Análisis Numérico Avanzado Trabajo Práctico Final

Analisis Numerico Avanzado

Trabajo Practico Final

Simulacion numerica del

proceso de curado

en polımeros

Analisis Numerico Avanzado

Simulacion numerica del proceso

de curado en polımeros

Pablo Caron ∗

October 22, 2007

Abstract

En el presente trabajo se presenta una formulacion basada en el metodode los elementos finitos para el calculo de la temperatura y concentracionde croos-links durante el proceso de curado de una pieza polimerica. Estetipo de piezas se calientan provocando una reaccion de vulcanizacion exo-termica con transferecia de calor por conduccion a traves de su borde.

∗Contacto: [email protected]

Analisis Numerico Avanzado FI UBA

1 Planteo del problema

Considerese la transferencia de calor no estacionaria en un solido anisotropicoΩ bordeado por una superficie Γ. El problema esta gobernado por la ecuacionde conservacion de la energıa, incluyendo una fuente de calor interna

∂T

∂t= ∇·(κ ∇T ) +

q

ρ c(1)

donde T es la temperatura, ρ la densidad, c el calor especıfico y κij es eltensor de conductividad, simetrico. [HT82] Las propiedades del material ρ,c, y κij pueden depender de la temperatura, aunque en el presente trabajo seconsideran constantes. A esta ecuacion se le deben agregar condiciones inicialesy de contorno sobre todas las porciones de la superficie Γ. La condicion inicialfija la distribucion de temperatura en el tiempo cero,

T (x, y, z, 0) = T0(x, y, z)

Las condiciones de borde por conduccion de calor son: temperatura superficialy flujo de calor superficial. Las mismas se pueden especificar de la siguienteforma

Ts = T1(x, y, z, t) sobre S1

qxnx + qyny + qznz = −qs sobre S2

S1 ∩ S2 = ∅

donde T1 es la temperatura especificada sobre la superficie S1, la cual puedevariar con el tiempo, ni son las componentes de la normal exterior a la superfi-cie, qs es el flujo de calor especificado por unidad de area (se sigue la convencionutilizada en Termodinamica, el calor entregado al sistema bajo estudio se con-sidera positivo).

En el caso del curado de polımeros el termino fuente reflejara la reaccion decurado exotermica. Esta puede modelarse linealmente como

q = HrRx (2)

esto es, proporcional a la entalpıa de reaccion, y la velocidad de reaccion Rx.La velocidad de variacion de la concentracion de reactivos la se modela como

dx

d t= Rx (3)

donde Rx depende de la temperatura segun una relacion tipo Arrhenius.

Rx = −k x

k = k0 exp

[

−E

RT

]

(4)

Ver [BM76, JB04, HCJ+99].Reuniendo las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 obtenemos el sistema

∂T∂t = ∇·(κ ∇T ) + Hr

ρ c k0 x exp[

− ER T

]

en Ω× [0, tfin]dxd t = −k0 x exp

[

− ER T

]

en Ω(5)

3 Pablo A. Caron


1.1 Ecuaciones adimensionales

Sea L una longitud caracterıstica del dominio, X una concentracion de refe-rencia y T0 una temperatura de referencia. Se definen las siguientes variablesadimensionales

τ =κ

L2t, χ =

x

X, θ =

T

T0(6)

Reemplazando las variables en el sistema de ecuaciones 5 aparecen tres gruposadimensionales,

θad =HrX

cρT0

B =E

RT0

K0 =L2 k e−B

κ

la temperatura adiabatica, la energıa de activacion adimensional y la velocidadde reaccion adimensional, respectivamente. Sean (∇ζ) y (∇ζ ·), los operadoresgradiente y divergencia con respecto a las variables del espacio adimensional,respectivamente. La version adimensional del sistema de ecuaciones resulta

∂θ∂τ = ∆ζ T + θad K0 χ exp[B(1− 1/θ)] en Ωζ × [0, tfin]

dχd τ = −χ K0 exp[B (1− 1/θ)] en Ωζ

(7)

donde Ωζ y ∆ζ indican el dominio escalado y el laplaciano con respecto a lascoordenadas espaciales adimensionales.

