INTRODUCCION

1. CONCEPTO.

El Analisis Funcional es una rama de las Matematicas que utiliza el lenguaje dela Geometrıa en el estudio de ciertas estructuras topologico-algebraicas y de losmetodos que pueden aplicarse a problemas analıticos mediante el conocimientode estas estructuras. Ası, muchos problemas en Analisis se refieren no solo a ob-jetos aislados, como funciones, medidas u operadores, sino a clases o conjuntos detales objetos. La mayorıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espaciosvectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de lımite juegan supapel en todo problema analıtico -concepto que permite hablar de diferenciacione integracion y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse ala consideracion de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espa-cios esten dotados de metricas, o al menos de topologıas, para poder establecerrelaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptosfamiliares, como el de lımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones con-tinuas, etc. Una forma simple, pero que sera fundamental en el desarrollo de estecurso, consiste en introducir una norma, obteniendose una estructura de espacionormado.

La idea crucial en el estudio del espacio vectorial clasico Rn de las n-tuplasde numeros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a ca-da elemento (x1, . . . , xn) del espacio un punto en un sistema de coordenadasortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentidogeometrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen

1

una expresion analıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar comod(x, y) =

√|x1 − y1|2 + · · ·+ |xn − yn|2. La distancia de un punto x al origen

de coordenadas, llamada norma de x, es ‖x‖ =√|x1|2 + · · ·+ |xn|2. Ademas, se

dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x1y1 + · · · + xnyn = 0; deaquı se define el producto interior de x e y como 〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xnyn. Esfacil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como‖x‖ =

√〈x, x〉 y que la distancia se define a partir de la norma mediante la

formula d(x, y) = ‖x − y‖. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultadal espacio Cn si se define el producto interior 〈x, y〉 = x1 y1 + · · · + xn yn. Es-te tratamiento algebraico para resolver problemas geometricos ha dominado elpensamiento matematico por mas de un siglo.

Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x1, . . . , xn) ∈ Cn con lafuncion x : 1, . . . , n → C definida por x(1) = x1, . . . , x(n) = xn, puede tra-tarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto1, . . . , n. Era natural, llegados a este punto, extender estas ideas a otros objetosmatematicos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidtquienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con-

junto N, donde tiene sentido el producto interior 〈x, y〉 =∞∑

n=1xn yn en el caso de

que la serie converja; pero esto ocurre cuando las sucesiones (xn)n∈N e (yn)n∈Ntienen cuadrado sumable, es decir si

∑n∈N |xn|2 < ∞ y

∑n∈N |yn|2 < ∞. Esto

origino el espacio `2 de dichas sucesiones, que es la generalizacion inmediata delespacio euclıdeo Cn.

Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones estendefinidas en un intervalo [a, b]: identificando ahora funciones que sean igualesen casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como〈f, g〉 =

∫ b

af(t) g(t)dt. Se obtiene ası el espacio L2[a, b] de las funciones complejas

f : [a, b] → C de cuadrado integrable en [a, b] con respecto a la medida deLebesgue.

Sin embargo, al pasar a espacios de dimension infinita, se presentan diferenciasfundamentales en algunas propiedades, como son:

Mientras que en el caso finito toda aplicacion lineal es continua, en el casoinfinito existen aplicaciones lineales que no son continuas.

En el caso finito toda sucesion de Cauchy es convergente pero en el casoinfinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos losllamados espacios completos; donde no es cierta, todavıa puede completarseel espacio para que valga la propiedad.

En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano-

2

Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta razon esimportante el estudio de los operadores compactos que son la generaliza-cion directa de los operadores en espacios de dimension finita.

La necesidad de considerar espacios de dimension infinita, originada por su re-lacion con las teorıas clasicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc.,permitio dar un gran impulso al desarrollo del Analisis Funcional, impulso queya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e in-terrelacion con otras ramas del Analisis, como la Mecanica Cuantica, AnalisisArmonico y Teorıa de Aproximacion e Interpolacion, entre otras.

2. EVOLUCION.

El analisis funcional nace en la resolucion de ecuaciones donde las incognitas sonfunciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estu-diadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX;luego las ecuaciones integro-diferenciales y demas ecuaciones funcionales.

A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuacionesdiferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el metodo de coe-ficientes indeterminados. Por supuesto en esa epoca no importaba demasiado laconvergencia de las series asociadas a tales problemas.

Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en laFısica Matematica:

∆u ≡ ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 : ecuacion de Laplace

∂2u

∂t2−∆u = 0 : ecuacion de ondas

∂u

∂t−∆u = 0 : ecuacion del calor

que dan lugar al Analisis Lineal, a la teorıa de series e integrales de Fourier, a lateorıa de Sturm-Liouville y a finales de siglo aparecieron los primeros ejemplos deespacios de Hilbert y algunos resultados de la teorıa espectral de operadores entales espacios. Tambien hacia el final del siglo XIX se impone la distincion entrediversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducira a laidea general de topologıa sobre un conjunto de funciones.

3

A principios del presente siglo se empezo a desarrollar la teorıa abstracta graciasa los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Vol-terra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Frechet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl,H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone,etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios,descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubrien-do el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducircuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometrıa del espa-cio finito-dimensional sino de desarrollar la geometrıa de los objetos a analizardesde un punto de vista intrınseco, sin estar sujeto a la eleccion de coordenadasni a la adopcion de bases especıficas, y usando la geometrıa euclıdea solo comoanalogıa.

Los avances experimentados durante esa epoca fueron presentados de forma sis-tematica en los famosos libros “Theorie des Operations Lineaires”, de Banach y“Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932.Ambos tratados ejercieron una gran influencia posterior y todavıa sirven de basepara un tratamiento basico del Analisis Funcional y la Teorıa de Operadores. Laaxiomatica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un artıculode 1930, fundamental en la teorıa de operadores no acotados pues establece paraellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte anos antespara operadores acotados. El interes de von Neumann en la teorıa de operadores,que arranco de la Mecanica Cuantica, le condujo a un estudio sistematico de lasalgebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrirel importante papel que representan los ideales maximales de un algebra conmu-tativa y construir ası la hoy llamada transformada de Gelfand. La axiomatizaciony discusion de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de loselementos de analisis, geometrıa y matematica aplicada ya citados ademas dela teorıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometrıa de subespacios,topologıa debil, fuerte y uniforme, teorıa de espectros y muchos otros.

A partir de los anos 40 se desplazo el interes en los espacios normados por el delos espacios localmente convexos motivado por la construccion de L. Schwartzde la teorıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones,en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teorıade distribuciones tambien ha originado la aparicion de la teorıa de operadorespseudo-diferenciales y el Analisis sobre variedades diferenciales.

4

3. CONTENIDO DEL CURSO.

Con respecto al orden de presentacion de los temas, el curso se desarrolla partien-do de los conceptos generales de espacio metrico y de aplicacion entre espaciosmetricos para, consecutivamente, ir anadiendo restricciones que motiven por unlado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de es-pacios metricos, y por otro la introduccion de los operadores lineales que actuensobre dichos espacios.

Con este esquema se consigue, en primer lugar, presentar al principio la notaciony terminologıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma decontacto con los recursos tıpicos en los que se incidira posteriormente. En segundolugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos mas generales y se refinan paraproporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular interes son losespacios clasicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde unprincipio, permitiran comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizaranlos nuevos espacios que se iran definiendo a lo largo del curso. El cırculo se cierracuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalizacioninmediata de los espacios euclıdeos y que los operadores lineales y acotados jueganel papel de matrices asociadas a homomorfismos (especialmente ilustrativo en esteaspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]).

El esquema de la pagina siguiente muestra la dependencia entre los capıtulos quecomponen el programa propuesto.

Al final de cada capıtulo se presenta una coleccion de problemas resueltos ensu totalidad, completando ası la informacion basica desarrollada a lo largo delcapıtulo. Se proponen tambien una serie de temas complementarios con referenciaa los textos en donde pueden consultarse.

Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema seproporciona en la bibliografıa final, lista que incluye tanto tratados generales, co-mo textos introductorios, ası como textos que aportan informacion suplementariaa los objetivos de este curso basico.

5

INTERDEPENDENCIA LOGICA

6

I. NOCIONES GENERALESSOBRE ESPACIOSMETRICOS

En este primer capıtulo se recuerdan los conceptos topologi-cos basicos y se adopta la terminologıa y notacion que se mane-jaran a lo largo del curso; se introducen ademas los ejemplos queserviran de modelo para las aplicaciones esenciales de la teorıa adesarrollar.

SECCIONES

1. Definiciones previas y primeros ejemplos.

2. Nociones topologicas en espacios metricos.

3. Aplicaciones entre espacios metricos.

4. Completitud en espacios metricos.

5. Compacidad en espacios metricos.

6. Ejercicios.

1

1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.

La estructura mas importante del analisis funcional es el espacio vectorial.Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamaranvectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) sien X se definen dos operaciones, suma y multiplicacion por escalar, con laspropiedades algebraicas siguientes:

(a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir:

a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x.

a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z).

a.3) Existe un unico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (noconfundirlo con el neutro de E).

a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0.

(b) La multiplicacion por escalar verifica:

b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x.

b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E).

b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x.

b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y.

Un espacio vectorial real es aquel donde E = R y un espacio vectorial com-plejo es aquel donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E,entenderemos que se trata de R o C.

Notacion: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribire-mos

A + B = x + y : x ∈ A, y ∈ B,A−B = x− y : x ∈ A, y ∈ B,A \B = x : x ∈ A, x 6∈ B (en particular Ac = X \A),

λA = λx : x ∈ A (observese que 2A 6= A + A),A×B = (x, y) : x ∈ A, y ∈ B.

Una familia finita de vectores x1, . . . , xn ⊂ X se dice linealmente inde-pendiente cuando

α1x1 + · · ·+ αnxn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0.

2

Analogamente, una coleccion arbitraria de vectores es linealmente indepen-diente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independien-te.

Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha-mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinacion linealde elementos de A, es decir si existen escalares α1, . . . , αn ∈ E y vectoresx1, . . . , xn ∈ A tales que x = α1x1 + · · ·+ αnxn. Entenderemos siempre lascombinaciones lineales finitas, aunque haya un numero infinito de elementosen la base. Se puede probar (como una aplicacion del lema de Zorn) quetodo espacio vectorial posee una base de Hamel. Ademas todas las basestienen el mismo numero de elementos, llamado dimension (algebraica) delespacio.

Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambien espacio vectorial(con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y solo si 0 ∈ Y yαY +βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio deX que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremospor 〈U〉.

Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1, . . . ,Mn, lo cualdenotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕Mn, si

X = M1 + · · ·+ Mn y Mi ∩∑j 6=i

Mj = 0, i = 1, . . . , n.

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma unica comosuma x = m1+· · ·+mn con mi ∈ Mi, i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior,se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Ycon las operaciones usuales.

En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) sepuede definir el concepto de metrica. Si ademas posee estructura de espaciovectorial, ciertas metricas daran lugar a la nocion de norma, como veremosen el capıtulo II.

1.1.- Definicion. Un espacio metrico es un par (X, d), donde X es unconjunto arbitrario no vacıo y d : X × X → R una aplicacion, llamadadistancia o metrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica:

(1) d(x, y) ≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

(3) d(x, y) = d(y, x).

(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

De la definicion son evidentes las siguientes propiedades:

3

i) d(x1, xn) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + · · ·+ d(xn−1, xn), ∀x1, x2, . . . , xn ∈ X.

ii) |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X.

iii) Si Y es un subconjunto del espacio metrico (X, d) y se define d′(y1, y2) =d(y1, y2), ∀y1, y2 ∈ Y , entonces (Y, d′) es tambien un espacio metricoy d′ se llama metrica inducida por d a Y .

1.2.- Ejemplos. 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicacion d definida

por d(x, y) =

1 si x 6= y

0 six = y,es la llamada metrica trivial o discreta.

2) Si X = R, d(x, y) = |x− y| es la distancia usual (euclıdea).

3) Para X = R2, d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 es tambien la distanciaeuclıdea.

Las aplicaciones d(x, y) = |x1−y1|+ |x2−y2| y d(x, y) = max|x1−y1|, |x2−y2| son tambien metricas en X.

4) En X = Rn son distancias

dp(x, y) =( n∑

i=1

|xi − yi|p)1/p

(p ≥ 1), y

d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|.

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topologıas equivalentes(ver teorema 5.9, capıtulo II)..

5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribircomo x = pα a

bdonde p no divide a a ni a b. Ası definimos el valor p-adico

de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0.

De este modo, d(x, y) = |x− y|p es una metrica (ver [BN]).

6) En el espacio X = x = (xn)n∈N : xn ∈ C, (xn)n∈N sucesion acotadadefinimos d(x, y) = supn |xn − yn|. Ası (X, d) es un espacio metrico y sedenota por `∞.

7) En general, si llamamos `p = x = (xn)n∈N :∑∞

n=1 |xn|p < ∞, (p ≥1), las aplicaciones dp(x, y) =

( ∑∞n=1 |xn − yn|p

)1/p son tambien distan-cias.

El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en suestudio sobre las ecuaciones integrales y constituyo el primer ejemplo de losque posteriomente definiremos como espacios de Hilbert.

4

Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) sonnecesarias las desigualdades de Holder y Minkowski que veremos posterior-mente (capıtulo II, seccion 2). Como la desigualdad triangular falla precisa-mente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1.

8) Los espacios

c = (xn)n∈N : xn ∈ C, (xn)n∈N convergente yc0 = (xn)n∈N : xn ∈ C, lım

n→∞xn = 0,

al ser subespacios de `∞, son espacios metricos con la metrica inducida por`∞.

9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la apli-cacion d(f, g) = maxx∈[a,b] |f(x) − g(x)| define tambien una distancia en elconjunto.

10) Mas generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A,d(f, g) = supx∈A |f(x)− g(x)| es tambien una distancia.

Dejamos como ejercicio la comprobacion de los axiomas de espacio metricoen los ejemplos anteriores.

2. NOCIONES TOPOLOGICAS EN ESPACIOS METRICOS.

Sea (X, d) un espacio metrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro xy radio r es el conjunto B(x, r) = y ∈ X : d(x, y) < r. Analogamente sedefinen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = y ∈ X : d(x, y) ≤ ry las esferas S(x, r) = y ∈ X : d(x, y) = r. En general, se llama diametrode un conjunto A a diam A = supd(x, y) : x, y ∈ A.

Ejemplos. 1) Si d es la metrica trivial en X, B(x, r) =

x si r ≤ 1,

X si r > 1.

2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = y ∈ R : |x− y| < r.

2.1.- Definicion. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A siexiste r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto

intA = x ∈ A : x es punto interior de A.

Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la coleccion de todos losconjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades:

5

P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒⋃

α∈I Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ındices).

P2) A1, . . . , An ∈ A =⇒⋂n

i=1 Ai ∈ A.

P3) ∅, X ∈ A.

Observacion. Recordemos que un espacio topologico es aquel en el queexiste una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1),(P2), (P3). De aquı se deduce que todo espacio metrico es a su vez un espaciotopologico.

2.2.- Definicion. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de Asi

∀r > 0 : B(x, r) ∩A 6= ∅.

El conjunto A = x ∈ X : x es punto de adherencia de A se llama clau-sura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientespropiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3)A ∪B = A ∪ B.

2.3.- Proposicion. A es abierto si y solo si Ac es cerrado.

Demostracion. Supongamos que A es abierto. Entonces

x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ intA

=⇒ (como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac.

Esto quiere decir que Ac es cerrado.

El recıproco tambien es directo. ♦

De esta proposicion y de las propiedades analogas para los abiertos, se de-ducen las siguientes:

P1) Si Aii∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces⋂i∈I Ai es cerrado.

P2) Si A1, . . . , An son cerrados,⋃n

i=1 Ai es cerrado.

P3) ∅, X son cerrados.

2.4.- Definicion. Un punto x ∈ X es punto lımite (o de acumulacion) deA ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r)∩A contiene infinitos puntos de A (lo que esequivalente a decir que contiene algun punto de A distinto de x). Se llamaconjunto derivado de A,

A′ = x ∈ X : x es punto lımite de A.

Es facil comprobar que A es cerrado si y solo si A′ ⊂ A.

6

2.5.- Definicion. Dada una sucesion (xn)n∈N de puntos de X, se dice queconverge al punto x, y se escribe xn → x, cuando

∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N.

La condicion anterior equivale a que la sucesion de numeros reales d(xn, x)n∈Nconverge a cero.

Analogamente, una sucesion de subconjuntos Ann∈N de X converge a unpunto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ındice m tal queAn ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que:

2.6.- Proposicion. Dada una sucesion arbitraria (xn)n∈N en X, si llama-mos Ak = xn : n > k, entonces xn → x si y solo si Ak converge a x.

Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la metrica trivial. Si xn → x,entonces xn = x, ∀n > N.

2) Sea Q con la distancia p-adica. Dada la sucesion pnn∈N, d(0, pn) =|p|np = cn y como c < 1, pn → 0.

2.7.- Definicion. Una sucesion (xn)n∈N en X es acotada cuando

supd(xn, xm) : n, m ∈ N < ∞.

En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0, r) conx0 arbitrario y r suficientemente grande.

Un concepto mas general, y que relacionaremos posteriormente con el decompacidad, es el siguiente:

2.8.- Definicion. Un conjunto A de un espacio metrico X se dice totalmenteacotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un numero finitode conjuntos A1, . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y diam Ai ≤ ε, i =1, . . . , p.

2.9.- Proposicion. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado.

Demostracion. Tomemos ε = 1; por hipotesis A = A1∪· · ·∪Ap con diam Ai ≤1. Para cada i ∈ 1, . . . , p, elegimos xi ∈ Ai y llamamos

δ = maxd(xi, xj), i, j = 1, . . . , p.

Dados x, y ∈ A, existiran i, j tales que x ∈ Ai, y ∈ Aj ; luego

d(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, xj) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ,

lo que prueba la acotacion de A. ♦

El recıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con lametrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 solo posee un punto y A no

7

puede cubrirse con un numero finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo,es evidente que se trata de un conjunto acotado.

2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio metrico.

a) Si (xn)n∈N es convergente, entonces esta acotada y su lımite es uni-co.

b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn, yn) → d(x, y).

Demostracion. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn, x) < 1, ∀n >N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = maxd(x1, x), . . . , d(xN , x).Entonces d(xn, x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn, xm) ≤ 2(1 + a), ∀n, m.

Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) → 0.

b) Por la desigualdad triangular, d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn).Entonces

|d(xn, yn)− d(x, y)| ≤ d(xn, x) + d(y, yn) → 0. ♦

Observacion. En R con la metrica euclıdea se verifica ademas que todasucesion monotona y acotada es convergente. Otro resultado importante esel teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesion acotada enR tiene alguna sub-sucesion convergente.

Muy utiles en lo sucesivo seran las siguientes caracterizaciones de la clausurade un conjunto.

2.11.- Proposicion. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n∈N ⊂ A tal que xn → x.

Demostracion. Si x ∈ A, por definicion, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimosun punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Esta claro que xn → x porque d(xn, x) <1/n.

Recıprocamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N(r)tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N(r), de donde B(x, r) ∩A 6= ∅. ♦

2.12.- Corolario. A es cerrado si y solo si dada cualquier sucesion (xn)n∈Ncontenida en A y xn → x, entonces x ∈ A.

2.13.- Definicion. Un subconjunto M de un espacio metrico X es densoen X si M = X. El espacio X se dice separable si posee algun subconjun-to numerable que es denso en X. En la practica se prefieren los espaciosseparables, mas simples que los otros. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la metrica discreta, es separable si ysolo si es numerable, pues ningun subespacio propio puede ser denso.

2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R.

3) C es separable pues x + iy : x, y ∈ Q es numerable y denso en C.

8

4) Veamos que `∞ no es separable:

Sea M = y = (yn)n∈N sucesion formada por ceros y unos. Asociamos acada y otro numero y ∈ [0, 1] cuya representacion binaria es y1/2 + y2/22 +· · ·+ yn/2n + . . .

Ası, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos y, z ∈ [0, 1] tienendistintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadaspor ceros y unos es tambien no numerable. (Otra forma de ver que M es nonumerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.)

Ademas, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, B(y, 1/3) : y ∈ Mes una familia no numerable de conjuntos disjuntos.

Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞, cada una de esas bolas ten-drıa algun punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debehaber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que`∞ no es separable.

5) Los espacios `p, con 1 ≤ p < ∞, son separables:

En efecto, si M = y = (y1, . . . , yn, 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k, M es numera-ble.

Ademas, ∀x = (xn)n∈N ∈ `p, dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) :∞∑

k=n+1

|xk|p <

εp/2 (por ser el resto de una serie convergente).

Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q :∑n

k=1 |xk − yk|p < εp/2. Si definimos elelemento y = (y1, . . . , yn, 0, . . . ), entonces

d(x, y)p =n∑

j=1

|xk − yk|p +∞∑

j=n+1

|xk|p < εp =⇒ d(x, y) < ε.

Esto demuestra que M es denso en `p.

3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS METRICOS.

3.1.- Definicion. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos. Se dice que unaaplicacion f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando

∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε).

9

Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicacion continua. (Es evidenteque esta definicion extiende el concepto de continuidad de funciones rea-les.)

3.2.- Proposicion. f : X → Y es continua en x0 si y solo si toda sucesion(xn)n∈N que converge a x0 verifica f(xn) → f(x0).

Demostracion. a) Sea f continua en x0. Entonces

∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε).

Si xn → x0, dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0, δ), ∀n > N. Entoncesf(xn) ∈ B(f(x0), ε).

En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f(xn) ∈ B(f(x0), ε), ∀n > N lo que significaque f(xn) → f(x0).

b) Si f no es continua en x0, entonces

∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0, δ) : f(y) 6∈ B(f(x0), ε).

Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesion (yn)n∈N tal que yn ∈B(x0, δn) y f(yn) 6∈ B(f(x0), ε). Entonces yn → x0 pero f(yn) 6→ f(x0).♦

3.3.- Proposicion. Sean X e Y dos espacios metricos y f : X → Y . Sonequivalentes:

i) f es continua.

ii) xn → x =⇒ f(xn) → f(x), ∀x ∈ X.

iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f−1(F ) ⊂ X es cerrado.

iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f−1(A) ⊂ X es abierto.

Demostracion.

i) =⇒ ii). Ya probado en la proposicion anterior.

ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f−1(F ).Veamos que A ⊂ A.

Si x ∈ A, ∃(xn)n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposicion 2.11).Por hipotesis, f(xn) → f(x), pero f(xn) ∈ F =⇒ f(x) ∈ F . Como F escerrado, f(x) ∈ F =⇒ x ∈ f−1(F ) = A.

iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hipotesis,f−1(Y \A) es cerrado. Como f−1(Y \A) = X \ f−1(A), entonces f−1(A) esabierto.

iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f(x), ε)es abierto. Esto implica por hipotesis que f−1(B(f(x), ε)) es abierto. Como

10

x ∈ f−1(B(f(x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f−1(B(f(x), ε)).De aquı se deduce que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε), como querıamos demostrar.♦

4. COMPLETITUD EN ESPACIOS METRICOS.

Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber que tipode aplicaciones conservan dichas propiedades. Ası, un isomorfismo preservala linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar losdos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aquı un concepto similarpara los espacios metricos.

4.1.- Definicion. Dados dos espacios metricos (X, d), (Y, d′), sea f : X →Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f−1 son continuas),f se llama homeomorfismo.

Los homeomorfismos preservan las propiedades topologicas esenciales: ası apli-can abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A′, f(x) ∈ f(A)′.

4.2.- Definicion. a) Si una aplicacion f : X → Y entre dos espacios metri-cos verifica que

∀x1, x2 ∈ X : d(x1, x2) = d′(f(x1), f(x2)),

entonces f se llama isometrıa.

b) Si existe una isometrıa biyectiva f : X → Y , diremos que los espaciosmetricos X e Y son isometricos.

Dos espacios isometricos son indistinguibles respecto a la metrica aunquedifieran en la naturaleza de sus puntos.

4.3.- Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico. Una aplicacion T : X → Xse llama contraccion si ∀x, y ∈ X, existe algun r ∈ (0, 1) tal que d(Tx, Ty) ≤r · d(x, y).

4.4.- Proposicion. Toda contraccion T en un espacio metrico (X, d) escontinua.

Demostracion. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos verque

∀B(Tx0, ε), ∃B(x0, δ) : T (B(x0, δ)) ⊂ B(Tx0, ε).

Sea pues x ∈ B(x0, δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que Tx ∈ B(Tx0, ε),es decir d(Tx, Tx0) < ε. Como T es contraccion, existe r ∈ (0, 1) tal

11

que d(Tx, Tx0) ≤ r · d(x, x0) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica qued(Tx, Tx0) < ε, como querıamos probar. ♦

4.5.- Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion (xn)n∈N esde Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn, xm) < ε,∀n, m > N.

Es facil comprobar que toda sucesion convergente es de Cauchy. Ademas,en R o C toda sucesion de Cauchy converge, pero en general esto no escierto.

4.6.- Definicion (Frechet, 1906). Un espacio metrico es completo si todasucesion de Cauchy es convergente.

4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la metrica trivial es comple-to.

2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo.

3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque lasucesion 1/nn∈N es de Cauchy pero su lımite es cero.

4) El conjunto X = Q con la metrica euclıdea d(x, y) = |x−y| no es completo(hay sucesiones de racionales cuyo lımite es irracional).

5) X = Q, con d(x, y) = |x− y|p, no es completo como muestra el siguienteejemplo:

Eligiendo p = 5, la sucesion xn = 12

∑nk=0(−1)k

(1/2k

)5k es de Cauchy y

converge a√−1 que no es racional.

6) Veamos que el espacio `∞ es completo:

Sea x(n)n∈N = (x(n)1 , x

(n)2 , . . . )n∈N una sucesion de Cauchy en `∞. En-

tonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N ,

d(x(m), x(n)) < ε =⇒ |x(m)i − x

(n)i | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(x(m)

i , xi) < ε.

Si llamamos x = (x1, x2, . . . ), entonces d(x(m), x) ≤ ε, es decir x(m) →x.

Por otra parte, como la sucesion (x(m)i )m∈N converge a xi, esta acotada, es

decir ∃k > 0 : |x(m)i | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular,

|xi| ≤ |xi − x(m)i |+ |x(m)

i | < ε + k,

lo que significa que (xi)i∈N esta acotada. Esto prueba que x ∈ `∞.

7) Tambien son completos los espacios `p, para 1 ≤ p < ∞.

12

Para comprobarlo, sea x(n)n∈N una sucesion de Cauchy en `p. Entonces∃N tal que, para n, m > N :

d(x(n), x(m)) =( ∑

i

|x(n)i − x

(m)i |p

)1/p< ε =⇒ |x(n)

i − x(m)i | < ε, ∀i.

Esto implica que x(n)i n∈N es de Cauchy, por lo que x

(n)i → xi ∈ C.

Si llamamos x = (x1, . . . xi, . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p :

Como∑k

i=1 |x(n)i − x

(m)i |p < εp, ∀k, entonces, haciendo m →∞,

k∑i=1

|x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒

∞∑i=1

|x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p.

Por la desigualdad de Minkowski (capıtulo II, seccion 2), x = x(n) + (x −x(n)) ∈ `p.

Ademas, d(x(n), x)p =∑∞

i=1 |x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒ x(n) → x.

8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = maxx∈[a,b] |f(x)− g(x)|, entonces X es comple-to:

Si fnn∈N es de Cauchy, maxx∈[a,b] |fn(x) − fm(x)| < ε, para n, m > N.Entonces |fn(x) − fm(x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio deconvergencia de Cauchy, fnn∈N converge uniformemente en [a, b] y, comofn son continuas, la funcion lımite tambien lo sera. Ası, X es completo.

9) X = C[a, b] con la metrica d(f, g) =(∫ b

a |f(x)− g(x)|2dx)1/2

,∀f, g ∈ X

no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesion fnn∈N definidapor

fn(x) =

0 si − 1 ≤ x ≤ 0nx si 0 < x ≤ 1/n,

1 si 1/n < x ≤ 1

13

es de Cauchy pero el lımite f(x) =

0 si − 1 ≤ x ≤ 01 si 0 < x ≤ 1,

no es continua en

x = 0.

10) X = p : [a, b] → C : p polinomio con d(p, q) = maxx∈[a,b] |p(x)− q(x)|no es completo.

Para demostrarlo, basta tomar una sucesion de polinomios que converjauniformemente a una funcion continua (por ejemplo, ex =

∑n≥0

xn

n! ).

Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente ca-racterizacion.

4.8.- Proposicion. Un subconjunto M de un espacio metrico completo Xes completo si y solo si M es cerrado en X.

Demostracion. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M, ∃xnn∈N con xn ∈M, ∀n tal que xn → x. Pero como xnn∈N converge, es de Cauchy; portanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M.

Recıprocamente, sea M cerrado y xnn∈N de Cauchy en M . Por ser Xcompleto, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M. ♦

Ejemplo. El espacio c = x = (xn)n∈N ∈ `∞ : (xn)n∈N converge en C escompleto con la metrica inducida por `∞.

En efecto, sea x = (xn)n∈N ∈ c. Entonces

∃yk = (ykn)n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |yk

n − xn| ≤ d(yk, x) < ε/3, ∀k ≥ N.

Como yNn n∈N es convergente, es de Cauchy y |yN

p −yNq | < ε/3, ∀p, q ≥ N1.

Entonces

|xp − xq| ≤ |xp − yNp |+ |yN

p − yNq |+ |yN

q − xq| < ε.

Esto implica que (xn)n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c.

Un hecho importante de la completitud es que todo espacio metrico puedeverse como subespacio de un espacio metrico completo.

4.9.- Definicion. Dado un espacio metrico (X, d), un espacio (X∗, d∗) sellama complecion de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X∗ tal que(X, d) es isometrico a (X0, d

∗).

4.10.- Teorema. Todo espacio metrico tiene una complecion y dos comple-ciones de un mismo espacio metrico son isometricas.

Demostracion (esquema):

Sea X∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy enX, mediante la relacion:

xnn∈N ∼ ynn∈N ⇐⇒: lımn

d(xn, yn) = 0.

14

Se define d∗ : X∗ ×X∗ → R como d∗(x∗, y∗) = lımn d(xn, yn) siendo xn ∈x∗, yn ∈ y∗.

Se debe probar:

a) Dicho lımite existe (para ello basta que d(xn, yn) sea de Cauchy enR).

b) La definicion no depende de los representantes elegidos.

c) d∗ es una metrica.

d) X∗ contiene un subespacio X0 isometrico a X. Para ello definimos

X0 = x∗ ∈ X∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗

y f : X → X0 como f(x) = x∗.

e) X0 = X∗.

f) X∗ es completo.

g) Si (X∗∗, d∗∗) es complecion de X, ∃f : X∗ → X∗∗ isometrıa.

Otra caracterizacion importante de los espacios completos, que solo enun-ciaremos, viene dada en terminos de sucesiones decrecientes de conjuntos oencajes.

4.11.- Definicion. Diremos que una sucesion Ann∈N de subconjuntos deX es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y diam An → 0.

4.12.- Proposicion. Sea Ann∈N un encaje de conjuntos no vacıos. En-tonces An converge a x si y solo si x ∈

⋂n∈N An.

4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espaciometrico. Son equivalentes:

i) X es completo.

ii) Todo encaje Fnn∈N de conjuntos cerrados no vacıos tiene interseccionno vacıa.

iii) Todo encaje Ann∈N de conjuntos no vacıos converge a un punto x ∈X.

15

5. COMPACIDAD EN ESPACIOS METRICOS.

5.1.- Definicion. Una familia Aii∈I de conjuntos se llama cubrimientode un conjunto A cuando A ⊂

⋃i∈I Ai. Dado un cubrimiento Aii∈I de A,

se llama subcubrimiento a todo cubrimiento Aii∈J tal que J ⊂ I.

5.2.- Definicion. Un subconjunto M de un espacio metrico X es compactosi todo cubrimiento por abiertos de M posee algun subcubrimiento finito(llamada propiedad de Borel-Lebesgue).

Ası, por ejemplo, en R con la metrica usual, el intervalo abierto (0, 1) noes compacto pues del cubrimiento (1/n, 1), n ∈ N no se puede extraerningun subcubrimiento finito.

Por otra parte, si un conjunto X posee la metrica discreta, ningun subcon-junto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar lafamilia de bolas abiertas B(x, 1/2)x∈M que es un cubrimiento de M peroque no posee ningun subcubrimiento finito.

5.3.- Definicion. Una familia Xii∈I de conjuntos es un sistema centradoo tiene la propiedad de interseccion finita si toda subfamilia finita tieneinterseccion no vacıa.

Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo sistema centradoFii∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que

⋂i∈I Fi 6= ∅.

5.4.- Proposicion. Un conjunto A en un espacio metrico X es compactosi y solo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz.

(Ver la demostracion en [CC], [KF].)

5.5.- Proposicion. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto esa su vez compacto.

La siguiente caracterizacion de los conjuntos compactos sera util en lo suce-sivo.

5.6.- Teorema. Sea X un espacio metrico y A ⊂ X. Son equivalentes:

i) A es totalmente acotado y completo.

ii) A es compacto.

iii) Toda sucesion xnn∈N contenida en A posee alguna subsucesion xnkk∈N

convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass).

Demostracion. i) =⇒ ii): Sea Aii∈I un cubrimiento por abiertos de A ysupongamos que ningun subconjunto finito cubre a A. Por hipotesis, dadoε > 0, existen K1, . . . ,Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y diam Ki ≤ ε.Ademas al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ningun sistema finito

16

de conjuntos de Aii∈I ; digamos que es K1. Por ser K1 ⊂ A, es tambientotalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existira K2 ⊂ K1 condiam K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un numero finito de conjuntos deAii∈I . Formamos ası un encaje Knn∈N de conjuntos contenidos en Aque es completo. Por el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge ax. Como x ∈ A ⊂

⋃i∈I Ai, existe A0 ∈ Aii∈I con x ∈ A0; luego para n

grande sera Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con unnumero finito de conjuntos de Aii∈I .

ii) =⇒ iii): Sea A compacto y xnn∈N una sucesion de elementos de A.Definimos Xn = xn, xn+1, . . . . Es evidente que Xnn∈N es una familiacon la propiedad de interseccion finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A talque x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para algun m es x 6∈ Xm (encaso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \Xm, por la proposicion2.11, x es el lımite de alguna subsucesion de xnn∈N.

iii) =⇒ i): Sea xnn∈N una sucesion de Cauchy en A; por hipotesis existeuna subsucesion convergente en A lo que implica que la propia sucesionconverge en A. Luego A es completo.

Si A no fuese totalmente acotado, existirıa ε > 0 tal que A no puede cu-brirse con un numero finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A yllamamos B1 = B(x1, ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1; seaB2 = B(x2, ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesionxnn∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1∪· · ·∪Bn−1, es decir d(xi, xj) ≥ ε/2con lo que ninguna subsucesion de xnn∈N puede ser convergente. ♦

5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio metrico es cerrado yacotado.

Demostracion. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M. Entonces existe unasucesion xnn∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M(pues las subsucesiones deben tener el mismo lımite que xnn∈N).

Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃ynn∈N sucesion en M no acotada talque d(yn, b) > n. Como ynn∈N no esta acotada, no puede tener ningunasub-sucesion convergente. ♦

El recıproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo:

La sucesion enn∈N ⊂ `2, donde en = (δnj)∞j=1, esta acotada y es cerradapues se trata de un conjunto formado por puntos aislados para los qued(xn, xm) =

√2. Sin embargo, no es compacto por la misma razon.

En el caso de espacios normados de dimension finita el recıproco tambien escierto como probaremos mas adelante (capıtulo II, teorema 5.7).

Hemos probado ası que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto.

17

Sin embargo su clausura sı puede serlo. Esto origina la siguiente defini-cion.

5.8.- Definicion. Un conjunto A de un espacio metrico X es relativamentecompacto si su clausura A es compacta.

Las siguientes caracterizaciones (cuya demostracion omitiremos) seran uti-les.

5.9.- Proposicion. La condicion necesaria y suficiente para que un conjuntoA de un espacio metrico completo X sea relativamente compacto, es que seatotalmente acotado.

5.10.- Proposicion. La condicion necesaria y suficiente para que un con-junto A de un espacio metrico X sea relativamente compacto es que seasecuencialmente compacto, es decir que toda sucesion de elementos de A po-sea alguna subsucesion convergente (pero no necesariamente a un punto deA).

En el analisis, uno de los espacios metricos mas importantes es C[a, b] y uncriterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (queaplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales)es el teorema de Arzela-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptosnecesarios.

5.11.- Definicion. Una familia F = ϕ de funciones definidas en [a, b] sellama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k,∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todoε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F ,

d(x1, x2) < δ =⇒ |ϕ(x1)− ϕ(x2)| < ε.

5.12.- Teorema (Arzela-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamentecompacta en C[a, b] si y solo si es equiacotada y equicontinua.

5.13.- Teorema (Arzela-Ascoli generalizado). Dados dos espacios metricoscompactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = f : X → Y : f es continua,que es espacio metrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f(x), g(x)). Unacondicion necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) searelativamente compacto es que

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1, x2) < δ =⇒ d(f(x1), f(x2)) < ε,

para cualesquiera f ∈ A, x1, x2 ∈ X.

Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen com-portarse como conjuntos finitos. Ası por ejemplo la imagen continua de uncompacto es un compacto.

18

5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicacion continua y X, Y espaciosmetricos. Si M es compacto en X, f(M) es compacto en Y .

La prueba es directa.

5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X,entonces f alcanza el maximo (y el mınimo) en algun punto de M .

Demostracion. f(M) ⊂ R es compacto, con lo que f(M) es cerrado y acota-do. Esto implica que ınf f(M) ∈ f(M) y sup f(M) ∈ f(M) y las imagenesinversas de esos puntos estan en M . ♦

19

6. EJERCICIOS.

1. Sea d una metrica en X. Determinar todas las constantes k paralas que

i) kd,

ii) d + k

es una metrica sobre X.

Resp.: i) Sea d′ = kd. Para que d′(x, y) > 0, debe ser k > 0.

Para que d′(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0.

Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constantek > 0 hace de d′ una metrica.

ii) Sea d′′ = d + k. Para que d′′(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta quek = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d′′(x, y) = d(x, y) + k = k.

Ası pues, solo para k = 0 es d′′ un metrica.

2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de cerosy unos, ¿cual es la metrica inducida sobre A?

Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn| =

1 si x 6= y

0 si x = y,se trata de la

metrica discreta.

3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mos-trar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“numero de lugaresen que x e y tienen valores diferentes.es una metrica sobre X.(Esta es la llamada distancia de Hamming y es util en teorıa deautomatas y codigos.)

Resp.: cardX = 23 = 8.

i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0.

20

ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ningun valor diferente =⇒ x = y.

El recıproco es similar.

iii) Por la simetrıa de la definicion, d(x, y) = d(y, x).

iv) Sean x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3); debido a qued(x, y) = |x1− y1|+ |x2− y2|+ |x3− y3|, por la desigualdad triangularen R se deduce que

d(x, y) =3∑

i=1

|xi − yi| =3∑

i=1

|xi − zi + zi − yi| ≤3∑

i=1

(|xi − zi|+ |zi − yi|)

=3∑

i=1

|xi − zi|+3∑

i=1

|zi − yi| = d(x, z) + d(z, y).

4. Determinar si la aplicacion d : R × R → R definida por d(x, y) =|x2 − y2| es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subcon-junto de la recta en que sı lo sea. Dar el mayor de los conjuntosque lo cumplen.

Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0.

Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y2, pero puede ser x = −y lo queimplica que d no es distancia. Si d esta definida en R+∪0 o R−∪0,x2 = y2 =⇒ x = y.

En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y

d(x, y) = |x2 − y2| ≤ |x2 − z2|+ |z2 − y2| = d(x, z) + d(y, z),

de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R.

5. a) Encontrar una sucesion que converja a cero, pero no este enningun `p, con 1 ≤ p < ∞.

b) Encontrar una sucesion que este en `p con p > 1, pero no en`1.

Resp.: a) La sucesion (1/ lnn)n≥2 evidentemente converge a cero pero,debido a que lımn→∞

1/(ln n)p

1/n = ∞, ∀p ≥ 1, la serie∑|1/(lnn)p| es

divergente.

21

b) La sucesion (1/n)n≥1 no esta en `1, pues la serie∑

1/n es diver-gente, pero esta en `p con p > 1 pues

∑1/np < ∞, ∀p > 1.

6. Sea (X, d) un espacio metrico cualquiera. Demostrar que la apli-

cacion D : X ×X → R definida por D(x, y) = d(x,y)1+d(x,y) es tambien

una distancia sobre X.

Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) =0 =⇒ x = y.

Por ser d distancia, tambien D(x, y) = D(y, x).

Por ultimo, teniendo en cuenta que la funcion y = x1+x es creciente,

resulta:

D(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)≤ d(x, z) + d(y, z)

1 + d(x, z) + d(y, z)

=d(x, z)

1 + d(x, z) + d(y, z)+

d(y, z)1 + d(x, z) + d(y, z)

≤ d(x, z)1 + d(x, z)

+d(y, z)

1 + d(y, z)= D(x, z) + D(y, z).

7. Sea (X, d) un espacio metrico y P (X) el conjunto de partes deX. Se define la aplicacion D : P (X) × P (X) → R por D(A,B) =ınfd(a, b) : a ∈ A, b ∈ B.

a) Probar que D no es una metrica en P (X).

b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A,B) = 0. ¿Que se puede decirdel recıproco?

c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x,B) = ınfb∈B d(x, b). Probar que

∀x, y ∈ X, |δ(x,B)− δ(y, B)| ≤ d(x, y).

Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A,B) = d(x, x) = 0. Sinembargo A 6= B.

b) Si D(A,B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an, bn) → 0, pero puedeser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distanciaeuclıdea de R).

22

c) Sean b, b′ ∈ B; por la desigualdad triangular,

d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b′) + d(b′, b).

Esto implica que

ınfb∈B

d(x, b) ≤ d(x, y)+ ınfb′∈B

d(y, b′)+ ınfb,b′∈B

d(b′, b) = d(x, y)+ ınfb′∈B

d(y, b′),

o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B).

Analogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x,B) + d(x, y).

8. Si (X1, d1) y (X2, d2) son espacios metricos, probar que en el es-pacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las metricas si-guientes:

d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2),d(x, y) = maxd1(x1, y1), d2(x2, y2),

donde x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X.

Resp.:

i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0.

ii) De la definicion se deduce tambien que:

d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1(x1, y1) = d2(x2, y2) = 0⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2 ⇐⇒ x = y;

d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1(x1, y1) = d2(x2, y2) = 0⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2 ⇐⇒ x = y.

iii) Es claro tambien que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x).

iv) En el caso de d, se prueba facilmente que

d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2)≤ d1(x1, z1) + d1(z1, y1) + d2(x2, z2) + d2(z2, y2) = d(x, z) + d(z, y).

Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sinperdida de generalidad, que d1(x1, y1) ≥ d2(x2, y2); ası, d(x, y) =d1(x1, y1). Entonces

d(x, y) = d1(x1, y1) ≤ d1(x1, z1) + d1(z1, y1)≤ maxd1(x1, z1), d2(x2, z2)+ maxd1(z1, y1), d2(z2, y2)= d(x, z) + d(z, y).

23

9. En R definimos la distancia d(a, b) = |a−b|1+|a−b| (ver ejercicio 6).

a) Determinar las bolas abiertas.

b) Hallar δ(2, A) donde A = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1.

c) Hallar D(A,B) donde B = x ∈ R : −2 < x < −1.

(Las aplicaciones δ y D estan definidas en el ejercicio 7.)

Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces

|x− a|1 + |x− a|

< r =⇒ |x− a| < r + r|x− a| =⇒ (1− r) · |x− a| < r.

- Si r < 1: |x− a| < r1−r =⇒ B(a, r) =

(a− r

1−r , a + r1−r

).

- Si r = 1: B(a, r) = R.

- Si r > 1 se obtiene tambien que B(a, r) = R.

b) Por definicion,

δ(2, A) = ınf0≤x≤1

d(2, x) = ınf0≤x≤1

|2− x|1 + |2− x|

= ınf0≤x≤1

2− x

3− x=

12,

pues y = 2−x3−x es una funcion decreciente en [0, 1].

c) D(A,B) = ınfd(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2,−1).

Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2,−1), d(x, y) = x−y1+x−y .

Como la derivada parcial ∂d∂x = 1

(1+x−y)2> 0, d es creciente si y es

constante.

Analogamente, como ∂d∂y = −1

(1+x−y)2< 0, entonces d es decreciente si

x es constante.

En el cuadrado [0, 1]× [−2,−1], el mınimo se alcanza en (0,−1) y vale1/2.

24

10. Probar que la clausura B(x0, r) de una bola abierta B(x0, r) enun espacio metrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0, r).

Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la metrica discreta, y x0 ∈ Xarbitrario. Entonces B(x0, 1) = x ∈ X : d(x, x0) < 1 = x0 =⇒B(x0, 1) = x0; sin embargo, B(x0, 1) = x ∈ X : d(x, x0) ≤ 1 = X.

11. Demostrar que si X es un espacio metrico, A ⊂ X y r ∈ R+,entonces Vr(A) = x ∈ X : d(x, A) ≤ r es cerrado.

Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicacion f : X → R+ definidaporf(x) = d(x,A) = ınfd(x, y) : y ∈ A es continua:

Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, paracualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0) + d(x0, b) + d(b, a). Entonces

ınfa∈A

d(x, a) ≤ d(x, x0)+ınfb∈A

d(x0, b)+ ınfa,b∈A

d(b, a) =⇒ f(x) ≤ d(x, x0)+f(x0).

Analogamente se prueba que f(x0) ≤ d(x, x0) + f(x).

En definitiva |f(x)− f(x0)| ≤ d(x, x0).

Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0) < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Como [0, r] es cerrado en R+, entonces f−1[0, r] tambien es cerrado enX. Ademas

f−1[0, r] = x ∈ E : f(x) ≤ r = x ∈ E : d(x,A) ≤ r = Vr(A).

Otra forma consiste en probar que el complementario V cr (A) es abierto:

Sea para ello x ∈ V cr (A) =⇒ d(x,A) > r. Si llamamos s = d(x,A),

veamos que B(x, (s− r)/2) ⊂ V cr (A).

∀y ∈ B(x, (s− r)/2), d(x, y) < (s− r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) +d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x,A)− d(x, y) > s− s−r

2 = s+r2 > r.

12. Probar que un espacio metrico X es separable si y solo si existeY ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε.

25

Resp.: Si X es separable, existe por definicion M ⊂ X numerabletal que ∀x ∈ X, ∃xnn∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N :d(xn, x) < ε, ∀n > N.

Recıprocamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y .Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable.

13. Sea xnn∈N una sucesion en un espacio metrico X. Probar:

a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesion xnkk∈N de xnn∈N

converge a x.

b) Si xnn∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesion conver-gente, entonces xnn∈N converge al mismo lımite que dichasub-sucesion.

Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn, x) < ε, ∀n > N , entoncesd(xnk

, x) < ε, con nk > N .

b) Por hipotesis,

∀ε > 0, ∃N1 : d(xnk, x) < ε/2 si nk ≥ N1

∃N2 : d(xn, xm) < ε/2 si n, m ≥ N2.

Tomando N = maxN1, N2, d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk

, x) < ε, sin > N .

14. Sea xnn∈N una sucesion en un espacio metrico y consideramoslas subsucesiones x2nn∈N, x2n+1n∈N, x3nn∈N que suponemosconvergentes. Demostrar que xnn∈N es convergente.

Poner un ejemplo de una sucesion no convergente y que ∀k ≥ 2,xknn∈N sea convergente.

Resp.: Supongamos que lım x2n = a, lım x3n = b, lım x2n+1 = c.

Por ser x6nn∈N subsucesion de x2nn∈N y x3nn∈N, lım x6n = a = b.

Por ser x6n+3n∈N subsucesion de x3nn∈N y x2n+1n∈N, lım x6n+3 =b = c.

26

Ası pues, lım x2n = lım x2n+1 = a. Veamos que lım xn = a:

∀ε > 0, ∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1,

∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2.

Si p = maxn1, n2, |xn − a| < ε, ∀n > p.

En cuanto a la segunda parte, si definimos xn =

1 si n no es primon si n es primo,

entonces xkn = 1, ∀n, pero xnn∈N no converge.

15. Sea unn∈N, un ∈ R, un ≥ 0 tal que lımn→∞ un = 0. Demostrarque existe una infinidad de ındices n tales que para cada m > n,un ≥ um.

Resp.: Por hipotesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN+1, . . . < ε.

Por ser convergente, unn∈N esta acotada superiormente, con lo quetiene supremo. Dicho supremo esta en el conjunto porque, en casocontrario, serıa un punto de acumulacion no nulo y la sucesion nopodrıa ser convergente a 0.

Si uν0 es dicho maximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0.

Tomamos ahora la sucesion uν0+1, . . . y aplicamos el mismo razona-miento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um,∀m > ν1, y ası sucesiva-mente.

Es evidente que la sucesion uν0 , uν1 , . . . es decreciente.

Otra forma (por reduccion al absurdo):

Si solo existiera un conjunto finito de ındices n0, . . . , nk para el queum ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces

∃m1 : um1 > unk+1,

∃m2 > m1 : um2 > um1 ,

...

Esto indica que la subsucesion umkk∈N es creciente y no tiene lımite

cero, lo que contradice la hipotesis.

27

16. Si d1, d2 son metricas equivalentes sobre X, probar que las suce-siones de Cauchy en (X, d1) y (X, d2) son las mismas.

Resp.: Por hipotesis, ∃a, b > 0 : a · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ b · d1(x, y).

Si xnn∈N es de Cauchy en (X, d1), d1(xn, xm) < ε/b, ∀n, m > Nε.Entonces d2(xn, xm) ≤ b ·d1(xn, xm) < ε. Esto implica que xnn∈N esde Cauchy respecto a d2.

Analogamente se prueba la segunda parte.

17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio metrico X,demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f(x) = 0,∀x ∈ A y f(x) = 1, ∀x ∈ B.

Resp.: Basta definir f(x) = d(x,A)d(x,A)+d(x,B) . El denominador nunca se

anula por lo que f esta definida en todo X.

18. Sea f : R → R una aplicacion continua y periodica tal que elconjunto T : T es perıodo de f es denso en R. Demostrar quef es constante.

Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn)n∈N : Tn → x y f(a + Tn) = f(a), ∀a ∈ R. Enparticular f(Tn) = f(0 + Tn) = f(0).

Como Tn → x y f es continua, f(Tn) → f(x). Por tanto, f(x) =f(0), ∀x ∈ R.

19. Sea f : X → Y una aplicacion tal que f |A : A → f(A) es continua,con A ⊂ X. ¿Es f continua en A?

Resp.: No, pues la funcion de Dirichlet f(x) =

0 si x ∈ Q1 si x 6∈ Q,

no lo

satisface. La restriccion f |Q es continua y constante pero lımx→a f(x) 6=f(a) con a ∈ Q.

28

20. Sea f : R → R una funcion aditiva y continua en x0. Demostrarque f es continua en R y que f(x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo.

Resp.: a) Veamos que f es continua en R.

Por hipotesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Debemos probar que f es continua en x, es decir

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f(y)− f(x)| < ε.

Pero si |y − x| < δ, entonces

|y − x + x0 − x0| < δ =⇒ |f(y − x + x0)− f(x0)| < ε

=⇒ |f(y)− f(x) + f(x0)− f(x0)| = |f(y)− f(x)| < ε.

b) ∀n ∈ N, es claro que f(n) = nf(1). Llamamos a = f(1).

Por una parte, f(x) = f(0 + x) = f(0) + f(x) =⇒ f(0) = 0.

Ademas, 0 = f(1+(−1)) = f(1)+f(−1). Esto implica que f(−1) = −ay f(−m) = mf(−1) = −am.

Por otra parte, a = f(1) = f(q/q) = qf(1/q) =⇒ f(1/q) = a · (1/q).Entonces f(p/q) = pf(1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q).

Por ultimo, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f(xn) →f(x). Como f(xn) = axn, f(xn) → ax, de modo que ax = f(x).

21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continuay sobre, g es continua y g f es homeomorfismo. Demostrar quef y g son homeomorfismos.

Resp.: Como g f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entoncesf es biyectiva.

Dado A abierto en E, (g f)(A) es abierto en G. Como g es conti-nua, f(A) es abierto en F. Esto implica que f−1 es continua y f eshomeomorfismo.

∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces

(g f)−1(g(x)) = (g f)−1(g(y)) =⇒ f−1(x) = f−1(y) =⇒ x = y.

Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva.

29

Dado B abierto en F, f−1(B) es abierto en E. Entonces (gf)f−1(B) =g(B) es abierto en G =⇒ g−1 continua =⇒ g homeomorfismo.

Otra forma: g = g f f−1 con g f biyectiva y f−1 biyectiva =⇒ gbiyectiva.

g−1 = f f−1 g−1 con f continua y f−1 g−1 continua =⇒ g−1

continua.

f−1 = f−1 g−1 g con g continua y f−1 g−1 continua =⇒ f−1

continua.

22. Sea f : R → R una aplicacion estrictamente creciente. Probar quela funcion D(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre R peroD no es equivalente a | · |.

Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f(x) = f(y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva porser estrictamente creciente).

D(x, y) = |f(x)−f(y)| = |f(x)−f(z)+f(z)−f(y)| ≤ D(x, z)+D(z, y).

El resto es evidente.

b) Si f no es continua en x0, ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0| < δ pero|f(x)− f(x0)| ≥ ε.

Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f(x) − f(y)| ≤b · |x− y|.

Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f(x) − f(x0)| ≤ b · |x − x0| < b · ε/b = ε, locual es absurdo.

23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un numero finitode terminos no nulos. Probar que M no es completo.

Resp.: Construimos la sucesion x(n)n∈N siguiente:

x(1) = (1, 0, . . . )x(2) = (1, 1/4, 0, . . . )

. . .

x(n) = (1, 1/4, . . . , 1/n2, 0, . . . ).

Si m > n, d(x(n), x(m)) = sup |x(n)j − x

(m)j | = 1

(n+1)2→ 0.

30

Ası definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero lımn→∞

x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2, . . . ) 6∈M .

24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesion sn = 1 + 11! + · · · + 1

n! .Demostrar que snn∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello queQ no es completo.

Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm| → 0.

En efecto, si suponemos que n > m,

|sn − sm| =1

(m + 1)!+ · · ·+ 1

n!≤

∞∑k=m+1

1k!→ 0

por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =∑∞

n=0 1/n!).

Ahora bien, como lımn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo.

25. Probar que todo espacio con la metrica discreta es completo.

Resp.: Si X posee la metrica discreta, y xnn∈N es de Cauchy en X,entonces ∀n, m > N, xn = xm. Esto implica que xnn∈N es conver-gente.

26. Si (X1, d1), (X2, d2) son espacios metricos isometricos y X1 escompleto, probar que X2 es completo.

Resp.: Sea ynn∈N una sucesion de Cauchy en X2. Como X1 y X2

son isometricos, ∃f : X1 → X2 isometrıa biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈X1 : f(xn) = yn.

Ademas, d2(yn, ym) = d2(f(xn), f(xm)) = d1(xn, xm). Por tanto, xnn∈Nes de Cauchy en X1. Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x,de donde d2(yn, f(x)) = d1(xn, x) → 0 =⇒ ynn∈N converge a f(x).

31

27. Demostrar que toda isometrıa f : R → R cumple que f(x) = a + xo f(x) = a− x.

Resp.: Por ser f isometrıa, |f(x)− f(y)| = |x− y|.

En particular, |f(x) − f(0)| = |x|, es decir f(x) − f(0) = x o f(x) −f(0) = −x. Ahora bien, si existieran x1, x2 ∈ R, x1 6= x2 tales quef(x1) − f(0) = x1 y f(x2) − f(0) = −x2, entonces f(x1) − f(x2) =x1 + x2 =⇒ |f(x1)− f(x2)| = |x1 + x2| 6= |x1 − x2| si x1, x2 6= 0.

Llamando f(0) = a, se obtiene el resultado.

28. Un espacio metrico se dice localmente compacto si todo puntotiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacioslocalmente compactos pero no compactos.

Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn o Cn, cualquier bola cerradacentrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotadocontenido en un espacio de dimension finita). Sin embargo, los espaciosRn y Cn no son compactos pues no son acotados.

29. Sea X un conjunto no vacıo. Una aplicacion d : X × X → R sellama pseudometrica si se verifica lo siguiente:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X.

ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X.

iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.

¿La funcion d(x, y) =∫ ba |x(t)−y(t)|dt define una metrica o pseu-

dometrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrablesRiemann en [a, b]?

Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes.

Por otra parte, como

|x(t)− y(t)| ≤ |x(t)− z(t)|+ |z(t)− y(t)|, ∀t ∈ [a, b],

32

entonces∫ b

a|x(t)− y(t)|dt ≤

∫ b

a|x(t)− z(t)|dt +

∫ b

a|z(t)− y(t)|dt.

Ademas, si x, y ∈ C[a, b] y∫ ba |x(t)− y(t)|dt = 0, entonces x = y.

Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) yson integrables,

∫ ba |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicacion,

definida en R[a, b], es una pseudometrica.

30. a) Si tenemos una pseudometrica d sobre X, vamos a estableceruna relacion binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ esde equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructuraren espacio metrico mediante una distancia que se puede definirde forma natural a partir de d.

b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por

d(a, b) = |a1 − b1|, si a = (a1, a2), b = (b1, b2),

es pseudometrica sobre R2. Determinar el conjunto cociente y ladistancia definida sobre el.

Resp.: a) Sea x∗ = y ∈ X : y ∼ x = y ∈ X : d(x, y) = 0.Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗(x∗, y∗) = d(x, y), donde x ∈x∗, y ∈ y∗.

- d∗ esta bien definida: ∀x, x′ ∈ x∗, y, y′ ∈ y∗:

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y) = d(x′, y′)d(x′, y′) ≤ d(x′, x) + d(x, y′) + d(y, y′) = d(x, y)

=⇒ d(x, y) = d(x′, y′).

- d∗ es una metrica: d∗(x∗, y∗) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒x∗ = y∗.

d∗(x∗, y∗) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗(x∗, z∗) + d∗(z∗, y∗).

b) Es facil comprobar que d es pseudometrica. Debido a que

a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1| = 0 ⇐⇒ a1 = b1,

podemos caracterizar a∗ = x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 = a1. De estemodo, R2/∼ = (x, 0) : x ∈ R y la distancia en el espacio cociente esd∗(a∗, b∗) = |a1 − b1|.

33

31. Sea d una distancia en un conjunto X. Diremos que d es ul-trametrica si d(x, z) ≤ maxd(x, y), d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.

Supongamos que d es ultrametrica.

a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = maxd(a, b), d(b, c).

b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto ycerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).

c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abiertoy cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).

d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en comun, una deellas esta contenida en la otra.

e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas deradio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual ar.

Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces

d(a, c) ≤ maxd(a, b), d(b, c) = d(b, c) ≤ maxd(b, a), d(a, c) = d(a, c)=⇒ d(a, c) = d(b, c) = maxd(a, b), d(b, c).

Si d(a, b) > d(b, c), entonces

d(a, c) ≤ maxd(a, b), d(b, c) = d(a, b) ≤ maxd(a, c), d(c, b) = d(a, c)=⇒ d(a, c) = d(a, b) = maxd(a, b), d(b, c).

b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε.

Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ maxd(a, y), d(y, x) < r =⇒ x ∈ B(a, r).

Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusion:

c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ maxd(a, b), d(b, c) < r =⇒ c ∈ B(a, r),c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ maxd(c, a), d(a, b) < r =⇒ c ∈ B(b, r).

c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y solo si

∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r).

Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y

d(a, z) ≤ maxd(a, y), d(y, z) ≤ r.

34

La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma analoga al apartadob).

d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entoncesd(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ maxd(a, x), d(x, b) <s.

Ademas ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ maxd(y, a), d(a, b) < s =⇒ y ∈B(b, s).

Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y porb), B(a, r) = B(b, r).

e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅.

Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒d(A,B) = r.

Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ maxd(x, c), d(c, y) ≤ r =⇒ d(A,B) ≤ r.Como d(A,B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A,B) = r.

32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones in-finitas de elementos de X, E = x = (xn)n∈N : xn ∈ X. Para cadapar de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn, ∀n < k yxk 6= yk, es decir, k es el menor ındice que cumple que xn 6= yn. Si

definimos ahora d(x, y) =

1/K(x, y) si x 6= y

0 si x = y,demostrar que

d es distancia ultrametrica sobre E.

Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y.

Tambien es claro que d(x, y) = d(y, x).

Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2. Si n1 = n2,es evidente que K(x, z) = n1. Si n1 < n2, entonces

x1 = y1, . . . , xn1−1 = yn1−1, xn1 6= yn1

y1 = z1, . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2−1 = zn2−1,, yn2 6= zn2

=⇒ K(x, z) = n1.

En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z).

Ademas maxd(x, y), d(y, z) = 1/n1 = d(x, z).

35

33. a) Si X es un espacio metrico, demostrar que la condicion nece-saria para que una sucesion xnn∈N sea de Cauchy es que

∀ε > 0, ∃n0 : d(xn, xn+1) < ε si n > n0.

Demostrar el recıproco con un contraejemplo.

b) Sea X un espacio ultrametrico. Probar que la condicion nece-saria y suficiente para que una sucesion de elementos de X seade Cauchy es que lım

n→∞d(xn, xn+1) = 0.

Resp.: a) La primera parte es evidente.

Para el recıproco, consideramos la sucesion xn = 1 + 1/2 + · · ·+ 1/n.

Resulta entonces que d(xn, xn+1) = 1n+1 < ε si n > 1/ε.

Sin embargo, si tomamos ε = 1/2,

d(xN , x2N ) =∣∣∣ 1N + 1

+ · · ·+ 12N

∣∣∣ >1

2N+ · · ·+ 1

2N=

12, ∀n ∈ N,

es decir xnn∈N no es de Cauchy.

b) Supongamos que lımn→∞

d(xn, xn+1) = 0, es decir d(xn, xn+1) <

ε, ∀n > n0. Sean p > q > n0; entonces d(xp, xq) ≤ maxd(xq, xq+1), d(xq+1, xp).

A su vez, d(xq+1, xp) ≤ maxd(xq+1, xq+2), d(xq+2, xp).

Repitiendo el proceso, obtenemos que

d(xp−2, xp) ≤ maxd(xp−2, xp−1), d(xp−1, xp) < ε.

En definitiva, d(xp, xq) < ε y xnn∈N es de Cauchy.

36

II. ESPACIOS NORMADOSY ESPACIOS DEBANACH

Se pretende en este capıtulo establecer los resultados genera-les relacionados con el concepto de norma en un espacio vecto-rial ası como mostrar las distintas tecnicas que se aplican en lasdemostraciones de estos hechos. Sera fundamental entender elconcepto de acotacion de un operador lineal ası como su relacioncon el de continuidad.

SECCIONES

1. Espacios normados. Definicion y ejemplos.

2. Desigualdades de Holder y Minkowski.

3. Espacios Lp.

4. Propiedades de los espacios normados.

5. Espacios normados de dimension finita.

6. Operadores lineales acotados.

7. Funcionales lineales. Espacio dual.

8. Ejercicios.

37

1. ESPACIOS NORMADOS. DEFINICION Y EJEMPLOS.

En este capıtulo consideraremos metricas definidas en espacios dotados dealguna estructura algebraica, mas concretamente en espacios vectoriales, talcomo se presenta en las aplicaciones que se presentan en esta teorıa.

En un espacio vectorial X son de particular importancia las metricas queverifican

i) d(x+ a, y + a) = d(x, y), es decir, d es invariante por traslaciones,

ii) d(αx, αy) = |α| · d(x, y), es decir, d aumenta proporcionalmente a ladilatacion,

pues basta conocer d(x, 0), ∀x ∈ X para determinar completamente la dis-tancia entre dos elementos cualesquiera, ya que d(x, y) = d(x − y, 0). Defi-nimos entonces la longitud o norma de un vector x por ‖x‖ = d(x, 0). Estosugiere, en un contexto abstracto, la siguiente definicion axiomatica.

1.1.- Definicion. Un espacio normado es un par (X, ‖ · ‖) formado por unespacio vectorial X y una aplicacion ‖ · ‖ : X → R, llamada norma, con lassiguientes propiedades:

(i) ‖x‖ ≥ 0.

(ii) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0.

(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖.

(iv) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdad triangular).

Si no se exige la condicion (ii), la aplicacion ‖ · ‖ se llama seminorma.

Observaciones. 1) Todo espacio normado es a su vez un espacio metrico,pues basta, dado (X, ‖ · ‖), definir d(x, y) = ‖x− y‖. Ası todas las nocionesde espacios metricos estan definidas tambien para los espacios normados.En particular, los conjuntos B(0, 1) = x ∈ X : ‖x‖ < 1, B(0, 1) = x ∈X : ‖x‖ ≤ 1 son las bolas unitarias abierta y cerrada de X, respectivamen-te.

2) El recıproco de lo anterior no es cierto, es decir, no todo espacio metricoes normado. Por ejemplo, X = (a1, . . . an, . . . ) : an ∈ C sobre el cuerpo C

es espacio vectorial; si definimos d(x, y) =∞∑i=1

12i· |ai − bi|1 + |ai − bi|

, se puede ver

que es espacio metrico, pero para λ ∈ C, d(λx, λy) 6= |λ| d(x, y) con lo que,si definieramos la “norma.a partir de la distancia, obtendrıamos ‖λx−λy‖ 6=|λ|·‖x−y‖ y X no serıa espacio normado de esa forma. Otro ejemplo sencillo

38

es la metrica discreta pues ‖2x‖ = d(2x, 0) = 1 pero |2| · ‖x‖ = 2 · d(x, 0) =2.

Sin embargo, la motivacion dada al principio permite probar lo siguien-te.

1.2.- Proposicion. Si (X, ‖·‖) es un espacio normado, la aplicacion d(x, y) =‖x− y‖, ∀x, y ∈ X verifica

i) d(x+ z, y + z) = d(x, y);

ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y).

Recıprocamente, si X es un espacio vectorial y (X, d) es un espacio metricoen el que se verifican i) y ii), entonces (X, ‖ · ‖) es un espacio normado,donde ‖x‖ = d(x, 0).

La demostracion es evidente.

1.3.- Definicion. Sea X un espacio vectorial normado, en el que se definela metrica d(x, y) = ‖x − y‖. Si (X, d) es completo, X se dice espacio deBanach.

1.4.- Ejemplos. 1) X = R o C con la norma del valor absoluto son espaciosde Banach.

2) X = Rn o Cn con la norma ‖x‖ = (∑n

i=1 |xi|p)1/p ( p ≥ 1) es de Banach.Los axiomas i), ii) y iii) de norma son evidentes y la desigualdad triangularse deduce de la desigualdad de Minkowski. Veamos que es completo:

Sea xk = (xk1, . . . , xkn), k ∈ N una sucesion de Cauchy en Rn. Enton-ces

‖xp − xq‖ < ε, ∀p, q > N =⇒ |xpi − xqi| < ε, ∀p, q > N, 1 ≤ i ≤ n.

Esto implica que ∃xi ∈ R : |xki − xi| < ε, 1 ≤ i ≤ n.

Si llamamos x = (x1, . . . , xn), resulta que ‖xk − x‖p =∑n

i=1 |xki − xi|p <nεp.

3) Sea `p = x = (xn)n∈N : xn ∈ C,∑∞

n=1 |xn|p < ∞ (p ≥ 1), y definimos‖x‖p =

(∑∞n=1 |xn|p

)1/p.

Al igual que en el ejemplo 2, la desigualdad de Minkowski (para sumasinfinitas) permite probar que es una norma. La completitud fue probada enel capıtulo I; veremos ademas que se puede deducir de un caso mas general(ver seccion siguiente).

4) Sea `∞ = x = (xn)n∈N : xn ∈ C, xnn∈N acotada, y definimos ‖x‖ =supn |xn|. Ası (X, d) es un espacio de Banach, como vimos en el capıtuloI.

39

5)X = C[a, b] (funciones continuas en [a, b]), con la norma ‖f‖ = maxx∈[a,b]

|f(x)|

es de Banach, como ya vimos en el capıtulo anterior.

6) El mismo espacio anterior C[a, b] con la norma ‖f‖ =(∫ b

a |f(x)|2dx)1/2

no es completo. Sin embargo, este espacio puede completarse como vere-mos despues y su complecion es precisamente el espacio L2[a, b] (ver seccion3).

7) Si X = B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, la norma‖f‖ = sup

x∈A|f(x)| tambien da lugar a un espacio de Banach.

8) Sea VA[a, b] la clase de funciones de variacion acotada en [a, b]. Es unespacio vectorial con las operaciones usuales y se define la norma ‖f‖ =|f(a)|+V (f) donde V (f) representa la variacion total de f que convierte alespacio VA[a, b] en un espacio de Banach.

2. DESIGUALDADES DE HOLDER Y MINKOWSKI.

En algunos ejemplos de espacios normados la desigualdad triangular se de-duce de la desigualdad de Minkowski que probaremos en este apartado comoconsecuencia de la desigualdad de Holder. En el siguiente apartado utiliza-remos estas desigualdades para definir normas en otros ejemplos de espaciosde funciones, que han sido fundamentales en el desarrollo del Analisis Fun-cional.

2.1.- Lema. Sean α, β > 0, 0 < λ < 1. Entonces αλβ1−λ ≤ λα+ (1− λ)β.Ademas la igualdad es cierta si y solo si α = β.

Demostracion. Se define ϕ(t) = (1− λ) + λt− tλ para t ≥ 0.

Ası ϕ′(t) = λ − λtλ−1 que sera negativo si t < 1 y positivo si t > 1. Portanto, el punto t = 1 corresponde a un mınimo.

Como ϕ(t) ≥ ϕ(1) = 0, entonces 1− λ+ λt ≥ tλ.

Haciendo t = α/β se deduce el resultado (para β 6= 0).

Si β = 0, el resultado es trivial. ♦

Observaciones. 1) El lema anterior expresa que la media geometrica esmenor o igual a la media aritmetica, porque si hacemos λ = k/n, 1 − λ =

40

(n− k)/n, tenemos αk/n · βn−k/n ≤ kα/n+ (n− k)β/n de donde

n

√α (k). . . α · β (n−k). . . β ≤ α+ (k). . . +α+ β+ (n−k). . . +β

n.

2) Si α = ex1 , β = ex2 , el lema indica que

eλx1+(1−λ)x2 = eλx1e(1−λ)x2 ≤ λex1 + (1− λ)ex2 ,

es decir que la funcion exponencial es convexa.

2.2.- Teorema. Sean (X,S, µ) un espacio medible, f, g : X → [0,∞] fun-ciones medibles, 1 < p <∞ y 1/p+ 1/q = 1. Entonces:

a) (desigualdad de Holder)∫X

(fg)dµ ≤(∫

Xfpdµ

)1/p

·(∫

Xgqdµ

)1/q

.

b) (desigualdad de Minkowski)(∫X

(f + g)pdµ

)1/p

≤(∫

Xfpdµ

)1/p

+(∫

Xgpdµ

)1/p

.

Demostracion. a) Llamamos A =(∫

X fpdµ)1/p, B =

(∫X gqdµ

)1/q y distin-guimos tres casos:

- A = 0 (o B = 0). Como f ≥ 0, fp = 0 c.s. =⇒ f = 0 c.s. =⇒ f · g = 0c.s. Ası pues

∫X fgdµ = 0.

- A = ∞ (o B = ∞). Es evidente que∫X fgdµ ≤ ∞.

- 0 < A,B <∞. Debemos probar que∫X fgdµ ≤ A·B, o bien

∫X

fA ·

gBdµ ≤

1.Si aplicamos el lema anterior a α = fp/Ap, β = gq/Bq, λ = 1/p,1− λ = 1/q, resulta:

f

A· gB≤ 1p· f

p

Ap+

1q· g

q

Bq,

desigualdad valida ∀x ∈ X. Integrando miembro a miembro,∫X

f

A· gBdµ ≤ 1

p ·Ap·Ap +

1q ·Bq

·Bq = 1, c.q.d.

b) Debido a que (f + g)p = (f + g)(f + g)p−1 = f(f + g)p−1 + g(f +g)p−1, aplicando la desigualdad de Holder a cada uno de los sumandos,

41

tenemos:∫Xf(f + g)p−1dµ ≤

(∫Xfpdµ

)1/p(∫X

(f + g)q(p−1)dµ

)1/q

,∫Xg(f + g)p−1dµ ≤

(∫Xgpdµ

)1/p(∫X

(f + g)q(p−1)dµ

)1/q

,

=⇒∫

X(f + g)pdµ ≤

[(∫Xfpdµ

)1/p

+(∫

Xgpdµ

)1/p]·(∫

X(f + g)pdµ

)1/q

,

debido a que q(p−1) = p. Si llamamos ahora C =(∫

X(f + g)pdµ)1/q, caben

los siguientes casos:

- C = 0 =⇒∫X(f + g)pdµ = 0 y la desigualdad es evidente.

- C = ∞ =⇒∫X(f + g)pdµ = ∞. Como la funcion y = xp es convexa,

(f(x)/2 + g(x)/2)p ≤ f(x)p/2 + g(x)p/2, de donde:

12p

(f+g)p ≤ 12(fp+gp) =⇒ 1

2p

∫X

(f+g)pdµ ≤ 12

[∫Xfpdµ+

∫Xgpdµ

].

Como∫X(f + g)pdµ = ∞, debe ser

∫X fpdµ = ∞ o

∫X gpdµ = ∞.

- 0 < C < ∞ =⇒[∫

X(f + g)pdµ]1−1/q ≤

(∫X fpdµ

)1/p +(∫

X gpdµ)1/p, lo

que da lugar al resultado deseado. ♦

El teorema anterior tiene las siguientes consecuencias.

2.3.- Corolario. Si f, g : X → [0,∞] son medibles y 0 < p < 1, 1/p+1/q =1, entonces

a)∫X fgdµ ≥

(∫X fpdµ

)1/p (∫X gqdµ

)1/q.

b)(∫

X(f + g)pdµ)1/p ≥

(∫X fpdµ

)1/p +(∫

X gpdµ)1/p

,

donde suponemos que las integrales involucradas son finitas y(∫

X gqdµ)1/q 6=

0.

Demostracion. a) Sea p′ = 1/p y llamamos ψ = (fg)p = (fg)1/p′ , ϕ =g−p = g−1/p′ . De este modo, 1 < p′ < ∞, fp = ψϕ y ψ,ϕ son medibles.Entonces ∫

Xfpdµ =

∫Xψϕdµ ≤

(∫Xψp′dµ

)1/p′ (∫Xϕq′dµ

)1/q′

,

donde 1/p′ + 1/q′ = 1. Debido a que ϕq′ = gq y ψp′ = fg, obtenemos:∫Xfpdµ ≤

(∫Xfgdµ

)1/p′ (∫Xgqdµ

)1/pq′

.

42

De las relaciones anteriores se deduce que pp′ = 1, pq′ = −q, con lo que:(∫Xfpdµ

)1/p

·(∫

Xgqdµ

)1/q

≤(∫

Xfgdµ

), c.q.d.

b) De la igualdad (f + g)p = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1, se deduce:∫X

(f + g)pdµ =∫

Xf(f + g)p−1dµ+

∫Xg(f + g)p−1dµ

≥(∫

Xfpdµ

)1/p

·(∫

X(f + g)q(p−1)dµ

)1/q

+(∫

Xgpdµ

)1/p

·(∫

X(f + g)q(p−1)dµ

)1/q

=

[(∫Xfpdµ

)1/p

+(∫

Xgpdµ

)1/p]·(∫

X(f + g)q(p−1)dµ

)1/q

.

Suponiendo que∫X(f + g)pdµ <∞, se deduce el resultado. ♦

2.4.- Corolario. En las condiciones del teorema 2,2, la desigualdad deHolder se convierte en igualdad si y solo si existen λ1, λ2 constantes nonulas a la vez tales que λ1f

p = λ2gq c.s.

Demostracion. Al igual que en el lema 2.1, la igualdad es cierta si y solosi

fp∫X fpdµ

=gq∫

X gqdµ, es decir fp ·

∫Xgqdµ = gq ·

∫Xfpdµ,

con λ1 =∫X gqdµ y λ2 =

∫X fpdµ no nulas ambas.

Podemos suponer ademas λ1 = 0, λ2 6= 0 pues entonces 0 = λ2gq c.s.

=⇒ gq = 0 c.s. =⇒ g = 0 c.s. y se verifica la igualdad. ♦

Observaciones. 1) Si X es un conjunto numerable, digamos por comodidadX = N, P (N) la σ-algebra formada por los subconjuntos de N, µ : P (N) →[0,∞] la medida de contar, definida por µ(A) = cardA, toda aplicacionf : N → C es medible pues ∀V abierto, f−1(V ) ⊂ N =⇒ f−1(V ) ∈ P (N).Ası pues, si f : N → [0,∞] es medible, f(n) = |xn|,∫

Nfpdµ =

∫∪n∈Nn

fpdµ =∑n∈N

∫n

fpdµ =∑n∈N

f(n)p =∑n∈N

|xn|p.

Esto permite escribir las desigualdades de Holder y Minkowski para sumasfinitas o series numericas. Estas serıan:

∞∑i=1

|xiyi| ≤

( ∞∑i=1

|xi|p)1/p

·

( ∞∑i=1

|yi|q)1/q

,

43

( ∞∑i=1

|xi + yi|p)1/p

≤

( ∞∑i=1

|xi|p)1/p

+

( ∞∑i=1

|yi|p)1/p

.

2) En el caso de p = 1 o p = ∞ se prueban tambien desigualdades analogasque quedan de la forma∑

i∈N

|xiyi| ≤∑i∈N

|xi| · supi∈N

|yi|,

supi∈N

|xi + yi| ≤ supi∈N

|xi|+ supi∈N

|yi|.

3) En el caso particular de que p = q = 2, la desigualdad de Holder se llamadesigualdad de Cauchy-Schwarz, de importancia en espacios dotados de unaestructura geometrica (considerados en el capıtulo III).

3. ESPACIOS Lp.

Los ejemplos mas utiles de espacios normados corresponden a los llamadosespacios Lp. Fueron ademas los que dieron impulso al desarrollo de la teorıade espacios de Hilbert y espacios normados.

Supondremos en esta seccion que X es un espacio de medida y µ una me-dida positiva. Es conocido el espacio de funciones de modulo integrable,representado por

L1(µ) = f : X → C : f medible y∫

X|f |dµ <∞.

Si ahora hacemos 1 ≤ p <∞, definimos analogamente el espacio de funcionesde potencia p-esima integrable, como

Lp(µ) = f : X → C : f medible y∫

X|f |pdµ <∞.

Si definimos la aplicacion ‖ · ‖p : Lp(µ) → R por ‖f‖p =(∫

X |f |pdµ)1/p, es

evidente que Lp(µ) = f : X → C : f medible y ‖f‖p <∞.

En el caso de p = ∞ procedemos de una forma algo diferente:

Si g : X → C es una funcion medible, tambien es medible |g|; sabemos que∀α ∈ R, |g|−1(α,∞] es medible y podemos definir el conjunto

S = α ∈ R : µ(|g|−1(α,∞]) = 0.

44

Llamamos supremo esencial de |g| a ‖g‖∞ = ınf S, cuando S 6= ∅, y ‖g‖∞ =∞, cuando S = ∅. Probemos en primer lugar la existencia de dicho ınfimo;para ello basta probar que 0 es una cota inferior de S:

En efecto, si existiera α ∈ S tal que α < 0, entonces de la inclusion [0,∞] ⊂(α,∞] se deduce que

|g|−1[0,∞] ⊂ |g|−1(α,∞] =⇒ µ(X) = µ(|g|−1[0,∞]) ≤ µ(|g|−1(α,∞]) = 0=⇒ µ(X) = 0,

lo cual es absurdo.

Lo anterior permite definir el espacio

L∞(µ) = f : X → C : f medible y ‖f‖∞ <∞

que llamaremos espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas.

Una caracterizacion del supremo esencial la proporciona el siguiente le-ma:

3.1.- Lema. Dada f : X → C medible, se tiene

|f(x)| ≤ λ para casi todo x⇐⇒ ‖f‖∞ ≤ λ.

En consecuencia, |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x (haciendo λ = ‖f‖∞) y‖f‖∞ es la mınima cota superior (c.s.) de |f |.

Demostracion. Supongamos que |f | ≤ λ c.s., es decir |f(x)| ≤ λ, ∀x ∈ Ac

con µ(A) = 0. Entonces, si |f(x)| > λ, es x ∈ A y

|f |−1(λ,∞] ⊂ A =⇒ µ(|f |−1(λ,∞]) ≤ µ(A) = 0 =⇒ λ ∈ S y ‖f‖∞ ≤ λ.

Recıprocamente, suponiendo que ‖f‖∞ ≤ λ, veamos que |f | ≤ λ c.s., lo queequivale a probar que µ(A) = 0, siendo A = x : |f(x)| > λ.

Por hipotesis, existe α ∈ S tal que α ≤ λ pues si fuese α > λ, ∀α ∈ S, λserıa cota inferior de S y λ < ‖f‖∞, lo que es absurdo. Entonces

A = |f |−1(λ,∞] ⊂ |f |−1(α,∞] =⇒ µ(A) ≤ µ(|f |−1(α,∞]) = 0. ♦

Aplicando las desigualdades de Holder y Minkowski, se prueban los siguien-tes resultados.

3.2.- Proposicion. Sean p, q exponentes conjugados, es decir 1/p+1/q = 1,con 1 ≤ p ≤ ∞. Si f ∈ Lp(µ) y g ∈ Lq(µ), entonces fg ∈ L1(µ) y ‖fg‖1 ≤‖f‖p‖g‖q.

45

Demostracion. Si 1 < p <∞, por la desigualdad de Holder, tenemos:∫X|fg|dµ =

∫X|f |·|g|dµ ≤

(∫X|f |pdµ

)1/p(∫X|g|qdµ

)1/q

= ‖f‖p‖g‖q <∞.

Si p = ∞, q = 1, entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ c.s., con lo que existe A de medidanula tal que |f(x)| ≤ ‖f‖∞, ∀x ∈ Ac. De este modo,∫

X|fg|dµ =

∫X|f | · |g|dµ =

∫Ac

|f | · |g|dµ ≤∫

Ac

‖f‖∞|g|dµ

= ‖f‖∞∫

Ac

|g|dµ ≤ ‖f‖∞∫

X|g|dµ = ‖f‖∞‖g‖1 <∞.♦

3.3.- Proposicion. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Lp(µ) es un espacio vectorialsobre C y ‖ · ‖p es una seminorma.

Demostracion. Estudiaremos por separado los siguientes casos:

a) Si 1 ≤ p <∞ y f, g ∈ Lp(µ), de la desigualdad de Minkowski deducimosque f + g ∈ Lp(µ) y ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p. Ademas

‖αf‖p =(∫

X|αf |pdµ

)1/p

=(∫

X|α|p|f |pdµ

)1/p

= |α|·‖f‖p =⇒ αf ∈ Lp(µ).

b) Si p = ∞, debido a que |f | ≤ ‖f‖∞ y |g| ≤ ‖g‖∞ c.s., entonces tambien|f + g| ≤ |f | + |g| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞ c.s. Esto implica que ‖f‖∞ + ‖g‖∞ escota superior esencial de |f + g|. Al ser ‖f + g‖∞ la mınima, se deduce que‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

Por otro lado, si suponemos α 6= 0:

‖αf‖∞ = ınfβ ∈ R : µ(|αf |−1(β,∞]) = 0 = ınf S1

supuesto S1 6= ∅. Ahora bien,

x ∈ |αf |−1(β,∞] ⇐⇒ |αf |(x) > β ⇐⇒ |αf(x)| > β ⇐⇒ |α| · |f(x)| > β

⇐⇒ |f(x)| > β/|α| ⇐⇒ x ∈ |f |−1(β/|α|,∞]

con lo que

ınf S1 = ınfβ ∈ R : µ(|f |−1(β/|α|,∞]) = 0= ınf|α|β/|α| ∈ R : µ(|f |−1(β/|α|,∞]) = 0= ınf|α|β1 ∈ R : µ(|f |−1(β1,∞]) = 0= |α| ınfβ1 ∈ R : µ(|f |−1(β1,∞]) = 0 = |α| ınf S2 = |α| · ‖f‖∞.

De este modo, si f ∈ L∞(µ), ‖αf‖∞ = ınf S1 = |α| · ‖f‖∞. ♦

46

Observacion. En general, ‖·‖p no es norma pues no se verifica la implicacion‖f‖p = 0 =⇒ f(x) = 0, ∀x ∈ X. Sin embargo, en el caso de las funcionesreales continuas en un intervalo [a, b], X = C[a, b], ‖f‖1 =

∫ ba |f(x)|dx =

0 =⇒ f = 0. Tambien, en los espacios `p, ‖ · ‖p es una norma.

Para obtener espacios normados de las seminormas anteriores, definimos larelacion de equivalencia

∀f, g ∈ Lp(µ), f ∼ g ⇐⇒ f = g c.s., o bien ‖f − g‖p = 0.

El espacio cociente, que seguiremos denotando por Lp(µ), es ahora un es-pacio normado si definimos ‖f‖p = ‖f‖p, donde f es un representante de laclase de equivalencia f .

Probaremos por ultimo la completitud de los espacios recien definidos, re-sultado obtenido de forma simultanea e independiente por F. Riesz y E.Fischer en 1907.

3.4.- Teorema (Riesz-Fischer). Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces (Lp(µ), ‖ · ‖p) esde Banach.

Demostracion. a) Veamos primero el caso 1 ≤ p <∞.

Sea pues (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en Lp(µ). Tomando ε = 1/2i,sabemos que ∃ni tal que ‖fn − fm‖p < 1/2i, ∀n,m ≥ ni. Esto permiteextraer una subsucesion (fni)i≥1 tal que ‖fni+1 − fni‖p < 1/2i, ∀i.

Llamamos ahora gk =∑k

i=1 |fni+1 − fni | y g =∑∞

i=1 |fni+1 − fni |. Debido aque |fni+1 − fni | ∈ Lp(µ), se deduce que gk ∈ Lp(µ). Ası pues,

‖gk‖p =(∫

X|gk|pdµ

)1/p

=

[∫X

(k∑

i=1

|fni+1 − fni |

)p

dµ

]1/p

≤k∑

i=1

[∫X|fni+1 − fni |pdµ

]1/p

=k∑

i=1

‖fni+1 − fni‖p <k∑

i=1

12i< 1.

Como ademas lımk gk = g, tambien lımk |gk|p = |g|p y deducimos que∫X|g|pdµ =

∫X

lımk|gk|pdµ ≤ lım inf

k

∫X|gk|pdµ ≤ 1 =⇒ ‖g‖p ≤ 1,

por lo que |g|p es finita c.s. y tambien g(x) <∞ c.s.

Lo anterior indica que la serie∑

i≥1(fni+1 − fni) es absolutamente conver-gente c.s., ası como tambien lo es la serie fn1 +

∑i≥1(fni+1 − fni). Defini-

mos

f(x) =

fn1(x) +

∑i≥1(fni+1(x)− fni(x)) si x ∈ Ac

0 si x ∈ A,donde µ(A) = 0.

47

Debido a que fn1 +∑k−1

i=1 (fni+1 − fni) = fnk, resulta que f(x) = lımi fni(x)

c.s. Veamos que fn → f y que f ∈ Lp(µ).

Dado ε > 0, sabemos que ∃N tal que ‖fn−fm‖p < ε, ∀n,m ≥ N . Tomandom ≥ N , tenemos:

‖f − fm‖pp =

∫X|f − fm|pdµ =

∫X| lım

ifni − fm|pdµ =

∫X

lımi|fni − fm|pdµ

≤ lım infi

∫X|fni − fm|pdµ = lım inf

i‖fni − fm‖p

p ≤ εp,

tomando ni ≥ N . Esto implica que f − fm ∈ Lp(µ) y en consecuenciaf ∈ Lp(µ) debido a que f = (f−fm)+fm. Por otra parte, al ser ‖f−fm‖p ≤ε, ∀m ≥ N , la sucesion original converge a f .

b) Si p = ∞, tomamos nuevamente una sucesion (fn)n∈N de Cauchy enL∞(µ). De este modo, ‖fn − fm‖∞ < ε, ∀n,m > N(ε).

Si Am,n = x : |fn(x) − fm(x)| ≥ ‖fn − fm‖∞ + ε, resulta que µ(Am,n) =0, con lo que, si A =

⋃m,nAm,n, entonces µ(A) = 0. Esto prueba que

(fn(x))n∈N converge uniformemente en E \A.

Si definimos f(x) =

lımn fn(x) si x ∈ E \A0 si x ∈ A

, se ve inmediatamente que

lımn ‖fn − f‖∞ = 0, pues

|f(x)− fm(x)| = | lımnfn(x)− fm(x)|

= lımn|fn(x)− fm(x)|

c.s.≤ lım

n‖fn − fm‖∞ + ε < 2ε, ∀m,n ≥ N.

Entonces 2ε es cota superior esencial de f−fm, de modo que ‖f−fm‖∞ < 2ε,∀m ≥ N =⇒ f − fm ∈ L∞(µ) =⇒ f ∈ L∞(µ) y fm → f en L∞(µ). ♦

Observaciones. 1) A partir de la definicion son inmediatas las inclusiones`1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂ `∞, 1 < p < q <∞.

2) Analogamente, en el espacio (X,S, µ), si µ(X) <∞, entonces L∞ ⊂ Lq ⊂Lp ⊂ L1, para 1 < p < q <∞.

En efecto, si llamamos r = q/p > 1,∫X|f |pdµ ≤

∥∥|f |p∥∥r· ‖1‖r′ =

(∫|f |qdµ

)1/r

· µ(X)1/r′ .

Esto implica que ‖f‖p ≤ ‖f‖q · µ(X)1/p−1/q.

De la misma forma, ‖f‖q ≤ µ(X)1/q · ‖f‖∞.

48

3) En general, Lp 6⊂ Lq y Lq 6⊂ Lp, pero si f ∈ Lp ∩Lq, entonces f ∈ Lr conp < r < q:∫

X|f |rdµ =

∫|f |≤1

|f |rdµ+∫|f |>1

|f |rdµ

≤∫|f |≤1

|f |pdµ+∫|f |>1

|f |qdµ ≤ ‖f‖pp + ‖f‖q

q <∞.

Se verifica tambien la desigualdad de interpolacion

‖f‖r ≤ ‖f‖αp · ‖f‖α

q , donde1r

=α

p+

1− α

q(0 ≤ α ≤ 1).

4. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS NORMADOS.

Probaremos en esta seccion las propiedades fundamentales de los espaciosnormados.

4.1.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces:

a)∣∣‖x‖ − ‖y‖

∣∣ ≤ ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X.

b) B(x0, r) = x0 +B(0, r), ∀x0 ∈ X, r > 0.

Demostracion. a) Por la desigualdad triangular,

‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ =⇒ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖;‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖ =⇒ −‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖.

b) Debido a las propiedades de la norma,

x ∈ B(x0, r) ⇐⇒ ‖x− x0‖ < r

⇐⇒ x− x0 ∈ B(0, r) ⇐⇒ x ∈ x0 +B(0, r). ♦

4.2.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Son equivalentes:

i) X es de Banach.

ii) Si ann∈N ⊂ X y∑

n∈N ‖an‖ <∞ =⇒∑

n∈N an converge en X.

Esto indica que en los espacios de Banach la convergencia absoluta implicala convergencia.

49

Demostracion. i) =⇒ ii). Sea Sn =∑n

k=1 ak. Si m > n,

‖Sm − Sn‖ =

∥∥∥∥∥m∑

k=n+1

ak

∥∥∥∥∥ ≤m∑

k=n+1

‖ak‖ ≤∞∑

k=n+1

‖ak‖ < ε.

Esto implica que Smm∈N es de Cauchy en X y por tanto converge.

ii) =⇒ i). Sea ann∈N de Cauchy en X. Hacemos an0 = 0 y elegimos

n1 ∈ N : ‖an1 − am‖ < 1/2, ∀m > n1,

n2 > n1 : ‖an2 − am‖ < 1/22, ∀m > n2,

...nk > nk−1 : ‖ank

− am‖ < 1/2k, ∀m > nk.

Ası∑∞

k=1 ‖ank− ank−1

‖ ≤ ‖an1‖+∑∞

k=1 1/2k <∞.

Por hipotesis,∑

k∈N(ank− ank−1

) es convergente. Entonces

a =∞∑

k=1

(ank− ank−1

) = lımh→∞

h∑k=1

(ank− ank−1

) = lımh→∞

anh,

y esto implica que anhh∈N es convergente.

Como ann∈N es de Cauchy y tiene una subsucesion convergente, ella mismaes convergente y X es completo. ♦

4.3.- Proposicion. Sea X un espacio vectorial normado sobre el cuerpo E.Si definimos en X ×X o E ×X la metrica producto ‖(u, v)‖ = ‖u‖+ ‖v‖,entonces las aplicaciones (x, y) 7→ x+ y y (α, x) 7→ αx, definidas en X ×Xy E ×X, respectivamente, son continuas. Ademas, la norma ‖ · ‖ : X → Res uniformemente continua.

Demostracion. Es facil comprobar que la metrica producto verifica los axio-mas de norma. De este modo:

Como ‖x+y−(x0+y0)‖ ≤ ‖x−x0‖+‖y−y0‖, la primera es continua.

Para demostrar que la aplicacion (α, x) 7→ αx es continua en (α0, x0), elegi-mos α, x tales que |α − α0| < mın1, ε

2(1+1+‖x0‖) y ‖x − x0‖ < ε2(1+1+|α0|) .

Entonces|α| − |α0| ≤ |α− α0| < 1 =⇒ |α| < 1 + |α0|.

Ademas,

‖αx− α0x0‖ ≤ |α| · ‖x− x0‖+ ‖x0‖ · |α− α0|

< |α| · ε

2(1 + 1 + |α0|)+ ‖x0‖ ·

ε

2(1 + 1 + ‖x0‖)< ε.

50

Por ultimo, para probar que la norma es uniformemente continua, dadoε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que

∣∣‖x‖ − ‖x0‖∣∣ < ε si ‖x − x0‖ < δ.

Ahora bien, como∣∣‖x‖ − ‖x0‖

∣∣ ≤ ‖x− x0‖, basta elegir δ = ε. ♦

4.4.- Corolario. Si (X, ‖ · ‖) es un espacio normado, x0 ∈ X, λ0 ∈ E,λ0 6= 0, entonces las aplicaciones x 7→ x + x0 (traslacion de vector x0) yx 7→ λ0x (homotecia de razon λ0) son homeomorfismos.

Demostracion. Basta probar que son bicontinuas. La primera de ellas escomposicion de f : X → X×X, dada por f(x) = (x, x0), y g : X×X → X,dada por g(x, x0) = x + x0. Por el teorema anterior, g es continua; es facilprobar que f es tambien continua, de modo que g f es continua. Ademas,el mismo argumento prueba que la inversa x 7→ x− x0 es continua.

Analogamente se prueba que la segunda es continua. ♦

4.5.- Proposicion. Un subespacio Y de un espacio de Banach X es com-pleto si y solo si Y es cerrado en X.

Demostracion. Se deduce de la propiedad analoga para espacios metricos.♦

4.6.- Teorema (complecion). Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. Existeun espacio de Banach X∗ y una isometrıa A : X → W donde W es unsubespacio denso de X∗. Dicho espacio X∗ es unico salvo isometrıas.

Demostracion. Por el teorema analogo en espacios metricos, existe (X∗, d) yA : X →W isometrıa con W ⊂ X∗ denso. Falta probar que podemos dotara X∗ de una estructura de espacio vectorial normado.

Recordando que x∗ e y∗ son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchyen X, elegimos xnn∈N ∈ x∗, ynn∈N ∈ y∗. Hacemos zn = xn + yn. Ası ,znn∈N es de Cauchy en X pues ‖zn − zm‖ ≤ ‖xn − xm‖+ ‖yn − ym‖. Portanto, definimos z∗ = x∗ + y∗ como la clase de equivalencia que contienea znn∈N (esta definicion no depende de la eleccion de los representan-tes).

Tambien definimos αx∗ ∈ X∗ como la clase que contiene a αxnn∈N (denuevo esta definicion no depende de los representantes).

Ası obtenemos un espacio vectorial. En W las operaciones inducidas por X∗

coinciden con las inducidas por X a traves de A.

Ademas A induce en W una norma ‖ · ‖1 ası: si y∗ = Ax ∈ W, ‖y∗‖1 =‖x‖.

Como la metrica en W es la restriccion de d∗ a W (ya que A es isometrico),podemos extender la norma ‖ · ‖1 a X∗ ası :

‖x∗‖2 = d∗(0∗, x∗),∀x∗ ∈ X∗.

51

Para comprobar los axiomas, basta aplicar a ‖ · ‖1 un proceso de lımite.♦

El concepto de base en un espacio vectorial se extiende en el caso de espaciosnormados en el siguiente sentido:

4.7.- Definicion. Dado un espacio normado (X, ‖·‖), una sucesion (xn)n∈Nes una base de Schauder de X cuando ∀x ∈ X, existe una sucesion deescalares (αn)n∈N tal que x =

∑n∈N αnxn.

