Analisis Matricial con matrices

7/21/2019 Analisis Matricial con matrices

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MARCOS

Los marcos son de las estructuras ms utilizadas en ingeniera civil, sobre todo

en edificacin. Su uso ms extendido es en la estructuracin de edificios de distinta

ndole, aunque tambin existen aplicaciones en naves industriales y puentes, entre

muchas otras.

Los elementos que componen a un marco se clasifican en dos grupos

principalmente:

a) vigas, que son los elementos horizontales del marco y que trabajan

esencialmente a flexin y cortante.

b) Columnas, que trabajan principalmente a flexin, carga axial y cortante.Tanto en vigas como en columnas pueden presentarse efectos de torsin, y en

muchas ocasiones este efecto no es despreciable y debe tomarse en cuenta tanto en

el anlisis como en el diseo.

ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.


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ELEMENTO TIPO VIGA-COLUMNA PRISMTICOS

Los elementos viga-columna que se presenta a continuacin se supone que stos

son prismticos, rectilneos y que. Adems, son capaces de resistir el siguiente tipode acciones:

1.- Para elementos bidimensionales, cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos

flexionantes en su plano principal de flexin, como se muestra en la figura 3.1. Para

el caso de vigas, las cargas y deformaciones axiales generalmente pueden

despreciarse, trabajando esencialmente a flexin y a cortante, como se muestra en la

figura 3.2.


1 2 21


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3

2.- Para elementos tridimensionales, cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos

flexionantes en los dos ejes principales de flexin con respecto a su seccin

transversal y momentos torsionantes alrededor de su eje centroidal como se

presenta en la figura 3.3.


Ubicacin y direccin positiva de lasfuerzas actuantes, tambin se indicala direccin positiva de losdesplazamientos asociados a dichasfuerzas.


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4ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.


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La posicin y el sentido del elemento tridimensional en el espacio se define con base

en las coordenadas del extremo 1 del elemento (extremo de partida) y por los cosenos

directores con respecto a los ejes z (que define la direccin del extremo a al extremo

2) y , calculados ambos con respecto a un sistema global de referencia, el cual serequiere para definir las direcciones de los ejes principales de la seccin transversal

del elemento.

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2


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FUERZAS AXIALES

La ecuacin diferencial para el desplazamiento axial ude la viga prismtica que

se muestra en la figura 3.4a es:



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de la figura 3.4(a) tenemos:


1dz = -du *EA

1 =

1* z = -u* E*A + 1 (3.8)

Aplicando condiciones de borde tenemos lo siguiente:Cuando z = 0, tenemos que 1= C/(E*A)

Cuando z = L, tenemos que 2= 0, ya que se fija ese extremo, tenemos que:

1* L = 0 +1

1* L =1 (3.9)


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reemplazando 3.9 en 3.8 cuando z = 0 se obtiene lo siguiente:


1= E*A/L *1 ..(3.10)

A partir de las ecuacin de equilibrio axial en la direccin z se obtiene la

reaccin:

1= -2 ..(3.11)

La interpretacin algebraica de las relaciones fuerza-desplazamiento (F=k*u) se

utiliza para la obtencin de los coeficientes. En esenciarepresenta a la fuerza

Fi del elemento asociada a un desplazamiento unitario uj cuando todos los dems

desplazamientos son iguales a cero (es decir, estn restringidos). Por lo tanto:


10/20010


Similarmente, a partir de la figura 3.4b, si hacemos1= 0 (lo restringimos de

movimiento) y permitimos que 2 0, a partir de relaciones de simetra o

resolviendo para utenemos que los coeficientes de rigidez axial faltantes son:

MOMENTOS TORSIONANTES

La ecuacin diferencial para un giro torzal(figura 3.5a) en la viga es:


11/20011


donde GJ es la rigidez torsional de la seccin transversal de la viga. Integrando la

ecuacin 3.16 se tiene lo siguiente:

resolviendo por condiciones de frontera = 0 para z = L, encontramos el valorde la constante de integracin C1:

resolviendo por condiciones de frontera = 1 para z = 0, se obtiene de lasecuaciones 3.17 y 3.18 que el momento aplicado es:


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a partir de las ecuaciones de equilibrio para momentos torsionantes, se obtiene

que:

Por lo tanto, los coeficientes de rigidez a torsin son:

De forma similar con la figura 3.5 b, si hacemos 1= 0 y2 0, a partir de

relaciones de simetra o resolviendo paratenemos que los coeficientes de rigidez a

torsin faltante son:


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FUERZAS CORTANTES EN EL PLANO PRINCIPAL DE FLEXIN.

La deflexin lateral ven una viga sujeta a fuerzas cortantes y a los momentos

flexionantes asociados a stas (figura 3.6a), est dada por:

v =+ .. (3.25)

dondees la deflexin lateral debida a las deformaciones por flexin yes la

deflexin adicional debida a las deformaciones por cortante, de manera que:

donde representa el rea de la seccin transversal efectiva en cortante,

tambin conocida como rea de cortante. La deflexin de la viga debida a la flexin

que se muestra en la figura 3.6a se obtiene a partir de la siguiente ecuacin

diferencial:


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De la integracin de las ecuaciones 3.26 y 3.27 y su sustitucin en la ecuacin

3.25 se tiene que:


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donde1y2 son constantes de integracin. Considerando las condiciones de

borde de la figura 3.6a, se tiene que:

Por lo tanto, obteniendo el valor de las constantes a partir de resolver las

condiciones de borde, sustituyendo y reduciendo se obtiene, a partir de la ecuacin

3.28:


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16ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNIMsc Estructuras.

Las fuerzas restantes que actan sobre la viga se obtienen a partir de las

ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, la fuerza cortante y el momento flexionante

reactivos son:

Por otra parte, cuando z=0, entonces v=1, por lo que a partir de la ecuacin

3.31 se obtiene que el desplazamiento aplicado es:

A partir de las ecuaciones 3.32 a 3.36 podemos calcular los coeficientes de

rigidez asociados a la aplicacin del desplazamiento 1:


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17ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNIMsc Estructuras.

