Anlisis dimensional

P.1 Un vertedero es una obstruccin en un canal que se utiliza para medir el caudal, como muestra lafigura. El caudal Q vara con la gravedad g, la anchura b del rebosadero (en la direccin perpendicularal papel) y la altura del nivel del agua H por encima del vertedero aguas arriba. Sabiendo que Q esproporcional a b, utilice el teorema Pi para expresar la relacin Q(g, b,H) en forma adimensional.

H

Q

Vertedero

1

Anlisis dimensional

P.2 Si se desprecia el efecto de la viscosidad, la figura muestra resultados tpicos para el flujo en unabomba obtenidos del ensayo de un modelo con agua. El incremento de presin p disminuye y la potenciaW necesaria aumenta al aumentar el coeficiente adimensional de flujo. Las expresiones analticas indicadasen la figura se obtuvieron del ajuste de los datos experimentales. Supongamos que se construye una bombasimilar de 12 cm de dimetro con el objeto de mover un caudal de 25 m3/h de gasolina a 20oC. Si lavelocidad de giro de la bomba es de 30 rev/s, determine (a) el incremento de presin y (b) la potencianecesaria.

2

Anlisis dimensional

P.3 Se ensaya el modelo de un barco de 0.6 m de largo en un canal hidrodinmico de agua dulce. Laresistencia total se descompone en resistencia de friccin (efecto del nmero de Reynolds) y resistenciade onda (efecto del nmero de Froude). Los datos del modelo son los siguientes:

Velocidad, m/s 0.24 0.48 0.72 0.96 1.2 1.44Resistencia de friccin, N 0.071 0.254 0.543 0.926 1.402 1.963Resistencia de onda, N 0.009 0.094 0.369 1.126 2.265 2.657

El barco prototipo tiene 50 m de largo. Estime la resistencia total a la velocidad de crucero de 15 nudosen agua del mar a 20oC. (Nota: 1 nudo = 0.5144 m/s.)

3

Anlisis dimensional

4

Anlisis dimensional

P.4 La cada de presin en un medidor tipo venturi (vease figura) slo depende de la densidad del fluido,la velocidad del flujo aguas arriba de la contraccin y la relacin de dimetros del medidor. Se ensaya unmodelo de un medidor tipo venturi en agua a 20oC, y se mide una cada de presin de 5 kPa cuando lavelocidad del flujo aguas arriba es de 4 m/s. Se quiere utilizar un prototipo geomtricamente semejantepara medir un caudal de 9 m3/min de gasolina a 20oC. Si el prototipo est calibrado para funcionar conuna cada de presin de 15 kPa, cul debe ser el dimetro del tubo aguas arriba de la contraccin?

h

1

2

5

Anlisis dimensional

P.5 Se disea un barco prototipo de 35 m de largo para navegar a una velocidad de crucero de 11 m/s(alrededor de 21 nudos). Para medir su resistencia se ensaya un modelo de 1 m de largo en un canalhidrodinmico. Suponiendo constante el nmero de Froude, determine (a) la velocidad del modelo, (b) elcociente entre la resistencia del prototipo y del modelo y (c) el cociente entre la potencia requerida porel prototipo y el modelo. (Nota: 1 nudo = 0.5144 m/s.)

6

Anlisis dimensional

P.6 Se disea un avin para volar a 240 m/s a 10 km de altura estndar. Si se ensaya un modelo a escalaun doceavo en un tnel aerodinmico presurizado a una temperatura de 20oC, cul deber ser la presindel tnel en atm para reproducir correctamente los nmeros de Reynolds y de Mach?

