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Análisis Vectorial en Mathematica Elaborado por: Miguel Ángel Serrano. A continuación presentaré el desarrollo de los ejercicios que se hicieron durante el laboratorio. El repaso va dirigido a vectores y sus respectivas operaciones, cambios de coordenadas, integrales de linea y superficie así como campos vectoriales en electrostática.
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Análisis Vectorial en
Mathematica
Elaborado por: Miguel Ángel Serrano.
A continuación presentaré el desarrollo de los ejercicios que se
hicieron durante el laboratorio. El repaso va dirigido a vectores y sus
respectivas operaciones, cambios de coordenadas, integrales de linea
y superficie así como campos vectoriales en electrostática.
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Operaciones Vectoriales
Básicas
Definimos los vectores con los que trabajaremos.
A1 = 85, 7, 1 ê 2<;
B1 = 82, 4, 3<; �
a1 = 8Log@2D, π, Sqrt@2D<;
b1 = 8Tan@π ê 8D, E^2, 1<;
Suma y Resta de Vectores.
C1s = A1 + B1
:7, 11,
7
2
>c1s = a1 + b1
:Log@2D + TanB π
8
F, ã2
+ π, 1 + 2 >C1r = A1 − B1
:3, 3, −
5
2
>c1r = a1 − b1
:Log@2D − TanB π
8
F, −ã2
+ π, −1 + 2 >
Producto Interno y Producto Cruz
Para realizar el producto interno (producto punto) utilizamos el comando “Dot[]”.
C1p = Dot@A1, B1D
79
2
c1p = Dot@a1, b1D
2 + ã2
π + Log@2D TanB π
8
F
Para el producto cruz se utiliza el comando “Cross[]”
C1c = Cross@A1, B1D
819, −14, 6<c1p = Cross@a1, b1D
:− 2 ã2
+ π, −Log@2D + 2 TanB π
8
F, ã2
Log@2D − π TanB π
8
F>
2 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Vector Unitario
Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector “V”.
V = 81 ê 2, 9, Sqrt@5D<;
Vu = V ê Sqrt@Dot@V, VDD
: 1
345
, 6
3
115
,
2
69
>
Podemos comprobar que el nuevo vector es unitario y paralelo a “V” calculando su
magnitud y el producto cruz con “V”
Dot@Vu, VuD
1
Cross@Vu, VD
80, 0, 0<
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 3
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Integrando y Derivando Vectores.
Es posible tener vectores como argumento de las funciones para derivar e integrar.
A3@t_D = 8Exp@tD, t^2, 1 + t<;
B3@t_D = 8Cos@π t ê 2D, Log@t + 2D, t^H1 ê 3L<;
Integrando
Integrate@A3@tD, tD
:ãt
,
t3
3
, t +
t2
2
>
Derivando
D@B3@tD, tD
:−
1
2
π SinB π t
2
F,
1
2 + t
,
1
3 t2ê3
>
Al utilizar operadores vectoriales en versiones de “Mathematica” 8 o anteriores, es
necesario cargar el paquete “VectorAnalysis”.
Needs@"VectorAnalysis`"D
General ::obspkg: VectorAnalysis` is now obsolete. The legacy version being loaded may conflict with current Mathematica functionality . See the Compatibility Guide for updating information .
In[5]:= SetCoordinates@Cartesian@x, y, zDD
Out[5]= SetCoordinates@Cartesian@x, y, zDD
4 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Divergencia y Rotacional de un campo vectorial.
Definimos los campos que utilizaremos:
In[1]:= V4@x_, y_, z_D = 8z^2, y^4, x^3<;
In[2]:= W4@x_, y_, z_D = 8Sin@x ê yD, Exp@y^2D, z y<;
Divergencias
In[4]:= Div@V4@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[4]= 4 y3
In[7]:= Div@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[7]= y + 2 ãy
2
y +
CosB x
y
Fy
Rotacionales
In[8]:= Curl@V4@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[8]= 90, −3 x2
+ 2 z, 0=In[9]:= Curl@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[9]= :z, 0,
x CosB x
y
Fy
2
>
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 5
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Laplaciano de un campo escalar y Vector Normal a una
Superficie.
