Tarea 1 correlación y regresión lineal
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ESTADISTICA DESCRIPTIVA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN INTERNACIONAL Tulcán – Ecuador 2012 ´ MCS : JORGE POZO CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL MARÍA GORDÓN
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ESTADISTICA DESCRIPTIVA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN
INTERNACIONAL
Tulcán – Ecuador
2012
´
MCS : JORGE POZO
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
MARÍA GORDÓN
TEMA: Desarrollo de ejercicios de correlación y regresión lineal
Objetivos
Objetivo general
Desarrollar los ejercicios de correlación y regresión
Objetivos específicos
Interpretar los datos estadísticos
Realizar las gráficas relacionando dos variables
Analizar los resultados obtenidos en los coeficientes
JUSTIFICACIÓN
El presente trabajo tiene como finalidad la realización y el análisis de
ejercicios relacionados al comercio exterior aplicando los casos de
correlación y regresión lineal con el fin de que los estudiantes desarrollen las
capacidades de aprendizaje y aplicación en los problemas del contexto
nacional
MARCO TEÓRICO
CORRELACIÓN
TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola
variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no
solamente de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar
que dos variables están relacionadas linealmente entre sí y cómo podemos
medir esta relación lineal.
RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES
Supongamos que disponemos de dos pruebas una de ellas una prueba de
habilidad mental y la otra una prueba de ingreso a la Universidad.
Seleccionemos cinco estudiantes y presentamos en la tabla Nº4.1.1, los
puntajes obtenidos en estas dos pruebas.
TABLA Nº4.1.1
ESTUDIANTES
X PRUEBA
DE HABILIDAD
MENTAL
Y EXAMEN DE ADMISIÓN
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo 9 32
Juan 3 18
Observamos las cinco parejas de puntajes de la tabla Nº4.1.1 ¿podemos
afirmar que la prueba de habilidad mental se puede usar para pronosticar el
puntaje de examen de admisión?. La tabla nos dice que si podemos hacer
tal suposición ya que los estudiantes con puntajes altos en la prueba de
habilidad mental tienen también un puntaje alto en el examen de admisión y
los estudiantes con puntajes bajos en la prueba de habilidad mental, tienen
puntajes bajos en el examen de admisión. En circunstancias como la
presente (cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con
los puntajes altos de la otra variable y los puntajes bajos de una variable
están relacionados con los puntajes bajos de la otra variable), afirmamos
que hay una relación lineal positiva entre las dos variables, entonces
podemos definir una relación lineal positiva entre ese conjunto de pares de
valores X y Y, tal como se muestra en la tabla Nº4.1.1.
Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos
obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿Podríamos
afirmar que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental
pueden usarse para pronosticar los puntajes altos en el test de habilidad
mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos
con puntajes altos en el examen de admisión, entonces podemos definir una
relación lineal negativa entre un conjunto de pares de valores X y Y (tal
como en la tabla Nº4.1.2), es decir, los puntajes altos de X están apareados
con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con
los puntajes altos de Y.
TABLA Nº4.1.2
X Y
ESTUDIANTES
PRUEBA DE
HABILIDAD MENTAL
EXAMEN DE ADMISIÓN
María 18 18
Olga 15 32
Susana 12 60
Aldo 9 68
Juan 3 82
TABLA Nº4.1.3
X Y
ESTUDIANTES
PRUEBA DE
HABILIDAD MENTAL
EXAMEN DE ADMISIÓN
María 18 18
Olga 15 82
Susana 12 68
Aldo 9 60
Juan 3 32
Examinemos ahora la tabla Nº4.1.3. en este caso ya no podemos afirmar
que los puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los
puntajes del examen de admisión, ya que unos puntajes altos del test de
habilidad mental están aparejados con otros puntajes bajos del examen de
admisión y algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están
apareados con otros puntajes altos del examen de admisión, entonces, en
este caso, decimos que no existe una relación lineal entre las variables X y
Y.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente
cinco parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas.
Otra forma alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables
sería hacer una gráfica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas
rectangulares, este tipo de gráfica es conocido con el nombre de diagrama
de dispersión, gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos el
diagrama que corresponde a la tabla Nº4.1.1. lo haremos haciendo
corresponder a cada valor de la variable independiente X, un valor de la
variable dependiente Y, es decir, para la alumna Susana haremos
corresponder su puntaje en la prueba de habilidad mental (12) con su
puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos
corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del
examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en
el sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº4.1.1 y
Nº4.1.2.
Observaremos en el gráfico Nº4.1.1, que tabla Nº4.1.1, es descrita por el
diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la
sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es
característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque
estos cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta, se puede
trazar una línea recta que describa en estos puntos en forma bastante
aproximada, conforme se ve en el gráfico Nº4.1.2 y por esto decimos que la
relación es lineal.
Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en
una sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta.
El grado en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el
grado en que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se
encuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos
variables es menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una
línea recta afirmaremos que la relación lineal es más fuerte.
GRÁFICO Nº4.1.1.
GRÁFICO Nº4.1.2
Usando los datos de la tabla Nº4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar
empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de
dispersión, tal como se muestra en el gráfico Nº4.1.3.
Podemos observar en el gráfico Nº4.1.4 que la nube de puntos de la gráfica
puede delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una
relación lineal entre las dos variables X y Y. vemos también que la línea
desciende de izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que
decimos que la relación lineal entre las dos variables es negativa.
Si tenemos en cuenta la tabla Nº4.1.3 podemos obtener una figura como se
muestra en la gráfica Nº4.1.5. Notamos, en esta situación, que resultará
inútil cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama
de dispersión.
GRÁFICO Nº4.1.3
GRÁFICO Nº4.1.4
GRÁFICO Nº4.1.5
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON
Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de
puntos, o diagrama de dispersión, representa una relación lineal y si esta
relación lineal es positiva o negativa, pero con la sola observación de la
gráfica no podemos cuantificar la fuerza de la relación, lo que si
conseguiremos haciendo uso del coeficiente r de Pearson.