2 El esquema de resolucion

2.1 Algoritmo

El sistema 7 es un problema acoplado de una PVI-ODE y una PVI-C-EDDP.Se propone el siguiente algoritmo para resolverlo

AlgoritmoDadas las condiciones iniciales y de borde para el sistema y un intervalo de

tiempo Iτ := [0, Tτ ], para τ ∈ Iτ

1. Calcular el valor de χ en τ + ∆τ , estado de cura

2. Calcular la velocidad de calor adimensional Q

3. Con Q, resolver la ecuacion de Fourier para determinar el campo de tem-peraturas adimensionales

4. Incrementar el paso de tiempo τ ← τ + ∆τ , ∆τ > 0 y, si τ ∈ Iτ repetir elpaso 1.

4 Pablo A. Caron


2.2 Esquema numerico para la ecuacion de reaccion

Para resolver la ecuacion diferencial ordinaria con valor inicial, como se proponeen el Algoritmo, se construye un esquema explıcito para la ecuacion de reaccion.En particular, se usa un esquema Runge-Kutta de orden cuatro, de la forma

χn+1 = χn +∆τ

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

donde

k1 = −χn K0 exp[B (1− 1/θn)]

k2 = −

(

χn +∆τ

2k1

)

K0 exp[B (1− 1/θn)]

k3 = −

(

χn +∆τ

2k2

)

K0 exp[B (1− 1/θn)]

k4 = − (χn + ∆τ k3) K0 exp[B (1− 1/θn)]

2.3 Formulacion debil y de elementos finitos para la ecuacion

de calor

Como antes, sea Ωζ el dominio de borde ∂Ω := ΓD ∪ ΓN , donde ΓD es la partedel borde sobre la cual estan impuestas las condiciones de borde de Dirichlety ΓN la parte correspondiente sobre las cuales estan impuestas las condicionesde borde de Neumann. Ademas, se define V := H1(Ωζ) y

V0 :=

v ∈ V : v = 0 sobre ΓD

Se indica por θn ∈ V la temperatura adimensional en el instante τn, y asumase lasiguiente descomposicion θn = θn+θDn , donde θn ∈ V0 y θDn es una aproximacionpara las condiciones de borde de Dirichlet. Se plantea el siguiente problemadebil

Problema 1, Dado θn ∈ V , Qn+1 ∈ L2(Ωζ) y θDn+1, encontrar θn+1 tal que

1

∆τ

∫

Ωθn+1ψ +

∫

Ω∇ψ∇θn+1 =

1

∆τ

∫

Ωθnψ +

1

∆τ

∫

ΩθDn ψ +

∫

ΓN

qNψ +

+

∫

ΩQn+1ψ −

∫

Ω∇ψ∇θDn+1 −

1

∆τ

∫

ΩθDn+1ψ

∀ψ ∈ V0 (8)

Se construye una aproximacion de elementos finitos del Problema 1 de la siguien-te forma: sea Ωh una triangulacion del dominio, que define elementos E. Sedefine Vh ⊂ V y el subespacio de dimension finita

Vh0:=

vh ∈ V : vh = 0 sobre ΓD, vh|E ∈ P1(E) ∀E ∈ Ωh

.Se indica por ψj una base de Vh0

y por θD la extension de θD sobre Ω. Conesto es posible definir una aproximacion de la solucion , segun

5 Pablo A. Caron


θn ∼ θn,h :=m∑

j=1

ψjθj + θD (9)

Ver [Hug87].

2.4 Formulacion de Galerkin

En la formulacion de Galerkin, las funciones de prueba ψh pertenecen al mismosubespacio de dimension finita que θ. Sean θh,n, Qh,n+1 y θDh,n+1 las aproxima-

ciones de θn, Qn+1 y θDn+1 en el subespacio de dimension finita, respectivamente.Problema 2Dado θh,n ∈ Vh, Qh,n+1 y θDh,n+1, encontrar θh,n+1 ∈ Vh0

tal que

1

∆τ

∫

Ωh

θh,n+1ψh +

∫

Ωh

∇ψh∇θh,n+1 =1

∆τ

∫

Ωh

θh,nψh +1

∆τ

∫

Ωh

θDh,nψh +

+

∫

ΓN

qNψh +

∫

Ωh

Qh,n+1ψh +

−

∫

Ωh

∇ψh∇θDh,n+1 −

1

∆τ

∫

Ωh

θDh,n+1ψ

∀ψh ∈ Vh0(10)

En esta ecuacion, la velocidad de calentamiento adimensional, las condi-ciones de borde e iniciales conforman el segundo miembro, actuando como untermino forzante.