Procedemos a definir las funciones a utilizar.
In[11]:= Fgl@x_, y_, z_D = x^2 y z + y ê x + 1;
In[12]:= Ggl@x_, y_, z_D = Hx y z L^2;
Laplaciano de un campo escalar.
In[13]:= Laplacian@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[13]=
2 y
x3
+ 2 y z
In[14]:= Laplacian@Ggl@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[14]= 2 x2
y2
+ 2 x2
z2
+ 2 y2
z2
Vectores Normales: Para ellos procedemos a utilizar el operador Gradiente apli-
cado sobre un campo escalar:
In[15]:= Fnor@x_, y_, z_D = Grad@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D
Out[15]= :−
y
x2
+ 2 x y z,
1
x
+ x2
z, x2
y>
Ahora para normalizar este nuevo vector calculamos su magnitud y la utilizamos
en dicho procedimiento.
In[16]:= NorF@x_, y_, z_D = Sqrt@Dot@Fnor@x, y, xD, Fnor@x, y, zDDD
Out[16]= . x4
y2
+
1
x
+ x3
1
x
+ x2
z + −
y
x2
+ 2 x2
y −
y
x2
+ 2 x y z
In[17]:= VNor@x_, y_, z_D = Fnor@x, y, zD ê NorF@x, y, zD
Out[17]= : −
y
x2
+ 2 x y z ì . x4
y2
+
1
x
+ x3
1
x
+ x2
z + −
y
x2
+ 2 x2
y −
y
x2
+ 2 x y z ,
1
x
+ x2
z ì . x4
y2
+
1
x
+ x3
1
x
+ x2
z + −
y
x2
+ 2 x2
y −
y
x2
+ 2 x y z ,
Ix2
yM ì . x4
y2
+
1
x
+ x3
1
x
+ x2
z + −
y
x2
+ 2 x2
y −
y
x2
+ 2 x y z >
6 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Integrales de Línea
Para esta operación es necesario haber definido un campo sobre el cual operar y
una trayectoria de análisis.
In[18]:= Flin@x_, y_, z_D = 8x^2, y z , Sqrt@zD<;
In[19]:= r@t_D = 8Sin@tD, Cos@tD, t<;
Utilizando el procedimiento sugerido en sus manuales, procedemos a
parametrizar la trayectoria.
In[20]:= Fr@t_D = Flin@x, y, zD ê. x → Sin@tD ê. y → Cos@tD ê. z → t;
Preparamos el argumento de la integral:
In[21]:= Frr@t_D = Dot@Fr@tD, D@Fr@tD, tDD;
Integrando:
In[22]:= Integrate@Frr@tD, 8t, 0, π<D
Out[22]=
1
2
π H1 + πL
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 7
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Integral de Superficie.
Para el ejemplo definiremos un sistema en coordenadas cartesianas y otro en coor-
denadas esféricas.
En cartesianas: Definimos el campo y la superficie.
In[23]:= GSup@x_, y_, z_D = 8x, y, z<;
In[24]:= sup@x_, y_D = Sqrt@1 − x^2 + y^2D;
Parametrizamos para reemplazar “z” por la superficie:
Gs@x_, y_D = GSup@x, y, zD ê. z → sup@x, yD
:x, y, 1 − x2
+ y2 >
Preparamos el argumento de la integral y definimos un “diferencial de área”
GDs@x_, y_D = Dot@Gs@x, yD, 8−D@sup@x, yD, xD, −D@sup@x, yD, yD, 1<D
x2
1 − x2
+ y2
−
y2
1 − x2
+ y2
+ 1 − x2
+ y2
Realizamos las integrales
Int1@y_D = Integrate@GDs@x, yD, yD
LogBy + 1 − x2
+ y2 F
Int2@x_D = Integrate@Int1@Sqrt@1 − x^2DD − Int1@−Sqrt@1 − x^2DD, xD
−x LogBJ−1 + 2 N 1 − x2 F + x LogBJ1 + 2 N 1 − x
2 [email protected] − [email protected]
1.76275 + 0. ä
[email protected] + 0. äD
1.76275
8 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