Por ejemplo, la sucesion (en)n∈N, donde en = (δkn)k∈N, es una base de Schau-der de `p, para todo p ≥ 1.

Observacion. No necesariamente un espacio de Banach separable tieneuna base de Schauder, como probo P. Enflo en 1973 (ver el artıculo de P.Halmos titulado Has progress in Mathematics slowed down? y publicado enAmer. Math. Montly, volumen 97 (1990), pag. 561–588, para comprender larelevancia de este resultado).

4.8.- Proposicion. Dado un espacio normado (X, ‖ · ‖) con base de Schau-der (xn)n∈N, si definimos ‖x‖∗ = supN∈N

∥∥∥∑Nn=1 αnxn

∥∥∥, entonces (X, ‖ · ‖∗)es un espacio de Banach y, en consecuencia, (X, ‖ · ‖) tambien es de Bana-ch.

Demostracion. Es facil comprobar que ‖·‖∗ es norma. Veamos que (X, ‖·‖∗)es completo:

Si y =∑

n∈N βnxn ∈ X, entonces βnxn =∑n

k=1 βkxk−∑n−1

k=1 βkxk, de donde‖βnxn‖ ≤ 2‖y‖∗, con lo que |βn| ≤ 2‖y‖∗

‖xn‖ .

Sea (a(k))k∈N una sucesion de Cauchy en (X, ‖ · ‖∗). Si a(k) =∑n∈N

α(k)n xn,

entonces (α(k)n )k∈N es una sucesion de Cauchy en el cuerpo de escalares;

llamamos αn = lımk α(k)n . Probaremos ahora que

∑n∈N αnxn converge en

‖ · ‖ a algun a ∈ X y que lımk ‖a(k) − a‖∗ = 0:

- Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que ‖a(n) − a(m)‖∗ < ε/4, si n,m ≥ n0. Paracualesquiera i, j ∈ N tenemos:

i+j∑k=i

(α(n)k − α

(m)k )xk =

i+j∑k=1

(α(n)k − α

(m)k )xk −

i−1∑k=1

(α(n)k − α

(m)k )xk.

De aquı, ∥∥∥∥∥i+j∑k=i

(α(n)k − α

(m)k )xk

∥∥∥∥∥ ≤ 2‖a(n) − a(m)‖∗ < ε/2.

52

Fijando n y haciendo m → ∞, tenemos que∥∥∥∑i+j

k=i(α(n)k − αk)xk

∥∥∥ <ε/2, si n ≥ n0.

Debido a que∑∞

k=1 α(n0)k xk es convergente, existe i0 ∈ N tal que ∀j ∈ N,∥∥∥∑i0+j

k=i0α

(n0)k xk

∥∥∥ < ε/2. Luego,∥∥∥∥∥∥i0+j∑k=i0

αkxk

∥∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥∥

i0+j∑k=i0

(αk − α(n0)k )xk

∥∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥∥i0+j∑k=i0

α(n0)k xk

∥∥∥∥∥∥ < ε.

Esto indica que la serie∑αkxk converge a algun a ∈ X.

- Por ser (a(n))n∈N una sucesion de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que‖a(n) − a(m)‖∗ < ε/2, si n,m ≥ n0. Ası,

∥∥∥∑jk=1(α

(n)k − α

(m)k )xk

∥∥∥ < ε,

para todo j ∈ N. Haciendom→∞, tenemos que∥∥∥∑j

k=1(α(n)k − αk)xk

∥∥∥ <ε, ∀j ∈ N. Esto quiere decir que ‖a(n) − a‖∗ ≤ ε si n ≥ n0 y (X, ‖ · ‖∗)es completo.

Debido a que ‖x‖ ≤ ‖x‖∗, para todo x ∈ X, tambien (X, ‖ · ‖) es completo.♦

5. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSION FINITA.

El hecho de que la dimension del espacio sea finita da lugar a algunascaracterısticas especiales. Por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrassdemuestra que, en un espacio de dimension finita, cualquier bola cerradaB(z, r) es compacta. Veremos a continuacion que, en el caso infinito, B(z, r)nunca es compacta.

5.1.- Lema (F. Riesz). Sea X un espacio normado, Y, Z subespacios de Xcon Y subconjunto cerrado propio de Z. Entonces ∀ϑ ∈ (0, 1), ∃z ∈ Z denorma uno tal que ‖z − y‖ ≥ ϑ, ∀y ∈ Y.

Demostracion. Sea v ∈ Z \ Y y llamamos

a = d(v, Y ) = ınfy∈Y

d(v, y) = ınfy∈Y

‖v − y‖.

Como Y es cerrado, a > 0. Por definicion de ınfimo, existe un elementoy0 ∈ Y tal que a ≤ ‖v − y0‖ ≤ a/ϑ para todo ϑ ∈ (0, 1). Sea z = c(v − y0)con c = ‖v − y0‖−1. Ası, ‖z‖ = 1 y

‖z − y‖ = ‖c(v − y0)− y‖ = c‖v − y0 −y

c‖ = c‖v − y1‖,

53

con y1 = y0 + y/c.

Como y1 ∈ Y, ‖v − y1‖ ≥ a =⇒ ‖z − y‖ ≥ ‖v − y0‖−1a ≥ ϑ. ♦

5.2.- Corolario. Si X es un espacio normado y M un subespacio cerra-do propio de X, entonces existe un elemento z ∈ X de norma 1 tal qued(z,M) = 1.

Demostracion. Por el lema anterior, ∃z ∈ X : ‖z‖ = 1 y d(z,M) ≥ 1. ComoM es subespacio, 0 ∈M y d(z,M) ≤ d(z, 0) = ‖z‖ = 1. ♦

El lema 5.1 permite demostrar la siguiente caracterizacion de los espaciosde dimension finita.

5.3.- Teorema (F. Riesz). En un espacio normado X, las siguientes con-diciones son equivalentes:

i) La bola unidad B(0, 1) es compacta.

ii) X tiene dimension finita.

Demostracion. i) =⇒ ii). Si dimX = ∞, sea x1 ∈ X, ‖x1‖ = 1, y cons-truimos X1 = 〈x1〉 que es subespacio propio y cerrado de X. Por el lemaanterior,

∃x2 ∈ X \X1 : ‖x2‖ = 1, ‖x2 − x1‖ ≥ 1/2.

Ahora llamamos X2 = 〈x1, x2〉, y tambien ahora

∃x3 ∈ X \X2 : ‖x3‖ = 1, ‖x3 − x1‖ ≥ 1/2, ‖x3 − x2‖ ≥ 1/2.

Llegamos ası a una sucesion xnn∈N ⊂ B(0, 1) tal que ‖xn − xm‖ ≥ 1/2,∀n,m. De esta forma, xnn∈N no puede tener ninguna sub-sucesion conver-gente lo que contradice su compacidad.

El recıproco corresponde al teorema de Bolzano-Weierstrass. ♦

Otro resultado destacable es el de la completitud, que probaremos despuesdel siguiente lema.

5.4.- Lema. Dados un espacio normado X (de cualquier dimension) y unafamilia x1, . . . , xn linealmente independiente, existe c > 0 : ∀α1, . . . , αn ∈E : ‖α1x1 + · · ·+ αnxn‖ ≥ c(|α1|+ · · ·+ |αn|).

Demostracion. Sea s = |α1|+ · · ·+ |αn|.

Si s = 0, αi = 0, ∀i =⇒ la desigualdad es cierta ∀c.

Si s > 0, llamamos βi = αi/s, y la desigualdad a probar es

‖β1x1 + · · ·+ βnxn‖ ≥ c, donden∑

i=1

|βi| = 1.

54

Si suponemos que la acotacion anterior no es cierta, existe una sucesion(ym)m∈N tal que ‖ym‖ → 0 y

ym =n∑

i=1

β(m)i xi, con

n∑i=1

|β(m)i | = 1.

Fijado i ∈ 1, . . . , n, la sucesion β(m)i m∈N esta acotada (pues

∑|β(m)

i | =1).

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, β(m)1 m∈N tiene una sub-sucesion

convergente, digamos a β1. A esta sub-sucesion le corresponde y1mm∈N.Aplicando el mismo argumento se prueba que existe y2mm∈N subsucesiony1mm∈N, tal que β(m)

2 m∈N converge a β2. Despues de n pasos, obtenemosuna sub-sucesion ynmm∈N de ymm∈N de la forma ynm =

∑nj=1 γ

(m)j xj con∑n

j=1 |γ(m)j | = 1, cuyos escalares γ(m)

j verifican γ(m)i → βi. De este modo,

ynm → y =∑n

i=1 βixi donde∑n

i=1 |βi| = 1. Esto implica que no todos losβi son cero, con lo cual y 6= 0 (por ser el conjunto x1, . . . , xn linealmenteindependiente).

Por otro lado, ynm → y =⇒ ‖ynm‖ → ‖y‖. Como por hipotesis, ‖ym‖ → 0 eynmm∈N es sub-sucesion, entonces ‖y‖ = 0, de donde y = 0, lo que lleva auna contradiccion. ♦

5.5.- Teorema (completitud). Todo subespacio Y de dimension finita deun espacio normado X es completo. En particular, todo espacio normado dedimension finita es completo.

Demostracion. Sea ymm∈N una sucesion de Cauchy en Y . Si e1, . . . , enes una base de Y , ym =

∑ni=1 α

(m)i ei. Entonces, por el lema anterior,

ε > ‖ym − yk‖ =∥∥ n∑

i=1

(α(m)i − α

(k)i )ei

∥∥ ≥ c

n∑i=1

|α(m)i − α

(k)i |, ∀m, k > N(ε).

Entonces α(m)i m∈N es de Cauchy en E, y por lo tanto, converge a αi.

Llamamos y =∑n

i=1 αiei. Evidentemente, y ∈ Y y

‖ym − y‖ = ‖∑

(α(m)i − αi)ei‖ ≤

∑|α(m)

i − αi| · ‖ei‖,

que tiende a cero. ♦

5.6.- Corolario. Todo subespacio Y de dimension finita de un espacio nor-mado X es cerrado.

La prueba es evidente.

La siguiente caracterizacion es usada a veces como definicion de compacidaden dimension finita.

55

5.7.- Teorema. Si X es un espacio normado de dimension finita, todosubconjunto M de X es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Demostracion. Ya probamos en el capıtulo I, lema 5.7, que todo compactoes cerrado y acotado.

Sea M cerrado y acotado y xmm∈N una sucesion en M .

Ası, xm = α(m)1 e1 + · · ·+α(m)

n en, donde e1, . . . , en es una base de X.

ComoM es acotado, ‖xm‖ ≤ k, ∀m. Por el lema 5.4, k ≥ ‖xm‖ ≥ c∑n

i=1 |α(m)i |.

Tenemos, para cada i, una sucesion escalar α(m)i m∈N acotada. Por el teo-

rema de Bolzano-Weierstrass, posee un punto de acumulacion ξi.

Repitiendo el argumento del lema 5.4, se deduce que xmm∈N tiene unasub-sucesion que converge a x =

∑ni=1 ξiei. Como M es cerrado, x ∈ M.

♦

Contraejemplo. Si X es el conjunto de las sucesiones de soporte finito y‖x‖ =

(∑∞i=1 |xi|2

)1/2, entonces (X, ‖·‖) es normado y (e(k))k∈N es una basede X, si definimos e(k) = (δnk)n∈N.

La bola unidad B(0, 1) es cerrada y acotada, claramente, pero no es com-pacta. Para ello basta ver que existe una sucesion que no tiene ningunasubsucesion convergente.

Como (e(k))k∈N ⊂ B(0, 1), si existiera (e(kj))j∈N subsucesion convergente ae ∈ B(0, 1),

‖e(kj)−e(km)‖ =√

2 =⇒ lımj→∞

‖e(kj)−e(km)‖ = ‖ lımj→∞

e(kj)−e(km)‖ = ‖e−e(km)‖

lo que es absurdo.

Otra caracterıstica de los espacios de dimension finita es que todas las nor-mas son equivalentes (dan la misma topologıa).

5.8.- Definicion. Dos normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 en X se dicen equivalentescuando ∃a, b > 0 : a‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b‖x‖1,∀x ∈ X.

Es facil probar que la relacion es efectivamente de equivalencia y que dosnormas equivalentes dan lugar a la misma topologıa.

5.9.- Teorema (normas equivalentes). En un espacio vectorial de dimensionfinita, todas las normas son equivalentes.

Demostracion. Sean ‖·‖1 y ‖·‖2 dos normas cualesquiera enX. Si e1, . . . , enes una base de X, todo x ∈ X tiene una representacion x =

∑ni=1 αiei. Apli-

cando el lema 5.4, existe c tal que ‖x‖1 ≥ c∑n

i=1 |αi|. Por otro lado,

‖x‖2 ≤n∑

i=1

|αi| · ‖ei‖2 ≤ k

n∑i=1

|αi|

56

si k = max ‖ei‖2. Esto implica que ck‖x‖2 ≤ c

∑ni=1 |αi| ≤ ‖x‖1.

Intercambiando los papeles de ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 se obtiene la otra desigualdad.♦

Observar la importancia de este resultado que prueba la independencia dela convergencia de sucesiones respecto de la norma que se elija.

6. OPERADORES LINEALES ACOTADOS.

La estructura algebraica que posee todo espacio normado hace plantearnos elestudio de las aplicaciones lineales entre ellos. Debido a su importancia en eldesarrollo del Analisis Funcional, el curso se concentra a partir de aquı en elestudio de dichas aplicaciones, que reciben el nombre de operadores. Ademas,salvo en algunas situaciones concretas, y en especial en el capıtulo VII, dichosoperadores se supondran acotados, de ahı que precisemos dicho concepto acontinuacion.

6.1.- Definicion. Sean X,Y espacios normados y A : X → Y un operadorlineal. Decimos que A es acotado si existe k > 0 : ‖Ax‖ ≤ k‖x‖,∀x ∈X.

Observacion. En Calculo elemental, una funcion es acotada cuando su ima-gen es un conjunto acotado. Sin embargo, no hay funciones no nulas que seanlineales y acotadas pues, debido a la linealidad, si ‖Ax‖ ≤ k, ∀x =⇒ A = 0,de ahı que para definir un operador lineal acotado exijamos simplementeque su restriccion a la bola unidad tenga imagen acotada.

De la definicion se deduce que‖Ax‖‖x‖

≤ k, ∀x 6= 0. Entonces el menor valor

de k para el que se verifica la desigualdad es precisamente sup‖x‖6=0

‖Ax‖‖x‖ . Esto

motiva la siguiente definicion.

6.2.- Definicion. Dado un operador A : X → Y lineal y acotado, se llama

norma de A, a ‖A‖ = sup‖x‖6=0

‖Ax‖‖x‖

.

6.3.- Definicion. Llamamos L(X,Y ) = A : X → Y : A es lineal yacotado (en particular L(X) = A : X → X : A lineal y acotado), que esun espacio vectorial con los operaciones usuales y es normado si definimos‖A‖ como arriba. Para ver bajo que condiciones es de Banach, nos basta elsiguiente resultado.

57

6.4.- Teorema. Si Y es de Banach, entonces L(X,Y ) es de Banach.

Demostracion. Debemos ver que toda sucesion de Cauchy en L(X,Y ) con-verge en el mismo espacio.

Consideramos para ello una sucesion Ann∈N de Cauchy en L(X,Y ), esdecir, tal que ‖An −Am‖ < ε, si n,m > N(ε). Entonces

∀x ∈ X, ‖Anx−Amx‖ ≤ ‖An −Am‖ · ‖x‖ < ε‖x‖.

Esto implica que Anxn∈N es de Cauchy en Y , de donde ∃y ∈ Y : Anx→ y,porque Y es completo.

Definimos A : X → Y como Ax = y. Entonces

(∗) A es lineal (evidente).

(∗) A es acotado: Si n > N ,

‖Anx−Ax‖ = ‖Anx− lımAmx‖ = lımm‖Anx−Amx‖ ≤ ε · ‖x‖.

Entonces An − A es acotado para n > N . Como An tambien es acotado,A = An − (An −A) es acotado.

(∗) An → A : Como ‖Anx−Ax‖ ≤ ε · ‖x‖, entonces ‖An −A‖ ≤ ε.♦

6.5.- Lema. Otras definiciones equivalentes de norma de un operador son:

(a) ‖A‖ = ınfK, donde K = k ∈ R : ‖Ax‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ X.

(b) ‖A‖ = sup‖x‖≤1 ‖Ax‖.

(c) ‖A‖ = sup‖x‖=1 ‖Ax‖.

Demostracion. a) Como ‖A‖ ≥ ‖Ax‖‖x‖ =⇒ ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖, ∀x ∈ X. Esto

implica que ‖A‖ ≥ ınfK.

Recıprocamente, ∀k ∈ K, k ≥ ‖Ax‖‖x‖ , ∀x 6= 0. Por tanto,

k ≥ supx 6=0

‖Ax‖‖x‖

=⇒ k ≥ ‖A‖ =⇒ ınfk ≥ ‖A‖.

b) Sea ‖x‖ ≤ 1. Entonces ‖A‖ ≥ ‖Ax‖‖x‖ ≥ ‖Ax‖ =⇒ ‖A‖ ≥ sup‖x‖≤1 ‖Ax‖.

Recıprocamente, si x 6= 0,

‖Ax‖‖x‖

= ‖A (x/‖x‖) ‖ ≤ sup‖y‖≤1

‖Ay‖ =⇒ supx6=0

‖Ax‖‖x‖

≤ sup‖y‖≤1

‖Ay‖.

Por tanto, ‖A‖ ≤ sup‖x‖≤1 ‖Ax‖.

c) Es analoga a b) con las modificaciones obvias. ♦

58

6.6.- Ejemplos. 1) Si I : X → X es el operador identidad, ‖I‖ = 1 y si0 : X → Y es el operador cero, ‖0‖ = 0.

2) Si P[0, 1] es el espacio de los polinomios sobre [0, 1] con norma ‖f‖ =maxx∈[0,1] |f(x)|, entonces el operador derivadaD : P[0, 1] → P[0, 1] definidocomo Df(x) = f ′(x) es lineal pero no acotado, porque tomando fn(x) = xn,entonces ‖fn‖ = 1, Dfn(x) = nxn−1 y ‖Dfn‖ = n > c, ∀c.

Este ejemplo basico hace que tenga gran importancia el estudio de los ope-radores no acotados.

3) Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] el operador definido por Tf(x) =∫ 10 k(x, y)f(y)dy,

donde k es una funcion continua en [0, 1]× [0, 1], llamada nucleo del opera-dor.

T es acotado pues

‖Tf‖ = maxx∈I

∣∣∣∣∫ 1

0k(x, y)f(y)dy

∣∣∣∣ ≤ maxx∈I

∫ 1

0|k(x, y)| · |f(y)|dy ≤ k0‖f‖,

donde k0 es una cota superior de |k(x, y)|.

En dimension finita todos los operadores lineales son acotados como proba-mos a continuacion.

6.7.- Teorema. Si A : X → Y es lineal y X es de dimension finita, entoncesA es acotado.

Demostracion. Sean e1, . . . , en una base deX y x =∑n

i=1 αiei un elementoarbitrario de X. Entonces

Ax =n∑

i=1

αiAei =⇒ ‖Ax‖ ≤n∑

i=1

|αi| · ‖Aei‖ ≤ maxi‖Aei‖ ·

n∑i=1

|αi|.

El lema 5.4 establece que ‖x‖ ≥ c∑n

i=1 |αi|, de donde

‖Ax‖ ≤ 1c

maxi‖Aei‖ · ‖x‖ = k‖x‖.

Esto implica que A es acotado. ♦

Veremos a continuacion una relacion directa entre operadores acotados ycontinuos cuando estos son lineales y una simplificacion importante del con-cepto de continuidad.

6.8.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal entre espacios normados.Son equivalentes:

i) A es uniformemente continuo.

ii) A es continuo.

59

iii) A es continuo en algun x0 ∈ X.

iv) A es continuo en 0.

v) A es acotado.

vi) M ⊂ X acotado =⇒ A(M) ⊂ Y acotado.

Demostracion. i) =⇒ ii) =⇒ iii) =⇒ iv) son evidentes.

iv) =⇒ v). Supongamos que A es continuo y no acotado. Entonces ∀k ∈N, ∃xk ∈ X : ‖Axk‖ > k‖xk‖. Si llamamos yk = xk

k‖xk‖ , como ‖yk‖ = 1/k,resulta que yk → 0. Por la continuidad de A, Ayk → A(0) = 0, es decir

∀ε > 0, ∃N : k > N =⇒ ‖Ayk‖ < ε.

Si tomamos ε < 1, ‖Ayk‖ = ‖Axk‖k‖xk‖ > 1, lo que es absurdo.

v) =⇒ vi). Sea M ⊂ X acotado. Entonces existe K : ‖x‖ ≤ k, ∀x ∈M.

Por ser A acotado, ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ ≤ ‖A‖ · k, ∀x ∈M . Esto implica queA(M) es acotado.

vi) =⇒ i). Sea M la bola unitaria cerrada en X. Como M es acotado, A(M)es acotado en Y , es decir ‖Ax‖ ≤ k, ∀x ∈M .

Dado cualquier ε > 0, hacemos δ = ε/k, con lo que, si ‖x − y‖ < δ, enton-ces

‖Ax−Ay‖ = ‖A(x− y)‖ = ‖x− y‖ ·∥∥A( x− y

‖x− y‖)∥∥ < δ · k = ε,

pues (x− y)/‖x− y‖ ∈M . ♦

6.9.- Corolario. Si A : X → Y es un operador lineal acotado, entoncesxn → x =⇒ Axn → Ax.

Demostracion. ‖Axn −Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖xn − x‖ → 0. ♦

Probamos a continuacion la siguiente caracterizacion de la existencia deoperador inverso acotado.

6.10.- Teorema (operador inverso). Sea A : X → Y un operador lineal.La condicion necesaria y suficiente para que exista A−1 : A(X) → X yeste acotado es que ∃k > 0 : k‖x‖ ≤ ‖Ax‖, ∀x ∈ X.

Demostracion. a) Para que exista A−1, debe ser A inyectiva. En efecto, deAx = 0 se deduce que ‖Ax‖ = 0 =⇒ k‖x‖ = 0 =⇒ x = 0.

La comprobacion de que A−1 es lineal es directa. Veamos que es acota-do:

60

∀y ∈ A(X), ∃x ∈ X : Ax = y, es decir x = A−1y. Por hipotesis,

∃k > 0 : k‖A−1y‖ ≤ ‖y‖.

Entonces ‖A−1y‖ ≤ (1/k)‖y‖ de modo queA−1 esta acotado.

b) Como A−1 esta acotado, ∃k > 0 : ‖A−1y‖ ≤ k‖y‖.

Para todo x ∈ X, hacemos y = Ax; entonces ‖A−1Ax‖ ≤ k‖Ax‖. Por tanto,(1/k)‖x‖ ≤ ‖Ax‖. ♦

6.11.- Definicion (restriccion, extension). a) Dado un operador A : X →Y y un subconjunto X0 ⊂ X, al operador A|X0 : X0 → Y definido porA|X0x = Ax, ∀x ∈ X0, se le llama restriccion de A a X0.

b) De la misma manera, dado A : X → Y y un conjunto X tal que X ⊂ X,un operador A definido en X cuya restriccion a X coincide con A se llamaextension de A a X.

Entre las extensiones de un mismo operador, son importantes las que con-servan las propiedades basicas del operador de partida, como la linealidad yacotacion.

6.12.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal acotado, donde Y esde Banach. Entonces A tiene una extension A : X → Y tal que A es lineal,acotado y ‖A‖ = ‖A‖.

Demostracion. Sea x ∈ X. Entonces existe xnn∈N ⊂ X : xn → x.

Como

‖Axn −Axm‖ = ‖A(xn − xm)‖ ≤ ‖A‖ · ‖xn − xm‖ → 0,

entonces Axnn∈N es de Cauchy en Y y, por lo tanto, converge a y ∈ Y(porque Y es de Banach).

Definimos Ax = y. Ası definido, se puede probar lo siguiente:

* La definicion no depende de la eleccion de la sucesion que tiende a x:

Si xn → x y zn → x, entonces x1, z1, x2, z2, . . . tambien converge a xy, como A es acotado, la sucesion de sus imagenes tambien converge.Por tanto, las dos sub-sucesiones Axnn∈N y Aznn∈N convergen almismo lımite.

* A es lineal (evidente).

* Ax = Ax, ∀x ∈ X.

* Como ‖Axn‖ ≤ ‖A‖ · ‖xn‖ y Axn → y = Ax, si xn → x, entonces‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖. Por tanto, ‖A‖ ≤ ‖A‖. Pero, al ser A extension deA, ‖A‖ ≥ ‖A‖, entonces ‖A‖ = ‖A‖. ♦

61

Diversas generalizaciones y variaciones de este resultado son objeto de nu-merosos estudios, importantes tanto en la teorıa de operadores como en otrasareas afines.

7. FUNCIONALES LINEALES. ESPACIO DUAL.

Entre los operadores lineales en espacios normados, una clase importante,e historicamente precursora de los mismos, la constituyen los funcionaleslineales que estudiamos en esta seccion.

7.1.- Definicion. Un funcional es un operador cuyo rango esta en el con-junto R o C. Un funcional lineal es un operador lineal f : X → E donde X esun espacio vectorial y E su cuerpo de escalares. Un funcional lineal acotadoes un operador lineal acotado cuyo rango esta en E, cuerpo de escalares delespacio normado X, es decir, si existe k > 0 : |f(x)| ≤ k‖x‖, ∀x ∈ X.

Se define la norma de f del mismo modo que en el caso de operadores lineales,y se verifican las mismas propiedades obtenidas en el caso general.

7.2.- Ejemplos. 1) ‖ · ‖ : X → R es un funcional no lineal.

2) Para cada a ∈ Rn, fa : Rn → R definido por fa(x) = a · x = a1x1 +· · · + anxn (producto escalar por un vector fijo) es un funcional lineal yacotado:

|fa(x)| = |x · a| ≤ ‖x‖ · ‖a‖ =⇒ ‖f‖ ≤ ‖a‖.

Pero ademas, si hacemos x = a, resulta ‖fa‖ ≥ |fa(x)|‖x‖ = ‖a‖2

‖a‖ =⇒ ‖fa‖ ≥‖a‖. De lo que se deduce que ‖fa‖ = ‖a‖.

3) La aplicacion f : `2 → R, definida por f(x) =∑

i∈N aixi donde (ai)i∈N ∈`2 es fijo, es tambien un funcional lineal y acotado pues, por la desigualdadde Cauchy-Schwarz, |f(x)| ≤ ‖x‖2 · ‖a‖2. Del mismo modo, el operadorf : `p → R definido por f(x) = a · x, con a ∈ `q fijo, es tambien lineal yacotado.

4) El operador f : C[a, b] → R definido por f(x) =∫ ba x(t)dt (integral

definida) es lineal y acotado:

|f(x)| =∣∣∣ ∫ b

ax(t)dt

∣∣∣ ≤ (b− a) · maxa≤t≤b

|x(t)| = (b− a) · ‖x‖ =⇒ ‖f‖ ≤ b− a.

Si elegimos en particular x0 = 1, ‖f‖ ≥ |f(x0)|‖x0‖ =

R ba dt

1 = b − a. De aquı sededuce que ‖f‖ = b− a.

62

7.3.- Proposicion. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal enX. Entonces f es continuo si y solo si su nucleo N(f) es cerrado.

Demostracion. a) La prueba de que N(f) es cerrado es directa.

b) Supongamos que N = N(f) es cerrado. Si N = X, entonces f = 0 y escontinuo.

Si N 6= X, existe x1 ∈ X : f(x1) 6= 0. Sea x0 = x1/f(x1). Como f(x0) = 1y N es cerrado, d(x0, N) = d > 0.

Por otra parte, ∀x ∈ X, x = x−f(x) ·x0 +f(x) ·x0, donde x−f(x) ·x0 ∈ N .Esto indica que X = N⊕λx0 : λ ∈ E. Si escribimos entonces x = n+λx0,con n ∈ N , λ ∈ E, resulta:

‖x‖ = |λ| · ‖x0 + n/λ‖ ≥ |λ| · d = |f(λx0 + n)| · d = |f(x)| · d.

Esto implica que |f(x)| ≤ (1/d) · ‖x‖ y f es continuo. ♦

En espacios vectoriales de dimension finita es conocido el hecho de que sie1, . . . , en es una base de X, entonces el espacio X∗, llamado dual alge-braico de X, definido por X∗ = f : X → R : f lineal, tiene dimensionn y el conjunto f1, . . . , fn, donde fi(ek) = δik, es una base de X∗. Endimension infinita, tenemos el siguiente resultado analogo:

7.4.- Proposicion. Si (X, ‖ · ‖) es un espacio normado y (xn)n∈N es unabase de Schauder, el funcional lineal fk definido por fk(

∑n∈N αnxn) = αk

es continuo.

Demostracion. Dado a =∑

n∈N αnxn ∈ X y teniendo en cuenta la demos-tracion de la proposicion 4.8, resulta:

|fk(a)| = |αk| =1

‖xk‖‖αkxk‖ =

1‖xk‖

∥∥∥∥∥k∑

n=1

αnxn −k−1∑n=1

αnxn

∥∥∥∥∥≤ 1

‖xk‖· 2‖a‖∗ ≤ M

‖xk‖‖a‖. ♦

Este hecho es el punto de partida para definir el concepto de espacio dualen espacios normados arbitrarios.

7.5.- Definicion. Sea X un espacio normado; llamamos espacio dual de Xa X ′ = f : X → E : f lineal y acotado. Si dimX < ∞, este conceptocoincide con el de dual algebraico (por el teorema 6.7).

El espacio X ′ sera siempre completo por serlo el cuerpo de escalares deX.

Es a menudo conveniente estudiar el espacio dual de un espacio norma-do para obtener propiedades del mismo espacio, por lo que estudiaremos

63

su estructura en algunos ejemplos clasicos. Veremos posteriormente, comoconsecuencia del teorema de Hahn-Banach (capıtulo IV), que el dual de unespacio normado no trivial es no trivial.

7.6.- Ejemplos. 1) El dual de Rn con la norma euclıdea es Rn (en realidades un espacio isometrico a Rn):

Como dim Rn = n, todo f lineal es acotado.

Si x =∑n

i=1 αiei, f(x) =∑n

i=1 αif(ei). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|f(x)| ≤n∑

i=1

|αif(ei)| ≤

(n∑

i=1

|αi|2)1/2( n∑

i=1

|f(ei)|2)1/2

= ‖x‖ ·

(n∑

i=1

|f(ei)|2)1/2

,

de donde ‖f‖ ≤(∑n

i=1 |f(ei)|2)1/2

.

Tomando en particular x = (f(e1), . . . , f(en)), se obtiene la igualdad. Ası,‖f‖ =

(∑ni=1 |f(ei)|2

)1/2 coincide con la norma euclıdea y la aplicaciondefinida por f 7→ (f(e1), . . . , f(en)) es un isomorfismo isometrico de (Rn)′

en Rn.

2) El dual de `1 es `∞.

∀x ∈ `1, podemos escribir x =∑∞

k=1 αkek, donde ek = (δkj)∞j=1 forma una

base de Schauder de `1, porque x−∑n

k=1 αkek = (0, (n). . ., 0, αn+1, . . . ) y∥∥∥∥∥x−n∑

k=1

αkek

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∞∑

k=n+1

αkek

∥∥∥∥∥→ 0

por ser el resto de una serie convergente.

Definimos la aplicacion Tf = (f(ek))k∈N, ∀f ∈ (`1)′. Como f(x) =∑k∈N

αkf(ek),

entonces |f(ek)| ≤ ‖f‖ · ‖ek‖ = ‖f‖, pues ‖ek‖ = 1. En consecuencia,supk |f(ek)| ≤ ‖f‖ de donde (f(ek))k∈N ∈ `∞.

- T es sobre: ∀b = (βk)k∈N ∈ `∞, definimos g : `1 → E como g(x) =∑k∈N αkβk si x = (αk)k∈N ∈ `1.

El funcional g es lineal y acotado, pues

|g(x)| ≤∑k∈N

|αkβk| ≤ supk|βk| ·

∑k∈N

|αk| = ‖x‖1 · supk|βk| =⇒ g ∈ (`1)′.

Ademas, como g(ek) =∑

j∈N δkjβj = βk, Tg = (g(ek))k∈N = (βk)k∈N =b.

64

- T es inyectiva: Si Tf1 = Tf2, entonces f1(ek) = f2(ek), ∀k. Como f1(x) =∑k∈N xkf1(ek) y f2(x) =

∑k∈N xkf2(ek), entonces f1 = f2.

- T es isometrıa:

Por una parte, ‖Tf‖∞ = supk |f(ek)| ≤ ‖f‖ y de

|f(x)| = |∑k∈N

αkf(ek)| ≤ supk|f(ek)| ·

∑k∈N

|αk| = ‖x‖ · supk|f(ek)|

(para probar la desigualdad se toman sumas parciales y, debido ala convergencia de la serie, calcular el lımite), tenemos que ‖f‖ ≤supk |f(ek)| = ‖Tf‖.

Ası los espacios (`1)′ y `∞ son isometricos.

3) El dual de `p es `q si 1p + 1

q = 1, (1 < p <∞) :

Una base de Schauder de `p es ek = (δkj)∞j=1.

∀x ∈ `p, x =∑

k∈N αkek. Si f ∈ (`p)′, f(x) =∑

k∈N αkf(ek). Definimoscomo antes Tf = (f(ek))k∈N.

Para probar que la imagen de T esta en `q, definimos para cada n, la sucesion

x(n) = (ξ(n)k )∞k=1 con ξ(n)

k =

|f(ek)|qf(ek) si k ≤ n y f(ek) 6= 0,

0 si k > n o f(ek) = 0.

Entonces f(x(n)) =∑

k∈N ξ(n)k f(ek) =

∑nk=1 |f(ek)|q.

Como ademas,

f(x(n)) ≤ ‖f‖ · ‖x(n)‖p = ‖f‖

(n∑

k=1

|ξ(n)k |p

)1/p

= ‖f‖

(n∑

k=1

|f(ek)|pq−p

)1/p

= ‖f‖

(n∑

k=1

|f(ek)|q)1/p

,

resulta que(

n∑k=1

|f(ek)|q)1− 1

p

=(

n∑k=1

|f(ek)|q)1/q

≤ ‖f‖.

Haciendo n→∞,

( ∞∑k=1

|f(ek)|q)1/q

≤ ‖f‖ de donde (f(ek))k∈N ∈ `q.

T es sobre: Dado b = (βk)k∈N ∈ `q, podemos asociarle un funcional linealy acotado g en `p, mediante g(x) =

∑∞k=1 αkβk con x = (αk)k∈N ∈ `p

(la acotacion se deduce de la desigualdad de Holder 2.2.a). Entonces g ∈(`p)′.

Se ve facilmente que T es tambien inyectiva.

65

Por ultimo veamos que la norma de f es la norma en `q de Tf :

|f(x)| =

∣∣∣∣∣∑k∈N

αkf(ek)

∣∣∣∣∣ ≤(∑

k∈N

|αk|p)1/p(∑

k∈N

|f(ek)|q)1/q

= ‖x‖

(∑k∈N

|f(ek)|q)1/q

.

Tomando el supremo sobre los x de norma 1, sale que ‖f‖ ≤(∑

k∈N |f(ek)|q)1/q

.

Como la otra desigualdad tambien es cierta, se deduce la igualdad ‖f‖ =(∑k∈N |f(ek)|q

)1/q, con lo que se establece el isomorfismo f 7→ (f(ek))k∈N

deseado.

Observacion. Otros ejemplos se pueden obtener debido al hecho de que siX0 es subespacio denso deX e Y es completo, entonces L(X0, Y ) = L(X,Y ),se deduce en particular que X ′

0 = X ′.

66

EJERCICIOS.

1. Sea 1r = 1

p + 1q . Probar que si f ∈ Lp, g ∈ Lq, entonces f · g ∈ Lr y

‖f · g‖r ≤ ‖f‖p · ‖g‖q.

Resp.: Basta aplicar la desigualdad de Holder a las funciones f r y gr,sabiendo que 1 = 1

p/r + 1q/r .

2. Sea f ∈ Lp(R), 1 < p < ∞. Probar que g(x) = f(x)1+|x| ∈ L

1(R) y que

‖g‖1 ≤(

2q−1

)1/q· ‖f‖p.

Resp.: Aplicando la desigualdad de Holder y resolviendo las integralesinvolucradas, obtenemos∫

R|g(x)|dx =

∫R|f(x)| · 1

1 + |x|dx ≤

(∫R|f(x)|p dx

)1/p·(∫

R

( 11 + |x|

)qdx)1/q

= ‖f‖p ·[ ∫ 0

−∞

1(1− x)q

dx+∫ ∞

0

1(1 + x)q

dx]1/q

=‖f‖p ·( 2q − 1

)1/q.

3. Probar que, en todo espacio normado, B(x, r) = B(x, r).

Resp.: ComoB(x, r) ⊂ B(x, r), entonces B(x, r) ⊂ B(x, r) = B(x, r).

Recıprocamente, sabiendo que B(x, r) = B(x, r)∪S(x, r), para probarque B(x, r) ⊂ B(x, r) basta ver que S(x, r) ⊂ B(x, r), es decir que siy ∈ S(x, r), dado ε > 0, ∃z ∈ B(x, r) : d(y, z) < ε.

Para ello consideramos un elemento z = x + λ(y − x) y calculemos λpara que se verifique la tesis.

‖z − x‖ = ‖λ(y − x)‖ = |λ| · ‖y − x‖ = |λ| · r < r ⇐⇒ |λ| < 1,‖y − z‖=‖y − x− λy + λx‖= |1− λ| · ‖y − x‖= |1− λ| · r<ε ⇐⇒ |1− λ| < ε/r.

De este modo, si suponemos ε < r, 0 < ε/r < 1, tomando 1−λ = ε/2r,es |1 − λ|r = ε

2r · r = ε/2 < ε. Ademas, como λ = 1 − ε2r y ε

2r < 1,entonces |λ| < 1.

67

Si fuera ε ≥ r, tomamos z = y + 12(x− y). Entonces

‖z − x‖ = ‖y +12(x− y)− x‖ =

12‖y − x‖ = r/2 < r

‖y − z‖ = ‖12(x− y)‖ =

12‖(x− y)‖ = r/2 < r ≤ ε.

Interpretacion grafica:

4. i) Caracterizar todas las normas sobre R considerado como es-pacio vectorial real.

ii) Idem sobre C como espacio complejo.

iii) Probar que C puede tener otras normas considerado comoespacio real.

Resp.: i) Sea ‖ · ‖ una norma. Si llamamos α = ‖1‖, entonces ∀λ ∈R, ‖λ‖ = |λ| · ‖1‖ = |λ| · α.

Recıprocamente, ∀α ∈ R+, podemos definir ‖λ‖α = |λ| · α y es facilcomprobar que se trata de una norma.

ii) Analogo al anterior.

ii) Si definimos ‖z‖ = |Re z|+ | Im z|, es una norma en C como espacioreal, pero no coincide con las anteriores pues, como ‖1‖ = 1, entonces‖1 + i‖ = 2 pero ‖1 + i‖1 = 1 · |1 + i| =

√2.

5. a) Probar que la metrica discreta en un espacio vectorial no tri-vial X no puede obtenerse de una norma.

68

b) Sea d una metrica sobre un espacio vectorial X 6= 0 obte-nida a partir de una norma. Si se define la aplicacion d′ comod′(x, x) = 0, d′(x, y) = d(x, y)+1, probar que d′ no puede obtenersede una norma.

Resp.: a) Para que una metrica pueda obtenerse de una norma hacefalta que d(x+ α, y + α) = d(x, y) y d(αx, αy) = |α| · d(x, y).

Pero si elegimos |α| 6= 1, x 6= y, entonces d(x, y) = 1 = d(αx, αy) y nose cumple la segunda condicion.

b) Si |α| 6= 1,

d′(αx, αy) = d(αx, αy) + 1 = |α| · d(x, y) + 1= |α|[d(x, y) + 1] + 1− |α| = |α| · d′(x, y) + 1− |α| 6= |α| · d′(x, y).

6. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y Sr = x ∈ X : ‖x‖ = r conr > 0. Probar que X es de Banach si y solo si ∃r tal que Sr escompleto.

Resp.: a) Supongamos que X es de Banach y sea r > 0 arbitrario;entonces ∀x ∈ Sr, ∃(xn)n∈N ⊂ Sr : xn → x.

Como ‖xn‖ = r y la norma es continua, lımn ‖xn‖ = ‖ lımn xn‖ =‖x‖ = r. Esto implica que Sr es cerrado y, en consecuencia, completo.

b) Sea r0 > 0 tal que Sr0 es completo y sea r > 0 arbitrario.

Dada la sucesion de Cauchy (xn)n∈N en Sr, sea yn = (r0/r)xn; entoncesyn ∈ Sr0 y ademas (yn)n∈N es de Cauchy, por lo que ∃y ∈ Sr0 tal quey = lımn yn.

Definimos x = (r/r0)y; entonces x ∈ Sr y ‖xn−x‖ = (r/r0)‖yn−y‖ →0. Por tanto, Sr es completo, ∀r.

Falta demostrar que toda sucesion de Cauchy en X es convergente.

Sea pues (xn)n∈N de Cauchy en X. Entonces, si λn = ‖xn‖, la sucesion(λn)n∈N es de Cauchy pues |λn − λm| ≤ ‖xn − xm‖ → 0. Como en Etoda sucesion de Cauchy es convergente, tenemos dos opciones:

Si lımn λn = 0 =⇒ lımn ‖xn‖ = 0 =⇒ lımn xn = 0.

69

Si lımn λn 6= 0, λn 6= 0, excepto para un numero finito de ındices. Sillamamos yn = rxn/λn, la sucesion (yn)n∈N, que esta contenida en Sr,es de Cauchy, pues:

‖yn − ym‖ = r∥∥∥xn

λn− xm

λm

∥∥∥ = r‖λmxn − λnxm‖

|λnλm|

y ‖λmxn−λnxm‖ ≤ |λm|·‖xn−xm‖+|λm−λn|·‖xm‖ → 0 (recordamosque toda sucesion de Cauchy esta acotada). Por ser Sr completo, ∃y ∈Sr : yn → y, de donde xn → (λ/r)y.

7. Se considera el conjunto

C0(Rn) = f : Rn → R : f continua y lımx→∞

f(x) = 0

con la norma ‖f‖ = maxx∈Rn

|f(x)|. Probar que es de Banach.

Resp.: La norma esta bien definida pues, si f ∈ C0(Rn), f 6= 0,

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x| > δ =⇒ |f(x)| < ε =⇒ maxx∈Rn

|f(x)| = max|x|≤δ

|f(x)|,

que existe por el teorema de Weierstrass.

Los axiomas de norma son evidentes.

Si (fn)n∈N es una sucesion de Cauchy en C0(Rn), converge uniforme-mente a una funcion continua f (como en el caso general). Veamos quef ∈ C0(Rn):

∀ε > 0,

|f(x)− fn(x)| < ε/2 para n > N(ε)|fn(x)| < ε/2 para |x| > δ(ε)

=⇒ |f(x)| < ε, para |x| > δ(ε).

8. Sea φ el conjunto formado por las sucesiones escalares de soportefinito. Probar que (φ, ‖ · ‖p) con p ≥ 1 es un espacio normado nocompleto.

Resp.: Al ser φ subespacio de lp, es normado.

70

Para p > 1, consideramos la sucesion (yn)n∈N ⊂ φ dada por:

y1 = (1, 0, . . . )y2 = (1, 1/2, 0, . . . )...

yn = (1, 1/2, . . . , 1/n, 0, . . . ).

Ası,

‖yn+k−yn‖pp =

∥∥∥(0, . . . 0, 1n+ 1

, . . . ,1

n+ k, 0, . . . )

∥∥∥p

p=

k∑i=1

1(n+ i)p

< ε

por ser el resto de una serie convergente.

Sin embargo, la sucesion (yn)n∈N no es convergente, pues

yn → (1,12, . . . ,

1n, . . . ) 6∈ φ.

En efecto, si llamamos y = (λ1, . . . , λN , 0, . . . ) al lımite de la sucesion(yn)n∈N, y hacemos n ≥ N :

‖yn − y‖pp =

n∑k=1

∣∣∣∣1k − λk

∣∣∣∣p +∞∑

k=n+1

|λk|p =n∑

k=1

∣∣∣∣1k − λk

∣∣∣∣p + 0.

Haciendo n→∞,

∞∑k=1

|1k− λk|p = 0 =⇒ |1

k− λk| = 0, ∀k =⇒ λk =

1k, ∀k,

y no puede ser que y ∈ φ.

Si p = 1, basta elegir la sucesion yn = (1, 1/22, . . . , 1/n2, 0, . . . ), queconverge a y = (1, 1/22, . . . , 1/n2, . . . ), pero y 6∈ φ.

9. En el espacio C1[0, 1] definimos ‖f‖ = supx∈[0,1]

(|f(x)|+ |f ′(x)|). Pro-

bar que (C1[0, 1], ‖ · ‖) es normado. ¿La norma anterior es equi-valente a la norma N(f) = sup

x∈[0,1]|f(x)|+ sup

x∈[0,1]|f ′(x)|?

Resp.: Es inmediata la comprobacion de los axiomas de norma enambos casos.

71

Como |f(x)| + |f ′(x)| ≤ supx |f(x)| + supx |f ′(x)|, entonces ‖f‖ ≤N(f).

Ademas, de

|f(x)| ≤ |f(x)|+ |f ′(x)| ≤ ‖f‖ y |f ′(x)| ≤ |f(x)|+ |f ′(x)| ≤ ‖f‖,

se deduce que |f(x)|+ |f ′(x)| ≤ 2‖f‖ lo que implica que N(f) ≤ 2‖f‖.

Esto prueba que ambas normas son equivalentes.

10. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado y S un subespacio de X. Probar:

a) S es subespacio de X.

b) Si X es completo, S es tambien completo.

c) Si S 6= X, intS = ∅.

Resp.: a) Sean x, y ∈ S, α, β ∈ E. Entonces existen (xn)n∈N, (yn)n∈N ⊂S : xn → x, yn → y, de donde (αxn + βyn)n∈N ⊂ S y αxn + βyn →αx+ βy ∈ S.

b) Como S es cerrado y X es completo, S es completo.

c) Si fuera intS 6= ∅, ∃a ∈ intS. Por tanto, ∃r > 0 : B(a, r) ⊂ S.

Sea x ∈ X arbitrario, x 6= 0, y elegimos t ∈ R tal que 0 < t < r/‖x‖.

Ası elegido, es evidente que z = a + tx ∈ B(a, r), de donde z ∈ S.Como x = t−1(z − a), entonces x ∈ S. Al ser x arbitrario, X ⊂ S, esdecir S = X, lo que contradice la hipotesis.

Observacion: Dicho conjunto se llama conjunto fronterizo (todos suspuntos son aislados). El ultimo apartado prueba que S no es abierto.Ademas, si fuera cerrado, debe ser un conjunto nunca denso.

11. Sea K ⊂ R un compacto y C(K) = f : K → C : f continua.

a) Probar que (C(K), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

b) Probar que (C(K), ‖ · ‖p) con 1 ≤ p <∞ no es completo.

72

Resp.: a) Al ser f continua, ‖f‖∞ = supx∈K |f(x)| = maxx∈K |f(x)|.

Los axiomas de norma se comprueban de forma directa.

Para ver que el espacio es completo, consideremos una sucesion deCauchy fnn∈N en C(K). Entonces

∀ε > 0, ∃n0 : ‖fm − fn‖∞ < ε, ∀m,n > n0.

Por tanto, |fm(x) − fn(x)| < ε, ∀m,n > n0, ∀x ∈ K y la sucesionfn(x)n∈N es de Cauchy en C, con lo que existe f(x) = lımn→∞ fn(x)y la convergencia es uniforme. Esto indica ademas que f es continuaen K.

Veamos que ‖fn − f‖∞ → 0:

Como

|fn(x)−f(x)| = |fn(x)− lımm→∞

fm(x)| = lımm→∞

|fn(x)−fm(x)| ≤ ε, ∀m,n > n0,

es evidente que ‖fn − f‖∞ = supx∈K |fn(x)− f(x)| ≤ ε.

b) Los axiomas de norma se deducen de los correspondientes en Lp(K)con la medida de Lebesgue.

Para ver que no es completo, consideramos la sucesion (fn)n∈N definidapor:

fn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1/2− 1/nnx− n/2 + 1 si 1/2− 1/n ≤ x ≤ 1/21 si x ≥ 1/2.

Es evidente que ‖fn‖p <∞. Ademas:

‖fn−fm‖pp =

∫ 12

12− 1

n

|fn(x)−fm(x)|pdx ≤∫ 1

2

12− 1

n

|fn(x)|pdx ≤∫ 1

2

12− 1

n

dx =1n→ 0.

Sin embargo, fn → χ[1/2,1] que no es continua en x = 1/2.

Observacion. Aunque K 6= [0, 1], el proceso serıa el siguiente: Por serK compacto, ∃[a, b] ⊂ K; mediante un cambio de variable x 7→ x−a

b−a ,pasamos de [a, b] a [0, 1]. La sucesion (fn)n∈N se define como antes yla prolongamos a todo K de modo que sea constante fuera de [0, 1].

73

12. Probar que

Cc(R) = f : R → R : f continua con soporte compacto

es un espacio vectorial normado con la norma del supremo, perono es de Banach.

Resp.: El espacio es normado pues es un subconjunto de L∞. Paraver que no es completo, basta considerar la sucesion

fn(x) =

e−|x| si x ∈ [−n, n]e−n(x+ n+ 1) si x ∈ [−n− 1,−n]−e−n(x− n− 1) si x ∈ [n, n+ 1]0 en el resto,

que es de Cauchy pero su lımite f(x) = e−|x| no pertenece al espacio.

13. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y T : X → X un isomorfismoalgebraico. Si definimos N : X → E por N(x) = ‖Tx‖, probar:

a) N es una norma.

b) N es equivalente a ‖ · ‖ si y solo si T es homeomorfismo.

Resp.: a) N(x) ≥ 0 pues ‖Tx‖ ≥ 0, ∀x ∈ X.

N(x) = 0 ⇐⇒ ‖Tx‖ = 0 ⇐⇒ Tx = 0 ⇐⇒ x = 0 (pues T es, enparticular, inyectiva).

N(λx) = ‖T (λx)‖ = ‖λTx‖ = |λ| · ‖Tx‖ = |λ| ·N(x).

N(x+ y) = ‖T (x+ y)‖ ≤ ‖Tx+ Ty‖ ≤ ‖Tx‖+ ‖Ty‖ = N(x) +N(y).

b) N es equivalente a ‖ · ‖ ⇐⇒ ∃m,M > 0 : m‖x‖ ≤ N(x) ≤ M‖x‖.Esto equivale a ‖x‖ ≤ 1

m‖Tx‖ y ‖Tx‖ ≤M‖x‖, condiciones que equi-valen a la existencia y continuidad de T−1 y T , respectivamente, esdecir, a que T es homeomorfismo.

74

14. Un subconjunto A de un espacio vectorial X es convexo si paracualesquiera x, y ∈ A, α ∈ (0, 1), se tiene que αx+ (1− α)y ∈ A.

a) Probar que la bola unitaria cerrada B(0, 1) en un espacio nor-mado es convexo.

b) Aplicando lo anterior, probar que ϕ(x) =(√

|x1|+√|x2|)2

no

define una norma en R2.

Resp.: a) Sean x, y ∈ B(0, 1). Entonces ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1. Si α ∈(0, 1),

‖αx+ (1− α)y‖ ≤ |α| · ‖x‖+ |1− α| · ‖y‖ ≤ α+ (1− α) = 1.

Esto implica que αx+ (1− α)y ∈ B(0, 1).

b) Veamos que B(0, 1) no es convexa en dicho espacio. Para elloobservamos la grafica de dicha bola, es decir el conjunto (x1, x2) :(√|x1|+

√|x2|)2 ≤ 1.

Haciendo x = (1, 0), y = (0, 1), ϕ(x) = 1, ϕ(y) = 1. Sin embargox/2 + y/2 = (1/2, 1/2) 6∈ B(0, 1) porque ϕ(1/2, 1/2) = (

√1/2 +√

1/2)2 = 2 > 1.

15. Si X es un espacio vectorial, una aplicacion p : X → R se llamaseminorma si verificai) p(x) ≥ 0, ii) p(αx) = |α| · p(x), iii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y).

a) Probar que |p(x)− p(y)| ≤ p(x− y).

b) Probar que p es una norma si verifica p(x) 6= 0, ∀x 6= 0.

c) Probar que N = x ∈ X : p(x) = 0 es un subespacio de X y laaplicacion ‖ · ‖ : X/N → R definida por ‖x‖ = p(x), donde x ∈ x,es una norma.

75

Resp.: a) Haciendo α = 0 en ii), resulta que p(0) = 0.

Como x = x−y+y, p(x) ≤ p(x−y)+p(y) =⇒ p(x)−p(y) ≤ p(x−y).

Como y = y−x+x, p(y) ≤ p(y−x)+p(x) =⇒ p(y)−p(x) ≤ p(y−x).

Ademas, p(y − x) = p(−(x − y)) = | − 1| · p(x − y) = p(x − y). Endefinitiva, −p(x− y) ≤ p(x)− p(y) ≤ p(x− y).

b) Es evidente.

c) Si x, y ∈ N y α, β ∈ C, entonces

p(x) = p(y) = 0 =⇒ p(αx+βy) ≤ p(αx)+p(βy) = |α|·p(x)+|β|·p(y) = 0,

es decir αx+ βy ∈ N .

Veamos que ‖x‖ = p(x) es una norma.

• ‖x ‖ ≥ 0 por i).

• ‖x ‖ = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ x ∈ N =⇒ x = 0.Recıprocamente, si x = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ ‖x ‖ = 0.

• Como α · x = αx, ‖αx ‖ = p(αx) = |α| · p(x) = |α| · ‖x ‖.

• ‖x + y‖ = ‖x+ y‖ = p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) = ‖x ‖+ ‖y ‖.

• ‖ · ‖ esta bien definida:Si x, y ∈ x, x − y ∈ N =⇒ p(x − y) = 0 =⇒ |p(x) − p(y)| ≤p(x− y) = 0. Por tanto, p(x) = p(y).

16. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado y M un subespacio cerrado deX. En el espacio cociente X/M definimos

|||x||| = ınfy∈M

‖x+ y‖, ∀x ∈ X/M.

a) Probar que ||| · ||| define una norma en X/M .

b) Si X es de Banach, probar que (X/M, ||| · |||) es de Banach.

c) Si M y X/M son de Banach, probar que X es de Banach.

d) Si X es separable, probar que X/M es separable.

Resp.: a) Observemos en primer lugar que |||x||| = d(x,M).

• De la observacion anterior es claro que |||x||| ≥ 0, ∀x ∈ X.

76

• |||x||| = 0 ⇐⇒ d(x,M) = 0 ⇐⇒ x ∈ M ⇐⇒ x ∈M ⇐⇒ x = 0.

• Debido a que ‖α(x+ y)‖ = |α| · ‖x+ y‖, ∀y ∈M , tomando ınfimosy recordando que αx = αx, resulta:

|||αx||| = |||αx||| = ınfy∈M

‖α(x+ y)‖ = ınfy∈M

|α| · ‖x+ y‖|α| · |||x|||.

• Debido a que

‖x+m1 + y +m2‖ ≤ ‖x+m1‖+ ‖y +m2‖, ∀m1,m2 ∈M,

tomando ınfimos, se obtiene:

ınfm1,m2∈M

‖x+ y +m1 +m2‖ ≤ ınfm1∈M

‖x+m1‖+ ınfm2∈M

‖y +m2‖

=⇒ |||x+ y||| ≤ |||x|||+ |||y|||.

b) Sea xnn∈N una sucesion de Cauchy en X/M . Entonces ∀ε > 0,∃n0 ∈ N tal que |||xm − xn||| < ε, ∀m,n > n0. Por la definicion de||| · |||, ∃yk ∈ xk: ‖ym − yn‖ < 2ε lo que implica que ynn∈N es deCauchy en X. Ası pues, ∃y ∈ X : yn → y. Si llamamos x a la clase deequivalencia que contiene a y, como |||xn − x||| ≤ ‖yn − y‖, se deduceque xn → x.

c) Sea xnn∈N una sucesion de Cauchy en X. Como

|||xm−xn||| = ||| (xm − xn)||| = d(xm−xn,M) ≤ d(xm−xn, 0) = ‖xm−xn‖,

tambien la sucesion xnn∈N es de Cauchy en X/M . Por hipotesis,existe x ∈ X/M tal que xn → x. Entonces,

∀ε > 0, ∃n0 : d(xn − x,M) < ε/2, ∀n > n0,

de donde ∃y ∈M : d(xn − x, y) < ε, ∀n > n0. En definitiva,‖xn − x− y‖ < ε, ∀n > n0, es decir xn → x+ y.

d) Sea Y un subconjunto numerable y denso en X y llamamos Y alconjunto formado por las clases de equivalencia de los elementos de Y .Es evidente que Y es numerable. Ademas, si x ∈ X/M es arbitrario,∀ε > 0, ∃y ∈ Y : ‖x− y‖ < ε. Por ser M cerrado, |||x− y||| ≤ ‖x− y‖.Como y ∈ Y , deducimos que Y es denso en X/M .

77

17. Sea X un espacio normado.

a) Si M ⊂ X es subespacio completo, probar que la aplicacioncanonica ϕ : X → X/M es continua y ‖ϕ‖ = 1.

b) Si M ⊂ X es subespacio cerrado e Y ⊂ X un subespacio dedimension finita, probar que M + Y es cerrado en X. Resp.: a)

Por definicion, ϕ(x) = x, de donde

|||ϕ(x)||| = ınfm∈M

‖x+m‖ ≤ ınfm∈M

(‖x‖+ ‖m‖) = ‖x‖.

Esto implica que ϕ es continua y ‖ϕ‖ ≤ 1.

Por otra parte, de la definicion de ınfimo, ∀ε > 0, ∃y ∈ x : ‖y‖ <(1 + ε)|||x|||. Como ϕ(y) = x,

‖y‖ < (1 + ε)|||ϕ(y)||| ≤ (1 + ε)‖ϕ‖ · ‖y‖ =⇒ 11 + ε

< ‖ϕ‖, ∀ε > 0.

De lo anterior se deduce que ‖ϕ‖ ≥ 1.

b) Supondremos que M ∩ Y = 0 pues, si M ∩ Y = M1 6= 0, bastadefinir Y ′ = Y \M1 de modo que M + Y = M + Y ′ y M ∩ Y ′ = 0 (Y ′ tambien tiene dimension finita).

(1) Probemos en primer lugar que mk + yk → 0 =⇒ mk → 0, yk → 0:

Si fuera yk 6→ 0, ∃ykjj∈N ⊂M : ‖ykj

‖ = 1, mkj+ ykj

→ 0.

Como la esfera unidad en Y es compacta, se puede extraer otra sub-sucesion convergente ykj

→ y ∈ Y con ‖y‖ = 1. Esto implica quemkj

→ −y ∈M ∩ Y con lo que y = 0, lo que contradice la suposicioninicial.

Ası pues, yk → 0 y, por hipotesis, mk + yk → 0, de donde mk → 0.

(2) Veamos ahora que ykk∈N esta acotada si mk + ykk∈N converge:

Si ‖yk‖ → ∞, como ‖mk + yk‖ ≤ c, haciendo m′k = mk/‖yk‖, y′k =

yk/‖yk‖, entonces

‖m′k + y′k‖ =

‖mk + yk‖‖yk‖

≤ c

‖yk‖→ 0, con ‖y′k‖ = 1

lo que contradice (1).

(3) Por ultimo, si mk+ykk∈N converge a x, probemos que x ∈M+Y :

Por ser Y compacto y la sucesion ykk∈N acotada, existe una subsuce-sion ykj

j∈N tal que ykj→ y ∈ Y . Esto implica que mkj

→ x−y ∈M

78

(por ser M cerrado). Entonces x ∈ M + Y pues x = (x − y) + y yx− y ∈M .

18. Sean (X1, ‖ · ‖1), . . . , (Xn, ‖ · ‖n) espacios normados arbitrarios yX = X1 × · · · ×Xn el espacio producto.

a) Probar que X es normado si definimos ‖x‖ =[

n∑k=1

‖xk‖pk

]1/p

,

1 ≤ p <∞, o bien ‖x‖ = max1≤k≤n

‖xk‖k.

b) Si dimXi = ki <∞, 1 ≤ i ≤ n, probar que dimX =∑n

i=1 ki.

c) Probar que Xi son de Banach para todo i si y solo si X es deBanach.

Resp.: a) De los axiomas de norma para los espacios Xi (1 ≤ i ≤ n) yla desigualdad de Minkowski se deducen los correspondientes axiomaspara X.

b) Si xi1, . . . , x

iki es una base de Xi, para i = 1, . . . , n, es facil com-

probar que

(x11, 0, . . . , 0), . . . , (x1

k1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, xn

1 ), . . . , (0, . . . , 0, xnkn

)

es una base de X.

c) Supongamos que Xi son espacios de Banach, ∀i = 1, . . . , n, y seax(k)k∈N una sucesion de Cauchy en X. Entonces, ∀ε > 0,

‖x(k) − x(j)‖p =∑

1≤i≤n

‖x(k)i − x

(j)i ‖p

i < εp =⇒ ‖x(k)i − x

(j)i ‖ < ε.

Esto implica que ∃xi : ‖x(k)i − xi‖ < ε, ∀i. (Analogamente se procede

con la norma del maximo.)

Se define ası un elemento x = (x1, . . . , xn) ∈ X tal que

‖x(k) − x‖ =( ∑

1≤i≤n

‖x(k)i − xi‖p

i

)1/p< ε · n1/p

lo que significa que x(k) → x y X es de Banach.

Recıprocamente, si X es de Banach, sean x(i)m m∈N sucesiones de

Cauchy en Xi, para 1 ≤ i ≤ n. Es facil comprobar entonces que

79

(x(1)m , . . . , x

(n)m )m∈N es de Cauchy en X en cada una de las normas.

Por hipotesis, existe (x1, . . . , xn) ∈ X tal que lımm(x(1)m , . . . , x

(n)m ) =

(x1, . . . , xn). De aquı se deduce que lımm x(i)m = xi, ∀i = 1, . . . , n.

19. Sean (X1, ‖·‖1), (X2, ‖·‖2) espacios normados. Si xnn∈N ⊂ X1 esuna sucesion que converge a x en (X1, ‖·‖1) y Tnn∈N ⊂ L(X1, X2)una sucesion que converge a T en (L(X1, X2), ‖ · ‖), probar queTnxn → Tx en (X2, ‖ · ‖2).

Resp.: Por hipotesis, ∀ε > 0, ∃n0 : ‖xn − x‖1 < ε/‖T‖ y ‖xn‖1 < M ,∀n > n0.

Por otra parte, ∃n1 : ‖Tn − T‖ < ε/M , ∀n > n1.

Entonces, ∀n > maxn0, n1, tenemos:

‖Tnxn − Tx‖2 ≤ ‖Tnxn − Txn‖2 + ‖Txn − Tx‖2

= ‖(Tn − T )xn‖2 + ‖T (xn − x)‖2

≤ ‖Tn − T‖ · ‖xn‖1 + ‖T‖ · ‖xn − x‖1 < ε.

20. Llamamos V al espacio de las funciones continuas en [a, b] convalores complejos y consideramos los espacios normados X1 =(V, ‖ · ‖∞) y X2 = (V, ‖ · ‖2). Probar que la aplicacion identidadI : X1 → X2 es continua, pero no es homeomorfismo.

Resp.: Debemos probar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ‖x − y‖∞ < δ =⇒‖x− y‖2 < ε. Pero, de ‖x− y‖∞ < δ, deducimos

|x(t)− y(t)| < δ, ∀t ∈ [a, b] =⇒∫ b

a|x(t)− y(t)|2dt < δ2 · (b− a).

Basta pues hacer δ2 · (b− a) = ε2 para obtener ‖x− y‖2 < ε.

Para ver que la inversa no es continua, elegimos

xn(t) =

0 si t ∈ [0, 1− 1/n)nt− n+ 1 si t ∈ [1− 1/n, 1)1 si t ∈ [1, 2]

, yn(t) =

0 si t ∈ [0, 1)nt− n si t ∈ [1, 1 + 1/n)1 si t ∈ [1 + 1/n, 2].

80

De este modo, maxt∈[0,2] |xn(t)−yn(t)| = 1 pero∫ 20 |xn(t)−yn(t)|2dt =

2/3n.

Si hacemos ε < 1 y elegimos n para que 2/3n < δ, para cualquier δ > 0resulta

∫ 20 |xn(t)− yn(t)|2dt < δ pero maxt∈[0,2] |xn(t)− yn(t)| > ε.

21. Si T : X → Y es un operador lineal y acotado, probar que elnucleo N(T ) es cerrado pero la imagen R(T ) no es necesaria-mente cerrado.

Resp.: a) Sea xnn∈N ⊂ N(T ) una sucesion convergente a x. ComoT es continua, Txn → Tx.

Pero Txn = 0, ∀n =⇒ Tx = 0 =⇒ x ∈ N(T ). Por tanto, N(T ) escerrado.

b) Definimos el operador T : `∞ → `∞ por

T (x1, . . . , xn, . . . ) = (x1, x2/2, . . . , xn/n, . . . ).

En este caso, R(T ) = y ∈ `∞ : (y1, 2y2, . . . , nyn, . . . ) ∈ `∞.

Elegimos la sucesion y(k) = (1, 1/√

2, . . . , 1/√k, 0 . . . ). Es claro que

y(k) ∈ R(T ), ∀k. Sin embargo, lımk→∞ y(k) = (1, . . . , 1/√k, . . . ) 6∈

R(T ) porque la sucesion (1, 2/√

2, . . . , k/√k, . . . ) no esta acotada. Esto

prueba que R(T ) no es cerrado.

22. Sean X e Y dos espacios normados sobre R y f : X → Y unaaplicacion aditiva en X y acotada en la bola unidad de X. Probarque f es lineal y continua.

Resp.: Por la aditividad de f deducimos lo siguiente:

f(x+ 0) = f(x) = f(x) + f(0) =⇒ f(0) = 0;

f(x+ (n). . . +x) = f(nx) = f(x)+ (n). . . +f(x) = nf(x), ∀n ∈ N;0 = f(x− x) = f(x) + f(−x) =⇒ f(−x) = −f(x);

f(nx) = nf(x), ∀n ∈ Z;

q · f(p

qx) = f(px) = pf(x) =⇒ f(

p

qx) =

p

qf(x), ∀p/q ∈ Q.

Veamos que f es continua:

81

Por hipotesis, si ‖z‖ ≤ 1 =⇒ ‖f(z)‖ ≤ k.

Dados ε > 0 y x0 ∈ X, debemos encontrar δ > 0 tal que ‖f(x) −f(x0)‖ < ε, si ‖x− x0‖ < δ.

Sabemos que,

‖x− x0‖ < 1/p =⇒ ‖p(x− x0)‖ < 1 =⇒ ‖f(p(x− x0))‖ < k,

es decir ‖f(x)− f(x0)‖ < k/p. Por tanto, basta hacer p > k/ε, p ∈ N,para que

‖x− x0‖ < 1/p =⇒ ‖f(x)− f(x0)‖ < k/p < ε.

Por ultimo veamos la linealidad de f :

Si r ∈ R, sea qnn∈N una sucesion de racionales tal que qn → r.

Por la continuidad de f,

f(rx) = lımnf(qnx) = lım

nqnf(x) = rf(x).

23. Sea αnn∈N una sucesion acotada en C y T : `1 → `1 el operadordefinido por T (xn)n∈N = (αnxn)n∈N.

a) Probar que T ∈ L(`1) y ‖T‖ = sup|αn| : n ∈ N.

b) Probar que N(T ) = 0 ⇐⇒ αn 6= 0, ∀n.

c) Probar que si N(T ) = 0, entonces R(T ) es denso en `1.

Resp.: a) Es evidente que T es lineal.

Para ver que T es acotada, supongamos que |an| ≤M, ∀n. Entonces

‖Tx‖ =∑

|anxn| ≤M∑

|xn| = M‖x‖ =⇒ ‖T‖ ≤ sup |an|.

Si elegimos la sucesion x(n) = 0, (n−1). . . , 0, 1, 0, . . . , entonces

‖Tx(n)‖ = |αn| =⇒ ‖T‖ ≥ |αn|, ∀n =⇒ ‖T‖ ≥ sup |αn|.

b) Si N(T ) = 0, Tx(n) = αn 6= 0, ∀n.

Recıprocamente, si αn 6= 0, ∀n y x ∈ N(T ), entonces Tx = (αnxn) =0 =⇒ αnxn = 0, ∀n =⇒ xn = 0, ∀n =⇒ x = 0.

82

c) Sea y = (yn)n∈N ∈ `1 y llamamos x(n) = (y1/α1, 0, . . . , yn/αn, 0, . . . ),n ∈ N. Entonces Tx(n) = (y1, . . . , yn, 0, . . . ) y Tx(n) → y.

24. Si X = C[0, 1], se definen los operadores S, T : X → X comoSx(s) = s

∫ 10 x(t)dt, Tx(s) = sx(s), respectivamente. ¿Conmutan

S y T? Encontrar ‖S‖, ‖T‖, ‖TS‖ y ‖ST‖.

Resp.: a) Por definicion,

(STx)(s) = S(Tx)(s) = S(sx(s)) = s

∫ 1

0t · x(t)dt,

(TSx)(s) = T (Sx(s)) = T (s∫ 1

0x(t)dt) = s2

∫ 1

0x(t)dt.

Es evidente entonces que no conmutan.

b) Como ‖Sx‖ = maxs∈[0,1] |s∫ 10 x(t)dt| ≤ |

∫ 10 x(t)dt| ≤

∫ 10 |x(t)|dt ≤

‖f‖, entonces ‖S‖ ≤ 1.

Si elegimos en particular x0(s) = 1, (Sx0)(s) = s y ‖Sx0‖ = 1. Endefinitiva, ‖S‖ = 1.

Por otra parte, como ‖Tx‖ = maxs∈[0,1] |sx(s)| ≤ maxs∈[0,1] |x(s)| =‖x‖, tambien ‖T‖ ≤ 1.

Nuevamente, para x0(s) = 1, ‖x0‖ = 1 y (Tx0)(s) = s, de donde‖Tx0‖ = 1. Ası pues, ‖T‖ = 1.

c) Debido a que ‖TSx‖ ≤ ‖T‖ ·‖Sx‖ ≤ ‖T‖ ·‖S‖ ·‖x‖ = ‖x‖, entonces‖TS‖ ≤ 1.

Tomando x0(s) = 1, (TSx0)(s) = s2 =⇒ ‖TSx0‖ = 1 =⇒ ‖TS‖ ≥ 1,lo que implica que ‖TS‖ = 1.

Por otra parte, si ‖x‖ = 1, entonces |x(s)| ≤ 1, ∀s =⇒∫ 10 tx(t)dt ≤∫ 1

0 tdt = 1/2, de donde s∫ 10 tx(t)dt ≤ s/2. Ası pues ‖STx‖ ≤ 1/2.

Ahora bien, si elegimos la funcion x0(s) = 1, (STx0)(s) = s∫ 10 tx0(t) =

s/2 de modo que ‖STx0‖ = 1/2.

25. Sea X = C[0, 1] con la norma uniforme.

a) Si T ∈ L(X) se define como T (f)(t) = tf(t)1+t2

, t ∈ [0, 1], f ∈ X,encontrar ‖T‖.

83

b) Si S ∈ L(X) se define como S(f)(t) =∫ 10 K(t, s)f(s)ds, donde

K es continua, probar que S es acotado.

c) Fijado t0 ∈ [0, 1], se define x∗ ∈ X ′ por x∗(f) = f(t0). Encontrar‖x∗‖.

Resp.: a) Por definicion,

‖Tf‖ = maxt∈[0,1]

∣∣ tf(t)1 + t2

∣∣ ≤ max |f(t)| ·max∣∣ t

1 + t2∣∣ = 1

2· ‖f‖,

porque la funcion y = t1+t2

es creciente en [0, 1].

Para f ≡ 1 se verifica la igualdad. Por tanto, ‖T‖ = 1/2.

b) Nuevamente,

‖Sf‖ = supt∈[0,1]

∣∣ ∫ 1

0K(t, s)f(s)ds

∣∣≤ sup

t∈[0,1]

∫ 1

0|K(t, s)| · |f(s)|ds ≤ ‖f‖ · sup

t∈[0,1]

∫ 1

0|K(t, s)|ds.

Esto implica que ‖S‖ ≤ supt∈[0,1]

∫ 10 |K(t, s)|ds.

c) ‖x∗‖ = sup‖f‖=1 |x∗(f)| = sup‖f‖=1 |f(t0)| = 1.

26. Se define el operador de Volterra V : L2[0, 1] → L2[0, 1] por (V f)(t) =∫ t0 f(s)ds. Probar que V es lineal y acotado y que ‖V ‖ ≤ 1/

√2.

Resp.: Por la linealidad de la integral, es evidente que V es lineal.

Ademas V es acotado. En efecto:

‖V f‖2 =∫ 1

0|V f(t)|2dt =

∫ 1

0

∣∣ ∫ t

0f(s)ds

∣∣2dt≤

∫ 1

0

(∫ t

0|f(s)|ds

)2dt

(desig. de Holder)

≤∫ 1

0

[ ∫ t

0|f(s)|2ds ·

∫ t

012ds

]dt

=∫ 1

0

[ ∫ t

0t · |f(s)|2ds

]dt =

∫ 1

0

(∫ 1

st · |f(s)|2dt

)ds

=∫ 1

0|f(s)|2 · (1/2− s2/2)ds ≤ 1

2‖f‖2

=⇒ ‖V f‖ ≤ 1√2· ‖f‖ =⇒ ‖V ‖ ≤ 1/

√2.

84

27. Se define Φ : L2[a, b] → L2[a, b] por Φ(f)(x) = xf(x), ∀x ∈ [a, b].Probar que Φ es lineal y acotado con ‖Φ‖ = max|b|, |a|.

Resp.: Que Φ es lineal es trivial. Ademas

‖Φ(f)‖22 =

∫ b

a|xf(x)|2dx ≤ (max|b|, |a|)2·‖f‖2

2 =⇒ ‖Φ‖ ≤ max|b|, |a|.

Por otra parte, suponiendo que |b| ≥ |a| y llamando fn = χ[b− b−an

,b],

‖Φ(fn)‖22 =

∫ b

a|xfn(x)|2dx =

∫ b

a|x|2 · |fn(x)|2dx =

∫ b

b− b−an

|x|2dx

=x3

3

∣∣bb− b−a

n=b3

3−

(b− b−an )3

3=[b2 − b · b− a

n+

(b− a)2

3n2

]· b− a

n.

Ademas,

‖fn‖22 =

∫ b

a|fn(x)|2dx = b− b+

b− a

n=b− a

n

=⇒ ‖Φ(fn)‖2

‖fn‖2=

√b2 − b · b− a

n+

(b− a)2

3n2→ |b|

si n→∞, de donde ‖Φ‖ ≥ |b|. En definitiva, ‖Φ‖ = |b| = max|a|, |b|.

28. Sean (X, ‖ · ‖1), (Y, ‖ · ‖2) dos espacios normados sobre el mismocuerpo y T ∈ L(X,Y ) una aplicacion biyectiva, tal que T−1 ∈L(Y,X).

a) Probar que ‖T−1‖ ≥ ‖T‖−1. ¿Es cierta la igualdad?

b) Probar que X es de Banach si y solo si Y es de Banach.

Resp.: a) En general, dados dos operadores A ∈ L(X,Y ) y B ∈L(Y, Z), debido a que

‖BAx‖ ≤ ‖B‖ · ‖Ax‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ · ‖x‖,

se deduce que ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖. En particular, 1 ≤ ‖T‖ · ‖T−1‖, delo que deducimos que ‖T‖−1 ≤ ‖T−1‖.

85

La igualdad no es cierta en general. Incluso en el caso finito-dimensional,si consideramos por ejemplo el operador T : R2 → R2 definido porT (x1, x2) = (2x1, x2), entonces T es lineal, biyectiva y acotada. AdemasT−1(x1, x2) = (x1/2, x2). Por tanto, ‖T‖ = 2 y ‖T−1‖ = 1, de modoque, en general, no es cierta la igualdad entre ‖T‖−1 y ‖T−1‖.

b) Supongamos que X es de Banach (analogamente se procede con laimplicacion recıproca). Si ynn∈N es una sucesion de Cauchy en Y ,existe xn ∈ X tal que Txn = yn, ∀n. Como

‖xn − xm‖ = ‖T−1(yn − ym)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖yn − ym‖,

entonces xnn∈N es de Cauchy en X.

Por hipotesis, ∃x ∈ X : xn → x. Si llamamos y = Tx, es facil probarque yn → y, con lo que Y es de Banach.

29. Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] definido por y(t) =∫ t0 x(s)ds. Encontrar

el rango R(T ) y T−1 : R(T ) → C[0, 1]. ¿Es T−1 lineal y acotado?

Resp.: Por definicion,

R(T ) =y ∈: C[0, 1] : ∃x ∈ C[0, 1], y(t) =

∫ t

0x(s)ds

= y ∈ C[0, 1] : y′(t) = x(t) ∈ C[0, 1], y(0) = 0 = y ∈ C1[0, 1] : y(0) = 0.

Si y ∈ R(T ), sera T−1y = x cuando Tx = y, es decir cuando y(t) =∫ t0 x(s)ds lo que implica que y′(t) = x(t); en definitiva, T−1y = y′.

Es claro que T−1 es lineal. Sin embargo no esta acotado porque,si elegimos fn(x) = xn, entonces ‖fn‖ = max

x∈[0,1]|fn(x)| = 1 pero

‖T−1fn‖ = maxx∈[0,1]

|nxn−1| = n y no existe ninguna constante k pa-

ra la que ‖T−1fn‖ ≤ k‖fn‖.

30. En (C[a, b], ‖ ·‖∞) sea M el subespacio de las funciones f ∈ C[a, b]que tienen dos derivadas continuas y tales que f(a) = f(b) = 0.Se define el operador T : M → C[a, b] por Tf = f ′′. Probar queexiste T−1 y que R(T ) = C[a, b].

Resp.: T es inyectiva, pues si

f ′′ = g′′ =⇒ f ′(x) = g′(x) + C =⇒ f(x) = g(x) + Cx+D.

86

Ahora bien, de f(a) = g(a) = 0 y f(b) = g(b) = 0, se deduce quef = g.

T es ademas sobre, pues si g(x) = f ′′(x) con f(a) = f(b) = 0, entoncesf ′(x) =

∫ xa g(t)dt+ k1, de donde

f(x) =∫ x

a

[ ∫ s

ag(t)dt

]ds+ k1(x− a) + k2;

eligiendo k1 =−1b− a

∫ b

a

[ ∫ s

ag(t)dt

]ds y k2 = 0, deducimos que f ∈

M .

31. Sea X = f : [0, 1] → R : f continua provisto de la norma dela convergencia uniforme y sea T : X → X definido por Tf(x) =∫ x0 f(s)ds.

a) Probar que Tnf(x) =∫ x0 Kn(x, s)f(s)ds, donde Kn(x, s) es una

funcion continua en [0, 1]× [0, 1].

b) Calcular ‖Tn‖ y la suma de la serie∑∞

n=1 Tn.

c) Resolver la ecuacion (I − T )f = g con f ∈ X.

Resp.: a) Si aplicamos el metodo de induccion, para n = 1, K1(t, u) =1, que es evidentemente continua.

Si suponemos la propiedad cierta para n, entonces

Tn+1x(t) = T (Tnx)(t) =∫ t

0Tnx(v)dv =

∫ t

0

[ ∫ v

0Kn(v, u)x(u)du

]dv.

Intercambiando el orden de integracion, obtenemos:

Tn+1x(t) =∫ t

0

[ ∫ t

uKn(v, u)x(u)dv

]du =

∫ t

0Kn+1(t, u)x(u)du,

donde definimos Kn+1(t, u) =∫ tu Kn(v, u)dv. Para ver que es continua,

calcularemos explıcitamente Kn:

Claramente, K1(t, u) = 1 y K2(t, u) =∫ tu dv = t−u; si suponemos que

Kn(t, u) = (t−u)n−1

(n−1)! , veamos que Kn+1(t, u) = (t−u)n

n! :

Kn+1(t, u) =∫ t

u

(v − u)n−1

(n− 1)!dv =

(t− u)n

n!

87

la cual es evidentemente continua.

b) Como

|Tnx(t)| ≤∫ t

0

(t− u)n−1

(n− 1)!|x(u)|du ≤ ‖x‖∞

∫ t

0

(t− u)n−1

(n− 1)!du ≤ ‖x‖∞

n!,

entonces ‖Tnx‖ ≤ ‖x‖∞/n! con lo que ‖Tn‖ ≤ (1/n!).

Por otra parte, como Tn1 =∫ t0

(t−u)n−1

(n−1)! du = tn

n! , entonces ‖Tn1‖ =(1/n!). En definitiva, ‖Tn‖ = (1/n!).

Esto indica ademas que la serie∑

n∈N ‖Tn‖ es convergente. Por serL(X) completo, es convergente tambien

∑n∈N T

n. Para calcular susuma, debido a que

p∑n=1

Tnx(t) =∫ t

0

(1 +

t− u

1!+ · · ·+ (t− u)p−1

(p− 1)!

)x(u)du,

definimos H : X → X por Hx(t) =∫ t0 e

t−u · x(u)du. Ası definido, Hes lineal y acotado pues

|Hx(t)| ≤ et∫ t

0e−u|x(u)|du ≤ k · ‖x‖∞ donde k = e

∫ 1

0e−udu.

Ademas

∣∣Hx(t)− p∑n=1

Tnx(t)∣∣ ≤

∫ t

0

∣∣∣et−u −p−1∑n=0

(t− u)n

n!

∣∣∣ · |x(u)|du≤ ‖x‖∞ · sup

u∈[0,t]

∣∣∣et−u −p−1∑n=0

(t− u)n

n!

∣∣∣,de donde

‖Hx−p∑

n=1

Tnx‖∞ ≤ ‖x‖∞ · supϑ∈[0,1]

∣∣eϑ − p−1∑n=0

ϑn/n!∣∣.

Ahora bien, como la serie∑

n≥0 ϑn/n! converge uniformemente a eϑ so-

bre cualquier compacto de R, el supremo anterior tiende a cero cuandop→∞. Esto prueba que

∑n≥1 T

n = H.

c) Dado g ∈ X, como la serie I +T + · · ·+Tn + . . . converge en L(X)a I +H y, debido a que

(I−T )(I+T + · · ·+Tn) = (I+T + · · ·+Tn)(I−T ) = I−Tn+1 → I,

se deduce que existe (I − T )−1 = I + T + · · ·+ Tn + · · · = I +H.

88

La ecuacion dada tiene pues solucion x = (I − T )−1g = (I +H)g, dedonde

x(t) = g(t) + et ·∫ t

0e−ug(u)du.

32. Probar que f1(x) = maxt∈[a,b] x(t) y f2(x) = mınt∈[a,b] x(t) definenfuncionales en C[a, b]. ¿Son lineales? ¿Acotados?

Resp.: Por ser x ∈ C[a, b], alcanza los valores maximo y mınimo, conlo que ambos funcionales estan definidos. Ninguno de ellos es lineal: sihacemos por ejemplo x1(t) = t y x2(t) = 1− t en [0, 1], f1(x1 + x2) =max(x1(t)+x2(t)) = 1 pero f1(x1)+f1(x2) = maxx1(t)+maxx2(t) =1 + 1 = 2.

Analogamente se comprueba con el mınimo.

33. Sea X un espacio normado complejo y f un funcional lineal sobreX. Si llamamos f1(x) = Re f(x), f2(x) = Im f(x), ∀x ∈ X, probarla equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) f : X → C es acotado.

ii) f1 : X → R es lineal y acotado.

iii) f2 : X → R es lineal y acotado.

Resp.: Dado f(x) = f1(x) + if2(x), como

f(ix) = f1(ix) + if2(ix)if(x) = if1(x)− f2(x)

=⇒ f1(ix) = −f2(x), f2(ix) = f1(x),

podemos escribir f(x) = f1(x)− if1(ix), ∀x ∈ X.

i) =⇒ ii): Supongamos que f es acotado. Veamos que f1 es lineal yacotado.

f1(x+ y) + if2(x+ y) = f(x+ y) = f(x) + f(y)= f1(x) + if2(x) + f1(y) + if2(y)= f1(x) + f1(y) + i[f2(x) + f2(y)].

Igualando la parte real se deduce que f1(x+ y) = f1(x) + f1(y).

89

Analogamente se prueba que f1(αx) = αf1(x).

|f1(x)| ≤ |f(x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖ =⇒ ‖f1‖ ≤ ‖f‖.

ii) =⇒ iii): Como f2(x) = −f1(ix), entonces

f2(x+ y) = −f1(ix+ iy) = −f1(ix)− f1(iy) = f2(x) + f2(y), ∀x, y ∈ X;f2(αx) = −f1(iαx) = −αf1(ix) = αf2(x);|f2(x)| = |f1(ix)| ≤ ‖f1‖ · ‖ix‖ = ‖f1‖ · ‖x‖ =⇒ ‖f2‖ ≤ ‖f1‖.

iii) =⇒ i): Si escribimos f de la forma f(x) = f2(ix) + if2(x), resulta:

|f(x)| = |f2(ix) + if2(x)| ≤ |f2(ix)|+ |if2(x)|≤ ‖f2‖ · ‖x‖+ ‖f2‖ · ‖x‖ =⇒ ‖f‖ ≤ 2‖f2‖.

34. Sea Z = x ∈ R3 : x2 = 0 y f : Z → R definido por f(x) = x1−x32 .

Encontrar una extension lineal f de f a todo R3 tal que f(x0) = k(k constante dada), con x0 = (1, 1, 1). ¿Es unica tal f?

Resp.: Por hipotesis, f(1, 0, 0) = 1/2 y f(0, 0, 1) = −1/2.

Para que f(1, 1, 1) = k, debe ser

f(1, 1, 1) =12

+ f(0, 1, 0)− 12

= f(0, 1, 0) = k.

La extension es unica porque queda determinada la imagen de la basecanonica.

35. En el espacio metrico (R3, ‖ · ‖1) consideramos el subespacio li-neal M = x ∈ R3 : x1 + 2x2 = x3 = 0 y definimos f ∈ M ′ porf(x) = x1. Encontrar dos extensiones diferentes de f a todo R3

con la misma norma de f .

Resp.: Por definicion, M es el espacio generado por u = (1,−1/2, 0).

Como ‖u‖1 = 3/2 y f(u) = 1, entonces, ∀x ∈M de la forma x = α ·u,

f(x) = α y ‖f‖ = supx6=0

|f(x)|‖x‖

= supα∈R

|α|(3/2)|α|

=23.

90

Sea e1, e2, e3 la base canonica de R3 y f una extension de f .

Como ‖f‖ = ‖f‖ = 2/3, en particular debe ser

|f(ei)| ≤ 2/3, i = 1, 2, 3. (1)

Como ademas f(u) = f(u), tenemos que

1 = f(e1 − e2/2) = f(e1)− (1/2)f(e2). (2)

De (1) y (2) se deduce que necesariamente f(e1) = 2/3 y f(e2) = −2/3.

Basta elegir arbitrariamente f(e3) tal que |f(e3)| ≤ 2/3 para que, dadocualquier x ∈ R3, con x = x1e1 + x2e2 + x3e3,

f(x) =23x1 −

23x2 + f(e3)x3;

|f(x)| ≤ 23|x1|+

23|x2|+ |f(e3)| · |x3| ≤

23[|x1|+ |x2|+ |x3|] =

23‖x‖1,

de donde ‖f‖ ≤ 2/3. Por ser extension de f , ‖f‖ ≥ ‖f‖ = 2/3. Estoimplica que ‖f‖ = ‖f‖.

36. Sean X,Y 6= 0 espacios normados con dim X = ∞.

a) Probar que existe al menos un operador lineal no acotadoT : X → Y.

b) Probar que el espacio dual X ′ no coincide con el dual alge-braico X∗.

Resp.: a) Sea enn∈N una base de Hamel de X. Si definimos Ten =nen, T es lineal. Ademas, como ‖Ten‖ = n‖en‖, entonces ‖Ten‖/‖en‖ =n y ∃n : ‖Ten‖/‖en‖ > k, ∀k lo que implica que T no es acotado.

b) El operador definido por Ten = n esta en X∗ por ser lineal, perono esta en X ′ por no ser acotado.

37. Sea X un espacio normado y M un subespacio cerrado de X. Sidenotamos por M⊥ = f ∈ X ′ : f(y) = 0, ∀y ∈ M al llamadoconjunto anulador o polar de M , demostrar:

a) M⊥ es subespacio cerrado de X ′.

91

b) M⊥ es isomorfo a (X/M)′.

Resp.: a) Sea fnn∈N una sucesion de Cauchy en M⊥. Entonces paracualquier x ∈ X,

|fn(x)− fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖ · ‖x‖ → 0

con lo que fn(x)n∈N es de Cauchy en E(= R o C), lo que implicaque ∃λ ∈ E : fn(x) → λ. Esto permite definir el funcional f : X → Epor f(x) = λ. Es evidente que f es lineal. Ademas

• f es acotado pues |f(x)| = |λ| = lımn→∞

|fn(x)| ≤ lımn→∞

‖fn‖ · ‖x‖.

• fn → f porque ‖fn − f‖ = sup‖x‖=1

|fn(x)− f(x)| ≤ ε.

• f ∈M⊥ porque f(y) = lımn fn(y) = 0, ∀y ∈M.

b) Definimos T : (X/M)′ →M⊥ por (Tf)(x) = f(ϕ(x)), donde ϕ es laaplicacion canonica (que envıa a todo elemento la clase de equivalenciaque lo contiene). Ası definido, es evidente que T es lineal. Veamos queT es acotado:

|(Tf)(x)| = |f(ϕ(x))| ≤ ‖f‖ · ‖ϕ(x)‖ ≤ ‖f‖ · ‖ϕ‖ · ‖x‖.

Como ‖ϕ‖ ≤ 1, entonces ‖Tf‖ ≤ ‖f‖, de donde ‖T‖ ≤ 1.

Ademas, si y ∈ M, (Tf)(y) = f(ϕ(y)) = f([0]) = 0, es decir Tf ∈M⊥.

Falta comprobar que T es sobre. Para ello, a cada g ∈M⊥, le asocia-mos el funcional f : X/M → E definido por f(ξ) = g(x), si x ∈ ξ.Debemos probar:

• f esta bien definido pues si x, x′ ∈ ξ, entonces

x− x′ ∈M =⇒ g(x− x′) = 0 =⇒ g(x) = g(x′).

• f es lineal (evidente).

• f es acotado:

|f(ξ)| = |g(x)| ≤ ‖g‖·‖x‖ =⇒ |f(ξ)| ≤ ‖g‖·ınfx∈ξ

‖x‖ = ‖g‖·‖ξ‖ =⇒ ‖f‖ ≤ ‖g‖.

• Tf = g (evidente).

• ‖T‖ = 1:

‖f‖(X/M)′ = supξ∈X/M

f(ξ) ≤ supx∈X

|f(ϕ(x))| = supx∈X

|Tf(x)| = ‖Tf‖.

92

38. Sea c0 = a = (an)n∈N : an ∈ C, an → 0.

a) Probar que c0 es un espacio de Banach con la norma inducidapor `∞.

b) Demostrar que el dual de c0 es `1.

Resp.: a) c0 es normado por ser subespacio de `∞. Veamos que escerrado:

Si a ∈ c0, ∃(an)n∈N ⊂ c0 : an → a. Entonces

‖an−a‖∞ = supk|ak

n−ak| < ε, ∀n > N(ε) =⇒ |akn−ak| < ε, ∀k, ∀n > N(ε).

De este modo, |ak| ≤ |ak − akn|+ |ak

n| < ε+ ε porque an ∈ c0, es decirlımk→∞ ak

n = 0. Esto prueba que a ∈ c0.

b) Definimos F : `1 → (c0)′ por Ff = f , donde f(x) =∑n≥1

fnxn,

∀x ∈ c0.

• Eligiendo x = (x1, . . . , xN , 0, . . . ),

|f(x)| ≤N∑

n=1

|fnxn| ≤ max |xn| ·N∑

n=1

|fn|.

Haciendo N → ∞, |f(x)| ≤ ‖x‖∞ · ‖f‖1 =⇒ ‖f‖ ≤ ‖f‖1 =⇒‖F‖ ≤ 1.

• F es isometrıa: Dado f ∈ (c0)′, llamamos fn = f(en).Ası, si x = (x1 . . . , xN , 0, . . . ), f(x) =

∑Nn=1 fnxn. Como fn =

eiϕn ·|fn|, definimos g(N) = (g(N)n )n∈N, donde g(N)

n =

e−iϕn si 0 < n ≤ N

0 si n > N.Entonces:

|f(g(N))| =N∑

n=1

|fn| ≤ ‖f‖ · ‖g(N)‖∞ = ‖f‖ <∞.

Esto implica que f = (fn)n∈N ∈ `1 y ‖f‖1 ≤ ‖f‖ =⇒ ‖F‖ = 1.

• F es sobre: Dado f ∈ (c0)′, ∀x ∈ c0, escribimos x =∑

n∈N xnen conlo que f(x) =

∑n∈N xnf(en). Basta probar que (f(en))n∈N ∈ `1,

93

es decir∑

n∈N |f(en)| <∞. Para ello tomamos: x(N) =∑N

n=1

ef(en)

| ef(en)|·

en ∈ c0, de donde

N∑n=1

|f(en)| =N∑

n=1

f(en)

|f(en)|· f(en) = f(x(N)) ≤ ‖f‖.

Si hacemos N →∞,∑∞

n=1 |f(en)| <∞.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Construccion de espacios normados: espacio producto y espacio cociente([CC], [So]).

2. Espacios de funciones continuas. Base de Schauder para C[0, 1]. Espaciodual de C[a, b] ([KF]).

3. Espacio dual de Lp(X,µ) ([Ro]).

4. Ecuaciones integrales lineales ([Da], [KF]).

5. Calculo diferencial en espacios normados: derivadas de Frechet y Gateaux([KF], [LS]).

94

III. PRODUCTOINTERIOR Y ESPACIOSDE HILBERT

A fin de dotar a los espacios normados de una geometrıa,debemos definir un producto interior o escalar. Nos propone-mos que el estudiante se familiarice con los espacios dotados deproducto interior, conozca sus propiedades basicas y pueda apro-vecharlas para poderlas aplicar tanto al estudio de las series deFourier, los polinomios ortogonales y la teorıa basica de opera-dores.

SECCIONES

1. Introduccion historica.

2. Definicion y primeros ejemplos.

3. Propiedades del producto interior.

4. Conjuntos ortonormales.

5. Ortogonalizacion de polinomios.

6. Representacion de funcionales en espacios de Hilbert.

7. Operador adjunto. Operadores autoadjuntos y unitarios.

8. Ejercicios.

95

1. INTRODUCCION HISTORICA.

Ilustramos en esta primera seccion como el estudio de las siguientes ecua-ciones en derivadas parciales ha sido fundamental en el desarrollo de losespacios de Hilbert:

1) Ecuacion del calor: ∂u∂t = ∂2u

∂x2 (su solucion corresponde a la temperaturau(x, t) de un alambre en el instante t y en el punto x).

2) Ecuacion de ondas: ∂2u∂t2

= ∂2u∂x2 (la solucion u(x, t) es ahora la altura de

una onda en propagacion para el instante t en un punto cuya proyeccionsobre el eje es x).

3) Ecuacion de Laplace: ∂2u∂t2

+ ∂2u∂x2 = ρ (ahora u es la energıa potencial de

un cuerpo y ρ es la densidad de masas).

Nos limitaremos a estudiar la ecuacion del calor (analogamente se podrıahacer con las otras ecuaciones). Para buscar sus soluciones, suponemos queu es de variables separadas, es decir de la forma u(t, x) = ϕ(t)ξ(x). Enton-ces ut = ϕ′(t)ξ(x) y uxx = ϕ(t)ξ′′(x), luego ϕ′(t)ξ(x) = ϕ(t)ξ′′(x), o bienϕ′(t)/ϕ(t) = ξ′′(x)/ξ(x).

Como el primer miembro no depende de x y el segundo miembro no de-pende de t, deben ser constantes. Debemos resolver entonces las siguientesecuaciones:

ϕ′(t)/ϕ(t) = k; ξ′′(x)/ξ(x) = p,

con k y p constantes.

La solucion general de la primera ecuacion es ϕ(t) = cekt y de la segundaξ(x) = c1 cos(δx)+c2 sen(δx), donde p = −δ2 (si p > 0, δ es complejo).

Supongamos por simplificar que el alambre es circular y tiene longitud 2π.Esto hace que ξ sea periodica de perıodo 2π, y que δ deba ser entero; resultaξ(x) = c1 cos(nx) + c2 sen(nx), con n ∈ Z.

Como las soluciones de la ecuacion del calor se obtienen haciendo k = −n2,tenemos la siguiente familia de soluciones:

un(t, x) = e−n2t cos(nx), vn(t, x) = e−n2t sen(nx).