El coeficiente de correlación r de Pearson, forma valores comprendidos entre
-1 y +1 pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa
perfecta (los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando
perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene
cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores
negativos mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores
positivos menores que 1 indican una correlación positiva. Referente a la
magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando el
valor absoluto de r esté más cerca de uno, mayor es la fuerza de la
correlación, as así que -0.20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos
valores fuertes).
CÁLCULO DEL COEFICIENTE r DE PEARSON UTILIZANDO UNA
MÁQUINA CALCULADORA CUANDO LOS DATOS NO SON MUY
NUMEROSOS
Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. Tabla Nº4.1.4,
podemos calcular el coeficiente r de Pearson con una máquina calculadora
mediana la siguiente fórmula.
TABLA AUXILIAR Nº4.1.4.
(1)
x
(2)
Y
(3)
x2
(4)
y²
(5)
XY
18
15
12
9
3
∑x = 57
82
68
60
32
18
∑y= 260
324
225
144
81
9
∑x² = 783
6724
4624
3600
1024
324
∑y² = 16296
1476
1020
7200
288
54
∑xy = 3558
Con los datos de la tabla Nº4.1.1, se ha elaborado la Tabla Auxiliar Nº4.1.4.
En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. en la columna
(3), se han elevado al cuadrado los valores de X. en la columna (4) se han
elevado al cuadrado los valores de Y. en la columna (5) se ha efectuado el
producto de cada pareja de valores X y Y. aplicando los datos en la fórmula
4.1.1, se tiene:
INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado?. Todo coeficiente
de correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos
variables. Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de
intensidad de relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No
se puede decir que un r de 0.50 indique una relación dos veces más fuerte
que la indicada por r de 0.25. ni se puede decir tampoco que un aumento en
la correlación de r=0.40 a r=0.60 equivalga a un aumento de r=0.70 a r=0.90.
es de observar que una correlación de -0.60 indica una relación tan estrecha
como una correlación de +0.60, la relación difiere en la dirección.
Siempre que esté establecida fuera de toda duda razonable una relación
entre dos variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede
significar únicamente que la situación medida está contaminada por algún
factor o factores no controlados. Es fácil concebir una situación experimental
en la cual, si se han mantenido constantes todos los factores que no sean
pertinentes, el r podría haber sido 1 en lugar de 0.20. por ejemplo:
generalmente la correlación entre la puntuación de aptitud y el
aprovechamiento académico es 0.50 puesto que ambos se miden en una
población cuyo aprovechamiento académico también es influenciable por el
esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de calificación de los profesores,
etc. Si se mantuvieran constantes todos los demás factores determinantes
del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el r
sería 1 en vez de 0.50.
Una conclusión práctica a la correlación es que ésta es siempre relativa a la
situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún
hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo
puramente relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de
interpretar a la luz de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún
sentido absoluto.
Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de
correlación como medida del grado de relación lineal entre dos variables, es
una interpretación como medida del grado de relación lineal entre dos
variables, es una interpretación matemática pura y está completamente
desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos
variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que
obligadamente una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra.
A continuación calcularemos con la fórmula Nº4.1.1, antes indicada
coeficiente de Pearson de la relación presentada en la tabla Nº4.1.2
CUADRO AUXILIAR 4.1.5
(1) x
(2) Y
(3) x2
(4) y²
(5) XY
18 18 324 324 324
15 32 225 1024 480
12 60 144 3600 720
9 68 81 4624 612
3 82 9 6724 246
∑x = 57 ∑y= 260 ∑x² = 783 ∑y² = 16296 ∑xy = 2382
Vemos que la correlación es fuerte y negativa.
Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº4.1.1, el Coeficiente
de Correlación lineal con los datos de la tabla Nº4.1.3.
CUADRO AUXILIAR 4.1.6
(1) x
(2) Y
(3) x2
(4) y²
(5) XY
18 18 324 324 324
15 32 225 6724 1230
12 60 144 4624 816
9 68 81 3600 542
3 82 9 1024 96
∑x = 57 ∑y= 260 ∑x² = 783 ∑y² = 16296 ∑xy = 3006
La correlación es muy débil y positiva.
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN
CLASES
El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que
nos proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos
conjuntos de datos que se encuentran agrupados, cada uno de ellos
formando por separados una distribución de frecuencias, mejor dicho
teniendo por separado sus intervalos de clase con sus respectivas
frecuencias.
Para realizar una exposición del tema en forma más entendible,
presentamos el ejemplo del Cuadro Nº 4.1.7.
Ejemplo:
Calcular el grado de correlación entre las puntaciones obtenidas en
inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos en un examen de
Matemática, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la
localidad.
CUADRO Nº 4.1.7
X Hábitos de estudio
Y Matemática
20 30
30 40
40 50
50 60
Total
70 80 3 2 2 7
60 70 1 0 4 5 10
50 60 2 6 16 3 27
40 50 4 14 19 10 47
30 40 7 15 6 0 28
20 30 8 2 0 1 11
10 20 1 1 2 4
Total 23 40 48 23 134
Podemos notar que el problema no es tan simple, como el caso anterior,
dado que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada
Nº 4.1.7. Este cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los
intervalos de clase de la variable Y, los que cubren todos los posibles datos
acerca de las puntuaciones alcanzadas por los estudiantes en la prueba de
Matemática. Nótese que los intervalos crecen de abajo hacia arriba. En la
fila superior se presentan los intervalos de clase todos los 134 posibles datos
acerca de los puntajes obtenidos por los estudiantes en la variable hábitos
de estudios representados por la letra X.
Dentro del Cuadro Nº 4.1.7 en los casilleros interiores o celdas de la tabla,
se encuentran las frecuencias de celdas que corresponden a puntajes
que pertenecen tanto a un intervalo de la variable Y como a un intervalo de
la variable X.