Como ψn ∈ Vh0= span(ψj), sera suficiente que la relacion anterior se

cumpla para cada una de las funciones base: esto da lugar al siguiente sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias, con m incognitas, donde se reemplaza θhpor su expresion en terminos de las funciones base:

1

∆τ

m∑

j=1

θjh,n+1

∫

Ωh

ψiψj +

m∑

j=1

θjh,n+1

∫

Ωh

∇ψi · ∇ψj =

∫

ΓN

qNψi +1

∆τ

m∑

j=1

θjh,n

∫

Ωh

ψiψj +1

∆τ

m∑

j=1

θD,jh,n

∫

Ωh

ψiψj +

∫

Ωh

Qh,n+1ψi +

−m∑

j=1

θD,jh,n+1

∫

Ωh

∇ψi · ∇ψj −1

∆τ

m∑

j=1

θD,jh,n+1

∫

Ωh

ψiψj

∀ψh ∈ Vh0(11)

El sistema 11 puede escribirse en forma algebraica, se definen M y K, lasmatrices de masa y rigidez, respectivamente

M := (Mij) =

∫

Ωψiψj dx

K := (Kij) =

∫

Ω∇ψi · ∇ψj

6 Pablo A. Caron


y F y θ, vector de cargas equivalentes y de incognitas, respectivamente

F := (Fij) =

∫

ΓN

qNψi +1

∆τ

m∑

j=1

θjh,n

∫

Ωh

ψiψj +1

∆τ

m∑

j=1

θD,jh,n

∫

Ωh

ψiψj +

+

∫

Ωh

Qh,n+1ψi −m∑

j=1

θD,jh,n+1

∫

Ωh

∇ψi · ∇ψj −1

∆τ

m∑

j=1

θD,jh,n+1

∫

Ωh

ψiψj

θ := θi = (c1 c2 · · · cm)T

Ası la forma algebraica resulta

(M + K) · θ = F (12)

El metodo de los elementos finitos provee una metodologıa para crear las basesψj , mediante una particion del dominio en pequenos subdominios S determi-nados a partir de una grilla o triangulacion S. Este procedimiento define unconjunto de puntos o nodos y un conjunto de lados, con una conectividad es-pecıfica, dada por la geometrıa del dominio. Sobre estos subdominios se definenlas funciones base, que tendran soporte local: la eleccion natural son polinomios,para los que, ademas, se cuenta con expresiones analıticas de sus derivadas yse pueden integrar en forma eficiente con gran precision. Si indicamos por Pkel conjunto de los polinomios de grado menor o igual a k, se define el espaciode elementos finitos:

X0h,k =

vh ∈ H10 (Ω)|vh|S ∈ Pk para S ∈ S

. (13)

Notese que, ademas de exigir que vh|S ∈ Pk, se debe asegurar que la funcion

global vh ∈ H10 . La condicion resultante se reduce a elegir los espacios de modo

que

X0h =

vh ∈ C0(Ω)|vh|S ∈ C

1(S) para S ∈ S

.

En virtud de las propiedades de S, es suficiente con elegir

X0h =

vh ∈ C0(Ω)|vh|S ∈ Pk para S ∈ S

.

Los polinomios de grado menor o igual a m− 1 en Rn estan dados por:

p(x) =m−1∑

|α|=0

cαxα =

m−1∑

|α|=0

cα

n∏

i=1

xαi

i .

Los polinomios quedan definidos a partir de sus m coeficientes, pero para cal-cularlos se deben elegir los grados de libertad que los definan en forma unıvoca.Para el caso de elegir una aproximacion lineal de a tramos, la forma de repre-sentacion esta sugerida en el siguiente teorema:

Teorema ELEMENTOS FINITOS LINEALESSea S ∈ S un subdominio no degenerado con vertices a0, a1, · · · , ad. En-

tonces, cualquier funcion p ∈ P1(S) queda unıvocamente determinada por losvalores que p adopta en los vertices de S.

