

z =

:z (11)

Finalmcnlc,

mull.ipli

cnndo

estas

ccuacionPs por

a

2

,a

32

- o o ~

a

12

o 3

1

- a ~ 2 aua

- a,2a2,,

rrspcciÍ\"lliHentr, llegamos a

la

siguicnle

expresión

pnrn : r ~ :

X 3 =

j . (12)



22

Cap. 1 Sistemas ck e c r t a c l o ~ ~ e s lineales. Determinantes

Sustituyendo las expresiones 10), 11) y 12) en la ecuación 6)

se

sobrentiende

que los

determinantes d y

todos los

d¡

están escritos

en [orma desarrollada), después de unos

cálculos

bas

tante

complica

dos, pero asequibles, vemos

que

se

satisfacen

todas estas ecuaciones,

es decir,

qu

e

lo

s números 10) 11) y 12) son

la

solución

del sistema .

Por

lo tanto,

si el determinante de los coeficientes de un sistema de

tres ecuaciones lineales con tres incógnitas s diferente de cero

su

solución s puede hallar por la regla de Cramer formulada igualmente

queenelcaso de un sistema de dos ec¡¿aciones. En

el

§

7, el lec

tor

halla

r< , para un

caso miis general,

otra

demostración de

esta afirmación

que no

se

basa en los cálculos omitidos), y también la demos

tración

de la unicidad de la solución 10) 11) y 12) del sistema 6).

Ej

emplo

. flesol

ver el

s i s ~ e m a

2 x : e z

~

0 }

3x

1

2x

2

5 r

3

1,

x t 1 3.rz-2.c3

= tl.

El

detorminanto

do los

coelicientes

del

sistema es

di(ereuto

o

coro:

d=l

~

1=28

1 3

2

por eso, se le puodo aplicar la regla de Cramer. Los numeradores para las

incógnitas

son los d

eterminantes

d¡ =l ~ ~ 1=13 dt =l: ~ 1=47

4 3 2 1 4 - 2

d3

=1

~ 1=2

1

1 3 4

o sea, que

la

solución del

sistema

es ol

sistoma

de números

§ 3. Pe

rmu

taciones

y sustit

uciones

Para

definir y estudiar los

determinantes

do orden n necesitamos

unos cuantos conceptos y datos referentes a os conjuntos finitos.

Sea

dado un

conjunto

finito

M

compuesto

de

n elementos.

Estos

se

pueden numerar, empleando para ello los primeros

n

números

natura

les 1, 2,

n.

Como en las cuestiones que nos

interesan, las

pro

piedades individuales

de los elementos del

conjunto

M

no van



3.

Pe

rmutaciones

y

sustttuclonu

3

a

jugar

ningún papel, supondremos simplemente que los mismos núme

ros 1, 2, ... n representan a los elemen tos del conjunto

M

Además de la

or

d

enación

normal

de

los números

1,

2,

... n

éstos pueden ser ordenados de muchos modos. Así, los números :

1, 2, 3, 4 se

pueden

ordenar también de los modos siguientes: 3,1,

2,

4.,

o bien, 2, 4, 1, 3,

etc.

Toda dis posición de los números

1,

2, n

en un

orden determinado, se llama permutaci6n de n números

(o den símbolos).

El

número

de

permutaciones diversas

de

n símbolos es igual

al

producto 1 · 2

...

n designado por ni (se lee: «factorial

de

m).

En efecto, la forma general de

una

permutación

de n

símbolos es

i

1

i

2

i ,

donde

cada

uno

de

los símbolos

i

8

representa uno

de

l

osnúmeros

1.,

2, n; además, ninguno de estos números

se

repite.

En

calidad

de

i

1

se

puede tomar cua lquiera de los números 1 , 2, ... n;

esto ofrece

n

diferentes posibilida

des

.

Sin

embargo, si se

ha

elegido

ya

i ~ o en ca lidad de

i

2

so puede

tomar solamente uno

de los n ~

números

restantes, es deci;,

que el

número

de

modos

de

elección

de los

símbolos i

y i

2

es

igual al

producto

n

n-

1), etc.

Por lo

tanto,

el número

de

permutaciones

de

n símbolos,

para

n = 2, es

igual

a 21 = 2 (las permutaciones 12 y 21; en los ejemplos

donde

n

<

O,

no

separaremos

con com

as

los s

ímbolos

que

se

per

mutan) ; para n =

;)

este número es igual a 3 = fi,

para

n = 4,

es igua l a 4 = 24. A continuación, con

el

aumento den, el número

~ permutaciones

crece extraordinariamente; así,

para

n

=

5, es

igual a 5

=

120, y p

ara

n

=

10, es ya igual a 3 G28 800.

S i en una

permutación

cambiamos de

lugar

dos símbolos cualesquie

ra (no

necesariamente

situados

un

o al lado del otro), permaneciendo

tod

os los demás en sus silios, obtenemos, evidentemente, una nueva

permutación.

Esta

traosrorm

ación de la

permutación se denomina

t rasposici6n .

Todas las n permutaciones de n símbolos

se

pueden colocar en un

c rden tal que cada permutación siguiente

se

ob /.enga de la anterior

mediante

una

trasposición pudiendo además comenzar por cualquiera

de ellas.

Esta afirmación es justa para n = 2: s i se

pide

em pezar por la

permutación 12, la dispos ic ión buscada es 12, 21; s i se

pide

em

pezar

por

la permutac

ión

21, la disposición es 21, 1

2.

Supongamos, que

nuestra

afi

rma

ción

ya es tá demostrada

para n

- 1, y

que

queremos

demostrarla

para

n.

Supongamos,

ade

más,

qu

e tenemos

qu

e comen

zar con la permul.ación

(1)

Consideremos to

das

las permutaciones den símbolos en las

que

i

ocu

pa el

primer

lugar. En total, res

ultan

n - 1) permutaciones.