En la fila interior del Cuadro se presentan los totales de los puntajes de la
variable X, hábitos de estudio. Esos totales se llaman frecuencias marginales
de la variable X y se representan por .
En la última columna de la derecha se encuentran los totales de los puntajes
de la variable rendimiento en matemática. Estos totales se denominan
frecuencias marginales de la variable Y.
Cuando los datos se presentan tal como el presente caso, formando tablas
de doble entrada, es conveniente usar el método clave que expondremos a
continuación porque con este procedimiento se evita manejar grandes
números, como sería el caso si se emplearán las fórmulas para trabajar con
la calculadora de bolsillo.
La fórmula que utilizaremos es la siguiente:
Para obtener los datos que deben aplicarse en la fórmula Nº 4.1.2., vamos a
construir el cuadro auxiliar Nº 4.1.8, al mismo tiempo que se explica el
significado de los símbolos de esa fórmula.
Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y
verticales por sus respectivas marcas de clase; a continuación
adicionaremos al Cuadro Nº 4.1.7, cinco columnas por el lado derecho;
cuyos encabezamientos son: para la primera para la segunda,
para la tercera, para la cuarta y para la quinta columna.
Por la parte inferior del cuadro le adicionamos cuatro filas que se nombran:
para la primera para la segunda fila que está debajo de la anterior,
para la tercera fila y por último, para la cuarta fila que está debajo de
todas; de esta manera se va elaborando el Cuadro Auxiliar Nº 4.1.8.
1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la
columna para la primera para la segunda, para la tercera,
sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la
marca de clase 75, obtenemos: 3+2+2=7, número que se escribe en el
primer casillero o celda de la columna para la primera para la
segunda, para la tercera, En la fila de la marca de clase 65,
sumamos 1+4+5=10, número que se escribe debajo del 7.
Para la fila de la marca de clase 55, tenemos: 2+6+16+3=27.
Para la fila de la marca de clase 45, se tiene: 4+14+19+10=47.
En igual forma: 7+15+6=28.
Lo mismo: 8+2+1=11
Y en la última fila: 1+1+2=4
A continuación sumamos estas frecuencias marginales de la variable Y:
7+10+27+47+28+11+4=134 es el total general.
2) Ahora a determinar las frecuencias marginales de la variable X: En
columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente
las frecuencias: 1+2+4+7+8+1=23.
En la columna encabezada con 35, tenemos: 3+6+14+15+2=40
En la siguiente: 2+4+16+19+6+1=48
En la última: 2+5+3+10+1+2=23
3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada para la
primera para la segunda, para la tercera, este signo significa
desviación unitaria, y procedemos en la misma forma que en las Tablas
Nº 2.1.2 y Nº 2.1.3 (b). recuerden que las desviaciones unitarias
positivas: +1, +2, y +3 corresponden a los intervalos mayores y por el
contrario las desviaciones unitarias negativas: -1, -2 y -3 corresponden a
los intervalos menores. Como origen de trabajo se tomó la marca de
clase 45 y por lo tanto su desviación unitaria es cero.
4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la
variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la
fila superior del cuadro, por esa razón, escribimos cero debajo de la
frecuencia marginal 48. Las desviaciones unitarias negativas: -1 y -2 se
escriben a la izquierda cero, porque se corresponden con los intervalos
de clase que tienen menores marcas de clase y que están a la izquierda
de 45. La desviación unitaria positiva, se corresponde con el intervalo de
mayor marca de clase, 55 (en parte superior del Cuadro Nº 4.1.8.)
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada ; este símbolo indica que se debe multiplicar
cada valor de por su correspondiente valor de , así: 7(+3)=21;
10(+2)=20; 27(+1)=27; 47(0)=0; 28(-1)=-28; 11(-2)=-22 y 4(-3)=-12.
Sumando algebraicamente, tenemos: 21+20+27=68 los positivos: y
(-28)+ (-22)+ (-12)=-62 los negativos.
Por último: 68-62=6 total, que se coloca en la parte inferior de la columna
Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada debemos
tener en cuenta que ( , por lo tanto basta multiplicar cada
valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la tercera
columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto:
(+3)(21)=63; (+2)(20)=40; (+1)(27)=27; 0*0=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-
3)(-12)=36
La suma: 63+40+27+28+44+36=238
Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que
( = por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la
primera fila por su correspondiente valor de la segunda dila para obtener el
respectivo valor de la tercera fila.
(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23
Sumando horizontalmente:
(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63
Vamos por la cuarta fila; vemos que . Luego basta
multiplicar cada elemento de la segunda fila por su correspondiente
elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la cuarta
fila así:
(-2)(46)=92; (-1) (-40)=40; 0*0=0 y (+1) (23)=23
Para obtener los valores de la quinta columna observamos que
hay tres factores; el 1º es la frecuencia de la celda o casillero que se está
considerando, el segundo factor es la desviación unitaria , el tercer factor
es la desviación unitaria . Por tanto el procedimiento será el siguiente:
Tomemos el número 3 que es la frecuencia de la celda determinada por el
cruce de los intervalos que tienen la marcha de clase 75 horizontalmente y
35 verticalmente.
Bajemos la vista del número 3 hacia donde se halla el respectivo valor (-1)
de la desviación unitaria (ver la línea punteada).
Para indicar el tercer factor corremos la vista del número 3 hacia su derecha
hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias y ubicamos el
número +3 (ver la línea punteada) formemos el producto de estos tres
números: (3) (-1) (+3)=-9. Este número -9 encerrado en un semicírculo lo
escribimos en la celda elegida.
En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0) (+3)=0
Continuando hacia la derecha: (2) (+1) (+3)=6
CUADRO AUXILIAR Nº 4.1.8
CUADRO CORREGIDO DELCUADRO AUXILIAR Nº 4.1.8
La fórmula del paso (9) lleva el signo para indicar que se deben sumar
horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de
esa primera fila elegida, así: -9+0+6=-3. Este número se escribe en la quinta
columna.
