Sustancias que funcionan como

superproteínas e impermeabilizante natural, a

partir de determinantes.

Instrucciones:

Lee los problemas que se te presentan y al final efectúa lo que se te pide.

Problema 1

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una

sustancia que funcionara como una superproteína en un tipo especial de

microorganismos que habita cerca de una zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que

existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho

derrame. Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían

previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso.

En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las

pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se

esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada

proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se

encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de

las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en

el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva

sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo

con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida

que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado

fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Evidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como super proteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Por

Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo

que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la

medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres

ecuaciones y de esta manera encontrarían los valores exactos de los recipientes de

cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de

la tercera obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de

la tercera, obteniendo 12 litros.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

Integra, en este archivo la solución que diste al problema por el método de Gauss-

Jordan.

Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer.

Utiliza el método de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocó en

cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del

accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9

vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

1.

Ecuación del Problema

2 x1+2 x2+1x3=4.5

4 x1+6 x2+3 x3=12

6 x1+9 x2+7 x3=m

Matriz Asociada

(2 2 14 6 36 9 7)

1

1

|1 112

4 6 36 9 7

|| 9412m

|2

|1 112

0 2 16 9 7

||943m|

3

|1 112

0 2 10 3 4

|| 943

m−272

|4

|1 112

0 2 10 3 4

|| 943

m−272

|5

|1 0 0

0 112

0 3 4||

3432

m−272

|6

|1 0 0

0 112

0 052|| 3

432

m−18|

2

7

|1 0 0

0 112

0 0 1||

3432

25m−

365

|8

|1 0 00 1 00 0 1||

34

5110

∗1

5m

25m−36

5

|Forma escalonada

1 x1+0 x2+0 x3=34

0 x1+1x2+0 x3=

5110

∗1

5m

0 x1+0 x2+1 x3=25m−36

5

Si damos el valor de m= 19. Sustituyendo los resultados para un valor de 19 litros nos

queda:

34+0 x2+0 x3=

34

0 x1+3235

+0x3=3235

3

0 x1+0 x2+25=25

(2 x1+2x2+x3=92

x2=6125

x3=25

)→( x1=34

x2=6125

x3=25

)1. En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a

las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del sistema.

2 x1+2 x2+1x3=4.5

4 x1+6 x2+3 x3=12

6 x1+9 x2+7 x3=19

|2 1 14 6 36 9 7|| 9412

19|

Sacamos los determinantes: |2 1 14 6 36 9 7||x1x2x3|=| 9412

19|

Siguiendo el procedimiento de la regla de Cramer, iremos sustituyendo las columnas por la columna formada por el vector b.

A1=| 92 2 2

12 6 319 9 7

|A2=|2 92

2

4 12 36 19 7

|A3=|2 292

4 6 126 9 19

|

4

Ahora debemos encontrar el determinante de la Matriz principal A

A=|2 2 24 6 36 9 7|

Se usaran los menores y cofactores

Una vez que tenemos los menores, vamos a obtener el determinante de cada uno de ellos como sigue.

M11 = (6*7) – (3*9) =42-27=15

M12 = (4*7) – (6*3) =28-18 =10

M13 = (4*9)- (6*6) = 36-36 = 0

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los cofactores correspondientes a dichos menores tal y como se muestra a continuación.

Aij=(−1)ij ⌊M ij ⌋

A11=(−1 )2 (15 )=15

A12=(−1 )3 (10 )=−10

A13=(−1 )4(0)=0Una vez que obtenemos los cofactores aplicamos el método de expansión por cofactores para encontrar el determinante de A.

Primero colocamos la ecuación para calcular el determinante de A, a partir de sus cofactores, la cual es la siguiente:

Aij=a11A11+a12 A12+a13 A13Únicamente se toman cuatro elementos debido a que A es una matriz de 3 x 3, la forma de expansión por cofactores se refiere a una matriz de n x n y en este caso n = 3, de ahí que suceda esto.

