ANALISIS DE LA CREACI ON DE PART ICULAS AL ACOPLAR UNA ...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES

ESCUELA PROFESIONAL DE FISICA

ANALISIS DE LA CREACION DE PARTICULAS AL

ACOPLAR UNA FUENTE AL CAMPO COMPLEJO DE

KLEIN-GORDON

Tesis presentada por:

Br. YUPANQUI CARPIO WILFREDO

Para optar el tıtulo profesional de Licenciado

Asesor:

Mg. PERCA GONZALES ROLANDO

Tesis subvencionada por:

Convenio UNSA-CIENCIACTIVA-CONCYTEC

AREQUIPA-PERU

2017

JURADO EXAMINADOR

ANALISIS DE LA CREACION DE PARTICULAS AL ACOPLAR UNA

FUENTE AL CAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON

Bach. WILFREDO YUPANQUI CARPIO

Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales en la Universidad

Nacional de San Agustın, para optar el Titulo Profesional de Licenciado en Fısica.

ACEPTADO POR:

............................................

M.Sc. Hilda Maricela Quispe Abarca

............................................

M.Sc. Juan Ernesto Palo Tejada

............................................

Lic. Jose Manuel Condori Huamanga

Fecha de Aprobacion: Arequipa 21 de Abril del 2017

i

Dedicado a mis padres y hermanos

ii

Agradecimientos

Este trabajo no hubiera sido posible sin la guıa y asesoramiento del Mg. Rolando

Perca Gonzales, a quien le debo respeto y agradecimiento por sus consejos, por su

tiempo y por sobre todo su amistad.

Agradezco a mis padres y hermanos, quienes fueron el soporte emocional tanto

en los buenos y malos momentos. Esta tesis esta dedicado a ellos.

Agradezco, tambien, a mis amigos y companeros por escuchar pacientemente mis

platicas, dar su punto de vista y por las pautas sugeridas para elaborar este trabajo.

Dentro de ellos debo mencionar al Dr. Luis Huahuachampi y al Mg. Jose Jimenez,

quienes me dieron sugerencias importantes para la elaboracion de esta tesis.

Por ultimo agradezco a la Universidad Nacional de San Agustın, que median-

te el Convenio Especıfico de Cooperacion con CIENCIACTIVA hicieron posible la

subvencion economica de esta tesis.

Muchas gracias a todos.

iii

Indice general

Resumen IX

Introduccion XI

Notaciones y Convenciones XV

1. Elementos de la Mecanica Clasica 1

1.1. Tratamiento Clasico de Una Cadena de Osciladores Armonicos . . . . 9

1.2. Quantizacion de Una Cadena de Osciladores Armonicos . . . . . . . . 18

2. Elementos de la teorıa de campo clasico 22

2.1. Lagrangiana y Hamiltoniano como Funcionales . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Analogıa con el formalismo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1. Tensor energıa-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2. Generadores infinitesimales del Grupo de Lorentz . . . . . . . 35

2.3.3. Conservacion del momento angular orbital y del espın . . . . . 45

2.3.4. Simetrıa global y el Grupo U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.5. Simetrıas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Campo Escalar Real 56

3.1. Notacion Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iv

INDICE GENERAL

3.2. Ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3. Densidad y corriente de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4. Densidad de carga y densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Cuantizacion del Campo Escalar Real 79

4.1. Operadores de creacion y aniquilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. Hamiltoniano H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3. Operador momento P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4. Auto estados del Hamiltoniano y del operador Numero . . . . . . . . 93

5. Campo Complejo de Klein-Gordon 99

5.1. Operadores bp y b†p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2. Hamiltoniano H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3. Operador momento P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4. Operador carga Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Estados Coherentes 116

7. Campo Complejo de Klein-Gordon Acoplado a una Fuente 124

7.1. Lagrangiana del campo de Klein-Gordon complejo acoplado a una

fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2. Ecuaciones de movimiento para el campo complejo de Klein-Gordon

acoplado a una fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2.1. Estado in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.2. Estado out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3. Solucion de las ecuaciones de movimiento para el campo acoplado a

la fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4. Operador Hamiltoniano, momento y carga para el campo complejo

de Klein-Gordon acoplado a una fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

v

INDICE GENERAL

7.5. Numero de partıculas creadas por la fuente . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.6. Fuente simulando una situacion fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.7. Campo real de Klein-Gordon acoplado a una fuente . . . . . . . . . . 147

8. Discusiones 150

Conclusiones 154

A. Material complementario 156

A.1. Hamiltoniano en funcion de los coeficientes de expansion . . . . . . . 156

A.2. Corchete de Poisson entre bk y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A.3. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.4. Corriente conservada de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.5. Limite no-relativista de la ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . 168

A.6. Energıa de la funcion de onda de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . 170

A.7. Figura de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.8. Figura de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B. Campo complejo de Klein-Gordon (Otra forma) 177

C. Funciones de Green Retardada y Avanzada 181

C.1. Propagador de Klein-Gordon o funcion de Green Retardada . . . . . 181

C.2. Funcion de Green Avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

D. Solucion de la ecuacion de Klein-Gordon no-homogenea 187

vi

Indice de figuras

1.1. Una cadena lineal de osciladores armonicos con masas m que pueden

desplazarse en direcciones longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Relacion de dispersion de una cadena de osciladores. Los puntos in-

dican los valores discretos de k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Volumen subdividido en celdas δ3r(s) en la cual el campo toma el valor

de φ(s)σ (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. El grupo U(1) es isomorfo al circulo unitario S1. . . . . . . . . . . . 49

3.1. Esta figura muestra la caja de normalizacion, con condiciones de fron-

tera periodicas[10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1. Estados para las tres situaciones in, fuente encendida y out. . . . . . 128

7.2. Numero de partıculas promedio en funcion de las posibles frecuencias

naturales del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

C.1. Contorno de integracion para la funcion de Green retardada. . . . . . 182

C.2. Contorno de integracion para la funcion de Green avanzada. . . . . . 185

D.1. Regiones al rededor de la fuente J(x, t) en las cuales φ corresponde a

φin y φout[22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

vii

Resumen

El problema de la creacion de partıculas por una fuente en la teorıa libre del

campo real de Klein-Gordon (K-G) es tratado solo en algunas referencias, tales

como [19] y [17]. En palabras generales, este problema toma la Lagrangiana de la

teorıa del campo escalar real de K-G y la acopla a una fuente, con la cual se analiza

la dinamica introducida por la fuente en el sistema.

No se tiene referencia de algun trabajo que considere la Lagrangiana del campo

complejo de K-G acoplado a una fuente, esto es una carencia en la teorıa debido a

que en la naturaleza no solo hay partıculas neutras (descritas por el campo real de

K-G), si no tambien cargadas (descritas por el campo complejo de K-G).

En este trabajo se ha introducido un termino de fuente a la Lagrangiana del

campo complejo de K-G, con la finalidad de investigar la produccion de partıculas.

Para esto se toma la Lagrangiana del campo complejo libre (sin interacciones) y

se le adiciona un termino que contenga la fuente, esta fuente debe ser una funcion

compleja para preservar las simetrıas de la teorıa. Una vez se tiene la Lagrangiana

se procede a derivar las ecuaciones de movimiento que gobiernan el sistema fısico

descrito por la Lagrangiana, haciendo uso de la ecuacion Euler-Lagrange, que dan

como resultado dos ecuaciones diferenciales de segundo orden no-homogeneas. La

solucion a estas dos ecuaciones se obtiene con la ayuda de las funciones de Green, las

cuales permiten encontrar la forma que adquiere el campo debido a la interaccion

con la fuente; se ve que esta forma es similar a la de la teorıa de campo libre pero solo

viii

Resumen

en forma, pues el significado es completamente diferente. A partir de la Lagrangiana

tambien se encuentra el operador Hamiltoniano, haciendo uso del tensor energıa-

momento, que es completamente diferente al de la teorıa de campo libre.

Este procedimiento permite analizar la produccion de partıculas, con este fin se

relacionan los estados in (estados antes de prender la fuente) y out (estados des-

pues de apagada la fuente) lo cual lleva a interpretar el estado de vacıo in como

un estado coherente, en este estado se calcula el valor de expectacion del operador

numero, ası se determina el numero promedio de partıculas y anti-partıculas inyec-

tadas por la fuente. El numero de partıculas y anti-partıculas creadas depende de la

forma matematica que tenga la fuente. Para el caso de una fuente (representando un

proton) en reposo y que oscila con una frecuencia mayor a la frecuencia natural del

sistema (masa del campo) habra produccion de partıculas, las cuales se interpretan

como reales. La fuente debe tener restricciones en el tiempo, de lo contrario irradiara

partıculas de forma indefinida causando que el numero promedio de partıculas sea

infinito, cosa que no se desea.

Los resultados obtenidos pueden aplicarse a diversas situaciones fısicas. Por una

lado puede adecuarse al tipo de fuente que se quiere investigar, puede usarse para

estudiar haces de electrones libres y algunos sistemas clasicos interactuantes, ya que

la ecuacion de K-G es util en la descripcion de algunos sistemas vibradores en la

mecanica clasica.

ix

Introduccion

La Teorıa de Campo Cuantico es una de las herramientas mas bellas en la fısica

y tambien una de las mas difıciles de aprender; esta es muy util para describir el

mundo subatomico. Las predicciones que hace son variadas pero las mas significativas

pueden ser, sin lugar a duda, la prediccion de anti-materia y la interaccion entre

electrones y fotones. Ademas nos permite explicar adecuadamente tres de las cuatro

fuerzas de la naturaleza las cuales son, la fuerza electromagnetica (responsable de la

interaccion electrica), la fuerza debil (responsable de los decaimientos radiactivos)

y la fuerza fuerte (responsable de la estabilidad de los nucleos atomicos). Tambien

permite hacer una conexion entre el spin y la estadıstica de las partıculas, es decir,

partıculas de spin fraccionario obedecen la estadıstica Fermi-Dirac y las partıculas de

spin entero obedecen la estadıstica Bose-Einstein. Actualmente el exito de la teorıa

de campo como la teorıa de las fuerzas subatomicas se resume en el llamado Modelo

Estandar˝. Otra de las ventajas que nos da la teorıa de campo es que nos permite

extender la mecanica cuantica no relativista (bajas energıas) a sistemas relativistas

(altas energıas) que describen sistemas con partıculas creandose y aniquilandose,

esto debido a la relacion masa-energıa E = mc2.

En la teorıa podemos encontrar diversos campos tales como, escalares (represen-

tan partıculas de espın-0), espinoriales (representan partıculas de espın fraccionario),

vectoriales (representan partıculas de espın-1) y tensoriales (representan partıculas

de espın-2). En nuestro trabajo consideraremos el campo mas facil de tratar, el cam-

x

Introduccion

po escalar o mas conocido como el campo de Klein-Gordon (K-G), en honor a los

que lo estudiaron, que describe mesones de espın-0 como el pion. Este campo escalar

se puede dividir en un campo real, el cual describe partıculas neutras (sin carga), y

un campo complejo, que describe partıculas cargadas.

En la mayorıa de las referencias solo consideran el campo de K-G libre, sin

interacciones, algunas de estas referencias son [3], [4],, [5], [7], [12], etc. En otras

referencias consideran la interaccion con una fuente, descrita por una funcion real

que puede representar un proton o neutron, acoplandola a la Lagrangiana que des-

cribe el campo de K-G real. Esta referencias son [17], [19], [22], [23], etc. No se

encontro referencias en las que se acople un termino de fuente al campo complejo

de K-G, esta es la motivacion de la tesis la cual es completamente inedita.

El proyecto de tesis tubo sus inicios en el ultimo ano de la carrera de fısica, en

el curso de proyectos cientıficos, en el cual el estudiante debe elaborar un proyecto

cientıfico en una de las areas de investigacion que se desarrollan en la escuela. Esto

con la finalidad de culminar la carrera con un proyecto de tesis de pre-grado.El area

de investigacion en el que se desarrollo el plan de tesis fue Fısica Teorica. Dentro de

los varios temas que se abordan en el grupo de fısica teorica se escogio la de Teorıa

de Campo Cuantico.

La tesis tiene como objetivo general: Introducir un termino de fuente a la La-

grangiana del campo complejo de K-G, analizar e investigar si se da la creacion

de partıculas y como se producen estas. Los objetivos especıficos son: Construir la

densidad Lagrangiana que gobierne la teorıa del campo complejo de K-G acoplado

a una fuente, derivar las ecuaciones de movimiento que describen el campo de K-G

complejo acoplado a una fuente, resolver las ecuaciones de movimiento para conocer

el comportamiento del campo complejo de K-G acoplado a una fuente, construir el

operador numero de partıculas; operador Hamiltoniano; operador momento y ope-

rador carga, investigar la creacion de partıculas en este problema y considerar una

xi

Introduccion

aplicacion que represente una situacion fısica.

Esta tesis es teorica, ya que se usa bastante las herramientas matematicas para

llegar a los objetivos planteados, pero esto no limita la prediccion y comprobacion

experimental. La ejecucion de la tesis inicia con la recopilacion bibliografica referente

al tema de investigacion (artıculos, libros, etc), investigamos la manera de acoplar

terminos de interaccion en una Lagrangiana, posterior a esto se abordara el trabajo

por derivacion de las ecuaciones de movimiento a partir de la Lagrangiana del campo

complejo de K-G acoplado a una fuente. Estas deben ser dos ecuaciones diferenciales

no homogeneas ya que tenemos dos variables dinamicas φ y φ†. La solucion de este

tipo de ecuaciones se obtiene con la ayuda de la funcion de Green. Una vez que

tengamos los campos se procede de forma analoga a la teorıa libre para obtener

los observables (operador Hamiltoniano, numero, momento y carga). Para saber si

la fuente permite la creacion de partıculas, debemos hallar el valor de expectacion

del operador numero o del Hamiltoniano en el estado de vacio (estado de mınima

energıa).

La tesis esta dividida en 8 capıtulos explicados de manera coherente y cuatro

apendices. En el primer capıtulo se explica como pasar un sistema fısico de una des-

cripcion clasica a una cuantica mediante el proceso de cuantizacion. Como ejemplo

se usa una cadena de osciladores acoplados, debido a que este sistema es el mas

apropiado para introducir el concepto de campo cuantico y ya que la mayorıa de sis-

temas tiende a comportarse como osciladores armonicos. Pero, antes de analizar este

sistema se hace un repaso de algunos conceptos relevantes de la mecanica clasica.

En el segundo capıtulo pasamos del sistema discreto al continuo, lo cual nos

conduce al concepto de campo y en este lımite continuo desarrollamos la teorıa de

campo clasico, discutiendo los teoremas de conservacion que se originan a parir de

las simetrıas que exhiben los campos.

En el tercer capıtulo, con las ideas claras sobre los campos, pasamos a estudiar

xii

Introduccion

el campo mas sencillo de todos que es el campo escalar real o mas conocido como el

campo real de K-G. En este capıtulo, tambien, se discute el concepto de invariancia

de Lorentz.

En el cuarto capıtulo, con la idea de cuantizacion estudiada en el primer capıtulo,

pasamos a cuantizar el campo escalar real, que nos da como resultado sistemas multi-

partıculas en los cuales se crean y aniquilan partıculas.

Con la experiencia obtenida en la cuantizacion del campo escalar real, pasamos a

cuantizar el campo escalar complejo de K-G, esto lo hacemos en el quinto capıtulo.

Este proceso de cuantizacion da como resultado un sistema en el que se crean y

aniquilan, tanto, partıculas como anti-partıculas.

En el sexto capıtulo hacemos un estudio de los estados coherentes o estados cuasi-

clasicos, que representan los estados de paquetes de onda. Estos estados conducen a

predicciones identicas a las que se encuentra en la mecanica clasica, para el oscilador

armonico.

En el septimo capıtulo se presenta el aporte de nuestra investigacion. En el

primer capıtulo solo se considero la cuantizacion de un campo escalar libre, tanto

real como complejo, sin interacciones. En este capıtulo cuantizaremos el campo de

K-G complejo acoplado a una fuente, que es representada por una funcion compleja.

Una vez cuantizado este sistema analizamos la creacion de partıculas estudiando los

estados fısicos del sistema y como aplicacion consideramos una fuente que simule un

nucleon, con el cual calculamos el promedio de partıculas creadas.

El octavo capıtulo contiene las discusiones de los resultados a los que se llego al

culminar la investigacion.

En los apendices se encuentran deducciones de algunas relaciones importantes

ası como material complementario para entender ideas de otros capıtulos.

xiii

Notaciones y Convenciones

La ecuacion de Euler-Lagrange para un sistema de finitos grados de libertad esta

dada por:

∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0

El momento conjugado:

pi =∂L

∂qi

El Hamiltoniano:

H(p, q, t) =∑i

piqi − L

Las ecuaciones de Hamilton o canonicas:

pi = −∂H∂qi

qi =∂H

∂pi

Los corchetes de Poisson de dos variables dinamicas A(p, q) y B(p, q) es:

A,B =∑n

(∂A

∂qn

∂B

∂pn− ∂A

∂pn

∂B

∂qn

)Para pasar de un sistema clasico a uno cuantico, los corchetes de Poisson se convier-

ten en conmutadores de la siguiente forma:

A,B → 1

i~

[A, B

]xiv


En teorıa de campos, generalmente se trabaja en unidades naturales en las que:

c = ~ = 1

En esta notacion:

[longitud] = [tiempo] = [energıa]−1 = [masa]−1

La lagrangiana en funcion de la densidad Lagrangiana es:

L =

∫d3r L

Se define la densidad de momento conjugado como:

πσ =∂L∂φσ

la ecuacion de Euler-Lagrange para funcionales es:

δL

δφσ− d

dt

(δL

δφσ

)= 0

La ecuacion de Euler-Lagrange para campos esta dada por:

∂L∂φσ− ∂µ

(∂L

∂(∂µφσ)

)= 0

El Hamiltoniano para un sistema de infinitos grados de libertad se escribe como:

H =

∫d3r

(∑σ

πσφσ − L

)

El corchete de Poisson entre dos funcionales se define como:

F,G =

∫d3r∑σ

(δF

δφσ

δG

δπσ− δF

δπσ

δG

δφσ

)Los indices latinos i, j, k, etc generalmente denotan las coordenadas espaciales y

usualmente toman los valores 1, 2, 3.

xv


Los indices griegos µ, ν, α, etc generalmente denotan las coordenadas espacio-

temporales, tomando los valores 0, 1, 2, 3.

Los ındices repetidos generalmente se suman, a menos que se indique lo contrario.

La metrica de Minkowski o espacio-temporal es diagonal, expresada de la siguiente

forma:

gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

Los 4-vectores se indican por un tipo de letra claro, mientras que los 3-vectores se

indican por un tipo de letra en negrita, por ejemplo

xµ = (x0, r), xµ = gµνxν = (x0,−r)

pµ = (E,p), pµxµ = Et− p · r

Para las particulas masivas se cumple

pµpµ = p2 = E2 − p2 = m2

La energıa relativista es definida como:

E2 = p2 +m2

De la teorıa cuantica se conoce que los operadores diferenciales para E y p son:

E = i~∂

∂t, p = −i~∇

El operador diferencial en 4-dimensiones es:

pµ = i~(∂

∂t,−∇

)= i~∂µ

xvi


Siendo el operador diferencial contravariante.:

∂µ =∂

∂xµ=(∂0, ∂1, ∂2, ∂3

)=

(∂

∂t,− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)=

(∂

∂t,−∇

)El operador diferencial covariante es:

∂µ = gµν∂ν =

(∂

∂t,∇)

El operador d’Alambertiano se define por:

∂µ∂µ =∂2

∂t2−∇2

= ∂µ∂µ =∂2

∂t2−∇2

El operador diferencial nabla esta definido por:

∇ =

(∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)= ∂i

El sımbolo anti-simetrico de Lavi-Civita esta definido por:

εijk =

+1 si es una permutacion par de (123)

−1 si es una permutacion impar de (123)

0 si se repite cualquiera de (123)

Este sımbolo cumple la siguiente identidad:

εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − δinδjmδkl − δimδjlδkn − δilδjnδkm

xvii

Capıtulo 1

Elementos de la Mecanica Clasica

En este primer capıtulo de la tesis se explica como pasar un sistema fısico de

una descripcion clasica a una cuantica mediante el proceso de cuantizacion. Como

ejemplo se usa una cadena de osciladores acoplados, debido a que este sistema es el

mas apropiado para introducir el concepto de campo cuantico. Pero, antes de ana-

lizar este sistema se hace un repaso de algunos conceptos relevantes de la mecanica

clasica. El principal objetivo de este capıtulo es mostrar la manera como surge la

cuantizacion de un sistema fısico.

En la mecanica clasica se tiene dos formulaciones equivalentes, una esta basada en

las ecuaciones de Newton del movimiento˝la cual considera cambios infinitesimales

secuenciales a lo largo del camino de la partıcula. La segunda esta basada en el

principio de mınima accion˝la cual considera la evaluacion de todos los caminos

posibles entre dos puntos y selecciona uno en el que la accion sea mınima. Existe

una conexion entre las ecuaciones de Newton y la minimizacion de la accion sobre

todos los caminos posibles, estas son equivalentes[1].

Ecuaciones de movimiento←→ Principio de mınima accion

Cuando generalizamos nuestros resultados al dominio cuantico, esta equivalencia

1

CAPITULO 1. ELEMENTOS DE LA MECANICA CLASICA

se rompe. Este quiebre se debe a que en la teorıa cuantica introducimos el prin-

cipio de incertidumbre de Heinsenberg que nos obliga a introducir probabilidades

y a considerar todos los caminos posibles que puede seguir la partıcula (permiti-

dos y prohibidos), siendo el mas probable el seguido clasicamente. De la mecanica

cuantica sabemos que hay una probabilidad finita de que la partıcula se desvie de

su ecuacion de movimiento clasica. Esta desviacion se vuelve dominante a escalas

subatomicas llevandola a que tome, incluso, los caminos clasicamente prohibidos.

Las manifestaciones cuanticas de la desviacion de las ecuaciones de Newton son

diversas, por ejemplo tenemos, el tunelamiento cuantico, espectros de absorcion y

emision, decaimientos radiactivos, estabilidad del atomo, etc.

Aunque las ecuaciones de movimiento de Newton falle en el dominio subatomico,

es posible incorporar estas probabilidades cuanticas al principio de mınima accion.

Ası, el principio de mınima accion permite calcular la probabilidad de que la tra-

yectoria de la partıcula se desvie de la trayectoria clasica. El principio de mınima

accion se eleva como una de las bases de la nueva mecanica.

Consideremos primero un sistema clasico sencillo, el que esta compuesto por una

partıcula puntual no-relativista de masa m que se mueve bajo la influencia de un po-

tencial V (q), independiente del tiempo. En tres dimensiones la partıcula tendra tres

grados de libertad, cada una de ellas indicada por la coordenada qi(t). La formula-

cion mas general de la ley de movimiento es el principio de mınima accion o principio

de Hamilton. Segun este principio, todo sistema mecanico esta caracterizado por una

funcion definida[2]:

L = L(qi, qi, t) (1.1)

llamada funcion Lagrangiana. Esta es una funcion solo de la posicion qi, la velocidad

de la partıcula qi y el tiempo t y no de las derivadas superiores de qi,...q i, ... esto

debido a que el estado mecanico de un sistema esta completamente definido por

sus coordenadas y velocidades. Clasicamente el movimiento de una partıcula es

2

determinada minimizando la accion, que es la integral de la Lagrangiana:

S =

∫ t1

t0

L(q, q, t) dt (1.2)

El camino clasico tomado por la partıcula es uno en el que la accion es mınima,

conocido como el principio de mınima accion, que puede escribirse como[2].

δS = 0 (1.3)

La ecuacion de movimiento sigue de un problema variacional, en el que hacemos una

pequena variacion en la trayectoria de la partıcula manteniendo los puntos finales

fijos en los instantes t0 y t1, es decir:

δqi(t0) = δqi(t1) = 0 (1.4)

Para calcular δS, debemos variar la Lagrangiana con respecto al cambio de las

coordenadas y las velocidades:

δS =

∫ t1

t0

δL(qi, qi, t) dt

=

∫ t1

t0

(∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qiδqi

)=

∫ t1

t0

(∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qi

d

dtδqi

)=

∫ t1

t0

(∂L

∂qiδqi +

d

dt

(∂L

∂qi

)δqi +

∂L

∂qi

d

dtδqi −

d

dt

(∂L

∂qi

)δqi

)0 =

∫ t1

t0

dt

(∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

))δqi +

∫ t1

t0

d

dt

(∂L

∂qiδqi

)dt

El ultimo termino se anula por virtud de (1.4). Si el integrando es nulo nos queda

la ecuacion:

∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0 (1.5)

Si hay varios grados de libertad, las funciones qi(t) deben variar independientemente.

Estas son las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange. Si se conoce la Lagrangiana

del sistema mecanico dado, entonces la ecuacion (1.5) establece las relaciones entre

3


las aceleraciones, las velocidades y las coordenadas, es decir, son las ecuaciones de

movimiento del sistema (equivalente a las ecuaciones de Newton).

Una descripcion alternativa de (1.1) es obtenida definiendo a L como[2]:

L = T − V =1

2mq2i − V (q) (1.6)

Reemplazando en Ec. (1.5) se obtiene la clasica ecuacion de movimiento, ecuacion

de Newton:

md2qidt2

= −∂V (q)

∂qi(1.7)

que forma las bases de la mecanica Newtoniana.

En la mecanica Newtoniana hay dos diferentes formulaciones, una es la formu-

lacion Lagrangiana donde la posicion qi y la velocidad qi de una partıcula son las

variables fundamentales mediante las cuales el estado mecanico de un sistema queda

determinado y la otra formulacion; la Hamiltoniana que depende de las coordenadas

generalizadas qi y el momento pi como variables independientes[1].

Para hacer la transicion de la formulacion Lagrangiana a la Hamiltoniana debe-

mos definir el momento conjugado pi(t) como una variable independiente, en lugar

de la velocidad qi:

pi =∂L

∂qi(1.8)

Usando una transformacion de Legendre pasamos de un conjunto de variables inde-

pendientes a otro, es decir, pasar del conjunto (qi, qi) al conjunto (qi, pi). Tomamos

4

la variacion a la funcion Lagrangiana (1.1):

δL =∑i

∂L

∂qiδqi +

∑i

∂L

∂qiδ(qi) (1.9)

=∑i

piδqi +∑i

piδ(qi)

=∑i

(piδqi + piδ(qi) + δpiqi − δpiqi)

=∑i

(piδqi + δ(piqi)− δpiqi)

δ

(∑i

piqi − L

)= −

∑i

piδqi +∑i

δpiqi (1.10)

Llegamos a esta expresion usando Ec. (1.5) y el hecho de que ∂L∂qi

= pi, esto se

deduce de Ec. (1.8). El termino de la izquierda en la Ec. (1.10) representa la energıa

del sistema, que expresada en funcion de los momentos y las coordenadas toma el

nombre de funcion de Hamilton o Hamiltoniana[2]:

H(p, q, t) =∑i

piqi − L (1.11)

Podemos probar que H(q, p) no es una funcion de q, considerando la variacion de el

Hamiltoniano en Ec. (1.10):

δH = −∑i

piδqi +∑i

qiδpi (1.12)

Tomando la variacion al Hamiltoniano tenemos:

δH =∑i

∂H

∂qiδqi +

∑i

∂H

∂piδpi (1.13)

Comparando Ec. (1.13) con Ec. (1.12) se llega a :

pi = −∂H∂qi

(1.14)

qi =∂H

∂pi(1.15)

5


Estas son las ecuaciones de movimiento en las variables q y p y reciben el nombre de

ecuaciones de Hamilton[2], de estas ecuaciones se comprueba que el Hamiltoniano

no depende de q. A razon de su sencillez y simetrıa en su forma reciben el nombre

alternativo de ecuaciones canonicas.

Ahora debemos mencionar el formalismo de los corchetes de Poisson. En el forma-

lismo de Hamilton podemos calcular la variacion de cualquier campo A en terminos

del Hamiltoniano haciendo uso de los corchetes de Poisson. Los corchetes de Poisson

de dos variables dinamicas A(p, q) y B(p, q), es decir, cantidades que dependen de

p y q, se define como[2]:

A,B =∑n

(∂A

∂qn

∂B

∂pn− ∂A

∂pn

∂B

∂qn

)(1.16)

Supongamos que la variable dinamica tiene una dependencia de la siguiente forma

A = A(p, q, t), calculemos su derivada temporal, apliquemos derivadas parciales:

dA

dt=

∑n

∂A

∂qnqn +

∑n

∂A

∂pnpn +

∂A

∂t

Insertemos aquı las ecuaciones de Hamilton (1.14) y (1.15):

dA

dt=

∑n

∂A

∂qn

∂H

∂pn−∑n

∂A

∂pn

∂H

∂qn+∂A

∂t

=∑n

(∂A

∂qn

∂H

∂pn− ∂A

∂pn

∂H

∂qn

)+∂A

∂t

= A,H+∂A

∂t(1.17)

Las integrales de movimiento son aquellas funciones de las variables dinamicas, que

permanecen constante durante el movimiento del sistema, De Ec. (1.17) se deduce

que la condicion para que la magnitud A sea una integral de movimiento, (dA/dt =

0), debe cumplirse[2]:

A,H+∂A

∂t= 0 (1.18)

6

Si la integral de movimiento no depende explıcitamente del tiempo esta ecuacion se

convierte en:

A,H = 0 (1.19)

Un caso especial de Ec. (1.17) nos muestra que el Hamiltoniano es una constante de

movimiento (la masa y el potencial no dependen del tiempo), usamos Ec. (1.17):

dH

dt= H,H+

∂H

∂t=∂H

∂t(1.20)

Si el Hamiltoniano no depende implıcitamente del tiempo entonces dH/dt = 0, y se

tiene la ley de conservacion de la energıa[2].

Los corchetes de Poisson cumplen las siguientes propiedades:

f, g = −g, f (1.21)

f, f = 0 (1.22)

f, g + h = f, g+ f, h (1.23)

fg, h = f, h g + f g, h (1.24)

0 = f, g, h+ g, h, f+ h, f, g (1.25)

Si una de las funciones es una constante c el corchete de Poisson es cero:

f, c = 0 (1.26)

Otra propiedad interesante se obtiene tomando la derivada parcial respecto al tiempo

a Ec. (1.17):

∂

∂tf, g =

∑n

(∂

∂t

(∂f

∂qn

∂g

∂pn

)− ∂

∂t

(∂f

∂pn

∂g

∂qn

))=

∑n

(∂

∂qn

(∂f

∂t

)∂g

∂pn− ∂

∂pn

(∂f

∂t

)∂g

∂qn+∂f

∂qn

∂

∂pn

(∂g

∂t

)− ∂f

∂pn

∂

∂qn

(∂g

∂t

))=

∂f

∂t, g

+

f,∂g

∂t

(1.27)

7


Si una de las funciones en Ec. (1.17) coincide con el momento o la coordenada,

los corchetes de Poisson se reducen a:

f, qn =∑n′

(∂f

∂qn′

∂qn∂pn′

− ∂f

∂pn′

∂qn∂qn′

)=

∑n′

(− ∂f

∂pn′δnn′

)= − ∂f

∂pn(1.28)

Consideramos el echo que qn y pn son independientes uno del otro. De una manera

similar obtenemos:

f, pn =∂f

∂qn(1.29)

Si ponemos f = qn en Ec. (1.28) y Ec. (1.29) obtenemos los corchetes de Poisson de

las coordenadas:

qn, qn′ = 0 (1.30)

qn, pn′ = δnn′ (1.31)

De la misma forma si colocamos f = pn tenemos:

pn, pn′ = 0 (1.32)

El metodo de Lagrange y Hamilton nos dan una elegante y flexible descripcion

de un sistema dinamico. Estos metodos pueden aplicarse a cualquier conjunto de

coordenadas generalizadas qn, el unico pre-requisito es conocer la Lagrangiana o la

Hamiltoniana. El cambio entre diferentes conjuntos de coordenadas es descrito de

forma elegante por las transformaciones canonicas[2].

8

1.1. TRATAMIENTO CLASICO DE UNA CADENA DE OSCILADORESARMONICOS

1.1. Tratamiento Clasico de Una Cadena de Os-

ciladores Armonicos

En esta parte discutiremos la cuantizacion de una cuerda no-relativista. La cuan-

tizacion de un sistema de varios cuerpos conduce directamente al concepto de campo

cuantico y muchas de las propiedades de estos campos cuanticos son explicadas a

partir de la cuerda unidimensional no-relativista[3].

Empezaremos con el tratamiento clasico, y posterior cuantizacion, de una cadena

de osciladores.

Consideremos el arreglo mostrado en la figura (1.1) que son N masas (m) discre-

tas alineadas en una cadena lineal uni-dimensional, separadas por una distancia de

equilibrio a y conectadas mediante resortes˝. Los valores q1, q2, ..., qN son los des-

plazamientos de las masas del punto de equilibrio y κ es la constante de elasticidad

de los resortes. Podemos pasar al lımite de una cuerda continua al considerar un

numero infinito de puntos de masa (N →∞) y que la distancia de separacion entre

ellas tienda a cero (a → 0), de tal manera que un sistema continuo de densidad y

tension uniforme emerge[4].

La energıa cinetica y potencial de este sistema esta dada por:

K =1

2

N∑n=1

mq2n (1.33)

U =1

2

N∑n=1

κ(qn+1 − qn)2 (1.34)

Ası la Lagrangiana del sistema es:

L =1

2

N∑n=1

mq2n −1

2

N∑n=1

κ(qn+1 − qn)2 (1.35)

Haciendo uso de la ecuacion de Euler-Lagrange (1.5) obtenemos la ecuacion de

9


Figura 1.1: Una cadena lineal de osciladores armonicos con masas m que pueden

desplazarse en direcciones longitudinales.

movimiento:

∂L

∂qn= κ

N∑n=1

[(qn+1 − qn)− (qn − qn−1)] (1.36)

La Ec. (1.36) toma esa forma debido al termino en la sumatoria, como un ejemplo

consideremos solo n = 2

∂L

∂q2=−κ2

∂

∂q2

∑n

(qn+1 − qn)2

=−κ2

∂

∂q2

[(q2 − q1)2 + (q3 − q2)2 + ...

]= κ [(q3 − q2)− (q2 − q1)]

En general tenemos que:

∂L

∂qn= κ

N∑n=1

[(qn+1 − qn)− (qn − qn−1)]

El otro termino de Ec. (1.5) es

∂L

∂qn=

N∑n=1

mqn

∂

∂t

(∂L

∂qn

)=

N∑n=1

mqn (1.37)

10


Finalmente, reemplazando en Ec. (1.5) tenemos:

κN∑n=1

[(qn+1 − qn)− (qn − qn−1)]−N∑n=1

mqn = 0

o

mqn = κ (qn+1 + qn−1 − 2qn) (1.38)

La mejor manera de estudiar este conjunto de osciladores acoplados es introduciendo

coordenadas normales[5]. La coordenada de posicion qn puede expandirse en funcion

de un conjunto de bases linealmente independientes uκn (series de Fourier):

qn(t) =∑k

ak(t)ukn (1.39)

Podemos elegir cualquier base que sea un conjunto completo, es decir ortonormal,

pero una eleccion conveniente es el uso de funciones armonicas.

ukn =1√Neikan (1.40)

El factor 1/√N es una constante de normalizacion. Con Ec. (1.40), Ec. (1.39) se

convierte en una descomposicion discreta de Fourier. El factor k tiene dimensiones

de inverso de la longitud y corresponde al numero de onda de la onda plana Ec.

(1.40).