Trabajemos con la siguiente fila: (1) (-2) (+2)=-4 se encierra en un
semicírculo.
(0)(-1)(+2)=0
(4)(0)8+2)=0
(5)(+1)(+2)=10
Sumando 0+0+10=10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)=-4
(6)(-1)(+1)=-6
(16)(0)(+1)=0
(3)(+1)(+1)=3
Sumando: (-4)+(-6)+0+3=-7
Cuarta fila:
(7)(-2)(-1)=14
(15)(-1)(-1)=15
(6)(0)(-1)=0
(0)(+1)(-1)=0
La suma es: 14+15=29
(8)(-2)(-2)=32
(2)(-1)(-2)=4
(0)(0)(-2)=0
(1)(+1)(-2)=-2
La suma es: 32+4-2=34
Séptima fila:
(1)(-2)(-3)=6
(1)(0)(-3)=-6
(2)(1)(-3)=-6
Sumando: 6+0-6=0
Sumando los valores de la columna quinta.
-3+6-7+0+29+34+0=69-10=59
Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en
fórmula Nº 4.1.2.
n=134
EJERCICIO RESUELTO Nº2 DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS
Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en
matemáticas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la
Universidad MN.
CUADRO Nº4.1.9
CUADRO Nº4.1.10
En este problema tenemos que calcular el coeficiente de correlación lineal r
para dos conjuntos de datos, constituidos por los calificativos en una escala
de 0 a 100, en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la Facultad
de Ciencias de cierta Universidad.
Los datos se muestran en el cuadro Nº4.1.9. Notemos que a lo largo de la
línea horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los
calificativos de matemáticas desde 40 hasta 100.
Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los
calificativos para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40
hasta 100. Nótese que en la columna de los calificativos de física los datos
crecen de abajo hacia arriba y para la fila horizontal superior vemos que los
calificativos en matemáticas crecen de izquierda a derecha.
A continuación procedemos a calcular el coeficiente de correlación r para
estos datos aplicando el mismo método que utilizamos en el problema
anterior.
1) Traslademos los datos del cuadro Nº4.1.9 al cuadro Nº4.1.10.
llamaremos fxy a cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores
del cuadro Nº4.1.9. en el cuadro Nº4.1.10 podemos observar que se han
agregado cinco columnas por el lado derecho y cuatro filas por la parte
inferior.
Observaremos en el cuadro Nº4.1.10 quelos intervalos para la puntuación en
matemáticas y para la puntuación en física se han reemplazado por las
marcas de clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se ha
reemplazado el primer intervalo 4050 por su marca de clase 45, el
segundo intervalo 5060 por su marca de clase 55 y de esta manera se
han reemplazado los demás intervalos por sus marcas de clases en el
cuadro Nº4.1.10.
De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los
intervalos se han reemplazado por sus respectivas marcas de clase así, para
la puntuación en física el primer intervalo superior 90 100 se han
reemplazado por su marca de clase 95, el segundo intervalo superior
8090 se ha reemplazado por su marca de clase 85 y así sucesivamente
hasta llegar el intervalo inferior 4050 que se ha reemplazado por su marca
de clase 45.
Ahora vamos a realizar los pasos siguientes:
1) Para determinar las frecuencias marginales sumemos todos los
valores de la primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta
forma tenemos: 2+5+5=12. Para la segunda fila que corresponde a la
marca de clase 85, obtenemos: 1+3+6+5=15 que escribimos en el
segundo casillero de . Continuando con la suma de los números, de
las filas llenamos la columna . .
2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales . El primer
resultado de lo obtenemos sumando las frecuencias para la
columna que tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos:
2+4+4=10 que se escribe en el primer casillero de la fila . Para el
segundo casillero tenemos el número 15 que se obtiene sumando
verticalmente las frecuencias de la columna que tiene la marca de
clase 55. Continuando con la suma de las de las demás columnas,
llenamos las frecuencias marginales .
3) Atendamos ahora la columna . La columna tiene en total 6 casilleros
arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de
trabajo le asignamos el número. Observemos ahora la primera columna
de la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de
física. Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia
arriba, entonces las desviaciones unitarias en la columna crecerán de
abajo hacia arriba. Entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias
son números negativos que van decreciendo hacia abajo.
Desde el 0 hacia arriba las desviaciones unitarias serán positivas y
crecientes.
De manera que podemos observar que la columna está conformada
por los siguientes números que crecen del cero hacia arriba: 1,2 y desde
el cero hacia abajo decrecen: -1, -2, -3.
4) Veamos la fila
Notamos que en la fila horizontal superior las marcas de clase crecen de
izquierda a derecha, de igual forma las desviaciones unitarias crecerán
de izquierda a derecha. Elegimos como origen de trabajo arbitrariamente
uno de los casilleros de , el tercero contando de izquierda a derecha, y
vamos asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0,
así tenemos 1, 2 y 3 y hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos: -1
y -2.
5) Expliquemos la columna multipliquemos cada valor de por su
correspondiente valor de y se obtiene un valor . Por ejemplo el
número 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal por su
correspondiente desviación unitaria esto es, 12x2=24. Para el
segundo casillero multiplicamos 15x1=15; para el tercero 25x0=0, así
hasta terminar con 11 x (-3)=-33.
6) Observamos la columna . La primera celda de esta columna tiene el
número 48 que se obtiene multiplicando el valor de la segunda
columna por su correspondiente valor =24, de la tercera columna, es
decir, 2 x 24 = 48. Para el segundo casillero de la columna ,
tenemos 15 que es igual a 1 x 15. De esta forma continuamos llenando
los demás valores de la columna .
7) Veamos ahora la fila . El número -20 del primer casillero de esta fila
se obtiene multiplicando la frecuencia marginal por su
correspondiente desviación unitaria , es decir: 10(-2)=-20.
Para el segundo casillero de , multiplicamos (-1) x (-15) = 15 y así
sucesivamente hasta 12 x 3 = 36.