Similarmente, si se fija o empotra el extremo izquierdo de la viga (figura 3.6b)

entonces, utilizando la ecuacin diferencial para la deflexin de la viga o las

relaciones de simetra, se puede demostrar que los coeficientes de rigidez faltantes

son:


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MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO PRINCIPAL DE FLEXIN

Para definir los coeficientes de rigidez asociados a las rotaciones 1 y2, se

sujeta a la viga a los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes asociadas que se

muestran en las figuras 3.7a y 3.7b. Para las deflexiones se calculan a partir de la

ecuacin 3.28:


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Sin embargo, las constantes1 2deben evaluarse ahora para las condiciones

de frontera asociadas a las rotaciones impuestas, que se presentan en la figura 3.7.

Tomando las condiciones de frontera de la figura 3.7a :

Por lo tanto, obteniendo el valor de las constantes a partir de las condiciones de

frontera, sustituyendo en la ecuacin 3.45 y reduciendo se tiene:

adems, la fuerza cortante asociada es:


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Mediante las ecuaciones de equilibrio tenemos:

Sabemos que en z = 0, la condicin de frontera es:

de manera que la rotacin aplicada es:

definiendo los coeficientes de rigidez debido a la aplicacin de la rotacin o giro

1:


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Ahora, si la deflexin en el extremo izquierdo de la viga de la figura 3.7b es igual

a cero, es evidente, a partir de las relaciones de simetra, que los coeficientes de

rigidez restantes son:


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FUERZAS CORTANTE EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN

Los coeficientes de rigidez asociados con los desplazamientos 1 y2 se

obtienen utilizando un planteamiento anlogo al hecho previamente para las

fuerzas cortantes en el plano principal de flexin. Sin embargo, debe observarse que

con la convencin de signos adoptada para el elemento tridimensional (figura 3.3),

la direccin de los momentos flexionantes positivos en los planos yz yxz son

diferentes. En la figura 3.8, se muestra que la direccin positiva de los momentos

flexionantes 1y2es opuesta a la de los momentos1y2, por lo que es

evidente que los coeficientes de rigidez que relacionan a los momentos flexionantes

y las fuerzas cortantes entre uno y otro plano difieran en signo, es decir:


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Se debe observar que en la derivacin de las ecuaciones 3.63 a 3.70 las

deformaciones por cortante son representadas genricamente en funcin del

parmetro adimensional . Las deformaciones por cortante no son iguales en los

planos principal y secundario de flexin, salvo para el caso de secciones transversalesque tienen las mismas propiedades con respecto a ambos planos (por ejemplo

secciones circulares, anular, cuadrada y cajn cuadrado). Por lo tanto, cabe aclarar que

para una seccin transversal cualquiera, las deformaciones por cortante en el plano

principal de flexin deben calcularse, a partir de la ecuacin:

y para el plano secundario de flexin como:

MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN


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MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN

Los coeficientes de rigidez asociados a las rotaciones 1 y 2 se obtiene

tambin utilizando un planteamiento anlogo al hecho previamente para los

momentos flexionantes en el plano principal de flexin, pero tomando en cuenta

que la direccin de los momentos flexionantes positivos en los planosyzyxzson

diferentes, como se ilustra en la figura 3.8. Este cambio de direccin positiva en los

momentos origina que los coeficientes de rigidez que relacionan a los momentos

flexionantes y las fuerzas cortantes entre uno y otro plano, difieran en signo. Por lo

tanto, para este caso se tiene que los coeficientes de rigidez son:


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MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS VIGA COLUMNA


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MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNAPRISMTICOS EN COORDENADAS LOCALES

Toda vez que se han obtenido cada uno de los coeficientes de rigidez de cada

uno de los elementos tipo viga-columna que se presentaron en las figuras 3.1 a 3.3,falta definir la matriz de rigidez de cada uno de estos elementos en coordenadas

locales, [k]. Sabemos que el sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales

es de la forma:

donde {u} y {F} son los vectores de los desplazamientos (directos y por rotacin)

y de fuerzas (directas y momentos) del elemento en coordenadas locales. Si

tomamos en cuenta que cada elemento viga-columna se formula en funcin de los

desplazamientos que experimentan en sus nudos extremos (dos, nudos 1 y 2, figuras

3.1 a 3.8) podemos reescribir la ecuacin 3.81 como:


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donde {1} y {1} son los vectores de desplazamientos y fuerzas en coordenadas

locales del nodo 1 del elemento, {2} y {2} son los vectores de desplazamiento y

fuerzas en coordenadas locales del nodo 2 del elemento, y [11], [12], [21] y [22]

son las submatrices de rigidez del elemento en coordenadas locales, donde [11] y

[22

] contienen los coeficientes de rigidez directamente asociados a los grados de

libertad y fuerzas de los nudos 1 y 2, respectivamente, y [12] y [21] contienen los

coeficientes de rigidez que relacionan a los grados de libertad y fuerzas de los nudos

1 y 2. Por lo tanto, a partir de la ecuacin 3.82 resulta claro que la forma general de la

matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas locales es:

) El t i bidi i l


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a) Elemento viga-bidimensional

Sea el elemento viga bidimensional que se presenta en la figura 3.9.

de acuerdo a la figura se tiene:


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A partir de la ecuacin 3.82 se observa que dichas fuerzas y desplazamientos

pueden relacionarse directamente por medio de la matriz de rigidez del elemento en

coordenadas locales, [k], subdividida convenientemente en la ecuacin 3.83. Para el

elemento viga bidimensional, slo requerimos agrupar los coeficientes de rigidez

que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano principal

de flexin con los giros y desplazamientos que se experimentan en dicho plano. Por

lo tanto a, partir de las ecuaciones 3.37 a 3.44 y 3.54 a 3.62, se tiene que la matriz de

rigidez del elemento es:

d d i id ( i 6 ) d


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donde, si consideramos que12 =21 (ecuaciones 3.57 y 3.62), podemos ver

que las submatrices de rigidez del elemento son:

d d


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donde:

D l i i l d f i t t d d d


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De la ecuacin 3.95 se aprecia que las deformaciones por cortante dependen de

la relacin entre el radio de giro de la seccin transversal () con respecto a la

longitud del elemento (L), que en el caso de vigas esbeltas es un valor generalmente

pequeo e inferior a la unidad. Por eso generalmente se desprecian lasdeformaciones por cortante en vigas, pero es claro que no debe hacerse en vigas

cortas. Por lo tanto, si se desprecian las deformaciones por cortante ( = 0),

tenemos que los coeficientes de rigidez seran:

b) Elemento viga columna bidimensional


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b) Elemento viga-columna bidimensional

Sea el elemento viga bidimensional que se presenta en la figura 3.10.

