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ANALISIS ESTADISTICO ESPACIAL DE LOS SISMOS

VOLCANOTECTONICOS LOCALIZABLES DEL VOLCAN

GALERAS EN EL PERIODO COMPRENDIDO ENTRE 2010 Y 2012

PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE

INGENIERA CATASTRAL Y GEODESTA

JESSICA ALEJANDRA BRAVO PRIETO

CODIGO: 20141025101

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CATASTRAL Y GEODESIA

BOGOTA, COLOMBIA

2019

ANALISIS ESTADISTICO ESPACIAL DE LOS SISMOS

VOLCANOTECTONICOS LOCALIZABLES DEL VOLCAN


PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE

INGENIERA CATASTRAL Y GEODESTA

JESSICA ALEJANDRA BRAVO PRIETO

CODIGO: 20141025101

Director:

CARLOS EDUARDO MELO MARTINEZ

Ingeniero Catastral y Geodesta

PhD. Estadıstica

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CATASTRAL Y GEODESIA

BOGOTA, COLOMBIA

2019

ANALISIS ESTADISTICO ESPACIAL DE LOS SISMOS VOLCANOTECTONICOS LOCALIZABLES DEL VOLCAN


Agradecimientos

En primer lugar deseo expresar mi agradecimiento al docente director Carlos Eduardo

Melo Martınez, por su dedicacion, apoyo y acompanamiento durante el proceso y desa-

rrollo de este proyecto; asimismo, por cada aporte, por su disposicion y la motivacion que

me brindo en cada una de sus clases y ante cualquier inquietud que surgiera.

Agradezco a el Servicio Geologico Colombiano (SGC) por su disposicion y contribu-

cion, proporcionandome los datos solicitados a el Observatorio Vulcanologico y Sismologi-

co de Pasto (OVSP). Igualmente, a la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas,

a el proyecto curricular Ingenierıa Catastral y Geodesia y a cada uno de los profesores

que marcaron mi formacion profesional con los conocimientos impartidos a lo largo de mi

carrera.

Por el amor, el apoyo, la dedicacion y la paciencia en cada etapa, agradezco a mis

padres; por cada palabra de apoyo y consejo lleno de carino y sabiduria. Gracias por su

acompanamiento, por ensenarme diariamente lo mas importante que es ser persona, ser

los principales promotores de mis suenos, creer en mı y en mis capacidades.

A mi abuelitas quienes son mujeres admirables y que siempre me han motivado a

alcanzar mis metas, llenas de fe y amor; por estar conmigo, ensenarme tanto acerca de la

vida, cuidarme y siempre tener una palabra de aliento ante cualquier situacion.

De la misma manera, a las personas que compartieron conmigo esta etapa que sin

duda es una de las mas importantes de mi vida, a cada uno de los que me apoyaron y de

cierta manera fueron participes de este proceso, gracias por la motivacion.

1



Indice

Indice de figuras 5

1. Resumen Ejecutivo 7

2. Introduccion 8

3. Planteamiento del problema 9

4. Justificacion 10

5. Objetivos 11

5.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Estado del Arte 12

7. Marco Teorico 17

7.1. Sismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.1.1. Sismos Volcanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.1.2. Foco sısmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.1.3. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.1.4. Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.2. Patron puntual espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.3. Estacionariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.4. Isotropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.5. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.5.1. Funcion Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.6. Aleatoriedad espacial completa (CSR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.6.1. Bondad de ajuste χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.6.2. Funcion G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.6.3. Funcion F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2



7.6.4. Funcion K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.6.5. Funcion L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.7. Proceso de Poisson Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.8. Autocorrelacion Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.8.1. Matriz de Pesos Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.8.2. Metodos de Representacion de Distribuciones Espaciales . . . . . 34

7.8.3. Estadısticos Globales de Autocorrelacion Espacial . . . . . . . . . 35

7.9. Regresion OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.9.1. Supuestos del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.10. Modelos de Dependencia Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8. Desarrollo del proyecto 42

8.1. Area de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.1.1. Volcan Galeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.2. Adquisicion de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2.1. Red de vigilancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2.2. Base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2.3. Region delimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.3. Analisis distribucion espacial de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.4. Analisis de Aleatoriedad Espacial Completa (CSR) . . . . . . . . . . . . 54

8.5. Distancia al vecino mas cercano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.6. Funcion G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.7. Funcion F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.8. Funcion K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.9. Funcion L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.10. Estimacion de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.11. Estimacion del modelo para el patron de sismos Volcano-tectonicos del

Volcan Galeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.12. Autocorrelacion Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.12.1. Diagrama de dispersion bivariado de Moran . . . . . . . . . . . . 67

3



8.13. Estimacion del modelo Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.13.1. Regresion OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.13.2. Pruebas modelo regresivo espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.13.3. Modelo regresivo espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9. Conclusiones 77

Referencias 80

4



Indice de figuras

1. Patrones puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Aleatoriedad espacial completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Funcion K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Funcion K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Ubicacion Volcan Galeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Red de monitoreo Volcan Galeras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7. Histograma del porcentaje de funcionamiento de las redes de monitoreo

durante el Primer Semestre de 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


durante el Segundo Semestre de 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46




durante el Segundo Semestre de 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47



12. Mapa de la distribucion espacial de los sismos volcanotectonicos localiza-

bes, periodo 2010-2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13. Region de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14. Mapa de la distribucion espacial de los sismos en el area de estudio. . . . 53

15. Distribucion espacial de los sismos VT del Volcan Galeras (2010-2012) en R 54

16. Test de conteo por cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

17. Histograma de distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

18. Funcion G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

19. Funcion F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

20. Funcion K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

21. Funcion L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5



22. Intensidad estimada mediante Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

23. Intensidad estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

24. Funcion K modelo cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

25. Intensidad modelo cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

26. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

27. Dispersogramas I de Moran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

28. I de Moran Bivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6



1. Resumen Ejecutivo

El estudio de los fenomenos naturales y dinamicas terrestres son de gran importancia

debido a que permiten identificar caracterısticas del territorio y posibles riesgos o amena-

zas presentes en este; aspectos que resultan utiles para prevenir los desastres y perdidas,

haciendo posible la toma de decisiones eficiente ante una emergencia.

Este documento tiene como objetivo realizar un analisis estadıstico espacial de los

sismos volcano-tectonicos localizables registrados en el volcan Galeras, teniendo en cuenta

que la actividad sısmica es una de las caracterısticas mas significativas en la actividad

volcanica. El periodo comprendido para este estudio es de 2010 a 2012, periodo en el que se

presentan alrededor de 5000 registros y a partir de los cuales se analiza su comportamiento

y distribucion, identificando posibles patrones espaciales presentes en esta area de estudio.

7



2. Introduccion

La humanidad constantemente busca entender y establecer mecanismos que le permi-

tan describir los fenomenos naturales presentes en su entorno, este interes ha promovido

la investigacion en las diferentes ramas de la ciencia, especialmente y desde la antiguedad

en el campo de las geociencias, el cual ha sido uno de los mas estudiados debido a la

constante interaccion del ser humano y el territorio que habita.

Las dinamicas terrestres son consideradas en los diferentes procesos de la actividad

humana, principalmente estableciendo caracterısticas propias del territorio para su desa-

rrollo, al igual que los diferentes riesgos y amenazas que pueden estar asociados a este.

Por lo tanto, la geologıa volcanica ha sido uno de los aspectos mas relevantes y de gran

interes, dada la amenaza de la actividad y dinamica de estas estructuras geologicas. De

la misma manera, la imposibilidad de predecir su actividad y las graves consecuencias

que esta produce, han promovido el estudio a procesos tales como la emision de gases y

la sismisidad asociada a los eventos eruptivos de cada volcan.

En este caso en particular se analizaran los eventos sısmicos volcano-tectonicos loca-

lizables del volcan Galeras en el periodo comprendido entre el ano 2010 y 2012, registros

obtenidos por la red de vigilancia y monitoreo del Servicio Geologico Colombiano. Te-

niendo en cuenta que esta estructura corresponde a un estratovolcan activo, siendo uno

de los volcanes a nivel nacional con mayor actividad volcanica y de la misma manera uno

de los que presenta el mas completo registro historico de actividad.

En consecuencia, este proyecto se desarrolla con el fin de realizar un analisis del

patron puntual espacial de los sismos de tipo volcano-tectonico registrados en el periodo

de tiempo mencionado, teniendo en cuenta que los procesos puntuales espaciales son

modelos estocasticos complejos que describen o establecen la existencia de tendencia de

los eventos de interes a presentar un patron determinado en el area de estudio.

8



3. Planteamiento del problema

De acuerdo con la informacion registrada por Gomez et al. (2007), el volcan Galeras

ubicado al sur occidente de Colombia y con nivel de actividad volcanica III segun registros

del Servicio Geologico Colombiano, es uno de los volcanes a nivel nacional que mayor

amenaza natural representa. Lo anterior debido a que es uno de los mas activos y esto de

la mano con la ubicacion espacial que presenta, teniendo en cuenta que un gran numero

de habitantes residen a aproximadamente 6 kilometros del crater activo de la estructura

en cuestion.

Por otro lado, es comun encontrar analisis de patrones puntuales asociados a eventos

sısmicos al interior del territorio colombiano con el fin de entender su distribucion espacial

y evidenciar zonas que presentan mayor actividad categorizandolas como zonas de mayor

amenaza. En la actividad sısmica volcano-tectonica, no se encuentran registros de estudios

de este tipo que resultan utiles teniendo en cuenta que es uno de los principales indicadores

de los niveles de actividad volcanica del Galeras.

9



4. Justificacion

La ubicacion del territorio colombiano es ideal para realizar diferentes estudios, es-

pecialmente de tipo geologico debido a que es un paıs geologicamente muy activo. Su

ubicacion estrategica en el continente Sudamericano lo hace una region con bastante de-

formacion consecuencia de la interaccion de las placas litosfericas Nazca, Sudamerica y

Caribe, razon por la cual es un territorio expuesto constantemente a actividades sısmicas

y eventos volcanicos.

La actividad volcanica se encuentra asociada a cambios en el comportamiento del

volcan, tales como incrementos en la actividad sısmica, emisiones de gas, emisiones de

ceniza, entre otros. De acuerdo con lo mencionado y considerando lo expuesto por Lon-

dono y Franco (1998) en su investigacion, es posible afirmar que la actividad sısmica

volcano-tectonica en la mayorıa de volcanes activos de Colombia no se centra en un solo

punto, esta presenta variaciones espacio-temporales; de tal manera que, en este proyecto

de grado se propone emplear un analisis de patrones espaciales de los eventos sısmicos de

tipo VT registrados en un periodo de tiempo establecido para el volcan Galeras, con el fin

de identificar patrones asociados a la ocurrencia de estos eventos en particular, los cuales

son fundamentales en los analisis de los niveles de actividad volcanica y que facilitan la

toma de decisiones ante una posible emergencia.

En este orden de ideas, es necesario resaltar la importancia del estudio de estas estruc-

turas geologicas dada la relacion existente con las dinamicas de la poblacion. Los edificios

volcanicos a pesar de tener comportamientos diferentes, brindan informacion util acerca

de recursos energeticos y minerales del territorio; por lo tanto, es comun encontrar pobla-

ciones que habitan en sus proximidades desde la antiguedad ya que los suelos volcanicos

son bastante aptos para la agricultura dadas sus propiedades fısicas y quımicas. Estos

escenarios que establecen situaciones de aprovechamiento de recursos y de riesgo o ame-

naza que resultan convenientes para su estudio desde el proyecto de Ingenierıa Catastral

y Geodesia que cuenta con los campos de conocimiento necesarios para tal fin.

10



5. Objetivos

5.1. Objetivo General

Realizar un analisis de los sismos volcano-tectonicos localizables registrados en el

volcan Galeras en el periodo comprendido entre el 2010 y 2012 empleando procesos pun-

tuales espaciales.

5.2. Objetivos Especıficos

Analizar los efectos de primer y segundo orden propios del analisis exploratorio en

patrones puntuales.

Realizar un analisis de correlacion espacial de los datos objeto de estudio.

Determinar los patrones espaciales presentes en el area comprendida por el volcan

Galeras respecto a los registros sısmicos.

11



6. Estado del Arte

La actividad volcanica ha sido estudiada a traves del tiempo y alrededor del mundo

debido a la complejidad que presenta explicar y entender todos los fenomenos naturales

asociados a su comportamiento. Desde el campo de la geologıa se han analizado diferentes

caracterısticas fısicas y quımicas relevantes asociadas a estas estructuras en particular,

las cuales dan alarma ante posibles acontecimientos y a partir de estas es posible to-

mar precauciones ante dicha amenaza; este analisis se establece usualmente de manera

cualitativa y cuantitativa.

Por lo tanto, muchos campos del conocimiento se han involucrado en este estudio,

analizando el vulcanismo desde su juicio teniendo en cuenta los diferentes comportamien-

tos relacionados a este tipo de actividades. En este orden de ideas, se encuentra un gran

numero de investigaciones realizadas fundamentadas en la observacion o monitoreo de la

actividad volcanica, en los cuales se realizan analisis de deformaciones de las estructuras

geologicas, de la emision de gases y la actividad sısmica asociada. Como expone Maeda y

Takano (2011), el monitoreo de volcanes es uno de los campos practicos de la tecnologıa

de deteccion remota, por lo que la mayorıa de los estudios se refieren al uso de interfero-

metria y disciplinas a fin. En el artıculo se establece una metodologıa con el objetivo de

detectar cambios locales y debiles a partir de datos de microondas, es decir, empleando

un radiometro se busca identificar anomalıas antes de una erupcion y se establece para

un continuo monitoreo y prevencion de desastres.