8) Veamos la fila . El primer casillero de esta fila es 40 y es el
resultado de multiplicar -2 del primer casillero de la fila por -20 de
su correspondiente primer casillero de la fila esto es. (-2) x (-20) = 40.
Para el segundo casillero de multiplicamos -1 del segundo casillero
por -15 de su correspondiente segundo casillero de , luego
obtenemos (-1) x (-15) = 15. Así continuamos multiplicando los valores de
los valores de los casilleros de la fila por sus correspondientes
valores de la fila hasta llegar a (3) (36) =108.
9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculos, por
ejemplo, el número 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la
puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en
física.
Para saber cómo se obtiene este número 4, corramos nuestra vista hacia la
derecha dirigiéndose hacia la columna y obtenemos el número 2. Del
número 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila
y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde está el 4, encerrado en
semicírculo, es . Multiplicando estos tres factores
tendremos: .
Podemos enunciar la siguiente regla:
Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros
interiores del cuadro Nº4.1.10, multiplicamos el valor de la frecuencia del
casillero para la cual estamos haciendo el cálculo, por los valores de las
desviaciones unitarias y , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha
hasta columna y también hacia abajo hasta llegar a la fila .
Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75
en matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda , los
otros dos factores son: y =1.
Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.
Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas
marca de clase 45 en física, tenemos:
, ,
que es el valor encerrado en semicírculo. Así
podemos proceder para obtener todos los demás valores encerrados en
semicírculos.
Sumando las frecuencias marginales de la columna , se tiene .
Sumando los valores de la tercera columna se obtiene . La
suma de los valores de la quinta columna:
=150
Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de
los valores de la fila. Así por ejemplo, ; .
Para la tercera fila: .
Para la cuarta fila:
Estos totales de filas y columnas reemplazamos en la fórmula Nº4.1.2.
Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0,79
EJERCICIO PROPUESTO Nº1 DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS AGRUPADOS DE DATOS.
Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba
de conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia
(variable y). los datos se muestran en el Cuadro Nº4.1.11.
Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar Nº4.1.12 en la fórmula
Nº4.1.2, tenemos:
Resultado:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que
estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos en esa ocasión
x a una de las variables y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora,
estudiaremos la forma tabla Nº4.2.1, similar a lo que utilizamos correlación,
conocimiento el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable x) para un
alumno determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión
(variable y) del mismo alumno.
Consideramos la relación lineal expresada por el cuadro Nº4.2.1. si
dibujamos esa relación, obtenemos el gráfico Nº4.2.1. como podemos
observar todos los puntos se alinean “exactamente” en una sola línea recta
lo que recibe el nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta
línea, podemos predecir cualquiera de los valores de y conociendo el valor
de x: Para x = 25, según la recta, corresponde y = 35, para x =20,
corresponde y=30, etc. En este caso se trata de una correlación positiva
perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1.
CUADRO Nº4.2.1
PRUEBA DE HABILIDAD MENTAL
X EXAMEN DE ADMISIÓN Y
Susana 5 15
Iván 10 20
Lourdes 15 25
Aldo 20 30
Juan 25 35
María 30 40
César 35 45
Olga 40 50
Recordemos el gráfico Nº4.2.1 que dibujamos cuando estudiamos
correlación, en este gráfico observamos el diagrama de dispersión
“aproximado” por una línea recta, la recta es mejor “ajuste”, a los puntos del
diagrama de dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual
números de puntos del diagrama de dispersión por encima de ella que igual
número de puntos de abajo, se llama línea de regresión.
ECUACIÓN DE LA REGRESIÓN RECTILÍNEA
La ecuación que describe la línea de regresión es.
X-r
En donde:
Media de variable y en la muestra
EJEMPLO PROPUESTO Nº2 DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS
Supongamos que se tiene 50 vendedores de cierta compañía. Estos
vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra
el cuadro Nº4.1.13, el que también muestra el número de años de
experiencia que tienen como vendedores.
Para dicho cuadro, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.
CUADRO Nº4.1.13
Tomando los datos obtenidos en el Cuadro Auxiliar Nº4,1,14 apliquemos en
la fórmula Nº4.1.12, se tiene:
Resultado:
CUADRO AUXILIAR Nº4.1.14
GRÁFICO Nº 4.2.1
= media de la variable X en la muestra.
X = un valor de la variable X
r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y
desviación estándar de Y en la muestra
desviación estándar de X en la muestra
valor Y resultante del cálculo de la fórmula.
Veamos cómo podemos predecir los valores de Y a partir de los valores de
X. Estudiemos el Cuadro Nº 4.2.1. Cómo el gráfico de este cuadro es una
línea recta ascendente sabemos que su coeficiente de correlación de
Pearson r=+1. Además tenemos los siguientes resultados:
=22.5 11.46 11.46 =32.5
Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro Nº4.2.1.
Apliquemos estos datos a la fórmula Nº4.2.1, obtenemos la siguiente
expresión:
X-(1)
Simplificando términos obtenemos:
Escojamos cualquier valor de X del Cuadro Nº4.2.1 por ejemplo para María
X=30, reemplazando este valor en (b).
Vemos en el Cuadro Nº4.2.1 el valor que corresponde a María efectivamente
es 40. Es decir, podemos usar la ecuación Nº4.2.1 para predecir los valores
de Y conociendo los valores de X.
Esta fórmula de regresión se puede para dos variables X y Y, entre las
cuales no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir,
no es obligatorio que r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1.
Este valor de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar
cualquier valor distinto.
EJERCICIO RESUELTOS DE REGRESIÓN LÑINEAL SIMPLE
Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por
800 alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la
desviación estándar de 12.6 puntos.
La edad media de la muestra fue de 14.5 años, con la desviación estándar
de 3.2 años.
El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de
sujetos estudiados y la variables X, rendimiento mental de los mismos
sujetos, fue r=0,89
Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de
edad en base del puntaje del rendimiento mental.
¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:
25 puntos
?
