Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero. Menú Principal Variación de Funciones Integral...

Análisis Matemático I

Ing. Antonio Crivillero

Menú Principal

Variación de Funciones

Integral Definida – Aplicaciones Geométricas y Físicas

Sucesiones y Series

Introducción

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Introducción

PROBLEMA DEL MUNDO REAL

MODELOFÍSICO

CONCLUSIONESMATEMÁTICAS

INTERPRETACIÓNFÍSICA

PREDICCIONESACERCA DELMUNDO REAL

formular

formular

resolver

poner a prueba

DEPENDENCIAS RELACIONES

VARIABLES

HIPÓTESIS

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Variación de FuncionesMenú

Principal

Determinación de Extremos Locales

Máximos y Mínimos Locales

Determinación de Extremos Absolutos

Concavidad y Convexidad – Puntos de Inflexión

Asíntotas Lineales a Curvas Planas

Estudio Completo de una Función Explícita

Aplicaciones

Máximos Locales

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Definición:

Menú Funciones

Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo:

El valor f (c) es un valor máximo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican

:f fdomA

)()( cfxf cEAx

“c” se denomina punto de máximo local o relativo

cxxEcdonde

)(cf

)(xf

c

)(cf

)(xf

c

Siguiente

Mínimos Locales

Menú Principal

Definición:

Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo:

El valor f (c) es un valor mínimo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican

:f fdomA

)()( cfxf cEAx

“c” se denomina punto de mínimo local o relativo

cxxEcdonde

)(cf

)(xf

c

)(cf

)(xf

c

Siguiente

Menú Funciones

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Puntos Críticos

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Definición:

El punto “c” interior del es un punto crítico de primera especie de la función f si y solo si “c” verifica una cualquiera de las siguientes condiciones:

fdom

a) f es derivable en “c”, siendo f ’(c) = 0

Siguiente

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b) f no tiene derivada primera finita en c, es decir, f ’ (c) no existe, pero f está definida en c

Determinación de Extremos Locales:Condición Necesaria

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Teorema: Condición Necesaria para la Existencia de Extremos Locales

Sea f una función definida en un conjunto A, y sea “c” un punto interior de A tal que f es derivable en “c” (con derivada finita):

si “c” es un punto extremo local de f entonces f ’ (c) = 0

Si la función f tiene un extremo local en “c” “c” es PUNTO CRÍTICO de f

Demostración (para “c” punto máximo local):

Por ser “c” un punto interior de A y, además, f (c) un valor MÁXIMO

LOCAL de f, existe siempre un entorno de centro c, Ec, tal que:

)()( cfxf cEAx 0)()( cfxf

Siguiente

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Determinación de Extremos Locales:Condición Necesaria (cont.)

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tomando límites laterales

de (1) y (2) para x Yc

se tiene:

si 0)()(

0

cx

cfxfcxcx (1)

si 0)()(

0

cx

cfxfcxcx (2)

0)()(

lim

cx

cfxfcx

0' cf

0)()(

lim

cx

cfxfcx

0' cf

La existencia de la derivada en el punto c (formulada en la hipótesis) exige la igualdad de las derivadas laterales, es decir:

cfcfcf '''

00 ''' cfcfcf 0' cf

)(cf

)(xf

c

0)(' cf

Siguiente

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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 1ª

Menú Principal

Teorema de la Derivada Primera:

Si “c” es un punto crítico de f y si existe un intervalo [a,b] con c X (a,b) tal que f es continua sobre [a,b] y

Siguiente

1) 0' xf ),( cax 0' xf ),( bcx

f tiene un máximo relativo en “c”

2) ),( cax 0' xf 0' xf ),( bcx

f tiene un mínimo relativo en “c”

3) 0' xf ),( cax

f no tiene ni máximo ni mínimo relativo en “c”

),( bcx 0' xf

0' xf ),( cax),( bcx 0' xf

ó

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Demostración (1):

Siguiente

)(cf

ca bx x

0' xf ),( caxComo para , f es no decreciente sobre [a,c], entonces

cfxf ),( cax

0' xf ),( bcxComo para , f es no creciente sobre [c,b], entonces

cfxf ),( bcx

cfxf bax , , f tiene un máximo relativo en “c”


