1.- Dimensiones y unidades (concepto, generalidades)1.1.- Dimensin. Es una medida de una cantidad fsica (sin valores numricos).1.2.- Unidades. Es una manera de asignar un nmero a dicha dimensin. Por ejemplo, la longitud es una dimensin que se mide en unidades como: micrones (mm), pie (ft), centmetros (cm), metros (m), kilmetros (km), etc.1.3.- Generalidades. Existen siete dimensiones primarias (tambin llamadas dimensiones fundamentales o bsicas): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente elctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinacin de las siete dimensiones primarias. Por ejemplo, la fuerza tiene las mismas dimensiones que masa por aceleracin (por la segunda ley de Newton). En consecuencia, en trminos de dimensiones primarias:

Donde los corchetes indican las dimensiones de y las abreviaturas se toman de la tabla 1. 2.- Lista de dimensiones primarias.DimensinSmboloUnidad SIUnidad inglesa

MasamKg (kilogramo)lbm (libra-masa)

LongitudLm (metro)ft (pie)

Tiempo ts (segundo)s (segundo)

Temperatura TK (kelvin)R (rankine)

Corriente elctricaIA (ampere)A (ampere)

Cantidad de luzCcd (candela)cd (candela)

Cantidad de materiaNmol (mole)mol (mole)

Tabla 1.

3.- Lista de las propiedades de los fluidos estudiados en clase y dems parmetros (caudal, flujo msico, velocidad, entre otros) expresado en dimensiones cada uno.MagnitudSmboloDimensiones

M-L-TF-L-T

LongitudLLL

rea AL2L2

VolumenvL3L3

VelocidadVLT-1LT-1

Aceleracin a, gLT-2LT-2

Flujo volumtrico, caudalQL3T-1L3T-1

Flujo msicoMT-1FTL-1

Presin, esfuerzop, , ML-1T-2FL-2

Velocidad de deformacin T-1T-1

Velocidad angular, T-1T-1

Viscosidad ML-1T-1FTL-2

Viscosidad cinemticaL2T-1L2T-1

Tensin superficialMT-2FL-1

Fuerza FMLT-2F

Momento parTML2T-2FL

Potencia PML2T-3FLT-1

Trabajo, energa W, EML2T-2FL

Densidad ML-3FT2L-4

Peso especifico ML-2T-2FL-3

Masa MMFT2L-1

Mdulo de elasticidadEML-1T-2FL-2

4.- El principio de la homogeneidad dimensional. Si una ecuacin expresa correctamente una relacin entre variables de un proceso fsico, debe ser dimensionalmente homognea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones. Todas las ecuaciones deducidas mediante la teora de la mecnica son de esta forma. Por ejemplo, consideramos la relacin que expresa el espacio que recorre un cuerpo en cada libre en funcin del tiempo:

Cada trmino de esta ecuacin es una longitud y tiene la dimensin (L). La ecuacin es dimensionalmente homognea. Obsrvese que se puede utilizar cualquier sistema coherente de unidades para calcular el resultado. Considerando la ecuacin de Bernoulli para un fluido incompresible:

Todos los trminos, incluyendo la constante, tienen dimensiones de velocidad al cuadrado (LT). La ecuacin es dimensionalmente homognea y da el resultado apropiado para todo sistema coherente de unidades. Los estudiantes deben tener en cuenta la homogeneidad dimensional y utilizarla para comprobar sus resultados cuando no puedan recordar una ecuacin durante el examen. Por ejemplo, Cul de las dos relaciones es verdadera ? O Chequeando las dimensiones, desestimamos la segunda relacin y sustituimos as la falta de memoria. Estamos sacando provecho del principio de homogeneidad dimensional, y este captulo se limita a explotarlo an ms. 5.- Utilizacin de grupos adimensionales. Nmero de Reynolds: se usa siempre y es la relacin entre inercia y viscosidad.

Nmero de Mach: se usa para flujos compresibles, es la relacin entre velocidad del flujo y velocidad del sonido.

Nmero de Froude: se utiliza en flujos con superficie libre y es la relacin entre inercia y gravedad.