De acuerdo con la figura 3.10, las fuerzas actuantes y los desplazamientos

correspondientes en los extremos de la viga-columna (nudos 1 y 2) son:


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Para este elemento requerimos agrupar, adems de los coeficientes de rigidez

que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano principal

de flexin con los giros y desplazamientos que se experimentan en dicho plano del

elemento viga (figura 3.9), los coeficientes que relacionan a las fuerzas y

deformaciones axiales. Por lo tanto a partir de las ecuaciones 3.12 a 3.15, 3.37 a 3.44 y

3.54 a 3.62, se tiene que la matriz de rigidez del elemento es:


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donde, recordando que 12 = 21 (ecuaciones 3.57 y 3.62), tenemos que las

submatrices de rigidez del elemento son:


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donde los coeficientes , , ,11,12 y22, son los dados por las

ecuaciones 3.91 a 3.95 cuando se incluyen deformaciones por cortante, y 3.96 a 3.99

cuando no se toman en cuenta las deformaciones por cortante, y el coeficiente de

rigidez axial est dado por:

c) Elemento viga-columna tridimensional


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c) Elemento viga columna tridimensional

Sea el elemento viga-columna que se presenta en la figura 3.11:


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De acuerdo con la figura, las fuerzas actuantes y los desplazamientos

correspondientes en los extremos de la vigacolumna (nudos 1 y 2) son:


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Para este elemento requerimos agrupar todos los coeficientes de rigidez, es decir

los que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en los planos

principal y secundario de flexin con los giros y desplazamientos que se

experimentan en dichos planos del elemento, as como aquellos que relacionan a

fuerzas y deformaciones axiales y a los giros y momentos torsionantes. Por lo tanto,

a partir de las ecuaciones 3.12 a 3.15, 3.21 a 3.24, 3.37 a 3.44 y 3.54 a 3.80, se tiene que

la matriz de rigidez del elemento es:


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donde considerando nuevamente que 12 = 21 , podemos ver que las

submatrices de rigidez del elemento son:


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donde, para fines de claridad, sabemos que cada uno de los coeficientes de

rigidez involucrados en las ecuaciones 3.110 a 3.114 son, cuando se incluyen

deformaciones por cortante:


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Si se desprecian las deformaciones por cortante (==0), tenemos que los

coeficientes de rigidez asociados a la f lexin en ambos planos seran:


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ELEMENTO TIPO VIGA-COLUMNA DE SECCION VARIABLE

La definicin de elementos tipo viga-columna de seccin variable bidimensional

y tridimensional es relativamente sencilla utilizando el mtodo de flexibilidades.

Aunque en dcadas pasadas el clculo de la matriz de rigidez de elementos de

seccin variable utilizando este procedimiento resulta un poco engorrosos debido a

que se requiere de integracin numrica en la mayora de los casos, hoy en da

resulta muy sencillo implantar este tipo de elementos en paqueteras de anlisis

estructural debido al gran desarrollo que ha tenido el campo de la computacin.

La matriz bsica de flexibilidades de elementos de seccin variablebidimensionales, como el ilustrado en la figura 3.12, se calcula de la siguiente

manera.

Obtencin de matrices de rigidez de elementos no prismticos


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Para elementos tridimensionales, los trminos de la matriz de rigidez se

calculan de la siguiente manera:


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donde:


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En las ecuaciones 3 135 a 3 150 11 a 66 son los trminos de la matriz de


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En las ecuaciones 3.135 a 3.150, 11 a 66 son los trminos de la matriz de

flexibilidades, los cuales son obtenidos por medio de integracin numrica, por

ejemplo, aplicando la regla de Simpson (Danny 1986). A continuacin se

proporcionan las soluciones exactas para los trminos de la matriz de flexibilidadesbsica para elementos de seccin variable de seccin transversal rectangular (figura

3.13b), circular (figura 3.13c) y cuadrada, respectivamente.


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La matriz de rigidez se puede obtener invirtiendo la matriz de f lexibilidades; sin


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embargo, debido a la porosidad de sta y a los coeficientes de flexibilidades estn

desacoplados, la matriz de rigidez se calcula invirtiendo submatrices de

flexibilidades, por lo que sus trminos se definen implcitamente. La matriz de

rigidez global en coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos

como los mostrados en las figuras 3.14 y 3.15 se expresan como:


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Para el caso bidimensional, las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente


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manera:


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Para el caso tridimensional, las submatrices de rigidez tienen la forma:


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donde:


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La representacin fsica de los coeficientes de la matriz de rigidez bidimensional se

presenta en la figura 3.16, y de esta figura y la derivacin de los coeficientes de rigidez

para los elementos de seccin prismtica, se puede completar el panorama para los

elementos de seccin variable tridimensionales.


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El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:

donde, para el caso bidimensional, se tiene que:


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y para el caso tridimensional se tiene :

Calculo de giros de fijacin y Momentos de Empotramiento.


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g j y p

Al aplicar el mtodo de las flexibilidades se pueden determinar los giros

de fijacin y los momentos de empotramiento de elementos prismticos y

de seccin variable ante cualquier condicin de carga que se desee.

Si consideramos una viga de seccin variable doblemente empotrada

que se presenta en la siguiente figura, la cual se encuentra sujeta a una

condicin de carga general en su plano principal de flexin.


Pw

M2xM1x

a b

La) Viga de seccin variable empotrada ante carga

general.

