Dr. Christian Acosta Vil legas

cacostav@usmp.pe

ANLISIS DE CORRELACIN

Y REGRESIN LINEAL

SIMPLE APLICACIONES

Bioestadstica 2015

Martes 26 de mayo del 2015

TEMAS A TRATAR

Diagrama de dispersin

Correlacin Coeficiente de correlacin de Pearson (r)

Regresin Ecuacin de regresin lineal

Coeficiente de Determinacin (R)

Datos Cuantitativos Datos Cualitativos

(Dicotmica o

Politmica) Distribucin

Normal

Distribucin

Anormal (NO-

N)

Comparar 2 grupos

(variable independiente:

dicotmica)

- T No pareada

- T pareada

- Mann-

Whitney

- Wilcoxon

- Chi-cuadrado

- Exacta de Fisher

Comparar 3 o ms

grupos (variable

independente:

politmica)

- ANOVA

- Kruskal -

Wallis

- Friedman

- Chi-cuadrado

- Exacta de Fisher

Asociacin entre 2

variables (variable

independiente:

continua)

- Correlacin de

Pearson

- Correlacin

de Spearman

Asociacin entre 3 o

ms (variable

independiente:

continua)

- Regresin

lineal mltiple

- Regresin

logstica mltiple

Datos Cuantitativos Datos Cualitativos

(Dicotmica o

Politmica) Distribucin

Normal

Distribucin

Anormal (NO-

N)

Comparar 2 grupos

(variable independiente:

dicotmica)

- T No pareada

- T pareada

- Mann-

Whitney

- Wilcoxon

- Chi-cuadrado

- Exacta de Fisher

Comparar 3 o ms

grupos (variable

independente:

politmica)

- ANOVA

- Kruskal -

Wallis

- Friedman

- Chi-cuadrado

- Exacta de Fisher

Asociacin entre 2

variables (variable

independiente:

continua)

- Correlacin de

Pearson

- Correlacin

de Spearman

Asociacin entre 3 o

ms (variable

independiente:

continua)

- Regresin

lineal mltiple

- Regresin

logstica mltiple

ACLARACIONES

Las pruebas que han aprendido hasta ahora sirven para comprar dos o ms grupos entre ellos. En

estos casos se ha tratado de determinar si existe o

no una asociacin entre el grupo al cual se

pertenece y la variable de interes.

Pero tambin: muchas veces vamos a estar interesados en evaluar si es que existe una

asociacin entre dos variables continuas.

Ejemplo clsico: el peso de una persona est relacionado con su talla?

DIAGRAMA DE

DISPERSIN

EJEMPLO

La medicin ms comn del volumen del cerebro es la Fraccin Parenquimal Cerebral (FPC).

EJEMPLO

(A)Paciente varn de 31 aos de edad. FPC: 0.87.

(B)Paciente mujer de 36 aos de edad con EM con

reacada-remisin. Tiempo de enfermedad de 2

aos. FPC: 0.85.

(C)Paciete mujer de 43 aos de edad con EM

progresiva secundaria. TE: 19 aos. FPC: 0.71.

Se tienen datos de 30 pacientes sanos a quienes se les realiz resonancias magnticas, obteniendo de

esta manera las fracciones del parnquima cerebral

de cada uno de ellos. Se cuenta tambin entre los

datos obtenidos la edad de los 30 pacientes.

Qu se debe hacer?

EJEMPLO

Edad 39 48 52 56 51 54 38 29 20 ...X30

FPC 0.81 0.77 0.78 0.73 0.79 0.75 0.80 0.98 0.85 ...Y30

EJEMPLO

Edad 39 48 52 56 51 54 38 29 20 ...X30

FPC 0.81 0.77 0.78 0.73 0.79 0.75 0.80 0.98 0.85 ...Y30

Existe un patrn de lnea recta o asociacin?

El patrn o asociacin va hacia arriba o cuesta

abajo?

Estn los valores muy agrupados en el patrn o

muy separados?

Existen desviaciones notorias en el patrn?

