03 Analisis Dimensional

ANÁLISIS DIMENSIONAL

M. en C. RICARDO ROBERTO HORTA OLIVARESPROFESOR DE LA ACADEMIA DE BIÓNICA.

Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.

Ejemplo 1, 1ª Y 2ª Leyes de NewtonGalileo hizo un gran avance en la comprensión delmovimiento cuando descubrió el Principio de Inercia: siun objeto se abandona y, si no es perturbado, continúamoviéndose con una velocidad constante en una línearecta si es que estaba originalmente moviéndose ócontinúa en reposo si es que estaba en reposo.


Por ejemplo:


( )

tLv

vtLvtmL

bcdatMLtLtMLvtmL dcbdaddcba

=∴⋅

==Π

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−+−

: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,

11011

11

Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, L, m y t, con la variación de L en el tiempo (v,velocidad), aplicamos el Teorema de Buckingham.Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un productoadimensional Π1:


Newton escribió 3 leyes, la 1ª ley fueuna mera confirmación del Principio deInercia de Galileo. La 2ª ley dio unamanera específica para determinarcomo la velocidad cambia bajodiferentes influencias llamadas“fuerzas”. La 3ª ley describe lasfuerzas con algún detalle de laigualdad de la acción y reacción. La 2ªLey de Newton sostiene que lasfuerzas cambian el movimiento de unobjeto de este modo: “la variacióntemporal de una cantidad llamadamomentum (p) es proporcional a lafuerza”.


Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, L, m, y v con la cantidad demasa en movimiento (p, momentum), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo quen – k = 1. Un producto adimensional Π1:

( )

vmppmvpvmL

acdbtMLtLMtLMLpvmL dcdbdcadddccba

⋅=∴==Π

==−=⇒=

==Π=Π

−

−−+++−−


11101

11


De nuevo, para conocer la relación entre nuestrasnuevas tres variables básicas, L, t, y p con lavariación de p en el tiempo (F, fuerza), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

( )

naceleració

:Con


11101

2211

=

=⋅=∴⋅=⇒

=∴⋅

==Π

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−−+++−−

atvaamF

tvmF

tpF

tFpFptL

abdctMLtLMtLMtLFptL dcbdcdcadddcccba


Ejemplo 2, Definiciones Eléctricas.En el S.I. De unidades, por acuerdo internacional, seha aceptado que para medir la intensidad de unacorriente eléctrica se use el amperio, nombre querecuerda al sabio físico y matemático francés, AndréMarie Ampere; para la diferencia de potencial, elvoltio, como reconocimiento a Volta y para laresistencia eléctrica el ohmio, para perpetuar lamemoria del sabio alemán descubridor de la ley.

La corriente eléctrica es una corriente de electrones(Q), por consiguiente, el número de ellos en ciertolapso de tiempo (t) a través de una resistenciaunitaria (R) es lo que se llama intensidad decorriente eléctrica.


Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, Q, t, y R con la variación de Q en el tiempo (I,corriente), cantidad de carga en movimiento, aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

( )

tQI

ItQItQR

acdbtQRtQtQRItQR dcdbaddcba

=∴⋅

==Π

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−+−


11101

11


El físico alemán, George Simón Ohm, despues de unaserie numerosa de experimentos para fijar los factoresque afectan a la corriente eléctrica, estableció en 1827la relación que existe entre ellos y enunció su ley comosigue: “La intensidad de una corriente eléctrica (I )varía directamente proporcional a la diferencia depotencial (V ) e inversamente a la resistencia delconductor (R )”


Ahora, para conocer la relación entre nuestras tresvariables básicas, I, t, y R con el potencial eléctricoproducido en una resistencia unitaria por una corrienteunitaria (V, voltaje), aplicamos el Teorema deBuckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1.Un producto adimensional Π1:

( )

IRVVRIVIRt

acdbIRtIRIRtVIRt dcdbaddcba

⋅=∴==Π

==−=⇒=

==Π=Π

−

++


11101

11


Así pues, se define el ohmio como “la resistencia quepresenta un conductor que al aplicarle entre susextremos una diferencia de potencial de un voltio, esrecorrido por una corriente de un amperio”.

Así mismo el voltio es definido como “la diferencia depotencial eléctrico (V ) que existe entre dos puntos deun hilo conductor (R ), que transporta una corrienteconstante de un amperio (I ), cuando la potenciaeléctrica (P ) disipada entre estos dos puntos es igual aun Vatio”.


Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, I, R, y V con la potenciaeléctrica disipada en una resistencia unitaria por unacorriente y potencial unitarios (P, potencia), aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

( )

RVRIP

IVPPVIPVIR

acdbVIRVIVIRPVIR dcdbaddcba

22

11101

11

:ó


==

⋅=∴⋅

==Π

==−=⇒=

==Π=Π

−

++


Ejemplo 3La fuerza de arrastre Fa que actúa sobre un cuerpo(esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad µ[M/LT] y densidad ρ [M/L3], es una función deldiámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto conrelación al fluido. Determinar (a) la forma de laecuación de esta fuerza y (b) la fuerza de arrastre deuna esfera del doble de tamaño a la misma velocidad.

Número de variables:

Número de dimensiones:

Número de GruposAdimensionales:

5

3 y sean D, v y ρ.

5-3=2


Resolvemos para Π1 :

dbdcdcba

dddccbba

dcba

TMLTLMLMTLL

vD

−−+−−+

−−−−

=Π

=Π

Π=Π

31

31

11 )( µρ

(a) Tenemos: ),,,( µρvDFa =


Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:

1y 111

00

03

==

−=⇒

=

=−−

=+

=−−+

acdbSea

dbdc

dcba

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

µρ

µρDvvD 1

111111 )(

Que es el Número de Reynolds (Re), que es larazón de la Fuerza de Inercia a la de fricción.



dbdcdcba

dddccbba

da

cba

TMLTLMLMTLL

FvD

232

232

22 )(

−−++−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π ρ


1y

1

020

03

21

21

==

−=⇒

=

=−−

=+

=+−+

acdbSea

dbdc

dcba


Π=

Π=Π=Π −

aaa F

vDF

DvFvD ρρρ

22

2211

22 )( 21

21

Por lo tanto:

De acuerdo con Buckingham:

( )

Re

1

1,

2222

22

21

210

ρµρ

ρ

ρµρ

vDvDvDF

FvDvD

f

a

a

=

=

=

Π⋅

Π

=ΠΠ=Π


(b) Por el principio de similitud, tenemos queD 2=2 D 1 y v1=v2:

12

2

21

1

21

2

22

1

21

2

22

22

2

1

12

12

1

4

4

aa

aaaa

aa

FFFD

FD

FD

FD

FvD

FvD

=⇒

=∴=

=ρρ


Ejemplo 4, Grupos Adimensionales en la Mecánica de Fluidos.

La fuerza de inercia FI que actúa sobre una burbuja quese mueve por un fluido de viscosidad µ [M/LT] y densidadρ [M/L3], es una función del diámetro D [L] y de lavelocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido.Determinar la forma de las ecuaciónes de las fuerzasdebidas a: la gravedad g [L/T2]; normales o de presión p[M/T2L]; fricción, debidas a la viscosidad µ; tangenciales,debidas a la tensión superficial σ [M/T2]; normales,debidas a la compresibilidad κ [M/LT2].Número de variables:Número de dimensiones:Número de GruposAdimensionales:

93 y sean D, v y ρ.

9-3=6



dbdcdcba

dddccbba

dI

cba

TMLTLMLMTLL

FvD

230

230

00 )(

−−++−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π ρ

Tenemos: κσµ FFFFFamF pgI ++++=⋅=



1y

1

020

03

21

21

==

−=⇒

=

=−−

=+

=+−+

acdbSea

dbdc

dcba

Por lo tanto:

Π=

Π=Π=Π −

III F

vDF

DvFvD ρρρ

22

0011

00 )( 21

21

Es decir: ρ22vDFI =



dbcdcba

ddccbba

dcba

TMLTLLMTLL

gvD

231

231

11 )(

−−+−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π ρ

Tenemos: ρ22vDFI =



21

21

y 0

1

020

03

−==

−=⇒

=

=−−

=

=+−+

acdbSea

dbc

dcba

Por lo tanto:

⋅Π=Π=Π −−

gDvgvD 1

0111 )( 2

121

ρ

Que es el Número de Froude (Fr), la razón de laFuerza de Inercia a la de gravedad.


Por lo tanto, la Fuerza debida a la gravedad es:

ρρ gD

DgvvD

FFFr

Ig

32

22

===



dbdcdcba

dddccbba

dcba

TMLTLMLMTLL

pvD

232

232

22 )(

−−+−−+

−−−−

=Π

=Π

ΔΠ=Π ρ

Tenemos: ρ22vDFI =



0y

1

020

03

21

21

==

−=⇒

=

=−−

=+

=−−+

acdbSea

dbdc

dcba

Por lo tanto:

ΔΠ=

ΔΠ=ΔΠ=Π −

pv

pvpvD ρρ

ρ2

2210

22 )( 21

21

Que es el Número de Euler (Eu), la razón de laFuerza de Inercia a la de presión.