7 Pablo A. Caron


2.5 Obtencion explıcita de las matrices

Se utiliza la base teorica desarrollada hasta ahora para aplicarla al caso par-ticular de un problema con simetrıa de revolucion. Dada las caracterısticasdel problema se puede llegar a expresiones explıcitas de las matrices y vectorespara los elementos, que luego se ensambraran para obtener las expresiones glob-ales correspondientes. De esta forma la implementacion es mas rapida. [HT82]Haciendo referencia a la figura 1, se obienen las siguientes equivalencias

∫

Ωh

(·) = 2π

∫

∆(·)r drdz (14)

∫

ΓN

h

(·) = 2π

∫

l(·)r drdz (15)

r1

r2

r3

1

2

3

z

r

dΩ = 2π r dr dzborde caracterıstico l12

Figure 1: Elemento triangular con simetrıa de revolucion

2.5.1 Funciones de interpolacion

Siguiendo las ideas desarrolladas, las funciones de interpolacion para un ele-mento triangular son

ψ1(r, z) =1

2∆(a1 + b1 r + c1 z)

ψ2(r, z) =1

2∆(a2 + b2 r + c2 z) (16)

ψ3(r, z) =1

2∆(a3 + b3 r + c3 z)

donde

2∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 r1 z11 r2 z21 r3 z3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2 (area triangulo 1-2-3)

a1 = r2 z3 − r3 z2, b1 = z2 − z3, c1 = r3 − r2

Los otros coeficientes se obtienen de forma cıclica permutando los subındices.[HT82]

8 Pablo A. Caron


2.5.2 Matrices y vectores de los elementos

La temperatura y sus gradientes se expresan dentro de cada elemento por

θ(r, z, t) =

r∑

i=1

ψi(r, z)θi(t), (17)

∂θ

∂r(r, z, t) =

r∑

i=1

∂ψi∂r

(r, z)θi(t), (18)

∂θ

∂z(r, z, t) =

r∑

i=1

∂ψi∂z

(r, z)θi(t), (19)

o, en notacion matricial

θ(r, z, t) = ⌊ψ(r, z)⌋θi(t), (20)

∂θ∂r (r, z, t)∂θ∂z (r, z, t)

= [B(r, z)] θi(t) (21)

, donde ⌊ψ(r, z)⌋ es la matriz de interpolacion de la temperatura, [B] es lamatriz de interpolacion del gradiente de la temperatura, de la forma

⌊ψ(r, z)⌋ = ⌊ψ1 ψ2 · · · ψr⌋, (22)

[B(r, z)] =

[ ∂ψ1

∂r∂ψ2

∂r · · · ∂ψr

∂r∂ψ1

∂z∂ψ2

∂z · · · ∂ψr

∂z

]

. (23)

Ademas, se observa que en las integrales aparece el radio. Para poder cal-cular la integral se debera encontrar una expresion para el mismo. La eleccionnatural es representarlo utilizando las funciones de interpolacion encontradas,entonces se obtiene

r(r, z) =r∑

i=1

ψi(r, z)ri

2.5.3 Matriz de masa

Recordando la expresion de M y considerando las expresiones de ψi se podracalcular la matriz para el elemento triangular. Si se reemplaza y calcula laintegral se llega a la expesion de M (matriz de masa consistente)

M =

∫

Ωψiψj dx,

M =∆

60

6r1 + 2r2 + 2r3 2r1 + 2r2 + r3 2r1 + r2 + 2r32r1 + 6r2 + 2r3 r1 + 2r2 + 2r3

simetrico 2r1 + 2r2 + 6r3

. (24)

9 Pablo A. Caron


2.5.4 Matriz de rigidez

Para calcular esta matriz se reemplaza en la expresion de K la aproximacionde θ obteniendo

K =

∫

Ω∇ψi · ∇ψj , (25)

K =

∫

∆[B]T [B]dA. (26)

Pero como ya se posee una expresion para las funciones de interpolacion sepuede calcular el valor de [B]. El mismo resulta

[B] =1

2∆

[

b1 b2 b3c1 c2 c3

]

, (27)

donde se ve que la misma no depende ni de r ni de z, el ingrando es constantey se obtiene directamente

[K] =(r1 + r2 + r3)∆

3[B]T [B] (28)

2.5.5 Vector de cargas

Para hallar el vector de cargas se tiene en cuenta lo siguiente: las condicionesde borde de Dirichlet se consideran constantes en el tiempo, simplificando laexpresion del vector de cargas. De esta forma la expresion se reduce a