Ademas, cualquier combinacion lineal finita de ellas

u(t, x) =n1∑

n=n0

[ane−n2t cos(nx) + bne−n2t sen(nx)]

es solucion.

96

Fourier pensaba que toda solucion puede escribirse como suma infinita de se-nos y cosenos (lo que lleva involucrado un problema de convergencia).

Por otra parte, cuando t = 0, obtenemos una funcion de una variable

u(0, x) = f(x) =n1∑

n=n0

[an cos(nx) + bn sen(nx)].

De acuerdo con esto, Fourier suponıa tambien que toda funcion periodicase puede escribir como suma infinita de senos y cosenos, lo cual no es ciertopuntualmente.

Otra forma de escribir las series anteriores se obtiene con las formulas cos x =(eix + e−ix)/2, senx = (eix − e−ix)/2i. Ası

u(t, x) =∑n∈N

e−n2t

[(an

2+

bn

2i

)einx +

(an

2− bn

2i

)e−inx

]=∑n∈Z

cne−n2teinx,

donde, para t = 0, tenemos f(x) =∑

n∈Z cneinx.

Aquı se plantean las siguientes preguntas:

1) ¿Las exponenciales trigonometricas seran base de algun espacio?

Esto permitirıa obtener la funcion f cuando se conocen sus coeficientes res-pecto a dicha base.

2) ¿Como obtener los coeficientes cn cuando la funcion f es conocida?

Para responder a esta pregunta, aplicamos las siguientes formulas:

12π

∫ 2π

0einxdx =

12πin

(ein2π − 1) =

1 si n = 00 si n 6= 0,

12π

∫ 2π

0eimxe−inxdx =

12πin

(ei(m−n)2π − 1) =

1 si m = n

0 si m 6= n.

Con lo anterior tenemos∫ 2π

0f(x)dx =

∫ 2π

0

∑n∈Z

cneinxdx =∑n∈Z

cn

∫ 2π

0einxdx

= 2πc0 =⇒ c0 =12π

∫ 2π

0f(x)dx;∫ 2π

0f(x)e−imxdx =

∫ 2π

0

∑n∈Z

cneinxe−imxdx =∑n∈Z

cn

∫ 2π

0einxe−imxdx

= 2πcm =⇒ cm =12π

∫ 2π

0f(x)e−imxdx.

97

(Aquı se debe precisar en que sentido converge la serie y como justificar elintercambio de la serie con la integral.)

2. DEFINICION Y PRIMEROS EJEMPLOS.

Una clase importante de espacios normados permite generalizar muchas pro-piedades de la geometrıa del espacio ordinario que dependen de la nocion deangulo, especialmente las que se refieren a la perpendicularidad. Recordamosque, si x, y ∈ Rn y α es el angulo que forman, se define el producto escalarpor 〈x, y〉 = ‖x‖ · ‖y‖ · cos α. Queremos obtener una nocion abstracta deproducto escalar en espacios normados generales que permita extender laformula anterior. Como es logico pensar, los espacios con producto escalarson historicamente anteriores a los espacios normados generales y mantienentodavıa muchas propiedades de los espacios euclıdeos. La teorıa fue iniciadapor Hilbert (1912) en sus trabajos sobre ecuaciones integrales y todavıahoy en dıa estos espacios son basicos en numerosas aplicaciones del AnalisisFuncional.

2.1.- Definicion. Un espacio con producto interior o pre-Hilbert es unespacio vectorial X en el que se define una aplicacion 〈·, ·〉 : X×X → E conlas siguientes propiedades:

(1) (aditiva) 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉;

(2) (homogenea) 〈αx, y〉 = α〈x, y〉;

(3) (hermıtica) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;

(4) (definida positiva) 〈x, x〉 ≥ 0 y 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0.

Toda aplicacion que verifique (1), (2) y (3) se llama forma sesquilinealhermıtica (ver definicion 6.4).

Nota. Los axiomas anteriores fueron primero establecidos por von Neumannen 1930 en sus trabajos sobre fundamentos matematicos de la MecanicaCuantica. En su definicion se incluıa tambien la separabilidad del espacio,axioma posteriormente eliminado cuando Lowing, Rellig y F. Riesz mostra-ron que en la practica era innecesaria dicha restriccion.

De los axiomas se deducen inmediatamente las siguientes propiedades:

a) 〈x, 0〉 = 0, ∀x ∈ X.

b) 〈x, y〉 = 0, ∀x ∈ X =⇒ y = 0.

98

c) 〈x, αy1 + βy2〉 = α〈x, y1〉+ β〈x, y2〉.

Todo espacio pre-Hilbert es en particular normado, donde la norma aso-ciada se define como ‖x‖ =

√〈x, x〉, y por tanto es tambien metrico, con

la distancia d(x, y) = ‖x − y‖ =√〈x− y, x− y〉. Esto motiva la siguiente

definicion:

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-Hilbert completo (respecto a lametrica asociada). Por tanto, todo espacio de Hilbert es un espacio de Ba-nach en el que se ha definido un producto interior.

Observacion. El recıproco de la afirmacion anterior no es cierto, es decirno todos los espacios normados son espacios pre-Hilbert. Daremos a conti-nuacion una caracterizacion de los espacios normados para los que se puededefinir un producto escalar cuya norma asociada sea la dada. Dicha carac-terizacion se basa en los siguientes hechos cuya demostracion es inmedia-ta.

2.2.- Proposicion (identidad del paralelogramo). Si (X, 〈·, ·〉) es un espaciopre-Hilbert, la norma asociada verifica ‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 +‖y‖2).

El siguiente resultado muestra como la norma asociada permite a su vezdefinir el producto interior.

2.3.- Proposicion (identidad de polarizacion). Sea (X, 〈·, ·〉) un espaciopre-Hilbert arbitrario.

a) Si X es real, 〈x, y〉 = 14 [‖x + y‖2 − ‖x− y‖2].

b) Si X es complejo,

Re〈x, y〉 =14[‖x + y‖2 − ‖x− y‖2],

Im〈x, y〉 =14[‖x + iy‖2 − ‖x− iy‖2].

Esta propiedad sugiere una forma de definir un producto interior a partir deuna norma. Sin embargo, sera necesaria la identidad del paralelogramo. Elsiguiente resultado proporciona una especie de recıproco de la proposicion2.2.

2.4.- Proposicion. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. Si se verifica la leydel paralelogramo 2,2, entonces existe un producto interior 〈·, ·〉 en X tal que‖x‖ = 〈x, x〉1/2.

Demostracion. a) Caso real. Definimos 〈x, y〉 = 14 [‖x+y‖2−‖x−y‖2].

Lo unico que presenta dificultad es la linealidad del producto interior. Estase demuestra en los siguientes pasos:

99

* 〈x, y〉 + 〈z, y〉 = 12〈x + z, 2y〉. En particular, si z = 0, entonces 〈x, y〉 =

12〈x, 2y〉, de donde 〈u + v, y〉 = 1

2〈u + v, 2y〉 = 〈u, y〉+ 〈v, y〉.

* Como 〈x, y〉 = 〈y, x〉, tambien es aditiva en la segunda componente.

* Como 〈nx, y〉 = n〈x, y〉 si n ∈ Z, se deduce que 〈x/n, y〉 = 1n〈x, y〉 y

〈rx, y〉 = r〈x, y〉 con r ∈ Q. De la continuidad del producto interior (probadoposteriormente en 3.3), se prueba que, para todo a ∈ R, si a = lımk rk conrk ∈ Q, 〈ax, y〉 = lımk〈rkx, y〉 = lımk rk〈x, y〉 = a〈x, y〉.

b) Caso complejo. Definimos ahora 〈x, y〉 = 〈x, y〉R + i〈x, iy〉R donde

〈x, y〉R =14[‖x + y‖2 − ‖x− y‖2].

De lo anterior se deduce facilmente la identidad de polarizacion 2.3 (b).

* Por calculo directo se comprueba que 〈x, ix〉R = 0 y 〈ix, iy〉R = 〈x, y〉R. Laprimera de las igualdades muestra que 〈x, x〉 = ‖x‖2 y que 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒x = 0.

La segunda identidad permite probar que 〈ix, y〉 = i〈x, y〉 y de aquı se deduceque 〈y, x〉 = 〈x, y〉.

* La aditividad de 〈·, ·〉 en sus dos argumentos se deduce de la aditividad de〈·, ·〉R.

* Solo queda probar que 〈ax, y〉 = a〈x, y〉, con a ∈ C. Para ello, basta teneren cuenta la linealidad de 〈·, ·〉R y que 〈ix, y〉 = i〈x, y〉. ♦

2.5.- Ejemplos. 1) Rn es un espacio de Hilbert si definimos el productointerior 〈x, y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn. Como la metrica asociada

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2

es la euclıdea, es ya sabido que el espacio es completo.

2) Cn es un espacio de Hilbert con el producto 〈x, y〉 = x1 y1 + . . . xn yn

porque nuevamente ‖x‖ =√|x1|2 + · · ·+ |xn|2 da lugar a una norma.

3) `2 = x = (x1, x2, . . . ) : xn ∈ C,∑∞

n=1 |xn|2 < ∞ es un espacio deHilbert separable con el producto 〈x, y〉 =

∑∞n=1 xn yn.

La convergencia de la serie se deduce de la desigualdad de Cauchy- Sch-warz.

Este fue el primer ejemplo de espacio de Hilbert, estudiado por el mismoen 1912 y punto de partida para la definicion axiomatica dada por vonNeumann.

4) `p = x = (x1, x2, . . . ) : xn ∈ C,∑∞

n=1 |xn|p < ∞, con p 6= 2, no esun espacio pre-Hilbert pues, si tomamos x = (1, 1, 0, . . . ), y = (1,−1, 0 . . . ),

100

entonces ‖x‖ = ‖y‖ = 21/p, ‖x + y‖ = ‖x− y‖ = 2. Por tanto, no se verificala ley del paralelogramo.

5) Si L2[a, b] es la complecion del conjunto f : [a, b] → C :∫ ba |f(x)|2dx <

∞, es un espacio de Hilbert con el producto interior 〈f, g〉 =∫ ba f(x) g(x)dx

como se prueba analogamente al ejemplo 3.

Otra forma de introducir el espacio L2[a, b] es a partir de `2 y correspondeal estudio de las series de Fourier:

Sea f una funcion con derivada continua en [0, 2π] tal que f(2π) = f(0).Entonces

f(x) = a0/2 +∑n≥1

an cos nx +∑n≥1

bn sennx,

donde

an =1π

∫ 2π

0f(x) cos nxdx, bn =

1π

∫ 2π

0f(x) sen nxdx,

y la convergencia de la serie es uniforme (resultado clasico sobre series deFourier).

Si escribimos

φ2k(x) =1√π

cos kx, φ2k+1(x) =1√π

sen kx, φ0(x) =1√2π

,

las formulas anteriores quedan de la forma

f(x) =∞∑

n=0

αnφn(x), con αn =∫ 2π

0f(x)φn(x)dx.

Una propiedad importante es que∫ 2π0 φm(x)φn(x)dx = δnm (la familia es

ortonormal); ademas, la sucesion αnn≥0 esta en `2.

En efecto, para cualquier N ∈ N,

N∑n=0

|αn|2 =N∑

n=0

αn ·∫ 2π

0f(x)φn(x)dx =

∫ 2π

0f(x)fN (x)dx,

donde definimos fN (x) =∑N

n=0 αnφn(x).

Como la serie de Fourier converge uniformemente a f , fN (x) → f(x), resultaque

∑Nn=0 |αn|2 →

∫ 2π0 |f(x)|2dx y podemos escribir ademas

∑∞n=0 |αn|2 =∫ 2π

0 |f(x)|2dx.

Sin embargo el recıproco no es cierto, es decir dada una sucesion αnn≥0 ∈`2, no tiene por que existir f ∈ C1[0, 2π] tal que

∑n≥0 αnφn(x) = f(x). La

101

razon es que, como `2 es completo, toda sucesion de Cauchy converge a algunα ∈ `2. Sin embargo, existen sucesiones fnn≥0 de funciones contenidas enC1[0, 2π] tales que

∫ 2π0 |fi(x) − fk(x)|2dx → 0, pero que no convergen a

ninguna funcion en C1[0, 2π] como muestra el siguiente ejemplo:

fn f

π−1n π π+1

n 2π π 2π

Lo que se puede probar es que el lımite f verifica∫ 2π0 |f(x)|2dx < ∞, es

decir f ∈ L2[0, 2π].

6) En general, si E es un espacio de medida y µ una medida positiva so-bre E, L2(E,µ) es un espacio de Hilbert con el producto interior 〈f, g〉 =∫E f gdµ.

7) El espacio C[a, b] de las funciones continuas en [a, b], con el producto〈f, g〉 =

∫ ba f(x) g(x)dx, es un espacio pre-Hilbert pero no de Hilbert. Sin

embargo la norma ‖f‖ = maxx∈[a,b] |f(x)| no proviene de ningun productointerior porque si tomamos f(x) = 1, g(x) = x−a

b−a , no se verifica la ley delparalelogramo.

3. PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR.

En esta seccion desarrollamos las propiedades basicas del producto interior.Ademas de los resultados en sı mismos, que seran utiles en la evolucionposterior del curso, permitiran dar a conocer las tecnicas mas usuales dedemostracion.

3.1.- Proposicion (desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakowski). Paracualesquiera x, y ∈ X, |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ y la igualdad se cumple si y solosi x, y son linealmente dependientes.

Demostracion. Si y = 0, es evidente pues 〈x, 0〉 = 0.

Si y 6= 0,

0 ≤ ‖x− αy‖2 = 〈x− αy, x− αy〉 = 〈x, x〉 − α〈x, y〉 − α[〈y, x〉 − α〈y, y〉].

Eligiendo α = 〈y,x〉〈y,y〉 , queda

0 ≤ 〈x, x〉 − 〈y, x〉〈x, y〉〈y, y〉

= ‖x‖2 − |〈x, y〉|2

‖y‖2.

La igualdad se cumple cuando 0 = ‖x− αy‖2, es decir si x = αy. ♦

Consecuencias de la propiedad anterior son las siguientes.

102

3.2.- Proposicion (desigualdad triangular). Para cualesquiera x, y ∈ X,‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ y la igualdad se cumple si y solo si y = 0 o x = cy(c ≥ 0).

Demostracion. Por definicion, es evidente que

‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ ‖y‖2

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re〈x, y〉 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2|〈x, y〉|≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ · ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2.

La igualdad es cierta si y solo si 2 Re〈x, y〉 = 2‖x‖ · ‖y‖. En particular,|〈x, y〉| = ‖x‖ · ‖y‖ lo que implica dependencia lineal x = cy. AdemasIm〈x, y〉 = 0 y Re〈x, y〉 ≥ 0 =⇒ 0 ≤ 〈x, y〉 = 〈cy, y〉 = c‖y‖2 =⇒ c ≥ 0.

♦

3.3.- Proposicion (continuidad del producto interior). Si xn → x, yn → y,entonces 〈xn, yn〉 → 〈x, y〉. Analogamente, si (xn)n∈N e (yn)n∈N son sucesio-nes de Cauchy en X, entonces (〈xn, yn〉)n∈N es de Cauchy en E.

Demostracion. En la diferencia |〈xn, yn〉−〈x, y〉| sumamos y restamos 〈xn, y〉.Ası:

|〈xn, yn〉−〈x, y〉| ≤ |〈xn, yn−y〉|+|〈x−xn, y〉| ≤ ‖xn‖·‖yn−y‖+‖x−xn‖·‖y‖ → 0.

Basta aplicar la hipotesis para deducir que 〈xn, yn〉 → 〈x, y〉. ♦

Sugerido por la nocion de perpendicularidad en espacios euclıdeos se puededefinir el siguiente concepto.

3.4.- Definicion. Dos elementos x, y de (X, 〈·, ·〉) son ortogonales, y es-cribimos x⊥y, cuando 〈x, y〉 = 0. Tambien, dos conjuntos A,B ⊂ X sonortogonales si x⊥y, ∀x ∈ A, y ∈ B. Dado un subconjunto A ⊂ X, el com-plemento ortogonal de A es el conjunto

A⊥ = x ∈ X : x⊥A.

3.5.- Proposicion (teorema de Pitagoras). Si x⊥y, ‖x + y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2.

La demostracion es directa.

3.6.- Corolario. Si A es cualquier subconjunto de X, A⊥ es subespaciocerrado de X.

Aplicacion. Veremos a continuacion que todo espacio pre-Hilbert puedeser completado y la complecion sera unica salvo isomorfismos, donde unisomorfismo entre espacios pre-Hilbert es una aplicacion lineal U : X → Y

103

biyectiva y tal que 〈Ux1, Ux2〉 = 〈x1, x2〉, ∀x1, x2 ∈ X (en particular U esuna isometrıa pues preserva las distancias).

El siguiente teorema motiva el nombre de espacios pre-Hilbert a los quetienen definido un producto interior y no son completos.

3.7.- Teorema (complecion). Dado un espacio pre-Hilbert (X, 〈·, ·〉), existeun espacio de Hilbert H y un isomorfismo A : X → W donde W es densoen H. Ademas el espacio H es unico salvo isomorfismos.

Demostracion. Por la teorıa de espacios de Banach (capıtulo II, teorema4.6), existe un espacio H de Banach y una isometrıa A : X → W conW denso en H. Por la continuidad de A, A es tambien isomorfismo de Xsobre W , pensados como espacios normados. Por la proposicion 3.3, se puededefinir en H un producto interior 〈x, y〉 = lım〈xn, yn〉 donde (xn)n∈N ∈ x,(yn)n∈N ∈ y (recordemos que x e y son clases de equivalencia de sucesionesde Cauchy en W tales que ‖xn − x′n‖ → 0). La norma asociada a esteproducto es ‖x‖N = 〈x, x〉1/2, ∀x ∈ H. Si (xn)n∈N ∈ x, podemos poner‖x‖N = lımn〈xn, xn〉1/2 = lımn ‖xn‖ = ‖x‖ y coinciden ambas normas,por lo que H es un espacio de Hilbert. Teniendo en cuenta la identidadde polarizacion, vemos que A es isomorfismo de X en W pensados comoespacios pre-Hilbert.

El mismo teorema 4.6 tambien garantiza que H es unico salvo isometrıas.♦

El siguiente resultado tambien es consecuencia de su analogo en espaciosnormados.

3.8.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert e Y un subespacio de H.

a) Y es completo si y solo si Y es cerrado en H.

b) Si Y es de dimension finita, entonces Y es completo.

c) Si H es separable, Y tambien. Mas general, todo subconjunto de un es-pacio pre-Hilbert separable es separable.

Destacaremos sobre los demas el siguiente teorema de proyeccion, que sera elpunto de partida en el problema de la descomposicion espectral de un espa-cio de Hilbert, problema que estudiaremos posteriormente con toda genera-lidad.

3.9.- Teorema (proyeccion). Sea X un espacio de Hilbert y M un subespaciocerrado de X. Dado cualquier elemento x ∈ X, si llamamos d a la distanciade x a M , d = ınf‖x − y‖ : y ∈ M, existe un unico elemento y ∈ M talque ‖y − x‖ = d. Ademas (x− y)⊥M.

Demostracion. Como d = ınf‖x−y‖ : y ∈ M, existe una sucesion ynn∈Nen M tal que ‖yn − x‖ → d. Si aplicamos la regla del paralelogramo a

104

yn − x, ym − x, resulta:

‖yn + ym − 2x‖2 + ‖yn − ym‖2 = 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2.

Como ‖yn+ym−2x‖2 = 4‖yn+ym

2 −x‖2 y yn+ym

2 ∈ M, entonces ‖yn+ym

2 −x‖ ≥d.

La igualdad anterior queda ahora ‖yn − ym‖2 ≤ 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 −4d2.

Tomando el lımite cuando n, m →∞, se obtiene que ‖yn − ym‖ → 0.

Ası se prueba que ynn∈N es de Cauchy en M por lo que existe y ∈ M talque yn → y. Entonces d = lımn ‖yn − x‖ = ‖ lımn yn − x‖ = ‖y − x‖.

Dicho elemento es ademas unico, porque si y, y0 ∈ M verifican ‖y − x‖ =‖y0 − x‖ = d, entonces por la ley del paralelogramo:

‖y − y0‖2 = ‖(y − x)− (y0 − x)‖2

= 2‖y − x‖2 + 2‖y0 − x‖2 − ‖(y − x) + (y0 − x)‖2

= 2d2 + 2d2 − 4‖1/2(y + y0)− x‖2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0 =⇒ y = y0.

El elemento z = x− y es ortogonal a M porque, en caso contrario, existirıay1 ∈ M , y1 6= 0, tal que 〈z, y1〉 = β 6= 0. Entonces

‖z − αy1‖2 = 〈z, z〉 − α〈z, y1〉 − α[〈y1, z〉 − α〈y1, y1〉]

= 〈z, z〉 − α〈z, y1〉 = ‖z‖2 − |β|2

‖y1‖2< d2

si α = 〈y1,z〉〈y1,y1〉 pues ‖z‖ = d.

Pero esto es imposible porque z − αy1 = x− (y + αy1); de aquı concluimosque ‖z − αy1‖ ≥ d. ♦

El teorema anterior tambien es cierto si M es un subconjunto de X no vacıo,convexo y completo.

El problema de existencia puede no tener solucion si M no es completo(basta considerar un intervalo abierto M de R y un punto cualquiera x ∈R2, x 6∈ M). La unicidad puede fallar en el caso de no convexidad comose ve en el siguiente ejemplo: X = R2, M = (a, 0) : a ∈ [1, 2] ∪ [3, 4],x = (3/2, 1).

Las primeras consecuencias ya proporcionan resultados interesantes, comolos siguientes.

3.10.- Corolario. Sean X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerradode X. Entonces X = M ⊕M⊥.

105

Demostracion. ∀x ∈ X, ∃y ∈ M : ‖y−x‖ = d. Ademas si z = x−y, entoncesz ∈ M⊥, con lo que x = y + z.

Si fuera x = y + z = y1 + z1, entonces y − y1 = z1 − z, pero y − y1 ∈ M yz1 − z ∈ M⊥.

Sabiendo que M⊥ es subespacio de X, resulta que y − y1 = z − z1 = 0.

♦

Un contraejemplo de lo anterior cuando X no es de Hilbert se puede encon-trar en el ejercicio 10 al final del capıtulo.

3.11.- Corolario. Si M es subespacio cerrado de X, entonces M = M⊥⊥.

Demostracion. Es evidente que M ⊂ M⊥⊥.

Recıprocamente, si x ∈ M⊥⊥, existen dos elementos y ∈ M ⊂ M⊥⊥, z ∈ M⊥

tales que x = y + z. Entonces z = x− y ∈ M⊥⊥ ∩M⊥ = 0. Esto implicaque x = y ∈ M . ♦

Otra consecuencia del teorema de proyeccion, que veremos posteriormente,sera el teorema de representacion de Riesz, el cual permite identificar unespacio de Hilbert con su dual. El nombre dado al teorema viene motivadopor la siguiente definicion.

3.12.- Definicion. Si X = M ⊕ M⊥, la aplicacion P : X → X definidapor Px = y si x = y + z, z ∈ M⊥, se llama proyeccion ortogonal de Xsobre M . Ası definida, P es lineal y acotado, idempotente (P 2 = P ), siendoM = P (X) y M⊥ = N(P ).

Analogamente, se puede definir P ′ : X → M⊥ como la proyeccion ortogo-nal sobre M⊥ con las mismas propiedades que la anterior (recordamos queM⊥⊥ = M). Ademas P ′ = I − P .

Esta definicion generaliza el concepto de proyeccion en espacios vectoriales(donde se sabe que toda aplicacion idempotente E : X → X determina unadescomposicion en suma directa X = M ⊕N donde M = x ∈ X : Ex = xy N = x ∈ X : Ex = 0 y, recıprocamente, dada la descomposicion x =M⊕N , la aplicacion Ex = y, si x = y+z, con y ∈ M, z ∈ N es idempotente)y sera el punto de partida para la representacion espectral de operadoresen espacios de Hilbert (ver algunas propiedades de las proyecciones en losproblemas al final del capıtulo).

106

4. CONJUNTOS ORTONORMALES.

En esta seccion vamos a representar todo elemento de un espacio de Hilbertcomo combinacion lineal (que incluso puede ser no numerable) de elementosde un conjunto ortonormal completo, concepto que definiremos posterior-mente. Los coeficientes de dicha combinacion lineal se llamaran coeficientesde Fourier del elemento dado. Deduciremos el lema de Riemann-Lebesgue,que establece las condiciones para que exista una funcion en L2[0, 2π] cuyoscoeficientes de Fourier respecto al conjunto ortonormal (1/

√2π)eint : n ∈

Z sean dados, mediante el teorema de Riesz-Fischer.

4.1.- Definicion. Dado un espacio X pre-Hilbert, un conjunto ortogonal Mde X es un subconjunto M ⊂ X, tal que ∀x, y ∈ M, x 6= y, 〈x, y〉 = 0. M esun conjunto ortonormal si ademas de lo anterior, 〈x, x〉 = 1,∀x ∈ M.

El teorema de Pitagoras se puede generalizar a conjuntos ortogonales, ası:si x1, . . . , xn es ortogonal, entonces ‖x1 + · · · + xn‖2 = ‖x1‖2 + · · · +‖xn‖2. Ademas, si e1, . . . , en es un conjunto ortonormal, ‖

∑ni=1 λiei‖2 =∑n

i=1 |λi|2.

4.2.- Ejemplos. 1) En Rn, la base canonica ei = (δij)nj=1 : i = 1, . . . , n

es ortonormal.

2) En `2, la familia ei = (δij)∞j=1 : i = 1, . . . , n es ortonormal.

3) En C[0, 2π] sobre R, con 〈x, y〉 =∫ 2π0 x(t)y(t)dt, la sucesion un(t) = cos nt

(n ≥ 0) es ortogonal y la sucesion e0(t) = 1√2π

, en(t) = cos nt√π

(n ≥ 1) esortonormal.

4) La familia

1√2π

eint∞

n=−∞es un sistema ortonormal en L2[−π, π].

Es facil probar que todo conjunto ortogonal es linealmente independien-te y, aunque el recıproco no es cierto, el metodo de ortogonalizacion deGram-Schmidt permite construir un conjunto ortonormal a partir de unolinealmente independiente de manera que generen el mismo subespacio. Laimportancia de dicho proceso estriba en que los conjuntos ortonormales per-miten de forma mas facil la determinacion de los coeficientes en cualquiercombinacion lineal que los conjuntos que son simplemente linealmente inde-pendientes.

Un primer resultado relacionado con el cardinal de los conjuntos ortonor-males es el siguiente:

4.3.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert separable, todo conjuntoortonormal A es finito o numerable.

107

Demostracion. Si x, y ∈ A, ‖x − y‖2 = ‖x‖2 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉 + ‖y‖2 = 2 dedonde ‖x− y‖ =

√2.

Por ser X separable, existe M ⊂ X numerable tal que M = X. Paracualesquiera x, y ∈ A, existen b, b′ ∈ M tales que b ∈ B(x,

√2/2), b′ ∈

B(y,√

2/2) y por lo tanto, b 6= b′.

Si A no fuera numerable, podrıamos encontrar una coleccion no numerablede elementos de M , cada uno de ellos en una bola B(x,

√2/2) con x ∈ A

(y por tanto distintos entre sı), lo cual contradice el hecho de que M esnumerable. ♦

Para establecer los resultados generales de esta seccion, definiremos el si-guiente concepto.

4.4.- Definicion. Dada una familia arbitraria I de ındices y un conjuntoxαα∈I en un espacio normado X, se dice que

∑α∈I xα = x cuando x =

sup∑

α∈J xα : J ⊂ I, J finito o bien, cuando

∀ε > 0, ∃J0 ⊂ I finito :

∥∥∥∥∥x−∑α∈J

xα

∥∥∥∥∥ < ε, ∀J ⊃ J0 finito.

Esta nocion es similar a la de convergencia incondicional de numeros realespues la convergencia es bastante fuerte para garantizar que ningun reagru-pamiento de los terminos tendra efecto sobre la misma.

De la definicion se deducen las siguientes propiedades:

4.5.- Proposicion. a) Si∑

α∈I xα = x y β ∈ E, entonces∑

α∈I βxα =βx.

b) Si∑

α∈I xα = x y∑

α∈I yα = y, entonces∑

α∈I(xα + yα) = x + y.

c) Si∑

α∈I xα = x, entonces xα = 0 excepto para un conjunto numera-ble.

Demostracion. Los apartados a) y b) son evidentes.

Para probar c), sea εn = 1/n; existe Hn tal que ∀J ⊃ Hn, J finito, se tieneque

∥∥∑α∈J xα − x

∥∥ < εn/2. Consideramos un conjunto J0 finito tal queJ0 ∩Hn = ∅, para todo n; resulta ası que∥∥∥∥ ∑

α∈J0

xα

∥∥∥∥ =∥∥∥∥ ∑

α∈J0∪Hn

xα−∑

α∈Hn

xα

∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥x− ∑α∈J0∪Hn

xα

∥∥∥∥+∥∥∥∥x−∑α∈Hn

xα

∥∥∥∥ < 1/n.

Si tomamos el conjunto numerable⋃

n∈N Hn y cualquier ındice α no conte-nido en el conjunto, de lo anterior se deduce que ‖xα‖ < 1/n, ∀n, es decirxα = 0, para cualquier α 6∈

⋃n∈N Hn. ♦

108

Con esta notacion probamos ahora la desigualdad de Bessel.

4.6.- Teorema. Sea X un espacio pre-Hilbert, A un conjunto ortonormalde X, y ∈ X arbitrario. Entonces:

a) (Desigualdad de Bessel)

∀x1, . . . , xn ∈ A :n∑

i=1

|〈y, xi〉|2 ≤ ‖y‖2.

Los elementos 〈y, xi〉 se llaman coeficientes de Fourier de y respecto delconjunto ortonormal xin

i=1.

b) El conjunto J = x ∈ A : 〈y, x〉 6= 0 es numerable.

c) ∀z ∈ X :∑

x∈A |〈y, x〉 〈z, x〉| ≤ ‖y‖ · ‖z‖.

Demostracion. a) Llamamos αi = 〈y, xi〉. De este modo,

0 ≤ 〈y −n∑

i=1

αixi, y −n∑

i=1

αixi〉

= ‖y‖2 −n∑

i=1

αi〈xi, y〉 −n∑

i=1

αi〈y, xi〉+n∑

i=1

n∑j=1

αi αj〈xi, xj〉 = ‖y‖2 −n∑

i=1

|αi|2.

Esto implica que ‖y‖2 ≥∑n

i=1 |〈y, xi〉|2.

De lo anterior se deduce que la igualdad es tambien valida si n es infini-to.

b) Llamamos Jn = x ∈ A : |〈y, x〉| ≥ 1/n y elegimos x1, . . . , xm ∈ Jn. Pora),

‖y‖2 ≥m∑

i=1

|〈y, xi〉|2 ≥ m · 1n2

=⇒ m ≤ n2‖y‖2 < ∞,

es decir Jn es finito.

Como J =⋃∞

n=1 Jn es union numerable de conjuntos finitos, es numera-ble.

c) Por las desigualdades de Holder y de Bessel, para cualesquiera x1, . . . , xn ∈A tenemos

n∑i=1

|〈y, xi〉 〈z, xi〉| ≤

(n∑

i=1

|〈y, xi〉|2)1/2

·

(n∑

i=1

|〈z, xi〉|2)1/2

≤ ‖y‖ · ‖z‖.

Como 〈y, xi〉 y 〈z, xi〉 son cero excepto para un conjunto numerable xi ⊂A, entonces es absolutamente convergente la serie

∑x∈A |〈y, x〉 〈z, x〉|.♦

109

Tambien se deducen de forma directa los siguientes resultados sobre conver-gencia de la serie de Fourier asociada a un elemento arbitrario.

4.7.- Teorema. Sea X un espacio de Hilbert y A = xnn∈N una sucesionortonormal en X. Entonces, dada la sucesion αnn∈N ⊂ E,

a)∑n∈N

αnxn converge si y solo si∑n∈N

|αn|2 converge (es decir, (αn)n∈N ∈

`2).

b) Si∑

n∈N αnxn converge a x, entonces αn = 〈x, xn〉, ∀n ∈ N, es decir

x =∑n∈N

〈x, xn〉xn.

c) Para todo x ∈ X, la serie∑

n∈N〈x, xn〉xn converge (en la norma deX).

Demostracion. a) Si llamamos Sn =∑n

k=1 αkxk, entonces ‖Sn − Sm‖2 =∑nk=m+1 |αk|2 (n > m). El resto es evidente (recordemos que X es comple-

to).

b) Sea x =∑

n∈N αnxn. Si Sn =∑n

k=1 αkxk, entonces 〈Sn, xk〉 = αk, ∀k ≤ n.Esto implica que lımn〈Sn, xk〉 = αk, ∀k, de donde 〈x, xk〉 = αk, ∀k.

c) Por la desigualdad de Bessel, la serie∑

n∈N |〈x, xn〉|2 converge. Aplicandoa) se obtiene lo deseado. ♦

Si aplicamos los resultados anteriores al espacio real L2[0, 2π], obtenemos losiguiente.

4.8.- Proposicion. a) (Lema de Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L2[0, 2π] yllamamos

a0 = (1/π)∫ 2π

0f(t)dt,

an = (1/π)∫ 2π

0f(t) cos(nt/2)dt, si n es par,

bn = (1/π)∫ 2π

0f(t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar,

entonces lımn an = 0, lımn bn = 0.

b) (Teorema de Riesz-Fischer). Recıprocamente, dada una sucesion de nume-ros reales c0, d1, c2, d3, . . . tal que

c20 +

∑n par

c2n +

∑n impar

d2n < ∞,

110

entonces existe una funcion f ∈ L2[0, 2π] cuyos coeficientes de Fourier sonla sucesion dada.

Demostracion. a) Sabemos que la sucesion xnn≥0, donde x0 = 1/√

2π,x2n−1 = (1/

√π) sen nt, x2n = (1/

√π) cos nt, para n ≥ 1, es un conjunto

ortonormal. Si definimos para cada f ∈ L2[0, 2π] los coeficientes de Fou-rier αn = 〈f, xn〉 =

∫ 2π0 f(t)xn(t)dt, n ≥ 0, por la desigualdad de Bessel,∑

n≥0 |αn|2 ≤ ‖f‖2.

A partir de esta desigualdad, y llamando

a0 =1π

∫ 2π

0f(t)dt,

an =1π

∫ 2π

0f(t) cos(nt/2)dt, si n es par ,

bn =1π

∫ 2π

0f(t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar,

a los coeficientes ordinarios de Fourier, obtenemos

(π/2)a20 + π

( ∞∑n=1

(a2n + b2

n)

)≤∫ 2π

0f2(t)dt

lo que implica que lımn an = 0, lımn bn = 0.

b) Al aplicar el teorema 4.7(a) a la sucesion xnn≥0 definida antes, obte-nemos

c0√2π

+1√π

(∑n par

cn cos nt +∑

n impar

dn sennt

)converge a alguna funcion f ∈ L2[0, 2π] y f/

√π tiene a la sucesion dada por

coeficientes de Fourier. ♦

El siguiente concepto generaliza el de base ortonormal en un espacio eu-clıdeo.

4.9.- Definicion. Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto ortonormal.Entonces A es completo cuando se cumple cualquiera de las condicionessiguientes:

(a) No existe ningun conjunto ortonormal que contenga propiamente a A.

(b) ∀x ∈ X, si x⊥A, entonces x = 0.

Es claro que (a) implica (b) porque si existiera x⊥A, x 6= 0, entonces A ∪x‖x‖

serıa ortonormal conteniendo propiamente a A.

Tambien (b) implica (a), porque si existiera B ortonormal tal que A ⊂B, A 6= B, podrıamos tomar x ∈ B \A, y serıa x⊥A y ‖x‖ = 1.

111

Observacion. A los conjuntos ortonormales completos se les llama basesortonormales. Sin embargo, nunca un conjunto ortonormal completo infinitopuede ser base de Hamel en un espacio de Hilbert.

En efecto, si A es un conjunto ortonormal completo infinito de H, cons-truimos la serie

∑k∈N k−2xk con xkk∈N ⊂ A. Como la serie

∑k∈N k−4

converge, existe x ∈ H tal que∑

k∈N k−2xk = x. Si A fuera base de H,∃γα, . . . , γν tales que x = γαxα + . . . γνxν . Eligiendo j 6= α, . . . , ν,

〈xj ,∑k≥1

k−2xk〉 = j−2 = 〈xj , γαxα + . . . γνxν〉 = 0

lo que es absurdo.

4.10.- Teorema. En un espacio pre-Hilbert X 6= 0 existe un conjun-to ortonormal completo y todo conjunto ortonormal puede extenderse a unconjunto ortonormal completo.

Demostracion. Basta probar la segunda parte porque se deduce inmediata-mente de ahı la primera.

Sea B un conjunto ortonormal fijo, S = A : A es conjunto ortonormal,B ⊂ A. El conjunto S esta parcialmente ordenado con la relacion de inclu-sion. Veamos que toda familia totalmente ordenada de S tiene cota supe-rior:

Sea T = Aα : α ∈ I un subconjunto totalmente ordenado de S. ComoAα ⊂

⋃α∈I Aα, entonces

⋃α∈I Aα es cota superior de T . Ademas B ⊂⋃

α∈I Aα.

Si x, y ∈⋃

α∈I Aα, ∃α, β ∈ I : x ∈ Aα, y ∈ Aβ (y suponemos Aα ⊂ Aβ

por ser T totalmente ordenado). Entonces x, y ∈ Aβ de donde x⊥y, ‖x‖ =‖y‖ = 1 =⇒

⋃α∈I Aα ∈ S.

Se dice entonces que S es un conjunto inductivo. Se puede aplicar el lema deZorn1, por el que debe existir un elemento maximal en S. Este elemento esun conjunto ortonormal completo, pues por definicion de maximal, no puedehaber otro conjunto ortonormal que lo contenga. ♦

4.11.- Teorema. a) Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto orto-normal tal que 〈A〉 = X. Entonces A es completo.

b) Si X es de Hilbert y A = xαα∈I un conjunto ortonormal completo,entonces 〈A〉 = X.

Demostracion. a) Si A no fuera completo, existirıa x ∈ X ortogonal alconjunto. Ademas x⊥〈A〉 e incluso x⊥〈A〉 lo que es absurdo.

1Lema de Zorn: Todo conjunto ordenado, inductivo y no vacıo tiene un elemento maximal.

112

b) Si 〈A〉 6= X, existe x ∈ X \ 〈A〉. Por el teorema de proyeccion, existey ∈ 〈A〉 tal que (x − y)⊥〈A〉. Por tanto, (x − y)⊥A, pero x 6= y. Resultaentonces que A no es completo. ♦

Otra caracterizacion de los conjuntos ortonormales completos la da la iden-tidad de Parseval.

4.12.- Teorema. a) Sea X un espacio pre-Hilbert y A = xαα∈I un con-junto ortonormal. Si ∀x ∈ X, ‖x‖2 =

∑α∈I |〈x, xα〉|2, entonces A es com-

pleto.

b) (Identidad de Parseval) Si X es de Hilbert y A es un conjunto ortonormalcompleto, se verifica que ‖x‖2 =

∑α∈I |〈x, xα〉|2, ∀x ∈ X.

Observacion. Por el teorema 4.6(b) solo hay como maximo un conjuntonumerable de productos 〈x, xα〉 no nulos.

Demostracion. a) Si A no fuera completo, existirıa x ∈ X tal que x⊥A. Porla identidad de Parseval, ‖x‖ = 0, lo que es absurdo.

b) Sea x ∈ X. Como la serie∑

α∈I〈x, xα〉xα converge (teorema 4.7(c)),llamamos y =

∑α∈I〈x, xα〉xα. Entonces (x− y)⊥A :

〈x− y, xβ〉 = 〈x, xβ〉 −∑α∈I

〈x, xα〉〈xα, xβ〉 = 〈x, xβ〉 − 〈x, xβ〉 = 0;

〈x− y, v〉 = 〈x, v〉 −∑α∈I

〈x, xα〉〈xα, v〉 = 0− 0 = 0,

∀v ∈ A, v distinto de los xα de la serie (que son precisamente aquellos paralos que 〈x, v〉 = 0).

Por definicion, como (x− y)⊥A =⇒ x− y = 0 =⇒ x =∑

α∈I〈x, xα〉xα =⇒‖x‖2 =

∑α∈I〈x, xα〉 〈x, xα〉. ♦

Nota. La parte (a) del teorema tambien es cierta si la identidad de Parsevalse supone cierta solo en un conjunto denso en X (ver la prueba en [BN]). Laventaja que ello supone es evidente y en las aplicaciones practicas es facilobtener subconjuntos densos donde se verifique la igualdad. Por ejemplo,para probar que la sucesion 1/

√2π, cos t/

√π, sen t/

√π, . . . es un conjunto

ortonormal completo en L2[0, 2π] sobre R basta ver que la identidad deParseval es cierta en la clase de polinomios trigonometricos de L2[0, 2π](que es denso en L2 por el teorema de Stone-Weierstrass).

Podemos resumir todos los resultados anteriores en el siguiente esquema.

4.13.- Teorema. Sea A = xαα∈I un conjunto ortonormal en un espaciode Hilbert X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) A es completo.

113

ii) x⊥A =⇒ x = 0.

iii) x ∈ X =⇒ x =∑

α∈I〈x, xα〉xα.

iv) 〈A〉 = X.

v) ‖x‖2 =∑

α∈I |〈x, xα〉|2.

vi) ∀x, y ∈ X, 〈x, y〉 =∑

α∈I〈x, xα〉〈xα, y〉.

(Es claro que en algunas equivalencias no es necesario que X sea de Hil-bert.)

Ejemplo. En L2[0, 2π] un conjunto ortonormal completo es A =

eint√

2π, n ∈ Z

.

En efecto, sea f ∈ L2[0, 2π], tal que f⊥A, es decir,∫ 2π0 f(t)e−intdt = 0, ∀n ∈

Z. Definimos G(t) =∫ t0 f(x)dx − C, donde G(2π) = −C = G(0). Como∫ t

0 f(x)dx es una funcion absolutamente continua, G′(t) = f(t) en casi to-do punto. Esto implica que

∫ 2π0 G′(t)e−intdt = 0. Integrando por partes,

tenemos

0 = e−intG(t)∣∣2π

0−∫ 2π

0G(t)(−in)e−intdt = G(2π)−G(0)+in

∫ 2π

0G(t)e−intdt.

Si llamamos F (t) =∫ t0 f(x)dx, tenemos que 0 =

∫ 2π0 (F (t)−C)e−intdt, n 6=

0. Elegimos C de modo que∫ 2π0 F (t)dt = 2πC.

Por el teorema de aproximacion de Weierstrass, podemos aproximar uni-formemente G(t) por el polinomio trigonometrico T (t) =

∑mk=−m ake

ikt, demodo que |G(t)− T (t)| < ε, ∀t ∈ [0, 2π]. Resulta ası:∫ 2π

0G(t)T (t)dt =

m∑−m

ak

∫ 2π

0G(t)eiktdt = 0 =⇒

∫ 2π

0|G(t)|2dt

=∫ 2π

0G(t)G(t)dt =

∫ 2π

0G(t)(G(t)− T (t))dt

≤ ε

∫ 2π

0|G(t)| · 1dt ≤ ε

√2π

(∫ 2π

0|G(t)|2dt

)1/2

.

Si suponemos∫ 2π0 |G(t)|2dt 6= 0, resulta

(∫ 2π0 |G(t)|2dt

)1/2≤ ε

√2π.

Como ε es arbitrario,∫ 2π

0|G(t)|2dt = 0 =⇒ G(t) = 0 =⇒

∫ t

0f(x)dx = C =⇒ f(t) = 0

en casi todo punto.

114

Justificamos a continuacion el nombre de dimension de Hilbert dado al car-dinal de un conjunto ortonormal completo.

4.14.- Teorema (cardinal de los conjuntos ortonormales completos). En unespacio pre-Hilbert X, cualesquiera dos conjuntos ortonormales completosA = xα : α ∈ I, B = yβ : β ∈ J tienen el mismo cardinal (llamadodimension de Hilbert o dimension ortogonal de X).

Demostracion. Es trivial si A y B son finitos, porque serıan bases del mismoespacio vectorial X.

En el caso general, si xα ∈ A, definimos Bxα = yβ ∈ B : 〈xα, yβ〉 6= 0 quees numerable (teorema 4.6(b)). Veamos ahora que para todo yβ ∈ B existexα ∈ A tal que yβ ∈ Bxα :

Si no fuera ası, 〈xα, yβ〉 = 0, ∀xα ∈ A =⇒ yβ⊥A. Pero, al ser A completo,yβ = 0, lo que es absurdo pues ‖yβ‖ = 1. Entonces

B =⋃α∈I

Bxα =⇒ cardB ≤ cardA · cardBxα = cardA

ya que Bxα es numerable.

Analogamente se procede para demostrar que card A ≤ cardB. ♦

Para concluir probaremos las siguientes equivalencias, que generalizan lo queocurre con los espacios euclıdeos, pues se proporcionan muestras concretasde espacios mediante los cuales todos los demas solo se diferencian en ladimension.

4.15.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert de dimension n, entoncesX es congruente con Cn, es decir existe un isomorfismo isometrico entre Xy Cn.

Demostracion. Sea x1, . . . , xn una base ortonormal de X.

∀x ∈ X, ∃α1, . . . , αn ∈ E : x =∑n

i=1 αixi. Definimos A : X → Cn comoAx = (α1, . . . , αn). Es evidente que A es isomorfismo isometrico. ♦

4.16.- Teorema. Si X es un espacio de Hilbert separable, complejo y dedimension infinita, entonces X es congruente con `2.

Demostracion. Por ser X separable, contiene un conjunto ortonormal com-pleto numerable, digamos xnn∈N. Para cada x ∈ X y n ∈ N definimosαn = 〈x, xn〉. Por la identidad de Parseval,

‖x‖2 =∑n∈N

|〈x, xn〉|2 =∑n∈N

|αn|2 < ∞.

Esto implica que αnn∈N ∈ `2. Ası pues, el operador A : X → `2 dadopor

Ax = (αn)n∈N, ∀x ∈ X

115

esta bien definido y es lineal. Veamos que A es un isomorfismo isometri-co.

(∗) A es inyectiva: Ax = 0 =⇒ 〈x, xn〉 = 0, ∀n =⇒ x = 0 porque xnn∈Nes completo.

(∗) A es sobre: Si (βn)n∈N ∈ `2,∑

n∈N |βn|2 < ∞ lo que implica que∑n∈N βnxn converge a algun x ∈ X de donde βn = 〈x, xn〉, es decir (βn)n∈N =

Ax.

(∗) A es isometrıa, pues ‖Ax‖2 =∑

n∈N |αn|2 = ‖x‖2. ♦

5. ORTOGONALIZACION DE POLINOMIOS.

En esta seccion se aplican los resultados anteriores para obtener familiasde polinomios ortonormales en algunos casos practicos de especial impor-tancia. Empezaremos recordando el teorema de ortogonalizacion de Gram-Schmidt.

5.1.- Teorema (ortogonalizacion de Gram-Schmidt). Si y1, . . . , yn, . . . esun conjunto linealmente independiente en un espacio pre-Hilbert X, enton-ces existe un conjunto ortonormal x1, . . . , xn, . . . tal que 〈x1, . . . , xk〉 =〈y1, . . . , yk〉, ∀k ∈ N.

Demostracion. Aplicaremos el metodo de induccion sobre n.

Para n = 1, hacemos x1 = y1/‖y1‖. Esto hace que ‖x1‖ = 1 y 〈x1〉 =〈y1〉.

Si fuera cierto para n− 1, veamoslo para n:

Llamamos w = yn −∑n−1

i=1 〈yn, xi〉xi. Entonces

〈w, xk〉 = 〈yn, xk〉−n−1∑i=1

〈yn, xi〉〈xi, xk〉 = 〈yn, xk〉−〈yn, xk〉 = 0, k = 1, . . . , n−1.

Si fuera w = 0, tendrıamos yn =n−1∑i=1

〈yn, xi〉xi, con lo que yn ∈ 〈x1, . . . , xn−1〉 =

〈y1, . . . , yn−1〉, lo que contradice la hipotesis.

Si llamamos xn = w/‖w‖, es trivial que x1, . . . , xn es un conjunto orto-normal y que 〈x1, . . . , xn〉 = 〈y1, . . . , yn〉. ♦

116

Veamos como aplicacion de lo anterior como generar los polinomios ortonor-males de mayor importancia practica.

A. Polinomios de Legendre. El espacio C[−1, 1] con el producto escalar〈x, y〉 =

∫ 1−1 x(t)y(t)dt puede completarse y dar lugar al espacio L2[−1, 1].

Una base ortonormal de este espacio se puede obtener aplicando el metodode ortogonalizacion de Gram-Schmidt a la familia linealmente independientede polinomios xn(t) = tn, n = 0, 1, . . . .

5.2.- Teorema. Si llamamos Pn(t) = 12n·n! ·

dn

dtn (t2−1)n, entonces la familia

en(t) =√

2n+12 Pn(t), n = 0, 1, . . . , es un conjunto ortonormal completo en

L2[−1, 1].

Demostracion. Veamos en primer lugar que 〈Pm, Pn〉 = 0 si 0 ≤ m < n.Como Pm es un polinomio, basta probar que 〈xm, Pn〉 = 0 para m < n.Si integramos por partes (donde escribimos por comodidad u = t2 − 1),teniendo en cuenta que las derivadas Dk(un)(t) se anulan para k < n ent = ±1:

2nn!〈xm, Pn〉 =∫ 1

−1tmDn(un)(t)dt

= −m

∫ 1

−1tm−1Dn−1(un)(t)dt = . . .

= (−1)mm!∫ 1

−1Dn−m(un)(t)dt = (−1)mm!Dn−m−1(un)(t)|1−1 = 0.

A continuacion probaremos que ‖en‖ = 1, ∀n, para lo cual integramos nue-vamente por partes y tenemos en cuenta que D2n(un)(t) = (2n)!:

(2nn!)2‖Pn‖2 =∫ 1

−1Dn(un)(t)Dn(un)(t)dt

= −∫ 1

−1Dn−1(un)(t)Dn+1(un)(t)dt = . . .

= (−1)n(2n)!∫ 1

−1un(t)dt = 2(2n)!

∫ 1

0(1− t2)ndt

= 2(2n)!∫ π/2

0cos2n+1 sds =

22n+1(n!)2

2n + 1. ♦

Observacion. Los polinomios de Legendre Pnn≥0 son solucion de la lla-mada ecuacion de Legendre:

(1− t2)P ′′n − 2tP ′

n + n(n + 1)Pn = 0.

117

B. Polinomios de Hermite. En el espacio L2(R), las funciones xne−x2/2forman un conjunto linealmente independiente para n ≥ 0. Aplicando elproceso de Gram-Schmidt, obtenemos las funciones de Hermite

Φn(x) =1

(n! · 2n ·√

π)1/2· e−x2/2 ·Hn(x)

donde Hnn≥0 son los polinomios de Hermite

Hn(x) = (−1)n · ex2 · dn

dxne−x2

.

Se puede probar que las funciones de Hermite forman una base ortonormal deL2(R) y que los polinomios de Hermite verifican la ecuacion diferencial

H ′′n − 2xH ′

n + 2nHn = 0.

C. Polinomios de Laguerre. En X = L2[0,∞), la sucesion e−x/2xnn≥0

es linealmente independiente. La familia ortonormal que se obtiene es Ψn(x) =e−x/2Ln(x), donde

Ln(x) =1n!· ex · dn

dxn(e−xxn), es decir Ln(x) =

n∑j=0

(−1)j

j!

(n

j

)xj ,

son los polinomios de Laguerre.

Estos polinomios verifican la ecuacion xL′′n + (1− x)L′

n + nLn = 0.

6. REPRESENTACION DE FUNCIONALES EN ESPACIOS DEHILBERT.

En los espacios de Hilbert, la forma general que tienen los funcionales linealesy acotados es sorprendentemente simple y de gran importancia practica. Esmuy sencillo comprobar que todo espacio euclıdeo puede identificarse con sudual.

6.1.- Teorema (Riesz para dimension finita). Si X es un espacio pre-Hilbertde dimension finita y f : X → E un funcional lineal, entonces existe ununico y ∈ X tal que f(x) = 〈x, y〉, ∀x ∈ X.

Demostracion. Sea x1, . . . , xn una base ortonormal de X. Si y =n∑

i=1f(xi)xi,

definimos la aplicacion fy : X → E como fy(x) = 〈x, y〉. En particular,

118

fy(xj) = f(xj), ∀j = 1, . . . , n. De aquı se deduce que fy(x) = f(x), ∀x ∈X.

Si existiera otro z ∈ X tal que 〈x, y〉 = 〈x, z〉, ∀x ∈ X, entonces 〈x, y− z〉 =0, ∀x =⇒ y = z. ♦

Probaremos a continuacion el teorema de representacion de Riesz que pruebaque este hecho es tambien cierto en espacios de Hilbert arbitrarios.

6.2.- Teorema (Riesz para cualquier dimension). Un funcional f : X → Ede un espacio de Hilbert es lineal y acotado si y solo si existe un unico y ∈ Xtal que f(x) = 〈x, y〉, ∀x ∈ X. Ademas ‖f‖ = ‖y‖.

Demostracion. La unicidad de y es clara como hicimos en el teorema ante-rior.

a) Dado y ∈ X, consideramos el funcional f(x) = 〈x, y〉. Claramente, f eslineal. Ademas |f(x)| = |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por tanto, f esta acotado y ‖f‖ ≤ ‖y‖. Pero si hacemos x = y,|f(y)| = ‖y‖ · ‖y‖ =⇒ ‖f‖ ≥ ‖y‖ y en definitiva, ‖f‖ = ‖y‖.

b) Sea f un funcional lineal y acotado en X y definimos M = x ∈ X :f(x) = 0 que es subespacio cerrado de X por la continuidad de f . Si M =X, f ≡ 0 y f(x) = 〈x, 0〉, es decir, existe y = 0 tal que f(x) = 〈x, 0〉.

Si M 6= X, existe w 6= 0 tal que w ∈ M⊥. Vamos a probar que existe α ∈ Etal que y = αw satisface las condiciones del teorema.

Si x ∈ M, f(x) = 0 y 〈x, αw〉 = α〈x,w〉 = 0, y cualquier α sirve.

Si x = βw con β 6= 0, f(x) = βf(w) y 〈x, αw〉 = β α〈w,w〉 con lo quef(x) = 〈x, αw〉 cuando α = f(w)/‖w‖2.

Si x ∈ X es arbitrario, x = x−βw +βw y elegimos β para que x−βw ∈ M,es decir, β = f(x)/f(w). De este modo,

f(x) = f(x−βw)+f(βw) = 〈x−βw, αw〉+〈βw, αw〉 = 〈x, αw〉 = 〈x, y〉. ♦

De este teorema tambien se deduce el analogo a la proposicion 7.3 del capıtu-lo II. Concretamente, en un espacio de Hilbert un funcional lineal es con-tinuo si y solo si su nucleo es un subespacio cerrado. Este hecho mues-tra que la existencia de funcionales lineales no continuos va ıntimamen-te ligada con la existencia de subespacios lineales no cerrados. Ası pues,el nucleo de un funcional lineal no continuo es un subespacio denso enX. En efecto, si por el contrario dim M⊥ > 0, ∃e⊥M tal que f(e) = 1;esto implica que ∀y ∈ X, y = f(y)e + (y − f(y)e) con f(y)e ∈ 〈e〉 yf(y − f(y)e) = 0 =⇒ y − f(y)e ∈ M , y la suma es ortogonal. Esto indicaque X = 〈e〉⊕M , de donde M es cerrado, con lo que f es continuo, en con-tradiccion con la hipotesis. En definitiva, dim M⊥ = 0 =⇒ M = X.

119

El teorema 6.2 permite tambien obtener una representacion general de for-mas sesquilineales en espacios de Hilbert.

6.3.- Definicion. Dados dos espacios vectoriales X, Y , una forma sesquili-neal sobre X × Y es una aplicacion h : X × Y → E tal que h es lineal en laprimera variable y antilineal en la segunda.

Si X e Y son normados, h es acotada si existe c ≥ 0 tal que |h(x, y)| ≤c · ‖x‖ · ‖y‖ y se define ‖h‖ = supx,y 6=0

|h(x,y)|‖x‖·‖y‖ como la norma de h.

Ejemplo. Si S ∈ L(X, Y ) entonces h(x, y) = 〈Sx, y〉 es una forma sesquili-neal acotada. El recıproco corresponde al siguiente resultado.

6.4.- Teorema (representacion de Riesz para formas sesquilineales). SeanH1,H2 espacios de Hilbert y h : H1 × H2 → E una forma sesquilinealacotada. Entonces existe un unico operador lineal S : H1 → H2 acotado talque h(x, y) = 〈Sx, y〉 y ‖S‖ = ‖h‖.

Demostracion. Fijado x ∈ H1, el operador h(x, ·) : H2 → E es un funcionallineal y acotado. Entonces existe un unico z ∈ H2 tal que h(x, y) = 〈y, z〉.Por tanto, h(x, y) = 〈z, y〉. Como z depende de x y es unico, queda defi-nido un operador S : H1 → H2 dado por Sx = z. Ası definido, se pruebaque

→ S es lineal:

〈S(αx1 + βx2), y〉 = h(αx1 + βx2, y)= αh(x1, y) + βh(x2, y) = α〈Sx1, y〉+ β〈Sx2, y〉= 〈αSx1 + βSx2, y〉, ∀y =⇒ S(αx1 + βx2) = αSx1 + βSx2.

→ S es acotado:

‖h‖ = supx,y 6=0

|〈Sx, y〉|‖x‖ · ‖y‖

≥ supx 6=0,Sx 6=0

|〈Sx, Sx〉|‖x‖ · ‖Sx‖

= supx 6=0

‖Sx‖‖x‖

= ‖S‖.

→ ‖S‖ = ‖h‖ : Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

‖h‖ = sup|〈Sx, y〉|‖x‖ · ‖y‖

≤ sup‖Sx‖ · ‖y‖‖x‖ · ‖y‖

= ‖S‖.

→ S es unico: Si ∃T : H1 → H2 tal que h(x, y) = 〈Sx, y〉 = 〈Tx, y〉, entoncesSx = Tx de donde S = T. ♦

El concepto de forma sesquilineal es una generalizacion del producto interior.Demostraremos a continuacion diversos resultados que extienden a los yaobtenidos para el producto interior, donde el papel de norma correspondeahora al de la forma cuadratica asociada a una forma sesquilineal.

6.5.- Definicion. Una forma sesquilineal f : X → X se dice simetricacuando f(y, x) = f(x, y), ∀x, y ∈ X. Por otra parte, si f(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X,

120

f se dice forma sesquilineal definida no negativa. Por ejemplo, f(x, y) =〈x, y〉 es una forma sesquilineal simetrica y definida no negativa, y f(x, x)representa la norma.

Dada una forma sesquilineal f : X×X → E, el conjunto f(x, x) : x ∈ X sellama forma cuadratica asociada. Ası, si llamamos f(x) = f(x, x), se puederecuperar la forma sesquilineal por la identidad de polarizacion

f(x, y) =14f(x + y)− 1

4f(x− y) +

i

4f(x + iy)− i

4f(x− iy).

En consecuencia, si f1 y f2 son formas sesquilineales y f1 = f2, entoncesf1 = f2.

6.6.- Proposicion. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f essimetrica si y solo si f es real.

Demostracion. a) Si suponemos que f(y, x) = f(x, y), entonces

f(x) = f(x, x) = f(x, x) = f(x), ∀x ∈ X

lo que implica que f es real.

b) Recıprocamente, si f es real, de la identidad de polarizacion y las igual-dades f(z) = f(−z), f(iz) = f(z), ∀z ∈ X, se deduce que

f(x, y) =14

f(x + y)− 14

f(x− y)− i

4f(x + iy) +

i

4f(x− iy)

=14f(y + x)− 1

4f(y − x)− i

4f(y − ix) +

i

4f(y + ix) = f(y, x). ♦

6.7.- Corolario. Si A : X → X es un operador lineal acotado, entonces sonequivalentes:

i) La forma sesquilineal f : X × X → E definida por f(x, y) = 〈Ax, y〉 essimetrica.

ii) 〈Ax, x〉 es real para todo x ∈ X.

Para la prueba, basta observar que 〈Ax, x〉 es la forma cuadratica asociadaa f .

6.8.- Proposicion. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f esacotada si y solo si f es acotada. Ademas ‖f‖ ≤ ‖f‖ ≤ 2‖f‖.

Demostracion. Utilizaremos las igualdades

‖f‖ = sup‖x‖,‖y‖=1

|f(x, y)|, ‖f‖ = sup‖x‖=1

|f(x)|,

las cuales se pueden probar de forma similar a las obtenidas en el caso deoperadores lineales.

121

Si suponemos f acotada, entonces

|f(x)| = |f(x, x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖2 =⇒ ‖f‖ ≤ ‖f‖.

Recıprocamente, si suponemos f acotada, aplicando la desigualdad triangu-lar en la identidad de polarizacion, obtenemos

|f(x, y)| ≤ 14‖f‖ · (‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 + ‖x + iy‖2 + ‖x− iy‖2).

Aplicando en el segundo miembro la identidad del paralelogramo, resul-ta:

|f(x, y)| ≤ 14‖f‖ · [2(‖x‖2 + ‖y‖2) + 2(‖x‖2 + ‖y‖2)] = ‖f‖ · (‖x‖2 + ‖y‖2).

Tomando el supremo para valores x, y, con ‖x‖ = ‖y‖ = 1, llegamos endefinitiva a que ‖f‖ ≤ 2‖f‖. ♦

6.9.- Proposicion. Si f es una forma sesquilineal simetrica acotada, en-tonces ‖f‖ = ‖f‖.

Demostracion. Por ser f real, de la identidad de polarizacion obtenemos enparticular

Re f(x, y) =14f(x+y)− 1

4f(x−y) =⇒ |Re f(x, y)| ≤ 1

4‖f‖·(2‖x‖2+2‖y‖2).

Si suponemos ‖x‖ = ‖y‖ = 1, resulta |Re f(x, y)| ≤ ‖f‖.

Escribiendo en forma polar f(x, y) = r · eiϑ, para α = e−iϑ, tenemosαf(x, y) = r = |f(x, y)|, de donde

|f(x, y)| = |Re αf(x, y)| = |Re f(αx, y)| ≤ ‖f‖,

para cualesquiera x, y ∈ X tales que ‖x‖ = ‖y‖ = 1. En consecuencia,‖f‖ = sup‖x‖=‖y‖=1 |f(x, y)| ≤ ‖f‖ lo que, junto al resultado del teoremaanterior, conduce a la tesis. ♦

6.10.- Proposicion (Desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada). Si f esun forma sesquilineal no negativa, entonces |f(x, y)|2 ≤ f(x) · f(y), ∀x, y ∈X.

La prueba es similar a la realizada en la proposicion 3.1, y se deja comoejercicio.

122

7. OPERADOR ADJUNTO. OPERADORES AUTOADJUNTOSY UNITARIOS.

El teorema de representacion de Riesz permite de forma natural asociar atodo operador T ∈ L(H1,H2) el llamado operador adjunto T ∗ ∈ L(H2,H1)definido por la condicion 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉, ∀x ∈ H1, y ∈ H2, y cuyaspropiedades estudiaremos en esta seccion. Nos limitaremos en esta secciona estudiar el caso de operadores T : H → H y dejamos al lector la posibili-dad de desarrollar el caso general. Queremos indicar tambien que en el casode espacios normados se puede definir un concepto analogo pero algunasdemostraciones precisan aplicar el teorema de Hahn-Banach que estudiare-mos en el proximo capıtulo (en los ejercicios del capıtulo IV se dan dichasnociones).

Aseguramos en primer lugar la existencia del operador adjunto y mostramosalgunas propiedades basicas de los mismos.

7.1.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H). Entonces existeun unico operador T ∗ ∈ L(H) tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉. Ademas ‖T‖ =‖T ∗‖.

Demostracion. Para cada y ∈ H definimos el funcional fy(x) = 〈Tx, y〉.Debido a que

|〈Tx, y〉| ≤ ‖Tx‖ · ‖y‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖ · ‖y‖,

se deduce que fy es un funcional lineal acotado. Por el teorema de repre-sentacion de Riesz, existe un unico z ∈ H tal que fy(x) = 〈x, z〉. Definimospues el operador T ∗y = z.

Dicho operador es lineal pues, ∀y1, y2 ∈ H, α ∈ E, x ∈ H:

〈x, T ∗(αy1 + y2)〉 = 〈Tx, αy1 + y2〉 = α〈Tx, y1〉+ 〈Tx, y2〉= α〈x, T ∗y1〉+ 〈x, T ∗y2〉 = 〈x, αT ∗y1 + T ∗y2〉.

Ademas T ∗ esta acotado pues, ∀x, y ∈ H,

|〈x, T ∗y〉| = |〈Tx, y〉| ≤ ‖T‖ · ‖x‖ · ‖y‖.

En particular, para x = T ∗y tenemos que ‖T ∗y‖2 ≤ ‖T‖ · ‖T ∗y‖ · ‖y‖, dedonde ‖T ∗y‖ ≤ ‖T‖ · ‖y‖ y ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖.

Por otra parte, como T ∗∗ = T , resulta que ‖T‖ = ‖T ∗∗‖ ≤ ‖T ∗‖. ♦

7.2.- Proposicion. Dados S, T ∈ L(H) y α ∈ E, entonces:

a) (S + T )∗ = S∗ + T ∗.

123

b) (αT )∗ = αT ∗.

c) (ST )∗ = T ∗S∗.

d) T ∗∗ = T .

e) ‖T ∗T‖ = ‖T‖2.

Demostracion. Queda como ejercicio, pues se trata de simples comprobacio-nes.

7.3.- Proposicion. Si llamamos N(T ) al nucleo del operador T y R(T ) alrango, entonces

a) N(T ∗) = R(T )⊥.

b) N(T ) = R(T ∗)⊥.

Demostracion. Para cualesquiera x ∈ N(T ∗), y ∈ H, 〈x, Ty〉 = 〈T ∗x, y〉 = 0,de donde x ∈ R(T )⊥.

Recıprocamente, si x ∈ R(T )⊥, entonces 〈T ∗x, y〉 = 〈x, Ty〉 = 0, para todoy ∈ H, de donde T ∗x = 0.

Para la parte b) basta aplicar a) al operador T ∗. ♦

7.4.- Definicion. El operador T ∗ ası construido se llama adjunto de T . Unoperador T es autoadjunto cuando T = T ∗.

Observaciones. 1) El concepto de operador adjunto generaliza el de ma-triz adjunta pues en los espacios euclıdeos la matriz asociada al operadoradjunto es la traspuesta de la conjugada de la matriz asociada al opera-dor de partida. Un ejemplo clasico en dimension infinita lo constituyen losoperadores integrales. Ası, si A : L2[0, 1] → L2[0, 1] es el operador definidopor Ax(t) =

∫ 10 K(t, s)x(s)ds, donde K es una funcion continua, entonces

A∗x(t) =∫ 10 K(s, t)x(s)ds.

2) Los operadores autoadjuntos juegan en L(H) el papel que los numerosreales juegan en C. Por tanto, todo operador T ∈ L(H) se podra escribiren la forma T = A + iB, con A,B autoadjuntos. Esta clase de operadores,cuya estructura esta ya perfectamente delimitada, aparece en multitud deaplicaciones.

Recordamos que en espacios metricos una aplicacion que conserva las dis-tancias se llama isometrıa. Cuando se trata de espacios normados esta pro-piedad se traduce en que una isometrıa A : X → Y es un operador queconserva las normas, es decir ‖Ax‖ = ‖x‖, ∀x ∈ X. Si X e Y son ademasespacios pre-Hilbert, es sencillo comprobar (aplicando la identidad de po-larizacion) que un operador A ∈ L(X, Y ) es una isometrıa si y solo si

124

〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ X. En lo sucesivo aplicaremos esta caracteri-zacion como definicion de isometrıas en espacios pre-Hilbert.

7.5.- Definicion. Toda isometrıa sobreyectiva recibira el nombre de opera-dor unitario. Estos operadores se corresponden con las rotaciones y simetrıasrespecto del origen en los espacios euclıdeos y, al igual que allı, estos opera-dores son los mas simples en cuanto no cambia la longitud ni el angulo entrevectores.

Veamos a continuacion algunas caracterizaciones de estos operadores.

7.6.- Proposicion. Sea T ∈ L(H).

a) T es isometrıa si y solo si T ∗T = I.

b) T es unitario si y solo si T ∗T = TT ∗ = I.

Demostracion. El apartado a) se deduce de las siguientes equivalencias:

T isometrıa ⇐⇒ 〈Tx, Ty〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ H

⇐⇒ 〈x, T ∗Ty〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ H ⇐⇒ T ∗T = I.

b) Por el apartado anterior, si T es unitario, T ∗T = I. Ademas, por ser Tsobre, ∀x, y ∈ H,

〈TT ∗x, y〉 = 〈TT ∗x, Tz〉 = 〈T ∗x, z〉 = 〈x, Tz〉 = 〈x, y〉 =⇒ TT ∗ = I.

Recıprocamente, si T ∗T = TT ∗ = I, entonces, por una parte, T es isometrıa;por otra parte, para cualquier y ∈ H, si llamamos x = T ∗y; entonces Tx =TT ∗y = y, es decir T es sobre. ♦

Otra clase de operadores relacionada con las anteriores es la de los operadoresnormales, los que por definicion verifican la igualdad TT ∗ = T ∗T . Esta clasede operadores tiene gran interes en el desarrollo de la teorıa espectral yestudiaremos sus propiedades en el capıtulo VI.

125

EJERCICIOS.

1. Si X es un espacio vectorial de dimension finita y e1, . . . , enuna base de X, probar que cualquier producto interior sobre Xesta completamente determinado por los valores γij = 〈ei, ej〉,(i, j = 1, . . . , n). ¿Es posible elegir arbitrariamente dichos es-calares?

Resp.: Sean x, y ∈ X arbitrarios, x =∑n

i=1 αiei, y =∑n

j=1 βjej .Entonces

〈x, y〉 =n∑

i=1

n∑j=1

αi βj〈ei, ej〉 =n∑

i=1

n∑j=1

αi βjγij .

Sin embargo, la eleccion de la matriz (γij)i,j=1,...,n no puede ser arbitra-ria, pues para dar lugar a un producto interior debe cumplir γij = γji,∀i, j y ademas γii > 0, ∀i.

2. Sea X un espacio pre-Hilbert real. Probar que si ‖x+y‖2 = ‖x‖2+‖y‖2, entonces x⊥y. Probar que lo anterior no es cierto si X escomplejo.

Resp.: De los axiomas del producto escalar obtenemos:

‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ ‖y‖2.

Aplicando la hipotesis se deduce que 2Re〈x, y〉 = 0 =⇒ 〈x, y〉 = 0 =⇒x⊥y.

Si X es complejo, basta elegir x, y ∈ X tales que 〈x, y〉 = ib, con b 6= 0.

Ası, ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 pero x no es ortogonal a y.

3. Probar que en un espacio pre-Hilbert, para cualquier escalar α,x⊥y ⇐⇒ ‖x + αy‖ = ‖x− αy‖.

Resp.: Las siguientes igualdades son validas en general:

‖x + αy‖2 = 〈x, x〉+ α〈y, x〉+ α〈x, y〉+ α α〈y, y〉,‖x− αy‖2 = 〈x, x〉 − α〈y, x〉 − α〈x, y〉+ α α〈y, y〉.

126

Ası pues, si x⊥y, entonces ‖x + αy‖2 = ‖x‖2 + α α‖y‖2 = ‖x− αy‖2.

Recıprocamente, si ‖x+αy‖ = ‖x−αy‖, entonces 2α〈y, x〉 = −2 α〈x, y〉.Si hacemos α = 1, resulta:

〈y, x〉+ 〈y, x〉 = 0 =⇒ Re〈y, x〉 = 0.

Haciendo ahora α = i:

i〈y, x〉 − i 〈y, x〉 = 0 =⇒ Im〈y, x〉 = 0.

En definitiva, tenemos que 〈y, x〉 = 0 =⇒ x⊥y.

4. Sea X un espacio pre-Hilbert. Probar que

‖λx + (1− λ)y‖ = ‖x‖, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ x = y.

¿Es cierto lo anterior si X es un espacio normado?

Resp.: Por hipotesis, si λ = 0, ‖y‖ = ‖x‖ y, si λ = 1/2, (1/2)‖x+y‖ =‖x‖.

Por la identidad del paralelogramo, ‖x+y‖2+‖x−y‖2 = 2‖x‖2+2‖y‖2,lo que implica, teniendo en cuenta lo anterior, que 4‖x‖2 + ‖x− y‖2 =4‖x‖2. Entonces ‖x− y‖ = 0, es decir x = y.

Si X es simplemente normado, puede no verificarse la identidad delparalelogramo. Por ejemplo, en `∞, los vectores x = (1, 0, . . . ), y =(1, 1, 0, . . . ), verifican ‖x‖∞ = ‖y‖∞ = 1, ‖λx + (1− λ)y‖∞ = 1, perox 6= y.

5. Se dice que un espacio de Banach es uniformemente convexosi, dadas dos sucesiones arbitrarias (xn)n∈N, (yn)n∈N, tales que‖xn‖ = ‖yn‖ = 1 y ‖(1/2)(xn + yn)‖ → 1, entonces xn − yn → 0.

a) Probar que todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo.

b) Sabiendo que, ∀f, g ∈ Lp[a, b],

‖f + g‖q + ‖f − g‖q ≤ 2(‖f‖p + ‖g‖p)q−1, si 1 < p ≤ 2,

‖f + g‖p + ‖f − g‖p ≤ 2p−1(‖f‖p + ‖g‖p), si 2 ≤ p < ∞,

127

donde (1/p)+ (1/q) = 1, probar que Lp[a, b] (1 < p < ∞) es unifor-memente convexo.

c) Dar un ejemplo de un espacio de Banach de dimension 2 queno sea uniformemente convexo.

Resp.: a) Sea H un espacio de Hilbert; consideramos dos sucesiones(xn)n∈N, (yn)n∈N, tales que ‖xn‖ = ‖yn‖ = 1 y ‖(1/2)(xn + yn)‖ → 1.De la identidad del paralelogramo

‖xn + yn‖2 + ‖xn − yn‖2 = 2‖xn‖2 + 2‖yn‖2,

resulta que ‖xn−yn‖2 = 4−‖xn +yn‖2. Tomando lımites, se concluyeque ‖xn − yn‖2 → 0, o bien xn − yn → 0.

b) Sean (fn)n∈N, (gn)n∈N sucesiones en Lp[a, b] tales que ‖fn‖ = ‖gn‖ =1 y ‖(1/2)(fn + gn)‖ → 1.

Si 1 < p ≤ 2, ‖fn + gn‖q + ‖fn − gn‖q ≤ 2 · 2q−1 = 2q, de donde,tomando lımites, ‖fn − gn‖q → 0, o bien fn − gn → 0.

Si 2 ≤ p < ∞, de la desigualdad analoga se deduce tambien quefn − gn → 0.

c) Consideramos el espacio (R2, ‖·‖1) y las sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,dadas por xn = (0, 1), yn = (1, 0), ∀n. Es evidente que ‖xn‖ = ‖yn‖ =1 y ‖xn + yn‖ = ‖xn − yn‖ = 2, lo que prueba que el espacio no esuniformemente convexo.

6. Probar que el espacio X = C[0, 1] con el producto escalar 〈x, y〉 =∫ 10 x(t) y(t)dt es pre-Hilbert pero no es completo.

Resp.: Los axiomas de producto escalar son de facil comprobacion.

Para ver que no es completo, consideramos la sucesion (xn)n∈N dada

por xn(t) = ınfn, t−1/3, es decir xn(t) =

n si t ≤ 1/n3

t−1/3 si t ≥ 1/n3.

La sucesion es de Cauchy pues

‖xn − xn+p‖2 =∫ 1

0|xn(t)− xn+p(t)|2dt ≤

∫ 1/n3

0t−1/3dt

que tiende a cero cuando n →∞.

128

Sin embargo, no es convergente pues ∀x ∈ X,

‖x−xn‖2 ≥∫ 1

1/n3

|x(t)−t−1/3|2dt =⇒ lım inf ‖x−xn‖2 ≥∫ 1

0|x(t)−t−1/3|2dt.

Como t−1/3 no esta acotada en [0, 1], existe un intervalo compacto enel cual |x(t) − t−1/3| > 0, luego la integral es positiva y la sucesion(xn)n∈N no tiene lımite.

7. Probar que en todo espacio de Hilbert complejo se verifica:

a) 〈x, y〉 = 1N

∑Nk=1 ‖x + e2πik/Ny‖2e2πik/N , para N ≥ 3.

b) 〈x, y〉 = 12π

∫ 2π0 ‖x + eiθy‖2eiθdθ.

Resp.: a) Por la linealidad del producto escalar:

‖x + eiθy‖2eiθ = ‖x‖2eiθ + 〈x, y〉+ 〈y, x〉e2iθ + ‖y‖2eiθ. (∗)

Por otra parte, si N ≥ 3:

N∑k=1

e2πk/N =e2πi(N+1)/N − e2πi/N

e2πi/N − 1=

e2πi/N (e2πi − 1)e2πi/N − 1

= 0,

y, analogamente,N∑

k=1

e4πk/N = 0.

Aplicando estas igualdades, es evidente el resultado propuesto.

b) Teniendo en cuenta nuevamente (∗) y que∫ 2π0 eiθdθ =

∫ 2π0 e2iθdθ =

0, se obtiene el resultado.

8. Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto de H cerrado,convexo y no vacıo. Probar que M tiene un unico elemento denorma mınima (es decir de distancia mınima al origen).

Resp.: Sea δ = ınfx∈M ‖x‖ y consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊂ Mtal que ‖xn‖ → δ.

129

Por la identidad del paralelogramo,∥∥∥xn + xm

2

∥∥∥2+∥∥∥xn − xm

2

∥∥∥2=‖xn‖2

2+‖xm‖2

2.

Como M es convexo, ‖(xn + xm)/2‖ ≥ δ, luego∥∥∥xn − xm

2

∥∥∥2≤ ‖xn‖2

2+‖xm‖2

2− δ2 → 0.

Esto implica que (xn)n∈N es de Cauchy.

Por ser M cerrado, ∃x0 ∈ M : xn → x0. Ademas ‖x0‖ = δ.

Si existiera y ∈ M tambien de norma mınima, la sucesion (x0, y, x0, y, . . . )serıa de Cauchy y por tanto x0 = y.

9. a) Probar que el espacio C[−1, 1] es suma directa ortogonal delos conjuntos de las funciones pares e impares en [−1, 1].

b) Dar ejemplos de descomposicion de R3 como suma directa deun subespacio y su complemento ortogonal o un par de subes-pacios complementarios.

Resp.: a) Basta escribir f(x) = (f(x) + f(−x))/2+(f(x)− f(−x))/2,donde el primer sumando es una funcion par y el segundo impar.

Ademas, si f(x) = f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x) con f1, g1 pares yf2, g2 impares, entonces f1(x)− g1(x) = g2(x)− f2(x), con f1− g1 pary g2 − f2 impar. Esto implica que f1 − g1 = 0 = g2 − f2.

Ademas, la suma es ortogonal pues si f es par y g impar, f ·g es impary∫ 1−1 f · g = 〈f, g〉 = 0.

b) Un ejemplo trivial es R3 = 〈(1, 0, 0)〉 ⊕ 〈(0, 1, 0), (0, 0, 1)〉.

10. Probar que la descomposicion X = M ⊕M⊥ no es cierta si M essubespacio cerrado de X pero X es pre-Hilbert.

Resp.: Sea X el espacio de las sucesiones con soporte finito, el cual espre-Hilbert considerado como subespacio de `2.

Si x0 = (1/n)n∈N ∈ `2, llamamos M = y ∈ X : y⊥x0 en `2.

130

Veamos que X no es completo: para ello consideramos la sucesion(xn)n∈N dada por xn = (1/2, 1/22, . . . , 1/2n, 0, . . . ), n ≥ 1. Entonces,para m < n:

‖xn − xm‖22 =

n∑k=m+1

(1/2k)2 =n∑

k=m+1

1/4k ≤ 1/4m+1

3/4=

13 · 4m

que tiende a cero si m → ∞. Esto prueba que xnn∈N es de Cauchyen X pero lım xn = x = (1/2, 1/22, . . . 1/2n, . . . ) 6∈ X.

Calcularemos a continuacion M⊥. Para ello, sea x = (xn)n∈N⊥M.Como los elementos vn = (0, . . . , 0, n,−(n + 1), 0, . . . ) estan en M, enparticular x⊥vn, ∀n. Tenemos ası:

0 = 〈x, v1〉 = x1 − 2x2 =⇒ x2 = x1/2,

0 = 〈x, v2〉 = 2x2 − 3x3 = 0 =⇒ x3 = 2x2/3 = x1/3,

...0 = 〈x, vn〉 = nxn − (n + 1)xn+1 = 0 =⇒ xn+1 = nxn/(n + 1) = x1/(n + 1).

De lo anterior se deduce que x 6∈ X pues x no tiene soporte finito;entonces M⊥ = 0.

11. Probar que Y = x = (ξn)n∈N ∈ `2 : ξ2n = 0, n ∈ N es sub-espacio cerrado de `2 y encontrar Y ⊥. ¿Quien es Y ⊥ si Y =〈e1, . . . , en〉 ⊂ `2, con ek = (δkj)j∈N?

Resp.: a) Es facil ver que Y es subespacio.

Para probar que es cerrado, sea x ∈ Y . Por definicion, ∃xnn∈N ⊂Y : xn → x.

Si x 6∈ Y, ∃k ∈ N : ξ2k 6= 0. Entonces ‖xn − x‖ ≥ |ξ2k|. Esto pruebaque existe ε > 0 tal que ∀N > 0, ‖xn − x‖ ≥ ε, ∀n > N , con lo quexn 6→ x, en contradiccion con la suposicion inicial.

Para determinar Y ⊥, sea y ∈ Y ⊥ =⇒ 〈x, y〉 = 0, ∀x ∈ Y =⇒∑n∈N ξn ηn = 0.

En particular, eligiendo los elementos e2k+1 ∈ Y , 〈e2k+1, y〉 = η2k+1 =0. Esto implica que

Y ⊥ = y = (ηn)n∈N ∈ `2 : η2n+1 = 0, n ∈ N.

131

b) Si Y = 〈e1, . . . , en〉, todo elemento y = (ηn)n∈N ∈ Y ⊥, verificaηk = 〈y, ek〉 = 0, ∀k = 1, . . . , n. Esto implica que

Y ⊥ = 〈en+1, . . . 〉 = y = (ηn)n∈N ∈ `2 : ηk = 0, k = 1, . . . , n.

12. Sea X un espacio de Hilbert y f ∈ X ′, f 6= 0. Si llamamos M alnucleo de f , probar que dim M⊥ = 1.

Resp.: Como M es subespacio cerrado de X, X = M ⊕M⊥ y M⊥ 6=0. Sea m0 ∈ M⊥ tal que f(m0) = 1.

Dado cualquier x ∈ M⊥, si llamamos a = f(x), tenemos

f(x) = a = a ·f(m0) = f(am0) =⇒ f(x−am0) = 0 =⇒ x−am0 ∈ M.

Como x = 0 + x = (x− am0) + am0 y la descomposicion es unica, sededuce que x = am0.

Esto proporciona la siguiente interpretacion geometrica de cualquierf ∈ X ′ :

Existe un subespacio M de codimension 1 en X (es decir, un hiper-plano) sobre cuyos elementos f toma el valor cero. Existe ademas unvector x ortogonal a dicho hiperplano (es decir que genera el subespa-cio unidimensional M⊥); el valor de f sobre un elemento y se obtienemediante la proyeccion ortogonal de y sobre M⊥; ası, si la proyecciones kx, f(y) = k‖x‖2.

M⊥

y ∈ X : f(y) = k‖x‖2

M

132

13. En el espacio φ de las sucesiones con soporte finito se considerael conjunto

S = (λn) ∈ φ :∑

k∈Nλk/k = 0.

Probar que S⊥ = 0.

Resp.: Consideremos el conjunto S1 = x2, x3, . . . , donde, para cadan ≥ 2, xn = (1, 0, . . . , 0,−n, 0 . . . ) (donde −n ocupa el lugar n-esimo).

Entonces S1 ⊂ S pues si x ∈ S1,∑

k∈N λk/k = 1 +−n/n = 0 =⇒ x ∈S.

Como S⊥ ⊂ S⊥1 , basta probar que S⊥

1 = 0.

Sea pues y ∈ S⊥1 ; entonces 〈y, xn〉 = 0, de donde y1 − nyn = 0, ∀n.

Como el soporte de y es finito, yk = 0, ∀k > N ; en particular 0 =〈y, xN+1〉 = y1 =⇒ y1 = 0 lo que implica a su vez que yn = 0, ∀n.

14. Encontrar los complementos ortogonales en L2(0, 1) de los si-guientes conjuntos:

a) Los polinomios en x.

b) Los polinomios en x2.

c) Los polinomios con termino independiente cero.

d) Los polinomios cuya suma de coeficientes es cero.

Resp.: El complemento ortogonal es 0 en todos los casos.

* Es sabido que el espacio de los polinomios es denso en L2. Bastaprobar pues que todos los polinomios estan en la clausura de losconjuntos dados.

* Para el apartado b), basta observar que

x =√

1− (1− x2) =∞∑

n=0

(−1)n

(1/2n

)(1− x2)n

si 0 < x <√

2, y x esta en la clausura del espacio generado porlos polinomios en x2.

133

* Para el apartado c), basta observar que

1 = x · 11 + (x− 1)

= x ·∞∑

n=0

(−1n

)(x− 1)n

si 0 < x < 2, de modo que 1 es lımite de una sucesion de polino-mios en x.

* Para el apartado d), observar que

xk =∞∑

n=0

(xk+n − xk+n+1), ∀k.

15. En el espacio C[−1, 1] con el producto 〈f, g〉 =∫ 1−1 f(x) g(x)dx, se

pide encontrar los complementos ortogonales de los siguientesconjuntos:

a) Las funciones que se anulan para x ≤ 0.

b) Las funciones que se anulan en x = 0.

Resp.: a) Claramente, M⊥ = f ∈ C[−1, 1] : f(x) = 0, ∀x ≥ 0.

b) Veamos que M⊥ = 0.

En efecto, por definicion, f ∈ M⊥ ⇐⇒ 〈f, g〉 = 0, ∀g ∈ M . Si fueraf no nula, ∃x0 ∈ [−1, 1] : f(x0) 6= 0. Entonces ∃δ > 0 : f(x) 6= 0,∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

En caso de que f(0) = 0, haciendo g(x) = f(x), ∀x ∈ [−1, 1], ten-drıamos

0 = 〈f, g〉 =∫ 1

−1|f(x)|2dx =⇒ f = 0.

Ası pues, debe ser f(0) 6= 0; entonces ∃δ > 0 : f(x) 6= 0, ∀x ∈ (−δ, δ).

Haciendo g(x) =

f(x) si |x| > δ|x|f(x)

δ si |x| < δ,resulta

0 = 〈f, g〉 ≥∫|x|>δ

|f(x)|2dx ≥ 0.

Esto implica que f(x) = 0 si |x| > δ, ∀δ, de modo que f = 0.

134

16. Si X es un espacio pre-Hilbert y S ⊂ X, probar:

a) S⊥ es subespacio cerrado de X.

b) S ⊂ S⊥⊥.

c) S1 ⊂ S2 =⇒ S⊥1 ⊃ S⊥

2 .

d) Si X es de Hilbert, M , N subespacios cerrados de X y M⊥N,entonces M + N es subespacio cerrado.

e) Si X es de Hilbert, entonces 〈S〉 es denso en X si y solo siS⊥ = 0.

Resp.: a) Es evidente que S⊥ es subespacio. Para ver que es cerrado,sea y ∈ S⊥; entonces ∃(xn)n∈N ⊂ S⊥ : xn → y. Sea z ∈ S arbitrario:

|〈y, z〉| = |〈y − xn, z〉+ 〈xn, z〉| = |〈y − xn, z〉| ≤ ‖y − xn‖ · ‖z‖ → 0.

Esto implica que y ∈ S⊥.

b) y ∈ S =⇒ 〈y, z〉 = 0, ∀z ∈ S⊥ =⇒ y ∈ S⊥⊥.

c) y ∈ S⊥2 =⇒ 〈y, z〉 = 0, ∀z ∈ S2 =⇒ 〈y, z〉 = 0, ∀z ∈ S1 =⇒ y ∈ S⊥

1 .

d) Sea x ∈ M + N ; entonces ∃(xn)n∈N ⊂ M + N : xn → x. Comoxn = yn + zn, con yn ∈ M, zn ∈ N , por el teorema de Pitagoras,

‖xn − xm‖2 = ‖yn − ym‖2 + ‖zn − zm‖2

y como ‖xn − xm‖ → 0, entonces ‖yn − ym‖ → 0 y ‖zn − zm‖ → 0.Por ser M y N cerrados, ∃y ∈ M, z ∈ N : yn → y, zn → z =⇒ xn →y + z = x =⇒ x ∈ M + N.

e) Supongamos que 〈S〉 es denso en X y sea y ∈ S⊥. Entonces

〈y, x〉 = 0, ∀x ∈ S =⇒ 〈y, z〉 = 0, ∀z ∈ 〈S〉 =⇒ 〈y, u〉 = 0, ∀u ∈ 〈S〉 = X.

Por tanto, y = 0.

Recıprocamente, de la descomposicion X = S⊥⊕S⊥⊥, deducimos quetodo x ∈ X se escribe como x = y+z, con y ∈ S⊥, z ∈ S⊥⊥, de dondex = z.

Como S⊥⊥ ⊃ S, entonces S⊥⊥ ⊃ 〈S〉. Ahora bien, como S ⊂ 〈S〉,entonces S⊥ ⊃ 〈S〉⊥ y S⊥⊥ ⊂ 〈S〉. Esto prueba que 〈S〉 = S⊥⊥ y, enconsecuencia, x ∈ 〈S〉.

135

17. Sea H un espacio de Hilbert complejo.

a) Probar que toda proyeccion ortogonal E es idempotente (esdecir, E2 = E) y autoadjunta (es decir, 〈Ex1, x2〉 = 〈x1, Ex2〉).

b) Probar el recıproco de lo anterior, es decir que todo operadorautoadjunto e idempotente en H es una proyeccion ortogonal.

Resp.: a) Dado cualquier x ∈ X, ∃y ∈ M, z ∈ M⊥ : x = y + z, dedonde Ex = y, E2x = Ey = y = Ex lo que implica que E2 = E.

Ademas, si hacemos x1 = y1+z1, x2 = y2+z2, con y1, y2 ∈ M, z1, z2 ∈M⊥ :

〈Ex1, x2〉 = 〈y1, x2〉 = 〈y1, y2〉+〈y1, z2〉 = 〈y1, y2〉 = 〈x1, y2〉 = 〈x1, Ex2〉.

b) Sea E : X → X autoadjunto e idempotente. Veamos en primerlugar que E es acotado:

xn → x =⇒ ‖E(xn − x)‖2 = 〈E(xn − x), E(xn − x)〉= 〈xn − x,E2(xn − x)〉 = 〈xn − x,E(xn − x)〉 → 0 =⇒ Exn → Ex.

Si definimos M = x ∈ X : Ex = x, veamos que M es cerrado:

Si x ∈ M, ∃(xn)n∈N ∈ M : xn → x, de donde Exn → Ex. Ahora bien,como Exn = xn, xn → Ex y, por la unicidad del lımite, Ex = x =⇒x ∈ M.

Sean ahora x ∈ X, y ∈ M ; entonces

〈x− Ex, y〉 = 〈x, y〉 − 〈Ex, y〉 = 〈x,Ey〉 − 〈x,Ey〉 = 0,

lo que implica que x− Ex⊥M .

Por ultimo, si z = x−Ex, x = Ex+z, con Ex ∈ M, z ∈ M⊥. AdemasEz = Ex− E2x = Ex− Ex = 0.

18. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que si P ∈ L(H) es unaproyeccion ortogonal, entonces H = R(P )⊕R(I−P ), suma directaortogonal.

Resp.: Si P es proyeccion ortogonal, por definicion existe un subes-pacio cerrado M de H tal que, si x ∈ H se descompone en x = y + zcon y ∈ M, z ∈ M⊥, entonces Px = y.

136

Es evidente entonces que R(P ) = M y R(I − P ) = M⊥; por tantoH = R(P )⊕R(I − P ) y ademas R(P )⊥R(I − P ).

19. Probar que las siguientes proposiciones son equivalentes en unespacio de Hilbert H:

i) P ∈ L(H) es una proyeccion ortogonal.

ii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥R(I − P ).

iii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥ = x ∈ H : P (x) = 0.

Resp.: i) =⇒ ii). Es evidente (ver el ejercicio anterior).

ii) =⇒ iii). Como ∀x ∈ H, x = Px + (I − P )x, entonces H = R(P ) +R(I − P ). Ademas, por hipotesis, R(P )⊥R(I − P ) lo que prueba queH = R(P )⊕R(I − P ), es decir, R(P )⊥ = R(I − P ).

Basta pues probar que R(I − P ) = N(P ). En efecto,

y ∈ R(I − P ) =⇒ ∃x ∈ H : y = x− Px

=⇒ Py = Px− P 2x = Px− Px = 0 =⇒ y ∈ N(P ),x ∈ N(P ) =⇒ Px = 0 =⇒ x− Px = x =⇒ x ∈ R(I − P ).

iii) =⇒ i). Sea M = R(P ). Ası, M es subespacio de H. Ademas,M es cerrado, pues M = N(I − P ) (lo que se prueba analogamenteal apartado anterior). Por hipotesis, M⊥ = N(P ). Entonces, dadosy ∈ M, z ∈ M⊥:

P (y + z) = Py + Pz = Py = y =⇒ P es la proyeccion sobre M.

20. En `2 se considera la sucesion enn≥1 definida por en = (δnk)k≥1

y el conjunto M = e2n−1 + e2n : n ≥ 1.

a) Identificar los subespacios cerrados M⊥ y M⊥⊥ en `2.

b) Sean P y Q las proyecciones ortogonales tales que R(P ) = M⊥

y R(Q) = M⊥⊥. Si a = (ak)k∈N ∈ `2, probar que P (a) = (bk)k∈N,donde b2k−1 = −b2k = (a2k−1 − a2k)/2, k ≥ 1; y que Q(a) = (ck)k∈N,donde c2k−1 = c2k = (a2k−1 + a2k)/2, k ≥ 1.

137

Resp.: a) Por definicion,

y ∈ M⊥ ⇐⇒ 〈y, e2n−1 + e2n〉 = 0 ⇐⇒ y2n−1 + y2n = 0.

Por tanto, M⊥ = y ∈ `2 : y2n−1+y2n = 0, n ≥ 1 = 〈e2n−1 − e2n : n ≥ 1〉.

Por otra parte,

y ∈ M⊥⊥ ⇐⇒ 〈y, e2n−1 − e2n〉 = 0 ⇐⇒ y2n−1 − y2n = 0.

Ası pues, M⊥⊥ = y ∈ `2 : y2n−1 − y2n = 0 = 〈M〉.

b) Si a ∈ `2,

a = (. . . , a2k−1, a2k, . . . ) =∑

k

λk(e2k−1 − e2k) +∑

k

µk(e2k−1 + e2k).

Entonces

λk + µk = a2k−1

−λk + µk = a2k

=⇒ λk =

a2k−1 − a2k

2, µk =

a2k−1 + a2k

2.

Como Pa =∑k∈N

λk(e2k−1− e2k), Qa =∑k∈N

µk(e2k−1 + e2k), deducimos

que

Pa = (λ1,−λ1, λ2,−λ2, . . . ), con λk = (a2k−1 − a2k)/2,

Qa = (µ1, µ1, µ2, µ2, . . . ), con µk = (a2k−1 − a2k)/2.

21. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio cerrado de H yT ∈ L(H). Se dice que M es invariante bajo T si Tx ∈ M, ∀x ∈ M ,y que M reduce a T si M y M⊥ son invariantes bajo T . SeaP ∈ L(H) la proyeccion ortogonal tal que R(P ) = M .

a) Probar que M es invariante bajo T si y solo si PTP = TP .

b) Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) M reduce a T .

ii) PT = TP .

iii) M es invariante bajo T y T ∗.

138

Resp.: a) =⇒: ∀x ∈ H, x = y + z, con y ∈ M , z ∈ M⊥. Entonces(PTP )x = P (Ty) = Ty pues Ty ∈ M . Como y = Px, (PTP )x =TPx.

⇐=: Si x ∈ M , Tx = TPx = P (TP )x que, por definicion, esta en M .

b) i) =⇒ ii): ∀x ∈ H, escribimos x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M⊥. Porhipotesis, Ty ∈ M, Tz ∈ M⊥. Entonces

PTx = PTy + PTz = Ty = TPx.

ii) =⇒ iii): Como P es la proyeccion sobre M , ∀x ∈ M,

Px = x =⇒ TPx = Tx =⇒ P (Tx) = Tx =⇒ Tx ∈ M.