EJEMPLO

Se observa alguna relacin entre ambas variables? (asociacin)

A la edad de 40 aos, cul ser el FPC? (prediccin)

EJEMPLO

CORRELACIN

CORRELACIN

Definicin: el grado en el cual dos variables continuas estn relacionadas de manera linear, y la medicin de intesidad de dicha relacin.

Correlacin Positiva mientras una variable aumenta, la otra variable tambin aumenta (Pendiente positiva)

Correlacin Negativa mientras una variable aumenta, la otra disminuye (Pendiente negativa)

No correlation (quadratic)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10

No correlation

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12

Negative correlation

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Positive correlation

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

CORRELACIN

Hay dos medidas que se usan para describir la correlacin:

El coeficiente de correlacin: r (estadstico) , (parametro).

El coeficiente de determinacin.

Rangos de la Correlacin (r) van desde -1 (correlacin negativa perfecta) hasta +1 (correlacin positiva perfecta)

Una correlacin de 0 significa que no hay una relacin linear entre las dos variables

Una correlacin perfecta quiere decir que conociendo una variable podemos conocer de manera perfecta la otra variable

Por ejemplo, si se quiere conocer la relacin entre los datos de talla y peso de 30 individuos que se

presentan a continuacin:

Los datos pueden ser representados en un diagrama de dispersin, en el cual cada individuo es un punto

que se ubica en el espacio segn los valores de sus

variables talla (X) y peso (Y).

Talla

(cm) 162 154 180 158 171 169 166 176 163 ...X30

Peso

(kg) 61 60 78 62 60 60 54 84 68 ...Y30

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

TALLA

PE

SO

Con este diagrama se puede suponer, por observacin, que existe una relacin directa

entre ambas variables. Sin embargo, se

requiere de un anlisis de correlacin para comprobar y validar la suposicin.

CORRELACIN DE PEARSON

El coeficiente de correlacin lineal de Pearson indica si los puntos en el diagrama tienen una tendencia a

disponerse alineadamente (relacin lineal).

Siendo este el caso, indica tambin el grado de relacin y el sentido (relacin directa o inversa). Este

coeficiente se halla con la siguiente frmula:

Cuando se aplica a un conjunto de datos es recomendable ordenar la informacin de la

siguiente forma e incluyendo los siguientes clculos:

De esta forma, se obtienen ordenadamente los datos que se requieren para hallar el coeficiente de

correlacin de Pearson (r).

# de

observacin Talla (cm) Peso (kg)

X2 Y2 XY

1 162 61 26244 3721 9882 2 154 60 23716 3600 9240

...n Xn Yn Xn2 Yn

2 (Xn )(Yn) TOTAL X Y X2 Y2 XY

Talla (cm) 162 154 180 158 171 169 166 176 163 ...X30

Peso (kg) 61 60 78 62 60 60 54 84 68 ...Y30

INTERPRETACIN DEL

COEFICIENTE DE CORRELACIN

El valor del coeficiente de correlacin (r) va a indicar el sentido y la intensidad de la relacin entre

variables (X e Y).

A) SENTIDO

El valor del coeficiente r es positivo, se cumple que:

A los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y tambin mayores que la media.

A los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y tambin menores que la media.

RELACIN DIRECTA

RELACIN INVERSA

El valor del coeficiente r es negativo, se cumple que:

A los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores que la media.

A los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y mayores que la media.

B) INTENSIDAD

CORRELACIN POSITIVA PERFECTA

r= +1

CORRELACIN POSITIVA INTENSA

0.5 < r < 1

CORRELACIN POSITIVA MODERADA

r = 0.5

CORRELACIN POSITIVA DBIL

0 < r < 0.5

CORRELACIN NEGATIVA PERFECTA

r= -1

CORRELACIN NEGATIVA INTENSA

r= -1 < r < -0.5

CORRELACIN NEGATIVA MODERADA

r= -0.5

CORRELACIN NEGATIVA DBIL

r = -0.4

r= -0.5 < r < 0

Coeficiente de Correlacin de Pearson

-1 0 0,5 0,9 1 -0,9 -0,5

Perfecta

Negativa

Perfecta

Positiva

Fuerte

Negativa

Dbil

Negativa

Dbil

Positiva

Moderada

Positiva

Fuerte

Positiva

Moderada

Negativa

No existe correlacin

INCORRELACIN

En el caso de que el coeficiente de correlacin sea cero (r=0) NO EXISTE RELACIN ENTRE

VARIABLES.