Antes de resolver Ec. (1.38) impondremos la condicion de frontera, los extremos

de la cadena de osciladores estaran sujetos a posiciones fijas q1 = qN = 0 lo cual

implica que las soluciones tendran nodos en las fronteras. Las excitaciones tipo-onda

son reflejadas completamente en las fronteras por lo que el uso de una condicion de

frontera periodica es recomendable:

qN+1 = q1 (1.41)

11


El rango de valores de k esta restringido por esta condicion de frontera:

qN+1(t) =∑k

ak(t)eika(N+1)

√N

q1(t) =∑k

ak(t)eika√N

Remplazando esto en Ec. (1.41) tenemos:

eikaN = 1

cos(kaN) = 1

k =2π

aNh (1.42)

En Ec. (1.42) h es un numero entero. Las bases en Ec. (1.40) satisface la condicion

de ortonormalidad:

N∑n=1

uk′∗n qn(t) =

∑k

ak(t)N∑n=1

uk′∗n ukn

ak(t) =N∑n=1

uk∗n qn(t) (1.43)

debe cumplirse:

N∑n=1

uk′∗n ukn = δkk′ (1.44)

Lo cual garantiza que ukn es una base conformado por un conjunto completo de

funciones. La suma sobre el ındice de posicion n puede ser visto como un produc-

to escalar entre las funciones base. En este sentido diferentes funciones base son

ortogonales a las otras y tienen longitud igual a 1. Podemos hallar la relacion de

completeza reemplazando Ec. (1.43) en Ec. (1.39).

qn(t) =∑k

∑n′

uk∗n′ qn′(t)ukn

=∑n′

qn′(t)∑k

uk∗n′ ukn

12


Para que se cumpla esta igualdad debe cumplirse:∑k

uk∗n′ ukn = δnn′ (1.45)

A esta expresion se conoce como la relacion de completeza. Otra propiedad impor-

tante se obtiene de la conjugada compleja de las funciones base:

uk∗n =1√N

e−ikan

=1√N

ei(−k)an

= u−kn (1.46)

La coordenada de posicion tiene que ser una cantidad real, q∗n = qn, esto implica que

los coeficientes de expansion, ak(t), deben cumplir:

q∗n =∑k

a∗k(t)uk∗n

=∑k

a−k(t)u−kn

= qn

Lo que implica:

a∗k(t) = a−k(t) (1.47)

Con lo obtenido hasta ahora podemos resolver la ecuacion de movimiento (1.38),

transformandola en una ecuacion diferencial para los coeficientes ak(t):

m∑k

a(t)ukn = κ∑k

(ak(t)u

kn+1 + ak(t)u

kn−1 − 2ak(t)u

kn

)Se cumple que:

un+1 =1√N

eika(n+1)

=1√N

eikaeikan

un+1 = eikaukn (1.48)

un−1 = e−ikaukn (1.49)

13


Con esto la ecuacion de movimiento se convierte en:

ma(t)ukn = κ(ak(t)e

ikaukn + ak(t)e−ikaukn − 2ak(t)u

kn

)= κ

(ak(t)e

ika + ak(t)e−ika − 2ak(t)

)ukn

La igualdad nos garantiza que:

ma(t) = κ(ak(t)e

ika + ak(t)e−ika − 2ak(t)

)a(t) =

κ

m

(eika + e−ika − 2

)ak(t)

= −ω2kak(t) (1.50)

Esta es la ecuacion diferencial de un oscilador armonico con frecuencia:

ω2k =

κ

m

(2− eika − e−ika

)=

2κ

m(1− cos(ka))

Usando la identidad trigonometrica:

sin2

(θ

2

)=

1− cos(θ)

2(1.51)

Tenemos:

ωk = 2

√κ

m

∣∣∣∣sin(ka2)∣∣∣∣ (1.52)

La relacion de dispersion de la cadena de osciladores sometida a oscilaciones longitu-

dinales se muestra en la figura (1.2)1. Para numeros de onda pequenos, es decir, para

la longitud de onda mas grande que a, la relacion de dispersion es aproximadamente

lineal, sin(ka/2) ≈ ka/2, ωk =√

κm|k|a lo que significa que no hay oscilaciones[5].

La Ec. (1.50) describe un sistema de osciladores desacoplados, a diferencia de

Ec. (1.38) que describe osciladores acoplados. Este desacoplamiento se dio gracias

1Esta imagen fue tomada del libro de Walter Greiner and J. Reinhardt-Field Quantization.

14


Figura 1.2: Relacion de dispersion de una cadena de osciladores. Los puntos indican

los valores discretos de k.

al uso de coordenadas normales. La solucion general de Ec. (1.50) se escribe de la

siguiente manera:

ak(t) = bke−iωkt + dke

iωkt (1.53)

Usamos Ec. (1.47) para obtener una relacion entre los coeficientes bk y dk:

a∗k(t) = b∗keiωkt + d∗ke

−iωkt

= b−keiω−kt + d−ke

−iω−kt

= d−ke−iω−kt + b−ke

iω−kt

De aquı concluimos que:

d−k = b−k

dk = b∗−k (1.54)

15


Con este resultado podemos reescribir Ec. (1.53):

ak(t) = bke−iωkt + b∗−ke

iωkt (1.55)

La expansion general Ec. (1.39) se convierte en:

qn(t) =∑k

(bke−iωkt + b∗−ke

iωkt)ukn

=∑k

(bke−iωktukn + b∗ke

iωktu−kn)

=∑k

(bke−iωktukn + b∗ke

iωktuk∗n)

(1.56)

En esta ultima expresion usamos Ec. (1.46). La forma explıcita de Ec. (1.56) lo

obtenemos usando Ec. (1.40):

qn(t) =1√N

∑k

(bke−i(ωkt−kan) + b∗ke

i(ωkt−kan))

(1.57)

El segundo termino es la conjugada compleja del primero, ası la coordenada es real.

Nos sera util expresar el momento canonico pn en terminos de las coordenadas

normales. Para esto usamos Ec. (1.10) y Ec. (1.39):

pn(t) =∂L

∂qn= mqn (1.58)

Reemplazamos Ec. (1.60) en esta ultima expresion y obtenemos:

pn(t) = m∑k

(−iωk)(bke−iωktukn − b∗keiωktuk∗n

)(1.59)

Podemos evaluar el Hamiltoniano de la cadena lineal de osciladores en terminos de

las coordenadas normales:

H = T + U (1.60)

Reemplazamos Ec. (1.33) y Ec. (1.34) en esta expresion:

H =N∑n=1

1

2mp2n +

1

2

N∑n=1

κ(qn+1 − qn)2 (1.61)

16


El detalle de este calculo lo encontramos en el apendice A. El Hamiltoniano tomara la

forma

H = m∑k

ω2k (bkb

∗k + b∗kbk) (1.62)

Es util encontrar una relacion para las coordenadas normales en funcion de la

coordenada de posicion y el momento canonico, procedemos de la siguiente manera:

∑n

uk∗n qn(t) =∑k′

[bk′e

−iωk′ t∑n

uk∗n uk′

n + b∗k′eiωk′ t

∑n

uk∗n u−k′n

]= bke

−iωkt + b∗−keiωkt (1.63)

De la misma forma para pn:

∑n

uk∗n pn(t) = m∑k′

(−iωk′)

(bk′e

−iωk′ t∑n

uk∗n uk′

n − b∗k′eiωk′ t∑n

uk∗n u−k′n

)= −imωk

(bke−iωkt − b∗−keiωkt

)i

mωk

∑n

uk∗n pn(t) = bke−iωkt − b∗−keiωkt (1.64)

Sumando Ec. (1.63) y Ec. (1.64) obtenemos:

bk =1

2

∑n

uk∗n eiωkt

(qn(t) +

i

mωkpn(t)

)(1.65)

Tomando la conjugada compleja de esta expresion tenemos:

b∗k =1

2

∑n

ukne−iωkt

(qn(t)− i

mωkpn(t)

)(1.66)

Podemos demostrar que Ec. (1.65), y por lo tanto Ec. (1.66), no tiene una depen-

17


dencia temporal:

dbkdt

=1

2

∑n

uk∗n

[(iωk)e

iωkt

(qn(t) +

i

ωkmpn(t)

)+ eiωkt

(qn(t) +

i

ωkmpn(t)

)]

=1

2

∑n

uk∗n eiωkt

[(...) +

mqn(t)

m+

i

ωk

∑k′

(−iωk′)2(bk′e

−iωk′ tuk′

n + b∗k′eiωk′ tuk

′∗n

)]

=1

2

∑n

uk∗n eiωkt

[iωkqn(t)− pn(t)

m+pn(t)

m

]+

1

2eiωkt

[i

ωk

∑k

(−iωk)2(bke−iωkt + b∗−ke

iωkt)]

=1

2

∑n

uk∗n eiωkt(iωk)qn(t)− iωk

2

(bk + b∗−ke

2iωkt)

=iωk2

(bk + b∗−ke

2iωkt)− iωk

2

(bk + b∗−ke

2iωkt)

= 0 (1.67)

Como bk no depende del tiempo podemos escribir Ec. (1.65)

bk(0) =1

2

∑n

uk∗n eiωkt

(qn(t) +

i

mωkpn(t)

)(1.68)

El corchete de Poisson, tambien llamado bracket de Poisson, entre bk y H esta da-

do por:

bk, H = −iωkbk (1.69)

tomando la conjugada compleja de esto tenemos

b∗k, H = iωkb∗k (1.70)

El detalle de este resultado lo encontramos en el apendice A.

1.2. Quantizacion de Una Cadena de Osciladores

Armonicos

Para hacer la transicion de la clasica a la mecanica cuantica reemplazamos las

coordenadas de posicion (qn) y momento (pn) de una masa puntual por operadores

18

1.2. QUANTIZACION DE UNA CADENA DE OSCILADORES ARMONICOS

lineales qn y pn, a este procedimiento se le llama comunmente primera cuantizacion.

El postulado de la cuantizacion relaciona el corchete de Poisson de dos variables

dinamicas con el conmutador entre dos operadores[1]:

A,B → 1

i~

[A, B

](1.71)

Con esto en mente podemos escribir Ec. (1.57) y Ec. (1.59) de la siguiente forma:

qn(t) =∑k

(bk(t)u

kn + b†n(t)uk∗n

)(1.72)

pn(t) =∑k

(−imωk)(bk(t)u

kn − b†n(t)uk∗n

)(1.73)

Estos operadores son hermitianos, q†n = qn y p†n = pn, para garantizar que sus valores

de expectacion sean reales.

Los coeficientes de expansion bk(t) son ahora operadores en el espacio de Hilbert

y ukn son las bases de la expansion. La dependencia temporal de bk(t) es muy

simple, se puede inferir de Ec. (1.57):

bk(t) = e−iωktbk(0) (1.74)

b†k(t) = eiωktb†k(0) (1.75)

La relacion de conmutacion entre estos operadores y el operador Hamiltoniano lo

obtenemos usando Ec. (1.69) y Ec. (1.71):

bk, H →1

i~

[bk, H

]Lo que nos conduce a: [

bk, H]

= ~ωkbk (1.76)

De la misma forma podemos encontrar el conmutador entre los operadores bk y b†k:

bk, b∗k →1

i~

[bk, b

†k′

][bk, b

†k′

]=

~2mωk

δkk′ (1.77)

19


y [bk, bk′

]=[b†k, b

†k′

]= 0 (1.78)

Los operadores bk tienen la dimension de longitud ası el conmutador (1.77) tiene

un factor con dimensiones de longitud elevado al cuadrado. Es ventajoso introducir

nuevos operadores adimensionales, definiendo:

ak =

√2mωk~

bk (1.79)

a†k =

√2mωk~

b†k (1.80)

Ası Ec. (1.77) y Ec. (1.78) se convierten en:[ak, a

†k′

]= δkk′ (1.81)

[ak, ak′ ] =[a†k, a

†k′

]= 0 (1.82)

Las expansiones en Ec. (1.72) y Ec. (1.73) se convierten en:

qn(t) =∑k

√~

2mωk

(ak(t)u

kn + a†n(t)uk∗n

)(1.83)

pn(t) = −i∑k

√~mωk

2

(ak(t)u

kn − a†n(t)uk∗n

)(1.84)

De acuerdo a Ec. (1.62) el operador Hamiltoniano es:

H =∑k

mω2k

(bkb†k + b†kbk

)(1.85)

=∑k

~ωk2

(aka

†k + a†kak

)Hacemos uso del conmutador de Ec. (1.81) y llegamos:

H =∑k

~ωk(a†kak +

1

2

)(1.86)

20

1.2. QUANTIZACION DE UNA CADENA DE OSCILADORES ARMONICOS

Este es el Hamiltoniano de un sistema de osciladores armonicos desacoplados con

energıas ~ωk. Esta ecuacion tambien contiene el punto cero de energıa 12~ωk para

cada modo de oscilacion. El ındice k describe los N diferentes modos de oscila-

cion. Como estos modos son desacoplados, la energıa solo es dada por la suma de

las diferentes contribuciones. Las vibraciones cuantizadas del sistema son llamados

fonones.

El Hamiltoniano en Ec. (1.86) describe la energıa total de una coleccion de

partıculas distribuidas sobre varios estados excitados ui con energıas Ei.

El logro de este capitulo es demostrar que el proceso de cuantizacion se lleva a

cabo convirtiendo los coeficientes de expansion de la coordenada en operadores, tal

como se hizo en (1.72). Estos operadores satisfacen una relacion de conmutacion de

la forma (1.77) o (1.81), es por este motivo que se les da el nombre de operadores

de ascenso y descenso[6].

21

Capıtulo 2

Elementos de la teorıa de campo

clasico

En este capıtulo se explica como surge el concepto de campo a partir de un

lımite clasico, se introduce los conceptos de densidad Lagrangiana y Hamiltoniana,

se discute la dependencia funcional de la Lagrangiana y el Hamiltoniano a partir de

las cuales se derivan las ecuaciones de movimiento, haciendo uso de conceptos de

teorıa de funcionales se halla una relacion entre el formalismo de Lagrange y el de

Hamilton, se introduce la definicion de corchetes de Poisson para funcionales a partir

de las cuales se deducen relaciones importantes para los campos y sus momentos

canonicos. Tambien, se discute las leyes de conservacion que se desprenden de las

simetrıas espacio-temporales que exhiben los campos, tales como: Conservacion de

la energıa y el momento, conservacion del momento angular orbital y del espın.

Otro tipo de simetrıa, que no depende de las coordenadas espacio-temporales, son

las simetrıas internas las cuales son tratadas en la parte final de este capıtulo.

Los conceptos discutidos aquı son de suma importancia para capıtulos posterio-

res.

En la fısica clasica un campo es descrito por una o varias funciones del espacio-

22

tiempo φ(r, t) que satisfacen las llamadas ecuaciones de campo que son ecuaciones

diferenciales parciales. En este punto asociaremos a cada punto del espacio (finito o

infinito) la variable continua de campo φ(r, t), que constituye un sistema de infinitos

grados de libertad. En el primer capıtulo se considero un sistema de N masas pun-

tuales caracterizadas por un conjunto de coordenadas discretas qi(t), con grados de

libertad finitos. Si se hace que los grados de libertad sean infinitos (N →∞) se llega

al lımite de una cuerda continua descrita por un campo de desplazamientos φ(r, t)

que varıa continuamente como funcion de la posicion y del tiempo a lo largo de la

cuerda, ası, φ mide la amplitud del desplazamiento de la cuerda desde el reposo.

Las variables dinamicas de nuestra teorıa ahora son los valores del campo φ(r) en

cada punto del espacio en lugar del discreto conjunto de coordenadas qi, aquı la

coordenada del espacio r toma el rol de un ındice continuo.

La variable de campo, φσ (el ındice σ es un ındice discreto que enumera diferentes

campos), difiere de la coordenada generalizada, qi, por el hecho que qi = qi(t) y

φσ = φσ(r, t). Podemos relacionarlas si dejamos a i (enumera los grados de libertad

del sistema) que corresponda no solo al ındice discreto σ sino tambien a la variable

continua r del vector posicion. Ası i pasa de finito y discreto a infinito y continuo.

Este procedimiento hace que el campo φσ sea interpretado como un sistema mecanico

de infinitos grados de libertad. Esta analogıa puede ser expuesta si subdividimos el

espacio en celdas de volumen δ3r(s) las cuales distinguimos por un super ındice (s),

tal como se muestra en la figura (2.1). Definimos a φ(s)σ (t) como el promedio de φσ

en la celda (s)[7]

φ(s)σ (t) =

1

δ3r(s)

∫(δ3r(s))

φσ(x) d3r (2.1)

De esta manera, es posible representar la funcion L o su valor L(s) en cualquier celda

(s)

L(s)(t) =1

δ3r(s)

∫(δ3r(s))

L(x) d3r (2.2)

23

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE CAMPO CLASICO

Figura 2.1: Volumen subdividido en celdas δ3r(s) en la cual el campo toma el valor

de φ(s)σ (t).

siendo L la densidad Lagrangiana en el volumen δ3r(s), por lo tanto

L(s) = δ3r(s)L(s)

sumando sobre todas las celdas nos da la Lagrangiana total:

L =∑s

δ3r(s)L(s) (2.3)

Extendiendo la suma sobre todo el espacio la funcion de Lagrange se convierte en:

L =

∫d3r L (2.4)

Con la ayuda de Ec. (1.8) se introduce el momento conjugado:

pj =∂L

∂qj(2.5)

que es la conjugada canonica de la coordenada qj. Ası usando Ec. (1.8) se tiene

pj =∑s

δ3r(s)∂L(s)

∂φ(s)σ

(2.6)

24

2.1. LAGRANGIANA Y HAMILTONIANO COMO FUNCIONALES

Se define a π(s)σ (r) como la densidad de momento conjugado para φ

(s)σ (x), que es la

nueva variable dinamica.

π(s)σ =

∂L(s)

∂φ(s)σ

(2.7)

Sumando Ec. (2.6) sobre todo el espacio nos queda:

p =

∫πσ(r) d3r (2.8)

siendo:

πσ =∂L∂φσ

(2.9)

Con todo lo visto hasta ahora, podemos pasar el Hamiltoniano de un sistema discreto

a uno continuo:

H =∑j

pj qj − L (2.10)

=∑s

δ3r(s)

∑σ

π(s)σ φ(s)

σ − L(s)

Sumando sobre todo el espacio tenemos:

H =

∫d3r

∑σ

πσφσ − L

=

∫d3r H (2.11)

Donde H es la densidad Hamiltoniana, definida por:

H =∑σ

πσφσ − L (2.12)

2.1. Lagrangiana y Hamiltoniano como Funciona-

les

La funcion Lagrangiana es un funcional del campo, es decir, es un mapeo del

espacio de funciones (espacio de Banach) al espacio los numeros reales, esto debido

25


a que la Lagrangiana depende de las funciones de campo. Es comun denotar la

dependencia funcional mediante corchetes[8]:

L = L[φσ, φσ

](2.13)

Para poder aplicar el principio de Hamilton a la Lagrangiana, primero se necesita

definir la variacion de un funcional F [φ(r)][8]:

δF [φσ(r)] =

∫d3r

δF [φσ]

δφσ(r)δφσ(r) (2.14)

El termino δF [φσ ]δφσ(r)

es la derivada funcional del funcional F [φσ] con respecto a la

funcion φσ, en el punto r. Esto indica como cambia el valor del funcional cuando el

valor de la funcion φ cambia en el punto r. Aplicando Ec. (2.14) a Ec. (2.13), que

depende de las funciones φ y φ:

δL[φ, φ] =

∫d3r∑σ

(δL

δφσδφσ +

δL

δφσδφσ

)(2.15)

La integral de la Lagrangiana conduce a la accion S[φ, φ], que tambien es un fun-

cional:

S =

∫ t2

t1

dt L[φ, φ] (2.16)

La variacion de la accion es:

δS =

∫ t2

t1

dt δL[φ, φ]

=

∫ t2

t1

dt

∫d3r∑σ

(δL

δφσδφσ +

δL

δφσδφσ

)=

∫dt d3r

∑σ

(δL

δφσ− d

dt

(δL

δφσ

))δφσ +

d

dt

(δL

δφσδφσ

)=

∫dt d3r

∑σ

(δL

δφσ− d

dt

(δL

δφσ

))δφσ +

∫d3r

∫ t2

t1

d

(δL

δφσδφσ

)26

2.1. LAGRANGIANA Y HAMILTONIANO COMO FUNCIONALES

El ultimo termino se anula ya que: δφ(t1) = δφ(t2) = 0. Aplicando el principio de

mınima accion tenemos

0 =

∫dt d3r

∑σ

(δL

δφσ− d

dt

(δL

δφσ

))δφσ

Lo cual nos conduce a la ecuacion de Euler-Lagrange para funcionales:

δL

δφσ− d

dt

(δL

δφσ

)= 0 (2.17)

Esta ecuacion es una generalizacion de la ecuacion (1.5) para la teorıa de campos.

La ecuacion (2.4) expresa la Lagrangiana L como la integral de volumen sobre la

densidad Lagrangiana L, esto garantiza que se esta tratando con una teorıa de campo

local. Es facil ver que L tiene la dependencia:

L = L(φσ,∇φσ, φσ) (2.18)

En principio L podrıa depender de las derivadas de mayor orden del campo φ,

esto, sin embargo nos conduce a consecuencias indeseables ya que las ecuaciones

de movimiento seria de mayor orden que el segundo orden. En este caso no se

esta estudiando teorıas no locales en las que L en r tenga una dependencia adicional

del valor del campo en otro punto r′ 6= r. La restriccion a teorıas locales, en las que

la densidad Lagrangiana depende de derivadas de primer orden, es suficiente para

formar las bases de una teorıa de la naturaleza[4].

Usando la densidad Lagrangiana L, la variacion de L sera:

δL =

∫d3r

∑σ

(∂L∂φσ

δφσ +∂L

∂(∇φσ)δ(∇φσ) +

∂L∂φσ

δφσ

)=

∫d3r

∑σ

((∂L∂φσ−∇

(∂L

∂(∇φσ)

))δφσ +

∂L∂φσ

δφσ

)+

∑σ

∫d3r ∇

(∂L

∂(∇φσ)δφσ

)︸︷︷︸∫

S∂L

∂(∇φσ)δφσ .d~S=0

27


El ultimo termino se anula debido a que δφσ = 0 en la frontera S. Finalmente la

variacion de L sera:

δL =

∫d3r

∑σ

((∂L∂φσ−∇

(∂L

∂(∇φσ)

))δφσ +

∂L∂φσ

δφσ

)(2.19)

Cabe mencionar que se uso δ(∇φσ) = ∇(δφσ), que en forma general se desprende

de:

δ∂φσ∂xµ

=∂φ′σ∂xµ− ∂φσ∂xµ

=∂

∂xµ(φσ + δφσ)− ∂φσ

∂xµ

=∂

∂xµ(δφσ) (2.20)

Comparando Ec. (2.19) con Ec. (2.15) se tiene:

δL

δφσ=

∂L∂φσ−∇

(∂L

∂(∇φσ)

)(2.21)

δL

δφσ=

∂L∂φσ

(2.22)

Reemplazando este resultado en Ec. (2.17) se obtiene la ecuacion de Euler-Lagrange

para la densidad Lagrangiana:

∂L∂φσ−∇

(∂L

∂(∇φσ)

)− d

dt

(∂L∂φσ

)= 0 (2.23)


(∂L

∂(∂µφσ)

)= 0 (2.24)

Aquı se uso la notacion covariante relativista y el gradiente 4-dimensional:

∂µ =

(1

c

∂

∂t,∇)

=∂

∂xµ(2.25)

Tan pronto se conoce la densidad Lagrangiana de una teorıa fısica se obtiene las

ecuaciones de campo a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Estas ecuaciones

toman la forma de ecuaciones diferenciales parciales. Se asume que L no depende

de derivadas de mayor orden que el primer orden, por lo que los campos satisfacen

28

2.2. ANALOGIA CON EL FORMALISMO DE HAMILTON

al menos ecuaciones diferenciales de segundo orden, caso contrario encontrarıamos

violaciones al principio de causalidad.

Para finalizar esta discusion cabe resaltar que las ecuaciones de campo (2.24)

pueden ser derivadas directamente del principio variacional considerando solo la Ec.

(2.16). Este calculo se presenta en el apendice A.

2.2. Analogıa con el formalismo de Hamilton

La formulacion Lagrangiana de la teorıa de campo es adecuada para describir

la dinamica relativista, debido a que todas las expresiones son invariantes de Lo-

rentz. Sin embargo, tambien es util considerar la formulacion Hamiltoniana ya que

al cuantizar el campo, que implica promover las funciones de campo a operadores,

es adecuado trabajar en la figura de Heisenberg y por lo tanto en la formulacion Ha-

miltoniana. El introducir el Hamiltoniano H hace posible remplazar las ecuaciones

de campo por las ecuaciones de campo canonicas, que corresponden a las ecuaciones

canonicas de movimiento en mecanica clasica Ec. (1.14) y Ec. (1.15).

De acuerdo a Ec. (2.11) se puede escribir el Hamiltoniano como una integral

sobre la densidad Hamiltoniana H. Pero tambien es conveniente escribirlo de una

manera diferente

H =

∫d3r

(∑σ

πσφσ − L

)(2.26)

29


Variando el Hamiltoniano

δH =

∫d3r

∑σ

(δπσφσ + πδφσ

)− δL

=

∫d3r∑σ

(δπσφσ + πσδφσ

)−∫d3r∑σ

(δL

δφσδφσ +

δL

δφσδφσ

)=

∫d3r∑σ

δπσφσ + πσδφσ −

δL

δφσδφσ −

δL

δφσδφσ

=

∫d3r∑σ

δπσφσ + πσδφσ − πσδφσ − πσδφσ

=

∫d3r∑σ

(δπσφσ − πσδφσ

)(2.27)

usando la Ec. (2.9), reemplazandolo en Ec. (2.23) y con la ayuda de Ec. (2.21) se

tiene:

πσ =δL

δφσ(2.28)

Comparando Ec. (2.27) con la forma de la derivada funcional se tiene

πσ = − δHδφσ

(2.29)

φσ =δH

δπσ(2.30)

Ası concluimos que:

H = H(φσ, πσ) (2.31)

y claramente:

H = H(φσ,∇φσ, πσ,∇πσ) (2.32)

30

2.2. ANALOGIA CON EL FORMALISMO DE HAMILTON

Ahora aplicamos la variacion directamente en Ec. (2.11)

δH =

∫d3r δH

=

∫d3r∑σ

(∂H∂φσ

δφσ +∂H

∂(∇φσ)δ(∇φσ) +

∂H∂πσ

δπσ +∂H

∂(∇πσ)δ(∇πσ)

)=

∫d3r∑σ

(∂H∂φσ−∇

(∂H

∂(∇φσ)

))δφσ +∇

(∂H

∂(∇φσ)δφσ

)+∫

d3r∑σ

(∂H∂πσ−∇

(∂H

∂(∇πσ)

))δπσ +∇

(∂H

∂(∇πσ)δπσ

)Se sabe que en la frontera ∂V las variaciones de φσ y πσ son:

δφσ = δπσ = 0

Con esto y un procedimiento similar al de la Ec. (2.19), se tiene:

δH =

∫d3r∑σ

(∂H∂φσ−∇

(∂H

∂(∇φσ)

))δφσ +

(∂H∂πσ−∇

(∂H

∂(∇πσ)

))δπσ

(2.33)

Ası se concluye que:

δH

δφσ=

∂H∂φσ−∇

(∂H

∂(∇φσ)

)(2.34)

δH

δπσ=

∂H∂πσ−∇

(∂H

∂(∇πσ)

)(2.35)

Reemplazando estas ultimas expresiones en Ec. (2.29) y Ec. (2.30) se obtiene:

πσ = − ∂H∂φσ

+∇(

∂H∂(∇φσ)

)(2.36)

φσ =∂H∂πσ−∇

(∂H

∂(∇πσ)

)(2.37)

Ahora se procede a revisar el papel que juegan los corchetes de Poisson en la

teorıa de campo clasico. Sean dos funcionales F [φσ, πσ] y G[φσ, πσ], el corchete de

Poisson entre estos dos funcionales se define como:

F,G =

∫d3r∑σ

(δF

δφσ

δG

δπσ− δF

δπσ

δG

δφσ

)(2.38)

31


La evolucion temporal de un funcional satisface:

F =

∫d3r∑σ

(δF

δφσφσ +

δF

δπσπσ

)(2.39)

Reemplazando aquı las ecuaciones de Hamilton (1.115) y (1.116) queda:

F =

∫d3r∑σ

(δF

δφσ

δH

δπσ− δF

δπσ

δH

δφσ

)= F,H (2.40)

Esta ecuacion es valida siempre que F no tenga una dependencia explicita del tiem-

po.

Ahora, tambien, una funcion puede ser escrita como un funcional de sı misma,

de la siguiente manera[9]:

φσ(r) =

∫d3r′ φσ(r′) δ(3)(r − r′) (2.41)

Variando esta ecuacion se obtiene:

δφσ =

∫d3r′ δ(3)(r − r′) δσσ′ δφσ′(r′) (2.42)

Comparando con la derivada de un funcional queda:

δφσ(r) =

∫d3r′

∑σ′

δφσ(r)

δφσ′(r′)δφσ′(r

′) (2.43)

De esto se concluye que:

δφσ(r)

δφσ′(r′)= δ(3)(r − r′) δσσ′ (2.44)

De forma similar para πσ(r), encontrandose:

δπσ(r)

δπσ′(r′)= δ(3)(r − r′) δσσ′ (2.45)

Como no hay una dependencia entre φσ y πσ se encuentra que:

δφσ(r)

δπσ′(r′)=

δπσ(r)

δφσ′(r′)= 0 (2.46)

32

2.3. TEOREMA DE NOETHER

De especial interes es calcular el corchete de Poisson entre φσ(r) y πσ(r):

φσ(r), πσ′(r′) =

∫d3r′′

∑σ′′

(δφσ(r)

δφσ′′(r′′)

δπσ′(r′)

δπσ′′(r′′)− δφσ(r)

δπσ′′(r′′)

δπσ′(r′)


)=

∫d3r′′

∑σ′′

δφσ(r)


δπσ′(r′)

δπσ′′(r′′)

=

∫d3r′′ δ(3)(r − r′′)δσσ′′δ(3)(r′ − r′′)δσ′σ′′

= δσσ′ δ(3)(r − r′) (2.47)

Para llegar a este resultado se uso Ec. (2.44), Ec. (2.45) y Ec. (2.46). A partir de

Ec. (2.46) tambien se encuentra que:

φσ(r), φσ′(r′) = πσ(r), πσ′(r

′) = 0 (2.48)

Estas relaciones halladas solo son validas para argumentos temporales iguales, en

nuestro caso no hicimos distincion para la coordenada del tiempo.

2.3. Teorema de Noether

Ahora discutiremos la relacion entre simetrıa y leyes de conservacion en la teorıa

de campo clasico que se resume en el teorema de Noether. Las leyes de conservacion,

cantidades que no cambian en el tiempo, juegan un rol importante en fısica teorica.

Las leyes de conservacion mas conocidas son la conservacion de la energıa, momento

lineal y momento angular. Estas son leyes fundamentales que cualquier teorıa debe

garantizar para ser una teorıa de la naturaleza. Ademas de estas cantidades existen

otras cantidades que se conservan, tales como la carga, isospın o generalizaciones

de estas[4]. Desde un punto de vista fundamental, las leyes de conservacion son una

consecuencia de las propiedades de simetrıa de un sistema fısico. Si al realizar una

transformacion continua de la coordenada y/o el campo bajo la cual la teorıa no

cambia, se dice que hay una simetrıa y por lo tanto hay una cantidad conservada. Por

33


ejemplo la conservacion de la energıa, momento y momento angular estan basadas en

la invariancia de la teorıa bajo traslaciones temporales, espaciales y bajo rotaciones

en el espacio respectivamente; estas son tres simetrıas de la teorıa[2]. De forma

analoga la conservacion de la carga sigue de la invariancia bajo transformaciones de

fase, simetrıa interna. En esta seccion se derivara el teorema de Noether para una

teorıa de campo clasico general y para una simetrıa de transformacion general.

La deduccion de la corriente general de Noether se encuentra en el apendice A.

La corriente general de Noether es:

fν(x) =∑σ

∂L∂(∂νφσ)

δφσ −

∑σ

∂L∂(∂νφσ)

∂φσ∂xµ− gµν L

δxµ (2.49)

la cual satisface la ecuacion de continuidad

∂νfν(x) = 0 (2.50)

Introducimos el sımbolo de sumatoria en la Ec. (2.49) para indicar que si hay mas

campos estos terminos se suman para cada campo. Como es bien sabido, una ecua-

cion de continuidad expresa una ley de conservacion. Se puede encontrar esta ley

integrando sobre todo el espacio la Ec. (2.50):∫V

∂νfν(x) d3r = 0∫V

∂

∂x0f0(x) d3r −

∫V

∇. f(x) d3r = 0

∂

∂x0

∫V

f0(x) d3r −∫∂V

f(x).dS = 0

El segundo termino se hace cero, debido a que en la superficie ∂V los terminos δφ y

δxu son cero, por lo tanto solo queda:

∂

∂x0

∫V

f0(x) d3r =∂

∂x0Q = 0

Por lo tanto:

Q =

∫V

f0(x) d3r (2.51)

34


es una cantidad conservada que tiene valor constante en el tiempo. Este es un re-

sultado esencial del teorema de Noether: Cada transformacion continua y simetrica

conduce a una ley de conservacion.

Ahora estudiaremos algunas aplicaciones importantes del teorema de Noether.

2.3.1. Tensor energıa-momento

Siguiendo la premisa del ıtem anterior consideraremos la invariancia bajo tras-

laciones de coordenadas espacio-temporales:

x′µ = xµ + εµ (2.52)

esta invariancia se da como resultado de la homogeneidad del espacio-tiempo. En

este caso la forma del campo de onda escalar no cambia de bajo traslaciones de

coordenadas espacio-temporales:

φ′(x′) = φ(x) (2.53)

por lo tanto, la variacion local se hace cero, δφ = 0, ası la corriente conservada de

Noether toma una forma simple:

fν(x) = −

∑i

∂L∂(∂νφi)

∂φi∂xµ− gµν L

δxµ (2.54)

De aquı definimos el tensor energıa-momento:

Θνµ =∑i

∂L∂(∂νφi)

∂φi∂xµ− gµν L (2.55)

La ley de conservacion en Ec. (2.50) indica que:

∂νΘνµ = 0 (2.56)

Debido a que µ = 0, 1, 2, 3, toma cuatro valores, esto implica cuatro cantidades

conservadas, que son en realidad la energıa E y el momento P, del campo de onda[7].

35


En la notacion 4-dimensional definimos la carga conservada, a partir de Ec. (2.51):

Q =

∫d3r Θ0µ

P µ =

∫d3r Θ0µ (2.57)

Esta cantidad es el 4-momento, expresado por:

P µ = (H,P) (2.58)

Ası, P 0 representa al Hamiltoniano y P i al momento (fısico) llevado por el campo

(no se debe confundir con el momento canonico).

Antes de discutir la conservacion del momento angular y del espın se hara un

alto para revisar los generadores infinitesimales del Grupo de Lorentz, que son im-

portantes para entender las otras simetrıas de la teorıa de campo clasico.