1x 2x

b) Viga Conjugada


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Aplicando el mtodo de la viga conjugada, se puede determinar los giros de fijacin

(figura 3.17b); los cuales, por equilibrio y tomando en cuenta las deformaciones por

cortante, se calculan como:

Los momentos de empotramiento en la direccin principal de flexin se calculan, de


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acuerdo con la figura 3.17c, de la siguiente manera:

Los giros de fijacin y los momentos de empotramiento ante cargas que actan en la

direccin secundaria de flexin, se calculan de la misma manera, suponindose que la

condicin de empotramiento perfecto est dada tambin en esa direccin. Por tanto,para ese caso, las expresiones son:


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En todos los casos, las reacciones en los apoyos se obtienen de sumar el diferencial

de cortante debido a los momentos en los extremos al cortante de la viga conjugada.

Carga uniformemente distribuida.

Para una carga uniformemente repartida (figura 3.17a) en el plano principal de

flexin , se sabe que las ecuaciones de momento y de cortante de la estructuraisosttica correspondiente a la viga conjugada (figura 3.17b) son:

Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones 3.189 y 3.190 en las ecuaciones 3.181 y 3.182,

t l i d fij i di t


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tenemos que los giros de fijacin correspondientes son:

De manera similar, para carga uniformemente repartida en el plano secundario de

flexin (), lo giros de fijacin son, intercambiandopor en las ecuaciones 3.189 y

3.190 y sustituyendo posteriormente en las ecuaciones 3.185 y 3.186:

La validez de estas expresiones se comprueba para el caso general, que corresponde a

l i i ti T l di i i i l d fl i Si l i i ti


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la viga prismtica. Tomemos la direccin principal de flexin. Si la seccin es prismtica,

se sabe que (z) =y que(z) =. Por lo tanto, sustituyendo en las ecuacin 3.191 y

desarrollando, se tiene:

A partir de las ecuaciones 3.192 y 3.197, y desarrollando se tiene:


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Sustituyendo las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.197 y 3.200 en la ecuacin 3.187 tenemos:

Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 1 es:

De manera anloga, a partir de sustituir las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.197 y 3.200 en

la ecuacin 3.188 se obtiene:


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Las ecuaciones 3.203 y 3.205 son las soluciones que se presentan en distintas

ayudas de diseo y, como se observa, aunque en su derivacin se incluyeron las

deformaciones por cortante, stas no afectan el valor de los momentos. Por otra parte,

debido a la simetra de la carga. Al hecho de que la seccin es prismtica y a que los

momentos de empotramiento son iguales, las reacciones o cortantes en los apoyos

coinciden en este caso con los de la estructura isosttica, es decir:

Carga Puntual


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Para una carga puntual que acta en el plano principal de flexin () cuya posicin

puede variar dentro del claro, como se muestra en la figura 3.17a, se sabe que las

ecuaciones de momento y de cortante de la estructura isosttica correspondiente a la

viga conjugada son:


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Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones 3.207 a 3.210 en las ecuaciones 3.181 y 3.182,

tenemos que los giros de fijacin correspondientes son, si se toma el primer trmino de

la igualdad de la ecuacin 3.208:

si se toma el segundo trmino de la igualdad de la ecuacin 3.208, se tiene:

Similarmente, para carga puntual que acta en el plano secundario de flexin ()

i i d i d d l l i bi d l


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cuya posicin puede variar dentro del claro, e intercambiando por en las

ecuaciones 3.207 a 3.210 y sustituyendo posteriormente en las ecuaciones 3.189 y 3.190,

tenemos que los giros de fijacin correspondientes son, si se toma el primer trmino de

la igualdad de la ecuacin 3.208:

si se toma el segundo trmino de la igualdad de la ecuacin 3.208 se tiene:

La validez de estas expresiones tambin se comprueba para el caso general, que

d l i i ti T l di i i i l d fl i b


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corresponde a la viga prismtica. Tomemos la direccin principal de flexin con base en

las expresiones obtenidas a partir del primer trmino de la ecuacin 3.208. Si la seccin

es prismtica, se sabe que(z) =y que(z) =. Por lo tanto , sustituyendo en la

ecuacin 3.211 y desarrollando, se tiene:

A partir de las ecuaciones 3.212 y 3.223 y desarrollando, se tiene:


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Sustituyendo las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.223 y 3.229 en la ecuacin 3.187 tenemos:


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Si se desprecian las deformaciones por cortante (=0), se llega a:

De manera similar, a partir de sustituir las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.223 y 3.229 en la

ecuacin 3.188 se tiene:


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Si se desprecian las deformaciones por cortante (= 0), se llega a :

Las ecuaciones 3.235 y 3.241 son las soluciones que se presentan en distintas ayudas

de diseo, y se observa a partir de las ecuaciones 3.234 y 3.240 que, en este caso, las

deformaciones por cortante s afectan el valor de los momentos de empotramiento.

Las reacciones en los apoyos se obtienen a partir de las ecuaciones de equilibrio,

d l d l d l d f l d


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sumando a las reacciones asociadas a la viga conjugada isosttica el diferencial de

cortante asociado a los momentos de empotramiento, es decir:

Por lo tanto, si tomamos, las expresiones donde se desprecian las deformaciones por

cortante (ecuaciones 3.235 y 3.241) tenemos que:

entonces, la reaccin (cortante) en el apoyo 1 estara dada por:

Por lo que se llega a que la reaccin del apoyo 1 es:


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Procediendo de manera similar, la reaccin (cortante) en el apoyo 2 estara dada por:

Por lo que se llega a que la reaccin del apoyo 2 es:


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Modelado de zonas de rigidez infinita


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En el anlisis de estructuras de marcos resulta frecuentemente necesario

modelar la rigidez adicional que se introduce en las uniones viga-columna,

sobre todo cuando las dimensiones de los elementos son grandes y, por

tanto, tienen un impacto significativo en la rigidez global de la estructura.