7

Anlisis dimensional

8

Anlisis dimensional

812 Appendix A

T, C , N/m p, kPa a, m/s

0 0.0756 0.611 140210 0.0742 1.227 144720 0.0728 2.337 148230 0.0712 4.242 150940 0.0696 7.375 152950 0.0679 12.34 154260 0.0662 19.92 155170 0.0644 31.16 155380 0.0626 47.35 155490 0.0608 70.11 1550

100 0.0589 101.3 1543

120 0.0550 198.5 1518140 0.0509 361.3 1483160 0.0466 617.8 1440180 0.0422 1002 1389200 0.0377 1554 1334220 0.0331 2318 1268240 0.0284 3344 1192260 0.0237 4688 1110280 0.0190 6412 1022300 0.0144 8581 920320 0.0099 11,274 800340 0.0056 14,586 630360 0.0019 18,651 370

374* 0.0*19 22,090* 0*

*Critical point.

z, m T, K p, Pa , kg/m3 a, m/s

500 291.41 107,508 1.2854 342.20 288.16 101,350 1.2255 340.3

500 284.91 095,480 1.1677 338.41000 281.66 089,889 1.1120 336.51500 278.41 084,565 1.0583 334.52000 275.16 079,500 1.0067 332.62500 271.91 074,684 0.9570 330.63000 268.66 070,107 0.9092 328.63500 265.41 065,759 0.8633 326.64000 262.16 061,633 0.8191 324.64500 258.91 057,718 0.7768 322.65000 255.66 054,008 0.7361 320.65500 252.41 050,493 0.6970 318.56000 249.16 047,166 0.6596 316.56500 245.91 044,018 0.6237 314.47000 242.66 041,043 0.5893 312.37500 239.41 038,233 0.5564 310.28000 236.16 035,581 0.5250 308.18500 232.91 033,080 0.4949 306.09000 229.66 030,723 0.4661 303.89500 226.41 028,504 0.4387 301.7

10,000 223.16 026,416 0.4125 299.510,500 219.91 024,455 0.3875 297.311,000 216.66 022,612 0.3637 295.111,500 216.66 020,897 0.3361 295.112,000 216.66 019,312 0.3106 295.112,500 216.66 017,847 0.2870 295.113,000 216.66 016,494 0.2652 295.113,500 216.66 015,243 0.2451 295.114,000 216.66 014,087 0.2265 295.114,500 216.66 013,018 0.2094 295.115,000 216.66 012,031 0.1935 295.115,500 216.66 011,118 0.1788 295.116,000 216.66 010,275 0.1652 295.116,500 216.66 009496 0.1527 295.117,000 216.66 008775 0.1411 295.117,500 216.66 008110 0.1304 295.118,000 216.66 007495 0.1205 295.118,500 216.66 006926 0.1114 295.119,000 216.66 006401 0.1029 295.119,500 216.66 005915 0.0951 295.120,000 216.66 005467 0.0879 295.122,000 218.60 004048 0.0645 296.424,000 220.60 002972 0.0469 297.826,000 222.50 002189 0.0343 299.128,000 224.50 001616 0.0251 300.430,000 226.50 001197 0.0184 301.740,000 250.40 000,287 0.0040 317.250,000 270.70 000,080 0.0010 329.960,000 255.70 000,022 0.0003 320.670,000 219.70 000,006 0.0001 297.2

Table A.5 SurfaceTension, VaporPressure, and SoundSpeed of Water

Propiedadesde la AtmsferaEstandar

whi02172_app.qxd 1/11/02 3:41 PM Page 812 Sahuja 79:PQ240:whi02172_combined:PQ240-BM-Appendix:whi02172_Appendix_Repro:

9

Anlisis dimensional

P.7 La ecuacin diferencial de conservacin de la energa en un flujo bidimensional incompresible a travsde un medio poroso que verifica la ley de Darcy, u = (/)p, se puede aproximar por

cp

p

x

T

x+ cp

p

y

T

y+ k

2T

y2= 0

donde es la permeabilidad del medio poroso. El resto de los smbolos representan las magnitudes usuales.(a) Cules son las dimensiones apropiadas para ? (b) Adimensionalice esta ecuacin, usando (L, U , ,T0) como longitud, velocidad, densidad y temperatura caractersticas, respectivamente, y discuta todoslos parmetros adimensionales que aparezcan.