Nmero de Weber: utilizado para flujos con superficie libre y es la relacin entre inercia y tensin superficial.

Nmero de Rossby: utilizado para flujos geofsicos y es la relacin de velocidad de flujo entre efecto de Coriolis.

Nmero de cavitacin (nmero de Euler): utilizado para cavitacin y es la relacin entre presin e inercia.

Nmero de Prandtl: utilizado para conveccin de calor y es la relacin entre disipacin y conduccin.

Nmero de Eckert: es utilizado para la disipacin y es la relacin entre energa cintica y entalpia.

Relacin de calores especficos: utilizado en flujos compresibles y es la relacin entre entalpia y energa interna.

Nmero de Strouhal: su uso es para flujos oscilatorios y es la relacin de oscilacin entre velocidad media.

Rugosidad relativa: es utilizado para flujo turbulento y pared rugosa, es la relacin entre rugosidad y longitud del cuerpo.

Nmero de Grashof: utilizado para conveccin natural y es la relacin entre flotabilidad y viscosidad.

Nmero de Raileight: utilizados en conveccin natural y es la relacin entre flotabilidad y viscosidad.

Relacin de temperaturas: utilizados para el transporte de calor y es la relacin entre temperatura de la pared y temperatura de la corriente.

Coeficiente de presin: son utilizados en aerodinmica e hidrodinmica y es la relacin entre presin esttica y presin dinmica.

Coeficiente de sustentacin: usados en aerodinmica e hidrodinmica y es la relacin entre sustentacin y fuerza dinmica.

Coeficiente de resistencia: utilizados en aerodinmica e hidrodinmica y es la relacin entre resistencia y fuerza dinmica.

Coeficiente de friccin: usados en flujos en tuberas y es la relacin de perdida de carga por ficcin entre altura de velocidad.

Coeficiente de friccin superficial: usados en capa limite y es la relacin entre esfuerzo cortante en la pared y presin dinmica.

6.- Similitud. Modelo y Prototipo.6.1.- Similitud Geomtrica. Un modelo y un prototipo son geomtricamente semejantes si, y solo si, todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tienen la misma relacin de escala lineal. Todas las longitudes deben estar referidas a la misma escala. Si el modelo est hecho a un dcimo del prototipo, su longitud, anchura y altura deben ser 10 veces ms pequeas. No slo eso sino que cualquiera de sus dimensiones deben ser diez veces ms pequea, y, tcnicamente estaremos hablando de puntos homlogos, que son los puntos que tienen la misma posicin relativa. La similitud geomtrica requiere que todos los puntos homlogos estn relacionados por la misma relacin de escala lineal. Esto se aplica tanto a la geometra del fluido como del modelo. Tambin todos los ngulos se conservan, las direcciones de flujo, la orientacin del modelo y del prototipo con respecto a los objetos de los alrededores debe ser idntica. Todos los detalles del modelo deben estar a escala.6.2.- Similitud Cinemtica. Exige que todas las relaciones entre longitudes homologas del modelo y prototipo tengan el mismo valor, que se denomina relacin de escala de longitudes, y tambin que todas las relaciones entre tiempos homlogos tengan un valor comn, que se denomina relacin de escala de tiempos. Entonces habr una nica relacin de escala de velocidades. Los movimientos de dos sistemas son cinemticamente similares si partculas homlogas alcanzan puntos homlogos en instantes homlogos (Langhaar). La equivalencia de las escalas de longitud implica simplemente similitud geomtrica pero la equivalencia de las escalas de tiempo puede exigir consideraciones dinmicas adicionales tales como igualdad de los nmeros de Reynolds y de Mach. El Flujo sin friccin y sin superficie libre de un fluido incompresible (que se esquematiza en la figura), este tipo de fluidos son cinemticamente similares con escalas de longitud y tiempo independientes y no son necesarios parmetros adicionales.