Según la tesis del teorema, éstas pueden ser ordenadas del modo indi-



Cap. 1 Sistema< de ecuaciones line

al

es. Determinantes

cado y, además, comenzando

por

la permutación (1), puesto que

realidad est.o se reduce a la ordenacióu do todas las permutaciones

den - 1 símbolos y, por la suposición inductiva se puede comenzar

por cualquier permutación y er1

particular

por la permut.ación

i

2,

•••

i,..

En

la

última

de

las

permutaciones

den

símbolos obteni

das de

este

modo, efectuamos una t.raspo;;ición del

símbolo i

1

con

cualquier otro

símbolo, por ejemplo, con i

2

y comenzando con la

pe¡·mutaciúu nueva obtenida ordenamos del modo necesario todas

las permutaciones en las que i

2

ocupa el primer lugar etc. Es evidente

que de este modo se pueden obtener todas las permutaciones de n

símbolos.

De

este teorema se tle<luce que de cualq/J ier permutación de n sím-

b o l o ~ se puede pasar a CIJ alquier ot.rn permutación de los mismos sím-

bolos medi

ante unas ctwntus

trasposiciones.

Se dice (JUC, en una permutación

dada

Jos números

i

y

j

forntan

una

inuersiún

si

i

> j poro en

esta

perrnulaciéln, i

está

antes

que

j .

Una

pennutación

se llama par

si sus

símbolos forman un

número

par

de inversiones, e

impar

en el caso c.ontrario . Así, la permutación

1, 2,

n

es par para cualquier

n

puesto qne en ella el número

de invm·siones os igua l a cero. La permut..1cíón 451362 n = 6) con

tiene 8 inversiones y por c.onsiguionlc, es par;

la

permutación

385:. 4671

(n = 8) contiene 15 invorsio11es y, por consiguiente, es

impar.

Toda trasposición cambia la.

paridad

de la permutación.

Para

llcmostral este importante teorema, consideremos

primero

el caso en que los sí m bolos i

y j

que so trasponen estén uno

al lado

del otro es decir,

que

la

permutación

t.iene la forma

...

,

i

j

.

donde los ¡JuJtLos susl.ituyen a

l o ~

símbolos que

no

se

alteran

con l t

trasposició11. La trasposición couvierte a nuestra permutación en

la

permutación .. , j i se comprende, adom:.ís; que en ambas per-

mutaciones, cada uno de los símbolos i j forma unas mismas inver-

siones con los símbolos

que ~ e

mantienen

en

el

sitio

. Si

anl

,es

los

símbolos

i

y

j

no formaba n inver·sión, en la nueva

permutación

apare-

ce una nueva inversión, o sea, el

número

de invm·sioncs aumenta en

una unidad; si anles los símbolos i y j formaban inversión ésta ahora

desaparece, o sea, el número de inversiones dism in uye en una unidad.

En

ambos casos, cambia

la

paridad de la permutación.

Supongamos ahora que entre los símbolos

i

y j que se trasponen

hay intercalados s símbolos, s

>O

es decir, que l a permutación

tiene la forma

• •

,

i

k

1

k

2

,

. .

k

j

2}

Se puede

obtener

la trasposición de los símbolos i y

j

como resultado

de la ejecución consecutiva de

2s

1 trasposiciones

de elementos

vecinos. Estas son, precisamente, las trasposiciones que permutan



§

3. Permutaciones y sustituclone

los símbolos

i

y k

1

,

a continuacióJJ,

i

(que ya

ocupa

el

lugar

del siro

bolo k

1

) y k2, etc, hasta que

i

llegue a

ocupar

el Jugar del

simbolo k•.

Después de estas s trasposiciones viene la trasposición que

permuta

los símbolos

i

y

j

y luego,

s

trasposiciones del símbolo

j

con

todos

los

k

a

c o n s e c u e n c ~

do

lo

cual j ocupa

el

lugar del símbolo i mientras

que los símbolos k vuelven a sus lugares antiguos. Por lo tanto, la

paridad de la permutación fue cambiada un número impar de veces.

y por esto, la permutación (2) y

(3}

t ienen diferente

paridad.

Para

n >

2,

el número de permutaciones pares de n stmbolos

es

igual l número

e

permutaciones impares,

es

decir,

es

igual a ·{

ni.

En efecto, basándonos

en lo

demostrado anteriormente, ordenemos

todas las p e r m u t c i o n e ~

don

símbolos de t.al modo, que cada una de

ellas se obtenga de la anterior mediante una trasposición. Las per

mutaciones vecinas tendrán entonces paridad

contraria,

es decir, las

permutaciones estarán colocadas de tal manera, que las pcrmut.acio

nes pares e

impares

se alt.ernarán. Nuestra afirmación se deduce ahora

de

la

observación evidente que para n ::;: 2, el número n es par.

Introduzcamos

ahora un

nuevo concepto, el

de sustituci6n

e

gra.

o

n. Escribamos, una debajo de otra, dos ·permut-aciones

de

n

:simbolos, colocando entre paréntesis la:;

do:s

filas obtenidas; por

ejemplo, para

n

5:

(

:1 51 2)

52341

En este ejemplo*, bajo el número 3 figura el número 5, bajo el núme

ro

5,

el número 2, etc. Diremos

que

el número 3

se

sustituye

por

el 5

(o

también, que

la

u ~ t i t u c i ó n

transporta

eJ ·3

sobre

el 5); el número

5,

por el 2; el número 1, por el 3; número 4, por el 4 (o que se queda

en

el sitio);

y, por fin, el número 2, por el 1. Por

lo

tanto, dos permu

taciones, escritas una bajo

la

olrn

eu la

forma (4), determinan una

aplica.ción biy.ectiva** del conjunto

de los primeros cinco números

• Por su aspecto.

¡ e

parece a una n1atrir. de dos filas y 5 columnas, pero

tiene un signiric.ado totalmente distinto. ·

•• A

continuación

se OOIJllcará frecuentemente la siguiente terminología,

admitida

en

la

teoría

de

conjuntos.

Sean

dados dos

c.onjuntos y

N finitos

o infinitos) de elementos de

cual

quier

naturaleza.