2.3.2. Generadores infinitesimales del Grupo de Lorentz

Consideraremos una transformacion de Lorentz:

x′µ = Λµν x

ν (2.59)

Una transformacion infinitesimal puede ser expresada de la siguiente forma:

Λµν = gµν + ωµν (2.60)

ωνν representa un conjunto de numeros reales pequenos. Podemos demostrar que

este tensor es anti-simetrico a partir de la siguiente identidad:

gµν = gαβΛαµΛβ

ν (2.61)

36


reemplazando aquı la Ec. (2.60):

gµν = gαβ(gαµ + ωαµ

) (gβν + ωβν

)= gαβ

(gαµg

βν + gαµω

βν + gβνω

αµ +O(ω2)

)= gβµg

βν + gβµω

βν + gανω

αµ +O(ω2)

= gµν + ωµν + ωνµ +O(ω2)

Considerando solo terminos de primer orden en ω se tiene que:

ωµν + ωνµ = 0

ωµν = −ωνµ (2.62)

Queda demostrado que ωµν es anti-simetrico en los ındices (µ, ν). Partiendo de esta

anti-simetrıa se concluye que los elementos ω00 = ω11 = ω22 = ω33 = 0, para que se

satisfaga la igualdad. Con esto en mente escribimos la forma matricial de ω

ωµν =

0 ω01 ω02 ω03

ω10 0 ω12 ω13

ω20 ω21 0 ω23

ω30 ω31 ω32 0

Debido a Ec. (2.62) solo tenemos 6 elementos independientes en la matriz

ωµν =

0 ω01 ω02 ω03

−ω01 0 ω12 ω13

−ω02 −ω12 0 ω23

−ω03 −ω13 −ω23 0

(2.63)

37


Se puede parametrizar esta matriz usando 6 matrices anti-simetricas como sigue:

ωµν = ω01

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+ ω02

0 0 1 0

0 0 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

+ ω03

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

−1 0 0 0

+

ω12

0 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 0

+ ω13

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 −1 0 0

+ ω23

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

De manera compacta se escribe:

ωµν = ω01

(I01)µν

+ ω02

(I02)µν

+ ω03

(I03)µν

+ ω12

(I12)µν

+ ω13

(I13)µν

+ ω23

(I23)µν

=∑α<β

ωαβ(Iαβ)µν

(2.64)

Identificando las matrices

(I01)µν

=

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

;(I02)µν

=

0 0 1 0

0 0 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

;(I03)µν

=

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

−1 0 0 0

(I12)µν

=

0 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 0

;(I13)µν

=

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 −1 0 0

;(I23)µν

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

(2.65)

A partir de aquı es facil ver que(Iαβ)µν

es anti-simetrico en los ındices (α, β), es

decir: (Iαβ)µν

= −(Iβα)µν

(2.66)

38


Se puede modificar la Ec. (2.64) partiendo de la siguiente relacion:

ωαβ(Iαβ)µν

= ω0β

(I0β)µν

+ ω1β

(I1β)µν

+ ω2β

(I2β)µν

+ ω3β

(I3β)µν

= ω01

(I01)µν

+ ω02

(I02)µν

+ ω03

(I03)µν

+ ω10

(I10)µν

+ ω12

(I12)µν

+ ω13

(I13)µν

+

ω20

(I20)µν

+ ω21

(I21)µν

+ ω23

(I23)µν

+ ω30

(I30)µν

+ ω31

(I31)µν

+ ω32

(I32)µν

Usando Ec. (2.63) y Ec. (2.66):

ωαβ(Iαβ)µν

= 2(ω01

(I01)µν

+ ω02

(I02)µν

+ ω03

(I03)µν

+ ω12

(I12)µν

+ ω13

(I13)µν

+ ω23

(I23)µν

)= 2

∑α<β

ωαβ(Iαβ)µν

se tiene la siguiente relacion:∑α<β

ωαβ(Iαβ)µν

=1

2ωαβ

(Iαβ)µν

(2.67)

la cual permite modificar la Ec. (2.64) de la siguiente forma:

ωµν =1

2ωαβ

(Iαβ)µν

(2.68)

A partir de esta se encuentra una expresion para(Iαβ)µν

definida por:

gαµgβνωαβ =

1

2ωαβ

(Iαβ)µν(

Iαβ)µν

= 2gαµgβν

= gαµgβν + gαµg

βν

A partir de la Ec. (2.65) se puede ver que(Iαβ)µν

es anti-simetrico en los ındi-

ces (µ, ν), por este motivo se permutan los ındices (µ, ν) en el segundo termino,

quedando solo: (Iαβ)µν

= gαµgβν − gανgβµ (2.69)

Ahora se procede a acomodar las matrices en la Ec. (2.65) de la siguiente manera:(Iαβ)µν

= gµη(Iαβ)ην

(2.70)

39


Con esto y teniendo en cuenta que

gµη =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(2.71)

se obtiene las siguientes matrices:

(I01)µν

=

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

=

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

De manera similar para las otras matrices:

(I02)µν

=

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

;(I03)µν

=

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

(2.72)

(I12)µν

=

0 0 0 0

0 0 −1 0

0 1 0 0

0 0 0 0

;(I13)µν

=

0 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 0 0

0 1 0 0

;(I23)µν

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0

(2.73)

Estas 6 matrices tienen una forma muy familiar, comparandolas con los generadores

de rotaciones en el espacio, J i y con los generadores de los boosts de Lorents, Ki[14],

40


se tiene que:

K1 = −i

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

; K2 = −i

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

; K3 = −i

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

J1 = i

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0

; J2 = −i

0 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 0 0

0 1 0 0

; J3 = i

0 0 0 0

0 0 −1 0

0 1 0 0

0 0 0 0

(2.74)

Estos generadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutacion[12]:

[J i, J j

]= iεijkJk[

Ki, Kj]

= −iεijkJk (2.75)[J i, Kj

]= iεijkKk

Donde εijk es una cantidad totalmente anti-simetrica definida por

εijk =

+1 si es una permutacion par de (123)

−1 si es una permutacion impar de (123)

0 si se repite cualquiera de (123)

(2.76)

Comparando estos generadores con las matrices (I ij)µν se encuentra que:

K1 = −i(I01)µν

; K2 = −i(I02)µν

; K3 = −i(I03)µν

(2.77)

De manera compacta

Ki = −i(I0i)µν(

I0i)µν

= iKi (2.78)

41


De manera similar para las matrices restantes:

J1 = i(I23)µν

; J2 = −i(I13)µν

; J3 = i(I12)µν

(2.79)

En forma compacta (I ij)µν

= −iεijkJk (2.80)

Con la ayuda de la Ec. (2.75) se calcula las relaciones de conmutacion que satisface

(I ij)µν , considerando Ec. (2.78) se encuentra que:[(

I0i)µν,(I0j)µν

]= −

[Ki, Kj

]= iεijkJk

Usando, nuevamente, Ec. (2.75) se llega a:[(I0i)µν,(I0j)µν

]= −

(I ij)µν

(2.81)

Para las otras matrices sera[(I ij)µν,(I lm)µν

]=

[−iεijkJk,−iεlmnJn

]= −εijkεlmn

[Jk, Jn

]= εijkεlmn

(−iεknsJs

)= εijkεlmn

(Ikn)µν

(2.82)

Usando la identidad:

εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − δinδjmδkl − δimδjlδkn − δilδjnδkm

(2.83)

Debido a la anti-simetrıa de(Ikn)µν

respecto a los ındices (k, n) es que los terminos

que tengan k = n se hacen cero, ası:[(I ij)µν,(I lm)µν

]= δim

(I lj)µν

+ δjl(Imi)µν− δjm

(I li)µν− δil

(Imj)µν

(2.84)

42


En este caso se tiene que i, j, l,m = 1, 2, 3, pudiendo hacerse el cambio i → α, j →

β, l → ρ,m → σ en el que α, β, ρ, σ = 0, 1, 2, 3, con la finalidad de generalizar la

relacion de conmutacion (2.82). Al hacer estos cambios se sustituye δij por −gαβ,

esto debido a la relacion que guardan:

gαβ =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

=

1 0 0 0

0

0 −δij

0

siendo:

δij =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Con esta premisa la Ec. (2.84) se convierte en:

[(Iαβ)µν, (Iρσ)µν

]= gασ

(Iβρ)µν

+ gβρ (Iασ)µν − gβσ (Iαρ)µν − g

αρ(Iβσ)µν

(2.85)

Para llegar a esta ultima expresion usamos la anti-simetrıa de(Iαβ)µν

en los ındice

(α, β).

Con todo lo visto hasta ahora se puede reconocer a(Iαβ)µν

como los generadores

infinitesimales de la transformacion de Lorentz, tambien se les conoce como los

generadores del grupo ortogonal O(4). Se tiene seis generadores independientes, tres

de ellos (α, β) = (1, 2); (1, 3); (2, 3) corresponden a rotaciones espaciales mientras los

otros tres restantes (α, β) = (0, 1); (0, 2); (0, 3) describen los boosts de Lorentz, es

decir, la transformacion de la velocidad a lo largo de los diferentes ejes coordenados.

El algebra de Lie en Ec. (2.85) define la estructura del grupo de Lorentz y es valida

en cualquier representacion.

43


Hasta el momento no se dio una interpretacion exacta de ωαβ, solo mencionamos

que era un numero pequeno. Para entender lo que representa, consideremos primero

un boost de Lorentz en la direccion del eje-x definido por:

Λµν =

γ −γβ 0 0

−γβ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(2.86)

Siendo:

γ =1√

1− β2; β =

υ

c(2.87)

Usando la identidad Ec. (2.61) se puede expresar la matriz en la Ec. (2.86) en una

forma trigonometrica:

g00 = gαβΛα0Λ

β0

1 = g0βΛ00Λ

β0 + g1βΛ1

0Λβ0 + g2βΛ2

0Λβ0 + g3βΛ3

0Λβ0

= g00Λ00Λ

00 + g11Λ

10Λ

10 + g22Λ

20Λ

20 + g33Λ

30Λ

30

= γ2 − γ2β2 (2.88)

si se escoge:

γ = coshϕ; γβ = − sinhϕ (2.89)

la igualdad en la Ec. (2.88) se cumple. Ası la matriz en la Ec. (2.86) se convierte en:

Λµν =

coshϕ sinhϕ 0 0

sinhϕ coshϕ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

coshϕ −β coshϕ 0 0

−β coshϕ coshϕ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(2.90)

44


Tomando ϕ→ 0, esta ecuacion se convierte en:

Λµν =

1 −β 0 0

−β 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

− β

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

= gµν − β

(I01)µν

(2.91)

Comparando con la Ec. (2.60) se tiene que:

ωµν = −β(I01)µν

(2.92)

Lo que significa que ω01 = −β = −ω10. Las otras componentes de ω generan los

otros boosts en las otras direcciones. Ahora, sea una rotacion en el plano-xy, que

implica una rotacion al rededor del eje-z:

Λµν =

1 0 0 0

0 cos θ sin θ 0

0 − sin θ cos θ 0

0 0 0 1

(2.93)

Tomando θ → 0, queda:

Λµν =

1 0 0 0

0 1 θ 0

0 −θ 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

− θ

0 0 0 0

0 0 −1 0

0 1 0 0

0 0 0 0

= gµν − θ

(I12)µν

(2.94)

Lo cual implica que ω12 = −θ = −ω21 representa el angulo infinitesimal de rotacion.

Bajo el mismo procedimiento se puede calcular las otras componentes de ω para las

rotaciones infinitesimales restantes.

45


2.3.3. Conservacion del momento angular orbital y del espın

Se asume que el espacio-tiempo 4-dimensional no solo es homogeneo bajo tras-

laciones espacio-temporales sino tambien que es isotropico con respecto a rotacio-

nes. Esto requiere que la Lagrangiana sea invariante bajo transformaciones de Lo-

rentz. Las transformaciones de Lorentz (propias) incluyen rotaciones en el espacio

3-dimensional ası como transformaciones de velocidad (boosts de Lorentz). La in-

variancia bajo estas transformaciones conduce directamente a la conservacion del

momento angular orbital y del spin.

En esta seccion, se analizara el comportamiento de la funcion de campo φr(x)

bajo rotaciones infinitesimales, aquı no asumiremos que el campo es escalar, en

general diremos que el campo tiene varias componentes. Una rotacion infinitesimal

general esta dada por[10]

x′µ = xµ + ωµνxν (2.95)

Esta relacion se obtiene a partir de una transformacion infinitesimal de Lorentz

de la forma de Ec. (2.59), con el uso de la Ec. (2.60). Como se vio en la seccion

anterior ωνν son los elementos de una matriz que representa los angulos de rotacion

y los boosts de Lorentz. Como las funciones de campo depende de las coordenadas,

y estas a su vez dependen linealmente de los angulos de rotacion, las funciones de

campo transformadas φ′r(x′) deben exhibir una dependencia lineal de los angulos de

rotacion y de los valores de φr(x). Esta dependencia es expresada de la forma mas

adecuada[4]:

φ′r(x′) = φr(x) + ωrsφs(x) (2.96)

siendo r, s los ındices que enumeran el numero de componentes del campo. Teniendo

en cuenta la Ec. (2.68) redefinimos la Ec. (2.96) como:

φ′r(x′) = φr(x) +

1

2ωαβ

(Iαβ)rsφs(x) (2.97)

46


A partir de estas expresiones se encuentra que:

δφr(x) =1

2ωαβ

(Iαβ)rsφs(x); δxµ = ωµνx

ν (2.98)

Reemplazando esto en la Ec. (2.49), se obtiene la corriente conservada de Noether:

fν(x) =∑r

∂L∂(∂νφr)

1

2ωαβ

(Iαβ)rsφs(x)−Θνµω

µρx

ρ

Siendo Θνµ el tensor energıa-momento definido en la seccion 2.3.1. Esta corriente

escrita de otra manera serıa:

fν(x) =1

2ωαβ

∑r

∂L∂(∂νφr)

(Iαβ)rs φs(x)−Θνµωµρxρ (2.99)

Usando la anti-simetrıa de ωµρ en los ındices (µ, ρ) se tiene que:

Θνµωµρxρ =

1

2(Θνµω

µρxρ +Θνρωρµxµ)

=1

2ωµρ (Θνµxρ −Θνρxµ)

podemos reemplazar este ultimo termino en Ec. (2.99)

fν(x) =1

2ωµρ

∑r

∂L∂(∂νφr)

(Iµρ)rs φs(x)−Θνµxρ +Θνρxµ

(2.100)

Es adecuado definir una nueva cantidad denotada por:

Mνµρ =∑r

∂L∂(∂νφr)

(Iµρ)rs φs(x)−Θνµxρ +Θνρxµ (2.101)

Con esta nueva cantidad la Ec. (2.100) se convierte en:

fν(x) =1

2ωµρMνµρ (2.102)

La correspondiente cantidad conservada sera:

1

2ωµρ

∫V

M0µρ d3r = constante (2.103)

47


Ahora, introducimos el tensor anti-simetrico Mµρ(x) definido por:

Mµρ(x) =

∫V

M0µρ d3r

=

∫V

∑r

∂L∂(φr)

(Iµρ)rs φs(x)−Θ0µxρ +Θ0ρxµ

=

∫V

(xµΘ0ρ − xρΘ0µ) d3r +

∫V

∑r

∂L∂(φr)

(Iµρ)rs φs(x) d3r

Es facil ver que M00 = 0, por tal motivo se escoge µ → n y ρ → l, tal que (n, l) =

1, 2, 3

Mnl(x) =

∫V

(xnΘ0l − xlΘ0n) d3r +

∫V

∑r

∂L∂(φr)

(Inl)rs φs(x) d3r (2.104)

Separando esta ultima ecuacion en dos partes, se tiene:

Mnl(x) = Lnl + Snl (2.105)

donde:

Lnl =

∫V

(xnΘ0l − xlΘ0n) d3r (2.106)

se convierte en:

Lnl =

∫V

∑r

∂L∂φr

(xn

∂

∂xl− xl

∂

∂xn

)φr(x) d3r (2.107)

Esta expresion contiene la componentes del producto cruz, entre el vector posicion

y el momento, por lo tanto es adecuado interpretar Lnl como el momento angular

orbital, que es ortogonal al plano formado por xn y xl.

Por otro lado se tiene que:

Snl =

∫V

∑r

∂L∂(φr)

(Inl)rs φs(x) d3r (2.108)

contiene los generadores (Inl)rs, es ası que depende de la transformacion intrınseca

de las propiedades del campo φr. Este termino describe el momento angular interno

48


o espın y tomara diferentes valores para campos escalares, espinoriales, vectoriales

y tensoriales. Entonces, Mµρ juega el papel de momento angular tensorial y es una

constante de movimiento. Ademas de describir el momento angular, el tensor Mµρ,

da otras tres propiedades conservadas al combinar los ındices espacio-temporales.

Estas cantidades estan relacionadas a la generalizacion relativista del centro de masa

tema que no abordaremos aquı.

De la Ec. (2.104) se puede ver que las componentes espaciales del tensor momento

angular, Mnl, tiene tres componentes independientes, (1, 2), (1, 3), (2, 3), las cuales

pueden convertirse en las componentes del vector momento angular 3-dimensional

L. Esto se consigue con la ayuda de la Ec. (2.76):

Mnl = εnlk Lk (2.109)

Usando la identidad:

εnlkεnlm = 2δkm (2.110)

reescribimos la Ec. (2.109) de la siguiente forma:

Lk =1

2εknlMnl (2.111)

Antes de tratar las simetrıas internas, que conducen a otras cantidades conser-

vadas, discutiremos las simetrıas globales y la relacion que hay entre el grupo U(1)

y el grupo SO(2).

2.3.4. Simetrıa global y el Grupo U(1)

El elemento g = eiα forma un grupo abeliano, con la multiplicacion compleja

como la operacion binaria del grupo, denotado como U(1). Este grupo contiene todos

los numeros complejos con valor absoluto igual a 1 y la multiplicacion compleja como

operacion binaria. Se puede ver que g = eiα cumple con las propiedades que definen

a un grupo:

49


Es cerrado bajo la multiplicacion compleja:

g = eiα ε U(1); h = eiβ ε U(1) tal que gh = ei(α+β) ε U(1)

Existe un elemento neutro: Existe un unico elemento neutro e ε U(1), tal que

ge = g siendo e = ei2π = 1

El elemento inverso: Por cada elemento g ε U(1) existe un elemento inverso

g−1 ε U(1) tal que

gg−1 = e siendo g =iα y g =−iα

Dado g, h ε U(1) tal que gh = hg. Si los elementos del grupo cumplen esta

propiedad se dice que el grupo es abeliano.

El grupo U(1) esta compuesto de matrices unitarias 1 × 1 que corresponden

al grupo de cırculos S1, este actua en el plano complejo mediante rotaciones

al rededor del origen. El grupo de cırculos es parametrizado por el angulo α de

rotaciones, ver figura (2.2):

z = eiα = cosα + i sinα (2.112)

con |z| = 1. Este es el mapeo exponencial para el grupo de cırculos. El parametro α

que etiqueta la transformacion (elemento del grupo) se define con modulo 2π, y sus

valores estan restringidos en el intervalo 0 < α < 2π.

El grupo de cırculos es a su vez isomorfo al grupo especial ortogonal SO(2). La

relacion entre estos tres grupos se expresa ası:

U(1) ∼= S1 ∼= SO(2) (2.113)

50


Figura 2.2: El grupo U(1) es isomorfo al circulo unitario S1.

Grupo SO(2)

SO(2) es un grupo compuesto de matrices ortogonales, R, reales de 2 × 2 con

determinante 1, escrito de otra manera:

SO(2) =R ε Mat(<, 2)/RT = R−1/det(R) = 1

(2.114)

Toda matriz real R ε SO(2) es de la forma:

R =

a b

c d

; donde a, b, c, d ε < (2.115)

Para determinar los valores de a, b, c, d se puede usar la condicion de ortogonalidad

de las matrices, es decir, RT = R−1. Primero se determina R−1 usando la regla de

Laplace[14]:

(R−1

)ij

=Cof (R)jidet(R)

=(−1)i+j

det(R)Men(R)ji (2.116)

51


Men(R) es la matriz de menores de R, que es obtenida eliminando la i-esima fila y

la j-esima columna de R. Con esto en mente se calcula los elementos de R−1(R−1

)11

=(−1)2

1Men(R)11 = R22 = d(

R−1)12

= −Men(R)21 = −R12 = −b(R−1

)21

= −Men(R)12 = −R21 = −c(R−1

)22

= Men(R)22 = R22 = a

Ası la matriz R−1 es:

R−1 =

d −b

−c a

(2.117)

Igualando con RT :

RT = R−1 ⇒

a c

b d

=

d −b

−c a

Con esto la matriz R toma la forma

R =

a b

−b a

(2.118)

Como sabemos det(R) = 1, ası:

det(R) = a2 + b2 = 1 (2.119)

Esta es la ecuacion de un cırculo con radio igual a 1. Por lo tanto es razonable elegir:

a = cosα; b = − sinα

Con α ε (0, 2π). En resumen se tiene:

R(α) =

cosα − sinα

sinα cosα

, SO(2) =

cosα − sinα

sinα cosα

; α ε (0, 2π)

(2.120)

52


Es facil de ver que R(α) = R(α + 2π), R(α1)R(α2) = R(α1 + α2) y R(0) = 1.

El generador λ de SO(2) esta definido por

λ =

(id

dαR(α)

)α=0

=

0 −i

i 0

(2.121)

λ2 =

0 −i

i 0

0 −i

i 0

=

1 0

0 1

(2.122)

Expandiendo eiλα en una serie de Taylor:

eiλα =∞∑n=0

(iλα)n

n!= 1 + i

(λα)

1!− (λα)2

2!− i(λα)3

3!+

(λα)4

4!+ i

(λα)5

5!+ ...

=

(1− (λα)2

2!+

(λα)4

4!+ ...

)+ i

((λα)

1!− (λα)3

3!+

(λα)5

5!+ ...

)=

∞∑n=0

(−1)n(α)2n

(2n)!(λ2)n + i

∞∑n=0

(−1)n(α)2n+1

(2n+ 1)!λ2nλ

= cos(α)

1 0

0 1

+ i sin(α)

0 −i

i 0

=

cos(α) − sin(α)

sin(α) cos(α)

(2.123)

Lo que implica que:

R(α) = eiλα (2.124)

Con esto se reescribe la Ec. (2.120):

SO(2) =eiλα, α ε (0, 2π)

(2.125)

Todo elemento de SO(2) puede ser escrito como un exponencial de su generador.

Como se menciono antes, Ec. (2.113), el grupo SO(2) es isomorfo al grupo U(1),

53


para entender que significa esto consideremos los grupos SO(2) y U(1), tal que:

SO(2), (∗) ; U(1), (.)

∗ : Definido por el producto usual de matrices

. : Definido por el producto usual de numero complejos

una funcion f : SO(2)→ U(1) se dice ser un homeomorfismo si

f (R(α1) ∗R(α2)) = f (R(α1)) .f (R(α2)) (2.126)

f (R(0)) = 1U(1) (2.127)

y se dice que este homeomorfismo es un isomorfismo si f−1 : U(1) → SO(2), es

decir, es biyectiva. Es natural pensar que f cumple

f (R(α)) = eiα (2.128)

Es facil ver que cumple las tres propiedades mencionadas arriba:

f (R(α1) ∗R(α2)) = f (R(α1 + α2)) = eiα1 .eiα2 = ei(α1+α2) (2.129)

f (R(0)) = ei0 = 1 (2.130)

f−1(eiα)

= R(α) (2.131)

Ası el isomorfismo entre SO(2) y U(1) se puede expresar

eiα ↔

cos(α) − sin(α)

sin(α) cos(α)

(2.132)

Esto da la interpretacion geometrica de que la multiplicacion por un numero com-

plejo unitario es una rotacion en el plano complejo.

2.3.5. Simetrıas internas

Hasta el momento se ha investigado simetrıas relacionadas a la transformacion

de coordenadas. Esto ha dado como resultado unas leyes de conservacion validas

54


para cualquier sistema fısico. Pero, la Lagrangiana puede exhibir otras simetrıas que

no estan relacionadas al espacio-tiempo, estas simetrıas estan presentes en campos

que poseen estructura interna indicado por la presencia de varias componentes φr.

A este tipo de simetrıa se le conoce como simetrıas internas, las cual combinan las

componentes del campo. Una simetrıa interna es aquella que solo involucra trans-

formaciones del campo y actuan de la misma manera en cada punto del espacio (son

transformaciones globales)[4].

Una transformacion continua con simetrıa global, para el campo escalar complejo,

que rota la fase de φr tendra la siguiente forma:

φ′r(x) = eiαφr(x)

φ′∗r (x) = e−iαφ∗r(x) (2.133)

Esta transformacion de fase se considera como una rotacion en el plano complejo,

tal como se menciona en la seccion anterior.

Podemos constatar que la Lagrangiana es invariante bajo esta transformacion,

δL = 0. Ası L′ tendra su propia dependencia

L′ = L′ (φ′, ∂µφ′, φ′∗, ∂µφ′∗) (2.134)

Variando a esta Lagrangiana se tiene:

δL′ =∂L′

∂φ′δφ′ +

∂L′

∂φ′∗δφ′∗ +

∂L′

∂(∂µφ′)δ(∂µφ

′) +∂L′

∂(∂µφ′∗)δ(∂µφ

′∗)

usando la Ec. (2.133), se tiene que:

δL′ =∂L′

∂φδφ+

∂L′

∂φ∗δφ∗ +

∂L′

∂(∂µφ)δ(∂µφ) +

∂L′

∂(∂µφ∗)δ(∂µφ

∗)

lo cual conduce a la siguiente conclusion, que δL′ = δL, por lo tanto

L′ (φ′, ∂µφ′, φ′∗, ∂µφ′∗) = L (φ, ∂µφ, φ∗, ∂µφ

∗) (2.135)

como se esperaba.

55


Podemos tomar una transformacion infinitesimal considerando a α como un

parametro infinitesimal

φ′r(x) = φr(x) + iαφr(x)

φ′∗r (x) = φ∗r(x)− iαφ∗r(x) (2.136)

Estas expresiones las obtenemos de la Ec. (2.133), usando:

eiα =∞∑n=0

(iα)n

n!(2.137)

y llevandola a la aproximacion lineal. De la Ec. (2.136) se reconoce que:

δφr(x) = iαφr(x); δφ∗r(x) = −iαφ∗r(x) (2.138)

Reemplazamos estas expresiones en la corriente conservada de Noether, con δxµ = 0,

se tiene:

fν =∑r

∂L∂(∂νφr)

δφr =∂L

∂(∂νφ)δφ+

∂L∂(∂νφ∗)

δφ∗

= iα

∂L

∂(∂νφ)φ− ∂L

∂(∂νφ∗)φ∗

(2.139)

La cantidad conservada de esta simetrıa continua la obtenemos de la Ec. (2.51)

Q =

∫d3r i

∂L∂φ

φ− ∂L∂φ∗

φ∗

(2.140)

56

Capıtulo 3

Campo Escalar Real

En este capıtulo discutimos uno de los campos mas sencillos, el campo real de

Klein-Gordon. Este es un campo escalar que describe partıculas de espın cero. Este

campo esta descrito por una ecuacion de onda relativista de segundo orden que se

deriva a partir de la relacion para la energıa relativista, tambien se demuestra que

esta ecuacion es un invariante de Lorentz. Debido a que la ecuacion es de segundo

orden en el tiempo se tienen dos soluciones, una para energıas positivas y otra para

energıas negativas, tambien se demuestra que la interpretacion de una densidad de

probabilidad es imposible para este campo, lo que lleva a definir una densidad de

carga. Antes de entrar en estos detalles, se revisaran algunas definiciones de la teorıa

cuantica y de la relatividad especial que se usaran muy a menudo en este y otros

capıtulos.

Para que una teorıa cuantica sea correcta, esta debe satisfacer el principio de

relatividad, el cual establece: Las leyes del movimiento que son validas en un sis-

tema de referencia inercial, deben ser validas en todos los sistemas de referencia

inerciales[10]. En un lenguaje matematico significa: Una teorıa cuantica relativista

debe formularse en el formalismo covariante de Lorentz.

Antes de embarcarnos en la busqueda de una teorıa cuantica relativista, revisa-

57

CAPITULO 3. CAMPO ESCALAR REAL

remos brevemente algunos conceptos de la teorıa cuantica que intentaremos man-

tenerlos como validos en una teorıa cuantica relativista, con la finalidad que esta

teorıa este acorde con la teorıa cuantica.

Un elemento importante de la mecanica cuantica es la funcion de onda ψ, o

funcion de estado. Todo lo que conocemos de un sistema fısico esta resumido en

esta funcion de estado. ψ(qi, si, t) es una funcion compleja que depende de todos los

grados de libertad clasicos, las coordenadas qi, el tiempo t y de cualquier otro grado

de libertad adicional tal como el espın si, esta cantidad es estrictamente cuantica[11]

ya que no tiene un analogo clasico. La funcion de onda ψ no tiene interpretacion

fısica directa; sin embargo la cantidad:

|ψ(qi, si, t)|2 ≥ 0 (3.1)

se interpreta como la probabilidad de que el sistema tenga valores (qi, si) en un

tiempo t dado.

Los observables son representados por un operador hermitiano, tal como el Ha-

miltoniano, el momento y la coordenada[10]. Un sistema fısico esta en el auto-estado

de un operador Ω si se satisface una ecuacion de auto-valores

ΩΦn = ωnΦn (3.2)

Donde Φn es el n-esimo auto-estado correspondiente al n-esimo auto-valor ωn. Para

un operador hermitiano el auto-valor ωn es real.

Cualquier funcion de onda, o funcion de estado, de un sistema fısico puede ser

expandido en un conjunto ortonormal completo de auto-funciones ψn[6]

ψ =∑n

an ψn (3.3)

con la condicion de ortonormalidad satisfecha∫dqi ψ

∗n(qi, si, t)ψm(qi, si, t) = δnm (3.4)

58

|an|2 es la probabilidad de que el sistema este en el n-esimo auto-estado.

El resultado de la medicion de cualquier observable es cualquiera de sus auto-

valores. En particular, si un sistema esta descrito por la funcion de onda ψ =∑n an ψn, con Ωψn = ωnψn, la medida de Ω resulta en los auto-valores ωn con

una probabilidad |an|2 de obtenerla. El promedio de muchas medidas del observable

Ω en un sistema preparado identicamente para cada medicion, esta dado por[6]

< Ω >ψ =∑s

∫ψ∗(qi, s, t)Ωψ(qi, s, t) dqi =

∑n

|an|2ωn (3.5)

La evolucion temporal de un sistema fısico esta expresada por la ecuacion de

Schrodinger

i~∂ψ

∂t= Hψ (3.6)

H es el Hamiltoniano, un operador hermitiano lineal. Este operador no tiene depen-

dencia explicita del tiempo para un sistema cerrado o conservativo

∂H

∂t= 0 (3.7)

sus auto-valores son los posibles estados estacionarios del sistema. La conservacion

de la probabilidad sigue a partir de la propiedad hermitica de H

∂

∂t

∑s

∫ψ∗ψ dqi =

i

~∑s

∫[(Hψ)∗ψ − ψ∗(Hψ)] = 0 (3.8)

La finalidad es mantener estos principios familiares de la mecanica cuantica como

principios de la teorıa cuantica relativista. Con estos conceptos en mente se hara la

transicion de la mecanica cuantica no relativista a la relativista.

Cualquier teorıa de la naturaleza relacionada con la materia fundamental debe

ser consistente con la relatividad (altas energıas) ası como con la teorıa cuantica

(distancias microscopicas y bajas energıas). La descripcion de fenomenos a altas

energıas requiere que investiguemos ecuaciones de onda relativistas, esto significa

59


que las ecuaciones sean invariantes de Lorentz. La transicion de la descripcion no-

relativista a la relativista implica re-investigar varios conceptos de la teorıa no-

relativista, tales como:

Las coordenadas espaciales y temporales deben ser tratadas con la misma

importancia.

Segun el principio de incertidumbre:

∆x∆p ∼ ~

y en el caso relativista:

∆p = m0c

con esto:

∆x ∼ ~∆p∼ ~m0c

lo cual significa que una partıcula relativista no puede ser localizada con una

precision mayor a aproximadamente ~m0c

. Ası, la idea de partıcula libre solo

tiene sentido si esta no esta confinada por restricciones externas a un volumen

que es menor a la longitud de onda de Compton λc = ~m0c

[10].

Como la posicion de la partıcula es incierta, tambien el tiempo lo es, ya que

∆x >~m0c

∆t ∼ ∆x

c>

~m0c2

En la teorıa no-relativista ∆t se puede hacer muy pequena, debido a que c→

∞. Es por esta razon que se introduce el concepto de densidad de probabilidad

ρ(r, t), que describe la probabilidad de encontrar una partıcula en una posicion

r definida y un instante t dado.

60

3.1. NOTACION RELATIVISTA

A altas energıas los procesos de creacion y aniquilacion ocurren, usualmente se

da la creacion del par partıcula-antipartıcula, esto garantizado por la relacion

de masa y energıa

E = mc2 (3.9)

es decir, si hay suficiente energıa se pueden crear partıculas a partir de esta

energıa debido a la equivalencia entre masa y energıa. Por lo tanto a altas

energıas la conservacion de partıculas ya no es una suposicion valida[10].

3.1. Notacion Relativista

En este punto se establece la notacion que se maneja en una teorıa relativista. En

primer lugar generalizamos la distancia entre dos puntos en el espacio a el intervalo

entre dos puntos en el espacio-tiempo, el cual es denotado usualmente como ds y es

definido por[13]:

ds2 = c2dt2 −(dx2 + dy2 + dz2

)(3.10)

Tambien se podrıa haber escogido:

ds2 = −c2dt2 +(dx2 + dy2 + dz2

)(3.11)

pero, en este caso se le dara mas importancia al tiempo. Con esta definicion los

eventos que son separados por un intervalo tipo-tiempo tienen ds2 > 0, aquellos

separados por un intervalo tipo-espacio ds2 < 0 y aquellos separados por un intervalo

tipo-luz o nulo ds2 = 0[14].

La Ec. (3.10) es invariante bajo transformaciones de Lorentz y rotaciones. En el

espacio 3-dimensional (x, y, z) se consideran como las componentes de un 3-vector

y la distancia entre dos puntos es

dr2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.12)

61


invariante bajo rotaciones. Esta forma cuadratica es la suma de cuadrados y por

lo tanto es definido positivo. Para generalizar a un espacio-tiempo 4-dimensional, y

que el intervalo sea positivo, se debe definir los 4-vectores:

xµ =(x0, x1, x2, x3

)= (ct, x, y, z)

xµ = (x0, x1, x2, x3) = (ct,−x,−y,−z) (3.13)

Un 4-vector como xµ, con un ındice superior, es llamado un vector contravariante y

uno como xµ un vector covariante. El producto interno de un vector contravariante

con un covariante da como resultado un escalar invariante[13]. Con esta notacion

reescribimos (3.10), de la siguiente forma:

ds2 = dxµdxµ = c2dt2 −(dx2 + dy2 + dz2

)(3.14)

En esta ultima parte usamos el convenio de sumacion de Einstein de los ındices re-

petidos: si el mismo ındice aparece en diferentes componentes tensoriales, automati-

camente debe sumarse de 0 a 3[15] o a mas de 3, dependiendo la situacion.

3∑µ=0

V µVµ → V µVµ (3.15)

Otra forma mas elegante de escribir el intervalo es haciendo uso del tensor metrico

gµν :

ds2 = gµνdxµdxν (3.16)

Aplicando el convenio de sumacion se tiene:

ds2 = gµ0dxµdx0 + gµ1dx

µdx1 + gµ2dxµdx2 + gµ3dx

µdx3

Comparando con Ec. (3.10) se ve que los unicos elementos que sobreviven son:

ds2 = g00dx0dx0 + g11dx

1dx1 + g22dx2dx2 + g33dx

3dx3

= g00c2dt2 + g11dx

2 + g22dy2 + g33dz

2

62

3.1. NOTACION RELATIVISTA

De esto se concluye que:

g00 = 1; g11 = g22 = g33 = −1 (3.17)

Todos los otros terminos son cero. De lo visto aquı, es claro que gµν puede ser escrito

como una matriz diagonal:

gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(3.18)

Se calcula facilmente la determinante de gµν y se ve que es diferente de cero, por lo

tanto su inversa existe y es:

gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(3.19)

Tiene el mismo valor que gµν , en el espacio de Minkowsky, pero no es valido si

se considera el espacio-tiempo con curvatura, es decir, en la presencia de campos

gravitatorios.

Utilizando la metrica se puede relacionar xµ y xµ de la siguiente forma (bajando

y subiendo ındices):

xµ = gµνxν (3.20)

= gµ0x0 + gµ1x

1 + gµ2x2 + gµ3x

3

A partir de Ec. (3.18) se tiene que:

x0 = x0, x1 = −x1, x2 = −x2, x3 = −x3

63


Es muy comun en la fısica de partıculas trabajar en unidades naturales donde:

c = 1

~ = 1 (3.21)

Esto significa que el segundo y el metro son tratados con el mismo fundamento, es

decir, 299792458 metros es equivalente a 1 segundo. Por otro lado el hecho que ~ = 1

indica que la energıa y el segundo son inversos uno del otro, esto significa que el

kilogramo y el metro estan relacionados inversamente. Con este convenio, la unica

unidad que sobrevive es el metro, o equivalentemente, el kilogramo[1].

Loa operadores diferenciales son de uso comun en la teorıa de campo cuantico, es

ası que se repasara los mas importantes. Se parte de la definicion del 4-momento: De

acuerdo a la teorıa de la relatividad especial la energıa y el momento se transforman

como las componentes de un 4-vector contravariante[12]

pµ = (E,p) (3.22)

El 4-vector momento covariante sera:

pµ = (E,−p) (3.23)

El producto de pµ y pµ nos da una cantidad invariante:

pµpµ = p2 = E2 − p2 = m2 (3.24)

ya que la energıa relativista es definida como:

E2 = p2 +m2 (3.25)

m representa la masa en reposo de la partıcula. Tambien usaremos la notacion del

producto de pµ y xµ:

pµxµ = Et− p · r (3.26)

64

3.2. ECUACION DE KLEIN-GORDON

De la teorıa cuantica se conoce que los operadores diferenciales para E y p son[10]:

E = i~∂

∂t, p = −i~∇ (3.27)

Reemplazando la Ec. (3.27) en Ec. (3.22) se tiene un nuevo operador diferencial en

4-dimensiones:

pµ = i~(∂

∂t,−∇

)= i~∂µ (3.28)

Siendo:

∂µ =∂

∂xµ=(∂0, ∂1, ∂2, ∂3

)=

(∂

∂t,− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)=

(∂

∂t,−∇

)(3.29)

Este es un operador diferencial contravariante. Con la ayuda de la metrica se obtiene

el operador diferencial covariante:

∂µ = gµν∂ν =

(∂

∂t,∇)

(3.30)

El producto de estos dos operadores dan un operador diferencial de segundo orden

que es invariante de Lorentz[12]:

∂µ∂µ =∂2

∂t2−∇2

= ∂µ∂µ =∂2

∂t2−∇2 (3.31)

A este operador se le da el nombre de operador d’Alambertiano.