Ahora bien, respecto a los analisis realizados entorno a la actividad sısmica se encuen-

tra el estudio realizado por Inza et al. (2011) en el cual se analiza el volcan Ubinas, Peru y

se establecen arreglos sısmicos de tres componentes para posteriormente ser comparados

con anteriores desarrollados bajo otros parametros y en los cuales son considerados un

numero inferior de componentes; lo anterior se fundamenta bajo la hipotesis planteada

que considera la relacion existente entre la actividad de este volcan y las explosiones

magmaticas de la mano con la presencia de enjambres de sismos, los cuales son aspec-

tos fundamentales que preceden a los eventos volcanicos y permiten entender el proceso

eruptivo de la estructura objeto de estudio. Los datos empleados fueron los obtenidos

12



entre mayo y julio de 2009 por los sismometros ubicados a diferentes profundidades en el

crater y los receptores situados en las posiciones definidas en las matrices experimentales

en forma de cruz.

Teniendo en cuenta que en lo propuesto por Inza et al. (2011) fueron considerados

dos arreglos de tres componentes los cuales hacen referencia a los espaciales, estableci-

dos con el fin de determinar el contra-azimuth y la profundidad asociada a las fuentes

sismo-volcanicas, es posible afirmar que el metodo desarrollado y denominado 3C-MUSIC,

presenta buenos resultados para dicho objetivo debido a que respecto a las demas metodo-

logıas adoptadas fue posible determinar la profundidad de las fuentes sısmicas existentes

en esta estructura geologica. De la misma manera, en el artıculo denominado Spatial dis-

tribution of scatterers in the crust by inversion analysis of coda envelopes: a case study

of Gauribidanur seismic array (Southern India), es posible apreciar otro estudio reali-

zado entorno al analisis de la sismicidad basado en el comportamiento de las ondas de

coda S y las caracterısticas relevantes de estas; para esto se establece una matriz sısmica

de Gauribidanur (GBA) con el fin de realizar un analisis de estas ondas y estimar una

distribucion 3D de los coeficientes de dispersion relativa en el sur de la India (Ugalde

et al., 2006). Lo anterior, basado en estudios que buscan establecer la heterogeneidad de

la estructura en la corteza, los cuales establecen la dispersion de forma aleatoria y no

uniforme de acuerdo al comportamiento de este tipo de ondas.

Sarao et al. (2002) en su artıculo Non-double-couple mechanisms in the seismicity

preceding the 1991–1993 Etna volcano eruption, como su nombre lo indica se realiza un

analisis desde otra perspectiva acerca de la actividad volcanica pero de la misma manera

a partir de la sismicidad presente; el desarrollo de este estudio fue mediante la determina-

cion de las formas de las ondas sısmicas dominantes, considerando los terremotos que se

produjeron antes de la erupcion del volcan Etna en 1991 con el objetivo de investigar la

presencia de mecanismos que no sean de doble pareja. Teniendo en cuenta que el analisis

de componentes que no son de doble pareja presentan problemas en su analisis por las

deficiencias existentes en el modelo estructural, consecuencia de la presencia de ruido en

los registros y que resultan significativos en estudios de sismicidad. De esta manera, se

13



establece que en el procesamiento de los datos se encuentran los componentes que no son

doble-pareja, los cuales son estadısticamente significativos con un nivel de confianza del

95%, los cuales aumentaron antes de las erupciones, corroborando la relacion existente

entre la sismicidad y la actividad volcanica; por lo tanto, se establece que algunas de

las explicaciones fısicas propuestas para los terremotos que no son de doble pareja son

la multiplicidad de la fuente, la ruptura en las superficies de falla no plana y la falla

por traccion a alta presion del fluido o contraccion termica debido al enfriamiento (Sarao

et al., 2002).

El volcan Etna ha sido objeto de interes por sus propiedades y su actividad caracte-

rizada por erupciones tanto efusivas como explosivas en los crateres de la cumbre; por

consiguiete, Cannata et al. (2013) realiza una investigacion basada en el monitoreo de

senales sısmico-volcanicas e infrasonicas en volcanes, tomando como caso de estudio esta

estructura geologica en particular, realizando la observacion del temblor volcanico, even-

tos LP, eventos VLP, eventos infrasonicos y temblor infrasonico, registrados por las redes

sısmicas e infrasonicas permanentes. De la misma manera, Bonanno (2013) habla acerca

del volcan y propone un estudio que considera un analisis multitemporal de las emisiones

de nitrogeno debido a que los gases enriquecidos con este gas desempenan un papel crucial

en la quımica troposferica, los ciclos de nutrientes y de cierta forma en el presupuesto

de radiacion de la Tierra; los datos empleados para este analisis son los obtenidos en el

periodo de 2007 a 2010 en el area urbana cercana al Etna sobre superficies como musgo,

agua y suelo. Estos datos fueron tratados modelando la ubicacion y el ano para cada

una de estas superficies y posteriormente fueron correlacionados con el fin de evaluar su

significancia, obteniendo que el contenido total de nitrogeno estaba por encima del lımite

de deteccion en todas las muestras cuyas concentraciones disminuyeron en un orden de

magnitud (el musgo mayor que el suelo y este ultimo mayor que el agua) (Bonanno, 2013).

Como se evidencio anteriormente, el campo de la estadıstica espacial tambien ha si-

do util en este tipo de investigaciones; como lo expone Perez-Lopez et al. (2014) en su

artıculo, donde establece que el analisis geoestadistico es una herramienta poderosa pa-

ra buscar anisotropıas espaciales relacionadas con procesos geodinamicos. En su estudio

14



Perez-Lopez et al. (2014) propone realizar a partir de un conjunto de volcanes monoge-

neticos de Mexico, una estimacion geoestadıstica del espesor de la corteza; para esto, se

generan variogramas experimentales para modelar la estructura espacial subyacente para

los datos de Wcrust, datos que presentan valores que son considerados variables regiona-

lizadas. Este analisis establece la relacion empırica existente entre el diametro basal y el

grosor de la corteza continental, fijando para el caso particular del campo volcanico de

Guanajuato Michoacan un conjunto de datos de poblacion de Wcrust limitado entre 5 y

33 km de ancho.

Por otro lado, Auker et al. (2013) investiga el registro historico de mortalidad humana

por actividad volcanica, mediante un analisis estadıstico, esto con el objetivo de tener

una idea acerca de las causas de los desastres volcanicos y comprender los principales

controles sobre la perdida de vidas. Para esto, se emplearon varias bases de datos que

presentan registros sobre muertes volcanicas, lesiones, evacuaciones, danos economicos

y otras variables. Finalmente, estableciendo un analisis mediante series de tiempo con

los datos recopilados en un periodo amplio de tiempo y un gran numero de registros,

se afirma que la tasa de registro es bastante constante a lo largo de los siglos XVII y

XVIII, posterior a esto se evidencia una tasa creciente hasta anos recientes. Otro estudio

de interes se encuentra en el artıculo Spatial and temporal distributions of b-value in and

around Shinmoe-dake, Kirishima volcano, Japan, en el que se analizan las variaciones

espaciales y temporales de los valores b asociados a los terremotos volcano-tectonicos con

el fin de comprender la actividad eruptiva e investigar el sistema de plomerıa de magma

en y alrededor del volcan Shinmoe-Dake.

El analisis realizado por Chiba y Shimizu (2018) respecto a la distribucion espacio

temporal de estos valores, establece que las variaciones pueden interpretarse como las con-

secuencias sısmicas de la activacion de pequenas grietas cerca de la camara de magma,

como resultado del desarrollo de la circulacion hidrotermal relacionada con la erupcion

freatica de 2010 y la formacion de grietas relacionadas con la erupcion de 2011, compor-

tamiento que produce terremotos de mayor magnitud. Lo anterior teniendo en cuenta

que se presenta un aumento temporal en el valor b (b = 1.4) debajo de la cumbre desde

15



principios de 2009, seguido de una disminucion en este valor(b = 0.9) en la misma region

durante la erupcion de 2011.

Un estudio similar fue realizado en el volcan Galeras, en el cual Sanchez et al. (2005)

propone el mapeo espacial de los valores de b establecidos a partir de la determinacion

de la magnitud (Mc) de la red de sismografos y luego seleccionando un subconjunto de

datos optimos; esto se realiza empleando los registros de los sismos volcano-tectonicos en

el periodo comprendido entre 1995 y 2002. De este estudio se tiene que el valor b promedio

entre septiembre de 1995 y junio de 2002 comienza en b = 1.46 a poca profundidad, este

disminuye gradualmente a b = 1.0 a 7 km de profundidad, posteriormente disminuye

rapidamente a b = 0.7 a una profundidad de 8 km y debajo de esta profundidad, los

valores b oscilan entre 0.7 y 0.9; por otro lado, se determina que por debajo de los 14

km de profundidad, la cantidad de terremotos no es suficiente para estimar de manera

confiable los valores b (Sanchez et al., 2005).

16



7. Marco Teorico

7.1. Sismos

Los sismos son definidos como perturbaciones subitas en el interior de la tierra, las

cuales dan origen a vibraciones o movimientos en la superficie, estableciendo como causa

principal de estos eventos la ruptura y fractura de las rocas en las capas mas externas de

la corteza terrestre.

De la misma manera, Tarbuck y Lutgens (2005) exponen que un sismo es la vibracion

de la Tierra producida por una rapida liberacion de energıa y en este orden de ideas, esta-

blecen que frecuentemente estos se producen por el deslizamiento de la corteza terrestre

a lo largo de una falla; la energıa que estas perturbaciones liberan, se irradia en todas las

direcciones desde su origen, denominado foco o hipocentro, en forma de ondas.

La ciencia encargada de estudiar estos eventos se denomina sismologıa, analizando

aspectos relacionados con la ocurrencia de temblores o sismos y por lo tanto, es una rama

de la geofısica que se encarga del estudio de la distribucion espacial y temporal de estos

eventos, a partir de la recopilacion de datos como la fecha y hora en el que ocurre cada

uno de estos, igualmente datos asociados a la posicion geografica y magnitud.

La determinacion y el analisis de los parametros de un sismo resulta relevante desde

el punto de vista teorico, tal como lo expone OSSO (2003), que afirma que a partir de

valores hipocentrales y tiempos de origen, es posible determinar tiempos de recorrido de

las ondas sısmicas; de la misma manera que el estudio de la propagacion de dichas ondas

permite conocer las propiedades fısicas de la Tierra, estableciendo ası informacion acerca

de las zonas de riesgo, entre otros.

7.1.1. Sismos Volcanicos

Son una clasificacion de los sismos existentes al interior del planeta, estos de acuerdo

con Duque (2017) son el 7% de los sismos y se presentan a menos de 20 Kilometros de

profundidad. A diferencia de las demas clases de sismos, la aureola de danos es de pocos

Kilometros, comparativamente, esto se debe a que el foco es muy puntual y gran parte

17



de la energıa se libera en la atmosfera.

Estos sismos se presentan cuando las burbujas del magma alcanzan la zona rıgida de

la corteza y los volatiles disueltos cambian a la fase gaseosa, si la presion del fundido es

suficiente, se provoca el emplazamiento del magma en regiones superiores y el escape de

gases que deforman y fracturan la corteza. (Duque, 2017)

La magnitud de estos sismos y el desplazamiento de los focos resulta util generalmente

en el analisis de la velocidad de ascenso del magma y su volumen. La interpretacion

de estos fenomenos generalmente es corroborada considerando la dinamica que muestre

la extension del campo o de deformaciones y la intensidad de las deformaciones en la

superficie.

7.1.2. Foco sısmico

El foco sısmico, como lo expone OSSO (2003) es el lugar en tiempo y espacio donde

se produce la concentracion de energıa y a partir del cual esta se propaga en forma de

ondas sısmicas. Los parametros que determinan el foco puntual de un sismo son:

Coordenadas geograficas (latitud y longitud), relacionadas al epicentro en la super-

ficie.

La profundidad, es decir, la distancia hacia el interior de la tierra a partir del

epicentro; la profundidad mas el epicentro, determinan el hipocentro.

El tiempo de origen, el cual se refiere al momento a partir del cual se inicio la

liberacion de energıa en forma de ondas sısmicas.

Estos parametros son determinados mediante la implementacion del sismometro y las

redes sismologicas que estos conforman; en este orden de ideas, son registrados en una o

varias estaciones de las ondas de cuerpo producidas por el sismo.

7.1.3. Intensidad

Duque (2017) establece que la intensidad hace referencia a los danos causados por un

evento sısmico, por lo que es subjetiva, depende de la calidad de construccion y el tipo

18



de suelo; es decir, un sismo puede mostrar intensidades diferentes, en lugares diferentes.

Esta se califica con la escala Mercalli-Cancani la cual considera 12 grados.

7.1.4. Magnitud

La magnitud es considerada segun UNAM (2014) un numero que tiene como objetivo

caracterizar el tamano de un sismo y la energıa liberada, de manera que se mide en una

escala logarıtmica y por lo tanto, cada unidad de magnitud corresponde a un incremento

de raız cuadrada de 1000.

La magnitud se mide en la escala de Richter y de acuerdo con OSSO (2003) cada

sismo tiene una sola magnitud y esta toma valor de cero si la amplitud instrumental en

un sismografo patron, ubicado a 100 Kilometros del foco, es 100 micras, es decir, de una

micra. Magnitud 3 si es de 103 micras o sea de 1 milımetro; magnitud -2 si esa magnitud

es de 10−2 micras.

Se encuentran diferentes tipos de magnitudes, los cuales seran expuestos y definidos

a continuacion de acuerdo con lo expuesto por UNAM (2014).

Magnitud local (ML)

La magnitud local es la que normalmente se conoce como magnitud Richter, la cual

fue propuesta por Charles F. Richter en 1935. Esta escala ha sido calibrada con

el fin de ser usada en diferentes partes del mundo, empleando registros de otros

instrumentos.

Magnitud de coda (MC)

La magnitud coda por su parte, se obtiene a partir de la duracion del registro

sısmico; por lo que la coda de un sismograma corresponde a la parte tardıa de la

senal que decrece monotonicamente conforme pasa el tiempo hasta alcanzar su nivel

original, previo al sismo.

En este orden de ideas, la duracion de la coda es proporcional al tamano del sismo,

aunque puede verse afectada por otros factores, como lo es la naturaleza del suelo

en el que se encuentra la estacion.