10

Anlisis dimensional

P.8 Un barco arrastra una antena de snar que se puede aproximar por un cilindro circular de 0.3 m dedimetro y 10 m de largo, sumergido en el agua y con su eje perpendicular a la direccin del movimiento.Si la velocidad del barco es de 12 nudos, estime la potencia necesaria para remolcar el cilindro. Culsera la frecuencia de desprendimiento de los torbellinos del cilindro? Utilice las figuras 1 y 2. (Nota: 1nudo = 0.5144 m/s.)

5

4

3

2

1

010 102 103 104 105 106 107

Red =

(1.a)

CD

Cilindro (bidimensional)

Esfera

Longitud del cilindro

(104 < Re < 105)L/d

4020105321

1.200.980.910.820.740.720.680.64

1.5

104

Red

(1.b)

1.0

0.7

0.5

0.3105 106

= 0.02d0.009

0.0070.004

0.0020.0005 Liso

Cilindro:L_d =

Transicion a capa lmite turbulenta

Ud

CD

CD

0.4

0.3

0.2

0.1

010 102 103 104 105 106 107

Re = Ud

(2)

St =

d2

U

Dispersin de datos

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Anlisis dimensional

P.9 Un modelo a escala 1:15 de un paracadas tiene una resistencia de 2000 N cuando se ensaya en untnel de agua a 6 m/s. Si los efectos del nmero de Reynolds son despreciables, determine la velocidadlmite de cada de un paracaidista que utiliza el prototipo, a 2000 m de altura estndar, si su masa total(incluyendo el equipo) es de 80 kg. Considere despreciable el coeficiente de resistencia del paracaidista.

12

Anlisis dimensional

P.10 Durante una tormenta de nieve, se ha formado un montculo de nieve tras una valla, como se muestraen la figura adjunta. La altura del montculo, h, depende de los centmetros de nieve depositados por latormenta, d, la altura de la valla, H, la anchura de los listones de la valla, b, la velocidad del viento, V ,la aceleracin de la gravedad, g, la densidad del aire, a, y la densidad de la nieve, n. Determine losrequisitos de semejanza que debe cumplir un modelo para ser utilizado en el estudio de este fenmeno,y la relacin entre la altura del montculo del modelo y la del prototipo. Una tormenta con vientos de15 km/h deposita 41 cm de nieve con una densidad de 80 kg/m3. Para estudiar la eficacia de un nuevodiseo para la valla, se ha construido un modelo de escala 1:2. Si la densidad del aire es la misma para elmodelo y el prototipo, determine cules deben ser la densidad de la nieve y la velocidad del viento paraque se pueda utilizar este modelo.

13

Anlisis dimensional

P11. Un anemmetro de cazoletas es un aparato usado en meteorologa para medir la velocidaddel viento. Este dispositivo est formado por semiesferas huecas situadas en los extremos de unos brazosque giran sobre un eje vertical como consecuencia de las sobrepresiones que ejerce el viento sobre la partecncava de las cazoletas. Se sabe que la velocidad de giro del anemmetro, , depende de la velocidaddel viento, V , el dimetro de las cazoletas, D, la longitud de los brazos, L, la densidad y la viscosidad delaire, y , y el nmero de brazos del anemmetro N (en el caso particular de la figura, N = 2). Se pide:

1. Aplique el teorema Pi para determinar el nmero de parmetros adimensionales de los que dependela velocidad de giro, .

2. Determine todos los grupos adimensionales que aparecen en el problema, tomando V , L y comoparmetros dimensionalmente independientes.

3. Estime el valor del nmero de Reynolds del flujo alrededor del anemmetro con L = 5 cm suponiendouna velocidad del viento V = 10 m/s y un dimetro de cazoletas D = 4 cm. Utilice para ello lossiguientes valores: = 1.2 kg/m3 y = 1.8 105 kg/(ms). Depender la velocidad de giro delnmero de Reynolds? Razone la respuesta.

4. Durante la calibracin de un anemmetro en el tnel de viento se obtienen las siguientes medidasde velocidad de giro en funcin de la velocidad del viento:

V m/s r.p.m4 1526 2288 30410 38012 45614 532

Escriba la ley que relaciona la velocidad del viento, V , con la velocidad de giro del anemmetro, .

