IntroduccinEl estudio de los mtodos clsicos es necesario para comprender el comportamiento de los distintos tipos de estructuras que se tienen. Sin embargo en el momento de analizar grandes estructuras la aplicacin de dichos mtodos a mano se hace engorrosa y difcil.

Con el nacimiento de los microcomputadores, el uso de mtodos matriciales alcanz un extraordinario desarrollo debido a la posibilidad de efectuar clculos a grandes velocidades.

OrigenEntre 1945-1955 aparecen los primeros artculos referentes a un nuevo mtodo de anlisis que usaba matrices de flexibilidad o de rigidez de la estructura.Los mtodo matriciales surgen de necesidades en la industria aeronutica.El Ingeniera Estructural se necesitaban mtodos que permitieran hacer diseos cada ms complejos.En septiembre de 1956 aparece un artculo escrito por Turner, Clough, Martin y Topp llamado por Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures

Conceptos bsicosMtodos matriciales. Consiste en remplazar la estructura continua real por un modelo matemtico de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. El proceso de anlisis se puede considerar como:

Accin sobre la estructuraAccin sobre los elementosRespuesta de los elementosRespuesta de la estructura

Conceptos generalesImagen tomada de la referencia 1 Pgina 415

Conceptos bsicosLos mtodos matriciales tienen dos grandes variantes: el mtodo de la flexibilidad en el cual las incgnitas son las fuerzas y el mtodo de la rigidez en el cual las incgnitas son los desplazamientos. Este enfoque se trabaja en todos los mtodos del anlisis estructural. Sin embargo, por ventajas computacionales el mtodo de la rigidez ha ganado ms aceptacin.Mtodo de las fuerzas o flexibilidadMtodo de los desplazamientos o rigidez

Conceptos bsicosPrincipios del anlisis matricial: Las relaciones fundamentales del equilibrio compatibilidad, fuerza-desplazamiento se mantienen vigentes.

Modelo analtico: La estructura se considera un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos a nodos. Un miembro (o elemento) se define como una parte de la estructura para la cual las relaciones fuerza-desplazamiento de los miembros que se van a usar en el anlisis son vlidas. Un nodo se define como una parte estructural de tamao infinitesimal al cual se conectan los extremos de los miembros.

Conceptos bsicosGrados de libertad: Son los desplazamientos independientes (traslaciones y rotaciones) de los nodos que son necesarios para especificar la forma deformada de una estructura, cuando se vaya a sujetar a una carga arbitraria.

Convenciones en el mtodo matricial: En el modelo analtico de una estructura:Los nodos se cuentan con un nmero dentro de un crculo (inicia con nodo libre). El orden en que se enumeren los nodos indica el sentido que se da al elemento.

Conceptos bsicosLos elementos se cuentan con su nmero escrito dentro de un rectngulo. El sentido del mismo se define desde el nodo con el menor nmero (nodo inicial) hacia aquel que tenga el mayor nmero (nodo final).

Los grados de libertad se representan por flechas rectas (si es para traslacin) o flechas curvas (si es para rotacin) siempre en sentido positivo. A cada grado de libertad restringido por alguna reaccin, corresponde una fuerza o momento, segn sea el caso.

Al numerar los grados de libertad, el primer nmero es para la direccin X, el segundo para la direccin Y y el tercero en direccin Z.

Sistemas de coordenadasTanto la estructura como cada uno de sus elementos se estudian respecto a un sistema de coordenadas ortogonales, cartesianas y de mano derecha. En el anlisis matricial se consideran dos sistemas de coordenadas: locales y globales.

Coordenadas globales: Son llamadas tambin coordenadas estructurales o de la estructura. Se denomina as debido a que respecto a estas se refieren todos los datos de la estructura en su conjunto, tales la posicin de los nudos, las cargas que actan sobre ellos, sus desplazamientos y las reacciones de los apoyos.

Sistemas de coordenadasCoordenadas locales: Son llamadas tambin coordenadas particulares o del elemento. Se denominan as debido a que respecto a stas se referencian todas las propiedades de los elementos, como las dimensiones y momentos de inercia, al igual que las cargas aplicadas sobre los mismos y las fuerzas internas a que se ven sometidos. Se definen colocando el eje x a lo largo del eje centroidal del elemento, colocando el origen del mismo en el nodo inicial. Los dems ejes (y, z) se definen teniendo en cuenta la ortogonalidad de los mismos. Con estas coordenadas queda definida la orientacin del elementos estructural.