Por otra parte, para cualquier y ∈ M⊥,

〈T ∗x, y〉 = 〈x, Ty〉 = 〈Px, Ty〉 = 〈x, PTy〉= 〈x, TPy〉 = 〈x, T0〉 = 〈x, 0〉 = 0 =⇒ T ∗x⊥M⊥ =⇒ T ∗x ∈ M.

iii) =⇒ i): Solo falta ver que ∀x ∈ M⊥, Tx ∈ M⊥. Pero si x ∈ M⊥,entonces 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉 = 0, ∀y ∈ M, pues M es invariante bajoT ∗. Esto muestra que Tx ∈ M⊥.

22. En C1[a, b] definimos 〈f, g〉 =∫ ba

(f(x) g(x) + f ′(x) g′(x)

)dx.

a) Probar que 〈·, ·〉 es un producto escalar en C1[a, b].

b) Probar que ∀f ∈ C1[−π, π],∣∣∣∫ π−π

(f(x) cos x−f ′(x) sen x

)dx∣∣∣ ≤ √

2π[∫ π

−π

(|f(x)|2+|f ′(x)|2

)dx]1/2

.

c) Probar que la familia (gn)n∈Z, donde gn(x) = einx√2π(1+n2)

, es un

sistema ortonormal en C1[−π, π].

d) Si W = f ∈ C1[−π, π] : f(−π) = f(π), probar que la funcionf(x) = shx es ortogonal a W . Deducir que la familia gnn∈Z enc) no es base ortonormal de C1[−π, π].

Resp.: a) Como 〈f, f〉 =∫ ba |f(x)|2dx+

∫ ba |f

′(x)|2dx, entonces 〈f, f〉 ≥0.

Ahora bien, si 〈f, f〉 = 0, como f es continua, f(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

139

El resto de axiomas se deduce de la linealidad de la integral.

b) Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las funcionesf ∈ C1[−π, π] y g(x) = cos x y tener en cuenta que ‖g‖2 = 2π.

c) Por la definicion,

〈gn, gm〉 =∫ π

−π

[einx√

2π(1+n2)· e−imx√

2π(1+m2)+

ineinx√2π(1+n2)

· −ime−imx√2π(1+m2)

]dx

=1 + nm

2π√

(1 + n2)(1 + m2)

∫ π

−πei(n−m)xdx =

0 si n 6= m

1 si n = m.

d) Sea g ∈ W arbitrario. Integrando por partes,∫ π

−πf ′(x) g′(x)dx = f ′(x) g(x)

∣∣π−π

−∫ π

−πf ′′(x) g(x)dx.

Como g(π) = g(−π) = 0 y f ′′(x) = f(x), resulta:

〈f, g〉 =∫ π

−πf(x) g(x)dx +

∫ π

−πf ′(x) g′(x)dx

=∫ π

−πf(x) g(x)dx−

∫ π

−πf ′′(x) g(x)dx = 0.

De aquı se deduce que W⊥ 6= 0 y, como las funciones gn de la familiaortogonal estan en W , no forman una base ortonormal.

23. Sea f ∈ C(m)[−1, 1]. Probar que los coeficientes de Legendre de f

son ak =

√2k + 1

2· 12k · k!

∫ 1

−1f (k)(t)(1− t2)kdt, k ≤ m.

Resp.: Teniendo en cuenta que pk(x) =√

2k+12 · 1

2k·k!· dk

dxk (x2 − 1)k,

obtenemos integrando por partes:

ak =

√2k + 1

2· 12k · k!

∫ 1

−1f(x) · dk

dxk(x2 − 1)kdx

=

√2k + 1

2· 12k · k!

· (−1)k

∫ 1

−1f (k)(x) · (x2 − 1)kdx

=

√2k + 1

2· 12k · k!

∫ 1

−1f (k)(x) · (1− x2)kdx.

140

24. Encontrar mına,b,c∈C

∫ 1

−1|x3 − a− bx− cx2|2dx.

Resp.: Si D2 = mına,b,c∈C∫ 1−1 |x

3−a− bx− cx2|2dx, D es la distanciaen L2[−1, 1] de x3 al plano generado por 1, x, x2, es decir, la distanciade x3 al plano generado por 1/

√2,√

3/2 ·x,√

5/2 · (1/2) · (3x2− 1).

Si αp0 + βp1 + γp2 es la proyeccion de x3 sobre dicho plano, entonces:

0 =∫ 1

−1(x3 − αp0 − βp1 − γp2)p0dx =

1√2

∫ 1

−1(x3 − α)dx =⇒ α = 0,

0 =∫ 1

−1(x3 − αp0 − βp1 − γp2)p1dx =

√32

∫ 1

−1(x4 − β)dx =⇒ β =

√32· 25,

0 =∫ 1

−1(x3 − αp0 − βp1 − γp2)p2dx=

√52· 12

∫ 1

−1((3x2 − 1)x3 − γ)dx =⇒ γ = 0.

Deducimos entonces que D2 =∫ 1−1

∣∣x3 − (3/5)x∣∣2dx = (2/7)− (6/25),

de donde D =√

8/175.

25. Encontrar las series de Fourier de las siguientes funciones defi-nidas en L2[−π, π] y utilizar la identidad de Parseval para deducircada una de las formulas enunciadas:

a) f(x) = x,∑

n≥1 1/n2 = π2/6.

b) f(x) = x2,∑

n≥1 1/n4 = π4/90.

Resp.: Utilizaremos el conjunto eikx√

2π: k ∈ Z como base ortonormal

de L2(−π, π).

a) Como f(x) =∑∞

k=−∞ ak · eikx√

2π, donde ak = 〈f, eikx/

√2π〉, obtene-

mos a0 = 0 y, para k 6= 0:

ak =∫ π

−πx · e−ikx

√2π

dx =x

−ik· e−ikx

√2π

∣∣∣π−π

+∫ π

−π

e−ikx

ik√

2πdx

=−π

ik· (−1)k

√2π

− π(−1)k

ik√

2=−π

ik· 2√

2π(−1)k.

Entonces

x =∑

k∈Z,k 6=0

(−1)k+1 eikx

ik.

141

Teniendo en cuenta que ‖f‖2 =∫ π−π x2dx = 2

3π3 y

∞∑−∞

|ak|2 =∑k 6=0

π2

k2· 42π

=∑k 6=0

2π

k2,

aplicando la identidad de Parseval ‖x‖2 =∑∞

k=−∞ |ak|2, resulta que

∑k 6=0

1k2

=π2

3=⇒

∞∑k=1

1k2

=π2

6.

b) Analogamente al caso anterior, tenemos:

ak =∫ π

−πx2 · e−ikx

√2π

dx =1√2π

· 4π

k2(−1)k, k 6= 0;

a0 =1√2π

· 23π3.

Nuevamente, de la identidad de Parseval,

‖f(x)‖2 =∫ π−π x4dx = 2π5

5∑∞k=−∞ |ak|2 = 2

9π5 +∑

k 6=012π ·

16π2

k4

=⇒

∞∑k=1

1k4

=π4

90.

26. Sea X un espacio pre-Hilbert y A = (xα)α∈I un conjunto orto-normal completo. Encontrar el elemento de mejor aproximaciona x ∈ X en el subespacio M = 〈A〉.

Resp.: Como X = M ⊕ M⊥, todo x ∈ X se descompone de formaunica como x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M⊥. Pero, por hipotesis,

y =∑α∈I

〈y, xα〉xα =∑α∈I

〈x− z, xα〉xα =∑α∈I

〈x, xα〉xα.

Por tanto, ‖x−∑

α∈I〈x, xα〉xα‖ ≤ ‖x−∑

α∈I λαxα‖, ∀λα ∈ E, lo queprueba que la proyeccion de x sobre M produce la mejor aproximacionen M .

142

27. Sea H un espacio de Hilbert y e1, . . . , en un conjunto lineal-mente independiente. Dado x ∈ H, calcular la distancia de x alsubespacio generado por e1, . . . , en. Deducir de lo anterior ladesigualdad de Bessel.

Resp.: Llamamos M al subespacio generado por e1, . . . , en.

Si escribimos x = x1 + x2, con x1 ∈ M, x2 ∈ M⊥, sabemos que‖x− x1‖ = d(x,M).

El problema se reduce pues a calcular x1, la proyeccion ortogonal dex en M.

Llamamos v1, . . . , vn a la base ortonormal obtenida de e1, . . . , enpor el proceso de Gram- Schmidt. Como x1 =

∑ni=1 αivi y x−x1⊥vk, ∀k,

entonces αi = 〈x, vi〉, de donde x1 =∑n

i=1〈x, vi〉vi.

Ademas

d(x,M)2 = ‖x−n∑

i=1

〈x, vi〉vi‖2

= ‖x‖2 −n∑

i=1

〈x, vi〉〈vi, x〉 −n∑

i=1

〈x, vi〉〈x, vi〉+n∑

i=1

|〈x, vi〉|2

= ‖x‖2 −n∑

i=1

|〈x, vi〉|2.

De aquı se deduce inmediatamente la desigualdad de Bessel.

28. Sea H un espacio de Hilbert y M ⊂ H un subespacio vectorial. SiM 6= H, probar que existe y ∈ H, y 6= 0, tal que y⊥M . Concluirque M es denso si y solo si el unico elemento ortogonal a M esy = 0.

Resp.: a) Es claro que ( M, 〈·, ·〉) es de Hilbert. Por tanto, existe unconjunto ortonormal completo de M , que denotaremos por xαα∈I .

Dado z ∈ H\M, z 6= 0, definimos y = z−∑

α∈I〈z, xα〉xα. Ası definido,〈y, xα〉 = 0, lo que implica que y⊥xαα∈I y tambien y⊥M.

b) Es evidente que si M es denso en H, e y⊥M , entonces y⊥M , dedonde y = 0.

Recıprocamente, si M no fuera denso, por a) existirıa y ∈ H, y 6= 0tal que y⊥M y en particular y⊥M lo que contradice la hipotesis.

143

29. Sea enn∈N una sucesion ortonormal en un espacio pre-HilbertX e Yk el espacio generado por e1, . . . , ek.

a) Si x ∈ X, y =∑k

n=1〈x, en〉en, probar que x− y⊥Yk.

b) Si x ∈ X, y =∑k

n=1 βnen, probar que ‖x− y‖ es mınimo en Yk

si βn = 〈x, en〉, n = 1, . . . , k.

Resp.: a) Sea z =∑k

n=1 γnen un elemento arbitrario de Yk. Entonces

〈x− y, z〉 = 〈x, z〉 − 〈y, z〉 =k∑

n=1

γn〈x, en〉 −k∑

n=1

αn〈en, z〉 = 0.

b) Teniendo en cuenta que x− y ∈ Y ⊥k , y − z ∈ Yk, resulta:

‖x−z‖2 = ‖x−y +y−z‖2 = ‖x−y‖2 +‖y−z‖2 ≥ ‖x−y‖2, ∀z ∈ Yk.

30. Sea enn∈N una sucesion ortonormal en X y x ∈ X. Probar queel numero mk de coeficientes de Fourier 〈x, en〉 de x tales que|〈x, en〉| > 1/k verifica mk < k2‖x‖2 (esto quiere decir que x notiene demasiados coeficientes de Fourier “grandes”).

Resp.: Si llamamos Ek = 〈x, en〉 : |〈x, en〉| > 1/k y elegimos los ele-mentos e1, . . . , emk

tales que 〈x, e1〉, . . . , 〈x, emk〉 ⊂ Ek, entonces

por la desigualdad de Bessel,

mk∑n=1

|〈x, en〉|2 ≤ ‖x‖2 =⇒ mk ·1k2

< ‖x‖2 =⇒ mk < k2 · ‖x‖2.

31. Sea µ la medida en R definida por µ(A) = card(A), ∀A ⊂ R.Probar que L2(R, µ) es no separable e isomorfo al espacio de lospolinomios trigonometricos (combinaciones lineales de eiλx, λ ∈R).

144

Resp.: Sea fλ(x) =

1 si x = λ

0 si x 6= λ.Entonces fλλ∈R es base orto-

normal de L2(R, µ).

Como no es numerable, el espacio no es separable.

Por otra parte, la aplicacion fλ 7→ eiλx es un isomorfismo entre ambosespacios. Ademas es isometrıa pues:

〈fλ1 , fλ2〉 =∫

Rfλ1(x) fλ2(x)dµ(x) =

∫∪

x∈Rx

|fλ1(x)|2dµ(x) = 1.

32. Sea X un espacio de Hilbert. Probar que si X contiene una su-cesion ortonormal completa, entonces X es separable.

Resp.: Si X no fuera separable, todo subconjunto denso en X serıano numerable.

Sin embargo si enn∈N es una sucesion ortonormal completa, M =〈enn∈N〉 y todo x ∈ X serıa de la forma x =

∑n∈N〈x, en〉en, es decir

x ∈ M.

33. Sea enn∈N una sucesion ortonormal en un espacio de Hilbert Hy M1 = 〈enn∈N〉.

a) Probar que ∀x ∈ H, x ∈ M1 ⇐⇒ x =∑

n∈N αnen, con αn =〈x, en〉.

b) Si enn∈N es otra sucesion ortonormal en H y definimos M2 =〈enn∈N〉, probar que M1 = M2 ⇐⇒ en =

∑m∈N αnmem, en =∑

m∈N αmnem, con αnm = 〈en, em〉.

Resp.: a) “=⇒”Llamamos y =∑

n∈N〈x, en〉en (ya se probo que laserie es convergente). Entonces:

〈x−y, ek〉 = 〈x, ek〉−∑n∈N

〈x, en〉〈en, ek〉 = 0 =⇒ x−y⊥M1 =⇒ x−y⊥M1.

Mediante la descomposicion H = M1⊕ M1⊥, sabemos que x = y + z,

con y ∈ M1, z ∈ M1⊥. Como, por hipotesis, x ∈ M1, deducimos que

y = x.

145

“⇐=Como la serie∑

n∈N〈x, en〉en es convergente, lımn Sk = x, dondeSk =

∑kn=1 αnen. Esto implica que x ∈ M1 porque la sucesionSkn∈N ⊂

M1 converge a x.

b) “=⇒.Aplicando el apartado a), obtenemos:

en ∈ M1 =⇒ en ∈ M2 =⇒ en =∑m∈N

αnmem, con αnm = 〈en, em〉

en ∈ M2 =⇒ en ∈ M1 =⇒ en =∑m∈N

αmnem, con αmn = 〈en, em〉 = 〈em, en〉.

“⇐=”Nuevamente del apartado a), resulta:

x ∈ M1 ⇐⇒ x =∑n∈N

αnen, con αn = 〈x, en〉 =∑m∈N

αnm〈x, em〉

⇐⇒ x =∑n∈N

∑m∈N

αnm〈x, em〉en =∑m∈N

〈x, em〉em ⇐⇒ x ∈ M2.

34. Sea ekk∈N una base ortonormal en un espacio de Hilbert H y(µk)k∈N una sucesion acotada de numeros complejos, con M =sup|µk|, k ∈ N.

a) Probar que existe un unico T ∈ L(H) tal que Tek = µkek.

b) Probar que ‖T‖ = M .

c) Encontrar T ∗ y calcular su norma.

d) Probar que T es normal, es decir TT ∗ = T ∗T ..

e) ¿Que propiedad debe cumplir la sucesion (µk)k∈N para que Tsea autoadjunto?

f) Probar que, si |µk| > 1, para todo k, entonces existe T−1 ∈L(H).

Resp.: a) Basta definir Tx =∞∑

k=1

µk〈x, ek〉ek pues ∀x ∈ H, x =

∞∑k=1

〈x, ek〉ek.

La unicidad es evidente.

146

T es claramente lineal y, por la identidad de Parseval,

‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 =∞∑

k=1

|µk|2|〈x, ek〉|2 ≤ M2 · ‖x‖2

lo que implica que T es acotado y ‖T‖ ≤ M.

b) En particular,

‖Tek‖ = ‖µkek‖ = |µk| =⇒ ‖T‖ ≥ |µk|, ∀k =⇒ ‖T‖ ≥ M.

De aquı se deduce que ‖T‖ = M .

c) Como 〈Tek, ek〉 = 〈µkek, ek〉 = µk, entonces 〈ek, T∗ek〉 = µk y

deducimos que T ∗ek = µkek.

Ası definido, T ∗ es lineal y acotado con ‖T ∗‖ = ‖T‖.

d) Veamos que TT ∗ = T ∗T :

T ∗Tek = T ∗(µkek) = µkµkek = |µk|2ek,

TT ∗ek = T ( µkek) = µk µkek = |µk|2ek.

e) Evidentemente, T = T ∗ si (µk)k∈N ⊂ R.

f) Si |µk| > 1, 1 = ‖ek‖ < |µk| = ‖Tek‖ =⇒ ∃T−1 ∈ L(H).

35. Sea X un espacio normado e Y un espacio pre-Hilbert. Si unoperador T : X → Y es lineal y acotado, probar que ‖T‖ = supA,donde

A =|〈Tx, y〉|‖x‖ · ‖y‖

: ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1

.

Resp.: Por la desigualdad de Cauchy- Schwarz,

|〈Tx, y〉|‖x‖ · ‖y‖

≤ ‖Tx‖ · ‖y‖‖x‖ · ‖y‖

≤ ‖T‖ · ‖x‖ · ‖y‖‖x‖ · ‖y‖

= ‖T‖ =⇒ supA ≤ ‖T‖.

Por otra parte, como x/‖x‖ y Tx/‖Tx‖ tienen norma 1, entonces∣∣〈T (x/‖x‖), Tx/‖Tx‖〉∣∣ ∈ A. Por tanto:∣∣〈T (

x

‖x‖),

Tx

‖Tx‖〉∣∣ = 1

‖x‖ · ‖Tx‖|〈Tx, Tx〉| = ‖Tx‖

‖x‖≤ supA.

De aquı se deduce que sup‖x‖≤1 ‖Tx‖/‖x‖ ≤ supA con lo que ‖T‖ ≤supA.

147

36. Averiguar si la implicacion 〈Tx, x〉 = 0, ∀x ∈ X =⇒ T = 0 escierta en los siguientes casos:

a) H espacio de Hilbert real y T ∈ L(H).

b) H espacio de Hilbert complejo y T ∈ L(H).

c) H espacio de Hilbert y T = T ∗.

Resp.: a) La implicacion anterior no es cierta como se muestra con elsiguiente ejemplo:

En el espacio H = R2 definimos T (1, 0) = (0, 1), T (0, 1) = (−1, 0); esevidente que T 6= 0 pero 〈Tx, x〉 = 0, ∀x ∈ H, pues T (a, b) = (−b, a).

b) Sean x, y ∈ H y α ∈ C arbitrarios. Entonces:

0 = 〈T (x + αy), x + αy〉 = 〈Tx, x〉+ α〈Ty, x〉+ α〈Tx, y〉+ 〈T (αy), αy〉= α〈Ty, x〉+ α〈Tx, y〉.

En particular, si α ∈ R, 0 = 〈Ty, x〉+〈Tx, y〉 y, si α = i, 0 = 〈Ty, x〉−〈Tx, y〉. Al resolver el sistema obtenemos 〈Tx, y〉 = 0, ∀x, y ∈ H de loque se deduce que T = 0 y la implicacion es cierta.

c) En el capıtulo VII se prueba (teorema de Hellinger-Toeplitz) quetodo operador lineal autoadjunto es acotado; esto indica que, si H escomplejo, la implicacion es cierta, como se deduce de b). Ahora bien,si H es real, entonces, para cualesquiera x, y ∈ H, tenemos:

0 = 〈T (x+y), x+y〉 = 〈Ty, x〉+〈Tx, y〉 = 〈y, Tx〉+〈Tx, y〉 = 2〈Tx, y〉

y la implicacion tambien es cierta.

37. Probar que el teorema de representacion de Riesz permite definirun producto escalar en el dual de un espacio de Hilbert. Probarque la norma asociada a dicho producto escalar coincide con lanorma usual de operadores.

Resp.: Sean f1, f2 ∈ X ′. Por el teorema de representacion de Riesz,existen x1, x2 ∈ X tales que f1(y) = 〈y, x1〉, f2(y) = 〈y, x2〉, ∀y ∈ X.

Definimos en X ′ el producto 〈f1, f2〉 = 〈x2, x1〉.

148

• Como (f1 + f2)(y) = f1(y) + f2(y) = 〈y, x1〉+ 〈y, x2〉 = 〈y, x1 + x2〉,entonces

〈f1 + f2, f3〉 = 〈x3, x1 + x2〉 = 〈x3, x1〉+ 〈x3, x2〉 = 〈f1, f3〉+ 〈f2, f3〉.

• Como (λf1)(y) = λf1(y) = λ〈y, x1〉 = 〈y, λx1〉, entonces

〈λf1, f2〉 = 〈x2, λx1〉 = λ〈x2, x1〉 = λ〈f1, f2〉.

• 〈f1, f1〉 = 〈x1, x1〉 = ‖x1‖2 ≥ 0.

La norma asociada es ‖f‖2 = 〈f, f〉 = 〈x, x〉, es decir ‖f‖ = ‖x‖ ycoincide con la norma usual.

38. a) Si X es un espacio pre-Hilbert y z ∈ X, probar que fz(x) =〈x, z〉 define un funcional lineal acotado f sobre X de norma ‖z‖.

b) Si la aplicacion X → X ′ dada por z 7→ fz es sobre, probar queX es de Hilbert.

Resp.: a) Es evidente que fz es lineal.

Como |fz(x)| = |〈x, z〉| ≤ ‖x‖ · ‖z‖, entonces ‖fz‖ ≤ ‖z‖.

Por otra parte, de |fz(z)| = |〈z, z〉| = ‖z‖2, se deduce que ‖fz‖ ≥ ‖z‖.

b) Sea xnn∈N una sucesion de Cauchy en X. Debido a que

fxn−xm(y) = 〈y, xn〉 − 〈y, xm〉 = fxn(y)− fxm(y) = (fxn − fxm)(y),

la sucesion fxnn∈N es de Cauchy en X ′ porque ‖fxn − fxm‖ = ‖xn−xm‖ → 0. Esto implica que ∃f ∈ X ′ : fxn → f . Por tanto, ∃x ∈ X :f = fx. Ası pues, ‖fxn − fx‖ = ‖xn − x‖ → 0.

39. Probar que todo espacio de Hilbert H es isomorfo a su segundodual H ′′ = (H ′)′.

Resp.: Si probamos que H es isometrico a H ′, como H ′ es tambiende Hilbert, entonces H ′ ' H ′′ y por la transitividad, H ' H ′′.

Por el teorema de representacion de Riesz,

∀f ∈ H ′, ∃z ∈ H : f(x) = 〈x, z〉, ∀x ∈ H

149

y ‖f‖ = ‖z‖.

Definimos T : H ′ → H por Tf = z y probemos que T es un isomorfis-mo isometrico.

• T es lineal: Si f1(x) = 〈x, z1〉 y f2(x) = 〈x, z2〉, entonces:

〈x, Tf1 + Tf2〉 = 〈x, Tf1〉+ 〈x, Tf2〉 = 〈x, z1〉+ 〈x, z2〉= 〈x, z1 + z2〉 = 〈x, T (f1 + f2)〉 =⇒ Tf1 + Tf2 = T (f1 + f2).

Idem con αf .

• T es biyectiva: Tf1 = Tf2 =⇒ z1 = z2 =⇒ 〈x, z1〉 = 〈x, z2〉, ∀x =⇒f1 = f2. ∀z ∈ H, ∃fz ∈ H ′ definido por fz(x) = 〈x, z〉. AdemasTfz = z.

• T es isometrıa: ‖Tf‖ = ‖z‖ = ‖f‖, ∀f =⇒ ‖T‖ = 1.

Otra forma de obtener el isomorfismo es utilizar directamente la apli-cacion T : H → H ′′ definida por T (y)(f) = f(y) = 〈y, z〉, ∀y ∈ H, f ∈H ′.

40. Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo E. Una forma sesquili-neal hermıtica h sobre X×X es una aplicacion h : X×X → E queverifica h(x+ y, z) = h(x, z)+h(y, z), h(αx, y) = αh(x, y), h(x, y) =h(y, x).

a) ¿Que condicion hay que imponer a h para que sea un productointerior sobre X?

b) Si h es semidefinida positiva, es decir h(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X, pro-bar que se verifica la desigualdad de Schwarz |h(x, y)|2 ≤ h(x, x)h(y, y).

c) Si h es una forma sesquilineal semidefinida positiva, probarque la aplicacion p(x) =

√h(x, x) define una seminorma en X.

Resp.: a) Para que h sea un producto interior, solo es necesario im-poner las condiciones h(x, x) ≥ 0 y h(x, x) = 0 =⇒ x = 0.

b) Si h(x, y) = 0, es evidente.

Si h(x, y) 6= 0, como

h(αxβy, αx+βy) = α αh(x, x)+α βh(x, y)+αβ h(x, y)+β βh(y, y) ≥ 0,

150

haciendo α ∈ R, β = h(x,y)|h(x,y)| , resulta :

α2h(x, x) + α|h(x, y)|+ α|h(x, y)|+ h(y, y) ≥ 0,

ecuacion de segundo grado en α que es siempre no negativa, de modoque su discriminante debe ser negativo, |h(x, y)|2 − h(x, x)h(y, y) ≤ 0.

c) Evidente.

41. Sea K : L2[0, 1] → L2[0, 1] el operador integral definido por

(Kf)(t) =∫ t

0(t− s)f(s)ds.

a) Probar que ‖K‖ < 1 y que Knf(t) =∫ t0

(t−s)2n−1

(2n−1)! f(s)ds, n ≥ 1.

b) Utilizar lo anterior para resolver la ecuacion integral

f(t) = g(t) +∫ t

0(t− s)f(s)ds, g ∈ L2[0, 1].

Resp.: a) Veamos que K es acotado:

‖Kf‖2 =∫ 1

0|Kf(t)|2dt =

∫ 1

0

∣∣∣ ∫ t

0(t− s)f(s)ds

∣∣∣2dt

≤∫ 1

0

[ ∫ t

0|t− s| · |f(s)|ds

]2dt ≤

∫ 1

0

[ ∫ t

0|t− s|2ds ·

∫ t

0|f(s)|2ds

]dt

=∫ 1

0

[(s− t)3

3

∣∣∣t0

∫ t

0|f(s)|2ds

]dt =

∫ 1

0

[ ∫ t

0

t3

3· |f(s)|2ds

]dt

≤ 13· ‖f‖2 =⇒ ‖Kf‖ ≤ 1√

3‖f‖ =⇒ ‖K‖ ≤ 1√

3< 1.

Veamos lo siguiente por induccion:

Para n = 1 es evidente.

Si es cierto para n, entonces

Kn+1f(t) = K[Knf ](t) =∫ t

0(t− s)Knf(s)ds

=∫ t

0(t− s)

[ ∫ s

0

(s− u)2n−1

(2n− 1)!f(u)du

]ds

=∫ t

0du

∫ t

u(t− s)

(s− u)2n−1

(2n− 1)!f(u)ds

=∫ t

0du

f(u)(2n− 1)!

∫ t

u(t− s) · (s− u)2n−1ds =

∫ t

0

f(u)(t− u)2n+1

(2n + 1)!du.

151

b) Queremos resolver la ecuacion f(t) = g(t) + Kf(t), que se puedeescribir tambien como g(t) = (I −K)f(t). Entonces, al ser ‖K‖ < 1,

f(t) = (I −K)−1g(t) =∞∑

n=0

Kng(t)

=∫ t

0

∞∑n=0

(t− s)2n−1

(2n− 1)!g(s)ds =

∫ t

0sh(t− s)g(s)ds.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Polinomios de Legendre, Hermite, Laguerre ([Kr], [Fo]).

2. Determinante de Gram ([GG]).

152

IV. LOS CUATROPILARES DEL ANALISISFUNCIONAL

El sugestivo tıtulo que proponemos para este capıtulo, y uti-lizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructuradel Analisis Funcional esta basada en cuatro poderosos pilares:los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la apli-cacion abierta y del grafico cerrado. Tanto en este capıtulo comoen los siguientes se ofrece una amplia gama de aplicaciones yconsecuencias que han permitido un desarrollo significativo en lateorıa que nos ocupa.

SECCIONES

1. Teorema de Hahn-Banach.

2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual.

3. Teorema de categorıa de Baire.

4. Principio de acotacion uniforme y teorema de Banach-Steinhaus.

5. Convergencia de sucesiones en espacios normados.

6. Teorema de la aplicacion abierta.

7. Teorema del grafico cerrado.

8. Clausura de un operador.

9. Ejercicios.

153

1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extension de funcionales li-neales (entendemos por un teorema de extension aquel en donde, definido unobjeto matematico sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho ob-jeto sobre todo el conjunto X de manera que se mantengan las propiedadesbasicas del objeto en el conjunto donde se extendio).

En Analisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominadopor un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la integral de Riemann deuna funcion x = x(t) es un funcional lineal f(x) =

∫ 10 x(t)dt; en cambio, la

integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f(x) ≤ p(x). Queremosextender tambien aquı un funcional lineal que verifique una propiedad deacotacion similar. Por el teorema de representacion de Riesz, sabemos quetodo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Quere-mos saber ahora bajo que condiciones existen funcionales lineales acotadosen un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema deHahn-Banach.

Se probara primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debi-do a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos como ciertas modifica-ciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblusty Sobczyk en 1938).

1.1.- Definicion. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R unfuncional. Diremos que

(1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X;

(2) p es homogenea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0;

(3) p es simetrica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E;

(4) p es convexa cuando p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y), ∀x, y ∈ X,α ∈ [0, 1].

Ası diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homogenea po-sitiva y p es seminorma si es sub-aditiva y simetrica.

En particular, la norma es un funcional sublineal e incluso una seminor-ma.

Una primera relacion entre dichos conceptos viene dada en el siguiente re-sultado, cuya demostracion omitimos.

1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una semi-norma si y solo si es una aplicacion simetrica y convexa.

154

1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio deX, x0 ∈ X \ M . Sea N = 〈M ∪ x0〉, f : M → R un funcional lineal,p : X → R un funcional sub-lineal tal que f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entoncesexiste F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f(x) =F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extension de f).

Demostracion. Si y1, y2 ∈ M, entonces

f(y1)−f(y2)=f(y1−y2)≤p(y1−y2)=p(y1+x0−x0−y2)≤p(y1+x0)+p(−y2−x0),

de donde −p(−y2 − x0)− f(y2) ≤ p(y1 + x0)− f(y1).

Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2,entonces, llamando

a = sup−p(−y2 − x0)− f(y2) : y2 ∈ M,b = ınfp(y1 + x0)− f(y1) : y1 ∈ M,

es claro que a ≤ b.

Llamamos c ∈ R a un numero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈M,

(∗) −p(−y − x0)− f(y) ≤ c ≤ p(y + x0)− f(y).

Definimos F : N → R como F (y + αx0) = f(y) + αc, con y ∈ M, α ∈ R,que es un funcional lineal en N y evidentemente extiende a f .

Falta comprobar que F esta acotado por p:

(a) Si α = 0, F (y + αx0) = f(y) ≤ p(y) =⇒ F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M.

(b) Si α > 0, aplicamos la segunda desigualdad de (∗) al elemento y/α :

c ≤ p(y/α + x0)− f(y/α) =⇒ 1α

f(y) + c ≤ p(y/α + x0)

=⇒ f(y) + αc ≤ p(y + αx0)=⇒ F (y + αx0) ≤ p(y + αx0).

(c) Si α < 0, aplicamos la primera desigualdad de (∗) al elemento y/α:

−p(−y/α− x0)− f(y/α) ≤ c =⇒ − 1α

f(y)− c ≤ p(−y/α− x0)

=⇒ f(y) + αc ≤ p(y + αxo)=⇒ F (y + αx0) ≤ p(y + αx0). ♦

1.4.- Teorema (Hahn-Banach real). Sea X un espacio vectorial real, M unsubespacio de X, p un funcional sub-lineal sobre X, f un funcional lineal

155

sobre M tal que ∀x ∈ M, f(x) ≤ p(x). Entonces existe F : X → R funcionallineal que extiende a f y tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Demostracion. Consideremos el conjuntoS = g : D(g) → R : g lineal, g|M = f y g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(g).

El conjunto S es no vacıo porque f ∈ S; definimos un orden parcial en Sası:g1 ≤ g2 si g2 es extension de g1, es decir, si D(g1) ⊂ D(g2) y g2|D(g1) = g1.

Veamos que S es inductivo, es decir que toda cadena (subconjunto total-mente ordenado) en S posee una cota superior en S:

Sea pues C = gα : α ∈ I un subconjunto de S totalmente ordenado, ydefinimos g : D(g) → R como g(x) = gα(x), si x ∈ D(gα). Ası, D(g) =⋃

α∈I D(gα).

• D(g) es un subespacio de X:Si x, y ∈ D(g), y λ, µ ∈ R, entonces ∃α, β ∈ I : x ∈ D(gα), y ∈ D(gβ)e incluso λx ∈ D(gα), µy ∈ D(gβ). Si suponemos que D(gα) ⊂ D(gβ),entonces λx, µy ∈ D(gβ) y λx + µy ∈ D(gβ). De aquı resulta queλx + µy ∈ D(g).

• g esta bien definido:Si x ∈ D(gα) y x ∈ D(gβ), entonces g(x) = gα(x), g(x) = gβ(x). ComoC esta totalmente ordenado, si D(gα) ⊂ D(gβ), gβ extiende a gα, demodo que gβ(x) = gα(x).

Es facil comprobar que g es lineal, que extiende a f , que g(x) ≤ p(x), ∀x ∈D(g) y que gα ≤ g, ∀α ∈ I. Podemos ası aplicar el lema de Zorn, que asegurala existencia de F ∈ S elemento maximal de S.

Solo falta probar que D(F ) = X. Si suponemos lo contrario, deberıa existiralgun x0 ∈ X \D(F ). Por el lema anterior, ∃F ′ definido en 〈D(F ) ∪ x0〉,que extiende a F y tal que F ′(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(F ′). Esto quiere decir queF ′ ∈ S y F no puede ser maximal, lo que lleva a una contradiccion.♦

Observacion. Si queremos evitar el uso del lema de Zorn (que hace quela prueba no sea constructiva) podrıamos aplicar el metodo indicado enel lema previo. Se construye ası una sucesion de espacios N1, N2, . . . talesque M ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . y una sucesion de funcionales lineales F1, F2, . . .definidos en N1, N2, . . . cada uno extension del anterior y todos acotados porp. La demostracion estarıa completa si pudieramos escribir X =

⋃∞i=1 Ni,

lo cual no siempre es cierto. Sin embargo la mayorıa de los espacios quese encuentran en Analisis verifican lo anterior. Ademas en los espacios deHilbert tambien se simplifica mucho la demostracion como mostraremos enbreve.

156

1.5.- Teorema (Hahn-Banach complejo). Sea X un espacio vectorial com-plejo, M un subespacio de X, p una seminorma en X. Sea f un funcionallineal sobre M tal que ∀x ∈ M, |f(x)| ≤ p(x). Entonces existe F : X → Cfuncional lineal que extiende a f y tal que |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Demostracion. Si escribimos f(x) = f1(x)+if2(x) con f1 = Re f, f2 = Im f,probaremos en primer lugar que f1 y f2 son funcionales lineales reales, esdecir, ∀x ∈ M, ∀α ∈ R : fi(αx) = αfi(x), i = 1, 2 :

Sea pues α ∈ R. Ası,

f(αx) = f1(αx) + if2(αx),αf(x) = αf1(x) + iαf2(x).

Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos lo deseado.

Por otra parte, como if(x) = if1(x)− f2(x) = f1(ix) + if2(ix), resulta quef1(ix) = −f2(x).

Por hipotesis, como |f(x)| ≤ p(x), resulta en particular que f1(x) ≤ p(x).

Aplicamos el teorema de Hahn-Banach real a f1 y probamos la existenciade F1 : X → R que extiende a f1 y tal que F1(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Definimos ahora F (x) = F1(x)− iF1(ix) y probaremos lo siguiente.

• F extiende a f : Si x ∈ M, F1(x) = f1(x) y F1(ix) = f1(ix) = −f2(x) dedonde F (x) = f1(x) + if2(x) = f(x).

• F es un funcional lineal real (evidente porque F1 lo es).

• F es un funcional lineal complejo: Como

F (ix) = F1(ix)− iF1(−x) = F1(ix) + iF1(x)

y ademas iF (x) = iF1(x) + F1(ix), entonces F (ix) = iF (x) y portanto, F (αx) = αF (x).

• |F (x)| ≤ p(x): Supongamos que F (x) 6= 0, y escribimos F (x) = reiϑ. Ası,F (e−iϑx) = r = |F (x)|. Por tanto, la parte imaginaria de F (e−iϑx)es cero, −F1(ie−iϑx) = 0, con lo que F (e−iϑx) = F1(e−iϑx). ComoF1(x) ≤ p(x),

|F (x)| = F (e−iϑx) = F1(e−iϑx) ≤ p(e−iϑx) = p(x). ♦

Como aplicacion estudiaremos la situacion de los funcionales lineales acota-dos en espacios normados, tal como nos preguntabamos al principio de laseccion.

1.6.- Teorema (Hahn-Banach en espacios normados). Sea f un funcionallineal y acotado sobre un subespacio M de un espacio normado X. Entonces

157

existe un funcional lineal y acotado F sobre X que extiende a f y conservala norma.

[Esto asegura que existe alguna extension de f que tiene norma mınima.]

Demostracion. Si M = 0, f = 0 y su extension es F = 0.

Si M 6= 0, definimos el funcional p : X → R por p(x) = ‖f‖M · ‖x‖.Ası definido, se verifica que p(x+y) ≤ p(x)+p(y) y p(αx) = |α| ·p(x), ∀α ∈C.

Efectivamente, p(x+ y) = ‖f‖ · ‖x+ y‖ ≤ ‖f‖ · ‖x‖+ ‖f‖ · ‖y‖ = p(x)+ p(y)y p(αx) = ‖f‖ · ‖αx‖ = |α| · ‖f‖ · ‖x‖ = |α| · p(x).

Ademas, como f esta acotado, |f(x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖ = p(x).

Se cumplen ası las condiciones del teorema de Hahn-Banach, lo que asegurala existencia de un funcional lineal F : X → C tal que F (x) = f(x), ∀x ∈ M,y |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Como |F (x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖, entonces ‖F‖X ≤ ‖f‖M . Pero al ser F extensionde f , ‖F‖X ≥ ‖f‖M , con lo que se deduce la igualdad de las normas.♦

Como anunciabamos antes, el caso especial de espacios de Hilbert es ex-tremadamente simple, debido al teorema de representacion de Riesz. Comotodo funcional sobre M tiene la forma f(x) = 〈x, y〉, y ∈ M , y el productointerior se puede definir en todo X, existe F (x) = 〈x, y〉, ∀x ∈ X extensionde f y ‖F‖ = ‖y‖ = ‖f‖.

2. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH.ESPACIO DOBLE DUAL.

Ilustramos en esta seccion algunas consecuencias del teorema de Hahn-Banach y proponemos en los ejercicios al final del capıtulo mas aplicacionesdel mismo. Una version geometrica del teorema se sugiere como tema com-plementario y puede ser consultado en las obras de referencia.

2.1.- Teorema. Sea M un subespacio de un espacio vectorial normado X yx0 ∈ X un elemento que verifica d = d(x0,M) > 0. Entonces existe F : X →E lineal y acotado tal que ‖F‖ = 1, F (x0) = d, F (x) = 0, ∀x ∈ M.

Demostracion. Sea M1 = z ∈ X : z = αx0 + x, α ∈ E, x ∈ M. Definimosf : M1 → E por f(z) = αd. Observamos en primer lugar que la represen-tacion z = αx0 + x es unica: en caso contrario, si ademas z = α′x0 + x′,

158

entonces (α′ − α)x0 = x− x′ ∈ M, de donde α′ − α = 0 y x− x′ = 0. Estoquiere decir que f esta bien definido. Ademas f es lineal en M1 y se anulasobre M . Por otra parte, como

|f(αx0 + x)| = |α|d ≤ |α| ·∥∥∥x0 +

x

α

∥∥∥ = ‖αx0 + x‖,

f esta acotado en M1 y ‖f‖ ≤ 1. Como ademas, dado cualquier ε > 0, ∃x1 ∈M : ‖x0 − x1‖ < d + ε, entonces f(x0 − x1) = d y

|f(x0 − x1)|‖x0 − x1‖

>d

d + ε= 1− ε

d + ε,

resulta que ‖f‖ = 1.

Por el teorema de Hahn-Banach, existe un operador F : X → E lineal yacotado tal que ‖F‖ = 1 y F = f en M1. ♦

2.2.- Corolario. Sea X un espacio vectorial normado y x0 6= 0 un elementode X. Entonces existe un funcional F lineal y acotado sobre X tal que ‖F‖ =1 y F (x0) = ‖x0‖.

Demostracion. Basta hacer M = 0 en el teorema anterior. ♦

Este resultado prueba que el dual de un espacio no trivial es tambien notrivial. Ademas en un espacio normado X existen funcionales que separanpuntos distintos de X, es decir si x 6= y, existe f ∈ X ′ tal que f(x) 6=f(y).

2.3.- Corolario. Si x1 ∈ X es tal que f(x1) = 0 para todo funcional linealy acotado f de X, entonces x1 = 0.

Dado un espacio normado (X, ‖ · ‖), a cada x ∈ X le hacemos corresponderel funcional x : X ′ → E definido por x(f) = f(x). Ası definido, se pruebaque x esta en el doble dual de X.

2.4.- Proposicion. Para cada x ∈ X,

a) x es lineal.

b) |x(f)| ≤ ‖x‖ · ‖f‖, para todo f ∈ X ′.

c) x ∈ X ′′ y ‖x‖ ≤ ‖x‖.

La demostracion es evidente.

2.5.- Proposicion. Para cada x ∈ X, ‖x‖ = ‖x‖.

Demostracion. Por el teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X, existef ∈ X ′ tal que ‖f‖ = 1 y f(x) = ‖x‖. Para esta f tenemos que

|x(f)| = |f(x)| = ‖x‖ = ‖x‖ · ‖f‖.

159

Luego ‖x‖ = sup‖f‖=1 |x(f)| ≥ ‖x‖. ♦

La proposicion anterior indica que la aplicacion Φ : X → X ′′ definida porΦ(x) = x es una isometrıa lineal. Esta aplicacion es la llamada inmersionnatural y origina el siguiente concepto.

2.6.- Definicion. Un espacio normado X es reflexivo cuando la aplicacionΦ es sobre. En este caso X y X ′′ son isometricos.

Ejemplo. Si 1 < p < ∞, `p es reflexivo. En primer lugar, (`p)′′ es isomorfoa `p; falta pues verificar que la composicion del isomorfismo natural de `p

en (`p)′ con el isomorfismo natural de (`p)′ en (`p)′′, da lugar a la inmersionde `p en (`p)′′.

Los siguientes resultados muestran que los espacios reflexivos forman unaclase comprendida entre las de los espacios de Hilbert y los de Banach.

2.7.- Proposicion. Si X es reflexivo, entonces X es de Banach.

La demostracion es evidente porque, al ser X ′′ de Banach y X isometrico aX ′′, X debe ser tambien de Banach.

2.8.- Proposicion. Todo espacio normado de dimension finita es reflexi-vo.

Tambien la prueba es directa pues si dim X = n, entonces dim X ′ = n, dedonde dim X ′′ = n. Esto prueba la reflexividad de X.

2.9.- Proposicion. Todo espacio de Hilbert es reflexivo.

Demostracion. Basta probar que la aplicacion Φ : X → X ′′ definida porΦ(x) = x es sobre.

Para ello sea g ∈ X ′′ y definimos f : X → E por f(x) = g(Tx), dondeT : X → X ′ viene dada por (Tx)(y) = 〈y, x〉.

El operador T es antilineal y ‖T‖ = 1, lo que permite deducir que f ∈ X ′.Por el teorema de representacion de Riesz, existe z ∈ X tal que f(x) = 〈x, z〉.Por tanto g(Tx) = 〈z, x〉 = (Tx)(z) = Φ(z)(Tx). Como ademas T es sobre(lo que se puede comprobar tambien mediante el teorema de representacionde Riesz), Φ(z) = g, como querıamos demostrar. ♦

160

3. TEOREMA DE CATEGORIA DE BAIRE.

La completitud de ciertos espacios suele ser fundamental en muchos teoremasdel Analisis. En el caso de espacios metricos, un instrumento de muchautilidad es el teorema de categorıa que exponemos en esta seccion.

3.1.- Definicion. Sea X un espacio metrico y M ⊂ X.

(a) M es raro o nunca denso de X si M tiene interior vacıo (lo que equivalea que M

c es denso en X).

(b) M es de primera categorıa si es union numerable de conjuntos nuncadensos.

(c) M es de segunda categorıa si no es de primera categorıa.

3.2.- Ejemplos. 1) Si d es la metrica trivial, el unico conjunto nunca densoes el vacıo.

2) El conjunto vacıo es de primera categorıa. Por lo tanto, no puede ser desegunda categorıa.

3) En R con la metrica usual, Q es de primera categorıa pues, por ser nu-merable, Q =

⋃∞i=1xi y xi = xi, intxi = ∅.

4) Si Ai∞i=1 son de primera categorıa,⋃∞

i=1 Ai tambien lo sera.

5) Si A es de primera categorıa y C de segunda, con C = A ∪ B, entoncesB es de segunda categorıa. Por tanto, en el ejemplo 3), como R = Q ∪ I y Res de segunda categorıa, I tambien lo sera.

3.3.- Lema (teorema de interseccion de Cantor). Sea (X, d) un espaciometrico completo y (Fn)n∈N una sucesion decreciente de subconjuntos novacıos y cerrados de X tales que δ(Fn) → 0 (donde se define δ(M) =supd(x, y) : x, y ∈ M. Entonces

⋂∞n=1 Fn contiene exactamente un pun-

to.

Demostracion. Sea xn ∈ Fn. Por ser δ(Fn) → 0, la sucesion (xn)n∈N es deCauchy, por lo que existe x = lım xn. Fijado n0 ∈ N, xn ∈ Fn0 , ∀n ≥ n0.Como Fn0 es cerrado, x ∈ Fn0 =⇒ x ∈

⋂n≥1 Fn.

Ademas, como δ(⋂

n≥1Fn) ≤ δ(Fn) → 0, δ(

⋂n≥1

Fn) = 0 =⇒⋂

n≥1Fn = x.

♦

3.4.- Lema. Sean X un espacio metrico completo, A ⊂ X un subconjuntonunca denso y B ⊂ X una bola abierta. Entonces existe B1 ⊂ B bola cerradatal que B1 ∩ A = ∅. Ademas se puede elegir B1 para que δ(B1) < k, ∀k >0.

161

Demostracion. Como int(A) = ∅, debe ser B 6⊂ A, de modo que ∃x ∈ B\ A.Por ser B abierto y A cerrado, existe r > 0 : B(x, r) ∩ A = ∅. Podemoselegir r de modo que B(x, r) ⊂ B y B(x, r) ∩ A = ∅. Ademas, dado k > 0,tomando r < k/2, δ( B(x, r)) < k. ♦

3.5.- Teorema (categorıa de Baire). Si un espacio metrico X 6= ∅ es com-pleto, es de segunda categorıa.

Demostracion. Dada cualquier sucesion (An)n∈N de conjuntos nunca densosen X, probaremos que existe x ∈ X : x 6∈

⋃n∈N An.

Por el lema 3.4, existe F1 bola cerrada con δ(F1) < 1, F1 ∩A1 = ∅.

Ademas, existe F2 ⊂ int(F1) bola cerrada con δ(F2) < 1/2 : F2 ∩ A2 =∅.

Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos una sucesion (Fn)n∈N de bo-las cerradas tales que Fn ⊂ int(Fn−1), δ(Fn) < 1/n, Fn ∩An = ∅.

Por el lema 3.3, existe x ∈⋂

n∈N Fn, de modo que x 6∈ An, ∀n, lo que implicaque x 6∈

⋃n∈N An. ♦

Observaciones. 1) El recıproco de este teorema no es cierto (vease en[Bou1] un ejemplo de un espacio normado incompleto que es de segundacategorıa).

2) Una aplicacion curiosa del teorema consiste en probar la existencia de fun-ciones continuas en todo [0, 1] y no derivables en ningun punto del intervalo(se puede ver en [BN]).

4. PRINCIPIO DE ACOTACION UNIFORME Y TEOREMA DEBANACH-STEINHAUS.

Las ideas de la seccion anterior las aplicaremos a continuacion para demos-trar otro de los teoremas fundamentales del capıtulo, como es el principio deacotacion uniforme. Dicho teorema proporciona un criterio para determinarcuando una familia de operadores lineales y acotados esta acotada unifor-memente. Mas precisamente, veremos cuando la acotacion puntual implicala acotacion uniforme.

4.1.- Definicion. Dados dos espacios normados X e Y , una familia de ope-radores Aαα∈I ⊂ L(X, Y ) se dice equicontinua cuando supα∈I ‖Aα‖ <∞.

162

4.2.- Teorema (Principio de acotacion uniforme). Sea Aαα∈I una familiade elementos de L(X, Y ), donde X es de Banach. Si ‖Aαx‖α∈I esta aco-tada para todo x ∈ X, entonces la familia Aαα∈I es equicontinua. En otraspalabras, si ∀x ∈ X, ∃cx > 0 : ‖Aαx‖ ≤ cx =⇒ ∃c > 0 : ‖Aα‖ ≤ c.

Demostracion. (a) Supongamos que I es numerable. Ası Ann∈I es unasucesion. Sea Mk = x ∈ X : ‖Anx‖ ≤ k, ∀n, ∀k ∈ N.

Cada Mk es cerrado, porque si x ∈ Mk, entonces existe xii∈N en Mk talque xi → x. Como An es continua, Anxi → Anx, de donde ‖Anxi‖ → ‖Anx‖.Ademas, como xi ∈ Mk, ‖Anxi‖ ≤ k. Por lo tanto, ‖Anx‖ ≤ k con lo quex ∈ Mk.

Por construccion, X =⋃

k∈N Mk. Ası, como X es completo, segun el teoremade categorıa de Baire, existe k0 : B0 = B(x0, r) ⊂ Mk0 , ∃x0 ∈ Mk0 (no todoslos Mk pueden ser nunca densos).

Sea x ∈ X y definimos z = x0+γx, con γ = r/2‖x‖. Entonces ‖z−x0‖ ≤ r/2,de donde z ∈ Mk0 y ‖Anz‖ ≤ k0, ∀n. Ademas, ‖Anx0‖ ≤ k0, ∀n. Deaquı,

‖Anx‖ = γ−1‖An(z − x0)‖ ≤ 2k0/γ.

Esto implica que ‖An‖ = sup‖x‖=1 ‖Anx‖ ≤ 4k0/r.

(b) Si I no es numerable, supongamos que sup ‖Aα‖ = ∞. Entonces existeuna sucesion Ann∈N tal que ‖A1‖ > 1, ‖A2‖ > 2, . . . Aplicando la parte(a) a la sucesion Ann∈N, probamos que supn ‖An‖ < ∞, lo que contradicela construccion anterior. ♦

Es interesante remarcar que la hipotesis de categorıa es esencial como mues-tra el ejemplo dado en [La].

A continuacion veremos algunas consecuencias y aplicaciones del teorema.

4.3.- Corolario (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927). Sean X un espaciode Banach, Y un espacio normado y Tnn∈N ⊂ L(X, Y ). Si Tnxn∈N esconvergente para todo x ∈ X, entonces Tnn∈N es equicontinuo. Ademas, silımn Tnx = Tx, ∀x ∈ X, entonces T ∈ L(X, Y ) y ‖T‖ ≤ lım inf ‖Tn‖.

Demostracion. Por ser convergente, la sucesion (Tnx)n∈N esta acotada. Porel principio de acotacion uniforme, Tnn∈N es equicontinuo.

Como ‖Tn‖ ≤ M para todo n, ‖Tx‖ ≤ M‖x‖ para todo x ∈ X. Claramente,T es lineal y ‖Tx‖ = lım ‖Tnx‖ ≤ lım inf ‖Tn‖ · ‖x‖ (la sucesion (‖Tn‖)n∈Nesta acotada por lo que tiene lımite inferior). ♦

Si X no es de Banach, este resultado es falso, como muestra el siguienteejemplo.

163

Hagamos X = C[0, 1] con ‖f‖1 =∫ 10 |f(t)|dt y Tn : C[0, 1] → R definidos

por Tn(f) = n∫ 1/n0 f(t)dt.

Cada Tn es lineal y continuo:

|Tn(f)| ≤ n

∫ 1/n

0|f(t)|dt ≤ n · ‖f‖1 =⇒ ‖Tn‖ ≤ n.

Ademas,

∀f ∈ C[0, 1], lımn

Tn(f) = lımn

∫ 1/n0 f(t)dt

1/n= f(0).

Por tanto, ∃ lımn Tn(f) = f(0), pero el funcional F : f 7→ f(0) no esta aco-tado pues si consideramos la sucesion

gn(t) =

−n3(t− 1/n2) si x ∈ [0, 1/n2]0 si x ≥ 1/n2,

entonces ‖gn‖ = 12n → 0 pero F (gn) = gn(0) = n →∞.

4.4.- Corolario. Sea X un espacio de Banach y (fn)n∈N ⊂ X ′ una sucesiontal que ∃ lımn fn(x) = f(x), ∀x ∈ X. Entonces f ∈ X ′.

Demostracion. Es consecuencia directa del anterior.

Este resultado indica que, en un espacio de Banach, la convergencia pun-tual de funcionales lineales continuas implica la continuidad de la funcionlımite.

4.5.- Ejemplo. En el espacio de las funciones integrables es sabido que, sifnn∈N ⊂ L1(R) es tal que supn∈N

∫R |fn| < ∞, entonces supn∈N

∫R |fng| <

∞, ∀g ∈ C0(R). El teorema de acotacion uniforme garantiza el recıproco,pues podemos interpretar los elementos de L1(R) como funcionales linealescontinuos, L1(R) ⊂ C0(R)′.

Sin embargo, el resultado es falso en el espacio Cc(R) de las funciones conti-nuas con soporte compacto, que no es de Banach: ∀g ∈ Cc(R), supn

∫|fng| <

∞ pero supn

∫R |fn| = ∞ para alguna sucesion fnn∈N ⊂ L1(R) pues, to-

mando fn = χ[0,n],

supn

∫|fng| = sup

n

∫ n

0|g| ≤

∫ ∞

−∞|g| < ∞ y sup

n

∫|fn| = supn = ∞.

4.6.- Corolario. El espacio normado X de los polinomios x(t) =∑∞

i=0 aiti,

con norma ‖x‖ = maxi |ai|, no es completo.

Demostracion. Construimos la sucesion de funcionales An : X → R porAn0 = 0, Anx = a0 + · · · + an−1. Ası definidos, An son lineales y acotados

164

pues, como |ai| ≤ ‖x‖, entonces |Anx| ≤ n‖x‖. Como todo polinomio x degrado Nx tiene como maximo Nx +1 coeficientes no nulos, tenemos |Anx| ≤(Nx+1)‖x‖ = cx, ∀n, la cual es una de las hipotesis del teorema de acotacionuniforme. Ahora bien, si elegimos x(t) = 1+ t+ · · ·+ tn, resulta que ‖x‖ = 1y Anx = n = n‖x‖. Como ‖An‖ ≥ |Anx|/‖x‖, entonces ‖An‖ ≥ n y ‖An‖no esta acotada. Al ser falsa la tesis del teorema, debe ser porque X no escompleto. ♦

Hacemos por ultimo la siguiente observacion: es sabido que la continuidadno es condicion necesaria para la convergencia (sirva como contraejemplo

la funcion x(t) =

0 si − π ≤ t < 01 si 0 ≤ t ≤ π

, x(t + 2π) = x(t)). Pero ademas el

principio de acotacion uniforme permite probar que ni siquiera es condicionsuficiente, es decir, que existen funciones continuas cuya serie de Fourierdiverge en un punto (ver [Kr]).

5. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN ESPACIOS NOR-MADOS.

Ademas de los conceptos de convergencia puntual y convergencia uniformede sucesiones de funciones continuas, podemos estudiar en el contexto de losespacios normados otros tipos de convergencia lo que dara lugar a topologıasdiferentes a la inducida por la norma. La teorıa de convergencia debil quemostramos a continuacion hace uso del teorema de acotacion uniforme y es,de hecho, una de la mayores aplicaciones del mismo.

5.1.- Definicion. Una sucesion xnn∈N en un espacio normado X es con-vergente en sentido fuerte o convergente en norma si existe x ∈ X talque

lımn→∞

‖xn − x‖ = 0.

Se dice que x es lımite fuerte de xnn∈N y se escribe xn → x. Este es elconcepto usual de convergencia.

5.2.- Definicion. Una sucesion xnn∈N en un espacio normado X es con-vergente en sentido debil si existe x ∈ X tal que f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′. Sedice entonces que x es lımite debil de xnn∈N y se escribe xn

d→ x.

5.3.- Lema. Sea xnd→ x. Entonces:

(a) El lımite debil es unico.

165

(b) Toda subsucesion de xnn∈N converge debilmente a x.

(c) La sucesion ‖xn‖n∈N esta acotada.

Demostracion. a) Supongamos que xnd→ x, xn

d→ y; entonces f(xn) → f(x)y f(xn) → f(y), ∀f ∈ X ′. Por tanto f(x) = f(y) y f(x − y) = 0. Como loanterior es cierto para toda f ∈ X ′, x = y.

b) Se deduce de que f(xn)n∈N es una sucesion numerica convergente ytoda subsucesion de ella converge al mismo lımite f(x).

c) Por hipotesis, f(xn)n∈N esta acotada, digamos |f(xn)| ≤ cf , ∀n. Defi-nimos gn ∈ X ′′ como gn(f) = f(xn), ∀f ∈ X ′. Entonces |gn(f)| = |f(xn)| ≤cf , ∀n.

Como X ′ es completo, por el teorema de acotacion uniforme, ‖gn‖n∈Nesta acotada. Pero ‖gn‖ = ‖xn‖ debido a la proposicion 2.5. Ası quedaprobada la tesis. ♦

Veamos a continuacion la relacion entre los dos tipos de convergencia defi-nidos.

5.4.- Teorema. Sea X un espacio normado.

(a) Si xn → x, entonces xnd→ x.

(b) El recıproco de (a) no siempre es cierto.

(c) Si dim X < ∞, la convergencia debil implica la convergencia fuer-te.

Demostracion. a) Supongamos que xn → x, es decir, ‖xn−x‖ → 0. Entonces|f(xn)− f(x)| = |f(xn − x)| ≤ ‖f‖ · ‖xn − x‖ → 0, ∀f ∈ X ′.

b) Sea H un espacio de Hilbert y enn∈N una sucesion ortonormal. Porel teorema de representacion de Riesz, ∀f ∈ H ′, ∃z ∈ H : f(x) = 〈x, z〉.Aplicando la desigualdad de Bessel,

∑∞n=1 |〈en, z〉|2 ≤ ‖z‖2, con lo que la

serie de la izquierda converge y entonces 〈en, z〉 → 0.

Como f(en) = 〈en, z〉, lo anterior implica que end→ 0. Sin embargo, enn∈N

no es fuertemente convergente pues ‖en − em‖2 = 〈en − em, en − em〉 = 2, sin 6= m.

c) Sea e1, . . . , ek una base de X y xnd→ x. Escribimos

xn =k∑

i=1

α(n)i ei, x =

k∑i=1

αiei.

Por hipotesis, f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′. Definiendo fj(ei) = δij , i, j =

166

1, . . . , k, tenemos α(n)j → αj , j = 1, . . . , k. De este modo,

‖xn − x‖ ≤k∑

i=1

|α(n)i − αi| · ‖ei‖ → 0

y xn → x. ♦

Observaciones. 1) Existen tambien espacios de dimension infinita dondela convergencia fuerte y debil son equivalentes. Fue probado por Schur queel espacio `1 es un ejemplo de ellos.

2) Es evidente, gracias al teorema de Riesz, que, en un espacio de HilbertH, xn

d→ x si y solo si 〈xn, z〉 → 〈x, z〉, ∀z ∈ H.

3) Una especie de recıproco de (a) es el siguiente resultado.

Si xnd→ x en X, entonces existe ynn∈N tal que yn es combinacion lineal

de xn y ‖x − yn‖ → 0 (ver [CC]). Esto equivale a decir que x pertenece alespacio generado por la sucesion (xn)n∈N.

4) Como los elementos de X pueden pensarse como funcionales lineales sobreX ′, podemos decir tambien que xn

d→ x si xn(f) → x(f), ∀f ∈ X ′; esdecir, la convergencia debil en X no es mas que la convergencia puntualconsiderando X como espacio de funciones sobre X ′.

5.5.- Lema. Sea X un espacio normado y xnn∈N una sucesion en X.Entonces xn

d→ x si y solo si la sucesion ‖xn‖n∈N esta acotada y ∃M ⊂X ′ subconjunto completo, (es decir, 〈M〉 = X ′) tal que f(xn) → f(x),∀f ∈ M .

Demostracion. a) Si xnd→ x, por el lema 5.3, la sucesion ‖xn‖n∈N esta aco-

tada. El resto es evidente.

b) Por hipotesis, ‖xn‖ ≤ c, ∀n, y elegimos c para que ‖x‖ ≤ c.

Sea f ∈ X ′. Entonces existe g ∈ 〈M〉 tal que ‖f − g‖ < ε/3c. Escribimosg(x) =

∑n0k=1 αkfk(x), con fk ∈ M . De este modo, ∃N ∈ N:

|g(xn)− g(x)| ≤n0∑

k=1

|αk| · |fk(xn)− fk(x)| < ε/3, ∀n > N

teniendo en cuenta que fk(xn) → fk(x), ∀k = 1, . . . , n0.

Aplicando ahora la desigualdad triangular, tenemos que para todo n >N :

|f(xn)− f(x)| ≤ |f(xn)− g(xn)|+ |g(xn)− g(x)|+ |g(x)− f(x)|< ‖f − g‖ · ‖xn‖+ ε/3 + ‖g − f‖ · ‖x‖< ε/3c · c + ε/3 + ε/3c · c = ε. ♦

167

Un ejemplo donde se aplica lo anterior es el espacio `p, con 1 < p < ∞, dondexn

d→ x si y solo si la sucesion ‖xn‖n∈N esta acotada y ξ(n)j → ξj , ∀j, siendo

xn = (ξ(n)j )j∈N, x = (ξj)j∈N.

En efecto, como el dual de `p es `q y una base de Schauder de `q es enn∈N,con en = (δnj)j∈N, basta aplicar el lema con M = enn∈N.

ANEXO. Veamos como el concepto de convergencia debil viene sugerido por el de

topologıa debil. Para ello recordamos los siguientes conceptos:

Definicion. Sea τ una topologıa en X . Se dice que una familia β es una base de τ si

∀A ∈ τ, x ∈ A, existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ A.

Definicion. Un espacio vectorial topologico es un espacio vectorial X sobre un cuerpo

E con una topologıa τ tal que las funciones suma y producto por escalar son continuas.

Ası, por ejemplo, todo espacio vectorial topologico de dimension finita n es isomorfo a

En, y todo espacio normado es un espacio vectorial topologico. En este caso la topologıa

inducida por la norma se llama topologıa fuerte.

Definicion. Si X es un espacio vectorial y F una familia de funcionales lineales definida

en X , se define la topologıa debil generada por F a la topologıa mas debil (la menor) en Xque hace a cada f ∈ F un funcional continuo. Claramente, la topologıa debil generada

por F es la topologıa generada por los subconjuntos de X de la forma f−1(U) con

f ∈ F , U abierto en E. Una base de la topologıa debil generada por F es la formada

por los conjuntos de la forma

N(x0, f1, . . . , fm, ε1, . . . , εm) = x ∈ X : |fk(x)−fk(x0)| < εk, k = 1, . . . ,m,

donde x0 ∈ X , m ∈ N, f1, . . . , fm ∈ F , ε1, . . . , εm > 0.

Debido a que N(x0, f, ε) = f−1(B(f(x0), ε)), se deduce que

N(x0, f1, . . . , fm, ε1, . . . , εm) =m⋂

k=1

N(x0, fk, εk).

Con estas ideas, si X es un espacio normado, a la topologıa debil generada por X ′ se le

llama topologıa debil en X y se pueden probar sin dificultad los siguientes resultados:

Proposicion. a) La topologıa debil es mas debil que la topologıa fuerte (la inducida por

la norma).

b) Una sucesion (xn)n∈N converge a x en la topologıa debil si y solo si f(xn) →f(x), ∀f ∈ X ′.De este modo los conceptos y propiedades de la convergencia debil son consecuencia de

los mas generales aquı expuestos.

Vamos a estudiar ahora el caso de sucesiones de operadores entre espaciosnormados donde distinguiremos entre tres tipos de convergencia (las defini-ciones y terminologıa fueron introducidas por von Neumann en 1929).

5.6.- Definicion. Sean X, Y espacios normados. Una sucesion Tnn∈N deoperadores en L(X, Y ) se dice

168

(1) uniformemente convergente si Tnn∈N converge en la norma de L(X, Y ),es decir, si existe T ∈ L(X, Y ) tal que ‖Tn − T‖ → 0;

(2) fuertemente convergente si Tnxn∈N converge fuertemente en Y , paratodo x ∈ X, es decir, ‖Tnx− Tx‖ → 0;

(3) debilmente convergente si Tnxn∈N converge debilmente en Y , para todox ∈ X, es decir, |f(Tnx)− f(Tx)| → 0, ∀f ∈ Y ′.

No es difıcil probar que (1) =⇒ (2) =⇒ (3), y los recıprocos no son necesa-riamente ciertos.

5.7.- Ejemplos. 1) En `2 consideramos la sucesion Tn : `2 → `2 de operado-res lineales y acotados definidos por Tnx = (0, (n). . ., 0, ξn+1, ξn+2, . . . ) dondex = (ξ1, . . . , ξn, ξn+1, . . . ). Es evidente que Tnn∈N converge fuertementea 0; sin embargo no converge uniformemente porque ‖Tn − 0‖ = ‖Tn‖ =1.

2) Si definimos ahora Tn : `2 → `2 como

Tn(ξ1, . . . , ξn, . . . ) = (0, (n). . ., 0, ξ1, ξ2, . . . ),

Tn es tambien lineal y acotado, debilmente convergente a cero pero no fuer-temente.

En efecto, ∀f ∈ (`2)′, ∃z = (ηj)j∈N : f(x) = 〈x, z〉 =∑∞

j=1 ξj ηj , dondex = (ξj)j∈N, debido al teorema de representacion de Riesz. Ası pues,

f(Tnx) = 〈Tnx, z〉 =∞∑

j=n+1

ξn−j ηj =∞∑

k=1

ξk ηn+k.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|f(Tnx)|2 = |〈Tnx, z〉|2 ≤∞∑

k=1

|ξk|2 ·∞∑

m=n+1

|ηm|2.

Como la ultima suma es el resto de una serie convergente, |f(Tnx)| → 0 =f(0x).

Sin embargo, para x = (1, 0, 0, . . . ), ‖Tmx − Tnx‖ =√

12 + 12 =√

2, param 6= n, por lo que la sucesion no converge fuertemente.

Estudiamos ahora el lımite de una sucesion de operadores segun el tipo deconvergencia.

Si la convergencia Tn → T es uniforme, T ∈ L(X, Y ). Sin embargo, si laconvergencia es fuerte o debil, T es lineal pero no acotado, como se ve en elsiguiente ejemplo.

169

Sea X = x ∈ `2 : x tiene un numero finito de componentes no nulas. Sedefine Tn(ξj) = (ξ1, 2ξ2, 3ξ3, . . . , nξn, ξn+1, ξn+2, . . . ). Esta sucesion convergefuertemente a T (ξj) = (jξj) que es un operador lineal no acotado.

Sin embargo, si X es completo, tenemos el siguiente resultado.

5.8.- Lema. Sea Tnn∈N ⊂ L(X, Y ), donde X es un espacio de Ba-nach e Y un espacio normado. Si Tn → T en sentido fuerte, entoncesT ∈ L(X, Y ).

Demostracion. La linealidad de T se deduce de la de Tn. Ademas, de laconvergencia Tnx → Tx, ∀x ∈ X, se deduce que la sucesion ‖Tnx‖n∈Nesta acotada para todo x. Por el teorema de acotacion uniforme, como X escompleto, ‖Tn‖n∈N esta acotada. Por tanto,

‖Tnx‖ ≤ ‖Tn‖ · ‖x‖ ≤ k‖x‖ =⇒ ‖Tx‖ ≤ k‖x‖. ♦

5.9.- Teorema. Dados dos espacios de Banach X, Y una sucesion Tnn∈Nde operadores en L(X, Y ) converge en sentido fuerte si y solo si ‖Tn‖n∈Nesta acotada y Tnxn∈N es de Cauchy en Y , para todo x de un subconjuntocompleto M de X.

Demostracion. Si Tnx → Tx, ∀x ∈ X, por el teorema de acotacion uniforme,‖Tn‖n∈N esta acotada. El resto es trivial.

Recıprocamente, si ‖Tn‖ ≤ c, ∀n, sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Como〈M〉 es denso en X, existe y ∈ 〈M〉 tal que ‖x− y‖ < ε/3c. Ademas

‖Tny − Tmy‖ < ε/3, ∀m, n > N.

De aquı, por la desigualdad triangular, es facil probar que Tnxn∈N es deCauchy en Y :

‖Tnx− Tmx‖ ≤ ‖Tnx− Tny‖+ ‖Tny − Tmy‖+ ‖Tmy − Tmx‖≤ ‖Tn‖ · ‖x− y‖+ ε/3 + ‖Tm‖ · ‖x− y‖ < ε.

Como Y es completo, Tnxn∈N converge en Y . ♦

5.10.- Definicion. Una sucesion Ann∈N en L(X, Y ) se dice de Cauchy ensentido fuerte cuando Anxn∈N es de Cauchy, ∀x ∈ X.

5.11.- Teorema. Si X, Y son espacios de Banach, L(X, Y ) es completo ensentido fuerte, es decir, toda sucesion de Cauchy fuerte converge fuertemen-te.

Demostracion. Por hipotesis, sea Tnxn∈N de Cauchy, ∀x ∈ X. Como Y es

de Banach, Tnx → Tx. Ası definido, T es lineal y Tnf→ T. Falta probar que

T ∈ L(X, Y ).

170

Por el teorema anterior, ‖Tn‖ < M, ∀n. Entonces ‖Tnx‖ < M‖x‖, de dondelım ‖Tnx‖ ≤ M‖x‖ y, por la continuidad de la norma, ‖ lım Tnx‖ ≤ M‖x‖ osea ‖Tx‖ ≤ M‖x‖. Ası, T es acotado. ♦

Los funcionales lineales son tambien operadores lineales pero el hecho de quesu imagen este en R o C hace que la convergencia fuerte y debil sean equi-valentes (pues Tnxn∈N esta en un espacio de dimension 1). Los conceptosque se aplican aquı son los siguientes.

5.12.- Definicion. Sea fnn∈N una sucesion de funcionales lineales acota-dos en un espacio normado X.

(a) Decimos que fnn∈N converge en sentido fuerte a f ∈ X ′ si ‖fn− f‖ →0.

(b) Por otra parte, decimos que fnn∈N converge en sentido debil-∗ a f ∈ X ′

si fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.

Si X es un espacio normado, entonces X ⊂ X ′′ y ∀x ∈ X, ∃l ∈ X ′′ : l(f) =f(x). Una sucesion fnn∈N ⊂ X ′ converge debilmente si l(fn) → l(f), ∀l ∈X ′′, es decir, fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.

El recıproco no es cierto cuando X 6= X ′′ pues pueden existir l ∈ X ′′ \X conlo que no se debe confundir la topologıa debil con la topologıa debil-∗ en X ′.Como un simple corolario del teorema 5.9, se demuestra lo siguiente.

5.13.- Teorema. Una sucesion fnn∈N de funcionales lineales acotados enun espacio de Banach X es convergente debil-∗ y el lımite es lineal y acotadosi y solo si ‖fn‖n∈N esta acotada y fn(x)n∈N es de Cauchy, para todox ∈ M donde 〈M〉 = X.

Tabla de los distintos tipos de convergencia

Espacio Tipo Notacion Definicion

X Fuerte xn → x ‖xn − x‖ → 0

X Debil xnd→ x f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′

L(X, Y ) Uniforme Tn → T ‖Tn − T‖ → 0

L(X, Y ) Fuerte Tnf→ T ‖Tnx− Tx‖ → 0, ∀x ∈ X

L(X, Y ) Debil Tnd→ T Tnx

d→ Tx, ∀x ∈ X

L(X, E) Fuerte fn → f ‖fn − f‖ → 0

L(X, E) Debil-∗ fnd∗→ f ‖fnx− fx‖ → 0, ∀x ∈ X

En el estudio de espacios normados tiene importancia el teorema de Bourbaki-Alaoglu. Su enunciado es el siguiente:

La esfera unitaria cerrada S∗ = f ∈ X ′ : ‖f‖ ≤ 1 en el espacio X ′ dualdel espacio normado X es compacta en la topologıa debil-∗ de X ′.

171

Por el teorema de Riesz (capıtulo 2, teorema 5.3) sabemos que la esferaS∗ no puede ser compacta en la topologıa de la norma metrica de X ′ sidim X = ∞. El teorema anterior muestra que la topologıa debil-∗ no puededarse por una norma.

6. TEOREMA DE LA APLICACION ABIERTA.

A continuacion vamos a establecer condiciones para que un operador acotadosea una aplicacion abierta y para que tenga inverso acotado. Nuevamente elmarco natural son los espacios de Banach y la herramienta basica el teoremade categorıa de Baire.

6.1.- Definicion. Sean X, Y espacios metricos. Una aplicacion T : D(T ) →Y con D(T ) ⊂ X es abierta si para todo abierto A en D(T ), T (A) es abiertoen Y .

Observacion. Si T no es sobre, hay que distinguir entre los conceptos deaplicacion abierta de D(T ) en Y o sobre su rango. Este segundo conceptoes mas debil que el primero, porque si X ⊂ Y , la aplicacion identidad de Xen Y es abierta si y solo si X es subconjunto abierto de Y , mientras que laidentidad de X sobre su rango es siempre abierta.

El teorema de la aplicacion abierta da condiciones para que un operadorlineal sea abierto y para que tenga inverso acotado. Usaremos para su de-mostracion el siguiente lema previo.

6.2.- Lema (bola unidad abierta). Sean X, Y de Banach y T : X → Yun operador lineal acotado sobre. Si llamamos B0 = B(0, 1) ⊂ X, entoncesT (B0) contiene una bola abierta de centro 0 ∈ Y.

Demostracion. Lo demostraremos en varios pasos:

(a) Si B1 = B(0, 2−1), T (B1) contiene alguna bola B∗:

∀x ∈ X, ∃k > 2‖x‖ : x ∈ kB1. Esto implica que X =⋃∞

k=1 kB1. Como T essobre y lineal, Y = T (X) =

⋃∞k=1 kT (B1) =

⋃∞k=1 kT (B1).

Por el teorema de categorıa de Baire, Y es de segunda categorıa. Por tanto,algun kT (B1) debe contener una bola abierta y tambien T (B1) contieneuna bola abierta, digamos B∗ = B(y0, ε).

En consecuencia, B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0.

172

(b) B∗ − y0 ⊂ T (B0):

B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0 ⊂ T (B1)− T (B1) = 2 T (B1) = T (B0).

(c) Si Bn = B(0, 2−n) ⊂ X, entonces T (Bn) contiene alguna bola Vn alre-dedor de 0 ∈ Y :

Como T es lineal, T (Bn) = 2−n T (B0). De aquı se deduce que

Vn = B(0, ε/2n) ⊂ T (Bn).

(d) Por ultimo, T (B0) contiene alguna bola abierta alrededor de 0 ∈ Y. Masprecisamente, veremos que V1 = B(0, ε/2) ⊂ T (B0):

Sea y ∈ V1. Entonces y ∈ T (B1) =⇒ ∃v ∈ T (B1) : ‖y − v‖ < ε/4. Perov = Tx1 con x1 ∈ B1; entonces

‖y − Tx1‖ < ε/4 =⇒ y − Tx1 ∈ V2 ⊂ T (B2).

Esto implica a su vez que

∃x2 ∈ B2 : ‖(y − Tx1)− Tx2‖ < ε/8 =⇒ y − Tx1 − Tx2 ∈ V3 ⊂ T (B3)

y ası sucesivamente. Existe entonces xn ∈ Bn tal que

∥∥y −n∑

i=1

Txi

∥∥ < ε/2n+1, n ≥ 1.

Sea zn = x1 + · · ·+ xn. Como xi ∈ Bi, ‖xi‖ < 2−i.

Para n > m,

‖zn − zm‖ ≤n∑

k=m+1

‖xk‖ <∞∑

k=m+1

12k

→ 0

si m → ∞. Por tanto, znn∈N es de Cauchy y, por ser X completo, existe

x ∈ X tal que zn → x. Ademas, x ∈ B0 pues∞∑

k=1

‖xk‖ <∞∑

k=1

12k = 1.

Como T es continua, Tzn → Tx. Como ademas Tzn → y, Tx = y lo queimplica que y ∈ T (B0). ♦

6.3.- Teorema (aplicacion abierta o inversa acotada). Sean X e Y espaciosde Banach y T : X → Y un operador lineal acotado.

a) Si T es sobre, entonces T es abierto.

b) Si T es biyectiva, entonces T−1 es continua (y por tanto acotada).

173

Demostracion. Debemos probar que si A ⊂ X es abierto, entonces T (A) esabierto. Para ello, si y = Tx ∈ T (A), debe existir una bola abierta centradaen y y contenida en T (A).

Sea pues y = Tx ∈ T (A). Por ser A abierto, contiene una bola abierta decentro x. Entonces A− x ⊃ B(0, r). Si k = 1/r, k(A− x) ⊃ B(0, 1). Por ellema 6.2, T (k(A− x)) = k(T (A)− Tx) contiene una bola de centro 0, comotambien T (A)− Tx. Entonces T (A) contiene una bola abierta alrededor deTx = y.

Si ademas T es inyectiva, como T−1 es lineal, T es acotada. ♦

En el teorema anterior las hipotesis de completitud son esenciales como semuestra en los ejercicios al final del capıtulo. Una consecuencia elemental esla siguiente.

6.4.- Corolario. Sea X un espacio vectorial que es de Banach con respectoa las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2. Si existe c > 0 tal que ‖x‖2 ≤ c‖x‖1, ∀x ∈ X,entonces las normas son equivalentes.

Basta tener en cuenta que la identidad es un operador acotado.

7. TEOREMA DEL GRAFICO CERRADO.

En las aplicaciones practicas, no todos los operadores son acotados (estos sonparticularmente importantes en Mecanica Cuantica). Sin embargo, practi-camente todos son cerrados (cuya definicion veremos a continuacion), o almenos clausurables. El teorema del grafico cerrado, objeto de esta seccion,da condiciones para que un operador cerrado sea acotado.

7.1.- Definicion. Dados dos espacios normados X, Y y un operador linealT : D(T ) → Y con dominio D(T ) ⊂ X. Se dice que T es un operador cerradosi su grafico G(T ) = (x, y) : x ∈ D(T ), y = Tx es cerrado en el espacionormado X × Y , definido mediante las operaciones

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α(x, y) = (αx, αy),

y la norma ‖(x, y)‖ = ‖x‖X + ‖y‖Y .

Observacion. Si X e Y son de Banach, entonces X × Y tambien lo es.Sea, en efecto, una sucesion znn∈N = (xn, yn)n∈N de Cauchy en X × Y .Entonces

‖zn − zm‖ = ‖xn − xm‖+ ‖yn − ym‖ < ε, ∀n, m > N.

174

Esto implica que xnn∈N, ynn∈N son de Cauchy en X e Y , respectiva-mente; por tanto convergen. Si xn → x, yn → y, entonces (xn, yn) → (x, y),trivialmente.

Ejemplos. 1) El adjunto de un operador es siempre cerrado (capıtulo VII,corolario 1.9).

2) Si f : R → R es continua, entonces G(f) es cerrado.

Probaremos que, bajo ciertas condiciones, si el grafico es cerrado, la funciones continua.

Probaremos en primer lugar una propiedad que es usada a veces como defi-nicion de operador cerrado.

7.2.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde X e Yson normados. Entonces T es cerrado si y solo si cada vez que xn → x conxn ∈ D(T ) y Txn → y, entonces x ∈ D(T ) y Tx = y.

Demostracion. a) Supongamos que T es cerrado y sea (xn)n∈N una sucesionen D(T ) tal que xn → x y Txn → y. Entonces:

‖(xn, Txn)− (x, y)‖ = ‖xn − x‖X + ‖Txn − y‖Y → 0.

Como el grafico es cerrado, (x, y) ∈ G(T ), de modo que x ∈ D(T ) y Tx =y.

b) Recıprocamente, para probar que G(T ) es cerrado, consideramos en G(T )la sucesion ((xn, Txn))n∈N tal que (xn, Txn) → (x, y). Entonces

‖xn − x‖+ ‖Txn − y‖ → 0,

con lo que ‖xn−x‖ → 0 y ‖Txn−y‖ → 0. Por hipotesis, x ∈ D(T ) y Tx = y,lo que quiere decir que (x, y) ∈ G(T ). ♦

7.3.- Teorema (grafico cerrado). Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador linealentre dos espacios de Banach X e Y . Si D(T ) es cerrado en X, entonces Tes cerrado si y solo si T es acotado.

Demostracion. a) Si T es acotado, es continuo. Por el teorema anterior, esevidente que T es cerrado.

b) Supongamos ahora que G(T ) es cerrado en X ×Y , donde D(T ) es cerra-do en X; en consecuencia, G(T ) y D(T ) son completos. Consideramos laaplicacion P : G(T ) → D(T ) definida como P (x, Tx) = x que es lineal yacotada pues

‖P (x, Tx)‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖.

Ademas P es biyectiva porque su inversa P−1 : D(T ) → G(T ) es P−1x =(x, Tx). Podemos aplicar el teorema de la aplicacion abierta; ası P−1 es

175

acotada y existe k : ‖(x, Tx)‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ). Entonces T esta acotadoporque

‖Tx‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ). ♦

7.4.- Ejemplo (operador diferencial). Sea X = C[0, 1] y T : D(T ) → Xdefinida por Tx = x′, donde x′ representa la derivada y D(T ) es el conjuntode funciones con derivada continua en [0, 1]. Entonces T es cerrado pero noacotado.

Demostracion. Si consideramos la sucesion xnn∈N definida por xn(t) = tn,t ∈ [0, 1], entonces Txn(t) = ntn−1 y ‖xn‖ = max0≤t≤1 |xn(t)| = 1, con loque ‖Txn‖ = n; por lo tanto no existe k ∈ R tal que ‖Txn‖ ≤ k. EntoncesT no esta acotado.

Sea la sucesion xnn∈N en D(T ) tal que xn → x y Txn = x′n → y. Como laconvergencia en norma de C[0, 1] es la convergencia uniforme, tenemos∫ t

0y(s)ds =

∫ t

0lım x′n(s)ds = lım

n

∫ t

0x′n(s)ds = x(t)− x(0).

Esto implica que x(t) = x(0) +∫ t0 y(s)ds y, por tanto, x ∈ D(T ) y x′ =

y.

Por el teorema anterior, T es cerrado.

Esto a su vez implica que D(T ) no es cerrado en X porque, en caso contrario,T serıa acotado. ♦

Veamos a continuacion que tambien existen operadores acotados pero nocerrados. Si T : D(T ) → D(T ) ⊂ X es el operador identidad, donde D(T )es un subespacio denso propio de X, es trivial que T es lineal y acotado,pero no es cerrado porque si x ∈ X \D(T ), existe xnn∈N en D(T ) tal quexn → x.

Sin embargo, existe una relacion como se expresa a continuacion.

7.5.- Lema. Sea T : D(T ) → Y un operador lineal acotado con dominioD(T ) ⊂ X y X, Y espacios normados. Entonces:

(a) Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado.

(b) Si T es cerrado e Y es completo, entonces D(T ) es cerrado en X.

Demostracion. (a) Sea (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → x y Txn → y. Entoncesx ∈ D(T ) = D(T ) y Txn → Tx porque T es continuo.

(b) Sea x ∈ D(T ). Entonces existe xnn∈N en D(T ) tal que xn → x. ComoT es acotado, ‖Txn − Txm‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − xm‖. Por tanto, Txnn∈N es

176

de Cauchy, con lo que converge a y ∈ Y por ser Y completo. Como T escerrado, x ∈ D(T ) (y Tx = y), lo que prueba que D(T ) es cerrado. ♦

8. CLAUSURA DE UN OPERADOR.

En el apartado anterior se consideran operadores cerrados. Estudiaremosahora la manera de construir operadores cerrados como extension de ciertosoperadores.

Consideremos un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y entre dos espaciosnormados X e Y . Como sabemos, T es cerrado si y solo si su grafo G(T ) escerrado en X × Y . Supongamos ahora que T no es cerrado.

8.1.- Definicion. Se dice que T es clausurable si existe una extension cerra-da de T , es decir ∃T1 operador cerrado tal que T1|D(T ) = T .

8.2.- Proposicion. Si T es clausurable, admite una extension cerrada mini-mal, llamada clausura de T y que representaremos por T . Ademas G( T ) =G(T ).

Demostracion. Sea T1 una extension cerrada de T . Entonces G(T1) es cerradoy G(T ) ⊂ G(T1) ası como G(T ) ⊂ G(T1). Por tanto G(T ) no contienepuntos de la forma (0, y) con y 6= 0. Esto a su vez implica que G(T ) es elgrafico de un operador, que llamaremos T , el cual es evidentemente cerrado.Cualquier otro operador cerrado T ′ que sea extension de T debera verificarque G(T ) ⊂ G(T ′) de donde G(T ) = G(T ) ⊂ G(T ′), es decir sera tambienextension de T . ♦

De lo anterior se deduce que x ∈ D( T ) si y solo si existe una sucesion(xn)n∈N contenida en D(T ) tal que xn → x y Txn → Tx, con lo queD(T ) ⊂ D( T ) ⊂ D(T ).

Damos a continuacion algunas caracterizaciones de los operadores clausura-bles.

8.3.- Proposicion. Dado un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y , sonequivalentes:

i) T es clausurable.

ii) G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0.

iii) Si (xn)n∈N ⊂ D(T ) es tal que xn → 0, Txn → y, entonces y = 0.

177

Para la demostracion basta tener en cuenta el resultado anterior y el hechode que, si (0, y) ∈ G(T ), existe (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → 0, Txn → y,de modo que iii) =⇒ ii).

8.4.- Ejemplo. Consideramos el operador derivacion Tx = x′ en el espacioL2[0, 1]. En este caso D(T ) = x ∈ L2[0, 1] : ∃x′ ∈ L2[0, 1]. Este operadorya no es cerrado como lo era en el caso de las funciones continuas. Veamos sinembargo que es clausurable. Sea para ello z ∈ C1

0 [0, 1] una funcion de claseC1 que se anula en los extremos 0 y 1. Si x ∈ D(T ), entonces

∫ 10 x′(t)z(t)dt =

−∫ 10 z′(t)x(t)dt.

Sea (xn)n∈N ⊂ D(T ) una sucesion tal que xn → 0 y Txn = x′n → y.Como

∀z ∈ C10 [0, 1], 〈y, z〉 = lım〈x′n, z〉 = lım

∫ 1

0x′n(t)z(t)dt

= − lım∫ 1

0xn(t)z′(t)dt = − lım〈xn, z′〉 = 0,

al ser C10 denso en L2[0, 1], sera y = 0. Por la proposicion anterior se deduce

que T es clausurable.

Ası pues, D( T ) es el espacio de las funciones x ∈ L2[0, 1] para las cuales∃(xn)n∈N ⊂ C1

0 [0, 1], con ‖xn − x‖2 → 0 y ∃y ∈ L2[0, 1], con ‖x′n − y‖2 → 0.Aunque un elemento de D( T ) puede no ser derivable, la funcion y se llamaderivada generalizada de x en sentido de Sobolev. El espacio D( T ) se sueledesignar por W ′

2 y llamarse espacio de Sobolev.

Mostramos por ultimo una clase particular de operadores clausurables, paralos que D( T ) = D(T ) y obtenidos mediante el principio de extension porcontinuidad. Para ello supondremos que T : D(T ) ⊂ X → Y es un operadorlineal acotado e Y es de Banach.

8.6.- Lema. Bajo las condiciones anteriores, existe un unico operador linealacotado T definido en D(T ), que extiende a T y tal que ‖T‖ = ‖T‖. Dichooperador es precisamente la clausura de T .

Para probar este resultado basta definir T como T x = lım Txn, donde xn ∈D(T ) y xn → x.

CONSIDERACIONES FINALES. Un contexto mas abstracto dondese pueden enunciar versiones mas generales de los resultados del capıtulocorresponde a los espacios de Frechet, que son espacios vectoriales topologi-cos cuya topologıa esta inducida por una metrica invariante por traslacionesy completa (ver [Ru]). Se deja al lector el analisis comparativo de los resul-tados en uno y otro contexto.

178

EJERCICIOS.

1. Si un funcional sub-aditivo p sobre un espacio normado X escontinuo en 0 y p(0) = 0, probar que p es continuo para todo x.

Resp.: Por hipotesis, si xn → 0, p(xn) → p(0) = 0.

Sea ahora una sucesion (yn)n∈N tal que yn → y. Entonces

yn − y → 0 =⇒ p(yn − y) → 0y − yn → 0 =⇒ p(y − yn) → 0.

Ahora bien,

|p(yn)− p(y)| =

p(yn)− p(y) ≤ p(yn − y) → 0op(y)− p(yn) ≤ p(y − yn) → 0

=⇒ p(yn) → p(y).

2. Probar que un funcional p : X → E sobre un espacio vectorial Xes una seminorma si y solo si es simetrica y convexa.

Resp.: =⇒) Si p es seminorma, debemos ver que es convexa:

∀x ∈ X, α ∈ [0, 1] : p(αx + (1 − α)y) ≤ p(αx) + p((1 − α)y) =αp(x) + (1− α)p(y).

⇐=) Veamos ahora que p es subaditiva:

p(x + y) = 2p(x/2 + y/2) ≤ 2 ·(12p(x) +

12p(y)

)= p(x) + p(y).

3. Sea p un funcional sub-lineal sobre un espacio vectorial real X.Si x0 es un elemento fijo de X, llamamos

Z = x ∈ X : x = αx0, α ∈ R

y definimos f(x) = αp(x0), para todo x ∈ Z. Probar que existeF : X → R lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Resp.: Basta probar que f es lineal sobre Z y verifica f(x) ≤ p(x), ∀x ∈Z. El resto se deduce del teorema de Hahn-Banach.

179

• Si x = x0, f(x0 = p(x0).

• Si x = αx0, α > 0 : f(x) = αp(x0) = p(αx0) = p(x).

• Si x = αx0, α < 0 : f(x) = αp(x0) = −(−αp(x0)) = −p(−αx0) =−p(−x). Como p es sub-lineal, p(0) ≤ p(x) + p(−x), pero p(0) ≥ 0, loque implica que −p(−x) ≤ p(x) y ası f(x) ≤ p(x).

4. Sean X e Y dos espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). Se define eladjunto de T como el operador T ∗ : Y ′ → X ′ definido por

(T ∗g)(x) = g(Tx), ∀g ∈ Y ′, x ∈ X.

Probar que T ∗ ∈ L(Y ′, X ′) y ‖T ∗‖ = ‖T‖.

Resp.: Veamos en primer lugar que T ∗ es lineal y acotado.

• T ∗ es lineal pues, ∀x ∈ X:

T ∗(λ1g1 + λ2g2)(x) = (λ1g1 + λ2g2)(Tx) = λ1g1(Tx) + λ2g2(Tx)= λ1(T ∗g1)(x) + λ2(T ∗g2)(x) = (λ1T

∗g1 + λ2T∗g2)(x).

• T ∗ acotado: Por definicion,

‖T ∗‖ = sup‖g‖=1

‖T ∗g‖ con ‖T ∗g‖ = sup‖x‖=1

|(T ∗g)(x)| = sup‖x‖=1

|g(Tx)|.

Ahora bien, como |g(Tx)| ≤ ‖g‖ · ‖Tx‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖ · ‖x‖, ∀x, sededuce que ‖T ∗g‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖. Por tanto, ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖.

• Para probar que ‖T ∗‖ = ‖T‖, usaremos el siguiente resultado (co-rolario 2.2 del teorema de Hahn-Banach):

∀x ∈ X, ∃g ∈ Y ′ : ‖g‖ = 1, g(Tx) = ‖Tx‖.

Por tanto,

‖Tx‖ = g(Tx) = (T ∗g)(x) ≤ ‖T ∗g‖·‖x‖ ≤ ‖T ∗‖·‖g‖·‖x‖ = ‖T ∗‖·‖x‖,

lo cual implica que ‖T‖ ≤ ‖T ∗‖.

180

5. Sea X un espacio de Banach. Dados dos subespacios M ⊂ X,N ⊂ X ′, se definen los anuladores de M y N como

M⊥ = f ∈ X ′ : f(x) = 0, ∀x ∈ M,⊥N = x ∈ X : g(x) = 0, ∀g ∈ N,

respectivamente.

a) Probar que M⊥ y ⊥N son subespacios cerrados de X ′ y X,respectivamente, y que ⊥(M⊥) = M .

b) Si M es un subespacio cerrado de X, probar que existe unisomorfismo isometrico entre M ′ y X ′/M⊥.

c) Probar que N(T ∗) = R(T )⊥ y N(T ) = ⊥R(T ∗).

Resp.: a) Es facil comprobar que M⊥ y ⊥N son subespacios. Veamosque son cerrados:

• Si f ∈ M⊥, ∃fnn∈N ⊂ M⊥ : fn → f , es decir ‖fn − f‖ → 0.Como fn ∈ M⊥, fn(x) = 0, ∀x ∈ M . Ademas,

|fn(x)− f(x)| = ‖(fn − f)(x)‖ ≤ ‖fn − f‖ · ‖x‖ → 0,

de modo que f(x) = 0, ∀x ∈ M , es decir f ∈ M⊥.

• Sea x ∈ ⊥N . Entonces ∃xnn∈N ⊂ ⊥N tal que ‖xn − x‖ → 0.Por definicion, g(xn) = 0, ∀g ∈ N . Ademas |g(xn) − g(x)| =|g(xn−x)| ≤ ‖g‖ · ‖xn−x‖ → 0, de modo que g(x) = 0, ∀g ∈ N ,es decir x ∈ ⊥N .

Veamos ahora que ⊥(M⊥) = M .

• Si x ∈ M , f(x) = 0 cuando f ∈ M⊥. Por tanto, x ∈ ⊥(M⊥). Como⊥(M⊥) es cerrado, M ⊂ ⊥(M⊥).

• Supongamos por reduccion al absurdo que ∃y ∈ ⊥(M⊥) pero y 6∈M . Entonces d(y, M) = d > 0. Por el teorema de Hahn-Banach,∃f ∈ X ′, con ‖f‖ = 1, tal que f(x) = 0, ∀x ∈ M (es decirf ∈ M⊥) y f(y) 6= 0. Por otro lado, como y ∈ ⊥(M⊥), f(y) =0, ∀f ∈ M⊥ lo que es absurdo.

b) Dado m′ ∈ M ′, por el teorema de Hahn-Banach, existe x′ ∈ X ′

extension lineal de m′ con ‖x′‖ = ‖m′‖. Definimos ası σ : M ′ →X ′/M⊥ por σ(m′) = x′ + M⊥.

• σ esta bien definida:Si x′, y′ son extensiones de m′, x′−y′ ∈ M⊥, de donde x′+M⊥ =y′ + M⊥.

181

• σ es lineal:Si z′ + M⊥ = σ(m′ + n′), x′ + M⊥ = σ(m′), y′ + M⊥ = σ(n′),entonces x′|M = m′, y′|M = n′ y z′|M = m′ + n′, de donde

(x′ + y′ − z′)(m) = m′(m) + n′(m)− (m′ + n′)(m) = 0, ∀m ∈ M

por lo que x′ + y′ − z′ ∈ M⊥ y σ(m′ + n′) = σ(m′) + σ(n′).Analogamente se prueba la homogeneidad de σ.

• σ es sobre:Dado x′+M⊥ ∈ X ′/M⊥, llamamos m′ = x′|M . Entonces m′ ∈ M ′

y σ(m′) = x′ + M⊥.

• σ es isometrıa:Si m′ ∈ M ′ y x′ ∈ X ′ es una extension de m′, entonces ‖m′‖ ≤‖x′‖. Como ‖x′ + M⊥‖ = ınf‖x′ + m′

1‖ : m′1 ∈ M⊥ ≤ ‖x′‖,

entonces ‖m′‖ ≤ ‖σ(m′)‖ ≤ ‖x′‖. Por el teorema de Hahn-Banach, existe x′ extension de m′ con ‖x′‖ = ‖m′‖. Entonces‖m′‖ = ‖σ(m′)‖.

c) Aplicando las definiciones, se deduce facilmente que:

∈ N(T ∗) ⇐⇒ T ∗g = 0 ⇐⇒ (T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X

⇐⇒ g(Tx) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g ∈ R(T )⊥.

x ∈ N(T ) ⇐⇒ Tx = 0 ⇐⇒ g(Tx) = 0, ∀g ∈ Y ′ ⇐⇒ (T ∗g)(x) = 0, ∀g ∈ Y ′

⇐⇒ f(x) = 0, ∀f ∈ R(T ∗) ⇐⇒ x ∈ ⊥R(T ∗).