D

D

U

L

L

14

Anlisis dimensional

15

Anlisis dimensional

P.12 Un embrague hidrulico se utiliza para transmitir el movimiento rotatorio de un eje a otro. Considereel embrague idealizado mostrado en la figura, formado por dos discos planos de dimetro D, separadospor una holgura ajustable, , que contiene un fluido lubricante. Supongamos en principio que el par Ttransmitido por el embrague depende de D, , la diferencia = 1 2 entre las velocidades de girode ambos ejes, y la densidad y viscosidad del fluido de trabajo. Se pide:

1. Haga uso del teorema Pi para determinar los parmetros adimensionales de los que depende el partransmitido T .

2. Determine todos los grupos adimensionales que aparecen en el problema. Cual es la definicinapropiada del nmero de Reynolds en este problema?

Se ensaya un embrague hidraulico con D = 200 mm, = 1 mm, y = 500 rpm utilizando aceite SAE30 a 20oC (20o = 0.250 kg/(ms)). A continuacin se ensaya el mismo enbrague con aceite SAE 30 a80oC (80o = 0.017 kg/(ms)). Ignorando las variaciones de densidad con la temperatura, se pide:

3. Determine los valores de y necesarios en el segundo caso para que exista semejanza dinmicaentre ambos ensayos.

4. Exprese el par transmitido en el segundo ensayo en funcin del par transmitido en el primer ensayo.

-

6

?

D

1 2

1

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Anlisis dimensional

17

Anlisis dimensional

P.13 La potencia, P , requerida para mover la hlice de una avioneta en rgimen de crucero depende dela velocidad de vuelo, V , el dimetro de la hlice, D, la velocidad de giro de la hlice, , la densidad y laviscosidad del fluido, y , y la velocidad del sonido en el aire, c (con dimensiones de m/s). Se pide:

1. Aplique el teorema Pi para determinar el nmero de parmetros adimensionales de los que dependela potencia requerida, P .

2. Determine todos los grupos adimensionales que aparecen en el problema, tomando D, y comoparmetros dimensionalmente independientes.

Se est construyendo un avin con una hlice de 1,5 m de dimetro que volar en rgimen de crucero auna altitud de 5000 m. Se estima que la velocidad de crucero del avin ser de V = 300 km/h y que endicho rgimen la hlice girar a = 2500 rpm. Para dimensionar la planta de potencia de la aeronavese desea construir un modelo a escala de la hlice y ensayarlo en un tnel aerodinmico a nivel del mar(z = 0 m). Se pide:

3. Indique cual debera ser el dimetro del modelo a escala, Dm, la velocidad angular del modelodurante el ensayo, m, y la velocidad del aire en el tnel, Vm, para que las condiciones del ensayosean fsicamente semejantes a las condiciones de vuelo de crucero.

Nota: propiedades fsicas del aire en la atmsfera estndar:

z T c[m] [K] [kg/m3] [kg/(ms)] [m/s]0 288.15 1.225 1.775 105 340.3

5000 255.65 0.736 1.630 105 320.5

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Anlisis dimensional

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Anlisis dimensional

P.14 Una viga simplemente apoyada de dimetro D, longitud L, y mdulo elstico E est sometida aun flujo cruzado de velocidad V , densidad y viscosidad . La deflexin del punto central se considerafuncin de todas estas variables. (a) Escriba esta relacin en forma adimensional. (b) Sabiendo que esindependiente de , inversamente proporcional a E y depende exclusivamente del producto V 2, y no de y V por separado, simplifique dicha funcin adimensional apropiadamente. Consejo: Tome L, y Vcomo variables dimensionalmente independientes.

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Anlisis dimensional

solucin P.14

21

Anlisis dimensional

P.15 El perodo de oscilacin T de un pndulo simple se considera funcin de su longitud L, su masam, el ngulo mximo de oscilacin y la aceleracin de la gravedad g. Se ensaya en la tierra un pndulode 1 m de longitud y una masa de 200 g y se mide un perodo de 2.04 s cuando el ngulo mximo deoscilacin es de 20o. (a) Cul es el perodo cuando el ngulo mximo de oscilacin es de 45o? Un pndulode construccin similar, con L = 30 cm y m = 100 g, oscila en la luna (g = 1.62 m/s2) con = 20o. (b)Cul es su perodo?