El flujo sin friccin y con superficie libre (como el que se muestra en la figura) son cinemticamente similares si sus nmeros de Froude son iguales:

El nmero de Froude es un parmetro puramente cinemtico que slo relaciona magnitudes con dimensiones de longitud y tiempo. Si la escala de longitud es:

Dnde: , factor adimensional La escala de velocidades es:

Y la escala de tiempo es:

Periodo TpOndas Prototipo

Ondas ModeloPeriodo

6.3.- Similitud Dinmica. Cuando el modelo y el prototipo tienen la misma relacin de escala de longitudes, de tiempos y de fuerzas (o de masa). La similitud geomtrica es el primer requisito; en caso contrario no se debe proseguir. La similitud dinmica existe simultneamente con la cinemtica, si todas las fuerzas en modelo y prototipo en modelo y proporcin, entonces:1. Flujo Compresible: los nmeros de Reynolds y Mach del modelo y el prototipo y la relacin de calores especficos son iguales.1. Flujo incompresible: Sin superficie libre: los nmeros de Reynolds del modelo y prototipo son iguales. Con superficie libre: los nmeros de Reynolds, Froude y (si intervienen) los de Weber y de cavitacin son iguales en el modelo y el prototipo.7.- Teorema fundamental del anlisis dimensional. Si una ecuacin de k variables es dimensionalmente homognea, se puede reducir a una relacin entre k r productos adimensionales independientes, donde r es el nmero mnimo de dimensiones de referencia necesarias para describir las variables.