3.2. Ecuacion de Klein-Gordon

Una manera rapida de ir de la mecanica clasica a la mecanica cuantica es re-

emplazar la energıa y momento de una partıcula por operadores, de acuerdo a la

65


definicion dada por la Ec. (3.27). Reemplazando esto en el sistema fısico mas sim-

ple, el de una partıcula libre aislada, para el cual la energıa no-relativista esta dada

por[10]

E =p2

2m(3.32)

conduce a la ecuacion de Schrodinger no relativista, para una partıcula libre

i∂

∂tψ(r, t) = − 1

2m∇2ψ(r, t) (3.33)

La ecuacion (3.33) no es covariante, es decir, no es invariante bajo una transforma-

cion de Lorentz. Esto se demuestra facilmente a partir de[16]

p′ = γ (p− υE)

E ′ = γ (E − υp) (3.34)

γ =1√

1− υ2(3.35)

Reemplazando esto en Ec. (3.33) se tiene:

H ′ =p′2

2m=

γ2

2m

(p2 + υ2E2 − 2υpE

)6= H (3.36)

por lo tanto no es invariante. Para obtener una ecuacion covariante se usa la relacion

relativista de la energıa[16]

E =√

p2 +m2 (3.37)

reemplazando la Ec. (3.27) en esta expresion, con ~ = 1, se obtiene:

i∂

∂φ(x) =

√−∇2 +m2φ(x) (3.38)

x representa la dependencia, tanto, temporal como espacial de la funcion de onda,

es decir, φ(x) = φ(r, t). Ahora el problema es interpretar el operador raız-cuadrada.

66


Si expandimos esta obtenemos una ecuacion que contiene todas las potencias de las

derivadas

i∂

∂φ(x) = m

(1− ∇

2

2m2− ∇

4

8m4...

)φ(x) (3.39)

esto nos lleva a una teorıa no local, lo cual es difıcil de manejar. Otra dificultad de

la Ec. (3.39) es que no se manifiesta como un covariante[3]. Para que una ecuacion

se manifieste como un covariante debemos saber como transforma en el espacio y

el tiempo, descrito por los generadores infinitesimales de tales transformaciones H

y P, y tambien como transforma bajo el grupo homogeneo de Lorentz, que incluye

rotaciones generadas por los operadores momento angular J y boosts generados por

los operadores K, tal como se vio en el capıtulo anterior.

Con la finalidad de obtener simpleza matematica se reemplaza los operadores en

la Ec. (3.27) en la relacion de masa y energıa de la Ec. (3.25), obteniendo

− ∂2

∂t2φ(x) =

(−∇2 +m2

)φ(x) (3.40)

Con la ayuda de Ec. (3.31) se obtiene la ecuacion de onda clasica( +m2

)φ(x) = 0 (3.41)

o ecuacion de Klein-Gordon para partıculas libres. En el lımite no-relativista esta

ecuacion tiende a la ecuacion de Schrodinger, que describe partıculas de spin-0 (ver

apendice A). Como el tipo de partıcula descrita por una ecuacion de onda no depende

de si la partıcula es relativista o no-relativista, se infiere que la ecuacion de Klein-

Gordon describe partıculas de espın cero, por lo tanto, la ecuacion (3.41) es una

ecuacion de onda para partıculas sin espın (partıculas escalares). Como la partıcula

no tiene espın la funcion de onda solo tiene una componente, la cual denotamos por

φ.

Cuando Schrodinger escribio la ecuacion de onda no-relativista que ahora lleva

su nombre, tambien formulo la correspondiente ecuacion relativista. Posteriormente

67


una identica ecuacion fue propuesta independientemente por Walter Gordon (1926),

Vladimir Fock (1926), Oskar Klein (1926), Johann Kudar (1926), Theophile de Don-

der y Van Dungen (1926). Por razones historicas esta ecuacion tomo el nombre de

ecuacion de Klein-Gordon.

Ahora se debe comprobar si la ecuacion (3.41) es un invariante de Lorentz (inva-

riante relativista). Primero nos preguntaremos. ¿A que nos referimos cuando decimos

que una ecuacion es un invariante de Lorentz? La respuesta mas adecuada serıa: Si

φ es una funcion de onda y D un operador diferencial cualquiera, la declaracion que

la siguiente relacion:

Dφ = 0

es un invariante relativista significa que si φ satisface esta ecuacion en un sistema

de referencia, al realizar un boost o una rotacion a otro marco de referencia, esta

funcion debe satisfacer la misma ecuacion:

D′φ′ = 0

En otras palabras una ecuacion es invariante relativista si preserva la forma bajo

una transformacion de Lorentz[17].

En la formulacion Lagrangiana, se puede saber con facilidad si una ecuacion es

o no un invariante de Lorentz. Si la Lagrangiana es un escalar de Lorentz (esca-

lar invariante bajo transformaciones de Lorentz) automaticamente la ecuacion de

movimiento, que se deriva de ella, es un invariante de Lorentz.

Es facil de comprobar si la ecuacion de Klein-Gordon es un invariante de Lorentz.

Con este fin se escribe la transformacion de Lorentz como en la Ec. (2.59):

x′µ = Λµνx

ν

Siendo Λ una matriz de 4×4. La amplitud φ es una cantidad escalar (solo tiene una

componente) que bajo una transformacion de Lorentz, transforma de acuerdo a:

φ′(x′) = φ(x) (3.42)

68


es decir, no varıa. Esto se interpreta de la siguiente manera: Piense en φ como la

medida de una cantidad cuyo valor local se distribuye a traves del espacio. Si hay una

concentracion de esta cantidad en x = x0, φ(x) debe tener un valor maximo en x0. Si

transformamos esta distribucion original mediante un boost, la nueva distribucion

debe tener un maximo en x′0 = Λx0, es decir, la amplitud evaluada en el punto

trasformado da el mismo valor que da la amplitud en el punto inicial. La ecuacion

(3.42) es posible solo para una funcion de onda que tenga una sola componente.

Otro requisito para que φ(x) describa partıculas escalares es que bajo una inversion

espacial r → −r el campo debe mantenerse inalterable, es decir, φ(−~r) → φ(~r).

Por otro lado si bajo la inversion espacial φ(−~r) → −φ(~r), φ describe partıculas

pseudo-escalares (cantidades que se comportan como escalares, excepto que estas

cambian de signo bajo una inversion de paridad)[18].

El operador diferencial ∂µ transforma como si fuera un 4-vector:

∂′µ = Λµν∂

ν (3.43)

Con la ayuda de esta expresion se demuestra que la ecuacion de Klein-Gordon es un

invariante de Lorentz:

(∂′µ∂′µ +m2

)φ′(x′) =

(gµα∂

′µ∂′α +m2)φ(x)

=(gµαΛµ

ν∂νΛα

η∂η +m2

)φ(x)

=(gµαΛµ

νΛαη∂

ν∂η +m2)φ(x)

Usando la identidad de la Ec. (2.61)[13] se tiene:

(∂′µ∂′µ +m2

)φ′(x′) =

(gνη∂

ν∂η +m2)φ(x)

=(∂ν∂ν +m2

)φ(x)

= 0 (3.44)

Como se menciono antes, el producto de un vector contravariante con un covariante

69


da un escalar invariante, aquı se demostro esa afirmacion. La masa m es un escalar

de Lorentz, por ello no cambia en la transformacion.

Otra observacion en esta ecuacion es que no es de primer orden en la derivada

temporal. Esto significa que no es suficiente conocer la funcion de onda en un mo-

mento dado para determinarla en tiempos posteriores; tambien se debe conocer la

derivada temporal de la funcion de onda en ese instante. En este sentido, la ecua-

cion (3.41) parece apartarse de uno de los principios basicos de la mecanica cuantica:

Conocer la funcion de onda en un instante dado es suficiente para determinarla en

todos los instantes posteriores[6]. Sin embargo, como veremos pronto esto es solo un

problema aparente y conducira a una reinterpretacion de la funcion de onda como

campo.

La solucion libre de la ecuacion de K-G es una onda plana[10]:

φ = A e−i(Et−p·r)

= A e−ipµxµ (3.45)

A es una constante de Normalizacion. Insertando la Ec. (3.45) en la Ec. (3.41), por

simplicidad se considerara solo una coordenada espacial, se obtiene:

∂2

∂t2Ae−i(Et−pxx) − ∂2

∂x2Ae−i(Et−pxx) +m2Ae−i(Et−pxx) = 0(−E2 + p2x +m2

)Ae−i(Et−pxx) = 0 (3.46)

lo cual conduce a la siguiente conclusion, en forma general:

E = ±√

p2 +m2 (3.47)

Esto indica que existen dos soluciones, una para energıas positivas con E = +√~p2 +m2

y otra para energıas negativas con E = −√~p2 +m2, esto presenta una dificultad.

Para una partıcula libre, cuya energıa es constante, esta dificultad puede ser ob-

viada al escoger que la partıcula tenga solo energıa positiva e ignorar la energıa

70

3.3. DENSIDAD Y CORRIENTE DE PROBABILIDAD

negativa[18]. Pero, una partıcula interactuante puede intercambiar energıa con su

entorno y no habrıa nada para detener que la partıcula cayera en cascada a estados

de energıa negativos, emitiendo cantidades infinitas de energıa en el proceso. Esto,

por supuesto no ocurre y la ecuacion de Klein-Gordon tiene un problema fatal[12].

Pero al interpretar de φ como un campo cuantico (operador) resuelve este problema.

Se vera mas adelante que las soluciones que contienen energıa negativa esta relacio-

nada fısicamente a las anti-partıculas, las cuales son observadas en la naturaleza[10].

3.3. Densidad y corriente de probabilidad

En la mecanica cuantica no-relativista, la ecuacion de Schrodinger nos lleva a

definir una ecuacion de continuidad que relaciona la densidad de probabilidad, ρ,

con la corriente de probabilidad, j[6]:

∂ρ

∂t+∇.j = 0 (3.48)

Definiendo a ρ y j como:

ρ = ϕ∗ϕ (3.49)

j = − i

2m(ϕ∗∇ϕ− ϕ∇ϕ∗) (3.50)

Con el fin de dar una interpretacion fısica a la ecuacion de Klein-Gordon, y

viendo que hay una analogıa con la ecuacion no-relativista, se tienta definir una

densidad y una corriente de probabilidad, de tal manera que se relacionen mediante

una ecuacion de continuidad. Partiendo de la Ec. (3.41) y tomando la conjugada

compleja de esta:

( +m2

)φ = 0(

+m2)φ∗ = 0 (3.51)

71


Multiplicando la primera de estas ecuaciones por φ∗ y a la segunda por φ:

φ∗( +m2

)φ = 0

φ( +m2

)φ∗ = 0

Restando estas dos ecuaciones:

φ∗( +m2

)φ− φ

( +m2

)φ∗ = 0

φ∗φ+ φ∗m2φ− φφ∗ − φm2φ∗ = 0

φ∗φ− φφ∗ = 0 (3.52)

Por otro lado se calcula las siguientes operaciones:

∂µ (φ∗∂µφ) = ∂µφ∗∂µφ+ φ∗∂µ∂

µφ

∂µ (φ∂µφ∗) = ∂µφ∂µφ∗ + φ∂µ∂

µφ∗

Restando estas dos expresiones, tenemos:

∂µ (φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) = gµν∂νφ∗∂µφ− ∂µφ∂µφ∗ + φ∗∂µ∂

µφ− φ∂µ∂µφ∗

= ∂νφ∂νφ∗ − ∂µφ∂µφ∗ + φ∗φ− φφ∗

= φ∗φ− φφ∗ (3.53)

Los ındices ν y µ, que se repiten, suman de la misma forma por lo tanto los dos

terminos que los contienen se anulan. Comparando con la Ec. (3.52) se tiene que:

∂µ

[i

2m(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗)

]= 0 (3.54)

Definiendo la 4-corriente densidad como:

jµ =i

2m(φ∂µφ∗ − φ∗∂µφ) (3.55)

Se ha multiplicado por i2m

de tal manera que la componente j0 tenga las dimensiones

de una densidad de probabilidad (1/cm3). Con esto la Ec. (3.54) se convierte en:

∂µjµ = 0 (3.56)

72

3.3. DENSIDAD Y CORRIENTE DE PROBABILIDAD

Esto indica que la 4-corriente densidad es conservada. Escribiendo en detalle esta

expresion se tiene:

∂0j0 + ∂ij

i = 0

∂

∂t

i

2m

(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t

)+∇.

−i2m

(φ∗∇φ− φ∇φ∗)

= 0

Se escribe esta expresion en la forma usual de una ecuacion de continuidad, ya que

posee tal forma:

∂ρ

∂t+∇.j = 0 (3.57)

Es natural interpretar a

ρ =i

2m

(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t

)=

i

2mφ∗←→∂t φ (3.58)

como una densidad de probabilidad. El nuevo operador se define como

φ∗←→∂t φ =

(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t

)(3.59)

Sin embargo hay una dificultad con esta interpretacion, ya que en un tiempo t dado

tanto φ como ∂φ∂t

pueden tener valores arbitrarios; por lo tanto, ρ en la Ec. (3.57)

puede ser positivo o negativo. Por eso, ρ no es definido como positivo y tampoco como

una densidad de probabilidad. Esto se debe a que la ecuacion de K-G es de segundo

orden en el tiempo, ası debemos conocer tanto φ y ∂φ∂t

para un determinado t. Ademas

hay soluciones para energıas negativas, esto y la dificultad con la interpretacion de

la probabilidad fueron las razones por la que la ecuacion de K-G fue considerada

fısicamente sin sentido por un largo tiempo. Por lo tanto se busco una ecuacion

de onda de primer orden en el tiempo con densidad de probabilidad positiva, la

cual fue derivada por Dirac. Sin embargo, resulto que esta ecuacion tenia, tambien,

soluciones para energıas negativas. Como lo mencionamos antes, estas soluciones

estan conectadas con la existencia de anti-partıculas. Si se re-interpreta la ecuacion

de Klein-Gordon como una ecuacion de campo cuantico, se llega inevitablemente a

una interpretacion de estados de multi-partıcula, salvandose las inconsistencias.

73


3.4. Densidad de carga y densidad de corriente

Como se tiene dos soluciones, una para energıas positivas y otra para negativas,

se pueden escribir de forma compacta como:

φ(±) = A(±) ei(p·r ∓|Ep|t) (3.60)

Siendo A(±) una constante de normalizacion. Aquı φ(+) representa la solucion para la

energıa positiva y φ(−) para la negativa. Si consideramos que la onda esta confinada

en una gran caja cubica (caja de normalizacion) con lados de longitud L, como se

muestra en la figura (1.4) y se demanda condiciones de frontera periodicas en las

paredes de la caja, se tendra , por simplicidad solo se considera una dimension:

Figura 3.1: Esta figura muestra la caja de normalizacion, con condiciones de frontera

periodicas[10].

φ(±)(0, 0) = φ(±)(L, 0) = 0 (3.61)

La funcion de onda puede expresarse

φ(±)(x, 0) = A(±) eipxx = A(±)1 cos(pxx) + A(±)2 sin(pxx) (3.62)

74

3.4. DENSIDAD DE CARGA Y DENSIDAD DE CORRIENTE

Aplicando las condiciones de frontera de la Ec. (3.61) se encuentra:

px =2π

Lnx (3.63)

Considerando las otras componentes

pn = (px, py, pz) =2π

L(nx, ny, nz) =

2π

Ln (3.64)

Con esto la Ec. (3.37) se convierte en:

En =√

p2n +m2 (3.65)

de este modo la Ec. (3.45) se convierte en:

φn(±) = An(±) ei(pn.r ∓|En|t) (3.66)

Para obtener la cantidad conservada integrando la ecuacion de continuidad (3.57)

sobre todo el espacio V :∫V

∂ρ

∂tdV = −

∫V

∇. j dV

∂

∂t

∫V

ρ dV = −∫S

j. d~S

=i

2m

∫S

(φ∗∇φ− φ∇φ∗) . d~S

=i

2m

∫S

φ∗∇φ. d~S −∫S

φ∇φ∗. d~S

= 0 (3.67)

El gradiente de φ en la frontera se hace cero, por lo tanto los terminos de la derecha

se anulan, lo que significa que:∫V

ρ d3r = Q = constante (3.68)

es decir, la constancia en el tiempo de la normalizacion (este es un resultado razo-

nable). Como ρ ya no puede ser interpretado como una densidad de probabilidad

75


omitimos el termino 1/2m en la Ec. (3.54), que le daba las unidades de probabilidad.

Ahora se expresa como:

ρ(±) = i

(φ∗n(±)

∂φn(±)∂t

− φn(±)∂φ∗n(±)∂t

)= iφ∗n(±)

←→∂t φn(±) (3.69)

De la Ec. (3.68) se puede sacar interesantes conclusiones, Q es positivo si se

considera la solucion para la energıa positiva y se reemplaza en Ec. (3.68)

Q =

∫V

ρ(+) d3r = i

∫V

φ∗n(+)(x)←→∂t φn(+)(x) d3r

= i

∫V

φ∗n(+)(−iEn)φn(+) − φn(+)(iEn)φ∗n(+)

d3r

= +2En|An(+)|2L3 (3.70)

Operando de manera similar para la solucion de la energıa negativa se encuentra

que Q toma un valor negativo

Q = −2En|An(+)|2L3 (3.71)

La cantidad conservada puede tomar dos valores, uno positivo y otro negativo. En

el ıtem anterior asumimos que φ es complejo, esto condujo a la Ec. (3.55). Si se

toma a φ como real la expresion para ρ, en la Ec. (3.58), desaparece y por lo tanto

tambien j. Esto hace pensar que φ complejo describe a un tipo de partıcula (con

un grado de libertad interno) y φ real a otro tipo de partıcula (sin el grado de

libertad interno). Ası se puede concluir que φ complejo describe partıculas cargadas

y φ real a partıculas neutras, con la carga electrica como la cantidad conservada.

Esta interpretacion de φ nos permite re-definir las cantidades ρ y j como densidad

de carga y densidad de corriente, respectivamente. Obtenemos la densidad de carga

y la densidad de corriente multiplicando ρ y j por la carga elemental e:

%(±) = eρ(±) = ie φ∗(±)←→∂t φ(±) (3.72)

ι = ej = −ie φ∗(±)←→∇ φ(±) (3.73)

76


La densidad de carga en la Ec. (3.72) tiene la posibilidad de ser positiva, negativa o

cero. Esto garantiza la existencia de partıculas (cargadas o neutras) y anti-partıculas

en la teorıa. La cantidad conservada sera la carga Q = e, ası la Ec. (3.68) se convierte

en:

±e =

∫%(±) d

3r (3.74)

La constante de normalizacion se puede obtener a partir de esta expresion, teniendo

en cuenta que

%(±) = ie

(∓)i|Ep| φ∗(±)φ(±) − (±)i|Ep| φ∗(±)φ(±)

= ie

(∓)i|Ep| φ∗(±)φ(±) + (∓)i|Ep| φ∗(±)φ(±)

= (±)e2|Ep| φ∗n(±)φn(±) (3.75)

Reemplazamos en la Ec. (3.74) se obtiene:

±e = ±e2|En|∫V

φ∗(±)φ(±) d3r

1 = 2|En||An(±)|2L3

de aquı se encuentra que:

An(±) =1√

2EnL3(3.76)

La constante de normalizacion de cualquiera de los tipos de solucion (correspondiente

a la carga positiva o negativa) es la misma. La unica diferencia que se encuentra en

la funcion de campo es el factor del tiempo e∓iEnt. La solucion mas general de la

ecuacion de Klein-Gordon para partıculas de carga positiva y negativa de espın-0

(partıculas escalares) es:

φn(±) =1√

2EnL3ei(pn·r ∓Ent) (3.77)

Esto nos sugiere la siguiente interpretacion: φ(+) especifica partıculas con carga

+e; φ(−) especifica partıculas con la misma masa, pero con carga −e. La solucion

77


general de la ecuacion de onda siempre es una combinacion lineal de ambos tipos de

soluciones, es decir:

φ(x) =∑n

anφn(+) +∑n

cnφn(−)

=∑n

1√2EnL3

[an e

i(pn·r−Ent) + cn ei(pn·r+Ent)

](3.78)

La solucion para partıculas de espın-0 y carga cero tambien puede ser encontrada a

partir de esta ultima expresion. A partir de la forma de la densidad de carga en la

Ec. (3.72) se intuye que la funcion de onda debe ser real para partıculas neutras:

φ = φ∗ (3.79)

siendo

φ∗(x) =∑n

1√2EnL3

[a∗n e

−i(pn·r−Ent) + c∗n e−i(pn·r+Ent)

](3.80)

Para que se cumpla la Ec. (3.79) se debe satisfacer:

a∗n = c−n; c∗n = a−n

tal que

φ∗(x) =∑n

1√2EnL3

[c−n e

−i(pn·r−Ent) + a−n e−i(pn·r+Ent)

]y usando el hecho de que

p−n = −2π

Ln = −pn (3.81)

se tiene

φ∗(x) =∑n

1√2EnL3

[cn e

i(pn·r+Ent) + an ei(pn·r−Ent)

](3.82)

78


lo cual implica que se debe cumplir cn = a∗−n, reemplazando esto en la Ec. (3.82) y

usando la Ec. (3.81) se llega a una funcion de campo real, definida por:

φ(x) =∑n

1√2EnL3

[an e

i(pn·r−Ent) + a∗n e−i(pn·r−Ent)

](3.83)

se ve facilmente que se cumple:

φ(x) = φ∗(x)

De acuerdo a Ec. (3.72) % = 0. Ası tambien la densidad de corriente ι se hace

cero para partıculas neutras. Para este caso no hay una ley de conservacion. La

teorıa cuantica relativista conduce a nuevos grados de libertad, se hace referencia al

grado de libertad de la carga de una partıcula. En la teorıa no-relativista libre las

partıculas sin espın pueden propagarse libremente con un momento p bien definido.

En el caso relativista existen tres soluciones, que corresponden a la carga electrica

de la partıcula (+,−, 0), para todo momento p.

Es razonable preguntarse, entonces, ¿La energıa es positiva para partıculas con

carga positiva?, ¿Es negativa para partıculas con carga negativa? o incluso ¿Es cero

para partıculas neutras? La respuesta a estas cuestiones es que la energıa, tanto para

partıculas con carga positiva, negativa y neutra, siempre es positiva |En|[4]. Solo que

la energıa cumple otra funcion, que es la de caracterizar partıculas, con +En, y anti-

partıculas, con −En. La demostracion de esto se encuentra en el apendice A.

79

Capıtulo 4

Cuantizacion del Campo Escalar

Real

En este capıtulo se usa los conceptos aprendidos en capıtulos anteriores con la

finalidad de cuantizar el campo real de K-G. Como resultado de la cuantizacion

aparecen los operadores de creacion y aniquilacion de partıculas, en funcion de los

cuales se expresan los observables, el Hamiltoniano, el operador numero y el ope-

rador momento. Se encuentra que estos observables comparten el mismo espectro.

Para hacer la transicion de la teorıa clasica a la mecanica cuantica se debe con-

vertir en operadores las coordenadas y sus respectivos momentos conjugados, en el

espacio de Hilbert. Este proceso recibe el nombre de cuantizacion canonica. Este

proceso puede extenderse a las funciones de campo, las cuales obedecen ecuaciones

de onda que son derivadas a partir de la Lagrangiana o a partir del Hamiltoniano,

dependiendo del formalismo en el que se trabaje. Una vez cuantizadas las funciones

de campo, es que emerge la interpretacion de partıcula, esto debido al principio

de complementariedad de Bohr que establece que es imposible que un objeto fısico

pueda presentar propiedades de onda y partıcula al mismo tiempo. Como ejemplo,

podemos citar el proceso de cuantizacion del campo electromagnetico. Al cuantizar

80

este campo emergen de forma natural los fotones[3]. Entonces, podemos imaginar

que las otras partıculas que existen en la naturaleza deben estar relacionadas a cam-

pos mediante un proceso de cuantizacion similar. Es de esta manera que Yukawa

predijo la existencia del meson π, a partir de la fuerza nuclear fuerte. Por lo tanto

es apropiado asociar un campo φ(x), que satisface una ecuacion de onda, a cada

partıcula observada en la naturaleza. Ası al cuantizar obtenemos la interpretacion

de partıcula del campo φ(x). El proceso de cuantizacion se aplica a campos clasicos

que satisfagan ecuaciones de onda.

En otras palabras el proceso de cuantizacion es un procedimiento matematico que

se usa para construir un modelo cuantico a partir de uno clasico. En la situacion que

se tratara aquı, la descripcion clasica esta dada por la mecanica cuantica, a partir

de la cual se hace la transicion a la teorıa de campo cuantico que puede escribirse

simbolicamente como[1]:

lımN→∞

Mecanica cuantica = Teorıa de campo

N representa el numero de grados de libertad. Una consecuencia importante de esta

transicion es que la teorıa de campo cuantico describe estados de multi-partıcula,

mientras que las ecuaciones de onda de la mecanica cuantica describen el compor-

tamiento de una sola partıcula, a este tratamiento se le conoce como la segunda

cuantizacion.

Hay diferentes metodos de cuantizacion que se han postulado, cada uno con sus

propias ventajas y desventajas. El metodo mas directo es la cuantizacion canoni-

ca la cual imita la forma de cuantizacion de la mecanica cuantica. Otros metodos

son la cuntizacion covariante o Gupta-Bleuler[25], [26], Becchi-Rouet-Stora-Tyutin

(BRST)[27], Batalin-Vilkovisky (BV)[28], la cuantizacion estocastica[29] y por ulti-

mo el metodo de camino integral[30]. Esta ultima es quizas la mas elegante y podero-

sa herramienta de todos los metodos de cuantizacion. En este trabajo se considerara

el metodo de cuantizacion canonica.

81

CAPITULO 4. CUANTIZACION DEL CAMPO ESCALAR REAL

El objetivo aquı es cuantizar la funcion de campo de Klein-Gordon que satis-

face una ecuacion de onda relativista. Esta ecuacion fue abandonada por que no

permitıa definir una probabilidad positiva y predecıa estados de energıas negativas.

Reexaminando esta teorıa bajo la interpretacion de Feynman, la energıa negativa

se interpreta como estados propagandose hacia atras en el tiempo[4]. El espın no

es crucial en esta interpretacion. Para entender esta interpretacion consideremos el

siguiente ejemplo: Sea al meson π+ descrito por una solucion de energıa positiva

que viene de la ecuacion de Klein-Gordon, luego surge su anti-partıcula, el meson

π−, que es interpretado como el meson π+ pero con energıa negativa que se propaga

atras en el tiempo.

La ecuacion de Klein-Gordon debe ser usada para describir partıculas de espın-0,

pero en la naturaleza no se encuentra partıculas estables de espın-cero; sin embargo

el meson π y el meson K son candidatos cercanamente estables[7]. Estas partıculas

se crean y destruyen una a la vez en reacciones tales como (p =proton, n =neutron,

Λ0 = partıcula lambda neutral)

p+ p → p+ n+ π+

→ p+ p+ π0

→ p+ Λ0 +K0

π− + p → Λ0 +K0

K− + p → Λ0 + π0

→ Σ− + π+ (4.1)

Por lo tanto la ecuacion de onda para estos mesones de espın-0 debe tomar en cuenta

los procesos de creacion y aniquilacion que fueron confirmados por observaciones

experimentales, lo cual requiere una teorıa de multi-partıculas. Por lo tanto, la teorıa

de campo cuantico es la mas adecuada para describir estos fenomenos.

Como se menciono antes en este trabajo, se usara el metodo canonico, al igual

82

que se hace en la mecanica cuantica, para cuantizar el campo de Klein-Gordon.

Segun este metodo se debe promover la funciones de campo φ(x) y sus respectivos

momentos conjugados π(x) a operadores hermitianos. Estos operadores de campo

deben satisfacer las relaciones de conmutacion canonica dadas por las ecuaciones

(2.47) y (2.48), teniendo en cuenta la Ec. (1.71):

[φ(r, t), π(r′, t)] = iδ(3)(r− r′) (4.2)

En este caso solo se tiene un campo, por lo tanto obviamos el indice σ. Las otras

relaciones de conmutacion son

[φ(r, t), φ(r′, t)] = [π(r, t), π(r′, t)] = 0 (4.3)

Debemos mencionar que estas relaciones de conmutacion son validas solo para tiem-

pos iguales. Los cuantos del campo que satisface la Ec. (4.2), obedecen la estadıstica

de Bose. Si se quisiera describir partıculas de Fermi, que obedecen el principio de ex-

clusion de Pauli, solo se deberıa reemplazar el conmutador por un anti-conmutador.

La forma del campo φ la obtenemos directamente de la Ec. (3.83). De acuerdo

a lo que vimos en el primer capıtulo, el procedimiento general para cuantizar una

teorıa clasica es expandir el campo en terminos de las auto-funciones de la ecuacion

de campo, es decir, soluciones que satisfacen la ecuacion de campo e interpretar

los coeficientes de expansion como operadores de creacion y aniquilacion. En na

Ec. (3.83) expandimos la funcion de campo φ(x) en terminos de las soluciones para

las energıas positivas y negativas, estas soluciones forman un conjunto completo de

auto-funciones por lo tanto al cuantizar este campo promovemos sus coeficientes de

expansion a operadores de creacion y aniquilacion

φ(x) =∑n

1√2EnL3

[an e

i(pn.r−Ent) + a†n e−i(pn.r−Ent)

](4.4)

Si se lleva al lımite cuando el volumen tiende al infinito, L3 → ∞, hacemos el

83


siguiente reemplazo[5]

1√L3

∑n

→∫

d3p

(2π)3(4.5)

La Ec. (4.4) se convierte en:

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap e

i(p.r−Ept) + a†p e−i(p.r−Ept)

](4.6)

El primer termino (la parte de frecuencia positiva) aniquila una partıcula y el se-

gundo termino (parte con frecuencia negativa) crea una partıcula. El termino con

frecuencia negativa no esta presente en la teorıa de campo no-relativista, debido a

que la relacion de energıa, E = p2/2m solo permite un signo de la frecuencia. En

notacion covariante, la ecuacion (4.6) se convierte en

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap e

−ip.x + a†p eip.x]

(4.7)

Ahora, se debe encontrar la forma que tiene el momento conjugado, π(x), esto se ha-

ce con la ayuda de la ecuacion (1.95). Para ello debemos conocer la Lagrangiana, por

lo tanto se debe obtener la Lagrangiana, esto se logra a partir de la ecuacion de mo-

vimiento. Multiplicamos la Ec. (3.41) por la variacion del campo δφ(x), integramos

sobre todo el espacio y entre los intervalos de tiempo t1 y t2∫ t2

t1

dt

∫d3r

(∂2φ

∂t2−∇2φ+m2φ

)δφ = 0∫

d3r

∫ t2

t1

dt∂2φ

∂t2δφ−

∫ t2

t1

dt

∫d3r∇2φδφ+m2

∫ t2

t1

dt

∫d3rφδφ = 0

Integrando por partes en cada termino, teniendo en cuenta que

δφ(r, t1) = δφ(r, t2) = 0

y asumiendo que el sistema esta localizado, por lo tanto no hay contribuciones de

distancias en r → ±∞, es decir,

δφ(+∞, t) = δφ(−∞, t) = 0

84

4.1. OPERADORES DE CREACION Y ANIQUILACION

esto nos lleva a:

−∫d4x

∂φ

∂tδφ+

∫d4x ∇φδ(∇φ) +m2

∫d4x φδφ = 0∫

d4x

∂φ

∂tδφ−∇φδ(∇φ)−m2φδφ

= 0∫

d4x δ

[1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2(∇φ)2 − 1

2m2φ2

]= 0

comparando con el principio variacional, reconocemos la densidad Lagrangiana para

el campo real de Klein-Gordon

L =1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2(∇φ)2 − 1

2m2φ2 (4.8)

Otra forma de expresar esta Lagrangiana es la siguiente:

L =1

2∂µφ∂µφ−

1

2m2φ2 (4.9)

Teniendo la Lagrangiana encontramos que el momento conjugado es:

π(x) =∂L∂φ

= φ

= −i∫

d3p

(2π)3

√Ep2

[ap e

−ip.x − a†p eip.x]

(4.10)

4.1. Operadores de creacion y aniquilacion

A partir de la Ec. (4.7) y Ec. (4.10) se despeja los operadores ap y a†p. Multipli-

cando la Ec. (4.7) por e−ip.r e integrando sobre todo el espacio:∫φ(x)e−ip.r d3r =

∫d3p′

(2π)31√2Ep′

(ap′e

−iEp′ t + a†p′eiEp′ tδ−p

′

p′

)∫e−i(p−p

′).r d3r

=

∫d3p′

(2π)31√2Ep′

(ap′e

−iEp′ t + a†p′eiEp′ tδ−p

′

p′

)(2π)3δ(3)(p− p′)

=1√2Ep

(ape−iEpt + a†pe

iEptδ−pp)

85


despejando el lado derecho se tiene:

ap(t) + a†p(t)δ−pp =

√2Ep

∫φ(x) e−ip.r d3r (4.11)

los nuevos operadores se definen como

ap(t) = ape−iEpt; a†p(t) = a†pe

iEpt (4.12)

Aplicamos el mismo procedimiento a la Ec. (4.10) se obtiene:

ap(t)− a†p(t)δ−pp = i

√2

Ep

∫π(x) e−ip.r d3r (4.13)

sumando estas dos ultimas expresiones, se obtiene:

2ap(t) =√

2Ep

∫φ(x) e−ip.r d3r + i

√2

Ep

∫π(x) e−ip.r d3r

ap(t) =

√Ep2

∫d3r

(φ(x) +

i

Epπ(x)

)e−ip.r (4.14)

Tomando la adjunta se encuentra:

a†p(t) =

√Ep2

∫d3r

(φ(x)− i

Epπ(x)

)eip.r (4.15)

Ahora se puede calcular la relacion de conmutacion entre estos operadores:[ap(t), a

†p′(t)

]=

Ep2

∫d3r d3r′

[φ(r, t) +

i

Epπ(r, t), φ(r′, t)− i

Epπ(r′, t)

]e−ip.reip

′.r′

se usa la siguiente identidad de conmutadores:

[L+N,M ] = [L,M ] + [N,M ] (4.16)

y la Ec. (4.3) para obtener:[ap(t), a

†p′(t)

]=

Ep2

∫d3r d3r′

i

Ep[π(r, t), φ(r′, t)]− i

Ep[φ(r, t), π(r′, t)]

e−ip.reip

′.r′

86

4.1. OPERADORES DE CREACION Y ANIQUILACION

usando la Ec. (4.2)[ap(t), a

†p′(t)

]=

1

2

∫d3r d3r′

δ(3)(r′ − r) + δ(3)(r− r′)

e−ip.reip

′.r′

Gracias a la simetrıa de la delta Dirac en el cambio (r′− r)→ (r− r′), en el primer

termino de la derecha, se obtiene:[ap(t), a

†p′(t)

]=

∫d3r d3r′δ(3)(r− r′) eip

′.r′e−ip.r

=

∫d3r e−i(p−p

′).r

sabiendo que[20]:

δ(3)(p− p′) =1

(2π)3

∫d3r e−i(p−p

′).r (4.17)

se llega a la siguiente relacion:[ap(t), a

†p′(t)

]=[ap, a

†p′

]= (2π)3 δ(3)(p− p′) (4.18)

Como la ecuacion de Klein-Gordon es invariante bajo traslaciones temporales la Ec.

(4.18) es valida tanto para los operadores ap dependientes del tiempo como para los

independientes del tiempo. A estos operadores se les da la siguiente interpretacion:

ap destruye una partıcula (boson) de momento p

a†p crea una particula (boson) de momento p (4.19)

La relacion de conmutacion en la Ec. (4.18) es el algebra que satisfacen los operadores

de creacion y aniquilacion de partıculas[17]. De la misma forma se puede hallar las

otras relaciones de conmutacion

[ap(t), ap′(t)] =Ep2

∫d3r d3r′

[φ(r, t) +

i

Epπ(r, t), φ(r′, t) +

i

Epπ(r′, t)

]e−ir.re−ir

′.r′

=Ep2

∫d3r d3r′

i

Ep[φ(r, t), π(r′, t)] +

i

Ep[π(r, t), φ(r′, t)]

e−ir.re−ir

′.r′

=

∫d3r d3r′

−δ(3)(r− r′) + δ(3)(r′ − r)

e−ir.re−ir

′.r′

= 0

87


de esto concluimos que:

[ap, ap′ ] =[a†p, a

†p′

]= 0 (4.20)

4.2. Hamiltoniano H

El Hamiltoniano representa la energıa del sistema. Para el caso del campo escalar

real lo podemos obtener a partir de la Lagrangiana, de dos diferentes formas. La

primera forma de obtenerla es usando el teorema de Noether, usando el tensor de

energıa-momento, la otra manera es usando (1.98). Con la finalidad de dar a entender

que la energıa es conservada, la hallaremos a partir del tensor de energıa-momento,

usando la Lagrangiana de la Ec. (4.8)

H =

∫Θ00 d3r =

∫ ∂L∂φ

φ− g00 Ld3r

=1

2

∫ [π2 + (∇φ)2 +m2φ2

]d3r (4.21)

Como se puede ver de la Ec. (4.18) la densidad Lagrangiana es un invariante de

Lorentz. En contraste la densidad Hamiltoniana, que es una densidad de energıa, no

puede ser invariante ya que es la componente temporal de un 4-vector y transforma

como tal, en una sola direccion temporal. Es por esta razon que las teorıas relativistas

son formuladas a partir de la densidad Lagrangiana[5], aunque no es la unica forma.