Se toman 4 elementos por ser una matriz 3x3,

|A|=2 (15 )+2 (−10 )+1 (0 )=30−20+0=10

5

Para las demás matrices que son parte de esta forma de obtención de incógnitas no seré explícito

A1=D 1=| 92 2 2

12 6 319 9 7

|A2=D2=|2 92

2

4 12 36 19 7

|A3=D3=|2 292

4 6 126 9 19

|Aplicando la regla de menores y cofactores a estos determinantes y solo hare uno como ejemplo en forma desarrollado.

A3=D3=|2 292

4 6 126 9 19

||D|= 2(42-27)-2(28-18)+1(36-36)

30-20+0=10

|D|= 10

2(114-108)-2(76-72)+4.5(36-36)

12-8+0=4

|D3|=4

|D1|= 4.5 (42-27)-2(84-57)+2(108-114)

67.5-54-12=1.5

|D1|=1.5

2(84-57)-4.5(28-18)+2(76-72)

54-45+8=17

|D2|=17

Entonces:

x1=D1D

=1 .510

=0.15

6

x2=D2D

=1710

=1.7

x3=D3D

= 410

=0.4

Resulta igual que el método de Gauss Jordán

2. Contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordan?

Se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea la estructura algebraica del que provengan los coeficientes.

De tal modo que el sistema de gauss es más generalizado y más potente para encontrar los valores que el método de Cramer, aunque este sea más sencillo en su realización solo lo es con matrices de poco tamaño.

7

Problema 2

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que

se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una

superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales:

- 1/2 kilo de calidra,

- 1/2 kilo de cemento blanco,

- 1/3 de kilo de pega azulejo,

- 1/2 kilo de arena gris (cernida),

- 2/3 de barra de jabón de pasta,

- 1/6 de kilo de alumbre en piedra, y

- 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar

el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada

uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50

centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos

5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

8

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que

impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar

impermeabilizante natural.

Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este

problema en la evidencia de la unidad 2.

Integra además la solución que diste al problema por el método que hayas

elegido en la evidencia de la unidad 2.

Obtén los determinantes asociados a cada una de las variables del

sistema de ecuaciones.

Resuelve el problema por el método de Cramer.

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que aprendiste.

Responde la siguiente pregunta: ¿Tus respuestas a las preguntas a

partir del método de Cramer son iguales a las que obtuviste en la

evidencia de la unidad 2? Explica por qué.

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1

Biblioteca

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

Auditorio

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525

15 salones de 20 mts c/U =300 mts

9

300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) =

9150

20 cubiculos

35----------------1067.5

X------------------5490

X=180

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5)

= 5490

La dirección de la escuela

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.

Simplificando

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 960

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 7200

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 4320

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840

Matriz ampliada:

10

20 20 13.325 25 16.66150 150 99.99

2025150

6.668.3349.99|

96012007200|

90 90 59.9917.5 17.5 11.66

90 29.9917.5 5.83 |4320840 |

Existen 5 incógnitas que son los precios de la calidra, cemento, pegazulejo, arena y alumbre.El vector de incógnitas (donde la incógnita es el PRECIO POR M2 de cada material) es (p, q, r ,s t).La ecuación de COSTO UNITARIO en términos de las INCÓGITAS es como sigue:1/2 p + 1/2 q + 1/3 r + 1/2 s + 1/6 t = 24 (es decir, 30.5 - 6.5=24, ya que el precio del jabón y nopal NO son incógnitas y todo se está haciendo por M2).El COSTO TOTAL para cada edificio no es otra cosa que:

CT = Superficie del edificio X precio por metro cuadrado

De tal manera que utilizare el siguiente sistema:

Xa + Xb + Xc = 20

2Xa + 2Xb + 2Xc = 40

La matriz

20 20403

25 25503

352

352

353

2025352

20253356

150 150 10090 90 60

150 5090 30

Tiene como determinantes cero. Son iguales por la regla de Cramer establece que xi = Di/D y como D=0, vemos que no tiene solución.

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