Datos:
=14.5
3.2
12.6
Aplicando estos datos en la fórmula Nº 4.2.1 se tiene:
X-0.89
. Es la ecuación de regresión buscada
Respuesta de la primera pregunta
Segunda pregunta
Tercera pregunta
Cuarta pregunta
Quinta pregunta
Sexta pregunta
RELACIONES
La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las
relaciones. Antes de profundizar en estos aspectos particulares de las
relaciones, analizaremos algunas características generales de éstas, con las
cuales podemos comprender mejor el material específico acerca de la
correlación.
RELACIONES LINEALES
Para iniciar nuestro análisis de las relaciones, veamos una relación entre dos
variables. La siguiente tabla muestra el salario mensual que percibieron
cinco agentes ventas y el valor en dólares de la mercancía vendida por cada
uno de ellos en ese mes.
AGENTE VARIABLE X MERCANCÍA
VENDIDA ($)
Y VARIABLE
SALARIO ($)
1
2
3
4
5
0
1000
2000
3000
4000
500
900
1300
1700
2100
Podemos analizar mejor la relación entre estas variables si trazamos una
gráfica utilizando los valores X y Y, para cada agente de ventas, como los
puntos de dicha gráfica. Él es una gráfica de dispersión o dispersigrama.
Una gráfica de dispersión o dispersigrama es una gráfica de parejas
de valores X y Y.
La gráfica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece
en la figura 6.1. En relación con esta figura, vemos que todos los puntos
caen sobre una línea recta. Cuando una línea recta describe la relación
entre dos variables, se dice que esta relación lineal.
Una relación lineal entre dos variables es aquella que puede
representarse con la mejor exactitud mediante una línea recta.
Observe que no todas las relaciones son lineales; algunas son
curvilíneas. En este caso, al trazar una gráfica de dispersión para las
variables X y Y, una línea curva ajusta mejor a los datos que una línea
recta.
CÁLCULO DE LA (r) DE PEARSON
La ecuación para calcular la r de Pearson mediante datos:
Donde es la suma de los productos de cada pareja de puntajes z.
Para utilizar esta ecuación, primero hay que convertir cada dato en bruto en
su valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de
redondeo. Con algún álgebra, esta ecuación se puede transformar en una
ecuación de cálculo que utilice datos en bruto:
ECUACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA (r) DE PEARSON
Dónde: es la suma de los productos de cada pareja X y Y,
también se llama la suma de productos cruzados.
La tabla 6.4 contiene algunos de los datos hipotéticos reunidos a partir de
cinco sujetos.
Datos hipotéticos para el cálculo de la r de Pearson
TABLA 6.4
SUBJETIVO X Y XY
A 1 2 1 4 2
B 3 5 9 25 15
C 4 3 16 9 12
D 6 7 36 49 42
E 7 5 49 25 35
TOTAL 21 22 111 112 106
Utilicemos estos datos para calcular la r de Pearson:
es la suma de los productos cruzados; se determina multiplicando los
datos X y Y para cada sujeto y luego sumando los productos resultantes. El
cálculo de y de los otros términos aparece en la tabla 6.4. Al sustituir
estos valores en la ecuación anterior, obtenemos.
PROBLEMA DE PRÁCTICA 6.1
Resolvamos otro ejercicio. Esta utilizaremos los datos de la tabla 6.1. Para
su conveniencia, hemos reproducido estos datos en las primeras tres
columnas de la tabla 6.5. En este ejemplo tenemos una relación lineal
imperfecta y estemos interesados en calcular la magnitud y dirección de la
relación mediante la r de Pearson. La solución también aparece en la tabla
6.5.
IQ y el promedio de las calificaciones: cálculo de la r de Pearson
TABLA 6.5
ESTUDIANTE
NÚMERO
IQX PROMEDIO
DE
DATOS Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
110
112
118
119
122
125
127
130
132
134
136
138
1.0
1.6
1.2
2.1
2.6
1.8
2.6
2.0
3.2
2.6
3.0
3.6
12,100
12,544
13,924
14,161
14,884
15,625
16,129
16,900
17,424
17,956
18,496
19,044
1.00
2.56
1.44
4.41
6.76
3.24
6.76
4.00
10.24
6.76
9.00
12.96
110.0
179.2
141.6
249.9
317.2
225.0
330.2
260.0
422.4
384.4
408.0
496.8
TOTAL 1503 27.3 189,187 69.13 3488.7
PROBLEMA DE PRÁCTICA 6.2
Tratemos de resolver otro problema. ¿Se ha puesto a reflexionar si es
verdad que los opuestos se atraen? Todos hemos estado ante parejas en las
que sus miembros parecen ser muy diferentes entre sí. ¿Pero esto es lo
usual? ¿Qué fomenta la atracción: las diferencias o las similitudes? Un
psicólogo social abordó este problema pidiendo a 15 estudiantes que
respondieran un cuestionario relacionado con un sus actitudes hacia una
amplia gama de temas. Tiempo después les mostró las “actitudes” de un
extraño hacia los mismos temas y les pidió que evaluaran su agrado o
inclinación por el extraño y si, probablemente, disfrutarían el trabajar con él.
En realidad, las “actitudes” del extraño fueron elaboradas por el
experimentador y variaron de sujeto a sujeto, con respecto a la proporción
de actitudes similares que hubo entre el extraño y el individuo que participó
en el experimento. De esa manera, se obtuvieron datos, para cada sujeto a
sus actitudes y la atracción que sintió hacia un extraño, basada en las
actitudes de este último hacia los mismos temas. Si los iguales se atraen,
entonces debería existir una relación directa entre la atracción hacia un
extraño y la proporción de actitudes similares. Los datos se presentan en la
tabla 6.6. Entre mayor sea la atracción, más alto será el puntaje. El puntaje
de atracción máximo es de 14. Calcule el coeficiente de correlación r de
Pearson * para determinar si existe una relación directa entre la similitud de
actitudes y el grado de atracción.