6. a) Sea X un espacio normado y M ⊂ X un subespacio. Probarla equivalencia:

M = X ⇐⇒ M⊥ = 0.

b) Sean X e Y dos espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Probar queT ∗ es inyectiva si y solo si R(T ) es denso en Y.

Resp.: a) =⇒: Dado x ∈ X, por hipotesis ∃xnn∈N ⊂ M tal quexn → x. Si f ∈ X ′ es tal que f(x) = 0, ∀x ∈ M , entonces f(xn) = 0.Por la continuidad de f se deduce que f(xn) → f(x) de modo quef(x) = 0.

⇐=: Sea ahora x ∈ X y llamamos d = d(x,M). Si x 6∈ M , entoncesd > 0 y existe F ∈ X ′ tal que ‖F‖ = 1, F (x) = d y F (z) = 0, ∀z ∈ M .Por hipotesis, como F (z) = 0, ∀z ∈ M , entonces F (x) = 0, de modoque d = 0, lo que es absurdo.

182

b) =⇒: Supongamos que T ∗ es inyectiva. Si R(T ) 6= Y , por el apartadoa), existe un funcional g ∈ Y ′ no nulo tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ).Esto implica que g(Tx) = 0, ∀x ∈ X y, por definicion del adjunto,(T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X, es decir, T ∗g = 0. Esto implica que g ∈ N(T ∗),lo que contradice la hipotesis.

⇐=: Recıprocamente, si R(T ) = Y , por el apartado a), todo funcionalg ∈ Y ′ tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ), es nulo. Pero g(y) = 0, ∀y ∈ R(T )implica que g(Tx) = 0, ∀x ∈ X, es decir (T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X. De laafirmacion anterior se deduce que N(T ∗) = 0, es decir T ∗ es inyectiva.

7. Sea X un espacio normado. Probar que ∀x ∈ X, ∃f ∈ X ′ tal que‖f‖ = ‖x‖ y f(x) = ‖x‖2. Concluir que

∀x ∈ X, ‖x‖ = sup|f(x)| : f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1.

Resp.: Fijado x ∈ X, definimos M = λx : λ ∈ E y f0(λx) = λ‖x‖2.

Ası definido, f0 : M → E es lineal y acotado y ‖0f‖ = ‖x‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f : X ∈ E : f(x) = ‖x‖2 y ‖f‖ =‖x‖.

Para probar la segunda parte, por un lado, como ∀f ∈ X ′, |f(x)| ≤‖f‖ · ‖x‖, entonces

sup|f(x)| : f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1 ≤ ‖x‖.

Por otra parte, si aplicamos el apartado anterior, dado x, ∃f ∈ X ′

tal que ‖f‖ = ‖x‖ y f(x) = ‖x‖2. Si definimos f1(x) = f(x)‖x‖ , entonces

‖f1‖ = 1 y f1(x) = ‖x‖ lo que implica que ‖x‖ ≤ sup|f(x)| : f ∈X ′, ‖f‖ ≤ 1.

8. Sean X, Y espacios normados y x0 ∈ X, x0 6= 0. Dado y0 ∈ Y ,probar que existe T : X → Y lineal y continua tal que T (x0) = y0,de forma que ‖T‖ · ‖x0‖ = ‖y0‖.

Resp.: Si definimos f0 : 〈x0〉 → E por f0(λx0) = λ, entonces f0 eslineal y continua. Ademas ‖f0‖ = supλ6=0 |f0(λx0)|/‖λx0‖ = 1/‖x0‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X ′ : f |〈x0〉 = f0 y ‖f‖ =‖f0‖ = 1

‖x0‖ .

183

Dado y0 ∈ Y, definimos g : E → Y por g(λ) = λy0. Entonces g eslineal y continua, por lo que T = g f es lineal y continua. AdemasT (x0) = (g f)(x0) = y0 y ‖(g f)(x)‖ = ‖f(x)y0‖ = |f(x)| · ‖y0‖ loque implica que

‖T‖ = supx 6=0

‖(g f)(x)‖‖x‖

= supx 6=0

|f(x)| · ‖y0‖‖x‖

= ‖f‖ · ‖y0‖ =‖y0‖‖x0‖

.

9. Sean X, Y espacios normados con X 6= 0. Probar que Y es deBanach si L(X, Y ) es de Banach.

Resp.: Sea ynn∈N una sucesion de Cauchy en Y .

Como X 6= 0, ∃x0 ∈ X con ‖x0‖ = 1. Por un corolario del teoremade Hahn-Banach, ∃f ∈ X ′ tal que f(x0) = 1 y ‖f‖ = 1.

Definimos la sucesion Tnn∈N de operadores Tn : X → Y por Tn(x) =f(x)yn, que es evidentemente lineal.

Como f es continua, ∃M > 0 : |f(x)| ≤ M‖x‖, ∀x ∈ X; entonces

‖Tn(x)‖ = ‖f(x)yn‖ = |f(x)| · ‖yn‖ ≤ M‖yn‖ · ‖x‖, ∀x ∈ X,

lo que implica que cada Tn es continua.

Como ‖f‖ = 1, |f(x)|‖x‖ ≤ 1,∀x 6= 0, es decir |f(x)| ≤ ‖x‖; entonces

‖Tn(x)‖ = |f(x)| · ‖yn‖ ≤ ‖x‖ · ‖yn‖ =⇒ ‖Tn‖ ≤ ‖yn‖.

Ademas, como ‖Tn(x0)‖ = |f(x0)| · ‖yn‖ = ‖yn‖ =⇒ ‖yn‖ ≤ ‖Tn‖.Los resultados anteriores muestran pues que ‖Tn‖ = ‖yn‖. Ası pues,Tnn∈N es tambien de Cauchy y, por ser L(X, Y ) de Banach, ∃T ∈L(X, Y ) tal que Tn → T . Probaremos que ynn∈N converge a T (x0).En efecto, como

‖yn − T (x0)‖ = ‖Tn(x0)− T (x0)‖= ‖(Tn − T )(x0)‖ ≤ ‖Tn − T‖ · ‖x0‖ = ‖Tn − T‖,

dado ε > 0, ∃n0 : ‖Tn − T‖ < ε, ∀n ≥ n0 y tambien ‖yn − T (x0)‖ <ε, ∀n ≥ n0.

184

10. Sea X un espacio normado y x ∈ X un elemento de norma 1.Probar que existe un subespacio cerrado M de X tal que X =M ⊕ 〈x〉 y d(x,M) = 1.

Resp.: Definimos f : 〈x〉 → E por f(αx) = α. Como |f(αx)| =|α| = |α| · ‖x‖, es claro que ‖f‖ = 1.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃F : X → E lineal y acotado tal que‖F‖ = 1 y F (x) = 1.

Sea M = N(F ), que es un subespacio cerrado de X.

Para todo y ∈ X, si llamamos α = F (y), F (y−αx) = F (y)−αF (x) =0, es decir, y − αx ∈ M. De este modo, y = αx + m, con m ∈ M.

Ademas, como ‖F‖ = 1, entonces |F (y)| ≤ ‖y‖, ∀y ∈ X. En particular,si y = x−m, |F (y)| = 1 y 1 ≤ ‖x−m‖, lo que implica que d(x,M) ≥ 1.

Ahora bien, como ‖x‖ = ‖x− 0‖ = 1, d(x,M) = 1.

11. Sea S(0, r) una esfera arbitraria en un espacio normado X y x0 ∈S(0, r) un punto cualquiera. Probar que existe un hiperplano H0

que contiene a x0 y tal que la bola cerrada B(0, r) esta contenidaen uno de los dos semiespacios determinados por H0.

Resp.: Es consecuencia del anterior. Obtenemos M = N(F ) y defini-mos H0 = x0 + M , H0 = x ∈ X : F (x) = r.

Graficamente, la idea es la siguiente:

x0

〈x0〉

12. Sea S : `2 → `2 el operador definido por

S(x1, x2, . . . ) = (x3, x4, . . . )

185

y llamamos Tn = Sn. Encontrar una cota para ‖Tnx‖ y calcularlımn ‖Tnx‖, ‖Tn‖, lımn ‖Tn‖.

Resp.: Es facil comprobar que

Tn(x1, x2, . . . ) = Sn(x1, x2, . . . ) = (x2n+1, x2n+2, . . . ).

Entonces, ‖Tnx‖2 = (∑

k≥2n+1 |xk|2)1/2 ≤ ‖x‖2, de donde lımn ‖Tnx‖ =0 por ser el resto de una serie convergente.

Ademas, como ‖Tnx‖ ≤ ‖x‖, ‖Tn‖ ≤ 1. Por otra parte, para e1 =(1, 0, 0, . . . ), ‖Tne1‖ = ‖e2n+1‖ = ‖e1‖, lo que implica que ‖Tn‖ = 1,de donde lımn ‖Tn‖ = 1.

Observese que lımn ‖Tnx‖ 6= lımn ‖Tn‖ · ‖x‖.

13. Sean (X1, ‖ · ‖1) un espacio normado y (X2, ‖ · ‖2) un espacio deBanach. Consideramos la familia Tαα∈I ⊂ L(X1, X2) tal quelım supα ‖Tα‖ < ∞. Sea L = x ∈ X1 : ∃ lımα Tα(x). Probar que Les un subespacio cerrado de X1. Concluir que si Tα(x)α con-verge para todo x ∈ M , para algun M denso en X1, entoncesTα(x)α converge para todo x ∈ X1.

Resp.: a) La prueba de que L es subespacio es directa. Veamos quees cerrado:

Sea x ∈ L; entonces ∃xn ∈ L : xn → x.

Como xn ∈ L, ∃ lımα Tαxn = yn.

Ası, ynn∈N es una sucesion en X2 tal que

‖Tαxn − Tαxm‖ ≤ ‖Tα‖ · ‖xn − xm‖ → 0,

de donde ‖yn − ym‖ → 0. Como X2 es completo, ∃y ∈ X2 : yn → y.

Veamos que lımα Tαx = y:

|Tαx− y‖ ≤ ‖Tαx− Tαxn‖+ ‖Tαxn − yn‖+ ‖yn − y‖≤ ‖Tα‖ · ‖x− xn‖+ ‖Tαxn − yn‖+ ‖yn − y‖ → 0.

Esto quiere decir que x ∈ L y L es cerrado.

b) Supongamos por el contrario que ∃x ∈ X1 : Tαxα no converge;entonces x 6∈ L.

186

Como M = X1, ∃xn ∈ M : xn → x. Entonces Tαxnα converge, ∀n,de donde xn ∈ L, ∀n.

De aquı, x ∈ L = L, lo que contradice lo anterior.

14. Probar que la completitud de un espacio X es esencial en el teo-rema de acotacion uniforme.

Resp.: Consideramos el conjunto

X = x ∈ `∞ : ∃N = N(x), xn = 0, ∀n > N

y definimos la sucesion de funcionales Tn : X → E por Tn(x) = nxn.

Esta claro que X no es completo pues x(n) = (1, (n). . ., 1/n, 0, . . . ) ∈ Xpero lımn x(n) = (1, 1/2, . . . ) 6∈ X.

Como ∀x ∈ X, ∃N : xn = 0, ∀n > N , entonces Tnx =

0 si n > N

nxn si n ≤ N.

Ası pues, |Tnx| = 0 si n > N y |Tnx| ≤ N · ‖x‖ si n ≤ N.

Como ‖Tn‖ ≥ |Tnx|‖x‖ , ∀x 6= 0, tomando x = (1, (n). . ., 1, 0, . . . ), entonces

Tnx = n y ‖x‖ = 1, de donde ‖Tn‖ ≥ n y ‖Tn‖n∈N no esta acotado.

15. Sea c0 ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones complejas que con-vergen a cero, y sea y = (yn)n∈N una sucesion tal que

∑n∈N xnyn

converge para todo x = (xn)n∈N ∈ c0. Probar que∑

n∈N |yn| < ∞.

Resp.: Definimos Tn : c0 → C por Tnx =∑n

k=1 xkyk, ∀y ∈ M , donde

M = y = (yn)n :∑n∈N

xnyn converge, ∀x ∈ c0.

Como |Tnx| =∣∣ ∑n

k=1 xkyk

∣∣ esta acotado por ser ∑n

k=1 xkykn∈N unasucesion convergente (sucesion de sumas parciales de una serie conver-gente), podemos aplicar el teorema de acotacion uniforme.

De lo anterior se deduce que ‖Tn‖ ≤ c, ∀n. Como

‖Tn‖ ≥|Tnx|‖x‖

=

∣∣ ∑nk=1 xkyk

∣∣‖x‖

,

187

elegimos x =

yk/|yk| si k ≤ n

0 si k > n,y resulta ‖Tn‖ ≥

∣∣∣ P|yk|

∣∣∣1 =

∑nk=1 |yk|.

Tenemos ası una sucesion ∑n

k=1 |yk|n∈N acotada superiormente ycreciente (todos sus terminos son positivos). Entonces

∑nk=1 |yk|n∈N

converge y la serie correspondiente∑∞

k=1 |yk| es convergente.

16. Si X e Y son espacios de Banach y Tn ∈ L(X, Y ), n ≥ 1, probarla equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) ‖Tn‖n es acotada.

ii) ‖Tnx‖n es acotada para todo x ∈ X.

iii) |g(Tnx)|n es acotada para todo x ∈ X y todo g ∈ Y ′.

Resp.: i) =⇒ ii) =⇒ iii) son evidentes.

iii) =⇒ i). Para cada x ∈ X, definimos la sucesion de funcionales yn :Y ′ → C por yn(g) = g(Tnx). Por hipotesis, |yn(g)|n∈N esta acotadalo que implica que ‖yn‖n∈N es acotada. Pero, como ‖yn‖ = ‖Tnx‖,por el teorema de acotacion uniforme, ‖Tn‖n∈N esta acotada.

17. Si xnd→ x0 en un espacio normado X, probar que x0 ∈ M , donde

M = 〈xnn∈N〉.

Resp.: Si, por el contrario, x0 6∈ M, por un corolario del teorema deHahn-Banach, llamando d = d(x0, M) > 0, existe f ∈ X ′ : ‖f‖ =1, f(y) = 0, ∀y ∈ M y f(x0) = d.

Ahora bien, como xn ∈ M, f(xn) = 0, ∀n ∈ N, y de la convergenciaxn

d→ x0, se deduce que f(xn) → f(x0). Por lo tanto, f(x0) = 0, loque contradice la suposicion anterior.

18. Sea H un espacio de Hilbert y ekk∈N una base ortonormal. Dadauna sucesion xnn∈N en H, probar que

xnd→ x ⇐⇒ 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉, ∀k.

188

Resp.: =⇒: Para cada ek existe, por el teorema de representacion deRiesz, un funcional fk ∈ H ′ tal que 〈x, ek〉 = fk(x), ∀x ∈ H. Como,por hipotesis, fk(xn) → fk(x), deducimos que 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉.

⇐=: Sea f ∈ H ′ arbitrario. Nuevamente por el teorema de represen-tacion de Riesz, existe un unico elemento y ∈ H tal que f(x) = 〈x, y〉,∀x ∈ H. Al ser ekk∈N una base ortonormal de H, y =

∑k∈N〈y, ek〉ek,

de modo que

f(x) = 〈x, y〉 =∑k∈N

〈y, ek〉〈x, ek〉 y f(xn) = 〈xn, y〉 =∑k∈N

〈y, ek〉〈xn, ek〉.

De estas igualdades y de la hipotesis 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉 se deduce laconvergencia f(xn) → f(x), es decir xn

d→ x.

19. En el espacio C[0, 1] con la norma ‖f‖ =∫ 10 |f(t)|dt, encontrar

una sucesion (fn)n∈N convergente en norma a g ∈ C[0, 1] pero noconvergente puntualmente.

Resp.: Definimos fn(t) = tn. Ası ‖fn‖ =∫ 10 tndt = 1/(n + 1) de modo

que fn → 0 en la norma ‖ · ‖1.

Por otra parte, lımn→∞ tn =

0 si t < 11 si t = 1,

que no es continua en

[0, 1].

20. a) Se define la sucesion fn : [0,∞) → R por

fn(x) =

nx3 e−n/2x2

si x 6= 0,

0 si x = 0.

Estudiar la convergencia puntual, en L1 y en L∞.

b) Idem para la sucesion fn(x) = sen2 πx · χ[ 1

n+1, 1n ](x), fn(0) = 0.

Resp.: a) Como

lımn→∞

n

x3e−n/2x2

= lımn→∞

n/x3

en/2x2 = lımn→∞

1/x3

(1/2x2)en/2x2 = 0

189

si x 6= 0, entonces fn → 0 puntualmente pues |fn(x)| → 0, ∀x ∈ [0,∞].

Por otra parte,

‖fn‖1 =∫ ∞

0

n

x3e−n/2x2

dx = lımB→∞

e−n/2x2∣∣B0

= 1

lo que implica que fn 6→ 0 en L1.

Para estudiar la convergencia en L∞, calculemos ‖fn‖∞ = supx∈[0,∞]

nx3 e−n/2x2

.

Debido a que

f ′n(x) =(n2

x6− 3n

x4

)e−n/2x2

=n

x4

(n− 3x2

x2

)e−n/2x2

,

se deduce que fn alcanza el maximo en x =√

n/3. De aquı,

‖fn‖∞ = fn(√

n/3) =3√

3√n

e3/2 → 0

cuando n →∞; por tanto, fn → 0 en la norma uniforme.

b) Para los valores x 6∈ [0, 1], fn(x) = 0, con lo que fn(x) → 0.

Si x ∈ (0, 1], ∃n0 ∈ N : x > 1/n0, es decir x 6∈[

1n0+1 , 1

n0

]; entonces

fn(x) = 0, ∀n > n0, y nuevamente fn(x) → 0.

La convergencia no es uniforme porque, tomando xn = 22n+1 , es claro

que xn → 0 pero lımn→∞ fn(xn) = 1 6= f(0) = 0.

Para cualquier p ≥ 1 tenemos:

‖fn‖pp =

∫ ∞

−∞|fn(x)|pdx =

∫ 1n

1n+1

(sen2 π

x

)pdx ≤ 1

n− 1

n + 1=

1n(n + 1)

→ 0.

De aquı se deduce que fn → 0 en Lp, ∀p ≥ 1.

21. Sean X un espacio de Banach, Y normado y Tn ∈ L(X, Y ). SiTnn∈N converge fuertemente, probar que ‖Tn‖n∈N es acotado.O bien: si Tnx → Tx, ∀x ∈ X =⇒ T ∈ L(X, Y ).

Resp.: Por hipotesis, la sucesion Tnxn∈N converge, ∀x ∈ X. Estoimplica que ‖Tnx‖n∈N es acotado.

Por el teorema de acotacion uniforme, ‖Tn‖n∈N es acotado.

190

22. Probar que el operador T : L1[1,∞) → L1[1,∞) definido por(Tf)(t) = t−1f(t) es acotado pero no abierto.

Resp.: Debido a la acotacion

‖Tf‖1 =∫ ∞

1|Tf(t)|dt =

∫ ∞

1

∣∣∣f(t)t

∣∣∣dt ≤∫ ∞

1|f(t)|dt = ‖f‖1,

resulta que ‖T‖ ≤ 1.

Para ver que no es abierto, basta encontrar una sucesion de funcionesgn ∈ R(T ), con gn → 0 pero ‖T−1gn‖ > 1.

En efecto, si definimos gn(t) =

2/n2, t ∈ (1, n + 1)0 resto

, entonces:

|tgn(t)‖ =∫ n+1

1t · 2

n2dt =

(n + 1)2 − 1n2

> 1,

‖gn‖ =∫ n+1

1

2n2

dt =2[(n + 1)− 1]

n2→ 0.

Ademas, gn ∈ R(T ) pues t · gn(t) ∈ L1.

23. Sea X el subespacio de `∞ formado por las sucesiones que tie-nen como maximo un numero finito de terminos no nulos y seaT : X → X el operador definido por y = Tx = (x1, x2/2, x3/3, . . . ).Probar que T es lineal y acotado pero T−1 no esta acotado. ¿Con-tradice esto el teorema de la aplicacion abierta?

Resp.: Es evidente que T es lineal. Para ver que es acotado, bastaobservar que ‖Tx‖∞ = ‖(xn

n )‖∞ ≤ ‖x‖∞, de donde ‖T‖ ≤ 1.

T es sobre pues ∀x ∈ X, ∃y = (nxn)n∈N ∈ X : Ty = x.

T es inyectiva: x 6= y =⇒ ∃n ∈ N : xn 6= yn =⇒ xnn 6= yn

n =⇒ Tx 6= Ty.

Sin embargo T−1 no es acotado pues, debido a que ‖T−1y‖ = ‖nyn‖,si elegimos yn = (δnk)∞k=1, entonces T−1(yn) = (nδnk)∞k=1, de donde‖T−1yn‖ = n →∞.

Al no ser X de Banach, no es aplicable el teorema de la aplicacionabierta.

191

24. En el espacio X de las funciones reales continuas en [0, 1] sedefine el operador T : X → X por (Tf)(t) =

∫ t0 f(s)ds, ∀t ∈ [0, 1].

Encontrar Y = R(T ). Probar que T : X → Y es un operador linealacotado y biyectivo pero T−1 : Y → X no es acotado como podrıaesperarse del teorema de la aplicacion abierta. ¿Por que?

Resp.: Si g ∈ R(T ), ∃f ∈ X : g(t) =∫ t0 f(s)ds =⇒ g′(x) = f(x), g(0) =

0. Por tanto, R(T ) = g ∈ C1[0, 1] : g(0) = 0.

Veamos que T es acotado:

|(Tf)(t)| ≤∫ t

0|f(s)|ds ≤ ‖f‖∞ · t =⇒ ‖Tf‖ ≤ ‖f‖∞.

Ademas, T es inyectiva pues, si Tf = 0, entonces∫ t0 f(s)ds = 0, ∀t =⇒

f(t) = 0, ∀t =⇒ f = 0.

Sin embargo, T−1 no es acotado pues T−1g = g′ (operador derivada).

No se puede aplicar el teorema de la aplicacion abierta porque el es-pacio X no es completo.

25. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador linealacotado e inyectivo. Probar que T−1 : R(T ) → X es acotado si ysolo si R(T ) es cerrado en Y .

Resp.: a) Si R(T ) es cerrado, es completo. Por el teorema de la apli-cacion abierta, como T : X → R(T ) es biyectivo, ∃T−1 : R(T ) → Xacotado.

b) Sea y ∈ R(T ); entonces ∃(yn)n∈N ⊂ R(T ) : yn → y y ∃(xn)n∈N ⊂X : Txn = yn. Como

‖xn − xm‖ = ‖T−1(yn − ym)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖yn − ym‖ → 0,

y X es de Banach, ∃x = lımn xn.

Por ultimo, teniendo en cuenta que

‖yn − Tx‖ = ‖Txn − Tx‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − x‖ → 0,

deducimos que Tx = y, es decir y ∈ R(T ).

192

26. Sea T un operador lineal cerrado. Si dos sucesiones xnn∈N eynn∈N en D(T ) convergen al mismo lımite x y si Txnn∈N yTynn∈N convergen, probar que Txnn∈N y Tynn∈N tienen elmismo lımite.

Resp.: Si xn → x, yn → x, entonces xn − yn → 0.

Por otra parte, si Txn → u, Tyn → v, entonces T (xn − yn) → u − v.Por el teorema del grafico cerrado, T (0) = 0 = u− v =⇒ u = v.

27. Sea X un espacio vectorial y ‖·‖1, ‖·‖2 dos normas en X tales que(X, ‖ · ‖1), (X, ‖ · ‖2) son de Banach. Probar que las dos normasson equivalentes si y solo si ∃M > 0 : ‖x‖1 ≤ M‖x‖2, ∀x ∈ X.

Resp.: Probemos que la aplicacion identidad I : (X, ‖·‖1) → (X, ‖·‖2)es lineal y continua. Para ello, supongamos que ‖xn − x‖1 → 0 y‖I(xn)− y‖2 → 0. Entonces

‖I(x)−y‖1 = ‖x−y‖1 ≤ ‖x−xn‖1+‖xn−y‖1 ≤ ‖x−xn‖1+M‖I(xn)−y‖2 → 0,

lo que implica que I(x) = y.

Esto prueba que I es un operador cerrado. Por el teorema del graficocerrado, I es continua. Entonces ‖I(x)‖2 ≤ b‖x‖1 y de la hipotesis sededuce que las normas son equivalentes.

28. Supongamos que X es un espacio de Banach respecto a dos nor-mas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2, y que si una sucesion (xn)n∈N ⊂ X converge alos lımites y y z en ambos espacios, entonces y = z. Probar quelas dos normas son equivalentes.

Resp.: De la hipotesis, al igual que el ejercicio anterior, se obtieneinmediatamente que la aplicacion identidad I : (X, ‖ · ‖1) → (X, ‖ · ‖2)es biyectiva y cerrada. El teorema del grafico cerrado asegura que I escontinua, es decir ‖Ix‖2 ≤ M‖x‖1, lo que prueba que las normas sonequivalentes.

193

29. Sea X un espacio de Banach y M,N subespacios cerrados de X.Supongamos que cada x ∈ X tiene una representacion unica dela forma x = y + z con y ∈ M, z ∈ N . Probar que existe k tal que‖y‖ ≤ k‖x‖, x ∈ X.

Resp.: Se define T : X → X como la proyeccion Tx = y, si x = y + z,con y ∈ M , z ∈ N .

Veamos que T cumple las condiciones del teorema del grafico cerrado:

Supongamos que xn → x, Txn → y. Como Txn ∈ M y M es cerrado,y ∈ M , de donde y = Ty.

Por otra parte, como xn−Txn ∈ N y N es cerrado, entonces x−y ∈ N ,de donde T (x− y) = 0, es decir Tx = Ty.

De lo anterior deducimos que y = Tx. El teorema del grafico cerradoprueba entonces que T es continuo, lo que da lugar a la tesis.

30. Sea T : C1[0, 2π] → C[0, 2π] el operador definido por (Tf)(x) =f(x)+f ′(x). Probar que T es lineal y cerrado pero no acotado (sesupone definida la norma infinito en ambos espacios). Deducirde lo anterior que C1[0, 2π] no es de Banach.

Resp.: Para ver que T es cerrado, consideramos una sucesion (fn)n∈Nde funciones en C1[0, 2π] tal que fn → f, Tfn → g.

Por la convergencia uniforme en [0, 2π], tenemos que:∫ t

0g(x)dx = lım

n

∫ t

0(Tfn)(x)dx = lım

n

∫ t

0[fn(x) + f ′n(x)]dx

= lımn

[fn(t)− fn(0) +∫ t

0fn(x)dx] = f(t)− f(0) +

∫ t

0f(x)dx

=⇒ f(t) = f(0) +∫ t

0g(x)dx−

∫ t

0f(x)dx =⇒ f ′(t) = g(t)− f(t).

De este modo, f ∈ D(T ) y Tf = g.

Para ver que T no es acotado, basta tomar la sucesion fn(x) = sennx,que verifica ‖fn‖∞ = 1, pero ‖Tfn‖∞ = supn∈N |n cos nx+sennx| ≥ n.

194

31. Sea T un operador lineal cerrado con dominio D(T ) en un espaciode Banach X y rango R(T ) en un espacio normado Y . Si T−1

existe y es acotado, probar que R(T ) es cerrado.1

Resp.: Probemos que T−1 es cerrado:

Si (yn)n∈N es una sucesion de elementos en D(T−1) tal que yn → y,T−1yn → x, entonces ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ) : Txn = yn → y, de dondeT−1yn = xn → x. Como T es cerrado, entonces x ∈ D(T ) y Tx = y,es decir y ∈ D(T−1), T−1y = x.

Pero si T−1 es cerrado, entonces D(T−1) = R(T ) es cerrado.

Otra forma de probarlo es ver que G(T−1) = (Tx, x) : x ∈ D(T ) ⊂Y ×X es cerrado, pero como la aplicacion f : X×Y → Y ×X, definidapor f(x, y) = (y, x), es isometrıa y G(T ) es cerrado, entonces G(T−1)es cerrado.

32. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal con grafo G(T ), dondeX e Y son espacios de Banach. Probar que T tiene una extensionT que es un operador lineal cerrado con grafo G(T ) si y solo siG(T ) no contiene ningun elemento de la forma (0, y), con y 6= 0.

Resp.: a) Supongamos que ∃T extension lineal cerrada de T con grafoG(T ) = G(T ). Por ser T lineal, T (0) = 0, de modo que (0, y) 6∈ G(T )con y 6= 0, es decir (0, y) 6∈ G(T ).

b) Supongamos ahora que G(T ) no contiene ningun elemento de laforma (0, y), con y 6= 0. Si existieran (x1, y1), (x1, y2) ∈ G(T ), entonces(0, y1 − y2) ∈ G(T ) =⇒ y1 − y2 = 0.

Esto asegura que el operador T x = y1 = y2 esta bien definido y es unaextension de T . Ademas, T es lineal pues G(T ) es espacio vectorial yT es cerrado pues G(T ) es cerrado.

33. Demostrar que un operador T : D(T ) ⊂ X → Y es clausurable siy solo si

xn ∈ D(T ), xn → x, Txn → yx′n ∈ D(T ), x′n → x, Tx′n → y′

=⇒ y = y′.

Resp.: Se deduce inmediatamente de la proposicion 8.3.

195

De esta propiedad es claro tambien que

D( T ) = x ∈ X : ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ), xn → x, ∃ lımn

Txn.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Version geometrica del teorema de Hanh-Banach ([La], [CC]).

2. Integracion numerica y convergencia debil-∗ ([Kr]).

3. Sucesiones de Cauchy debiles ([Sc]).

196

V. TEORIA ESPECTRALEN ESPACIOSNORMADOS

Damos comienzo en este capıtulo a la llamada teorıa espectralde operadores en espacios normados. Toda la informacion acumu-lada hasta el momento se ira aplicando sucesivamente al estudiode las propiedades espectrales de los operadores lineales y aco-tados. Con la mirada puesta en la situacion finito-dimensional,trataremos de generalizar los conceptos de resolvente y espec-tro y de obtener descomposiciones de los operadores compactosmediante proyecciones sobre ciertos subespacios invariantes.

SECCIONES

1. Introduccion. Definiciones previas.

2. Propiedades espectrales de los operadores lineales acotados. Funcionesde un operador.

3. Operadores compactos.

4. Descomposicion espectral de los operadores compactos.

5. Ecuaciones lineales de operadores compactos. Ecuaciones integrales deFredholm.

6. Ejercicios.

197

1. INTRODUCCION. DEFINICIONES PREVIAS.

Mucha informacion sobre el comportamiento de un operador lineal A se pue-de obtener estudiando la familia de operadores A−λI, con λ real o complejo(observese que todo subespacio invariante bajo A es tambien invariante bajoA − λI y que todos los operadores de la forma A − λI conmutan entre sı).Por otra parte, a menudo el inverso de un operador es mas importante que elpropio operador. En particular, la teorıa espectral trata de las propiedadesdel operador (A − λI)−1, donde A ∈ L(X) con X espacio normado y λ unescalar fijado (esto permitira descomponer el operador A en el mayor nume-ro de componentes y, paralelamente, una descomposicion del espacio X ensuma de subespacios invariantes bajo A). En las aplicaciones practicas estopermitira resolver sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales yecuaciones integrales.

En el caso de dimension finita la situacion es particularmente simple: dadoun operador lineal A : X → X en un espacio normado de dimension finita,dim X = n, fijado un escalar λ, o existe (A−λI)−1 o no existe; si no existe,en cuyo caso λ recibe el nombre de autovalor de A, se prueba facilmenteque existen como maximo n autovalores y son precisamente las raıces de laecuacion caracterıstica det(A− λI) = 0 (donde identificamos el operador Acon su matriz asociada respecto a cualquier base de X). En particular sededuce que todo tal operador tiene al menos un autovalor. Ademas todaslas matrices que representan al mismo operador A ∈ L(X) con respecto adistintas bases de X tienen los mismos autovalores.

Las cosas no son tan simples en dimension infinita: aparte de que puedehaber infinitos valores de λ para los que (A − λI)−1 no existe, en los casosde existencia debemos precisar los resultados, tanto el que (A − λI)−1 sealineal y acotado como el que el rango de (A− λI) sea denso en X. Nada deesto tiene significado en dimension finita.

El estudio de estas cuestiones nos conduce al analisis espectral y pretendemosobtener los resultados que generalizan los conocidos en el caso de dimensionfinita. Un resultado fundamental en algebra lineal es el siguiente:

Teorema. Si X es un espacio euclıdeo de dimension n y A ∈ L(X) es unoperador autoadjunto, entonces existe una base ortonormal ϕ1, . . . , ϕn deX y unos numeros reales λ1, . . . , λn tales que Aϕi = λiϕi, i = 1, . . . , n.Ademas, si llamamos Ei a la proyeccion ortogonal sobre N(A − λiI), i =1, . . . , n, entonces Ei 6= 0, ∀i, EiEj = 0 si i 6= j,

∑ni=1 Ei = I y se

tiene la descomposicion A =∑n

i=1 λiEi. Como consecuencia, la matrizde A asociada a dicha base es la matriz diagonal (〈Aϕi, ϕj〉)i,j=1,...n =

198

λ1 . . . 0. . .

0 . . . λn

.

Veamos un ejemplo de lo que puede pasar en dimension infinita.

Ejemplo. Sea h una funcion real continua y 2π-periodica. Entonces el ope-rador K : L2[−π, π] → L2[−π, π], definido por (Kf)(t) =

∫ π−π h(t−s)f(s)ds,

es lineal y acotado. Si elegimos la base ortonormal ϕn(t) = 1√2π

eint, n ∈ Z,resulta

(Kϕn)(t) =∫ π

−πh(t−s)

1√2π

einsds =∫ t+π

t−πh(s)

1√2π

ein(t−s)ds =1√2π

eintλn,

donde λn =∫ π−π h(s)e−insds, n ∈ Z, es decir, Kϕn = λnϕn.

La matriz asociada al operador K respecto a la base ϕnn∈Z es la matrizdiagonal doblemente infinita

. . .λ−1 0

λ0

0 λ1

. . .

.

En lo que sigue, mientras no se especifique lo contrario, supondremos queX es un espacio normado complejo no trivial y A : X → X un operadorlineal.

1.1.- Definicion. Diremos que λ ∈ C es un punto regular de A si existeRλ(A) = (A − λI)−1 y es un operador acotado definido en un subconjuntodenso de X. El conjunto resolvente de A es ρ(A) = λ ∈ C : λ es puntoregular de A.

El termino resolvente se refiere a que la ecuacion (A−λI)x = y tiene solucionx = (A−λI)−1y. Ademas el estudio de las propiedades de (A−λI)−1 permiteobtener informacion sobre el propio A.

Llamaremos espectro de A al conjunto σ(A) = C \ ρ(A), es decir al conjuntode puntos no regulares de A, que llamaremos puntos espectrales de A. Enparticular los autovalores de A son puntos espectrales. El siguiente ejemplomuestra que, en general, no todos los puntos espectrales son autovalores (adiferencia de los espacios de dimension finita donde la teorıa espectral seestudia a partir de los autovalores al ser estos los unicos puntos espectra-les).

199

Ejemplo. En el espacio H = L2(R) con la medida de Lebesgue se defineel operador (Mf)(x) = eix · f(x). Como ‖Mf‖ = ‖f‖ y (M−1f)(x) =e−ix · f(x), deducimos que M es unitario. Encontremos los autovalores deM :

Dado λ ∈ C, existe fλ ∈ L2(R) tal que Mfλ = λfλ si y solo si eixfλ(x) =λfλ(x) c.s. Esto implica que fλ(x) = 0 c.s. de modo que ‖fλ‖ = 0 y M notiene autovalores.

Sea ahora ρ ∈ C tal que (M − ρI)f = g, es decir (eix − ρ)f(x) = g(x) c.s. obien f(x) = (eix − ρ)−1g(x) c.s. y se define un operador lineal

[(M − ρI)−1g](x) = (eix − ρ)−1g(x).

El operador (M − ρI)−1 esta acotado si y solo si |ρ| 6= 1; esto quiere decirque σ(M) = ρ ∈ C : |ρ| = 1 = T, lo que prueba que el espectro es no vacıoaunque el operador no posea autovalores.

Clasificaremos el espectro en tres grupos:

- Un punto λ ∈ C es autovalor de A o pertenece al espectro puntual de A,λ ∈ σp(A), si no existe (A−λI)−1. Cada vector x ∈ X tal que (A−λI)x = 0,con λ ∈ σp(A) se llama autovector de A correspondiente a λ y el subespaciode X que contiene al cero y a los autovectores correspondientes a un mismoλ se llama autoespacio correspondiente a λ.

- Un punto λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A, λ ∈ σc(A), si R(A−λI)es denso en X y existe (A− λI)−1 pero no esta acotado.

- Un punto λ ∈ C pertenece al espectro residual de A, λ ∈ σr(A), si existe(A− λI)−1 pero esta definido en un subconjunto no denso de X.

De las definiciones anteriores se deduce que

C = ρ(A) ∪ σ(A) = ρ(A) ∪ σp(A) ∪ σc(A) ∪ σr(A)

y que la union es disjunta, obteniendose ası una particion de C.

La siguiente tabla resume las caracterısticas de los distintos conjuntos:

λ (A− λI)−1 (A− λI)−1 R(A− λI)

ρ(A) existe acotada denso en X

σc(A) existe no acotada denso en X

σr(A) existe – no denso en X

σp(A) no existe – –

Una propiedad basica de los autovectores es la siguiente:

200

1.2.- Proposicion. Autovectores x1, . . . , xn correspondientes a autovaloresλ1, . . . , λn distintos de un operador lineal A sobre un espacio normado com-plejo X son linealmente independientes.

Demostracion. Si x1, . . . , xn fueran linealmente dependientes, denotamospor xm el primero de ellos que es combinacion lineal de los anteriores, esdecir xm = α1x1 + · · ·+ αm−1xm−1.

Entonces

0 = (A− λmI)xm =m−1∑j=1

αj(A− λmI)xj =m−1∑j=1

αj(λj − λm)xj

=⇒ αj(λj − λm) = 0, ∀j = 1, . . . ,m− 1=⇒ αj = 0, ∀j = 1, . . . ,m− 1 =⇒ xm = 0,

lo cual es absurdo. ♦

Es sabido que si X tiene dimension finita y existe (A−λI)−1, entonces debeser acotado. Ademas R(A − λI) = X, con lo que se deduce que σc(A) =σr(A) = ∅; de ahı que los puntos del espectro puntual se llamen tambienautovalores de A.

Sin embargo en el caso de dimension infinita tenemos puntos espectrales queno son autovalores, como muestran los siguientes ejemplos.

1.3.- Ejemplos. 1) Sea T : `2 → `2 el operador traslacion a la derecha,definido por T (x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2, . . . ). Este operador es acotado y tienenorma uno. El operador inverso T−1 : T (X) → X es la traslacion hacia laizquierda T−1(x1, x2, . . . ) = (x2, x3, . . . ). Como T (X) no es denso en X,el punto λ = 0 es un valor espectral de T pero no es autovalor ya queTx = 0 =⇒ x = 0 y el vector cero no puede ser autovector.

2) Sea X un espacio de Hilbert separable de dimension infinita y xnn∈Nuna base ortonormal de X. Si hacemos para cada x ∈ X, x =

∑n∈N αnxn, y

definimos el operador Ax =∑

n∈N αnλnxn, donde λnn∈N es una sucesionde escalares distintos de uno pero con λn → 1, se prueba que

λn ∈ σp(A), ∀n;1 ∈ σc(A);

Si λ 6= λn, ∀n y λ 6= 1 =⇒ λ ∈ ρ(A);σr(A) = ∅.

3) Bajo las mismas condiciones del ejemplo anterior, definimos el operadordestruccion

Ax =∞∑

n=1

αn

n + 1xn+1, para x =

∞∑n=1

αnxn.

201

Se comprueba aquı que 0 ∈ σr(A) y λ ∈ ρ(A), ∀λ 6= 0.

En el caso de dimension infinita, los operadores cuyo comportamiento es elmas parecido al caso de dimension finita son los operadores completamentecontinuos o compactos pues, como veremos en el apartado 4, el conjunto deautovalores es a lo sumo numerable y el cero es su unico posible punto deacumulacion.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE LOS OPERADORES LI-NEALES ACOTADOS. FUNCIONES DE UN OPERADOR.

Supondremos en esta seccion que X es un espacio de Banach complejo yno vacıo y T : X → X un operador lineal y estudiaremos las principa-les caracterısticas del espectro y de la resolvente. Utilizaremos la notacionRλ(T ) = (T − λI)−1 para indicar la resolvente de T (cuando no haya con-fusion escribiremos simplemente Rλ).

Nota. Las propiedades que enunciamos en este apartado relativas a L(X)se pueden facilmente extender a cualquier algebra de Banach con identidad;pero el contexto en el que aquı se plantean es el que aplicaremos posterior-mente en la teorıa espectral (puede consultarse en [Ru] para el estudio deestos conceptos).

2.1.- Lema. Sea X de Banach, T : X → X lineal y λ ∈ ρ(T ). Si T es cerra-do o acotado, entonces Rλ(T ) esta definido en todo X y es acotado.

Demostracion. Si T es cerrado, tambien lo es T − λI. Por tanto, tambienlo es (T − λI)−1. Entonces, por el teorema del grafico cerrado, su dominioD(Rλ) es cerrado, de modo que D(Rλ) = D(Rλ) = X, pues λ ∈ ρ(T ).

Si T fuera acotado, como D(T ) = X es cerrado, T es cerrado y se aplica elrazonamiento anterior. ♦

2.2.- Teorema. Sean T ∈ L(X) y λ, µ ∈ ρ(T ). Entonces:

(a) (Ecuacion de la resolvente) Rµ −Rλ = (µ− λ)RµRλ.

(b) RλS = SRλ, ∀S ∈ L(X) tal que ST = TS.

(c) RλRµ = RµRλ.

Demostracion. (a) Teniendo en cuenta que Rλ y Rµ estan definidas en todo

202

X, resulta:

Rµ −Rλ = Rµ(T − λI)Rλ −Rµ(T − µI)Rλ

= Rµ(T − λI − T + µI)Rλ = (µ− λ)RµRλ.

(b) Si ST = TS, S(T − λI) = (T − λI)S. Entonces

RλS = RλS(T − λI)Rλ = Rλ(T − λI)SRλ = SRλ.

(c) Como Rλ conmuta con T , Rλ conmuta con Rµ, por (b). ♦

2.3.- Lema. Si T ∈ L(X), σ(T ) = σ(T ∗) y Rλ(T ∗) = Rλ(T )∗ si λ ∈ρ(T ∗) = ρ(T ).

Demostracion. Ver ejercicio 2 al final del capıtulo.

A continuacion enunciamos el teorema de la aplicacion espectral que ge-neraliza el resultado en dimension finita de que si λ es autovalor de unamatriz A, entonces p(λ) = anλn + · · · + a1λ + a0 es autovalor de la matrizp(A) = anAn + · · ·+a1A+a0I. Utilizaremos la notacion p(σ(T )) = µ ∈ C :µ = p(λ), λ ∈ σ(T ) y la notacion analoga p(ρ(T )) para la resolvente.

2.4.- Teorema (aplicacion espectral para polinomios). Si T ∈ L(X) yp(λ) = anλn + · · ·+ a1λ + a0, an 6= 0, entonces p(σ(T )) = σ(p(T )).

Demostracion. Supondremos que σ(T ) 6= ∅ (ver teorema 2.10).

Si n = 0, p(σ(T )) = a0 = σ(p(T )). Sea pues n > 0.

• Llamaremos S = p(T ) y Sµ = p(T ) − µI, µ ∈ C. Veamos que σ(S) ⊂p(σ(T )).

Fijado µ ∈ C, el polinomio Sµ(λ) = p(λ)− µ se factoriza como

Sµ(λ) = αn(λ− γ1) . . . (λ− γn)

lo que corresponde a

Sµ = p(T )− µI = αn(T − γ1I) . . . (T − γnI).

Si cada γj esta en ρ(T ), entonces existe S−1µ = (αn)−1(T − γnI)−1 . . . (T −

γ1I)−1 por lo que µ ∈ ρ(p(T )). Lo anterior prueba tambien que si µ ∈σ(p(T )), entonces γj ∈ σ(T ) para algun j. Por lo tanto, Sµ(γj) = p(γj)−µ =0, de donde µ = p(γj) ∈ p(σ(T )).

• Sea ahora µ ∈ p(σ(T )). Por definicion µ = p(β) para algun β ∈ σ(T ).Aquı se presentan dos posibilidades:

(∗) T − βI no tiene inversa.Como β es un cero del polinomio Sµ(λ) = p(λ)− µ, entonces Sµ(λ) =

203

(λ − β)g(λ) y tambien Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ). Ahora bien,como todos los factores de g(T ) conmutan con T−βI, es cierto tambienque Sµ = g(T )(T − βI).Si Sµ tuviera inversa, podrıamos poner

I = (T − βI)g(T )S−1µ = S−1

µ g(T )(T − βI),

pero esto indica que T − βI tiene inverso, lo cual contradice nuestrosupuesto. Por tanto Sµ no tiene inverso, es decir µ ∈ σ(p(T )).

(∗) T − βI tiene inverso. Esto indica que R(T − βI) 6= X pues, en casocontrario, β ∈ ρ(T ) por el teorema de la aplicacion abierta.Como Sµ = p(T )−µI = (T −βI)g(T ), entonces R(Sµ) 6= X, de dondeµ ∈ σ(p(T )). ♦

El teorema de la aplicacion espectral es tambien cierto en espacios masgenerales que los polinomios. Ası, si definimos el espacio

F (T ) = f : f es funcion analıtica en algun entorno de σ(T ),

entonces se puede demostrar que f(σ(T )) = σ(f(T )), ∀f ∈ F (T ) (ver[DS]).

El lema siguiente es un resultado basico que permitira deducir las propie-dades topologicas del espectro, ası como formulas de representacion para laresolvente.

2.5.- Lema. Sea X un espacio de Banach y T ∈ L(X). Si ‖T‖ < 1, entonces

existe (I − T )−1 ∈ L(X) e (I − T )−1 =∞∑

j=0T j, donde la serie converge en

la norma de L(X).

Demostracion. Como ‖T j‖ ≤ ‖T‖j y la serie geometrica∞∑

j=0‖T‖j converge

para ‖T‖ < 1, la serie∞∑

j=0T j converge absolutamente para ‖T‖ < 1.

Como X es de Banach, tambien lo es L(X) y la convergencia absoluta im-

plica la convergencia de la serie∞∑

j=0T j .

Llamemos S =∑∞

j=0 T j . Como

(I − T )(I + T + · · ·+ Tn) = (I + T + · · ·+ Tn)(I − T ) = I − Tn+1, ∀n,

y Tn+1 → 0 cuando n →∞, pues ‖T‖ < 1, entonces (I−T )S = S(I−T ) = Ide donde S = (I − T )−1. ♦

2.6.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador T ∈ L(X), donde X es deBanach complejo, es un conjunto cerrado.

204

Demostracion. Si ρ(T ) = ∅, es abierto. Sea pues ρ(T ) 6= ∅ y λ0 ∈ ρ(T ).

∀λ ∈ C, T − λI = (T − λ0I) − (λ − λ0)I = (T − λ0I)[I − (λ − λ0)(T −λ0I)−1].

Por el lema 2.1, (T − λ0I)−1 ∈ L(X) y por el lema 2.5, si llamamos V =

(λ−λ0)(T −λ0I)−1, existe (I−V )−1 =∞∑

j=0(λ−λ0)j(T −λ0I)−j , ∀λ tal que

‖V ‖ < 1, es decir cuando

(∗) |λ− λ0| <1

‖(T − λ0I)−1‖.

Esta desigualdad muestra que (T − λI)−1 ∈ L(X); por tanto, si λ verifica(∗), existe (T −λI)−1 = [(T −λ0I)(I−V )]−1 = (I−V )−1(T −λ0I)−1.

Ası pues, la desigualdad (∗) representa un entorno de λ0 formado por puntosregulares de T . Esto quiere decir que ρ(T ) es abierto, de modo que σ(T ) =C \ ρ(T ) es cerrado. ♦

De la demostracion del resultado anterior se obtiene inmediatamente el si-guiente teorema de representacion.

2.7.- Teorema. En las condiciones anteriores, si λ0 ∈ ρ(T ), se tiene larepresentacion para la resolvente

(∗∗) Rλ = (T − λI)−1 =∞∑

j=0

(λ− λ0)jRj+1λ0

,

donde la serie converge absolutamente en la bola |λ−λ0| < ‖(T−λ0I)−1‖−1,la cual esta contenida en ρ(T ).

2.8.- Corolario. Dado T ∈ L(X), la resolvente Rλ(T ), considerada comofuncion de λ con valores en L(X), es localmente holomorfa en ρ(T )1.

Demostracion. Para cualesquiera x ∈ X, f ∈ X ′, definimos h(λ) = f(Rλ(T )x).A partir de (∗∗) obtenemos el desarrollo en serie

h(λ) =∞∑

j=0

cj(λ− λ0)j con cj = f(Rλ0(T )j+1x)

que converge absolutamente en el disco |λ− λ0| < ‖Rλ0‖−1. ♦

Ademas ρ(T ) es el mayor conjunto en el cual Rλ(T ) es localmente holomor-fa por lo que podemos decir que es el dominio natural de analiticidad deRλ(T ).

1Dado un conjunto Ω abierto en C, si S : Ω → L(X) es una funcion que toma valores

operadores en X (donde escribiremos S(λ) = Sλ), decimos que S es localmente holomorfa en Ωsi ∀x ∈ X, f ∈ X ′, la funcion h(λ) = f(Sλx) es holomorfa en Ω.

205

2.9.- Teorema. Si T ∈ L(X), dado λ ∈ ρ(T ), entonces ‖Rλ(T )‖ ≥ 1/δ(λ)siendo δ(λ) = ınfs∈σ(T ) |λ−s| = d(λ, σ(T )). En consecuencia, ‖Rλ(T )‖ → ∞cuando δ(λ) → 0.

Demostracion. Si λ ∈ ρ(T ), entonces µ : |µ − λ| < ‖Rλ‖−1 ⊂ ρ(T ) dedonde d(λ, σ(T )) ≥ 1/‖Rλ‖ si suponemos que σ(T ) 6= ∅. ♦

2.10.- Teorema. Si T ∈ L(X), σ(T ) 6= ∅.

Demostracion. Si T = 0, evidentemente σ(T ) = 0 6= ∅.

Sea pues T 6= 0 y supongamos que σ(T ) = ∅. Entonces, ρ(T ) = C y existe(T − λI)−1 ∈ L(X), ∀λ ∈ C. Por el corolario 2,8, la funcion h(λ) = f(Rλx)es holomorfa en C, ∀x ∈ X, f ∈ X ′.

Probemos a continuacion que h es acotada en todo el plano complejo.

a) En el cırculo |λ| ≤ 2‖T‖, h es continua y por tanto acotada.

b) Si λ > 2‖T‖, la serie

(T − λI)−1 = − 1λ

(I − 1λ

T )−1 = − 1λ

∑n≥0

1λn

Tn

converge absolutamente, pues ‖(1/λ)T‖ < 1.

Ademas

‖(T − λI)−1‖ ≤ 1|λ|

·∑n≥0

1|λ|n

· ‖T‖n =1|λ|

· 11− 1

|λ|‖T‖=

1|λ| − ‖T‖

<1‖T‖

.

Se prueba ası que h esta acotada tambien en esta region pues

|h(λ)| ≤ ‖f‖ · ‖Rλ‖ · ‖x‖ <‖f‖ · ‖x‖‖T‖

.

En definitiva, h es holomorfa y acotada en C y, por el teorema de Liouville, hes constante. Esto implica que Rλ es independiente de λ, ası como tambienlo es R−1

λ = T − λI, lo cual es absurdo. ♦

El teorema anterior puede ser falso si se consideran espacios de Hilbert reales.Ası por ejemplo, si consideramos el operador T : R2 → R2 definido por la

matriz A =(

0 −11 0

), entonces T − λI no es inyectiva si y solo si λ es raız

de la ecuacion det(A − λI) = 0. Como R2 tiene dimension finita sobre R,σ(T ) = ∅.

2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de T ∈ L(X) es compacto y esta conte-nido en la bola cerrada B(0, ‖T‖).

206

Demostracion. Procediendo como en el teorema anterior, se tiene que

(∗ ∗ ∗) Rλ = − 1λ

∑n≥0

1λn

· Tn,

donde la serie converge cuando |λ| > ‖T‖. Esto implica que λ ∈ C : |λ| >‖T‖ esta contenido en ρ(T ), con lo que el espectro σ(T ) debe estar en eldisco B(0, ‖T‖). Como σ(T ) es ademas cerrado, es compacto. ♦

De este teorema se deduce en particular que ρ(T ) 6= ∅. El resultado motivaademas el siguiente concepto:

2.12.- Definicion. Si T ∈ L(X), se llama radio espectral de T a

rσ(T ) = sup|λ| : λ ∈ σ(T ),

es decir al radio del menor disco centrado en el origen que contiene aσ(T ).

Del teorema 2.11 es claro que rσ(T ) ≤ ‖T‖ (la figura adjunta ilustra lodicho). El siguiente resultado permite refinar esta acotacion.

rσ(T )σ(T ) ‖T‖

2.13.- Teorema (formula de Gelfand). Sea T ∈ L(X). Entonces

rσ(T ) = lımn‖Tn‖1/n = ınf

n≥1‖Tn‖1/n.

Demostracion. a) Probaremos en primer lugar que lımn→∞

‖Tn‖1/n = ınfn≥1

‖Tn‖1/n.

Fijado un entero positivo m, ∀n ∈ N, n = m · qn + rn con 0 ≤ rn < m. Estoimplica que

‖Tn‖1/n = ‖Tm·qn+rn‖1/n ≤ ‖Tm‖qn/n · ‖T‖rn/n.

Como qn/n → 1/m y rn/n → 0 cuando n →∞, resulta que

lım supn→∞

‖Tn‖1/n ≤ ‖Tm‖1/m,

de donde

lım supn→∞

‖Tn‖1/n ≤ ınfm≥1

‖Tm‖1/m ≤ lım infn→∞

‖Tn‖1/n.

207

b) Por el teorema de la aplicacion espectral, σ(Tn) = [σ(T )]n; es evidenteentonces que rσ(Tn) = [rσ(T )]n. Ahora bien, como rσ(Tn) ≤ ‖Tn‖, enton-ces

rσ(T ) = [rσ(Tn)]1/n ≤ ‖Tn‖1/n, ∀n.

Por tanto, rσ(T ) ≤ lımn→∞ ‖Tn‖1/n y la demostracion estara concluida silımn→∞ ‖Tn‖1/n = rσ(T ).

Recordando de nuevo la formula (∗ ∗ ∗), tenemos que Rλ = −κ∑

n≥0 κnTn,donde llamamos κ = 1/λ.

Por la formula de Hadamard, la serie anterior converge absolutamente cuan-do |κ| < r, donde 1/r = lımn→∞ ‖Tn‖1/n.

Como Rλ es localmente holomorfa en el conjunto resolvente ρ(T ), si llama-mos M al conjunto del plano que corresponde a ρ(T ) por la transformacionκ = 1/λ, sabemos que el radio de convergencia r es el radio del mayor discoabierto alrededor de κ = 0 que esta incluido completamente en M . Por tanto,1/r es el radio del menor cırculo alrededor de λ = 0 cuyo exterior esta com-pletamente incluido en ρ(T ). Como esta es precisamente la definicion de ra-dio espectral de T , resulta en definitiva que rσ(T ) = 1/r = lımn→∞ ‖Tn‖1/n,lo que prueba el enunciado. ♦

3. OPERADORES COMPACTOS.

Los operadores compactos son aquellos cuyas propiedades mas se asemejana las de los operadores lineales en espacios de dimension finita de modoque su teorıa espectral sera una extension directa de aquellos y una formasencilla de introducirse en este estudio. Ademas muchos de los operadoresque aparecen en el estudio de ecuaciones integrales son compactos. Ası, unaaplicacion de dicha teorıa espectral conduce a la teorıa de Fredholm paraecuaciones integrales.

Es sabido que un operador acotado transforma conjuntos acotados en con-juntos acotados. Si ademas dicho operador tiene rango finito, es decir laimagen tiene dimension finita, transforma conjuntos acotados en relativa-mente compactos. Esta propiedad nos lleva a introducir la siguiente clase deoperadores.

3.1.- Definicion. Sean X e Y espacios normados. Un operador T : X → Yes compacto o completamente continuo si es lineal y la imagen de todo sub-conjunto acotado en X es relativamente compacto (es decir, tiene clausura

208

compacta).

De la definicion se deduce que un operador lineal T : X → Y es compacto siy solo si T (B1) es compacto, siendo B1 = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 la bola unidaden X.

3.2.- Ejemplo. Una clase importante de operadores compactos la formanciertos operadores integrales. Ası, si X = L2([0, 1], dt), el operador T : X →X definido por (Tf)(s) =

∫ 10 k(s, t)f(t)dt, donde k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), es

compacto. Para comprobarlo, veamos que T (B1) es compacto.

Es claro que si f ∈ B1, Tf ∈ C[0, 1] y

‖Tf‖∞ ≤ ‖k‖∞∫ 1

0|f(t)|dt ≤ ‖k‖∞ · ‖f‖2 ≤ ‖k‖∞

de modo que T (B1) es un conjunto acotado de (C[0, 1], ‖·‖∞). Ademas T (B1)es un conjunto equicontinuo. En efecto, dado ε > 0, por ser k uniformementecontinuo en [0, 1]× [0, 1], existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε, ∀t ∈ [0, 1], |s1 − s2| < δ.

Por tanto, para todo f ∈ B1,

|(Tf)(s1)−(Tf)(s2)| ≤∫ 1

0|k(s1, t)−k(s2, t)|·|f(t)|dt < ε

∫ 1

0|f(t)|dt ≤ ε‖f‖2 ≤ ε.

Por el teorema de Arzela-Ascoli, T (B1) es compacto en (C[0, 1], ‖ · ‖∞).Entonces, si (fn)n∈N ⊂ B1, existe una subsucesion (fnk

)k∈N y una funcionf ∈ C[0, 1] tales que ‖Tfnk

− f‖∞ → 0, de donde ‖Tfnk− f‖2 → 0 lo que

prueba la compacidad de T .

Incluso si k ∈ L2([0, 1]× [0, 1], dsdt), el operador integral arriba definido escompacto (ver los ejercicios al final del capıtulo). Tales operadores se llamanoperadores de Hilbert-Schmidt y juegan un papel importante en el estudio deecuaciones diferenciales e integrales. Ası por ejemplo, el operador T originala ecuacion integral (T − λI)x(s) = y(s), donde λ ∈ C, es un parametro,y, k son funciones dadas y x es la funcion incognita. Hilbert probo que lasolubilidad de la ecuacion no depende de la existencia de la representacionintegral de T sino de que T es un operador compacto.

Es facil verificar que todo operador lineal acotado aplica conjuntos relati-vamente compactos en conjuntos relativamente compactos, de modo que lapropiedad de compacidad es mas fuerte que la de continuidad. El terminode operador completamente continuo viene sugerido por el siguiente resul-tado, en donde se prueba ademas que no todo operador acotado es compac-to.

209

3.3.- Lema. a) Todo operador compacto T : X → Y es acotado y, por tanto,continuo.

b) Si dim X = ∞, el operador identidad I : X → X no es compacto.

Demostracion. a) Como S = x ∈ X : ‖x‖ = 1 es acotado, T (S) escompacto y por tanto acotado. Ası pues sup

‖x‖=1‖Tx‖ < ∞, de donde T es

acotado.

b) La bola unitaria cerrada B = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 es acotada. Si dim X =∞, B no puede ser compacto (teorema 5.3, capıtulo II). De ahı que I(B) =B = B no sea relativamente compacto. ♦

Las siguientes caracterizaciones son a veces usadas como definicion de ope-rador compacto.

3.4.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Son equivalentes:

i) T es compacto.

ii) Dada cualquier sucesion xnn∈N acotada en X, su imagen Txnn∈Ntiene alguna sub-sucesion convergente.

iii) Dada cualquier sucesion xnn∈N ⊂ B(0, 1), Txnn∈N tiene alguna sub-sucesion convergente.

Demostracion. i) =⇒ ii): Si T es compacto y xnn∈N es acotada, la clau-sura del conjunto Txnn∈N es compacto. De aquı se deduce que Txnn∈Ncontiene alguna subsucesion convergente.

ii) =⇒ iii): es trivial.

iii) =⇒ i): Sea M ⊂ X un conjunto acotado e ynn∈N una sucesion arbitrariaen T (M). Entonces existe una sucesion xnn∈N en M tal que Txn = yn, ∀n.Como xnn∈N esta acotada, existe r > 0 tal que ‖xn‖ < r, ∀n. Por hipote-sis, la sucesion T (r−1xn)n∈N tiene una subsucesion convergente, digamosT (r−1xnk

)k∈N. Como Txnk= rT (r−1xnk

), la sucesion Txnk = ynk

tambien converge, lo que quiere decir que T (M) es compacto. ♦

Un operador T : X → Y se dice de rango finito cuando dim T (X) < ∞.El siguiente resultado prueba que todo operador acotado de rango finito escompacto. (En particular los operadores de Cn en Cn, objeto del AlgebraLineal, son siempre compactos.)

3.5.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Entonces

a) Si T es acotado y de rango finito, entonces T es compacto.

b) Si dim X < ∞, T es compacto.

210

Demostracion. a) Sea xnn∈N una sucesion acotada en X. De la desigualdad‖Txn‖ ≤ ‖T‖·‖xn‖, se deduce que Txnn∈N es acotada. Como dim T (X) <∞, Txnn∈N es relativamente compacto, de modo que tiene una subsucesionconvergente.

El apartado b) es consecuencia de a), pues T es acotado si dim X < ∞, ydim T (X) ≤ dim X < ∞. ♦

Observacion. Todo operador compacto se puede descomponer en suma dedos operadores donde uno tiene rango finito y el otro tiene norma menorque cualquier numero positivo (ver [LS]). Por eso, aunque el recıproco de3.5(a) no es cierto, los operadores compactos son casi de rango finito.

3.6.- Teorema. El conjunto T : X → X : T lineal y compacto es subes-pacio de L(X).

Demostracion. Dados S, T compactos y α, β ∈ E, consideramos una su-cesion xnn∈N acotada en X. Por hipotesis, Txnn∈N tiene una subsu-cesion, que llamaremos Txnk

k∈N, convergente. Aplicando ahora S, tam-bien existe una subsucesion de Sxnk

k∈N, Sxnkjj∈N, convergente. Como

ambas sucesiones, Txnkjj∈N y Sxnk

k∈N, son convergentes, es claro queαTxnkj

+ βSxnkjj∈N es convergente. ♦

3.7.- Teorema. Sean T : X → X un operador compacto y S : X → X unoperador lineal acotado. Entonces TS y ST son compactos.

Demostracion. Sea B ⊂ X acotado; entonces S(B) es acotado y T (S(B)) =TS(B) es relativamente compacto. Esto implica que TS es compacto.

Sea ahora xnn∈N una sucesion acotada en X; entonces Txnn∈N tieneuna subsucesion convergente Txnk

k∈N y, por ser S continuo, STxnkk∈N

tambien converge. Esto prueba que ST es compacto. ♦

Los dos ultimos teoremas prueban que la clase de operadores compactos esun ideal bilatero del anillo L(X).

Como consecuencia de lo anterior y del lema 3.3(b) se prueba que, en unespacio de dimension infinita, un operador compacto no admite inverso aco-tado.

El siguiente resultado prueba que la clase de los operadores compactos formaun subconjunto cerrado de L(X, Y ).

3.8.- Teorema. Sea Tnn∈N una sucesion de operadores lineales y compac-tos de X en Y , donde Y es de Banach. Si Tnn∈N converge uniformemente,es decir, ∃T : ‖Tn − T‖ → 0, entonces T es compacto.

Demostracion. Usaremos el llamado metodo diagonal, para lo cual sea xmm∈Nuna sucesion acotada en X. Como T1 es compacto, existe una subsucesion

211

x1m tal que T1x1m es de Cauchy. A su vez existe x2m subsucesion dex1m tal que T2x2m es de Cauchy. En general, existe una sub-sucesionxnm tal que Tnxnm es de Cauchy.

Si elegimos ahora la sub-sucesion diagonal ymm∈N con ym = xmm, ∀m,entonces Tnymm∈N es de Cauchy para cada n fijo. Como ymm∈N es tam-bien acotada, ∃c > 0 : ‖ym‖ ≤ c, ∀m. De la convergencia uniforme de lasucesion Tnn∈N se deduce que

∀ε > 0, ∃n0 : ‖T − Tp‖ < ε/3c, ∀p ≥ n0,

y, como Tpymm∈N es de Cauchy,

∃n1 : ‖Tpyj − Tpyk‖ < ε/3, ∀j, k ≥ n1.

Entonces

‖Tyj − Tyk‖ ≤ ‖Tyj − Tpyj‖+ ‖Tpyj − Tpyk‖+ ‖Tpyk − Tyk‖≤ ‖T − Tp‖ · ‖yj‖+ ε/3 + ‖Tp − T‖ · ‖yk‖< (ε/3c) · c + ε/3 + (ε/3c) · c = ε.

Como Y es completo, Tymm∈N converge, lo que prueba que T es compacto.♦

Observacion. El teorema es falso si sustituimos convergencia uniforme porconvergencia fuerte, como lo muestra el ejemplo de Tn : `2 → `2 definido porTnx = (x1, . . . , xn, 0, . . . ). Como Tn es lineal y acotado y dim Tn(`2) < ∞,es compacto para todo n. Ademas Tnx → x = Ix pero el operador identidadno es compacto pues dim `2 = ∞.

Ejemplo. Para probar que el operador T : `2 → `2 definido por Tx =(xn/n)n≥1 es compacto, definimos Tn : `2 → `2 del siguiente modo:

Tnx =(x1,

x2

2, . . . ,

xn

n, 0, . . .

).

Ası Tn es lineal y acotado y como dim Tn(`2) < ∞, es tambien compacto.Ademas

‖(T − Tn)x‖2 =∞∑

j=n+1

1j2|xj |2 ≤

1(n + 1)2

∞∑j=n+1

|xj |2 ≤‖x‖2

(n + 1)2.

Tomando el supremo sobre todos los x de norma 1, vemos que ‖T − Tn‖ ≤1

n+1 y el teorema anterior prueba que T es compacto.

Probaremos a continuacion que los operadores compactos aplican sucesionesdebilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes.

212

3.9.- Teorema. Sea T : X → Y un operador compacto. Si xnd→ x en X,

entonces Txnf→ Tx.

Demostracion. Llamamos yn = Txn e y = Tx.

Sea g ∈ Y ′ y definimos f : X → E por f(z) = g(Tz), ∀z ∈ X. Como T esacotado, f ∈ X ′ y

|f(z)| = |g(Tz)| ≤ ‖g‖ · ‖Tz‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖ · ‖z‖.

Por definicion, si xnd→ x, entonces f(xn) → f(x), es decir, g(Txn) → g(Tx),

o bien g(yn) → g(y). Como g es arbitrario, ynd→ y.

Si no fuera cierto que ynf→ y, existirıa ynk

k∈N subsucesion de ynn∈N talque ‖ynk

− y‖ ≥ η, para algun η > 0. Como xnn∈N converge debilmente,esta acotada y tambien lo estara xnk

k∈N. Como T es compacto, Txnkk∈N

tiene una subsucesion convergente, digamos yjj∈N y escribimos yj → y.

Como tambien yjd→ y, entonces y = y. En consecuencia ‖yj − y‖ → 0 pero

||yj − y‖ ≥ η > 0 lo cual es absurdo. ♦

Otra propiedad interesante es que los operadores compactos admiten clau-sura compacta.

3.10.- Teorema. Sean X un espacio normado, Y un espacio de Banachy T : X → Y un operador lineal compacto. Entonces existe T : X → Yextension lineal compacta.

Demostracion. Como T es acotado (lema 3.3.a), tiene una extension linealacotada T : X → Y . Veamos que T es compacto:

Sea xnn∈N una sucesion acotada en X. Por ser X denso en X, existe unasucesion xnn∈N en X tal que xn − xn → 0, ∀n. Evidentemente xnn∈Nesta acotada, de modo que Txnn∈N tiene una sub-sucesion convergente,Txnk

→ y ∈ Y . Como, en particular, xnk− xnk

→ 0, entonces

T xnk− T xnk

= T xnk− Txnk

→ 0,

de donde T xnk→ y, lo que prueba la compacidad de T . ♦

Un hecho fundamental en la resolucion de ecuaciones que involucran opera-dores compactos es el de que el adjunto de un operador compacto es tambiencompacto.

3.11.- Teorema (Schauder). Si T : X → Y es compacto, entonces T ∗ estambien compacto.

Demostracion. Basta ver que la imagen T ∗(B′) de la bola unidad B′ de Y ′

es relativamente compacto.

213

Sea B = B(0, 1) en X. Como T es compacto, T ( B) es relativamente com-pacto. Dado f ∈ B′, para cualquier y ∈ T ( B), tenemos

|f(y)| ≤ ‖f‖ · ‖y‖ = ‖f‖ · ‖Tx‖ ≤ ‖f‖ · ‖T‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖,

pues ‖f‖ < 1 y ‖x‖ ≤ 1. Esto indica que los funcionales de B′ estan uni-formemente acotados sobre T ( B). Por otra parte, dichos funcionales sonequicontinuos sobre T ( B) pues, si y1, y2 ∈ T ( B) y f ∈ B′, |f(y1)−f(y2)| =|f(y1 − y2)| ≤ ‖y1 − y2‖.

Una generalizacion del teorema de Arzela-Ascoli (capıtulo I, teorema 5.12)prueba que B′ es relativamente compacto para la convergencia uniformesobre T ( B).

Sea ahora una sucesion arbitraria (T ∗fn)n∈N ⊂ T ∗(B′). Como B′ es rela-tivamente compacto, existe una subsucesion (fni)i∈N de (fn), que convergeuniformemente sobre T ( B), es decir

supx∈B

|fni(Tx)− fnj (Tx)| = supx∈B

|T ∗(fni − fnj )(x)| = ‖T ∗(fni − fnj )‖ → 0.

Esto implica que la sucesion (T ∗fni)i∈N converge en norma, de modo queT ∗(B′) es relativamente compacto. ♦

4. DESCOMPOSICION ESPECTRAL DE LOS OPERADORESCOMPACTOS.

Obtenemos en esta seccion la descomposicion espectral de los operadorescompactos en espacios normados. Es notable el hecho de que las propie-dades espectrales de los operadores compactos son simples generalizacionesde la teorıa de autovalores de matrices finitas. Se deben a F. Riesz y J.Schauder los resultados fundamentales de la teorıa que desarrollamos a con-tinuacion.

En primer lugar veremos que si un operador compacto tiene infinitos auto-valores, estos pueden disponerse en una sucesion que converge a cero (masadelante se probara que el espectro de un operador compacto, a excepciondel cero, esta formado unicamente por autovalores).

4.1.- Teorema. El conjunto de autovalores de un operador compacto Tsobre un espacio normado X es finito o numerable y su unico posible puntode acumulacion es λ = 0.

214

Demostracion. Basta probar que para todo real k > 0, el conjunto

Ak = λ ∈ σp(T ) : |λ| ≥ k

es finito pues σp(T ) =⋃

k∈N Ak. Supongamos por el contrario que ∃k0 > 0tal que Ak0 es infinito. Existe entonces una sucesion λnn∈N de autovaloresdistintos tal que |λn| ≥ k0. Para cada λn, existe xn 6= 0 tal que Txn = λnxn

y el conjunto x1, . . . , xn es linealmente independiente (proposicion 1.2).Llamamos Mn = 〈x1, . . . , xn〉.

Como los Mn tienen dimension finita, son cerrados; por el lema de Riesz(capıtulo II, lema 5.1), existe una sucesion ynn∈N tal que

yn ∈ Mn, ‖yn‖ = 1, ‖yn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Mn−1.

Podemos pues escribir Tyn−Tym = λnyn− x, donde x = λnyn−Tyn +Tym.Supongamos m < n y probemos que x ∈ Mn−1:

ym ∈ Mm ⊂ Mn−1 = 〈x1, . . . , xn−1〉 =⇒ Tym ∈ Mn−1 pues Txj = λjxj .

Ademas, si yn =∑n

i=1 αixi, entonces

λnyn − Tyn =n∑

i=1

αi(λnxi − Txi) =n−1∑i=1

αi(λn − λi)xi ∈ Mn−1.

Ambos resultados conducen a que x ∈ Mn−1; por tanto, x = λ−1n x ∈ Mn−1

ası que

‖λnyn − x‖ = |λn| · ‖yn − x‖ ≥ 12|λn| ≥

12k0 =⇒ ‖Tyn − Tym‖ ≥

12k0.

Esto implica que Tynn∈N no tiene ninguna subsucesion convergente lo quecontradice la compacidad de T pues ynn∈N es acotado. ♦

Ejemplo. El conjunto de autovalores puede ser tambien vacıo como muestrael operador T : `2 → `2 definido por T (x) = (0, x1, x2/2, x3/3, . . . ).

El siguiente teorema prueba que un operador compacto solo tiene un numerofinito de vectores propios linealmente independientes asociados a un mismoautovalor no nulo, es decir el autoespacio correspondiente a cualquier auto-valor no nulo tiene dimension finita (utilizaremos la notacion Tλ = T − λI,para cualquier λ ∈ C).

4.2.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto. Entonces N(Tλ) escerrado y tiene dimension finita para todo λ 6= 0.

Demostracion. La primera parte es evidente pues T es continuo y N(Tλ) =(T − λI)−1(0) es la imagen inversa de un cerrado.

215

Por otra parte, debido al teorema 5.3 del capıtulo II, la dimension de N(Tλ)es finita si la bola unitaria cerrada M en N(Tλ) es compacta. Para ello seaxnn∈N una sucesion en M . Entonces xnn∈N es acotada y Txnn∈N tieneuna subsucesion convergente Txnk

k∈N. Pero Tλxn = Txn − λxn = 0, demodo que xn = λ−1Txn. Entonces la sucesion xnk

k∈N = λ−1Txnkk∈N

tambien converge y su lımite esta en M . Esto prueba que M es compacto.♦

Observacion. La hipotesis de compacidad es esencial pues, si T es el opera-dor identidad y λ = 1, basta tomar el espacio X de dimension infinita paraque N(Tλ) = N(0) = X no tenga dimension finita.

Por otra parte, en el caso λ = 0 tampoco se puede asegurar nada pues bastatomar T = 0 para que dim N(T0) = dim N(T ) = dim X que puede no serfinita.

4.3.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, dim N(Tnλ ) < ∞,

∀n ∈ N y λ 6= 0.

Demostracion. Del desarrollo

Tnλ = (T −λI)n =

n∑k=0

(n

k

)T k(−λ)n−k = (−λ)nI +T

n∑k=1

(n

k

)T k−1(−λ)n−k,

se deduce que podemos escribir Tnλ = W −µI, donde llamamos µ = −(−λ)n

y W = ST = TS, donde S =n∑

k=1

(nk

)T k−1(−λ)n−k, que es acotado por serlo

T .

Como T es compacto, W tambien es compacto (teorema 3.7) y del teoremaanterior se deduce la tesis. ♦

Sabemos que el rango de un operador acotado no es necesariamente cerrado,pero en el caso de operadores compactos tenemos lo siguiente.

4.4.- Teorema. Si T : X → X es compacto, el rango de Tλ es cerrado,∀λ 6= 0.

Demostracion. Supongamos que Tλ(X) no es cerrado. Entonces existe algunelemento y ∈ Tλ(X), y 6∈ Tλ(X) y una sucesion xnn∈N en X tales queyn = Tλxn → y.

Como y 6= 0, existe N ∈ N tal que yn 6= 0, ∀n > N , con lo que xn 6∈ N(Tλ).Supondremos sin perdida de generalidad que esto es cierto para todo n.Como N(Tλ) es cerrado, δn = ınfz∈N(Tλ) ‖xn − z‖ > 0. Por definicion deınfimo, existe alguna sucesion znn∈N en N(Tλ) tal que an = ‖xn − zn‖ <2δn.

Ahora veamos que an = ‖xn − zn‖ → ∞ por reduccion al absurdo.

216

Si lo anterior no es cierto, xn − znn∈N tiene alguna subsucesion acotada.Como T es compacto, T (xn − zn)n∈N tiene una subsucesion convergente.De la igualdad I = λ−1(T − Tλ) y usando que Tλzn = 0, tenemos

xn − zn = λ−1(T − Tλ)(xn − zn) = λ−1[T (xn − zn)− Tλxn].

Como Tλxnn∈N converge, xn−znn∈N tiene una subsucesion convergente,digamos xnk

− znk→ v. Como T es compacto, es continuo y ası tambien Tλ.

EntoncesTλ(xnk

− znk) = Tλxnk

→ Tλv,

de modo que Tλv = y. Esto contradice el hecho de que y 6∈ Tλ(X).

Por ultimo, si llamamos wn = a−1n (xn − zn), tenemos ‖wn‖ = 1. Debido a

que an →∞, Tλzn = 0 y Tλxnn∈N converge a y 6= 0, entonces

Tλwn = an−1Tλxn → 0.

Nuevamente, de I = λ−1(T − Tλ), deducimos que wn = λ−1(Twn − Tλwn).Como T es compacto y wnn∈N acotada, Twnn∈N tiene una subsucesionconvergente. Ademas, como hemos visto, Tλwnn∈N converge. Por tantownn∈N tiene una subsucesion convergente, wnk

→ w. Esto implica queTλw = 0, es decir w ∈ N(Tλ). Como tambien zn ∈ N(Tλ), un = zn + anw ∈N(Tλ). Entonces

‖xn − un‖ ≥ δn =⇒ δn ≤ ‖xn − zn − anw‖= ‖anwn − anw‖ = an‖wn − w‖ < 2δn‖wn − w‖

=⇒ 1/2 < ‖wn − w‖,

lo que es absurdo. ♦

4.5.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, el rango de Tnλ

es cerrado, ∀n ∈ N y λ 6= 0.

Demostracion. Basta observar que el operador W definido en la demostra-cion del corolario 4.3 es compacto. ♦

Es evidente comprobar que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(Tn

λ ) ⊂ . . .

y T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ Tn

λ (X) ⊃ . . .

En el caso de operadores compactos, estas inclusiones pueden refinarse delsiguiente modo.

4.6.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un enteropositivo r tal que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(T r

λ) = N(T r+1λ ) = . . .

217

y las inclusiones son estrictas.

Demostracion. Escribiremos por comodidad Nn = N(Tnλ ).

*) Es evidente que Nm ⊂ Nm+1. Supongamos que no hay ningun m para elque Nm = Nm+1. Como Nn es cerrado para todo n, por el lema de Riesz(capıtulo II, lema 5.1), existe una sucesion ynn∈N tal que

yn ∈ Nn, ‖yn‖ = 1, ‖yn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Nn−1.

De Tλ = T − λI, tenemos que T = Tλ + λI y Tyn − Tym = λyn − x dondex = Tλym + λym − Tλyn.

Si m < n, claramente λym ∈ Nm ⊂ Nn−1. Ademas,

0 = Tmλ ym = Tm−1

λ (Tλym),

de donde Tλym ∈ Nm−1 ⊂ Nn−1.

Analogamente, de yn ∈ Nn obtenemos Tλyn ∈ Nn−1. Lo anterior indica quex ∈ Nn−1 y tambien x = λ−1x ∈ Nn−1. Entonces

‖Tyn − Tym‖ = ‖λyn − x‖ = |λ| · ‖yn − x‖ ≥ |λ|/2

y Tynn∈N no tiene ninguna subsucesion convergente pero T es compacto.Esto quiere decir que existe m tal que Nm = Nm+1.

*) Veamos ahora que Nm = Nm+1 =⇒ Nn = Nn+1, ∀n > m.

Si x ∈ Nn+1, entonces Tn+1λ x = 0. Si llamamos z = Tn−m

λ x, entoncesz ∈ Nm+1. Por hipotesis z ∈ Nm, de modo que x ∈ Nn. ♦

Para los rangos el resultado analogo es el siguiente.

4.7.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un enteropositivo q tal que

T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ T q

λ(X) = T q+1λ (X) = . . .

y las inclusiones son estrictas.

Demostracion. La prueba es paralela a la anterior y escribiremos Rn =Tn

λ (X).

*) Supongamos que para todo s, Rs 6= Rs+1, es decir Rn+1 es subespaciopropio de Rn, para todo n. Por el lema de Riesz, existe una sucesion xnn∈Ntal que

xn ∈ Rn, ‖xn‖ = 1, ‖xn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Rn+1.

Como T = Tλ + λI, Txm − Txn = λxm − (−Tλxm + Tλxn + λxn). Por unlado, λxm ∈ Rm y como xm ∈ Rm, Tλxm ∈ Rm+1.

218

Ademas, si n > m, Tλxn + λxn ∈ Rn ⊂ Rm+1; entonces existe x ∈ Rm+1 talque Txm − Txn = λ(xm − x), de donde

‖Txm − Txn‖ = |λ| · ‖xm − x‖ ≥ |λ|/2 > 0.

Como T es compacto, Txnn∈N debe tener alguna subsucesion convergente,lo que contradice la desigualdad anterior. Esto prueba que existe s ∈ Z+ talque Rs = Rs+1.

*) Ademas Rq+1 = Rq significa que Tλ aplica Rq sobre sı mismo. Sucesivasaplicaciones de Tλ dan lugar a Rn+1 = Rn, ∀n > q. ♦

Combinando los dos lemas anteriores llegamos al siguiente resultado.

4.8.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto y λ 6= 0. Entoncesexiste r ∈ N tal que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(T r

λ) = N(T r+1λ ) = . . .

T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ T r

λ(X) = T r+1λ (X) = . . .

y las inclusiones son propias.

Demostracion. Debido a los dos lemas anteriores, solo falta probar que q =r.

a) Probemos que q ≥ r. Por el lema 4.7, Rq+1 = Rq. Ası, si y ∈ Rq,∃x ∈ Rq : y = Tλx.

Veamos en primer lugar que

(∗) Tλx = 0, x ∈ Rq =⇒ x = 0.

Si no fuera cierto, existirıa x1 ∈ Rq, x1 6= 0, tal que Tλx1 = 0.

En esta situacion debe existir x2 ∈ Rq tal que x1 = Tλx2. Sucesivamente,tenemos para todo n

0 6= x1 = Tλx2 = · · · = Tn−1λ xn, pero 0 = Tλx1 = · · · = Tn

λ xn.

Esto implica que xn ∈ Nn \ Nn−1, de donde Nn−1 ⊂ Nn, Nn−1 6= Nn, ∀n,lo que contradice el lema 4.6.

Veamos ahora que Nq+1 = Nq (esto implicara que q ≥ r pues r es el menorentero que da la igualdad). Teniendo en cuenta (∗),

x ∈ Nq+1 =⇒ T q+1λ x = 0 =⇒ Tλ(T q

λx) = 0 =⇒ T qλx = 0 =⇒ x ∈ Nq.

Como siempre Nq ⊂ Nq+1, se deduce la igualdad.

Queda probado entonces que q ≥ r.

219

b) Veamos ahora que q ≤ r. Para ello, basta ver que Nq−1 es subespaciopropio de Nq, pues r es el menor entero n para el que Nn = Nn+1.

Por la definicion de q, la inclusion Rq ⊂ Rq−1 es propia.

Sea y ∈ Rq−1 \Rq. Entonces ∃x ∈ X : y = T q−1λ x. Como Tλy ∈ Rq = Rq+1,

existe z ∈ X : Tλy = T q+1λ z. Veamos que x− Tλz ∈ Nq \Nq−1:

T q−1λ (x− Tλz) = y − T q

λz 6= 0 pues y 6∈ Rq y T qλz ∈ Rq =⇒ x− Tλz 6∈ Nq−1;

T qλ(x− Tλz) = Tλy − Tλy = 0 =⇒ x− Tλz ∈ Nq.

Resulta entonces que Nq−1 es subespacio propio de Nq. ♦

El siguiente teorema, aplicacion del resultado anterior, es analogo al conocidoen el caso de dimension finita y representa la principal herramienta en elestudio de los operadores compactos.

4.9.- Teorema (descomposicion espectral). Sean X, T, λ, r como en los teo-remas previos. Entonces X tiene la descomposicion

X = N(T rλ)⊕ T r

λ(X).

Demostracion. Dado x ∈ X, debemos encontrar una descomposicion x =y + z, con y ∈ N(T r

λ), z ∈ T rλ(X).

Si llamamos z = T rλx, por el teorema 4.8, como z ∈ Rr, z ∈ R2r y existe

x1 ∈ X tal que z = T 2rλ x1.

Llamamos ahora x0 = T rλx1; entonces T r

λx0 = T 2rλ x1 = z = T r

λx, de dondex− x0 ∈ Nr y x = (x− x0) + x0 con x− x0 ∈ Nr, x0 ∈ Rr.

Para comprobar que la descomposicion es unica, llamemos v0 ∈ Nr ∩ Rr.Entonces existe v ∈ X : v0 = T r

λv y ademas T rλv0 = 0, de donde T 2r

λ v =T r

λv0 = 0. Esto quiere decir que v ∈ N2r = Nr. Ası T rλv = v0 = 0. ♦

Ejemplo. Sea T : R2 → R2 el operador definido por T =(

1 −1−1 1

).

Para λ = 2, se obtiene r = 1 y la descomposicion R2 = N(T2) ⊕ T2(R2),donde N(T2) = 〈(1,−1)〉 y T2(R2) = 〈(1, 1)〉.

Para λ 6= 0 y λ 6= 2, la descomposicion es trivial R2 = 0 ⊕ R2.

Probaremos por ultimo las siguientes sencillas propiedades espectrales.

4.10.- Teorema. Si X es un espacio de Banach de dimension infinita yT ∈ L(X) un operador compacto, entonces 0 ∈ σ(T ).

Demostracion. Si 0 ∈ ρ(T ), existirıa T−1 = T−10 ∈ L(X). Como T es com-

pacto, I = T−1T es compacto, lo que no es posible pues dim X = ∞.♦

220

4.11.- Teorema (caracterizacion del espectro). Sea X un espacio de Banachy T : X → X compacto. Todo punto espectral λ 6= 0 de T (si existe) esautovalor.

Nota. El teorema tambien es cierto en espacios normados generales (verejercicio 13).

Demostracion. Si N(Tλ) 6= 0, λ es autovalor de T .

Si N(Tλ) = 0, entonces existe T−1λ : Tλ(X) → X. Como 0 = N(I) =

N(T 0λ ) = N(Tλ), se obtiene el valor r = 0 en el teorema 4.8. Entonces

X = T 0λ (X) = T 1

λ (X) =⇒ Tλ es biyectiva y T−1λ es acotado por el teorema

de la aplicacion abierta, ya que X es completo. En definitiva λ ∈ ρ(T ).♦

5. ECUACIONES LINEALES DE OPERADORES COMPACTOS.ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM.

La teorıa espectral de operadores compactos fue desarrollada por Riesz paraestudiar las ecuaciones integrales lineales. Aquı la aplicaremos para probarel teorema de alternativa de Fredholm, que relaciona el comportamientode los operadores compactos con la solubilidad de ciertas ecuaciones. Losresultados que obtendremos extienden los resultados analogos de AlgebraLineal.

Sean X un espacio normado y A : X → X un operador compacto y definimosT = A−I. Damos a continuacion una cadena de proposiciones que muestranla estrecha relacion que existe entre las soluciones de las ecuaciones

Tx = y (1)T ∗f = g (2)

y sus correspondientes ecuaciones homogeneas asociadas.

5.1.- Teorema. Dado y ∈ X, la ecuacion (1) tiene solucion si y solo sif(y) = 0, para todo funcional lineal f solucion de la ecuacion homogeneaT ∗f = 0.

Demostracion. Si Tx = y tiene solucion x0 ∈ X y f es un funcional linealtal que T ∗f = 0, entonces

f(y) = f(Ax0−x0) = f(Ax0)−f(x0) = (A∗f)(x0)−f(x0) = (T ∗f)(x0) = 0.

221

Recıprocamente, supongamos que f(y) = 0, para todo funcional lineal ftal que T ∗f = 0. Si y 6∈ T (X), entonces d(y, T (X)) = d > 0 pues, al serA compacto, T (X) es cerrado. Por el teorema de Hahn-Banach, existe f0

funcional lineal tal que f0(y) = 1 y f0(z) = 0, ∀z ∈ T (X). De esta igualdadse deduce que

0 = f0(Ax− x) = (A∗f0 − f0)(x) = (T ∗f0)(x), ∀x ∈ X =⇒ T ∗f0 = 0.

Por hipotesis f0(y) = 0 lo que contradice la construccion anterior. ♦

5.2.- Corolario. Si la ecuacion homogenea adjunta A∗f − f = 0 solo tienela solucion trivial f = 0, la ecuacion Ax − x = y tiene solucion para todoy ∈ X.

Enunciamos a continuacion un lema auxiliar que utilizaremos en la propo-sicion siguiente (su demostracion se propone en el ejercicio 7 al final delcapıtulo).

5.3.- Lema. Si X es un espacio normado y A : X → X un operador linealcompacto, entonces existe α > 0 tal que, para todo valor de y para el que(1) tiene solucion, al menos una de esas soluciones x satisface la acotacion‖x‖ ≤ α‖y‖.

5.4.- Teorema. Para que la ecuacion (2) con g ∈ X ′ dado tenga solucion, esnecesario y suficiente que g(x) = 0 para todo x ∈ X solucion de la ecuacionhomogenea Tx = 0.

Demostracion. La necesidad se deduce inmediatamente de la igualdad

g(x) = (T ∗f)(x) = f(Tx) = f(0) = 0.

Para la suficiencia, definimos en L = T (X) un funcional f0 como f0(y) =g(x), donde y = Tx. Dicho funcional esta bien definido pues, si Tx = Tu,entonces

A(x− u)− (x− u) = 0 =⇒ g(x− u) = 0 =⇒ g(x) = g(u).

Es facil ver que f0 es lineal; para ver que esta acotado, utilizamos el lemaanterior, es decir que ‖x‖ < α‖y‖ para algun x tal que Tx = y, y algunα > 0. Entonces

|f0(y)| = |g(x)| ≤ ‖g‖ · ‖x‖ ≤ ‖g‖ · α · ‖y‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, f0 se puede extender a f definido en X demodo que

f(Tx) = f(y) = f0(y) = g(x) =⇒ (T ∗f)(x) = g(x)

lo que produce una solucion de (2). ♦

222

5.5.- Corolario. Si Tx = 0 solo admite la solucion trivial x = 0, la ecuacionT ∗f = g admite solucion para todo g.

Ademas de lo anterior existe una estrecha relacion entre la solubilidad de laecuacion homogenea y la de la ecuacion no homogenea asociada.

5.6.- Teorema. Si A es un operador compacto en un espacio normado X,la ecuacion (1) tiene solucion para todo y ∈ X si y solo si la ecuacionhomogenea asociada Tx = 0 solo tiene la solucion trivial. En este caso lasolucion de (1) es unica y el operador T = A−I tiene inverso acotado.

Demostracion. a) Por hipotesis, para cada y ∈ X, existe x ∈ X tal queTx = y. Supongamos sin embargo que existe x1 6= 0 tal que Tx1 = 0.

Aplicando la hipotesis a x1, existe x2 ∈ X tal que Tx2 = x1.

Procediendo por recurrencia, obtenemos una sucesion (xn)n∈N ⊂ X tal quexn = Txn+1, ∀n ∈ N. Tenemos ası:

0 6= x1 = Tx2 = · · · = Tn−1xn y 0 = Tx1 = T 2x2 = · · · = Tnxn, ∀n ∈ N.

Esto implica que xn ∈ N(Tn) \N(Tn−1), ∀n ∈ N lo que contradice el lema4.6 (recordemos que T = A− I = A1).

b) Supongamos ahora que x = 0 es la unica solucion de la ecuacion ho-mogenea Tx = 0. Por el corolario 5.5, ∀g ∈ X ′ la ecuacion T ∗f = g tienesolucion.

Como A∗ tambien es compacto, podemos aplicar la implicacion probada ena) para concluir que T ∗f = 0 solo tiene la solucion trivial.

Por el corolario 5.2, la ecuacion Tx = y tiene solucion, ∀y ∈ X.

c) Para ver que la solucion de (1) es unica, supongamos que existen x1, x2 ∈X tales que Tx1 = Tx2 = y. Entonces T (x1 − x2) = 0. Ahora bien, comoTx = 0 solo tiene la solucion trivial, debe ser x1 = x2.

d) Por ultimo, como Tx = y tiene solucion unica, se puede definir T−1y = x,∀y ∈ X. Ademas T−1 esta acotado pues, por el lema 5.3, existe α > 0 talque ‖x‖ = ‖T−1y‖ ≤ α‖y‖. ♦

5.7.- Corolario. La ecuacion T ∗f = g tiene solucion para todo g ∈ X ′ siy solo si f = 0 es la unica solucion de la ecuacion homogenea T ∗f = 0. Eneste caso, la ecuacion T ∗f = g tiene solucion unica.

Nuestro siguiente resultado se basa en el lema que enunciamos a continua-cion, y cuya demostracion puede hacerse por induccion.

5.8.- Lema. Si X es un espacio normado y f1, . . . , fm un conjunto li-nealmente independiente en X ′, existe un conjunto z1, . . . , zm ⊂ X talque fj(zk) = δjk (j, k = 1, . . . m).

223

Un par de conjuntos como los que verifican el lema recibe el nombre desistema biortogonal.

5.9.- Teorema. Las ecuaciones Tx = 0 y T ∗f = 0 tienen el mismo numerode soluciones linealmente independientes.

Demostracion. Debemos probar que dim N(T ) = dim N(T ∗). Al ser A y A∗

compactos, n = dim N(T ) < ∞ y m = dim N(T ∗) < ∞.

a) Si suponemos n = 0, la ecuacion Tx = 0 solo tiene la solucion trivialx = 0. Por el corolario 5.5, la ecuacion T ∗f = g tiene solucion ∀g ∈ X ′.Por el corolario 5.7, f = 0 es la unica solucion de T ∗f = 0, con lo quem = 0.

b) Sean ahora n > 0, m > 0 y consideremos una base de N(T ), x1, . . . , xn.Para cada k ∈ 1, . . . , n, consideramos el subespacio Mk generado por elconjunto x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn. Como xk 6∈ Mk, d(xk,Mk) = δk >0.

Por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach,

∃gk ∈ X ′ : ‖gk‖ = 1, gk(xk) = 1, gk(xi) = 0 (i 6= k).

Si consideramos tambien una base f1, . . . , fm de N(T ∗), el lema anteriorafirma que existe un conjunto z1, . . . , zm ⊂ X tal que fj(zk) = δjk (j, k =1, . . . ,m).

c) Supongamos que n < m y definamos el operador S : X → X porSx = Ax +

∑nj=1 gj(x)zj . Es facil comprobar que S es lineal y compac-

to. Veamos tambien que la ecuacion homogenea Sx − x = 0 solo tiene lasolucion trivial.

En efecto, si suponemos que Sx0−x0 = 0, entonces fk(Sx0−x0) = fk(0) = 0(k = 1, . . . ,m), de donde

0 = fk(Sx0 − x0) = fk(Tx0 +n∑

j=1

gj(x0)zj) = fk(Tx0) +n∑

j=1

gj(x0)fk(zj)

= fk(Tx0) + gk(x0) = (T ∗fk)(x0) + gk(x0) = gk(x0), k = 1, . . . , n.

Entonces Sx0 − x0 = Tx0 +∑n

j=1 gj(x0)zj = Tx0. Como Sx0 − x0 = 0por hipotesis, resulta que x0 ∈ N(T ); por tanto, x0 =

∑nj=1 αjxj . Enton-

ces

0 = gk(x0) =n∑

j=1

αjgk(xj) = αk, k = 1, . . . , n,

lo que implica que x0 = 0.

224

Aplicando el teorema 5.6, la ecuacion Sx − x = y tiene solucion ∀y ∈ X.En particular, para y = zn+1 (recordamos que n < m), existe x = v tal queSv − v = zn+1. De aquı obtenemos:

1 = fn+1(zn+1) = fn+1(Sv − v) = fn+1

(Tv +

n∑j=1

gj(v)zj

)= fn+1(Tv) +

n∑j=1

gj(v)fn+1(zj) = (T ∗fn+1)(v).

Por otro lado, fn+1 ∈ N(T ∗) lo que lleva a una contradiccion; deducimospues que n < m es imposible.

d) Supongamos ahora que n > m. Definimos analogamente S : X ′ → X ′

por Sf = A∗f +∑m

j=1 f(zj)gj .