Si de un modo detonninat lo, a cada elemento x de M (con la notación

z E M se denota

que

el elemento .r. pertenece a M) so pone en correspondencia,

un

elemento de 11 (1/ E N), y sólo uno, se die( que se ha d( finido una apli-



26

Cap 1 SLJtema• de et:uacionts

llntaler

n e t e r m i n n t ~ s

natur

ales sobro sí mismo, es decir, una

apli

cación

que,

a cada uno

de los números naturales 1,

2,

~

4,

5, pone en r·orrespondoncia uno

de estos mismos números naturales, y que. n

diversos

ú e r o ~ po no

en co rrespondencia n ú m ~ r o s d i f c ¡ · e n l r ~ s Como en total

hay ci

nco

números de óstos, o sea , es

un

c

onjunto

finito,

a cada

t no

do es tos

nún1 oros co

rr

esponderá

un

o do los ní1mcros 1, 2, 3, 4, [> dcci 1,

precisamente el número por el que «se sus ti Luye».

Está

clam,

que

la

aplicución biycctiva de l conjunto de los c

in

co

primeros números u

alu

rales que hemos obtenido

mediante

(4). so

podría haber obtenido la1nuión

escribiendo,

una bajo la otr

a,

otros

pares do permutaciones do los cinco símbolos. Estas expresiones se

<>btienen de (4) mediante unas c

uantas

trasposiciones de

las columnas;

t a l e : ~ so n, por· ejempl

o,

. 1

5 3

t,

1 :l 2 f¡ 4 '

(

1

;

2 4

3

3

211t5

(

2 5 1 4 3)

12345

.

En todas es tas expresiones, 3 se

sus

ti luye por 5, 5 por 2, etc.

(5)

De modo análogo, dos permutaciones de TI símbolos, escritas una

bajo la otra, determ

in

an una a¡>licación biyecti va del conjunto de l

os

primeros

n

números n

atu

rales sobre sí mismo. Toda aplicación biyecti-

va A del conjunto de los

primeros

n números naturales sobre sí mismo,

so llnma sustituc

i

ón

de

grado n

Es

evident

e,

que

toda

sustitu

c ión

A

se

puedo

expresar

mediante

dos

permuta

c

io

ne.s,

e

sc

ritas

una

baj

o

la

otra

(6)

aquí, mediante

1

se denota el número qul.' eu la sustitución A susti-

tuyo a l número i

i

= 1, 2, ... n

La

sust

itución A posee una

multitud

de expresiones de la forma

(6).

Asi,

pues, (4) y (5) son diversas expresiones de una misma susti-

tu

ción do 5°

grado.

Se puede pasar de una ex¡>resión de la sust

itu

ción

A

a otr

a,

reali-

zando unas

cuantas trasposicion

es de

las columnas.

También so puedo

~ b t e n e r

una expresi

ón

do la forma (6), en la que

figure,

en la

fila

sup

erior

(o inferior), uua permutación

pr

efij

ada

de

n simbolo

s. En

cación

o

una

representación) do l f on N. El elemento v se llama on este caso

Imagen o reprosentación do

r

Si todo elemento de N

es

imagen do al menos

un

elemento

de

/lf so d ice que

se tiene una

aplicación do

M

sobro

N

(pudi

endo

ser pluriunívoca, cuando

varios

~ l e m o n t o s

do Jlf tienen

una

misma imagen). En este caso,

la

aplicación se 11oma

~ x l t a u

s

t i v a

(o sobreyectiva). Si

distintos

olornoutlls

de

tienen d

istint

as

imá-

genes , la aplicación es inyectiva. Una aplicación exhaustiva e inyectiva

so

llama

l)lyoctiva (también suelo decil'ile que entre M y N se ba e ltablec

ido

una

co

rr

os-

pondoncia biunívoca). En esto caso, cada elemento v E N es imagen do un

sólo elemento x E M.

No

ta del T.).



3. Pumulnc/onts

y

sust/tuclonts 27

particula

r,

toda

s u ~ L lución A

de grado

se

puede

expresar en la

f

Ol lllll

(

1 2

. . . /1. )

;1

:-:

'

I X

1 <Xz

• • •

a,t

7)

o

sea, co

n la ordenación

natural de los núm

e

ro

s on

la fila

superior.

Escrib iéudolas de este

modo,

las diversas sust ituc iones se diferen

ciarÍin

unas

de otras por las permutac iones que

figuran

en

las

lilas

iufcriores, con lo q.ue llegantos a la conclusión de

que

el número

de sustituciones e grado

n

es igual

al

nú.me

ro e

permutaciones

e

n

símbolos,

es

decir, es igual a n .

Un

ejemplo

de

sus lil.ución

de grado

n os

la

sustitución unidad

(o

id

én

tiCll

(

1 2

. . . n

E =

·12

. . . n

en

la que todo

s los

símbo

los pe

rmanece

n

en su

si tio.

Serlalemos que, en

la ox¡>resi

ón

6) de la sus

tituciún A.

las

filas

superior e

inferior desempeiia

n

pap

eles d if

erentes y que

, por lo

gene

ral , cam

biándolas

de

:sitio, obtenemos una Su:J tilu

ción

difer

en te.

Así

pues, las

sustitucion

e:s de

/1

°

grado

(

21

¡

¡¡)

4

312)

·3

1 2 y

2 1 4

3

so

n

distinta

s:

en

la prim

era,

el número

2 se susti

t

uye por

el

4 mientras

que en

la

segunda, por

el

:t

Tomemos

una expre

si

ón arbitraria

(6)

el

e uno sustituc i

ón A

de gra

do

n. La

s p

ermutacione

s que

forman

las

filas

~ < u p e

o r e

infe

rior de

esta ex pres ión pueden <Uf de igual paridad o de paridad contraria.

Como

ya

sa

bemos,

el

p

aso

11

c

u;dquier

otra

l

lX

pr

cs

iún

do

la

sustitución

A

se puado realizar 10

11d

iante la ejecución con

> >ec

uliva rle

unas

c

uanta

s trasposiciones en la fila s

uperior

y las traspos iciones col'res-

poncliontos en la fila

inf

or ior.

