Sistema Internacional de unidades

Anlisis DimensionalIntroduccin a la Ingeniera Qumica- 420105

Profesores: Laura Reyes Nez Guillermo Reyes Torres

Definiciones previasCantidad fsica: son aquellas que se usan para la descripcin cuantitativa de los fenmenos.Unidad: tamao del patrn elegido para medir la cantidad fsicaMagnitud: es lo medible o cuantificable de una variable, se expresa por el par (valor, unidad).Dimensin: coordenada asignada a una cantidad fsica segn la naturaleza de la misma

DefinicinCualquier cantidad, propiedad variable fsica debe estar representada matemticamente por una expresin cuyas dimensiones sean consistentes.

Sea F una funcin de las cantidades a1x1, a2x2, a3x3 .anxnDonde anxn representa una cantidad ai elevada a un exponente xi cualquiera. Matemticamente esto se expresa como:

F=F(a1x1, a2x2, a3x3 .anxn)Para que la funcin (F) sea dimensionalmente correcta, las dimensiones de F deben corresponder con las dimensiones resultantes de las variables aixi

Dimensiones en el sistema SI

EjemploPor ejemplo analicemos la famosa ecuacin de la relatividad de Einstein.

En este caso la funcin F sera E (energa) y las dos variables independientes seran M (masa) y C (velocidad de la luz) lo cual se expresa matemticamente como:

E=E(M,C)

Sabemos que en la ecuacin de la relatividad, el exponente de la materia (M) es igual a la unidad; mientras que el exponente de (C) es dos. La energa se define por el producto de estas dos cantidades como: E=M.C2Homogeneidad DimensionalAhora analicemos las dimensiones de esta expresin:

E(energa)=F (fuerza) . X(longitud)

De la segunda ley de newton sabemos que la fuerza se puede expresar como la masa por la aceleracin:

F (fuerza)=Masa (M). Aceleracin (L/t2) [=] M.L.t-2

Por lo tanto las dimensiones de la energa son:

E(energa)[=] M.L2.t-2

Para verificar que la ecuacin E=M.C2 es dimensionalmente correcta, verificamos entonces las dimensiones resultantes del lado derecho de la ecuacin.

M.C2 [=] M.(L/t)2[=] M.L2.t-2 Las mismas dimensiones que la energa!

Homogeneidad Dimensional

Ecuaciones dimensionales y adimensionalesLas ecuaciones que se emplean en las distintas reas de la ingeniera pueden estar fundamentadas en las leyes fsicas o bien ser simples correlaciones empricas. En este segundo caso, las ecuaciones pueden ser dimensionalmente no homogneas, en este caso siempre se incluye implcitamente una constante dimensional emprica.

Por ejemplo la ecuacin que da cuenta del tiempo que tarda la decantacin de un sistema de dos lquidos (A, B) esta dada por:

El nmero 6.24 corresponde a una constante con dimensiones, es importante notar que la expresin emprica anterior solo es vlida si se usan las cantidades en las unidades indicadas.Ecuaciones dimensionales y adimensionalesEn Ingeniera Qumica existen un gran nmero de coeficientes y nmeros adimensionales que permiten analizar, modelar y escalar procesos. A continuacin se muestran los tres nmeros adimensionales que relacionan las fuerzas convectivas y difusivas en los fenmenos de transporte.

Nmero de Reynolds (Re) (mecnica de fluidos)

Ecuaciones dimensionales y adimensionalesNmero de Nusselt (Nu) (Transferencia de calor)

Nmero de Sherwood (Sh) (transferencia de materia)

Principios de Anlisis DimensionalTeorema de la homogeneidad dimensional:Cualquier magnitud fsica se puede expresar como una combinacin de potencias de las magnitudes fundamentales del sistema de referencia: Magnitud [=] Ma Lb tc Td .

Teorema Pi de Buckingham: Si un sistema est caracterizado por n magnitudes fsicas que dependen de p magnitudes fundamentales (independientes), existen un toal de n-p grupos adimensionales independientes 1, 2, , n-p formados a partir de las variables y constantes dimensionales que intervengan en su descripcin.

El comportamiento del sistema se describe mediante la ecuacin adimensional: F(1, 2, , n-p)=0Mtodo de Rayleigh (1899)Si conocemos completamente las variables que intervienen en un fenmeno podemos modelar el comportamiento de dichos fenmenos a travs de la siguiente formulacin.Y = X1a1 .X2a2 . X3a3 . X4a4 .... . Xnan

Donde Y corresponde con la variable dependiente de mayor inters en el proceso y Xi corresponde a las variables independientes de las cuales depende el proceso de estudio. Los exponentes ai corresponden a exponentes empricos determinados generalmente a travs de la experimentacin.

Mtodo de Rayleigh (1899)El procedimiento de Rayleigh consta de los siguientes pasos:

Identificacin de todas las (n) variables de inters XiSe elige una variable dependiente y se expresa en funcin del resto: Y = C X1a X2b X3c X4d ...Donde C corresponde a una constante emprica.Se expresa cada variable en funcin de las p magnitudes fundamentales del sistema M, L, t, T ...Se plantea una condicin de homogeneidad por cada una de las magnitudes fundamentalesSe resuelve el sistema, normalmente indeterminado, en funcin de (n-p-1) parmetros a elegir entre a, b, c, d...Se agrupan los exponentes formando n-p-1 grupos adimensionales ms uno formado sobre la variable dependiente. (En total n-p grupos.)Mtodo de Rayleigh (ejemplo)Se han realizado un gran nmero de investigaciones sobre la transferencia de materia en lechos de relleno entre las partculas slidas y el fluido circundante, situacin comn en algunas reacciones catalticas.

Todos los experimentos concuerdan en que el coeficiente de transferencia de materia kc dependen del tamao de las partculas slidas (Dp), de la viscosidad del medio (m), la densidad del medio (r), la difusividad del lquido (A) en el slido (B) (DAB) y la velocidad msica de desplazamiento del fluido(G)

Mtodo de Rayleigh (ejemplo)Solucin

La variable de mayor inters es kc por lo tanto expresamos esta cantidad en funcin de las dems variables. Adicionalmente si establecemos que trabajaremos con el sistema internacional de unidades, el cual es consistente. La constante emprica C es una constante adimensional.

2) Remplazamos las variables en la ecuacin anterior por las respectivas dimensiones para generar la ecuacin dimensional.

Mtodo de Rayleigh (ejemplo)Solucin

3) Generamos tantas ecuaciones de homogeneidad como dimensiones bsicas involucradas en la expresin (M, L, t =3)

Tres ecuaciones y cinco exponentes ai por definir, por lo tanto el sistema es inconsistente. Para resolverlo expresamos todos los exponentes ai en funcin de dos exponentes, para convertir el sistema en un sistema consistente de ecuaciones lineales. Mtodo de Rayleigh (ejemplo)Solucin

4) Decidimos despejar los exponentes en funcin de los exponentes a2, a5 ya que estos parecen ser a simple vista los que mas se repiten. Sustituyendo estos valores en la funcin inicial tenemos.

Mtodo de Rayleigh (ejemplo)5) Finalmente ordenando nuestra expresin y agrupando las variables elevadas a los mismos exponentes numricos tenemos:

Tres Grupos adimensionalesMtodo de Rayleigh (ejemplo)Los grupos adimensionales obtenidos son usuales en Ingeniera Qumica.