Analisis de Circuitos Lineales

FUNDAMENTOS TERICOS PARA EL ANLISIS DE CIRCUITOS LINEALES BAJO CONDICIONES DE OPERACINEN CORRIENTE DIRECTA Teora del Curso IE-209

Preparado por: Guillermo A. Lora MartnezProfesor Escuela de Ingeniera Elctrica Universidad de Costa Rica

2008

PrefacioEl presente material es el resultado de una iniciativa destinada a establecer un nuevo paradigma en la enseanza de los primeros cursos propios, de la carrera de Ingeniera Elctrica de la Universidad de Costa Rica. La experiencia ha demostrado que estos cursos han estado normalmente sujetos a ser dictados por una poblacin de profesores que tiende a ser variante, pues se asignan, con cierta regularidad, a profesores de tiempo parcial, provocando que la materia a cubrir, as como su intensidad, sufran importantes variaciones de un ciclo lectivo a otro. Para garantizar, en alguna medida, a los estudiantes y a la administracin de la unidad acadmica, la estandarizacin de la materia a ser transmitida, as como la profundidad con que ella se cubra, se propone una metodologa integrada por cuatro componentes: primero, uso intensivo del Aula Virtual a travs de la red Internet como medio facilitador en el proceso de enseanza-aprendizaje. Segundo, nuevas tecnologas educativas a travs del uso de herramientas audiovisuales en el proceso formativo. Tercero, disponibilidad, tanto a los profesores como estudiantes, del material impreso conteniendo la totalidad de la teora que debe ser cubierta. Cuarto, implementacin de procesos de mejoramiento continuo de la calidad, los cuales permitirn a los profesores de turno proponer, en primera instancia al coordinador del curso, posibles mejoras en alguno de los tres primeros componentes mencionados; estas propuestas no sern incorporadas hasta tanto no se cuente con la aprobacin del director de departamento, de este modo lo medular del curso no estar sujeto a alteraciones no oficiales. La siguiente tabla indica el avance de teora a cubrir por leccin de 100 min. La distribucin de estas lecciones, en la totalidad del ciclo lectivo, abre los espacios para insertar lecciones para prcticas, evaluaciones o cualquier otra actividad complementaria.Leccin 1 2 3 4 5 6 Materia 1.1 1.2 1.3 1.4-1.5 2.1-2.3 2.4-2.10 Leccin 7 8 9 10 11 12 Materia 2.11 2.12 3.1-3.2 3.3 3.4-3.6 3.7.1 Leccin 13 14 15 16 17 18 Materia 3.7.2 4.1 4.2-4.3 4.4 5.1 5.2 Leccin 19 20 21 22 23 Materia 5.3 6.1 6.2 6.3 6.4

Versin 2008-2 Fecha de aprobacin Departamento de Automtica: 2008-06-26.

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Contenido

1. Introduccin 1.1 Sistema de unidades 1.2 Definiciones en teora de circuitos 1.2.1 Algo de historia 1.2.2 Carga , corriente elctrica y voltaje 1.2.3 Elemento elctrico, circuito elctrico y teora de circuitos. 1.3 Potencia y energa 1.3.1 Potencia 1.3.2 Energa 1.3.3 Convencin pasiva de signos 1.4 Elementos de circuitos 1.4.1 Elementos activos y pasivos 1.4.2 Fuentes independientes 1.4.3 Fuentes dependientes 1.5 Topologa de redes. 2 Circuitos resistivos 2.1 Ley de Ohm y la resistencia elctrica 2.1.1 La resistencia elctrica 2.1.2 La resistencia real 2.1.3 Tipos de resistencias 2.2 Conductancia 2.3 Circuito abierto y cortocircuito 2.4 Leyes de Kirchhoff 2.5 Elementos en serie 2.6 Elementos en paralelo 2.7 Anlisis del circuito de un solo lazo 2.8 Anlisis de circuitos con un solo par de nodos 2.9 Divisores de voltaje 2.10 Divisores de corriente 2.11 Anlisis de Nodos 2.12 Anlisis de Mallas Teoremas y Herramientas 3.1 Concepto de Linealidad 3.2 Teorema de Superposicin 3.3 Teoremas de Thvenin y Norton 3.4 Teorema de mxima transferencia de potencia 3.5 Transformacin de fuentes de tensin y de corriente elctrica 3.6 Transformacin Delta Estrella 3.7 Herramientas digitales 3.7.1 Simulacin de circuitos elctricos 3.7.2 Clculo numrico y tratamiento de datos

1 1 8 8 10 14 15 15 16 16 17 17 18 20 21 25 25 25 27 30 32 33 34 36 36 37 39 40 41 43 44 47 47 48 49 54 55 59 61 61 64

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Elementos Almacenadores de Energa 4.1 Funciones escaln unitario y exponencial 4.2 Elementos almacenadores de energa 4.3 El capacitor ideal y real 4.3.1 Capacitores en serie 4.3.2 Capacitores en paralelo 4.4 El inductor ideal y real. 4.4.1 Inductores en serie 4.4.2 Inductores en paralelo El Circuito de Primer Orden 5.1 Circuito RL sin fuentes 5.2 Circuito RC sin fuentes 5.3 Respuesta completa del circuito de primer orden El Circuito de Segundo Orden 6.1 El circuito RLC en paralelo sin fuentes 6.1.1 Respuesta sobreamortiguada 6.1.2 Respuesta crticamente amortiguada 6.1.3 Respuesta subamortiguada 6.2 El circuito RLC serie sin fuentes 6.3 Respuesta completa del circuito RLC 6.4 Circuitos generales de segundo orden Referencias

73 73 77 78 83 84 85 88 89 91 91 94 97 105 105 109 110 110 112 116 120 123

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Introduccin

Captulo1 IntroduccinEn esta unidad se establecer la importancia de utilizar adecuadamente el sistema de unidades oficial. Adems se incursionar parcialmente en el uso de este sistema as como algunas observaciones sobre su nomenclatura.

1.1. Sistema de Unidades1.1.1. Ley 5292En primera instancia debe plantearse con suma claridad lo que establecen los artculos primero y segundo de la Ley 5292, aprobada por la Asamblea Legislativa de la Repblica de Costa Rica en 1973 y an vigente: Artculo 1.Se adopta para uso obligatorio en la Repblica, con exclusin de cualquier otro sistema, el Sistema Internacional de Unidades, denominado internacionalmente bajo las siglas "SI", basado en el Sistema Mtrico Decimal, en sus unidades bsicas, derivadas y suplementarias de medicin. Artculo 2.Para todo acto legal en que se haga, referencia a mediciones de cualquier tipo, ser obligatorio y exclusivo el uso de las unidades de dicho sistema. Los tribunales de justicia o cualquier otra dependencia estatal, no aceptarn los documentos que se les presenten si no se ajustan de cualquier modo a esta disposicin. Considerando el alcance de la ley, se concluye la importancia de respetar en todos sus extremos lo concerniente a lo que ella establece, especficamente lo relacionado con el uso del Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual considera que es un sistema de unidades coherente y universal. Adems, establece que las unidades legales deben tomar como base el SI, sancionado por la Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM). El Sistema Nacional de Calidad fue creado en el ao 2002 a travs de la Ley 8279, derog nicamente los artculos 7, 8, 9 y 10 de la Ley 5292, dejan intactos los artculo 1 y 2 ya citados.

1.1.2. Decreto 29 660 y Alcance a la Gaceta Universitaria 8-85En el ao 2001 se public el Decreto 29 660 del Ministerio de Economa, Industria y Comercio (MEIC), por medio del cual se aprob el Reglamento RTCR 26:2000 Metrologa. Unidades Legales de Medida. Esto con el fin de armonizar las polticas y el captulo de reglamentos tcnicos, para poder participar ms activamente en los acuerdos bilaterales y multilaterales, produciendo beneficios como la homologacin, unificacin y

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Introduccin

universalizacin de criterios. Los principios generales para la escritura de los smbolos de las unidades y sus nombres fueron propuestos por la 9 CGPM (1948, Resolucin 7) y posteriormente fueron adoptadas y elaboradas por el comit tcnico ISO/TC 12 (ISO 31 Cantidades y unidades). Tambin, en el Alcance a la Gaceta Universitaria 8-85 del 28 de mayo de 1985, la Vicerrectora de Docencia solicita a todas la unidades que considera conveniente y obligado, velar porque los procesos de enseanzaaprendizaje, investigacin, accin social y otras actividades, se est cumpliendo con lo estipulado respecto a las unidades bsicas, derivadas y suplementarias del Sistema Internacional de Unidades, SI. Y agrega girar las instrucciones para que los profesores de su unidad acadmica dispongan de esta informacin y la utilicen correctamente en la docencia. A continuacin se presentan los aspectos esenciales relacionados con el Decreto Ejecutivo 29 660 en total concordancia con lo expuesto por Oficina de Pesos y Medidas a travs de la CGPM. Las unidades SI estn divididas en: unidades bsicas y las unidades derivadas

1.1.3. Unidades bsicasMagnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente elctrica Temperatura termodinmica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Nombre metro kilogramo segundo ampere kelvin mole candela Smbolo m kg s A K mol cd

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Introduccin

1.1.4. Unidades SI derivadas con nombres y smbolos especiales.MagnitudFrecuencia Fuerza Presin

Nombrehertz newton pascal

SmboloHz N Pa J W C V F Wb T H So

Expresin en Expresin en otras unidades SI unidades SI bsicass-1 mkgs-2 Nm-2 Nm Js-1 m-1kgs-2 m2kgs-2 m2kgs-3 sA WA-1 VA-1 CV-1 Vs Wbm-2 WbA-1 A/V m2kgs-3A-1 m2kgs-3A-2 m-2kg-1s4A2 m2kgs-2A-1 kgs-2A-1 m2kg s-2A-2 m2 kg1 s3 A2 K

Energa, trabajo, cantidad de calor joule Potencia Cantidad de electricidad carga elctrica Potencial elctrico fuerza electromotriz Resistencia elctrica Capacidad elctrica Flujo magntico Induccin magnticaDensidad de flujo magntico

watt coulomb volt ohm farad weber tesla henry siemens grado Celsius

Inductancia Conductancia elctrica Temperatura Celsius

C

1.1.5. Mltiplos y submltiplos decimalesFactor 1024 1021

Prefijo yotta zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Smbolo Y Z E P T G M k h da

Factor Prefijo 10-1 10-2

Smbolo d c m n p f a z y

deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

1018 10 1015 12

10-3 10 10-6 -9

109 106

10-12 10-15

103 102 101

10-18 10-21 10-24

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Introduccin

1.1.6. Reglas para el uso de los nombres y smbolos de las unidades SISmbolos de las unidades SI Los smbolos del SI (y tambin algunos smbolos de unidades fuera del SI) se deben escribir de la siguiente manera. Los smbolos de las unidades deben ser impresos en caracteres romanos (recto). En general, los smbolos de las unidades se escriben en minscula, pero, si el nombre de la unidad es derivado de un nombre propio, la primera letra del smbolo es mayscula (por ejemplo, tesla, T; newton, N; watt, W; weber, Wb). Los nombres de las unidades no se traducen y deben escribirse en minscula, excepto cuando sean inicio de oracin. La nica excepcin es la unidad grado Celsius, en la cual Celsius se escribe con C mayscula. Ejemplo. La unidad SI para la fuerza es el newton. El tesla es la densidad de flujo magntico. El paciente tena una temperatura de 40 grados Celsius. El voltaje es de 120 volts (no voltios) Los smbolos de las unidades son entidades matemticas universales y no una abreviatura, por lo tanto no van seguidas de punto y no se pluralizan (por ejemplo, el smbolo del segundo es s, y no sec. ni s.; se escribe 3 kg y no 3 kg. ni 3 kgs). Los smbolos de las unidades no deben ser seguidos de un punto, a no ser que se encuentren al final de una oracin.