Por

otra parte, a l efectuar

una

traspo

sic ión en la

fila

superior el

e

la expresión

(6) y una

trasposición de los

e lemen tos correspondientes

en

la fila inferior, las

paridades

de

ambas

pe rmu tacio

nes ca

mbian si mul á n

e n L e manteniéndose

así la

coincid

encia o

la

con tra riedad de

es

ta

s p

r i d

a d e : ~ . Do

aquí so deduce

que.

en

todas l

as expr

esiones de la sustituci6n, las paridades

e

las

filas

sup.:rior e

inferior

coinciden,

o bien, en

todcu estas

expr

esiones, las

paridades son contrarias.

C: n el

primer

caso,

se

di

ce

que la

sustituc

ión

A

es

par en el segundo, que es

impar

En

pa

rt

.ic

ular,

la ::;ust

itución

uniducl es Jlar.

Si la s ustituc ión A está escrita on la for·•na (7), es dec ir,

que

en la

fil a

:;upcrior

figura la per111uLa c ión

par

1, 2,

. . . n,

entonces, la parídad



§

9.

Pumrllaclones y

IU IIIuclones

29

en t.on

ccs

(

1 2 3 4

All= 4 1 2 3 .

En

efecto, en la

sustitu

c

ión

A el símbolo i se sustituye por el

3,

¡>ero

en la sus ti lución

3

el sí mbolo 3 se susLituye por el

4,

por lo

tanto,

en la sustitución AB el símbolo 1 se sustituye por el 4, etc.

So

lamente se pueden multiplicar las sus tituciones de un mismo

grado. Para n

>

3, el producto de las sustituciones de grado n IW et

cotiiTULlativo.

En

efecto,

para

las

sustit

uc

ion

es A y B con

ideradas

anLeriormente, el producto

BA

tiene La forma

(

1 2 3

4

JA

3 4 2 1

·O

SOl

\

la sustitución

BA

es rlifercntc de la sustitución

All.

Para todas

las n n >

3)

se

pu

edcr mostrar ejemplos de este tipo, a pesar de

que

¡>ara algunos

par

es do sustituciones se pueda

cumplir eventualmente

la

ley

conmu

tativa.

El producto de las Sltstituciones

es

asoci(ttivo, os decir,

que

se pue-

do hablar

del

produ

cto

de un número finiLo cualquiera

ele

su

stitu

cio-

nes de grado

n

tornados (en

vista

de

que

no so cumple la ley con-

mutativa en un orden determinado. En efecto, s

ean

liadas l ~ s

u

Lttcioncs A, B y C. Supongamos

que

en la sustitución A ol símbolo

i

1

, 1 < i

1

<:

n

se sust ituye I

>Or

el símbolo

í

2

; en la

sustitución B,

.el símbolo i

2

se sustituyo por el símbolo i y eo la sustitución C, este

último so s

ustituye

por el s

ímb

olo Entonces, en la

sustitución

AB

el símbolo

i

1

se sust

Hu

irá

por el

i

3

,

en la

sustituc

ión

BC,

el símbolo

i

2

se sustituirá por

el Por con

siguiente,

en la

sus ti

t uci

ón

AB)

C.

así como en la sustitución A BC), el símbolo

i

1

se

sustituirá por el

s

ímb

olo

i

1 •

l ::s

evidente,

que tll producto

de

cualquier Slts litución A por la

sustitución unidad E, y también el producto e E

por

A, sott iguales

a A:

Finalmente,

denominaremos

inversa

de la

sustitu

ción

A

a una

sustituc

ión del mis

mo

grado

A- l ,

que

curn pla las condiciones

AA-

1

=A

-

1

A = E.

Fácilmente se observa que la :nversa do la

sust itución

A =

1 2

.. n

a

1

a

2

a,.



30

Cap. 1

Sistemas

de tcuaciQn.s lineales. Determinantes

es la

sustitución

A-1 - ( ' a2 .

~ Á n

· 1 2

n

,

que se

obtiene de

la

sustituc

ión

A

pennul.audo

la

fila

superior con

la

inferior.

Veamos ahora unas

s u s t i u c i o n e ~

do una forma especial, que

~

obtienen de la

sustituc

ión unidad E mediante uua trasposición

efectuada en su fila inferior.

Tales ;;usLi

tucíones

son

impares,

se

llaman

trasposiciones

y tienen la forma:

. i .

j .

•

)

•

; ¿ . . .

R)

donde los puntos suspensivos

sustituyen

a

Jos

símbolos que perma-

necen en su ;sitio. Convengamos en

designar esta

trasposición

con

la notación

i, j . La

aplicación

de

la trasposición

de

Jos

símbo

los

i, j a

In

fila inferior

de

la expresión 7) de una sustitución arbitraria

A, es

equivalente

a

multiplicar

la ~ u s t i t u c i ó n A a la derecha por la

sus ti tuciún (8), es decir, por

i,

i). Ya sabernos que todas las permu-

taciones de

n

símbolos se

pueden

obtener

do

una de

ellas

, por ejem-

plo, de la permutación 1, 2,

n,

realir.ando trasposiciones con-

secutivas;

por eso, toda

sus

i

lución se puede

obtener

de la

sus

t i

Luciótt

idéntica mediante la

realización suc.csiva

de unas cuantas

trasposi-

ciones eu

la

fila inferior, es decir, mecliant.e una multiplicación

sucesiva por

sustituciones de

la forma (6). P

or

consiguiente, se

puede

afirmar

(omitiendo

el

factor

E),

que

toda sustitución

se

puede repre-

sentar en forma

e

un producto

e

trasposiciones.

Toda

sustitución se puede descomponer

de

muchas maneras

di-

versas en un producto

de

trasposiciones. Pot· ejemplo, siempre

~ ; e

pueden agregar dos factores iguales

de

la [orma

i,

j (i, j) que, al

multiplicarlos,

darán

las sustitución E, es decir, que

se

eliminan.

mutuamente

. Señalemos

un

ejemplo menos

trivial:

(

1 2 3 4

5)

2 5 4 3 1

= 12) 15) 34)= 14) 24) 45)

(34) (13).