19



Magnitud de ondas de cuerpo (MB)

Su valor se obtiene a partir de la amplitud maxima observada en los sismogramas

de las ondas de cuerpo, con perıodos de oscilacion de 1 segundo. Un problema de

esta magnitud es que se satura a magnitudes de 6.5 - 6.8, es decir, no es posible

determinar magnitud de ondas de cuerpo para sismos con magnitud superior a estos

valores.

Magnitud de ondas superficiales (MS)

De manera similar, el valor de esta magnitud se obtiene a partir de la amplitud

maxima observada en los sismogramas, pero a partir de las ondas superficiales

con perıodos de oscilacion entre 18 y 22 segundos. Escala que permite determinar

magnitudes de sismos mas grandes, pero tambien sufre una saturacion cuando se

trata de magnitudes mayores de 8.3 - 8.7.

Magnitud de momento (MW)

Esta magnitud que es la mas robusta se determina a partir del momento sısmico, el

cual es una cantidad proporcional al area de ruptura y al deslizamiento que ocurra

en la falla. Su estimacion es compleja y puede llevarse a cabo empleando diversos

metodos y tipos de datos, requiere por lo menos los primeros 15 minutos despues

de ocurrido el evento sısmico en el caso de que se empleen datos locales y hasta 30

minutos si se emplean datos de estaciones lejanas.

Magnitud de energıa (ME)

La magnitud de energıa es proporcional a la energıa que irradio el sismo en forma

de ondas sısmicas. Este valor puede ser diferente al determinado para MW , pues

cuantifica un aspecto diferente del sismo.

7.2. Patron puntual espacial

Inicialmente, considerando un patron como una caracterıstica propia del comporta-

miento de un fenomeno, se establece que “los patrones de puntos surgen cuando la variable

20



importante a analizar es la ubicacion de los eventos”(Cressie, 1992) y estos se encuentran

definidos en un espacio y especificados por una funcion de intensidad. En otras palabras,

en estadıstica espacial se establece como objeto fundamental de estudio los eventos o el

patron sistematico que estos puedan seguir sobre un area determinada.

De esta manera, Baddeley et al. (2015) establece que un patron puntual espacial

es un conjunto de datos que proporciona las ubicaciones espaciales observadas de las

cosas o eventos, lo que resulta util en diferentes estudios asociados a ciencia, ecologıa,

epidemiologıa, geociencias, astronomıa, econometrıa, entre otros. Por otro lado, puede es-

tablecerse que “los datos en forma de un conjunto de puntos, distribuidos irregularmente

dentro de una region del espacio”(Diggle, 2013), encontrando dos tipos de patrones es-

paciales; el primero de estos, puede ser considerado como un patron compleatamente

aleatorio o por otro lado un patron uniforme, el cual presenta un comportamiento mas

estable dadas las caracterısticas particulares del fenomeno objeto de estudio.

Illian et al. (2008) habla de la representacion grafica del patron de objetos como un

mapa de puntos, el cual es un paso preliminar util para comprender sus propiedades, el

cual permite identificar y realizar una caracterizacion cualitativa del patron. De la misma

forma, establece tres tipos de patrones puntuales, aleatorio, regular o cluster; los cuales

se presentan respectivamente en la siguiente imagen.

a. Aleatorio b. Regular c. Cluster

Figura 1: Patrones puntuales

Fuente: Illian et al. (2008)

21



En este orden de ideas Baddeley et al. (2015) expone que en los estudios realizados

se cuentan con variables de las cuales se presenta su ubicacion e informacion asociada al

objeto de estudio, denominando estas variables como ”marcas” y el proceso en el cual se

establece el patron que presentan los eventos, se refiere al ”patron puntual marcado”. Por

lo tanto, “el proceso consiste en Z(si) : si ∈ D”(Cressie, 1992). Donde D es un proceso

puntual espacial y Z(si) un conjunto aleatorio localizado en si perteneciente a D.

Ahora bien, los patrones puntuales espaciales presentan dos propiedades; la propiedad

de primer orden hace referencia a la intensidad o densidad media del patron, es decir,

establece la distribucion de los eventos y como varıa esta respecto a una unidad en el

area. Por otro lado, la propiedad de segundo orden se refiere a las relaciones espaciales

entre eventos, en otras palabras, busca establecer la presencia de dependencia espacial

de estos. Asimismo, se dice que “un proceso de punto de Poisson homogeneo es tanto

estacionario como isotropico”(Moller y Waagepetersen, 2003).

7.3. Estacionariedad

A partir de la consideracion de que Z(s) es un proceso estocastico de segundo orden, se

establece que el conjunto de observaciones puede distribuirse de manera regular o irregular

sobre una determinada region de estudio, de acuerdo a lo mencionado previamente; es

por esto que solo se dispone de una unica realizacion incompleta del proceso aleatorio

que se quiere analizar y por lo tanto, es necesario asumir una hipotesis que permita

determinar regularidad en los datos observados. Esta condicion es la de estacionariedad,

la cual permite que el proceso se repita en el espacio haciendo posible el analisis de los

datos y la inferencia.

Los principales tipos de estacionariedad son:

Estacionariedad Fuerte: Hace referencia a una condicion restrictiva en la mayorıa

de los fenomenos, por lo tanto, requiere generalmente de algun tipo de proceso que permita

el tratamiento de la misma.

Estacionariedad de Segundo Orden o Estacionario: Este tipo de estaciona-

riedad implica que la varianza del proceso no depende de la ubicacion, por consiguiente

22



se tiene:

V ar(Z(s)) = C(0) = σ2 (1)

∀snǫD, donde sn es el conjunto de localizaciones y D corresponde al area en cuestion.

Intrinsicamente Estacionario: Es la condicion menos restrictiva debido que dado

un proceso estacionario Z(s) de segundo orden con covariograma C(·), entonces:

V ar(Z(si)− Z(sj)) = 2C(0)− 2C(si − sj) (2)

Ahora bien, de acuerdo con Moller y Waagepetersen (2003), un proceso puntual X

en Rd es estacionario si su distribucion es invariante en las translaciones, es decir, la

distribucion de X + s = ξ + s : ξ ∈ X es la misma que la de X para cualquier s ∈ Rd.

7.4. Isotropıa

Se establece que un fenomeno es isotropico cuando las relaciones existentes entre los

datos no varia dependiendo de las direcciones en las que los eventos se pueden asociar;

en otras palabras, se habla de isotropia cuando la correlacion entre los datos no depende

de la direccion en la que esta se calcule.

Por lo tanto, se habla de un proceso puntual isotropico “si su distribucion es invariante

en las rotaciones sobre el origen en Rd, es decir, la distribucion de OX = Oξ : ξ ∈ X es

la misma que la de X para cualquier rotacion O alrededor del origen”(Moller y Waage-

petersen, 2003).

7.5. Intensidad

Se establece que la intensidad es la densidad promedio de puntos (numero esperado

de puntos por unidad de area) (Baddeley, 2010). Es decir, mide la cantidad de eventos

registrados por los puntos encontrados en un area determinada; de esta manera, se tiene

que la intensidad puede ser constante, entendida como uniforme u homogeneo, o puede

variar de una ubicacion a otra, es decir, no uniforme o No homogenea.

23



De forma que esta dada por:

λ(s) = lımds→0

E(Y (ds))

ds

(3)

Donde ds es una region alrededor de s y ds es el area de esta region. Para procesos

estacionarios se tiene que λ(s) es constante, por lo tanto, E(Y (A)) = λ(A) donde Y (A)

es el numero de eventos ocurridos en un area A.

De la misma manera, Baddeley (2010) establece que la intensidad de segundo orden

hace referencia a la relacion entre el numero de eventos en pares de areas en R.

γ(si, sj) = lımsi,sj→0

E(γ(dsi)γ(sj))

dsi, dsj

(4)

Para los procesos estacionarios se tiene:

γ(si, sj) = γ(si − sj) = γ(h) (5)

Donde h es un vector de direccion y distancia, que depende a su vez de la direccion y

distancia entre si y sj, razon por la que no puede ser estimado directamente a partir de

los eventos observados.

7.5.1. Funcion Kernel

Un proceso puntual que presente una funcion de intensidad, esta puede ser estimada

no parametricamente por la estimacion del kernel, el cual es una funcion de densidad

bivariada probabilistica. El estimador kernel habituales de la funcion de intensidad es:

λ(u) =1

e(u)

n∑

i=1

K(u− xi) (6)

Para cualquier punto u dentro de la region de estudio W , en la que xi hace referencia

a la posicion de cada evento. De esta manera, k(u) es una funcion de densidad de pro-

babilidad arbitraria y e(u) que es una correccion por los efectos de borde, corresponde

a:

24



e(u) =

∫

W

K(u− v)dv (7)

Donde Baddeley et al. (2015) establece que, el estimador kernel k debe ser una den-

sidad de probabilidad, es decir, k(u) ≥ 0 para todas las ubicaciones u, y∫

R2 k(u)du = 1.

De la misma manera, se encuentra que una opcion comun es la densidad de probabili-

dad isotropica Gaussiana o distribucion normal; la desviacion estandar del kernel es el

ancho de banda de suavizado, por lo que un mayor ancho de banda proporciona un ma-

yor suavizado. La eleccion del ancho de banda implica una compensacion entre sesgo y

varianza, y se encuentra que a medida que aumenta el ancho de banda, generalmente el

sesgo aumenta y la varianza disminuye.

7.6. Aleatoriedad espacial completa (CSR)

La aleatoriedad espacial completa se entiende como el ruido blanco de un proceso

puntual espacial debido a que caracteriza la ausencia de estructura en los datos, en

otras palabras, los eventos son independientes entre sı y se encuentran uniformemente

distribuidos en el espacio. De esta manera, Diggle (2013) establece que la hipotesis de

la aleatoriedad espacial completa para un patron de puntos espaciales cumple en primer

lugar con, el numero de eventos en cualquier region plana A con area |A| sigue una

distribucion de Poisson con media λ|A|; y en segundo lugar que, dados n eventos (xi) en

una region A, los xi son una muestra aleatoria independiente de la distribucion uniforme

en A. De lo anterior se tiene que λ es la constante de intensidad.

Baddeley et al. (2015) expone que este proceso se caracteriza por dos propiedades

clave:

Homogeneidad: La cual hace referencia a que los puntos no tienen preferencia

por ninguna ubicacion espacial.

Independencia: Establece que la informacion sobre el resultado en una region del

espacio no tiene influencia sobre el resultado en otras regiones.

25



Lo mencionado anteriormente puede apreciarse en la siguiente imagen, donde cada

recuadro presenta el proceso de CSR.

Figura 2: Aleatoriedad espacial completa

Fuente: Baddeley et al. (2015)

En este orden de ideas, esta hipotesis de la aleatoriedad espacial completa se evalua

a partir del siguiente planteamiento.

H0: El proceso es un proceso de Poisson homogeneo.

Ha: El proceso no es un proceso de Poisson homogeneo.

Estas hipotesis y la determinacion del proceso de patron puntual especial que se deter-

mina mediante los diferentes tests de CSR. A continuacion, se muestra en que consisten

cada uno de los metodos considerados.

7.6.1. Bondad de ajuste χ2

La prueba de bondad de ajuste χ2 se basa en asumir que los conteos son independien-

tes, y derivar una prueba de la hipotesis nula de que todos los conteos tienen el mismo

valor esperado (Baddeley, 2010). De acuerdo con Baddeley et al. (2015), este test es em-

pleado de dos maneras; inicialmente, se establece que es util para determinar la bondad

de ajuste a la distribucion de Poisson asumiendo la homogeneidad, o por otro lado, para

probar la homogeneidad asumiendo independencia.

26



De acuerdo con los autores mencionados previamente, el estadıstico en cuestion co-

rresponde a:

χ2 =∑

j

(n.observado− n.esperado)2

n.esperado=∑

j

(nj − ej)2

ej(8)

De tal manera que si todos los cuadrantes tienen un area igual, entonces los nj son

independientes con el mismo valor esperado bajo la hipotesis nula; por lo tanto, la prueba

estadıstica se reduce a:

χ2 =∑

j

(nj − n/m)2

n/m(9)

Donden =∑

j nj es el numero total de puntos. Bajo la hipotesis nula, la distribucion

del estadıstico de prueba es aproximadamente una distribucion χ2 con m − 1 grados de

libertad (Baddeley et al., 2015).

7.6.2. Funcion G

La funcion de distribucion de distancias del vecino mas cercano G(r) consiste en

considerar cada evento como un punto xi en x ∩ B, en la que se determina la verdadera

distancia del vecino mas cercano di = d(xi,x xi) y se establece la funcion de distribucion

acumulativa empırica (Baddeley et al., 2015), dada por:

G(r) =1

n(x ∩ B)

∑

i

1di ≤ r (10)

G(r) =∑

i

e(xi, r)1di ≤ r (11)

Ahora bien, Baddeley (2010) expone que para un proceso de intensidad puntual de

Poisson homogeneo, la funcion de distribucion de distancia del vecino mas cercano co-

rresponde a:

Gpois(r) = 1− exp(−λπr2) (12)

Donde ri es la distancia entre los eventos, r es una variable aleatoria diferente de

27



cero que representa la distancia a la ubicacion del evento mas cercano y λ es el numero

promedio de eventos por unidad de area. Teniendo en cuenta las dos funciones expuestas

anteriormente, se tiene que los valores G(r) > Gpois(r), lo que implica que las distancias

del vecino mas cercano en el patron de puntos son mas cortas que para un proceso de

Poisson, es decir, sugiere un patron agrupado; mientras que si los valores G(r) < Gpois(r)

sugieren un patron regular (Baddeley, 2010).

7.6.3. Funcion F

Esta funcion que aporta informacion valiosa sobre el arreglo espacial e incorpora

el calculo de distancia euclidiana dmin(pi, s) medida desde una muestra arbitraria de

m puntos (p1, p2, ..., pm) hasta cada uno de los eventos en el area de estudio, lo cuales

conforman el patron estudiado.