El Hamiltoniano se hace diagonal cuando es expresado en funcion de los ope-

radores de creacion y aniquilacion, por lo tanto se debe expresar el Hamiltoniano

en funcion de tales operadores. Con la finalidad de simplificar nuestros calculos se

escribe el campo φ(x) y su momento canonico π(x) de la siguiente manera:

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap(t) + a†p(t)δ

p−p]eip.r =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap(t)δ

−pp + a†p(t)

]e−ip.r

π(x) = −i∫

d3p

(2π)3

√Ep2

[ap(t)− a†p(t)δ

p−p]eip.r = −i

∫d3p

(2π)3

√Ep2

[ap(t)δ

−pp − a†p(t)

]e−ip.r

(4.22)

88

4.2. HAMILTONIANO H

Desarrollando cada termino de la Ec. (4.22) por separado∫π2 d3r =

−1

2

∫d3pd3p′

(2π)6

√EpEp′


p−p] [ap′(t)δ

−p′p′ − a

†p′(t)

] ∫d3r e−i(p

′−p).r

=−1

2

∫d3pd3p′

(2π)3

√EpEp′


p−p] [ap′(t)δ

−p′p′ − a

†p′(t)

]δ(3)(p′ − p)

=−1

2

∫d3p

(2π)3Ep[ap(t)− a†p(t)δ

p−p] [ap(t)δ

−pp − a†p(t)

]=−1

2

∫d3p

(2π)3Ep[ap(t)ap(t)δ

−pp − ap(t)a†p(t)− a†p(t)ap(t) + a†p(t)a

†p(t)δ

p−p]

Para hallar el segundo termino, es conveniente calcular primero:

∇φ(x) =

∫d3p

(2π)3ip√2Ep

[ap(t) + a†p(t)δ

p−p]eip.r =

∫d3p

(2π)3−ip√

2Ep

[ap(t)δ

−pp + a†p(t)

]e−ip.r

(4.23)

Con esto se tiene que:∫(∇φ)2 d3r =

1

2

∫d3p

(2π)3p2

Ep

[ap(t)ap(t)δ

−pp + ap(t)a

†p(t) + a†p(t)ap(t) + a†p(t)a

†p(t)δ

p−p]

de la misma forma se halla el ultimo termino:

m2

∫φ2 d3r =

1

2

∫d3p

(2π)3m2

Ep

[ap(t)ap(t)δ

−pp + ap(t)a


†p(t)δ

p−p]

reemplazando todos estos terminos en el Hamiltoniano se llega a:

H =1

4

∫d3p

(2π)3Ep[−ap(t)ap(t)δ−pp + ap(t)a

†p(t) + a†p(t)ap(t)− a†p(t)a†p(t)δ

p−p]

+

1

4

∫d3p

(2π)3p2 +m2

Ep

[ap(t)ap(t)δ

−pp + ap(t)a


†p(t)δ

p−p]

teniendo en cuenta que E2p = p2 +m2 reduce nuestra expresion a

H =1

2

∫d3p

(2π)3Ep[ap(t)a

†p(t) + a†p(t)ap(t)

]con la ayuda de Ec. (4.18) se convierte en

H =

∫d3p

(2π)3Ep

[a†pap +

1

2δ(3)(0)

]89


El segundo termino es un numero infinito. Esto es simplemente la suma de todos los

modos del punto cero de energıa ωp2

. Las energıas de cada modo comienzan en ωp2

, no

en cero, como hay un infinito numero de modos esto nos da un termino de energıa

infinita, por lo que su presencia es completamente esperada. Afortunadamente esta

energıa infinita no es detectada experimentalmente, los experimentos solo miden

diferencias de energıa entre los estados base de H. Por lo tanto debemos ignorar este

termino de energıa en todos nuestros calculos. Ası el Hamiltoniano debe expresarse

como sigue:

H =

∫d3p

(2π)3Ep a

†pap (4.24)

De acuerdo con el principio general de la mecanica cuantica el Hamiltoniano es el

generador de la evolucion temporal. Para entender que significa esto, se debe revisar

las figuras de Schrodinger y Heisenberg, que son importantes en el desarrollo de la

teorıa de campo cuantico. Estas figuras son desarrolladas, de manera breve, en el

apendice A.

4.3. Operador momento P

A partir del tensor energıa-momento se obtiene el operador momento, con la

ayuda de la Lagrangiana de Klein-Gordon

P =

∫Θ0i d3r =

∫∂L∂φ

∂φ

∂xid3r

= −∫π(x)∇φ(x) d3r (4.25)

Se puede expresar el momento en funcion de los operadores ap y a†p. Claramente se

ve que la forma del operador momento no es simetrica, es decir, no es hermitiano

como sı lo era el operador Hamiltoniano, por lo tanto debe ser simetrizado. La mejor

90

4.3. OPERADOR MOMENTO P

forma es:

P = −1

2

∫d3x (π(x)∇φ(x) +∇φ(x)π(x)) (4.26)

Esto garantiza que el operador P sea hermitiano. Ahora se realiza el mismo proce-

dimiento que se hizo para el operador Hamiltoniano:∫π∇φ d3r = −1

2

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

p′(ap(t)− a†p(t)δ

p−p) (ap′(t)δ

−p′p′ + a†p′(t)

)∫e−i(p

′−p).r d3r

= −1

2

∫d3p

(2π)3p(ap(t)− a†p(t)δ

p−p) (ap(t)δ

−pp + a†p(t)

)= −1

2

∫d3p

(2π)3p[ap(t)ap(t)δ

−pp + ap(t)a

†p(t)− a†p(t)ap(t)δ

p−p − a†p(t)a†p(t)δ

p−p]

=1

2

∫d3p

(2π)3[p ap(t)ap(t)− p ap(t)a

†p(t)− p a†p(t)ap(t)− p a†p(t)a

†p(t)]

(4.27)

Por otro lado se tiene∫∇φ π d3r =

1

2

∫d3p d3p′

(2π)6

√Ep′

Epp(ap(t) + a†p(t)δ

p−p) (ap′(t)δ

−p′p′ − a

†p′(t)

)∫e−i(p

′−p).r d3r

=1

2

∫d3p

(2π)3p(ap(t) + a†p(t)δ

p−p) (ap(t)δ

−pp − a†p(t)

)=

1

2

∫d3p

(2π)3p[ap(t)ap(t)δ

−pp − ap(t)a†p(t) + a†p(t)ap(t)δ

p−p − a†p(t)a†p(t)δ

p−p]

=1

2

∫d3p

(2π)3[−p ap(t)ap(t)− p ap(t)a

†p(t)− p a†p(t)ap(t) + p a†p(t)a

†p(t)](4.28)

Se inserta la Ec. (4.27) y la Ec. (4.28) en la Ec. (4.26)

P =1

2

∫d3p

(2π)3p[ap(t)a

†p(t) + a†p(t)ap(t)

]=

∫d3p

(2π)3p

[a†pap +

(2π)3

2δ(3)(0)

]Con el mismo argumento usado para el operador Hamiltoniano obviamos el termino

infinito en esta integral, quedando solo:

P =

∫d3p

(2π)3p a†pap (4.29)

91


Es interesante calcular el conmutador entre el operador momento P y el campo

φ(x), para este fin se calcula primero las siguientes relaciones

[P, ap] = −p ap (4.30)[P, a†p

]= p a†p (4.31)

Esto se consigue usando un procedimiento similar al aplicado en el apendice A para

la figura de Heisenberg. Con esto se obtiene

[P, φ(x)] =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[P, ape

−ip.x + a†peip.x]

=

∫d3p

(2π)31√2Ep

[P, ap] e

−ip.x +[P, a†p

]eip.x

= −

∫d3p

(2π)3p√2Ep

(ape−ip.x − a†peip.x

)(4.32)

Si compara el lado derecho de esta ultima expresion con la Ec. (4.23) se encuentra

que son iguales, por lo tanto

−i [P, φ(x)] = ∇φ(x) (4.33)

Esto se interpreta, de acuerdo al principio general, diciendo que el operador momento

P debe generar las traslaciones espaciales. Por lo tanto se puede escribir

φ(r, t) = e−iP.rφ(0, t)eiP.r (4.34)

Esto se comprueba facilmente a partir de la Ec. (4.6), poniendo

φ(0, t) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap e

−iEpt + a†p eiEpt]

(4.35)

y reemplazando en la Ec. (4.33)

φ(r, t) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[e−iP.rape

iP.r e−iEpt + e−iP.ra†peiP.r eiEpt

](4.36)

92


por otro lado

[P, ap] = −p ap

Pap = ap(P− p)

P2ap = Pap(P− p) = ap(P− p)2

haciendo esto n-veces se tiene

Pnap = ap(P− p)n (4.37)

de la misma forma para a†p

Pna†p = a†p(P + p)n (4.38)

Con la ayuda de estas identidades se encuentra

e−iP.rapeiP.r =

∑n

(−ir)n

n!. Pnap e

iP.r = ap∑n

[−ir.(P− p)]n

n!eiP.r

= ape−ir.(P−p)eiP.r

= apeip.r (4.39)

de forma analoga para a†p

e−iP.ra†peiP.r = a†pe

−ip.r (4.40)

reemplazando en la Ec. (4.36)

φ(r, t) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ape

ip.re−iEpt + a†pe−ip.reiEpt

]=

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap e

−ip.x + a†p eip.x]

Con esto se comprueba que el operador momento es el generador de las traslaciones

espaciales.

93


4.4. Auto estados del Hamiltoniano y del opera-

dor Numero

Se ha demostrado con exito la forma de cuantizar del campo de Klein-Gordon,

ahora se debe calcular los estados propios del Hamiltoniano para encontrar el espec-

tro de estados, justo como en el oscilador armonico en mecanica cuantica, ya que

se ha obtenido propiedades similares. Definiendo el estado vacıo˝de la siguiente

manera[1]:

ap|0〉 = 0 para todo p (4.41)

Por convenio identificaremos a ap como un operador de aniquilacion. Se define el

estado ocupado por una partıcula al aplicar el operador de cracion sobre el estado

de vacio[1]:

a†p|0〉 = |p〉 (4.42)

El hecho de introducir estos operadores de aniquilacion y cracion nos permite cons-

truir los estados ocupados por N-partıculas:

|p1, p2, ..., pN〉 = a†p1a†p2...a†pN |0〉 (4.43)

Esta expresion es la caracterıstica distintiva entre la primera y la segunda cuanti-

zacion. En la primera cuantizacion (mecanica cuantica) los sistemas cuantizados se

basan en la dinamica de una sola partıcula. Mientras que la segunda cuantizacion

se basa en estados multi-partıculas.

Para saber cuantas partıculas de un cierto momento ocupan un estado, se intro-

duce el operador numero˝definido por[19]:

N =

∫d3p

(2π)3a†pap (4.44)

94

4.4. AUTO ESTADOS DEL HAMILTONIANO Y DEL OPERADOR NUMERO

La ventaja de introducir este operador numero es que permite calcular el numero

de partıculas que hay con cierto momento. Por ejemplo, un estado que contiene np

partıculas identicas con momento p, se define por |np〉:

|np〉 =

(a†p)n

√n!|0〉 (4.45)

Aplicando el operador numero sobre este estado:

N |np〉 =

∫d3p′

(2π)3a†p′ap′

(a†p)n

√n!|0〉

=1√n!

∫d3p′

(2π)3a†p′ap′a

†pa†p · · · |0〉

=1√n!

∫d3p′

(2π)3a†p′ [a

†pap′ + (2π)3δ(3)(p− p′)]a†p · · · |0〉

=1√n!

∫d3p′

(2π)3a†p′a

†pap′a

†p · · · |0〉+

a†pa†p · · ·√n!|0〉

=1√n!

∫d3p′

(2π)3a†p′a

†pap′a

†p · · · |0〉+ |np〉

repitiendo el mismo procedimiento n-veces se llega a la siguiente expresion:

N |np〉 =1√n!

∫d3p′

(2π)3a†p′a

†pa†p...ap′ |0〉+ np|np〉

Quedando solo:

N |np〉 = np|np〉 (4.46)

N simplemente cuenta el numero de estados que hay para el momento p. Entonces un

estado de multi-partıcula, que consiste de muchas partıculas con diferente momento,

puede ser representado de la siguiente forma[7]:

|np1 , np2 , ..., npm〉 =m∏i=1

(a†pi)n

√n!|0〉 (4.47)

El operador numero actuando sobre el estado multi-partıcula simplemente da el

numero de partıculas presentes para cada momento[1]:

N |np1 , np2 , ..., npm〉 =

(m∑i=1

npi

)|np1 , np2 , ..., npm〉 (4.48)

95


Al igual que en la teorıa cuantica para el oscilador armonico, se escoge normalizar

el vacio tal que 〈0|0〉 = 1. El estado de una partıcula |p〉 ∝ a†p|0〉 va aparecer a

menudo por lo que se adoptara una convencion para su normalizacion. Antes se debe

hacer una observacion importante sobre la norma de los estados de multi-partıcula,

estos deben ser positivos:

〈p|p′〉 = 〈0|apa†p′|0〉

= 〈0|a†p′ap|0〉+ (2π)3δ(3)(p− p′)〈0|0〉

= (2π)3δ(3)(p− p′) (4.49)

Si el signo del conmutador se invertirıa la norma seria negativa, entonces se tendrıa

un estado de norma negativa, o estado fantasma˝[1] que nos darıa una probabi-

lidad negativa y violarıa la unitariedad, es decir, no podrıamos escribir la relacion

de completeza 1 =∑

n |n〉〈n| que usa argumentos de unitariedad. Para preservar

la unitariedad es importante que la teorıa este libre de estados fantasmas (norma

negativa).

La Ec. (4.49) no es un invariante bajo una transformacion de Lorentz. Se prueba

esto considerando la transformacion de Lorentz para el momento y la energıa[16]

p′3 = γ (p3 − βE)

p′2 = p2

p′1 = p1

E ′ = γ (E − βp3)

γ =1√

1− β2

β = v en unidades reducidas

(4.50)

Usando la propiedad de la delta Dirac[20]:

δ [f(x)− f(xo)] =1

|f ′(xo)|δ(x− xo) (4.51)

96


Se puede considerar que:

p′ = p′(p)

q′ = q′(q)

Por lo tanto:

δ(3)(p− q) = δ(3)(p′ − q′)dp′

dp

con la ayuda de la Ec. (4.50) se tiene que:

dp′3dp3

=γ

E(E − βp3) =

E ′

E

δ(3)(p− q) = δ(3)(p′ − q′)E′

E

Como podemos ver δ(3)(p− q) no es invariante bajo una transformacion de Lorentz,

pero de esta ecuacion se ve que la cantidad Epδ(3)(p − q) si es un invariante de

Lorentz:

Epδ(3)(p− q) = E ′pδ

(3)(p′ − q′) (4.52)

Por lo se redefine el estado de una partıcula |p〉 como sigue:

|p〉 =√

2Epa†p|0〉 (4.53)

Con esto se tiene que:

〈p|q〉 =(√

2Ep〈0|ap)(√

2Eqa†q|0〉)

= 2Ep(2π)3δ(3)(p− q) (4.54)

El factor 2 es innecesario pero es conveniente para guardar relacion con las ecuaciones

que tienen el factor√

2Ep.

97


No es difıcil de probar que el operador numero N conmuta con el Hamiltoniano

H

[H,N ] =

∫d3p d3p′

(2π)6Ep

[a†pap, a

†p′ap′

]=

∫d3p

(2π)3Ep(−a†pap + a†pap

)= 0 (4.55)

De acuerdo a un principio fundamental de la mecanica cuantica, si dos observa-

bles conmutan se puede construir un conjunto de auto-vectores comunes a ambos

observables[6]. Es por este motivo que el Hamiltoniano tiene los mismos auto-estados

que el operador numero. Se puede ver que H tiene auto-valor E = 0 con auto-estado

|0〉

H|0〉 =

∫d3p

(2π)3Epa

†pap|0〉

= 0

En general los estados (4.53) son auto-estados de H con auto-valores Ep1 +Ep2 + ....

Esto se prueba facilmente:

H(a†p|0〉

)=

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′ap′a

†p|0〉

=

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′

(2π)3δ(3)(~p′ − ~p) + a†pap′

|0〉

= Ep(a†p|0〉

)H(a†pa

†q|0〉)

=

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′ap′a

†pa†q|0〉

=

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′

(2π)3δ(3)(~p′ − ~p) + a†pap′

a†q|0〉

=

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′a†pap′a

†q|0〉+

∫d3p

(2π)3Ep′a

†p′a†q(2π)3δ(3)(~p′ − ~p)|0〉

= Eqa†pa†q|0〉+ Epa

†pa†q|0〉

= (Ep + Eq) a†pa†q|0〉

98


Ası en un caso general se considera la siguiente ecuacion de auto-valores:

H(a†pa

†q...|0〉

)= (Ep + Eq + ...) a†pa

†q...|0〉 (4.56)

Por lo tanto (Ep + Eq + ...) son los auto-valores de H, es decir, las energıas.

De la misma forma que en la Ec. (4.55) se encuentra que el operador momento

conmuta con el operador numero, por lo tanto estos comparten los mismos auto-

estados. En general se puede escribir:

P(a†pa

†q...|0〉

)= (p + q + ...) a†pa

†q...|0〉 (4.57)

Se concluye que a†p crea una partıcula de momento p y energıa Ep =√

p2 +m2,

por lo que es completamente natural reconocer a estas excitaciones como partıculas,

que son entidades discretas con una propia relacion de energıa-momento relativista.

Cuando decimos partıculas no se hace referencia a que esten localizadas en el espacio;

a†p crea partıculas en el auto-estado del momento. Ahora se debe referir a Ep como la

energıa de la partıcula. Cabe notar que la energıa es siempre positiva por la manera

en la que se trabaja.

El estado de 2-partıculas a†pa†q|0〉, en la que a†p conmuta con a†q, es identico a

a†qa†p|0〉, lo que quiere decir que las 2 partıculas pueden ser intercambiadas. Ası se con-

cluye que las partıculas de Klein-Gordon obedecen la estadıstica de Bose-Einstein,

por lo que se esta tratando con bosones.

99

Capıtulo 5

Campo Complejo de Klein-Gordon

El campo real de Klein-Gordon describe una coleccion de partıculas identicas

de espın-0, por medio de una funcion de campo φ real, lo cual implica partıculas

electricamente neutras, esto debido a que la densidad de carga es cero para un

campo real. Se puede generalizar la teorıa a un campo cargado de Klein-Gordon que

describa partıculas que tengan un grado de libertad interno (carga) el cual introduce

un doblete partıcula-antipartıcula, este doblete estara descrito por una funcion de

campo compleja (φ 6= φ∗) que garantiza que la densidad de carga sea diferente de

cero. En otras palabras un campo complejo describe partıculas cargadas[12].

La Lagrangiana que describe este sistema esta dada por[5]:

L = (∂uφ∗) (∂uφ)−m2φφ∗ (5.1)

Donde φ y φ∗ son campos independientes que describen dos estados de carga diferen-

tes. A partir de esta Lagrangiana, y con la ayuda de la ecuacion de Euler-Lagrange,

obtenemos las ecuaciones de movimiento para cada campo independiente:

( +m2

)φ(x) = 0(

+m2)φ∗(x) = 0 (5.2)

100

De forma similar a la que se hizo en el capıtulo 3, expandimos cada campo de Klein-

Gordon en terminos de las soluciones de energıa positiva y negativa (ver ecuacion

(3.78))

φ(x) =∑n

1√2EnL3

[an e

i(pn.r−Ent) + cn ei(pn.r+Ent)

]φ∗(x) =

∑n

1√2EnL3

[bn e

i(pn.r−Ent) + dn ei(pn.r+Ent)

]como uno es complejo del otro se debe cumplir

dn = a∗−n y cn = b∗−n (5.3)

lo cual nos da

φ(x) =∑n

1√2EnL3

[an e

i(pn.r−Ent) + b∗n e−i(pn.r−Ent)

]φ∗(x) =

∑n

1√2EnL3

[a∗n e

−i(pn.r−Ent) + bn ei(pn.r−Ent)

]Como antes, el campo se cuantifica imponiendo relaciones de conmutacion sobre los

coeficientes de expansion, un paso que los convierte en operadores de creacion y

aniquilacion de partıculas. Pasando al lımite de un volumen infinito, ecuacion (4.5),

tenemos que los campos toman la forma

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[ap e

i(p.r−Ept) + b†p e−i(p.r−Ept)

](5.4)

escrito de otra forma

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

(ape−ip.x + b†pe

ip.x)

(5.5)

esto requiere que el campo cumpla con φ 6= φ† por lo que la adjunta es

φ†(x) =

∫d3p

(2π)31√2Ep

(a†pe

ip.x + bpe−ip.x) (5.6)

101

CAPITULO 5. CAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON

Aquı aparecen nuevos operadores, bp y b†p, estos son nuevos operadores de creacion

y aniquilacion como veremos mas adelante. Los campos canonicos conjugados de φ

y φ† se obtienen de:

πi =∂L∂φi

(5.7)

Para el primer campo sera:

π =∂L∂φ

=∂

∂φ

(φ†φ−∇φ†.∇φ−m2φ†φ

)= φ† (5.8)

ası tenemos

π(x) = i

∫d3p

(2π)3

√Ep2

(a†pe

ip.x − bpe−ip.x)

(5.9)

De la misma forma para φ†:

π† =∂L∂φ†

π† = φ (5.10)

y con la ayuda de la Ec. (5.6) tenemos π†:

π†(x) = i

∫d3p

(2π)3

√Ep2

(b†pe

ip.x − ape−ip.x)

(5.11)

102

5.1. OPERADORES BP Y B†P

5.1. Operadores bp y b†p

Ahora daremos una interpretacion a los nuevos operadores introducidos. Inte-

grando φ† en todo el espacio y multiplicando por e−i~p.~r en la ecuacion (5.6) tenemos:∫d3r φ†(x) e−i~p.~r =

∫d3p′ d3r

(2π)31√2Ep′

(a†−p′e

iE−p′ t + bpe−iEp′ t

)ei~p′.~re−i~p.~r

=

∫d3p′

1√2Ep′

(a†−p′e


)∫ d3r

(2π)3e−i(~p−~p

′).~r

=

∫d3p′

1√2Ep′

(a†−p′e


)δ(3)(~p− ~p′)

=1√2Ep

(a†−pe

iE−pt + bpe−iEpt

)Despejamos el lado derecho de tal manera que nos quede:

a†−peiE−pt + bpe

−iEpt =√

2Ep

∫d3r φ†(x) e−i~p.~r (5.12)

De la misma forma integramos la Ec. (5.9) para obtener:∫d3r π(x) e−i~p.~r = i

√Ep2

(a†−pe

iE−pt − bpe−iEpt)

Despejamos el lado derecho de esta ecuacion:

−a†−peiE−pt + bpe−iEpt = i

√2

Ep

∫d3r π(x) e−i~p.~r (5.13)

Sumando la Ec. (5.12) y Ec. (5.13):

bp =

√Ep2

∫d3r

(φ†(x) +

i

Epπ(x)

)eiEpte−i~p.~r

=

√Ep2

∫d3r

(φ†(x) +

i

Epπ(x)

)eip.x (5.14)

De esta ecuacion podemos hallar la forma de b†p, tomando la adjunta:

b†p =

√Ep2

∫d3r

(φ(x)− i

Epπ†(x)

)e−ip.x (5.15)

103


Ahora podemos hallar la relacion de conmutacion entre estos operadores:

[bp, b

†p′

]= bpb

†p′ − b

†p′bp

=Ep2

∫d3r d3r′

(φ†(x) +

i

Epπ(x)

)(φ(x′)− i

Epπ(x′)

)e−i~p.~rei~p

′.~r′ −

Ep2

∫d3r d3r′

(φ(x′)− i

Epπ(x′)

)(φ†(x) +

i

Epπ(x)

)e−i~p.~rei~p

′.~r′

A partir de las Ec. (2.47), Ec. (2.48) y pasando al lımite cuantico:

[φ(r, t), π†(r′, t)

]=

[φ†(r, t), π†(r′, t)

]= iδ(3) (r− r′)[

φ(r, t), φ†(r′, t)]

=[π(r, t), π†(r′, t)

]= 0 (5.16)

con esto nos queda:

[bp, b

†p′

]=

Ep2

∫d3r d3r′

(− i

Epiδ(3)(r − r′)− i

Epiδ(3)(r′ − r)

)e−i~p.~rei~p

′.~r′

=

∫d3r d3r′δ(3)(r − r′)e−i~p.~rei~p′.~r′

=

∫d3r e−i(~p−~p

′).~r

Ası tenemos que la relacion de conmutacion entre bp y b†p es:

[bp, b

†p′

]= (2π)3δ(3)(p− p′) (5.17)

Esto nos indica que estos operadores son de creacion y aniquilacion de partıculas,

pues obedecen el mismo algebra que en la Ec. (4.18). La diferencia con los operadores

ap y a†p es que estos aniquilan y crean un tipo de partıcula diferente. Con el mismo

procedimiento encontramos que las otras relaciones de conmutacion son:

[ap, ap′ ] = [bp, bp′ ] = [ap, bp′ ] =[ap, b

†p′

]= 0[

a†p, a†p′

]=[b†p, b

†p′

]=[a†p, b

†p′

]=[a†p, bp′

]= 0 (5.18)

104

5.2. HAMILTONIANO H

Demostraremos que los operadores a y b tienen la siguiente interpretacion:

a aniquila una partıcula de momento p y carga positiva

b aniquila una partıcula de momento p y carga negativa

a† crea una partıcula de momento p y carga positiva

b† crea una partıcula de momento p y carga negativa

El hecho de que b y b† (b’s) creen y aniquilen anti-partıculas en lugar de estados de

energıa negativa, es necesario para que la teorıa de campo describa solo estados de

energıa positiva, que es nuestro objetivo.

En la Ec. (5.5) el operador b† es el que acompana a a, en lugar de b. Esto no es

trivial, hay dos razones para esto: La primera razon es que tanto a como b† bajan la

carga de un estado en una unidad; a lo hace destruyendo una partıcula con carga +

y b† creando una anti-partıcula con cargar −. Ası el operador de campo φ destruye

una unidad de carga, y por la misma analogıa φ† crea una unidad de carga. Ası el

operador φ†φ conserva la carga. Si escogemos, hipoteticamente, que b acompane a

a, el operador φ†φ no debe conservar la carga. Una segunda consecuencia de esta

asignacion es que si las partıculas fueran neutras, entonces las partıculas y las anti-

partıculas podrıan ser identicas (pero no necesariamente), entonces a = b ⇒ φ =

φ†[3].

5.2. Hamiltoniano H

Haciendo uso del tensor de energıa-momento hallamos la densidad Hamiltoniana:

Θνµ =∑i

∂L∂(∂νφi)

∂φi∂xµ− gµν L (5.19)

La sumatoria se introduce para agregar todos las funciones de campo que estan

presentes, en nuestro caso tenemos dos funciones de campo. El Hamiltoniano total

105


es:

H =

∫Θ00d3r

=

∫ (∂L

∂(∂0φ)∂0φ+

∂L∂(∂0φ†)

∂0φ† − L

)d3r

=

∫ (φ†φ+ φφ† − L

)d3r

=

∫ (π†π +∇φ†.∇φ+m2φ†φ

)d3r (5.20)

Reescribiremos el Hamiltoniano de una forma mas conveniente, usando la siguiente

identidad:

∇ · (ΦA) = Φ(∇ ·A) + A · ∇Φ (5.21)

Para nuestro caso consideremos que A = ∇φ y Φ = φ†:

∇ · (φ†∇φ) = φ†∇2φ+∇φ · ∇φ†∫∇φ · ∇φ†d3r =

∫∇ · (φ†∇φ)d3r −

∫φ†∇2φd3r

=

∫S

φ†∇φ · d~S −∫φ†∇2φd3r

En la ultima expresion usamos el teorema de la divergencia de Gauss. En el lımite

cuando S →∞, ∇φ→ 0, ası nos queda:∫∇φ† · ∇φ d3r = −

∫φ†∇2φ d3r (5.22)

Con esto, el Hamiltoniano total se convierte en:

H =

∫ [π†π + φ†

(−∇2 +m2

)φ]d3r (5.23)

Podemos obtener la ecuacion de movimiento para φ y φ† a partir de la ecuacion

de Heisenberg:

dA

dt= i [H,A] +

∂A

∂t(5.24)

106

5.2. HAMILTONIANO H

Primero para φ:

∂φ(x)

∂t= i [H,φ(x)] (5.25)

= i

∫d3r′

[π†π + φ†

(−∇2 +m2

)φ, φ(x)

]=

∫d3r′δ(3)(r − r′)π†(~r′, t)

= π†(x) (5.26)

Con la ayuda de esta ecuacion podemos hallar la ecuacion de movimiento de π†:

∂π†(x)

∂t= i

[H, π†(x)

](5.27)

= −∫d3r′

(−∇2 +m2

)δ(3)(r′ − r)φ(~r′, t)

= −(−∇2 +m2

)φ(x) (5.28)

Combinando con la ecuacion de movimiento de φ, obtenemos:

∂2φ(x)

∂t2=

∂π†(x)

∂t

= −(−∇2 +m2

)φ(x)

Acomodando tenemos (∂2

∂t2−∇2 +m2

)φ(x) = 0 (5.29)

Trabajando de la misma forma para φ† y π tenemos la ecuacion de movimiento para

φ†: (∂2

∂t2−∇2 +m2

)φ†(x) = 0 (5.30)

Las ecuaciones (5.29) y (5.30) representan las ecuaciones de movimiento para los

operadores de campo φ y φ† en la imagen de Heisenberg. Esto nos indica que el

formalismo de Hamilton y el de Lagrange son equivalentes.

107


Como en el caso del campo real, el Hamiltoniano puede expresarse en terminos

de los operadores de creacion y aniquilacion:

H =

∫d3r(π†π +∇φ†.∇φ+m2φ†φ

)Por comodidad calcularemos cada termino por separado:

π†π = −∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

2

(b†pe

ip.x − ape−ip.x) (a†p′e

ip′.x − bp′e−ip′.x)

= −∫d3pd3p′

(2π)6

√EpEp′

2

(b†p − a−p

)eip.x

(a†−p′ − bp′

)e−ip

′.x

= −∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

2ei(p−p

′).x(b†p − a−p

) (a†−p′ − bp′

)Integramos en todo el espacio esta expresion, lo cual nos da:

∫d3r π†π = −

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

2

∫d3r ei(p−p

′).x(b†p − a−p

) (a†−p′ − bp′

)= −

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

2ei(Ep−Ep′ )t

∫d3r e−i(~p−~p

′).~r(b†p − a−p

) (a†−p′ − bp′

)= −

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

2ei(Ep−Ep′ )t (2π)3δ(3)(p− p′)

(b†p − a−p

) (a†−p′ − bp′

)= −

∫d3p

(2π)3Ep2

(b†p − a−p

) (a†−p − bp

)= −

∫d3p

(2π)3Ep2

(b†pa†−p − b†pbp − a−pa

†−p + a−pbp

)= −

∫d3p

(2π)31

2

(E−pb

†pa†p − Epb†pbp − Epapa†p + E−papbp

)= −

∫d3p

(2π)31

2

(Epb

†pa†p − Epb†pbp − Epapa†p + Epapbp

)(5.31)

Es obvio considerar Ep = E−p ya que:

E2p = p2 +m2

108

5.2. HAMILTONIANO H

El segundo termino lo encontramos bajo un procedimiento similar:

∇φ†.∇φ =

∫d3p d3p′

(2π)6~p.~p′

2√EpEp′

(a†pe

ip.x − bpe−ip.x) (ap′e

−ip′.x − b†p′eip′.x)

=

∫d3p d3p′

(2π)6~p.~p′

2√EpEp′

(a†p − b−p

)eip.x

(ap′ − b†−p′

)e−ip

′.x

=

∫d3p d3p′

(2π)6~p.~p′

2√EpEp′

ei(p−p′).x(a†p − b−p

) (ap′ − b†−p′

)Integramos sobre todo el espacio:∫

d3r ∇φ†.∇φ =

∫d3p

(2π)3~p2

2Ep

(a†p − b−p

) (ap − b†−p

)=

∫d3p

(2π)3~p2

2Ep

(a†pap − a†pb

†−p − b−pap + b−pb

†−p

)=

∫d3p

(2π)31

2Ep

(~p2a†pap + ~p2a†pb

†p + ~p2bpap + ~p2bpb

†p

)(5.32)

igual para el tercer termino:

φ†φ =

∫d3p d3p′

(2π)61

2√EpEp′

(a†pe

ip.x + bpe−ip.x) (ap′e−ip′.x + b†p′e

ip′.x)

=

∫d3p d3p′

(2π)61

2√EpEp′

(a†p + b−p

)eip.x

(ap′ + b†−p′

)e−ip

′.x

=

∫d3p d3p′

(2π)61

2√EpEp′

ei(p−p′).x(a†p + b−p

) (ap′ + b†−p′

)Este tambien integramos sobre todo el espacio:∫

d3r φ†φ =

∫d3p

(2π)31

2Ep

(a†p + b−p

) (ap + b†−p

)=

∫d3p

(2π)31

2Ep

(a†pap + a†pb

†−p + b−pap + b−pb

†−p

)=

∫d3p

(2π)3

(1

2Epa†pap +

1

2E−pa†pb†p +

1

2E−pbpap +

1

2Epbpb†p

)=

∫d3p

(2π)31

2Ep

(a†pap + a†pb

†p + bpap + bpb

†p

)(5.33)

109


Sumando∫d3r ∇φ†.∇φ+m2

∫d3r φ†φ =

∫d3p

(2π)3~p2 +m2

2Ep

[a†pap + a†pb

†p + bpap + bpb

†p

]=

∫d3p

(2π)3Ep2

[a†pap + a†pb

†p + bpap + bpb

†p

](5.34)

con∫d3r π†π +

∫d3r ∇φ†.∇φ+m2

∫d3r φ†φ =

∫d3p

(2π)3Ep2

[a†pap + apa

†p + b†pbp + bpb

†p

]=

∫d3p

(2π)3Ep2

[2a†pap + 2b†pbp

]+∫

d3p

(2π)3Ep2

[[ap, a

†p

]+[bp, b

†p

]]=

∫d3p

(2π)3Ep[a†pap + b†pbp

]+∫

d3p

(2π)3Ep[δ(3)(0)

]︸︷︷︸

∞

obtenemos el Hamiltoniano en funcion de los operadores de aniquilacion y creacion

H =

∫d3p

(2π)3Ep(a†pap + b†pbp

)+ 〈0|H|0〉 (5.35)

El ultimo termino en esta expresion representa el valor de expectacion del Hamilto-

niano en el vacio, esto representa la sumatoria de los modos vibratorios de energıa del

vacio, en este caso para dos tipos de partıculas con la misma energıa Ep, una creada

por a†p y la otra por b†p. Ası solo consideramos los terminos finitos de la expresion,

ya que son los que se encuentra en los experimentos[17].

H =

∫d3p

(2π)3Ep(a†pap + b†pbp

)(5.36)

El termino a†pap representa el numero de partıculas y el termino b†pbp el numero

de anti-partıculas. Normalmente se elimina el termino infinito definiendo el Normal

110


ordered product[3]:

: H : = H− < 0|H|0 > (5.37)

Concluimos que el requisito para que la energıa total sea positiva es que los ope-

radores a’s y b’s satisfagan una relacion de conmutacion, y por lo tanto, obedezcan

la estadıstica Bose-Einstein. Esto es debido a la segunda suma en la Ec. (5.36), que

da la energıa de las anti-partıculas, la cual es positiva.