El nuevo método

de determinación

de

la

paridad

de una susti-

tución

se

basa en el teorema siguiente:

n todas las descomposiciones

e una

sustitución

en

producto de

trasposiciones, la paridad del número de estas trasposiciones es la

misma, y coincide con la paridad

e

la sustitución misma.

Así, la sustitución del e

jemplo considerado

anteriormente es

impar, como

se

puede comprobar

calculando

el

número de inversiones.

El

teorema quedará demostrado si

se

muestra que

el producto

e

cualesquiera k trasposiciones es

una

sustitución , cuya paridad



§ 3.

Pumutaciones y

sustltuci >nes

3t

coincide con la paridad del número k. Para k

=

1

esto

es

cierto,

puesto

que una trasposición es

unu

susti

tución

impar.

Supongamos

que ya

está

demostrada

nuestr<t

afirmación

para el caso do k - 1

factores

.

Entonces.

su

validez para

factores se

deducirá

de

que los

números

k - 1

y

k son do paridad contraria,

y

el

producto

de una

sustitución

(en el caso

considerado,

del

producto

de los primeros k - 1 factores)

por

una

trasposición

es equiva

lente

a la realización de

esta

t

raspo-

sición en la

fila

inferior

de

la u s \ . i ~ u c i ó n , es

<lecir, camuia su

paridad.

Un método muy cómodo

de expresión de

las sustituciones, que pei'Ulite

hallar fácilmente

su paridad,

es

la dtscomposici6n tn

ciclos. Toda sustitución

de grado n

puede

ddar en

el sitio algunos do los

súnbolos

1,

2, ... •

otros,

v ~

daderamcnte los

puede

transportar

.

Una

sustitución so llama

s u s l i l u c i ~

circular

o

ciclo

si

al repetirla

un

númem suficionlo do veces.

cada

uno de los sírnbolos

que

verdaderamente se

trans

portan

puedo ser

transportad

o ~ o r e cualquiera otro de estos simbolos.

Tal es, por ejemplo, la s u ~ t i t u c i ó n

de

ocl(ovo grado

(

1 2 3 4 5 ¡¡ 7 8\

l 8 G

lo ;,

2 7

3

'

ésta verdaderamente

t r n n ~ p u r t a

los

,ímbolos

2, 3, 6 y 8, a ~

e r .

el ~ í m b o l o

2

sobro el

8,

el símbolo

S

sobro el

3,

el símbolo

3

sobre el

G

y e l símbolo t)

do

nuevo

~ o b r e

el

2.

T o d u ~ las

trasposiciones pertenecen al conjunto

de

los cielos. Por

analogía

con la

fom111

abrev

iada <le

expresión dt'

las

trasposiciones quo

~ e

hahía

emplendo

nnteriormente, p

8ra

los ciclos se usa la siguiente rorma do

exp

resión: los sím-

bolos que verdadormnente ~ o n trans portt1dos so escriben

entro

p u r é n t c ~ i s uno

tras otro. en el roismo orden en quo se susti tuyen unos por otros

al repetir

la

sustitución; la

expresión

comienza por cualquiera

de

los

símbo

los que

verdadera-

m.ente

~

t r a n ~ p o r l a n y t<lrnunn c.on el

slmbo

lo

que

0 tnmsr<>rtl\ sobro el ¡ni-

mero.

Así, para el ejemplo

indicado antcriom•entc, esta

expresi6n

tiene

la ronna:

(2 8 3 6).

El

número de iÍtobolos que v e r d a d c r ~ m e n t c son transportados en el ciclo se

llama

longitud

del mismo.

So dice que os cielos do grado n son indcpendicnt.s, si

no tienen

~ m

bolos

comunes

que

vel'dadcrnment.o

sean

t.

ransportados.

So

comprendo

que,

al

multi-

pliwr

ciclos

independientes, el orden de l

os

factores

no

influye

~ n

resultado.

Toda sustiluti6n se putde de scomponer

de

modo

único

en

un produclo de

ciclos i ldrpenclienles

dos

a do$.

La

demostración de

c ~ t a

nfinuacio·

n

no

ro

presen

ta

dificultad

a lguna y ;1 omitimos. La descomposición se re:olizn del modo

siguiente: comenzamos

por

c u ¡ ~ l q u i e r a de los ~ í m b o l o s < 1 ~

v c r d a d ~ r ;

n e n t e

se

tr&nsportan y e ~ c r i b i m o s t.ras ,J aquellos Sí111holos so lu·e Jos queéstP

o

transporta

al

repetir

la sustituc.ión. Continuamos •tsl, hasta que volvamos a obtener el sím-

bolo inicial. Después

de qu •se

cierre•

c ~ t o ciclo,

comenz¡unM

enn

uno

de

los

símbolos que queclnn

y

quo

v c r d n d e r a m e n t ~

se trnns¡wrtnn , o b

t e ~ o i c n o

a ~ i el

SCg\lll l \0 ciclo, t\tC.

J.:jemp los

(

1 2 3 ,¡

" )

( 3

"t.)

)

3 5 1 2 ~

1

) <

2

·) ' .

(

\ 2 3 '• r 6 7 S) , ;

2

) ;, 2 8 7 6

t

4 3

= ( t >G

(

38

> t7) •



32

Cap. 1 Slsletnnl

de ecu

.aciones linealu.

Dtltrmlnantes

1 \ ~ - c í p m r a m o n t e , p ~ t r a ca do SU$tiLución, dada m o d i t ~ n L o su descomposición

6 0

c i c l o ~ independientes. so

puedo

hallar

una

oxrrcsión on la forma ordinaria

(con la con;lición de qno so conozca el grado do a sus\itución). Por ejemplo:

• . - (1 2 3 4 5 ) 7 )

3) (1372) ( o5 ) - 3 1 7 5

l

6 2 •

·s i so sabo quo ol grado do esta sust

itución

es igua l n 7.

Son dada una susti Lución de grado n. y sea

so

l núrnoro de ciclos independien-

tes on

su

desr.omposición. mús e l número de

símbo

los que permanecen en

su

silic>

• .