De manera que la funcion empırica corresponde a:

F =Nri ≤ r

m(13)

Donde r representa el radio dentro del cual han de contarse las distancias entre los

puntos de la muestra y sus eventos vecinos; de manera que la funcion teorica es de la

forma:

Fpois(r) = 1− e−λπr2

(14)

λ es la intensidad del proceso puntual en cuestion. De tal forma que, F (r) > Fpois(r)

implica un patron regular debido a que la distancia r y las distancias a los eventos son

mas cortas que las que se esperarıan si el patron en cuestion fuera un patron homogeneo

de Poisson (Baddeley et al., 2015). Por el contrario, F (r) < Fpois(r) indica un patron

con aglomeraciones de eventos debido a que las distancias son mayores a las que se

encontrarıan en un patron completamente aleatorio.

28



7.6.4. Funcion K

Esta funcion o medida del segundo momento reducido proporciona un estimador de

dependencia espacial sobre un rango de escalas mas amplio y describe las propiedades de

segundo orden de un proceso isotropico. De tal manera que Baddeley (2010) establece

que K(r) es el numero esperado de otros puntos del proceso dentro de una distancia r de

un punto tıpico del proceso.

Figura 3: Funcion K


La teorıa presenta muchas definiciones para este estimador, de las cuales la mayorıa

son funciones de distribucion empırica ponderadas y renormalizadas de las distancias en

pares. De manera que la forma general de la definicion formal de la funcion K se da por

la siguiente ecuacion.

K(r) =1

λ2R

∑∑

i 6=j

Ih(dij)

wij(15)

Donde Ih(dij) es una funcion indicadora de la forma:

Ih(dij) =

1 si dij ≤ h

0 en otro caso(16)

wij es el factor de correccion del efecto de borde, por lo tanto, es una proporcion de

la circunferencia centrada en el i-esimo evento y pasando a traves del j-esimo evento,r

29



es el radio de la circunferencia, R hace referencia al area de la region de estudio y λ al

numero de eventos encontrados.

Por otro lado, para un proceso de Poisson homogeneo independientemente de la in-

tensidad se tiene:

Kpois(r) = πr2 (17)

Para este estimador, Baddeley (2010) expone que en el contraste entre las funciones

teoricas planteadas anteriormente, se establece que valores K(r) > πr2 sugiere agru-

pamiento, mientras que si se presenta K(r) < πr2 hace referencia a un patron regular

(Baddeley, 2010).

7.6.5. Funcion L

Segun lo establece Baddeley (2010), la funcion L de Besag se ha convertido en una

transformacion popular de la funcion K, la cual resulta de pasar la funcion Kpois(r) = πr2

de Poisson teorica a la lınea recta Lpois(r) = r, lo que facilita mucho la evaluacion visual

del grafico (Baddeley et al., 2015). En este orden de ideas, la transformacion de la raız

cuadrada tambien estabiliza aproximadamente la varianza del estimador, es decir, la

varianza de la funcion empırica L(r) es aproximadamente constante en funcion de r,

facilitando la evaluacion de las desviaciones. De manera que la funcion L se expresa de

la forma:

L(r) =

√

K(r)

π(18)

Law et al. (2009) expone que esta funcion tiene dimensiones de longitud y, a menudo,

se representa como L(r) − r, lo que da un valor de 0 si existe un proceso de Poisson

homogeneo; igualmente, se encuentra que L (r) sigue siendo una estadıstica acumulativa

y necesita una interpretacion cuidadosa.

En el analisis de estas funciones se tiene que la funcion de correlacion de pares pro-

porciona una medida formal tanto de la intensidad como de la escala de la estructura

espacial, lo que es evidentemente muy diferente del promedio sobre el espacio. Estas ca-

30



racterısticas tambien son evidentes en las funciones K (r) y L (r), aunque las distancias

a las que es mas evidente la agregacion no son tan faciles de interpretar, porque estas

funciones utilizan la densidad acumulativa de pares hasta un radio r determinado (Law

et al., 2009).

7.7. Proceso de Poisson Cluster

Los procesos de Poisson clusters son modelos que consideran la formacion de grupos

en los datos, en otras palabras, establecen la dependencia positiva entre los puntos; por

lo tanto, proporcionan la base para modelar patrones puntuales con eventos agrupados.

De acuerdo con Baddeley et al. (2015), los procesos cluster que cumplen las siguientes

condiciones o suposiciones:

Padres de Poisson: Hace referencia la los puntos principales que constituyen un

proceso.

Clusters independientes: Existe la independencia entre cada uno de los grupos ge-

nerados.

Clusters distribuidos identicamente: Son grupos diferentes desplazados de la ubica-

cion principal, con la misma distribucion.

Descendencia independiente: Los puntos de una misma descendencia son indepen-

dientes e identicamente distribuidos.

Numero de descendientes: El numero de descendientes es variable para cada punto

padre.

Clusters isotropicos: La densidad de probabilidad de la descendencia de un punto

padre depende de la distancia.

En este orden de ideas, se tiene que la posicion de los descendientes respecto a los

puntos padres es aleatoria y sigue una distribucion bivariada; por lo tanto, el proceso

31



Poisson-Cluster corresponde a la posicion de los descendientes. De manera que si se tiene

una funcion f(s) normal bivariada, el proceso presenta una funcion K(r) conocida.

f(x, y) =1√2πσ

exp

−x2 + y2

2σ2

(19)

k(h) = πh2 +

(

1 + exp(−h2/4σ2

λ

)

(20)

Donde la estimacion de los parametros σ2 y λ se hace por la minimizacion de la

funcion de contrastes, en el que se determina la curva de la funcion K(r) que mejor se

ajuste, de acuerdo con los datos empıricos. Esto se realiza ajustando la curva por minimos

cuadrados no lineales, donde se determina el valor de ψ, el cual minimiza la suma de los

errores al cuadrado.

D(ψ) =N∑

i=1

(Kψ(ri)− K(ri))2 (21)

Donde ri son los valores de distancia. D(ψ) es la estimacion del mınimo valor de ψ,

convirtiendose en ψ; de manera que la curva ajustada Kψ(ri) atraviese la curva empırica

K(ri). Por lo tanto, se tiene que D hace referencia al contraste entre las dos curvas y

estimar ψ minimizando D es el metodo de contraste mınimo. (Baddeley et al., 2015)

Por otro lado, respecto a un proceso de agrupacion de Matern, Baddeley et al. (2015)

establece que la descendencia de cada punto padre se distribuye uniformemente en un

disco de radio R centrado alrededor del punto padre y el parametro µ determina cuantos

puntos en promedio hay en un grupo.

Este proceso se puede apreciar en la siguiente figura, en la que los puntos negros hacen

referencia a los puntos padres, los cuales son el centro de una circunferencia de radio R

donde se encuentra un numero promedio µ de puntos descendientes generado de acuerdo

a la distribucion del proceso.

32



Figura 4: Funcion K


7.8. Autocorrelacion Espacial

La autocorrelacion espacial es considerado como la relacion funcional existente entre

lo que ocurre en un punto determinado y lo que ocurre en otro lugar (Moreno y Vaya,

2002), en otras palabras, es la relacion que se presenta ante la presencia de un fenomeno

en una region y que puede extenderse a las demas regiones presentandose concentraciones

del mismo fenomeno o valores similares, lo que se conoce como autocorrelacion positiva;

mientras que si la relacion del fenomeno en la region es opuesta, es decir, impide la

aparicion de este fenomeno en las demas regiones vecinas, se trata de una autocorrelacion

negativa.

La ausencia de autocorrelacion espacial se establece cuando la variable o fenomeno

objeto de estudio no presenta concentraciones en los valores, es decir, presente un com-

portamiento aleatorio en el espacio.

De acuerdo con lo mencionado anteriormente, las causas que inducen la presencia de

dependencia espacial son: la existencia de errores de media y fenomenos de interaccion

espacial, de efectos de desbordamiento y de jerarquıas espaciales (Moreno y Vaya, 2002).

7.8.1. Matriz de Pesos Espaciales

De acuerdo con Yrigoyen (2003), la matriz de pesos espaciales es una generalizacion

de la matriz de interacciones o contiguidades; el uso de esta matriz de pesos espaciales

33



permite la eleccion del conjunto de ponderaciones apropiado para cada fenomeno.

La especificacion adecuada de los elementos de esta matriz es uno de los puntos

metodologicos mas difıciles y controvertidos en la econometrıa espacial. Es necesario

tener cuidado a la hora de elegir los pesos espaciales para evitar posibles correlaciones

espurias (Yrigoyen, 2003).

Segun Yrigoyen (2003) la matriz de pesos generalizada W, en lugar de utilizar las

ponderaciones binarias como cuantificacion del concepto de vınculo, recoge el efecto de

la region i sobre la region j a traves de un peso o ponderacion denominado wij, donde:

wij = 0 establece la ausencia de autocorrelacion espacial entre las regiones i, j.

wij 6= 0 establece la presencia de autocorrelacion espacial entre las regiones i, j.

7.8.2. Metodos de Representacion de Distribuciones Espaciales

Diagrama de Dispersion de Moran

Este diagrama de Dispersion de Moran estandariza la variable a analizar, obteniendo

el retardo espacial de la variable en cuestion estandarizada, representandose esta relacion

en un plano cartesiano. La pendiente de la recta de regresion es el valor del estadıstico

I de Moran de autocorrelacion espacial global, de forma que cuanto mayor sea el angulo

que forme esta con el eje de abscisas, mas fuerte sera el grado de autocorrelacion espacial

Yrigoyen (2003).

Este diagrama de dispersion permite interpretar la asociacion espacial de acuerdo a los

cuadrantes del plano cartesiano: I y III para autocorrelacion espacial positiva que indica

valores altos de una variable rodeados de valores altos o valores bajos rodeados de valores

bajos respectivamente, mientras que II y IV para autocorrelacion espacial negativa que

significa valores altos rodeados por valores bajos, y viceversa.

Diagrama de Dispersion Multivariado de Moran

Esta es una tecnica de exploracion de asociacion espacial multivariada derivada del

metodo mencionado previamente correspondiente al estadıstico I de Moran de asociacion

espacial; permite comparar el comportamiento del fenomeno de asociacion espacial en

34



varios indicadores. El diagrama de Dispersion Multivariado de Moran permite analizar

el comportamiento de determinadas unidades geograficas que se presentan con valores

atıpicos o extremos, Yrigoyen (2003).

7.8.3. Estadısticos Globales de Autocorrelacion Espacial

Los estadısticos son considerados la aproximacion mas tradicional para determinar

el efecto de dependencia espacial, estos permiten determinar la presencia o ausencia de

autocorrelacion espacial de manera univariada mediante el contraste de la hipotesis de

la distribucion de la variable en el espacio; el planteamiento de la hipotesis mencionada

corresponde a:

H0: Ausencia de autocorrelacion espacial.

Ha: Presencia de autocorrelacion espacial.

Hipotesis que son contrastadas al 5%. De la misma manera, este planteamiento se

realiza para establecer la presencia de asociacion espacial significativa de los valores si-

milares o disimilares en regiones vecinas; por lo tanto, la prueba de hipotesis es de la

forma:

H0: Ausencia de asociacion espacial.

Ha: Presencia de asociacion espacial.

Entre los estadısticos globales, los cuales resumen en un indicador unico el esquema

general de dependencia, se encuentran la I de Moran que esta dado por la ecuacion (19)

y la G(d) que se presenta en la ecuacion (20). “Estos estadısticos analizan todas las

observaciones de la muestra de forma conjunta, no resultan sensibles a situaciones donde

predomine una importante distribucion espacial de la variable objeto de estudio, es decir,

no contemplan la posibilidad de que el esquema de dependencia detectado a nivel global

pueda no mantenerse en todas las unidades del espacio analizado”(Moreno y Vaya, 2002).

I =N

S0

∗∑N

j Wij(Xi − X)(Xj − X)∑N

i (Xi − X)2(22)

35



G(d) =

∑N

i=1

∑N

j=1Wij(d)XiXj

∑N

i=1

∑N

j=1XiXj

(23)

Donde,

Wij: Elemento de la matriz de pesos espaciales correspondiente al par (i, j).

S0: suma de los pesos espaciales.

X: valor medio o esperado de la variable X.

N : numero de observaciones o tamano muestral.

Los valores obtenidos de Z(I) para el estadıstico I de Moran global se interpretan de

la siguiente manera.

I de Moran GlobalZ(I) No significativo: Distribucion aleatoria de la variable.

Z(I) > 0 Significativo: Autocorrelacion positiva.Z(I) < 0 Significativo: Autocorrelacion negativa.

7.9. Regresion OLS

El analisis de regresion consiste en el estudio de la dependencia de una variable (Varia-

ble dependiente) respecto de una o mas variables explicativas con el objetivo de estimar o

predecir el valor promedio poblacional de la primera en terminos de los valores conocidos

o fijos de las variables regresoras (Gujarati y Porter, 2009).

Ahora bien, el analisis de regresion multiple tiene una gran importancia ya que permite

modelar diferentes situaciones de la realidad y suele emplearse para construir mejores

modelos para predecir la variable dependiente (Wooldridge, 2009); esto se debe a que

en este tipo de regresion son consideradas mas de una variable regresora que permita

explicar de manera mas aproximada el fenomeno objeto de estudio, en otras palabras, el

analisis de regresion multiple permite que muchos factores observados que intervengan

en la determinacion de la variable respuesta (Y ).

El modelo general de regresion lineal multiple o modelo de regresion multiple pobla-

cional puede expresarse como lo muestra la siguiente ecuacion.

36



Y = β0 + β1X1 + β2X2 + . . .+ βkXk + u (24)

Donde como se menciono previamente, la Y representa la variable explicada o variable

respuesta, Xk son las k variables independientes, β0 es el intercepto, βk es el parametro

asociado a Xk y estos coeficientes βk de la regresion son desconocidos, siendo el objetivo

principal encontrar su valor; finalmente, u es el error o perturbacion (Wooldridge, 2009).

7.9.1. Supuestos del Modelo

Homoscedasticidad

La homoscedasticidad se presenta cuando la varianza de la muestra es uniforme o no

varia en los diferentes segmentos de la poblacion; es por esto que existen diferentes causas

para la presencia de heteroscedasticidad (varianza no uniforme) como lo son: la presencia

de datos atıpicos,el cambio del comportamiento de las variables a lo largo del tiempo,

la consideracion de formas funcionales inadecuadas, el metodo de recoleccion de datos

empleado, entre otros (Gujarati y Porter, 2009).