22

Anlisis dimensional

solucin P.15

23

Anlisis dimensional

P.16 Se pide expresar en la forma ms simplificada posible, mediante el uso del anlisis dimensional, lafuerza aerodinmica que ejerce el aire sobre un coche de forma geomtrica dada y rea frontal A, quese mueve con velocidad constante V . Suponga que el aire se comporta como un fluido incompresible ydesprecie el efecto de las fuerzas msicas.

En un tnel se mide una fuerza de 75 N sobre una maqueta de coche, de rea frontal 0.75 m2 y conuna velocidad del aire de 20 m/s. Utilizando este resultado, se pide:

Velocidad del coche para el que se puede utilizar el resultado de la maqueta si ste tiene un reafrontal de 3 m2. Calcule la fuerza aerodinmica que sufre el coche, y la potencia necesaria paravencer esa resistencia.

En el supuesto de que la fuerza sobre el coche no dependiera de la viscosidad, calcule la fuerzaaerodinmica y la potencia necesaria cuando el coche se mueve a 20 m/s y a 30 m/s.

En el mismo supuesto del apartado anterior, obtenga una expresin analtica que relacione la energaconsumida (para vencer la resistencia aerodinmica del coche) por unidad de distancia recorridacon los parmetros del problema. Esta variable est muy directamente relacionada con el consumode combustible, y del resultado que se obtenga se puede ver la importante influencia que en dichoconsumo tiene la velocidad del vehculo.

Siendo e = 1.05 107 cal/kg el poder calorfico del combustible, c = 0.76 kg/lit su densidad y = 0.3 el rendimiento del motor, halle el consumo del vehculo (en lit/100 km) cuando el coche semueve a 90 km/h y a 120 km/h.

24

Anlisis dimensional

solucin P.16

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Anlisis dimensional

P.17 Se pretende estudiar las prestaciones de una turbina elica de dimetro D y forma geomtricadada sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U . La turbina gira a una velocidad dada n(revoluciones por unidad de tiempo). Suponiendo que el aire se comporta como incompresible, se pide:

1. Utilizar el anlisis dimensional para determinar la dependencia funcional de la potencia W que seextrae de la turbina como funcin del menor nmero de parmetros adimensionales del problema.

2. Simplifique los resultados anteriores suponiendo que el efecto de la viscosidad es despreciable,justificando la razn. Mantenga la hiptesis de viscosidad despreciable en el anlisis que sigue

Para una turbina de D = 5 m sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U = 10 m/s seha medido la potencia obtenida en funcin de la velocidad de giro, obteniendose los resultados que semuestran en el grfico adjunto.

Como se ve, las medidas revelan que la mxima potencia se otiene para n = 200 rpm. Basndose enestos resultados, se pide:

3. Para una velocidad de U = 15 m/s, determine el valor de n para el que se obtendra la mximapotencia, as como dicha potencia.

4. A partir de los datos de la grfica, obtenga para n = 200 rpm la curva que da la variacin de Wcon U .

5. Para una turbina geomtricamente semejante de dimetro D = 10 m girando a n = 175 rpm, calculeel valor de W correspondiente a una corriente incidente de velocidad U = 20 m/s.

26

Anlisis dimensional

Solucin P.17:

1. W = W (, , U

, D, n) W

U3D2 W

= f(nDUn

,UD

Re

)

W Coeficiente de potencia, n Parmetro de vueltas, Re Nmero de Reynolds.

2. Como Re = UD 1, suponemos que la influencia de la viscosidad es despreciable W = f(n).En efecto, para la turbina considerada en el siguiente apartado Re = 1.21051.8105 = 3.33 106 1.