Es decir, para valores de X por encima de la media se tienen valores de Y por encima y por debajo en

proporciones similares.

PROPIEDADES DEL

COEFICIENTE DE RELACIN

Es adimensional

Slo toma valores en [ -1,1]

Si r=0 las variables son incorrelacionadas

Relacin lineal perfecta entre dos variables r=+1 o r=-1.

Cuanto ms cerca est r de +1 o -1 mejor ser el grado de relacin lineal.

SIGNIFICANCIA ESTADSTICA:

PRUEBA DE HIPTESIS El valor del coeficiente de correlacin (r) determina si existe

una relacin lineal entre las variables, sin embargo, no indica

si esta relacin es estadsticamente significativa .

Para ello se aplica la prueba de hiptesis del parmetro r (rho).

La hiptesis nula (Ho) establece que no existe una relacin, es decir, que el coeficiente de correlacin (r) es igual a 0.

La hiptesis alterna (H1) propone que s existe una relacin significativa por lo que r debe ser diferente a 0.

Ho: r = 0

H1: r 0

Bilateral

El estadstico de prueba que revela si la hiptesis nula (Ho) es o no verdadera es el siguiente: (ver tabla

T)

ESTADSTICO DE PRUEBA

Se tienen 2 mtodos distintos para la medicin de la presin sistlica de 25 pacientes con hipertensin.

Se puede establecer que existe una relacin lineal significativa entre ambos mtodos?

EJEMPLO

Paciente Mtodo I Mtodo II X2 Y2 XY

1 132 130 17424 16900 17160

2 138 134 19044 17956 18492

3 144 132 20736 17424 19008

4 146 140 21316 19600 20440

...25 220 202 48400 40804 44440

TOTAL 4440 4172 808408 710952 757276

X Y X2 Y2 XY

4440 4172 808408 710952 757276

X Y X2 Y2 XY

4440 4172 808408 710952 757276

Primero se debe hallar el coeficiente de correlacin de Peason (r)

r= 0.95

El coeficiente de correlacin indica una relacin lineal directa intensa

EJEMPLO

Teniendo un r= 0.95, se procede a plantear la prueba de hiptesis del parmetro r:

Ho: r = 0

H1: r 0

El nivel de significancia no se indica, por lo tanto se considera que es 0.05.

EJEMPLO

Para determinar si se rechaza o no la hiptesis nula (Ho), se compara el valor de tc con el valor hallado en la tabla (t n-2 )

segn el nivel de significancia y el grado de libertad.

tt = t n-2 t23 = 2.069

tc = 14.59 vs. tt = 2.069

Debido a que el valor de tc es mayor al valor hallado en la tabla (t 23 ) , se debe rechazar la hiptesis nula (Ho).

Interpretacin: Hay evidencia de que existe una alta correlacin lineal positiva entre la respuesta al tratamiento

medida con ambos mtodos para medir la presin sangunea,

con un nivel de significacin de 0.05.

DECISIN Y CONCLUSIN

REGRESIN

REGRESIN

El anlisis de regresin es til para averiguar la forma probable de las relaciones entre las variables,

y el objetivo final, cuando se emplea este mtodo de

anlisis, es predecir o estimar el valor de una

variable que corresponde al valor dado de otra

variable.

VARIABLES X E Y

X= variable independiente, bajo el control del investigador.

Los valores de X son seleccionados previamente por el investigador, de modo que en la recoleccin de datos estos no

pueden variar.

Y= variable dependiente.

Se habla de regresin de Y sobre X.

ECUACIN DE REGRESIN

Lo que el investigador desea es encontrar una lnea que pueda predecir lo que le sucede a Y con cada cambio de X.

Esta ecuacin describe la relacin real entre las variables X e Y.

Como es una relacin lineal, dicha ecuacin ser la ecuacin de una recta:

Y= a +bX

La informacin tiene que ser presentada con un diagrama de dispersin.

Estudio de la relacin funcional entre dos variables.