F := (Fij) =

∫

ΓN

qNψi +1

∆τ

m∑

j=1

θjh,n

∫

Ωh

ψiψj +

+

∫

Ωh

Qh,n+1ψi −m∑

j=1

θD,jh,n+1

∫

Ωh

∇ψi · ∇ψj,

donde el primer termino es el correspondiente al flujo de calor entrante o salientesobre el borde, el segundo termino corresponde a la distribucion de temperaturaen el paso de tiempo anterior, el tercero corresponde a la distribucion de calorinterna (en nuestro caso debida a la reaccion quımica). La expresion para eltermino de calor interno sera

∫

Ωh

Qh,n+1ψi =

∫

Ωh

θad K0 χn+1 exp[B(1− 1/θn)]ψi

= θad K0

∫

∆χn+1 exp[B(1− 1/θn)]ψi r drdz

= θad K0

r∑

j=1

χjn+1 exp[

B(1− 1/θjn)]

∫

∆ψiψj r drdz.

Se puede observar que la integral es la misma que se utilizo para obtener lamatriz de masa. Entonces para calcular este vector de cargas, en el tiempon+1, se debera tomar el vector con la distribucion de temperatura en el paso n,

10 Pablo A. Caron


la concentracion en n+1 (obtenida con el esquema de R-K). Luego se construye

un vector cuya componente j-esima es χjn+1 exp[

B(1− 1/θjn)]

y se multiplica

escalarmente con la matriz de masa para obtener la contribucion de esta alvector de cargas.

3 Implementacion

La implementacion del trabajo se realizo utilizando el programa Mathematica.Ademas se utilizaron dos aplicaciones para el pre- y el post-procesamiento,Triangle y General Mesh Viewer (GMV), respectivamente.

3.1 Preprocesamiento

El mismo se realizo utilizando la aplicacion Triangle (http://www.cs.cmu.edu/˜quake/triangle.html). Se provee como entrada a la misma un archivo ascii endonde esta codificada la geometrıa a mallar. Luego del procesamiento se obtienecomo resultado otro archivo ascii, en el cual estan codificadas las coordenadasde los nodos y la conectividad entre los elementos. Este es el archivo que se leedesde Mathematica.

3.2 Procesamiento

Como ya se dijo, la parte principal del calculo se realizo utilizando Mathematica.En este programa se leen las coordenadas de los nodos y la conectividad entreelementos. A partir de las coordenadas y de las propiedades fısicas se calculanlas matrices y vectores para cada elemento. Luego se ensamblan las matricesy vectores globales utilizando la conectividad, y se resuelve la concentracionutilizando R-K. Con estos valores se puede hallar el vector de cargas. Se aplicanlas condiciones de contorno. Y se resuelve el sistema de ecuaciones. En cadapaso de tiempo se exporta el resultado a un archivo ascii para leer con GMVen la etapa de postprocesamiento.

3.3 Postprocesamiento

El postprocesamiento se realiza utilizando el GMV (http://www-xdiv.lanl.gov/XCM/gmv/GMVHome.html). El programa lee un archivo con el valor en cadanodo e interpola (linealmente en este caso), para mostrar el resultado en formasimilar a un software comercial.

4 Resultados

4.1 Verificacion

Se verifico el algoritmo de resolucion del problema de calor. La estrategia fueplantear una solucion conocida y encontrar el termino forzante correspondiente,luego este se utilizo como entrada del algoritmo. Se comparo luego la solucion

11 Pablo A. Caron


obtenida con la planteada al comienzo. Para la comparacion se utilizo la normaL2(Ω) del error en cada punto de la discretizacion.

‖e‖L2(Ω) =

(

m∑

1=1

(ei)2

)1/2

donde m es el numero total de grados de libertad del sistema y e es el errorentre la solucion exacta y la obtenida con el algoritmo propuesto. Se proponeobtener el orden de convergencia comparando el error obtenido a medida quese aumenta el numero de elementos de la discretizacion. Como la malla no esestructurada se calculo un diametro representativo de la discretizacion. Paracada triangulo se calculo el diametro del cırculo que pasa por los tres vertices.Se tomo como valor representativo de la discretizacion el maximo de todos losdiametros obtenidos.

4.1.1 Solucion exacta

Se planteo el dominio Ω = [−1, 1] × [−1, 1] con condiciones homogeneas sobretodo el borde. Debido a la simetrıa del problema se utiliza el dominio Ω =[0, 1] × [0, 1]. Como solucion exacta se tomo una funcion trascendente quecumpla con las condiciones de contorno. La funcion propuesta fue

θ(x, y, t) = Sen[π t](

1− Sen[π

2x2]) (

1− Sen[π

2y2])

Se puede ver la grafica de esta funcion en la figura 2 para el tiempo t = 0.5.