La diferencia

n s

se

llama

decremento do la s u ~ l i l u c i ó

n . Es evidente,

que

~ 1 decremento es

i ~ u a l

al número do los slmbolos

quo verdaderamente

o

tr

ans-

portan.

monos el numero do ciclos independientes quo

fonnan

parte do la descom

posición de la sustitución. Para los ejemplos 1), 2) y 3), conside

rad

os anterior-

monto. ol <lcr.remento es

igual

n 3, lo. y 4. respor.tivnmonte.

1 11 paridad de tu l ••uttluci6n coincide con la paridad ciel decremento de

ella.

1::n cfoclo.

todo

ciclo do longitud k se puotlo representar

en

forma do un

producto

do

k

1

a s p o s i c

o n e ~ de

l

modo

~

i g u i

o n t

( l ~ o

1

2

1¡,)

= (i

1

, i

2

)

(i

1

,

1

3

)

1

,

t,,¡.

Suponf,(nmos

dalla

la descomposición do la sustitución A en ciclos indopl'rHiionLCs.

Si so descomlrOne caun

uno

do los

cic

los en el

producto

do

las

trasp

osiciones

que

acabamos do indicar. olrLcndroroos la expresión de

la

sustitución

A

on forma de

un producto de t r a s p o s i e i o n o ~ . E:l número do cstns trasposiciones será. evirlen-

I.Cm

ente.

menor que

ol nitmoro de

los

s í m b o i < L ~ [UO v o r d < ~ d o r a m e n t e wn trans-

portaolos por la sustitución

A

en un número

igual

al número de

l o ~

cirlc ' indo-

p e n d i e n t e ~ en la descompMici6n de la

sustitu

ción. Do aqu í se deduce. quo la

sustitución A so ruede do OilliiOnor on un producto de trasposiciones. cuyo

número os

igual

a docrcmontn.

Por

consiguiente,

In

paridad

de

la

sus

titución

.se dotormina

por

la paridad del decremento.

§ lí

D

etermi nant

es

de

11-és

imo o

rde

n

Queremos

generalizar ahora

para el caso de un

n

arbitrario,

lo

s

re

su

ltado

s

obtenidos en

el

§

2

paran =

2

y

3. C

on

este

rin, es nece

sario

de

finir

los

delerminnnles

de

ll-ésimo

orden. Sin

embargo, es

impo

s

ible hacer

esto del mismo modo

que se introdujeron

los detel'

min

antes

de segundo

y

tercer

orden,

es decir,

re

so

l

viendo

en forma

general u.n sistema de

ecuaciones

lineales,

¡>ues, a

medida que

a umen

tase n los

cá

lcu.l

os

so haria n m

ás

y

m{ts comp

li

cados,

y s ie

ndo

n

.arbitrario, éstos

sería

n práctica

mente

ir r

ea li

zab les.

Pro

cederemos de

otro modo.

Examina

remos los

determinan le

s de

segundo

y tercer orden

ya

conocidos. Procuraremos

establecer una

ley

general, de acuerdo

a

la

cual se expresan estos deLerminarHes

mediante

los elemen tos

de las

matrices

correspondientes

y

tomaremos

e. l ta

ley

po

r defi ni

ció

n

para el determinante de orden n.

Después

demostra

remos

que con

esta

definición

sigue cumpliéndose

la

regla do Cramer.

• A todo s imboln

que

s mantiene en

su

silío su pod n h a b ~ r p u ~ . t o en

c o r o ~ p o n d o n c i n un •c iciM do long

itud

l . o ~ ti PC

ir,

quo en e l

ojo

mpl<> 2) ,

ind icadu a n t o r i o r m e n t ~ ~ o podrfa escri

bir

: (15G) (38) (47) (2). Sin embar

go

,

no proced

eremos

de esto modo.



§ 4. Determinantes de ll· é

mo

ordc

33

R ec

ordemos

l

as expresiones

do los

determinante

s

de segun

do

y

tercer

orden:

1

au

an

1=

a a.z -a .az

a u

azz - -

u

a,z

a

31

a2

1

a22

a2 3 l lull zzUal

a

zazalla

•

a l3a2,a32

-

a31 a

32

a

33

aa ztl31-

a za2la33-a

u llzalls:·

Obsé

rvese

qu

e

tod

o t ~ r m i n o del d oterminaoto do seguudo

orden

es un producto d e

dos

elementos, s ituados en diversas filas y en

diver

sas

co

lumn

as.

Además, todos los productos de

est

e tipo

que

se

pueden

formar con l

os

elemento:; de l a matriz

de

segundo o

rd

en (en total son

do

s)

.

se han utilizado

\:omo

térmiuos del determinante.

De

modo

semejante, todo tórmiuo

clel dete

rminante

de

tercer or

d

en

representa

un

producto

do

tres

e leml•u t

os,

t

omados

tambi

én uuo

a

un

o do

ca

da

fila

y de

cada co lumna. To

do

s

lo

s

productos

de cs

t.o,¡ so

utilizan

tambi

éu

como é r m i n o ~

cl

ol flctet·miuante.

Sea dada ahora una 111nlriz c ua

dr

a

da

de

ordcu

n

(

u a

1

:

a

)

IL t

fl z · · ·

fl:

On t an2 · · · lln

1)

Cons idct·emos t odos

los productos posibles de

n

•

lemen tos do est a

mat

riz,

s ituados en

di

ferentes filas y e diferentes co l

umn

as,

o 'en. los productos dl la forma

a¡.,., a a ~ a , (2)

duml c los subíndices a¡ ~ •

.

an

forman u un de las

pcrmulnciones

de

números

1,

2

n .

El

número

de

esto

s

productos

os ig

ual

a l número

de

las

diversas

permutaciones de n s ímbolos, es d ecir,

es

igual

a ni. Vamos a Lomar todos estos p r u c t o ~ por

términ

os del

futuro determinante

de

n

-ósimo

orden, cor

resp

ondiente tl l a

matriz

(1).