Sistemas de coordenadasTransformacin de coordenadas: Cuando los miembros de una estructura estn orientados en direcciones diferentes es necesario transformar las relaciones de rigidez de cada miembro, del sistema de coordenadas locales del mismo, hacia una sistema comn de coordenadas globales. Luego se combinan las relaciones de rigidez de los miembros as obtenidas a fin de establecer las relaciones de rigidez para la estructura completa.

Dependiendo del tipo de elemento estructural, se obtendr una matriz de transformacin diferente.

Solucin por mtodo de los desplazamientosComo se ha dicho ya, la forma matemtica de este mtodo es:La anterior expresin puede descomponerse, usando la particin de matrices, como sigue: [Fn]: Vector de cargas aplicadas (conocidas)[Fa]: Reacciones en los apoyos (desconocidas)[n]: Desplazamientos de los nudos libres (desconocidos)[a]: Desplazamientos de los apoyos (conocidos, casi siempre cero)

Solucin por mtodo de los desplazamientosDe la primera ecuacin se despeja el vector [n] y se reemplaza en la segunda, obtenindose: Expandiendo la anterior expresin, se obtiene:

Solucin por mtodo de los desplazamientos Los pasos generales que pueden usarse para analizar una estructura por el mtodo de la rigidez son:

Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientacin de los elementos.

Calcular los trminos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coordenadas generales.

Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura, reordenndola para que queden separadas de una vez las fuerzas en los nudos libres y las reacciones de los apoyos.

Solucin por mtodo de los desplazamientos Partir la matriz ensamblada y calcular los desplazamientos desconocidos.

Calcular las reacciones y verificar el equilibrio general de la estructura.

Calcular las fuerzas internas utilizando las matrices individuales y verificar, finalmente, el equilibrio de los nudos.

Limitaciones de la matriz de rigidezEl ensamble de la matriz de rigidez (tema de la prxima clase), se lleva a cabo a partir de ciertas hiptesis que es importante tener en cuenta:

Material perfectamente elstico, que cumple la ley de Hooke (relacin lineal esfuerzo-deformacin)

Deformaciones pequeas: implica que no se tienen en cuenta efectos de segundo orden.

Se desprecian las fuerzas axiales en la flexin

Limitaciones de la matriz de rigidezPara aplicar el Principio de Superposicin es necesario que se cumplan las anteriores suposiciones.

Todas las cargas se aplican en forma gradual, y tiene una tasa de aumento tal que todas al iniciar su aplicacin en simultnea, alcancen su mximo al mismo tiempo.

Se omiten las deformaciones por cortante

No se considera la rigidez de los nodos

Limitaciones de la matriz de rigidezNo hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsin

Los planos XY y YZ son los principales de la flexin y en ellos actan las cargas

El centro de cortante y el centro de torsin se asume que coinciden, de all que la flexin y la torsin sean independientes

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos

En el caso de prticos uno de los planos de simetra debe coincidir con el plano de carga

Propiedades de la matriz de rigidezLa matriz de rigidez es simtrica (sea una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es simtrica si cumple que AT=A que A es anti-simtrica si AT=-A)

La suma de los elementos de cada columna es cero

Todos los trminos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.

Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de rigidez con determinante cero da indicios de una estructura inestable.

ReferenciasURIBE, Escamilla Jairo. Anlisis de estructuras. Segunda edicin. Editorial ECOE. Bogot. Ao 2000.

KASSIMALI, Aslam. Anlisis Estructuras. Editorial Thompson. Segunda Edicin.2004.

McCORMAC, Jack. Anlisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Primera edicin.1999

ROCHEL, Awad Roberto. Anlisis matricial de estructuras.Texto editado por la Universidad EAFIT en el ao de 1993.

ReferenciasLEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne M. Fundamentos de Anlisis Estructural. Editorial McGraw-Hill. Segunda edicin. 2006

McCORMAC, Jack. Anlisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edicin.2006

HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson. Sptima Edicin. 2009.

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