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Menú Principal

Demostración (2):

Siguiente

)(cf

ca bx x

0' xf ),( caxComo para , f es no creciente sobre [a,c], entonces

cfxf ),( cax

0' xf ),( bcxComo para , f es no decreciente sobre [c,b], entonces

cfxf ),( bcx

cfxf bax , , f tiene un mínimo relativo en “c”


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Demostración (3):

Siguiente

0' xf ),( caxSi para f es estrictamente creciente en [a,c]


y 0' xf ),( bcxsi para f es estrictamente creciente en [c,b]

xf es estrictamente creciente en [a,b]

Análogamente,

0' xfsi a ambos lados de “c” xf es estrictamente decreciente en [a,b]

En cualquiera de los casos, f no tiene ni un máximo ni un

mínimo relativo en “c”.

)(cf

c b

a)(cf

c

b

a

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Teorema de la Derivada Segunda:

(se aplica únicamente en puntos críticos “c” de primera especie con existencia de derivada primera en “c”: f ’ (c) =

0)

Siguiente

Si una función f(x) es dos veces derivable en un punto “c”, siendo f ’(c) = 0 (pto. crítico de 1ª especie), y f ’’(c)K0, se verifica

1) si 0'' xf f tiene un máximo relativo en “c”

2) si 0'' xf f tiene un mínimo relativo en “c”

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Siguiente

Demostración (1):

0lim

''''

cx

cfxfcf cxSi

0lim'

''

cx

xfcf cx

y

por el Teorema de la conservación del signo de los límites finitos,

''cc ExE se verifica:

0'

cx

xf

0 cxsi cx 0' xf

0 cxsi cx 0' xf

por el Teorema del cambio de signo de la derivada primera de positiva a negativa, resulta que f(x) tiene un máximo

relativo en “c”.Demostración (2): Se demuestra en forma análoga.

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Siguiente

Ejemplo 1:

xxf

f tiene un punto crítico en x = 0 ;como no existe f ’(0) no podemos aplicar el Teorema de la

Derivada 2ª.

Sin embargo, usando el Teorema de la Derivada 1ªencontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0

0x

y

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Siguiente

f tiene un punto crítico en x = 0 , pero como no existe f ’’(0)nuevamente no podemos aplicar el Teorema de la Derivada 2ª.

Por el Teorema de la Derivada 1ªencontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0

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Ejemplo 2:

34xxf

0x

y


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El Teorema de la Derivada 2ª se puede generalizar a los casos de funciones f cuyas (n-1) primeras derivadas en “c” son iguales a cero.

0cf nSi , siendo n número par xf tiene un extremo relativo en “c”:

0cf nSi xf tiene un mínimo relativo en “c”

0cf nSi xf tiene un máximo relativo en “c”

(Su demostración requiere conocer la fórmula de Taylor)

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Siguiente


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Ejemplo 1:

3'

4

4xxf

xxf

0' cf

0

04 3

c

c

24024

0024

0012''''''

''2''

IVIV fxf

fxxf

fxxf

0 xf tiene un mínimo en x=0

Menú Funciones

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Siguiente

0x

y 4xxf


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2'

3

3xxf

xxf

0' cf

0

03 2

c

c

606

006''''''

''''

fxf

fxxf

0 n = 3 (impar) no tiene ni máximo ni mínimo

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Ejemplo 2:

0 x

y 3xxf

Concavidad y Convexidad

Menú PrincipalMenú Funciones

Siguiente

0

x

y

a x1

x2 b

P1

P2

x

P

Q

xfy

211 xtxtx

2121 )1( , )1( xtxtfxtxtP

121 xtxtxx

1,0 121 ttxxxx



Siguiente

Tomemos dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b].

