Análisis de circuitos con elementos no lineales.

Análisis de circuitos con elementos

no lineales.

Alumno:

Orlando Ramírez Barrón.

Programa:

Maestría en Ciencia es la Especialidad

de Ingeniería Eléctrica.

Asignatura:

Transitorios Electromagnéticos.

Profesor:

Dr. Pablo Moreno Villalobos.

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del I.P.N.

Unidad Guadalajara

Orlando Ramírez Barrón. Transitorios Electromagnéticos 13/01/2016

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Aplicación de Newton Raphson a una ecuación no lineal.

Fig. 1. Circuito con elemento no lineal.

El circuito anterior cuenta con un diodo, cuyas características de operación son:

𝐼 = 𝐼𝑆 (𝑒𝑞𝑉𝐷𝐾𝑇 − 1)

Donde:

𝑞 es la carga del electrón 1.6022𝑋10−19 𝐶

𝐾 es la constante de Boltzman 1.3806𝑋10−23 𝐽 𝐾°⁄

𝑇 Temperatura en grados kelvin 290 °𝐾

𝐼𝑆 Corriente de saturación 10−9 < 𝐼𝑆 < 10−6 𝐴𝑚𝑝𝑠.

Con las características de operación y para el primer ejemplo, la expresión obtenida es:

𝐼𝐷 = 𝐼𝑆(𝑒40𝑉𝐷2 − 1)

Se desea encontrar el punto de operación en D.C. del diodo, por lo cual se aplica la técnica

nodal al circuito de la figura 1:

3𝑣1 − 𝑣2 = 1 (1)

−2𝑣1 + 2𝑣2 + 𝑒40𝑣2 − 1 = 0 (2)

Un sistema de ecuaciones se obtuvo de la aplicación del análisis nodal, al contar solamente

con un elemento no lineal, se desea expresar las ecuaciones del circuito como una sola, por

tal razón ambas ecuaciones se expresarán en términos de una.

Despejando 𝑣1 de la primare ecuación:

𝑣1 =1

3+

2

3𝑣2


2

Sustituyendo en la segunda ecuación y reduciendo términos similares:

−2

3−

4

3𝑣2 + 2𝑣2 + 𝑒40𝑣2 − 1 = 0

2

3𝑣2 + 𝑒40𝑣2 −

5

3= 0

Con el procedimiento anterior se obtuvo la ecuación no lineal descriptiva del circuito de la

figura 1, a dicha función se le aplica el método de Newton Raphson, por lo cual es

necesario definir las siguientes funciones:

𝑓(𝑣2) =2

3𝑣2 + 𝑒40𝑣2 −

5

3

�̀�(𝑉2) =2

3+ 40𝑒40𝑣2

Aplicando el método de Newton Raphson se obtiene la siguiente expresión:

𝑣2𝑘+1 = 𝑣2

𝑘 −𝑓(𝑣2

𝑘)

�̀�(𝑣2𝑘)

Se elaboró un programa en Matlab, para determinar el estado de operación del diodo

utilizando las ecuaciones del método de Newton Raphson, como punto inicial del voltaje en

el diodo se utilizó un valor de 0.1 volts, se consideró un tiempo de simulación de 5 segundos.

% CINVESTAV GDL. % Transitorios Electromagneticos % Ramirez Barron Orlando. close all clear all clc v=0.1; w=0:0.05:100*0.05; ci=0.1; for k=1:100 f=(2/3)*v+exp(40*v)-(5/3); fp=(2/3)+40*exp(40*v); v=v-(f/fp); alfa(k)=v; end e=[ci alfa]; figure(1) plot(w,e); ylabel('Valor'); xlabel('tiempo(s)'); title('Punto de operacion en

D.C.') grid on

El programa determino que el punto de operación del diodo es de 12.6 mili volts.


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Fig. 2. Punto de operación del diodo.

Aplicación de Newton Raphson a sistemas de ecuaciones no lineales.

El método de Newton Raphson puede extenderse a sistemas de ecuaciones no lineales, las

cuales pueden ser descritas por circuitos con elementos no lineales. Para ilustrar el método

se empleará el circuito de la siguiente figura.

Fig. 3. Circuito con elementos no lineales.