Esto se logra modelando cierto porcentaje del nudo como una zona de

rigidez infinita a f lexin, como se ilustra en la figura 3.18, ya que un anlisisque se basa en la geometra entre ejes centroidales de los elementos sin

tomar en cuenta las rigideces de los nudos sobrestima generalmente las

deformaciones laterales.

En general, se supone que en la zona de rigidez infinita no se presentan

deformaciones por cortante o flexin; sin embargo, a partir de anlisis de

estructuras que consideran como longitud efectiva de la zona de rigidez



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infinita al 100% de la distancia existente entre la lnea centroidal de


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referencia y el pao del nudo (figura 3.18), se ha encontrado que en la

mayora de los casos esta hiptesis subestima las deformaciones laterales de

la estructura (Habibullsh, 1995). De hecho, la efectividad del nudo como

zona infinitamente rigida varia con las estructuras, y existen varias

propuestas al respecto; sin embargo, para edificaciones de mediana y gran

altura que van a ser sujetas a cargas laterales importantes, variosdiseadores proponen tomar como zona de rigidez infinita 50% de la

longitud del nudo de unin viga columna para edificios en base en marcos.

Toda vez que se decide el porcentaje de longitud que debe tomarse

como zona de rigidez infinita, se puede determinar cmo modifican estas

zonas rgidas a los coeficientes de rigidez a f lexin de los elementos.


Sea la viga con zonas de rigidez infinita que se presenta en la figura

b A i d l d d l fl ibilid d li d l d


93/200

93

3.18b. A partir del mtodo de las flexibilidades aplicado a elementos de

seccin variables (seccin 3.4.2), se pueden calcular los coeficientes de

rigidez del elemento, incluyendo las zonas de rigidez infinita. Sabemos que:


Si integramos por partes la ecuacin 3.252 tenemos:

se sabe que:

l l d


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Por lo tanto, tenemos que la ecuacin 3.255 se reduce a:

como:

entonces:

A partir de la ecuacin 3.253 tenemos:


95/200


se sabe que:

por lo tanto:

A partir de la ecuacin 3.254 tenemos:

se sabe que:


96/200


por lo tanto:

Como se present para los elementos de seccin variable, los

coeficientes de rigidez se pueden obtener directamente a partir de los

coeficientes de flexibilidad de la siguiente forma:

donde:


97/200


Por lo tanto, de sustituir las ecuaciones 3.263, 3.268 y 3.272 en la

ecuacin 3.276 tenemos:

entonces de la ecuacin 3.273:


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De la ecuacin 3.276 se tiene:


99/200


De igual manera, podemos calcular los restantes trminos de rigidez a

partir de:


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partir de:

por tanto, de la ecuacin 3.291 se tiene:

de la ecuacin 3.292 se tiene:


101/200


de la ecuacin 3.293 se tiene:

Resumiendo, los coeficientes de rigidez a flexin para una barra con

i fi i id i l d l d f i


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zonas extremas infinitamente rgidas son, incluyendo las deformaciones

por cortante:


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INCLUSIN DE DEFORMACIONES POR TEMPERATURA.


104/200

104

Cuando una estructura va a operar o estar sometida

continuamente a temperaturas elevadas, deben incluirse efectos

trmicos en el anlisis puesto que afectan directamente a las

ecuaciones esfuerzo-deformacin.

Si se considera un cuerpo elstico pequeo de longitud dL que es

sujeto a un cambio de temperatura T, bajo la accin de este cambio de

temperatura el elemento se dilatar a una nueva longitud

L=(1+T)*dL, donde es el coeficiente de expansin trmica del

material. Para materiales isotrpicos y homogneos, este coeficientede expansin trmica es independiente de la direccin y posicin del

elemento pero puede depender de la temperatura.


Para un cuerpo o elemento isotrpico, las expansiones trmicas son


105/200


de la misma magnitud en todas las direcciones, es decir, si hacemos el

diagrama de cuerpo libre de un paraleleppedo (figura 1.2) que pertenece

a un cuerpo isotrpico que es sujeto a un cambio de temperatura, el

paraleleppedo experimentar exclusivamente una expansin uniforme

sin deformaciones angulares, por lo que retendr su forma.

Se puede demostrar que para una partcula tridimensional (figura

1.2) cuyas relaciones constitutivas cumplen con la Ley de Hooke para un

material elstico lineal homogneo e isotrpico, las ecuaciones esfuerzo-

deformacin originales (ecuacin 1.2) pueden reescribirse en trminosde la matriz constitutiva de flexibilidad para incluir los efectos por

temperatura como:


106/200


y, en trminos de la matriz constitutiva de rigidez como:

donde, para el caso de una partcula tridimensional, se tiene que laecuacin 3.307 es:

Para el caso particular de los elementos viga-columna, se puede

demostrar que los efectos de temperatura afectan exclusivamente a las


107/200


demostrar que los efectos de temperatura afectan exclusivamente a las

relaciones existentes entre esfuerzos y deformaciones axiales, as como a

los momentos y giros directos en los planos principal y secundario deflexin (por ejemplo Przemieniecki 1985).

Los momentos se producen como consecuencia de que el gradiente

de temperatura puede ser no uniforme a travs de la seccin transversal

del elemento. Por ejemplo en un da soleado, en una viga al aire libre, su

fibra superior, expuesta directamente al sol, se extender ms que su

fibra inferior, no expuesta directamente al sol, como consecuencia de

que el incremento de temperatura en la fibra superior ser mayor que enla parte inferior. Esto consecuentemente flexionar a la Viga,

producindose un momento.