Nuevamente, S es lineal y compacto. Ademas f0 = 0 es la unica solucion deSf − f = 0 lo que se prueba de forma analoga al obtenido en c). Aplicandonuevamente el teorema 5.6, deducimos que Sf − f = g tiene solucion paracualquier g ∈ X ′. En particular, para g = gm+1 existe f = h tal que Sh−h =gm+1. Entonces

1 = gm+1(xm+1) = (Sh− h)(xm+1)

= (T ∗h)(xm+1) +m∑

j=1

h(zj)gj(xm+1) = (T ∗h)(xm+1) = h(Txm+1).

Ahora bien, como xm+1 ∈ N(T ), T (xm+1) = 0, de modo que h(Txm+1) = 0lo que es absurdo.

De c) y d) se deduce que n = m. ♦

Observacion. Debido a que la ecuacion

(1′) Ax− λx = y, λ 6= 0

se puede escribir como λ−1Ax−x = λ−1y y a que λ−1A es compacto a la vezque A, los teoremas anteriores son validos para las ecuaciones (1′) y

(2′) A∗f − λf = g, λ 6= 0

en lugar de (1) y (2).

Las relaciones obtenidas en las proposiciones anteriores motivan la adopciondel concepto de alternativa.

5.10.- Definicion. Un operador A ∈ L(X) sobre un espacio normado Xsatisface la alternativa de Fredholm si cumple alguna de las siguientes con-diciones:

225

(I) Las ecuaciones no homogeneas Ax = y, A∗f = g (donde A∗ representael adjunto de A) tienen soluciones x, f para cualesquiera y ∈ X, g ∈ X ′,respectivamente, y dichas soluciones son unicas. En este caso las ecuacioneshomogeneas asociadas solo tienen las soluciones triviales.

(II) Las ecuaciones homogeneas Ax = 0, A∗f = 0, tienen el mismo numerofinito de soluciones linealmente independientes x1, . . . , xn, f1, . . . , fn,n ≥ 1, respectivamente. En particular las ecuaciones no homogeneas Ax = y,A∗f = g tienen soluciones si y solo si fk(y) = 0, g(xk) = 0, k = 1, . . . , n,respectivamente.

Con esta nocion, todo lo anterior se puede agrupar enunciando el siguienteresultado general de alternativa.

5.11.- Teorema (alternativa de Fredholm). Sea A : X → X un operadorlineal compacto sobre un espacio normado X y λ 6= 0. Entonces Aλ =A − λI verifica la alternativa de Fredholm. Las soluciones generales de lasecuaciones (1′) y (2′) son respectivamente de la forma x = x0 +

∑nk=1 αkxk,

f = f0 +∑n

k=1 λkfk, donde x0, f0 son soluciones particulares y αk, λk

constantes arbitrarias.

Este resultado generaliza el obtenido por Fredholm sobre existencia de so-luciones de ecuaciones integrales del tipo

g(s) + µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt = f(s),

donde ahora X = C[a, b], el nucleo k es una funcion continua y g ∈ C[a, b]es dado. La ecuacion anterior puede escribirse como g = (I − µA)f , dondeel operador (Af)(s) =

∫ ba k(s, t)f(t)dt es compacto. Aplicando el teorema de

alternativa, se deduce facilmente el siguiente resultado:

5.12.- Teorema (Fredholm). Sea D = (s, t) : a ≤ s, t ≤ b y k : D → Cuna funcion continua. Si µ es un numero complejo no nulo, una de lassiguientes alternativas es cierta:

a) o bien cada una de las ecuaciones

f(s) = g(s) + µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (3) (3)

f(s) = g(s) + µ

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (4) (4)

tiene solucion unica f ∈ C[a, b] para cada g ∈ C[a, b],

226

b) o bien las dos ecuaciones homogeneas

f(s) = µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (5) (5)

f(s) = µ

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (6) (6)

tienen soluciones no nulas f ∈ C[a, b].

Si se cumple (b), las ecuaciones (5) y (6) tienen el mismo numero de so-luciones linealmente independientes en C[a, b]; la ecuacion (3) tiene so-luciones f ∈ C[a, b] si y solo si

∫ ba g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] solu-

cion de (6); y la ecuacion (4) tiene soluciones f ∈ C[a, b] si y solo si∫ ba g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] solucion de (5).

Por ultimo, el conjunto µ ∈ C : se cumple (b) es numerable y no tienepuntos de acumulacion.

Demostracion. Definimos los operadores integrales K, K ′ : C[a, b] → C[a, b]por

(Kf)(s) =∫ b

ak(s, t)f(t)dt, (K ′f)(s) =

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, ∀s ∈ [a, b].

Ası definidos, K y K ′ son compactos. Las ecuaciones (3) a (6) se puedenescribir en la forma

(I − µK)f = g, (I − µK ′)f = g,

(I − µK)f = 0, (I − µK ′)f = 0.

Debido a que K ′ no es el adjunto de K no se puede aplicar el teorema dealternativa 5.11. Sin embargo, veremos que K ′ y K∗ estan estrechamenteligados.

Definimos para cada g ∈ C[a, b] el funcional Jg : C[a, b] → C por

Jg(f) =∫ b

ag(s)f(s)ds.

Es facil comprobar que Jg ∈ C[a, b]′ y que la aplicacion J : C[a, b] → C[a, b]′

definida por Jg = Jg es inyectiva.

Probaremos ahora que K∗ J = J K ′. En efecto, ∀f, g ∈ C[a, b],

(K∗Jg)(f) = Jg(Kf) =∫ b

ag(s)(Kf)(s)ds

=∫ b

ag(s)

(∫ b

ak(s, t)f(t)dt

)ds =

∫ b

af(t)

(∫ b

ak(s, t)g(s)ds

)dt

=∫ b

af(t)(K ′g)(t)dt = JK′g(f).

227

De lo anterior se deduce que (I∗ − µK∗) J = J (I − µK ′) y, como J esinyectiva, J [N(I − µK ′)] = N(I∗ − µK∗) ∩ J(C[a, b]), de donde

dim N(I − µK ′) = dim J [N(I − µK ′)] = dim[N(I∗ − µK∗) ∩ J(C[a, b])]≤ dim N(I∗ − µK∗) = dim N(I − µK).

Como la relacion entre K y K ′ es simetrica, podemos intercambiar K conK ′ y obtener la desigualdad contraria, con lo que

(∗) dim N(I − µK ′) = dim N(I − µK) = dim(I∗ − µK∗).

Como µK y µK ′ son compactos, se obtiene la tesis aplicando el teorema dealternativa de Fredholm. En efecto:

- Supongamos que (I−µK)f = 0 solo tiene la solucion trivial. Debido a (∗),la ecuacion (I −µK ′)f = 0 solo tiene la solucion trivial. Por el teorema 5.6,las ecuaciones (I − µK)f = g, (I − µK ′)f = g tienen soluciones unicas, conlo que queda probado (a).

- Supongamos ahora que (I − µK)f = 0 tiene alguna solucion f0 6= 0. Otravez, por (∗), la ecuacion (I − µK ′)f = 0 tiene alguna solucion no nula, loque prueba el apartado (b).

- La misma condicion (∗) muestra que (5) y (6) tienen el mismo numero desoluciones linealmente independientes.

- Veamos ahora que (I−µK)f = g tiene solucion si y solo si∫ ba g(s)h(s) = 0

para cualquier h solucion de (I − µK ′)h = 0.

Sean pues f y h tales que (I − µK)f = g y (I − µK ′)h = 0. Entonces,como

g(s) = f(s)− µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt,

resulta∫ b

ag(s)h(s)ds =

∫ b

ah(s)f(s)ds− µ

∫ b

a

[∫ b

ak(s, t)f(t)dt

]h(s)ds

=∫ b

ah(s)f(s)ds−µ

∫ b

a

[∫ b

ak(s, t)h(s)ds

]f(t)dt

=∫ b

ah(s)f(s)ds−

∫ b

ah(t)f(t)dt = 0.

Recıprocamente, si h es solucion de (I−µK ′)h = 0, entonces J(I−µK ′)h =0, de donde (I∗−µK∗)(Jh) = 0, es decir Jh es solucion de (I∗−µK∗)f = 0.Como, por hipotesis, (Jh)g = 0, por el teorema 5.1, (I − µK)f = g tienesolucion.

Analogamente se procede con el caso dual. ♦

228

(Ver [BN] y [RN] para desarrollos similares y aplicaciones del mismo te-ma.)

229

EJERCICIOS.

1. Sea T ∈ L(X).

a) Probar que el conjunto ∆ = λ ∈ C : T − λI es biyectiva pero(T − λI)−1 no es continua es vacıo.

b) Probar que σ(T ) \ σp(T ) = λ ∈ C : T − λI es inyectivo pero nosobre.

Resp.: a) Es consecuencia directa del teorema de la aplicacion abierta.

b) Teniendo en cuenta que

σp(T ) = λ ∈ C : T − λI es no inyectiva

resulta que σ(T ) \ σp(T ) = λ ∈ C : T − λI inyectiva no sobre ∪∆ yel resultado es consecuencia del apartado a).

Observacion. Este hecho sugiere la distincion hecha en la teorıa entreespectro puntual y espectro no puntual.

2. Sea T ∈ L(X). Probar que σ(T ) = σ(T ∗) y Rλ(T ∗) = Rλ(T )∗,∀λ ∈ ρ(T ∗) = ρ(T ) (lema 2.3).

Resp.: Utilizaremos las siguientes propiedades:

(T − λI)∗ = T ∗ − λI

∃T−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ∃(T ∗)−1 ∈ L(X ′) y (T−1)∗ = (T ∗)−1.

Ası pues,

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ (T − λI)−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ((T − λI)−1)∗ ∈ L(X ′)⇐⇒ (T ∗ − λI) ∈ L(X ′) ⇐⇒ λ ∈ ρ(T ∗).

Como σ(T ) = C \ ρ(T ), se deduce que σ(T ) = σ(T ∗).

Por otra parte, ∀λ ∈ ρ(T ) = ρ(T ∗),

Rλ(T ∗) = (T ∗ − λI)−1 = ((T − λI)∗)−1 = ((T − λI)−1)∗ = (Rλ(T ))∗.

230

3. Sea X normado. Probar que el conjunto de operadores invertibleses abierto en L(X).

Resp.: Sea T ∈ L(X) invertible. Probemos que ∃r > 0 tal que la bolaB(T, r) esta formada por operadores invertibles. Para ello elegimosr = ‖T−1‖−1; si S ∈ B(T, r), entonces ‖S − T‖ < ‖T−1‖−1. Veamosque S es invertible:

‖T−1S − I‖ = ‖T−1(S − T )‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖S − T‖ < 1=⇒ ∃(I − (T−1S − I))−1 ∈ L(X)=⇒ ∃(T−1S)−1 ∈ L(X) =⇒ ∃S−1 ∈ L(X).

4. Sea X de Banach y T ∈ L(X). Probar que

lımn→∞

‖Tn‖1/n < 1 =⇒ (I − T )−1 =∑n≥0

Tn

y converge en la norma de L(X).

Resp.: Sea α < 1 tal que lımn→∞ ‖Tn‖1/n < α. Entonces ‖Tn‖ < αn,∀n > N . De este modo, la serie

∑n≥0 ‖Tn‖ es convergente y, por ser

L(X) de Banach, tambien∑

n≥0 Tn converge.

Llamamos S =∑

n≥0 Tn y Sm =∑m

n=0 Tn; entonces S = lımm→∞ Sm

y(I − T )Sn = Sn(I − T ) = I − Tn+1.

Como ‖Tn‖ < αn, lımn→∞ ‖Tn‖ = 0, de donde lımn→∞ Sn = (I −T )−1.

De este resultado se obtiene la formula de Neumann: si T ∈ L(X) yλ ∈ C son tales que |λ|−1 > lımn ‖Tn‖1/n, entonces lımn ‖(λT )n‖1/n <1, de modo que I − λT es invertible y

(I − λT )−1 =∑n≥0

λnTn,

donde la serie converge en la norma de L(X).

231

5. Sea X un espacio de dimension infinita y A : X → X un operadorcompacto. Probar que A−1, si existe, no es acotado.

Resp.: Supongamos que A−1 ∈ L(X). Por ser A compacto y la clasede operadores compactos un ideal bilatero de L(X), se deduce queI = AA−1 es compacto. Pero, como la dimension del espacio es infinita,el operador identidad no puede ser compacto.

6. Sea X un espacio normado, z ∈ X, f ∈ X ′ elementos fijos. Defi-nimos A : X → X por Ax = f(x)z. Probar que A es compacto.

Resp.: Sea xnn∈N una sucesion acotada en X, ‖xn‖ ≤ M , ∀n. Vea-mos que Axnn∈N posee alguna subsucesion convergente.

Como f es acotado, |f(xn)| ≤ ‖f‖ · ‖xn‖ ≤ ‖f‖ ·M , lo que prueba quef(xn)n∈N es una sucesion uniformemente acotada. Por el teorema deBolzano-Weierstrass, tiene una subsucesion, f(xnk

)k∈N, convergente,digamos a λ. Como Axnk

= f(xnk)z, resulta que Axnk

→ λz, lo queprueba el enunciado.

7. Sea T : X → X un operador compacto. Probar que existe unaconstante M > 0 tal que

∀y ∈ R(Tλ), ‖T−1λ y‖ ≤ M‖y‖.

Resp.: Sea y 6= 0 un elemento de R(Tλ) y x0 ∈ X tal que (T −λI)x0 = y. Como dim N(Tλ) < ∞, N(Tλ) es cerrado. Entonces existew ∈ N(Tλ) tal que d(x0, N(Tλ)) = ‖x0 − w‖ > 0. Si llamamos x =x0 − w, entonces Tλx = y y, si probamos que existe M > 0 tal qued(x0, N(Tλ)) ≤ M‖Tλx0‖, entonces

‖x‖ = ‖x0 − w‖ ≤ M‖Tλx0‖ = M‖y‖.

Supongamos por el contrario que no existe tal M , es decir que

(∗) ∀n > 0, ∃yn ∈ R(Tλ) : ‖T−1λ yn‖ > n‖yn‖.

Entonces existe una sucesion (xn)n∈N ⊂ X tal que Tλxn = yn, ∀n y,como yn 6= 0, xn 6∈ N(Tλ), ∀n.

232

Como N(Tλ) es cerrado, si llamamos dn = d(xn, N(Tλ)), entoncesdn > 0, ∀n. Por tanto, ∃wn ∈ N(Tλ) tal que dn ≤ ‖xn−wn‖ < 2dn. Seaahora vn = ‖xn−wn‖−1(xn−wn); ası, ‖vn‖ = 1 y, por ser T compacto,existe una subsucesion (vnk

)k∈N tal que (Tvnk)k∈N es convergente.

Por otra parte, de la igualdad

yn = Tλxn = Tλ(xn − wn) = Tλ(‖xn − wn‖ · vn)

y teniendo en cuenta (∗), se deduce que ‖xn −wn‖ · ‖vn‖ > n‖yn‖, dedonde

‖Tλvn‖ = ‖xn − wn‖−1 · ‖yn‖ < 1/n, ∀n ∈ N.

Esto implica que Tλvn → 0. Como ademas vn = −λ−1(Tλvn − Tvn),deducimos que (vnk

)k∈N tambien converge, en contradiccion con ladefinicion de vn (ver prueba del teorema 4.4).

8. Dado un espacio vectorial X y un subespacio M de X, se llamacodimension de M a codim M = dim X/M , cuando esta cantidades finita.

a) Probar que M tiene codimension finita si y solo si existe Nsubespacio de X con dimension finita tal que X = M ⊕N .

b) Si X es un espacio normado y T : X → X es un opera-dor compacto, probar que R(T − λI) tiene codimension finita ycodim R(T − λI) = dim N(T − λI).

Resp.: a) Supongamos que x1+M, . . . , xn+M es una base de X/M .Es evidente que x1, . . . , xn es linealmente independiente. LlamamosN al espacio generado por dicho conjunto. Ası, ∀x ∈ X, x + M =∑n

k=1 αk(xk + M), es decir x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N , y ladescomposicion es unica.

Recıprocamente, si y1, . . . , yn es una base de N , definimos ϕ : N →X/M por ϕ(yk) = yk + M (restriccion a N de la aplicacion canonica).Como, por hipotesis, X = M ⊕ N , ϕ es biyectiva. Esto implica quedim X/M = codim M = n.

b) Por el teorema espectral de operadores compactos,

(∗) X = N(T rλ)⊕R(T r

λ).

Por tanto, debido que que Tλ(R(T rλ)) = R(T r

λ), deducimos que(∗∗)

R(Tλ) = Tλ(X) = Tλ(N(T rλ))⊕ Tλ(R(T r

λ)) = Tλ(N(T rλ))⊕R(T r

λ).

233

Por otra parte, es facil probar que Tλ(N(T rλ)) ⊂ N(T r

λ), lo que permitedefinir S = Tλ|N(T r

λ) : N(T rλ) → N(T r

λ).

Como N(T rλ) tiene dimension finita, dim N(T r

λ) = dim N(S)+dim R(S),de donde dim N(S) = codim R(S).

Por el apartado a), existe N ⊂ N(T rλ) tal que N(T r

λ) = R(S) ⊕ N ,con dim N = codim R(S). Sustituyendo esta descomposicion en (∗) yaplicando (∗∗), resulta:

X = R(S)⊕N ⊕R(T rλ) = N ⊕R(Tλ),

de modo que codim R(Tλ) = dim N = dim N(S) = dim N(Tλ) puesN(Tλ) = N(S).

9. Sea k un nucleo continuo en el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Probar que el

operador integral T : C[0, 1] → C[0, 1], definido por Tx(s) =∫ 1

0k(s, t)x(t)dt,

es compacto.

Resp.: Sea M ⊂ C[0, 1] un conjunto acotado. Probemos que T (M) esrelativamente compacto en la metrica de C[0, 1].

Por hipotesis, existe K > 0 tal que ‖x‖∞ ≤ K, ∀x ∈ M .

• Veamos que Tx es una funcion uniformemente acotada, ∀x ∈ M :

Si λ = max0≤s,t≤1 |k(s, t)|, entonces |Tx(s)| ≤ λ ·K.

• Veamos ademas que Tx es equicontinua, ∀x ∈ M :

Sea para ello ε > 0 arbitrario. Como k es uniformemente continuo,existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε/K, si |s1 − s2| < δ, ∀t ∈ [0, 1].

Entonces

|Tx(s1)− Tx(s2)| ≤∫ 1

0|k(s1, t)− k(s2, t)| · |x(t)|dt < ε

si |s1 − s2| < δ.

Aplicando ahora el teorema de Arzela-Ascoli, deducimos que el con-junto T (M) es relativamente compacto.

234

10. Probar que el operador integral T : L2[0, 1] → L2[0, 1] defini-

do por Ax(s) =∫ 1

0k(s, t)x(t)dt, donde

∫ 1

0

∫ 1

0k2(s, t)dsdt < ∞, es

compacto.

Resp.: Supongamos en primer lugar que k es continua en [0, 1]× [0, 1]y llamemos λ = max

0≤s,t≤1|k(s, t)|. Para ver que T es compacto, sea M

un conjunto acotado en L2[0, 1] y ‖x‖2 ≤ K, ∀x ∈ M .

Por la desigualdad de Holder, ∀x ∈ M,

|Tx(s)| ≤∫ 1

0|k(s, t)x(t)|dt ≤

(∫ 1

0|k(s, t)|2dt

)1/2 (∫ 1

0|x(t)|2dt

)1/2

≤ λ·K,

de lo que se deduce que T (M) es uniformemente acotado.

Ademas, T (M) es equicontinua pues, si elegimos ε > 0 arbitrariamen-te, existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε/K, si |s1 − s2| < δ, t ∈ [0, 1].

Entonces

|Tx(s1)−Tx(s2)| ≤(∫ 1

0|k(s1, t)− k(s2, t)|2dt

)1/2 (∫ 1

0|x(t)|2dt

)1/2

< ε.

Del teorema de Arzela-Ascoli se deduce que T es compacto.

Supongamos ahora que k es un nucleo arbitrario en L2([0, 1]× [0, 1]).Consideramos una sucesion knn∈N de nucleos continuos convergentea k en L2([0, 1] × [0, 1]). Si definimos Tnx(s) =

∫ 10 kn(s, t)x(t)dt, se

obtiene que

‖Tx− Tnx‖2 =∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0[k(s, t)− kn(s, t)]x(t)dt

∣∣∣∣2 ds

≤∫ 1

0

∣∣∣∣( ∫ 1

0|k(s, t)− kn(s, t)|2dt

)·( ∫ 1

0|x(t)|2dt

)∣∣∣∣ ds

= ‖x‖22 ·

∫ 1

0

∫ 1

0|k(s, t)− kn(s, t)|2dtds.

Esto implica que ‖T − Tn‖ ≤(∫ 1

0

∫ 10 |k(s, t)− kn(s, t)|2dsdt

)1/2y, en

consecuencia, que Tn → T . Por el teorema 3.8 se deduce que T escompacto.

235

11. Sea T : `2 → `2 definido por T (x1, x2, . . . ) = (0, x2, 0, x4, . . . ). Cal-cular N(Tn

λ ), ∀n ∈ N. Deducir que T no es compacto.

Resp.: Por definicion, Tλ(x1, x2, . . . , ) = (−λx1, (1− λ)x2,−λx3, (1−λ)x4, . . . ).

Procediendo por recurrencia, obtenemos que

Tnλ (x1, x2, . . . ) = ((−λ)nx1, (1− λ)nx2, (−λ)nx3, (1− λ)nx4, . . . ).

De este modo, x ∈ N(Tnλ ) ⇐⇒ (−λ)nx2k−1 = 0, (1−λ)nx2k = 0, ∀k ∈

N.

En el caso λ = 0, resulta N(Tnλ ) = (x1, 0, x3, 0, . . . ) : xk ∈ C.

Si λ = 1, N(Tnλ ) = 〈(0, x2, 0, x4, 0, . . . ) : xk ∈ C〉. Este espacio tiene

dimension infinita, lo que implica que T no es compacto.

12. En el espacio `2 definimos los operadores compactos

A(x1, x2, . . . ) = (x2, x3/2, x4/3, . . . ),B(x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2/2, x3/3, . . . ),C(x1, x2, . . . ) = (x1, x2/2, x3/3, . . . ).

Probar que 0 ∈ σp(A), 0 ∈ σr(B), 0 ∈ σc(C).

Resp.: a) Por definicion, λ ∈ σp(A) ⇐⇒ N(Aλ) 6= 0. Ahora bien,como

Aλ(x1, x2, . . . ) = (x2 − λx1, x3/2− λx2, x4/3− λx3, . . . ),

resulta que

x ∈ N(Aλ) ⇐⇒ xn+1/n− λxn = 0, ∀n ∈ N⇐⇒ xn+1 = nλxn = · · · = n!λnx1, ∀n ∈ N.

En particular, el elemento (1, λ, 2λ2, . . . , n!λn, . . . ) ∈ N(Aλ). Haciendoλ = 0, e1 = (1, 0, 0, . . . ) ∈ N(A0) lo que indica que 0 ∈ σp(A).

b) Por definicion, λ ∈ σr(B) ⇐⇒ (B − λI)−1 esta definido en unconjunto no denso de `2, es decir R(Bλ) 6= `2.

En este caso,

y ∈ R(Bλ) ⇐⇒ ∃x ∈ `2 : −λx1 = y1, xn/n− λxn+1 = yn+1, ∀n ∈ N.

236

Para λ = 0, B0x = y ⇐⇒ 0 = y1, xn/n = yn+1, ∀n ∈ N, de modoque el espacio generado por e1 = (1, 0, . . . ) 6∈ R(B0). Esto implica queR(B0) 6= `2 y 0 ∈ σr(B).

c) Si llamamos (en)n∈N a la base canonica de `2, es evidente que R(C) =`2, pues Cen = (1/n)en, ∀n ∈ N. Ası pues, existe el inverso C−1 yesta definido en todo el espacio; sin embargo, C−1 no esta acotadopues

C−1en = nen =⇒ ‖C−1en‖2 = |n| · ‖en‖2 = |n|.

Por definicion, 0 ∈ σc(C).

13. Sean X un espacio normado y T ∈ L(X) un operador compacto.Probar que todo punto espectral no nulo de T es autovalor.

Resp.: Sea λ ∈ σ(T ), λ 6= 0 y supongamos que existe T−1λ . Probemos

que λ ∈ ρ(T ):

Por hipotesis, la ecuacion homogenea Tλx = 0 solo tiene la soluciontrivial x = 0. Por el teorema 5.6, la ecuacion Tλx = y tiene solucionpara cualquier y ∈ X. El mismo teorema prueba que el operador T−1

λ

esta definido en todo X y esta acotado, lo que significa que λ ∈ ρ(T ).

14. Resolver la ecuacion integral x(s)− µ

∫ 1

0x(t)dt = 1, en el espacio

L2[0, 1].

Resp.: Consideramos en primer lugar la ecuacion homogenea

x(s)− µ

∫ 1

0x(t)dt = 0.

De la igualdad x(s) = µ

∫ 1

0x(t)dt, deducimos que

x(s) = µ

∫ 1

0

[µ

∫ 1

0x(r)dr

]dt = µ2

∫ 1

0x(r)dr = µx(s),

de donde (1 − µ)x(s) = 0. Descomponemos pues el problema en doscasos:

237

a) Si µ 6= 1, la unica solucion de la ecuacion homogenea es la trivial.Ası pues, la ecuacion propuesta tiene solucion unica.Debido a que el operador asociado Tx(s) =

∫ 10 x(t)dt tiene norma

uno, pues

‖Tx‖22 =

∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0x(t)dt

∣∣∣∣2 ds = ‖x‖22,

en el caso |µ| < ‖T‖−1 = 1 la solucion puede expresarse mediantela formula de Neumann

x = 1 + µT (1) + µ2T 2(1) + · · · = 11− µ

,

solucion que tambien es valida cuando |µ| > 1.

b) Si µ = 1, cualquier funcion constante es solucion de la ecuacionhomogenea. Sabemos por el teorema 5.12 que la ecuacion dadatiene solucion si y solo si

∫ 10 1 · h(s)ds = 0, para cualquier h

solucion de la homogenea asociada (observar que T = T ∗). Ahorabien, como la ultima igualdad no es cierta para las funcionesconstantes, deducimos que la ecuacion dada no tiene solucion.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Propiedades espectrales de las algebras de Banach ([Kr]).

2. Algebras-C∗ ([Ru]).

3. Principio del punto fijo de Schauder y sus aplicaciones ([LS]).

4. Aplicaciones de las ecuaciones integrales a la teorıa del potencial ([RN]).

238

VI. TEORIA ESPECTRALEN ESPACIOS DEHILBERT

La teorıa espectral de cierta clase de operadores en espaciosde Hilbert fue iniciada por el propio Hilbert en 1904; tiene impor-tantes aplicaciones a problemas de analisis clasico, especialmenteen ecuaciones diferenciales. Tambien es una herramienta indis-pensable en el estudio de algebras de operadores en espacios deHilbert, que son los que forman la base matematica de la Mecani-ca Cuantica. Probaremos en este capıtulo el teorema espectral deoperadores autoadjuntos y normales sobre espacios de Hilbert.Dicho teorema sera una generalizacion del teorema de diagona-lizacion de las matrices hermıticas y representa la introduccionmas natural a la teorıa espectral de operadores arbitrarios enespacios de Hilbert.

SECCIONES

1. Introduccion.

2. Propiedades espectrales de operadores normales y autoadjuntos.

3. Teorema espectral de operadores normales compactos.

4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos compactos.

5. Operadores positivos.

6. Operadores proyeccion.

7. Funciones de operadores acotados autoadjuntos.

8. Teorema espectral de operadores autoadjuntos.

9. Teorema espectral de operadores autoadjuntos: segunda version.

10. Ejercicios.

239

1. INTRODUCCION.

En este capıtulo ilustraremos el desarrollo de la teorıa espectral en espa-cios de Hilbert probando el teorema espectral de operadores autoadjuntos ynormales. Recordamos que, dado un operador lineal acotado T ∈ L(H1,H2)entre dos espacios de Hilbert complejos H1 y H2, se define el adjunto de Tcomo el operador T ∗ : H2 → H1 tal que ∀x ∈ H1, y ∈ H2 : 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉y se prueba que T ∗ ∈ L(H2,H1) y ‖T ∗‖ = ‖T‖. Un operador T ∈ L(H) esautoadjunto cuando T ∗ = T .

Los operadores autoadjuntos son una generalizacion directa de las matri-ces hermıticas, pues si T : Cn → Cn es un operador autoadjunto y (aij)la matriz asociada a T respecto de una base ortonormal de Cn, sabemosque aij = aji, i, j = 1, . . . , n, es decir la matriz es hermıtica. Recorda-remos en primer lugar el teorema de factorizacion de matrices hermıticasque se generalizara posteriormente con el teorema espectral de operadoresautoadjuntos.

Teorema. Sea H el espacio euclıdeo n-dimensional y T : H → H un opera-dor autoadjunto. Existe entonces una base ortonormal u1, . . . , un de H for-mada por vectores propios de T , es decir ∃λ1, . . . , λn ∈ C : Tuj = λjuj , j =1, . . . , n.

Para motivar los conceptos que se aplicaran a lo largo del capıtulo, damosotros enunciados equivalentes y consecuencias inmediatas del teorema ante-rior.

1.- Si llamamos Hi = 〈ui〉, i = 1, . . . , n, entonces THi ⊂ Hi; por tan-to,

H = H1 ⊕ · · · ⊕Hn suma directa ortogonal.

Todo espacio de dimension finita se puede descomponer como suma directaortogonal de subespacios de dimension 1 cada uno de ellos T -invariante.

2.- Si llamamos ahora Ti = T |Hi , i = 1, . . . , n, entonces

T = T1 + · · ·+ Tn.

3.- El teorema tambien se puede enunciar ası:

Existe una base u1, . . . , un de H respecto de la cual la matriz asociada es

diagonal Λ =

λ1 0. . .

0 λn

.

4.- Dada una base u1, . . . , un deH, si definimos la transformada de Fourierde un elemento x = c1u1 + · · · + cnun ∈ H como x = (x(1), . . . , x(n)) =

240

(c1, . . . , cn), se tiene:

x = x(1)u1 + · · ·+ x(n)un〈x, y〉 = x(1) y(1) + · · ·+ x(n) y(n)

Tx =n∑i=1

λix(i)ui.

Si definimos la funcion a : 1, . . . , n → C por a(i) = λi, entonces

y = Tx⇐⇒ y(i) = a(i)x(i),

es decir, aplicar el operador T a un elemento x equivale a multiplicar por ala transformada de Fourier x de x.

5.- Como toda funcion x definida en 1, . . . , n es la transformada de Fourierde algun x ∈ H y |x(1)|2+· · ·+|x(n)|2 <∞, llamando µ a la medida discretadefinida en R y concentrada en los puntos 1, . . . , n, se puede pensar x comoun elemento de L2(µ) siendo la correspondencia x 7→ x un isomorfismo entreH y L2(µ). El resultado de 3.- se puede expresar ahora como:

Existe un isomorfismo x 7→ x de H en L2(µ) en el que el operador T setransforma en la multiplicacion por a.

6.- Si llamamos S al espacio de los n primeros numeros naturales S =1, . . . , n con la topologıa discreta, se puede pensar la funcion real a comoun elemento de Cr(S) = f : S → R : f continua.

Si B = c0I + c1T + · · ·+ ckTk y definimos b(i) = c0 + c1a(i) + · · ·+ cka(i)k,

entoncesy = Bx⇐⇒ y(i) = b(i) · x(i), i = 1, . . . , n.

Mas generalmente, ∀b ∈ Cr(S), se puede definir un operador B por la formu-la anterior. Como la base u1, . . . , un es ortogonal,

‖x‖2 =∑

|x(i)|2, ‖Bx‖2 =∑

|b(i)|2 · |x(i)|2

=⇒ ‖B‖ = supi∈S

|b(i)| = ‖b‖∞.

En particular, si bn(i) → b(i), entonces Bn → B en norma.

7.- Supongamos ahora que a(i) 6= 0, ∀i ∈ S y a(i) 6= a(j) si i 6= j. Elconjunto de los operadores B correspondientes a los posibles b ∈ Cr(S)coincide con el algebra a = a(T ) generada por T , es decir el algebra deoperadores B = lımn

∑nk=1 ckT

k.

Ademas, si B ≥ 0, entonces b(i) ≥ 0 pues b(i) = 〈Bui, ui〉. Se tiene enton-ces:

241

Existe un isomorfismo B 7→ b de a en Cr(S) tal que ‖B‖ = ‖b‖∞ y siB ≥ 0, entonces b(i) ≥ 0. En particular a T le corresponde la funciona(i) = λi.

8.- Para cada ∆ intervalo de R, se puede definir el operador P (∆) : H → Hpor y = P (∆)x si y(i) = ϕ∆(i)x(i), siendo ϕ∆ la funcion caracterıstica de∆. Dicho operador verifica:

i) P (∆) es un proyector en H.

ii) P (∅) = 0 y P (R) = I.

iii) Si ∆ =⋃n∈N

∆n, union disjunta, P (∆) =∑n∈N

P (∆n) = lımn

n∑k=1

P (∆k).

iv) Si ∆ = ∆1 ∩∆2, P (∆) = P (∆1) · P (∆2).

Se dice que P (∆) es la medida espectral de T pues P (∆) tiene las propie-dades de una medida comun salvo que no es un numero sino un proyec-tor.

9.- Si ∆j ∩ S = j, entonces P (∆j)x = x(j)uj , es decir, P (∆j) es laproyeccion sobre el autoespacio Hj = 〈uj〉 correspondiente a λj . Se tieneası la descomposicion I = P (∆1) + · · ·+ P (∆n) y

(∗) T = a(1)P (∆1) + · · ·+ a(n)P (∆n).

En definitiva:

A todo operador autoadjunto T le corresponde una medida espectral P (∆)con las propiedades i) a iv) de modo que se cumple (∗), formula llamadadescomposicion espectral de T .

Esta forma tan sencilla de expresar la imagen por T de cualquier elementox ∈ H es lo que hace atractiva la descomposicion. Otra forma de escribirla representacion anterior, mas adecuada para su generalizacion al caso dedimension infinita, se obtiene de la siguiente forma:

Suponemos como antes que los autovalores λ1, . . . , λn del operador T sondiferentes y que λ1 < . . . < λn; llamamos nuevamente u1, . . . , un a labase ortonormal de autovectores asociada y ∆i un intervalo en R tal que∆i ∩ S = i (i = 1, . . . , n).

Si Pi = P (∆i) : H → H es la proyeccion definida por Pix = x(i)ui =〈x, ui〉ui, se definen las proyecciones

E0 = 0, Ek =∑i≤k

Pi, k = 1, . . . , n

242

Entonces, para todo x ∈ H se tiene la descomposicion

x =n∑i=1

(Ei − Ei−1)x y Tx =n∑i=1

λi(Ei − Ei−1)x.

Mas generalmente, si definimos

Eλ =∑λi≤λ

Pi, λ ∈ R,

tenemos que P1 = Eλ1 , Pi = Eλi− Eλi−1

(i = 2, . . . , n).

Como Eλ es constante si λ ∈ [λj−1, λj) (j = 2, . . . , n), podemos escribirtambien Pj = Eλj

−Eλj−0 (j = 1, . . . , n), con lo que, para todo x ∈ H,

x =n∑j=1

Pjx =n∑j=1

(Eλj−Eλj−0)x y Tx =

n∑j=1

λjPjx =n∑j=1

λj(Eλj−Eλj−0)x.

Si llamamos dEλ = Eλ − Eλ−0, podemos escribir T =∑n

j=1 λjdEλj, que es

la llamada representacion espectral de T . De esta representacion se obtieneademas que 〈Tx, y〉 =

∑nj=1 λjd〈Eλj

x, y〉, expresion que puede escribirsetambien como integral de Riemann-Stieltjes 〈Tx, y〉 =

∫∞−∞ λdµ(λ), donde

µ(λ) = 〈Eλx, y〉.

Debido a lo anterior se pueden hacer operaciones algebraicas numericas conel operador y tener informacion sobre el nuevo espectro. Por ejemplo, siT =

∑nk=1 λkPk, T

3 =∑n

k=1 λ3kPk y σ(T 3) = λ3

1, . . . , λ3n. Recıprocamente,

se pueden definir nuevos operadores como funciones del operador conocido.Por ejemplo, cosT = (cosλ1)P1 + · · ·+ (cosλn)Pn.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES NOR-MALES Y AUTOADJUNTOS.

Los operadores autoadjuntos pueden estudiarse como caso particular de losoperadores normales. Recordamos que un operador A ∈ L(H), donde H unespacio de Hilbert complejo, es normal cuando AA∗ = A∗A. Un ejemplotıpico lo forman los operadores de multiplicacion Mϕ ∈ L(L2(R)) definidospor Mϕf = ϕ · f , con ϕ ∈ L∞(R) fija. En este caso σr(Mϕ) = ∅, σp(Mϕ) =λ ∈ C : m(ϕ−1(λ)) > 0, ρ(Mϕ) = λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s..En conclusion σ(Mϕ) = ϕ(R).

243

Estudiaremos en esta seccion algunas propiedades de estas clases de opera-dores, que permitiran simplificar los argumentos en el desarrollo posteriorde la teorıa.

2.1.- Teorema. Un operador A ∈ L(H) es normal si y solo si ‖A∗x‖ =‖Ax‖, ∀x ∈ H.

Demostracion. Basta observar que ∀x ∈ H,

‖Ax‖2 = 〈Ax,Ax〉 = 〈A∗Ax, x〉 y ‖A∗x‖2 = 〈A∗x,A∗x〉 = 〈AA∗x, x〉. ♦

Una consecuencia inmediata de este resultado es que los nucleos N(A) yN(A∗) coinciden si A es normal.

En cuanto a la estructura de los operadores autoadjuntos, probaremos lossiguientes resultados.

2.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) operadores autoadjuntos y α, β ∈ R.Entonces αS + βT es autoadjunto. Ademas ST es autoadjunto si y solo siTS = ST .

Demostracion. De las propiedades del producto escalar, es evidente que

〈(αS + βT )x, y〉 = α〈Sx, y〉+ β〈Tx, y〉 = α〈x, Sy〉+ β〈x, Ty〉= 〈x, αSy〉+ 〈x, βTy〉 = 〈x, (αS + βT )y〉.

Con respecto a la segunda parte, si TS = ST , entonces

〈(ST )x, y〉 = 〈Tx, Sy〉 = 〈x, TSy〉 = 〈x, STy〉.

Recıprocamente, si ST es autoadjunto,

〈STx, y〉 = 〈x, STy〉 = 〈Sx, Ty〉 = 〈TSx, y〉, ∀x, y =⇒ TS = ST. ♦

2.3.- Teorema. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto si y solo si 〈Tx, x〉es real, ∀x ∈ H.

Demostracion. Si T es autoadjunto, 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉 de donde〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ H.

Recıprocamente, si 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ H, entonces, por definicion de adjun-to,

〈Tx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈T ∗x, x〉 =⇒ 〈(T − T ∗)x, x〉 = 0, ∀x ∈ H.

Como H es un espacio complejo, T − T ∗ = 0 (ver ejercicio 36 del capıtuloIII), es decir T es autoadjunto. ♦

244

Veremos posteriormente otras similitudes entre ciertas clases de operadoresy algunos subconjuntos del campo complejo, que motivaran algunas propie-dades importantes de aquellos.

2.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, entonces ‖T‖ = sup‖x‖=1

|〈Tx, x〉|.

Demostracion. Llamemos α = sup‖x‖=1

|〈Tx, x〉|. Por la desigualdad de Cauchy-

Schwarz,∀x ∈ H, |〈Tx, x〉| ≤ ‖Tx‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖2.

Esto indica por un lado que α ≤ ‖T‖.

Para probar la desigualdad contraria, sean x, y ∈ H. Entonces

〈T (x+ y), x+ y〉 − 〈T (x− y), x− y〉 = 4Re〈Tx, y〉.

Si aplicamos la desigualdad triangular y la identidad del paralelogramo,obtenemos:

4|Re〈Tx, y〉| ≤ |〈T (x+ y), x+ y〉|+ |〈T (x− y), x− y〉|≤ α

(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2

)= 2α

(‖x‖2 + ‖y‖2

).

En particular, si tomamos x ∈ H con ‖x‖ = 1 y Tx 6= 0, y = ‖Tx‖−1Tx,resulta

‖Tx‖ = Re〈Tx, ‖Tx‖−1Tx〉 ≤ 12α(1 + 1) = α.

Obtenemos ası que ‖T‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖ ≤ α. ♦

2.5.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y M un subespacio de H inva-riante bajo T , entonces M⊥ es tambien invariante bajo T .

Demostracion. Es evidente pues, dados x ∈M, y ∈M⊥ arbitrarios,

0 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 =⇒ Ty⊥M. ♦

Estudiaremos a continuacion las propiedades espectrales de estas clases deoperadores. Ası como en los espacios de dimension finita el espectro nopuntual es vacıo, en los operadores normales probaremos que este se reduceal espectro continuo. Esto permite simplificar el estudio del espectro paraestos operadores, que son ademas los que se presentan en los ejemplos mascomunes.

2.6.- Teorema. Si A ∈ L(H) es normal, σr(A) = ∅.

Demostracion. Sea λ ∈ σr(A), λ 6= 0. Entonces (A− λI)H es un subespaciopropio de H. Por el teorema de proyeccion, existe un elemento v ∈ H no nulotal que 〈(A− λI)h, v〉 = 0, ∀h ∈ H. Entonces 〈h, (A∗ − λI)v〉 = 0, ∀h ∈ H

245

lo que implica que (A∗− λI)v = 0 ası como ‖(A∗− λI)v‖2 = ‖(A−λI)v‖2 =0.

Deducimos ası que λ es autovalor, lo que contradice la suposicion inicial.♦

2.7.- Teorema. Si A es normal, rσ(A) = ‖A‖. Ademas, existe λ ∈ σ(A)tal que |λ| = ‖A‖.

Demostracion. a) Por ser A normal, ∀x ∈ H

‖Ax‖ = ‖A∗x‖ =⇒ ‖A(Ax)‖ = ‖A∗(Ax)‖=⇒ ‖A2‖ = sup

‖x‖=1‖A2x‖ = sup

‖x‖=1‖A∗Ax‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2.

Utilizando el hecho de que si A es normal, entonces Ak es normal, ∀k ∈ N,se prueba por induccion que ‖A2k‖ = ‖A‖2k

, ∀k ∈ N.

Si ahora aplicamos la formula del radio espectral de Gelfand,

rσ(A) = lımn→∞

n√‖An‖ = lım

k→∞2k√‖A2k‖ = lım

k→∞2k√‖A‖2k = ‖A‖.

b) Como la funcion | · | : σ(A) → R+ es continua y σ(A) es compacto, sealcanza el valor maximo en dicho conjunto, es decir existe λ ∈ σ(A) talque

|λ| = maxµ∈σ(A)

|µ| = supµ∈σ(A)

|µ| = rσ(A) = ‖A‖. ♦

2.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es un operador normal compacto, σp(A) 6= ∅y existe algun λ ∈ σp(A) tal que |λ| = ‖A‖.

Demostracion. Sea λ ∈ σ(A) tal que |λ| = ‖A‖.

- Si λ = 0, entonces T = 0, de modo que λ ∈ σp(A).

- Si λ 6= 0, entonces λ ∈ σp(A) (teorema 4.11, capıtulo V). ♦

2.9.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces:

a) Todos los autovalores de T (si existen) son reales.

b) Autovectores correspondientes a distintos autovalores son ortogonales.

Demostracion. a) Si λ es autovalor y Tx = λx con x 6= 0, entonces

λ〈x, x〉 = 〈λx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = λ〈x, x〉.

Esto implica que λ = λ, es decir λ es real.

b) Si λ y µ son autovalores y λ 6= µ, con Tx = λx y Ty = µy, entonces

λ〈x, y〉 = 〈λx, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 = 〈x, µy〉 = µ〈x, y〉.

246

Esto implica que 〈x, y〉 = 0. ♦

2.10.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto,

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖, ∀x ∈ H.

Demostracion. =⇒: Si λ ∈ ρ(T ), ∃Rλ = (T − λI)−1 y es acotado. Sillamamos ‖Rλ‖ = k > 0, entonces

‖x‖ = ‖RλTλx‖ ≤ ‖Rλ‖ · ‖Tλx‖ = k‖Tλx‖.

Esto implica que ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖ con c = 1/k.

⇐=: a) Veamos en primer lugar que Tλ : H → Tλ(H) es biyectiva:

Tλx = 0 =⇒ ‖Tλx‖ = 0 =⇒ c‖x‖ = 0 =⇒ x = 0.

b) Ademas Tλ(H) es denso en H:

x0⊥Tλ(H) =⇒ x0⊥Tλ(H) =⇒ 0 = 〈Tλx, x0〉 = 〈Tx, x0〉 − λ〈x, x0〉, ∀x ∈ H=⇒ 〈Tx, x0〉 = 〈x, Tx0〉 = 〈x, λx0〉, ∀x ∈ H =⇒ Tx0 = λx0.

Si x0 6= 0, λ es autovalor de T , por lo que λ = λ y Tλx0 = 0; entonces

0 = ‖Tλx0‖ ≥ c‖x0‖ > 0

lo que es absurdo. De aquı concluimos que x0 = 0 y Tλ(H)⊥

= 0.

c) Por ultimo, Tλ(H) es cerrado:

Sea y ∈ Tλ(H); entonces existe una sucesion (yn)n∈N ⊂ Tλ(H) tal queyn → y. Si llamamos Tλxn = yn, entonces

‖xn − xm‖ ≤1c‖Tλxn − Tλxm‖ =

1c‖yn − ym‖ → 0

lo que implica que (xn)n∈N es de Cauchy. Como H es completo, existe x ∈ Htal que xn → x. De la continuidad de Tλ deducimos que yn = Tλxn → Tλx.Por la unicidad del lımite, Tλx = y.

Debido a b) y c), se deduce que Tλ(H) = H. Esto significa que Rλ = T−1λ

esta definido en todo H y es acotado, por la hipotesis, con lo que concluimosque λ ∈ ρ(T ). ♦

2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador autoadjunto T ∈ L(H) enun espacio de Hilbert H complejo es real. Mas aun, si m = ınf‖x‖=1〈Tx, x〉y M = sup‖x‖=1〈Tx, x〉, entonces σ(T ) ⊂ [m,M ].

Demostracion. a) Sea λ = α+ iβ, con β 6= 0. Si x ∈ H,

〈Tλx, x〉 = 〈Tx, x〉 − λ〈x, x〉〈Tλx, x〉 = 〈Tx, x〉 − λ〈x, x〉.

247

Restando miembro a miembro,

−2i Im〈Tλx, x〉 = 〈Tλx, x〉 − 〈Tλx, x〉 = (λ− λ)〈x, x〉 = 2iβ‖x‖2.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|β| · ‖x‖2 = | Im〈Tλx, x〉| ≤ |〈Tλx, x〉| ≤ ‖Tλx‖ · ‖x‖.

Esto implica que |β| · ‖x‖ ≤ ‖Tλx‖. Como β 6= 0, del teorema anterior sededuce que λ ∈ ρ(T ).

b) Probaremos que si λ = M+c, con c > 0, es real, entonces λ ∈ ρ(T ):

Dado cualquier x 6= 0, llamamos v = ‖x‖−1x. Ası:

〈Tx, x〉 = ‖x‖2〈Tv, v〉 ≤ ‖x‖2 sup‖ev‖=1

〈T v, v〉 = 〈x, x〉 ·M.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

‖Tλx‖ · ‖x‖ ≥ −〈Tλx, x〉 = −〈Tx, x〉+ λ〈x, x〉 ≥ (−M + λ)〈x, x〉 = c‖x‖2.

Dividiendo por ‖x‖, ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖ =⇒ λ ∈ ρ(T ).

Analogamente se prueba que si λ < m, tambien λ ∈ ρ(T ). ♦

Las constantes m y M tienen una interesante relacion con la norma deT :

2.12.- Corolario. Si T es autoadjunto, ‖T‖ = max|m|, |M |.

Demostracion. Es consecuencia del teorema anterior y el teorema 2.4.

Se puede probar tambien que las cotas m y M de σ(T ) no pueden mejorarse,es decir:

2.13.- Teorema. Si H 6= 0 y T ∈ L(H) es autoadjunto, m,M ∈ σ(T ).

Demostracion. Debido a la equivalencia

M ∈ σ(T ) ⇐⇒M + k ∈ σ(T + kI) con k ∈ R,

podemos suponer sin perdida de generalidad que 0 ≤ m ≤M .

Por el teorema anterior, como M = sup‖x‖=1〈Tx, x〉 = ‖T‖, entonces dadacualquier sucesion (δn)n∈N de numeros reales no negativos, con δn → 0,

∃(xn)n∈N : ‖xn‖ = 1, 〈Txn, xn〉 ≥M − δn.

Entonces ‖Txn‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn‖ = ‖T‖ = M y, como T es autoadjunto,

‖Txn −Mxn‖2 = 〈Txn −Mxn, Txn −Mxn〉= ‖Txn‖2 − 2M〈Txn, xn〉+M2‖xn‖2

≤ M2 − 2M(M − δn) +M2 = 2Mδn → 0.

248

Por tanto, no existe ningun c > 0 tal que

‖TMxn‖ = ‖(T −MI)xn‖ ≥ c = c‖xn‖

lo que quiere decir que M no puede estar en ρ(T ).

La demostracion de que m ∈ σ(T ) es similar. ♦

2.14.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, ‖T‖ = sup|λ| : λ ∈σ(T ).

Si un operador autoadjunto es ademas compacto, podemos precisar el resul-tado del teorema 2.13.

2.15.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces m,M ∈σp(T ) siempre que sean no nulos.

Demostracion. El teorema 4.11 del capıtulo V afirma que todo punto espec-tral no nulo de un operador compacto es un autovalor. De aquı se deduceinmediatamente el resultado. ♦

2.16.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces suespectro puntual es no vacıo.

Demostracion. Si alguno de los valores m,M es no nulo, pertenece a σp(T )segun el resultado anterior. Por otra parte, sim = M = 0, entonces 〈Tx, x〉 =0, ∀x ∈ H. Esto implica que T = 0 y λ = 0 es autovalor. ♦

A continuacion definimos el espectro aproximado de un operador, muy utilpor poderse describir bajo condiciones poco rigurosas y, que en el caso deoperadores normales, es especialmente simple.

2.17.- Definicion. Dado A ∈ L(H), se dice que λ es un autovalor aproxi-mado de A si

∀ε > 0, ∃x ∈ D(A) : ‖x‖ = 1, ‖(A− λI)x‖ < ε.

Llamaremos espectro aproximado de A al conjunto Π(A) de autovaloresaproximados de A.

A continuacion, enunciamos sin demostrar algunas propiedades basicas delespectro aproximado.

2.18.- Teorema. λ ∈ Π(A) ⇐⇒ A− λI no tiene inversa acotada.

Esto implica en particular que Π(A) ⊂ σ(A). En el caso de operadoresnormales, es cierto tambien el recıproco. Tenemos ası:

2.19.- Teorema. Si A es normal, Π(A) = σ(A).

Este resultado nos proporcionara una forma mas conveniente de caracterizarlos valores espectrales de un operador normal.

249

2.20.- Teorema. Sea A ∈ L(H). Son equivalentes:

i) ∃λ ∈ Π(A) : |λ| = ‖A‖;

ii) ‖A‖ = sup‖x‖=1 |〈Ax, x〉|.

De los resultados anteriores se desprende que la condicion i) siempre severifica para operadores normales, de modo que ii) permite calcular la normade un operador normal.

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES NORMALESCOMPACTOS.

En esta seccion damos el primer paso en la generalizacion del teorema es-pectral de operadores en espacios euclıdeos pues la descomposicion que seobtiene en el caso de operadores compactos viene dada en forma de serieinfinita. Mas proxima aun es la descomposicion de los operadores de rangofinito, de modo que empezaremos estudiando este caso.

Los operadores normales de rango finito poseen una gran similitud con losoperadores lineales definidos en espacios de dimension finita: por ejemplo,su espectro puntual consiste tambien en un numero finito de autovalores.Ademas, su espectro residual es vacıo y su espectro continuo contiene alo sumo el cero. Ahora bien, si 0 ∈ σc(A), A(H) = H y, al ser A(H) dedimension finita, es cerrado con lo que no puede ser igual a H si la dimensionde H es infinita.

Veremos pues que el teorema espectral tiene una forma completamenteanaloga al caso finito-dimensional. El resultado que obtengamos nos ser-vira de guıa para tratar de extenderlo a casos mas generales. Por ultimo,queremos indicar que estos operadores poseen su propio interes pues con fre-cuencia en las aplicaciones practicas aparecen, o bien operadores de rangofinito, o bien operadores que se pueden expresar como lımites de sucesionesde estos operadores.

En la prueba del teorema espectral necesitaremos el siguiente lema.

3.1.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) un operador compactonormal. Entonces

⋂λ∈C N(T − λI)⊥ = 0.

Demostracion. Si llamamos L =⋃λ∈C N(Tλ), debemos probar que L⊥ =

0, lo que se deduce de las siguientes propiedades elementales:

250

- TTλ = TλT y T ∗Tλ = TλT∗, ∀λ ∈ C.

- T (N(Tλ)) ⊂ N(Tλ) y T ∗(N(Tλ)) ⊂ N(Tλ).

- T (L) ⊂ L y T ∗(L) ⊂ L.

- T (L⊥) ⊂ L⊥ y T ∗(L⊥) ⊂ L⊥.

Si suponemos que L⊥ 6= 0, podemos considerar el operador A = T |L⊥ , quees normal y compacto. Entonces existe algun λ ∈ σp(A) tal que |λ| = ‖A‖.Sea x 6= 0 algun autovector asociado a λ. Entonces

Aλx = Tλx = 0 =⇒ x ∈ N(Tλ) ⊂ L =⇒ x ∈ L ∩ L⊥ = 0

lo que es absurdo. ♦

3.2.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal. Son equivalentes:

i) T tiene rango finito.

ii) T es compacto y σp(T ) es un conjunto finito.

En cualquier caso, si σp(T ) = λ1, . . . , λn y Ei es la proyeccion orto-gonal sobre N(T − λiI) (i = 1, . . . , n), entonces:

a) T =∑n

i=1 λiEi.

b) Ei⊥Ej para i 6= j.

c)∑n

i=1Ei = I.

Demostracion. i) =⇒ ii): Por ser T de rango finito, es compacto y su es-pectro puntual es a lo sumo numerable. Supongamos pues que σp(T ) =λ1, . . . , λn, . . . con λi 6= λj , ∀i 6= j. Entonces

∃xi ∈ H : xi 6= 0, Tλixi = 0, ∀i ∈ N.

Como T es normal, el conjunto x1, . . . , xn, . . . es ortogonal. Entonces elconjunto T (λ−1

n xn) : λn 6= 0 es linealmente independiente e infinito; estoimplica que dimR(T ) = ∞ lo que es absurdo.

ii) =⇒ i): Supongamos que σp(T ) = λ1, . . . , λn, con λi 6= λj (i 6= j).Por ser T normal, autovectores correspondientes a autovalores distintos sonortogonales, lo que implica que N(T −λiI)⊥N(T −λjI)) (i 6= j) y podemosformar la suma directa ortogonal M =

⊕ni=1N(T − λiI); veamos que M =

H.

El espacio M es cerrado por ser suma directa ortogonal de subespacioscerrados. Ademas, si llamamos L =

⋃ni=1N(T − λiI), teniendo en cuenta

que L⊥ = M⊥, basta probar que L⊥ = 0 para deducir que M = H.

251

En efecto, si λ 6∈ σp(T ), N(Tλ) = 0, por lo que podemos escribir L =⋃λ∈C N(Tλ). Aplicando el lema anterior, L⊥ =

⋂λ∈C N(Tλ)⊥ = 0.

De lo anterior se obtiene tambien que, ∀x ∈ H, existe xi ∈ N(T − λiI) (i =1, . . . , n), tal que x =

∑ni=1 xi y la descomposicion es unica. Entonces

Tx =n∑i=1

Txi =n∑i=1

λixi ∈n⊕i=1

N(T − λiI).

Por ser T compacto, N(T − λiI) tiene dimension finita, de lo que se deduceque R(T ) tiene dimension finita, es decir que T es de rango finito.

Para probar la ultima parte, supongamos que T es un operador compactoy σp(T ) = λ1, . . . , λn. Si llamamos Ei a la proyeccion ortogonal sobreN(T − λiI) (i = 1, . . . , n), debido a que

N(T − λiI) ⊂ N(T − λjI)⊥, (i 6= j),

se deduce que Ei⊥Ej (i 6= j).

De la descomposicion x =∑n

i=1 xi, con xi ∈ N(T − λiI), resulta:

Ekx =n∑i=1

Ekxi = Ekxk = xk,

de donde x =∑n

i=1Eix, es decir∑n

i=1Ei = I. Ademas

Tx =n∑i=1

Txi =n∑i=1

λixi =n∑i=1

λiEix =⇒ T =n∑i=1

λiEi. ♦

Probaremos por ultimo que la descomposicion anterior es unica.

3.3.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal que verifica las condiciones a), b) y c) del teorema anterior. Entoncesσp(T ) = λ1, . . . , λn y Ei es la proyeccion ortogonal sobre N(T − λiI)(i = 1, . . . , n).

Demostracion. Aplicando Ek en la igualdad c) y teniendo en cuenta queEiEk = 0 si i 6= k, obtenemos que

Ek =n∑i=1

EkEi = E2k ,

lo que prueba que Ek es un operador proyeccion.

Sea ahora x ∈ R(Ei). Entonces Eix = x, de donde TEix = Tx pero, por a),resulta tambien que

EiTx = λiEix = λix = Tx.

252

Esto indica a su vez que x es autovector asociado al autovalor λi. Paraver que T no tiene mas autovalores, supongamos que Tx = µx (x 6= 0).Entonces, de a) y c), deducimos que

∑ni=1(λi − µ)Eix = 0. Aplicando Ek y

teniendo en cuenta b), resulta que (λk − µ)Ekx = 0, k = 1, . . . , n.

Si µ 6= λk, ∀k, entonces Ekx = 0, ası como∑n

i=1Ekx = 0, lo que es absur-do.

Comprobaremos por ultimo que Ei es la proyeccion ortogonal sobre N(T −λiI). Sea para ello x ∈ N(T − λiI); entonces (T − λiI)x = 0, de dondenuevamente

∑nk=1(λk−λi)Ekx = 0. Aplicando ahora Ej , tenemos que (λj−

λi)Ejx = 0, es decir Ejx = 0, si j 6= i.

Por tanto, x =∑n

k=1Ekx = Eix lo que implica que x ∈ R(Ei).

Recıprocamente, si x ∈ R(Ei), ya probamos que x es autovector de T aso-ciado al autovalor λi, es decir x ∈ N(T − λiI). ♦

Si el operador no tiene rango finito pero es compacto, la descomposicionespectral presenta la unica diferencia de que la suma no sera finita, peroaparece en forma de serie infinita, pues sabemos que el espectro puntualtiene como maximo un conjunto numerable de puntos.

Para obtener la correspondiente descomposicion, se debe introducir en pri-mer lugar el concepto de convergencia de una familia de operadores Tαα∈Ia un operador T como extension de la idea de convergencia fuerte de suce-siones de operadores.

Para ello, sea H un espacio de Hilbert complejo y Mα : α ∈ I una familiade subespacios cerrados de H. Definimos

∑α∈IMα como el conjunto de

sumas conmutativamente convergentes∑

α∈I xα, con xα ∈Mα, introducidasen el capıtulo III (definicion 4.4). Las caracterısticas de este conjunto semuestran en los siguientes resultados.

3.4.- Proposicion. Si llamamos M =∑

α∈IMα, entonces

a) 〈⋃α∈IMα〉 = M .

b) Si Mα⊥Mβ, α 6= β, entonces 〈⋃α∈IMα〉 = M

(en lo sucesivo utilizaremos la notacion⊕

α∈IMα para indicar la clausu-ra del espacio generado por

⋃α∈IMα, donde Mαα∈I es una familia de

subespacios cerrados y ortogonales dos a dos).

3.5.- Proposicion. Sea Mαα∈I una familia ortogonal de subespacios cerra-dos de H. Entonces:

(x⊥⋃α∈I

Mα =⇒ x = 0) ⇐⇒ H = 〈⋃α∈I

Mα〉 =⊕α∈I

Mα

253

(en similitud al concepto de conjunto ortonormal completo definido en elcapıtulo III).

La prueba es en algun sentido similar a su analoga relativa a las basesortonormales.

3.6.- Proposicion. Las sumas convergentes y los operadores lineales aco-tados conmutan, es decir, si T ∈ L(H), entonces

x =∑α∈I

xα =⇒ Tx =∑α∈I

Txα.

Una extension del concepto de convergencia fuerte de una sucesion de ope-radores es la siguiente:

3.7.- Definicion. Una familia Tαα∈I de operadores en L(H) es sumablea T cuando

∑α∈I Tαx = Tx, ∀x ∈ H. Escribiremos en este caso

∑α∈I Tα =

T .

3.8.- Proposicion. Si Eαα∈I es una familia de proyecciones ortogonalescon Eα⊥Eβ si α 6= β, entonces

∑α∈I Eα es la proyeccion ortogonal sobre⊕

α∈IMα, donde Mα = R(Eα), ∀α.

Demostracion. Sea E la proyeccion ortogonal sobre M =⊕

α∈IMα que esun subespacio cerrado.

Todo z ∈ H tiene la descomposicion unica z = x + y con x ∈ M , y ∈ M⊥,y x =

∑α∈I xα con xα ∈Mα. Por otro lado, si β ∈ I, Eβx = xβ y Eβy = 0,

∀y ∈M⊥ ⊂M⊥β .

Esto implica que Eβz = Eβx+ Eβy = xβ. Entonces

Ez = x =∑α∈I

xα =∑α∈I

Eαz, ∀z ∈ H =⇒ E =∑α∈I

Eα. ♦

Con la notacion y conceptos anteriores, obtenemos el teorema espectral paraoperadores normales compactos.

3.9.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal compacto. Entonces σp(T ) es finito o numerable. Ademas

i) H = N(T )⊕⊕

λ∈σp(T )λ6=0

N(T − λI) =⊕λ∈C

N(T − λI).

Tambien H =⊕λ∈C

N(T ∗ − λI).

ii) R(T ) = R(T ∗) =⊕λ6=0

N(T − λI) =⊕λ6=0

N(T ∗ − λI).

254

iii) T =∑λ∈C

λEλ =∑

λ∈σp(T )

λEλ, I =∑λ∈C

Eλ, donde Eλ representa la pro-

yeccion ortogonal sobre N(T − λI).

De este modo, el espacio H se descompone en subespacios en cada uno delos cuales el operador T es simplemente la multiplicacion de un elementopor un numero particular.

Demostracion. i) Como los autovectores asociados a distintos autovaloresson ortogonales y si λ 6∈ σp(T ), N(Tλ) = 0, tenemos que N(Tλ) : λ ∈ Ces una familia ortogonal de subespacios cerrados de H.

Al ser T normal y compacto,

x⊥N(Tλ), ∀λ ∈ C =⇒ x = 0.

Por la proposicion 3.5, esto equivale a

H = 〈⋃λ∈C

N(Tλ)〉 =⊕λ∈C

N(Tλ) = N(T )⊕⊕λ∈Cλ6=0

N(Tλ) = N(T )⊕⊕

λ∈σp(T )λ6=0

N(Tλ).

ii) Como T es normal, N(T ) = N(T ∗), de donde R(T ) = N(T ∗)⊥ = N(T )⊥.De aquı se obtiene la descomposicion

H = N(T )⊕ R(T ).

Por otra parte,H = N(T )⊕

⊕λ6=0

N(Tλ).

De estas dos descomposiciones y debido a que el complemento ortogonal deun subespacio es unico, resulta que R(T ) =

⊕λ6=0N(Tλ).

iii) El conjunto Eλ : λ ∈ C es una familia de proyecciones ortogonales talque Eλ⊥Eµ (λ 6= µ). Por la proposicion 3.8, la suma E = E0 +

∑λ∈σp(T )λ6=0

Eλ

es la proyeccion ortogonal sobre N(T ) ⊕⊕

λ∈σp(T )λ6=0

N(Tλ) = H. Pero la

proyeccion sobre todo el espacio H es la identidad, de modo que

I = E0 +∑

λ∈σp(T )λ6=0

Eλ.

Si escribimos para cada x ∈ H,

x = x0 +∑

λ∈σp(T )λ6=0

xλ, x0 ∈ N(T ), xλ ∈ N(Tλ),

255

entonces

Tx = Tx0 +∑

λ∈σp(T )λ6=0

Txλ =∑

λ∈σp(T )λ6=0

λxλ =∑

λ∈σp(T )λ6=0

λEλx. ♦

Observaciones. a) Como T es compacto, como maximo un conjunto nu-merable de espacios de la forma N(T − λI) sera no trivial.

b) Si T es un operador compacto arbitrario, se tiene la descomposicionT = A+ iB, con A y B operadores normales compactos. Ası pues, conocidaslas descomposiciones espectrales A =

∑j∈N λjPj y B =

∑k∈N µkQk, se

obtiene que T =∑

j∈N λjPj+i∑

k∈N µkQk, pero como Pj y Qk no conmutan,la descomposicion espectral no se puede mejorar.

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS COMPACTOS.

En esta seccion estudiaremos el caso particular de los operadores autoad-juntos compactos y obtendremos una representacion concreta de los mis-mos. Ası pues, H sera un espacio de Hilbert complejo de dimension infinita,T ∈ L(H) un operador autoadjunto compacto con infinitos autovalores, loscuales como sabemos forman un conjunto numerable de numeros reales cuyounico posible punto de acumulacion es el cero.

Ordenamos el conjunto de autovalores λnn∈N de modo que |λn| ≥ |λn+1|, n =1, 2, . . . , y llamamos Nn = N(T−λnI) = x ∈ H : Tx = λnx, n = 1, 2, . . . ,es decir, el autoespacio correspondiente al autovalor λn.

Como Nn tiene dimension finita, tiene una base ortonormal de autovectoresque designaremos por umn−1+1, umn−1+2, . . . , umn (donde m0 = 0) y, sin 6= m, cada punto de Nn es ortogonal a Nm. Se deduce de ello que unn∈Nes ortonormal.

4.1.- Lema. Si llamamos F al subespacio generado por la familia unn∈N,entonces T (F ) ⊂ F y T |F⊥ = 0.

Demostracion. Como cada punto de un : n ∈ N es autovector de T , esevidente que T (F ) ⊂ F de lo que se deduce ademas que T (F⊥) ⊂ F⊥.

Es claro que T |F⊥ es autoadjunto por lo que existe λ ∈ σ(T |F⊥) con |λ| =‖T |F⊥‖.

256

Si suponemos que T |F⊥ 6= 0, es facil comprobar que T |F⊥ es compacto, demodo que λ debe ser autovalor de T |F⊥ .

Sea x 6= 0 un autovector asociado a λ. Entonces Tx = (T |F⊥)x = λx con loque λ es tambien autovalor de T . Entonces λ = λn para algun n y x ∈ Nn.Como Nn ⊂ F y x ∈ F⊥, entonces x = 0, lo que es absurdo. ♦

Siguiendo la notacion anterior, es facil ver ademas que F⊥ = N(T ). Lla-mamos ahora µn = λk si n = mk−1 + 1, . . . ,mk y k = 1, 2, . . . EntoncesTun = µnun, n = 1, 2, . . . , lo que permite obtener la siguiente generaliza-cion del teorema de diagonalizacion de matrices simetricas.

4.2.- Teorema. En las condiciones y notacion anteriores, para cualquierx ∈ H, Tx =

∑n∈N

µn〈x, un〉un.

Demostracion. Sea x ∈ H y hacemos x = y + z con y ∈ F, z ∈ F⊥. Por ellema anterior, Tx = Ty + Tz = Ty ∈ F .

Como un : n = 1, 2, . . . es base ortonormal de F ,

Tx =∑n∈N

〈Tx, un〉un =∑n∈N

〈x, Tun〉un =∑n∈N

µn〈x, un〉un. ♦

El siguiente resultado permite calcular numericamente los autovalores deciertos operadores autoadjuntos compactos.

4.3.- Corolario. ∀n ∈ N, |µn| = sup|〈Tx, x〉| : ‖x‖ = 1 y 〈x, um〉 = 0 para1 ≤ m ≤ n− 1.

Demostracion. Es obvio que 〈Tun, un〉 = µn. Ademas si x ∈ H y 〈x, um〉 =0, ∀m = 1, . . . , n− 1, entonces

Tx =∞∑m=n

µm〈x, um〉um y 〈Tx, x〉 =∞∑m=n

µm|〈x, um〉|2.

Como la serie∑∞

n=1 |〈x, un〉|2 converge y∑∞

n=1 |〈x, un〉|2 ≤ ‖x‖2, resultaque, como ademas |µm| ≤ |µn| para m ≥ n,

|〈Tx, x〉| ≤∞∑m=n

|µm| · |〈x, um〉|2 ≤ |µn| ·∞∑m=n

|〈x, um〉|2 ≤ |µn| · ‖x‖2. ♦

Otra direccion en la que puede obtenerse la teorıa espectral de operadoresautoadjuntos compactos es debida a Riesz y no utiliza la teorıa de Riesz-Schauder. El primer paso consiste en probar directamente que existe λ auto-valor de T tal que |λ| = ‖T‖ (corolario 2.8). A continuacion, un argumentoinductivo prueba que existen dos sucesiones (µn)n∈N ⊂ R y (un)n∈N ⊂ Htales que Tun = µnun, ∀n, y se satisface el corolario anterior. Por ultimo se

257

ve que todos los autovalores de T aparecen al menos una vez en (µn)n∈N yque se cumple el teorema de descomposicion anterior.

El ultimo resultado de esta seccion proporciona una caracterizacion de laresolvente de los operadores en estudio.

4.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto compacto y λ unelemento no nulo de la resolvente de T , entonces

(T − λI)−1x = − 1λx− 1

λ

∑n∈N

µnλ− µn

〈x, un〉un,∀x ∈ H.

Demostracion. Sean x ∈ H, y = (T − λI)−1x. Entonces

x = (T − λI)y =∞∑n=1

µn〈y, un〉un − λy,

de donde y + 1λx =

∑∞n=1

µn

λ 〈y, un〉un. Resulta que

〈y, um〉+1λ〈x, um〉 = 〈y +

1λx, um〉 =

∞∑n=1

µnλ〈y, un〉〈un, um〉

=µmλ〈y, um〉 =⇒ 〈y, um〉 =

1µm − λ

〈x, um〉.

En definitiva, y = (T − λI)−1x = − 1λx− 1

λ

∑n∈N

µnλ− µn

〈x, un〉un. ♦

5. OPERADORES POSITIVOS.

La situacion en el caso de operadores autoadjuntos no necesariamente com-pactos es mas complicada. En primer lugar, el espectro, aunque es un subcon-junto de R, puede no ser numerable. Ası, mientras un operador autoadjuntocompacto se representa por una serie, un operador autoadjunto general serepresenta por una integral, la cual involucra operadores que son proyec-cion ortogonal. En la construccion de estos son importantes los operadorespositivos. Por tanto, el estudio de los operadores positivos y sus raıces cua-dradas sera una herramienta util para deducir una representacion espectralde los operadores autoadjuntos. El metodo que se desarrolla aquı se debe aF. Riesz (1934).

258

En el conjunto de operadores autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert com-plejo H, debido a que 〈Tx, x〉 es real, se puede introducir una relacion deorden ası:

T1 ≤ T2 si 〈T1x, x〉 ≤ 〈T2x, x〉, ∀x ∈ H.Esto nos lleva en particular a definir los operadores positivos.

5.1.- Definicion. Un operador autoadjunto T ∈ L(H) es positivo, y seescribe T ≥ 0, si 〈Tx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.

Los siguientes resultados describen la estructura de los operadores positi-vos.

5.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) dos operadores positivos. Entonces

a) S + T es positivo.

b) Si α ∈ R+, αS es positivo.

c) Si ST = TS, ST es positivo.

Demostracion. La demostracion de a) y b) es evidente. Veamos pues el apar-tado c).

Si S = 0, es trivial.

Si S 6= 0, definimos la sucesion S1 = ‖S‖−1S, Sn+1 = Sn − S2n, n =

1, 2, . . .

*) Se prueba por induccion que 0 ≤ Sn ≤ I:Como S ≥ 0, S1 ≥ 0. Ademas S1 ≤ I pues

〈S1x, x〉 =1‖S‖

〈Sx, x〉 ≤ ‖Sx‖ · ‖x‖‖S‖

≤ ‖x‖2 = 〈x, x〉 = 〈Ix, x〉, ∀x ∈ H.

Si hacemos la hipotesis inductiva de que 0 ≤ Sk ≤ I, es decir 0 ≤I − Sk ≤ I, como Sk es autoadjunto, para todo x ∈ H, y = Skx,tenemos:

〈S2k(I − Sk)x, x〉 = 〈(I − Sk)Skx, Skx〉 = 〈(I − Sk)y, y〉 ≥ 0,

de modo que S2k(I − Sk) ≥ 0.

Analogamente se prueba que Sk(I − Sk)2 ≥ 0.Aplicando a), 0 ≤ S2

k(I − Sk) + Sk(I − Sk)2 = Sk − S2k = Sk+1.

Por otra parte, como S2k ≥ 0, I − Sk ≥ 0, sumando:

0 ≤ S2k + I − Sk = I − Sk+1 =⇒ Sk+1 ≤ I.

*) Veamos por ultimo que 〈STx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.De lo anterior se deduce que

S1 = S21 + S2 = S2

1 + S22 + S3 = · · · = S2

1 + S22 + · · ·+ S2

n + Sn+1.

259

Como Sn+1 ≥ 0, S21 + · · ·+ S2

n = S1 − Sn+1 ≤ S1.Por la definicion de la relacion “≤”tenemos:

n∑j=1

‖Sjx‖2 =n∑j=1

〈Sjx, Sjx〉 =n∑j=1

〈S2j x, x〉 ≤ 〈S1x, x〉.

Esto indica que∑

n ‖Snx‖2 es una serie convergente, de donde ‖Snx‖ →0 ası como Snx→ 0. Entonces

( n∑j=1

S2j

)x = (S1 − Sn+1)x→ S1x.

Todos los Sj conmutan con T pues son combinaciones lineales de S1 =‖S‖−1S. Por ello y de la continuidad del producto escalar deducimosque, para todo x ∈ H, si llamamos yj = Sjx,

〈STx, x〉 = ‖S‖〈TS1x, x〉

= ‖S‖ lımn

n∑j=1

〈TS2j x, x〉 = ‖S‖ lım

n

n∑j=1

〈Tyj , yj〉 ≥ 0. ♦

5.3.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces T es positivo si ysolo si σ(T ) ⊂ [0,∞).

Demostracion. Recordamos que σ(T ) ⊂ [m,M ], donde

m = ınf〈Tx, x〉 : ‖x‖ = 1 y M = sup〈Tx, x〉 : ‖x‖ = 1.

Si T ≥ 0, entonces m ≥ 0 y σ(T ) ⊂ [0,∞).

Recıprocamente, si σ(T ) ⊂ [0,∞), como m ∈ σ(T ), entonces m ≥ 0, dedonde 〈Tx, x〉 ≥ 0, para todo x de norma uno. Esto implica que T ≥ 0.♦

La relacion de orden definida en los operadores autoadjuntos sugiere tambienel siguiente concepto.

5.4.- Definicion. Una sucesion Tn de operadores autoadjuntos en un

espacio de Hilbert H es monotona

creciente

decreciente

si

T1 ≤ T2 ≤ . . .T1 ≥ T2 ≥ . . .

.

Una propiedad interesante de las sucesiones monotonas, que sera crucialen el resultado final, generaliza el hecho de que toda sucesion monotona yacotada de numeros reales es convergente. Es la siguiente:

5.5.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y Tnn∈N una su-cesion monotona creciente de operadores autoadjuntos en H tal que TiTj =TjTi, ∀i, j. Sea K ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que T1 ≤ T2 ≤

260

· · · ≤ K y TiK = KTi, ∀i. Entonces existe T ∈ L(H) autoadjunto tal queTnx→ Tx, ∀x ∈ H y T ≤ K.

Nota. Este teorema fue demostrado por Nagy (1942) pero una prueba ge-neral sin la condicion de permutabilidad es debida a Vigier (1946).

Demostracion. Llamamos Sn = K−Tn; claramente Sn es autoadjunto.

Primer paso. Probaremos que (〈S2nx, x〉)n∈N es una sucesion convergente

para todo x ∈ H.

Observamos en primer lugar que, si m < n, Tn−Tm y K−Tm son positivos.Como ambos conmutan, su producto es positivo. Entonces

S2m − SnSm = (Sm − Sn)Sm = (Tn − Tm)(K − Tm) ≥ 0 =⇒ S2

m ≥ SnSm

y, analogamente,

SnSm − S2n = Sn(Sm − Sn) = (K − Tn)(Tn − Tm) ≥ 0 =⇒ SnSm ≥ S2

n.

Ambos resultados indican que S2n ≤ SnSm ≤ S2

m para m < n.

Ademas

〈S2mx, x〉 ≥ 〈SnSmx, x〉 ≥ 〈S2

nx, x〉 = 〈Snx, Snx〉 = ‖Snx‖2 ≥ 0,

por lo que la sucesion(〈S2nx, x〉

)n∈N, con x fijo, es decreciente y acotada

inferiormente por cero. Entonces converge.

Segundo paso. Veamos ahora que (Tnx)n∈N converge.

Como los Sn son autoadjuntos y conmutan y −2〈SmSnx, x〉 ≤ −2〈S2nx, x〉

cuando m < n, obtenemos que

‖Smx− Snx‖2 = 〈(Sm − Sn)x, (Sm − Sn)x〉 = 〈(Sm − Sn)2x, x〉= 〈S2

mx, x〉 − 2〈SmSnx, x〉+ 〈S2nx, x〉 ≤ 〈S2

mx, x〉 − 〈S2nx, x〉.

De la convergencia de(〈S2nx, x〉

)n∈N se deduce que la sucesion (Snx)n∈N es de

Cauchy y, por tanto, convergente. Como Tn = K −Sn, la sucesion (Tnx)n∈Ntambien converge y podemos escribir Tnx→ y, ∀x ∈ H.

Esto define un operador T : H → H por Tx = y, que es lineal y autoad-junto porque Tn son autoadjuntos y el producto escalar es continuo. Como(Tnx)n∈N converge, esta acotada para todo x ∈ H. Por el teorema de acota-cion uniforme, T esta acotado. Por ultimo, de Tn ≤ K se deduce que T ≤ K.♦

Es claro que si T ∈ L(H) es autoadjunto, T 2 es positivo, pues 〈T 2x, x〉 =〈Tx, Tx〉 ≥ 0, pero ahora nos planteamos el problema inverso: dado un

261

operador T positivo, encontrar un operador autoadjunto A tal que A2 = T .Esto sugiere el siguiente concepto.

5.6.- Definicion. Dado T ∈ L(H) positivo, un operador A ∈ L(H) autoad-junto se llama raız cuadrada de T si A2 = T . Si ademas A ≥ 0, A se llamaraız cuadrada positiva de T y se denota por A = T 1/2.

El siguiente teorema muestra que la raız cuadrada de T puede representarsecomo lımite de una sucesion de polinomios en T y, en consecuencia, conmutacon todos los operadores que conmuten con T .

5.7.- Teorema. Todo operador T ∈ L(H) positivo tiene una raız cuadradapositiva A y esta es unica. Ademas A conmuta con todo S ∈ L(H) tal queST = TS.

Demostracion. Si T = 0, entonces existe A = T 1/2 = 0.

Sea pues T 6= 0. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

〈Tx, x〉 ≤ ‖Tx‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖2.

Si llamamos Q = ‖T‖−1 · T , entonces 〈Qx, x〉 ≤ ‖x‖2 = 〈Ix, x〉, es decir,Q ≤ I.

Si logramos probar que Q tiene una unica raız cuadrada positiva B = Q1/2,entonces ‖T‖1/2 ·B es raız cuadrada de T pues

(‖T‖1/2B)2 = ‖T‖ ·B2 = ‖T‖ ·Q = T.

Ademas es facil probar que la unicidad de Q1/2 implica la unicidad de laraız cuadrada positiva de T .

Basta pues probar el teorema bajo la suposicion adicional de que T ≤I.

(•) Existencia de la raız cuadrada (Visser, 1937). Definimos la sucesion

A0 = 0, An+1 = An +12(T −A2

n), n = 0, 1, . . .

Como cada An es un polinomio en T , es autoadjunto y todos conmutanentre sı, por lo que tambien conmutan con todo operador que conmutecon T . Probaremos las siguientes propiedades:

(1) An ≤ I, ∀n.Por induccion; es evidente que A0 ≤ I y si An−1 ≤ I, (I −An−1)2 ≥ 0. Tambien I − T ≥ 0. Entonces:

0 ≤ 12(I−An−1)2+

12(I−T ) = I−An−1−

12(T−A2

n−1) = I−An =⇒ An ≤ I.

262

(2) An ≤ An+1, ∀n.Por induccion: como T ≥ 0, (1/2)T ≥ 0. Entonces A1 ≥ A0.Si suponemos que An−1 ≤ An, entonces

An+1 −An = An +12(T −A2

n)−An−1 −12(T −A2

n−1)

= (An −An−1)[I − 1

2(An +An−1)

].

Por (1), I − (1/2)(An + An−1) = (1/2)(I − An + I − An+1) ≥ 0y, por hipotesis, An −An−1 ≥ 0, de modo que An+1 −An ≥ 0.

(3) Anx→ Ax, con A = T 1/2.Como (An)n∈N es monotona creciente y acotada superiormentepor I, aplicando el teorema 5.5, existe A ∈ L(H) autoadjunto talque Anx→ Ax, ∀x ∈ H. Ademas, por ser (Anx)n∈N de Cauchy,

An+1x−Anx =12(Tx−A2

nx) → 0 =⇒ Tx−A2x = 0, ∀x =⇒ T = A2.

Como 0 = A0 ≤ An, resulta que 〈Anx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H. Toman-do lımites, obtenemos que 〈Ax, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H, es decir A espositivo.

(4) Si S ∈ L(H) conmuta con T , entonces S conmuta con A.Debido a que ST = TS =⇒ AnS = SAn =⇒ AnSx = SAnx, ∀x ∈H. Tomando lımites se deduce el resultado.

(•) Unicidad de la raız cuadrada (Nagy, 1938). Sea B otra raız cuadradapositiva de T . Como A2 = B2 = T y BT = BB2 = B2B = TB,entonces AB = BA por (4).Dado x ∈ H, llamamos y = (A−B)x. Entonces 〈Ay, y〉 ≥ 0 y 〈By, y〉 ≥0. Ademas

〈Ay, y〉+ 〈By, y〉 = 〈(A+B)y, y〉= 〈(A2 −B2)x, y〉 = 0 =⇒ 〈Ay, y〉 = 〈By, y〉 = 0.

Como A es autoadjunto y positivo, existe C ≥ 0 autoadjunto tal queC2 = A. Entonces

0 = 〈Ay, y〉 = 〈C2y, y〉 = 〈Cy,Cy〉 = ‖Cy‖2 =⇒ Cy = 0 =⇒ Ay = C2y = 0.

Analogamente se prueba que By = 0, de donde (A−B)y = 0. Resultaque para todo x ∈ H,

‖Ax−Bx‖2 = 〈(A−B)2x, x〉 = 〈(A−B)y, x〉 = 0 =⇒ Ax−Bx = 0,

de lo que se deduce en definitiva que A = B. ♦

263

5.8.- Corolario. Sean A,B ≥ 0.

a) Si A2 = B2, entonces A = B.

b) Si A ≥ B y C es un operador positivo que conmuta con A y B, entoncesAC ≥ BC.

6. OPERADORES PROYECCION.

Un ejemplo importante de operadores positivos lo constituyen los operadoresproyeccion, que fueron definidos en capıtulos anteriores: cuando un espaciode Hilbert se representa como suma directa de un subespacio cerrado M y sucomplemento ortogonal M⊥, por la unicidad de la descomposicion x = y+zcon y ∈ M, z ∈ M⊥, queda definida la proyeccion ortogonal P : H → Hpor Px = y, con lo que se puede escribir x = Px+(I −P )x, ∀x ∈ H.

Debido a la simplicidad de estos operadores, es un problema interesanteexpresar operadores mas generales en terminos de proyecciones. En esteapartado estableceremos algunas propiedades de las proyecciones.

A veces se usa como definicion de proyeccion la siguiente caracterizacion.

6.1.- Teorema. Un operador lineal y acotado P : H → H es proyeccion or-togonal si y solo si P es autoadjunto e idempotente (es decir, P 2 = P ).

Observacion. En realidad, basta que P sea lineal pues, como probaremosen el capıtulo siguiente, si un operador es autoadjunto, es cerrado y, por elteorema del grafico cerrado, es acotado.

Demostracion. a) Sea P una proyeccion en H y llamamos M = P (H). Seax ∈ H y Px = y. Entonces P 2x = Py = y = Px =⇒ P 2 = P .

Si x1 = y1 + z1, x2 = y2 + z2, con y1, y2 ∈ M y z1, z2 ∈ M⊥, entonces esclaro que 〈y1, z2〉 = 〈y2, z1〉 = 0. Ası pues

〈Px1, x2〉 = 〈y1, y2 + z2〉 = 〈y1, y2〉 = 〈y1 + z1, y2〉 = 〈x1, Px2〉.

b) Recıprocamente, si P 2 = P = P ∗, llamamos tambien M = P (H). Dadox ∈ H, escribimos x = Px+ (I − P )x.

∀x, y ∈ H, 〈Px, (I − P )y〉 = 〈x, P (I − P )y〉 = 〈x, Py − P 2y〉 = 〈x, 0〉 = 0.

Esto quiere decir que P (H)⊥(I − P )(H).

264

Ademas M = N(I − P ) pues

y ∈M =⇒ y = Px, x ∈ H =⇒ (I−P )Px = Px−P 2x = 0 =⇒ y ∈ N(I−P );x ∈ N(I − P ) =⇒ (I − P )x = 0 =⇒ x = Px =⇒ x ∈M.

Esto quiere decir que M es cerrado. Ademas P |M es la identidad en M puessi y = Px, entonces Py = P 2x = Px = y. ♦

Otras propiedades basicas de las proyecciones son:

6.2.- Teorema. Si P ∈ L(H) es una proyeccion ortogonal,

a) 〈Px, x〉 = ‖Px‖2;

b) P ≥ 0;

c) ‖P‖ ≤ 1 y ‖P‖ = 1 si P (H) 6= 0.

d) R(P ) = y ∈ H : Py = y, N(P ) = R(P )⊥.

e) ‖Px‖ = ‖x‖ =⇒ Px = x.

La demostracion es directa.

A continuacion damos condiciones para que la composicion de proyeccionessea proyeccion.

6.3.- Teorema. a) Si P1, P2 son proyecciones sobre H, P = P1P2 es pro-yeccion si y solo si P1P2 = P2P1. En este caso, si Mi = Pi(H) (i = 1, 2),P (H) = M1 ∩M2.

b) Dos subespacios cerrados M1,M2 de H son ortogonales si y solo si P1P2 =0, donde Pi es la proyeccion de H sobre Mi, i = 1, 2 (en este caso se diceque P1 y P2 son proyecciones ortogonales entre sı).

Demostracion. a) Supongamos que P = P1P2 es proyeccion; por ser P auto-adjunto,

P1P2 = (P1P2)∗ = P ∗2P∗1 = P2P1.

Recıprocamente, si P1P2 = P2P1, entonces P es autoadjunto pues

P ∗ = (P1P2)∗ = P ∗2P∗1 = P2P1 = P1P2 = P.

Ademas es idempotente pues

P 2 = (P1P2)(P1P2) = P 21P

22 = P1P2 = P.

Por ultimo, si x ∈ P (H), entonces x = Px = P1(P2x) = P2(P1x). ComoP1(P2x) ∈M1 y P2(P1x) ∈M2, entonces x ∈M1 ∩M2. Recıprocamente, siy ∈M1 ∩M2, entonces Py = P1P2y = P1y = y, de donde y ∈ P (H).

265

b) Si M1⊥M2, entonces M1 ∩M2 = 0 y P1P2x = 0, ∀x ∈ H, pues

〈P1P2x, z〉 = 〈P2x, P1z〉 = 0, ∀z ∈ H.

Esto indica que P1P2 = 0.

Si P1P2 = 0, ∀y ∈M1, z ∈M2, tenemos

〈y, z〉 = 〈P1y, P2z〉 = 〈y, P1P2z〉 = 〈y, 0〉 = 0 =⇒M1⊥M2. ♦

El siguiente resultado establece condiciones para que la suma de proyeccionessea proyeccion.

6.4.- Teorema. Dadas dos proyecciones P1, P2 en H,

a) la suma P = P1+P2 es proyeccion si y solo si M1 = P1(H) y M2 = P2(H)son ortogonales;

b) si P = P1 + P2 es proyeccion, P proyecta H sobre M = M1 ⊕M2.

Demostracion. a) Si P = P1 + P2 es proyeccion, P = P 2, es decir

P1 + P2 = (P1 + P2)2 = P 21 + P1P2 + P2P1 + P 2

2 = P1 + P1P2 + P2P1 + P2.

Esto implica que P1P2 + P2P1 = 0 de donde

P2P1P2+P2P1 = 0 =⇒ P2P1P2+P2P1P2 = 0 =⇒ P2P1P2 = 0 =⇒ P2P1 = 0.

Por el teorema anterior, M1⊥M2.

Recıprocamente, si M1⊥M2,

P1P2 = P2P1 = 0 =⇒ P1P2 + P2P1 = 0 =⇒ P 2 = P.

Como P1 y P2 son autoadjuntos, tambien lo es P . Esto implica que P esproyeccion.

b) Si llamamos M = P (H), dado y ∈M , existe x ∈ H tal que

y = Px = P1x+ P2x ∈M1 ⊕M2 =⇒M ⊂M1 ⊕M2.

Sea ahora z ∈M1 ⊕M2 =⇒ z = y1 + y2 con yi ∈Mi, i = 1, 2.

P z = P1(y1 + y2) + P2(y1 + y2) = P1y1 + P2y2 = y1 + y2 = z.

Esto implica que z ∈M y M1 ⊕M2 ⊂M .

De lo anterior se deduce la igualdad buscada. ♦

Las siguientes propiedades de las proyecciones nos permitiran obtener una re-presentacion espectral de los operadores autoadjuntos. Una propiedad basicase refiere a la relacion de orden que se define entre proyecciones.

266

6.5.- Teorema. Sean P1, P2 proyecciones definidas en H y denotamos porM1 = P1(H), M2 = P2(H) y N1 = N(P1), N2 = N(P2) a los rangos ynucleos de P1 y P2, respectivamente. Las siguientes condiciones son equiva-lentes:

i) P2P1 = P1P2 = P1.

ii) ‖P1x‖ ≤ ‖P2x‖, ∀x ∈ H.

iii) P1 ≤ P2.

iv) N1 ⊃ N2.

v) M1 ⊂M2.

Demostracion.

i) =⇒ ii). Como ‖P1‖ ≤ 1, ‖P1x‖ = ‖P1P2x‖ ≤ ‖P1‖ ·‖P2x‖ ≤ ‖P2x‖, ∀x ∈H.

ii) =⇒ iii). ∀x ∈ H, 〈P1x, x〉 = ‖P1x‖2 ≤ ‖P2x‖2 = 〈P2x, x〉 =⇒ P1 ≤P2.

iii) =⇒ iv). Sea x ∈ N2 = N(P2). Entonces

P2x = 0 =⇒ ‖P1x‖2 = 〈P1x, x〉 ≤ 〈P2x, x〉 = 0 =⇒ x ∈ N(P1).

iv) =⇒ v). Es evidente pues Mi es el complemento ortogonal de Ni, i =1, 2.

v) =⇒ i). ∀x ∈ H,

P1x ∈M1 =⇒ P1x ∈M2 =⇒ P2(P1x) = P1x =⇒ P2P1 = P1.

Como P1 es autoadjunto, P1 = P2P1 = (P2P1)∗ = P ∗1P∗2 = P1P2. ♦

Como aplicacion se puede probar un resultado sobre diferencia de proyec-ciones.

6.6.- Teorema. Sean P1, P2 dos proyecciones definidas en H. Entonces:

a) P = P2−P1 es proyeccion si y solo si M1 ⊂M2, donde Mi = Pi(H), i =1, 2.

b) Ademas, si P = P2 − P1 es proyeccion y P (H) = M , entonces M es elcomplemento ortogonal de M1 en M2, M = M2 M1.

Demostracion. a) Si P = P2 − P1 es proyeccion, P = P 2, es decir

P2 − P1 = P 22 − P2P1 − P1P2 + P 2

1 = P2 − P2P1 − P1P2 + P1

=⇒ 2P1 = P1P2 + P2P1. (∗)

267

Multiplicando a derecha e izquierda por P2, tenemos

2P2P1 = P2P1P2 + P2P1 =⇒ P2P1P2 = P2P1,

2P1P2 = P1P2 + P2P1P2 =⇒ P2P1P2 = P1P2.

Aplicando (∗), resulta que P1 = P2P1P2 = P2P1 = P1P2.

Por el teorema anterior se deduce que M1 ⊂M2.

Recıprocamente, si M1 ⊂ M2, de nuevo por el el teorema anterior P2P1 =P1P2 = P1, de donde, invirtiendo el proceso anterior, P es idempotente.Ademas P es autoadjunto por serlo P1 y P2.

b) Si y ∈ M , y = Px = P2x − P1x, como M1 ⊂ M2, P2P1 = P1, de modoque

P2y = P 22 x− P2P1x = P2x− P1x = y =⇒ y ∈M2.

Por otra parte, como P1P2 = P1,

P1y = P1P2x− P 21 x = P1x− P1x = 0 =⇒ y ∈ N(P1) = M⊥

1 .

De lo anterior se deduce que M ⊂ M2 ∩M⊥1 . Veamos ahora la inclusion

contraria.

Sea pues v ∈M2 ∩M⊥1 ;

Pv = (P2 − P1)v = P2v − P1v = v − 0 = v =⇒ v ∈M. ♦

De los dos ultimos teoremas se deduce un resultado basico sobre convergenciade sucesiones crecientes de proyecciones.

6.7.- Teorema. Sea (Pn)n≥1 una sucesion creciente de proyecciones defini-das en un espacio de Hilbert H. Entonces:

a) (Pn)n≥1 converge en sentido fuerte a una proyeccion P definida en H.

b) P proyecta H sobre P (H) =⋃n∈N Pn(H).

c) El nucleo de P es N(P ) =⋂n∈N N(Pn).

Demostracion. a) Sea m < n. Por hipotesis Pm ≤ Pn, de donde Pm(H) ⊂Pn(H) y Pn − Pm es una proyeccion. Entonces, ∀x ∈ H,(∗)‖Pnx−Pmx‖2 = 〈(Pn−Pm)x, x〉 = 〈Pnx, x〉−〈Pmx, x〉 = ‖Pnx‖2−‖Pmx‖2.

Como ‖Pn‖ ≤ 1, ‖Pnx‖ ≤ ‖x‖, ∀n. Es decir (‖Pnx‖)n∈N es una sucesionacotada. Como tambien es monotona creciente, es convergente. De (∗) de-ducimos que (Pnx)n∈N es de Cauchy y, como H es de Hilbert, existe y ∈ H

268

tal que Pnx→ y. Definimos el operador P ∈ L(H) por Px = y, y probemosque P es una proyeccion:

〈P ∗x, y〉 = 〈x, Py〉 = 〈x, lımnPny〉 = lım

n〈x, Pny〉 = lım

n〈Pnx, y〉 = 〈Px, y〉;

〈P 2x, x〉 = 〈Px, Px〉 = lımn〈PnxPnx〉 = lım

n〈Pnx, x〉 = 〈Px, x〉.

b) Si m < n, Pm ≤ Pn, de modo que 〈(Pn − Pm)x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.Haciendo n → ∞, resulta 〈(P − Pm)x, x〉 ≥ 0, es decir Pm ≤ P . EntoncesPm(H) ⊂ P (H), ∀m. Esto prueba que

⋃m∈N Pm(H) ⊂ P (H); ahora bien,

al ser P (H) = N(I − P ), P (H) es cerrado, por lo que⋃m∈N Pm(H) ⊂

P (H).

Por otro lado, como Pmx ∈ Pm(H) ⊂⋃m∈N Pm(H) y Pmx→ Px, deducimos

que Px ∈⋃m∈N Pm(H), de donde P (H) ⊂

⋃m∈N Pm(H).

En definitiva, P (H) =⋃m∈N Pm(H).

c) De las relaciones N(P ) = P (H)⊥ ⊂ Pn(H)⊥, ∀n, se deduce que

N(P ) ⊂⋂n∈N

Pn(H)⊥ =⋂n∈N

N(Pn).

Por otro lado, si x ∈⋂n∈N N(Pn), Pnx = 0, ∀n, de donde Px = 0. Esto

prueba que⋂n∈N N(Pn) ⊂ N(P ). ♦

7. FUNCIONES DE OPERADORES ACOTADOS AUTOADJUN-TOS.

En esta seccion se introduce un calculo funcional para un operador autoad-junto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H y se desarrollan los resultadosfundamentales que constituyen las herramientas necesarias para probar elteorema espectral de operadores autoadjuntos, en la lınea de las ideas mos-tradas por F. Riesz en 1934.