Conocemos que las expresiones de las corrientes de ambos diodos son:

𝐼𝐷1 = 𝐼𝑆(𝑒40𝑣1 − 1)


4

𝐼𝐷2 = 𝐼𝑆(𝑒40𝑣2 − 1)

Para este circuito se desea encontrar el punto de operación en D.C. de ambos diodos, por lo

cual se aplicará el análisis nodal para determinas el sistema no lineal de ecuaciones del

circuito:

𝑣1 − 𝑣2 + 𝑒40𝑣1 − 1 = 1 (1)

−𝑣1 + 𝑣2 + 𝑒40𝑣2 − 1 = 0 (2)

Definimos las funciones no lineales:

𝑓1(𝑣1, 𝑣2) = 𝑣1 − 𝑣2 + 𝑒40𝑣1 − 2

𝑓2(𝑣1, 𝑣2) = −𝑣1 + 𝑣2 + 𝑒40𝑣2 − 1

Ahora se calculan las derivadas requeridas para formar la matriz jacobiana:

𝑀 =

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑣1

𝜕𝑓1𝜕𝑣2

𝜕𝑓2𝜕𝑣1

𝜕𝑓2𝜕𝑣2]

= [1 + 40𝑒40𝑣1 1−1 1 + 40𝑒40𝑣2

]

Aplicando el método de Newton Raphson se obtiene la siguiente expresión:

�̅�𝑘+1 = �̅�𝑘 − 𝑀𝑘−1𝑓(�̅�𝑘)

En forma matricial:

[𝑣1

𝑣2]𝑘+1

= [𝑣1

𝑣2]𝑘

− [1 + 40𝑒40𝑣1 −1

−1 1 + 40𝑒40𝑣2]−1

𝑘

[𝑓

1(𝑉1, 𝑉2)

𝑓2(𝑉1, 𝑉2)

]

𝑘

La única variación respecto al primer circuito es que ahora �̅�𝑘+1, �̅�𝑘 y 𝑓(�̅�𝑘) son vectores,

además de contar en cada iteración con una matriz jacobiana.

Se elaboró un programa en Matlab, para determinar los estados de operación de los diodos

utilizando las ecuaciones del método de Newton Raphson, como punto inicial del voltaje en

los diodos se utilizó un valor de 0.1 volts, se consideró un tiempo de simulación de 5

segundos.

% CINVESTAV GDL. % Transitorios Electromagneticos % Ramirez Barron Orlando. close all clear all clc v=[0.1 0.1]'; ci=[0.1 0.1]'; w=0:0.05:100*0.05;


5

for k=1:100 a=1+40*exp(40*v(1,1)); b=-1; c=1+40*exp(40*v(2,1)); M=[a b; b c]; % Matriz Jacobiana d=v(1,1)-v(2,1)+exp(40*v(1,1))-2; e=-v(1,1)+v(2,1)+exp(40*v(2,1))-1; F=[d e]'; v=v-inv(M)*F; alfa(:,k)=v; end x=[ci alfa]; V1=x(1,:); V2=x(2,:); figure(1) plot(w,V1); hold on plot(w,V2); ylabel('Valor'); xlabel('tiempo(s)'); title('Operacion en D.C.') grid on

El programa determino que los puntos de operación en D.C. son:

[𝑣1

𝑣2] = [

17.1 𝑚𝑖𝑙𝑖 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠0.4 𝑚𝑖𝑙𝑖 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠

]

Fig. 4. Operación de los diodos en D.C.


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Conclusiones.

Es usual encontrar elementos con comportamientos no lineales dentro de circuitos y redes

eléctricas, dichos dispositivos cumplen funciones específicas pero aumentan la complejidad

de encontrar una solución. El método de Newton Raphson permite encontrar la raíz de una

ecuación no lineal o un sistema de ecuaciones no lineales, lo cual es ideal para circuitos

eléctricos, solo es necesario encontrar las funciones no lineales y la matriz jacobiana formada

por derivadas parciales en cada iteración. Como se observa en las gráficas el método nos

permite encontrar los puntos de operación alrededor de la 5ta o 6ta iteración.

Análisis de circuitos con elementos no lineales.

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