Sea P1 = ( x1, f(x1) ) y P2 = ( x2, f(x2) )

El segmento rectilíneo que une P1 y P2, abierto, puede escribirse:

)1,0( )( 121 tPPtPQ

)1,0( 121 tPtPtPQ

)1,0( )1( 21 tPtPtQ

)1,0( )( , )( , )1( 2211 txfxtxfxtQ

)1,0( )( t, )()1( , )1( 2211 txfxtxftxtQ

)1,0( )(t)()1( , )1( 2121 txfxftxtxtQ

)(t)()1( , )1( 2121 xfxftxtxtQ

Anterior

0

x

y

a x1 x2

P1

P2

x

P

Q

xfy

b



Definición:

Una función es CONVEXA (cóncava hacia arriba) sobre el intervalo [a,b] si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b] se cumple que:

)()()1( )1( 2121 xftxftxtxtf

Si cambiamos “≤” por “≥” tenemos la definición de una función CÓNCAVA hacia abajo.

P sobre la gráfica de f en cualquier punto entre x1 y x2 se encuentra bajo el correspondiente Q.

Siguiente

Anterior

Concavidad y Convexidad- Teorema -


Teorema:

Siguiente

Anterior

fbaxxf , 0'' 1 ) Si es CONVEXA sobre (a,b)

fbaxxf , 0'' 2 ) Si es CÓNCAVA sobre (a,b)

Demostración:

21)1( xtxt 0

x

y

a x1 x2 b

P1

P2

P

Q

xfy

c1 c2

1) Tómense dos puntos cualesquiera x1 , x2 en (a,b) / x1 ‹ x2

Sean P1 = (x1 , f (x1)) y P2 = (x2 , f (x2))

tomamos un número cualquiera entre x1

y x2: 21)1( xtxt , donde 1,0t



Siguiente

Anterior

Según el Teorema del Valor Medio existen puntos

2111 )1( , xtxtxc y 2212 , )1( xxtxtc

1

121

121 ')1(

)1(cf

xxtxt

xfxtxtf

2

212

212 ')1(

)1(cf

xtxtx

xtxtfxf

21)1( xtxt 0

x

y

a x1 x2 b

P1

P2

P

Q

xfy

c1 c2



Las condiciones para el Teorema del Valor Medio se verifican en los intervalos

Siguiente

Anterior

211 )1( , xtxtx 221 , )1( xxtxt y

ya que f ’’ (x) existe 21, xxx , como f ’’ (x) › 0 21, xxx ,

)(' )(' 21 cfcf

f ’ (x) es CRECIENTE sobre [x1 , x2]

121

121

)1(

)1(

xxtxt

xfxtxtf

212

212

)1(

)1(

xtxtx

xtxtfxf

12

1211

xxt

xxtxtx

12

1212

2112

2112

1 xxt

xxtxx

xtxtxx

xtxtxx

12

121)1(

xxt

xfxtxtf

12

212

1

)1(

xxt

xtxtfxf



Siguiente

Anterior

t

xfxtxtf 121)1( t

xtxtfxf

1

)1( 212

121)1(1 xfxtxtft 212 )1( xtxtfxft

121 1)1(1 xftxtxtft 212 )1( xtxtftxft

112121 )1()1( xftxfxtxtftxtxtf

212 )1( xtxtftxft

121 1)1( xftxtxtf 2xft

2121 1 )1( xftxftxtxtf

de modo que, si f ’’ › 0 , la función f es CONVEXA sobre (a,b) bax ,



Anterior

2)Si 0'' xf

0'''' xfxf

2121 )1( )1( xftxftxtxtf

la función f es CÓNCAVA sobre (a,b)

2121 )1( )1( xftxftxtxtf

Asíntotas


Siguiente

Definición:

Dada la recta L es una ASÍNTOTA VERTICAL del gráfico de f si

, cxyycL

xfcxlim

x = c

xfy

Definición:

Dada la recta L es una ASÍNTOTA OBLICUA del gráfico de f si cuando la variable crece (o decrece) indefinidamente, la distancia entre los puntos

(x,y) X L y (x , f(x)) X f tiende a cero

, bxayyxL

0

y

x

0lim

0lim

bxaxf

bxaxf

x

x

Asíntotas


Si es asíntota

al gráfico de f tenemos

bxayyxL ,

y = a · x + b

xfy

y

x

Anterior

0lim bxaxfx

lim0

limlim

ax

xf

x

xaxf

x

b

x

xx

xaxfb x lim

lim

x

xfa x

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