Para asegurar la uniformidad en el uso de los smbolos de las unidades del SI se deben seguir las siguientes instrucciones: Cuando una unidad derivada es formada por la multiplicacin de dos o ms unidades, se expresa con la ayuda de los smbolos de las unidades separados por un punto de media altura o por un espacio. Si no existe riesgo de confusin (como es lo ms comn) se puede omitir el espacio, por ejemplo N m, N m Nm. La cruz (x) no debe ser usada como smbolo de multiplicacin entre los smbolos de las unidades. Cuando una unidad derivada es formada por la divisin de una o ms unidades, se expresa con la ayuda de la barra oblicua (/), una lnea horizontal o por m exponentes negativos, por ejemplo m/s m s-1 . s La barra oblicua (/) no debe estar seguida, en la misma lnea, por otra barra oblicua, de un signo de multiplicacin o de divisin, a menos que se usen parntesis para evitar la ambigedad. En casos complicados, los exponentes negativos y parntesis deben ser usados para evitar la ambigedad. Por ejemplo, m/s2 o m s-2, pero no m/s/s. Tambin m kg/ (s A) m kg s-3 A1 pero no m kg/s/A ni m kg/s A.

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Introduccin

1.1.7. Reglas para el uso de los prefijos del SILos prefijos deben ser impresos en caracteres romanos (recto), sin dejar espacio entre el smbolo del prefijo y el smbolo de la unidad. La unin del prefijo adicionado al smbolo constituyen un nuevo smbolo inseparable (de un mltiplo o submltiplo de la unidad) que puede ser elevado a potencias negativas o positivas y combinado con otros smbolos para formar smbolos de unidades compuestas.Ejemplos

1 cm = (10-2 m) = 10-6 m 1 s-1 = (10-6 s)-1 = 106 s-1 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 10 V/m 1 cm-1 = (10-2 m)-1 = 10 m-1 No se deben utilizar prefijos compuestos, es decir por yuxtaposicin de mltiples prefijos. Por ejemplo, se puede escribir: 1 nm, pero no: 1 mm. Los prefijos nunca deben usarse solos. Por ejemplo 106/m, pero no M/m.

Los smbolos SILos smbolos de las unidades son entidades matemticas universales y no una abreviatura, por lo tanto, la siguiente expresin es vlida T T = 38 C = 38 C Lo cual es muy til para escribir tablas o denominar los ejes de un grfico.

Uso de la comaPara separar la parte entera de la decimal debe usarse siempre la coma (,) y no el punto (.). Ejemplo, se escribe 245,76 m, pero 245.76 m no es aceptado.

Uso del espacioPara la escritura de cantidades con unidades del SI, se debe dejar un espacio entre la cantidad y el smbolo (como se puede notar a lo largo de este documento). Ejemplos: 1 m 25 cm 123,56 m/s Las nicas excepciones a esta regla son las unidades grado, minuto y segundo para ngulo plano, en cuyo caso no debe existir el espacio entre el valor numrico y la unidad. Por ejemplo, 30

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Introduccin

Debe tenerse cuidado que las expresiones escritas reflejen exactamente, y sin ambigedades, lo que ella expresa. Ejemplo, si se quiere expresar que el valor de una magnitud puede diferir en 2 metros, en ms o en menos, se debe escribir para expresar el mbito: 25 m 2 m (252) m pero no 25 2 m ni 25m 2. o bien puede escribirse "de 23 m a 27 m" pero no "de 23 a 27 m". Para la notacin de cantidades de muchas cifras, se utilizar un espacio cada tres nmeros a partir de la coma decimal y antes o despus de la coma decimal. Para cifras de cuatro nmeros, el uso del espacio es optativo. Ejemplos: 123 456 789 1 234 567,89 12 345,6789 o bien 12 345,678 9 1234,567 89 o bien 1 234,456 789

Otras unidadesTiempo

El minuto (smbolo: min) La hora (smbolo: h) El da (smbolo: d)Volumen

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

El litro (smbolo: l o L) 1L = 1 dm (Se usa la mayscula L en caso de confusin con el nmero uno) Se permite el uso de mltiplos y submltiplos, por ejemplo: 2 ML.Masa

La tonelada (smbolo: t) 1 t = 1000 kg Se pueden aplicar tambin los mltiplos y submltiplos, por ejemplo: 1 kt.

1.1.8. Otros estndares tiles Monedas, ISO 4217Los prefijos estudiados pueden ser usados en otras unidades diferentes a las unidades fsicas de medida. El estndar internacional ISO 4217 (an no es de uso obligatorio en el pas) fue creado por la ISO con el objetivo de definir cdigos de tres letras para todas las monedas del mundo. Algunos ejemplos son: BRL, Real brasileo; BYR, Rublo bielorruso; BZD, Dlar de Belice; CAD, Dlar canadiense; CDF, Franco congoleo; CHF, Franco suizo; CLP, Peso chileno; COP, Peso colombiano; CRC, Coln costarricense; CUP, Peso cubano; DOP, Peso dominicano; NIO, Crdoba nicaragense; USD, Dlar estadounidense, etc.

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Introduccin

De esta forma, puede utilizarse 30 kCRC = 30 000 CRC (treinta mil colones de Costa Rica); 30 MCOP (treinta millones de pesos colombianos). 25 cUSD (veinticinco centavos de dlar). Se deben evitar las notaciones nacionales como $, , , sobre todo en el contexto internacional, pues existen varias monedas con el mismo smbolo.

Prefijos para cantidades binariasEn 1998 la Comisin Electrotcnica Internacional (IEC) aprob nombres y smbolos para los prefijos de los mltiplos binarios que deben utilizarse en la transmisin y el proceso de datos. Algunos de los prefijos aprobados son los siguientes:

Factor 210 220 230 240

Nombre kibi mebi gibi tebi

Smbolo Ki Mi Gi Ti

Origen kilobinario: (210)1 megabinario: (210)2 gigabinario: (210)3 terabinario: (210)4

Derivacin kilo: (103)1 mega: (103)2 giga: (103)3 tera: (103)4

Es importante mencionar que estos nuevos prefijos no son parte del Sistema Internacional de Unidades (SI); sin embargo, para facilitar su asimilacin, ellos se han derivado de los prefijos SI correspondientes a las potencias de 10.Ejemplos y comparacin con los prefijos SI Un kibibit 1 Kibit = 210 bit = 1024 bit Un kilobit 1 kbit = 103 bit = 1000 bit Un mebibyte 1 MiB = 220 B = 1 048 576 B Un megabyte 1 MB = 106 B = 1 000 000 B Un gibibyte 1 GiB = 230 B = 1 073 741 824 B Un gigabyte 1 GB = 109 B = 1 000 000 000 B

Fecha y hora, ISO 8601El estndar internacional ISO 8601, que tampoco an es de uso obligatorio en el pas, fue creado por la ISO con el objetivo de estandarizar la escritura de la fecha y la hora. Para el caso de la fecha, la forma general es: AAAA-MM-DD, por ejemplo el 5 de marzo del ao 2007, se expresa como 2007-03-05. Tambin puede utilizarse para expresar una semana determinada, a saber AAAAWSS1, por ejemplo la semana 32 del ao 2010 se denota como 2010-W32. Inclusive se puede especificar el da de la semana, por ejemplo el martes de la semana 32 del ao 2010 se expresar como 2010-W32-02.1

La primera semana es la semana con la mayora de das en el nuevo ao.

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Introduccin

Para expresar la hora, se utiliza el formato: hh:mm:ss, as, las 2 de la tarde con 30 minutos y 2 segundos se escribir como 14:30:02. Para combinar fecha y hora, se escribe la letra T para separar una de la otra, a saber: AAAA-MM-DDThh:mm:ss. Ejemplo, las 2 de la tarde con 30 minutos y 2 segundos del 3 de enero del ao 2005, se escribir como: 2005-01-03T14:30:02.

1.2. Definiciones en teora de circuitosLa teora de circuitos y el electromagnetismo son teoras sobre las que se fundamentan todas las ramas de la ingeniera elctrica. Los conceptos estudiados y las herramientas propuestas permitirn entender el comportamiento, de los dispositivos, en funcin de sus interrelaciones y de su entorno. Para iniciar, se hace estrictamente necesario el conocer algunos conceptos que resultan fundamentales para construir el conocimiento en esta temtica. Desde un comienzo, la humanidad ha procurado dominar el medio ambiente para aprovecharlo y facilitar su vida. Los circuitos elctricos son, en este marco, herramientas que han permitido comprender ms fcilmente ese ambiente, facilitando las labores cotidianas y, como resultado inmediato, ofrecindole, al ser humano, un mayor confort. Los siguientes prrafos describen una breve resea histrica de las principales personas que han estado asociados al desarrollo de los conceptos fundamentales de la electricidad y el magnetismo.

1.2.1. Algo de historiaCon bastante certeza se afirma que el filsofo Tales de Mileto (640 - 546 A.C.), fue el primero en observar con atencin las propiedades del mbar, que al ser frotado atraa objetos livianos, tambin trabaj con la magnetita para atraer objetos de hierro. En el ao 1600 D. C. se public en Inglaterra el libro "De Magnete", del mdico britnico William Gilbert, quin aplic, por primera vez, el trmino "elctrico" (del griego "mbar"), para describir el fenmeno de atraer objetos despus de ser frotadas ciertas sustancias y public una lista de cada una ellas. El primer instrumento construido para generar carga elctrica fue descrito en 1672 en el Experimento Nova de Otto von Guericke. Este dispositivo estaba compuesto por una esfera que se poda girar sobre unas balineras, de esta forma induca una carga que, cuando se apoyaba la mano sobre ella, se notaban pequeas chispas que hacan que la esfera se descargara. El cientfico francs Charles Franois de Cisternay Du Fay, fue el primero en distinguir claramente los dos tipos de carga elctrica: positiva y negativa.