Existen diversas formas de deteccion de los problemas de heterocedasticidad en un

modelo, inicialmente puede ser considerado el grafico los residuos al cuadrado frente a

la variable respuesta, de manera que si la dispersion de los datos presentan un patron

sistematico es posible que no haya presencia de heteroscedasticidad en el modelo emplea-

do. De la misma manera, en el proceso del analisis del supuesto de heterocedasticidad

son considerados una gran variedad de pruebas o test que permiten la deteccion de la

presencia de varianza no uniforme en el modelo, tales como, la prueba de Park, prue-

ba de Goldfeld-Quandt, prueba de White, prueba de Breusch-Pagan (Gujarati y Porter,

2009); los valores obtenidos en estas pruebas permiten contrastar la siguiente prueba de

hipotesis al 5%.

H0: Hay Homocedasticidad.

Ha: Hay Heterocedasticidad.

37



Normalidad

La condicion de normalidad establece que las variables consideradas siguen una misma

distribucion acercandose las observaciones a la media, es decir una distribucion normal;

la falta de normalidad en las variables puede ser ocasionada por diferentes factores, entre

estos se encuentra la naturaleza de los datos de la muestra, la presencia de datos atıpicos,

la asimetrıa, entre otros(Gujarati y Porter, 2009).

Las formas de deteccion mas comunes de la normalidad en las variables son los his-

togramas, la grafica de probabilidad normal, el diagrama de tallo y hoja y el diagra-

ma de caja y bigotes; estos conforman el conjunto de graficos que resultan utiles para

la interpretacion de la distribucion que presentan los datos. Por otro lado, cuenta con

las diferentes pruebas para esta determinacion como lo son: Shapiro-Wilk, Jarque-Bera,

Shapiro-Francia, Lilie-Form y Kolmogorov-Smirnov.

La prueba de hipotesis empleada es la siguiente, esta se contrasta al 5%.

H0: La variable sigue una distribucion normal.

Ha: La variable no sigue una distribucion normal.

Multicolinealidad

El supuesto de multicolinealidad consiste en determinar que tanto se encuentran re-

lacionadas las variables explicativas de un modelo; entre las causas que ocasionan la

presencia de este supuesto en un modelo se encuentra la micronumerosidad, que hace

referencia a un tamano muy pequeno de la muestra empleada. Los problemas que pre-

senta la presencia de multicolinealidad en un modelo radican en la inferencia estadıstica

sobre el modelo y los resultados obtenidos, esto se debe a que los coeficientes de regresion

poseen errores muy grandes y los coeficientes no pueden ser estimados con precision.

Las causas de la multicolinealidad son el metodo de la recoleccion de la informacion, las

restricciones en el modelo o en la poblacion objeto de muestreo, la presencia de variables

que cambien su naturaleza a traves del tiempo, es decir, que aumenten o disminuyan a lo

largo del tiempo (Gujarati y Porter, 2009). Una de las formas de deteccion es el Factor

Inflacionario de la Varianza (VIF, por sus siglas en ingles), el cual muestra la forma como

la varianza de un estimador aumenta por la presencia de multicolinealidad.

38



7.10. Modelos de Dependencia Espacial

De acuerdo con Yrigoyen (2003) los modelos de dependencia espacial son tambien

denominados modelos espaciales dinamicos, estos modelos son aquellos que consideran

explıcitamente la existencia de dependencia o autocorrelacion espacial. Por lo tanto, se

establecen con el fin de estimar y/o predecir el valor promedio poblacional de la va-

riable respuesta en terminos de los valores de las variables explicativas considerando su

componente espacial (Canavos, 1992).

El modelo general anidado espacial se expresa como lo muestra la siguiente ecuacion.

Y = ρW1Y +Xβ1 +W2Rβ2 + ε (25)

ε = λW2ε+ u

Donde los parametros ρ y λ miden la dependencia espacial, ρ es el coeficiente de la

variable respuesta rezagada espacialmente, mientras que λ es el coeficiente de la estructura

autoregresiva de ε (termino de los errores en el modelo); Y hace referencia al vector de

la variable respuesta, W1Y es el retardo espacial de la variable objeto de estudio, X es

la matriz de variables independientes no rezagadas espacialmente y por el contrario R es

una matriz de variables explicativas rezagadas espacialmente.

De manera que u ∼ N(0; Ω) es el termino de error normalmente distribuido con

media 0, Ω se refiere a la matriz de covarianza, cuyos elementos de la diagonal se dan por

Ωii = hi(zα)hi.

Ahora bien, se presentan los modelos de dependencia espacial mas comunes.

Modelo Autorregresivo de Regresion Espacial de Orden 1 (SAR)

El modelo SAR dado por la siguiente ecuacion, presenta la especificacion mas sencilla

de dependencia espacial que expresa situaciones en las que los valores que adopta una

variable determinada dependen sistematicamente de la localizacion geografica de la misma

(Yrigoyen, 2003).

Y = ρWY + ε (26)

39



Donde, Y es el vector de observaciones de la variable respuesta, W es matriz de

pesos espaciales, y por lo tanto, WY el retardo espacial de la variable respuesta, ρ es el

coeficiente autorregresivo espacial que recoge la intensidad de las interdependencias entre

las observaciones y finalmente ε es la perturbacion.

Modelo Spatial Error

Este modelo considera la existencia de variables que no son explıcitamente conside-

radas en el modelo, es decir, trasladan hacia los terminos del error la configuracion de

dependencia espacial presente en la variable endogena. Es por esto, que las relaciones

simultaneas de dependencia espacial existentes entre valores de la variable endogena Y ,

se trasladan hacia el termino de perturbacion aleatoria; en otras palabras, el efecto de

autocorrelacion espacial de Y es explicado, no solo por las variables independientes pre-

sentes en el modelo, sino por otras que se encuentran ausentes. Es decir, este modelo

considera la dependencia espacial residual (Yrigoyen, 2003).

Este modelo se da por la siguiente ecuacion.

Y = Xβ + u (27)

u = λWu+ ε

u hace referencia a la perturbacion aleatoria distribuida, λ es el parametro autorre-

gresivo asociado al retardo espacial Wu y ε es el vector de perturbaciones aleatorias.

Modelo Spatial Lag

El modelo Spatial Lag incorpora la influencia de las variables omitidas a traves de

una variable dependiente espacialmente retardada, es decir, a traves de los valores que

toma la variable respuesta en un grupo de localizaciones vecinas (Yrigoyen, 2003).

Y = ρWY +Xβ + ε (28)

Donde, WY es el retardo espacial de la variable respuesta, ρ es el coeficiente autorre-

gresivo espacial y ε es el vector de perturbaciones aleatorias.

40



Modelo SARAR

Este modelo hace referencia a un modelo mixto autoregresivo de regresion espacial, el

cual considera igualmente el error espacial autoregresivo, lo que implica una combinacion

entre el modelo Spatial Error y el modelo Spatial Lag, expuestos anteriormente. Esto

puede evidenciarse en su estructura la cual corresponde a:

Y = ρWY +Xβ + ε (29)

ε = (I − λW )u

En este orden de ideas, se encuentran los dos parametros (ρ y λ) de dependencia

espacial. ρ es el coeficiente autorregresivo del retardo espacial de la variable respuesta

WY , λ es el parametro autorregresivo asociado al retardo espacial de la perturbacion

Wu y ε corresponde a el vector de perturbaciones aleatorias.

41



8. Desarrollo del proyecto

8.1. Area de estudio

8.1.1. Volcan Galeras

El volcan Galeras ubicado al suroeste de Colombia en el depantamento de Narino, a 9

km de la ciudad de San Juan de Pasto (Sanchez et al., 2005), Latitud 114′N y Longitud

7722′W , es considerado de acuerdo con Londono y Ospina (2008) como un estrato volcan

andesıtico con una actividad caracterizada fundamentalmente por erupciones de tipo

vulcaniano; este volcan presenta 4200 metros de altura en los Andes (Moncayo et al.,

2004) y es uno de los mas activos de la region. Londono y Ospina (2008) establecen

que durante su existencia se han identificado seis periodos de erupciones mayores con

generacion de flujos piroclasticos, caıdas piroclasticas, flujos de lava y flujos de lodo o

escombros.

Nariño

Colombia

65°0'0"W70°0'0"W75°0'0"W80°0'0"W

15°0'0"N

10°0'0"N

5°0'0"N

0°0'0"

5°0'0"S

!

Volcán Galeras

Nariño

77°0'0"W

77°0'0"W

78°0'0"W

78°0'0"W

79°0'0"W

79°0'0"W

2°0'0"N

2°0'0"N

1°0'0"N

1°0'0"N

Volcán Galeras

Volcán Azufral

Volcán Morazurco

Volcán Bordoncillo

San Juan de Pasto

77°0'0"W

77°0'0"W

77°20'0"W

77°20'0"W

77°40'0"W

77°40'0"W

1°20'0"N

1°20'0"N

1°0'0"N

1°0'0"N

µ

Figura 5: Ubicacion Volcan Galeras

Segun Moncayo et al. (2004), el cono activo de este volcan tiene 320 metros de diametro

y se encuentra dentro de una caldera que se abre hacia el oeste; el Galeras se caracteriza

42



historicamente por explosiones de tipo vulcaniano, presentando erupciones en los ultimos

500 anos de este tipo, con emisiones de gas y ceniza, pequenos flujo de lava y algunas

erupciones explosivas con flujo de piroclastos. De la misma manera, expone que en los

ultimos anos a pesar de que el volcan se encuentra en una etapa de calma, se han registrado

explosiones menores y crisis sısmicas.

En este orden de ideas y de acuerdo a lo mencionado previamente, cabe resaltar que

el volcan ubicado a 9 km de la ciudad de Pasto y que varias otras ciudades se ubican en

sus flancos, se calcula que aproximadamente 400.000 personas viven en su proximidad,

dentro de esta zona de peligro (Moncayo et al., 2004); situacion que resulta problematica

en el asentamiento y crecimiento poblacional, incrementando la vulnerabilidad de las po-

blaciones vecinas teniendo en cuenta las caracterısticas y antecedentes de esta estructura

volcanica.

8.2. Adquisicion de datos

8.2.1. Red de vigilancia

El Observatorio Vulcanologico y Sismologico de Pasto (OVSP) del Servicio Geologico

Colombiano (SGC) realiza las actividades de vigilancia permanente de la actividad de

los volcanes Galeras, Dona Juana, Azufral y Cumbal; para esto emplea tecnicas tanto

de monitoreo con herramientas de transmision telemetrica, como de muestreo en campo

de manera puntual. De tal manera, que es posible cubrir la mayor cantidad de areas

y de tecnicas de estudios en geofısica y geoquımica para una adecuada evaluacion del

comportamiento de los volcanes.

A continuacion, se presenta el mapa que permite apreciar la red de monitoreo y

vigilancia dispuesta para tales actividades en el volcan Galeras.

43



Figura 6: Red de monitoreo Volcan Galeras.

Fuente: Observatorio Vulcanologico y Sismologico de Pasto (OVSP)

Recuperado de:

https://www2.sgc.gov.co/sgc/volcanes/VolcanGaleras/Paginas/redes-monitoreo.aspx

El numero de estaciones que conforman las redes de monitoreo volcanico de Galeras

presenta variaciones debido a cambios de equipos, nuevas instalaciones o mantenimientos

en campo con fines preventivos y correctivos de las estaciones; lo anterior se realiza con el

objetivo de mejorar la calidad de la informacion registrada. A continuacion, se presenta

una revision del numero de estaciones empleadas para el monitoreo y vigilancia para cada

uno de los anos comprendidos en el periodo de interes, especialmente evidenciando las

variaciones encontradas en la red de monitoreo sısmico.

Ano 2010

La red instalada para la vigilancia del volcan Galeras para el ano 2010 estuvo

conformada por nueve estaciones sismologicas telemetricas de las cuales ocho son de

corto periodo (3 triaxiales y 5 de componente vertical) y se realizo la re-instalacion

la estacion sismologica telemetrica de banda ancha triaxial Cufino, el dıa 27 de

44



mayo (OVSP, 2010). Para el segundo semestre se encuentra el mismo numero de

estaciones sismologicas telemetricas pero de las cuales siete son de corto periodo

(2 triaxiales y 5 de componente vertical) y se tienen dos estaciones sismologicas de

banda ancha (Obonuco a partir del mes de Noviembre y Cufino)(OVSP, 2012c).

Para los dos semestres se tiene que para recibir la informacion que detectan estas

estaciones en la sede del Observatorio Vulcanologico y Sismologico de Pasto, se

cuenta con una red telemetrica tipo punto a punto, con tres repetidoras instaladas

en sitios estrategicos. Las estaciones que usan repetidora para el enlace son: Condor

(repite por Cruz de Amarillo); Calabozo (repite por Crater2); y Narino-2 (repite

por Morasurco) (OVSP, 2010).

De acuerdo con el OVSP (2012c) , los siguientes histogramas hacen referencia al

porcentaje de funcionamiento de las estaciones que conformaron la red de monitoreo

sısmico, Campo EM, inclinometrıa electronica, mediciones de gas SO2 de Galeras,

acustica y vıdeo, esto para el primer semestre; mientras que para el segundo semestre

se presentan estas mismas redes y adicionalmente la red de monitoreo termica.

Figura 7: Histograma del porcentaje de funcionamiento de las redes de monitoreo duranteel Primer Semestre de 2010

Fuente: OVSP (2010)

45



Figura 8: Histograma del porcentaje de funcionamiento de las redes de monitoreo duranteel Segundo Semestre de 2010

Fuente: OVSP (2012c)

Se encuentra que para este ano la operatividad de la red instrumental de Galeras

fue del 85% con registro de calidad.

Ano 2011

La red de monitoreo volcanico de Galeras para el ano 2011 se conformo por nueve

estaciones sismologicas telemetricas en el primer semestre, de las cuales siete son de

corto periodo (2 triaxiales y 5 de componente vertical) y dos de banda ancha (OVSP,

2012a). Para el segundo semestre del ano mencionado, se encuentran diez estaciones

sismologicas telemetricas de las cuales siete son de corto periodo (3 triaxiales y 4

de componente vertical) y tres de banda ancha (OVSP, 2012d).