Por lo tanto, para el elemento viga-columna bidimensional de la

figura 3 19 se tiene que las relaciones constituti as estn dadas por


108/200


figura 3.19, se tiene que las relaciones constitutivas estn dadas por:

La ecuacin 3.309 puede reescribirse de manera general como:


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y en funcin de las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos

1 y 2 como:

donde las submatrices [11 ], [12 ], [21 ] y [22 ] ya han sido

definidas con anterioridad para elementos prismticos y de seccin

variable, as como los vectores {1}, {2} y {1}, {2}, y los vectores {1} y

{2} contienen las fuerzas y los momentos debidos a los efectos de

incrementos (o decrementos) de temperatura y son, a partir de la

ecuacin 3.309:


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donde:

Para el elemento viga bidimensional de la figura 3.20 se tiene, a partir

de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacion 3.311 en funcin de

las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos 1 y 2, que las

submatrices [11], [12], [21] y [22] son las ya definidas para elementos

prismticos y de seccin variable, que los vectores {1}, {2} y {1}, {2},

estn dados por las ecuaciones 3.84 y 3.85 y los vectores {1} y {2} son en

este caso:


111/200


Para el elemento viga-columna tridimensional de la figura 3.21 se tiene,

a partir de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacin 3.311 en


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a partir de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacin 3.311 en

funcin de las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos 1 y 2, que

las submatrices [11], [12], [21] y [22] son las ya definidas previamentepara elementos prismticos y de seccin variable, los vectores {1}, {2} y

{1}, {2} estn dados por las ecuaciones 3.108 y 3.109, y los vectores {1} y

{2} son en este caso:

donde:


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TRANSFORMACIN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMACOORDENADO


114/200

114

En general, en el anlisis de estructuras por computador los

programas permiten definir al usuario la geometra de la estructura con

respecto a un sistema global de referencia (bidimensional o

tridimensional). Sin embargo, internamente los programas resuelven el

problema obteniendo primero las matrices de rigidez de cada elemento

en coordenadas locales, para posteriormente transformar estas rigideces

con respecto a los ejes globales de referencia y, una vez resuelto el

problema global, obtener los esfuerzos y deformaciones de cada

elemento a partir de las deformaciones globales de la estructura

transformando nuevamente al sistema local de referencia.



115/200


Por tanto, resulta claro que en este procedimiento se requiere

obtener las matrices de transformacin [T] que permitan permutarentre el sistema global de referencia y los sistemas locales de cada

uno de los elementos, tanto en 2D como en 3 D.

Aplicando los fundamentos bsicos de la geometra analtica, la

transformacin geomtrica de cualquier lugar geomtrico puede

darse por: a) traslacin de ejes, b) rotacin de ejes, y c) traslacin y

rotacin de ejes. En general, en anlisis estructural las

transformaciones que se utilizan en la resolucin de problemas sedeben a la rotacin de ejes.

a) Transformacin de vectores de fuerzas, desplazamientos y matrices derigidez en el plano


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116

rigidez en el plano.

A continuacin se estudia el caso de la rotacin de los ejes en el plano

cartesiano (2-D), como se ilustra en la figura 3.22. El sistema coordenado

est dado por el plano XY, y al experimentar este sistema una rotacin

con respecto al origen O, para a un nuevo sistema coordenado ortogonal

XY. Si las coordenadas que definen la posicin del punto P en el sistemacoordenado original XY (antes de la rotacin) se denominan (x,y) y

referidas en el nuevo sistema coordenadoXY(despusde la rotacin) se

denominan (x,y)y de la figura se define como r al segmento recto OP, se

tiene, a partir de relaciones trigonomtricas que:



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A partir de relaciones trigonomtricas se tiene que la ecuacin 3.318

tambin puede escribirse como:


118/200


p

sustituyendo las ecuaciones 3.320 y 3.321 en 3.322 tenemos:

De manera anloga, a partir de la ecuacin 3.319 tenemos:

sustituyendo las ecuaciones 3.320 y 3.3210 en 3.324 tenemos:

Por lo tanto, la transformacin de coordenadas de un punto P

cualquiera en el plano como consecuencia de rotar los ejes de referenciaun ngulodado, lo podemos expresar a partir de las ecuaciones 3.323 y

3.325, que se pueden reescribir matricialmente como:


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o, escrito de manera compacta:

donde:

Desde el punto de vista del anlisis estructural, nos interesa ms la

transformacin inversa, es decir, conociendo la posicin del punto P con

respecto al sistema rotado(x, y),referir ese punto al sistema global (x,y).

A partir de la ecuacin 3.327 se observa que eso se logra premultiplicando

dicha ecuacin por la inversa de la matriz []1, es decir:

A partir de las propiedades de las matrices cuadradas de orden dos,sabemos que si:


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entonces:

Por lo tanto, a partir de 3.328 y 3.331 se tiene que:

con lo que se comprueba que la matriz de transformacin en el plano

es ortogonal ya que su inversa es igual a su transpuesta.

Considrese ahora el elemento viga-columna bidimensional de la

figura 3.23, cuyos ejes locales coinciden con el plano YZ. Se pretende


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referir sus propiedades al sistema global definido por el plano YZ.

A partir de las ecuaciones de equilibrio se puede demostrar, al igual

que se hizo con las armaduras, que las relaciones existentes entre las

fuerzas actuantes en el elemento referidas al sistema local{F}o al global

{F} estn dadas por:


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y a partir de la ecuacin de continuidad en coordenadas locales que:

adems, las relaciones existentes entre las deformaciones en el

elemento referidas al sistema local{u}o al global {u} estn dadas por:

Por lo tanto, a partir de las ecuaciones 3.334 a 3.337 se llega a:

donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema global

de referencia, [k] es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas


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locales, y [T] es la matriz de transformacin del sistema local al sistema

global. De la figura 3.23 se observa que, al rotal el plano YZ al YZ,el eje Xpermanece en la misma posicin; por lo tanto, los giros y momentos que se

aplican en ese plano no sufren transformacin alguna. Entonces, a partir de

la figura 3.23 y de lo expuesto anteriormente, se obtiene que:

por lo que:


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y es claro, a partir de las ecuaciones 3.334 y 3.345, que la matriz de

transformacin [T] es:

o, escrito en forma compacta:


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donde [0] es la matriz cero de orden tres y :

Ahora sabemos que la matriz de rigidez del elemento en coordenadaslocales se puede escribir como:

donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-

columna de la figura 3.23 tiene la siguiente forma:


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donde i y j son los subndices correspondientes a los extremos y A, B,

C, D y E son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de las

submatrices, donde se ha cambiado de notacin por fines prcticos. A

partir de la ecuacin 3.340 se puede deducir que:

por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.346 y 3.348 en la ecuacin

3.349 se tiene que cada submatriz de rigidez del elemento expresada en

coordenadas globales [] est dada por:

de manera anloga, se puede demostrar que la matriz de transformacin[T] del elemento viga bidimensional (figura 3.24) es la misma que para el

[ ]


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elemento viga-columna, por lo que la matriz [] de la ecuacin 3.346 sigue

siendo vlida; la diferencia estriba en que, para este caso, en las matrices

locales de rigidez el trmino que relaciona las fuerzas y deformaciones

axiales tiende a infinito, por lo que en la ecuacin 3.348 el coeficiente A

tiende al infinito.