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Introduccin

En 1746 Pieter van Musschenbrock present una botella, llamada botella de Leyden (por el sitio donde fue construida), recubierta de estao y de la cual sala una varilla a travs de un tapn. Esta botella se utilizaba para almacenar carga elctrica. En junio de 1752 el inventor Benjamn Franklin realiz su experimento de la cometa, con el cual demostr que la electricidad atmosfrica es la que provocaba los fenmenos de relmpago y trueno, siendo estos de la misma naturaleza que la carga electrosttica almacenada en una botella de Leyden. El qumico britnico Joseph Priestley, alrededor del ao 1766, demostr experimentalmente la ley que demuestra que la fuerza existente entre dos cargas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, as como que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera hueca y que en su interior no existe carga ni campo elctrico. Charles Coulomb, invent la balanza de torsin para determinar el valor exacto de esta fuerza y en su experimento encontr que esa fuerza es directamente proporcional al producto de las dos cargas involucradas. El mdico italiano Luigi Galvani, por accidente, mientras disecaba una pata de rana, su bistur toc accidentalmente un gancho de bronce del que colgaba la pata. Se produjo una pequea descarga y la pata se contrajo espontneamente. Esto lo llev a concluir, a travs de muchas experiencias, que aplicando una pequea corriente elctrica a la mdula espinal de una rana, se producan grandes contracciones musculares en los miembros de la misma. Estas descargas podan lograr que las patas saltaran igual que cuando el animal estaba vivo. Otro italiano, Alessandro Volta, construy una pila electroqumica que estaba conformada por pares de discos de zinc y plata separados por tela o papel empapados en salmuera, si se colocaba la mano en cualquiera de sus extremos se tena la sensacin de un flujo de corriente recorriendo el cuerpo. En 1800 Volta demostr que existe una corriente estable en un camino cerrado y 54 aos despus de su muerte se le recuerda dndole oficialmente el nombre de volt a la unidad de fuerza electromotriz. Faraday realiz numerosas contribuciones, entre ellas la jaula que lleva su nombre, por medio de la cual se demostr en la prctica la teora de la esfera de Joseph Priestley , tambin desarroll teoras sobre las lneas de fuerza elctrica. Andr-Marie Ampre denomin todos estos estudios con el nombre de Electrosttica y durante 1820 defini la corriente elctrica y concibi medios para medirla. En 1881 fue honrado dando su nombre a la unidad de corriente elctrica. Alrededor de 1840, James Prescott Joule y el cientfico alemn Hermann von Helmholtz demostraron que los circuitos elctricos cumplen la ley de conservacin de la energa y que, por lo tanto, la electricidad es una forma de energa.

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Introduccin

El fsico matemtico britnico James Clerk Maxwell, realiz una contribucin importante al estudio de la electricidad. Maxwell investig las propiedades de las ondas electromagnticas y las de la luz, concluyendo que ambas tienen la misma naturaleza. Su trabajo abri el camino al fsico alemn Heinrich Hertz, quien en 1886, transmiti y detect ondas elctricas en la atmsfera. Posteriormente, en 1896, el ingeniero italiano Guglielmo Marconi emple esas ondas para producir el primer sistema prctico de seales de radio. La teora de los electrones, que forma la base de la teora elctrica moderna, fue presentada por el fsico holands Hendrik Antoon Lorentz en 1892. El primero en medir con precisin la carga del electrn fue el fsico estadounidense Robert Andrews Millikan, en 1909. El uso generalizado de la electricidad como fuente de energa se debe, en gran medida, a ingenieros e inventores pioneros como Thomas Alva Edison, Nikola Tesla o Charles Proteus Steinmetz.

1.2.2. Carga elctrica, corriente elctrica y voltaje Carga elctricaLa carga es la unidad fundamental de la energa elctrica y, por definicin, se establece que es indivisible. La carga elctrica es una propiedad intrnseca de algunas partculas subatmicas y se manifiesta mediante movimientos de atraccin o repulsin. Existen dos tipos de carga, una negativa, la cual se denomina electrn, y una carga positiva que se denomina protn, tal y como se muestra esquemticamente en la figura 1. Tambin existe un elemento neutro el cual se llama neutrn. En la naturaleza se pueden encontrar electrones libres como cargas negativas, pero no se pueden encontrar protones libres como cargas positivas, la carga positiva, en forma natural, se denomina ion positivo o catin y es un tomo al cual le falta uno o varios electrones. En condiciones normales la materia es elctricamente neutra, esto cambia cuando las partculas empiezan a ceder o ganar electrones, cargndose positivamente en el primer caso y negativamente en el segundo.

Figura 1. Representacin de las cargas elctricas.

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Introduccin

El smbolo de la carga ser Q o q, la letra mayscula se utiliza para denotar cargas constantes y la minscula para cargas que varan en el tiempo. Este tipo de notacin se utilizar a travs del curso. La unidad de carga es el coulomb denotado por la letra C, el electrn es la unidad de carga elemental y tiene un valor de e- = 1,602 x 10-19 C.

Corriente ElctricaCuando cargas (electrones libres) se mueven a travs de los tomos de un conductor de un punto a otro, se dice que a travs de este conductor esta pasando una corriente elctrica. Por lo tanto, se puede definir una corriente elctrica como el flujo o movimiento de partculas cargadas en una direccin determinada, si la carga es transferida a razn de 1 coulomb por segundo, se dice que la intensidad de la corriente es de 1 ampere ( 1A = 1C/s ). En forma general la intensidad instantnea de corriente se define en la ecuacin (1.1).i (t ) = Integrado la ecuacin (1.1) se obtiene: dq dt(1.1)

t

t0

i ( )d = t t0

q (t )

q ( t0 )

dq = q (t ) q(t0 )(1.2)

q (t ) = i ( )d + q(t0 )

En la definicin de corriente elctrica dada en la ecuacin (1.1) se puede observar, que ella se define como una funcin en el tiempo, por lo tanto existen muchos tipos de corriente elctrica, los que comnmente se utilizan son los siguientes: Corriente Directa, CD (DC, por si siglas en ingls). Esta es la corriente elctrica utilizada en la mayora de los circuitos electrnicos y su caracterstica es que la direccin del flujo de corriente se mantiene en un solo sentido. Corriente alterna (AC), es la corriente utilizada en la mayora de las aplicaciones industriales, comerciales y domsticas. La direccin del flujo de la corriente vara de sentido en forma peridica, generalmente de manera sinusoidal. Corrientes exponenciales y subamortiguadas las cuales son producidas principalmente cuando se opera un interruptor asociado a un circuito que se encuentra energizado.

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Introduccin

Voltaje o tensin elctricaPara poder mover las cargas en un conductor de una forma ordenada, como una corriente elctrica, es necesario aplicar una fuerza externa llamada fuerza electromotriz (FEM), la cual ejerce un trabajo sobre las cargas. El voltaje en un campo elctrico (tambin denominado diferencia de potencial o tensin elctrica) es, por definicin: El trabajo o energa necesaria para mover una carga elctrica de un punto a otro, ya sea en contra o a favor de las fuerzas del campo donde la carga se encuentra, esta relacin se expresa en la ecuacin (1.3). Un volt corresponde al trabajo de un joule al desplazar un coulomb de carga de un punto a otro dw v(t ) = (1.3) dq Para representar el voltaje se tomar la letra V o v de la misma manera que se tom para las cargas, es decir V para voltajes constantes y v para voltajes que varen en el tiempo. Tambin ser utilizada una convencin de polaridad + como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Representacin de la convencin polaridad del voltaje en un elemento elctrico.

de la

En relacin con la figura 2, se puede decir lo siguiente: la terminal positiva est a v volts por encima de la terminal negativa. en trminos de trabajo, para mover una unidad de carga (1 C) desde la terminal negativa hacia la positiva se necesitan v joules de trabajo. tambin se puede decir que ocurre una cada de voltaje cuando la carga se mueve del terminal positivo al negativo y una elevacin cuando la carga tiene el movimiento contrario. Se puede concluir que el voltaje siempre se mide entre dos puntos y, adems, es totalmente factible que exista una tensin elctrica sin que exista una corriente elctrica asociada.Direccin de la corriente

Por convencin se ha tomado como sentido positivo de la corriente, el inverso del sentido de las cargas negativas, tal y como se muestra en la figura 3. Esto se debe a que al principio de las investigaciones sobre electricidad se pensaba que la corriente viajaba de lo positivo hacia lo negativo, ahora se sabe que en los conductores metlicos la corriente es el movimiento de los electrones que son atrados fuera de sus rbitas, contrario a lo que se haba establecido. Se sigue utilizando esta direccin por razones histricas y adems porque es, en general, la aceptada.

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Introduccin

Figura 3. Sentido de la corriente elctrica tomado por convencin como direccin opuesta a la direccin del movimiento de las cargas elctricas.

Para entender mejor estos conceptos obsrvese la figura 4, en donde se muestran dos corrientes equivalentes. En (a) se tiene una corriente que tiene sentido contrario al de la convencin ya que las cargas tienen un movimiento que parten de un terminal negativo a uno positivo, esta es la forma en que se mueven los electrones, por lo tanto esta corriente tiene un valor negativo, por otro lado en la parte (b) se tiene una corriente que va de un terminal positivo a uno negativo por lo tanto esta corriente cumple con la convencin y, por lo tanto, tiene un valor positivo.

Figura 4. Corrientes equivalentes en donde la direccin y el signo son parte de la definicin de la corriente.

Cuando una corriente elctrica pasa por un elemento elctrico, la corriente se representa por una letra i o I dependiendo de s es una corriente variable o constante en el tiempo, adems, es necesario trazar una flecha que identifique el sentido de la misma, tal y como se muestra en figura 5.

Figura 5. Representacin de una corriente elctrica a travs de un elemento elctrico.

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Introduccin

1.2.3. Elemento elctrico, circuito elctrico y teora de circuitos Elemento elctricoPara definir correctamente elemento elctrico, desde el punto de vista funcional, se debe considerar tanto el voltaje, como la corriente. Un elemento elctrico es un dispositivo de dos o ms terminales que pueden estar conectadas con otros elementos entre s y que tiene, como funcin, procesar energa elctrica.

Circuito elctricoEl circuito elctrico es la ruta por donde circula una corriente elctrica. El trmino se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y elementos elctricos. Un circuito de este tipo se denomina circuito cerrado, sin el trayecto no es continuo se denominan circuito abierto. El propsito fundamental de un circuito elctrico es mover o transferir cargas a lo largo de trayectorias especficas. Un circuito elctrico es un conjunto de elementos elctricos conectados de una manera especfica que interactan entre s para procesar informacin o energa. Un circuito elctrico puede describirse matemticamente por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias, que pueden ser lineales o no lineales, variantes o invariantes en el tiempo. Para facilitar el estudio de los circuitos elctricos, los elementos se conectan a travs de sus terminales directamente o por medio de conductores ideales, en la figura 6 se muestra, como ejemplo, dos dibujos del mismo circuito.

Figura 6. Dos diagramas que representan el mismo circuito elctrico.

La diferencia entre los dos dibujos mostrados en la figura 6 radica en el hecho de ser, el circuito de la izquierda, ms claro y por lo tanto resulta ms fcil introducir representaciones de corrientes y voltajes. En cuanto al comportamiento elctrico de ambos circuitos no vara en nada entre un dibujo y otro, ya que no ha sido variada ni la estructura del circuito ni los componentes involucrados.