Establecer una relacin cuantitativa entre dos o ms variables relacionadas.

Se trata de PREDECIR y/o EXPLICAR el valor de una variable (v. Dependiente), dado el valor de otra(s) variable(s) relacionada(s) (v. Independiente(s)).

Las variables X e Y deben ser de naturaleza cuantitativa y de preferencia continua.

OBJETIVO DEL ANLISIS DE

REGRESIN

Es una tcnica estadstica que permite determinar la mejor ecuacin que represente la relacin entre dos variables relacionadas.

REGRESIN LINEAL SIMPLE

Para poder hallar la relacin cuantitativa entre las variables, mediante la regresin lineal, se debe ajustar una lnea entre

los puntos observados.

Luego, ser posible usar la lnea para predecir el valor de Y (variable dependiente) a partir de un valor conocido de X (la

variable independiente).

En toda regresin l ineal:

Para cada valor de X hay una subpoblacin de valores Y.

Cada subpoblacin de los valores de Y tiene distribucin normal.

REGRESIN LINEAL SIMPLE

Variable

Dependiente

Variable

Independiente

Todos los puntos no estn exactamente

sobre una lnea recta

X

o

o

o

o

o o

o o

o Y

En una ecuacin como Y = 30 + 3X, el valor de Y depende del valor que toma X, por eso a Y se le llama variable dependiente, y a X se le l lama variable independiente.

Y = a + b X

La ecuacin general Y = a + bX se l lama ecuacin de regresin y permite estimar o predecir los valores de Y.

ECUACIONES LINEALES

SIMPLES

Si se tienen dos variables, como X e Y, que estn relacionadas, se puede expresar de la siguiente manera:

Y = 3 + 1,5X ( Y= a +bX )

Al conocer la ecuacin se puede:

a) Calcular el valor de Y para cualquier valor dado de X.

b) Conocer el cambio en Y, cuando X vara en 1.

ECUACIONES LINEALES

SIMPLES

Valor Valor Cambio

dado de X calculado de Y de Y

1 4,5 -

2 6,0 1,5

3 7,5 1,5

4 9,0 1,5

5 10,5 1,5

Por ejemplo: Y = 3 + 1,5X

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

Y

.

X

. . .

.

(1,4.5)

(4,9)

(3,7.5)

(2,6)

(5,10.5)

X 1 2 3 4 5

Y 4 , 5 6 , 0 7 , 5 9 , 0 1 0 , 5

GRFICA DE LA ECUACIN

Ejemplo: Y = 3 + 1,5X

Los cinco pares de valores se diagraman de

la forma siguiente.

El aumento en Y, cuando X vara en una unidad, est dado por el coeficiente de X.

Ejemplo:

En Y = 10 + 2X

cuando X aumenta en 1, Y aumenta en 2

En Y = 5 - 0,8X

cuando X aumenta en 1, Y disminuye en 0,8

ECUACIONES LINEALES

SIMPLES

X

o

o

o

o

o

o

o

o

o Y

Cuando cambios en X provoca cambios en Y en igual sentido (aumentos o disminuciones), las variables

estn directamente relacionadas. Se observa el

signo +.

Ejemplo:

Y = 30 + 5X

TIPOS DE RELACIONES

o

o

o

o

o

o

o

o

X

Y

Cuando cambios en X, provoca variaciones en Y en sentido inverso (X aumenta, Y disminuye o

viceversa), las variables estn inversamente

relacionadas. Se observa en la ecuacin el signo -.

Ejemplo:

Y = 20 - 3X

TIPOS DE RELACIONES

. b0 = 3

Y

X

FORMA GENERAL

La ecuacin simple de primer grado tiene la siguiente forma general

Y = a + b X

Donde:

b: pendiente, o sea, el cambio en Y cuando X = 1.

a: el valor autnomo intercepto, es decir, Y = a cuando X =

0. En la grfica es la interseccin con el eje Y.

Ejemplo:

Y = 3 + 1.5X

Los valores constantes de la ecuacin son a y b . El primer paso para determinar la ecuacin es hallar la

pendiente b con la frmula:

Conociendo b es posible hallar el valor del intercepto a con la ecuacin:

Sin embargo, an con la ecuacin, como todos los puntos no estn exactamente sobre una lnea recta, se cometen errores en el ajuste.