TRANSFORMACIN DE VECTORES DE FUERZAS, DESPLAZAMIENTOS YMATRICES DE RIGIDEZ EN EL ESPACIO


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128

Ac se ve el caso de una rotacin ortogonal de los ejes en el espacio (3-

D). El significado de rotar ejes cartesianos en el espacio involucra moverlos

a una posicin nueva tomando como punto de referencia o pivote al origen,

de manera tal que en el nuevo sistema coordenado de los ejes permanecen,

despus de la rotacin, mutuamente perpendiculares entre si ydireccionados de la misma manera unos con respecto a los otros. Tomemos

como referencia la figura 3.25, donde una rotacin de los ejes cartesianos

involucra que el origen permanezca fijo, pero los ejes originales X, Y y Z

toman nuevas posiciones en el espacio, denominadas por el nuevo sistema

de ejesX, YyZ.


Tomemos como otra referencia fija al punto P, cuya posicin en elespacio se encuentra referida por las coordenadas (x, y, z) en el sistema

coordenado original y por las coordenadas (x y z) en el nuevo sistema


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coordenado original y por las coordenadas (x , y , z ) en el nuevo sistema

coordenado. Denominemos como 1, b1, g1; 2, b2, g2 y 3, b3, g3,

respectivamente, a los ngulos directores de los ejesX, YyZcon respecto a

los ejes originales, segn se muestra en la figura 3.25 y se identifica en la

tabla 3.1.


Si se lee la tabla 3.1 por filas, se obtienen los ngulos directores de los

nuevos ejes con respecto a los ejes originales, mientras que si se lee por

columnas, se obtienen los ngulos directores de los ejes originales con

respecto a los nuevos ejes.


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A partir de la tabla 3.1 se obtiene que los ngulos directores del eje X con

respecto a los nuevos ejes son 1, 2 , 3. Entonces, dado que el eje X es


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normal al plano YZ se obtiene, a partir de teoremas con respecto a la forma

normal de la ecuacin del plano en el espacio, que la ecuacin del plano YZ

con respecto al nuevo sistema de ejes est dada por:

Se sabe a partir de teoremas relativos a la ecuacin del plano en el

espacio que el miembro de la izquierda de la ecuacin 3.351 representa la

distancia perpendicular del plano YZ con respecto al punto P y, de la figura

3.25, se observa que esta distancia est dada tambin por la coordenada x.

Por lo tanto, a partir de este anlisis, tenemos que la relacin existente entrela coordenada x y el nuevo sistema coordenado est dada por:

Si se procede de manera similar para el eje Y con respecto al plano XZ y

el eje Z con respecto al plano XY, se obtienen las expresiones relativas para


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definir a las coordenadasyyzen funcin de las nuevas coordenadas, lo cual

se puede demostrar que son:

De las ecuaciones 3.352 a 3.354 observamos que existen nueve cosenos

directores o constantes en el sistema; sin embargo, estas constantes no sonindependientes. Recordando que la suma de los cuadrados de los cosenos

directores de cualquier lnea recta en el espacio es igual a la unidad,

tenemos:

Adems, los nuevos ejes X, YyZson perpendiculares entre si. Si sabe

que para dos rectas en el espacio sean mutuamente perpendiculares, la


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suma del producto de sus cosenos directores correspondientes debe ser

igual a cero. Por lo tanto:

Las ecuaciones 3.355 a 3.360 definen las relaciones que existen entre los

ngulos directores de manera que satisfagan las condiciones de

perpendicularidad y unicidad de solucin al experimentar una rotacin en

el espacio con respecto al origen.El sistema de ecuaciones 3.352 a 3.354 define a cada una de las

coordenadas originales de Pcon respecto al nuevo sistema coordenado.

Desde el punto de vista del anlisis estructural, interesa tambin definir

las coordenadas nuevas (locales) del punto P con respecto al sistema


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ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST

Egresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.

coordenado original (global), es decir, la transformacin inversa. Esto se

logra procediendo de manera similar, utilizando las ecuaciones de los

planos YZ, XZ y XY con respecto a los ejes originales, de donde

obtenemos:

Resulta claro que los trminos del sistema de ecuaciones 3.352 a 3.354

pueden obtenerse de leer por columnas la tabla 3.1, mientras que el sistema

de ecuaciones 3.361 a 3.363 puede obtenerse leyendo por filas la misma

tabla. De igual manera, las ecuaciones 3.352 a 3.354 pueden escribirse

matricialmente como:


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o, escrito de forma compacta:

donde [ ]1 es la matriz de transformacin. Similarmente, las

ecuaciones 3.361 a 3.363 se pueden escribir como:

o, escrito de forma compacta:

De la observacin de las ecuaciones 3.364 a 3.367 se concluye que:

por lo que, al igual que en el plano, se confirma que la matriz detransformacin en el espacio es ortogonal, ya que su inversa es igual a su

transpuesta


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transpuesta.

Considrese ahora el elemento viga-columna tridimensional de la

figura 3.26, cuyos ejes locales coinciden con los ejes X, Y Z. Se pretende

referir sus propiedades al sistema global definido por los ejes XYZ.