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Teora de circuitosLa Teora de Circuitos es una herramienta matemtica que permite calcular la tensin y la corriente elctrica en los elementos de un circuito. Esta teora no se involucra con los fenmenos que acontecen al interior de los dispositivos, sino que utiliza modelos y leyes fsicas para conocer el valor de las variables del circuito. La Teora de Circuitos se puede utilizar tanto para anlisis como para sntesis de circuitos, en el entendido de que: Anlisis de circuitos corresponde a conocer el comportamiento de un circuito dada una estructura (topologa). Sntesis de circuitos, es determinar la estructura de un circuito dado un comportamiento. La tcnica de sntesis cobra especial relevancia en el campo del diseo.

1.3. Potencia y energaEn esta seccin se van a introducir dos conceptos de gran importancia en la ingeniera elctrica: energa y potencia. Estos conceptos estn unidos estrechamente en temas de diseo, anlisis de costos, auditoras energticas, anlisis de eficiencia de procesos y otros ms.

1.3.1. PotenciaLa potencia es una medida de la cantidad de trabajo realizada en un perodo de tiempo determinado, es, por lo tanto, una medida de la velocidad con la que se realiza un trabajo. El trabajo puede ser el necesario para convertir energa de una naturaleza fsica a otra, por ejemplo: de mecnica a elctrica, de elctrica a mecnica, de elctrica a calrica, de trmica a elctrica, etc. Como la potencia es trabajo por unidad de tiempo (ecuacin (1.4)), entonces la unidad de la potencia en el SI es joules/segundo que se define como watt, por lo tanto, 1W =1J/s p= donde p, es la potencia en watts, (W). w, es la energa en joules, (J). dw dt(1.4)

t , es el tiempo en segundos, (s).

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Adems, como el voltaje se haba definido en (1.3) como, v= donde v, es el voltaje en volts, (V).q, es la carga en coulombs, (C). Sustituyendo (1.5) en (1.4) se tiene que la potencia que proporciona o que se le entrega a un circuito elctrico est en trminos de la corriente y el voltaje, segn se presenta en la ecuacin (1.6) dw dw dq p= = = v i (1.6) dt dq dt donde i, es la corriente en amperes, (A).

dw dq

(1.5)

1.3.2. EnergaSe dijo que la potencia es la velocidad con la que se hace el trabajo de convertir energa de una forma a otra, por lo tanto, es necesario hablar de un perodo de tiempo durante el cual se hace esa conversin, entre ms tiempo, mayor ser la energa suministrada o disipada. Por lo tanto, la energa que pierde o gana cualquier sistema viene dada por la ecuacin (1.7), cuyas unidades estn en watt segundo. Sin embargo, para muchas aplicaciones de la ingeniera elctrica, especialmente en mediana y alta tensin, la unidad watt segundo (Ws) es pequea por lo que tambin se utiliza, como unidad de energa el kilowatt hora (kWh).

w(t ) = p ( )d + w(t0 )t0

t

(1.7)

Para tener una idea del orden de magnitud del kWh, se puede indicar que 1 kWh es la energa que consume un bombillo de 100 W en un perodo de 10 h. Como dato adicional, es importante mencionar que los medidores elctricos ubicados en las acometidas residenciales, comerciales o industriales, miden el consumo de energa en kWh.

1.3.3. Convencin pasiva de signosSi el valor de potencia asociado a algn elemento tiene signo negativo, indica que este elemento esta entregando energa al circuito al cual se encuentra conectado, como ejemplo se puede observar un automvil durante el arranque, la batera se encuentra entregando energa al circuito elctrico de arranque por lo que el valor de potencia asociado a esta batera lleva, en este caso, un signo negativo, mientras que el valor de potencia asociado al motor elctrico de arranque tiene signo positivo. Este concepto se puede entender ms fcilmente con la figura 7.

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Figura 7. Diferentes configuraciones que indican si un elemento absorbe o entrega potencia.

En la figura 7 se puede observar cuatro tipos diferentes de relaciones corriente voltaje, en la parte (a) el elemento esta absorbiendo energa, una corriente esta entrando por la terminal positiva, o lo que es lo mismo, una corriente esta saliendo por una terminal negativa; en la parte (b) una corriente esta entrando por una terminal negativa o saliendo por una terminal positiva, este elemento est entregando energa en ambos casos. Se puede decir que un elemento tpico como el mostrado en la figura 8, est absorbiendo potencia; pero si cambia ya sea la polaridad del voltaje o la direccin de la corriente, el elemento estara entregando potencia.

Figura 8. Un elemento puede absorber o entregar potencia dependiendo de la polaridad del voltaje y de la corriente.

1.4. Elementos de circuitos1.4.1. Activos y PasivosElementos activos

Se dice que un elemento es activo, si es capaz de entregar o generar energa, tal y como se muestra en la figura 9. Estos elementos generalmente se les conocen como fuentes de energa y las ms conocidas son las bateras y los generadores.

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Introduccin

Figura 9. Elemento Activo, en el cual la corriente entra por la Terminal negativa y sale por la positiva.

Elementos pasivos

Se dice que un elemento es pasivo, si solo es capaz de recibir o absorber potencia. Siguiendo la convencin de signos, un elemento pasivo se puede representar como en la figura 10.

Figura 10. Elemento Pasivo, en el cual la corriente entra por la terminal positiva negativa y sale por la negativa.

1.4.2. Fuentes IndependientesEntre los elementos ms importantes de un circuito se encuentran las fuentes independientes de tensin (voltaje), e intensidad (corriente). Su importancia radica en que generalmente son las que entregan a todo el circuito la energa suficiente para que realicen las funciones para las que fue construido, por lo que todo circuito posee, en general, al menos una fuente independiente. Una fuente es un elemento activo que, en general, suministra energa, por lo tanto una fuente ideal es aquella que es independiente de cualquier otra variable. Una fuente verdaderamente independiente no es fsicamente realizable, pero su modelo ser de gran utilidad. Fuente independiente de voltaje En este elemento el voltaje es, en el caso ideal, independiente de la corriente que pasa por sus terminales, por lo tanto, en teora, este elemento podra entregar una potencia infinita. La figura 11 muestra el comportamiento de una fuente independiente de voltaje con un comportamiento ms real. Una fuente de voltaje independiente puede ser positiva o negativa, tambin puede ser constante o variable con el tiempo. La figura 12 muestra los smbolos normalmente utilizados para representar este tipo de fuentes.

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Introduccin

Figura 11. Fuente que suministra una tensin constante de magnitud Vo volts, para una corriente de hasta im amperes. Para

0 < i < im ,

esta fuente se comporta

como una fuente independiente de voltaje.

Figura 12. Smbolos para una fuente de voltaje independiente ideal.

Fuente independiente de corriente

Una fuente independiente de corriente ideal es un elemento que proporciona una corriente especfica completamente independiente de la tensin entre sus terminales. Este tipo de fuente, en teora, tambin podra tambin entregar una potencia infinita. En la figura 13 se aprecia el comportamiento de una fuente ms real. En la figura 14 se presenta el smbolo normalmente utilizado para representar este tipo de fuentes ideales, donde la flecha indica la direccin de la corriente.

Figura 13. Fuente independiente de corriente que suministra una corriente constante para cualquier voltaje mayor que Vm.

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Figura 14. Smbolo de la fuente independiente de corriente ideal. La flecha indica el sentido de la corriente.

1.4.3. Fuentes dependientesLa fuente dependiente tambin recibe el nombre de fuente controlada, pues su valor est determinado por un voltaje o corriente presente en algn otro lugar del circuito elctrico. Este elemento se encuentra en muchos circuitos electrnicos especialmente en circuitos equivalentes de dispositivos ms complejos. Son tambin elementos activos ya que entregan potencia.Fuente dependiente de voltaje

Una fuente dependiente de voltaje es una fuente en la que el voltaje entre sus terminales est determinado por un voltaje o una corriente que existe en otro lugar del circuito. En la figura 15 se muestra una fuente dependiente de voltaje, en donde el valor del voltaje de suministro depende de la variable controladora x, que puede ser: una corriente en algn punto del circuito, en cuyo caso se dice que la fuente es del tipo FVCC y que, por lo tanto, m tiene unidades de volts/ampere, o un voltaje en cualquier punto del circuito, en cuyo caso se dice que la fuente es una FVCV, en este caso m tiene unidades de volts/volts.

Figura 15. Fuente dependiente de voltaje

Fuente dependiente de corriente

Una fuente dependiente de corriente es una fuente en la que la corriente de suministro est determinada por un voltaje o una corriente que existe en otro lugar del circuito. En la figura 16 se muestra una fuente dependiente de corriente, en donde el valor de la corriente depende de la variable controladora x, que puede ser: una corriente en algn punto del circuito, en cuyo caso se dice que la fuente es del tipo FCCC y que, por lo tanto, n tiene unidades de ampere/ampere, o un voltaje en cualquier punto del circuito, en cuyo caso se dice que la fuente es una FCCV, en este caso n tiene unidades de ampere/volts.

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Introduccin

Figura 16. Fuente dependiente de corriente.

En el cuadro de la figura 17 se presenta un resumen de las fuentes vistas.

Figura 17. Resumen de fuentes.

1.5. Topologa de RedesLa topologa de redes representa una herramienta de anlisis de circuitos, principalmente til cuando el nmero de elementos que integran el sistema elctrico es alto. Los principios de topologa de redes permiten describir el comportamiento de un circuito elctrico, compuesto por n elementos, a travs de un sistema de n ecuaciones linealmente independientes.

FundamentosTopologa es la rama de la geometra que se ocupa de las propiedades de las figuras geomtricas. En el anlisis de circuitos, la topologa de redes permite estudiar la forma en que los elementos del circuito se relacionan. As por ejemplo, en el circuito de la figura 18, lo que se hace es prescindir del tipo de elemento elctrico y se sustituye por una lnea en la grfica topolgica.

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Introduccin

Figura 18. Ejemplo de Grfica a partir de un circuito elctrico

Antes de explicar la metodologa para construir una grfica a partir de un circuito dado, es necesario exponer algunas definiciones preliminares.

Definiciones preliminares Grfica: es el dibujo de un circuito mostrando los elementos como lneas. Nodo: punto en el cual dos o ms elementos tienen una conexin comn. Rama: trayectoria simple, que contiene o representa un solo elemento del circuito y que conecta un nodo con cualquier otro nodo.

En la grfica de la figura 18, los nodos han sido resaltados utilizando un punto grueso y son un total de 7 nodos. En la misma grfica, se muestran un total de 12 ramas, estas son las lneas que unen a los nodos y es claro que existe una rama por cada elemento del circuito. La tcnica para construir una grfica puede resumirse as:

Identificar y enumerar la cantidad de nodos del circuito, para ello puede utilizarse la tcnica de los contornos como apoyo. Iniciar la confeccin de la grfica ubicando los nodos como puntos en el espacio, es recomendable ubicar cada nodo en la zona donde se encontraba el contorno correspondiente. Unir ahora los nodos con lneas en lugar de elementos elctricos, cada lnea en la grfica debe corresponder a un solo elemento del circuito. Recuerde que debe existir una rama por cada elemento del circuito elctrico inicial.