Dicho calculo funcional consiste en estudiar las propiedades de la aplicacionf 7→ f(T ), definida en un espacio adecuado de funciones acotadas, comoextension de la aplicacion natural p 7→ p(T ), definida en el espacio de lospolinomios con coeficientes reales y dominio en el intervalo [m,M ], dondemI ≤ T ≤MI, y m < M .

269

Llamaremos

P = p : [m,M ] → R : p(t) = α0 + α1t+ · · ·+ αntn, αi ∈ R, ∀i

al espacio de los polinomios con coeficientes reales y denotaremos por P+ alsubespacio de P formado por los polinomios no negativos.

Si p ∈ P , escribiremos p(T ) = α0I + α1T + · · ·+ αnTn, que es autoadjunto.

La aplicacion p 7→ p(T ) es lineal y multiplicativa, es decir p(T ) + q(T ) =(p + q)(T ), (λp)(T ) = λ · p(T ) y (pq)(T ) = p(T )q(T ), ∀p, q ∈ P . Del lemasiguiente se deduce ademas que es monotona.

7.1.- Lema. Si p ∈ P+, entonces p(T ) es un operador positivo.

Demostracion. Basta probar que σ(p(T )) ⊂ [0,∞).

Por el teorema de la aplicacion espectral, σ(p(T )) = p(σ(T )). Como p espositivo, p(σ(T )) ≥ 0. ♦

Probaremos a continuacion dos resultados que permitiran obtener la exten-sion deseada de la aplicacion p 7→ p(T ).

7.2.- Lema. Sea (pn)n∈N ⊂ P+, con pn+1 ≤ pn para n ∈ N. Entonces(pn(T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador positivo.

Demostracion. Por el lema anterior, 0 ≤ pn+1(T ) ≤ pn(T ), n ∈ N. Si apli-camos el teorema 5.5 a la sucesion (−pn(T ))n∈N, deducimos que (pn(T ))n∈Nconverge en sentido fuerte a un operador autoadjunto S. Ademas,

〈Sx, x〉 = lımn→∞

〈pn(T )x, x〉 ≥ 0,

es decir S es positivo. ♦

7.3.- Lema. Sean (pn)n∈N, (qn)n∈N ⊂ P+ sucesiones decrecientes y S1, S2

los lımites fuertes de (pn(T ))n∈N, (qn(T ))n∈N, respectivamente. Si lımn→∞ pn(t) ≤lımn→∞ qn(t) para m ≤ t ≤M , entonces S1 ≤ S2.

Demostracion. Fijamos un entero positivo k. Para cada t ∈ [m,M ],

lımn

(pn(t)− qk(t)) ≤ lımnpn(t)− lım

nqn(t) ≤ 0.

Si llamamos rn = maxpn − qk, 0, para n ∈ N, entonces lımn rn(t) = 0, ∀t.Ademas rn+1 ≤ rn, n ∈ N.

Por el teorema de Dini, la sucesion (rn)n∈N converge uniformemente a 0 en[m,M ]. Dado pues ε > 0, existe N tal que 0 ≤ rn(t) < ε, ∀t ∈ [m,M ], ∀n ≥N . Esto implica que pn(t)− qk(t) < ε, ∀t ∈ [m,M ], ∀n ≥ N .

Por el lema 7.1, pn(T ) ≤ qk(T ) + εI, ∀n ≥ N . Entonces S1 ≤ qk(T ) + εI.Como k es arbitrario, S1 ≤ S2 + εI de donde S1 ≤ S2. ♦

270

7.4.- Definicion. Denotaremos por L+ al conjunto de funciones reales fdefinidas en el intervalo [m,M ] tales que existe una sucesion (pn)n∈N ⊂ P+

con las propiedades:

a) 0 ≤ pn+1 ≤ pn, n ∈ N.

b) lımn pn(t) = f(t), ∀t ∈ [m,M ].

Es claro que si f ∈ L+, entonces f es acotada; definimos pues f(T ) como eloperador positivo que es lımite fuerte de (pn(T ))n∈N, donde (pn)n∈N ⊂ P+

es una sucesion decreciente tal que lımn pn(t) = f(t), ∀t ∈ [m,M ]. Del lemaanterior se deduce que f(T ) esta bien definida.

Las propiedades de la aplicacion p 7→ p(T ) son tambien validas en L+ comose demuestra a continuacion.

7.5.- Lema. Dado f ∈ L+, la aplicacion anterior f 7→ f(T ) verifica:

a) (f + g)(T ) = f(T ) + g(T ), ∀f, g ∈ L+.

b) (αf)(T ) = αf(T ), ∀f ∈ L+, α ≥ 0.

c) (fg)(T ) = f(T )g(T ), ∀f, g ∈ L+.

d) f ≤ g =⇒ f(T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L+.

Demostracion. (a) Si f(t) = lımn pn(t), g(t) = lımn qn(t), entonces (f +g)(t) = lımn(pn + qn)(t) de donde

(f + g)(T ) = lımn

(pn + qn)(T ) = lımn

(pn(T ) + qn(T )) = f(T ) + g(T ).

(b) Si f(t) = lımn pn(t),

(αf)(t) = lımn

(αpn)(t) =⇒ (αf)(T ) = lımn

(αpn)(T ) = α lımnpn(T ).

(c) Si f(t) = lımn pn(t), g(t) = lımn qn(t), con (pn)n∈N, (qn)n∈N ⊂ P+ decre-cientes, entonces pn+1qn+1 ≤ pnqn, ∀n y

lımn

(pnqn)(t) = lımnpn(t)qn(t) = f(t)g(t) = (fg)(t), ∀t ∈ [m,M ],

es decir (fg)(T ) es lımite fuerte de ((pnqn)(T ))n∈N. Entonces, ∀x, y ∈ H,

〈(f(T )g(T ))x, y〉 = 〈f(T )(g(T )x), y〉 = 〈g(T )x, f(T )y〉= lım

n〈qn(T )x, pn(T )y〉 = lım

n〈pn(T )(qn(T )x), y〉

= lımn〈(pn(T )qn(T ))x, y〉 = lım

n〈(pnqn)(T )x, y〉 = 〈(fg)(T )x, y〉,

de donde f(T )g(T ) = (fg)(T ).

(d) Se deduce del lema 7.3. ♦

271

7.6.- Definicion. Si denotamos por

L = f : [m,M ] → R : f acotada y f = f1 − f2 con f1, f2 ∈ L+,

es tambien evidente que las funciones de L estan acotadas y que P ⊂ L. Seprueba de forma analoga a la anterior que la aplicacion p 7→ p(T ) se puedeextender a todo L de modo que se mantengan las propiedades de la misma.Para ello, dado f ∈ L, definimos f(T ) = f1(T )−f2(T ), donde f = f1−f2 conf1, f2 ∈ L+; es claro que f(T ) es un operador autoadjunto, que la definicionno depende de la descomposicion de f y coincide con la definicion 7.4 en elcaso particular de que f ∈ L+.

7.7.- Teorema. La aplicacion anterior tambien es lineal y verifica:

a) (fg)(T ) = f(T )g(T ), ∀f, g ∈ L.

b) f ≤ g =⇒ f(T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L.

La demostracion es directa a partir del lema 7.5.

8. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS.

Como ya hemos indicado, vamos a desarrollar una version del teorema es-pectral con ayuda del calculo funcional comentado en la seccion anterior.Al igual que antes, T sera un operador lineal acotado y autoadjunto en unespacio de Hilbert H, m,M ∈ R son numeros tales que mI ≤ T ≤ MI ym < M . El objetivo es aproximar T por combinaciones lineales de proyec-ciones ortogonales sobre H, obtenidas por un calculo funcional. Para ello,definimos para cada s ∈ R una funcion es : [m,M ] → R por:

- Si s < m, es = 0.

- Si m ≤ s < M, es(t) =

1 si m ≤ t ≤ s,

0 si s < t ≤M.

- Si s ≥M, es = 1.

8.1.- Lema. Para todo s ∈ R, es ∈ L+.

Esto permite definir para cada t ∈ R un operador positivo por E(t) =et(T ).

Demostracion. Si s < m o s ≥M , es evidente.

272

Sea pues m ≤ s < M y denotamos por N al menor entero positivo tal ques+N−1 ≤M .

Para n ≥ N , sea fn(t) =

1 si m ≤ t ≤ s,

−nt+ ns+ 1 si s < t < s+ 1/n,0 si s+ 1/n ≤ t ≤M.

Es facil ver

que fn es continua y que lımn fn(t) = es(t), ∀t ∈ [m,M ]. Tambien es claroque 0 ≤ fn+1 ≤ fn para n ≥ N.

Por el teorema de aproximacion de Weierstrass, existe una sucesion (pn)n∈Nde polinomios tal que, para n ≥ N :

fn(t) + 2−n−1 < pn(t) < fn(t) + 2−n, ∀t ∈ [m,M ].

De este modo, pn ∈ P+, pn+1 ≤ pn, para n ≥ N , y lımn pn(t) = es(t), ∀t ∈[m,M ]. Esto implica que es ∈ L+. ♦

8.2.- Lema. Para todo t ∈ R, E(t) es una proyeccion ortogonal en H queconmuta con T . Ademas

a) E(s) ≤ E(t), para s ≤ t.

b) E(t) = 0, para t < m.

c) E(t) = I, para t ≥M.

Demostracion. Es consecuencia del lema 7.5 y del hecho de que e2t = et, es ≤et cuando s ≤ t, et = 0 para t < m y et = 1 para t ≥M . ♦

Una aplicacion E : R → L(H) que cumple las condiciones a), b) y c) del lemaanterior recibe el nombre de resolucion de la identidad o descomposicion dela unidad.

Sugeridos por la integral de Riemann-Stieltjes, damos sentido al siguienteconcepto.

8.3.- Definicion. Dados m,M ∈ R con m < M y E : R → L(H) una resolu-cion de la identidad, diremos que un funcion f : [m,M ] → R es E−integrablecuando existe un operador autoadjunto S tal que:

∀ε > 0, ∃δ > 0 :∥∥∥S − n∑

k=1

f(tk)[E(sk)− E(sk−1)]∥∥∥ < ε

para cualquier particion s0, s1, . . . , sn de [m,M ] de diametro menor que δ(es decir, con sk − sk−1 < δ, ∀k = 1, 2, . . . , n) y cualesquiera t1, . . . , tn consk−1 ≤ tk ≤ sk, k = 1, . . . , n.

Es claro que si f es E-integrable, solo existe un operador autoadjunto S queverifica la definicion. Bajo estas condiciones, escribiremos S =

∫Mm f(t)dE(t).

273

8.4.- Teorema (espectral). En las condiciones y notacion anteriores, dadosa, b ∈ R, con a < m y b ≥ M , la aplicacion identidad I : [a, b] → R es E-integrable y T =

∫ ba tdE(t).

Demostracion. Si s, u ∈ R con s < u, entonces

eu(t)− es(t) =

1 si t ∈ (s, u] ∩ [m,M ],0 si t ∈ [m,M ] \ (s, u].

Por lo tanto, s(eu(t)−es(t)) ≤ t(eu(t)−es(t)) ≤ u(eu(t)−es(t)), ∀t ∈ [m,M ],de donde

s(E(u)− E(s)) ≤ T (E(u)− E(s)) ≤ u(E(u)− E(s)).

Sean ahora ε > 0 y s0, s1, . . . , sn una particion de [a, b] de diametro menorque ε. Tenemos

n∑k=1

sk−1(E(sk)−E(sk−1)) ≤ Tn∑k=1

(E(sk)−E(sk−1)) ≤n∑k=1

sk(E(sk)−E(sk−1)).

Como∑n

k=1(E(sk) − E(sk−1)) = E(b) − E(a) = I, si ahora t1, . . . , tn sonnumeros reales tales que sk−1 ≤ tk ≤ sk, obtenemos

n∑k=1

(sk−1 − tk)(E(sk)− E(sk−1)) ≤ T −n∑k=1

tk(E(sk)− E(sk−1))

≤n∑k=1

(sk − tk)(E(sk)− E(sk−1)).

Como sk−1 − tk > −ε y sk − tk < ε y debido a que E(sk) − E(sk−1) ≥ 0,resulta que

−εn∑k=1

(E(sk)− E(sk−1)) = −εI ≤ T −n∑k=1

tk(E(sk)− E(sk−1))

≤ εI = ε

n∑k=1

(E(sk)− E(sk−1)).

Esto prueba que T =∫ ba tdE(t). ♦

Recordamos que, si T es ademas compacto, las proyecciones ortogonales E(t)tienen una forma especialmente simple, lo que lleva de nuevo al teoremademostrado en la seccion 4.

El teorema espectral es una herramienta util en el estudio de operadoreslineales acotados en espacios de Hilbert, pues permite reducir cuestiones

274

sobre cierto tipo de operadores a cuestiones similares sobre proyeccionesortogonales.

9. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS: SEGUNDA VERSION.

Recordamos que nuestro objetivo es obtener una representacion de opera-dores acotados autoadjuntos en un espacio de Hilbert en terminos de ope-radores mas simples (como son las proyecciones) cuyas propiedades son masfaciles de determinar y las mismas dan informacion sobre el operador departida. Dicha representacion recibira el nombre de representacion espectraly la familia de proyecciones asociada se llamara familia espectral o descom-posion de la unidad. El uso de esta representacion para el caso de dimensionfinita servira de motivacion para obtener la generalizacion a este caso.

Sea pues H un espacio de Hilbert complejo de dimension infinita. Recorda-mos que, si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto y compacto, el conjun-to de autovalores λjj∈N es finito o numerable, cuyo unico posible puntode acumulacion es el cero. Si Pλ representa la proyeccion ortogonal sobreN(T −λI), definimos, para cada λ ∈ R, Eλ =

∑λi≤λ Pλi

. Por la proposicion3.8, Eλ es la proyeccion ortogonal sobre el espacio generado por los autova-lores correspondientes a autovalores λi ≤ λ. Ademas, se prueba facilmenteque

EλEµ = EµEλ = Eλ si λ < µ;Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥M ;Eλ+ = lım

µ→λ+Eµ = Eλ.

Lo anterior sugiere la siguiente definicion.

9.1.- Definicion. Una familia espectral real o descomposicion de la uni-dad es una familia uniparametrica de proyecciones (Eλ)λ∈R definidas en unespacio de Hilbert H y que verifica las propiedades:

(1) Eλ ≤ Eµ si λ < µ;(2) lım

λ→−∞Eλx = 0 y lım

λ→∞Eλx = x;

(3) lımµ→λ+

Eµx = Eλx, ∀x ∈ H.

La familia (Eλ)λ∈R es familia espectral del intervalo [a, b] si Eλ = 0 paraλ < a y Eλ = I para λ ≥ b. Estas familias tendran un interes especial

275

pues el espectro de operadores acotados autoadjuntos es un intervalo realfinito.

Mas adelante veremos que a todo operador acotado autoadjunto se le puedeasociar una familia espectral que permitira representar el operador medianteuna integral de Riemann-Stieltjes (y se llamara representacion espectral deloperador) generalizando lo obtenido en casos anteriores.

9.2.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y A,B ∈ L(H) opera-dores autoadjuntos tales que AB = BA y A2 = B2. Si llamamos Q a laproyeccion ortogonal de H sobre N(A+B), entonces:

a) Todo operador C ∈ L(H) que conmuta con A+B conmuta tambien conQ.

b) Si Ax = 0, entonces Qx = x.

c) A = (I − 2Q)B.

Demostracion. a) Sea x ∈ H; entonces CQx ∈ N(A+B) pues, debido a queQx ∈ N(A+B), (A+B)CQx = C(A+B)Qx = 0.

Por tanto, QCQx = CQx.

Analogamente, se prueba que QC∗Qx = C∗Qx, ∀x ∈ H.

Deducimos ası que QC = (C∗Q)∗ = (QC∗Q)∗ = QCQ = CQ.

b) Supongamos que Ax = 0. Entonces

‖Bx‖2 = 〈Bx,Bx〉 = 〈B2x, x〉 = 〈A2x, x〉 = ‖A2‖2 = 0.

Por tanto, Bx = 0, con lo que (A + B)x = 0, es decir x ∈ N(A + B). Pordefinicion de Q, Qx = x.

c) Por ultimo, como A2 = B2,

(A+B)(A−B)x = (A2 −B2)x = 0, ∀x ∈ H,

de donde (A − B)x ∈ N(A + B), es decir Q(A − B)x = (A − B)x, ∀x ∈H.

Como, por otra parte, Q(A + B) = (A + B)Q y Qx ∈ N(A + B), ∀x ∈ H,resulta que Q(A+B)x = (A+B)Qx = 0.

De las relaciones QA + QB = 0 y QA − QB = A − B, deducimos que2QB = B −A, es decir A = (I − 2Q)B. ♦

9.3.- Teorema. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, existe un proyector E− talque

a) todo C ∈ L(H) que conmuta con A conmuta tambien con E−;

276

b) Ax = 0 =⇒ E−x = x;

c) A(I − E−) ≥ 0, −AE− ≥ 0.

Demostracion. a) Definimos E− como la proyeccion sobre N(A+B), dondeB es la raız cuadrada positiva de A2. Si C conmuta con A, conmuta con A2

y, por tanto, con B. Por el lema anterior se deduce a).

b) Se deduce tambien del lema anterior.

c) Teniendo en cuenta el apartado c) del lema anterior, resulta:

A(I − E−) = B − 2E−B −BE− + 2E−BE− = B −BE− = B(I − E−) ≥ 0,−AE− = −BE− + 2E−BE− = BE− ≥ 0,

pues la composicion de dos operadores positivos que conmutan es un opera-dor positivo. ♦

9.4.- Definicion. Dado A ∈ L(H) autoadjunto, los operadores positivosA+ = A(I−E−) y A− = −AE− reciben el nombre de parte positiva y partenegativa de A, respectivamente. Del teorema anterior se deduce que

A+ =12(A+B), A− =

12(B −A),

ası como A = A+ −A−.

Ejemplos. 1) Sea A una matriz simetrica de orden n y λ1, λ2, . . . , λn el con-junto de sus autovalores ordenados de modo que λ1, . . . , λk < 0 y λk+1, . . . , λn >0. Es conocido el hecho de que A es unitariamente equivalente a la matriz dia-gonal formada por los autovalores, A = U diag(λ1, . . . , λn)U−1. En este caso,A+ = U diag(0, . . . , 0, λk+1, . . . , λn)U−1 yA− = U diag(λ1, . . . , λk, 0, . . . , 0)U−1.

2) Sea A ∈ L(L2[−1, 1]) el operador definido por Ax(t) = tx(t). EntoncesA+x(t) = (1/2)(t+ |t|)x(t) y A−x(t) = (1/2)(|t| − t)x(t).

9.5.- Lema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto y llamemos E a la proyeccionortogonal sobre N(A+). Entonces

a) A+E = EA+ = 0.

b) A−E = EA− = A−.

c) AE = EA = −A−, (I − E)A = A(I − E) = A+.

Demostracion. a) Por definicion, Ex ∈ N(A+), ∀x ∈ H. Entonces A+E = 0.Ademas, EA+ = (A+E)∗ = 0∗ = 0.

b) Como

A+A− =14(B +A)(B −A) =

14(B2 −A2) = 0,

277

entonces A−x ∈ N(A+), lo que implica que EA−x = A−x. Ademas,

A−E = (EA−)∗ = A∗− = A−.

c) Como A = A+ −A−,

AE = A+E −A−E = −A−,(I − E)A = A−AE = A+A− = A+. ♦

9.6.- Definicion. Dado A ∈ L(H), se llama valor absoluto de A al operador|A| = A+ +A−.

Del lema anterior se deduce que

E|A| = |A|E = A− e (I − E)|A| = A+.

Es evidente tambien que

|A| ≥ A, |A| ≥ −A, A+ ≥ A, A− ≥ −A.

Estas acotaciones son optimas en el sentido que indican los resultados si-guientes.

9.7.- Lema. Con los datos anteriores, |A| es el menor operador autoadjuntoque conmuta con A y es cota superior de A y −A.

Demostracion. Debemos probar que, si C ∈ L(H) es un operador autoad-junto tal que CA = AC, C ≥ A y C ≥ −A, entonces C ≥ |A|.

Ahora bien,

C ≥ A =⇒ C(I − E) ≥ A(I − E) = A+,

C ≥ −A =⇒ CE ≥ −AE = A−.

Sumando miembro a miembro, deducimos que C ≥ A+ +A− = |A|.♦

9.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, entonces A+ y A− son losmenores operadores positivos que conmutan con A y son cotas superiores deA y −A, respectivamente.

Demostracion. En el lema anterior se probo que C(I − E) ≥ A+. Ademas,si C ≥ 0, entonces CE ≥ 0. Por tanto, C ≥ A+ + CE ≥ A+.

Analogamente se procede con el otro caso. ♦

Estamos ya en condiciones de probar el teorema espectral de operadoresautoadjuntos.

278

9.9.- Teorema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto. Existe entonces una descom-

posicion de la unidad Eλλ∈R tal que A =∫ b

aλdEλ, donde a < m < M ≤

b.

Demostracion. Dado λ ∈ R, llamamos Aλ = A− λI.

Si λ < µ, es evidente que Aµ ≤ Aλ ≤ A+λ . Como A+

λ ≥ 0, ∀λ ∈ R, por elcorolario 9.8 deducimos que A+

µ ≤ A+λ .

En particular, si λ < m, como Aλ ≥ 0, entonces A+λ = Aλ ≥ (m− λ)I y, si

λ ≥M , entonces Aλ ≤ 0, de donde A+λ = 0.

(•) Llamamos ahora Mλ = N(A+λ ). Ası definidos, Mλλ∈R es una familia

creciente de subespacios tal que Mλ = 0 si λ < m y Mλ = H siλ ≥M .

En efecto, si λ < µ,

A+µ ≤ A+

λ =⇒ (A+µ )2 ≤ A+

λA+µ =⇒ ‖A+

µ x‖2 ≤ 〈A+λA

+µ x, x〉, ∀x ∈ H.

En particular, si x ∈Mλ, entonces ‖A+µ x‖2 = 0, es decir x ∈Mµ.

(•) Definimos ahora Eλ como la proyeccion ortogonal sobreMλ. Ası, Eλλ∈Res una familia creciente de operadores, tal que

Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥M.

(•) Para λ < µ, definimos Eλµ = Eµ − Eλ. Entonces

EµEλµ = Eµ − EµEλ = Eµ − Eλ = Eλµ,

(I − Eλ)Eλµ = Eλµ − EλEµ + (Eλ)2 = Eλµ.

Como A+λ , A+

µ y Eλµ son operadores positivos y conmutan, entonces

(µI −A)Eλµ = −AµEλµ = −AµEµEλµ = A−µEλµ ≥ 0,

(A− λI)Eλµ = AλEλµ = Aλ(I − Eλ)Eλµ = A+λEλµ ≥ 0,

o bien

(∗) λEλµ ≤ AEλµ ≤ µEλµ.

(•) Sea ahora el conjunto µ0, µ1, . . . , µn una particion del intervalo [a, b]tal que

a = µ0 < m < µ1 < . . . < µn−1 < M ≤ µn = b

y escribimos la desigualdad (∗) para cada par de puntos consecutivos.Llegamos ası a

n∑k=1

µk−1Eµk−1µk≤ A

n∑k=1

Eµk−1µk≤

n∑k=1

µkEµk−1µk.

279

Si max1≤k≤n(µk−µk−1) ≤ ε, la diferencia entre los extremos es menor oigual que εI. Ademas, el termino central es A. Eligiendo pues cualquierλk ∈ (µk−1, µk), 1 ≤ k ≤ n, obtenemos:∥∥∥∥∥A−

n∑k=1

λk(Eµk− Eµk−1

)

∥∥∥∥∥ ≤ ε,

lo cual escribimos como A =∫ ba λdEλ, o bien, como A =

∫Mm− λdEλ.

(•) Queda unicamente probar que Eλλ∈R es continua por la derecha,como funcion de λ, es decir Pλ = lımµ→λ+ Eλµ = 0.Tomando lımites en la desigualdad (∗), obtenemos que λPλ ≤ APλ ≤λPλ, de donde APλ = λPλ o bien AλPλ = 0.Como A+

λ Pλ = (I − Eλ)AλPλ = 0, entonces Pλx ∈ Mλ, ∀x ∈ H, dedonde EλPλ = Pλ.Analogamente, de (I−Eλ)Eλµ = Eλµ, se obtiene que (I−Eλ)Pλ = Pλ,de donde Pλ − EλPλ = 0 = Pλ. ♦

Observacion. Como la convergencia uniforme implica la convergencia fuer-te y la convergencia debil, del teorema anterior se deducen tambien lasformulas Ax =

∫Mm− λdEλx y 〈Ax, x〉 =

∫Mm− λd〈Eλx, x〉, ∀x ∈ H.

Ejemplos. 1) Sea A = U diag(λ1, λ2, . . . , λn)U−1 una matriz simetrica deorden n, donde λ1 < λ2 < . . . < λn y sea ei un vector propio asociado alautovalor λi. Entonces, si t ∈ [λi, λi+1), el operador Et es un proyector sobreel subespacio de dimension i generado por e1, e2, . . . , ei. Si t < λ1, Et = 0 ysi t ≥ λn, Et = I.

2) Si A : L2[−1, 1] → L2[−1, 1] es el operador definido por Af(x) = xf(x),entonces Etf(x) = φt(x) donde φt(x) = 0 para x > t y φt(x) = 1 para x ≤ t.Es evidente que Et = 0 si t < −1 y Et = I si t > 1.

280

EJERCICIOS.

1. Sea M : L2(R) → L2(R) el operador definido por (Mf)(x) =eixf(x). Probar que M es unitario, que no tiene valores propiosy sin embargo, σ(M) = T.

Resp.: Veamos en primer lugar que M es isometrıa: si f ∈ L2(R),entonces

‖Mf‖2 =∫

R|Mf(x)|2dx =

∫R|eix|2|f(x)|2dx =

∫R|f(x)|2dx = ‖f‖2.

Ademas M es sobre:

M(e−ixf(x)) = f(x) =⇒ (M−1f)(x) = e−ixf(x).

Para probar que M no tiene autovalores, supongamos que, para algunλ ∈ C, existe fλ ∈ L2(R) no nula tal que Mfλ = λfλ. Esto equivale ala igualdad eixfλ(x) = λfλ(x) c.s. En los puntos x tales que fλ(x) 6= 0,debe ser eix = λ, igualdad que solo es posible a lo sumo en un conjuntonumerable. Ası pues, fλ(x) = 0 c.s., es decir ‖fλ‖ = 0 y M no tieneautovalores.

Para calcular el espectro de M , resolvemos la ecuacion (M−ρI)f = g.Resulta ası:

(eix − ρ)f(x) = g(x) c.s. =⇒ f(x) =1

eix − ρg(x) c.s.

con lo que [(M − ρI)−1g](x) = 1eix−ρg(x) define un operador lineal.

Veamos bajo que condiciones (M − ρI)−1g ∈ L2(R), ∀g ∈ L2(R).

Si |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., entonces

‖(M − ρI)−1g‖2 ≤ c2∫

R|g(x)|2dx = c2‖g‖2 =⇒ ‖(M − ρI)−1‖ ≤ c

por lo que (M − ρI)−1 es acotado.

Ahora bien, si |ρ| 6= 1, entonces |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., lo que prueba queC \ T ⊂ ρ(M).

Por el contrario, si |ρ| = 1, ρ = eix0 , veamos que el operador

[(M − ρI)−1g](x) =1

eix − eix0g(x) c.s.

no es acotado en L2(R). Para ello, sea ε > 0 arbitrario; existe entoncesδ > 0 tal que

|x− x0| < δ =⇒ |eix − eix0 | < ε.

281

Si llamamos g a la funcion caracterıstica de (x0 − δ, x0 + δ), entonces

‖g‖2 =∫

R|g(x)|2dx = 2δ y ‖(m− ρI)−1g‖ >

√2δε

=‖g‖ε,

lo que implica que ‖(M − ρI)−1‖ > 1/ε. Al ser cierta esta desigualdadpara cualquier ε > 0, se deduce que (M − ρI)−1 no esta acotado.

En definitiva, resulta que σ(M) = T.

2. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que un operador A ∈ L(H)es compacto si y solo si

∀ε > 0, ∃Aε de rango finito : ‖A−Aε‖ < ε.

Resp.: Supongamos que A es compacto. Si llamamos B a la bolaunidad en H, A(B) es relativamente compacto. Por tanto, se puederecubrir con una familia finita de bolas de centro bi y radio ε, A(B) ⊂⋃ni=1B(bi, ε). Sea M = 〈b1, . . . , bn〉 y P la proyeccion ortogonal

sobre M . Ası, PA tiene rango finito. Ademas, ∀x ∈ B, Ax ∈ B(bi, ε),de donde d(Ax,M) < ε, lo que implica que ‖Ax−PAx‖ < ε, y esto asu vez que ‖A−PA‖ ≤ ε. Basta llamar Aε = PA para probar la tesis.

El recıproco es evidente pues A es lımite de una sucesion de operadoresde rango finito.

3. Sea Mϕ : L2(R) → L2(R) el operador de multiplicacion definidopor Mϕf = ϕ · f .

a) Probar que Mϕ es acotado si y solo si ϕ ∈ L∞(R).

b) Probar que σr(Mϕ) = ∅, σp(Mϕ) = λ ∈ C : m(ϕ−1(λ)) > 0,ρ(Mϕ) = λ ∈ C : ∃k > 0, |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s..

Resp.: a) Supongamos que ϕ ∈ L∞(R). Entonces

‖Mϕ‖ = sup‖f‖2=1

‖ϕf‖2 = sup‖f‖2=1

(∫R|ϕ(x)|2|f(x)|2dx

)1/2

≤ ‖ϕ‖∞ <∞.

282

Recıprocamente, si ϕ 6∈ L∞(R), entonces ∀k > 0, ∃Ak ⊂ R medibley acotado tal que m(Ak) > 0 y ϕ(x) > k, ∀x ∈ Ak. Si definimos

f(x) =

1 si x ∈ Ak0 si x 6∈ Ak,

entonces

‖Mϕf‖22 =

∫R|ϕ(x)|2·|f(x)|2dx =

∫Ak

|ϕ(x)|2dx > k2·m(Ak) = k2·‖f‖22

de lo que se deduce que Mϕ no es acotado.

b) Sea λ ∈ C; por definicion,

λ ∈ σp(Mϕ) ⇐⇒ ∃f 6= 0 : Mϕf = λf ⇐⇒ ∃f 6= 0 : (ϕ(x)−λ)f(x) = 0 c.s.

Como f 6= 0, lo anterior es equivalente a la existencia de un conjunto∆ ⊂ R medible, con m(∆) > 0, tal que ϕ(x) = λ, ∀x ∈ ∆, es decir, quem(ϕ−1(λ)) > 0. Un vector propio asociado al autovalor λ es f = 1∆.

Para calcular el conjunto resolvente, recordemos que λ ∈ ρ(Mϕ) si ysolo si ∃(Mϕ − λI)−1 acotado. Ahora bien, g ∈ R(Mϕ − λI) si ∃f ∈L2(R) tal que ϕf − λf = g c.s. o bien, si f(x) = g(x)

ϕ(x)−λ c.s. (siempreque ϕ(x) 6= λ c.s.)

Por tanto, existe (Mϕ − λI)−1f(x) = 1ϕ(x)−λf(x) si ϕ(x) 6= λ c.s.

Ademas,

(Mϕ − λI)−1f ∈ L2(R), ∀f ∈ L2(R) ⇐⇒ ∃k > 0 : |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s.

En este caso, ‖(Mϕ − λI)−1f‖ ≤ k−1‖f‖. Ası pues,

ρ(Mϕ) = λ ∈ C : ∃k > 0 : |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s..

Por ultimo, para probar que σr(Mϕ) = ∅, veamos que Mϕ es normal:

Debido a que

〈Mϕf, g〉 =∫

Rϕ(x)f(x) g(x)dx =

∫Rf(x) ϕ(x)g(x)dx = 〈f,Mϕg〉,

resulta que (Mϕ)∗ = Mϕ.

Como ademas (MϕMψ)f = Mϕ(ψ ·f) = ϕ ·ψ ·f = Mϕψf , ∀f ∈ L2(R),deducimos que

Mϕ(Mϕ)∗ = MϕMϕ = M|ϕ|2 = (Mϕ)∗Mϕ,

es decir Mϕ es un operador normal. Basta aplicar el teorema 2.6 paraconcluir que σr(Mϕ) = ∅.

283

4. Sea H un espacio de Hilbert y S, T, U, V operadores autoadjuntos.Probar:

a) S ≤ T , U ≤ V =⇒ S + U ≤ T + V .

b) S ≤ T, T ≤ U =⇒ S ≤ U .

c) S ≥ 0, ∃S−1 =⇒ S−1 ≥ 0.

Resp.: Los apartados a) y b) son triviales. Para probar c), sea y ∈R(S) y llamemos x = S−1y. Por ser S autoadjunto,

〈S−1y, y〉 = 〈x, Sx〉 = 〈Sx, x〉 ≥ 0.

5. Sea A ∈ L(H) un operador autoadjunto. Probar:

a) ‖A‖ ≤ a⇐⇒ −aI ≤ A ≤ aI.

b) Si A ≥ 0, entonces |〈Ax, y〉|2 ≤ 〈Ax, x〉 · 〈Ay, y〉, ∀x, y ∈ H.

c) Si A ≥ 0, entonces ‖Ax‖2 ≤ ‖A‖ · 〈Ax, x〉, ∀x ∈ H.

Resp.: a) Por una parte,

‖A‖ ≤ a =⇒ |〈Ax, x〉| ≤ a, ∀x ∈ H con ‖x‖ = 1=⇒ −a ≤ 〈Ax, x〉 ≤ a =⇒ 〈−ax, x〉 ≤ 〈Ax, x〉 ≤ 〈ax, x〉.

Sea z ∈ H, z 6= 0, y llamamos x = z/‖z‖. Entonces

〈−az, z〉 = ‖z‖2〈−ax, x〉 ≤ ‖z‖2〈Ax, x〉 = 〈Az, z〉≤ ‖z‖2〈Ax, x〉 = 〈az, z〉 =⇒ −aI ≤ A ≤ aI.

Recıprocamente, ‖A‖ = sup‖x‖=1 |〈Ax, x〉| ≤ sup‖x‖=1〈ax, x〉 = a.

b) Si definimos la forma sesquilineal f(x, y) = 〈Ax, y〉, la desigualdadbuscada se reduce a la desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizadaprobada en el capıtulo III (proposicion 6.12).

c) Si en el apartado anterior hacemos y = Ax, obtenemos:

|〈Ax,Ax〉|2 ≤ 〈Ax, x〉 · 〈A2x,Ax〉.

284

Ahora bien, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la acota-cion

〈A2x,Ax〉 ≤ ‖A2x‖ · ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖Ax‖2,

lo que, al sustituir en la desigualdad anterior, da lugar al resultadopropuesto.

6. Sea H un espacio de Hilbert y sean Ann≥1 y B operadores aco-tados y autoadjuntos en H tales que A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ B.

a) Verificar que‖Anx−Amx‖4 ≤ |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| · (‖An‖+ ‖Am‖)3 · ‖x‖2.

b) Deducir que existe un operador autoadjunto A ∈ L(H) tal quelımn→∞

Anx = Ax, ∀x ∈ H.

Resp.: a) Para n > m, llamamos Anm = An −Am. Entonces:

‖Anx−Amx‖4 = |〈Anx−Amx,Anx−Amx〉|2 = |〈Anmx,Anmx〉|2

≤ 〈Anmx, x〉 · 〈AnmAnmx,Anmx〉 (por el ejercicio anterior)≤ 〈Anmx, x〉 · ‖Anm‖ · ‖Anmx‖2

≤ |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| · (‖An‖+ ‖Am‖)3 · ‖x‖2.

b) Para cada x ∈ H, la sucesion numerica 〈Anx, x〉n∈N es crecientey acotada pues 〈Amx, x〉 ≤ 〈Anx, x〉 ≤ 〈Bx, x〉, ∀m < n. Por tanto, esuna sucesion de Cauchy, es decir |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| → 0 si m,n→∞. Aplicando la desigualdad obtenida en el apartado a), deducimosque

‖Anx−Amx‖ → 0 si m,n→∞.

Como H es completo, la sucesion Anxn∈N converge y podemos de-finir el operador A ∈ L(H) por Ax = lımn→∞Anx, ∀n ∈ H. Como〈A1x, x〉 ≤ 〈Ax, x〉 ≤ 〈Bx, x〉, ∀x ∈ H, entonces A ≤ B. Ademas A esautoadjunto, pues

〈Ax, y〉 = 〈 lımn→∞

Anx, y〉 = lımn→∞

〈Anx, y〉

= lımn→∞

〈x,Any〉 = 〈x, lımn→∞

Any〉 = 〈x,Ay〉.

285

7. Sea T ∈ L(H). Probar que T es invertible si y solo si las cotas in-feriores ınf

‖x‖=1〈(T ∗T )x, x〉 e ınf

‖x‖=1〈(TT ∗)x, x〉 son estrictamente po-

sitivas.

Resp.: Sean m1 y m2 las cotas inferiores de T ∗T y TT ∗, respectiva-mente, ası como M1 y M2 las correspondientes cotas superiores.

a) Supongamos que m1 > 0 y m2 > 0. Si elegimos constantes c1 y c2tales que ci < 2/Mi (i = 1, 2) y definimos los operadores A′1 = c1T

∗T ,A′2 = c2TT

∗, entonces es facil comprobar que

(∗) 0 < m′i ≤M ′

i < 2 (i = 1, 2),

donde, para cada i = 1, 2, m′i y M ′

i denotan las cotas inferior y superiorde A′i, respectivamente.

Por ser A′i autoadjunto, para cada i = 1, 2, la condicion (∗) equivale ala acotacion ‖I − A′i‖ < 1. Esto significa que existe (A′i)

−1 (i = 1, 2)y, en consecuencia, existen (T ∗T )−1 y (TT ∗)−1. Ası pues, como

I = (T ∗T )−1T ∗T = TT ∗(TT ∗)−1,

T tiene inverso a izquierda y a derecha. Por tanto, existe T−1 =(T ∗T )−1T ∗ = T ∗(TT ∗)−1.

b) Recıprocamente, si T es un operador invertible y suponemos quem1 ≤ 0, entonces existe una sucesion xnn∈N tal que ‖xn‖ = 1, ∀n, y‖Txn‖2 = 〈T ∗Txn, xn〉 → 0. Esto quiere decir que

‖xn‖ = ‖T−1Txn‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖Txn‖ → 0,

lo que contradice lo anterior.

8. H un espacio de Hilbert, M1 y M2 subespacios de H y P1 y P2 lasproyecciones sobre M1 y M2, respectivamente, tales que P1P2 =P2P1. Probar que P1 +P2−P1P2 es una proyeccion sobre M1 +M2.

Resp.: Si escribimos P1 +P2 −P1P2 = P1 + (I −P1)P2, tenemos, porun lado, que

P1(I − P1)P2 = (P1 − P 21 )P2 = 0,

lo que significa que P1 e (I−P1)P2 son proyecciones ortogonales entresı. Por otra parte, como (I − P1)P2 = P2(I − P1), deducimos que lacomposicion (I−P1)P2 es la proyeccion sobre M⊥

1 ∩M2 (teorema 7.3).

286

Ası pues, la suma P1 + (I − P1)P2 es la proyeccion ortogonal sobreM1 + (M⊥

1 ∩M2) = M1 +M2.

9. Sean A y B dos operadores autoadjuntos que conmutan entre sı.Probar que (1/2)(A+B+|A−B|) es el menor operador autoadjuntoque conmuta con A y B y es cota superior de ambos. [Dichooperador se denota por supA,B.]

Resp.: Como |A−B| ≥ A−B, supA,B ≥ (1/2)(A+B+A−B) = A.Como, ademas, |A−B| ≥ B−A, supA,B ≥ (1/2)(A+B+B−A) =B.

Si C ∈ L(H) es autoadjunto y CA = AC, CB = BC, C ≥ A, C ≥ B,entonces

C − 12(A+B) ≥

A− 1

2(A+B) = 12(A−B)

B − 12(A+B) = −1

2(A−B).

Por tanto,

C − 12(A+B) ≥ 1

2|A−B| =⇒ C ≥ 1

2(A+B + |A−B|),

pues C conmuta con A−B.

10. Se dice que un operador V : H → H es isometrıa parcial si H =

H1⊕H2 con ‖V x‖ =

‖x‖ si x ∈ H1

0 si x ∈ H2.Probar que todo operador

T ∈ L(H) es de la forma T = V A con V isometrıa parcial, A =(T ∗T )1/2 ≥ 0 y ‖V x‖ = ‖x‖, ∀x ∈ A(H) (descomposicion polar devon Neumann).

Resp.: Si T ∈ L(H), entonces T ∗T es positivo pues 〈T ∗Tx, x〉 =〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2 ≥ 0. Ası pues, existe un operador A ≥ 0 tal queA2 = T ∗T y A conmuta con todo operador que conmute con T ∗T .

Ademas,

‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉= 〈A2x, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖Ax‖2 =⇒ ‖Tx‖ = ‖Ax‖, ∀x ∈ H.

287

Si definimos el operador V1y = Tx, ∀y = Ax, entonces:

i) V1 esta bien definida pues, si Ax1 = Ax2, entonces A(x1 − x2) = 0,de donde ‖T (x1 − x2)‖ = 0, es decir Tx1 = Tx2.

ii) V1 es isometrıa en R(A) pues

‖V1y‖2 = ‖Tx‖2 = 〈(T ∗T )x, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖y‖2.

Ası pues, el operador V : H → H definido por V y =

V1y si y ∈ R(A)0 si y ∈ R(A)⊥,

(observemos que R(A) es cerrado, pues N(A)⊥ = R(A)) es isometrıaparcial. En efecto, si y = Ax, entonces ‖V y‖ = ‖Tx‖ = ‖Ax‖ = ‖y‖,pero ‖V y‖ = 0, ∀y ∈ R(A)⊥.

Basta, para completar la demostracion, comprobar que T = V A, locual es evidente, pues ∀x ∈ H, Tx = V y = V Ax.

Observacion. Si dimH < ∞, A(H) y T (H) tienen la misma codi-mension, entonces V es una isometrıa definida en A(H) y se puedeextender a un operador unitario sobre H. La descomposicion polartoma ahora la forma T = V A con V unitario y A ≥ 0, lo cual es unageneralizacion a operadores de la descomposicion polar de un numerocomplejo λ = r · eiϑ, con r ≥ 0 y |eiϑ| = 1.

TEMAS COMPLEMENTARIOS.

1. Teorıa de funciones casi-periodicas ([AG]).

2. Teorema espectral de operadores normales ([RN], [He]).

288

VII. OPERADORES NOACOTADOS EN ESPACIOSDE HILBERT

La teorıa de operadores no acotados surge como necesidad deestablecer los fundamentos matematicos de la Mecanica Cuanticay fue desarrollada en los anos 1920-1930 por von Neumann y Sto-ne. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mecanica Cuanti-ca, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirvaeste capıtulo para mostrar las propiedades fundamentales de losoperadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas difi-cultades que aparecen al eliminar la condicion de acotacion en losoperadores, en especial el problema de extension que aquı apa-rece.

SECCIONES

1. Introduccion. Operadores simetricos y autoadjuntos.

2. Propiedades espectrales de operadores simetricos y autoadjuntos.

3. Teorema espectral de operadores unitarios.

4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados.

5. Ejercicios.

289

1. INTRODUCCION. OPERADORES SIMETRICOS Y AUTO-ADJUNTOS.

Los dos ejemplos basicos de operadores no acotados son el operador multipli-cacion Mf(x) = x ·f(x) y el operador derivacion Df(x) = d

dxf(x), definidosen L2(R), operadores para los que se cumple la relacion de conmutacionDM −MD = I, formula en la que se basa el principio de incertidumbre dela Mecanica Cuantica. Se puede probar ademas que la relacion anterior nose da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al finaldel capıtulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con losanteriores.

El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas delAnalisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el pro-blema de extension del mismo juegan un importante papel en la cuestion desu acotacion.

1.1.- Teorema (Hellinger-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supon-gamos que T : H → H es un operador lineal definido en todo H y simetrico,es decir tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉, ∀x, y ∈ H. Entonces T es acotado.

En particular, como el operador multiplicacion verifica

〈Mf, g〉 =∫

Rxf(x) g(x)dx = 〈f,Mg〉

y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio.

Demostracion. Supongamos por el contrario que existe una sucesion de Cau-chy (yn)n∈N en H con ‖yn‖ = 1 y ‖Tyn‖ → ∞. Definimos la sucesion (fn)n∈Nde funcionales lineales en H por fn(x) = 〈Tx, yn〉 = 〈x, Tyn〉, ∀n.

Por la desigualdad de Schwarz, |fn(x)| = |〈x, Tyn〉| ≤ ‖Tyn‖ · ‖x‖, de modoque cada fn esta acotado.

Ademas, de |fn(x)| = |〈Tx, yn〉| ≤ ‖Tx‖ de deduce que (fn(x))n∈N es una su-cesion acotada. Por el principio de acotacion uniforme (capıtulo IV, teorema4.2), (‖fn‖)n∈N esta acotada, por lo que ‖fn‖ ≤ k, ∀n. Ası

|fn(x)| ≤ ‖fn‖ · ‖x‖ ≤ k‖x‖.

En particular, para x = Tyn resulta que

‖Tyn‖2 = 〈Tyn, T yn〉 = |fn(Tyn)| ≤ k‖Tyn‖ =⇒ ‖Tyn‖ ≤ k

lo que es absurdo. ♦

Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema dedeterminar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos.

290

Utilizaremos la notacion S ⊂ T para indicar que T es extension de S, es decirD(S) ⊂ D(T ) y T |D(S) = S. Es claro que S ⊂ T si y solo si G(S) ⊂ G(T ),donde G representa el grafo del operador.

2) Si un operador lineal es acotado, es decir

∃k > 0 : ‖Tx‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ),

puede extenderse a D(T ) por continuidad. Si D(T ) no fuera denso en H,se puede extender T mas alla de D(T ), haciendo por ejemplo Tx = 0,∀x ∈ D(T )⊥, y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extension es-tara tambien acotada y tendra la misma norma de T . Esto sugiere suponerque los operadores lineales acotados estan siempre definidos en todo H, demodo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio.

A continuacion vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en elcaso de operadores no acotados.

1.2.- Definicion. Dado un operador lineal T con dominio D(T ) ⊂ H, sedefine

D(T ∗) = x′ ∈ H : ∃y′, 〈Tx, x′〉 = 〈x, y′〉,∀x ∈ D(T )

y se llama adjunto de T al operador T ∗ definido por

∀x′ ∈ D(T ∗) : T ∗x′ = y′.

1.3.- Proposicion. T ∗ esta bien definida (es decir y′ es unico) si y solo siD(T ) es denso en H.

Demostracion. Si D(T ) 6= H, existe y1 ∈ H con y1 6= 0 tal que y1⊥D(T ).Ası 〈x, y′〉 = 〈x, y′〉+ 〈x, y1〉.

Recıprocamente, si D(T ) = H e y1 = T ∗x, y2 = T ∗x, entonces

〈y1, z〉 = 〈y2, z〉, ∀z ∈ D(T ) =⇒ y1 − y2⊥D(T ) =⇒ y1 − y2⊥H =⇒ y1 = y2.

Observaciones. De la definicion se deducen tambien las propiedades corres-pondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular:

1) ∀x ∈ D(T ), x′ ∈ D(T ∗) : 〈Tx, x′〉 = 〈x, T ∗x′〉.

2) Si T ∈ L(H), entonces T ∗ ∈ L(H) y ‖T ∗‖ = ‖T‖.

3) Si T ∈ L(H), entonces T ∗∗ = T .

4) Si S, T ∈ L(H), T ∗S∗ = (ST )∗.

5) Si α ∈ C y T tiene dominio denso en H, entonces (αT )∗ = αT ∗.

Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferenciascomo se muestra a continuacion.

291

1.4.- Proposicion. Sean S y T dos operadores lineales con dominio densoen el mismo espacio de Hilbert H.

a) Si S ⊂ T , entonces T ∗ ⊂ S∗.

b) T ∗ + S∗ ⊂ (T + S)∗.

c) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T ∗S∗ ⊂ (ST )∗. Si ademasS ∈ L(H), entonces T ∗S∗ = (ST )∗.

Demostracion. a) Si x ∈ D(T ∗), entonces existe y ∈ H tal que 〈x, Tz〉 =〈y, z〉, ∀z ∈ D(T ). Como S ⊂ T , 〈y, z〉 = 〈x, Tz〉 = 〈x, Sz〉, ∀z ∈ D(S). Estoimplica que x ∈ D(S∗) y S∗x = y, o bien que T ∗ ⊂ S∗.

b) Si x ∈ D(T ∗ + S∗), entonces x ∈ D(T ∗) y x ∈ D(S∗). Por tanto,

∃y1, y2 ∈ H : 〈 x, Tz〉 = 〈y1, z〉, ∀z ∈ D(T )〈 x, Sz〉 = 〈y2, z〉, ∀z ∈ D(S)

=⇒ 〈 x, (T + S)z〉 = 〈y1 + y2, z〉, ∀z ∈ D(T ) ∩D(S) = D(T + S).

Esto implica que x ∈ D(T + S)∗ y (T + S)∗x = y1 + y2 = (T ∗ + S∗)x.

c) Si x ∈ D(T ∗S∗) =⇒ x ∈ D(S∗), S∗x ∈ D(T ∗). Por tanto,

∃y1 ∈ H : 〈x, Sz〉 = 〈y1, z〉, ∀z ∈ D(S),∃y2 ∈ H : 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉, ∀u ∈ D(T ),

Ahora bien, si u ∈ D(ST ), entonces u ∈ D(T ) y z = Tu ∈ D(S). Teniendoen cuenta que y1 = S∗x, tenemos:

〈x, STu〉 = 〈x, Sz〉 = 〈y1, z〉 = 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉

lo que implica que x ∈ D((ST )∗) y (ST )∗x = y2 = T ∗S∗x.

Por ultimo, si S ∈ L(H), veamos que D((ST )∗) ⊂ D(T ∗S∗).

Sea pues x ∈ D((ST )∗). Entonces ∃y ∈ H : 〈x, (ST )z〉 = 〈y, z〉, ∀z ∈ D(ST ).En particular 〈x, (ST )z〉 = 〈y, z〉, ∀z ∈ D(T ). Como S ∈ L(H), S∗ ∈ L(H)y 〈x, (ST )z〉 = 〈S∗x, Tz〉, lo que implica que S∗x ∈ D(T ∗). Como ademasD(S∗) = H, tambien x ∈ D(S∗); por tanto x ∈ D(T ∗S∗). ♦

Una generalizacion del concepto de operadores simetricos para operadoresno acotados es la siguiente:

1.5.- Definicion. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H es simetrico si

〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉, ∀x, y ∈ D(T ).

Un operador simetrico es maximal si no tiene extensiones simetricas pro-pias.

292

Observacion. A veces se exige que un operador simetrico tenga dominiodenso y, en caso de no cumplir esta condicion, recibe el nombre de operadorhermıtico.

Las siguientes caracterizaciones de los operadores simetricos son utiles.

1.6.- Proposicion. Si D(T ) = H, son equivalentes:

i) T es simetrico.

ii) T ⊂ T ∗.

iii) 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ D(T ).

Demostracion. i) =⇒ ii). Sea x ∈ D(T ). Existe entonces y = Tx tal que〈Tz, x〉 = 〈z, y〉, para todo z ∈ D(T ). Esto implica que x ∈ D(T ∗) y queT ∗x = y = Tx.

ii) =⇒ iii). Si x ∈ D(T ), 〈Tx, x〉 = 〈T ∗x, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉. Estoimplica que 〈Tx, x〉 ∈ R.

iii) =⇒ i). Sea α ∈ C. Entonces

〈T (x + αy), x + αy〉 = 〈Tx, x〉+ α〈Ty, x〉+ α〈Tx, y〉+ α α〈Ty, y〉〈x + αy, T (x + αy)〉 = 〈x, Tx〉+ α〈y, Tx〉+ α〈x, Ty〉+ α α〈y, Ty〉.

Teniendo en cuenta que 〈T (x + αy), x + αy〉 = 〈x + αy, T (x + αy)〉, resul-ta:

Para α = 1, 〈x, Ty〉+〈Tx, y〉 = 〈Tx, y〉+〈x, Ty〉 =⇒ Im〈Tx, y〉 = Im〈x, Ty〉.

Para α = i, 〈x, Ty〉+〈x, Ty〉 = 〈Tx, y〉+〈Tx, y〉 =⇒ Re〈x, Ty〉 = Re〈Tx, y〉.

De las dos igualdades se deduce que 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉. ♦

1.7.- Definicion. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H con dominio denso enH es autoadjunto si T = T ∗.

Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es simetrico y si D(T ) =H, el recıproco tambien es cierto.

De la definicion se deduce tambien que todo operador simetrico T que verificaD(T ) = D(T ∗) es autoadjunto.

Ejemplos. 1) Sea H = L2(R) y D = i · ddx el operador definido en el

conjunto de funciones que tienen lımite cero en los infinitos (que es densoen H). Entonces D es simetrico.

2) Sea H = L2[0, 1] y se define Tkf = i · f ′, (k = 1, 2, 3), con

D(T1) = f ∈ H : f absolutamente continua y f ′ ∈ H,D(T2) = f ∈ D(T1) : f(0) = f(1) ⊂ D(T1),D(T3) = f ∈ D(T2) : f(0) = f(1) = 0 ⊂ D(T2),

293

dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibran-te.

Se observa en primer lugar que T3 ⊂ T2 ⊂ T1. Tenemos ademas que T ∗1 =

T3, T ∗2 = T2, T ∗

3 = T1. Resulta pues que T2 es extension autoadjunta deloperador simetrico T3 y T1 es una extension no simetrica de T2. Esto indicaen particular que los conceptos de operador simetrico y autoadjunto nocoinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos ademas que elcalculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no bastala definicion formal del mismo.

En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicacion U : H ×H → H ×H,definida por U(x, y) = i(y,−x), llamado operador de conjugacion, es unoperador unitario tal que U2 = I; ademas tenemos lo siguiente:

1.8.- Proposicion. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con D(T ) =H.

a) Si G(T ) = (x, Tx) : x ∈ D(T ) es el grafo de T , entonces U(G(T ))⊥ =G(T ∗).

b) Si T admite una clausura, entonces su adjunto T ∗ tiene dominio densoen H y U(G(T ∗))⊥ = G(T ∗∗).

Demostracion. a) Supongamos que (x, y) ∈ U(G(T ))⊥. Entonces,

∀(u, v) ∈ U(G(T )), 〈(x, y), (u, v)〉 = 0.

Como (u, v) = U(a, Ta) = (iTa,−ia) para algun a ∈ D(T ), resulta:

0 = 〈(x, y), (u, v)〉 = 〈x, u〉+ 〈y, v〉 = 〈x, iTa〉+ 〈y,−ia〉= −i〈x, Ta〉+ i〈y, a〉 =⇒ 〈x, Ta〉 = 〈y, a〉.

Esto implica que x ∈ D(T ∗) y que y = T ∗x.

Recıprocamente, si (x, y) ∈ G(T ∗), x ∈ D(T ∗), y = T ∗x. Por tanto, paratodo a ∈ D(T ),

〈(x, y), (iTa,−ia)〉 = −i〈x, Ta〉+ i〈y, a〉 = −i〈T ∗x, a〉+ i〈y, a〉 = 0.

b) Supongamos que D(T ∗) 6= H, es decir ∃y0 6= 0 : y0⊥D(T ∗). Entonces〈y0, x〉 = 0, ∀x ∈ D(T ∗), de donde

〈(y0, 0), (x, T ∗x)〉 = 0, ∀x ∈ D(T ∗) =⇒ (y0, 0) ∈ G(T ∗)⊥.

Debido al apartado (a),

G(T ∗)⊥ = U(G(T ))⊥⊥ = U(G(T )).

294

Por tanto, ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que (y0, 0) = lımn U(xn, Txn), de don-de

y0 = lımn

iTxn, 0 = lımn−ixn.

Por ser T clausurable, si lımn ixn = 0, lımn iTxn = y0, entonces y0 = 0, loque contradice la suposicion inicial.

La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo T por T ∗. ♦

La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuen-cias que de el se derivan.

1.9.- Corolario. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominiodenso en H.

1) T ∗ es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados.

2) Si D(T ∗) es tambien denso en H, T ⊂ T ∗∗.

3) Si T es clausurable, entonces ( T )∗ = T ∗, T = T ∗∗. En particular, si Tes cerrado, T = T ∗∗.

4) N(T ∗) = R(T )⊥ y, si T es cerrado, N(T ) = R(T ∗)⊥.

5) Si T es simetrico, es clausurable y T es tambien simetrico.

6) H ×H = G(T ∗)⊕ UG(T ).

7) Si T es cerrado, el sistema−Tx + y = ax + T ∗y = b

siempre tiene solucion (x, y) ∈

D(T )×D(T ∗).

8) Si T es inyectiva y R(T ) es denso en H, entonces T ∗ es inyectiva y(T ∗)−1 = (T−1)∗.

Demostracion. 1) G(T ∗) es cerrado por ser el complemento ortogonal de unsubespacio de H ×H.

2) Como U(G(T ))⊥ = G(T ∗), resulta

U(G(T )) = G(T ∗)⊥ =⇒ U(G(T )) ⊂ G(T ∗)⊥

=⇒ G(T ) ⊂ U(G(T ∗)⊥) = G(T ∗∗) =⇒ T ⊂ T ∗∗.

3) Si T es la clausura de T , G( T ) = G(T ). Entonces

U(G( T )) = U(G(T )) =⇒ G(T ∗) = U(G(T ))⊥ = U(G( T ))⊥ = G( T∗).

Por otra parte, de G(T ∗) = U(G(T ))⊥ deducimos que

G(T ∗)⊥ = U(G(T ))⊥⊥ = U( G(T )) = U(G( T ))

295

y de aquı,

G(T ∗∗) = U(G(T ∗))⊥ = U(G(T ∗)⊥) = U2(G( T )) = G( T ).

Esto prueba que T ∗∗ = T .

4) De lo anterior se deduce

x ∈ N(T ∗) ⇐⇒ (x, 0) ∈ G(T ∗) ⇐⇒ 〈(x, 0), (u, v)〉 = 0, ∀(u, v) ∈ U(G(T ))⇐⇒ 〈(x, 0), (iTa,−ia)〉 = 0, ∀a ∈ D(T )⇐⇒ 〈x, Ta〉 = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ x ∈ R(T )⊥.

5) Si T es simetrico, T ∗ es extension de T y T ∗ es cerrado. Ademas, ∀x, y ∈D( T ), ∃(xn)n∈N, (ym)m∈N ⊂ D(T ) tales que

xn → x, Txn → Tx, ym → y, Tym → Ty.

Ası pues,

〈Tx, y〉 = lımn,m

〈Txn, ym〉 = lımn,m

〈xn, T ym〉 = 〈x, Ty〉.

6) Es evidente pues G(T ∗)⊥ = U(G(T )).

7) Sea (a, b) ∈ H ×H arbitrario. Tenemos:

(a, b) = f + g, f ∈ G(T ∗), g ∈ U(G(T )) = U(G(T ))

(a, b) = (y, T ∗y) + U(x′, Tx′), y ∈ D(T ∗), x′ ∈ D(T )=⇒ (a, b) = (y, T ∗y) + i(Tx′,−x′) = (y, T ∗y) + (−Tx, x), y ∈ D(T ∗), x ∈ D(T ).

8) Por el apartado (4), N(T ∗) = R(T )⊥ = R(T )⊥

= 0. Teniendo encuenta ahora la proposicion 1.4, como D(T ) y D(T−1) = R(T ) son densosen H, entonces

(T−1)∗T ∗ ⊂ (TT−1)∗ = I =⇒ (T−1)∗ = (T ∗)−1. ♦

Observacion. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un ope-rador simetrico es cerrado.

La siguiente propiedad sera tambien util en el estudio de los operadoresautoadjuntos.

1.10.- Proposicion. Sea T un operador simetrico con dominio denso enH. Entonces:

a) D(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T ∈ L(H).

296

b) T = T ∗ y T inyectivo =⇒ R(T ) = H y T−1 = (T−1)∗.

c) R(T ) = H =⇒ T inyectivo.

d) R(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T−1 ∈ L(H).

Demostracion. a) Por ser T simetrico, T ⊂ T ∗. Como D(T ) = H, T = T ∗.Por el teorema del grafico cerrado, como T es cerrado y D(T ) = H, Tes acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema deHellinger-Toeplitz.)

b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N(T ) = R(T )⊥, de modoque, si N(T ) = 0, entonces R(T ) = H.

La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolariocitado.

c) Sea v ∈ D(T ) tal que Tv = 0. Entonces:

〈Tv, x〉 = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ 〈v, Tx〉 = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ v ∈ R(T )⊥ =⇒ v = 0.

d) Si R(T ) = H, T es inyectiva y existe S = T−1 con D(S) = R(T ) =H.

Dados f, h ∈ R(T ), f = Tg, h = Tk, entonces

〈Sf, h〉 = 〈g, Tk〉 = 〈Tg, k〉 = 〈f, k〉 = 〈f, Sh〉,

es decir S es simetrico. Por el apartado a), S = S∗ ∈ L(H) y, por el apartadob), T = S−1 es autoadjunto. ♦

Estudiaremos a continuacion el problema de las extensiones de operadoressimetricos. Sabemos que, si T es un operador simetrico y S es una extensionsimetrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S∗ ⊂ T ∗, es decir toda extension simetricade T es restriccion de T ∗.

1.11.- Proposicion. a) Todo operador simetrico tiene alguna extension si-metrica maximal.

b) Toda extension simetrica maximal de un operador simetrico es cerra-da.

c) Todo operador autoadjunto es simetrico maximal.

El apartado a) es una simple aplicacion del lema de Zorn y los otros dos sonconsecuencia de los resultados anteriores.

1.12.- Teorema. Sean T un operador simetrico y λ = a + ib con a, b ∈ R.Entonces:

a) ‖(T − λI)x‖2 = b2‖x‖2 + ‖(T − aI)x‖2, ∀x ∈ D(T ).

297

b) Si b 6= 0, N(T − λI) = 0, es decir T − λI es inyectivo.

c) Si b 6= 0 y T es cerrado, entonces R(T − λI) es cerrado.

d) Si ademas R(T − λI) = H, T es simetrico maximal.

Demostracion. Observamos en primer lugar que

‖(T−λI)x‖2 = ‖(T−aI)x−ibx‖2 = ‖(T−aI)x‖2+b2‖x‖2+2Re i〈(T−aI)x, bx〉

donde 〈(T − aI)x, bx〉 = b〈Tx, x〉 − ab‖x‖2 ∈ R. Esto demuestra el apartadoa).

De aquı tambien se deduce que (T − λI)x = 0 =⇒ b2‖x‖2 = 0 =⇒ x = 0, loque prueba el apartado b).

Para probar c) elegimos una sucesion (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que (T −λI)xn →y. Entonces (xn)n∈N es de Cauchy porque

b2‖xn−xm‖2 ≤ ‖(T−aI)(xn−xm)‖2+b2‖xn−xm‖2 = ‖(T−λI)(xn−xm)‖2 → 0.

Por ser H de Hilbert, existe x = lımn xn. De este modo, por ser T − λIcerrado, debe ser x ∈ D(T − λI) y (T − λI)x = y, es decir y ∈ R(T −λI).

Por ultimo, para probar d) suponemos que existe un operador simetrico Stal que T ⊂ S. Entonces H = R(T − λI) ⊂ R(S − λI). Si consideramosun elemento u ∈ D(S) \D(T ), aplicando el resultado de b) al operador S,tenemos:

∃u′ ∈ D(T ) : (S − λI)u = (T − λI)u′ = (S − λI)u′ =⇒ u = u′

lo que es absurdo a no ser que T = S. ♦

El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operadorpositivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectralde operadores autoadjuntos no acotados.

1.13.- Teorema. Sea T cerrado con dominio denso; se define Q = I +T ∗T .Entonces:

a) Q : D(Q) → H es biyectivo y existen B,C ∈ L(H), con ‖B‖ ≤ 1,‖C‖ ≤ 1, tales que C = TB y BQ ⊂ QB = I. Ademas B ≥ 0 y T ∗T esautoadjunto.

b) Sea T ′ = T |D(T ∗T ); entonces G(T ′) es denso en G(T ).

Demostracion. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que Tes cerrado, H ×H = G(T ∗)⊕UG(T ). Entonces, ∀h ∈ H, existen x ∈ D(T ),y ∈ D(T ∗) tales que:

(0, h) = (y, T ∗y) + U(x, Tx) = (y + iTx, T ∗y − ix).

298

Quedan definidos ası los operadores Bh = −ix, Ch = y, que tienen dominioH y son lineales. Ademas, debido a que la suma anterior es ortogonal, porla definicion de norma en H ×H, tenemos:

‖h‖2 = ‖Ch‖2 + ‖T ∗Ch‖2 + ‖TBh‖2 + ‖Bh‖2 ≥ ‖Ch‖2 + ‖Bh‖2.

Entonces ‖Ch‖ ≤ ‖h‖ y ‖Bh‖ ≤ ‖h‖, con lo que ‖B‖ ≤ 1 y ‖C‖ ≤ 1.Ademas,

0 = Ch− TBh =⇒ TB = C

h = T ∗Ch + Bh = Bh + T ∗TBh = (I + T ∗T )Bh =⇒ QB = I.

En particular, ∀y ∈ D(Q), ∃h ∈ H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh =h y BQy = Bh = y, de donde BQ ⊂ I.

La aplicacion Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por serBQ ⊂ I, Q es inyectiva.

Ademas, Q es un operador positivo pues, ∀x ∈ D(Q),

〈Qx, x〉 = 〈x, x〉+ 〈T ∗Tx, x〉 = ‖x‖2 + ‖Tx‖2 ≥ 0.

Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B ≥ 0:

Dado cualquier h ∈ H, sea x ∈ D(Q) tal que h = Qx; entonces

〈Bh, h〉 = 〈BQx,Qx〉 = 〈x,Qx〉 ≥ 0.

Como B ∈ L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es tambienautoadjunto, con lo que evidentemente Q− I = T ∗T es autoadjunto.

Para probar b), consideremos un elemento (x, Tx) ortogonal a G(T ′). En-tonces ∀y ∈ D(T ∗T ) = D(Q) :

0 = 〈(x, Tx), (y, Ty)〉 = 〈x, y〉+〈Tx, Ty〉 = 〈x, (I+T ∗T )y〉 = 〈x,Qy〉 =⇒ x⊥R(Q).

Como R(Q) = H, x = 0. ♦

Observacion. Teniendo en cuenta que TT ∗ = T ∗∗T ∗ (pues T es cerrado)y T ∗ es cerrado, el resultado anterior tambien se aplica al operador TT ∗.Ademas, de la proposicion 1.10 se deduce que los operadores (I + T ∗T )−1 y(I + TT ∗)−1 son acotados.

Veremos en los ejercicios al final del capıtulo algunas aplicaciones de esteteorema.

299

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES SIMETRI-COS Y AUTOADJUNTOS.

Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acota-dos se conservan en el caso de operadores no acotados. Algunas de dichaspropiedades se generalizan en esta seccion.

Observemos en primer lugar que, si T : D(T ) ⊂ H → H es un operador linealcerrado con dominio denso, entonces T − λI : D(T ) → R(T ) es biyectiva siy solo si λ no es autovalor de T . Ası pues, los autovalores son aquellos paralos que, o bien T −λI no tiene inverso, o bien (T −λI)−1 no es un operadoracotado definido en todo H.

Si T es ademas un operador simetrico, sus autovalores son reales (teorema1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado.

2.1.- Proposicion. Sea T un operador autoadjunto. La condicion necesariay suficiente para que λ sea autovalor de T es que R(T − λI) 6= H.

Demostracion. Si λ es autovalor, existe x 6= 0 tal que Tx = λx. Enton-ces:

〈x, (T − λI)y〉 = 〈(T − λI)x, y〉 = 0, ∀y ∈ D(T ).

Esto implica que x⊥R(T − λI) con lo que R(T − λI) 6= H.

Recıprocamente, si R(T − λI) 6= H, entonces ∃x 6= 0 tal que x⊥R(T − λI).Luego

〈x, (T − λI)y〉 = 0, ∀y ∈ D(T )=⇒ 〈x, Ty〉 = 〈x, λy〉, ∀y ∈ D(T ) =⇒ x ∈ D(T ∗), T ∗x = λx.

Como T es autoadjunto y λ ∈ R, entonces Tx = λx. ♦

2.2.- Corolario. Si T es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a unautovalor λ es R(T − λI)⊥.

El siguiente resultado es tambien similar al correspondiente en el caso deoperadores acotados.

2.3.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador autoadjunto condominio denso en H. Entonces

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : ‖(T − λI)x‖ ≥ c‖x‖, ∀x ∈ D(T ).

Los tres lemas siguientes seran utiles en la determinacion del espectro delos operadores simetricos.

2.4.- Lema. Sea T un operador simetrico cerrado y λ = a+ ib un complejo,con b 6= 0. Si µ ∈ C es tal que |λ− µ| < |b|, entonces N(T ∗ − µI) ∩N(T ∗ −λI)⊥ = 0.

300

Demostracion. Supongamos por el contrario que

∃f ∈ N(T ∗ − µI) ∩N(T ∗ − λI)⊥

y ‖f‖ = 1. Como R(T − λI) es cerrado, N(T ∗ − λI)⊥ = R(T − λI), demodo que existe g ∈ H tal que (T − λI)g = f . Ası pues, como f ∈ N(T ∗ −µI),

0 = 〈(T ∗ − µI)f, g〉 = 〈f, (T − µI)g〉= 〈f, (T − λI)g〉+ (λ− µ)〈f, g〉 = ‖f‖2 + (λ− µ)〈f, g〉.

Entonces

1 = ‖f‖2 = |λ− µ| · |〈f, g〉| ≤ |λ− µ| · ‖g‖1 = ‖f‖ = ‖(T − λI)g‖ ≥ |b| · ‖g‖

=⇒ 1 ≤ |λ− µ| · |b|−1,

lo que contradice la hipotesis. ♦

2.5.- Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H,tales que M ∩N⊥ = 0. Entonces dim M ≤ dim N .

Demostracion. Llamamos P : H → H a la proyeccion ortogonal sobre N yT : M → N a la restriccion de P a M , Tf = Pf , ∀f ∈ M . Es evidente que Tes inyectiva. Por tanto, si L ⊂ M es un subespacio arbitrario con dim L = k,entonces dim TL = k ≤ dim N , lo que implica que dim M ≤ dim N .♦

2.6.- Lema. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces dim N(T ∗−λI)es constante para cualquier λ con Im λ > 0.

Demostracion. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, sededuce que dim N(T ∗ − µI) ≤ dim N(T ∗ − λI) si |λ − µ| < b. Tomando|λ−µ| < b/2, tambien |λ−µ| < Im µ, de modo que la desigualdad contrariatambien es cierta.

Se prueba ası que la funcion λ 7→ dim N(T ∗ − λI) es localmente constante.Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, seobtiene la tesis. ♦

2.7.- Teorema. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces una y solouna de las siguientes posibilidades es cierta:

i) σ(T ) = C.

ii) σ(T ) = λ ∈ C : Im λ ≥ 0.

iii) σ(T ) = λ ∈ C : Im λ ≤ 0.

iv) σ(T ) ⊂ R.

Demostracion. Sea H± = λ ∈ C : ± Im λ > 0. Por la proposicion 1.12, siλ ∈ H±, T − λI es inyectiva y tiene rango cerrado. Tenemos dos posibilida-des:

301

- Si T − λI no es sobre, entonces λ ∈ σ(T ).

- Si T − λI es sobre, por la proposicion 1.10(d), λ ∈ ρ(T ).

Como N(T ∗ − λI) = R(T − λI)⊥, del lema anterior resultan las siguientesopciones (observando ademas que σ(T ) es cerrado, lo que se prueba comoen el caso de operadores acotados):

i) H+ ⊂ σ(T ), H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = C.

ii) H+ ⊂ σ(T ), H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) = H+ = λ ∈ C : Im λ ≥ 0.

iii) H+∩σ(T ) = ∅, H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = H− = λ ∈ C : Im λ ≤ 0.

iv) H+ ∩ σ(T ) = ∅, H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) ⊂ R. ♦

2.8.- Proposicion. Si T es un operador simetrico cerrado, son equivalen-tes:

i) T es autoadjunto.

ii) σ(T ) ⊂ R.

iii) N(T ∗ − iI) = N(T ∗ + iI) = 0.

Demostracion. Por ser T simetrico, sus autovalores son reales.

i) =⇒ ii): Sea T autoadjunto y tomemos λ ∈ C \ R. Teniendo en cuenta losapartados b) y c) del teorema 1.12,

0 = N(T − λI) = N(T ∗ − λI) = [R(T − λI)]⊥ =⇒ R(T − λI) = H

y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce queel espectro de T es real.

ii) =⇒ iii): Como ±i ∈ ρ(T ),

N(T ∗ ± iI) = [R(T ∓ iI)]⊥ = H⊥ = 0.

iii) =⇒ i): Por hipotesis, R(T − iI) = R(T + iI) = H. Veamos que ademasT ± iI son inyectivas:

Sea x ∈ D(T ) tal que (T ± iI)x = 0. Por ser T ∗ extension de T , ∀z ∈ Hresulta:

〈x, z〉 = 〈x, (T∓iI)y〉 = 〈(T ∗±iI)x, y〉 = 〈(T±iI)x, y〉 = 〈0, y〉 = 0 =⇒ x = 0.

Esto quiere decir que existe (T ± iI)−1 ∈ L(H). Como [(T ± iI)−1]∗ =(T ∗ ∓ iI)−1, tambien (T ∗ ∓ iI)−1 ∈ L(H).

Sea h ∈ D(T ∗). Entonces existe f ∈ D(T ) tal que (T + iI)f = (T ∗ + iI)h.Pero (T + iI)f = (T ∗ + iI)f , de modo que f = h y T = T ∗. ♦

302

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS.

A fin de lograr una representacion espectral de operadores autoadjuntos,utilizaremos la transformada de Cayley y la representacion espectral deoperadores unitarios, que son acotados. En esta seccion se deduce dicharepresentacion espectral. Utilizaremos el enfoque clasico, inigualable en sualcance al enfoque actual vıa la teorıa de algebras de Banach, transforma-da de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero mas proximo a quienesesten orientados a las aplicaciones.

En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario esta enla circunferencia unidad.

3.1.- Teorema. Sea U : H → H un operador unitario en un espacio deHilbert complejo H; entonces |λ| = 1, ∀λ ∈ σ(U).

Demostracion. Basta observar que,

si |λ| < 1, ‖(U − λI)x‖ ≥ ‖Ux‖ − |λ| · ‖x‖ = (1− |λ|)‖x‖,si |λ| > 1, ‖(U − λI)x‖ ≥ |λ| · ‖x‖ − ‖Ux‖ = (|λ| − 1)‖x‖,

y, en ambos casos, ∃(U − λI)−1 ∈ L(H). ♦

Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios,desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone(1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955).

En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbertcon dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe unabase ortonormal v1, . . . , vn de H formada por vectores propios de U , conUvj = λjvj , j = 1, . . . , n y |λj | = 1. Si llamamos Ej al subespacio propioasociado a λj ,

Ej = v ∈ H : Uv = λjv,

y Pj a la proyeccion ortogonal de H sobre Ej (j = 1, . . . ,m con m ≤ n), elteorema espectral dice que

i) H = E1 ⊕ · · · ⊕ Em;

ii) I = P1 + . . . Pm;

iii) U = λ1P1 + · · ·+ λmPm.

Una posible generalizacion en dimension infinita puede producir la descom-posicion U =

∑∞k=1 λkPk o bien U =

∫T λdP , siendo T = λ ∈ C : |λ| = 1

(pues los autovalores estan en la circunferencia unidad).

303

Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una corresponden-cia entre la σ-algebra Ω de subconjuntos de Borel en T y el espacio L(H) delos operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de unamedida. De ahı que debamos introducir la siguiente definicion.

3.2.- Definicion. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-algebra de sub-conjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogo-nal en (X, Ω,H) es una correspondencia E : Ω → L(H) con las propieda-des

i) E(∆) es una proyeccion ortogonal, ∀∆ ∈ Ω.

ii) E(X) = I, E(∅) = 0.

iii) Si Ann∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos y x ∈ H arbitrario, entoncesE(

⋃n∈N

An)x =∑n∈N

E(An)x.

iv) E(A ∩B) = E(A)E(B), ∀A,B ∈ Ω.

De la definicion se deduce inmediatamente el siguiente resultado.

3.3.- Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω,H) y x, y ∈ H, entoncesla funcion de conjuntos Ex,y : Ω → C definida por Ex,y(∆) = 〈E(∆)x, y〉es una medida numerablemente aditiva en Ω con variacion total ‖Ex,y‖ ≤‖x‖ · ‖y‖.

El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a unamedida espectral.

3.4.- Proposicion. Si E es una medida espectral en (X, Ω,H) y φ : X → Cuna funcion Ω-medible acotada, existe un unico operador A ∈ L(H) tal quepara cualesquiera ε > 0 y ∆1, . . . ,∆n Ω-particion de X con

sup|φ(x)− φ(x′)| : x, x′ ∈ ∆k < ε (1 ≤ k ≤ n),

entonces ∥∥∥A−n∑

k=1

φ(xk)E(∆k)∥∥∥ < ε, ∀xk ∈ ∆k.

Dicho operador se llama integral de φ respecto a E y se denota por A =∫X φdE. Del resultado anterior se deduce que 〈Ax, y〉 =

∫X φdEx,y.

Demostracion. A cada funcion simple s =∑n

k=1 αkχ∆kle asociamos el ope-

rador As =∑n

k=1 αkE(∆k).

Como cada E(∆k) es autoadjunto, entonces

A∗s =

n∑k=1

αkE(∆k) = A s.

304

Si t =∑m

j=1 βjχ∆′j

es otra funcion simple, entonces

AsAt =∑k,j

αkβjE(∆k)E(∆′j) =

∑k,j

αkβjE(∆k ∩∆′j) = Ast.

De estas igualdades se deduce que

A∗sAs = A sAs = A ss = A|s|2 .

Si tomamos x, y ∈ H arbitrarios, obtenemos:

〈Asx, y〉 =n∑

k=1

αk〈E(∆k)x, y〉 =n∑

k=1

αkEx,y(∆k) =∫

XsdEx,y,

de modo que

‖Asx‖2 = 〈A∗sAsx, x〉 = 〈A|s|2x, x〉 =

∫X|s|2dEx,x ≤ ‖s‖2

∞‖Ex,x‖ ≤ ‖s‖2∞·‖x‖2,

es decir ‖Asx‖ ≤ ‖s‖∞ · ‖x‖.

Por otra parte, es claro que, si x ∈ R(E(∆i)), entonces Asx = αiE(∆i)x =αix; de esta igualdad y eligiendo i de manera que |αi| = ‖s‖∞, resultaque

(∗) ‖As‖ = ‖s‖∞.

Sea ahora φ : X → C una funcion Ω-medible y acotada y (s(i))i∈N una su-cesion de funciones simples medibles que converge a φ. De la formula (∗)deducimos que la sucesion (As(i))i∈N es de Cauchy en L(H); por tanto, con-verge a un operador A ∈ L(H). Dicho operador no depende de la eleccionde la sucesion (s(i))i∈N. Ası pues, dados ε > 0 y ∆1, . . . ,∆n con las con-diciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de lasucesion (As(i))i∈N al operador A. ♦

Con esta notacion, si consideramos la σ-algebra

Ω = ∆ ⊂ T : ∆ de Borel en T,

el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma:

3.5.- Teorema. Si U ∈ L(H) es unitario, entonces existe una unica medidaespectral E en (T,Ω,H) tal que Un =

∫T zndE(z), ∀n ∈ Z.

Observacion. Debido a que todo punto z ∈ T puede representarse comoz = eit, con t ∈ [0, 2π), podemos escribir Un =

∫ 2π0 eintdE(t).

Demostracion. El proceso sera el siguiente:

305

1) Buscaremos una familia de medidas µx, x ∈ H tal que

〈Unx, x〉 =∫

Tzndµx(z), ∀n ∈ Z.

Fijado x ∈ H, consideramos la sucesion numerica cn(x)n∈Z, definida porcn(x) = 〈Unx, x〉. De la definicion es claro que c−n = cn.

Como la medida espectral debe verificar que Un =∫

T zndE(z), ∀n ∈ Z y, enparticular, 〈Unx, x〉 =

∫T znd〈E(z)x, x〉, ∀x ∈ H, la medida escalar positi-

va µx definida por µx(∆) = 〈E(∆)x, x〉 debe verificar cn(x) =∫

T zndµx(z),∀n ∈ Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema tri-gonometrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona elteorema de representacion de Herglotz:

Dicha medida µ existe (y es unica) si y solo si la sucesion cnn∈Z es definidapositiva, es decir

N∑j,k=1

cj−kλj λk ≥ 0, ∀N ∈ N, ∀λ1, . . . , λN ∈ C.

En este caso la sucesion 〈Unx, x〉n∈Z es definida positiva, pues

N∑j,k=1

cj−k(x)λj λk =N∑

j,k=1

〈U j−kx, x〉λj λk

=N∑

j,k=1

〈λjUjx, λkU

kx〉 =∥∥∥ N∑

j=1

λjUjx

∥∥∥2≥ 0.

2) A continuacion queremos encontrar una familia de medidas µx,y(∆) paralas que 〈Unx, y〉 =

∫T zndµx,y(z), ∀n ∈ Z.

Para ello utilizamos la identidad de polarizacion

〈Unx, y〉 =14

[〈Un(x + y), x + y〉 − 〈Un(x− y), x− y〉]

+i

4[〈Un(x + iy), x + iy〉 − 〈Un(x− iy), x− iy〉] ,

por lo que basta definir

µx,y(∆) =14µx+y(∆)− 1

4µx−y(∆) +

i

4µx+iy(∆)− i

4µx−iy(∆).

3) Fijado ∆ de Borel en T, la funcion β(∆) : H × H → C definida por

306

β(∆)(x, y) = µx,y(∆) es una forma sesquilineal:

〈Un(αx1 + x2), y〉 =∫

Tzndµαx1+x2,y(z),

α〈Unx1, y〉+ 〈Unx2, y〉 = α

∫Tzndµx1,y(z) +

∫Tzndµx2,y(z)

=∫

Tznd[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

de modo que∫Tf(z)dµαx1+x2,y(z) =

∫Tf(z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

∀f exponencial trigonometrica. Por linealidad, tambien es cierta para poli-nomios trigonometricos y, por el teorema de aproximacion de Weierstrass,tambien para toda funcion continua o continua a trozos. En particular,∫

Tχ∆(z)dµαx1+x2,y(z) =

∫Tχ∆(z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

o bien µαx1+x2,y(∆) = αµx1,y(∆) + µx2,y(∆).

Analogamente, debido a la igualdad

〈x, Uny〉 = 〈U−nx, y〉 =∫

Tz−ndµx,y(z)

= 〈Uny, x〉 =∫

Tz−nd µy,x(z), ∀n ∈ Z,

y razonando como en el caso anterior, se deduce que µx,y(∆) = µy,x(∆).

4) Veremos a continuacion que F : C(T) → L(H), definida por F (g) = g(U),es una representacion de C(T) (espacio de las funciones continuas en T conla norma del supremo), es decir es un homomorfismo de algebras que cumpleF (g∗) = F (g)∗, donde definimos g∗(x) = g(x).

Definimos en primer lugar F : P → L(H) por F (p) = p(U), donde denota-mos por P = p : T → C : p(z) =

∑N2n=N1

anzn al espacio de los polinomiostrigonometricos con la norma del supremo. Resultan de la definicion lassiguientes propiedades:

i) F es lineal, F (α1p1 + α2p2) = α1F (p1) + α2F (p2).

ii) F es multiplicativa, F (p1p2) = F (p1)F (p2).

iii) 〈p(U)x, y〉 =∫

T p(z)dµx,y(z), ∀x, y ∈ H.

307

iv) p(U) = p(U)∗:

〈x, p(U)∗y〉 = 〈p(U)x, y〉 =∫

Tp(z)dµx,y(z) =

∫T

p(z)d µx,y(z)

=∫

Tp(z)dµy,x(z) = 〈 p(U)y, x〉 = 〈x, p(U)y〉.

v) Si p(z) ≥ 0, ∀z, entonces p(U) ≥ 0:

Por el teorema de Fejer-Riesz, si p ∈ P es positivo, ∃q ∈ P : p = |q|2.Entonces

〈p(U)x, x〉 = 〈( qq)(U)x, x〉 = 〈 q(U)q(U)x, x〉 = 〈q(U)∗q(U)x, x〉 = ‖q(U)x‖2 ≥ 0.

vi) ‖F‖ = 1:

‖p(U)x‖2 = 〈p(U)x, p(U)x〉 = 〈p(U)∗p(U)x, x〉 ≤ ‖p‖2∞ · ‖x‖2

⇐⇒ 〈[‖p‖2∞I − p(U)∗p(U)]x, x〉 ≥ 0.

Como ‖p‖2∞I − p(U)∗p(U) = F (q) con q(z) = ‖p‖2

∞ − |p(z)|2 ≥ 0, la desi-gualdad anterior se deduce de v). En definitiva,

‖p(U)x‖ ≤ ‖p‖∞ · ‖x‖ =⇒ ‖p(U)‖ ≤ ‖p‖∞ =⇒ ‖F‖ ≤ 1.

Por otra parte, tomando p(z) = 1, ∀z, entonces p(U) = I de modo que

‖F‖ ≥ ‖p(U)‖/‖p‖∞ = 1 =⇒ ‖F‖ = 1.

Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el es-pacio C(T) de las funciones continuas con la norma del supremo, donde semantienen las propiedades anteriores; en particular,

(∗) 〈F (g)x, y〉 = 〈g(U)x, y〉 =∫

Tg(z)dµx,y(z), ∀g ∈ C(T).

5) Debido a la equivalencia entre el dual de C(T) y el espacio de las medidasde Borel finitas en T, dada por µ 7→ l ∈ C(T)′, con l(f) =

∫T fdµ, ∀f ∈ C(T),

podemos probar la acotacion de µx,y como sigue:

‖µx,y‖ = sup∣∣∣∣∫

Tfdµx,y

∣∣∣∣ : f ∈ C(T), ‖f‖∞ ≤ 1

= sup|〈f(U)x, y〉| : f ∈ C(T), ‖f‖∞ ≤ 1≤ sup‖f(U)‖ · ‖x‖ · ‖y‖ : f ∈ C(T), ‖f‖ ≤ 1 ≤ ‖x‖ · ‖y‖.

6) El siguiente paso es extender la representacion F a la C∗-algebra B(T)de las funciones medibles Borel y acotadas en T.

308

Fijamos ahora g ∈ B(T) y definimos βg(x, y) =∫

T g(z)dµx,y(z). Debido aque βg es un forma sesquilineal acotada con ‖βg‖ ≤ ‖g‖∞, por el teoremade representacion de Riesz para formas sesquilineales (capıtulo III, teorema6.5), existe un unico operador Ag ∈ L(H) tal que βg(x, y) = 〈Agx, y〉 y‖Ag‖ ≤ ‖g‖∞. La nueva aplicacion F : B(T) → L(H) definida por F (g) =Ag esta bien definida, ‖F (g)‖ ≤ ‖g‖∞ y

(∗∗) 〈F (g)x, y〉 =∫

Tg(z)dµx,y(z), ∀x, y ∈ H.

Debemos probar a continuacion que F es una representacion de B(T) queextiende a la correspondiente representacion de C(T).

i) Es inmediato de (∗) y (∗∗) que se trata de una extension.

ii) Es tambien evidente que F es lineal y tiene norma 1.

iii) F ( g) = F (g)∗ pues, ∀x, y ∈ H:

〈F (g)∗x, y〉 = 〈A∗gx, y〉 = 〈Agy, x〉 =

∫T

g(z)dµy,x(z)

=∫

Tg(z)dµx,y(z) = 〈A gx, y〉 = 〈F ( g)x, y〉.

iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (fg) =F (f)F (g) con f ∈ C(T) y g ∈ B(T), pero debido a las equivalencias

F (fg) = F (f)F (g) ⇐⇒ 〈F (fg)x, y〉 = 〈F (f)F (g)x, y〉 = 〈F (g)x, F (f)∗y〉

⇐⇒∫

T(fg)(z)dµx,y(z) =

∫Tg(z)dµx,F (f)∗y(z),

la igualdad anterior sera cierta si y solo si fdµx,y = dµx,F (f)∗y, ∀f ∈ C(T),o bien

∫T ϕfdµx,y =

∫T ϕdµx,F (f)∗y, ∀ϕ ∈ C(T), lo que equivale a la multi-

plicatividad de F en C(T) que ya fue probada.

Queda ası probado que∫

T f(z)(g(z)dµx,y(z)) =∫

T f(z)dµx,g(U)∗y(z), ∀f ∈C(T), g ∈ B(T), de donde gdµx,y = dµx,g(U)∗y.

Sean ahora g, g1 ∈ B(T); entonces

〈F (gg1)x, y〉 =∫

T(gg1)(z)dµx,y(z) =

∫Tg1(z)dµx,g(U)∗y(z)

= 〈g1(U)x, g(U)∗y〉 = 〈g(U)g1(U)x, y〉 = 〈F (g)F (g1)x, y〉.

7) Definimos ahora, para cada ∆ de Borel en T el operador

E(∆) = F (χ∆) ∈ L(H).

De la definicion se deduce directamente que 〈E(∆)x, y〉 = µx,y(∆). Veamosque E es una medida espectral en T.

309

i) E(∆) es un proyector ortogonal:

E(∆)2 = F (χ∆) · F (χ∆) = F (χ∆ · χ∆) = F (χ∆) = E(∆);E(∆)∗ = F (χ∆)∗ = F ( χ∆) = F (χ∆) = E(∆).

ii) E(T) = F (χT) = F (1) = I, E(∅) = F (χ∅) = F (0) = 0.

iii) Si ∆1,∆2 ∈ Ω,

E(∆1∩∆2) = F (χ∆1∩∆2) = F (χ∆1χ∆2) = F (χ∆1)F (χ∆2) = E(∆1)E(∆2).

iv) Si ∆jj∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos, es facil probar la aditividadfinita. Si llamamos Hn =

⋃k>n ∆k, para todo x ∈ H tenemos:

∥∥∥E(⋃j∈N

∆j)x−m∑

j=1

E(∆j)x∥∥∥2

=⟨E(Hm)x, E(Hm)x

⟩=

⟨E(Hm)x, x

⟩=

⟨F (χHm)x, x

⟩=

∫TχHm(z)dµx,x(z) =

∑j>m

µx,x(∆j),

expresion que tiende a cero si m →∞.

8) Por ultimo veamos que F (g) =∫

T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T):

Dado ε > 0, sea ∆1, . . . ,∆n una particion de T mediante elementos de Ωtal que

sup|g(x)− g(x′)| : x, x′ ∈ ∆k < ε, (1 ≤ k ≤ n).

Entonces, para cualquier eleccion xk ∈ ∆k, ‖g −∑n

k=1 g(xk)χ∆k‖∞ < ε.

Como ‖F‖ = 1, ‖F (g)−∑n

k=1 g(xk)E(∆k)‖ < ε, lo que implica que F (g) =∫T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T).

En particular, si g(z) = zn, entonces F (g) = Un, de donde Un =∫

T zndE(z),lo que completa la demostracion. ♦

La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional.

3.6.- Proposicion. Si U ∈ L(H) es un operador unitario y A ∈ L(H) esun operador que conmuta con U , entonces A conmuta con E(∆), para todo∆ de Borel en T. Ademas µx,A∗y = µAx,y.

Demostracion. En primer lugar se comprueba que Ap(U) = p(U)A, paracualquier polinomio trigonometrico p. A continuacion, si aproximamos todafuncion continua f ∈ C(T) mediante polinomios trigonometricos (aplican-do el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af(U) = f(U)A. Porultimo, si ∆ ∈ Ω, consideremos la sucesion creciente gnn∈N de funciones

310

continuas tal que gn → χ∆. Por el teorema de la convergencia monotona,∀x, y ∈ H se tiene:

〈AE(∆)x, y〉 = 〈E(∆)x, A∗y〉 = µx,A∗y(∆)

=∫

Tχ∆(z)dµx,A∗y(z) = lım

n

∫Tgn(z)dµx,A∗y(z) = lım

n〈gn(U)x,A∗y〉

= lımn〈Agn(U)x, y〉 = lım

n〈gn(U)Ax, y〉 = 〈E(∆)Ax, y〉.

Para la segunda parte, de AU = UA se deduce que:

〈E(∆)Ax, y〉 = 〈AE(∆)x, y〉 = 〈E(∆)x, A∗y〉 =⇒ µx,A∗y = µAx,y. ♦

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS NO ACOTADOS.

Es natural preguntarse si existe una descomposicion espectral de todo ope-rador simetrico analoga a la que existe en el caso de operadores acotados.Trabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuacionesintegrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una comple-ta analogıa. Fue E. Schmidt quien observo que es necesario restringirse aoperadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposicion analoga.El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferen-tes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituyo el puntode partida de la nueva teorıa de operadores lineales en espacios de Hilbert.En esta seccion ilustramos una demostracion de von Neumann que hace usode la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposicionespectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones puedenverse en los distintos textos de Analisis Funcional (ver por ejemplo [BN],[RN], [Fu], [Ru]).

Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert comogeneralizaciones de los numeros complejos, se encuentra que muchos resulta-dos sencillos en relacion a los numeros complejos tienen analogos no trivialesen el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada deMobius. Si en el espacio C definimos el conjunto T = z ∈ C : |z| = 1,la transformacion de Mobius w = z−i

z+i es una aplicacion biyectiva de R en

T \ 1 cuya inversa es z = i(1+w)1−w . Una adaptacion de esta transforma-

cion al caso de operadores permitira aplicar operadores autoadjuntos no

311

acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores simetricos sobreisometricos. Esto permitira establecer una analogıa entre operadores linealesy numeros complejos. Mediante esta analogıa los operadores autoadjuntosjugaran el papel de numeros reales, los operadores positivos corresponderana los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de modu-lo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operadorautoadjunto es real y el de un operador unitario esta contenido en T. El pa-ralelismo es mas acusado si tenemos en cuenta que T es autoadjunto en unespacio complejo si y solo si 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x. El siguiente ejemplo muestraque lo anterior no es cierto si el espacio es real:

En el espacio X = R2 definimos el operador T (x1, x2) = (x1 + 2x2, x2).Entonces 〈Tx, x〉 = 2|x2| ∈ R pero T ∗(x1, x2) = (x1, 2x1 + x2).

La relacion entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por elsiguiente resultado.

4.1.- Proposicion. Sea T un operador autoadjunto en H. Entonces losoperadores T ± iI tienen inversas acotadas definidas en todo H y el opera-dor

U = (T − iI)(T + iI)−1

es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de T .

Demostracion. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y delas igualdades N(T ± iI) = R(T ∓ iI)⊥.

Para ver que U es unitario, sea x ∈ H y llamamos y = (T + iI)−1x. Enton-ces:

‖Ux‖2 = 〈(T − iI)y, (T − iI)y〉 = 〈Ty, Ty〉 − i〈y, Ty〉+ i〈Ty, y〉+ 〈y, y〉= 〈Ty, Ty〉 − i〈Ty, y〉+ i〈y, Ty〉+ 〈y, y〉= 〈(T + iI)y, (T + iI)y〉 = ‖x‖2. ♦

Recıprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto, se puede extraer este como sigue.

4.2.- Proposicion. Si U es la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto T en H, entonces I−U es inyectiva y T = i(I +U)(I−U)−1.

Demostracion. Si (I−U)x = 0 y llamamos y = (T + iI)−1x, tenemos:

x = Ux =⇒ x = (T − iI)y =⇒ (T + iI)y = (T − iI)y =⇒ y = 0 =⇒ x = 0.

La segunda parte se obtiene por calculo directo. ♦

4.3.- Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoad-junto T . Entonces 1 no es autovalor de U . Ademas 1 esta en la resolventede U si y solo si T es acotado.

312

El recıproco del resultado anterior tambien es cierto: si 1 no es autovalor deun operador unitario U , entonces U es la transformada de Cayley de algunoperador autoadjunto.

Los dos ultimos teoremas, con los que concluimos el capıtulo y el curso,permiten establecer una correspondencia biunıvoca entre las medidas espec-trales en R y los operadores autoadjuntos.

4.4.- Teorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea T : D(T ) →H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces existe unamedida espectral P en R tal que T =

∫R λdP (λ).

Demostracion. Sea U = (T − iI)(T + iI)−1 la transformada de Cayley de T ;como ya se ha probado, U es unitario, I−U es inyectivo y T = i(I +U)(I−U)−1 con D(T ) = (I − U)(H).

Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectralen T tal que U =

∫T zdE(z).

Por ser I − U inyectivo, 1 no es valor propio de U . De aquı se deduce queE(1) = 0.