0.0

0.5

1.0 0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

Figure 2: Solucion propuesta para obtener el orden de convergencia experimen-tal en t = 0.5

12 Pablo A. Caron


4.1.2 Funcion forzante

La funcion forzante se encontro aplicando el operador diferencial, el cual semuestra en la ecuacion 29. Al estar adimensionalizado no posee ninguna cons-tante.

∂

∂t−∇ (29)

Por claridad se omite agregar explıcitamente la forma que toma la funcion, ensu lugar se muestra la grafica para el mismo instante de tiempo utilizado en lafigura 2. Ver figura 3.

0.0

0.5

1.0 0.0

0.5

1.0

-10

-5

0

5

10

Figure 3: Funcion forzante utilizada como entrada en el algoritmo en t = 0.5

4.1.3 Orden de convergencia experimental (EOC)

En la tabla 1 se muestran los distintos casos utilizados para obtener el EOC. Acontinuacion se aplico el logaritmo tanto al error como al correspondiente valorrepresentativo de la discretizacion, h.

ID malla ∆τ h pasos error

0 0.00560 0.1061970 180 0.11151 0.00090 0.0424791 1120 0.04231032 0.00055 0.0332909 1820 0.03204753 0.00031 0.0250313 3226 0.0244034 0.00120 0.0504058 834 0.0517307

Table 1: Resultados del experimento para obtener el EOC. Donde ID malla esun numero para identificar cada caso, ∆τ es el valor del tiempo adimensiona-lizado, h es el valor representativo de la malla, pasos es la cantidad de pasosnecesarios para llegar a τ = 1, error es el error calculado en el tiempo final.

13 Pablo A. Caron


En la figura 4 se puede ver el grafico de los valores de la tabla 1 y lacorrespondiente regresion lineal. El valor de la pendiente proporciona el EOC.En este caso se obtuvo un valor cercano a 1. Esto se debe a que la solucion seencuentra en el espacio H1(Ω), se esta utilizando la norma L2(Ω) del error y seusaron elementos triangulares lineales. [Hug87]

fHxL>0.187+1.06 xEOC=1.06

0

1

2

3

4

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

Ln@DxD

Ln@e

rrorD

Figure 4: Grafico para obtener el EOC. La numeracion de casos esta en corres-pondencia con el ID malla de la tabla 1

4.2 Aplicaciones

A continuacion se muestran distintos ejemplos donde se aplico el algoritmopropuesto. En todos los casos resueltos se utilizo el algoritmo con simetrıade revolucion, las mismas constantes fısicas, el mismo dominio y las mismasdiscretizaciones.

Las constantes fısicas utilizadas se muestran en la tabla 2.

Sımbolo Valor Unidades Descripcion

Θ0 333 [K] Temperatura de referenciaB 22.37 [-] Energıa de activacion adimensionalK0 4.24 [-] Velocidad de reaccion adimensional

Table 2: Constantes fısicas comunes a todos los problemas

El dominio de referencia utilizado coincide con el de la seccion 4.1 (Ω =[0, 1] × [0, 1]), siguiendo las mismas consideraciones en cuanto a la simetrıade los problemas. En las figuras 5 a 9 se observan las discretizaciones espa-ciales utilizadas. Las mismas siguen la misma numeracion que la indicada enla tabla 1.

14 Pablo A. Caron


Figure 5: Discretizacion espacialcorrespondiente a la malla 0




Figure 9: Discretizacion espacial correspondiente a la malla 4

15 Pablo A. Caron


4.2.1 Efecto de la reaccion

Se realizo el siguiente experimento para poner de manifiesto el efecto de lareaccion de curado en la distribucion de temperatura. Se calculo la distribucionde temperatura con y sin reaccion bajo las mismas condiciones de borde.

Las condicion sobre el borde para la temperatura es θ = 473 K, queadimensionalizada es θ = 1.42. Las condiciones iniciales son, para todo eldominio, θ0 = 1.12 y para la concentracion de reactivos es χ0 = 1.

Figure 10: Comparacion del campo de temperaturas en τ = 2× 10−3, con y sinreaccion quımica a la derecha e izquierda respectivamente

Figure 11: Comparacion del campo de temperaturas en τ = 5× 10−3, con y sinreaccion quımica a la derecha e izquierda respectivamente

En la secuencia de figuras 10 a 13 se observa el efecto de la reaccion quımica decurado.