Es importante aclarar, que no existe una forma especfica para la grfica de un circuito; por ejemplo, para la red de la figura 18 se muestra una posible grfica en la figura 19. Lo que hace equivalente a las grficas mostradas, es que existen el mismo nmero de nodos, de ramas y que las conexiones entre ellos son las mismas.

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Introduccin

Figura 19. Ejemplo de Grfica equivalente para el circuito en la figura 10.

Definiciones ComplementariasLas siguientes definiciones tienen asociados algunos ejemplos que hacen referencia a la figura 20.

Figura 20. Circuito elctrico y su grfica lineal

Trayectoria: conjunto de ramas que pueden ser atravesados en orden sin pasar a travs de un mismo nodo dos veces. Son ejemplos de trayectorias {1-2} y {1-2-3-54}, mas no lo es {1-2-4-2-3}. Lazo o trayectoria cerrada. Conjunto de ramas que pueden ser atravesadas en orden sin pasar a travs de un mismo nodo dos veces exceptuando el primer y ltimo nodo, el cual debe ser el mismo. Son ejemplos de trayectorias cerradas {1-23-1} y {1-2-4-5-3-1}. Malla: lazo que no contiene ningn otro lazo dentro de l. Es un ejemplo de malla {1-2-3-1}, pero {1-2-4-5-3-1} no lo es. Circuito plano: circuito que se puede dibujar sobre una superficie plana, de tal forma que ninguna rama pase por encima o por debajo de ninguna otra. La figura 19 muestra un circuito plano. Circuito no plano: cualquier circuito que no es plano. La figura 18 muestra un circuito no plano. rbol: cualquier conjunto de ramas que no contiene ningn lazo, pero que conecta todos los nodos directa o indirectamente. La palabra cualquier fue resaltada para sugerir que se pueden dibujar varios rboles diferentes a partir de una misma grfica. En la figura 21 a) y b) se muestran algunas posibilidades de rboles (ramas

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Introduccin

en lnea gruesa) para la grfica de la figura 19. Las ramas resaltadas en grueso en c) y d) no satisfacen la definicin de rbol. El nmero de ramas de un rbol cumplen la ecuacin (1.8).

ra = n 1donde n es el nmero de nodos del circuito y ra el nmero total de ramas del rbol.

(1.8)

Figura 21. a) rbol posible b) rbol posible c) no satisface la definicin de rbol d) no satisface la definicin de rbol.

Co-rbol: es la parte del grfico que no pertenece al rbol. Es importante anotar que existe un co-rbol especfico segn el rbol que se dibuje para una determinada grfica. En la figura 21 a) y b), el co-rbol respectivo para cada rbol se muestra en color gris. Eslabn: es cualquier rama que pertenezca al co-rbol. El nmero de eslabones cumple la relacin enunciada en la ecuacin (1.9).

e = r ra = r (n 1)donde e es el nmero de eslabones, r es el nmero total de ramas en la grfica inicial, n es el nmero de nodos total y ra es el nmero de ramas de un rbol.

(1.9)

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Circuitos Resistivos

Captulo 2 Circuitos resistivosLos elementos que componen un circuito elctrico tienen caractersticas muy propias de cada uno que los hace individuales aunque, aparentemente, sean idnticos. Sin embargo, en la labor de la ingeniera, ya sea para anlisis, investigacin, mejoras, fabricacin, simulacin, y otras aplicaciones, es necesario contar con modelos matemticos que representen las caractersticas esenciales de dichos elementos. Estos modelos pueden obtenerse con base en las leyes fsicas y qumicas que gobiernan su comportamiento, o bien en base a pruebas experimentales. La ley de Ohm es un ejemplo tpico de esta segunda forma de modelar el comportamiento de un elemento.

2.1. La ley de Ohm y la resistencia elctricaEn 1827 el fsico alemn Georg Simon Ohm (1787-1854), basado en sus experimentos enunci, en un artculo titulado "El circuito galvnico investigado matemticamente", que el voltaje en las terminales de un conductor es directamente proporcional a la corriente que fluye a travs del mismo. Este enunciado, reconocido muchos aos despus como la ley de Ohm, es una propiedad especfica de ciertos materiales y no una ley general del electromagnetismo y ella se expresa por (2.1)v = iR(2.1)

Donde R es la constante de proporcionalidad, denominada resistencia elctrica, cuya unidad es el ohm, representada por la letra griega omega mayscula, (). De acuerdo con la ecuacin (2.1) se define la relacin entre unidades dada por (2.2).

=

V A

(2.2)

2.1.1. La Resistencia ElctricaLa resistencia elctrica, R, de una sustancia, define la propiedad de esa sustancia a la oposicin que encuentra la corriente elctrica para recorrerla. La materia presenta cuatro estados en relacin al flujo de electrones y todos ellos se definen por el grado de oposicin a la corriente elctrica. Estos son: Conductores, Semiconductores, Resistores y Dielctricos.

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Existen adems ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenmeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prcticamente nulo. La definicin dada anteriormente es vlida tanto para corriente directa, como para corriente alterna, siempre y cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes, la oposicin presentada a la circulacin de corriente recibe el nombre de impedancia, en vez de resistencia, pero esto es tema de cursos posteriores.Smbolo El smbolo de la resistencia se presenta en la figura 1(a) y en la figura 1(b) se muestra la caracterstica de voltaje corriente. De la figura 1b, se observa que, al ser R constante, se obtiene como grfica una lnea recta, por esto a la resistencia se le denomina tambin resistencia lineal.

Figura 1. (a) Smbolo de una resistencia de valor R. (b) Caracterstica I-V.

Potencia en una resistencia Teniendo en cuenta la convencin pasiva de signos, la corriente entra por la terminal de mayor potencial y sale por la de menor potencial, esto indica que este elemento consume energa y la energa perdida la refleja en forma de calor, la razn de cambio de disipacin de energa, representada por la potencia instantnea, viene dada por (2.3). p = v i = i2 R = v2 R(2.3)

donde p, es la potencia en watts. v, es el voltaje en volts. i, es la corriente elctrica en amperes. Es importante mencionar que, en todo caso, la corriente mxima que puede circular por una resistencia viene condicionada por la mxima potencia que puede disipar su cuerpo.

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2.1.2. La Resistencia RealLa literatura define como resistor al componente electrnico diseado para introducir una resistencia elctrica determinada, entre dos puntos de un circuito. Sin embargo, es muy comn que este dispositivo tambin sea llamado con el nombre de resistencia. En el caso de planchas elctricas, cocinas elctricas, hornos elctricos convencionales, calentadores, etc., se utiliza la propiedad resistiva de los materiales con el nico propsito de generar calor, como consecuencia del efecto Joule1. Como la resistencia elctrica es producto de las colisiones de los electrones con otros electrones y con los tomos del material respectivo, se va a decir que la magnitud de la resistencia elctrica de un cuerpo, por el que circula una corriente elctrica, est determinada por los siguientes cuatro factores: La temperatura del cuerpo. El tipo de material. La longitud del cuerpo que atraviesa la corriente elctrica. El rea transversal por donde circula el flujo de electrones. El valor de la resistencia elctrica a 20 C viene determinada por la ecuacin (2.4), R= l A(2.4)

donde, es la resistividad elctrica, ( m ) y la cual ser tratada ms adelante, l es la longitud del conductor, (m). A es el rea transversal al flujo de electrones, (m2).Efecto de la temperatura En algunos materiales, especialmente metales, si la temperatura se incrementa la resistencia tambin se incrementa, pues debido al mayor movimiento de las partculas dentro de la estructura molecular, hace ms difcil el paso de los electrones libre. Sin embargo, algunos materiales tienen un comportamiento inverso, como el caso del carbn, material del cual estn construidos la mayora de los resistores para aplicaciones electrnicas.

1

Si en un conductor circula electricidad, parte de la energa cintica de los electrones se transforma en calor debido al choque que sufren los electrones con las molculas del conductor por el que circulan, elevando as la temperatura del mismo; este efecto es conocido como efecto Joule en honor a su descubridor el fsico britnico James Prescott Joule.

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El fenmeno de la superconductividad es un ejemplo de la forma en que afecta la temperatura en la resistencia elctrica; por ejemplo el mercurio a una temperatura de 4 K produce este fenmeno elctrico. La ecuacin (2.5) representa la relacin que existe entre la resistencia de un material a 20 grados Celsius, R20 y el valor de esa resistencia a una temperatura RT. El valor T es el incremento o decremento de la temperatura en relacin con 20 C y al parmetro se le denomina coeficiente olveriano. Algunos valores de este coeficiente se muestran en (2.6).

RT = R20 (1 + T ) Oro = 0, 0034 C1 Plata = 0, 003 8 C1 Aluminio = 0, 00391 C1 Cobre = 0, 003 93 C1

(2.5)

(2.6)

Resistividad elctrica La resistencia elctrica depende del material pues ella es una propiedad asociada a la estructura molecular. A esta propiedad se le conoce como resistividad elctrica, denotada con la letra griega rho minscula (). Para el SI, las unidades de vienen dadas en m , sin embargo, dependiendo de las tablas utilizadas, estas unidades pueden variar pues utilizan otros sistemas de unidades, segn de donde provenga la informacin. Adems, considerando las dimensiones de los conductores, utilizar el m2 como unidad de rea transversal resulta un poco inconveniente. En la expresin (2.7), se presentan valores de resistividad elctrica para algunos materiales utilizados como conductores. La seleccin de ellos depende del costo, de su maleabilidad, ductibilidad y comportamiento respecto a la temperatura. Plata = 1, 645 106 cm

Cobre = 1, 723 106 cm Oro = 2, 443 106 cm Aluminio = 2,825 106 cm

(2.7)

Alambres circulares Para el rea de sistemas de potencia, mquinas elctricas, diseo y construccin de sistemas elctricos, entre otros, es conveniente conocer la forma que la industria trata el tema de la resistencia elctrica en los alambres de rea transversal circular. Para este caso, si el dimetro del crculo d est dado en milsimas de pulgada (mil), entonces, de acuerdo a la ecuacin (2.8), el rea del crculo tendr unidades de milsimas de pulgada cuadradas (mil2). d2 (2.8) A= 4

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Si se define como CM, mil circular, el rea de un conductor que tenga de dimetro una milsima de pulgada (1 mil), esto se representa mediante la ecuacin (2.9). 1 CM= De (2.9) se desprende que1 mil2 = Sustituyendo (2.10) en (2.8)d2 d2 4 2 A= mil2 A = CM = d CM 4 4 (2.11)

44

(1)

2

= 0, 78 mil2

(2.9)

CM = 1,273 CM

(2.10)

De donde se concluye que, el rea en CM de un cable se obtiene de (2.12), donde d est dado en milsimas de pulgada.