5.3. Operador momento P

Haciendo uso del tensor energıa-momento podemos encontrar la forma del ope-

rador momento:

P =

∫Θ0j d3r (5.38)

Ası tenemos que:

Θ0j =∂L∂(φ)

∂jφ+∂L∂(φ†)

∂jφ†

= φ† ∂jφ+ φ ∂jφ†

= −π ∂iφ− π† ∂iφ†

Remplazamos en la Ec. (5.38):

P = −∫ [

π ∇φ+ π† ∇φ†]d3r (5.39)

Podemos ver claramente que el operador P no es simetrico, por lo tanto lo simetri-

zamos de la siguiente manera:

P = −∫π ∇φ d3r −

∫π† ∇φ† d3r

= −1

2

∫(π ∇φ+∇φ π) d3r − 1

2

∫ (π† ∇φ† +∇φ† π†

)d3r

= −1

2

∫ (π ∇φ+∇φ π + π† ∇φ† +∇φ† π†

)d3r (5.40)

111


Ahora si es simetrico. Procedemos de la mismo forma que el Hamiltoniano:

π ∇φ = −∫d3p d3p′

(2π)6

√Ep2

(a†p − b−p

)eip.x

~p′√2Ep′

(ap′ − b†−p′

)e−ip

′.x

= −1

2

∫d3p d3p′

(2π)6~p′

√EpEp′

ei(p−p′).x(a†p − b−p

) (ap′ − b†−p′

)Integramos sobre todo el espacio:∫

π ∇φ d3r = −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a†p − b−p

) (ap − b†−p

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a†pap − a†pb

†−p − b−pap + b−pb

†−p

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a†pap + a†pb

†p − bpap + bpb

†p

)(5.41)

Continuamos con el otro termino:

∇φ π = −1

2

∫d3p d3p′

(2π)6~p

√Ep′

Epei(p−p

′).x(a−p − b†p

) (a†−p′ − bp′

)Integrando sobre el espacio:∫

∇φ π d3r = −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a−p − b†p

) (a†−p − bp

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a−pa

†−p − a−pbp − b†pa

†−p + b†pbp

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(apa

†p + apbp − b†pa†p + b†pbp

)(5.42)

El tercer termino, bajo el mismo procedimiento, sera:∫π† ∇φ† d3r = −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a−p − b†p

) (a†−p − bp

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a−pa

†−p − a−pbp − b†pa

†−p + b†pbp

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(apa

†p − apbp + b†pa

†p + b†pbp

)(5.43)

El ultimo termino sera:∫∇φ† π† d3r = −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a†p − b−p

) (ap − b†−p

)= −1

2

∫d3p

(2π)3~p(a†pap − a†pb†p + bpap + bpb

†p

)(5.44)

112

5.4. OPERADOR CARGA Q

Sumamos todos estos terminos lo cual nos da:∫(π∇φ+∇φπ + π†∇φ† +∇φ†π†) d3r = −1

2

∫d3p

(2π)32~p(a†pap + apa

†p + bpb

†p + b†pbp

)= −2

∫d3p

(2π)3~p(a†pap + b†pbp

)(5.45)

En esta ultima expresion hemos omitido los terminos infinitos. Con esto reemplaza-

mos en P, lo cual nos da:

P =

∫d3p

(2π)3p(a†pap + b†pbp

)(5.46)

De las ecuaciones (5.36) y (5.46) concluimos que la teorıa describe dos tipos de

partıculas independientes, a y b, que tienen la misma masa y el mismo momento.

5.4. Operador carga Q

Como vimos en el capıtulo 2, la Lagrangiana en la Ec. (5.1) exhibe una simetrıa

interna bajo la transformacion

φ→ φ′ = eiαφ y φ† → φ′† = e−iαφ† (5.47)

Siendo α una fase real. Ası la corriente de Noether para la Lagrangia de la Ec. (5.1)

es:

fµ = −i[(∂µφ†

)φ− (∂µφ)φ†

](5.48)

La carga conservada para esta corriente es:

Q = −i∫ (

πφ− π†φ†)d3r (5.49)

Vemos que esta expresion no es simetrica por lo tanto la hacemos simetrica de la

siguiente forma:

Q = − i2

∫ (πφ+ φπ − π†φ† − φ†π†

)d3r (5.50)

113


Con esto podemos expresar este operador en funcion de los operadores de aniqui-

lacion y creacion, procedamos de manera analoga al operador Hamiltoniano y mo-

mento:

πφ =i

2

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

(a†pe

ip.x − bpe−ip.x) (ap′e

−ip′.x + b†p′eip′.x)

=i

2

∫d3p d3p′

(2π)6

√EpEp′

ei(p−p′).x

(a†p − b−p

) (ap′ + b†−p′

)Integrando sobre todo el espacio tenemos:∫

πφ d3r =i

2

∫d3p

(2π)3(a†p − b−p

) (ap + b†−p

)=

i

2

∫d3p

(2π)3

(a†pap + a†pb

†−p − b−pap − bpb†p

)(5.51)

El otro termino sera:

φπ =i

2

∫d3p d3p′

(2π)6

√Ep′

Epei(p−p

′).x(a−p + b†p

) (a†−p′ − bp′

)Integrando sobre todo el espacio:∫

φπ d3r =i

2

∫d3p

(2π)3(a−p + b†p

) (a†−p − bp

)=

i

2

∫d3p

(2π)3

(apa

†p − a−pbp + b†pa

†−p − b†pbp

)(5.52)

Sumamos∫(πφ+ φπ) d3r =

i

2

∫d3p

(2π)3(a†pap + apa

†p − b†pbp − bpb†p + 2b†pa

†p − 2apbp

)(5.53)

De forma similar para los otros terminos, obtenemos:∫π†φ† d3r = − i

2

∫d3p

(2π)3

(apa

†p + a−pbp − b†pa

†−p − b†pbp

)(5.54)∫

φ†π† d3r = − i2

∫d3p

(2π)3

(a†pap − a†pb

†−p + b−pap − bpb†p

)(5.55)

114

5.4. OPERADOR CARGA Q

Sumamos ambos para obtener:∫ (π†φ† + φ†π†

)d3r = − i

2

∫d3p


†p − b†pbp − bpb†p − 2b†pa

†p + 2apbp

)(5.56)

Remplazamos en la carga, lo cual nos da:

Q =1

2

∫d3p


†p − b†pbp − bpb†p

)=

∫d3p

(2π)3(a†pap − b†pbp

)(5.57)

En la Ec. (5.57) los terminos infinitos se anulan de forma natural. De esta ultima

ecuacion vemos que las partıculas representadas por los operadores ap, a†p y las

representadas por bp, b†p son de signo opuesto en la carga, pero tienen la misma

masa y momento. Es por este motivo que interpretamos a los operadores b’s como

los que crean y aniquilan anti-partıculas.

Otra forma de comprobar que la carga es una cantidad que se conserva es calcular

su ecuacion de movimiento en la figura de Heisenberg. El operador carga Q satisface

la ecuacion de movimiento:

dQ

dt= −i [Q,H] (5.58)

= −i∫d3p d3p′

(2π)6Ep′

[a†pap − b†pbp, a

†p′ap′ + b†p′bp′

]= −i

∫d3p d3p′

(2π)6Ep′

(a†p

[ap, a

†p′

]ap′ + a†p′

[a†p, ap′

]ap + b†p

[bp, b

†p′

]bp′ − b†p′

[b†p, bp′

]bp

)Usando la relacion de conmutacion para los operadores encontramos:

dQ

dt= −i

∫d3p

(2π)3Ep

(a†pap − a†pap − b†pbp + b†pbp

)= 0 (5.59)

Esto nos indica que la carga Q es una cantidad conservada, como se esperaba.

115


Otra forma de expresar un campo complejo es mediante un arreglo de dos campos

escalares reales independientes, que constituyen la parte real e imaginaria del campo

complejo

φ(x) =1√2

(φ1(x) + iφ2(x)) (5.60)

φ†(x) =1√2

(φ1(x)− iφ2(x)) (5.61)

La descripcion del campo complejo, en esta forma, es equivalente a la echa en esta

seccion. Para ver mayor detalle de esta equivalencia ver el apendice B.

116

Capıtulo 6

Estados Coherentes

En mecanica cuantica, un estado coherente es el estado cuantico especıfico del os-

cilador armonico cuantico, a menudo descrito como un estado que tiene una dinamica

que se asemeja mas al comportamiento de un oscilador armonico clasico[6].

Para entender la utilidad e importancia de los estados coherentes consideremos

algunas propiedades del oscilador armonico cuantico. Los estados de un oscilador

armonico cuantico forman una base en el espacio de estados de una partıcula (espacio

de Fock), ya que son auto-estados del operador numero N [4]

N |ϕn〉 = n|ϕn〉 (6.1)

y por lo tanto del Hamiltoniano

H = ω

(N +

1

2

)(6.2)

H|ϕn〉 = ω

(n+

1

2

)|ϕn〉 (6.3)

Estos estados estan expresados por

|ϕn〉 =(a†)n√n!|ϕ0〉 (6.4)

117

CAPITULO 6. ESTADOS COHERENTES

|ϕ0〉 es el estado fundamental. Estos estados satisfacen la relacion de ortonormali-

zacion

〈ϕn′ |ϕn〉 = δn,n′ (6.5)

La accion de los operadores a y a† sobre los estados |ϕn〉 esta dada por[6]

a|ϕn〉 =√n|ϕn−1〉 (6.6)

a†|ϕn〉 =√n+ 1|ϕn+1〉 (6.7)

De esto vemos que a disminuye en una unidad el estado del oscilador armonico, es

por esto que se le conoce como el operador descenso. Por otro lado, a† se conoce

como el operador ascenso ya que aumenta en una unidad el estado del oscilador

armonico. En funcion de estos operadores se puede expresar los observables X y P

X =

√1

2ωm

(a† + a

)(6.8)

P = i

√ωm

2

(a† − a

)(6.9)

Ahora calculamos sus valores medios o de expectacion en la base |ϕn〉

〈X〉 = 〈ϕn|X|ϕn〉 =

√1

2ωm

〈ϕn|a†|ϕn〉+ 〈ϕn|a|ϕn〉

=

√1

2ωm

√n+ 1〈ϕn|ϕn+1〉+

√n〈ϕn|ϕn−1〉

= 0 (6.10)

De forma similar para

〈P 〉 = 〈ϕn|P |ϕn〉 = 0 (6.11)

Para el oscilador armonico clasico tenemos que la posicion x y el momento px no

son cero, son funciones oscilantes en el tiempo y solo son cero si la energıa potencial

es cero[6].

x = A cos(ωt− ϕ) (6.12)

px = −Amω sin(ωt− ϕ) (6.13)

118

Esto no esta de acuerdo con el principio de correspondencia de Bohr, que establece

que el comportamiento de los sistemas descritos por la mecanica cuantica reproduce

la fısica clasica en el lımite de los grandes numeros cuanticos. En otras palabras, dice

que para las grandes orbitas y para las grandes energıas, los resultados cuanticos

deben llevar a los resultados clasicos˝. Los estados del oscilador armonico cuantico

no satisfacen este principio. Fue Erwin Schrodinger quien derivo, en 1926, estados

mecanico cuanticos que conducıan a predicciones identicas a las clasicas, mientras

buscaba soluciones de la ecuacion de Schrodinger que satisficieran el principio de

correspondencia de Bohr. A estos estados los llamamos estados coherentes del osci-

lador armonico. El apelativo de estado coherente fue usado por primera vez por Roy

Glauber en el campo de la optica cuantica. Los estados coherentes fueron estudia-

dos por primera vez por Schrodinger en 1926 y fueron re-descubiertos por Klauder,

Glauber y Sudarshan a principios de los anos sesenta[21].

Estos estados coherentes son superposiciones lineales de todos los auto estados

del Hamiltoniano del oscilador armonico, |ϕn〉. Matematicamente hablando son los

auto estados del operador descenso[6]:

a|α〉 = α|α〉 (6.14)

Fısicamente, esta formula significa que un estado coherente no cambia por la aniqui-

lacion de una excitacion del campo o, digamos, una partıcula. Expandimos el estado

coherente |α〉 en las bases de los estados estacionarios |ϕn〉:

|α〉 =∑n

cn(α)|ϕn〉 (6.15)

Hacemos actuar el operador a:

a|α〉 =∑n

cn(α)√n|ϕn−1〉

α|α〉 =∑n


α∑n

cn(α)|ϕn〉 =∑n


119

De esto despejamos c0(α)

c0(α) = e−|α|22 (6.21)

Y finalmente el estado coherente para el oscilador armonico sera

|α〉 = e−|α|22

∑n

αn√n!|ϕn〉 (6.22)

Consideremos que el oscilador esta en el estado |α〉. La medida de la energıa en

el estado estacionario nos es dada por

H|ϕ〉 = En|ϕ〉 (6.23)

siendo En = ω(n+ 1/2). La probabilidad de obtener esta medida de la energıa en el

estado coherente |α〉 es

Pn(α) = |〈ϕn|α〉|2 (6.24)

usando la Ec. (6.22) aquı, nos lleva a

Pn(α) =(|α|2)n

n!e−|α|

2

(6.25)

La distribucion de probabilidad obtenida tiene la forma de una distribucion de Pois-

son. Una distribucion de Poisson es una condicion necesaria y suficiente para que

todas las detecciones sean estadısticamente independientes unas de otras. Compa-

rando esto con el estado de una sola partıcula |ϕ1〉: una vez que se detecta una

partıcula, la probabilidad de detectar otra es cero.

Si conocemos |α〉, la probabilidad de encontrar los resultados En es conocida, por

lo que el valor medio del Hamiltoniano, 〈H〉α, puede ser predicho. Como el estado

coherente es normalizado, 〈H〉α esta dado por la siguiente expresion:

〈H〉α = 〈α|H|α〉 (6.26)

121


Usando la Ec. (6.22) llegamos a la siguiente ecuacion para el valor medio del Hamil-

toniano

〈H〉α = e−|α|2∑n=0m=0

α∗mαn√m!n!

〈ϕm|H|ϕn〉

= e−|α|2∑n,m

α∗mαn√m!n!

En〈ϕm|ϕn〉

= e−|α|2∑n

(|α|2)n

n!En

Comparando con la Ec. (6.25) tenemos:

〈H〉α =∑n

En Pn(α) (6.27)

Sin olvidar que

En = ω

(n+

1

2

)(6.28)

Por otro lado, tambien podemos obtener el valor de expectacion del Hamiltoniano

a partir de la Ec. (6.2)

〈H〉α = ω

〈α|N |α〉+

1

2

El valor medio del operador numero de partıculas es

〈N〉α = 〈α|a†a|α〉

= α∗α〈α|α〉

teniendo en cuenta que

〈α|a† = α∗〈α| (6.29)

llegamos a

〈N〉α = |α|2 (6.30)

122

Reemplazando en el valor medio del Hamiltoniano tenemos

〈H〉α = ω

(|α|2 +

1

2

)(6.31)

Ahora obtendremos una ecuacion que nos permita transformar el estado base al

estado coherente. Esto lo conseguimos a partir de la Ec. (6.22) y reemplazando la

Ec. (6.4) aquı:

|α〉 = e−|α|22

∑n

(αa†)n

n!|ϕ0〉

= e−|α|22 eαa

†|ϕ0〉 (6.32)

Por otro lado podemos comprobar que

e−α∗a|ϕ0〉 =

∑n

(−α∗a)n

n!|ϕ0〉

=

(1− α∗a+

α∗2a2

2!+ · · ·

)|ϕ0〉

= |ϕ0〉 (6.33)

Insertamos esto en la Ec. (6.32)

|α〉 = e−|α|22 eαa

†e−α

∗a|ϕ0〉 (6.34)

Usamos la formula de Glauber que nos dice que, si dos operadores A y B no con-

mutan, se debe cumplir[4]

eAeB = eA+Be12[A,B] (6.35)

Aplicando esta formula en la Ec. (6.34) tenemos:

|α〉 = e−|α|22 eαa

†−α∗ae−|α|22 [a†,a]|ϕ0〉

= e−|α|22 eαa

†−α∗ae|α|22 |ϕ0〉

= eαa†−α∗a|ϕ0〉 (6.36)

123


Otra forma de escribir esto es

|α〉 = S |ϕ0〉 (6.37)

donde S, se define como:

S = eαa†−α∗a (6.38)

que cumple la siguiente propiedad:

SS† = eαa†−α∗aeα

∗a−αa† = 1 (6.39)

por lo tanto , bajo una transformacion unitaria, el estado base |ϕ0〉 se transforma

en el estado coherente |α〉. En otras referencias,como [22], S toma el nombre de

matriz-S.

124

Capıtulo 7

Campo Complejo de Klein-Gordon

Acoplado a una Fuente

El campo de Klein-Gordon real acoplado a una fuente (c-number) es tratado por

los autores Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder en su libro An Introduction

to Quantum Field Theory˝y por Luis Alvarez Gaume, Miguel A. Vazquez Mozo

en su libro An Invitation to Quantum Field Theory˝de una manera general. Los

autores Ernest M. Henley y Walter Thirring en su libro Elementary Quantum Field

Theory˝tratan este caso con mayor profundidad, presentando algunas aplicaciones

de interes. Otro autor que trata este tema, pero para un caso particular, es Gregor

Wentzel en su libro Quantum Theory Of Fields˝, aquı considera la interaccion entre

nucleones simulando la fuente como una delta de Dirac. En ninguna de las referencias

mencionadas trabajan el caso del campo de Klein-Gordon complejo acoplado a una

fuente. Es esta la motivacion que nos lleva a abordar este problema.

Empezaremos por introducir el termino de fuente a la Lagrangiana libre de Klein-

Gordon, con la finalidad de obtener una Lagrangiana de interaccion. A partir de

esta, desarrollamos la teorıa que nos permita conocer los efectos introducidos por la

fuente.

125

CAPITULO 7. CAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON ACOPLADO AUNA FUENTE

7.1. Lagrangiana del campo de Klein-Gordon com-

plejo acoplado a una fuente

Se procede a acoplar una fuente al campo complejo de Klein-Gordon, esto se

consigue adicionando un termino que contiene la fuente a la Lagrangiana de campo

complejo libre, Ec. (5.1). Para construir la Lagrangiana hemos utilizado la existencia

de simetrıas, de tal forma que esta Lagrangiana sea invariante bajo estas simetrıas

(discutidas en el capıtulo 2). Con este fin se debe adicionar un termino por cada

funcion de campo que se tenga, como el campo es complejo se tiene dos funciones

de campo φ y φ†, con la finalidad de que la Lagrangiana sea hermitiana o real, para

no violar el teorema CPT, conjugacion de la carga, paridad e inversion temporal.

Por lo tanto es adecuado considerar la siguiente forma:

L = ∂uφ†(x)∂uφ(x)−m2φφ† + J(x)φ†(x) + J∗(x)φ(x) (7.1)

En esta Lagrangiana se comprueba que:

L∗ = L (7.2)

Otra de las razones por la que se exige que L sea real es que a partir de esta se obtiene

el momento fısico y este es real, si este no fuera el caso la teorıa seria inconsistente.

Se ve claramente que la Ec. (7.1) es un invariante de Lorentz. Esta Lagrangiana

tambien debe ser invariante bajo la transformacion de fase global discutida en el

capıtulo 2:

φ→ φeiα φ† → φ†e−iα (7.3)

Siendo α una constante real. Esta transformacion implica que la fuente debe trans-

formar bajo la misma fase

J → Jeiα J∗ → J∗e−iα (7.4)

126

7.1. LAGRANGIANA DEL CAMPO DE KLEIN-GORDON COMPLEJOACOPLADO A UNA FUENTE

Se exige que la Lagrangiana satisfaga esta transformacion para que posea simetrıa

U(1), es decir, carga.

Combinando dos campos reales independientes se puede construir un campo

complejo de la forma (ver apendice B):

φ =1√2

(φ1 + iφ2) (7.5)

φ† =1√2

(φ1 − iφ2) (7.6)

Con este arreglo cambia la forma de la Lagrangiana en la Ec. (7.1):

∂µφ =1√2

(∂µφ1 + i∂µφ2)

∂µφ† =

1√2

(∂µφ1 − i∂µφ2)

Ası:

∂µφ†∂µφ =

1

2∂µφ1∂

µφ1 +1

2∂µφ2∂

µφ2

φφ† =1

2φ21 +

1

2φ22

Por otro lado, se define la fuente J como la combinacion de dos fuentes reales:

J =1√2

(J1 + iJ2) (7.7)

J∗ =1√2

(J1 − iJ2) (7.8)

A partir de las cuales se obtiene:

Jφ† =1

2(J1φ1 + J2φ2 − iJ1φ2 + iJ2φ1)

J∗φ =1

2(J1φ1 + J2φ2 + iJ1φ2 − iJ2φ1)

Sumando ambos terminos se llega a:

Jφ† + J∗φ = J1φ1 + J2φ2

127


Reemplazando todo lo obtenido en la Ec. (7.1) se llega a una Lagrangiana en funcion

de dos campos reales:

L =1

2∂uφ1∂

uφ1 −1

2m2φ2

1 + J1φ1 +1

2∂uφ2∂

uφ2 −1

2m2φ2

2 + J2φ2 (7.9)

Se puede escribir L como la suma de dos Lagrangianas independientes:

L = L1 + L2 (7.10)

Siendo:

L1 =1

2∂uφ1∂

uφ1 −1

2m2φ2

1 + J1φ1 (7.11)

L2 =1

2∂uφ2∂

uφ2 −1

2m2φ2

2 + J2φ2 (7.12)

7.2. Ecuaciones de movimiento para el campo

complejo de Klein-Gordon acoplado a una

fuente

Como se tiene dos campos, habra dos ecuaciones de movimiento las cuales se

obtienen a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, una para cada campo:


(∂L

∂(∂µφσ)

)= 0 (7.13)

Reemplazando (7.10) en (7.13) se tiene:

∂L1

∂φσ+∂L2

∂φσ− ∂µ

(∂L1

∂(∂µφσ)

)− ∂µ

(∂L2

∂(∂µφσ)

)= 0 (7.14)

Para σ = 1:

∂L1

∂φ1

− ∂µ(

∂L1

∂(∂µφ1)

)= 0 (7.15)

128

7.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA EL CAMPO COMPLEJO DEKLEIN-GORDON ACOPLADO A UNA FUENTE

Para σ = 2:

∂L2

∂φ2

− ∂µ(

∂L2

∂(∂µφ2)

)= 0 (7.16)

A partir de estas, se obtienen dos ecuaciones diferenciales no homogeneas, de la

forma: ( +m2

)φ1 = J1 (7.17)

y ( +m2

)φ2 = J2 (7.18)

Ahora es de gran utilidad reconocer tres situaciones para la fuente, la primera

situacion sera cuando la fuente aun no se encendio, J(x) = 0. La segunda situacion

se da cuando la fuente es prendida, J(x) 6= 0. La tercera situacion, cuando la fuente

es apagada despues de permanecer prendida cierto tiempo, J(x) = 0, ver figura

(7.1). Estas situaciones se explican mejor con los estados in y out.

Figura 7.1: Estados para las tres situaciones in, fuente encendida y out.

7.2.1. Estado in

Este estado representa la primera situacion. La teorıa que describe este estado

es la de campo libre discutida en el capıtulo 4, es decir, φin1,2 son los campos antes

de encender las fuentes J1,2 = 0( +m2

)φin1,2 = 0 (7.19)

129


Los campos toman la siguiente forma

φin1,2 =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ain1,2e

−ip.x + a†in1,2eip.x

)(7.20)

Estos dos campos reales se pueden combinar para formar un campo complejo (ver

apendice B)

φin =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ain(p)e−ip·x + b†in(p)eip·x

)(7.21)

Los coeficientes de expansion satisfacen[ain(p), a†in(p′)

]= (2π)3 δ(3)(p− p′) (7.22)[

bin(p), b†in(p′)]

= (2π)3 δ(3)(p− p′) (7.23)

Usando estos operadores, el operador Hamiltoniano tomara la forma

Hin =

∫d3p

(2π)3ωp

(a†inain + b†inbin

)(7.24)

El operador numero esta dado por

Nin = n(a)in + n

(b)in (7.25)

n(a)in =

∫d3p

(2π)3a†inain numero de partıculas

n(b)in =

∫d3p

(2π)3b†inbin numero de anti-partıculas

El estado de vacio se representa por |0in〉, tal que

Nin|0in〉 = 0 (7.26)

n(a)in |0in〉 = 0

n(b)in |0in〉 = 0

lo que implica que

ain|0in〉 = 0 (7.27)

bin|0in〉 = 0 (7.28)

Los estados in son llamados estados fısicos. Estos estados visten la fuente y repre-

sentan las partıculas entrantes[22].

130

7.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA EL CAMPO COMPLEJO DEKLEIN-GORDON ACOPLADO A UNA FUENTE

7.2.2. Estado out

Este estado representa la tercera situacion. Como la fuente ha sido apagada,

el campo estara descrito por una teorıa de campo libre. Aquı φout1,2 son los campos

despues de que las fuentes J1,2 = 0 son apagadas

( +m2

)φout1,2 = 0 (7.29)

Las soluciones de estos campos se expresan en funcion de los operadores de aniqui-

lacion y creacion:

φout1,2 =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(aout1,2e

−ip.x + a†out1,2eip.x)

(7.30)

Como en el caso anterior podemos combinar estos campos reales en un campo com-

plejo que tendra la forma usual

φout =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(aout(p)e−ip·x + b†out(p)eip·x

)(7.31)

Los operadores aout’s y bout’s satisfacen las relaciones de conmutacion[aout(p), a†out(p

′)]

= (2π)3 δ(3)(p− p′) (7.32)[bout(p), b†out(p

′)]

= (2π)3 δ(3)(p− p′) (7.33)

En funcion de estos operadores, el Hamiltoniano toma la forma

Hout =

∫d3p

(2π)3ωp

(a†outaout + b†outbout

)(7.34)

y el operador numero

Nout = n(a)out + n

(b)out (7.35)

n(a)out =

∫d3p

(2π)3a†outaout numero de partıculas

n(b)out =

∫d3p

(2π)3b†outbout numero de anti-partıculas

131


en este caso el estado de vacio se representa por |0out〉, tal que

Nout|0out〉 = 0 (7.36)

n(a)out|0out〉 = 0

n(b)out|0out〉 = 0

lo que implica

aout|0out〉 = 0 (7.37)

bout|0out〉 = 0 (7.38)

Los estados out, al igual que los estados in, son llamados estados fısicos, pero, con

la diferencia que representan la fuente vestida mas nout partıculas salientes[22].

7.3. Solucion de las ecuaciones de movimiento pa-

ra el campo acoplado a la fuente

En esta parte se tratara la segunda situacion (J1,2 6= 0) y se encontrara una

conexion entre las otras dos situaciones. La solucion de la ecuacion (7.17) se obtiene

con la ayuda de las funciones de Green Retardada˝, DR(x − y), y Avanzada˝,

DA(x− y), de la siguiente manera (ver apendice C y D):

φ1 = φin1 + i

∫d4y DR(x− y)J1(y) (7.39)

φ1 = φout1 + i

∫d4y DA(x− y)J1(y) (7.40)

Una forma conveniente de expresar φ1 es con la ayuda de la forma integral de DR y

DA, expresadas por (ver apendice C):

DR(x− y) = θ(xo − yo)1

2

∫d3p

(2π)31

2ωp

(e−ip.(x−y) − eip.(x−y)

)(7.41)

DA(x− y) = −θ(yo − xo)1

2

∫d3p

(2π)31

2ωp

(e−ip.(x−y) − eip.(x−y)

)(7.42)

132

7.3. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA ELCAMPO ACOPLADO A LA FUENTE

Primero se reemplaza la Ec. (7.41) en la Ec. (7.39), quedando:

φ1(x) = φin1 (x) +i

2

∫d3p

(2π)31

2Ep

[J1(p)e

−ip.x − J1(−p)eip.x]

(7.43)

Siendo J1(p) la transformada de Fourier de J1(x), expresada como:

J1(p) =

∫d4y eip·yJ1(y) (7.44)

J1(−p) = J∗1 (p) =

∫d4y e−ip·yJ1(y) (7.45)

Con esto, se reemplaza la Ec. (7.20) en la Ec. (7.43):

φ1(x) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ain1e

−ip.x + a†in1eip.x

)+i

2

∫d3p

(2π)31

2ωp

[J1(p)e

−ip.x − J1(−p)eip.x]

=

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ain1 +

i

2

J1(p)√2ωp

)e−ip.x +

(a†in1− i

2

J1(−p)√2ωp

)eip.x

El campo φ1 se puede escribir de forma compacta:

φ1 =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ap1e

−ip.x + a†p1eip.x)

(7.46)

Siendo:

ap1 = ain1(p) +1

2

i√2ωp

J1(p) (7.47)

a†p1 = a†in1(p)− 1

2

i√2ωp

J∗1 (p) (7.48)

Con el mismo procedimiento se reduce la Ec. (7.40), esta vez se usa la Ec. (7.30) y

la Ec. (7.42), con lo cual se obtiene:

ap1 = aout1(p)− 1

2

i√2ωp

J1(p) (7.49)

a†p1 = a†out1(p) +1

2

i√2ωp

J∗1 (p) (7.50)

Combinando las dos soluciones se encuentra una relacion entre in y out:

aout1(p) = ain1(p) +i√2ωp

J1(p) (7.51)

a†out1(p) = a†in1(p)− i√

2ωpJ∗1 (p) (7.52)

133


La solucion de la Ec. (7.18) tambien se halla con la ayuda de las funciones de

Green:

φ2 = φin2 + i

∫d4y DR(x− y)J2(y) (7.53)

φ2 = φout2 + i

∫d4y DA(x− y)J2(y) (7.54)

De la misma forma que la Ec. (7.46), podemos expresar φ2 en una forma mas com-

pacta y conveniente:

φ2 =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ap2e

−ip.x + a†p2eip.x)

(7.55)

Siendo:

ap2 = ain2(~p) +1

2

i√2ωp

J2(p) = aout2(~p)−1

2

i√2ωp

J2(p) (7.56)

a†p2 = a†in2(~p)− 1

2

i√2ωp

J∗2 (p) = a†out2(~p) +1

2

i√2ωp

J∗2 (p) (7.57)

Ahora construyamos la forma de φ reemplazando lo obtenido en las Ec. (7.5) y (7.6):

φ =1√2

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ap1e

−ip.x + a†p1eip.x + iap2e

−ip.x + ia†p2eip.x)

=

∫d3p

(2π)31√2ωp

[1√2

(ap1 + iap2) e−ip.x +

1√2

(a†p1 + ia†p2

)eip.x

]Definiendo un nuevo conjunto de operadores de la siguiente forma:

ap =1√2

(ap1 + iap2) (7.58)

b†p =1√2

(a†p1 + ia†p2

)(7.59)

se escribe el campo de la forma usual:

φ =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ape−ip.x + b†pe

ip.x)

(7.60)

De la misma forma se encuentra φ†:

φ† =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a†pe

ip.x + bpe−ip.x) (7.61)

134


En este caso los nuevos operadores tienen la forma:

a†p =1√2

(a†p1 − ia

†p2

)(7.62)

bp =1√2

(ap1 − iap2) (7.63)

Tomando en cuenta la transformada de Fourier de las fuentes en las Ec. (7.7) y (7.8)

se obtiene:

J(p) =

∫d4y eip.yJ(y)

=1√2

∫d4y eip.yJ1(y) + i

∫d4y eip.yJ2(y)

=

1√2

(J1(p) + iJ2(p)

)(7.64)

Tomando la conjugada compleja de esta se encuentra la transformada de Fourier de

J∗(x):

J∗(p) =

∫d4y e−ip.yJ∗(y)

=1√2

(J∗1 (p)− iJ∗2 (p)

)(7.65)

Tambien nos sera muy util considerar el siguiente arreglo, primero en la Ec. (7.7):∫d4y e−ip.yJ(y) =

1√2

∫d4y e−ip.yJ1(y) + i

∫d4y e−ip.yJ2(y)

J(−p) =

1√2

(J∗1 (p) + iJ∗2 (p)

)(7.66)

Siendo claramente:

J(−p) =

∫d4y e−ip.yJ(y) (7.67)

De una manera similar se encuentra que:

J∗(−p) =1√2

(J1(p)− iJ2(p)

)(7.68)

135


Siendo:

J∗(−p) =

∫d4y eip.yJ∗(y) (7.69)

Con la ayuda de estas expresiones se reescribe ap. Reemplazando la Ec. (7.49) y la

Ec. (7.56) en la Ec. (7.58), se encuentra:

ap =1√2

(ain1(~p) +

1

2

i√2ωp

J1(p) + iain2(~p) +1

2

i2√2ωp

J2(p)

)=

1√2

(ain1(~p) + iain2(~p)) +1

2

i√2ωp

1√2

(J1(p) + iJ2(p)

)Teniendo en cuenta que:

ain(~p) =1√2

(ain1(~p) + iain2(~p)) (7.70)

y su adjunta es:

a†in(~p) =1√2

(a†in1

(~p)− ia†in2(~p))

(7.71)

Considerando la Ec. (7.64) tenemos:

ap = ain(~p) +1

2

i√2ωp

J(p) (7.72)

Tomando la adjunta de esta ecuacion tenemos:

a†p = a†in(~p)− 1

2

i√2ωp

J∗(p) (7.73)

Tambien se expresa ap en funcion de los operadores aout, siguiendo el mismo proce-

dimiento de arriba:

ap = aout(~p)−1

2

i√2ωp

J(p) (7.74)

a†p = a†out(~p) +1

2

i√2ωp

J∗(p) (7.75)

136


Para llegar a estas expresiones se usa:

aout(~p) =1√2

(aout1(~p) + iaout2(~p)) (7.76)

a†out(~p) =1√2

(a†out1(~p)− ia

†out2(~p)

)(7.77)

A partir de las ecuaciones (7.72) y (7.74) se encuentra una relacion entre los opera-

dores de in y out:

aout(~p)−1

2

i√2ωp

J(p) = ain(~p) +1

2

i√2ωp

J(p)

lo cual nos conduce a

aout(~p) = ain(~p) +i√2ωp

J(p) (7.78)

Tomando el adjunto de este ultimo, se tiene:

a†out(~p) = a†in(~p)− i√2ωp

J∗(p) (7.79)

Ahora se puede expresar el operador bp en una forma similar a la Ec. (7.56),

partiendo de la Ec. (7.63):

bp =1√2

ain1(~p) +

1

2

i√2ωp

J1(p)− iain2(~p)−1

2

i2√2ωp

J2(p)

=

1√2

(ain1(~p)− iain2(~p)) +1

2

i√2ωp

1√2

(J1(p)− iJ2(p)

)Definiendo:

bin(~p) =1√2

(ain1(~p)− iain2(~p)) (7.80)

y su adjunta:

b†in(~p) =1√2

(a†in1

(~p) + ia†in2(~p))

(7.81)

137


Ası bp, con la ayuda de la Ec. (7.47) y la Ec. (7.56), se convierte en:

bp = bin(~p) +1

2

i√2ωp

J∗(−p) (7.82)

La adjunta de este operador es:

b†p = b†in(~p)− 1

2

i√2ωp

J(−p) (7.83)

Con la finalidad de encontrar una relacion entre los operadores de in y out, se expresa

bp en funcion de los operadores de out. Esto se escribe de la siguiente manera:

bp = bout(~p)−1

2

i√2ωp

J∗(−p) (7.84)

b†p = b†out(~p) +1

2

i√2ωp

J(−p) (7.85)

Para llegar a estas expresiones tuvo en cuenta que:

bout(~p) =1√2

(aout1(~p)− iaout2(~p)) (7.86)

b†out(~p) =1√2

(a†out1(~p) + ia†out2(~p)

)(7.87)

Aquı tambien se puede obtener una relacion entre los operadores de in y out a partir

de la Ec. (7.82) y la Ec. (7.84):

bout(~p)−1

2

i√2ωp

J∗(−p) = bin(~p) +1

2

i√2ωp

J∗(−p)

de aquı

bout(~p) = bin(~p) +i√2ωp

J∗(−p) (7.88)

El operador adjunto es:

b†out(~p) = b†in(~p)− i√2ωp

J(−p) (7.89)

138


En la teorıa de campo escalar libre vimos que los operadores ain y a†in son in-

terpretados como un conjunto de operadores de aniquilacion y creacion de un tipo

de partıculas y el conjunto bin, b†in el de otro tipo, en el estado in. De la misma

forma los conjuntos de operadores aout, a†out y bout, b

†out representan operadores de

aniquilacion y creacion de diferentes tipos de partıculas, en el estado out. Se les

da esta interpretacion debido a que cumplen con las relaciones de conmutacion de

las Ec. (7.22) y (7.32). Con la ayuda de estas relaciones hallaremos la relacion de

conmutacion del nuevo conjunto de operadores que introducimos arriba:

[ap, a

†p′

]=

[ain(~p) +

1

2

i√2ωp

J(p), a†in(~p′)− 1

2

i√2ωp′

J∗(p′)

]

=[ain(~p), a†in(~p′)

]+

[1

2

i√2ωp

J(p), a†in(~p′)

]+

[ain(~p),

1

2

i√2ωp′

J∗(p′)

]+[

1

2

i√2ωp

J(p),1

2

i√2ωp′

J∗(p′)

]

Claramente los tres ultimos terminos de la derecha son cero, quedandonos solo el

primer termino, que conduce a:

[ap, a

†p′

]= (2π)3 δ(3)(~p− ~p′) (7.90)

De manera similar hallamos la relacion de conmutacion para los otros operadores:

[bp, b

†p′

]= (2π)3 δ(3)(~p− ~p′) (7.91)

Esto nos indica que estos nuevos conjuntos de operadores son, tambien, de aniqui-

lacion y creacion pero de un nuevo tipo de partıculas.