Para dete

rminar

el s ig no con

que íigura

el

producto

(2) en el

d

eterminante,

observemos c

¡ue con

los s

ubíndices

1l e

esto

pr

o

du

ct

o

se

puede

formar In suslitufión

(

1 2

. . . n )

a ja

C:tn

(:3)

donde

i

se s us

tituye por

a¡ s i el lllemen to s

ituado

cu la i-é:;imu fila

y

en

la a

rés

ima

columuu de

la ma

triz (

1) forma parte del

producto

(2).

Exam

in

an

do l

as

oxprcsiones d e los determinautcs

de

SCRundo

y tercer

orden, ob:,;ervamos

que

eu e ll os figur

an

con

signu mi1s

los



§ 4.

Dfluminantes

de n istmo orden

se puede decir que transponer

la

matriz (1) s l.tacerla girar alrede-

dor

de

la

diagon

a l princ

ipal.

Correspondientemente, se dice, que

el

determinante

a .

12t • • • ant

lltz

a

• • • anz

a . ll2Jt

nn

se

o

btiene

t

ransponiendo

el

de

t

erminantu (4).

Pr

op

i

edad t.

El

determinante no varía al transponerlo.

E n

efecto, todo térrniuo

del determinante (4) es de la forma

6)

7)

dontlo los s

egundo

s subíndi

ces forman un

a

permu

l.ución

de los

sí m

bolos

1, :l, n. P

ero,

lodos los

factores

del pr

oducto

7)

se mantienen

también en

el

determinnnte

6)

en diferentes fil as

y en

dif

eren

tes

co

l

umnas, es

decir,

IJ\U::

(7) s

tambié

n un t.órmino

del lleterminanlc

tran

s

puesto. Es evidente que

lo

recíp

r

oco también es justo.

P

or

lo

tanto, los

det

erm

i

nantes lt)

y

(6) están constituidos por

l

os mismos

términos. El signo del lórr

nino

(7) en el determinante /¡) se determina

por

lo

paridad de

la

~ u ~ t i

lu

c

ión

1 2 n ) B)

ce

,

cc

2

• •

•

ex .

en el determinante (6), los primeros subíndices do los elemen tos

indi

can el

número de

orden

de

la columna, mientras que los segundos

subíndices indican el

núme

ro de orden

de

la fila. P or consiguien te,

en el determinante 6)

al

t

érm

ino 7) corr

espondo

la sus titución

(

a t

Xz

..

· a ) (

9)

1 2

·

Por

lo ge

nera

l,

las

sus

tílu

cioncs (8) y (9) son dHc

rcntes, pero, evidon·

temcnte, tionen

una mismu paridad

y,

pot·

lo tanto, el

t.érmino (7)

tiene un

mismo

signo

en

ambos de terminant

es. P or

consiguien

te, los

determinantes

(4) y (6) representan

sumas

do

términos

igu

ales, ~ o m n -

do

s

con signos iguales

,

es decir,

son

iguales

entre

sí.

Do la pr

opie

d

ad

1 so cied

ucc que cualquier afirma

c

ión sobre

lns

filas

de

l dc

te

r

minnn tc es víilidn también para

s

us columuas

y viceYer·

sn,

es

tlecir, en ol

determínante

a

distin

ci

ón

de la

s

matri

ces), l

ns

a ~ > / los columnas gozan e los mismos derechos. Partiendo de es to,

las

siguic1ües

ocho p r o p i ~ ) l l n d e . s (2-9) se enunc iarán y se demostrarán

so

l

ament

e para las fil

nl

d

el determ in

ante; l

as

propi

edade

s análogns

para las

co

lumn

as no ne

cesi tarán una

m o ~

t r a . c i ó n es

pecial.



G C l,

p

1 s;stemns le e uadones n c u l Determinantes

Prop

ieda

d 2.

Si ww de

la s

filas del dete

rminante

está

o r ~ o ~ l i t u i d a

por ceros, el detaminante es igurtl a e

n1

En efecto,

supongamos t¡uc lodos Jos

elementos de

la i· ésima

fila

del

determinante sou iguales a cero. En cada

uno

do los términos

del

dctemtinante

tiene que

e ~ ~ a r

incluido

ULlO

ele

los elemt•ntos

de la

i-ésinw fila,

por

Jo c

ual,

en uues tro caso, lodos los

wrminos

del

delorminantc

son iguales a cero.

Pr

o

¡Ji

cdad 3. Si un determinante se obtiene de otro p ermutando

dos f i l a ~ tocios los términos del primer determinante serán términos

del segundo, pe

ro

con signos contrarios, e

i

decir,

al p e r n u ~ t a r

dos

filas, el determinante s{J/o cambia de sigJto.

En ofeclo, s

upongamos que

en el de tcnninanto (4)

se permutan

la

i-ésima y

la

j ·

ésima fila::;, i

=F j y

que

todas

las

demás Iilas

so

m

a nt iem•u en :;u l,io. O

IJtenelllos

el

dclcrm

i na n lo

10)

t i ; ¡ ;z

•••

L¡,. j)

(al margen

están

selmlados

los números

de

las

filas).

Si

(11)

es un término del determinante (4), cvidcntemcnle, todos sus facto

res se manlienen también en el det.erminante (10) en diferentes filas

y columnas. Por

lo

t.anto, los determinantes (4) y (10) constan de los

mismos términos. En el determinante l,) al

término H) le

¡;orrespon

de la

sustitución

Í1 2 i j

•

n )

\a1 a2 . a; a i . . .

a,.

12)

mientras

que

en el dete.rminantc (10), la

sustitución

1 2 .

j i n ) (

13

)

\ a

1

a

2

• • •

a;

. . . a; . . .

a

puesto que el elemento a

1

a

1

, por ejemplo, está ahora en la j-ésima

fila,

pero se mantiene en la

a r ésima

columna anterior.

Sin embargo,

la

sustitución

(1

3

se

obtiene

de

la sustitución

(12)

mediante

uua

trasposición

en la

fila superior, o

sea,

t.

ienc par

i

dad

contraria.

De

esto se

deduce, que todos los términos

del

determinante (4) forman

parte del

determinante

(10), pero con signos

contrar

ios, es decir, los

determinan -es (4)

y

(10) se diferencian entro sí solamente .en el signo.