A = d 2 CM

(2.12)

Para el clculo de la resistencia elctrica en conductores de rea transversal circular, la industria utiliza unidades diferentes. La frmula sigue siendo (2.4) y que, por comodidad, se vuelve a escribir en (2.13), pero las unidades de las variables involucradas cambian de la siguiente forma: A, es el rea transversal al flujo de electrones, en CM, es la resistividad elctrica, en CM ft 1 y l es la longitud del conductor, en pies (ft). R= l A(2.13)

Por ejemplo, los valores de resistividad elctrica para el cobre a 20 C es de

= 10,37

CM ft

(2.14)

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2.1.3. Tipos de ResistenciaAdems del fenmeno elctrico de la resistencia, que es inherente a los materiales, es necesario mencionar que, para la ingeniera elctrica, es fundamental el utilizar resistores construidos especficamente para introducir una resistencia elctrica en determinados puntos de un circuito. Estos elementos elctricos, llamados resistores, o simplemente resistencias, pueden ser fijos o variables. Los tamaos relativos de los cuerpos de estos elementos elctricos aumentan si la potencia a disipar por ellos, tambin aumenta.Resistencias Fijas Adems de las resistencias utilizadas para calentadores, que bsicamente funcionan bajo el efecto de Joule, el tipo ms utilizado es el construido de carbn y que en la figura 2 se presenta un ejemplo. Tambin pueden ser resistencias fijas de alta potencia como la mostrada en la figura 3.

Figura 2. Ejemplo de resistencia de carbn.

Figura 3. Ejemplo de resistencia de gran potencia.

Resistencias Variables Estas resistencias pueden variar su valor hmico dentro de unos lmites. Para ello se les ha aadido un tercer terminal unido a un contacto mvil que puede desplazarse sobre el elemento resistivo proporcionando variaciones en el valor de la resistencia. Este tercer terminal puede tener un desplazamiento angular (giratorio) o longitudinal (deslizante). En la figuras 4, 5 y 6 se muestras ejemplos de estos elementos.

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Figura 4. Ejemplo de potencimetro de ajuste fino tipo trimmer.

Figura 5. Ejemplo de potencimetro.

Figura 6. Ejemplo de restato.

Segn su funcin en el circuito, estas resistencias se denominan:Potencimetros Se aplican en circuitos donde la variacin de resistencia la efecta el usuario desde el exterior para controlar voltaje (controles de audio, vdeo, etc.), su smbolo se muestra en la figura 7.

Figura 7. Smbolo del potencimetro.

Trimmers Resistencias ajustables: se diferencian de las anteriores en que su ajuste es definitivo en el circuito donde van aplicadas. Su acceso est limitado al personal tcnico (controles de ganancia, polarizacin, etc.). Su smbolo es igual al del potencimetro.

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Restatos Se usa como resistencia variable en las que uno de sus terminales extremos est elctricamente anulado y su smbolo se muestra en la figura 8. Tanto en un potencimetro como un trimmer, al dejar unos de sus terminales extremos al aire, su comportamiento ser el de un restato, aunque el restato, en general est diseado para corrientes elctricas en sistemas de mediana tensin.

Figura 8. Smbolo del restato.

Otros elementos que utilizan la propiedad de la resistencia elctrica de formas especiales son, por ejemplo, el termistor, el varistor y la pila fotoconductiva, cuyas caractersticas y usos sern tema de estudio en cursos posteriores.

2.2. ConductanciaUn concepto importante y til es la conductancia, la cual se define como el inverso multiplicativo de la resistencia, esto se expresa como (2.15). Su relacin tensin-corriente viene dada, por lo tanto, como (2.16).G=

1 R

(2.15)

i = v G

(2.16)

La ecuacin (2.17) expresa la potencia consumida por una conductancia G.p = i v = v 2G = i2 G(2.17)

La unidad definida por el SI para determinar la conductancia es el siemens, representado por S, sin embargo, en algunas ocasiones se utiliza otra unidad conocida como mho, que hace referencia al inverso de la unidad de la resistencia.

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2.3. Circuito Abierto y CortocircuitoTomando como base la resistencia elctrica, se pueden definir otros dos conceptos importantes para el anlisis de circuitos elctricos. Considerando que el valor de R puede variar entre cero e infinito, se llamar cortocircuito cuando R=0 y circuito abierto cuando R .Circuito abierto Se define como una resistencia infinita, es una interrupcin del circuito por la cual no puede ir o viajar una corriente, independientemente del voltaje que se aplique entre las terminales que lo forman, tal y como se aprecia en la figura 9.

Figura 9. Diagrama elctrico que muestra un circuito abierto.

Corto Circuito Se define como una resistencia de cero ohm, es la conexin ideal entre dos terminales de un circuito y por alta que sea la corriente que atraviese esta conexin, el voltaje sobre sus terminales es cero, esta situacin se muestra en la figura 10.

Figura 10. Diagrama elctrico que muestra un corto circuito.

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2.4. Leyes de KirchhoffCon la ley de Ohm se pueden encontrar los valores de voltaje y corriente para un elemento de un circuito, pero en general los circuitos estn conformados no por uno sino por varios de ellos, interconectados en una red, los cuales estn unidos por conexiones ideales. Estas conexiones ideales permiten el flujo de la corriente de un elemento a otro pero no acumulan energa. Este tipo de redes reciben el nombre de circuito de elementos de parmetros concentrados. Es importante identificar los nodos, as como tambin los lazos (trayectorias cerradas) que se formen a los cuales tambin se les conoce como caminos cerrados. Con estos conceptos se puede entrar a estudiar las tcnicas bsicas para resolver circuitos que contengan varios elementos y caminos, como el mostrado en la figura 11.

Figura 11. Camino cerrado en un circuito.

Para resolver circuitos que contengan ms de una resistencia y una fuente, en 1847 el fsico alemn Gustav Kirchhoff (1824-1887), postul dos leyes que llevan su nombre y que se explican a continuacin.

Leyes de Corrientes de KirchhoffLa primera ley de Kirchhoff se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante".

Para entender mejor esta ley se puede asimilar un nodo como la interconexin de una red de acueducto. En teora de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujo de agua y, los conductores, por la tubera; dentro de los tubos, no se puede acumular el agua, por lo tanto toda la cantidad de lquido que entra en este sistema debe ser la misma que sale, de la misma forma, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale. Este concepto se puede ver grficamente en la figura 12 y la ecuacin (2.18) lo expresa matemticamente.

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in =1

k

n

=0

(2.18)

Figura 12. Circuito que ilustra la LCK.

Leyes de Voltajes de KirchhoffLa segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante".

Para entender mejor esta ley se puede utilizar el marco fsico conservativo como es el gravitacional, donde el desplazamiento de una masa, alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante cero sobre esa trayectoria. La figura 13 ayuda a visualizar este concepto elctrico y la ecuacin (2.19) lo expresa matemticamente.

Vn =1

k

n

=0

(2.19)

Figura 13. Circuito que ilustra la LVK.

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2.5. Elementos en serieSe dice que dos elementos estn en serie si se cumple que: Slo tienen una terminal en comn. Ningn otro elemento est conectado a dicha terminal. Se deduce entonces que la corriente que pasa por cada uno de los elementos en la conexin serie es la misma. Por lo tanto, si se aplica la LVK para una larga cadena de resistencias conectadas en serie se tiene que: vs = v1 + v2 + v3 + + vn Y de acuerdo con la ley de Ohm, para cada elemento: v1 = i R1 ; v2 = i R2 ; ; vn = i Rn(2.21) (2.20)

Sustituyendo (2.21) en (2.20) y sacando a factor comn la corriente i, se obtiene la expresin (2.22). vs = i ( R1 + R2 + R3 + De donde ( R1 + R2 + R3 + + Rn )(2.22)

+ Rn ) se puede remplazar por Req , con lo cual se puede

reducir el circuito a una fuente independiente y una resistencia equivalente, algo que es muy til para simplificar los clculos en la solucin de problemas. La Resistencia Equivalente, Req , es el modelo matemtico de un conjunto de resistencias conectadas bajo ciertas condiciones, o simplemente es la resistencia que se observa entre dos puntos especficos de un circuito

2.6. Elementos en paraleloLa otra conexin fundamental es la conexin en paralelo que se define como la conexin en donde los elementos que la conforman estn conectados al mismo par de nodos y tienen, entre sus terminales, el mismo voltaje. De igual forma que en la conexin en serie, tambin se puede encontrar la resistencia equivalente para varias resistencias conectadas en paralelo. En este caso lo que se tiene en comn es el voltaje en sus terminales, entonces para encontrar la resistencia equivalente se utiliza LCK, tal y como se observa en la figura 14.

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Figura 14. Circuito con elementos en paralelo.

Aplicando la LCK para un grupo de resistencias conectadas en paralelo se tiene que:is = i1 + i2 + i3 + + in(2.23)

Y de acuerdo con la ley de Ohm, para cada elemento:i1 = v v v ; i2 = ; ; in = R1 R2 Rn(2.24)

Sustituyendo (2.24) en (2.23) y sacando a factor comn el voltaje V, se obtiene la expresin (2.25).is = v( 1 1 1 + + + R1 R2 R3 + 1 v )= Rn Req(2.25)

De donde se obtiene la expresin (2.26) para la resistencia equivalente. De esta forma, se puede reducir el circuito a solo una fuente independiente y una resistencia equivalente.( 1 1 1 + + + R1 R2 R3 + 1 1 )= Rn Req(2.26)

2.7. Anlisis de Circuitos de un solo lazoDespus de establecer las leyes bsicas de anlisis de circuitos se comienza ahora con la aplicacin ms elemental de dichas leyes: el anlisis del circuito de un solo lazo. En la figura 15 se observa la conexin en serie de dos bateras y dos resistencias; suponiendo que son conocidos los valores de las resistencias y las fuentes de voltaje, se tratar de calcular la corriente y la potencia de cada elemento.

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Figura 15. Circuito de un solo lazo.

Por definicin, tal y como se mencion anteriormente, se dice que todos los elementos a travs de los cuales circula la misma corriente, estn conectados en serie. Entonces, el circuito de la figura 15 puede ser representado segn se muestra en la figura 16.

Figura 16. Diagrama elctrico correspondiente.

Mtodo de anlisisA continuacin se propone un mtodo que puede facilitar el anlisis de circuitos de un solo lazo. Considere el circuito de la figura 17, el mtodo propone los siguientes pasos.

Figura 17. Diagrama de referencia para explicar el mtodo de anlisis elctrico correspondiente.