7.1.- Teorema Pi de Buckingham. El teorema de Pi se basa en la idea de homogeneidad dimensional, esencialmente se supone que para cualquier ecuacin con sentido fsico en el que aparecen k variables, como u1 = f (u2, u3,, uk) Las dimensiones de la variable del miembro izquierdo deben ser iguales a las dimensiones de cualquier trmino que aparezca en el miembro derecho de la igualdad. Entonces se concluye que la ecuacin se puede reordenar en un conjunto de productos adimensionales (trminos Pi) de modo que1 = (2, 3,, k-r) El nmero necesario de trminos Pi es menor por r que el nmero de variables originales, donde r est determinado por el mnimo numero de dimensiones de referencia necesarias para describir la lista original de variables. Casi siempre las dimensiones de referencia necesarias para describir las variables son las dimensiones bsicas M, L y T o F, L y T. Sin embargo, en algunos casos quiz solo se requieran dos dimensiones, como L y T, o quiz slo una, como L. Tambin, en unos cuantos casos excepcionales las variables se pueden describir por medio de alguna combinacin de dimensiones bsicas, como M/T2 y L y en este caso r sera igual a dos en vez de tres. 7.2.- Lineamientos para elegir los parmetros repetitivos. Para formar los productos adimensionales, o trminos Pi, que se presentan en el anlisis dimensional se pueden usar varios mtodos. Esencialmente, se busca un mtodo con el que sea posible formar de manera sistemtica los trminos de Pi de modo que se tenga la certeza de que son adimensionales e independientes, y que su nmero sea correcto. El mtodo que se describir en detalle se denomina mtodo de las variables repetitivas. Paso 1. Enumerar todas las variables que aparecen en el problema. Este paso es el ms difcil y, por supuesto, es sumamente importante que se incluyan todas las variables pertinentes. En caso contrario, el anlisis dimensional no ser correcto. El trmino variable se usa para contemplar cualquier cantidad, incluyendo constantes dimensionales o adimensionales, que participe en el fenmeno bajo investigacin. Todas las cantidades se deben incluir en la lista de variables que sern consideradas en el anlisis dimensional. La determinacin de las variables se debe efectuar con base al conocimiento que el experimentador tenga sobre el problema y en las leyes fsicas que rigen el fenmeno. De ordinario, en las variables se incluir a aquellas que son necesarias para descubrir la geometra del sistema (como el dimetro de la tubera), definir cualquier propiedad del fluido (como la viscosidad) e indicar los efectos externos que afectan al sistema (como una presin impulsora). Se pretende que estas clases generales de variables sean categoras amplias que deben ser tiles para identificar variables. Sin embargo, es probable que haya variables que no entren fcilmente en alguna de estas categoras, por lo que cada problema se debe analizar con cuidado. En virtud de que se desea tener un nmero reducido de variables, de modo que se pueda disminuir la cantidad de trabajo de laboratorio, es importante que todas las variables sean independientes. Por ejemplo, si en un problema el rea de la seccin transversal de una tubera es la variable importante, se podra usar el rea o el dimetro de la tubera, pero no ambos, ya que evidentemente no son independientes. De manera semejante, si tanto la densidad del fluido , como el pesos especifico, , son variables importantes, se pueden enumerar y , o y g (aceleracin de la gravitacin), o y g. Sin embargo, sera incorrecto usar estas tres variables, ya que = .g; es decir, , y g no son independientes. Obsrvese que aunque g normalmente seria constante en un experimento dado, este hecho es irrelevante por lo que toca al anlisis dimensional. Paso 2. Expresar cada una de las variables en trminos de dimensiones bsicas. Para problemas de mecnica de fluidos, las dimensiones bsicas son M, L, y T o F, L y T. Dimensionalmente, estos dos conjuntos se relacionan por medio de la segunda ley de Newton (F = ma) de modo que F = MLT-2. Por ejemplo, = ML-3 o = FL-4T2. As, se puede usar cualquier conjunto. En la tabla X se muestran las dimensiones bsicas para variables comunes en problemas de mecnica de fluidos. Paso 3. Determinar el nmero requerido de trminos Pi. Esto es posible mediante el teorema Pi de Buckingham, el cual indica que el nmero de trminos Pi es igual a k r, donde k es el nmero de variables del problema (que se determin en el paso 1) y r es el nmero de dimensiones de referencia necesaria para describir estas variables (que se determin en el paso 2). Las dimensiones de referencia suelen corresponder a las dimensiones bsicas, y se pueden determinar por inspeccin de las dimensiones de las variables obtenidas en el paso 2. Como ya se observ, hay ocasiones (usualmente excepcionales) en que las dimensiones bsicas aparecen en combinaciones, de modo que el nmero de dimensiones de referencia es menor que el nmero de dimensiones bsicas. Paso 4. Elegir un nmero de variables repetidas, donde el nmero necesario es igual al nmero de dimensiones de referencia. Esencialmente, lo que se hace es elegir la lista original de variables varias, de las que se se puedan combinar con cada una de las variables restantes para formar un trmino Pi. Todas las dimensiones de referencia se deben incluir en el grupo de variables repetidas, y cada variable que se repite debe ser dimensionalmente independiente de las otras (es decir, las dimensiones de una variable que se repite no puede ser reproducidas por ninguna combinacin de productos de potencias de las variables restantes repetidas). Esto significa que las variables repetidas no se pueden combinar para formar un producto adimensional. Para cualquier problema dado normalmente se tiene inters de determinar como una variable particular es afectada por las dems. sta se considera como la variable dependiente y conviene que aparezca slo en un trmino Pi. As, no elegir la variable dependiente como una de las variables repetidas, ya que stas en general aparecern en ms de un trmino Pi. Paso 5. Formar un trmino Pi multiplicando unas de las variables que no se repiten por el producto de las variables repetidas, cada una elevada a un exponente que haga adimensional la combinacin. Esencialmente, cada termino Pi es de la forma uiuai1ubi2uci3, donde ui es una de las variables que no se repiten; u1, u2 y u3 son las variables repetidas, y los exponentes ai, bi y ci estn determinados de modo que la combinacin es adimensional. Paso 6. Repetir el paso 5 para cada una de las dems variables que se repiten. El conjunto resultante de trminos Pi corresponden al nmero requerido que se obtuvo en el paso 3. En caso contrario, se debe comprobar el trabajo realizado: es posible que se haya cometido un error. Paso 7. Comprobar todos los trminos Pi resultantes para asegurarse que es adimensional. Es fcil equivocarse al obtener los trminos Pi. Sin embargo, esto se puede comprobar sustituyendo simplemente las dimensiones de las variables en los trminos Pi para confirmar que todos son adimensionales. Una forma aceptable para hacer lo anterior es expresar las variables en trminos de M, L, y T si inicialmente se usaron las dimensiones bsicas F, L y T, o viceversa, y luego comprobar para tener la certeza de que los trminos Pi son adimensionales. Paso 8. Expresar la forma final como una relacin entre los trminos Pi y pensar en su significado. En general, la forma final se puede escribir como1 = (2, 3,, k-r) Donde 1 debe contener la variable dependiente en el numerador. Se debe recalcar que si se comenz con la lista correcta de variables (y los dems pasos se efectuaron correctamente), entonces para describir el problema se puede usar la relacin en funcin de los dems trminos Pi. Basta trabajar con los trminos Pi, no con las variables individuales. Sin embargo, se debe observar claramente que es hasta aqu que se puede llegar con el anlisis dimensional; es decir, la relacin funcional real entre los trminos Pi se debe determinar experimentalmente.8.- Ejemplos de aplicacin de anlisis dimensional. 8.1.- Se supone que la velocidad de un cuerpo (V) de masa (m) que cae libremente a travs de una distancia (h) depende de m y h, de la constante gravitacional (g) y de la velocidad inicial (Vo). Demuestre que la relacin entre V y estas cantidades puede ser de la forma:

V est en funcin de [m, h, g y Vo] Expresando de manera dimensional cada parmetro; V = LT-1, g = LT-2, h = L y Vo = LT-1 Sustituyendo cada parmetro dimensional en la formula;

Reorganizando los trminos;

Queda demostrado que la relacin entre V y estas cantidades puede ser de la forma:

Ya que el trmino es un parmetro adimensional. 8.2.- Demuestre que el caudal Q, que pasa por un orificio depende de la densidad y la viscosidad absoluta del fluido, del dimetro del orificio y de la diferencia de presin al pasar por el orificio. Q est en funcin de [, , o y P] Donde es la densidad del fluido, es la viscosidad absoluta del fluido, o es el dimetro del orificio y P la diferencia de presin al pasar por el orificio.Utilizando la ecuacin:

Donde Q es el caudal del fluido, C es un coeficiente adimensional, Ao es el rea de la superficie, P la diferencia de presin al pasar por el orificio, es la viscosidad absoluta del fluido y la viscosidad cinemtica del fluido. Si y Nos queda;

Expresando de manera dimensional cada parmetro; Q = L3T-1, = L, P = ML-2 y = MT2L-4 Sustituyendo cada parmetro dimensional en la formula;

Queda demostrado que el caudal Q, que pasa por un orificio depende de la densidad y la viscosidad absoluta del fluido, del dimetro del orificio y de la diferencia de presin al pasar por el orificio utilizando la ecuacin:

8.3- Encontrar la relacin entre los siguientes parmetros: , V, , , , D. Exprese todos los parmetros en funcin de dimensiones primarias solamente.Expresando todos los parmetros en funcin de las dimensiones primarias:

est en funcin de [V, D, , y k] Donde k es un coeficiente adimensional en funcin de la rugosidad, tenemos que;

Si le asignamos a cada parmetro un exponente a, b, c, d y e para determinar que la combinacin es adimensional, quedaran definidos de la siguiente manera;

Donde C es un coeficiente adimensional, expresamos la ecuacin de la siguiente manera;

Agrupando parmetros semejantes en la ecuacin;

Estableciendo un sistema de ecuaciones para resolver las ecuaciones en los exponentes, tenemos;(1) 1 = c + d(2) -2 = a + b 4c 2d(3) 0 = -a + 2c + dDe (1): c = 1 d (4)Sustituyendo (4) en (2): a + b 4(1 d) 2d = - 2 a + b 4 + 4d 2d = - 2 a + b + 2d = 2 (5)Sustituyendo (4) en (3):-a + 2(1 d) + d = 0-a + 2 2d + d = 0-a d + 2 = 0a = 2 d (6)Sustituyendo (6) en (5): (2 d) + b + 2d = 2b + d = 0b = -d Por tanto nuestra ecuacin quedara:

Organizando la ecuacin en funcin de los exponentes;

Aplicando el nmero de Reynolds.

Se incluye ke dentro del coeficiente adimensional dado que es un nmero. 8.4.- Un problema de flujo se encuentra gobernado por las siguientes variables: P, V, L, , , E, y . Determine el nmero mnimo de parmetros adimensionales que se genera.Nota: exprese todos los parmetros en funcin de dimensiones primarias solamente.