3. Utilizamos los datos de la grfica para construir la funcin W = f(n) = f(nD/U):

W n n n = nDU W =W

U3D2

(W) (rpm) (rev/s)4 103 125 2.083 1.042 0.133

5.5 103 150 2.500 1.250 0.1836.5 103 175 2.917 1.458 0.2177 103 200 3.333 1.667 0.2336 103 225 3.750 1.875 0.200

4.5 103 250 4.167 2.083 0.150

4. La mxima potencia se obtiene para N = nDU = 1.667 n = 1.667155 60 = 300 rpm. Paraeste valor de N , el coeficiente de potencia W = WU3D2 = 0.233 W = 0.233U3D2 =0.233 1.2 153 52 = 23.625 kW.

5. Para calcular la curva de variacin de W con U para n = 200 rpm = 3.33 rev/s y D = 5 m,calculamos primero U = nDn =

20060

5n

= 3.335n y a continuacin W = W U3D2 = W 1.2U352 =

W 1.2(

3.335n

)352:

n W U =nDn

W = W U3D2

1.042 0.133 16 16.3841.250 0.183 13.33 13.031.458 0.217 11.43 9.7061.667 0.233 10 7.0001.875 0.200 8.89 4.2162.083 0.150 8 2.304

6. Para D = 10 m, n = 175 rpm y U = 20 m/s tenemos: N = nDU =17560

1020 = 1.458 y entrando

en la tabla con este valor de N obtenemos W = WU3D2 = 0.217 W = 0.217U3D2 =0.217 1.2 203 102 = 208 kW.

27

Anlisis dimensional

P.18 El viscosmetro de la figura consiste en dos cilindros de radios R1 y R2 que giran a velocidadesangulares 1 y 2, respectivamente. Se pretende calcular el par por unidad de longitud, M , necesariopara mantener el movimiento giratorio del cilindro interior cuando entre ambos cilindros se encuentraconfinado un fluido incompresible de densidad y viscosidad . Para ello, se pide:

Haciendo uso del Teorema Pi, obtenga el mnimo nmero de parmetros de los que depende el parpor unidad de longitud, M .

Simplifique el resultado anterior para el caso particular de R2 R1 y 2 = 0.Tras realizar una serie de medidas experimentales para diferentes velocidades de giro tomando un cilindrode radio R1 = 1 cm y utilizando glicerina como fluido de trabajo, = 1435 103, = 1259 (las unidadesde y vienen dadas en el sistema internacional) se ha obtenido la siguiente tabla:

M (Nm/m) 1 (rpm)1.8 104 63.6 104 129 104 3018 104 60

Calcule el par resultante que se obtendra utilizando glicerina si fijamos la velocidad de giro en 1=6 rpm para los siguientes valores del radio del rotor, R1= 1 cm, 1.41 cm, 2.24 cm y 3.16 cm.

A partir de los datos mostrados en la tabla anterior calcule el par necesario para girar un cilindro deradio R1 = 1 cm a la velocidades angulares de 1= 1.86, 3.72, 9.30 y 18.6 rpm. considerando aceiteSAE 30 como fluido de trabajo (tome = 309103, = 875 en unidades del sistema internacional).

-

-

R2

R1

1

2

1

28

Anlisis dimensional

Solucin P.18

1. M = M(, ,1,2, R1

, R2) M

1R21 M

= f(1R21

,221

,R2R1R2

)

M Parametro de par, Re Nmero de Reynolds,2 Relacin de velocidades angulares, R2 Relacin de radios.

Hemos elegido como magnitudes dimensionalemente independientes , 1 y R1. Se debe comprobarque son dimensionalmente independientes. Por otra parte, la eleccin de se basa en que, para uninstrumento de medida de la viscosidad, sta tiene que ser un parmetro fundamental del problema;1 y R1 se eligen en base a su relevancia en el flujo y en la definicin de la geometra (a la vista delos ltimos apartados, 2 y R2 son menos relevantes).

2. 2 = 0 21

= 0; R2 R2R1 M = f

(Re, 0,) = g(Re)

En este caso, la dependencia funcional queda reducida a un nico parmetro.