En la figura 10 puede verse que desde el comienzo del proceso hay diferen-cias entre los campos de temperatura. Aunque parecen similares se tiene queobservar que en la figura de la derecha el lımite inferior de la escala es mayorque en la figura de la izquierda.

En las figuras 11 y 12 se observa una distorsion en las lıneas de isotempera-tura. Esto se debe a que sobre el borde la temperatura es mayor y por endela velocidad de reaccion, al estar esta ultima ligada al calor liberado por lareaccion la temperatura resultante es mayor sobre esta zona. En el tiempocorrespondiente a la figura 12 las lıneas vuelven a ser paralelas a los bordes deldominio.

16 Pablo A. Caron


Figure 12: Comparacion del campo de temperaturas en τ = 10 × 10−3, con ysin reaccion quımica a la derecha e izquierda respectivamente

Figure 13: Tiempo necesario para obtener un campo uniforme, con y sinreaccion quımica a la derecha e izquierda respectivamente

En la figura 13 se observa que el tiempo para obtener el mismo campo detemperaturas casi uniforme (la diferencia entre los lımites es aproximadamentede 3.3 K), es 45% menor en el caso de considerar la reaccion.

En la secuencia de figuras 14 a 16 se muestra la evolucion de la concentracionjunto al campo de temperaturas correspondiente a ese paso de tiempo. Seobserva que, como se esperaba, el dominio se cura desde afuera hacia adentro.

Figure 14: Campo de temperaturas, derecha, y el correspondiente campo deconcentraciones, izquierda, para el tiempo τ = 2× 10−3.

17 Pablo A. Caron




4.2.2 Condicion de borde variable

Se propone el siguiente caso para mostrar la capacidad del algoritmo para tratarcondiciones de borde tipo Dirichlet variables.


18 Pablo A. Caron



Figure 19: Campo de temperaturas, derecha, y el correspondiente campo deconcentraciones, izquierda, para el tiempo τ = 9.99 × 10−3.

5 Conclusiones

Se implemento un algoritmo para la resolucion del problema de calor el cualposee acoplada la reaccion quımica del material. El algoritmo posee la capaci-dad de resolver problemas bidimensionales rectangulares y bidimensionales consimetrıa de revolucion. Ademas se implementaron interfaces con los programasTriangle (pre-procesador) y GMV (post-procesador).

Se verifico el algoritmo para el problema de calor con una solucion conocida.Luego se obtuvo el EOC, verificandose el valor obtenido con el teorico. Aunqueeste algoritmo funciona correctamente, debido al esquema implıcito utilizado,el esquema de Runge-Kutta explıcito es el que domina la inestabilidad. Nose muestran resultados sobre este fenomeno, pero quedo de manifiesto en losexperimentos realizados. Esto se debe a que el fenomeno de curado es rıgido.Una posible solucion es cambiar el algoritmo para la integracion de la ODE quemodela la reaccion quımica o, implementar un esquema de paso variable.

Se observo el efecto de la reaccion quımica sobre el campo de temperaturas,a partir de esto queda claro que no puede despreciarse el efecto de la misma enla evaluacion del proceso de curado.

19 Pablo A. Caron


References

[BM76] Ephriam Broyer and Christopher W. Macosko. Heat transfer andcuring in polymer reaction molding. AIChE Journal, 22:268–276,1976.

[HCJ+99] In-Su Han, Chang-Bock Chung, Hyeong-Gwan Jeong, Sung-JuKang, Seung-Jai Kim, and Ho-Chul Jung. Optimal cure steps forproduct quality in a tire curing process. Journal of Applied PolymerScience, 74:2063–2071, 1999.

[HT82] Kenneth H. Huebner and Earl A. Thornton. The Finite ElementMethod for Engineers. John Wiley Sons, 1982.

[Hug87] Thomas J.R. Hughes. The Finite Element Method, Linear Static andDynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall, Inc, 1987.

[JB04] M. Juma and M. Bafrnec. Experimental determination of rubbercuring reaction heat using the transient heat conduction equation.Chemical Papers, 58:2932, 2004.

20 Pablo A. Caron

Análisis Numérico Avanzado Trabajo Práctico Final

Documents

Transcript of Análisis Numérico Avanzado Trabajo Práctico Final