Por lo tanto, la Fuerza debida a la presión es:

pD

pvvD

EuFF I

p Δ=

Δ

== 22

22

ρρ


Resolvemos para Π3:

dbdcdcba

dddccbba

dcba

TMLTLMLMTLL

vD

−−+−−+

−−−−

=Π

=Π

Π=Π

33

33

33 )( µρ

Tenemos: ρ22vDFI =



1y 111

00

03

==

−=⇒

=

=−−

=+

=−−+

acdbSea

dbdc

dcba

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

µρ

µρDvvD 3

111133 )(

Que es el Número de Reynolds (Re), la razón dela Fuerza de Inercia a la de fricción.


Por lo tanto, la Fuerza debida a la fricción es:

µ

µρρ

µ DvDvvDFF I ===22

Re



dbdccba

ddccbba

dcba

TMLTMLMTLL

vD

234

234

44 )(

−−+−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π σρ

Tenemos: ρ22vDFI =



21

21

21

y

1

020

03

==

−=⇒

=

=−−

=+

=−+

acdbSea

dbdccba

Por lo tanto:

Π=

Π=Π=Π −

σρ

σρ

σρ2

441

44 )( 21

21

21 DvDvvD

Que es el Número de Weber (We), la razón de laFuerza de Inercia a la tensión superficial.


Por lo tanto, la Fuerza debida a la tensión superficial es:

σ

σρρ

σ DDvvD

WeFF I === 2

22



dbdcdcba

dddccbba

dcba

TMLTLMLMTLL

vD

235

235

55 )(

−−+−−+

−−−−

=Π

=Π

Π=Π κρ

Tenemos: ρ22vDFI =



0y

1

020

03

21

21

==

−=⇒

=

=−−

=+

=−−+

acdbSea

dbdc

dcba

Por lo tanto:

Π=

Π=Π=Π −

ρκκ

ρκρ

vvvD 5510

55 )( 21

21

Que es el Número de Mach (Ma), la razón de la Fuerzade Inercia a la de elasticidad, siendo el radical lavelocidad del sonido en el fluido.


Por lo tanto, la Fuerza debida a la elasticidad es:

κ

κρρ

κ2

2

22

DvvD

MaFF I ===


Ejemplo 5La hemodinámia se encarga de investigar los fenómenosfísicos que gobiernan el flujo de sangre en el sistemacirculatorio. Utilizando el teorema de Buckinghamestablezca las expresiones que describen el flujosanguíneo considerando las siguientes variables: masaM [M], longitud L [L], velocidad v [L/T], densidad ρ[M/L3], viscosidad µ [M/LT] y presión P [ML/(LT)2].

Número de variables:

Número de dimensiones:

Número de GruposAdimensionales:

6

3 y sean M, L y v.

6-3=3



cdadcb

ddccba

dcba

TMLLMTLLM

vLM

−+−+

−−

=Π

=Π

Π=Π

31

31

11 )( µ



3y 11 :

003

0

−=

−=⇒

=

=−

=−+

=+

bdaSea

cdcb

da

Por lo tanto:

Π=Π=Π −−

ρρ 311031

11 )(LMvLM



dcdadcb

dddccba

dcba

TMLTLMTLLM

PvLM

22

22

22 )(

−−+−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π


3y 211 :

020

0

−==

−=⇒

=

=−−

=−+

=+

bcdaSea

dcdcbda


Π=Π=Π −−

PLMvPvLM 32

123122 )(

Por lo tanto:


dcdadcb

dddccba

dcba

TMLTLMTLLM

vLM

−−+−+

−−−

=Π

=Π

Π=Π

3

3

33 )( µ



2y 111 :

00

0

−==

−=⇒

=

=−−

=−+

=+

bcdaSea

dcdcbda

Por lo tanto:

Π=Π=Π −−

µµ 23

112133 )(

LMvvLM


BIBLIOGRAFÍA

STREETER, L. VICTOR, MECÁNICA DE LOS

FLUIDOS, ED. Mc. GRAW-HILL, 1990

AIN A. SONIN, The Phisical Basis of DIMENSIONAL ANALYSIS, 2aEdition, Department of Mechanical

Engineering MIT, Cambridge, MA 02139

GEOFFREY GORDON, SIMULACIÓN DE SISTEMAS, ED. DIANA, 1980

STEPHEN BONE- BOGUMIL ZABA, BIOELECTRONICS, ED. WILEY, 1992

LOWEN SITERER-BOHDAN T. KULAKOWSKI, DINAMIC MODELING ANDCONTROL OF ENGINEERING SYSTEM, EL COLLIER MACMILLAN, 1990

PAUL A. LUKER, BERND SCHMIOT, R. P. VAN WIJK VAN BRIEVING, D. P.F. MÖLLER, BIOMEDICAL MODELING AND SIMULATION ON A PC,ADVANCES IN SIMULATION, ED. SPRINGER-VERLAG, 1993

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