Datos y solución del problema de práctica 6.2
TABLA 6.6
ESTUDIANTE
NÚMERO
PROPORCIÓN DE
ACTITUDES
ATRACCIÓN
Y
SIMILARES X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.30
0.44
0.67
0.00
0.50
0.15
0.58
0.32
0.72
1.00
0.87
0.09
0.82
0.64
0.24
8.9
9.3
9.6
6.2
8.8
8.1
9.5
7.1
11.0
11.7
11.5
7.3
10.0
10.0
7.5
0.090
0.194
0.449
0.000
0.250
0.022
0.336
0.102
0.518
1.000
0.757
0.008
0.672
0.410
0.058
79.21
86.49
92.16
38.44
77.44
65.61
90.25
50.41
121.00
136.89
132.25
53.29
100.00
100.00
56.25
2.670
4.092
6.432
0.000
4.400
1.215
5.510
2.272
7.920
11.700
10.005
0.657
8.200
6.400
1.800
TOTAL 7.34 136.5 4.866 1279.69 73.273
Por lo tanto, con base en estos estudiantes, existe una relación muy fuerte
entre las similitudes y las atracciones.
Una segunda interpretación de la r de Pearson. La r de Pearson también
se puede interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio
de X. este punto de vista produce más información importante acerca de r y
la relación entre X y Y. Considere, por ejemplo, la figura 6.9, en la cual se
muestra una relación imperfecta entre X y Y. En este ejemplo, la variable X
representa una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad en la
escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos
predecir la calificación en la escritura de María, la estudiante cuya
calificación en ortografía es de 88. Si no hubiese una relación entre la
escritura y la ortografía.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. En un largo curso de introducción a la sociología, un profesor hace
dos exámenes. El profesor quiere determinar si las calificaciones de
los estudiantes en el segundo examen correlacionadas con las
calificaciones del primero. Para facilitar la los, se elige una muestra de
ocho estudiar calificaciones aparecen en la siguiente tabla.
a. Construya una gráfica de dispersión para datos, utilizando la
calificación del primer examen como la variable X. ¿Parece
lineal la relación?
b. Suponga que existe una relación lineal en calificaciones de los
dos exámenes, calcule la r de Pearson.
c. ¿Qué tan bien explican la relación, las calificaciones del
segundo examen?
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Series1
0,629531757
Se puede decir que es una relación Baja y positiva que los dos exámenes
tienen entre si
2. Un investigador realiza un estudio de la relación entre el consumo de
cigarros y las enfermedades determinan la cantidad de cigarros
fumados diariamente y de días de ausencia en el trabajo dura último
año debido a una enfermedad para 13 individuos en la compañía
donde trabaja este investigador. Los datos aparecen en la tabla
anexa.
SUJETO CIGARROS
CONSUMIDOS
DÍAS DE
AUSENCIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
10
13
20
27
35
35
44
53
60
1
3
8
10
4
14
5
6
12
16
10
16
a. Construya una gráfica de dispersión para estos datos: ¿Se ve
una relación lineal?
b. Calcule el valor de la r de Pearson.
c. Elimine los datos de los sujetos 1, 2, 3, 10, 11 y 12. Esto
disminuye el rango de ambas variables. Vuelva a calcular r
para los sujetos restantes. ¿Qué afecto tiene la disminución del
rango sobre r?
d. A utilizar todo el conjunto de datos, ¿qué porcentaje de la
variabilidad en el número de días de ausencia es explicado por
la cantidad de cigarros fumados diariamente? ¿De qué sirve
ese valor?
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20 40 60 80
Series1
0,6753
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 10 20 30 40
Series1
0,0318
3. Un educador ha construido un examen para las aptitudes mecánicas y
desea determinar si éste es confiable, mediante dos administraciones
con un lapso de 1 mes entre ellas. Se realiza un estudio en el cual 10
estudiantes reciben dos administraciones del examen, donde la
segunda administración ocurre un mes después que la primera. Los
datos aparecen en la tabla.
a. Construya una gráfica de dispersión para las parejas de datos.
b. Determine el valor de r.
c. ¿Sería justo decir que éste es un examen confiable? Explique esto al
utilizar .
SUJETO ADMINISTRACIÓN 1 ADMINISTRACIÓN 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
12
20
25
27
35
43
40
32
47
10
15
17
25
32
37
40
38
30
49
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60
Series1
0,9881
La investigación no es confiable por que los datos son tomados en dos
fecha totalmente distintas
4. Un grupo de investigadores ha diseñado un cuestionario sobre la
tensión, consistente en 15 sucesos. Ellos están interesados en
determinar si existe una coincidencia entre dos culturas acerca de la
cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El cuestionario
se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe
utilizar el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás
eventos en relación con el ajuste necesario para el matrimonio. El
matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se considera
que un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento
debe recibir más de 50 puntos. El número de puntos excedentes
depende de la cantidad de ajustes requeridos. Después de que cada
sujeto de cada cultura ha asignado puntos a todos los eventos, se
promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la
siguiente tabla:
EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS
Muerte de la esposa
Divorcio
Separación de la pareja
Temporada en prisión
Lesiones personales
Matrimonio
Despedido del trabajo
Jubilación
Embarazo
Dificultades sexuales
Reajustes económicos
Problemas con la familia
política
Problemas con el jefe
Vacaciones
Navidad
100
73
65
63
53
50
47
45
40
39
39
29
23
13
12
80
95
85
52
72
50
40
30
28
42
36
41
35
16
10
a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo
y calcule la correlación entre los datos estadounidenses y la de
los italianos.
b. Suponga que los datos sólo tienen una escala ordinal y calcule
la correlación entre los datos de ambas culturas.