PASOS

# de

observacin

X Y X2 Y2 XY

1 X1 Y1 X12 Y1

2 (X1 )(Y1)

2 X2 Y2 X22 Y2

2 (X2 )(Y2)

...n Xn Yn Xn2 Yn

2 (Xn )(Yn)

TOTAL X Y X2 Y2 XY

Debido a la complejidad de la frmula para hallar b y a, es recomendable ordenar los datos observados y

los respectivos clculos en un cuadro igual al

propuesto en el anlisis de correlacin:

PASOS

Tiempo

de sueo

(horas)

4 6 5 9 8 7 13 11 9

Dosis

(mM/ kg) 3 3 3 10 10 10 15 15 15

EJEMPLO

Una compaa farmacutica conduce un estudio piloto para evaluar la relacin entre tres dosis en un

nuevo agente hipntico y tiempo de sueo. Los

resultados de este estudio son presentados de la

siguiente manera.

02

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14

Dosis (mM/ kg)

SOLUCIN

El diagrama de dispersin que se construye a partir de estos datos es el siguiente:

Segn el diagrama de dispersin, se espera una relacin positiva o directa entre ambas variables. Se puede aplicar el

modelo de regresin para ajustar los puntos y establecer una

relacin lineal que permita conocer la relacin cuantitativa

entre ambas variables.

Modelo de regresin y = a + b x

EJEMPLO

Esta organizacin de los datos facilita la estimacin

de la recta de regresin, debido a que proporciona

todos los datos requeridos para hallar b y a.

Sujeto Dosis Tiempo

de

sueo

X2 Y2 XY

1 3 4 9 16 12

2 3 6 9 36 18

3 3 5 9 25 15

4 10 9 100 81 90

5 10 8 100 64 80

6 10 7 100 49 70

7 15 13 225 169 195

8 15 11 225 121 165

9 15 9 225 81 135

TOTAL 84 72 1002 642 780

Conociendo los valores de b y a , se tiene el modelo de regresin estimado que sera:

Y = 3.33 + 0.5X

Interpretacin:

Por cada incremento de dosis del agente hipntico, el tiempo de sueo

promedio aumenta en 0.5 puntos.

X Y X2 Y2 XY

84 72 1002 642 780

COEFICIENTE DE

DETERMINACIN

Es una medicin que nos permite determinar la certeza de las predicciones hechas usando la recta de regresion.

Mide la proporcin de la variabilidad en la variable dependiente que es explicada por el modelo de la recta de

regression a traves de la variable independiente.

Es obtenido al elevar al cuadrado el valor del Coeficiente de correlacin de Pearson.

COEFICIENTE DE

DETERMINACIN

= ( r )2 R2

Tener en cuenta que: 0 R2 1.

Donde: Valores de R2 cercanos a 1 implicaran que el modelo explica

la mayor parte de la variacin en la variable dependiente y que podra ser un modelo muy til.

Valores de R2 cercanos a 0 implicaran que el modelo explica poco sobre la variacin de la variable dependiente y que no podra ser un modelo til.

Cuanto mayor sea R2, ms cerca estn todos los puntos a la recta.

COEFICIENTE DE

DETERMINACIN

EJEMPLO

Si: r = 0.95, cul sera el Coeficiente de Determinacin?

R2 = 0.9025

Interpretacin: 90% de las variaciones Y, pueden explicarse por X.

CORRELACIN NO IMPLICA

CAUSALIDAD

Diagrama de Dispersin. Utilidad e interpretacin.

Correlacin.

Coeficiente de correlacin de Pearson. Como calcularlo. Interpretacin de Sentido e Intensidad.

Regresin.

Ecuacin de regresin lineal. Como calcular la pendiente y el intercepto. Interpretacin.

Coeficiente de Determinacin.

Como calcularlo. Interpretacin.

RESUMEN DE LA CLASE

Aqu es donde nuestros caminos se bifurcanpor ahora

GRACIAS POR SU ATENCIN!

XITOS EN SUS CARRERAS!