En efecto, supongamos por el contrario que H0 = E(1)H 6= 0. Entoncesexiste x 6= 0 tal que x = E(1)x de donde Ux = UE(1)x. Como E(1)es el operador asociado a la funcion caracterıstica χ1, tenemos:

Ux = UE(1)x =∫

Tλ · χ1(λ)dE(λ)x = 1 · E(1)x = x,

lo cual contradice que I − U es inyectivo.

Como la funcion ϕ : T \ 1 → R definida por ϕ(z) = i · 1+z1−z es biyectiva, la

funcion P (∆) = E(ϕ−1(∆)), ∀∆ de Borel en R, es una medida espectral enR (como E(1) = 0, E(T) = E(T \ 1) = I).

Debido a la formula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente,obtenemos:

T = i(I + U)(I − U)−1 =∫

Ti · 1 + z

1− zdE(z) =

∫Tϕ(z)dE(z);

si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta

T =∫ ∞

−∞λdE(ϕ−1(λ)) =

∫ ∞

−∞λdP (λ). ♦

Veamos el sentido de la expresion∫∞−∞ f(λ)dP (λ), con f : R → R funcion

medible, no necesariamente acotada.

313

4.5.- Teorema. Sea P una medida espectral en R y f : R → R una fun-cion medible. Existe entonces un unico operador autoadjunto T con domi-nio

D(T ) = x ∈ H :∫

Rf2(λ)d〈P (λ)x, x〉 < ∞

tal que T =∫

R f(λ)dP (λ) y ‖Tx‖2 =∫

R f2(λ)d〈P (λ)x, x〉, ∀x ∈ D(T ).

Demostracion. Haremos la demostracion en dos pasos.

1) Si f es acotada,∫∞−∞ f(λ)dP (λ) es un operador acotado simetrico:

En efecto, la aplicacion β(x, y) =∫∞−∞ f(λ)d〈P (λ)x, y〉 es un funcional ses-

quilineal acotado pues

|β(x, y)| ≤ ‖f‖∞∫ ∞

−∞d|〈P (λ)x, y〉| ≤ ‖f‖∞ · ‖x‖ · ‖y‖.

Por tanto, existe un operador T ∈ L(H) tal que β(x, y) = 〈Tx, y〉, ∀x, y ∈ H.Ademas T es autoadjunto pues

〈x, Ty〉 = 〈Ty, x〉 = β(y, x) =∫ ∞

−∞f(λ)d 〈P (λ)y, x〉

=∫ ∞

−∞f(λ)d〈P (λ)x, y〉 = β(x, y) = 〈Tx, y〉.

Escribiremos en este caso T =∫∞−∞ f(λ)dP (λ).

2) Si f es medible, llamamos ∆n = f−1[n, n + 1), ∀n ∈ Z; por definicion,R =

⋃n∈Z ∆n y la union es disjunta. Si llamamos ahora ϕn = χ∆n , Pn =

P (∆n) y Hn = PnH, entonces 1 =∑

n∈Z ϕn, I =∑

n∈Z Pn, H =⊕

n∈Z Hn

(donde la suma es ortogonal por ser Pnn∈Z una familia ortogonal de pro-yecciones).

Como ahora f(λ)ϕn(λ) son funciones acotadas para todo n, existen, segunel apartado anterior, T ′

n operadores simetricos y acotados tales que

T ′n =

∫ ∞

−∞f(λ)ϕn(λ)dP (λ).

Veamos ahora que T ′nH ⊂ Hn, para lo cual basta probar que PnT ′

n =T ′

n:

Como T ′n =

∫∆n

f(λ)dP (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemanndel tipo T ′

n ∼∑k

j=1 f(λj)P (Fj), siendo F1, . . . , Fk una particion de ∆n yλj ∈ Fj (j = 1, . . . , k). Entonces

PnT ′n ∼

k∑j=1

f(λj)P (∆n)P (Fj) =k∑

j=1

f(λj)P (∆n ∩ Fj) =k∑

j=1

f(λj)P (Fj).

314

Como ambas sumas de Riemann coinciden, T ′n = PnT ′

n y, en consecuencia,R(T ′

n) ⊂ Hn.

Lo anterior permite definir los operadores

Tn =∫ ∞

−∞f(λ)ϕn(λ)dP (λ)|Hn : Hn → Hn

y probaremos a continuacion que existe un unico operador autoadjunto Ten H tal que T |Hn = Tn (teorema de Riesz-Lorch):

Definimos pues Tx =∑

n∈Z TnPnx cuyo dominio es

D = x ∈ H :∑n∈Z

‖TnPnx‖2 < ∞

(ver teorema 4.7, capıtulo III). Ası x ∈ D si y solo si∑

n∈[−k,k] TnPnxconverge cuando k →∞.

Ası definido se cumplen las siguientes propiedades:

i) D ⊃ Hn, ∀n ∈ Z.

ii) T esta bien definido pues, si x ∈ D,

Tx = T( ∑

n∈Z

Pnx)

=∑n∈Z

T (Pnx) =∑n∈Z

TnPnx.

iii) D es denso en H. En efecto, por i),

Hn ⊂ D =⇒ 〈⋃n∈Z

Hn〉 ⊂ D =⇒ 〈⋃n∈Z

Hn〉 ⊂ D =⇒ H =⊕n∈Z

Hn ⊂ D.

iv) D = x ∈ H :∫∞−∞ f2(λ)d〈P (λ)x, x〉 < ∞ pues

‖TnPnx‖2 =∫ ∞

−∞f2(λ)ϕ2

n(λ)d〈P (λ)x, x〉 =∫

∆n

f2(λ)d〈P (λ)x, x〉

=⇒∑n∈Z

‖TnPnx‖2 =∫ ∞

−∞f2(λ)d〈P (λ)x, x〉.

v) T es simetrico pues, ∀x, x′ ∈ H,

〈Tx, x′〉 =∑n∈Z

〈TnPnx, x′〉 =∑n∈Z

〈TnPnx, Pnx′〉

=∑n∈Z

〈Pnx, TnPnx′〉 =∑n∈Z

〈x, TnPnx′〉 = 〈x, Tx′〉.

315

vi) T es autoadjunto, para lo cual basta probar que D(T ∗) ⊂ D(T ).Sea y ∈ D(T ∗); entonces existe y∗ tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, y∗〉, ∀x ∈ D.Veamos que Pny∗ = TnPny:

〈TnPny, x〉 = 〈TnPny, Pnx〉 = 〈Pny, TnPnx〉 = 〈y, TnPnx〉= 〈y, TPnx〉 = 〈y∗, Pnx〉 = 〈Pny∗, x〉, ∀x ∈ H.

Entonces∑

n∈Z ‖TnPny‖2 =∑

n∈Z ‖Pny∗‖2 = ‖y∗‖2 < ∞ =⇒ y ∈ D.

vii) T es unico. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjuntoS tal que S|Hn = Tn, ∀n ∈ N. Veamos que S = T .Si x ∈ D(T ), debido a que∑

n∈N

‖SPnx‖2 =∑n∈N

‖TnPnx‖2 < ∞,

se deduce que∑

n∈N SPnx converge.Por otro lado, como las sumas parciales de

∑n∈N Pnx (que estan en

D(S)) convergen a x y S es cerrado, x ∈ D(S) y ademas

Sx =∑n∈N

SPnx =∑n∈N

TnPnx = Tx.

Esto implica que T ⊂ S.Recıprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposicion 1.4 deduci-mos que S = S∗ ⊂ T ∗ = T , de donde S = T . ♦

Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposicion espectral de unoperador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del casoacotado. Sin embargo aquı los lımites de integracion en la representacion noson finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado,aun siendo real, no es acotado.

2) De la descomposicion espectral de un operador autoadjunto T se puedeobtener tambien una formula para la resolvente Rz = (T−zI)−1 (ver propie-dades de la misma en los ejercicios al final del capıtulo). Mas precisamente,si P es la medida espectral de T ,

Rz =∫

R

1λ− z

dP (λ)

para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Estaformula se puede generalizar a operadores simetricos arbitrarios y propor-cionar ası diversas aplicaciones de la teorıa de operadores.

3) Algunas notas historicas con respecto al teorema espectral pueden consul-tarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1].

316

EJERCICIOS.

1. a) Probar que los operadores Mf(x) = xf(x), Df(x) = f ′(x) defi-nidos en L2(R) son operadores simetricos no acotados y verificanla relacion de conmutacion DM −MD = I.

b) Probar que no existe ningun par de operadores acotados A, Bque cumplan la relacion AB −BA = I.

Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadoresson simetricos no acotados. Ademas

DMf(x) = D(xf(x)) = xf ′(x) + f(x) = (I + MD)f(x),

es decir DM − MD = I (en esta formula se basa el principio deincertidumbre en Mecanica Cuantica).

b) Supongamos que existen A,B ∈ L(H) tales que AB − BA = I.Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos:

A2B −ABA = A y ABA−BA2 = A.

Al sumar miembro a miembro, resulta que A2B −BA2 = 2A.

Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general

AnB −BAn = nAn−1.

Entonces n‖An−1‖ ≤ ‖AnB‖ + ‖BAn‖ ≤ ‖An−1‖ · ‖AB‖ + ‖BA‖ ·‖An−1‖.

Si suponemos que A 6= 0, entonces ‖An−1‖ 6= 0, ∀n, y de lo anteriorse deduce que n ≤ ‖AB‖+ ‖BA‖ ≤ 2‖A‖ · ‖B‖, lo cual contradice elhecho de que A y B son operadores acotados.

2. Sean T1, T2, T3 tres operadores arbitrarios.

a) Probar que (T1T2)T3 = T1(T2T3).

b) Probar que T1 ⊂ T2 =⇒ T3T1 ⊂ T3T2 y T1T3 ⊂ T2T3.

Resp.: a) Veamos en primer lugar que D((T1T2)T3) = D(T1(T2T3)).

317

En efecto,

x ∈ D((T1T2)T3) ⇐⇒ x ∈ D(T3), T3x ∈ D(T1T2)⇐⇒ x ∈ D(T3), T3x ∈ D(T2), T2T3x ∈ D(T1)⇐⇒ x ∈ D(T2T3), T2T3x ∈ D(T1) ⇐⇒ x ∈ D(T1(T2T3)).

Por otra parte, es evidente que, si x ∈ D((T1T2)T3), entonces (T1T2)T3x =T1(T2T3)x.

b) Como, por hipotesis, T1 ⊂ T2, entonces D(T1) ⊂ D(T2) y T1x =T2x, ∀x ∈ D(T1). Resulta ası:

x ∈ D(T3T1) =⇒ x ∈ D(T1), T1x ∈ D(T3)=⇒ x ∈ D(T2), T2x ∈ D(T3) =⇒ x ∈ D(T3T2).

Ademas, ∀x ∈ D(T3T1):

(T3T1)x = T3(T1x) = T3(T2x) = (T3T2)x,

lo que prueba que T3T1 ⊂ T3T2.

Con el otro caso se procede de la misma forma.

3. Sea H = L2(R) y llamamos D = f ∈ L2(R) : x · f(x) ∈ L2(R).Probar que el operador T : H → H definido por Tf(x) = xf(x) condominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posicionen Mecanica Cuantica.]

Resp.: Veamos que D es denso en L2(R). Para ello, basta observarque D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto yque este conjunto es denso en L2(R).

Veamos a continuacion que T es simetrico:

〈Tf, g〉 =∫

Rxf(x) g(x)dx =

∫R

f(x) · xg(x)dx = 〈f, Tg〉, ∀f, g ∈ D.

Esto implica que T ⊂ T ∗ (ver proposicion 1.6).

Por ultimo, comprobaremos que D(T ∗) ⊂ D(T ):

Sea g ∈ D(T ∗) y llamemos g∗ = T ∗g. Por definicion de adjunto,

∀f ∈ D(T ),∫

Rxf(x) g(x)dx =

∫R

f(x) g∗(x)dx.

318

Si tomamos f(x) = χ[α,x0], la igualdad anterior queda∫ x0

αx g(x)dx =

∫ x0

αg∗(x)dx

y, derivando, x0 g(x0) = g∗(x0) para casi todo x0. Esto implica queg ∈ D y T ∗g(x) = xg(x).

De lo anterior se deduce que T es autoadjunto.

4. Sea H = L2(R) y D = f ∈ L2(R) : f es absolutamente continuaen todo intervalo finito y f ′ ∈ L2(R). Probar que el operadorT : H → H definido en D por Tf(x) = −if ′(x) es autoadjunto.[Este es el operador momento en Mecanica Cuantica.]

Resp.: Definimos para cada n la funcion continua

fn(x) =

1 si x ∈ [α, x0]0 si x ≤ α− 1/n o x ≥ x0 + 1/n

recta en el resto.

Las combinaciones lineales de funciones de la forma de fn con diferen-tes valores de α, x0 y n son densas en L2(R). Por tanto, D es densoen H.

Para probar que T es simetrico, sea g ∈ D. Entonces, ∀f ∈ D, inte-grando por partes obtenemos:∫ b

a−if ′(x) g(x)dx = −if(x) g(x)

∣∣ba

+∫ b

af(x)[−ig′(x)]dx.

Como f(x) g(x) es integrable en R, se deduce que lıma→−∞,b→∞

f(x) g(x)∣∣ba

=

0 y

〈Tf, g〉 =∫

R−if ′(x) g(x)dx =

∫R

f(x)[−ig′(x)]dx = 〈f, Tg〉.

Esto implica que g ∈ D(T ∗) y T ∗g(x) = −ig′(x), es decir T ⊂ T ∗.

Solo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D(T ∗) ⊂D. Sea para ello g ∈ D(T ∗) y llamemos g∗ = T ∗g. Como sabemos,∫

R−if ′(x) g(x)dx =

∫R

f(x) g∗(x)dx, ∀f ∈ D.

319

Eligiendo las funciones fn anteriores, la igualdad anterior se escribecomo:

n

∫ α

α−1/n−i g(x)dx− n

∫ x0+1/n

x0

−i g(x)dx =∫

Rfn(x) g∗(x)dx.

Haciendo n →∞, obtenemos:

−i(g(α)− g(x0)

)=

∫ x0

αg∗(x)dx para casi todos α y x0.

Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g∗ es integrable sobrecualquier intervalo finito. Entonces g(x0) es absolutamente continuaen x0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, −ig′(x0) = g∗(x0)para casi todo x0. Esto implica que g ∈ D y T ∗g(x) = −ig′(x).

5. Probar que el operador T1f(x) = if ′(x) es simetrico en D(T1) =f ∈ L2[0, 1] : f es absolutamente continua, f(0) = f(1) = 0, f ′ ∈L2[0, 1] pero no es autoadjunto.

Resp.: Veamos que T ∗1 = T2 donde T2f(x) = if ′(x) tiene dominio

D(T2) = f ∈ L2[0, 1] : f es absolutamente continua y f ′ ∈ L2[0, 1].

Debido a que D(T1) = L2[0, 1], existe el adjunto T ∗1 . Si g ∈ D(T ∗

1 ) yllamamos g∗ = T ∗

1 g, entonces

∀f ∈ D(T1) :∫ 1

0if ′(x) g(x)dx =

∫ 1

0f(x) g∗(x)dx.

Si integramos por partes,∫ 10 f(x) g∗(x)dx = −

∫ 10 f ′(x) G∗(x)dx, donde

G∗(x) =∫ x0 g∗(s)ds.

Como f(1) =∫ 10 f ′(x)dx = 0, entonces∫ 1

0f ′(x)[G∗(x) + i g(x) + c]dx = 0, ∀f ∈ D(T1), ∀c.

Por otra parte, ∀h ∈ L2[0, 1], la funcion H(x) =∫ x0 h(s)ds−x

∫ 10 h(s)ds

esta en D(T1). Para esta funcion se tiene:∫ 1

0

h(x)−

∫ 1

0h(s)ds

[G∗(x) + i g(x) + c

]dx = 0.

Eligiendo c de modo que∫ 10 [G∗(x)−ig(x)+c]dx = 0, resulta la igualdad

320

∫ 10 h(x)

[G∗(x) + i g(x) + c

]dx = 0. Al ser h arbitrario, G∗(x) =∫ x

0 g∗(s)ds = ig(x) − c. Por tanto, g ∈ D(T2) y T2g = g∗, lo queprueba que T ∗

1 ⊂ T2.

Es claro tambien, integrando por partes, que T2 ⊂ T ∗1 , lo que completa

la prueba.

6. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso enH. Probar la siguiente equivalencia:

i) T es clausurable

ii) D(T ∗) = H.

Resp.: La implicacion i) =⇒ ii) corresponde a la proposicion 1.8.b).El recıproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observarque T ⊂ T ∗∗ y que T ∗∗ es cerrado).

7. A la ecuacion diferencial f ′′ − f = g, siendo g ∈ L2[0, 1] unafuncion conocida, se le asocian los tres problemas de contornosiguientes:

a) f(0) = f(1) = 0.

b) f ′(0) = f ′(1) = 0.

c) f(0) = f(1) y f ′(0) = f ′(1).

Mostrar que los tres problemas tienen solucion unica f tal quef ′ es absolutamente continua y f ′′ ∈ L2[0, 1].

Resp.: En el espacio de Hilbert H = L2[0, 1] definimos los operadoresTkf = if ′ (k = 1, 2, 3), con dominios

D(T1) = f ∈ H : f es absolutamente continua y f ′ ∈ HD(T2) = f ∈ D(T1) : f(0) = f(1) ⊂ D(T1)D(T3) = f ∈ D(T2) : f(0) = f(1) = 0 ⊂ D(T2).

Entonces T3 ⊂ T2 ⊂ T1 y ademas T ∗1 = T3, T ∗

2 = T2 y T ∗3 = T1 (como

observabamos en el ejemplo de la pagina 322).

321

a) Sea f ∈ D(T ∗3 T3); entonces (I + T ∗

3 T3)f = f + T1T3f = f − f ′′.Como T3 es cerrado (pues T3 = T ∗

1 ), y D(T3) = H, entonces I +T ∗3 T3 :

D(T ∗3 T3) → H es biyectivo (teorema 1.13). Ası pues, ∀g ∈ H, existe

un unico f ∈ D(T ∗3 T3) tal que (I + T ∗

3 T3)f = −g, es decir f ′′ − f = g.Ahora bien, por ser f ∈ D(T ∗

3 T3), f ∈ D(T3) y T3f ∈ D(T ∗3 ), es decir

f(0) = f(1) = 0, f ′ es absolutamente continua y f ′′ ∈ H, lo queresuelve el problema a).

b) Sea ahora f ∈ D(T ∗1 T1); nuevamente, (I + T ∗

1 T1)f = f + T3T1f =f − f ′′. El teorema 1.13 prueba tambien que el operador I + T ∗

1 T1 :D(T ∗

1 T1) → H es biyectivo. Ası pues, ∀g ∈ H, existe un unico f ∈D(T ∗

1 T1) tal que (I +T ∗1 T1)f = −g, es decir f ′′−f = g. Dicha solucion

verifica ahora que f ∈ D(T1) y T1f ∈ D(T ∗1 ), lo que corresponde a las

condiciones f ′(0) = f ′(1) = 0, f ′ absolutamente continua y f ′′ ∈L2[0, 1].

c) Consideramos en este caso f ∈ D(T ∗2 T2). Repitiendo el proceso

seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de solucionpara este problema.

8. Dada g ∈ L2(R), probar que la ecuacion diferencial f ′′ − f = gtiene solucion unica f ∈ L2(R) tal que f ′, f ′′ ∈ L2(R) y f, f ′ sonabsolutamente continuas.

Mediante calculo directo, encontrar la formula

f(x) = −12

∫ x

−∞et−xg(t)dt− 1

2

∫ ∞

xex−tg(t)dt

para determinar la solucion de la ecuacion.

Resp.: Consideramos el operador Tf = if ′ con dominio el conjuntode funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado de R ycuya derivada esta en L2(R).

Como dicho dominio es denso en L2(R) y T es autoadjunto, el teorema1.13 prueba que I + T 2 : D(T 2) → L2(R) es biyectivo. Ası pues,dado g ∈ L2(R), existe un unico f ∈ D(T 2) tal que (I + T 2)f =−g, es decir f ′′ − f = g. Como f ∈ D(T ) y f ′ ∈ D(T ), la solucionf es absolutamente continua y f ′ ∈ L2(R), ası como tambien f ′ esabsolutamente continua y f ′′ ∈ L2(R).

Para resolver explıcitamente la ecuacion f ′′ − f = g, buscamos enprimer lugar la solucion general de la ecuacion homogenea asociada

322

f ′′ − f = 0, lo que da el conjunto y = C1ex + C2e

−x, con C1, C2

constantes arbitrarias.

A continuacion aplicamos el metodo de variacion de constantes pararesolver la ecuacion no homogenea, es decir resolvemos el sistema

C ′1(x)ex + C ′

2(x)e−x = 0C ′

1(x)ex − C ′2(x)e−x = g(x)

el cual tiene como solucion C ′1(x) = (1/2)g(x)e−x, C ′

2(x) = −(1/2)g(x)ex.La solucion general de la ecuacion queda pues de la forma indicada enel enunciado.

9. Sea E una medida espectral arbitraria (ver definicion 3.2). Pro-bar que |Ex,y(∆)|2 ≤ Ex,x(∆)Ey,y(∆), ∀x, y ∈ H.

Resp.: Teniendo en cuenta que E(∆) es una proyeccion ortogonal, porla desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos:

|〈E(∆)x, y〉|2 = |〈E(∆)x,E(∆)y〉|2

≤ ‖E(∆)x‖2 · ‖E(∆)y‖2 = 〈E(∆)x,E(∆)x〉 · 〈E(∆)y, E(∆)y〉= 〈E(∆)x, x〉 · 〈E(∆)y, y〉.

10. Sea T un operador simetrico con dominio denso. Probar que eloperador U : R(T + iI) → R(T − iI) definido por

U = (T − iI)(T + iI)−1

(llamado tambien transformada de Cayley de T ) es isometrico.

Resp.: Veamos en primer lugar que existe (T + iI)−1 y es acotado(como operador definido en R(T + iI)). Para ello basta observar lasiguiente desigualdad, que es consecuencia de la proposicion 1.12:

‖(T + iI)x‖2 = ‖Tx‖2 + ‖x‖2 ≥ ‖x‖2, ∀x ∈ D(T ).

Para probar que U es isometrico, sean x, y ∈ D(U). Entonces ∃f, g ∈D(T ) tales que x = (T + iI)f , y = (T + iI)g. Ası pues,

〈Ux, Uy〉 = 〈(T − iI)f, (T − iI)g〉= 〈Tf, Tg〉+ 〈Tf,−ig〉+ 〈−if, Tg〉+ 〈−if,−ig〉= 〈Tf, Tg〉+ i〈f, Tg〉 − i〈Tf, g〉+ 〈if, ig〉= 〈Tf, Tg + ig〉+ 〈if, Tg + ig〉 = 〈Tf + if, Tg + ig〉 = 〈x, y〉.

323

11. En el espacio `2 se define el operador V por V (α1, α2, . . . ) =(0, α1, α2, . . . ). Probar que V es la transformada de Cayley deun operador simetrico T con ındices de defecto 0 y 1, donde, pordefinicion, los ındices de defecto de un operador simetrico T sonlas dimensiones de R(T +iI)⊥ y R(T −iI)⊥. Hallar una expresionde T .

Resp.: (•) Veamos en primer lugar que V es isometrıa:

∀α ∈ `2 : ‖α‖22 =

∑n∈N

|αn|2 y ‖V α‖22 =

∑n∈N

|αn|2 = ‖α‖22.

Sin embargo, V no es unitario pues el elemento α = (1/n)n∈N esta en`2 pero no esta en el rango de V .

(•) Probaremos a continuacion que I − V es inyectiva. En efecto, siα ∈ N(I − V ), entonces α = V α, es decir α1 = 0, αn+1 = αn, ∀n ∈ N,de donde α = 0.

(•) De las condiciones anteriores se deduce la existencia de un operadorsimetrico T cuya transformada de Cayley es V , T = i(I +V )(I−V )−1,y D(T ) = R(I − V ).

(•) Calcularemos a continuacion los ındices de defecto de T :

Como D(V ) = `2, R(T + iI) = `2 de donde dim R(T + iI)⊥ = 0.

Por otra parte, como R(V ) = (0, α1, α2, . . . ) :∑

n∈N |αn|2 < ∞,entonces R(V )⊥ esta generado por el elemento (1, 0, 0, . . . ). Teniendoen cuenta que R(V ) = R(T − iI), es evidente que dim R(T − iI)⊥ = 1.

(•) Para obtener una expresion explıcita de T , observemos que(I − V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α2 − α1, . . . ). Por tanto,

(I − V )−1(α1, α2, . . . ) = (α1, α1 + α2, . . . ,

n∑k=1

αk, . . . )

(I + V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α1 + α2, . . . , αn−1 + αn, . . . )=⇒ T (α1, α2, . . . ) = i(I + V )(I − V )−1(α1, α2, . . . )

= i(α1, α2 + 2α1, . . . , αn + 2n−1∑k=1

αk, . . . ),

con D(T ) = (αn)n∈N : |α1|2+|α1+α2|2+· · ·+|∑n

k=1 αk|2+. . . < ∞.

324

12. Sea T un operador autoadjunto con dominio denso en H y Rz =(T − zI)−1 el operador resolvente definido en el conjunto de va-lores z ∈ C : ∃(T − zI)−1, R(T − zI) = H. Probar:

a) ‖Rzx‖ ≤ (1/|β|)‖x‖ si β = Im z 6= 0.

b) Rz2 −Rz1 = (z2 − z1)Rz2Rz1, ∀z1, z2 ∈ ρ(T ).

c) (Rz)∗ = R z.

Resp.: a) A partir de la igualdad

‖(T − zI)x‖2 = β2‖x‖2 + ‖(T − αI)x‖2, ∀x ∈ D(T ), z = α + iβ,

si hacemos y = (T − zI)x, resulta ‖y‖2 ≥ β2‖(T − zI)−1y‖2.

b) Es evidente que

Rz2 −Rz1 = Rz2(T − z1I)Rz1 −Rz2(T − z2I)Rz1

= Rz2 [(T − z1I)− (T − z2I)]Rz1 = (z2 − z1)Rz2Rz1 .

De esta relacion se deduce la conmutatividad Rz1Rz2 = Rz2Rz1 , ∀z1, z2 ∈ρ(T ).

c) Como D(Rz) = H, existe (Rz)∗. Ademas, ∀x ∈ D(Rz), y ∈ D(R z):

〈Rzx, y〉 = 〈Rzx, (T − zI)R zy〉 = 〈(T − zI)Rzx,R zy〉= 〈x,R zy〉 =⇒ R z = (Rz)∗.

TEMAS COMPLEMENTARIOS.

1. Operadores de multiplicacion y derivacion ([AG], [Kr]).

2. Semigrupos de operadores ([Ru]).

3. Operadores no acotados en Mecanica Cuantica ([Kr]).

4. Operadores cerrados y clausurables. Teorema de la aplicacion abiertapara operadores no acotados ([CC]).

325

APENDICE 1

INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE KREIN.

Una forma de generalizar el concepto de producto escalar viene motivadapor el siguiente ejemplo.

1. Ejemplo. En el espacio K = `2 se define el producto

[x, y] =∑m∈A

xm ym −∑m6∈A

xm ym,

para cualesquiera x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ K, donde A es cualquiersubconjunto (fijo) de N.

(1) El producto [·, ·] es una forma sesquilineal hermıtica en K pero no nece-sariamente un producto escalar.

En efecto, de la desigualdad de Holder se deduce que las series∑

m∈A xm ym

y∑

m6∈A xm ym son absolutamente convergentes. Esto permite sumarlas termi-no a termino y multiplicarlas por constantes arbitrarias; es decir:

[αx + βy, z] =∑m∈A

(αxm + βym) zm −∑m6∈A

(αxm + βym) zm

= α∑m∈A

xm zm + β∑m∈A

ym zm − α∑m6∈A

xm zm − β∑m6∈A

ym zm

= α[x, z] + β[y, z];

[x, y] =∑m∈A

xm ym −∑m6∈A

xm ym =∑m∈A

xmym −∑m6∈A

xmym = [y, x].

327

Para ver que no es un producto escalar, observamos que

[x, x] =∑m∈A

|xm|2 −∑m6∈A

|xm|2,

de modo que, si elegimos la sucesion x = (xn)n∈N ∈ K, con xn = 0 paran ∈ A, entonces [x, x] = −

∑m6∈A |xm|2 < 0.

(2) El producto anterior es no-degenerado, es decir se verifica

[x, y] = 0, ∀y ∈ K =⇒ x = 0.

(3) El producto anterior, restringido a los espacios K+ = x ∈ K : sop(x) ⊂A y K− = x ∈ K : sop(x) ⊂ N \A sı da lugar a espacios de Hilbert. Masconcretamente:

i) K = K+ ⊕K−.

En efecto, si x ∈ K es arbitrario, llamamos ym =

xm si m ∈ A,

0 si m 6∈ A,y

zm =

0 si m ∈ A,

xm si m 6∈ A,con lo que y = (ym)m ∈ K+, z = (zm)m ∈ K−

y ademas x = y + z.

Ademas la descomposicion es unica pues, si x ∈ K+ ∩ K−, entoncessop(x) ⊂ A ∩Ac = ∅, es decir x = 0.

ii) [x+, x−] = 0, ∀x+ ∈ K+, x− ∈ K−.

En efecto, si x+ ∈ K+, x− ∈ K−, entonces

[x+, x−] =∑m∈A

x+m x−m −

∑m6∈A

x+m x−m = 0

pues x−m = 0, ∀m ∈ A y x+m = 0, ∀m ∈ Ac.

iii) (K+, [·, ·]) y (K−,−[·, ·]) son espacios de Hilbert.

Es evidente que ∀x ∈ K+, [x, x] =∑

m∈A |xm|2 ≥ 0 y si [x, x] = 0,entonces xm = 0, ∀m ∈ A. Como ademas sop(x) ⊂ A, entonces xm =0, ∀m ∈ Ac, es decir x = 0.

Lo anterior prueba que (K+, [·, ·]) es pre-Hilbert.

Analogamente se prueba que (K−,−[·, ·]) es tambien pre-Hilbert.

Como los productos de K+ y K− son los inducidos por el productousual de `2, para ver que K+ y K− son completos, basta comprobarque son cerrados en `2. Veamos el caso de K+ (que es analogo al casode K−):

328

Si x ∈ K+, existe una sucesion (x(n))n∈N ⊂ K+ tal que x(n) → x,es decir ‖x(n)−x‖2 → 0. Esto implica que

∑m∈N

|x(n)m −xm|2 → 0, de

donde |x(n)m − xm| → 0, ∀m ∈ N. Como x

(n)m = 0 si m 6∈ A, tambien

xm = 0, ∀m 6∈ A, es decir sop(x) ⊂ A, de modo que x ∈ K+.

El ejemplo anterior da sentido a la siguiente definicion.

2. Definicion. Un espacio vectorial K en el que se define una forma sesqui-lineal hermıtica [·, ·] es un espacio de Krein si existen dos subespacios K+ yK− con las propiedades i), ii) y iii).

3. Observaciones. a) Todo espacio de Hilbert puede considerarse como unespacio de Krein, con la descomposicion trivial H = H ⊕ 0.

b) El apartado ii) de la definicion permite decir que K+ y K− son ortogonalesde modo que la descomposicion i) es una suma directa ortogonal, llamadadescomposicion fundamental de K.

4. Proposicion. Si P+ : K → K+ y P− : K → K− son las proyeccio-nes ortogonales asociadas a la descomposicion K = K+ ⊕ K−, entonces eloperador J = P+ − P−, llamada simetrıa fundamental, verifica que

[Jx, y] = [x, Jy], ∀x, y ∈ K;

ademas J es invertible y J−1 = J .

Demostracion. Sean x = x+ + x− ∈ K, y = y+ + y− ∈ K arbitrarios.Entonces

[Jx, y] = [x+−x−, y++y−] = [x+, y+]−[x−, y−] = [x++x−, y+−y−] = [x, Jy].

Por otra parte, si Jx = 0, entonces x+ − x− = 0 y, por la unicidad de ladescomposicion K = K+ ⊕K−, se deduce que x+ = x− = 0, de modo queJ es invertible.

Por ultimo, como J(x+ − x−) = x+ + x−, deducimos que J−1 = J .♦

5. Proposicion. Si definimos 〈x, y〉J = [Jx, y], x, y ∈ K, entonces (K, 〈·, ·〉J)es un espacio de Hilbert en el cual J es un operador autoadjunto e involu-tivo. Recıprocamente, si (H, 〈·, ·〉) es un espacio de Hilbert y G ∈ L(H) unoperador autoadjunto tal que G2 = I, entonces (H, [·, ·]) es un espacio deKrein con el producto [x, y] = 〈Gx, y〉, ∀x, y ∈ H.

Demostracion. a) Es evidente que el producto 〈·, ·〉J es lineal en la primeracomponente. Ademas, de la proposicion anterior, resulta:

〈y, x〉J = [Jy, x] = [x, Jy] = [Jx, y] = 〈x, y〉J .

329

Por ser (K+, [·, ·]) y (K−,−[·, ·]) pre-Hilbert, deducimos que

〈x, x〉J = [Jx, x] = [x+ − x−, x+ + x−] = [x+, x+]− [x−, x−] ≥ 0,

y, si 〈x, x〉J = 0, entonces [x+, x+] = 0, [x−, x−] = 0 de donde x+ = 0, x− =0, es decir x = 0.

Veamos que K es completo con dicho producto:

Sea (xn)n∈N ⊂ K de Cauchy, es decir ‖xn − xm‖J → 0. Esto implica que[J(xn − xm), xn − xm] → 0, de donde

[x+n − x+

m − x−n + x−m , x+n − x+

m + x−n − x−m] → 0=⇒ [x+

n − x+m, x+

n − x+m]− [x−n − x−m, x−n − x−m] → 0,

lo que implica que (x+n )n∈N es de Cauchy en K+ y (x−n )n∈N es de Cauchy en

K−. Ası pues, existen x+ ∈ K+, x− ∈ K− tales que x+n → x+ y x−n → x−.

Si llamamos x = x+ + x−, entonces

〈xn−x, xn−x〉J = [J(xn−x), xn−x] = [x+n−x+, x+

n−x+]−[x−n−x−, x−n−x−] → 0

lo que implica que xn → x.

Como J es simetrico respecto a [·, ·], entonces

〈Jx, y〉J = [J2x, y] = [Jx, Jy] = 〈x, Jy〉J .

Ademas, de J = J−1 resulta que JJ = JJ−1 =⇒ J2 = I, es decir J esinvolutivo.

Para probar el recıproco, veamos los siguientes apartados:

•) [·, ·] es una forma sesquilineal hermıtica.

[αx + βy, z] = 〈G(αx + βy), z〉 = 〈αGx + βGy, z〉= α〈Gx, z〉+ β〈Gy, z〉 = α[x, z] + β[y, z];

[y, x] = 〈Gy, x〉 = 〈x,Gy〉 = 〈Gx, y〉 = [x, y].

•) ∃K+,K− tales que K = K+ ⊕K−.

Definimos para ello K+ = N(I − G), K− = N(I + G) y escribimos ladescomposicion h = 1

2(h + Gh) + 12(h−Gh), ∀h ∈ H. Veamos que:

h+ =12(h + Gh) ∈ K+ : (I −G)h+ =

12(h + Gh−Gh−G2h) = 0;

h− =12(h−Gh) ∈ K− : (I + G)h− =

12(h−Gh + Gh−G2h) = 0;

K+ ∩K− = 0 : h ∈ K+ ∩K− =⇒ (I −G)h = (I + G)h = 0=⇒ h = Gh = −Gh =⇒ h = 0.

330

•) [x+, x−] = 0, ∀x+ ∈ K+, x− ∈ K−.

(∗) x+ ∈ K+ =⇒ (I −G)x+ = 0 =⇒ x+ = Gx+,

(∗∗) x− ∈ K− =⇒ (I + G)x− = 0 =⇒ x− = −Gx−.

Por tanto,

[x+, x−] = 〈Gx+, x−〉 = 〈x+, Gx−〉 = 〈x+,−x−〉= 〈Gx+,−x−〉 = −[x+, x−] =⇒ [x+, x−] = 0.

•) (K+, [·, ·]) y (K−,−[·, ·]) son espacios de Hilbert.

Para ello, solo falta comprobar que

[x+, x+] ≥ 0 y [x+, x+] = 0 =⇒ x+ = 0,

[x−, x−] ≥ 0 y [x−, x−] = 0 =⇒ x− = 0

(al ser K+ y K− subespacios cerrados de H, que es de Hilbert, ya soncompletos).

Aplicando las igualdades (∗) y (∗∗), obtenemos en efecto:

[x+, x−] = 〈Gx+, x−〉 = 〈x+, x+〉 ≥ 0,

[x+, x+] = 0 =⇒ 〈x+, x+〉 = 0 =⇒ x+ = 0;

[x−, x−] = 〈Gx−, x−〉 = −〈x−, x−〉 ≤ 0,

[x−, x−] = 0 =⇒ 〈x−, x−〉 = 0 =⇒ x− = 0.

Como en K+ coinciden los productos [·, ·] y 〈·, ·〉 y (K+, 〈·, ·〉) es subespaciocerrado de H, K+ es de Hilbert (analogamente se argumenta con K−).♦

6. Teorema. Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert en el que se define unaforma sesquilineal hermıtica [·, ·] : H ×H → C tal que

α > 0 : |[x, y]| ≤ α〈x, x〉1/2〈y, y〉1/2, ∀x, y ∈ H.

Entonces existe un operador autoadjunto G ∈ L(H) tal que [x, y] = 〈Gx, y〉,∀x, y ∈ H y ‖G‖ ≤ α.

Dicho operador G se llama operador de Gram de 〈·, ·〉 con respecto a [·, ·]y lo dicho anteriormente sugiere que (K, 〈·, ·〉) es de Krein si y solo si G esinvertible.

Demostracion. Se define el operador G : H ×H por 〈Gx, y〉 = [x, y], ∀x, y ∈H. Se cumple ası:

331

•) G es lineal:

〈G(ax1 + bx2), y〉 = [ax1 + bx2, y] = a[x1, y] + b[x2, y]= a〈Gx1, y〉+ b〈Gx2, y〉 = 〈aGx1 + bGx2, y〉, ∀y ∈ H

=⇒ G(ax1 + bx2) = aGx1 + bGx2.

•) G es acotado:

|〈Gx,Gx〉| = |[x,Gx]| ≤ α〈x, x〉1/2 · 〈Gx,Gx〉1/2

=⇒ ‖Gx‖2 ≤ α‖x‖ · ‖Gx‖ =⇒ ‖Gx‖ ≤ α‖x‖ =⇒ ‖G‖ ≤ α.

•) G es autoadjunto:

〈Gx, y〉 = [x, y] = [y, x] = 〈Gy, x〉 = 〈x,Gy〉. ♦

7. Teorema. Sean K = K+1 ⊕ K−

1 , K = K+2 ⊕ K−

2 dos descomposicionesfundamentales del espacio de Krein (K, [·, ·]) con simetrıas fundamentalesJ1 y J2, respectivamente. Entonces:

i) dim K+1 = dim K+

2 , dim K−1 = dim K−

2 .

ii) Las normas ‖ · ‖J1 y ‖ · ‖J2 asociadas a los productos internos 〈·, ·〉J1 y〈·, ·〉J2, respectivamente, son equivalentes.

8. Definicion. Un subespacio L de un espacio de Krein (K, [·, ·]) es or-tocomplementado si L admite un subespacio complementario ortogonal, esdecir si K = L⊕ L⊥, donde L⊥ = y ∈ K : [x, y] = 0, ∀x ∈ L.

9. Observacion. Es conocido el hecho que en espacios de Hilbert todo sub-espacio cerrado es ortocomplementado. En espacios de Krein esta propiedadno siempre es cierta, como muestran los siguientes ejemplos.

10. Ejemplos. a) Sea K = `2 y [x, y] =∑∞

j=1(−1)jxj yj , donde x = (xj)j∈N,y = (yj)j∈N son elementos arbitrarios de K. Como vimos en el ejemplo 1,(K, [·, ·]) es un espacio de Krein pues basta tomar A = 2n : n ∈ N, demodo que [x, y] =

∑j∈A xj yj −

∑j 6∈A xj yj .

Si definimos

L =x ∈ K : x2j =

2j

2j − 1x2j−1, ∀j ∈ N

,

se puede probar lo siguiente:

•) L es cerrado pues, si x ∈ L, existe (x(n))n∈N ⊂ L tal que x(n) → x.

Es evidente (analogamente al ejemplo 1) que x(n)j → xj , ∀j ∈ N. Como

x(n)2j = 2j

2j−1 x(n)2j−1, tomando lımites, x2j = 2j

2j−1 x2j−1, es decir x ∈ L.

332

•) L es definido positivo pues, si x ∈ L,

[x, x] =∑j∈N

(−1)j |xj |2 =∑j∈N

|x2j |2 −∑j∈N

|x2j−1|2

=∑j∈N

[( 2j

2j − 1

)− 1

]|x2j−1|2 =

∑j∈N

4j − 1(2j − 1)2

|x2j−1|2 ≥ 0

y [x, x] = 0 =⇒ x2j−1 = 0, ∀j =⇒ x2j = 0, ∀j.

•) L⊥ = y ∈ K : y2j = 2j−12j y2j−1, ∀j pues, si [x, y] = 0, ∀x ∈ L, en

particular[e2j−1 + 2j

2j−1e2j , y]

= 0 =⇒ −y2j−1 + 2j2j−1y2j = 0 =⇒ y2j =

2j−12j y2j−1, ∀j.

Recıprocamente, si y2j = 2j−12j y2j−1, ∀j =⇒ [x, y] = 0, ∀x ∈ L pues

[x, y] =∑j∈N

x2j y2j −∑j∈N

x2j−1 y2j−1

=∑j∈N

2j

2j − 1x2j−1 ·

2j − 12j

y2j−1 −∑j∈N

x2j−1 · y2j−1 = 0.

•) Veamos por ultimo que L no es ortocomplementado, es decir L⊕L⊥ 6= K.Para ello consideramos x ∈ K de la forma x2j−1 = 0, x2j = 1/(2j) ysupongamos que existen y ∈ L, z ∈ L⊥ tales que x = y + z. Entonces

x2j−1 =y2j−1 + z2j−1 = 0 =⇒ y2j−1 = −z2j−1

x2j = y2j + z2j =12j

=⇒ 12j

=2j

2j − 1y2j−1 +

2j − 12j

z2j−1

=⇒ 12j

=[ 2j

2j−1− 2j−1

2j

]y2j−1 =

4j2−(2j−1)2

2j(2j − 1)y2j−1

=⇒ y2j−1 =2j − 14j − 1

, ∀j.

Sin embargo, la sucesion y = (y2j−1)j∈N no esta en `2 porque∑

j∈N

(2j−14j−1

)2=

∞.

b) Sea K un espacio de Krein y x, y ∈ K tales que [x, x] > 0, [y, y] < 0.Consideramos el subespacio L = λx + µy : λ, µ ∈ C. Se prueba enton-ces:

- L es cerrado.

- Si L fuera ortocomplementado, serıa no degenerado.

- L es degenerado (sugerencia: considerar las raıces de la ecuacion [λx +y, λx + y] con λ ∈ R).

333

Observacion. Dos referencias basicas correspondientes a este tema son [An]y [Bog].

334

APENDICE 2

EL TEOREMA ESPECTRAL. ORIGENES Y EVOLUCION.

La evolucion de la teorıa espectral es uno de los capıtulos mas informativosen la historia de las matematicas modernas. El hecho central del teoremaespectral es que ciertos operadores lineales en dimension infinita pueden re-presentarse en forma diagonal. Aunque el teorema tenga profundas raıcesen el pasado, la teorıa matematica es un fenomeno estrictamente del sigloXX. Todo estudiante de matematicas estudia algun tipo de teorema espec-tral extraıdo de su contexto historico pero inserto en su propio contexto delcurso. Este esquema, aunque eficiente pedagogicamente, a menudo oscureceel hecho de que el teorema espectral es una especie en evolucion, que pre-tende proporcionar teorıas matematicas adecuadas para varios fenomenosfısicos.

Las raıces historicas del tema deben buscarse en tres areas originalmentealejadas, como son la Geometrıa Analıtica (teorema de los ejes principa-les), el Analisis (ecuaciones integrales) y el Algebra (sistemas infinitos deecuaciones lineales), los cuales pasamos a esbozar.

1. TEOREMA DE LOS EJES PRINCIPALES.

Es el unico teorema que puede considerarse precursor directo del teoremaespectral moderno. No debe sorprender que en su forma mas simple este con-tenido en los escritos de los fundadores de la Geometrıa Analıtica, P. deFermat y R. Descartes.

335

Destacaremos dos versiones del teorema de los ejes principales.

- En el lenguaje de formas cuadraticas:

1637 ... Descartes ... Una forma cuadratica ax2 + 2bxy + cy2 puede trans-formarse mediante una rotacion en la forma normal αx2 + βy2 dondelos ejes principales de la forma normal coinciden con los ejes de coor-denadas.

1759 ... Lagrange ... Toda forma cuadratica simetrica∑n

i,j=1 aijxixj en Rn

puede escribirse mediante una transformacion ortogonal en la formanormal

∑ni=1 λix

2i .

- Veamos como surge un enunciado de este teorema en el lenguaje dematrices:

Dada una aplicacion lineal T : Rn → Rn, su comportamiento viene deter-minado por los valores Te1, . . . , T en, siendo e1, . . . , en una base de Rn,y la matriz A = (aij)i,j=1,...,n definida por Tei =

∑nj=1 ajiej representa la

aplicacion T .

Como esa matriz es diferente con respecto a otra base, surge la cuestionfundamental:

Dado T , determinar las bases para las que la matriz asociada es senci-lla.

Esto permitirıa reconocer algunas propiedades intrınsecas de la aplicacionsolo a partir de la representacion matricial.

El siguiente resultado proporciona una condicion necesaria y suficiente paraque T admita una representacion en matriz diagonal.

Teorema. Dada T : Rn → Rn, si T tiene una representacion en matriz dia-gonal, existe un conjunto linealmente independiente u1, . . . , un y un con-junto de escalares λ1, . . . , λn tales que Tuk = λkuk (k = 1, . . . , n).

Recıprocamente, si existe un conjunto u1, . . . , un linealmente independien-te en Rn y un conjunto λ1, . . . , λn de escalares tales que Tuk = λkuk

(k = 1, . . . , n), entonces la matriz A = diagλ1, . . . , λn representa la apli-cacion T respecto a la base u1, . . . , un.

Esto nos lleva a definir las nociones de autovalor y autovectores asociados,y el problema anterior sera consecuencia de:

Dado T , encontrar todos sus autovalores y autovectores asociados.

En algunos casos el problema de los autovalores da la respuesta completao por lo menos es la clave para resolver el problema de la estructura de T .Una solucion sencilla a dicho problema es la siguiente:

336

1852 ... Sylvester ... Si A es una matriz asociada a T , λ es autovalor deT si y solo si (A− λI)x = 0 tiene solucion no trivial.

Segun la teorıa de matrices, esto equivale a det(A − λI) = 0. En este pun-to es logico suponer el espacio complejo, para poder aceptar autovectoresasociados a autovalores complejos (a no ser que T sea simetrico) y poder ex-tenderlo a espacios de cualquier dimension. A simple vista esto puede afectarla geometrıa de nuestro espacio, pero en realidad no sera ası.

En el caso particular de las aplicaciones simetricas, el problema de los auto-valores tiene la siguiente solucion:

Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicacion lineal simetrica. Entonces:

i) Todos los autovalores de T son reales.

ii) Autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

iii) Existe una base de Cn formada por autovectores ortogonales dos a dos.

Esto proporciona el teorema de los ejes principales en el lenguaje de matri-ces.

1858 ... Cayley ... Si A es una matriz simetrica real, existe una matrizortogonal P tal que D = P−1AP tiene forma diagonal; los elementosde D son los autovalores de A.

1904 ... Hilbert ... Sean λ1 ≤ · · · ≤ λn los autovalores de una matrizsimetrica K, y Φ1, . . . ,Φn un sistema ortonormal de vectores propiosasociados. La accion de K con respecto a dicha base se representa porla matriz diagonal L = diag(λ1, . . . , λn). La matriz T cuyas filas sonlos vectores Φ1, . . . ,Φn es una transformacion ortogonal que aplica labase Φ1, . . . ,Φn en la base canonica, L = T−1KT . La matriz Lpuede escribirse como L =

∑ni=1 λiPi, donde Pi es la proyeccion sobre

el subespacio generado por Φi.

Veamos como puede exponerse en forma geometrica el analisis sobre la es-tructura de la aplicacion T .

Suponemos que T es una aplicacion lineal simetrica en Cn, dotado de unaestructura lineal. Definimos el concepto de autoespacio como el subespaciogenerado por el conjunto de autovectores asociados a un mismo autovalor.Debido a que dos autoespacios distintos son ortogonales, cabe definir lanocion de complemento ortogonal de un conjunto M como el conjunto M⊥

de vectores ortogonales a todos los elementos de M .

Las siguientes propiedades expresan caracterısticas utiles de las transforma-ciones simetricas:

337

Si Mλ es el autoespacio asociado al autovalor λ, entonces M⊥λ es inva-

riante bajo T .

Esto sugiere que la estructura de T viene determinada por su compor-tamiento sobre Mλ y M⊥

λ .

Siempre existe algun autovalor λ (por ser el espacio complejo).

Si dim Mλ = r y dim M⊥λ = s, entonces s < n (de hecho r + s = n).

Todo elemento x ∈ Cn puede descomponerse como x = y+z, con y ∈ Mλ,z ∈ M⊥

λ (y la descomposicion es unica).

Debido a la descomposicion anterior, Tx = Ty + Tz, de la que sabemosTy = λy; basta calcular Tz, el cual sabemos que esta en M⊥

λ .

Hemos reducido pues el problema a un espacio s-dimensional, con s <n.

- Si s = 0 termina aquı.

- Si s > 0, buscamos un autovalor µ de la restriccion T |M⊥λ

y continuamoscomo antes.

Como la dimension del espacio es finita, el proceso termina en un numerofinito de pasos.

Recapitulando lo anterior, llegamos al teorema espectral en dimension finita,que enunciamos ası:

Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicacion lineal simetrica. Existe entoncesun numero finito de numeros reales distintos λ1, . . . , λk y de subespacioscerrados M1, . . . ,Mk no triviales tales que:i) T |Mi = λiI, i = 1, . . . , k (Mi es el autoespacio asociado a λi).ii) Mi⊥Mj, ∀i 6= j.iii) ∀x ∈ Cn, ∃xi ∈ Mi : x = x1 + · · ·+ xk (descomposicion unica).

El teorema puede interpretarse diciendo que todo operador simetrico es sumade operadores elementales T = T1 + · · · + Tk, con Ti = λiI. El recıprocoestablece que todo operador de la forma anterior es simetrico.

Observaciones. 1) Es claro que Mi no estan generados por los ejes prin-cipales ei = (δ1i, . . . , δni). Sin embargo siempre es posible elegir una baseortogonal de modo que cada Mi este generado por algun subconjunto dedicha base.

2) A pesar de la gran importancia del teorema espectral anterior en multi-tud de aplicaciones, el verdadero desarrollo de las ideas arriba esbozadas nose consigue hasta que se consideran espacios de dimension infinita. La axio-matizacion y discusion de estos espacios es la que permite un tratamiento

338

unificado de elementos de analisis, geometrıa y matematica aplicada: espa-cios de funciones, ecuaciones diferenciales e integrales, teorıa de operadores,series de Fourier abstractas, geometrıa de subespacios, topologıa debil, fuertey uniforme, teorıa de espectros, mecanica cuantica y muchos otros.

2.- EVOLUCION A ESPACIOS INFINITO-DIMENSIONALES.

Dos son las lıneas fundamentales de evolucion de la teorıa al caso de espa-cios de dimension infinita: los sistemas infinitos de ecuaciones lineales y lasecuaciones integrales.

A. Sistemas infinitos de ecuaciones lineales.

Los sistemas finitos de ecuaciones lineales se resolvıan a menudo por el meto-do de eliminacion de variables. En los siglos XVIII y XIX se resolvıan siste-mas infinitos de ecuaciones para obtener soluciones formales de ecuacionesdiferenciales, por el metodo de coeficientes indeterminados. Los avances massignificativos en esta lınea fueron los siguientes:

1822 ... Fourier ... quiso probar que toda funcion puede expresarse comocombinacion lineal infinita de terminos trigonometricos. Esto le llevabaa resolver un sistema infinito de ecuaciones lineales, por un proceso delımite.

1870 ... Kotteritzsch ... intento extender la regla de Cramer a sistemasinfinitos.

1877 ... Hill ... aplico al caso infinito la teorıa de determinantes.

1885 ... Appell ... aplico el metodo de Fourier para determinar los coefi-cientes del desarrollo en serie de potencias de funciones elıpticas.

1885 ... Poincare ... proporciono una definicion rigurosa de un determi-nante infinito.

1891 ... Von Koch ... desarrollo la teorıa de los determinantes infinitos.

Los avances en esta direccion podıan haber llevado a algun teorema espec-tral elemental si alguien hubiera generalizado la forma de diagonalizaciondel teorema de los ejes principales. Esto se hizo al aplicar la teorıa de losdeterminantes infinitos a las ecuaciones integrales.

339

B. Ecuaciones integrales.

Las ecuaciones integrales motivaron el interes de los matematicos por los es-pacios de dimension infinita, espacios de Hilbert y, posteriormente, espaciosde Banach. Es curioso que la atencion prestada a las ecuaciones integralesfuera posterior a la relacionada con las ecuaciones diferenciales, a pesar deque la teorıa de estas es considerablemente mas complicada que la de lasprimeras.

Se remonta a Abel en 1823 el primer estudio sobre las ecuaciones integrales,pero la teorıa tomo relevancia en 1900 cuando Fredholm aplico a ellas lateorıa de matrices y determinantes infinitos. Imitando la tecnica de vonKoch en el desarrollo de determinantes infinitos, Fredholm desarrollo sufamoso teorema de alternativa con respecto a las soluciones Φ de la ecuacionintegral

(1) Φ(x) +∫ 1

0K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1,

considerandola como la situacion lımite del correspondiente sistema lineal

(2) Φ(xi) +n∑

j=1

K(xi, xj)Φ(xj) = Ψ(xi), 1 ≤ i ≤ n.

Fredholm definio un determinante DK para (1) como el analogo continuodel correspondiente al sistema (2) y probo que (1) tiene una unica solucionque puede expresarse como cociente de dos determinantes cuando DK 6= 0;alternativamente, cuando DK = 0, la ecuacion homogenea traspuesta

Φ(x) +∫ 1

0K(y, x)Φ(y)dy = 0

tiene soluciones no triviales y (1) tiene solucion si y solo si Ψ es ortogonal adichas soluciones.

Posteriormente a Fredholm, Hilbert (1904) trabajo con la ecuacion inte-gral

(3) Φ(x)− λ

∫ 1

0K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1,

y su analoga ecuacion matricial finita o infinita

(4) Φ(xi)− λn∑

j=1

K(xi, xj)Φ(xj) = Ψ(xi).

Para construir la maquinaria de resolucion de estas ecuaciones, Hilbert defi-nio el espectro de la forma cuadratica K, distinguiendo el espectro puntual

340

del espectro continuo, definio el concepto de continuidad completa para dis-tinguir las formas con espectro puntual puro y las que tienen espectro mascomplicado. Incluso formulo y probo el teorema espectral, no solo para for-mas completamente continuas, sino para formas acotadas.

3.- TEORIA ESPECTRAL DE HILBERT-SCHMIDT.

A pesar de la asombrosa cantidad de analisis moderno contenido en los traba-jos de Hilbert sobre ecuaciones integrales, su metodo basico era el de Bernou-lli y Fredholm, de reduccion al caso finito y un laborioso paso al lımite. Fuesu alumno E. Schmidt quien introdujo el lenguaje de la geometrıa euclıdea yen 1907 presento una teorıa de los espacios `2 incluyendo las nociones de nor-ma, linealidad, subespacios y proyecciones ortogonales. Observemos que unageneralizacion natural del concepto de longitud para sucesiones numericas,como ‖x‖ =

√|x1|2 + |x2|2 + . . ., conduce a la restriccion

∑∞n=1 |xi|2 < ∞,

necesaria en la consideracion de espacios infinito-dimensionales. Sin embar-go, un desarrollo abstracto, como el introducido por von Neumann (del quehablaremos posteriormente) no tendra que estar sujeto a eleccion de coorde-nadas ni a la adopcion de una base especıfica respecto a la cual la estructurade los operadores simetricos venga determinada.

Los pasos mas importantes en la extension del teorema espectral son lossiguientes:

1 - Generalizacion del concepto de autovalor al caso de una forma cuadraticasimetrica infinita K. Se define para eso el espectro de K, σ(K) = λ ∈ C :K − λI no tiene inversa acotada, el cual puede descomponerse en:

Espectro puntual, σp(K) = λ ∈ σ(K) : Kφ = λφ tiene solucion notrivial.

Espectro continuo, σc(K) = σ(K) \ σp(K).

(Recordemos que, para las transformaciones simetricas, el espectro residuales vacıo.)

Al igual que en dimension finita, todo punto espectral es real.

2 - Estudio de las relaciones entre una transformacion y su espectro. Desta-camos:

“El espectro esta acotado cuando K esta acotado. Ademas σ(K) ⊂ B(0, ‖K‖).”Dehecho,

341

“Si K es simetrico, ‖K‖ = sup|λ| : λ ∈ σ(K).”(Teorema del radio espec-tral.) Incluso, ∃λ ∈ σ(K) : |λ| = ‖K‖.

3 - Relacion entre la continuidad y la acotacion.

“Los operadores lineales acotados en `2 son precisamente los operadores li-neales continuos (preservan la convergencia fuerte).”

Ası, Hilbert extendio el teorema de los ejes principales a operadores linealessimetricos acotados.

Teorema. Cada λ ∈ σp(K) tiene asociado un autovector φλ tal que el con-junto φλ : λ ∈ σp(K) es ortonormal. Si Pλ denota la proyeccion sobreel subespacio generado por φλ, el operador L =

∑λ∈σp(K) λPλ es diago-

nal.

Observemos que L refleja exactamente la accion de K sobre el subespacio ge-nerado por φλ pero, al ser estrictamente menor que `2, no se puede asegurarque L y K representen la misma transformacion.

Para expresar la contribucion del espectro continuo, Hilbert adopto la no-cion de integral de Stieltjes, definida por este en 1894 en su estudio sobrefracciones continuas:

Si f es continua y g creciente, denotamos por∫ ba f(x)dg(x) a

lımn∑n

i=1 f(ξi)[g(xi)− g(xi−1)].

Escribiendo pues la suma∑

λiPλicomo

∑λi(Eλi

− Eλi−1), donde Eλi

=∑ij=1 Pλj

, Hilbert construyo para el espectro continuo σc(K) la integral deStieltjes

∫σc(K) λdEλ, quedando el teorema espectral enunciado de la siguien-

te forma:

Teorema. Todo operador lineal simetrico acotado K en `2 puede repre-sentarse, a partir de una transformacion ortogonal, en forma diagonal co-mo ∑

λ∈σp(K)

λPλ +∫

λ∈σc(K)λdEλ.

Hilbert completo su teorıa espectral identificando una gran clase de opera-dores con espectro continuo vacıo, los que llamo operadores completamentecontinuos. Schmidt los caracterizo con la propiedad de que aplican suce-siones debilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. Es-tos operadores son los analogos infinito-dimensionales mas proximos a losoperadores lineales en dimension finita en cuanto pueden aproximarse poroperadores de rango finito y su espectro esta formado solo por autovaloresdonde el cero es el unico posible punto de acumulacion. En el estudio de lasecuaciones integrales, el operador Kf =

∫ ba k(·, y)f(y)dy es completamente

continuo.

342

El primer problema que se plantea en esta situacion es el de encontrar todoslos autovalores de un operador completamente continuo y simetrico. No esposible aquı una analogıa completa con el caso finito-dimensional, pues noexiste una teorıa de determinantes que de lugar a la ecuacion caracterıstica.Un metodo alternativo consiste en probar la existencia de un autovalor ex-tremo para el cual |λ| = ‖K‖. A partir de aquı es tambien sencillo ver quetodos los autovalores son reales, que autovectores asociados a autovaloresdistintos son ortogonales y que K deja invariante al complemento ortogonaldel autoespacio correspondiente a cualquier autovalor. Tenemos ademas, de-bido a que la identidad es completamente continua unicamente en espaciosfinito-dimensionales, que el autoespacio correspondiente a cualquier autova-lor no nulo tiene dimension finita.

En el caso de que λ = 0 sea autovalor, se presenta un problema adicionalque se maneja como sigue:

Llamamos M0 al autoespacio asociado al autovalor λ = 0. Como K dejainvariante a M⊥

0 , distinguimos dos casos:

- Si dim M⊥0 es finita, aplicamos el teorema espectral en Cn.

- Si dim M⊥0 es infinita, M⊥

0 es a su vez un espacio de Hilbert sobre el cualK no tiene a λ = 0 como autovalor.

Esto permite suponer en adelante que λ = 0 no es autovalor de K y, portanto, M⊥

0 = H.

Para cualquier constante real α > 0, se puede probar que solo hay un nume-ro finito de autovalores de modulo mayor que α. Ası pues, los autovalorespueden disponerse en forma de sucesion λ1, λ2, . . . tal que |λ1| ≥ |λ2| ≥ . . . .En el caso de que esta sucesion sea infinita, deducimos que lım λn = 0.

Con estos datos, el teorema espectral puede enunciarse detalladamente comosigue:

Teorema (espectral para operadores completamente continuos). Sea K unoperador completamente continuo en un espacio de Hilbert con N(K) = 0.Existe entonces una sucesion finita o infinita de numeros reales distintosλ1, λ2, . . . y una sucesion de subespacios asociados M1,M2, . . . cada uno deellos de dimension no nula, tales que:

i) K|Mi = λiI, ∀i.

ii) Mi⊥Mj, ∀i 6= j.

iii) H = M1⊕M2⊕ . . . (clausura del espacio generado por⋃

i∈N Mi).

iv) dim Mi < ∞, ∀i.

343

Los numeros λi y los subespacios Mi estan unıvocamente determinados porK.

Un metodo constructivo de demostracion se basa en definir la sucesion λnrecursivamente como sigue:

|λ1| = sup|〈Tx, x〉| : ‖x‖ = 1 y Tu1 = λ1u1;|λn| = sup|〈Tx, x〉| : ‖x‖ = 1, 〈x, um〉 = 0, m = 1, . . . , n− 1

y Tun = λnun (n > 1).

Se prueba entonces que la familia Mn = N(T − λnI) (n ≥ 1) es ortogonal yH =

⊕n Mn.

La sucesion λn es el conjunto de autovalores de K y la familia Mn, lade los autoespacios asociados a dichos autovalores.

Con este enunciado se incluye el mınimo necesario de resultados que podrıanesperarse a partir del teorema espectral en Cn. Ademas es el teorema que seaplica a las ecuaciones integrales clasicas.

El recıproco del teorema espectral es sencillo pues se trata de construirun operador simetrico y completamente continuo a partir de las sucesionesλn y Mn de modo que estas den la solucion al problema de autovaloresy autovectores.

Un nexo mayor entre las teorıas de ecuaciones integrales y de matrices fue es-tablecido por Hilbert a traves de los sistemas ortonormales completos. Ası laecuacion matricial (4) puede deducirse de la ecuacion integral (3) sustitu-yendo cada funcion continua Φ, Ψ por su desarrollo de Fourier con respectoa un sistema ortonormal completo. Esto permitio a Hilbert deducir el teo-rema de alternativa de Fredholm para la ecuacion integral (1) directamentedel teorema correspondiente para el sistema lineal infinito (2).

4. INTEGRAL DE LEBESGUE.

La teorıa de operadores lineales en dimension infinita no se hizo clara hastaque se estudiaron nuevos espacios abstractos, propiciados por la integralde Lebesgue. El siguiente ejemplo que se estudio fue el de las funcionescontinuas:

Si consideramos el espacio de las funciones x : [0, 1] → C continuas, la opera-cion 〈x, y〉 =

∫ 10 x(t) y(t)dt es un producto interior, pero el espacio, que tiene

obviamente dimension infinita, no es completo. El proceso de complecion re-quiere el desarrollo de la teorıa de integracion debida a H. Lebesgue, en la

344

misma epoca en que Hilbert creaba la teorıa espectral para el espacio `2. Seconstruye ası el espacio L2 de las funciones cuyo cuadrado es integrable segunLebesgue, considerando identicas dos funciones si difieren en un conjunto demedida nula. La demostracion de la completitud de L2 fue dada simultanea eindependientemente por Riesz y Fischer en 1907. Esta prueba ilustra ademasel isomorfismo entre los espacios `2 y L2 pues los coeficientes de Fourier deuna funcion x ∈ L2 verifican

∑∞n=1 |x(n)|2 =

∫ 10 |x(t)|2dt.

En 1910, Riesz, ademas de introducir los espacios Lp, obtuvo una teorıaespectral para L2 analoga a la desarrollada por Hilbert y Schmidt para `2.Previamente, en 1909, el propio Riesz probo su famoso teorema de represen-tacion en el que resolvıa un problema estudiado en 1903 por J. Hadamard.Riesz probo que todo funcional lineal continuo en C[a, b] es una integralde Stieltjes

∫ ba fdg con respecto a alguna funcion g de variacion acotada.

A continuacion, Lebesgue probo que toda integral de Stieltjes puede inter-pretarse como una integral de Lebesgue interpretando adecuadamente laformula

∫ ba f(x)dg(x) =

∫ ba f(x)g′(x)dx.

Esto condujo a J. Radon a desarrollar en 1913 la integracion con respecto auna medida (funcion de conjuntos numerablemente aditiva) abarcando lasintegrales de Lebesgue y Stieltjes y dando pie a los fundamentos de todaslas teorıas modernas de la integral abstracta.

Lo anterior indica que la evolucion de la integral moderna estuvo conectadaa la creacion de la teorıa espectral por Hilbert. Aunque no hay dependencialogica entre ellas, es clara su dependencia historica: Hilbert uso la integral deStieltjes para obtener el teorema espectral en `2, mientras que Riesz uso laintegral de Lebesgue para desarrollar la misma en L2.

5. MECANICA CUANTICA.

En 1925-26, W. Heisenberg y E. Schrodinger crearon la teorıa de la mecanicacuantica en Gottingen. En la teorıa de Heisenberg el hecho de que ciertasobservaciones atomicas no pueden hacerse simultaneamente fue interpretadomatematicamente como la no conmutatividad de las operaciones que las re-presentan. Como el algebra de matrices es no conmutativa, Heisenberg juntocon M. Born y P. Jordan representaron cada cantidad fısica por una matrizapropiada. El conjunto de valores posibles de dicha cantidad fısica era elespectro de la transformacion. En contraste, Schrodinger inicio una teorıamenos ortodoxa basada en su ecuacion de ondas. Tras la sorpresa inicial deque la mecanica de ondas de Schrodinger y la mecanica de matrices de Hei-senberg -dos teorıas con hipotesis esencialmente diferentes- debıan producir

345

los mismos resultados, Schrodinger unifico los dos enfoques probando quelos autovalores del operador diferencial en la ecuacion de ondas determi-nan la correspondiente matriz de Heisenberg, resultados tambien obtenidossimultaneamente por P. Dirac. Se comprobo que la energıa de un atomopuede ser expresada por una forma cuadratica, cuyo espectro correspondeal observable mediante un espectroscopio.

Todo esto impulso nuevamente el interes en la teorıa espectral. El propioHilbert se asombro de que los espectros de sus formas cuadraticas se pudieraninterpretar como espectros atomicos. Como el mismo dijo:

Yo desarrolle mi teorıa de infinitas variables sin presentir que mas tardeencontrara aplicaciones al espectro de la fısica.

Rapidamente se aclaro sin embargo que la teorıa espectral de Hilbert erala base matematica apropiada para la nueva mecanica. Matrices finitas einfinitas se interpretaron como operadores en un espacio de Hilbert (todavıalimitado a `2 o L2) y cantidades fısicas se representaban por tales operadores.La maquinaria matematica de la mecanica cuantica paso a ser la del analisisespectral y la renovada actividad precipito la publicacion por A. Wintner(1929) del primer libro dedicado a la teorıa espectral.

El teorema original de Hilbert aplicado a formas cuadraticas reales acota-das y simetricas fue rapidamente extendido (por Schmidt y otros) a matri-ces complejas acotadas y hermıticas, cuyos autovalores son tambien reales.Tanto las formas simetricas como las hermıticas pueden caracterizarse porla relacion 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, ∀x, y. Los operadores hermıticos tienen tam-bien espectro real y juegan el papel de los numeros reales en el algebra deoperadores.

Casi milagrosamente, fueron los operadores hermıticos los que representa-ban cantidades fısicas en la nueva mecanica. Una razon es que las cantidadesfısicas se miden por numeros reales, aunque mas convincente es la justifica-cion de que los operadores hermıticos de la fısica matematica proporcionanleyes fundamentales de la fısica: si A es hermıtico, la ecuacion de ondasΦ′′ = AΦ implica la conservacion de la energıa y las soluciones de la ecua-cion de Schrodinger Φ′ = iAΦ tienen norma constante, que es una hipotesisfundamental en Mecanica Cuantica.

Aunque todo observable era representado por un operador hermıtico, nonecesariamente todo operador hermıtico representaba un observable. Diracanadio en 1930 la hipotesis crucial de que un operador hermıtico representaun observable si y solo si sus autovectores forman un sistema ortogonal com-pleto. Esto aseguraba que cualquier vector (que representa un estado) podıaexpresarse como combinacion lineal (posiblemente infinita) de autovectoresde un observable dado. La identificacion de operadores con esta propiedades parte de la teorıa espectral de Hilbert-Schmidt, la cual solo proporcio-

346

na una respuesta parcial: los operadores hermıticos que son completamentecontinuos tienen un conjunto completo de autovalores.

El teorema no da respuesta al esquema de Dirac pues los operadores enMecanica Cuantica normalmente no son completamente continuos. La ma-yorıa de los operadores importantes en fısica involucran la diferenciacion.El teorema de integracion por partes prueba que el operador diferencial esesencialmente simetrico. Pero la derivada de una funcion practicamente notiene relacion con la magnitud de la funcion, por tanto la diferencial no escontinua ni acotada, ni siquiera esta definida en todo punto. De hecho, comoprobaron Hellinger y Toeplitz en 1910, si un operador simetrico o hermıticoestuviera definido en todo punto, debıa estar acotado. Este sorprendentehecho afirma que un candidato al teorema espectral que no sea acotado, nopuede estar definido en todo punto.

P. Dirac intento soslayar el comportamiento excepcional del operador dife-rencial introduciendo su funcion δ para definir derivadas donde no existeny ası ampliar el conjunto de funciones en donde se pueda aplicar dichooperador. Aunque este enfoque pudo explicar con exito la nueva mecanicacuantica, en aquella epoca represento mas bien una alternativa al teoremaespectral que una extension del mismo y realmente no ayudo a extender lateorıa de Hilbert a operadores no acotados.

6. TEORIA ESPECTRAL DE VON NEUMANN Y STONE.

Desde Hilbert, el unico estudio importante sobre los operadores no acotadosfue el publicado por T. Carleman en 1923, donde se probo que muchos delos resultados de Fredholm y Hilbert son ciertos bajo un tipo mas debil dehipotesis de acotacion. Desde el punto de vista de la teorıa espectral, lamayor contribucion se debio a J. von Neumann, quien introdujo en 1927 elconcepto abstracto de operador lineal en un espacio de Hilbert, expreso lateorıa de operadores de la Mecanica Cuantica en terminos de operadores enun espacio de Hilbert y reconocio explıcitamente la necesidad de extender lateorıa espectral de operadores hermıticos al caso no acotado, extension queobtuvo en 1929.

1) El primer paso en la teorıa de von Neumann fue definir axiomaticamen-te el espacio de Hilbert abstracto como un espacio en el que se define unproducto interior, que es completo y separable. Entonces definio un ope-rador lineal T sobre un espacio de Hilbert abstracto H, cuyo dominio DT

se supone generalmente denso en H. De este modo, los operadores linealescomprenden a las matrices y las formas cuadraticas de la teorıa de Hilbert

347

y las transformaciones de la mecanica cuantica.

Un operador lineal es continuo si y solo si es acotado, y un operador linealacotado con dominio denso puede extenderse unıvocamente a un operadorlineal acotado definido en todo H. Todo operador lineal T con dominio densotiene un unico adjunto T ∗ definido por la relacion

〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉, ∀x ∈ DT ,

y cuyo dominio es el conjunto de y ∈ H para los que se cumple la relacionanterior. Un operador T es autoadjunto si T = T ∗ y simetrico si T ∗ esextension de T (los operadores autoadjuntos eran llamados hipermaximalespor von Neumann).

2) En los operadores lineales acotados (definidos en todo H o que puedenextenderse para que lo esten) coinciden los conceptos de operador simetricoy autoadjunto. El teorema de Hellinger-Toeplitz puede extenderse a los ope-radores de von Neumann con lo que se prueba que todo operador simetricodefinido en todo H debe estar acotado (resultado muy relacionado con elteorema del grafico cerrado de S. Banach publicado en 1932). Hay ası trestipos de operadores simetricos en la teorıa de von Neumann:

- Acotados, autoadjuntos y definidos en todo el espacio.

- No acotados, autoadjuntos y densamente definidos.

- No acotados, no autoadjuntos y densamente definidos.

La teorıa original de Hilbert se aplicaba a los primeros y el teorema espectralde von Neumann incluıa tambien a los segundos. Esta teorıa fue desarrolladapor Riesz en 1930 y mas extensivamente por M. Stone en 1932. Los esfuerzoscombinados de von Neumann y Stone en el perıodo 1927-1932 proporciona-ron la mayor coleccion de nuevos metodos para la teorıa espectral desde eltrabajo de Hilbert durante el perıodo 1901-1906.

3) Del teorema espectral de Hilbert para un operador lineal simetrico aco-tado,

T =∑

λ∈σp(T )

λPλ +∫

λ∈σc(T )λdEλ,

al escribir la primera suma como integral de Stieltjes y combinarla con lasegunda integral, se obtiene la forma compacta T =

∫λ∈σ(T ) λdEλ sobre todo

el espectro. Los operadores Eλ son proyecciones con las siguientes propieda-des:

i) Si λ < µ, el rango de Eλ esta contenido en el rango de Eµ.

ii) Eλ+ε → Eλ cuando ε → 0+.

iii) Eλ → 0 si λ → −∞.

348

iv) Eλ → I si λ → +∞.

Stone llamo a dicha familia resolucion de la identidad. En forma intuitiva,se requiere que la funcion λ 7→ Eλ sea creciente, continua por la derecha,con 0 e I como valores lımites a la izquierda y derecha.

La extension de von Neumann-Stone del teorema espectral al caso no aco-tado se enuncia del siguiente modo:

Teorema. A todo operador autoadjunto T definido en un espacio de HilbertH le corresponde una unica resolucion de la identidad Eλ tal que T =∫σ(T ) λdEλ. (El espectro ahora no tiene porque ser acotado.)

Hagamos un esbozo de la demostracion en el caso acotado:

El primer paso consiste en encontrar una familia Mλλ∈R de subespaciosde H con las siguientes propiedades:

i) λ < −‖T‖ =⇒ Mλ = 0, λ > ‖T‖ =⇒ Mλ = H.

ii) λ ≤ µ =⇒ Mλ ⊂ Mµ.

iii) x ∈ Mλ =⇒ Tx ∈ Mλ.

Si llamamos Eλ a la proyeccion sobre Mλ, la familia Eλλ∈R es una resolu-cion de la identidad.

El siguiente paso es considerar cualquier particion de (−‖T‖, ‖T‖) o, masgeneralmente, una sucesion λ0 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λn tales que λ0 < −‖T‖,λn > ‖T‖. Denotamos por ∆i a la diferencia λi − λi−1 y E∆i a Eλi

−Eλi−1.

Se prueba entonces:

i) ∀x, y ∈ H, 〈E∆ix,E∆jy〉 = 0 si i 6= j.

ii) Como I =∑n

i=1 E∆i , todo x ∈ H tiene la descomposicion x =∑n

i=1 xi,con xi = E∆ix. Entonces ‖x‖2 =

∑ni=1 ‖xi‖2. Ademas:

iii) Si λ′i es cualquier numero entre λi−1 y λi, entonces

‖Txi − λ′ixi‖ ≤ ∆i‖xi‖.

A continuacion se prueba que T puede aproximarse en norma por sumas del

tipon∑

i=1λ′iE∆i , es decir que para cualquier ε > 0, se tiene

‖T −n∑

i=1

λ′iE∆i‖ < ε, si λ′i ∈ (λi−1, λi), max(λi − λi−1) ≤ ε,

desigualdad que, al interpretarse como aproximacion mediante sumas deRiemann, da lugar a la integral

∫ βα λdEλ, con α < −‖T‖, β > ‖T‖.

349

El recıproco es consecuencia directa del hecho de que toda suma del tipon∑

i=1λ′iE∆i es simetrica y el lımite (en norma) de operadores simetricos es

simetrico.

Veremos por ultimo como se construyen los subespacios Mλ en el caso deque el operador sea completamente continuo:

Dado λ ∈ R arbitrario, si Mi representa el autoespacio correspondiente alautovalor λi, definimos Mλ como el menor subespacio cerrado que incluyea todos los Mi, con λi < λ. La sucesion Mλ es constante hasta que λ pasepor un autovalor, en cuyo caso se le anade el subespacio finito-dimensionalde los autovectores asociados a dicho autovalor.

A pesar de la fuerza del teorema, no cubre a muchos operadores diferen-ciales pues raramente son autoadjuntos. Por ejemplo, para que T = d/dtsea simetrico con DT = L2[0, 1], debemos hacer DT = f continuamentediferenciable tal que f(0) = f(1) = 0, pero este dominio es demasiadopequeno para que T sea autoadjunto, y al agrandar el dominio se corre elriesgo de perder simetrıa. Esto mismo le sucede al tercer tipo de operadorescitado antes. Para aplicar su teorema espectral a operadores simetricos, vonNeumann tuvo que saber que tipos de operadores simetricos admiten exten-siones autoadjuntas (es facil deducir que, si T es simetrico y S es extensionsimetrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S∗ ⊂ T ∗, es decir, toda extension simetri-ca de T es restriccion de T ∗). En 1929, el y Wintner identificaron una granclase de tales operadores, los operadores semiacotados, para los que existeuna constante M > 0 tal que

〈Tx, x〉 ≤ M‖x‖, ∀x ∈ DT o −M‖x‖ ≤ 〈Tx, x〉, ∀x ∈ DT .

Stone (1932) y Friedrichs (1934) probaron que todo operador simetrico se-miacotado puede extenderse a un operador autoadjunto semiacotado con lamisma cota.

Mientras que la teorıa espectral de Hilbert y de von Neumann-Stone esta en-focada a operadores con espectro real, tambien el teorema espectral se aplicaa operadores con espectro mas general. El caso mas simple corresponde alos operadores isometricos, que dejan invariante el producto interior; su es-pectro esta contenido en el cırculo unidad. Un operador isometrico sobrese dice unitario y esta caracterizado por el hecho de que su adjunto es suinverso.

Los operadores unitarios fueron introducidos por L. Autonne en 1902 y estu-diados por I. Schur en 1909. En 1929, von Neumann utilizo la transformadade Cayley C : T 7→ (T − iI)(T + iI)−1 para aplicar operadores simetricosen operadores isometricos y probo que T es autoadjunto si y solo si C(T ) es

350

unitario. Ası el teorema espectral de operadores unitarios se sigue del corres-pondiente para operadores autoadjuntos usando una integral espectral sobreel cırculo unidad en vez de sobre la recta real.

Como todo operador lineal acotado T puede descomponerse en forma T =A+ iB con A y B acotados y autoadjuntos, en concreto A = (1/2)(T +T ∗),B = (1/2i)(T − T ∗), pareciera que el teorema espectral puede extenderse atodos los operadores lineales acotados usando esta descomposicion. Sin em-bargo, hace falta que A y B conmuten (lo que equivale a que TT ∗ = T ∗T ),de modo que la extension deseada solo funciona para los operadores queconmutan con su adjunto, a los que Toeplitz llamo normales en 1918. Toe-plitz extendio el teorema espectral de Hilbert a formas cuadraticas normalescompletamente continuas probando que eran unitariamente equivalentes auna forma diagonal. En general, la resolucion espectral

T =∫

σ(T )λdEλ

se extiende a operadores normales acotados, donde σ(T ) es un conjuntocompacto en C contenido en el disco cerrado B(0, ‖T‖). Tanto las defini-ciones como la teorıa espectral de operadores normales no acotados fueronextendidas por von Neumann (1930) y Stone (1932).

Despues del largo camino recorrido por el teorema de los ejes principales, es-tamos mas cerca del Analisis que de la Geometrıa. El contenido geometricodel teorema espectral en dimension finita es que el espacio se puede escri-bir como suma directa de subespacios donde la transformacion actua comouna simple multiplicacion. Pero este enunciado falla en dimension infinita encuanto hace aparicion el espectro continuo. En 1938 von Neumann resucito elteorema espectral geometrico definiendo una integral directa de espacios deHilbert (en completa analogıa con la suma directa). Probo entonces que laaccion de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert podıa represen-tarse como el efecto acumulado de multiplicaciones sobre ciertos subespacioscuya integral directa era unitariamente equivalente al espacio original.

7. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK.

Si H es un espacio de Hilbert, el conjunto L(H) = T : H → H : T linealy acotado forma un anillo normado; tales anillos, y las distintas topologıassobre ellos definidas, fueron ampliamente estudiados por von Neumann y F.Murray, en el perıodo 1936-40. Los trabajos de 1941 y 1943 de I. Gelfand,M. Naimark y G. Shilov constituyeron una teorıa de anillos normados que

351

incluıa los anillos de operadores de von Neumann y Murray y que propor-ciono un contexto general para el estudio de las transformadas de Fourier yel analisis armonico.

El nombre de algebra de Banach se da actualmente a toda algebra normadacompleta (sobre C) que verifique la desigualdad ‖xy‖ ≤ ‖x‖ · ‖y‖ (es decir,el producto es continuo), y donde se supone la existencia de un elementoidentidad e, tal que xe = ex = x y ‖e‖ = 1. Ejemplos de algebras deBanach son el espacio L(H) y el espacio de las funciones continuas convalores complejos sobre un espacio topologico compacto X con la norma delsupremo. La relacion entre estos dos ejemplos es la parte de la teorıa dealgebras de Banach que se dedica a la teorıa espectral.

La teorıa de Gelfand sobre algebras de Banach conmutativas depende detres conceptos fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximalesy espectros. Un homomorfismo complejo es un funcional lineal multiplicativono nulo. En completa analogıa con la teorıa espectral en espacios de Hilbert,Gelfand define el espectro σ(x) de un elemento x ∈ B como el conjuntoλ ∈ C : x − λe no tiene inverso. De estas definiciones se deducen lassiguientes propiedades:

Proposicion. Sea B un algebra de Banach conmutativa y MB el conjuntode homomorfismos complejos de B.

a) f ∈ MB =⇒ N(f) es ideal maximal.

b) K ⊂ B ideal maximal =⇒ ∃f ∈ MB : K = N(f) y dim B/K = 1.

c) x ∈ B es inversible ⇐⇒ f(x) 6= 0, ∀f ∈ MB.

d) x ∈ B es inversible ⇐⇒ x 6∈ I, ∀I ideal propio de B.

e) σ(x) es compacto, no vacıo y σ(x) ⊂ B(0, ‖x‖).

f) σ(x) = h(x) : h ∈ MB.

Por esta razon, el espacio MB a menudo se llama espectro de B.

El conjunto MB de homomorfismos complejos de un algebra conmutativaB (o equivalentemente de ideales maximales) es la topologıa mas debil conrespecto a la cual las funciones x : MB → C definidas por x(h) = h(x) soncontinuas, ∀x ∈ B. Es evidente pues que x : x ∈ MB ⊂ C(MB). Entoncesel espacio topologico MB es compacto y Hausdorff y cada elemento x ∈ B serepresenta en C(MB) por su transformada de Gelfand x. Se prueba ademasque el rango de x es σ(x), por lo que ‖x‖∞ ≤ ‖x‖. Ademas ‖x‖∞ = ‖x‖ (esdecir, la transformada de Gelfand es una isometrıa) si y solo si ‖x‖2 = ‖x2‖,∀x ∈ B.

En 1943, Gelfand y Naimark probaron que el algebra de Banach conmutativaC(MB) se caracteriza por la presencia de una involucion, ∗ : f 7→ f (la

352

conjugacion compleja). En general, una involucion en un algebra B es unaaplicacion ∗ : B → B que verifica:

i) (x + y)∗ = x∗ + y∗.

ii) (λx)∗ = λx∗.

iii) (xy)∗ = y∗x∗.

iv) x∗∗ = x.

Probaron incluso que toda algebra de Banach conmutativa con una invo-lucion que satisfaga ‖xx∗‖ = ‖x‖2, ∀x, (llamada C∗-algebra) es isomorfaisometricamente al algebra C(MB) de algun algebra de Banach B. En par-ticular, si B(T ) es la C∗-algebra conmutativa generada por un operadornormal acotado T , es isomorfa al algebra C(σ(T )).

Teorema. Sea A una C∗-algebra conmutativa con espacio de ideales maxi-males MA. Entonces la transformada de Gelfand es una isometrıa de A sobreC(MA), con la propiedad adicional de que (x∗)b = x (es decir, la transfor-mada de Gelfand traslada la involucion dada sobre A a la involucion naturalsobre C(MA)).

En particular, si B(T ) es la C∗-algebra conmutativa generada por un ope-rador normal acotado T , es isomorfa al algebra C(σ(T )).

Con respecto a la teorıa espectral, el teorema de Gelfand-Naimark es clave,pues permite deducir el teorema espectral de un operador normal acotadoT , traduciendo el teorema de aproximacion uniforme de una funcion f ∈C(σ(T )) por funciones escalonadas medibles de la forma

∑f(λi)χ∆i (∆i

conjunto medible). La traduccion de este teorema al algebra B(T ) (en elcaso particular de f(λ) = λ) es la resolucion espectral T =

∫λdEλ. La

teorıa de Gelfand sobre algebras de Banach revela por tanto que el teoremaespectral en algun sentido es equivalente al hecho mas rudimentario en teorıade funciones.

Incluso la teorıa de Gelfand lleva a un teorema espectral mas fuerte, puesse tiene que f(T ) =

∫f(λ)dEλ, para toda funcion continua f . Este formula

fue originalmente introducida por von Neumann y Stone como la base de sucalculo funcional.

Para finalizar, daremos algun detalle de la prueba del teorema espectral,utilizando estas ideas.

Si A es un algebra con una involucion, decimos que un subconjunto S ⊂ Aes normal cuando xy = yx, ∀x, y ∈ S y x∗ ∈ S, ∀x ∈ S.

Asociado al concepto de resolucion de la identidad, definimos una medidaespectral sobre la σ-algebra B(MA) de los conjuntos de Borel de MA, a unaaplicacion E : B(MA) → L(H) con las propiedades

353

i) E(∅) = 0, E(MA) = I.

ii) E(∆) es un proyector ortogonal.

iii) E(∆1 ∩∆2) = E(∆1)E(∆2).

iv) ∆1 ∩∆2 = ∅ =⇒ E(∆1 ∪∆2) = E(∆1) + E(∆2).

v) ∀x, y ∈ H, Ex,y(∆) = 〈E(∆)x, y〉 es una medida de Borel regular sobreB(MA).

Teorema. Sea A una subalgebra normal cerrada de L(H) que contiene laidentidad y MA el espacio de ideales maximales de A. Entonces existe unaunica medida espectral E sobre los conjuntos de Borel de MA tal que

T =∫

MA

T dE, ∀T ∈ A,

(T es la transformada de Gelfand de T ) donde la integral se interpreta como〈Tx, y〉 =

∫MA

T dEx,y.

Demostracion. Es claro que A es una C∗-algebra conmutativa. Por el teoremade Gelfand-Naimark, la aplicacion T 7→ T es un isomorfismo isometrico deA sobre C(MA).

- Unicidad de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicacion T 7→ 〈Tx, y〉 es un funcionallineal y acotado definido en todo C(MA), el cual determina unıvocamentela medida Ex,y por la formula

〈Tx, y〉 =∫

MA

T dEx,y (teorema de representacion de Riesz).

Por definicion, 〈E(∆)x, y〉 = Ex,y(∆), lo que determina unıvocamente laproyeccion E(∆), para cada ∆.

- Existencia de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicacion βx,y : C(MA) → C de-finida por βx,y(T ) = 〈Tx, y〉 es un funcional lineal acotado (por el teorema deGelfand-Naimark), tal que ‖βx,y‖ ≤ ‖x‖ · ‖y‖, pues ‖T‖∞ = ‖T‖. Por el teorema derepresentacion de Riesz, existe una medida compleja de Borel regular µx,y so-bre MA tal que 〈Tx, y〉 =

∫MA

T dµx,y. Dicha medida verifica ademas:

(1) µαx1+βx2,y = αµx1,y + βµx2,y.

(2) µx,y = µy,x, pues cuando T es real, T es autoadjunto.

(3) ‖µx,y‖ = ‖βx,y‖.

Fijada ahora f de Borel y acotada en MA, la aplicacion βf : H × H →C definida por βf (x, y) =

∫MA

fdµx,y es una forma sesquilineal acotada.

354

Entonces (teorema de representacion de formas sesquilineales),

∃Φ(f) ∈ L(H) : 〈Φ(f)x, y〉 =∫

MA

fdµx,y, ∀x, y ∈ H.

Este operador verifica:

(4) Φ(T ) = T (Φ extiende a la inversa de la transformada de Gelfand).

(5) Φ(f) es autoadjunto si f es real.

(6) Φ(fg) = Φ(f)Φ(g), ∀f, g de Borel acotadas.

Si para cada ∆ de Borel en MA definimos E(∆) = Φ(1∆), se demuestratambien que:

(7) E(∆1∩∆2) = E(∆1)E(∆2); en particular, por (6), E(∆) es una proyec-cion.

(8) E(∆) es autoadjunto, por (5).

(9) E(∅) = 0, E(MA) = I, por (4).

(10) E(⋃n

i=1 ∆i) =∑n

i=1 E(∆i), si ∆i ∩∆j = ∅, i 6= j.

(11) 〈E(∆)x, y〉 = µx,y(∆).

En definitiva, E es la medida espectral buscada.

Particularizando lo anterior a un solo operador, resulta:

Teorema. Sea T ∈ L(H) un operador normal. Existe entonces una uni-ca medida espectral E definida sobre los conjuntos de Borel de σ(T ) talque

T =∫

σ(T )λdE(λ)

(descomposicion espectral de T ).

Demostracion. Sea A la mınima subalgebra cerrada de L(H) que contienea I, T y T ∗. Ası puede aplicarse el teorema anterior; sabemos tambien queσ(T ) puede identificarse con el espacio de ideales maximales de A.

Observacion. Para consultar mas detalles sobre este tema o completar al-guna informacion, pueden verse las referencias [GG], [Lor], [Ru], [Ste].

355

BIBLIOGRAFIA

[AG] Akhiezer, N. y Glazman, I. Theory of Linear Operators in HilbertSpace. Traduccion inglesa: Ungar, New York, 1961–1963.

[AKL] Alexandrov, A, Kolmogorov, A. y Laurentiev, M. La matemati-ca: su contenido, metodos y significado. Alianza Universidad, Madrid,1974.

[An] Ando, T. Linear Operators in Krein Spaces. Hokkaido University,Sapporo, 1979.

[BN] Bachman, G. y Narici, L. Functional Analysis. Academic Press, NewYork, 1966.

[Ba] Banach, S. Theorie des Operations Lineaires. Chelsea Publ. Comp.,New York, 1932.

[Be] Berberian, S. Lectures in Functional Analysis and Operator Theory.Springer Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1974.

[Bog] Bognar, J. Indefinite Inner Product Spaces. Springer Verlag, NewYork-Heidelberg-Berlin, 1974.

[Bou1] Bourbaki, N. Elements de Mathematique, V. Hermann, Paris,1955.

[Bou2] Bourbaki, N. Elementos de historia de las matematicas. AlianzaUniversidad, Madrid, 1969.

[Br] Brezis, H. Analyse fonctionnelle. Theorie et applications. Masson,Paris, 1983.

[BP] Brown, A. y Page, A. Elements of Functional Analysis. Van Nos-trand Reinhold, London, 1970.

357

[Co] Conway, J. A Course in Functional Analysis. Springer Verlag, NewYork-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985.

[CC] Cotlar, M. y Cignoli, R. Nociones de espacios normados. EUDE-BA, Buenos Aires, 1971.

[Da] Davis, M. A first course in Functional Analysis. Gordon and Breach,New York, 1967.

[Di] Dieudonne, J. Abrege d’histoire des Mathematiques, II. Hermann,Paris, 1978.

[DS] Dunford, N. y Schwartz, J. Linear Operators, Vol. I, II. Interscience-Wiley, New York, 1957–1963.

[Ed] Edwards, R. Functional Analysis: Theory and Applications. Holt,Rinehart and Winston, New York, 1965.

[Fo] Folland, G. Fourier Analysis and its Applications. Wadsworth &Brooks, 1992.

[Fr] Friedrichs, K. Spectral Theory of Operators in Hilbert Space. Springer-Verlag, 1973.

[Fu] Fuhrmann, P. Linear systems and operators in Hilbert spaces. Mc-Graw-Hill, 1981.

[GG] Gohberg, I. y Goldberg, S. Basic Operator Theory. Birkhauser,Boston-Basel-Stuttgart, 1981.

[GGK] Gohberg, I., Goldberg, S. y Kaashoek, M. Classes of LinearOperators, vol. I. Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1990.

[Ha1] Halmos, P. Introduction to Hilbert Space and the Theory of SpectralMultiplicity. Chelsea, New York, 1951.

[Ha2] Halmos, P. A Hilbert Space Problem Book. Van Nostrand, Princeton,1967.

[He] Helmberg, G. An Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space.North Holland, Amsterdam, 1969.

[HP] Hille, E. y Phillips, R. Functional Analysis and Semigroups. AMSColloquium Publications, vol. XXXI, New York, 1957.

[KG] Kirillov, A. y Gvishiani, A. Theorems and Problems in FunctionalAnalysis. Springer-Verlag, New York, 1982.

[KF] Kolmogorov, A. y Fomin, S. Elementos de la Teorıa de Funcionesy del Analisis Funcional. MIR, Moscu, 1978.

358

[Kr] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. JohnWiley and Sons, New York, 1978.

[La] Larsen, R. Functional Analysis. Dekker, New York, 1973.

[Loo] Loomis, L. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. VanNostrand, Princeton, 1953.

[Lor] Lorch, E. The Spectral Theorem. MAA Studies in Math. 1, Studiesin Modern Analysis (1962), 88–137.

[LS] Lusternik, L. y Sobolev, V. Precis d’analyse fonctionelle. MIR, Mos-cou, 1989.

[Na] Naimark, M. Normed Rings. Noordhoff, Groningen, 1964.

[Ne] von Neumann, J. Les Fondements Mathematiques de la MecaniqueQuantique. Editions Jacques Gabay, 1988 (reimpresion de la traduc-cion francesa publicada en 1946).

[Pr] Pryce, J. Basic Methods of Linear Functional Analysis. HutchinsonUniv. Library, London, 1973.

[RS] Reed, M. y Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics, I:Functional Analysis; IV: Analysis of Operators. Academic Press, NewYork, 1972–1978.

[RN] Riesz, F. y Nagy, B.Sz. Lecons d’Analyse Fonctionelle. AkademiaiKiado, Budapest, 1952. Apendice Extensions of Linear Transforma-tions in Hilbert space which extend beyond this space, publicado sepa-radamente por Ungar, 1960.

[Ro] Royden, H. Real Analysis. Macmillan, Basingstoke, England, 1988.

[Ru] Rudin, W. Functional Analysis. McGraw-Hill, New York, 1973.

[Sc] Schechter, M. Principles of Functional Analysis. Academic Press,New York, 1971.

[So] Soule, J. Linear Operators in Hilbert Space. Gordon and Breach, NewYork, 1968.

[Ste] Steen, L. Highlights in the History of Spectral Theory. Amer. Math.Montly 80 (1973) , 359–381.

[Sto] Stone, M. Linear Transformations in Hilbert Space and their Ap-plications to Analysis. Colloquium Publications, vol. XV, AMS, NewYork, 1932.

[Ta] Taylor, A. Introduction to Functional Analysis. John Wiley and Sons,New York, 1958.

359

[TPS] Trenoguine, V., Pissarevski, B. y Soboleva, T. Problemes et exer-cices d’analyse fonctionelle. MIR, Moscou, 1987.

[Vi] Vilenkin, N. et al. Functional Analysis. Wolters-Noordhoff Publishing,Groningen, 1972.

[Vu] Vulikh, B. Introduction to Functional Analysis. Pergamon Press, Ox-ford, 1963.

[Yos] Yosida, K. Functional Analysis. 3rd. ed. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1971.

[You] Young, N. An Introduction to Hilbert Space. Cambridge University,1988.

360