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1. Asignar una direccin de referencia para la corriente 2. Elegir los voltajes de referencia en cada resistencia. 3. Aplicar la LVK v1 + vR1 + v2 + vR 2 = 0 4. Aplicar la ley de Ohm vR1 = R1 i y vR 2 = R2 i

(2.27)

(2.28)

5. Despejar la corriente a partir de la ecuacin obtenida v1 + iR1 + v2 + iR2 = 0 i= v1 v2 R1 + R2(2.29)

(2.30)

2.8. Anlisis de Circuitos de un solo par de nodosEn forma paralela al circuito analizado en la seccin anterior, se analizar el circuito con un solo par de nodos, en el cual un nmero cualquiera de elementos simples se conectan al mismo par de nodos, tal y como se muestra en la figura 18. Cada resistencia tiene el mismo voltaje y el quitar o poner resistencias no afecta el voltaje aplicado a las dems. Se dice que los elementos que tienen un voltaje comn, estn conectados en paralelo.

Figura 18. Ejemplo de circuito con un solo par de nodos.

Mtodo de anlisisConsidere el caso particular del circuito de la figura 19, el mtodo propone los siguientes pasos. 1. Suponer un voltaje entre los terminales. 2. Elegir, segn la convencin pasiva de signos, una corriente en cada resistencia. 3. Aplicar la LCK a cualquiera de los nodos del circuito. i1 + iR1 + i2 + iR 2 = 0(2.31)

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4, Calcular la corriente de cada resistencia por medio de la ley de Ohm v v iR1 = e iR 2 = R1 R2 5. Sustituyendo (2.32) en (2.31) y despejando v, se obtiene (2.34). v v i1 + + i2 + =0 R1 R2 v= ( R1 R2 )(i1 i2 ) R1 + R2

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Figura 19. Diagrama de referencia para explicar el mtodo de anlisis elctrico para circuitos un solo par de nodos.

2.9. Divisores de voltajeUna vez comprendidas las conexiones en serie y paralelo, se pueden deducir dos expresiones para facilitar el anlisis de circuitos y ayudar a calcular la respuesta siguiendo un mtodo ms corto. La primera de estas expresiones sirve para encontrar la cada de tensin en una resistencia que est en serie con otras resistencias. Para entenderla mejor, se puede empezar por deducir esta expresin para solo dos resistencias, tal y como se presenta en la figura 20; aplicando LVK, da como resultado la relacin (2.35). v = v1 + v2(2.35)

Figura 20. Circuito que ilustra el concepto de divisor de voltaje.

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Aplicando la ley de Ohm, se obtiene:

v1 = R1i v2 = R2i

(2.36)

Sustituyendo (2.36) en (2.35), se obtiene (2.37). v = R1i + R2i(2.37)

Despejando la corriente, da como resultado (2.38), la cual, sustituyendo por su resistencia equivalente se obtiene (2.39). v i= (2.38) R1 + R2i= v Req(2.39)

El resultado (2.39), con la resistencia equivalente, hace que los dos circuitos sean equivalentes ya que se presenta, entre sus terminales, la misma relacin de voltaje y corriente. Sustituyendo (2.38) en (2.36), se obtienen las relaciones para cada voltaje expresadas en (2.40) y (2.41). R1 v1 = v R1 + R2 R2 v2 = v R1 + R2 (2.40)

(2.41)

Para generalizar este resultado con N resistencias en serie y una fuente de voltaje, el divisor de voltaje para una i-sima resistencia, se puede expresar como (2.42), donde se confirma que el potencial de la fuente se divide entre las resistencias en forma directamente proporcional a la magnitud de ellas.

R vi = i Req

v

(2.42)

2.10. Divisores de corrienteLa segunda de estas expresiones sirve para encontrar la corriente a travs de una resistencia que se encuentra conectada en paralelo con otras resistencias, para entenderla mejor se puede empezar por deducir esta expresin para un solo par de resistencias. Considerando el circuito de la figura 21 se observa como si se aplica la LCK, da como resultado la expresin (2.43).

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i = i1 + i2

(2.43)

Figura 21. Circuito que ilustra el concepto de divisor de voltaje.

Aplicando la ley de Ohm en funcin de las conductancias:

i1 = v G1 i2 = v G2Sustituyendo (2.44) en la ecuacin (2.43), se obtiene (2.45).

(2.44)

i = vG1 + vG2Despejando el voltaje V

(2.45)

v=

i G1 + G2

(2.46)

Sustituyendo (2.46) en (2.44) se genera la expresin (2.47) para las corrientes en cada conductancia. i i1 = G1 G1 + G2 i i2 = G2 G1 + G2 (2.47)

Esto indica que la corriente es proporcional a la magnitud de la conductancia en un circuito en paralelo. La relacin (2.48) expresa la misma relacin en funcin de las resistencias.

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i i1 = R2 R1 + R2 i i2 = R1 R1 + R2

(2.48)

Generalizando este resultado para N resistencias en paralelo y una fuente de corriente, aplicando el divisor de corriente para una i-sima resistencia, da como resultado (2.49), donde se confirma que la corriente se divide entre las resistencias en forma inversamente proporcional a ellas. Req ii = Ri iS (2.49)

2.11. Anlisis de NodosEn este anlisis se emplea la LCK aplicada a los nodos de la red elctrica bajo estudio. Se debe recordar que nodo es la unin de dos o ms ramas. Adems, ser necesario definir un nodo de referencia, el cual permite que el voltaje de los dems nodos est referenciado a este nodo. Es usual elegir el nodo de referencia como el nodo que se encuentra conectado a tierra o el que mayor nmero de elementos tiene conectados. Entonces, una red con n nodos tendr (n-1) nodos con voltaje fijo en relacin al nodo de referencia.

Tcnica GeneralProcedimiento 1. Determinar el nmero de nodos de la red.

2. Elegir un nodo de referencia y realizar una asignacin de los voltajes en cada nodo. 3. Aplicar LCK a los nodos excepto al de referencia, se obtienen (n-1) ecuaciones. Se deber suponer que todas las corrientes desconocidas salen del nodo bajo estudio, sin importar la designacin hecha en otro nodo. 4. Si el circuito tiene fuentes de voltaje, existen dos opciones:

Si la fuente de voltaje est unida al nodo de referencia, entonces el valor del voltaje de ese nodo se obtiene directamente del valor que tenga la fuente. Si la fuente de voltaje est unida a dos nodos, se debe formar un supernodo con los dos nodos que estn conectados a la fuente de voltaje. Los voltajes de nodo asignados no deben cambiarse. El supernodo proporciona dos ecuaciones para el anlisis del circuito:

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o una ecuacin relacionando los voltajes de los dos nodos conectados a la fuente de voltaje o la otra es una ecuacin que resulta de aplicar la LCK al supernodo.

5. Resolver las ecuaciones simultneas y as determinar los voltajes en los nodos.

Tcnica del FormatoA continuacin se presenta el procedimiento para sistematizar el anlisis de nodos, el cual es aplicable si se tienen nicamente fuentes de corriente.Procedimiento 1. Seleccionar un nodo como referencia y denotar los (n-1) nodos restantes con voltajes vi , con i = 1 (n 1) .

2. La columna 1 de cada ecuacin es igual a la suma de las conductancias relacionadas con el nodo bajo estudio multiplicada por el voltaje vi asignado a ese nodo. 3. Los trminos mutuos se restan del primer elemento y se calcula de la siguiente forma: es el valor de la conductancia mutua multiplicada por el voltaje asignado al otro nodo. 4. La columna de la derecha de la igualdad es la suma algebraica de las fuentes de corriente relacionadas con el nodo bajo estudio. El signo ser positivo si la fuente proporciona corriente al nodo. 5. Se resuelven las ecuaciones simultneas determinando as los voltajes en los nodos.

2.12. Anlisis de MallasEn esta seccin se analizar el mtodo llamado Anlisis de Mallas, que se fundamenta en la aplicacin de la ley de Kirchhoff para voltajes (LVK) alrededor de una trayectoria cerrada2. El Anlisis de Mallas3 se puede aplicar solo a redes planas4. La figura 22 muestra como ejemplo una red no plana, sin embargo, existen redes que parecieran no planas pero, luego de alguna modificacin en el grfico, se reduce a una plana. Para aplicar este mtodo se siguen los siguientes procedimientos sistemticos.2 Una trayectoria cerrada se obtiene empezando en un nodo y regresando al mismo sin pasar por un nodo intermedio ms de una vez.

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Una malla es una propiedad de un circuito plano y no existe en un circuito no plano, se define como un lazo que no contiene ningn otro lazo dentro de l.

Un circuito plano se distingue porque es posible dibujar el diagrama del circuito en una superficie plana de tal forma que ninguna rama quede por debajo o por encima de ninguna otra rama.

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Figura 22. Red elctrica no plana.

Tcnica GeneralProcedimiento 1) Dibujar claramente el circuito y asegurarse que es plano.

2) Asignar una corriente distinta en direccin dextrgira a cada malla independiente de la red. La cantidad de corrientes de malla es igual al nmero de ventanas de una red plana. 3) Determinar la polaridad de las resistencias en cada trayectoria, an cuando por una resistencia pueda pasar ms de una corriente de malla. Las fuentes de voltaje tienen asignado el signo en forma explcita. 4) Aplicar la LKV en direccin dextrgira y obtener una ecuacin para cada malla. De aqu resultan tantas ecuaciones de malla como mallas tenga el circuito. En aquellos elementos que forman parte de dos mallas, la corriente que circula por ellos es igual a la diferencia de las corrientes asignadas. 5) Si el circuito tiene fuentes de corriente, existen dos opciones: a) Si la fuente de corriente forma parte de una sola malla, entonces el valor de la corriente de malla asignada a dicha malla se obtiene directamente del valor que tenga la fuente de corriente. b) Si la fuente de corriente forma parte de dos mallas, formar una supermalla, que consiste de las dos mallas de las que la fuente de corriente forma parte y de dicha supermalla obtener dos ecuaciones: Una ecuacin relaciona directamente las dos corrientes de malla con la fuente de corriente y la otra ecuacin se obtiene de aplicar la LVK a la supermalla. c) Aplicar (a) o (b) tantas veces como fuentes de corriente formen parte del circuito. 6) De las mallas que no contienen fuente de corriente se obtiene una ecuacin aplicando la LVK.

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7) Resolver las ecuaciones de malla, la cuales son independientes, ya que ninguna se puede obtener en funcin de la otra, de modo que si el circuito tiene n mallas, se tiene un sistema de n ecuaciones con n incgnitas. 8) Una vez que se tienen las corrientes de malla, para cada elemento del circuito se puede obtener la corriente que pasa por ellos, se pueden calcular la diferencia de potencial en sus extremos, y tambin se puede calcular la potencia que consume o absorbe. Es decir, se puede calcular cualquier variable o parmetro elctrico.

Tcnica del FormatoA continuacin se presenta el procedimiento para sistematizar el Anlisis de Mallas y se aplica si el circuito contiene nicamente fuentes de voltaje.Procedimiento 1. Asignar las corrientes de malla en direccin dextrgira.

2. El nmero de ecuaciones es igual al nmero de mallas independientes. El primer elemento de cada ecuacin es igual a la suma de las resistencias por las que pasa esa corriente y se multiplica por la corriente de esa malla. 3. Los trminos mutuos (resistencias por las que pasa una corriente de malla adicional) se restan del primer elemento y se calcula de la siguiente forma: es el valor de la resistencia mutua multiplicada por la otra corriente de malla que pasa por ella. 4. La columna de la derecha de la igualdad es la suma algebraica de las fuentes de voltaje por las que pasa la corriente de malla respectiva. El signo ser positivo si la corriente de malla sale por el terminal positivo de la fuente. 5. Se despejan las corrientes.