De la misma manera que en el ano anterior, con el fin de recibir la informacion que

detectan estas estaciones, en el primer semestre se cuenta con una red telemetrica

tipo punto a punto con tres repetidoras en las estaciones Condor (repite por Cruz

de Amarillo); Calabozo (repite por Bruma); y Narino-2 (repite por Morasurco-

2) (OVSP, 2012a). Por otro lado, para el segundo semestre se cuenta con cuatro

repetidoras, las tres mencionadas anteriormente y adicionalmente la ubicada en la

estacion Arles (repite por Lomalarga y Morasurco-2).

A continuacion, se presentan los histogramas que hacen referencia al porcentaje de

46



funcionamiento de las estaciones empleadas para cada uno de los semestres del ano

2011.


Fuente: OVSP (2012a)

En este histograma se presenta el porcentaje de funcionamiento para las estaciones

que conformaron la red de monitoreo sısmico, inclinometrıa electronica, mediciones

de gas SO2 de Galeras, acustica, campo EM, video y monitoreo de flujos de lodos.

El OVSP (2012a) establece que para el primer semestre, la operatividad total de la

red instrumental de Galeras fue del 81% con registro de calidad.

Figura 10: Histograma del porcentaje de funcionamiento de las redes de monitoreo duranteel Segundo Semestre de 2011

Fuente: OVSP (2012d)

47



En este grafico es posible evidenciar que para el segundo semestre de este ano, la

red de monitoreo del volcan Galeras cuenta tambien con redes de vigilancia para el

monitoreo de flujos de lodos y GNSS. Para este semestre se tiene una operatividad

total de la red instrumental del 90% con registro de calidad (OVSP, 2012d).

Ano 2012

Para el ano 2012, al inicio del semestre la red contaba con once estaciones sismologi-

cas telemetricas, ocho de estas eran de corto periodo (4 triaxiales y 4 de componente

vertical) y tres de banda ancha. En febrero se realizo reposicion de equipo y una de

las estaciones de corto perıodo de componente vertical con las que se contaba y paso

a ser de banda ancha; finalmente, en el mes de mayo se instalo una nueva estacion

de banda ancha, registrando para final del semestre doce estaciones sismologicas

telemetrica, siete de corto perıodo y cinco de banda ancha (OVSP, 2012b).

En cuanto a la red telemetrica punto a punto, el OVSP (2012b) establece que se

cuenta con cuatro repetidoras instaladas en las estaciones: Condor y San Felipe

(repiten por Cruz de Amarillo); Calabozo (repite por Bruma); Narino-2 (repite por

Morasurco-2) y Arles (repite por Lomalarga y Morasurco-2). El siguiente histograma

representa el porcentaje de funcionamiento de las estaciones que conformaron la red

de monitoreo sısmico, inclinometrıa electronica, mediciones de gas SO2 de Galeras,

acustica, campo EM, video, monitoreo de flujos de lodos y GNSS.

48




Fuente: OVSP (2012b)

Para este periodo la operatividad total de la red instrumental de Galeras fue del

96% con un registro de calidad.

De acuerdo con los boletines consultados, los porcentajes obtenidos de operabilidad

de la red de vigilancia y monitoreo de los anos considerados permitieron garantizar una

informacion confiable para la apropiada evaluacion de la actividad volcanica.

8.2.2. Base de datos

Como se menciono anteriormente, los eventos o puntos de interes son los sismos de

tipo volcanotectonico (VT) localizables y registrados en el volcan Galeras en el periodo

comprendido entre los anos 2010 y 2012; datos suministrados por el Observatorio Vul-

canologico y Sismologico de Pasto (OVSP) del Servicio Geologico de Colombia (SGC)

mediante una solicitud formal.

En este orden de ideas, se obtiene una base de datos con 5337 registros a los que se

les asocian variables propias de la actividad sısmica, tales como: fecha, hora, ubicacion

espacial (latitud y longitud), profundidad, magnitud, numero de fases, errores asociados,

estacion y archivo. Teniendo en cuenta lo especificado anteriormente, a continuacion se

analizan los valores de las principales variables consideradas o relevantes en el analisis a

realizar.

49



Fecha: Presenta los registros encontrados en el rango de tiempo considerado y men-

cionado previamente, desde el 2010 al 2012.

Latitud: En cuanto la latitud, el rango de coordenadas geograficas en el espacio se

encuentra entre 12, 74′N y 122, 73′N

Longitud: Respecto a la longitud, el rango se encuentra entre 7712, 73′W y 7730, 57′W

Profundidad: El rango de profundidad de los sismos registrados se encuentra entre

0,04 a 20,21 km; con una profundidad promedio de 2,42 km.

Magnitud: Los valores de magnitud varıan en un rango hasta 4.96 y 5.4 puntos

para cada uno de los tipos de magnitud registradas, Magnitud Coda y Magnitud Local

respectivamente. A continuacion se presentan los promedios encontrados para los eventos

registrados.

Magnitud Coda: Se encuentra una magnitud coda promedio de 0,53

Magnitud Local: Por esta parte se encuentra magnitud promedio de 0,54

Numero de Fases: Teniendo en cuenta que se refiere al numero de ondas que pueden

ser identificadas por un sismograma, se encuentran valores entre 4 y 23 en los datos

suministrados.

GAP: Hace referencia al angulo de cobertura azimutal entre el sismo y la estacion

mas cercana, por lo tanto, presenta valores entre 0 y 360 grados; en esta base de datos se

encuentran angulos entre los 66 y 353 grados.

El siguiente grafico permite apreciar la distribucion espacial de los eventos registrados

en la base de datos suministrada.

50



|

77°10'0"W

77°10'0"W

77°20'0"W

77°20'0"W

77°30'0"W

77°30'0"W

1°30'0"N

1°30'0"N

1°20'0"N

1°20'0"N

1°10'0"N

1°10'0"N

1°0'0"N

1°0'0"N

/

Figura 12: Mapa de la distribucion espacial de los sismos volcanotectonicos localizabes,periodo 2010-2012.

8.2.3. Region delimitada

Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente, se establece como area de estudio

la region R delimitada como zona de amenaza del volcan Galeras; sobre esta se realiza

el estudio e identificacion de la distribucion espacial de los eventos sısmicos registrados y

suministrados en la base de datos.

Esta informacion fue tomada del Feature Service que ofrece ESRI, donde es posible

descargar las capas de interes y visualizarlas en ArcMap; posteriormente, mediante la

estructuracion y seleccion de la informacion obtenida del area en cuestion, se tiene el

51



shape que se puede visualizar a continuacion.

|

77°10'0"W

77°10'0"W

77°20'0"W

77°20'0"W

77°30'0"W

77°30'0"W

1°20'0"N

1°20'0"N

1°10'0"N

1°10'0"N

/

ZONAS DE AMENAZA

Alta

Media

Baja

Figura 13: Region de estudio.

8.3. Analisis distribucion espacial de los datos

Con el fin de visualizar la informacion de forma cartografica y realizar una interpreta-

cion visual inicial, los puntos registrados en la base de datos fueron importados en ArcMap

10.5 y se les asigno el sistema de coordenadas geograficas asociado al elipsoide de refe-

rencia WGS84; lo anterior debido a la naturaleza de los datos iniciales. Posteriormente,

52



se realizo la transformacion al sistema de coordenadas planas MAGNA Colombia-Oeste,

con el fin de facilitar el procesamiento espacial y el analisis estadıstico de los datos en

cuestion; de la misma manera, se realiza este proceso con el shape obtenido del area del

volcan Galeras sobre la cual van a ser analizados el conjunto de sismos registrados en el

periodo establecido.

|

77°10'0"W

77°10'0"W

77°20'0"W

77°20'0"W

77°30'0"W

77°30'0"W

1°30'0"N

1°30'0"N

1°20'0"N

1°20'0"N

1°10'0"N

1°10'0"N

/

Figura 14: Mapa de la distribucion espacial de los sismos en el area de estudio.

Como una interpretacion visual de la distribucion espacial de los sismos en el area de

estudio, es posible afirmar que los eventos se presentan en la region agrupados en el area

que comprende el Galeras especificamente su estructutra volcanica. De la misma manera,

se encuentra que estos estan distribuidos en la region en direccion al sistema montanoso

53



que conforma la cordillera de los Andes, especıficamente hacia la ramificacion conocida

como Cordillera Central; la cual mas adelante, en el Macizo Colombiano, se divide en dos

cadenas montanosas (Cordillera Central y Oriental).

Este comportamiento en la distribucion espacial de los eventos tienen sentido, en

cuanto a la actividad que pueden presentar los demas elementos u estructuras geologicas

que conforman este sistema montanoso situado sobre una de las regiones tectonicas mas

activas; por lo tanto, la actividad volcanica no es un evento fuera de lo natural pero cabe

resaltar que cada estructura volcanica presenta un comportamiento diferente a las demas,

es por esto que no es posible generalizar al realizar un analisis de su actividad.

8.4. Analisis de Aleatoriedad Espacial Completa (CSR)

Ahora bien, con el fin de realizar este analisis, los datos empleados son importados y

procesados en el software RStudio; estos se visualizan de la siguiente manera.

Figura 15: Distribucion espacial de los sismos VT del Volcan Galeras (2010-2012) en R

54



En el analisis de un diseno puntual observado, inicialmente se realiza un test de CSR

que resulta muy util como primera aproximacion de algunos patrones; en este test se

contrasta la hipotesis nula que afirma que este es un proceso homogeneo de Poisson, tal

como se puede apreciar en el siguiente planteamiento.

H0: El proceso es un proceso de Poisson homogeneo.

Ha: El proceso no es un proceso de Poisson homogeneo.

Teniendo en cuenta que en el analisis de aleatoriedad espacial completa se busca

estimar como la intensidad de los patrones puntuales varıan sobre un area y determinar

si los eventos de interes pueden ocurrir en cualquier ubicacion del area de estudio con

igual probabilidad, es necesario dividir la region R en m cuadrantes, con el fin de realizar

el conteo del numero de sismos en la subregiones establecidas.

En el analisis de aleatoriedad espacial completa se realiza la division del area R en

25 cuadrantes estableciendo 5 divisiones respecto a los ejes X e Y; dada la geometrıa

de la region de estudio, se tienen 24 cuadrantes irregulares en el perımetro de la region

tal como se evidencia en la siguiente figura, en cada uno de estos se registra el numero

de eventos encontrados o frecuencia observada, la frecuencia acumulada esperada y los

residuos de Pearson en cada subregion.

55



0

0 0

0

0

12 0

0

017 20 55

46

1

57 3937 93438

3

2696

60

3

121.1

261.6 224.5

25.2

119

274.7274.9 274.9

158.6

256.9274.9 274.9 274.9

237.5

240.3

274.9 274.9 274.9266.6

72

243.8270.3

226.5

98.7

−11−16 −15

−5

−11−17

−16 −17

−13

−16−16 −15 −13

−12

−15

−13 220 40−14

−8.1

−14−11

−11

−9.6

Figura 16: Test de conteo por cuadrantes

Este conteo permite evidenciar la heterogeneidad presente en la distribucion de los

sismos volcanotectonicos en la region de influencia del volcan Galeras, de manera que

el conteo esperado para cada cuadrante es de 274,9 eventos en caso de ser un proceso

homogeneo; tal heterogeneidad se evidencia en los valores encontrados en la parte inferior

de cada particion, el cual hace referencia a los residuos de Pearson como se especifico

anteriormente, residuos que se obtienen mediante la razon entre la diferencia de los valores

observados y los esperados, y la raız cuadrada de los valores esperados.

Por lo tanto, al encontrar la predominancia de residuos negativos es posible afirmar

que el numero de eventos encontrados en la mayorıa de los cuadrantes es inferior al

esperado en un patron homogeneo; mientras que se encuentran dos cuadrantes ubicados

en la parte central, en los que se presentan valores positivos de los residuos de Pearson

56



debido a que se registra un conteo de eventos observados considerablemente superior al

numero de sismos esperado.

A partir de dicha particion se lleva a cabo el test de Bondad de ajuste χ2 en el que se

obtuvo con 23 grados de libertad un valor de χ2 de 54363 y un valor p de 2.2e-16, el cual

es menor al 5% y por lo tanto se rechaza la hipotesis nula del planteamiento expuesto

previamente, y de esta manera es posible afirmar que el proceso no es un proceso de

Poisson homogeneo, en otras palabras, se encuentra que la densidad de los sismos VT

no es constante sobre el area de estudio, delimitada por el area de influencia del volcan

Galeras.

8.5. Distancia al vecino mas cercano

Se emplea la distancia entre puntos y se genera el siguiente histograma, en el cual es

posible observar la distancia entre los sismos registrados; cabe resaltar que se encuentran

valores hasta los 300 metros, de los cuales se evidencia que en su mayorıa se presentan

distancias alrededor de los 50 metros y un numero considerable de eventos con distancias

entre los 120 y 150 metros.

Distancia en metros

Fre

cuencia

0 50 100 150 200 250 300

0200000

400000

600000

800000

1000000

Figura 17: Histograma de distancias

57



En sıntesis, en este analisis de distancias entre eventos se encuentra que un numero

significativo de sismos volcano-tectonicos en la zona de estudio presentan distancias entre

los 25 y 150 metros, teniendo en cuenta que el rango de distancias encontrado es de 0 a

300 metros para los registros establecidos en la base de datos. Una vez considerada esta

propiedad de segundo orden en el analisis de patrones puntuales, se presentan los esti-

madores de la distribucion de probabilidad con el fin de analizar la dependencia espacial

existente entre los eventos objeto de estudio.

8.6. Funcion G

De acuerdo con lo mencionado anteriormente, la funcion G evalua la distribucion de

frecuencia acumulativa de las distancias de los vecinos mas cercanos; de manera que la

forma de esta funcion permite establecer como los eventos estan distribuidos en un patron

puntual.