§ 4 Delerrnin.anles de é . l i m a Prtlen

37

Propiedad 4. Un determinante que tiene dos

filas

iguales es igual

a cero.

En efecto,

supongamos

que el valor (Jel determinante es igual

a d y que son iguales entre í los elementos correspondientes de su

i-ésima y j-ésima filas i t j). En virtud de la propiedad 3, después

de

permutar

est.as dos filas, el determinante se hace igual a d. Sin

embargo,

como

las filas que se

permutau son iguales

el

determinante,

en

realidad,

no varía, o

sea,

d - d;

de

donde d O

Propiedad

5.

Si

se multiplican

todos los elementos de una

ftla

del determinante por un número k, el mismo determinante queda

multiplicado

por

k.

Supongamos que se

han

multiplicado por k todos los elementos

de la i-ésima fila. Cada término

del

detenninanle contiene exacta

mente

un

elemento

de

la

i-ésima fila.

Por

lo

tanto,

todo

términc

adquiere el

factor

k es decir, el mismo detcrminant.e queda multipli

cado por k .

Esta

propiedad

también >e puede

expresar

;lsí el factor común de

todos los elementos de una fila del determinante ~ e puede sacar fuera

del signo de éste.

Propiedad

6. Un

determinante que time dos filas proporcionales

es igual a cero.

Supongamos

que los

elementos

de

la j-ésima

fila

del

determinante

se

diferencian

de

los clerncnt.os

correspondioutes

de

la

i-ésima fila

i

t j) en un mismo factor k. Sacando este factor común

k

rl la

j-ésima fila fuera

del

signo

del

determinante, obtenemos un

deter

minante con dos filas iguales. Esto será igual a cero, por la propie

dad 4.

La

propiedad

4, así como la propiedad 2 para n >

·J,

son, eviden

temente, casos particulares do la propiedad l i

para

k

·1

y k = 0).

Propiedad

7.

Si

todos los eleme

ntos

de la i-ésima fila de

rm

deter

minante

de

n-ésimo orden representan una suma de dos sumandos:

<tu

=

b¡ c¡,

j = 1 . ,

11,

el determinante es igual a la suma de dos determinantes en los

que todas las filas menos la i-ésima coinciden con las del determinante

dado mientras que la i-ésinw fila de uno de los sumandos consta de

los elementos b

1

y la del otro

de

los elementos ci.

fodo

término dol determinante dado se puede rcpresenta1· de la

forma

aro: a2a2 aao:¡ ana

ata1a

2

et: ...

ba

¡

-

ca . o • anan

a t a . a 2 bcx¡ •

anun

ara.:a2a

2

Ca ¡

... ana.n ·

Rou niendo los primeros términos de estas sumas (con los mismos

signos

que tenían los téJ•minos correspond i

ente ->

en

<'l c l e ~ e r m i n a n l e



38

Cap. 1 Sitltmn.< tle

tcua

c

iont 1/ntal Dttermlllanlts

dado), o b l e n e n a o ~ dclermiuau le di> orclt•u , que solam en te se

diferencia tlel dado, en quo

on

la i-és

im

n fila, en luga r de los elemen

to

s

a

1

¡,

figuran los elementos

1

. C o r r e ~ p o n d i e n l c m c n l e

los

segundo

s

sumand os formttn un

det

e

rminaule en enyn

i-ósima fila

fi

gul an los

elem entos

Cj

.

Po1·

Jo

t

anto

,

/JI

a,

z

.. lu

llJ: .

fi J t;

an

Osz

. ..

a ¡

·

Cs

/¡2

~

b

. -1-

Cn

Ús

¿2

J,

Cs

Cz

... r .

.

t a 2

llnn

a

On

. .

a

Un s

n ~

. ..

Ln propiedad 7

se

generaliza

s in dific

ult

ad

al

caso en

que lodo

elemento de

la

i-ésima fila es

una suma

no de dos ,

sino de

m sumntl

do

s ,

m>

2

Se

dice

que la

i-ésimu fila de

un det

e

rminante

es

combiM.ci6n

lin

eal

de

la

s demás filas si para cada fila del número de orden j

j

= 1 1 i 1 n so puedo soiialar

un

número k¡

t.

al

que multiplicando la j-ésima fila por k

1

y agregando después

todas las filas, menos la i-ésima (la suma de las filas se debe entender

como la suma por separado de los elementos de todas estas fila s en

cada columna), se obtiene la i-ésima fila . Algunos de los coeficientes

k¡

pueden

ser

iguales a cero, es decir, en r

ealida

d,

la

i-ésima fila

es combinación

lineal

no do todas, sino de

algunas

filas

restant

es.

En particular

si

solamente uno do los coeficientes k; es

diferente

do

cero, obtenemos el caso de proporcionalidad de

dos

filas.

Finahnenl

e,

s i

una

fila so compone totalmente de ceros, és ta siempre

será

combi

nación lineal de

la

s domíts filas: caso en que lodos los k¡ son iguales

a cero.

Propiedad 8.

Si una de las filas del determinante es combinación

lin

ea

l de las demás el determinante

es

igual a cero.

Sea, por ejemplo, la i-ésima fila combinación lineal de las

otras

s

filas, 1

s n -

1 .

Entonces lodo

elomcn to do la i-ési m a fila

será una s uma

de s

términos.

Por

lo tanto

aplicando la

propiedad 7

representamos nuestro

determinante

en forma de una s uma

de deter

minantes en

cada uno

de

los c

uales la

i-és

ima

fila

será

proporcional

a

una

de las

otras

filas. Según la

propiedad

6, todos estos

determinan

tes so n iguales a cero; por consiguiente, también

será

igual a co

ro

el det

erminante

dado.

Esta propiedad es una generalización de

la

propiedad 6

y

como

se demostrará en el § 10, os el caso más goneml de igualdad a coro

del determinante.

Propiedad 9. El determinante no varía si a los elementos

de

una

de sus filas se agregart los elementos correspondientes de

otra

fila

multiplicacks por

un

mismo mímero.

Álgebra Superior. AG Kurosch

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