Comentarios FinalesPara alcanzar los objetivos propuestas en el curso, se necesita conocer ambos mtodos de anlisis. Para un anlisis ms eficiente de un circuito, se debe considerar lo siguiente:

Si la red no es plana, no se puede utilizar Anlisis de Mallas. Si el circuito contiene muchos elementos conectados en serie y con predominancia de fuentes de voltaje, entonces se recomienda el Anlisis de Mallas. Si el circuito contiene muchos elementos en paralelo y predominancia de fuentes de corriente, entonces la recomendacin es el Anlisis de Nodos. La idea es reducir el nmero de ecuaciones. Si se necesita conocer los voltajes de los nodos, la recomendacin es Anlisis de Nodos. Si lo que se requiere es conocer corrientes en las ramas o los nodos, el Anlisis de Mallas resulta ser una buena opcin.

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El Circuito de Segundo Orden

Captulo 3 Teoremas y Herramientas3.1. Concepto de LinealidadEn esta unidad se estudiarn diferentes herramientas y teoremas que, apoyados en las propiedades de los sistemas y modelos lineales, facilitar sustancialmente el anlisis de los circuitos lineales. Es un hecho que, para aquellos circuitos no lineales que no tienen ninguna posibilidad de ser linealizados, la problemtica asociada a su anlisis se incrementa sustancialmente.

LinealidadLinealidad de una funcin Una funcin Homogeneidad.

f ( x) es lineal si satisface las propiedades de AditividadAditividad Homogeneidad f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) f ( x) = f ( x)

y

(3.1)

Linealidad de un sistema

El concepto anterior de funcin lineal puede ser extendido a un Sistema Lineal, el cual es un sistema que presenta, en su comportamiento, las propiedades de aditividad y de homogeneidad, la cuales pueden interpretarse, en este caso, de la siguiente forma:

Propiedad de Aditividad: Las salidas del sistema obtenidas para cada entrada actuando por separado, pueden sumarse para obtener el efecto de todas las entradas actuando en conjunto. Propiedad de Homogeneidad: Las salidas del sistema obtenidas a partir de las entradas escaladas en un factor determinado, es correspondiente a escalar, en ese mismo factor, las salidas del sistema obtenidas a partir de las entradas sin escalar.

Elemento lineal

Un elemento pasivo cuya relacin voltaje-corriente satisface las propiedades de aditividad y homogeneidad se le conoce como elemento lineal. Por ejemplo, en un resistor ideal la propiedad de homogeneidad permite asegurar que, si se multiplica la corriente que

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fluye a travs del elemento por una constante , entonces el voltaje entre las terminales de ese elemento queda a su vez multiplicado por la misma constante .Fuente dependiente lineal

Es una fuente dependiente cuya salida es proporcional, nicamente, a la primera potencia de la variable que la controla (o variables que la controlan). Por ejemplo, Fuentes de voltaje dependientes lineales:v f = 4i2 16v3 if = 1 Fuentes de voltaje dependientes no lineales:2 v f = 5i2

( 8 )i

x

v f = 0, 6i2 v3Circuito lineal

Se define un circuito lineal como un circuito que est compuesto nicamente de: fuentes independientes, fuentes dependiente lineales y elementos lineales.

En un circuito lineal, la multiplicacin de todas las fuentes independientes de corriente y de voltaje por una constante aumenta todas las respuestas de corriente y de voltaje en el mismo factor (esto incluye la salida de las fuentes dependientes de voltaje o de corriente).

3.2. Teorema de SuperposicinUna propiedad de la linealidad de los sistemas es la Superposicin y resulta de considerar las propiedades de aditividad y homogeneidad juntas. El Teorema de Superposicin se enuncia como: En cualquier circuito resistivo lineal que contenga dos o ms fuentes independientes, cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse como la suma algebraica de todos los voltajes o corrientes individuales originados por cada fuente independiente actuando por s sola, es decir, con todas las dems fuentes independientes apagadas.

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El trmino apagar las fuentes es lo mismo que decir llevarlas a cero, de tal forma que al eliminar una fuente de voltaje se est diciendo que la diferencia de potencial entre las dos terminales del elemento, es igual a cero, esto es un cortocircuito. As mismo, el trmino apagar una fuente independiente de corriente es lo mismo a decir, que entre los terminales pasa una corriente elctrica igual a cero, en otras palabras se tendra un circuito abierto. Ambos conceptos se muestras grficamente en figura 1.

Figura 1. Significado del trmino apagar fuentes independientes

Si en un circuito existe n fuentes independientes, el Teorema de Superposicin permite estudiar su comportamiento en n casos separados, donde, en cada caso, solo est activa una fuente independiente. Observe que las fuentes dependientes se mantienen activas en todos los n casos. Tampoco hay razn para que una fuente slo pueda, en los diversos casos, tomar nicamente su valor dado, o un valor de cero. Es como considerarla una fuente parcialmente activa; lo nico que se necesita es que la suma de todos los valores que tome sea igual a su valor total. Como todos los circuitos que se han estudiado hasta el momento son lineales, entonces el Teorema de Superposicin puede ser aplicado a cualquiera de los circuitos anteriormente explicados.

3.3. Teoremas de Thvenin y NortonEl concepto de redes de dos terminales equivalentes indica que cuando se aplica una tensin idntica sobre los terminales, se obtiene una corriente idntica a travs de ellos. La simplificacin de circuitos en paralelo y serie, con resistencias equivalentes son ejemplos sencillos de este concepto. Los teoremas de Thvenin y Norton pueden ser considerados generalizaciones de estos conceptos. El primero, ingeniero francs, y el segundo, cientfico estadounidense, demostraron que cualquier circuito lineal tiene un circuito equivalente, compuesto de una resistencia equivalente y una fuente independiente; como se muestra en la figura 2.

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Figura 2. Diagrama elctrico para representar el concepto de circuito equivalente.

El bloque mostrado en la figura 2 y denominado circuito lineal, puede tener cualquier nmero de resistencias y fuentes, no importa si son dependientes o independientes, lo importante es que si a cualquiera de los tres circuitos se le conecta la misma carga (que puede ser una resistencia de carga u otro circuito), tanto el voltaje v entre sus terminales como la corriente i que circule por estos deben ser idnticos. Por lo tanto, el problema radica en encontrar los valores apropiados de vth y Rth , o bien iN y RN . Del circuito de la figura 3a se obtiene (3.2), donde Voc se denomina voltaje de circuito abierto. vth = Rth i + voc(3.2)

Figura 3. Circuitos equivalentes, en circuito abierto entre las terminales de inters.

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Pero, al estar en circuito abierto, la corriente i = 0 , de donde se obtiene (3.3), que indica que la fuente de tensin independiente en el circuito equivalente Thvenin tiene el valor del voltaje de circuito abierto voc . vth = voc Por otra parte, de la figura 3.b, se obtiene voc = RN iN(3.4) (3.3)

Sustituyendo (3.4) en (3.3), se obtiene una expresin para el voltaje de Thvenin en funcin de los parmetros del circuito equivalente de Norton. vth = RN iN(3.5)

Si los terminales a y b de los circuitos equivalentes de la figura 2 se dejan en corto circuito ( R = 0 ), entonces ellos toman la forma mostrada en la figura 4.Aplicando la ley de Ohm al circuito de la figura 4a, se obtiene (3.6), donde isc se denomina corriente de corto circuito.

Figura 4. Circuitos equivalentes, en corto circuito entre las terminales de inters.

isc =

vth Rth

(3.6)

De la figura 4b, es posible deducir que toda la corriente de suministro, iN , se drenar por el corto circuito, i.e., iN = isc (3.7)

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Entonces, sustituyendo (3.7) en (3.6), se obtiene la siguiente expresin, que representa la relacin entre la corriente de Norton en trminos de los parmetros del circuito equivalente de Thvenin. iN = vth Rth(3.8)

Despejando vth de (3.8) y sustituyndolo en (3.5) se encuentra que vth = RN iN = Rth iN(3.9)

Por lo tanto, se demuestra que la resistencia en serie del circuito equivalente Thvenin es idntica a la resistencia en paralelo del circuito equivalente de Norton, esto es, RN = Rth Sustituyendo (3.3) y (3.7) en (3.8), se obtiene que Rth = RN = voc isc(3.11) (3.10)

Procedimiento General1) Identificar las dos terminales de la red a la cual se le determinar el circuito equivalente. 2) Dependiendo de la presencia de fuentes independientes y dependientes, determinar la Resistencia Equivalente segn los tres casos expuestos a continuacin. a) Caso 1: En presencia nicamente de Fuentes Independientes. i) Mtodo 1: Si la red no es muy compleja. (1) Igualar a cero todas las fuentes independientes de la red. (2) Utilizando mtodos de reduccin de circuitos sencillos, se calcula la resistencia equivalente, Rth o RN , vista desde las terminales identificadas en el punto 1. Si se tienen fuentes de tensin y corriente reales, las resistencias internas de las fuentes se deben mantener. ii) Mtodo 2: Si la red es de topologa compleja. (1) Mantener encendidas las fuentes independientes y calcular la Rth = RN utilizando la expresin (3.11)

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b) Caso 2: En presencia de Fuentes Independientes y Dependientes. i) Mtodo 1: (1) Mantener encendidas las fuentes independientes y calcular la Rth = RN utilizando la expresin (3.11). ii) Mtodo 2: (1) Apagar las fuentes independientes. (2) Se conecta, entre los terminales definidos en el punto 1, una fuente independiente de corriente I o = 1 A y se determina el valor de voltaje Vo entre esas terminales, luego se halla la resistencia equivalente a partir de la siguiente ecuacin1, V V Rth = 0 = 0 = V0 (3.12) I0 1

c) Caso 3: En presencia nicamente de Fuentes Dependientes. i) No apagar las fuentes dependientes. ii) Se conecta, entre los terminales definidos en el punto 1, una fuente independiente de corriente I o = 1 A y se determina el valor de voltaje Vo entre esas terminales, luego se halla la resistencia equivalente a partir de la ecuacin (3.12). 3) Regresar todas las fuentes a su valor original y determinar, ya sea, a) El voc entre las dos terminales identificadas en el punto 1, esta tensin es vth , o bien, b) La isc entre los dos terminales identificados en el punto 1, esa corriente es iN . 4) Dibujar el circuito buscado, ya sea a) El Circuito Equivalente de Thvenin, que consiste en una fuente independiente de voltaje vth en serie con Rth , o b) El Circuito Equivalente de Norton, el cual est formado por una fuente independiente de corriente de magnitud iN en paralelo con la Resistencia de Norton RN .

1

Alternativamente se puede utilizar una fuente independient

Analisis de Circuitos Lineales

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