Este estimador mediante el metodo de Monte Carlo con un 5% de significancia, en el

que a partir del patron de los puntos observados y los simulados se obtienen contornos de

confianza que facilitan el analisis grafico del patron presente. La siguiente grafica muestra

la funcion G obtenida del proceso puntual en cuestion, la cual permite determinar si

se trata de un patron regular, aleatorio o agregado de acuerdo con el comportamiento

encontrado en la curva de los eventos observados respecto a los intervalos de confianza y

la curva teorica.

A continuacion, se presenta el grafico de la funcion G obtenido.

58



0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

r

G(r

)

Gobs(r)G theo(r)

Ghi(r)G lo(r)

Figura 18: Funcion G

8.7. Funcion F

Esta funcion tambien considera la distancia al vecino mas cercano, por lo tanto, con-

siste en determinar la mınima distancia desde cada punto a todos los eventos en el area

de estudio, inicialmente seleccionando una muestra de ubicaciones de puntos en cualquier

lugar de la region de manera aleatoria.

El siguiente grafico hace referencia a la funcion F obtenida a partir de las distancias

calculadas de los sismos volcano-tectonicos en el volcan Galeras en el periodo de estudio.

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

r

F(r

)

Fobs(r)F theo(r)

Fhi(r)F lo(r)

Figura 19: Funcion F

59



8.8. Funcion K

Esta funcion es considerada teniendo en cuenta las limitaciones que presentan las

funciones presentadas anteriormente. Estas limitaciones radican en la determinacion de

dichas funciones empleando escalas mas cortas, mientras que la funcion en cuestion se

basa en la medida del segundo momento reducido, proporcionando un estimador de de-

pendencia espacial respecto a un rango de distancias mas amplio. El grafico de la funcion

K(r) obtenido puede evidenciarse en la siguiente figura.

0 2000 4000 6000 8000

0e+

00

2e+

08

4e+

08

6e+

08

8e+

08

1e+

09

r

K(r

)

K^

obs(r)K theo(r)

K^

hi(r)K^

lo(r)

Figura 20: Funcion K

8.9. Funcion L

Teniendo en cuenta que la funcion L(r) es una transformacion de la funcion K(r) o

su version estandar, es empleada generalmente para facilitar el analisis de los resultados

obtenidos de esta funcion. De manera que se obtiene el siguiente grafico.

60



0 2000 4000 6000 8000

05000

10000

15000

r

L(r

)

L^

obs(r)L theo(r)

L^

hi(r)L^

lo(r)

Figura 21: Funcion L

Respecto a la funcion G(r), al principio la curva se evidencia un crecimiento consi-

derable respecto al intervalo de confianza y curva teorica, el cual indica una agrupacion

de los eventos y establece una mayor probabilidad de encontrar eventos vecinos ubicados

a distancias cortas; por otro lado, la funcion F(r) crece lentamente pero se encuentra

incrementando a distancias mas largas.

Ahora bien, las curvas estimadas de las funciones K(r) y L(r) son similares, presentan

un crecimiento bastante considerable y distante de la curva teorica y de los intervalos de

confianza para cada una de estas.

Por lo tanto, teniendo en cuenta el comportamiento encontrado en las curvas estimadas

de cada una de las funciones consideradas, es posible afirmar que los sismos volcano-

tectonicos en el volcan Galeras para el periodo definido, siguen un patron agregado o

cluster.

8.10. Estimacion de intensidad

Teniendo en cuenta que la funcion de intensidad representa el numero medio de sucesos

por unidad de area para cada punto del plano, se obtiene una impresion de la variacion

espacial que se puede apreciar en los siguientes graficos de estimacion de la intensidad

por kernel. Para esto, se realiza la estimacion previa del ancho de banda optimo, el

61



cual fue de 298.0815 metros; lo anterior bajo la consideracion de la variabilidad de los

resultados respecto el ancho de banda establecido, un ancho de banda grande establece

una intensidad mucho mas suavisada, mientras que un ancho de banda pequeno permite

que se evidencien picos locales en la ubicacion de los eventos objeto de analisis.

05

e−

04

0.0

01

0.0

01

50

.00

2x

y

z

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

Figura 22: Intensidad estimada mediante Kernel

Figura 23: Intensidad estimada

En estos graficos de intensidad estimada es posible evidenciar que la intensidad λ

maxima de los sismos tipo VT en el periodo de estudio es de 0.002 por unidad de area;

de la misma manera, valores promedio son 0.001 alrededor de este pico de intensidad que

62



se encuentra en el crater activo del volcan Galeras, posicion en la que se evidencia una

alta concentracion de eventos.

Los valores de intensidad encontrados en este punto, son superiores considerablemente

respecto a los demas encontrados en el area de estudio; por lo tanto, es posible afirmar que

esta estimacion no se ve afectada por las variaciones que se encuentran en el numero de

estaciones de monitoreo sısmico. Por otro lado, en los valores estimados que se encuentran

proximos con intensidades de aproximadamente de 0.0005, sı se pueden ver alterados por

estas modificaciones en el periodo establecido.

8.11. Estimacion del modelo para el patron de sismos Volcano-

tectonicos del Volcan Galeras

Considerando el analisis realizado anteriormente, se estima un modelo de proceso

cluster del patron de sismos volcano-tectonicos localizables del volcan Galeras en el pe-

riodo establecido, empleando el mecanismo cluster Matern; proceso que dio lugar a los

siguientes resultados.

Variable Parametro βi σβi IC Inferior IC Superior Valor Z

Intercepto -12.07381 0.80749 -13.65647 -10.49114 -14.95217

Kappa 1.587e-09

r 1138.243

De manera que los parametros kappa y r son estimados a partir de la funcion K(r)

y el metodo de Mınimo Contraste. La siguiente figura hace referencia a la funcion K(r)

estimada, en la que la curva negra es la curva ajustada y las rojo y verde son las teoricas.

63



0 2000 4000 6000

0e+

00

2e+

08

4e+

08

6e+

08

8e+

08

Modelo3

K−function

r

K(r

)

K f i t(r)

K^

iso(r)Kpois(r)

Figura 24: Funcion K modelo cluster

La funcion de intensidad para el modelo del patron de sismos VT en el area de estudio

delimitada para el volcan Galeras se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura 25: Intensidad modelo cluster

Como puede observarse se obtuvo un cluster, lo que indica la existencia de un punto

padre, en el que se centra una circunferencia de radio 1138.243 en el que se encuentran

en promedio 3594.109 puntos descendientes distribuidos aleatoriamente.

64



El comportamiento de la funcion de densidad puntual es similar al encontrado en el

analisis realizado, debido al tamano de la muestra y el comportamiento espacial que los

datos presentan, encontrando un agrupamiento significativo en un punto al interior del

area de estudio, en este caso con un desfase respecto a la ubicacion original. Este aspecto

se puede evidenciar en las siguientes simulaciones realizadas, en las que se encuentran

maximo dos cluster cercanos entre ellos pero generalmente solo se presenta uno en la

region.

Figura 26: Simulaciones

8.12. Autocorrelacion Espacial

Con el fin de determinar la presencia de relacion espacial en las variables medidas

asociadas a la actividad sısmica, ubicadas en el espacio y descritas previamente, se calcula

el estadıstico I de Moran el cual permite establecer la presencia de correlacion espacial

positiva o negativa para cada variable relevante o bien la ausencia de autocorrelacion.

La presencia de correlacion espacial se puede apreciar en los siguientes dispersogramas

del estadıstico I de Moran para la variables magnitud, profundidad, numero de fases

y GAP; este grafico permite observar que en la distribucion de los datos no hay una

65



concentracion de valores en alguno de los cuadrantes, en la mayorıa de los casos y por lo

tanto, a partir de este no es posible determinar la presencia de autocorrelacion positiva

o negativa y realizar el analisis de concentracion de valores similares o disimilares.

Figura 27: Dispersogramas I de Moran

La siguiente tabla muestra los valores obtenidos en el estadıstico, empleando la matriz

de pesos generada a partir del efecto reina en orden 1; esto considerando las caracterısticas

de los datos y la distribucion espacial de estos, tal como se expuso anteriormente.

M. Local Profundidad Num. Fases GAP M. Coda

I de Moran 1.25e-01 8.22e-01 3.41 e-01 6.99 e-01 1.17 e-01

Z(I) -1.87e-04 -1.87e-04 -1.87 e-04 -1.87 e-04 -1.87 e-04

P-Value 2.2e-16 2.2e-16 2.2e-16 2.2e-16 2.2e-16

Estos valores se evaluan considerando la siguiente prueba de hipotesis establecida para

determinar la ausencia o presencia de autocorrelacion espacial.

66



H0: Ausencia de autocorrelacion espacial.

Ha: Presencia de autocorrelacion espacial.

Hipotesis que es contrastada al 5% a partir del Valor-P obtenido para cada una de

las variables consideradas; de esta manera, es posible afirmar que las magnitudes local

y coda, la profundidad, el numero de fases y el GAP presentan autocorrelacion espacial,

teniendo en cuenta que se encuentra que α < α y por lo tanto es rechazada la hipotesis

nula.

Por otro lado, considerando los valores de Z(I) expuestos previamente, a partir de

los cuales se determina si se trata de autocorrelacion positiva o negativa; se establece la

presencia de autocorrelacion espacial es negativa, lo que indica que predomina la concen-

tracion de valores disimilares, bien sea valores bajos rodeada de altos o viceversa para

todas las variables objeto de estudio.

8.12.1. Diagrama de dispersion bivariado de Moran

A continuacion se realiza la exploracion de la asociacion espacial entre la variable res-

puesta Magnitud Local y las demas variables relevantes en la actividad sısmica expuestas

anteriormente.

Figura 28: I de Moran Bivariado

De acuerdo con los graficos presentados, se establece que la Magnitud Local presen-

te en los registros de los eventos sısmicos volcano-tectonicos localizables en el periodo

2010-2012 presenta relacion espacial con las demas variables registradas. De manera que,

67



variables como el numero de fases y el GAP presentan una mayor relacion espacial con la

magnitud local, tal como lo indica la pendiente de la recta que establece dicha relacion;

por el contrario, la variable profundidad del sismo presenta una relacion inferior con la

variable de interes.

Lo anterior se verifica considerando los valores de los estadısticos obtenidos, los cuales

se registran en la siguiente tabla. Los valores de α de todas las variables son menores al

5%; por lo tanto, se rechaza la hipotesis nula, estableciendo la presencia de autocorrela-

cion espacial.

Profundidad Num. Fases GAP

I de Moran 7.16e-02 1.40e-01 -1.92e-01

Z(I) 10.275 20.148 -27.499

P-Value 2.2e-16 2.2e-16 2.2e-16

8.13. Estimacion del modelo Espacial

La presencia del efecto espacial de dependencia o autocorrelacion se entiende como

la existencia de una relacion funcional entre lo que ocurre en un punto en el espacio

y lo que ocurre en otro; es por esto que se han desarrollado modelos e indicadores que

permiten estudiar este comportamiento, identificandolo y estableciendo el grado en el que

se presenta.

Ahora bien, luego de la identificacion de la presencia de autocorrelacion espacial en los

datos empleados, resulta conveniente considerar el ajuste de modelos, los cual permiten

explicar ciertas variables en funcion de otras.

8.13.1. Regresion OLS

Inicialmente se genera un modelo de corte transversal como base para seleccionar el

modelo espacial adecuado; en este son consideradas las variables mencionadas anterior-

mente (Profundidad, Numero de fases y GAP), con el fin de determinar su relacion con

68



la Magnitud Local. Este modelo corresponde a:

ML = 0,221− 0,009Profundidad+ 0,063Num.Fases− 0,001GAP (30)

La estadısticas usuales del modelo dado por la ecuacion, se muestran a continuacion:

Residual standard error: 0.4763 on 5333 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.1911,

Adjusted R-squared: 0.1906 F-statistic: 419.9 on 3 and 5333 DF, p-value: < 2,2e− 16

Evaluando la significancia del modelo empleando la siguiente hipotesis, la cual es

contrastada al 1%, se tiene:

H0: El modelo no es significativo estadısticamente.

Ha: El modelo es significativo estadısticamente.

Teniendo en cuenta que el valor p expuesto en los estadısticos obtenidos del modelo

es menor al 1%, se rechaza la hipotesis nula y es posible afirmar que el modelo de

corte transversal es significativo estadısticamente, en otras palabras, el modelo ajusta los

datos. Ahora bien, evaluando la bondad de ajuste que presenta el modelo, se establece

que el 19.06% de la variabilidad de la magnitud local de los sismos volcano-tectonicos

localizables registrados en el volcan Galeras en el periodo de 2010 a 2012 es explicada por

la variabilidad de las variables regresoras consideradas despues de penalizar la entrada de

variables; este coeficiente de determinacion es bastante bajo, lo cual implica un modelo

poco eficiente para analizar el comportamiento de la magnitud local a partir de la variables

regresoras consideradas.

Una vez evaluada la significancia y bondad de ajuste del modelo, es importante realizar

el analisis de significancia de cada una de las variables explicativas consideradas; por lo

tanto, la siguiente tabla muestra los valores estimados de los parametros y los estadısticos

asociados a cada uno de estos.

69



Estimate Std. Error t value Pr(> |t|)(Intercept) 0.2215 0.0474 4.671 3.07e-06

Profundidad -0.0094 0.0027 -3.485 0.000496

NUM FASES 0.0633 0.0030 20.745 < 2e− 16

GAP -0.0011 0.0001 -10.144 < 2e− 16

De acuerdo con los valores de los estadısticos asociados a los parametros y la siguiente

prueba de hipotesis planteada y contrastada al 5%,

H0: El parametro βi no es significativo estadısticamente.

Ha: El parametro βi es significativo estadısticamente.

Se tiene que el Valor-P de todos los parametros considerados en el modelo son menores

al 5%, entonces se rechaza la hipotesis nula y es posible afirmar que los parametros que

conforman el modelo generado de corte transversal son significativos estadisticamente.

Ahora bien, empleando el test de normalidad de Kolmogorov-Smirnov, se realiza el

contraste de la siguiente prueba de hipotesis al 5% de significancia; hipotesis planteada

para evaluar la normalidad en la variable respuesta.