139


7.4. Operador Hamiltoniano, momento y carga

para el campo complejo de Klein-Gordon aco-

plado a una fuente

El Hamiltoniano lo podemos obtener a partir del tensor energıa-momento, con

la ayuda de la Lagrangiana en la Ec. (7.1)

Θ00 = πφ+ π†φ† − φ†φ+∇φ† · ∇φ+m2φ†φ− Jφ† − J∗φ

El momento conjugado canonico lo obtenemos de la relacion ya conocida:

πi =∂L∂φi

π = φ†

π† = φ

Con estas expresamos el tensor energıa-momento o densidad Hamiltoniana se reduce

a:

H = π†π +∇φ† · ∇φ+m2φ†φ− Jφ† − J∗φ (7.92)

El Hamiltoniano total tomara la forma

H =

∫ (π†π +∇φ† · ∇φ+m2φ†φ

)d3r −

∫ (Jφ† + J∗φ

)d3r

= H0 +H ′ (7.93)

Si observamos bien esta expresion, tiene la forma de un Hamiltoniano perturba-

do y por lo tanto se puede hallar el potencial de interaccion usando la teorıa de

perturbaciones. Podemos arreglar la expresion en la Ec. (7.100) de la forma:

H0 =

∫ (π†π +∇φ† · ∇φ+m2φ†φ

)d3r (7.94)

140

7.4. OPERADOR HAMILTONIANO, MOMENTO Y CARGA PARA ELCAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON ACOPLADO A UNA FUENTE

Como los campos tienen la misma forma (no significa que sean los mismos) que

el caso del campo libre, ecuaciones (7.37) y (7.38), esta expresion toma la forma

conocida

H0 =

∫d3p

(2π)3ωp(a†pap + b†pbp

)(7.95)

Por otro lado tenemos a

H ′ =

∫ (Jφ† + J∗φ

)d3r (7.96)

Expresamos esta ecuacion en funcion de los operadores de creacion y aniquilacion con

la ayuda de las ecuaciones (7.37) y (7.38). Considerando cada termino por separado∫Jφ† d3r =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a†p

∫d3r eip·xJ(x) + bp

∫d3r e−ip·xJ(x)

)=

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a†pe

iωpt

∫d3r e−ip·rJ(x) + bpe

−iωpt∫d3r eip·rJ(x)

)Se puede definir nuevas funciones

Jp(t) =

∫d3r e−ip·rJ(x) (7.97)

J−p(t) =

∫d3r eip·rJ(x) (7.98)

Con esto se reduce la expresion a∫Jφ† d3r =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a†p(t)Jp(t) + bp(t)J−p(t)

)(7.99)

Con un procedimiento similar se calcula el segundo termino en (7.79) para obtener:∫J∗φ d3r =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ap(t)J

∗p (t) + b†pJ

∗−p(t)

)(7.100)

Ası H ′ toma la siguiente forma:

H ′ =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a†p(t)Jp(t) + bp(t)J−p(t)

)+∫

d3p

(2π)31√2ωp

(ap(t)J

∗p (t) + b†pJ

∗−p(t)

)(7.101)

141


A partir del tensor energıa-momento se obtiene el operador momento

P =

∫Θ0i d3r

= −∫ (

π∇φ+ π†∇φ†)

(7.102)

Aquı tiene la misma forma que en el caso del campo libre (pero no es el caso libre).

Por lo tanto, podemos expresarlo en funcion de los operadores en las ecuaciones

(7.78) y (7.79)

P =

∫d3p p

(2π)3(a†pap + b†pbp

)(7.103)

Usando la Lagrangiana, tambien, se encuentra la forma del operador carga, que

toma la siguiente forma

Q = i

∫ (πφ− π†φ†

)(7.104)

que tambien tiene la forma del caso libre. Por lo tanto expresando Q en funcion de

los operadores de creacion y aniquilacion, tendra la forma

Q =

∫d3p


)(7.105)

7.5. Numero de partıculas creadas por la fuente

En esta parte estudiaremos las circunstancias en las que las partıculas creadas

por la fuente se convierten en reales. Con este fin, consideramos las ecuaciones (7.62,

7.63, 7.72 y 7.73) que expresan los operadores salientes en funcion de los entrantes.

A partir de la Ec. (2.78) y Ec. (2.88) se encuentra que

aout|0in〉 =i√2ωp

J(p)|0in〉 (7.106)

tambien

bout|0in〉 =i√2ωp

J∗(−p)|0in〉 (7.107)

142

7.5. NUMERO DE PARTICULAS CREADAS POR LA FUENTE

Podemos reconocer de estas expresiones que el estado de vacio |0in〉 es un estado

coherente, ya que viene a ser un auto-estado de los operadores de aniquilacion (esto

lo vimos en el capıtulo 6). Comparando con lo realizado en el capıtulo 6, podemos

reconocer a

αa =i√2ωp

J(p) (7.108)

αb =i√2ωp

J∗(−p) (7.109)

como los auto-valores de los operadores de aniquilacion, los indices a y b representa

los dos tipos de partıculas. Con la ayuda de estas expresiones podemos encontrar el

numero promedio de partıculas creadas por la fuente

〈Nout〉in = 〈n(a)out〉in + 〈n(b)

out〉in

=

∫d3p

(2π)3|αa|2 +

∫d3p

(2π)3|αb|2

Reemplazando la Ec. (7.115) y la Ec. (7.116) tenemos

〈Nout〉in =

∫d3p

(2π)31

2ωp

(∣∣∣J(p)∣∣∣2 +

∣∣∣J(−p)∣∣∣2) (7.110)

La probabilidad de encontrar este numero promedio de partıculas esta dado por∣∣〈n(a)p , n(b)

p ; out|0in〉∣∣2 = e−|αa|

2 |αa|2nana!

e−|αb|2 |αb|2nbnb!

(7.111)

donde na es el numero de partıculas y nb el numero de anti-partıculas. Claramente

esta es una distribucion de Poisson.

Podemos calcular la energıa inyectada por la fuente al campo, hallando el valor

de expectacion de Hout en el estado coherente (en el vacio |0in〉). Esto lo encontramos

de

〈Hout〉in =1

2

∫d3p

(2π)3

(∣∣∣J(p)∣∣∣2 +

∣∣∣J(−p)∣∣∣2) (7.112)

Esto significa que la energıa transferida al campo es igual a la energıa total de los

cuantos creados por la fuente.

143


7.6. Fuente simulando una situacion fısica

En esta seccion se considera la aplicacion de la teorıa desarrollada en las sec-

ciones anteriores. Para este fin consideremos un proton (neutron), que en primera

aproximacion se considera que el proton tiene una masa muy grande y por lo tanto

no es influenciado por los mesones, que si son influenciados de acuerdo a las ecua-

ciones (7.17) y (7.18). Por simplicidad consideramos que el proton esta en reposo,

entonces, si sus coordenadas espaciales son conocidas, la fuente que la representa

estara dada por la funcion δ[23]. Tambien consideramos que el proton esta oscilando

con una frecuencia ω0, estas caracterısticas de la fuente quedan resumidas en

J(x) =gδ(3)(r)√

2[cos(ω0t) + i sin(ω0t)] (7.113)

aquı g es una constante adimensional que representa la intensidad de la fuente. El

factor 1/√

2 se introduce con el fin de encontrar una similitud con la Ec. (7.7), ası se

encuentra que

J1(x) = gδ(3)(r) cos(ω0t) (7.114)

J2(x) = gδ(3)(r) sin(ω0t) (7.115)

Con la ayuda de la Ec. (7.65) se obtiene las transformadas de Fourier de las fuentes

reales individuales

J∗1 (p) = g

∫dy0 cos(ω0y0) e

−iωpy0∫d3y δ(3)(y) eip·y

= g

∫dy0 cos(ω0y0) e

−iωpy0

= gπ [δ(ωp − ω0) + δ(ωp + ω0)] (7.116)

de forma similar tenemos que

J∗2 (p) = −igπ [δ(ωp − ω0)− δ(ωp + ω0)] (7.117)

144

7.6. FUENTE SIMULANDO UNA SITUACION FISICA

ası tendremos

J∗(p) =gπ√

2[δ(ωp − ω0) + δ(ωp + ω0)− δ(ωp − ω0) + δ(ωp + ω0)]

=2gπ√

2δ(ωp + ω0) (7.118)

y por lo tanto

J(p) =2gπ√

2δ(ωp + ω0) (7.119)

Partiendo, ahora, de (7.66) se tiene:

J(−p) =gπ√

2[δ(ωp − ω0) + δ(ωp + ω0) + δ(ωp − ω0)− δ(ωp + ω0)]

=2gπ√

2δ(ωp − ω0) (7.120)

y

J∗(−p) =2gπ√

2δ(ωp − ω0) (7.121)

Con la ayuda de estas expresiones y a partir de la Ec. (7.110) podemos calcular

el promedio de partıculas creadas por la fuente en la Ec. (7.113)

〈n(a)out〉in =

g2π2

(2π)3

∫ π

0

sin(θ) dθ

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞0

p2

ωpδ(ωp + ω0)δ(ωp + ω0) dp

podemos hacer un cambio en la integracion al considerar (estamos trabajando en

unidades naturales)

p =√ω2p −m2

dp =ωppdω

con lo cual

〈n(a)out〉in =

g2

2

∫δ(ωp + ω0)δ(ωp + ω0)

(ω2p −m2

)1/2dω

= ∞ (7.122)

145


Con un calculo similar encontramos que

〈n(b)out〉in = ∞ (7.123)

Esto nos dice que el numero de partıculas creadas por la fuente es infinito, esto es

fısicamente claro debido a que la fuente esta irradiando partıculas desde t = −∞

hasta t = ∞. Para obtener un resultado finito debemos hacer que la fuente irradie

partıculas durante un periodo finito de tiempo, esto lo hacemos restringiendo el

tiempo en la fuente de la siguiente manera

J(x) =g e−a|t|δ(3)(r)√

2[cos(ω0t) + i sin(ω0t)] (7.124)

siendo a un parametro que restringe el comportamiento de la fuente en el tiempo.

Este cambio hara que nuestra fuente se apague para un cierto tiempo. Con este

cambio las fuentes individuales son

J1(x) = g e−a|t|δ(3)(r) cos(ω0t) (7.125)

J2(x) = g e−a|t|δ(3)(r) sin(ω0t) (7.126)

Podemos hallar la transformada de Fourier de estas fuentes y realizar el mismo

procedimiento que se hizo arriba para encontrar J(p), pero podemos tomar otro

camino mas sencillo. En limite cuando a → 0 las ecuaciones (7.125,126) deben

reducirse a las ecuaciones (7.114,115). De la misma forma, en este lımite, J(p) debe

tomar la forma que se presenta en (7.119). Podemos conseguir esto, usando una

sucesion delta de la forma

J(p) =2g√

2

a

a2 + (ωp + ω0)2(7.127)

tomando la adjunta tenemos

J∗(p) =2g√

2

a

a2 + (ωp + ω0)2(7.128)

146

7.6. FUENTE SIMULANDO UNA SITUACION FISICA

pero podemos llevar esta expresion al lımite cuando a → 0 y dejar que tenga la

forma expresada en la Ec. (7.118). Bajo el mismo argumento encontramos que

J(−p) =2g√

2

a

a2 + (ωp − ω0)2(7.129)

Ahora calculamos el numero promedio de partıculas creadas por la fuente, con-

siderando la restriccion en el tiempo

〈n(a)out〉in =

g2π

(2π)3

∫d3p

a

ωp (a2 + (ωp + ω0)2)δ(ωp + ω0)

=g2

2π

∫a

a2 + (ωp + ω0)2(ω2p −m2

)1/2δ(ωp + ω0) dωp

=g2

2π

(ω20 −m2)

1/2

asi ω0 > m (7.130)

De aquı podemos ver que la creacion de partıculas solo se da si la frecuencia de la

fuente, ω0, es mayor a la frecuencia natural del sistema, m. Esto es de esperarse,

pues esta de acuerdo con el teorema adiabatico de la mecanica cuantica, que establece

que las perturbaciones que varıen lentamente comparado con la frecuencia natural

del sistema no debe producir transiciones (en nuestro caso no da la creacion de

partıculas)[22].

De la misma forma podemos calcular el numero promedio de anti partıculas

creadas por la fuente, usando la Ec. (7.129) y la Ec. (7.121)

〈n(b)out〉in =

g2

2π

(ω20 −m2)

1/2

asi ω0 > m (7.131)

El numero de partıculas creadas es el mismo que el de anti-partıculas, esto garantiza

que se conserve la carga electrica. El numero total de partıculas lo obtenemos de la

Ec. (7.110)

〈Nout〉in =g2

π

(ω20 −m2)

1/2

asi ω0 > m (7.132)

Para tener un mayor entendimiento de este resultado graficamos el numero de

partıculas promedio en funcion de la frecuencia natural del sistema, esta grafica

147


Figura 7.2: Numero de partıculas promedio en funcion de las posibles frecuencias

naturales del sistema.

la podemos ver en la figura (7.2). Podemos ver que si la frecuencia natural del sis-

tema aumenta, el numero de partıculas disminuye como es predicho por el teorema

adiabatico de la mecanica cuantica.

7.7. Campo real de Klein-Gordon acoplado a una

fuente

Si se considera que el campo es real, entonces la componente compleja del cam-

po en la Ec. (7.5) debe ser cero quedando solo la componente real. Es ası que la

Lagrangiana en la Ec. (7.1) se reduce a la Lagrangiana de la Ec. (7.11). Como solo

148

7.7. CAMPO REAL DE KLEIN-GORDON ACOPLADO A UNA FUENTE

hay un campo la Ec. (7.11) se puede escribir como:

L =1

2∂uφ∂

uφ− 1

2m2φ2 + Jφ (7.133)

Esta es la Lagrangiana del campo real de Klein-Gordon acoplada a una fuente. Por

lo tanto, a partir de la ecuacion de Euler-Lagrange para campos, obtenemos una

unica ecuacion de movimiento de la forma:( +m2

)φ(x) = J(x) (7.134)

La solucion de esta ecuacion no-homogenea se encuentra con la ayuda de las funcio-

nes de Green, esto se ve en el apendice D, y tendra la forma:

φ(x) = φin(x) + i

∫d4y DR(x− y)J(y) (7.135)

φ(x) = φout(x) + i

∫d4y DA(x− y)J(y) (7.136)

Con el mismo procedimiento seguido en la seccion (7.3) se encuentra que:

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ape−ip.x + a†pe

ip.x)

(7.137)

con:

ap = ain(p) +1

2

i√2ωp

J(p) = aout(p)− 1

2

i√2ωp

J(p) (7.138)

a†p = a†in(p)− 1

2

i√2ωp

J∗(p) = a†out(p) +1

2

i√2ωp

J∗(p) (7.139)

Combinando las dos soluciones se encuentra una relacion entre in y out:

aout(p) = ain(p) +i√2ωp

J(p) (7.140)

a†out(p) = a†in(p)− i√2ωp

J∗(p) (7.141)

Se puede ver de la Ec. (7.140) que aout(p) satisface una ecuacion de auto-valores:

aout(p)|0in〉 =i√2ωp

J(p)|0in〉 (7.142)

149


Se concluye que el estado |0in〉 es un estado coherente, siendo el auto-valor del

operador de aniquilacion:

α =i√2ωp

J(p) (7.143)

Escribiendo la Ec. (7.142) de otra manera:

aout(p)|0in〉 = α|0in〉 (7.144)

Con esto en mente podemos encontrar el numero promedio de partıculas creadas

por la fuente:

〈Nout〉in =

∫d3p

(2π)3|α|2 =

∫d3p

(2π)31

2ωp

∣∣∣J(p)∣∣∣2 (7.145)

Como un ejemplo se considera una fuente de la forma:

J(x) = g u(t)δ(3)(r) (7.146)

Siendo g una constante que da la intensidad de la fuente, u(t) la funcion escalon

que prende la fuente en cierto instante y la mantiene prendida indefinidamente. La

funcion delta de Dirac indica que la fuente esta en reposo. Se procede a hallar la

transformada de Fourier de esta fuente:

J(p) =

∫d4y eip·yJ(y) (7.147)

Lo cual da como resultado:

J(p) = g

−iωp

+ πδ(ωp)

(7.148)

El ultimo termino se puede obviar ya que representa la trasformada de Fourier de

u(0) = 1/2, quedando solo: ∣∣∣J(p)∣∣∣2 =

g2

ω2p

(7.149)

150

7.7. CAMPO REAL DE KLEIN-GORDON ACOPLADO A UNA FUENTE

Reemplazando esto en la Ec. (7.145) tenemos que el numero de partıculas creadas

es infinito:

〈Nout〉in = ∞ (7.150)

esto es logico, ya que la fuente se prende en cierto instante y se mantiene prendida

indefinidamente, irradiando partıculas de forma constante. Para evitar estos resulta-

dos se tiene que introducir a la fuente terminos que la apaguen despues de un cierto

instante.

151

Capıtulo 8

Discusiones

Durante el proceso de investigacion del problema planteado se encontro otros

resultados que es importante mencionarlos, ya que sirven como verificacion de que

nuestra teorıa es correcta pues estan de acuerdo con conceptos fısicos conocidos.

Pasamos a enunciar y discutir estos resultados:

1. En la ecuacion (7.4) observamos que la fuente debe satisfacer una transforma-

cion de fase, esto se requiere para que la Lagrangiana sea invariante bajo esta

transformacion y exhiba la simetrıa U(1), carga electrica. Como se puede ver

de la ecuacion (2.132), la transformacion de fase de la forma (7.3) y (7.4) es

equivalente a una rotacion en el plano complejo, esto quiere decir que tanto

el campo φ y la fuente J deben ser rotados con el mismo angulo, con esto y

sabiendo que el campo exhibe la carga electrica debido a que satisface este tipo

de transformacion, podemos decir que la fuente tambien posee carga electrica.

2. Al igual que el campo complejo, que puede expresarse como la suma de dos

campos reales independientes, la fuente, que es una funcion compleja, puede

expresarse como un arreglo de dos fuentes reales independientes (ver ecuacion

(7.7)). Esto nos conduce a una Lagrangiana expresada como la suma de dos

152

Lagrangianas independientes, ver ecuacion (7.10).

3. En una situacion real una fuente debe prenderse en un cierto tiempo y apagarse

pasado un lapso de tiempo. Por razones de un mejor entendimiento denotamos

por in el estado en el cual la fuente aun no fue prendida y por out el estado en

el que la fuente esta apagada, despues de permanecer prendida cierto tiempo.

4. Como los campos reales que conforman el campo complejo son independientes,

cada uno satisface una ecuacion de movimiento no-homogenea (ver ecuaciones

(7.17) y (7.18)). Como las fuentes reales tambien son independientes, estas se

acoplan a cada campo de forma independiente.

5. Obtenemos la solucion de las ecuaciones de movimiento de forma independien-

te, como se muestra en las ecuaciones (7.39, 40) y (7.46, 47). Posteriormente

las combinamos para formar el campo complejo (ver las ecuaciones (7.53, 54)).

Encontramos que estos campos tienen la forma usual de la teorıa libre, pero

solo la forma ya que la interpretacion es completamente diferente, aparecien-

do nuevos operadores de creacion y aniquilacion tanto de partıculas como de

anti-partıculas que se expresan en funcion de los operadores de creacion y ani-

quilacion de los campos libres (in y out) y de la fuente (ver ecuaciones (7.72,

73), (7.74, 75), (7.82, 83) y (7.84, 85).

6. Para conocer el cambio producido por la fuente en nuestro sistema hallamos

la relacion entre los estados in y out. Podemos ver de las ecuaciones (7.78, 79)

y (7.88, 89) que estos estados difieren por una contribucion de la fuente, lo

que se esperaba. Podemos ver de estas ecuaciones que las contribuciones de la

fuente para los operadores que crean y aniquilan anti-partıculas son de cuadri-

momento negativo, en comparacion de la contribucion para los operadores que

crean y aniquilan partıculas, lo que nos sugiere que nuestra interpretacion es

correcta.

153

CAPITULO 8. DISCUSIONES

7. De las ecuaciones (7.90) y (7.91) podemos ver los nuevos operadores de creacion

y aniquilacion satisfacen la misma relacion de conmutacion que satisfacen los

operadores de la teorıa libre (ver ecuaciones (7.22, 23) y (7.32, 33)), pero con

la diferencia de que estos crean y aniquilan un tipo diferente de partıcula a las

cuales se les llama partıculas fısicas.

8. El estado de vacio in resulta ser un estado coherente, esto lo vemos de las

ecuaciones (7.106) y (2.107), pues es el auto-estado de los operadores de ani-

quilacion de partıculas y anti-partıculas.

9. La probabilidad de encontrar el numero promedio de partıculas y anti-partıcu-

las obedece una distribucion de Poisson (ver ecuacion (7.111)).

10. Si consideramos una fuente de la forma (7.113) encontramos que el numero

promedio de partıculas y anti-partıculas creadas es infinito, esto es logico ya

que la fuente no tiene una restriccion en el tiempo, es decir, esta prendida de

forma indefinida y por lo tanto irradiara partıculas de forma indefinida.

11. En la ecuacion (7.124) ponemos una restriccion a la fuente, una vez prendida

decaera exponencialmente hasta apagarse y no irradiara partıculas de forma

indefinida. Esta restriccion es impuesta por el parametro a, si a m la fuente

(7.124) se reduce a (7.113).

12. La fuente oscila con una frecuencia ω0, esta frecuencia debe ser mayor a la

frecuencia natural del sistema ωp para que se de la produccion de partıculas,

esto lo vemos en la ecuacion (7.132). Este resultado esta de acuerdo con el

teorema adiabatico de la mecanica cuantica.

13. En la figura (7.2) se grafica el numero promedio de partıculas creadas, en

funcion de la frecuencia a la que oscila la fuente. Se puede ver de esta grafica

que conforme aumente la frecuencia de oscilacion de la fuente (masa de la

154

fuente), el numero de partıculas decaera rapidamente. Tambien, se puede ver

que en cierto punto el numero de partıculas creadas es cero, y se mantiene ası,

para cierta frecuencia, esta frecuencia sera la masa a la que oscila el sistema

(masa de los mesones). Esto esta de acuerdo a nuestros calculos.

14. El teorema de Cauchy-Kowalevski establece que el problema de Cauchy para

cualquier ecuacion diferencial parcial, como las Ec. (7.17) y (7.18), cuyos coe-

ficientes sean analıticos en la funcion desconocida y sus derivadas, tiene una

solucion analıtica localmente unica.

155

Conclusiones

En esta parte expondremos los resultados obtenidos al final del proyecto de tesis.

Los resultados estan basados en los objetivos planteados al inicio del proyecto.

1. Se logro obtener una Lagrangiana acoplada a una fuente, como se puede ver en

la ecuacion (7.1), con la cual se procedio a investigar la creacion de partıculas.

2. Haciendo uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange fue posible derivar las ecua-

ciones de movimiento que describen el campo de Klein-Gordon complejo aco-

plado a una fuente, como se puede ver de las ecuaciones (7.17) y (7.18), esto

a partir de la Lagrangiana (7.9).

3. Con la ayuda de las funciones de Green expuestas en el apendice C, se ob-

tuvo las ecuaciones de movimiento que describen el campo de Klein-Gordon

complejo acoplado a una fuente , como se puede ver en las ecuaciones (7.39)

y (7.40).

4. Se derivo el operador Hamiltoniano, operador momento y operador carga par-

tiendo del tensor energıa-momento, tal como se puede ver en las ecuaciones

(7.93), (7.103) y (7.105).

5. Haciendo uso de la teorıa de estados coherentes se logro investigar la creacion

de partıculas, tal como se muestra en la ecuacion (7.110). Por otra parte se

considero una aplicacion dada por la fuente (7.113).

156

Conclusiones

6. La respuesta a la hipotesis que nos planteamos seria afirmativa, ya que es

posible la creacion de partıculas al introducir un termino de fuente a la La-

grangiana del campo complejo de Klein-Gordon, esta produccion de partıculas

dependera de la forma que tenga la fuente. Esto lo podemos ver de las ecua-

ciones (7.110) y (7.111).

7. Nuevas investigaciones:

Usando los resultados de este trabajo se podrıa investigar diversas situaciones

fısicas construyendo la fuente que se adecue a lo que se quiere investigar. Es

de gran interes aplicar esta teorıa al laser de electrones libres, pues en casos

practicos los electrones son tomados como partıculas escalares, es decir, con

espın-0[31]. Mediante el acoplamiento mınimo se puede introducir la interac-

cion con campos electromagneticos y algunos sistemas clasicos interactuantes,

ya que la ecuacion de K-G es util en la descripcion de algunos sistemas vibra-

dores en la mecanica clasica[32]. Tambien sera de gran utilidad como referencia

al momento de acoplar fuentes a otros tipos de campos.

157

Apendice A

Material complementario

A.1. Hamiltoniano en funcion de los coeficientes

de expansion

Para nuestro proposito partiremos de (1.60). Empezaremos por re-definir la

energıa cinetica en funcion de las coordenadas normales:

T =m

2

N∑n=1

∑k

(−iωk)(bke−iωktukn − b∗keiωktuk∗n

)∑k′

(−iωk′)(bk′e

−iωk′ tuk′

n − b∗k′eiωk′ tuk′∗n

)=

m

2

∑n

∑kk′

(−ωkωk′)(bkbk′e

−i(ωk+ωk′ )tuknuk′

n − bkb∗k − b∗kbk + b∗kb∗k′e

i(ωk+ωk′ )uk∗n uk′∗n

)

Es claro que usamos la condicion de ortonormalidad (1.44) en los dos terminos libres

de exponenciales. Haciendo uso de (1.46) encontramos una manera de simplificar la

energıa cinetica:

uk∗n = u−kn

uk′

n = u−k′∗

n

158

A.1. HAMILTONIANO EN FUNCION DE LOS COEFICIENTES DEEXPANSION

Con estos arreglos tenemos:∑n

uk′

n ukn =

∑n

u−k′∗

n ukn = δk,−k′∑n

uk′∗n uk∗n =

∑n

uk′∗n u−kn = δ−k,k′

Lo que nos queda es:

T =m

2

N∑n=1

∑k

(−ω2k)(bkb−ke

−2iωkt − bkb∗k − b∗kbk + b∗kb∗−ke

2iωkt)

(A.1)

Hemos usado el echo que ω−k = ωk. De forma similar la energıa potencial es expre-

sada en funcion de las coordenadas normales:

U =1

2

N∑n=1

κ(qn+1 − qn)(qn+1 − qn)

(qn+1 − qn) =∑k

(bke−iωktukn+1 + b∗ke

iωktuk∗n+1 − bke−iωktukn + b∗keiωktuk∗n

)=

∑k

(bke−iωkt(ukn+1 − ukn) + b∗ke

iωkt(uk∗n+1 − uk∗n ))

=∑k

(bke−iωktukn(eika − 1) + b∗ke

iωktuk∗n (e−ika − 1))

Reemplazando en la energıa potencial U :

U =κ

2

N∑n=1

∑kk′

(bke−iωktukn(eika − 1) + b∗ke

iωktuk∗n (e−ika − 1)).(

bk′e−iωk′ tuk

′

n (eik′a − 1) + b∗k′e

iωk′ tuk′∗n (e−ik

′a − 1))

=κ

2

∑k

4 sin2

(ka

2

)(bkb−ke

−2iωkt + bkb∗k + b∗kbk + b∗kb

∗−ke

2iωkt)

(A.2)

Para llegar a (A.2) usamos las condiciones de ortonormalidad usadas para calcular

T . Despues se uso la siguiente relacion:

(eika − 1)(e−ika − 1) = 2− eika − e−ika

= 4 sin2

(ka

2

)(A.3)

159

APENDICE A. MATERIAL COMPLEMENTARIO

Podemos acomodar (A.2) de la siguiente forma:

U =m

2

∑k

ω2k

(bkb−ke

−2iωkt + bkb∗k + b∗kbk + b∗kb

∗−ke

2iωkt)

(A.4)

Reemplazamos (A.1) y (A.4) en (1.60) obtenemos el Hamiltoniano:

H = m∑k

ω2k (bkb

∗k + b∗kbk) (A.5)

A.2. Corchete de Poisson entre bk y H

Primero debemos calcular el corchete de Poisson entre bk y b∗k′ que esta dado por:

bk, b∗k′ =∑n

(∂bk∂qn

∂b∗k′

∂pn− ∂bk∂pn

∂b∗k′

∂qn

)(A.6)

Diferenciando las expresiones de bk y b∗k obtenemos:

bk, b∗k′ =1

2

∑n

uk∗n eiωkt.

1

2

∑n

uk′

n e−iωk′ t −i

mωk′− i

2mωk

∑n

uk∗n eiωkt.

1

2

∑n

uk′

n e−iωk′ t

=−1

4

∑n

uk∗n uk′

n ei(ωk−ωk′ )t

(i

mωk′+

i

mωk

)=

−i2mωk

δkk′ (A.7)

Un calculo similar para los otros corchetes de Poisson nos da:

bk, bk′ =1

4m

∑n

uk∗n uk∗′n ei(ωk+ωk′ )t

(i

ωk′− i

ωk

)=

1

4mei(ωk+ωk′ )t

(i

ωk′− i

ωk

)δk,−k′

= 0 (A.8)

Con esto hallamos el corchete de Poisson entre bk y H:

bk, H =

bk,m

∑k′

ω2k′ (bk′b

∗k′ + b∗k′bk′)

= m

∑k′

ω2k′ bk, bk′b∗k′ + b∗k′bk′

160

A.3. PRINCIPIO VARIACIONAL

En este punto usamos las propiedades distributivas y regla del producto de los

corchetes de Poisson:

h, f + g = h, f+ h, g (A.9)

h, fg = h, f g + f h, g (A.10)

Con esto el corchete de Poisson entre bk y H nos da:

bk, H = m∑k′

ω2k′ [bk, bk′b∗k′+ bk, b∗k′bk′]

= m∑k′

ω2k′ [bk, bk′ b∗k′ + bk′ bk, b∗k′+ bk, b∗k′ bk′ + b∗k′ bk, bk′]

De acuerdo a (A.7) y (A.8) tenemos:

bk, H = −m∑k′

ω2k′

[i

2mωkbk′ δkk′ +

i

2mωkbk′ δkk′

]= −iωkbk (A.11)

A.3. Principio variacional

La cantidad fundamental de la mecanica clasica es la accion S que es la integral

temporal de la Lagrangiana L. En una teorıa de campo local la Lagrangiana puede

ser escrita como la integral espacial de la densidad Lagrangiana denotada por L,

que es la funcion de uno o mas campos φσ(r) y sus derivadas ∂µφσ(r), es decir,:

S =

∫dt L =

∫dtd3r L

S =

∫d4x L(φ, ∂uφ) (A.12)

Reconocemos a L simplemente como la lagrangiana.

El principio de mınima accion establece que cuando un sistema evoluciona de

una configuracion dada a otra entre los tiempos t1 y t2, lo hace a lo largo de un

161


camino en la configuracion del espacio para la cual S es un mınimo. Esta condicion

la escribimos ası:

0 = δS

= δ

∫L (φ, ∂uφ)d4x =

∫δL (φ, ∂uφ)d4x

=

∫ (∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂uφ)δ(∂uφ)

)d4x

Ahora usemos δ(∂uφ) = ∂u(δφ), tal que:

0 =

∫ (∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂uφ)∂u(δφ)

)d4x

=

∫ [∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂uφ)∂u(δφ) + ∂u

(∂L

∂(∂uφ)

)δφ− ∂u

(∂L

∂(∂uφ)

)δφ

]d4x

=

∫ [∂L∂φ− ∂u

(∂L

∂(∂uφ)

)]δφ d4x+

∫∂u

(∂L

∂(∂uφ)δφ

)d4x (A.13)

Aplicamos el teorema de la divergencia al ultimo termino de (A.13).∮∂v

~A.d~S =

∫V

div ~A dV (A.14)

quedandonos ∫∂u

(∂L

∂(∂uφ)δφ

)d4x =

∫∂V

∂L∂(∂uφ)

δφ dSu (A.15)

Tenemos que en la frontera ∂V δφ = 0, esto debido a que la configuracion del campo

φ(x), tanto inicial como final, son conocidos. Lo que nos queda es:

0 =

∫ [∂L∂φ− ∂u

(∂L

∂(∂uφ)

)]δφ d4x (A.16)

De aquı concluimos que: El termino entre corchetes en la integral debe desaparecer

para cualquier δφ(x), es decir, que debe desaparecer para todos los puntos.

∂L∂φ− ∂u

(∂L

∂(∂uφ)

)= 0 (A.17)

162

A.3. PRINCIPIO VARIACIONAL

Ası llegamos a la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange para el campo. Si la

Lagrangiana contiene mas de un campo, hay una ecuacion para cada uno, con esto

en mente podemos reescribir (A.17) en la siguiente forma.


(∂L

∂(∂µφσ)

)= 0 (A.18)

El ındice σ = 1, 2, 3, ... es discreto y permite diferenciar un campo de los otros. La

ecuacion (2.26) se puede escribir de una forma alternativa:

∂L∂φσ− ∂k

(∂L

∂(∂kφσ)

)− ∂t

(∂L

∂(∂tφσ)

)= 0

Y llamamos derivada funcional˝de L con respecto a φσ a:

δLδφσ≡ ∂L∂φσ− ∂k

(∂L

∂(∂kφσ)

)(A.19)

Ası (A.18) se convierte en:

∂t

(∂L

∂(∂tφσ)

)=

δLδφσ

(A.20)

La sustitucion:

L → L+ ∂uχu(φσ)

Donde χu son funciones arbitrarias de φσ y conducen a ecuaciones de campo inva-

riantes, para la integral:

S ′ =

∫dt

∫d3r L′

=

∫dt

∫d3r L+ ∂uχu

=

∫d4x L+

∫d4x ∂uχu

=

∫d4x L+

∫∂V

χu dsu

Variando la accion tenemos:

δS ′ =

∫d4x δL+

∫∂V

∂χu∂φσ

δφσ dsu

163


Usando δφσ = 0 en ∂V tenemos:

δS ′ =

∫d4x δL

= δS (A.21)

Las funciones χu pueden depender incluso de las derivadas de φσ, pero L permane-

cera independiente de la segunda derivada de φσ.

A.4. Corriente conservada de Noether

Para encontrar la corriente general de Noether es suficiente considerar una trans-

formacion infinitesimal de la coordenada del tipo:

x′µ = xµ + δxµ (A.22)

Insertando esto en el campo tenemos:

φ′(x′µ) = φ′(xµ + δxµ)

= φ(xµ) +∂φ

∂xµδxµ + ...

= φ(xµ) + δφ(xµ) (A.23)

Aquı usamos la expansion en serie de Taylor. Reconocemos tambien que:

δφ(xµ) =∂φ

∂xµδxµ (A.24)

Si varıa el campo, tambien lo hara la Lagrangiana, ya que depende de el:

L′(φ′, ∂µφ′) = L(φ+ δφ, ∂µφ+ δ∂µφ)

= L(φ, ∂µφ) +∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂µφ)δ(∂µφ) + ...

= L(φ, ∂µφ) + δL(φ, ∂µφ) (A.25)

164

A.4. CORRIENTE CONSERVADA DE NOETHER

Para llegar a esta expresion usamos la expansion de Taylor para dos variables

independientes[20]. Reconocemos el ultimo termino como:

δL(φ, ∂µφ) =∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂µφ)δ(∂µφ) (A.26)

Es importante reconocer que las variaciones definidas arriba consta de dos ingre-

dientes, el primero es la transformacion de las coordenadas de xµ a x′µ y el segundo

es el cambio de la forma de la funcion de campo de φ a φ′. Es similar al cambio de

direccion de un campo vectorial al rotar el sistema de coordenadas.