Se sabe, a partir de secciones anteriores, que:

donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema


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donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema

global de referencia, [k] es la matriz de rigidez del elemento en

coordenadas locales, y [T] es la matriz de transformacin del sistema

local al sistema global. De las figuras 3.25 y 3.26 se observa que en la

rotacin de los ejes en el espacio, todos sufren transformacin, por lo

que en este caso tanto las fuerzas como los momentos se transforman alcambiar de sistema coordenado. Se puede demostrar que, para este caso,

recordando que la matriz [T] relaciona las fuerzas y desplazamientos

referidas al sistema local con respecto al global, es decir:

entonces, las relaciones existentes entre las fuerzas est dada por:


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donde resulta claro que la matriz de transformacin [T] es, en este

caso:


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donde,yson los cosenos directores que definen al eje Zconrespecto al sistema coordenado ZYX, , y son los cosenos

directores que definen al eje Y con respecto al sistema coordenado original


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directores que definen al eje Y con respecto al sistema coordenado original

ZYX, y, y son los cosenos directores que definen al eje Xcon

respecto al sistema coordenado ZYX, respectivamente. La matriz [T] se

puede escribir en forma compacta como:

donde [0] es la matriz cero de orden tres y [] es, a partir de la

ecuacin 3.373:

la notacin utilizada en la transformacin de ejes para cada uno de losngulos directores segn se presenta en la figura 3.25 y en la ecuacin 3.366,

tomando en cuenta el cambio de orden que involucran los ejes, las acciones y


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to a do e cue ta e ca b o de o de que o uc a os ejes, as acc o es y

los grados de libertad de la figura 3.26, se tiene que, en este caso , la

transformacin de ejes se puede escribir matricialmente como:

por lo que, de 3.375 y 3.376 se tiene que:

en este caso se procede de manera similar a como se hizo para los

elementos bidimensionales para obtener las submatrices de rigidez del

elemento referidas al sistema global (6x6) a partir de las submatrices de rigidez

del elemento en coordenadas locales (6x6) y de las submatrices de

transformacin de cada nudo (6x6).

El resultado resulta algo tedioso y, en este caso, es preferible calcular

numricamente cada uno de los coeficientes que llegar a soluciones cerradas

l i t t l b t i lt t


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que lo nico que mostraran en este caso es que las submatrices resultantes se

acoplan como consecuencia de la rotacin. Sin embargo, con fines ilustrativos,

se mostrar tambin como lucen para el caso tridimensional. Recordando que

la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales se puede escribir

como:

donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna

de la figura 3.26 tiene la siguiente forma:

donde i y j son los subindices correspondientes a los extremos y A, B, C,

D, E, F, G, H, I y J son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de

l b t i d d h bi d d t i fi ti S


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las submatrices, donde se ha cambiado de notacin por fines prcticos. Se

sabe adems que la matriz de transformacin de cada nudo est dada por:

y que:

por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.377, 3.379 y 3.380 en la ecuacin

3.381 se tiene que cada submatriz de rigidez del elemento expresada en

coordenadas globales [] est dada por:

ENSAMBLE

La matriz de rigidez global del sistema [K] se define utilizando


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algoritmos de ensamble, similar a lo explicado en armaduras.

En la seccin anterior fue posible manipular los ndices de las matricesutilizando una matriz de permutacin que denominamos []. Las columnas

de [] tienen correspondencia uno a uno con los elementos de la estructura,

mientras que los renglones de [] tienen correspondencia uno a uno con los

grados de libertad de cada elemento en coordenadas globales. El elemento

representa al nmero de grados de libertad global que corresponde al

grado de libertad local i (referido en coordenadas globales) del elemento j.

Por ejemplo, sea el marco bidimensional de la figura 3.27. Para este ,arco

tomando en cuenta que cada elemento i corresponde al elemento viga-

columna bidimensional, se tendra que la matriz [] estara dada por:




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Otro ha utilizar es ensamblar la matriz de rigidez por medio de las

submatrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales, con base en:


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1) identificar los nudos con grados de libertad.

2) liberando simultneamente a cada nudo libre, identificar las submatrices de

cada elemento que se suman para ese nudo, adems de identificar las

submatrices que pasan informacin a los nudos libres vecinos que se

encuentren directamente conectados al nudo liberado. Para ello esimportante la orientacin de los elementos.

Sea el marco de figura 3.27. Si liberamos el nudo 1, al que se encuentran

conectados los elementos 1 y 2, observamos que para el elemento 1, el nudo 1

es nudo de llegada (o un nudo B o 2 local), por lo que los coeficientes de

rigidez que se deben sumar para este nudo se encuentran en la submatriz [221 ]

Al encontrarse el nudo de partida del elemento 1 restringido, no pasainformacin a la matriz de rigidez de los grados de libertad (pero si a las de los

grados restringidos, lo cual no nos ocupa en este caso). Para el elemento 2, el


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g g p

nudo 1 es nudo de partida, por lo que los coeficientes de rigidez que se deben

sumar para este nudo se encuentran en las submatriz [112 ].

El nudo de llegada del elemento 2 se conecta al nudo libre 2, por lo que en

este caso la barra 2 pasa informacin entre los nudos 1 y 2 por medio de los

coeficientes de rigidez que se encuentran en la submatriz [122

].De manera similar, se tiene que cuando se libera el nudo 2, los elementos

conectados son 2 (viga) y 3 (columna). Para el elemento 3, el nudo 2 es de

llegada, por lo tanto, ah se suma [223 ]. Para el elemento 2, el nudo 2 es de

llegada, por lo tanto, ah se suma [222 ]. Como el elemento 2 conecta a los nudos

libres 1 y 2, en este caso pasa la informacin del nudo 2 al 1 mediante la matriz

[212 ].

Por lo tanto, el ensamble de la matriz de rigidez global del marco de la

figura 3.27 utilizando el concepto de submatrices, estara indicado por la


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ecuacin 3.384:

Este procedimiento no es prctico para programar estructuras complejas

que contengan distintos elementos con diversos grados de libertad, pero si

muy ilustrativo para afianzar los conceptos de topologa y de conectividad

estructural, y para ejemplos pequeos es muy didcticos.


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Egresado de la Escuela de Post-grado UNI

Msc Estructuras.


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150ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST


Msc Estructuras.


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158ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras

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159ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras

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Analisis Matricial con matrices

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