H0: La variable Magnitud Local de los sismos volcano-tectonicos localizables en el

volcan Galeras entre 2010 y 2012 sigue una distribucion normal.

Ha: La variable Magnitud Local de los sismos volcano-tectonicos localizables en el

volcan Galeras entre 2010 y 2012 no sigue una distribucion normal.

Los valores obtenidos en el test fueron:

Kolmogorov-Smirnov test

D = 0.41635, p-value < 2,2e− 16

Como se puede observar el Valor-P obtenido es menor al 5%, lo que indica que se

rechaza la hipotesis nula y la variable Magnitud Local de los sismos volcano-tectonicos

localizables en el volcan Galeras entre 2010 y 2012 no sigue una distribucion normal.

70



Respecto a los residuos del modelo, se emplea el mismo test para determinar la pre-

sencia o ausencia de normalidad; la siguiente es la prueba de hipotesis planteada.

H0: Los residuos siguen una distribucion normal.

Ha: Los residuos no siguen una distribucion normal.

Los resultados obtenidos son:


D = 0.21344, p-value < 2,2e− 16

Bajo la consideracion del contraste de la hipotesis al 5%, se determina la ausencia

de normalidad en los residuos; lo anterior teniendo en cuenta que el Valor-P obtenido es

menor al porcentaje de significancia establecido.

Por otro lado, se procede a evaluar la autocorrelacion de los residuos y para esto se

calcula el estadıstico I de Moran y se plantea la siguiente prueba de hipotesis la cual es

contrastada al 5%.

H0: Ausencia de Autocorrelacion en los residuos.

Ha: Presencia de Autocorrelacion en los residuos

Los resultados obtenidos en el estadıstico, fueron:

Global Moran I for regression residuals

Moran I statistic standard deviate = 9.606, p-value < 2,2e− 16

Dado lo anterior y considerando los resultados obtenidos del estadıstico I de Moran,

se confirma la presencia de autocorrelacion espacial de los residuos.

En sıntesis, la regresion OLS expuesta previamente ajusta los datos al 1% y en cuanto

a las variables regresoras consideradas, todas son significativas estadısticamente al 5%;

respecto a la bondad de ajuste, el modelo presenta un R2 bastante bajo y de la misma

manera, se encuentra que los residuos presentan autocorrelacion espacial. Por lo tanto,

es posible afirmar que un modelo de corte transversal no es apropiado para realizar este

71



analisis y es necesario considerar modelos espaciales como era de esperarse, dadas las

caracterısticas espaciales de las variables consideradas y evaluadas a lo largo de este

analisis.

8.13.2. Pruebas modelo regresivo espacial

A partir de la estimacion de la regresion OLS que establece una relacion entre la

Magnitud Local y las variables exogenas consideradas y las caracterısticas espaciales de

las variables en cuestion, se requiere establecer cual es la mejor estructura espacial que

explique el fenomeno en cuestion empleando pruebas como lo son los multiplicadores de

Lagrange y el criterio AIC.

Multiplicadores de Lagrange

Teniendo en cuenta que el diagnostico por multiplicadores de lagrange es uno de los

mas efectivos porque proporciona una base para la seleccion de un modelo regresivo

espacial apropiado, el cual permite identificar si la variable de interes se encuentra

rezagada espacialmente o por otro lado, existe autocorrelacion espacial en el error.

Esta prueba proporciona valores de estadısticos, a partir de los cuales es posible

identificar el modelo de regresion espacial optimo para interpretar de forma ade-

cuada y establecer dicha relacion. Los modelos que esta prueba considera son:

• LMlag: Prueba del modelo regresivo espacial Spatial Lag, en el que estan

rezagadas en las variables exogenas.

• LMerror: Prueba del modelo regresivo espacial Spatial Error, con estructura

espacial en los errores del modelo.

• RLMlag: Prueba robusta con la variable rezagada.

• RLMerror: Prueba robusta en los errores del modelo.

En la siguiente tabla se evidencian los estadısticos obtenidos para cada modelo.

72



Multiplicadores de Lagrange

LMlag LMerror RLMlag RLMerror

Estadıstico 65.34961 90.52262 1.69395 26.86696

Valor-P 6.661338e-16 0.00 1.930811e-01 2.179533e-07

De acuerdo con los valores del estadıstico obtenidos en la prueba realizada, se esta-

blece que el modelo mas adecuado es el modelo de estructura SAR, correspondiente

al Spatial Error; teniendo en cuenta que es el valor mas alto encontrado respecto a

los demas modelos considerados en el en el analisis empleando los multiplicadores

de Lagrange.

Criterio AIC

En este criterio se evaluan los valores AIC obtenidos en cada uno de los modelos

regresivos espaciales considerados anteriormente y unos adicionales, los cuales son

presentados en la siguiente tabla.

AIC

Spatial Lag Spatial Error SARAR CAR SMA Durbin

7180.4 7162.6 7136.3 7153.6 7174 7160.7

Respecto a los resultados obtenidos, se establece que el modelo mas adecuado es

el SARAR, el cual es un modelo autorregresivo espacial combinado, en el que la

variable endogena y el error del modelo se encuentran rezagados en el espacio. Lo

anterior se establece debido a que el valor AIC de este modelo es el menor respecto

a los demas valores obtenidos de los modelos considerados.

8.13.3. Modelo regresivo espacial

A partir de lo anterior y la regresion OLS generada, se identifica un modelo SARAR

como el mas adecuado para el comportamiento de los sismos VT localizables en el volcan

73



Galeras para el periodo establecido. La presencia de esta estructura de autocorrelacion

espacial indica que las perturbaciones de primer orden determinadas por el efecto reina

en un evento estan relacionadas con los eventos vecinos y se cuenta la presencia de error

espacial autoregresivo. El modelo obtenido corresponde a la siguiente ecuacion.

ML = 0,6498− 0,4603WML+ 0,0558Num.Fases− 0,0016GAP (31)

En esta ecuacion, W hace referencia a la matriz de pesos espaciales efecto reina de

orden 1. Los valores estimados de los parametros y los estadısticos obtenidos pueden

observarse en la tabla que se presenta a continuacion.

Estimate Std. Error Z value Pr(> |Z|)(Intercept) 0.6498 0.0714 9.0903 < 2e− 16

NUM FASES 0.0558 0.0030 18.2072 < 2e− 16

GAP -0.0016 0.0001 -10.6260 < 2e− 16

Rho -0.46039 0.0527 -8.7343 < 2,22e− 16

Lambda 0.55282 0.0341 16.196 < 2,22e− 16

Considerando la prueba de hipotesis de significancia de los parametros de las variables,

la cual es contrastada al 5%, se tiene que todos son significativos estadısticamente. Por

otro lado, respecto a los parametros de dependencia espacial λ y ρ, se tiene que tambien

son significativos estadısticamente al nivel de significancia establecido.

La reduccion de variables explicativas con relacion a el modelo de regresion OLS se

debe a que cuando se establecio la relacion de las variables con el componente espacial,

la variable Profundidad no fue significativa estadısticamente en este modelo.

Respecto a la bondad de ajuste del modelo obtenido, se tiene un 20.62% por el

Nagelkerke R-cuadrado, la cual es una version ajustada del Pseudo R-cuadrado.

De acuerdo con los valores obtenidos, se establece que aproximadamente el 46% de

las perturbaciones en la Magnitud Local (ML) estan relacionadas con los eventos vecinos,

mientras que el parametro λ establece que las perturbaciones aleatorias y los cambios en

74



las variables explicativas influyen en eventos sısmicos vecinos.

Evaluando la normalidad en los residuos, se realiza el test Kolmogorov-Smirnov del

que se obtienen los siguientes resultados.


D = 0.22223, p-value < 2,2e− 16

A partir de los valores obtenidos, se realiza el contraste de la prueba de hipotesis al

5%, estableciendo de esta manera la ausencia de normalidad en los residuos; lo anterior

teniendo en cuenta que el Valor-P obtenido es menor al nivel de significancia considerado.

Teniendo en cuenta que se encuentran dos tipos de magnitudes medidas, se genera el

modelo tomando como variable respuesta la Magnitud Coda, modelo que corresponde a

la siguiente ecuacion.

Mcoda = −0,2191 + 0,6309WMcoda+ 0,03586Num.Fases− 0,00029GAP (32)

Los valores estimados de los parametros y los estadısticos asociados se encuentran en

la siguiente tabla.

Estimate Std. Error Z value Pr(> |Z|)(Intercept) -0.2191 0.0353 -6.1993 5.67e-10

NUM FASES 0.0358 2.705a-03 13.2557 < 2e− 16

GAP 2.959e-04 7.791e-05 3.7982 0.0001457

Rho 0.6309 0.02579 24.455 < 2,22e− 16

Lambda -0.6932 0.0498 -13.909 < 2,22e− 16

Estos estadısticos permiten determinar la significancia de todos los parametros, tanto

de los valores como los de dependencia espacial. De manera que el valor de Nagelkerke

R-cuadrado obtenido es de 10.24%, valor considerablemente inferior al obtenido con el

modelo descrito por la ecuacion 31.

75



Respecto a la normalidad de los residuos de este modelo, se realiza el contraste de la

respectiva prueba empleando el test Kolmogorov-Smirnov, cuyos resultados se presentan

a continuacion.


D = 0.1871, p-value < 2,2e− 16

A partir del valor de los estadısticos obtenidos, es posible afirmar que los residuos de

este modelo no presentan normalidad, teniendo en cuenta que el valor de α es menor al

5%, nivel de significancia considerado para el contraste de la hipotesis.

76



9. Conclusiones

En el analisis espacial de los eventos sısmicos volcano-tectonicos del volcan Galeras,

es posible evidenciar el comportamiento que estos presentan, la distribucion que se logra

apreciar respecto a la estructura geologica en cuestion y como esta se ve modificada por

la presencia de las demas estructuras que conforman la cadena montanosa en la que este

volcan se encuentra.

Los eventos sismologicos ocurridos en el periodo establecido de 2010 a 2012 en el area

de estudio definida, no cumplen con la hipotesis de aleatoriedad espacial completa y por

lo tanto, no se comporta como un proceso homogeneo de Poisson; en otras palabras, la

intensidad varıa en funcion de la localizacion geografica.

De manera que en el analisis del patron puntual espacial, los eventos objeto de estudio

presentaron un patron tipo cluster o agrupado, especialmente en la region en la que se

encuentra el cono activo del volcan Galeras; este aspecto se evidencio en la estimacion de

la intensidad por Kernel, en el que los graficos obtenidos permitieron evidenciar los altos

valores encontrados en la zona mencionada, presentando un pico local consecuencia del

tamano del ancho de banda optimo, el cual es pequeno considerablemente.

Es por esto que fue considerado un modelo de proceso de Poisson cluster, teniendo

en cuenta que son modelos convenientes y flexibles para el analisis de patrones de puntos

agrupados; de este modelo se obtuvo un cluster debido a el comportamiento del proceso

(analizado inicialmente) y tambien por el tamano de la muestra, factores que en el calculo

de parametros son relevantes. En las simulaciones realizadas se encuentra generalmente

un solo agrupamiento o maximo dos, lo que tiene sentido considerando que el valor de µ

obtenido es superior a la mitad de los puntos de la muestra objeto de estudio.

La presencia de autocorrelacion espacial se hace evidente en la naturaleza de los datos,

las variables analizadas (magnitud,profundidad, gap y numero de fases) y los valores que

presentan cada uno de los estadısticos empleados. Identificando posteriormente la relacion

espacial existente entre cada una de las variables y la magnitud del sismo de tipo VT

registrado en el volcan Galeras.

Por otro lado, a partir de los resultados obtenidos en cada analisis realizado, se esta-

77



blece la necesidad del ajuste de un modelo de regresion espacial dada la relacion existente

entre la magnitud de los sismos y los valores vecinos de las demas variables. De tal manera

que es posible evidenciar el impacto que presenta un evento sobre otros eventos cercanos.

Es necesario resaltar que los modelos considerados cumplen con condiciones relevantes

tales como la significancia del modelo y de los parametros, pero se encuentran debilidades

en el ajuste de los datos y en la normalidad tanto de la variable respuesta como en los

residuos del modelo; esto puede explicarse en factores como el volumen de datos y la

naturaleza de estos. La diferencia entre los valores obtenidos en los dos modelos regresivos

espaciales que consideran las magnitudes como variable respuesta, radica en la manera

como es determinada cada una de estas y las debilidades que presenta especificamente

la medicion de la magnitud coda, a pesar de que los promedios calculados en el analisis

preliminar de los datos suministrados son similares.

Lo anterior se evidencia en aspectos como las modificaciones que se presentan en

la red de monitoreo del volcan Galeras, lo que complica en gran medida el analisis de

resultados obtenidos en el modelamiento, especificamente. En el analisis de patrones

puntuales espaciales se encontro un agrupamiento significativo y valores de intensidad

que no se ven alterados por este hecho.

De la misma manera, los resultados obtenidos se ven alterados por el hecho de que

en el ano 2010 el volcan Galeras hizo erupcion, fenomeno que, como se menciono en el

estudio, se evidencia en el comportamiento sısmico de esta estructura volcanica, tanto en

el numero de sismos como en los valores de los parametros asociados a estos eventos.

Finalmente, es necesario hacer hincapie en que a pesar de que se han realizado un

gran numero de estudios asociados a la actividad volcanica, enfocados en diferentes carac-

terısticas y comportamientos propios de su actividad, este analisis es uno de los primeros

estudios realizados en el volcan Galeras empleando procesos puntuales espaciales; anali-

sis enfocado en el comportamiento de los sismos volcano-tectonicos registados en esta

estructura geologica.

Cabe resaltar que serıa apropiado considerar un lapso de tiempo mayor, que permita

identificar el comportamiento espacial de estos sismos y el de los parametros considerados

78



en el monitoreo durante periodos de inactividad y de la misma manera, entender como

es este antes, durante y despues una erupcion. Igualmente, para un analisis mas robusto

y optimo es indispensable considerar mas variables asociadas a la geologıa del volcan,

teniendo en cuenta que en la formacion de un sismo volcanico actuan diferentes gases y

lıquidos presentes en este.

79



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