Consideremos el caso en el que la accion no cambia si la coordenada es sujeta

a una transformacion continua, de la forma (A.22). Estudiaremos las consecuencias

que siguen de este tipo de transformacion que deja invariante la accion, es decir,

demandamos que:

S ′ = S + δS (A.27)

δS = S ′ − S

Introducimos la definicion (A.12):

δS =

∫V ′d4x′ L′ −

∫V

d4x L (A.28)

donde V ′ denota el mismo volumen de integracion que V , con la unica diferencia

que estan en diferentes coordenadas. Introducimos la variacion (A.26):

δS =

∫V ′d4x′ δL+

∫V ′d4x′ L −

∫V

d4x L (A.29)

donde:

d4x′ = J

(x′

x

)d4x (A.30)

siendo J(x′/x) el Jacobiano de la transformacion x′ → x, definida por

J

(x′

x

)= det

(∂x′µ

∂xν

)(A.31)

165


A partir de (A.22) encontramos una expresion util para J :

∂x′µ

∂xν=

∂xµ

∂xν+∂δxµ

∂xν

= δµν +∂δxµ

∂xν

aplicamos la determinante:

det

(∂x′µ

∂xν

)= det

(δµν +

∂δxµ

∂xν

)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

δ00 + ∂δx0

∂x0δ01 + ∂δx0

∂x1δ02 + ∂δx0

∂x2δ03 + ∂δx0

∂x3

δ10 + ∂δx1

∂x0δ11 + ∂δx1

∂x1δ12 + ∂δx1

∂x2δ13 + ∂δx1

∂x3

δ20 + ∂δx2

∂x0δ21 + ∂δx2

∂x1δ22 + ∂δx2

∂x2δ23 + ∂δx2

∂x3

δ30 + ∂δx3

∂x0δ31 + ∂δx3

∂x1δ32 + ∂δx3

∂x2δ33 + ∂δx3

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + ∂δx0

∂x0∂δx0

∂x1∂δx0

∂x2∂δx0

∂x3

∂δx1

∂x01 + ∂δx1

∂x1∂δx1

∂x2∂δx1

∂x3

∂δx2

∂x0∂δx2

∂x11 + ∂δx2

∂x2∂δx2

∂x3

∂δx3

∂x0∂δx3

∂x1∂δx3

∂x21 + ∂δx3

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 +

∂δxµ

∂xµ(A.32)

Para llegar a esta expresion consideramos que:

∂δxµ

∂xi= 0; µ 6= i (A.33)

Con todo esto tenemos que:

d4x′ =

(1 +

∂δxµ

∂xµ

)d4x (A.34)

Reemplazamos en (A.29):

δS =

∫ (1 +

∂δxµ

∂xµ

)d4x δL+

∫ (1 +

∂δxµ

∂xµ

)d4x L −

∫d4x L

=

∫d4x δL+

∫d4x L∂δx

µ

∂xµ+

∫d4x δL∂δx

µ

∂xµ

166


la ultima expresion de la derecha se anula∫d4x δL∂δx

µ

∂xµ=

∫d4x

∂

∂xµ(δLδxµ)

=

∫∂V

δLδxµ.dS

= 0

Sabemos, lo mencionamos en varias oportunidades, que δxµ = 0 en la frontera.

Quedandonos unicamente

δS =

∫d4x δL+

∫d4x L∂δx

µ

∂xµ(A.35)

Por un momento dejamos esta expresion aquı, con la finalidad de definir antes la

variacion total que es una variacion modificada, definida como:

δφ(x) = φ′(x)− φ(x) (A.36)

notemos que se mantiene fijo el valor de la coordenada x y solo se toma en cuenta el

cambio de la forma del campo. La variacion δφ(x) es una variacion local y los puntos

x′ y x se refieren al mismo punto pero en un diferente conjunto de coordenadas. Los

dos tipos de variaciones se relacionan mediante

δφ(x) = φ′(x)− φ′(x′) + φ′(x′)− φ(x)

= δφ(x)− (φ′(x′)− φ′(x))

= δφ(x)− ∂φ

∂xµδxµ (A.37)

El ultimo termino de la derecha se obtiene a partir de la definicion de la derivada

lımxµ→0

φ′(x+ δx)− φ′(x)

δxµ=

∂φ′(x)

∂xµ

lımxµ→0

φ′(x+ δx)− φ′(x) =∂φ′(x)

∂xµδxµ (A.38)

En el ultimo paso de (A.37) reemplazamos φ′(x) por φ(x) para bajos ordenes en la

expansion de Taylor. Ası muchos de nuestros resultados seran validos solo para los

primeros ordenes en la variacion.

167


La variacion modificada δ tiene la propiedad de conmutar con el diferencial

∂/∂xµ:

∂

∂xµδφ(x) = δ

(∂

∂xµφ(x)

)(A.39)

para probar esto, antes probaremos que la variacion local δ no cumple esta propiedad:

δφ(x) = φ′(x′)− φ(x)

∂

∂xµδφ(x) =

∂

∂xµφ′(x′)− ∂

∂xµφ(x)

=

(∂

∂x′µφ′(x′)− ∂

∂xµφ(x)

)+

∂

∂xµφ′(x′)− ∂

∂x′µφ′(x′)

= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+∂x′ν

∂xµ

∂

∂x′νφ′(x′)− ∂


= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+

∂

∂xµ(xν + δxν)

∂

∂x′νφ′(x′)− ∂


= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+ gµη

∂xν

∂xη∂

∂x′νφ′(x′)− ∂

∂x′µφ′(x′) +

∂δxν

∂xµ

∂

∂x′νφ′(x′)

= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+ gµη

∂

∂x′ηφ′(x′)− ∂

∂x′µφ′(x′) +

∂


∂δxν

∂xµ

= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+

∂

∂x′µφ′(x′)− ∂

∂x′µφ′(x′) +

∂


∂δxν

∂xµ

= δ

(∂

∂xµφ(x)

)+∂φ(x)

∂xν∂δxν

∂xµ(A.40)

Recordamos nuevamente que el ultimo paso solo es valido para el primer orden.

Ahora insertemos lo obtenido aquı en (A.37):

∂

∂xνδφ(x) =

∂

∂xνδφ(x)− ∂

∂xν

(∂φ(x)

∂xµδxµ

)= δ

(∂

∂xνφ(x)

)+∂φ(x)

∂xη∂δxη

∂xν− ∂2φ(x)

∂xν∂xµδxµ −

∂φ(x)

∂xµ∂δxµ

∂xν

= δ

(∂

∂xνφ(x)

)− ∂

∂xµ

(∂φ(x)

∂xν

)δxµ

= δ

(∂φ(x)

∂xν

)(A.41)

168


Ası probamos (A.39).

Continuamos lo que dejamos pendiente en (A.35). Aplicamos la definicion (A.37)

del diferencial total a L:

δL = δL − ∂L∂xµ

δxµ

δL = δL+∂L∂xµ

δxµ

reemplazamos en (A.74):

δS =

∫d4x

(δL+

∂L∂xµ

δxµ

)+

∫d4x L∂δx

µ

∂xµ

=

∫d4x

δL+

∂

∂xµ(Lδxµ)

(A.42)

Ahora desarrollamos la variacion total δL, en la forma usual, en funcion de su

dependencia:

δL =∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂νφ)δ(∂νφ)

=∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂νφ)∂ν(δφ)

=∂L∂φ

δφ− ∂ν(

∂L∂(∂νφ)

)δφ+ ∂ν

(∂L

∂(∂νφ)δφ

)=

∂L∂φ− ∂ν

(∂L

∂(∂νφ)

)δφ+ ∂ν

(∂L

∂(∂νφ)δφ

)(A.43)

reemplazamos en (A.35):

δS =

∫d4x

∂L∂φ− ∂ν

(∂L

∂(∂νφ)

)δφ+

∫d4x∂ν

∂L

∂(∂νφ)δφ+ Lgµνδxµ

El primer termino se anula en virtud de (A.18), quedandonos solo el segundo termino.

Nuestro objetivo se centra en que la accion sea invariante (δS = 0), por lo tanto

tenemos que:

∂ν

∂L∂(∂νφ)

(δφ− ∂φ

∂xµδxµ

)+ Lgµνδxµ

= 0 (A.44)

169


Esta ecuacion es claramente una ecuacion de continuidad, que puede ser escrita de

manera conveniente:

∂νfν(x) = 0 (A.45)

siendo:

fν(x) =∑σ

∂L∂(∂νφσ)

δφσ −

∑σ

∂L∂(∂νφσ)

∂φσ∂xµ− gµν L

δxµ (A.46)

A.5. Limite no-relativista de la ecuacion de Klein-

Gordon

Si la ecuacion de Klein-Gordon es una ecuacion de onda relativista, deberıa tener

un analogo no-relativista. Con el fin de encontrar su analogo no-relativista haremos

el siguiente arreglo a la Ec. (3.45):

φ(~r, t) = e−iEt ei~p.~r = e−i(K+m)t ei~p.~r

= e−i(Kt−~p.~r) e−im

= ϕ(~r, t)e−imt (A.47)

Siendo:

ϕ(~r, t) = e−i(Kt−~p.~r) (A.48)

Estamos dividiendo la dependencia temporal de φ en dos terminos, uno contiene la

masa en reposo. Otra forma de escribir la energıa relativista es:

E = K +m (A.49)

siendo m la energıa en reposo de la partıcula y K la energıa cinetica relativista,

expresada como:

K = m

(1√

1− v2− 1

)(A.50)

170

A.5. LIMITE NO-RELATIVISTA DE LA ECUACION DE KLEIN-GORDON

En el lımite no-relativista, cuando v 1, esta energıa cinetica se reduce a la energıa

cinetica clasica, esto lo podemos ver usando el teorema del binomio:

K = m[(

1− v2)−1/2 − 1

]= m

[1 +

1

2v2 +

3

8v4 + ...− 1

]≈ 1

2mv2 (A.51)

Reemplazando en (A.49) tenemos:

E =1

2mv2 +m

En el lımite no-relativista la energıa cinetica de una partıcula es mucho menor que

su energıa en reposo, es decir, 12mv2 m. Para una partıcula libre tenemos que:

E = K

i∂ϕ

∂t= Kϕ mϕ

∂2ϕ

∂t2 −im∂ϕ

∂t(A.52)

A partir de (A.48) encontramos:

∂φ

∂t=

(∂ϕ

∂t− imϕ

)e−imt

∂2φ

∂t2=

(∂2ϕ

∂t2− im∂ϕ

∂t− im∂ϕ

∂t−m2ϕ

)e−imt

=

(−i2m∂ϕ

∂t−m2ϕ

)e−imt

En la ultima expresion usamos (A.52). Insertando este resultado en la ecuacion de

Klein-Gordon:(−i2m∂ϕ

∂t−m2ϕ

)e−imt −∇2ϕe−imt +m2ϕe−imt = 0

Eliminamos e−imt:

−i2m∂ϕ

∂t−∇2ϕ = 0

i∂ϕ

∂t= − 1

2m∇2ϕ (A.53)

171


Esta es la ecuacion de Schrodinger libre (en unidades naturales), para partıculas sin

espın. Es logico tener a ϕ como funcion de onda en este lımite y no φ, ya que ϕ

contiene el termino de energıa cinetica, la cual tiende a la energıa cinetica clasica en

el lımite no-relativista (para una partıcula libre).

A.6. Energıa de la funcion de onda de Klein-Gordon

En esta parte discutiremos el significado de la energıa. Con este fin es que dis-

cutiremos la energıa de la onda de Klein-Gordon en formalismo canonico.

La energıa de un sistema esta representada por el Hamiltoniano, el cual puede

obtenerse a partir de la Lagrangiana con la ayuda del tensor energıa-momento. Para

nuestro fin usaremos como ejemplo la Lagrangiana del campo complejo de Klein-

Gordon que describe partıculas cargadas

L =

(∂φ∗

∂t,−∇φ∗

).

(∂φ

∂t,∇φ

)−m2φφ∗

= φ∗φ−∇φ∗.∇φ−m2φφ∗ (A.54)

Para esta Lagrangiana el Hamiltoniano toma la forma

P 0 =

∫d3r Θ00

H =

∫d3r

(∂L∂φ

φ+∂L∂φ∗

φ∗ − g00L)

=

∫d3r

(φφ∗ +∇φ.∇φ∗ +m2φφ∗

)(A.55)

Ahora reemplazamos en esta ecuacion la solucion de la Ec. (3.60), obteniendo:

Hn(±) =

∫d3rφn(±)φ

∗n(±) +∇φn(±).∇φ∗n(±) +m2φn(±)φ

∗n(±)

(A.56)

172

A.7. FIGURA DE SCHRODINGER

Con

φn(±) = (∓)iEnφn(±)

φ∗n(±) = (±)iEnφ∗n(±)

∇φn(±) = ipnφn(±)

∇φ∗n(±) = −ipnφ∗n(±)

φn(±)φ∗n(±) =

1

2EnL3

Reemplazamos estas expresiones en el Hamiltoniano:

Hn(±) =

∫d3r

En2L3

+p2n

2EnL3+

m2

2EnL3

=

EnL3

∫d3r

= En (A.57)

De la ecuacion (A.57) vemos que la onda φn(+) lleva energıa +En, tambien se ve

que la onda φn(−) lleva la misma energıa +En. De esto sacamos una interesante

conclusion: la onda plana φn(±) describe partıculas con cargas positivas y negativas,

respectivamente, pero con ambas ondas llevando la misma energıa positiva, +En =

+√~p2n +m2. Es ası que la energıa toma dos roles, por un lado caracteriza partıculas

con carga positiva, esto lo hace +En con φn(+) ∼ ei(pn.r−Ent), y partıculas con carga

negativa, caracterizadas por −En con φn(−) ∼ ei(pn.r+Ent). Por otro lado la energıa

de estas partıculas siempre es |En|[10].

A.7. Figura de Schrodinger

Sea ψS(t) el vector de estado en el espacio de Hilbert. Si especificamos el estado

inicial de ψS(0), la ecuacion de Schrodinger determinara los estados posteriores

HψS(r, t) = i∂ψS∂t

(A.58)

173


En esta figura la dependencia temporal esta llevada por los vectores de estado, ψ,

mientras los operadores, como p y q, son independientes del tiempo. Resolviendo

(A.58) obtenemos

ψS(r, t) = e−iH(t)ψS(r, 0)

= U(t, 0)ψS(r, 0) (A.59)

De acuerdo a esto, principio general de la mecanica cuantica, el Hamiltoniano es el

operador de evolucion temporal. Al operador U(t, 0) se le llama operador evolucion

temporal. Como podemos ver este operador nos permite relacionar dos estados. En

general tenemos que la matriz del operador evolucion temporal entre dos estados de

posicion es:

< x|U(t, t′)|x′ >=< x, t|x′, t′ > (A.60)

A este tambien se le llama propagador de Feynman o amplitud de transicion.

A.8. Figura de Heisenberg

Podemos expresar el desarrollo temporal del movimiento de otra manera en el

cual los operadores lleven la dependencia temporal en lugar de los vectores de esta-

do. Esto se logra en la figura de Heisenberg. La idea central de esta figura es obtener

una representacion donde toda la dependencia temporal sea transferida a los ope-

radores, O(t), dejando a los vectores de estado independientes del tiempo ψ(0). El

Hamiltoniano H permanece independiente del tiempo en esta figura.

La imagen de Heisenberg es equivalente a la de Schrodinger, estan relacionadas

por una transformacion unitaria. Sea OS un operador tiempo-independiente en la

figura de Schrodinger, es transformado a la imagen de Heisenberg como un operador

OH tiempo-dependiente de la siguiente manera:

OH = eiHtOSe−iHt (A.61)

174

A.8. FIGURA DE HEISENBERG

La solucion de problemas dinamicos consiste en encontrar la matriz de elementos de

un operador, en cualquier tiempo, si se conoce su valor inicial en el tiempo t = 0. En

la figura de Schrodinger esta se obtiene a partir de la ecuacion de Schrodinger. En

la figura de Eisenberg debemos resolver la ecuacion de movimiento para el operador

de Heisenberg OH :

dOH

dt= i [H,OH ] +

(∂OH

∂t

)(A.62)

Esta ecuacion es valida si OH depende explıcitamente del tiempo, caso contrario,

el termino(∂OH∂t

)= 0. Si los elementos de matriz de cualquier operador entre dos

estados cualquiera son identicos en ambas representaciones, entones las dos repre-

sentaciones son equivalentes.

Definamos

ψH = ψS(0) (A.63)

ψH es el vector de estado de Heisenberg. Reemplazando esto en (A.59) tenemos

ψS(r, t) = e−iH(t)ψH(r, 0) (A.64)

Como H es hermitiano, e−iH(t) es unitario

e−iH(t)eiH(t) = U(t, 0)U †(t, 0) = 1 (A.65)

En ausencia de fuerzas externas que varıen en el tiempo HH = HS = H, tal que

dH

dt= 0 (A.66)

En la teorıa de campo relativista la figura de Heisenberg es mas conveniente ya

que es mas facil describir la dinamica de operadores que de estados. La invariancia

de Lorentz es desarrollada con mayor facilidad en la figura de Heisenberg ya que

pone juntos el tiempo y la coordenada espacial en los operadores de campo. En la

175


teorıa de campo las variables dinamicas son los operadores hermitianos. Tambien

es importante mencionar que las relaciones de conmutacion que se satisfacen en la

figura de Schrodinger, tambien lo hacen en la figura de Heisenberg.

En la figura de Schrodinger el Hamiltoniano es un operador de evolucion temporal

si satisface la ecuacion (A.59). En la figura de Heisenberg la evolucion temporal

esta dada por (A.61), derivando con respecto al tiempo tenemos

∂OH

∂t= iHeiHtOSe

−iHt − eiHtOSe−iHtiH = iHOH −OHiH

= i [H,OH ] (A.67)

si se satisface esta expresion el Hamiltoniano es el operador de evolucion temporal

en esta figura.

El campo de Klein-Gordon satisface (A.67), esto lo podemos ver calculando el

conmutador entre el Hamiltoniano y el campo φ. Pero entes hallaremos unas rela-

ciones muy utiles que nos ayudaran en calculos posteriores

[H, ap] =

∫d3p′

(2π)3Ep′[a†p′ap′ , ap

]=

∫d3p′

(2π)3Ep′[a†p′ , ap

]ap′ + a†p′ [ap′ , ap]

= −

∫d3p′Ep′ap′δ

(3)(p− p′)

= −Epap (A.68)

de la misma forma encontramos que[H, a†p

]= Epa

†p (A.69)

Con esto en mente procedemos a calcular el conmutador

[H,φ(x)] =

∫d3p

(2π)31√2Ep

[H, ape

−ip.x + a†peip.x]

=

∫d3p

(2π)31√2Ep

[H, ap] e

−ip.x +[H, a†p

]eip.x

= −

∫d3p

(2π)3

√Ep2

(ape−ip.x − a†peip.x

)(A.70)

176

A.8. FIGURA DE HEISENBERG

concluimos ası que

i [H,φ(x)] =∂φ(x)

∂t(A.71)

Por lo tanto podemos escribir

φ(r, t) = eiHtφ(r, 0)e−iHt (A.72)

Podemos comprobar esto con facilidad. Primero debemos notar que:

[H, ap] = −apEp

Hap = ap (H − Ep)

H2ap = ap (H − Ep)2

.

.

.

Hnap = ap (H − Ep)n (A.73)

Valido para cualquier n. De modo similar encontramos que:

Hna†p = a†p (H + Ep)n (A.74)

Con esto en mente podemos encontrar un par de identidades, llevando los operadores

ap y a†p a la figura de Heisenberg:

ap(t) = eiHtape−iHt

=∑n

(iHt)n

n!ape−iHt

=∑n

(it)n

n!ap(H − Ep)ne−iHt

= ape−iEpt (A.75)

177


De forma analoga para a†p:

a†p(t) = a†peiEpt (A.76)

Con la ayuda de estas dos ultimas ecuaciones podemos comprobar (A.129):

φ(r, t) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(eiHtape

−iHteip.r + eiHta†pe−iHte−ip.r

)=

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ape−iEpteip.r + a†pe

iEpte−ip.r)

=

∫d3p

(2π)31√2ωp

(ape−ip.x + a†pe

ip.x)

(A.77)

Esto esta de acuerdo con el principio general de la mecanica cuantica, que establece

que el Hamiltoniano es el generador de la evolucion temporal. En este caso genera

una traslacion temporal sobre el campo φ.

178

Apendice B

Campo complejo de Klein-Gordon

(Otra forma)

Como mencionamos en la parte final de la seccion 1.5, el campo complejo se

puede expresar como un arreglo de dos campos reales independientes, tal como lo

muestran las ecuaciones (1.374) y (1.375). Reemplazamos estas expresiones en la

Lagrangiana (1.315), que puede ser escrita en una forma extendida

L = φφ† −∇φ · ∇φ† −m2φφ† (B.1)

tenemos ası

φφ† =1

2

(φ21 + φ2

2

)(B.2)

para el segundo termino

∇φ · ∇φ† =1

2

(∇φ1 · ∇φ†1 +∇φ2 · ∇φ†2

)(B.3)

y para el ultimo termino

m2φφ† =m2

2

(φ21 + φ2

2

)(B.4)

179

APENDICE B. CAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON (OTRA FORMA)

reemplazando en la Lagrangiana (B.1) y obtenemos la suma de dos Lagrangianas

independientes, una para cada campo

L =1

2

(φ21 −∇φ1 · ∇φ†1 −m2φ2

1

)+

1

2

(φ22 −∇φ2 · ∇φ†2 −m2φ2

2

)(B.5)

Escrito de una manera compacta seria

L = L1 + L2 (B.6)

L1 =1

2

(φ21 −∇φ1 · ∇φ†1 −m2φ2

1

)L2 =

1

2

(φ22 −∇φ2 · ∇φ†2 −m2φ2

2

)El factor de normalizacion, 1/

√2, que aparece en (1.374) y (1.375) se escoge con

la finalidad de que los campos φ1 y φ2 tengan la misma normalizacion que el caso

real.

El proceso de cuantizacion procede calculando el campo conjugado y postulando

las relaciones canonicas de conmutacion. El campo conjugado esta dado por (1.321),

para nuestro caso tenemos

π1 = φ1 (B.7)

π2 = φ2 (B.8)

de acuerdo a (1.133)

[φσ, πσ′ ] = iδσσ′δ(3)(r− r′) (B.9)

siendo σ = 1, 2.

Como la Lagrangiana (B.6) depende de dos campos independientes, tendremos

dos ecuaciones de movimiento. Estas las obtenemos a partir de la ecuacion de Euler-

Lagrange (1.110) ( +m2

)φ1 = 0 (B.10)(

+m2)φ2 = 0 (B.11)

180

estas son dos ecuaciones diferenciales homogeneas para campos reales, como en la

seccion (1.4), por lo tanto podemos expandir φσ en funcion de los operadores de

aniquilacion y creacion de la siguiente forma

φ1(x) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a1(p)e−ip.x + a†1(p)eip.x

)(B.12)

φ2(x) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(a2(p)e−ip.x + a†2(p)eip.x

)(B.13)

estos operadores satisfacen la relacion de conmutacion usual[aσ(p), a†σ′(p

′)]

= (2π)3δσσ′δ(3)(p− p′)

[aσ(p), aσ′(p′)] = 0 (B.14)

Reemplazamos (B.12) y (B.13) en (1.374), para obtener la representacion com-

pleja del campo

φ =

∫d3p

(2π)31√2ωp

[1√2

(a1 + ia2) e−ip·x +

1√2

(a†1 + ia†2

)eip·x

](B.15)

para que guarde relacion con (1.319) definimos

ap =1√2

(a1 + ia2)

b†p =1√2

(a†1 + ia†2

)(B.16)

con esto

φ =

∫d3p

(2π)31√2ωp

[ape−ip·x + b†pe

ip·x] (B.17)

tomando la adjunta tenemos

φ =

∫d3p

(2π)31√2ωp

[a†pe−ip·x + bpe

ip·x] (B.18)

con

a†p =1√2

(a†1 − ia

†2

)bp =

1√2

(a1 − ia2) (B.19)

181

APENDICE B. CAMPO COMPLEJO DE KLEIN-GORDON (OTRA FORMA)

Podemos expresar el operador Hamiltoniano y el operador momento en funcion

de los operadores (B.14). Para ello calculamos

a†pap =1

2

(a†1a1 + a†2a2 + ia†1a2 − ia

†2a1

)(B.20)

b†pbp =1

2

(a†1a1 + a†2a2 − ia

†1a2 + ia†2a1

)(B.21)

sumando tenemos

a†pap + b†pbp = a†1a1 + a†2a2 (B.22)

reemplazamos esto en (1.350) y (1.360)

H =

∫d3p

(2π)3ωp(a†pap + b†pbp

)=

∫d3p

(2π)3ωp

(a†1a1 + a†2a2

)(B.23)

P =

∫d3p

(2π)3p(a†pap + b†pbp

)=

∫d3p

(2π)3p(a†1a1 + a†2a2

)(B.24)

Con esto concluimos que hay dos tipos de cuantos que pueden ser designados por

a1 y a2 o, tambien, por ap y bp. La energıa y momento no distingue entre estas

descripciones. Pero, el operador carga si los distingue.

Ahora veamos el caso de la carga, para ello calculemos

a†pap + b†pbp = i(a†1a2 − a

†2a1

)(B.25)

insertamos esto en (1.371)

Q =

∫d3p


)= i

∫d3p

(2π)3

(a†1a2 − a

†2a1

)(B.26)

De esto podemos ver que los cuantos ap llevan una unidad de carga positiva y

los cuantos bp llevan una unidad de carga negativa. Los cuantos a1, a2, que son

combinaciones lineales de ap y bp no tienen carga definida, esto debido a que son los

operadores de aniquilacion y creacion de campos reales.

182

Apendice C

Funciones de Green Retardada y

Avanzada

C.1. Propagador de Klein-Gordon o funcion de

Green Retardada

Aquı estudiaremos el conmutador [φ(x), φ(y)]. No es difıcil mostrar que este

conmutador se puede expresar como una integral 4-dimensional, asumiendo que

xo > yo (el tiempo corre hacia adelante).

Como ya vimos antes, el conmutador de los campos para tiempos iguales es cero,

pero para tiempos diferentes sera:

[φ(x), φ(y)] = 〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉

〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 =

∫d3p

(2π)31

2ωp

e−ip.(x−y) − eip.(x−y)

=

∫d3p

(2π)3

1

2ωpe−ip.(x−y) − 1

2ωpeip.(x−y)

Consideremos un contorno de integracion de la forma mostrada en la figura C.1 y

acomodemos nuestra integral de la siguiente forma:

183

APENDICE C. FUNCIONES DE GREEN RETARDADA Y AVANZADA

Figura C.1: Contorno de integracion para la funcion de Green retardada.

〈| [φ(x), φ(y)] |0〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2ωpe−iωpt − 1

2ω−peiω−pt

ei~p.~r

〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2ωpe−iωpt − 1

2ωpeiωpt

ei~p.~r (C.1)

teniendo en cuenta

r = x− y

t = xo − yo

ωp =√

p2 +m2 (C.2)

Consideremos la funcion:

f(po) =e−ipot

(po − ωp)(po + ωp)(C.3)

Integramos esta en el contorno CR, xo > yo, tal que:

−∮

e−izt

(z2 − ω2p)dz =

∫ −(ωp+r)−R

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo −

∫Cr

e−izt

(z2 − ω2p)dz +

∫ (ωp−r)

−(ωp−r)

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo

−∫Cr′

e−izt

(z2 − ω2p)dz +

∫ R

ωp+r

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo −

∫CR

e−izt

(z2 − ω2p)dz

184

C.1. PROPAGADOR DE KLEIN-GORDON O FUNCION DE GREENRETARDADA

Llevando al lımite cuando r, r′ → 0 y cuando R→∞ tenemos:

lımR→∞

∫ R

−R

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo = −

∮e−izt

(z2 − ω2p)dz + lım

r→0

∫Cr

e−izt

(z2 − ω2p)dz + lım

r′→0

∫Cr′

e−izt

(z2 − ω2p)dz

+ lımR→∞

∫CR

e−izt

(z2 − ω2p)dz

La primera integral se resuelve usando el teorema del residuo.[20]

∮C

f(z) dz = 2πin∑k=1

Res f(ak) (C.4)

Siendo ak los polos en el interior de C. En nuestro caso tenemos dos polos, uno en

po = −ωp y otro en po = ωp, por lo tanto:∮CR

e−ipot

(po − ωp)(po + ωp)dpo = 2πi Res f(ωp) +Res f(−ωp)

= 2πi

1

2ωpe−iωpt +

1

−2ωpeiωpt

La segunda y tercera integral las hallamos usando la siguiente ecuacion:[20]

lımr→0

∫Cr

f(z) dz = i(β − α) Resf(zo) (C.5)

Siendo (β − α) el angulo subtendido por el arco, en nuestro caso tenemos que:

lımr→0

∫Cr

e−izt

(z2 − ω2p)dz = −iπ e

iωpt

2ωp

lımr′→0

∫Cr′

e−izt

(z2 − ω2p)dz = iπ

e−iωpt

2ωp

La ultima integral la hallamos por acotamiento lo cual nos da que se anula:∣∣∣∣∫CR

e−izt

(z2 − ω2p)dz

∣∣∣∣ ≤ ∫CR

|e−izt|∣∣z2 − ω2p

∣∣ |dz| = 1

R2

∫CR

|dz| = πR

R2

lımR→∞

∫CR

e−izt

(z2 − ω2p)dz = 0

185


Con esto tenemos que:∫ ∞−∞

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo = −2πi

1

2ωpe−iωpt +

1

−2ωpeiωpt

− iπ e

iωpt

2ωp+ iπ

e−iωpt

2ωp

=πi

2ωp

(eiωpt − e−iωpt

)e−iωpt − eiωpt

2ωp=

i

π

∫ ∞−∞

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo (C.6)

Remplazando esto en (C.1) tenemos:

〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 = 2i

∫d4p

(2π)4e−ipot.ei~p.~r

(p2o − ω2p)

1

2〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 = i

∫d4p

(2π)4e−ip.(x−y)

p2 −m2(C.7)

Ası definimos el propagador de Klein-Gordon, haciendo uso de la funcion de paso:

DR(x− y) = θ(xo − yo)i∫

d4p


p2 −m2(C.8)

= i

∫CR

d4p


p2 −m2(C.9)

Reemplazando en (C.7) encontramos

DR(x− y) =1

2〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 (C.10)

Otra forma de llamar a DR(x− y) es funcion de Green retardada, ya que cumple la

siguiente propiedad:(∂2

∂x2o−∇2

x +m2

)DR(x− y) = −iδ(4)(x− y) (C.11)

Viendo (C.9) tenemos que tiene la transformada de Fourier, escrita de la forma:

DR(x− y) =

∫CR

d4p

(2π)4e−ip.(x−y)DR(p) (C.12)

DR(p) =i

p2 −m2(C.13)

186

C.2. FUNCION DE GREEN AVANZADA

C.2. Funcion de Green Avanzada

Ahora calculemos la integral (C.3) usando el contorno de integracion mostrado

en la figura (C.2): ∫ ∞−∞

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo (C.14)

Se sigue el mismo procedimiento que en la seccion C.1.

Figura C.2: Contorno de integracion para la funcion de Green avanzada.∮e−izt

(z2 − ω2p)dz =

∫ −(ωp+r)−R

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo +

∫Cr

e−izt

(z2 − ω2p)dz +

∫ (ωp−r)

−(ωp−r)

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo

+

∫Cr′

e−izt

(z2 − ω2p)dz +

∫ R

ωp+r

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo +

∫CA

e−izt

(z2 − ω2p)dz∫ ∞

−∞

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo =

∮e−izt

(z2 − ω2p)dz − lım

r→0

∫Cr

e−izt

(z2 − ω2p)dz − lım

r′→0

∫Cr′

e−izt

(z2 − ω2p)dz

− lımR→∞

∫CR

e−izt

(z2 − ω2p)dz

= 2πi

1

2ωpe−iωpt − 1

2ωpeiωpt

+ iπ

eiωpt

2ωp− iπ e

−iωpt

2ωp

e−iωpt − eiωpt

2ωp=−iπ

∫ ∞−∞

e−ipot

(p2o − ω2p)dpo (C.15)

Remplazamos en (C.1) y tenemos que:

1

2〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 = −i

∫d4p


p2 −m2(C.16)

187


De forma similar a (C.7) podemos definir la funcion de Green avanzada:

DA(x− y) = −θ(yo − xo)i∫

d4p


p2 −m2(C.17)

= −i∫CA

d4p


p2 −m2(C.18)

De forma similar a la ecuacion (C.11) podemos escribir la ultima ecuacion como una

transformada de Fourier:

DA(x− y) =

∫CR

d4p

(2π)4e−ip.(x−y)DA(p) (C.19)

DA(p) =−i

p2 −m2(C.20)

Podemos obtener una relacion entre DR y DA. Acomodando la ecuacion (C.1) como

sigue:

〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 =

∫d3p

(2π)3−1

2ωp

eiωpt − e−iωpt

ei~p.~r

1

2〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 = −i

∫d3p

(2π)31

2ωp

eiωpt − e−iωpt

2iei~p.~r

1

2〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉 = −i

∫d3p

(2π)3sin(ωpt)

2ωpei~p.~r (C.21)

Ası la ecuacion (C.7) se convertira en, considerando xo − yo = t y x− y = r:

DR(t, r) = −θ(xo − yo)i∫

d3p

(2π)3sin(ωpt)

ωpei~p.~r (C.22)

De la misma forma podemos considerar que:

DA(x− y) = −θ(yo − xo)〈0| [φ(x), φ(y)] |0〉

DA(t, ~r) = θ(yo − xo)i∫

d3p

(2π)3sin(ωpt)

ωpei~p.~r (C.23)

Haciendo el cambio t→ −t y considerando que yo−xo = −(xo−yo) = −t, el cambio

lo convierte en yo − xo → xo − yo:

DA(−t, ~r) = θ(xo − yo)i∫

d3p

(2π)3sin(−ωpt)

ωpei~p.~r

DA(−t, ~r) = −θ(xo − yo)i∫

d3p

(2π)3sin(ωpt)

ωpei~p.~r

DR(t, ~r) = DA(−t, ~r) (C.24)

188

C.2. FUNCION DE GREEN AVANZADA

Con esto y usando la ecuacion (C.9) obtenemos una relacion util para la funcion de

Green avanzada:(∂2

∂x2o−∇2

x +m2

)DA(x− y) = −iδ(4)(x− y) (C.25)

Lo cual muestra que es una funcion de Green.

189

Apendice D

Solucion de la ecuacion de

Klein-Gordon no-homogenea

La ecuacion de Klein-Gordon para un campo real acoplado a una fuente real,

esta dado por ( +m2

)φ(x) = J(x) (D.1)

Esta ecuacion es no lineal, pero aun ası se puede resolver, veamos como. Si tenemos

dos ecuaciones, digamos ( +m2

)φ1(x) = J1(x)(

+m2)φ2(x) = J2(x) (D.2)

de las cuales obtenemos dos soluciones. Podemos obtener una unica ecuacion, con

una unica solucion, sumando las ecuaciones individuales( +m2

)(φ1 + φ2) = (J1 + J2) (D.3)

Usando esta idea podemos expresar J(x) como la suma de funciones elementales

J(x) =∑i

aiJi(x) (D.4)

190

por lo tanto la solucion general tambien sera una suma de soluciones individuales,

de tal manera que se cumpla (D.3)

φ =∑i

aiφi (D.5)

Con esta idea podemos descomponer las funciones J(x) en la suma de funciones δ

J(x) =

∫d4y δ(4)(x− y)J(y) (D.6)

de la misma forma para

φ(x) =

∫d4y φg(x− y)J(y) (D.7)

Reemplazando esto en (D.1) tenemos

( +m2

)φg(x− y) = δ(4)(x− y) (D.8)

A partir de esta expresion podemos decir que φg es una funcion de Green o propa-

gador. Comparando con (C.10) podemos concluir que

φg(x− y) = iDR(x− y) (D.9)

Ası, la solucion de (D.1) podrıa ser (D.7), pero si J(x) = 0, la solucion es cero, lo

cual no es satisfactorio. Cuando la fuente sea cero el campo debe tender a la solucion

de campo libre. Por esta razon consideramos como solucion general del campo

φ(x) = φin + i

∫d4y DR(x− y)J(y) (D.10)

Si consideramos la funcion de Green Avanzada, la solucion sera

φ(x) = φout + i

∫d4y DA(x− y)J(y) (D.11)

Para darle significado a φin y φout consideremos que la fuente J(x) es diferente de

cero en una region del espacio-tiempo, como se muestra en la figura (D.1) Tenemos

191

APENDICE D. SOLUCION DE LA ECUACION DE KLEIN-GORDONNO-HOMOGENEA

Figura D.1: Regiones al rededor de la fuente J(x, t) en las cuales φ corresponde a

φin y φout[22].

que φ coincide con φin para t < t1 en el cual DR(x−y) = 0, y coincide con φout, t > t2,

en el cual DA(x−y) = 0. En este sentido φin representa el campo presente cuando la

fuente J(x, t) no fue prendida y φout representa el campo que queda despues de que

la fuente fue apagada. Por lo tanto podemos decir que DR (adelante en el tiempo)

permite relacionar el campo φin con φ, de la misma forma DA (atras en el tiempo)

permite relacionar el campo φout con φ.

Generalmente se encuentra que en algunas discusiones solo se considera (D.10), lo

cual significa que se impone una condicion de frontera en la que φ = φin en t = −∞.

192

Esta no es una razon fundamental por la cual se use mas (D.10) que (D.11), el

primero es usado frecuentemente por que las condiciones iniciales del experimento

en t = −∞ son preparadas con mayor facilidad que especificar las condiciones finales

del experimento en t = +∞[22].

193

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197

ANALISIS DE LA CREACI ON DE PART ICULAS AL ACOPLAR UNA ...

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