3. La semejanza fsica garantiza que, entre dos condiciones de funcionamiento a y b, si Rea = Reb Ma = Mb , en estas condiciones, se puede comprobar que, entre los puntos correspondientes de lasiguiente tabla se cumple:(1R21

)a

=(1R21

)b R1b = R1a

(1a1b

)1/2,

y por tanto:( M1R21

)a

=( M1R21

)bMb = Ma 1b

1a

(R1bR1a

)2De este modo, la tabla para las nuevas condiciones queda:

M1a (Nm/m) 1a (rpm) R1a (cm) M1b (Nm/m) 1b (rpm) R1b (cm)1.8 104 6 1 1.8 104 6 13.6 104 12 1 3.6 104 6 1.419 104 30 1 9 104 6 2.2418 104 60 1 18 104 6 3.16

4. En este caso las condiciones de semejanza los las mismas que en el apartado anterior, pero hay quetener en cuenta que el fluido de trabajo es diferente.(1R21

)glicerina

=(1R21

)SAE

( M1R21

)glicerina

=( M1R21

)SAE

. Dado que el radio es el

mismo en los dos casos, se puede comprobarque entre los puntos correspondientes de la siguiente

tabla se cumple:1gg

=1SAESAE

y, por lo tanto, MSAE = Mg SAEg1SAE

1g

(R1SAER1g

)2.

La tabla con las nuevas condiciones de operacin queda, en este caso:

M1g (Nm/m) 1g (rpm) R1g (cm) M1SAE (Nm/m) 1SAE (rpm) R1SAE (cm)1.8 104 6 1 0.12 104 1.86 13.6 104 12 1 0.24 104 3.72 19 104 30 1 0.60 104 9.30 118 104 60 1 1.20 104 18.6 1

29

Anlisis dimensional

Solucin P.18

30

Anlisis dimensional

P.19 Haciendo uso del anlisis dimensional determinar la frecuencia de resonancia fo en Hz de uncircuito LC en serie alimentado por una fuente de tensin alterna V. El valor de la inductancia es L y dela capacitancia C.

V

C

L

NOTA:

La intensidad de corriente I se define como la cantidad de carga elctrica que pasa por un conductorpor unidad de tiempo. La unidad de medida es el amperio A = C/s.

La tensin V se define como el trabajo por unidad de carga elctrica ejercido por el campo elctricopara mover las cargas de un lugar a otro. La unidad de medida es el voltio V = kg m2/(s2 C) =kg m2/(s3 A).La capacidad elctrica C se define como la cantidad de carga elctrica almacenada por unidad dediferencia de potencial. La unidad de medida es el Faradio F = C/V = A2 s4/(m2 kg).La inductancia L se define como la diferencia de tensin producida cuando en un circuito se hacevariar una corriente elctrica en una unidad de tiempo. La unidad de medida es el Henrio H =V s/A = kg m2/(s2 A2).

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Anlisis dimensional

solucin P19:

fo = g(L, C,V), listamos sus dimensiones en funcin de sus unidades fundamentales masa M, longitud L,tiempo T e intensidad I:

fo L C VM 0 1 -1 1L 0 2 -2 2T -1 -2 4 -3I 0 -2 2 -1

Hacemos uso del teorema de Buckingham: las variables fsicas de que depende fo son n = 3 y lasvariables dimensionalmente independientes son r = 3, por tanto m = 3 3 = 0 y el grupo adimensionalformado con fo debe ser constante:

f = foLaCbVc = cte[M]0[L]0[T]0[I]0 = [T]1

([M][L]2[T]2[I]2

)a ([M]1[L]2[T]4[I]2

)b ([M][L]2[T]3[I]1

)cM : a b+ c = 0L : 2a 2b+ 2c = 0T : 1 2a+ 4b 3c = 0I : 2a+ 2b c = 0

a =1

2, b =

1

2, c = 0

f = foLC = cte fo = cte 1LC

Nota: El anlisis dimensional ya no es capaz de encontrar la cte, y para ello se debe recurrir a la teorade circuitos, siendo cte = 2pi.

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