0
20
40
60
80
100
0 50 100 150
Series1
0,8519
La r es alta y positiva es decir que los comportamiento de las dos
nacionalidades son bastante similares
INDIVIDUO EXÁMEN CON LÁPIZ
Y PAPEL
SIQUIATRA
A
SIQUIATRA
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
48
37
30
45
31
24
28
18
35
15
42
22
12
11
4
7
10
8
3
1
9
2
6
5
9
12
5
8
11
7
4
1
6
2
10
3
5. Un psicólogo ha construido un examen lápiz - papel, a fin de medir la
depresión. Para comparar los datos del examen con los datos de los
expertos, 12 individuos “con perturbaciones emocionales” realizan el
examen lápiz – papel. Los individuos también son calificados de
manera independiente por dos siquiatras, de acuerdo con el grado de
depresión determinado por cada uno como resultado de entrevistas
detalladas. Los datos aparecen a continuación. Los datos mayores
corresponden a una mayor depresión.
a. ¿Cuál es la correlación entre los datos de los dos siquiatras?
b. ¿Cuál es la correlación entre las calificaciones del examen con
lápiz y papel y los datos de cada siquiatra?
0,8519
La relación se da con un mismo criterio por los psiquiatras
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15
Series1
0,6973
La relación entre las dos variables es baja y positiva
0
2
4
6
8
10
12
14
0 20 40 60
Series1
0,697
6. Para este problema, suponga que usted es un psicólogo que labora
en el departamento de recursos humanos de una gran corporación. El
presidente de la compañía acaba de hablar con usted acerca de la
importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la
0
2
4
6
8
10
12
14
0 20 40 60
Series1
capacidad de la institución para hacer esto. Existen 300 empleados
en esta sección y cada obrero fabrica el mismo artículo. Hasta ahora,
la corporación sólo ha recurrido a entrevistas para elegir a estos
empleados. Usted busca bibliografía y descubre dos pruebas de
desempeño, lápiz – papel, bien estandarizadas, y piensa que podrían
estar relacionados con los requisitos desempeño de esta sección.
Para determinar si alguna de ellas se puede utilizar como dispositivo
de selección, elige 10 empleados representativos de la sección de
manufactura, garantizando que un amplio rango de desempeño quede
representado en la muestra, y realiza las dos pruebas con cada
empleado. Los datos aparecen en la siguiente tabla.
Mientras mayor sea la calificación, mejor será el desempeño. Las
calificaciones de desempeño en el trabajo. Las calificaciones de
desempeño fabricados por cada empleado por semana, promediados
durante los últimos 6 meses.
a. Construya una gráfica de dispersión del desempeño en el
trabajo y la primera prueba, utilizando la prueba 1 como la
variable X. ¿Parece lineal la relación?
b. Suponga que la relación anterior es lineal y calcule el valor de
la r de Pearson.
c. Construya una gráfica de dispersión del desempeño en el
trabajo y la segunda prueba, utilizando la prueba 2 como la
variable X. ¿Parece lineal la relación?
d. Suponga que la relación anterior es lineal, calcule el valor de la
r de Pearson.
e. Si sólo pudiera utilizar una de las pruebas para la selección de
los empleados, ¿utilizaría alguna de ellas? En tal caso, ¿cuál
de ellas? Explique.
EMPLEADO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Desempeño en el trabajo 50 74 62 90 98 52 68 80 88 76
Examen 1 10 19 20 20 21 14 10 24 16 14
Examen 2 25 35 40 49 50 29 32 44 46 35
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30
Series1
0,5917
0,9076
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60
Series1
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN
INTERNACIONAL
EVALUACIÓN
SEXTO A NOCHE
CÁLCULO DEL COEFICIENTE r DE PEARSON Y REALICE LA GRÁFICA
ESTUDIANTE
NÚMERO
PROPORCIÓN DE
ACTITUDES
SIMILARES X
ATRACCIÓN Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.30
0.44
0.67
0.00
0.50
0.15
0.58
0.32
0.72
1.00
0.87
0.09
0.82
0.64
0.24
8.9
9.3
9.6
6.2
8.8
8.1
9.5
7.1
11.0
11.7
11.5
7.3
10.0
10.0
7.5
EJERCICIO RESUELTO Nº2 DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS
DETERMINANCDO EL CUADRO AUXILIAR Y REALICE LA GRÁFICA
PRUEBA DE HABILIDAD MENTAL
X EXAMEN DE ADMISIÓN Y
Susana 5 15
Iván 10 20
Lourdes 15 25
Aldo 20 30
Juan 25 35
María 30 40
César 35 45
Olga 40 50
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN
INTERNACIONAL
EVALUACIÓN
SEXTO A NOCHE
EJERCICIO RESUELTO Nº2 DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS
DETERMINANDO EL CUADRO AUXILIAR Y REALICE LA GRÁFICA
ESTADOUNIDENSES ITALIANOS
100
73
65
63
53
50
47
45
40
39
39
29
23
13
12
80
95
85
52
72
50
40
30
28
42
36
41
35
16
10
c. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo
y calcule la correlación entre los datos estadounidenses y la de
los italianos.
d. Suponga que los datos sólo tienen una escala ordinal y calcule
la correlación entre los datos de ambas culturas.
Conclusiones
Desarrollo de ejercicios de correlación y regresión lineal en donde se
efectuó comparaciones de coeficientes y formulas estadísticas de las
variables determinadas.
Aplicación de gráficas para la determinación de la relación de las
variables dependientes e independientes.
Recomendaciones
Manejar y aplicar las fórmulas matemáticas para realizar un análisis
estadístico de comparación positivo.
Realizar un procedimiento con medidas específicas para la
elaboración de las gráficas.
Elaborar e interpretar con la mayor relación posible gráficas, datos y
fórmulas estadísticas.
BIBLIOGRAFÍA
Legoas, L. A. (2008). Estadística Básica. En L. A. Legoas, Estadística Básica (págs. 177-211).
Lima: San Marcos.
Mendano, J. (2007). Estadística General. En J. Mendano, Estadística General. México:
Majangrail.
Zamora, M. C. (2006). Estadística Inferencial. En M. C. Zamora, Estadística Inferencial. Lima:
Moshera.
